Aula Magna 08 - Campo Magnético - Unicamp

Aula-8
Campo Magnético
Curso de Física Geral F-328
1 o semestre, 2011

Campo magnético
Introdução:
Há mais de 2000 anos, os gregos sabiam da existência de um certo
tipo de pedra (hoje chamada de magnetita) que atraía pedaços de ferro
(limalhas) .
Em 1269, Pierre de Maricourt descobriu que uma agulha liberada
em vários pontos sobre um imã natural esférico orientava-se ao longo
de linhas que passavam através de pontos nas extremidades
diametralmente opostas da esfera. Ele chamou esses pontos de pólos do
ímã.
Em seguida, vários experimentos verificaram que todos os ímãs de
qualquer formato possuíam dois pólos, chamados de pólos norte e sul.
Foi observado também que pólos iguais de dois ímãs se repelem e
pólos diferentes se atraem mutuamente.

Campo magnético
Em 1600, William Gilbert descobriu que a Terra era um ímã
natural com pólos magnéticos próximos aos pólos norte e sul
geográficos. Uma vez que o pólo norte de uma agulha imantada
de uma bússola aponta na direção do pólo sul de um ímã, o que é
denominado pólo norte da Terra, é na realidade, um pólo sul
magnético.
Embora as cargas elétricas e os pólos magnéticos
sejam similares em vários aspectos, existe uma
importante diferença entre eles: os pólos magnéticos
sempre ocorrem aos pares. Quando um ímã é
dividido ao meio, pólos opostos aparecem em cada
parte proveniente da divisão. Isso resulta em dois
novos ímãs, cada um com um pólo norte e um pólo
sul.

Força exercida por um campo magnético
Definição do vetor indução magnética B :
A existência de um campo magnético em uma dada região pode
ser demonstrada com uma agulha de bússola. Esta se alinhará na
direção do campo. Por outro lado, quando uma partícula carregada
com carga q e velocidade v entra em uma região onde existe um
campo magnético B, ela é desviada transversalmente de sua trajetória
sob ação de uma força magnética que é proporcional à carga da
partícula, à sua velocidade, à intensidade do campo magnético e ao
seno do ângulo entre a direção da velocidade da partícula e a
direção do campo.
Surpreendente ainda é o fato de que esta força é perpendicular
tanto à velocidade quanto ao campo magnético. magnético

Força exercida por um campo magnético
A força magnética é:
FB = qvBsenθ
⇒ FB
= qv
× B (1)
A partir da equação (1), define-se o vetor Indução Magnética B ,
cujo módulo é:
Unidade de B
B
=
FB
| q|
v senθ
Ns N
: = ≡ T(Tesla)
Cm A.m
Unidade de uso frequente : gauss (G) ; 1 G = 10 -4 T

Força exercida por um campo magnético
FB
F B
v
=
B
| q|
v
FB
v
B
FB
Bsenθ
B
v
F B
F B
FB
=
v
v
qv
×
FB
B
= | q|
vB
senθ
= | q|
vB
B

Movimento de uma partícula carregada em
um campo magnético
Filtro de velocidades/Campos cruzados
B
v
E
F
=
qv×
B
qE
qE
+
Uma partícula de carga q > 0 entra
numa região do espaço entre as
placas de um capacitor onde
existem um campo elétrico e um
campo magnético perpendicular . A
força total sobre a partícula ( força
de Lorentz) é:
q v ×
Se a carga da partícula é negativa, as forças elétrica e magnética
são invertidas. As duas forças se equilibram (e, portanto, a partícula não
sofre desvio) se qE = qvB , ou:
E
v = (filtro de velocidades)
B
B

Efeito Hall
Um condutor achatado conduz uma
corrente na direção x e um campo magnético
é aplicado na direção y. A corrente pode ser
devida tanto a portadores positivos
movendo-se para direita como portadores
negativos movendo-se para a esquerda.
Medindo-se a ddp de Hall (VH ) entre os
pontos a e c, pode-se determinar o sinal e a
densidade volumétrica (n) dos portadores.
FB
= qvd
B = qEH
⇒ EH
= vd
B
EH
J i
vd
= = = ⇒
B nq nqA
iB iB iB
n = =
=
EH
qA EH
qdl VH
ql
A= dl , onde l é a espessura do condutor.
i
i
i
B
B
l
vd
B
FB
FB
vd
i
i
B
i

Exemplo 1
Por uma placa de prata com espessura de 1mm passa uma
corrente de 2,5 A em uma região na qual existe campo magnético
uniforme de módulo 1,25 T perpendicular à placa. A tensão Hall é
medida como 0,334 V. Calcule:
a) a densidade de portadores;
b) compare a resposta anterior com a densidade de portadores na
prata, que possui uma massa específica =10,5 g/cm3 μ
ρ
e massa
molar M = 107,9 g/mol.
Solução:
a)
b)
n
n
a
iB
( 2,
5A)(
1,
25T)
=
V)(
0,
001m)
= =
− 19
− 7
qVH
l ( 1,
6×
10 C)(
3,
34×
10
N A
3
23
6,
02 × 10
= ρ
M
=
5,
85×
10
átomos/mol
( 10,
5g/cm
)
= 5,
86 ×
107 g/mol
28
10
elétrons/m
28
3
átomos/m
Esses resultados indicam que o número de portadores de carga na
prata é muito próximo de um por átomo.
3

Movimento de uma partícula carregada
em um campo magnético
v
FB
B
FB
FB
v
elétrons num campo magnético
v
Como ⊥ v ⇒ v = constante ⇒ MCU
F B
2
v
FB = mac
⇒ qvB=
m ou
r
r =
mv
qB
O período do movimento circular é o
tempo que a partícula leva para se deslocar
uma vez ao longo do perímetro do círculo:
2π
r 2π
mv 2π
m
T = =
=
v v qB qB
A frequência do movimento circular, chamada
de frequência de cíclotron, é o inverso do período:
1 qB
qB
f = = ⇒ ω = 2π
f =
T 2π
m
m

Movimento de uma partícula carregada em
um campo magnético
B
Suponha, agora, que uma partícula carregada entra
em um campo magnético com uma velocidade que
não é perpendicular a . Não existe componente
de força na direção paralela a , e, portanto, a
componente da velocidade nesta direção
permanece constante. A força magnética sobre a
partícula é perpendicular a B , então a variação no
movimento da partícula devida a essa força é a
mesma discutida antes. Resulta que a trajetória da
partícula é helicoidal, como mostrada na figura.
B
B

Movimento de uma partícula carregada
em um campo magnético
Garrafa Magnética:
Quando uma partícula carregada se move em espiral em um campo
magnético não uniforme, que é forte em ambas as extremidades e fraco
no meio, ela fica aprisionada e se desloca para frente e para trás em uma
trajetória espiral em torno das linhas de campo.
Desta maneira, elétrons e prótons ficam aprisionados pelo campo
magnético terrestre não-uniforme, formando os cinturões de radiação
de Van Allen.

Espectrômetro de massa
A figura mostra o esboço de um espectrômetro de massa, que serve para medir a
massa de um íon. Este, de massa m e carga q, é produzido na fonte S e acelerado pelo
campo elétrico devido a uma diferença de potencial V. O íon entra em uma câmara
separadora na qual existe um campo uniforme e perpendicular à trajetória do íon.
Suponha: B = 80T, V = 1000V e que os íons de carga q = 1,6 x 10 -19 C atinjam a placa
fotográfica, na câmara, em x = 1,625m. Qual a massa m dos íons?
_
+
V
+q
b
a
x
S
B
r
m =
1u
=
2
B qx
8V
2
=
1,
66x10
B
U a =
Kb
⇒
qvB =
x
− 19
( 0,
080T
)( 1,
6x10
C)(
1,
625m)
8(
1000V
)
− 27
=
2r
=
kg ⇒
mv
r
2
2
B
qV
⇒
=
2mV
q
m = 203,
9u
1
2
r =
mv
2
⇒
mv
qB
=
v =
m
qB
2
=
2qV
m
2qV
m
=
3,
38x10
1
B
− 25
( 1)
2mV
q
kg.

d
dq
Força magnética sobre um fio com corrente
i v
d
B
dF
=
dqv
×
θ
B =
i
dF =
dt
⎛
⎜
⎝
i dl
dl
×
dt
⎞
B ⎟
⎠
Bsin
θ
⇒
dF
=
i dl
× B
A força infinitesimal pode ser escrita como:
onde é o ângulo entre a direção do
segmento do fio ( direção da corrente) e a
direção do campo magnético. A força sobre o
fio é:
F
=
Para fios finitos e B uniforme devemos ter: F = i L × B
∫
fio
dF
=
∫
fio
idl
×
B

Exemplo 2
Um fio curvo na forma de uma espira
semicircular de raio R está em repouso no plano
xy. Por ele passa uma corrente i de um ponto a até
um ponto b, como mostra
figura. Existe um campo
magnético uniforme B= Bkˆ
, perpendicular ao
plano da espira. Encontre a força que atua sobre a
parte do fio na forma de espira semicircular.
dF
= idl
× B⇒
dl
= − dl senθiˆ
+ dlcosθ
ˆj
; dl=
Rdθ
dF
= i(
− dl senθ
+ dl cosθ
ˆj
) × Bkˆ
dF
= iRBsen
θdθ
ˆj
+ iRB cosθdθiˆ
F = dF
= iRBiˆ
cosθdθ
+ iRBˆj
F = iRB(
0)
iˆ
+ iRB(
2)
ˆj
= 2iRBˆj
π π
∫ ∫ ∫
0 0
senθdθ
b
b
y
id
y
θ
R
θ
i
a
B
a
z
dF
z
x
B
x

Torque em espira com corrente
Uma espira transportando uma corrente em um campo magnético uniforme
sofre a ação de um torque que tende a girá-la. As figuras abaixo mostram as forças
exercidas por um campo magnético uniforme sobre uma espira retangular cujo vetor
unitário faz um ângulo θ com o vetor indução magnética B . A força líquida
sobre a espira é nula. As forças e formam um binário, de tal modo que o
torque é o mesmo em torno de qualquer ponto. Temos:
nˆ
F1
F3
F2
F1
A
i
F3
F4
B
F1
F
2
F F =
1
= 3
A
− F
= (e têm mesma linha de ação)
μ
F3
4
ibB
B
Torque em relação ao ponto O:
a
τ = 2F 1 senθ
= iaBbsenθ
2
A= ab⇒
τ = NiABsenθ
N voltas
μ
= NiAnˆ
⇒
τ
=
( )
μ ×
μ : vetor momento de dipolo
magnético da espira
B

Energia potencial de um dipolo magnético
em um campo magnético
Quando um dipolo magnético gira de um ângulo dθ
a partir
de uma dada orientação num campo magnético, um trabalho dW
é realizado sobre o dipolo pelo campo magnético:
dW
= − τ dθ = − μ B senθ dθ
dU = − dW = + μ B senθ dθ
U = − μB cosθ
+ U
θ
=
90
U
0
⇒
U
0
=
= − μB cosθ
0
0
=
−
μ ⋅
B

Exemplo 3
Em um enrolamento quadrado de 12 voltas, de lado igual a 40cm,
passa uma corrente de 3A. Ele repousa no plano xy na presença
de um campo magnético uniforme B = 0 , 3T
iˆ
+ 0,
4T
kˆ
.
Encontre:
a) O momento dipolo magnético do enrolamento;
b) O torque exercido sobre o enrolamento;
c) A energia potencial do enrolamento.
Solução:
a) NiAkˆ
2
kˆ
2
μ = = ( 12)(
3A)(
0,
40m
) = 5,
76A.m
kˆ
b) τ =
μ ×
B =
2
( 5,
76A.m
kˆ
) × ( 0,
3T
iˆ
+ 0,
4T
kˆ
) = 1,
73N.m
ˆj
c) U = − μ
. B =
2
− ( 5,
76A.m
kˆ
).( 0,
3Tiˆ
+ 0,
4Tkˆ
) = − 2,
30J

Efeito Hall quântico
O efeito Hall quântico (Prêmio Nobel de 1985) é observado em
estruturas semicondutoras especiais, geralmente com altos valores
de mobilidade e a baixas temperaturas. No efeito Hall clássico a
variação da tensão Hall ( VH
) com o campo magnético é linear,
enquanto que no quântico esta variação resulta numa série de
patamares como ilustra a figura abaixo.
RK
= 25.
812,
807Ω
Na teoria do efeito Hall
quântico, a resistência R H
é definida como:
R
H
VH
RK
= = ; n=
i n
(Constante de von Klitzing)
1,
2,
3,...

Lista de exercícios do Capítulo 28
Os exercícios sobre Campo Magnético estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação Disciplinas F 328 Física Básica III