Segunda lista de exercícios

Segunda Lista de Exercícios de Cálculo de Probabilidades II
Variáveis Aleatórias Discretas
1. Suponha que a máquina 1 produza (por dia) o dobro das peças que são produzidas pela
máquina 2; entretanto, 4% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas,enquanto
somente cerca de 2% de peças produzidas pela máquina 2 são defeituosas.
Admita que a produção diária das duas máquinas seja misturada. Uma amostra aleatória
de 10 peças é extraída da produção total. Qual será a probabilidade de que essa amostra
contenha no máximo duas peças defeituosas?
2. Foguetes são lançados até que o primeiro lançamento bem sucedido tenha ocorrido. Se
isso não ocorrer em até 5 tentativas, o experimento é suspenso e o equipamento é inspecionado.
Admita que exista uma probabilidade constante e igual a 0,8 de haver um
lançamento bem sucedido e que sucessivos lançamentos sejam independentes. Suponha que
o custo do primeiro lançamento seja K dólares, enquanto lançamentos subsequentes custam
K/3 dólares. Sempre que ocorre um lançamento bem sucedido, uma certa quantidade
de informação é obtida, a qual pode ser expressa como um ganho financeiro de C dólares.
Seja T o custo líquido desse experimento. Estabeleça a distribuição de probabilidade de
T .
3. Admita-se que X tenha distribuição de Poisson com parâmetro λ. Determine o valor de k
para o qual P (X = k) seja máxima. [Sugestão: Compare P (X = k) a P (X = k − 1)].
4. O número N de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria, a cada dia, tem
distribuição de Poisson, com parâmetro igual a 2 petroleiros por dia. As atuais instalações
do porto podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem
por dia, os excedentes deverão seguir para outro porto.
(a) Em um dia qualquer, qual é a probabilidade de mandar petroleiros para outro porto?
(b) Qual é o número modal de petroleiros por dia, isto é, o número mais provável de
petroleiros em um dia?
(c) Qual é o número esperado de petroleiros atendidos em um dia?
(d) Qual é o número esperado de petroleiros que seguirão para outros portos em um dia?
5. Uma companhia seguradora estima que somente 0,1% da população esteja incluída em
certo tipo de acidente, a cada ano. Se seus 10.000 segurados são escolhidos, ao acaso, na
população, qual é a probabilidade de que não mais do que 5 de seus clientes venham a
estar incluídos em tal acidente no próximo ano?
6. Um fabricante de filmes produz 10 rolos de um filme especialmente sensível, cada ano. Se
o filme não for vendido dentro do ano, ele deve ser refugado. A experiência passada diz que
D, a (pequena) demanda por esse filme, é uma variável aleatória com distribuição Poisson,
co parâmetro 8. Se um lucro de US$ 7 for obtido, para cada rolo vendido, enquanto um
prejuízo de US$ 3 é verificado para cada rolo refugado, calcule o lucro esperado dos 10
rolos que o fabricante produz.
7. Partículas são emitidas por uma fonte radioativa. Suponha que o número de tais partículas,
emitidas em um período de uma hora, tenha distribuição de Poisson com parâmetro λ.
Um dispositivo contador é empregado para registrar o número de partículas emitidas. Se
mais de 30 partículas chegarem durante qualquer período de uma hora, o dispositivo é
incapaz de registrar o excesso e simplesmente registra 30. Seja Y a variável aleatória que
denota o número de partículas registradas pelo dispositivo. Determine a distribuição de
probabilidade de Y .
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8. Suponha que um livro de 585 páginas contenha 43 erros tipográficos. Se esses erros estiverem
aleatoriamente distribuídos pelo livro, qual é a probabilidade de que 10 páginas,
escolhidas ao acaso, estejam livres de erros?
9. Uma fonte radioativa é observada durante 7 intervalos de tempo, cada um com 10 segundos
de duração. O número de partículas emitidas durante cada período é contado.
Suponha que o número de partículas emitidas, X, durante cada período observado, tenha
distribuição de Poisson com parâmetro 5. Qual é a probabilidaede de que, em pelo menos
um dos sete intervalos de tempo observados, 4 ou mais partículas sejam emitidas?
10. Dois procedimentos, que operam independentemente, são empregados toda semana para
lançamento de foguetes. Admita que cada procedimento seja continuado até que ele produza
um lançamento bem sucedido. Suponha que empregando o procedimento I, a probabilidade
de lançamento bem sucedido seja p1 e que, empregando o procedimento II, tal
probabilidade seja p2. Admita também que, toda semana, uma tentativa seja feita com
cada um dos dois métodos. Sejam X1 e X2 os números de semanas exigidas para se alcançar
sucesso com os procedimentos I e II, respectivamente. Admita independência entre
tentativas sucessivas em cada procedimento. Defina W = min(X1, X2) (W é o número
de semanas necessárias para se obter um primeiro lançamento bem sucedido entre os dois
procedimentos) e Z = max(X1, X2) (Z é o número de semanas necessárias para que os
dois procedimentos sejam bem sucedidos).
(a) Estabeleça uma expressão para a distribuição de probabilidade de W .
(b) Estabeleça uma expressão para a distribuição de probabilidade de Z.
11. A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é igual a 0,8.
(a) Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos
bem sucedidos. Qual é a probabilidade de exatamente 6 tentativas serem necessárias? E
menos de 6 tentativas?
(b) Responda novamente às questões do item (a), admitindo agora que sejam feitas tentativas
até 3 lançamentos consecutivos bem sucedidos.
(c) Considere novamente a situação do item (a). Suponha que cada tentativa custe US$
5.000 e cada tentativa falha acarrete um custo adicional de US$ 500. Calcule o custo
esperado.
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