Notas de Aula – Forma Canônica de Jordan – Outubro de ... - DMA

Notas de Aula – Forma Canônica de Jordan – Outubro de
2009
Paulo Goldfeld
Definição 1 Diz-se que uma transformação linear L = 0 é nilpotente de grau q se
existe q ∈ N tal que L q−1 = 0 = L q . Se L = 0, diz-se que L é nilpotente de grau 1.
Lema 2 Seja V espaço vetorial e seja L : V → V nilpotente de grau q > 1. Então
existe x = 0 tal que o conjunto {x, Lx, L 2 x, . . . , L q−1 x} é linearmente independente.
Demonstração Seja x ∈ V tal que L q−1 x = 0 e αi’s escalares tais que q−1
i=0 αiL i x = 0.
Multiplicando por L q−1 e usando que L q = 0, temos q−1
i=0 αiL q+i−1 x = α0L q−1 x = 0
e portanto, como L q−1 x = 0, concluimos que α0 = 0 e q−1
i=1 αiL i x = 0. Multipli-
cando agora por L q−2 , temos q−1
i=1 αiL q+i−2 x = α1L q−1 x = 0 e portanto α1 = 0 e
q−1
i=2 αiL i x = 0. Repetindo-se o argumento, conclui-se que todos os αi’s são zero.
Corolário 3 Seja V espaço vetorial de dimensão finita e L : V → V transformação
linear. Se L é nilpotente, o grau de nilpotência q é menor ou igual a dim(V ).
Lema 4 Seja V espaço vetorial de dimensão finita e A : V → V transformação linear.
Existem únicos N (A) e R(A) subespaços de V tais que A = A| N (A) ⊕ A| R(A) , sendo
A| N (A) nilpotente e A| R(A) invertível.
De fato, N (A) é o maior subespaço invariante tal que A|N (A) é nilpotente, no
sentido de que, se M é invariante por A e A|M é nilpotente, então M ⊂ N (A). De
forma análoga, R(A) é o maior subespaço invariante tal que A|R(A) é invertível.
Demonstração Note que ∀k ≥ 1, A k x = 0 ⇒ A k+1 x = A(A k x) = A0 = 0 , de
forma que
{0} = N(I) ⊂ N(A 1 ) ⊂ N(A 2 ) ⊂ . . . .
Como 0 = dim(N(A 0 )) ≤ dim(N(A 1 )) ≤ dim(N(A 2 )) ≤ . . . ≤ dim(V ), existe
necessariamente p tal que dim(N(A p+1 )) = dim(N(A p )). Seja q ≥ 1 mínimo tal
que dim(N(A q+1 )) = dim(N(A q )) e defina N (A) = N(A q ). É fácil verificar que
N(A q+k ) = N (A) ∀k ∈ N. A inclusão N(A q+k ) ⊃ N(A q ) = N (A) é imediata. A
inclusão inversa segue por indução: evidentemente N(A q+k ) = N(A q ) para k = 0.
Suponha N(A q+k ) ⊂ N (A) para algum k ∈ N e seja x ∈ N(A q+k+1 ). Então
0 = A q+k+1 x = A q+1 (A k x) ⇒
⇒ (A k x) ∈ N(A q+1 ) = N(A q ) ⇒
⇒ A q (A k x) = A q+k x = 0 ⇒
⇒ x ∈ N(A q+k ) ⊂ N (A),
de forma que N(A q+k+1 ) ⊂ N (A). Isto encerra a indução.
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Temos, portanto,
{0} = N(A 0 ) N(A 1 ) N(A 2 ) . . . N(A q ) = N (A) = N(A q+1 ) = N(A q+2 ) = · · ·
e vale ainda notar que
N(A k ) ⊂ N (A) ∀ k ∈ N.
Se x ∈ N (A) = N(A q ), então Ax ∈ N(A q−1 ) ⊂ N (A) e portanto N (A) é invariante
por A. É evidente que A|N (A) é nilpotente de grau q. Ademais, se M é invariante por
A e A|M é nilpotente de grau r, então M ⊂ N(A r ) ⊂ N (A).
De forma análoga, como A k+1 x = A k (Ax) ∀k ∈ N, temos
V = R(A 0 ) ⊃ R(A 1 ) ⊃ R(A 2 ) ⊃ . . . .
Como dim(R(A k )) = dim(V ) − dim(N(A k )), temos que
V = R(A 0 ) R(A 1 ) R(A 2 ) . . . R(A q ) = R(A) = R(A q+1 ) = R(A q+2 ) = · · · ,
de forma que
R(A) ⊂ R(A k ) ∀ k ∈ N.
Se x ∈ R(A) = R(A q ), então Ax ∈ R(A q+1 ) = R(A) e portanto R(A) é invariante
por A. Como R
q q+1
A|R(A) = AR(A) = AR(A ) = R(A ) = R(A), concluimos que
A|R(A) é invertível. Ademais, se S é invariante por A e A|S é invertível, então S =
(A|S) q (A|S) −q S = Aq (A|S) −q S ⊂ R(Aq ) = R(A).
N (A) e R(A) são subespaços disjuntos. De fato, se x ∈ N (A)∩R(A), em particular
x ∈ N (A) e portanto Aqx = 0. Mas x ∈ R(A) implica x = Aqy e portanto Aqx =
A2qy = 0. Lembrando que N(A2q ) = N(Aq ), temos Aqy = 0 e conclui-se que x =
Aqy = 0. Pelo teorema do Núcleo e Imagem, dim(N (A))+dim(R(A)) = dim(N(Aq ))+
dim(R(Aq )) = dim(V ), de forma que N (A) ∩ R(A) = 0 implica V = N (A) ⊕ R(A).
Como já foi observado, se M e S são subespaços invariantes por A restritos aos quais
A é, respectivamente, nilpotente e invertível então M ⊂ N (A) e S ⊂ R(A) e portanto
dim(M) ≤ dim(N (A)) e dim(S) ≤ dim(R(A)). Como dim(N (A)) + dim(R(A)) =
dim(V ), só é possível que M e S reduzam A se dim(M) = dim(N (A)) e dim(S) =
dim(R(A)), o que implica M = N (A) e S = R(A).
Definição 5 Se λ é autovalor de A, define-se o autoespaço generalizado associado
a λ como N (A − λI).
Observação 6 Note que um subespaço é invariante por A se e somente se o é por
A − λI para todo (ou algum) λ.
Lema 7 Seja V espaço vetorial de dimensão finita e A : V → V transformação linear.
Se λi é autovalor de A com multiplicidade algébrica mi, defina Ni = N (A − λiI), o
autoespaço generalizado associado a λi, e Ri = R(A − λiI). Note que A = A|Ni ⊕ A|Ri
e que portanto p A c = p A|N i
c
e p A|Ri c (λi) = 0.
p A|R i
c
. Então p A|Ni c (λ) = (λi−λ) mi (e portanto dim(Ni) = mi)
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Demonstração Sabemos, pelo Lema 4, que V = Ni⊕Ri, com (A − λiI)| Ni nilpotente
e (A − λiI)| Ri invertível. É claro, ainda, que, se Ni e Ri são invariantes por A − λiI,
então também o são por A e portanto A = A| Ni ⊕ A| . Assim,
Ri
p A c (λ) = p A| N i
c
(λ) · p A| R i
c
(λ) .
Sabemos que o fator (λ − λi) aparece em p A c (λ) exatamente mi vezes. Mas (λ − λi)
não é fator de p A| Ri c (λ) uma vez que (A − λiI)| Ri é invertível. Igualmente, (λ− ˜ λ) com
˜λ = λi não é fator de p A| Ni c (λ). De fato, se ˜ λ fosse autovalor de A| , com 0 = x ∈ Ni
Ni
e Ax = ˜ λx, teríamos (A − λiI) k x = ( ˜ λ − λi) kx = 0 ∀k ∈ N, o que é absurdo pois
(A − λiI)| Ni é nilpotente. Assim, p A| N i
c (λ) = (λ − λi) mi .
Lema 8 Nj ⊂ Ri ∀i = j.
Demonstração Sabemos que Nj é invariante por A − λjI e portanto também invariante
por A − λiI, isto é, (A − λiI)Nj ⊂ Nj.
Mas N((A − λiI)|Nj ) é trivial. De fato, se x = 0 e (A − λiI)x = 0, então Ax = λix
e (A − λjI) k x = (λi − λj) k x = 0 ∀k ≥ 0, de forma que x /∈ Nj. Portanto (A − λiI)|Nj
é invertível e, pelo Lema 4, Nj ⊂ Ri.
Teorema 9 (da Decomposição Primária) Seja V espaço vetorial de dimensão finita
sobre um corpo algebricamente fechado e A : V → V transformação linear. Sejam
λ1, λ2, . . . , λp seus distintos auto-valores com multiplicidades algébricas m1, m2, . . . , mp,
respectivamente.
Então existem únicos N1, N2, . . . , Np tais que A = A| N1 ⊕ A| N2 ⊕ · · · ⊕ A| , onde
Np
(A − λjI)| Nj é nilpotente. Nj = N (A − λjI) é o autoespaço generalizado associado a
λj.
Demonstração
Já sabemos que os Nj’s são invariantes por A e que p j=1 dim(Nj) = dim(V ).
Assim, basta mostrar que
p
vj = 0 com vj ∈ Nj, j = 1, 2, . . . , p ⇒ vj = 0, j = 1, 2, . . . , p.
j=1
Para mostrar que vp é zero, multiplicamos à esquerda por (A−λ1I) q1 · · · (A−λp−1I) qp−1 ,
onde os qi’s são os graus de nilpotência dos A|Ni ’s:
p
j=1
(A − λ1I) q1 · · · (A − λp−1I) qp−1 vj = 0.
Para j = 1, . . . , p − 1, a parcela vale zero. Para ver isto, note que os fatores comutam
e portanto podemos começar efetuando (A − λjI) qj vj que é zero pois vj ∈ Nj. Assim,
concluímos que (A − λ1I) q1 · · · (A − λp−1I) qp−1 vp = 0. Mas vp ∈ Np e Np é invariante
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por A − λjI. Ademais, Np ⊂ Rj para j = 1, . . . , p e (A − λjI)|Rj é invertível, de forma
que vp = 0 ⇔ (A − λp−1I) qp−1 vp = 0 ⇔ · · · ⇔ (A − λ1I) q1 · · · (A − λp−1I) qp−1 vp = 0.
Concluímos assim que vp = 0. Argumento análogo vale para v1, . . . , vp−1.
Se Mi é invariante por A e A|Mi é nilpotente, então Mi ⊂ Ni. A unicidade segue
por um argumento de dimensão.
Teorema 10 (de Cayley Hamilton) Seja A transformação linear em um espaço vetorial
V de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado. Então p A c (A) = 0.
O mesmo resultado vale para espaços vetoriais sobre os reais.
Demonstração Nj tem dimensão mj e (A|Nj − λjI) é nilpotente (de forma que, pelo
Corolário 3, o índice de nilpotência qj é menor ou igual a mj). Assim (A|Nj −λjI) mj = 0,
o que implica p A c (A|Nj ) = p
i=1 (A|Nj − λiI) mi = 0. Mas A = A|N1 ⊕ A| N2 ⊕ · · · ⊕ A| Np
e portanto
p A c (A) = p A c
A
A|N1 ⊕ pc A
A|N2 ⊕ · · · ⊕ pc
A| Np
= 0.
Observe que utilizou-se o Teorema da Decomposição Primária, que supunha V
definido sobre um corpo algebricamente fechado. Se V é definido sobre os reais, aplicase
o teorema em A + definida em V + e tem-se pA+ c (A + ) = pA c (A) = 0.
Definição 11 Define-se polinômio mínimo de A
p A p
m(λ) = (λ − λi) qi .
i=1
Lema 12 O polinômio mínimo de A anula A e todo polinômio que anula A é múltiplo
de p A m.
Demonstração Que o polinômio mínimo anula A segue da demonstração do Teorema
10. Se p anula A, onde p(λ) = r i=1 (λ − µi) ni
, então, para j = 1, . . . , p, temos
r
i=1 (A|Nj − µi) ni = 0. Mas já vimos que para µi = λj, A|Nj − µi é invertível e que
(A|Nj − λj) ni = 0 se e somente se ni ≥ mj. Aqui, de novo, utilizou-se o fato de que o
corpo de escalares é algebricamente fechado. Mas, como no teorema anterior, pode-se
complexificar o caso real e concluir que o resultado vale também nste caso.
Já sabemos que a matriz de uma transformação linear na base formada pela união
das bases de seus autoespaços generalizados é da forma
⎡
⎤
λ1Im1 0 · · · 0
⎢ 0 λ2Im2 · · · 0 ⎥
⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
0 0 · · · λpImp
+
⎡
M1 0
⎢ 0 M2
⎢
⎣ . .
· · ·
· · ·
. ..
0
0
.
⎤
⎥
⎦
0 0 · · · Mp
onde Mj é a matriz da transformação nilpotente A1| . É evidente que estas duas
N1
matrizes comutam. Observe que isto já é suficiente, por exemplo, para o cálculo de eA .
É evidente que a matriz de uma transformação nilpotente não-nula não é diagonalizável.
Gostaríamos, no entanto, de definir uma base canônica para esta trans-
formação, na qual a matriz da transformação tivesse uma forma “simples” e significativa.
É disto que trataremos agora, da forma canônica de Jordan.
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