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Falar sobre a homogeneidade translacional, B = A + λAB, e a homogeneidade em escala, L =
λ D Lu.

Capítulo VI
A TEORIA DINÂMICA DO CRESCIMENTO FRACTAL
DE UMA ESTRUTURA
SUMÁRIO
RESUMO ...................................................................................................................................4
6. 1 - Introdução .........................................................................................................................5
6. 2 - O Modelo fractal de estruturas..........................................................................................5
6. 3 - Crescimento e Fragmentação Fractal ................................................................................8
6. 4 - Padrões de crescimento na natureza: da ordem ao caos....................................................9
6. 4.1 - Estruturas geométricas de crescimento fractal presentes na natureza............11
6. 4.2 - A origem fenomenológica dos fractais na natureza .......................................11
6. 4.3 - A teoria do crescimento fractal ......................................................................14
6. 5 – Proposição de um novo Método de Escalonamento Dinâmico de Fractais Laplacianos
Ramificados baseado no método de Contagem “Sand-Box”. ..................................................17
6. 6 – Escalonamento Dinâmico Longitudinal e Radial: Uma aplicação a dinâmica de
propagação de trincas ...............................................................................................................24
6. 7 - A Dissipação da Energia em um Fractal .........................................................................24
6. 7.1 - A Função Dissipação......................................................................................25
6. 7.2 - A Produção de Entropia .................................................................................25
6. 7.3 - O Fluxo de Entropia .......................................................................................25
6. 7.4 - A Potência Dissipada .....................................................................................25
2

6. 8 - Um novo princípio físico de dissipação de energia por detrás das estruturas fractais
encontradas na natureza............................................................................................................25
6. 9 - O Modelamento multifractal de crescimento..................................................................29
6. 10 – Discussões ....................................................................................................................30
6. 11 - Conclusões ....................................................................................................................31
6. 12 - Referências bibliográficas.............................................................................................31
3

Capítulo VI
A TEORIA DINÂMICA DO CRESCIMENTO FRACTAL
DE UMA ESTRUTURA
Quem abriu canais para o aguaceiro, e um caminho para o relâmpago do trovão (Jó 38,25);
RESUMO
O número de elementos de estruturas N de fractais laplacianos, como as trincas,
que crescem com o tempo, foi escalonado dinamicamente usando-se o método Sand-Box.
Este método, permite calcular a dimensão fractal de uma estrutura qualquer, imersa numa
dimensão euclidiana superior (d =1,2,3). O cálculo é feito, contando-se o número de
estruturas N(R) auto-similares contidas em “caixas” de raio R variável, centradas na origem
“O” de um sistema de coordenadas. A partir deste método, foi possível elaborar um método
geral de escalonamento, que permite inferir o resultado dinâmico N(R,t) a partir do estático
N(R), desde que se conheça a expressão da velocidade de propagação, V(R,t), de fractais
laplacianos como as trincas, que possuem um raio de giração R(V,t) e crescem com o tempo,
com uma velocidade V em torno de uma origem central fixada “O”. O método de cálculo
proposto neste trabalho foi utilizada em trincas ramificadas,onde foi posível descrever a
formação destas estruturas em termos da Função Dissipação da Termodinâmica dos Processos
Ireversíveis.
4

6. 1- Introdução
Os conceitos básicos da teoria fractal desenvolvidos por MANDELBROT [1982] e
outros cientistas, tem sido utilizados na descrição de estruturas irregulares, como superfícies
de fratura e trincas [HERRMANN 1989], com o intuito de se relacionar a descrição
geométrica destes objetos com as propriedades dos materiais [DE ARCANGELIS 1989].
A teoria fractal do ponto de vista da física diz respeito ao estudo de estruturas
irregulares que apresentam a propriedade de auto-similaridade ou auto-afinidade (propriedade
em que as partes são similares ao todo, em escalas sucessivas de ampliação ou redução,
Mandelbrot [1972]). A natureza intrigante destas propriedades existentes em estruturas, que se
estendem desde o microcosmo [Fractal em Marte] até o macrososmo, é motivo de muitas
investigações na física [HERRMANN 1986, TSALLIS 1997 e outros]. Sendo assim, a teoria
fractal possui diversos contextos, tanto na física como na matemática, tais como: na teoria do
caos [McCAULEY 1993], no estudo das transições de fase e fenômenos críticos [Livros de
Mec. Estatística de Eugene Stanley; BECK 1993], no estudo de aglomeração de partículas
[MEAKIN 1995], etc. O contexto que está mais diretamente relacionado à Mecânica da
Fratura, por causa da natureza física do processo, é a que diz respeito ao crescimento fractal
[VICSÉK 1991; SANDER 1984; MEAKIN 1993 e PIETRONERO 1988]. Nesta sub-área são
estudados os mecanismos de crescimento de estruturas que surgem em processos de
instabilidade e dissipação de energia, tais como as trincas [HERRMANN & ROUX 1990;
CHARMET 1990] e padrões ramificados [MEAKIN 1989]. Neste sentido e que procuraremos
abordar o problema da propagação das trincas.
A teoria fractal torna-se cada vez mais presente na descrição de fenômenos que
possuem uma desordem mensurável, chamado de caos determinístico [McCAULEY 1993;
HERRMANN & ROUX 1990; CHARMET 1990]. O fenômeno da fratura e propagação de
trincas, embora sendo estatístico, mostra que algumas regras ou leis são obedecidas, e a cada dia
tornam-se mais claras através do entendimento das propriedades dos fractais [HERRMANN &
ROUX 1990; CHARMET 1990].
6. 2 - O Modelo fractal de estruturas
Em primeiro lugar, devemos começar com a definição de função homogênea dada
por Euler, que constitue a base de todo o escalonamento fractal. De acordo com o teorema de
5

Euler para funções homogêneas de grau n qualquer, uma transformação de escala, εk (εmin ≤ εk ≤ ε
max), numa função F(c) deste tipo resulta em:
F(εkc) = εk -n F(c) (0 ≤ εk ≤ 1),
6
(6. 1)
Este resultado significa, que o valor de uma função numa escala, F(c), está
relacionado com o valor desta mesma função numa outra escala, F(εkc) por uma relação entre as
escalas εk, elevada a uma potência n que corresponde ao grau de homogeneidade da função. Um
fractal é um objeto que segue a um tipo de escalonamento fracionário (Figura - 6. 1), ou seja, o
grau de homegeneidade n da função descrita em (6. 1) não é inteiro, e apresenta a propriedade da
autosimilaridade.
Figura - 6. 1. Fractais ramificados, mostrando um elemento de estrutura a) Fractal Matemático
auto-similar b) Fractal Físico estatisticamente auto-similar.
As propriedades básicas dos fractais são: a sua dimensão não-inteira e a auto-
similaridade, isto é, o fato de suas partes se assemelharem ao todo em diferentes escalas. Esta
última propriedade, se torna mais evidente quando se faz uma transformação de escala
homogênea de uma parte qualquer de sua estrutura, em escalas sucessivas.
Existem dois tipos básicos de fractais: os fractais matemáticos, cujas relações de auto-
similaridade são exatas e não tem limites de escala superior ou inferior pois são gerados por regras

de interações infinitas (Figura - 6. 1b) e fractais físicos, cujas relações de auto-similaridade são
obedecidas na média estatística feita ao longo de todo o fractal, desde uma escala inferior εmin até
uma outra escala superior εmax (auto-similaridade), conforme mostra a Figura - 6. 1. Supondo-se
que os fractais encontrados na natureza, ao se formarem, seguem regras ou leis do tipo citada
acima, vemos que os intrigantes fatos concernentes a sua estrutura, apesar de serem curiosos do
ponto de vista matemático, parecem esconder algum tipo de princípio de dissipação de energia
[ALVES 1998b, HERRMANN 1986]. Nestes fractais físicos ou naturais o escalonamento da
extensão da estrutura é feito por meio de uma função homogênea da seguinte forma:
F(δ) ~ δ d -D , (6. 2)
onde d é a dimensão euclideana de projeção do fractal e D é a dimensão fractal da estrutura
auto-similar.
Por outro lado, existem fractais com diferentes dimensões ao longo de suas
direções ortogonais, que são chamados de fractais auto-afins. Fractais auto-afins são aqueles
que aparecem imersos numa dimensão euclidiana superior ( I = d + 1) e possuem projeção
sobre uma dimensão euclidiana inferior (d), de tal forma que no limite de escalas muito
grandes a dimensão deste é a dimensão euclidiana E. Por exemplo, uma trinca vista de uma
escala muito distante pode ser considerada como uma reta, cuja dimensão é d = 1 e
superfícies de fratura, neste limite, são planos de dimensão d = 2. Neste fractais o
escalonamento da extensão da estrutura é feito por meio de uma função homogênea da seguinte
forma:
F(δ) ~ δ I - Dx , (6. 3)
onde I é a dimensão euclideana de imersão do fractal e Dx é a dimensão fractal da estrutura
auto-afim ao longo da direção x. O expoente da função acima é dado por H = I - Dx onde H é o
expoente Hurst da rugosidade da estrutura. Um exemplo de um fractal auto-afim está mostrado
mais oportunamente na Figura – 3.5, quando será modelado o perfil de uma trinca.
Definindo-se o “elemento padrão da estrutura” ou “semente” de um fractal, como
sendo o elemento básico de formação do mesmo, que é auto-similar ou auto-afim a outro, em
escalas sucessivas, o número de estruturas formadas numa determinada escala pode ser descrito
de acordo com SANDER [1984] como sendo:
onde:
Nr(ε) = ε -Dr , (6. 4)
7

ε: é o fator de transformação de escala usado
Nr: é o número de elementos de estrutura na escala ε na direção r.
Dr: é a dimensão fractal da estrutura na direção r. Para fractais auto-similares Dr = D e para
fractais auto-afins Dr = Dx.
A grandeza ε é o fator de transformação de escala dado pela razão entre os tamanhos
r e R do elemento de estrutra em duas escalas diferentes ou sucessivas:
ε = r/R, (6. 5)
Para um mono-fractal o fator de escala ε é uma constante entre dois niveis
consecutivos de escalonamento. Contudo uma generalização pode ser feita a partir da relação (6.
4) para o caso onde a dimensão fractal depende da escala como é o caso de multifractais.
Normalmente os fractais encontrados na natureza são multifractais, que correspondem àqueles
que possuem uma dimensão que varia continuamente. Para estes fractais, as relações, (6. 1), (6. 2)
e (6. 3) são aproximações matemáticas que podem ser usadas para descreve-los em termos de
uma medida média.
Conforme será descrito neste trabalho, considerando-se as trincas como sendo um
fractal físico homogêneo estatisticamente auto-afim e as rupturas ramificadas, como sendo
estatisticamente auto-similar, pode-se, partindo-se das expressões (6. 2) e (6. 3), com algumas
modificações matemáticas, interpretar os fenômenos de propagação das trincas, tão importante em
materiais, chegar a resultados utéis na descrição deste fenômeno. Será possível entender, de forma
clara, desde o processo de fratura até o de fragmentação, sob uma visão da variação contínua dos
graus de energia fornecido ao material, modificando apenas o número de trincas formadas,
ramificadas e sobrepostas, conforme será mostrado mais adiante.
6. 3 - Crescimento e Fragmentação Fractal
8

6. 4 - Padrões de crescimento na natureza: da ordem ao caos.
A descrição de objetos e figuras regulares está baseada em conceitos
geométricos tais como: simetrias, invariâncias etc, tendo como suporte a geometria
euclidiana. O conceito de simetria é intuitivamente introduzido nos postulados de Euclides, na
descrição destas figuras. Além do que, a idéia grega de perfeição e ordem, baseado nas
simetrias das formas regulares, está intuitivamente embutida no seu pensamento. Porém, isto
parece não ser o comportamento geral das formas encontradas na natureza. Embora se
preserve a idéia de simetria, a maioria das construções geométricas realizadas pela natureza,
são irregulares e as formas regulares fazem parte da exceção e não da regra.
A natureza possui uma forma própria de construir objetos geométricos. Pois,
assim como o homem é capaz de construir artificialmente, objetos, através de desenhos,
moldagens, esculturas, etc, com padrões geométricos regulares e definidos, a natureza
também possui seus próprios mecanismos de construção de objetos e padrões, os quais é
encontrado nas formações rochosas, nas árvores, nos relâmpagos, etc. Ela o faz, através do
desencadeamento de fenômenos e processos físicos, químicos, biológicos, etc, que seguem
leis bem definidas, cuja manipulação humana, pode ou não estar presente.
Neste trabalho, procura-se descrever a forma pela qual a natureza constrói seus
padrões usando a fenomenologia da descrição fractal, para explicar a construção de objetos
9

tais como trincas e outras estruturas ramificadas. Para o caso de padrões e formas construídas
pelo desencadeamento de processos naturais, seguramente o fenômeno físico ou químico que
gerou tal objeto, como uma superfície de fratura por exemplo, está estreitamente relacionado
as propriedades físicas do meio e estas por sua vez, tem implicações nas suas propriedades
geométricas dos padrões e formas. Pensando nisso, pode-se tirar proveito da descrição
geométrica e extrair informações do fenômeno que gerou tais padrões, além de um
entendimento maior das suas propriedades físicas do meio.
Ao longo dos anos, o homem tem aprendido a descrever as formas regulares
através de teoremas matemáticos, os quais são úteis na descrição das propriedades físicas dos
objetos encontrados na natureza, como os cristais por exemplo. Porém, sabe-se que a
natureza, não mantém válida a regra de construção de figuras regulares em todos os níveis de
escala, e para isso, tem surgido uma nova forma de descrever padrões irregulares com o
intuito de deduzir as suas propriedades físicas do meio e entender os processos que geram tais
objetos, a partir de suas propriedades geométricas.
Durante os séculos XVIII e XIX os cientistas procuraram entender vários
fenômenos tomando como base a visão euclidiana da natureza através das leis de Newton da
mecânica na qual ela está baseada,. Eles conseguiram estabelecer por meio da própria
mecânica, da termodinâmica e da mecânica estatística as condições válidas para que os
sistemas atinjam a ordem e o equilíbrio. Até então, fenômenos que apresentavam uma certa
desordem, ou eram aproximados por sistemas próximo ao equilíbrio (processos reversíveis),
ou eram tratados do ponto de vista puramente estatístico. Pode-se dizer que estes dois séculos,
foram os séculos dos sistemas ordenados. Porém no fim deste século XX, vários cientistas
tem se preocupado com a descrição matemática dos sistemas desordenados, como por
exemplo, padrões de crescimento ramificados que acontecem longe do equilíbrio
termodinâmico além de outros. Situações de ordem como o arranjo cristalográfico dos átomos
foram bem explicados, porém situações de total desordem como o estado vítreo parecem
ainda esconder muitas informações das quais não podem ser tratadas pela leis clássicas da
física do ponto de vista da geometria euclidiana. A base fenomenológica para esta descrição
dos processos de crescimento dos padrões geométricos irregulares normalmente encontrados
na natureza, é o estudo da dinâmica não-linear e a teoria do caos.
10

6. 4.1 - Estruturas geométricas de crescimento fractal presentes na natureza
A geometria fractal aparece presente em todo o universo desde o micro até a
macrocosmo como mostra a Figura - 6. 2 de um fractal encontrado em marte.
Figura - 6. 2. Fractal ramificado encontrado em marte.
6. 4.2 - A origem fenomenológica dos fractais na natureza
Antes de tudo, é preciso distinguir a forma dos objetos em sí, do processo físico
em questão na formação de um determinado padrão. Por exemplo, do ponto de vista
geométrico, figuras regulares são obtidas quando uma série de simetrias e relações de
congruências são mantidas na construção da figura. Do ponto de vista físico, a regularidade
ou a ordem está associado a vínculos externos que são impostos ao sistema, associados a
situações de trabalho termodinâmico onde a energia é minimizada. Estas simetrias e relações
de congruências podem estar matematicamente embutidas na descrição destes vínculos
externos, de forma que o único caminho resultante para o sistema naquelas condições seja a
regularidade e a ordem, descritos pela leis da física.
Por outro lado, figuras e padrões irregulares podem ser obtidos quando uma série
de simetrias e relações de congruências são quebradas, na construção de uma figura. E, do
ponto de vista físico, situações irregulares aparecem quando não se impõe necessariamente
vínculos externos aos fenômenos físicos em questão e/ou quando as situações consideradas
são regidas por processos irreversíveis.
11

Os fractais na natureza se originam em condições de instabilidades em um
processo de crescimento (captação ou dissipação extrema de energia), dando origem a
estruturas ramificadas, como um mecanismo dinâmico de minimização do transporte e
maximização da energia captada ou dissipada afim de dimensionar o processo dentro de um
volume limitado. Como exemplo de fenômenos deste tipo tem-se os relâmpagos, a
propagação de trincas em materiais, o crescimento das plantas e a geometria dos pulmões, etc.
Para o caso tridimensional, onde um objeto fractal de volume limitado está
imerso, este procura maximizar a sua área superficial; e no caso bidimensional onde um
fractal de área limitada está imerso, este procura maximizar o seu perímetro, portanto
3D:V: limitado ↔ A → ∞
2D:A: limitado ↔ P → ∞
Nos processos físicos de crescimento a dimensão fractal está diretamente
relacionada aos expoentes críticos das funções que determinam o estado termodinâmico do
objeto fractal, tais como: energia, temperatura, volume, calor específico.
Numa solidificação [ALVES 1995] por exemplo, as condições de equilíbrio,
nunca dão origem ao crescimento de uma nova fase, pois uma fase só passa a crescer em
condições ligeiramente fora do equilíbrio. Considerando a conservação da massa, uma fase só
cresce em detrimento da outra, e nestes casos, estados ligeiramente fora do equilíbrio podem
ser aproximados por relações lineares de causa e efeito, cujo potencial é do tipo quadrático
(parabólico), o que implica num equilíbrio estável e conseqüentemente num processo
reversível, pois neste limite as forças são do tipo conservativas. Situações extremas, como no
caso em que o empacotamentos dos átomos acontece longe do equilíbrio termodinâmico, a
variação da entropia se dá, de forma que as instabilidades interfaciais, se repetem em escalas
cada vez menores, como por exemplo no crescimento dendrítico, onde as leis que regem este
fenômeno se mantém invariantes em escalas, e podem ser descritas pela propriedade de auto-
similaridade da geometria fractal, cuja condições de homogeneidade são escalonáveis por
uma lei de potência do tipo:
F(ε) = ε -D (6. 6)
onde F(ε) é alguma propriedade geométrica do sistema que dependa da escala e ε é um fator
de transformação de escala.
12

Considerando-se a transição da ordem ao caos absoluto, nos fenômenos físicos,
existem certos estágios desta transição que se dão de forma escalonáveis, ou seja,
determinadas características são preservadas independentemente da escala de observação.
Portanto, a implicação direta da teoria dinâmica não-linear envolvendo padrões de
crescimento, sobre a interpretação dos fenômenos físicos, diz respeito a idéia de que, a
natureza através de regras de escalonamento, possui leis físicas que são invariantes por
transformação de escala, ou seja, existem leis que são universais desde o macro até o
microcosmo, como por exemplo, as leis que descrevem a aglomeração de partículas.
Do ponto de vista fenomenológico, o calor liberado ou o desprendimento da
energia para a formação de uma fase sólida, num processo de solidificação, se iniciará na
maior escala quando a condição de estabilidade de uma interface plana (condição de
equilíbrio) é ameaçada pela retirada rápida do calor através de um choque térmico (ou por um
resfriamento rápido) e se extinguirá na menor escala, quando todo o fluxo de calor se esgotar,
não ameaçando mais as condições de solidificação da menor ramificação da dendrita. Desta
forma, observa-se que os padrões ramificados, podem ser explicados pela necessidade que o
corpo tem de aliviar as tensões (térmicas ou mecânicas) a ele imposta, ou liberar a energia
armazenada, em situações de instabilidade da forma mais eficiente possível. Desta forma, a
caracterização de estruturas irregulares, fornece a vantagem se fazer previsões com
fenômenos que aparentemente não apresentam nenhuma ordem mensurável, o que hoje em
dia é chamado de caos determinístico. Pois como se sabe, entre a perfeita ordem e o caos
absoluto, existem estados de desordem, que ainda poder ser descritos por teorias analíticas,
como a sugerida pela teoria dinâmica que envolve o caos e a geometria fractal. Esta
importante área da física surgida nas últimas décadas, tem encontrado larga aplicação em
fenômenos estatísticos como as propagação de trincas e a geração de superfícies de fratura,
além de outros.
Conclui-se portanto, que a descrição de objetos regulares encontrados na natureza,
seguem idéias intuitivas de ordem e simetrias que nem sempre permanecem na descrição dos
padrões irregulares. A mecânica newtoniana por exemplo, foi construída basicamente sobre os
princípios de ordem e simetria, análogos a aqueles encontrados na geometria euclidiana.
Assim, é preciso revisar os conceitos clássicos com base na nova visão da geometria fractal
para se abranger novos fenômenos que até então eram delegados a uma descrição puramente
estatística, como é o caso da geometria descrita por uma fratura.
13

6. 4.3 - A teoria do crescimento fractal
O intrigante aspecto geométrico que um fractal apresenta, é motivo de muitas
especulações científicas. Dentro do contexto deste trabalho, é útil explicar a dinâmica de
crescimento de um fractal utilizando o equacionamento da instabilidade de uma estrutura
básica, como uma falha por exemplo geradora da auto-afinidade (irregularidades
morfológicas).
processo estável processo instável
Figura - 6. 3. Crescimento de uma superfície qualquer que posui um tempo de relaxação é τ,
mostrando os casos de a) processos estável para ∆t >> τ e b) instável para ∆t

igualmente prováveis [WILLIAMS 1987, 1991]. Neste trabalho será mostrado
matematicamente que estas duas condições são equivalentes e originárias de uma única
condição de retardo no processo de resposta do sistema e de uma busca pela maximização da
entropia, através de um princípio de máxima dissipação de energia (PMDE) por escala.
Figura - 6. 4. Crescimento dendrítico instável.
Figura - 6. 5. Crescimento dendrítico instável no estágio k =2.
Por questões de simplicidade matemática, será considerado um meio físico cuja
interface possui uma estrutura básica (Figura - 6. 3) análoga ao iniciador fractal do exemplo
mostrado na secção anterior (). Supondo que a interface mostrada na Figura - 6. 4, sofre uma
pequena flutuação, ∆Uk, na energia contida entre o sistema sob consideração e o meio
externo. Ao sofrer esta perturbação energética, ocorre o aparecimento de uma pequena
protuberância no contorno da interface do sistema, como resultado da diminuição da sua
energia livre resultante entre a interface e o volume. A diferença energética entre o meio e o
sistema faz com que este sistema libere uma nova quantidade de energia sob a forma de fluxo,
∆Uk+1 = φk+1∆t. Considerando que o sistema estava inicialmente em equilíbrio instável,
novamente ao sofrer esta perturbação, pequenas protuberâncias tornam a surgir ao longo de
15

todo o contorno da interface. Isto acontecerá à medida que condições idênticas a anterior são
reproduzidas, isto é, a de interface plana [SANDER 1984; CHALMERS 1964], conforme
mostra a Figura - 6. 5.
Quando o sistema passa novamente pela condição inicial de equilíbrio instável,
novas protuberâncias vão surgindo e mais energia flui para fora do sistema, e assim
sucessivamente. Até que toda a energia inicialmente contida no sistema se esgote.
Construindo um diagrama deste processo de cascata, a variação da energia livre em função do
comprimento da interface pode ser representada de acordo com a Figura - 6. 6.
Figura - 6. 6. Variação da energia livre em função do comprimento rugoso do perfil da superfície
O comprimento da interface é dada por:
Lk = Lo+ Σ ∆Lk
16
(6. 7)
como este comprimento está relacionado com a energia gasta para formar as superfície tem-
se:
Uk = Uo+ Σ ∆Uk
(6. 8)
Nas secções 6. 4.2 - A origem fenomenológica dos fractais na natureza e 6. 4.3 -
A teoria do crescimento fractal, acima viu-se como o crescimento de uma superfície, no caso

fractal, acontece na natureza como resultado de uma instabilidade estrutural. Nesta primeira
parte será mostrado a relação existente entre a instabilidade e irregularidade do padrão de
dissipação (superfície de fratura). Na segunda parte será equacionado o problema para o caso
de uma fratura, no qual será mostrado os resultados matemáticos válidos para descrição do
fenômeno.
6. 5 – Proposição de um novo Método de Escalonamento Dinâmico
de Fractais Laplacianos Ramificados baseado no método de
Contagem “Sand-Box”.
Na natureza ocorre diversos fenômenos cujo resultado é a formação de padrões
ramificados, em processos que acontecem longe do equilíbrio termodinâmico [Livros de
Termodinâmica Fractal]. Estes padrões podem ser: trincas, rupturas dielétricas ou relâmpagos,
crescimento dendrítico em processos de solidificação, formação de agregados em procesos de
gelificação, etc. Atualmente existe grande interesse científico em descrever o surgimento
destas estruturas. A descrição matemática destes padrões pode ser feita em termos da
geometria fractal. Esta classe específica de padrões ramificados é chamada de fractais
laplacianos, devido a natureza da sua formação. Alguns destes padrões são formados em
processos de crescimento baseados na agregação limitado por difusão (DLA). De um forma
geral, como existe uma estreita relação, entre a fenomenologia e a estrutura formada,
decorrente da sua geometria fractal, o entendimento dos processos de formação destas
estruturas devem ser provenientes da sua análise matemática. Portanto, a sua descrição
matemática deve transcender a simples caracterização geométrica, com a finalidade de
relacionar o padrão formado com o processo de dissipação de energia que o gerou. Desta
forma, é possível, utilizar a geometria fractal com a finalidade de se entender processos cada
vez mais complexos.
Neste trabalho, estamos interessados em relacionar a geometria fractal com o
processo dinâmico de crescimento, pois é nesta situação que os padrões se formam e as
ramificações surgem. O escalonamento dinâmico [FAMILY 1991; BARABÁSI 1995]
corresponde a descrição temporal do crescimento das estruturas ou padrões fractais. Uma vez
que a dimensão fractal calculada pelos métodos conhecidos levam em conta o fractal estático
já formado, o escalonamento dinâmico porém, procura relacionar a descrição fractal durante
seu tempo de formação. Para isso as escalas de medição são dinâmicas e a dimensão fractal
17

pode ou não depender do tempo transcorrido na formação da estrutura. Para isso nós usamos o
método Sand-Box [BUNDE 1994; VICSÉK 1991] como base para representar o
escalonamento dinâmico de estruturas fractais ramificadas como a mostrada na Figura - 6. 1 e
Figura - 6. 7.
O método Sand-Box, permite calcular a dimensão de uma estrutura fractal imersa
em qualquer dimensão euclidiana (d = 1,2,3,..etc). O cálculo é feito, contando-se o número de
estruturas N(R) autosimilares contidas em “caixas” de raio R variável, centradas na origem
“O” de um sistema de coordenadas. A partir deste método, foi possível elaborar uma técnica
de escalonamento dinâmico de fractais laplacianos, que possuem um raio de giração R(V,t)
que cresce com o tempo, com uma velocidade V em torno de uma origem central fixada “O”.
Fractais laplacianos foram observados em impactos ramificados, onde a técnica proposta
neste trabalho foi utilizada. Com este escalonamento dinâmico, foi possível descrever a
formação de estruturas fractais em termos da Função Dissipação da Termodinâmica dos
Processos Ireversíveis. Este cálculo pode ser usado na descrição matematica de quaisquer
processos de crescimento de estruturas fractais, como a fragmentação, por exemplo. Pode-se
através do escalonamento dinâmico estimar o numero de partículas que participam do
processo, a taxa de crescimento da estrutura em função do raio de alcalce e do tempo, e a
energia gasta na formação da estrutura.
Considerando o processo de crescimento, para um fractal laplaciano ramificado
[Artigos sobre o assunto], que cresce a partir de uma semente de tamanho l centrada numa
origem O fixa, podemos tratar o escalonamento dinâmico supondo que a medida que o fractal
cresce em torno de O, a sua fronteira de raio R aumenta com o tempo, com velocidade V dada
pela variação de R neste tempo, logo
V = dR/dt, (6. 9)
Se nós considerarmos que o escalonamento dinâmico acontece continuamente
dentro da fronteira de raio R acompanhando a evolução temporal do fractal, poderemos usar
esta grandeza R como sendo representativa para o fator de transformação de escala ε, o qual é
dada pela razão entre os tamanhos r e R dos “elementos da estrutura” em duas escalas de
tempo diferentes, de forma análoga ao escalonamento estático dado pela relação (3.3) (Figura
- 6. 7).
18

Figura - 6. 7. Escalonamento dinâmico proposto baseado no método Sand-Box.
O escalonamento dinâmico de um fractal físico só terá validade dentro do
intervalo de escalonamento εmin ≤ ε ≤ εmax. Logo, o número de estruturas autosimilares, dentro
de um raio R, que foram acrescentadas para formar uma outra estrutura autosimilar, durante
um tempo dt, onde R variou de R para R + dR, é dado por: dN = (dN/dR)dR.
Como o método Sand-Box de contagem de estruturas, diferentemente dos outros
métodos, necessita de uma origem fixa, a partir da qual as caixas de tamanho R variável são
escalonadas (não importa a geometria das mesmas pois as caixas podem ser esféricas). Nós
podemos, portanto, fixar este centro da caixa na origem central do fractal, ou em qualquer
outra origem autosimilar a esta e fazer escalonamento das caixas de acordo com a fronteira do
fractal em crescimento, conforme mostra a Figura - 6. 7. Desta forma, nós estaremos
acompanhando o escalonamento do fractal de forma dinâmica, onde a taxa de crescimento
dN/dt da estrutura, dentro de um determinado nível k(t) de crescimento, pode ser expressa
como:
dN(t)/dt = -D(N/ε)dε/dt, (6. 10)
a derivada da grandeza ε(t) em relação ao tempo, tem sua interpretação em termos da taxa de
formação dos elementos de estrutura nas escalas correspondentes, desde a escala superior εmax
até a escala inferior εmin. Observe que, como ε é inversamente proporcional a taxa de
formação do fractal dN/dt, a medida que este último aumenta, a escala ε tende a ser cada vez
menor, até que o menor elemento de estrutura possível seja formado na escala inferior εmin, e
vice-versa. A propriedade de autosimilaridade, típica de estruturas fractais aparece, porque em
cada nível de escalonamento a fenomenologia do processo se repete, por meio de um efeito de
19

“memória” e retro-alimentação que se mantém, até que toda a energia disponível seja gasta e
a estrutura seja totalmente formada .
Desta forma, podemos substituir a expressão (3.4) em (3.6) e obter a descrição
direta do processo de formação dos fractais em termos do tamanho dos elementos da
estrutura. Logo a grandeza dε/dt pode ser interpretada como a taxa de crescimento do fractal
numa determinada escala ε, que de acordo com (3.4) pode ser escrita como:
Sander.
sendo:
(1/ε)dε/dt = (1/r)dr/dt - (1/R)dR/dt, (6. 11)
Figura - 6. 8. Condição física de instabilidade para o crescimento de uma estrutura fractal segundo
De acordo com Figura - 6. 8, SANDER [1984] define uma grandeza β como
β = (1/r)dr/dt / (1/R)dR/dt -1, (6. 12)
Onde ele classifica os regimes de crescimento das estruturas como sendo:
> 0 crescimento fractal incipiente
β = 0 crescimento com invariancia de escala
< 0 crescimento não-fractal.
A grandeza dr/dt pode ser entendida como sendo a velocidade de formação do
elemento de estrutura que no caso pode ser um pequeno trecho microscópico do fractal, e a
20

grandeza dR/dt pode ser entendida como sendo a velocidade macroscópica de crescimento do
fractal. O parâmetro β está relacionado com índice multifractal q pela relação β = q -1.
6. 6 -Escalonamento dinâmico
O escalonamento dinâmico é feito, quanto o tempo de crescimento ou
fragmentação do objeto fractal é levado em consideração. Neste caso, o parâmetro de controle
das dimensões do objeto é o tempo. Com este tipo de escalonamento deseja-se descrever o
processo de crescimento da estrutura fractal em função do tempo, a fim de relacioná-las com
as grandezas físicas conhecidas tais como: energia, potência, número de partículas, numa
possível termodinâmica de não-equilíbrio.
O escalonamento dinâmico, corresponde a descrição temporal do crescimento das
estruturas ou padrões fractais, ou seja, uma vez que a dimensão fractal calculada pelos
métodos conhecidos levam em conta o fractal estático já formado, o escalonamento dinâmico,
procura relacionar a descrição fractal durante o tempo de formação do mesmo. Para isso, as
escalas de medição são dinâmicas e a dimensão fractal, pode ou não depender do tempo
transcorrido na formação da estrutura fractal.
Considerando-se o processo de crescimento, para um fractal laplaciano
ramificado, que cresce a partir de uma semente de tamanho l centrada numa origem O fixa,
poder-se-á tratar o escalonamento dinâmico da seguinte forma:
Considerando-se que a medida que o fractal cresce em torno de O, a sua fronteira
de raio R aumenta com o tempo, com uma velocidade V dada pela variação de R no tempo,
logo
V(R,t) = dR/dt (5. 1)
Se for considerado que o escalonamento dinâmico acontece continuamente dentro
da fronteira de raio R. poder-se-á usar a grandeza R como sendo representativa para o fator de
transformação de escla ε, a qual é dada pela razão entre os tamanhos r e R do elemento de
estrutra em duas escalas diferentes:
ε = r/R (5. 2)
O escalonamento dinâmico de um fractal físico, só terá validade dentro do
intervalo de escalonamento citado anteriormente. Logo, o número de estruturas auto-similares
21

dentro de um raio R que foram acrescentadas para formar uma outra estrutura auto-similar
durante um tempo dt, onde R variou de R para R + dR, é dado por:
dN = (dN/dR)dR (5. 3)
Figura - 5. 1. Escalonamento dinâmico proposto baseado no método Sand-Box.
Como o método de contagem de estruturas Sand-Box, diferentemente dos outros
métodos, possui uma origem fixa, a partir do qual as caixas de dimensão R variavel são
escalonadas (não importa a gometria das mesmas, pois as caixas podem ser esféricas). Poder-
se-á portanto, fixar este centro da caixa na origem central do fractal, ou em qualquer outra
origem auto-similar a esta e fazer escalonamento das caixas de acordo com a fronteira do
fractal em crescimento, conforme mostra a Figura - 1.24. Desta forma, acompanhando-se o
escalonamento do fractal de forma dinâmica, onde a taxa de crescimento dN/dt da estrutura
dentro de um determinado nível k pode ser expressa a partir de (1.12) como sendo:
ou ainda
dN/dt = -D ε -D-1 dε/dt (5. 4)
dN/dt = -D(N/ε)dε/dt (5. 5)
a derivada da grandeza ε em relação ao tempo, tem sua interpretação em termos da taxa de
formação dos elementos de estrutura nas escalas correspondentes, desde a escala superior εmax
até a escala inferior εmin. Observe, que como ε é inversamente proporcional a taxa de
formação do fracatal dN/dt, a medida que esta última aumenta, a escala ε tende a ser cada vez
22

menor, até que o menor elemento de estrutura possível seja formado na escala inferior εmin
(Alves 1998), dando origem a propriedade de auto-similaridade, típico de estruturas fractais.
Porém, pode-se substituir a expressão (1.45) em (1.48) e obter a descrição direta
do processo de formação dos fractais em termos do tamanho dos elemento de estrutura, onde:
dε/dt = d(r/R)/dt (5. 6))
dε/dt = (1/R)dr/dt - (r/R 2 )dR/dt (5. 7)
logo a grandeza dε/dt pode ser interpretada como a velocidade de crescimento do fractal numa
determinada escala ε, que de acordo com (1.45) pode ser escrita como:
(1/ε)dε/dt = (1/r)dr/dt - (1/R)dR/dt (5. 8)
Usando-se a definição de Sander da grandeza β como sendo:
β = (1/r)dr/dt / (1/R)dR/dt - 1 (5. 9)
Onde ele classifica os regimes de crescimento das estruturas como sendo:
> 0 crescimento fractal incipiente
β = 0 crescimento com invariancia de escala
< 0 crescimento não-fractal.
A grandeza dr/dt, pode ser entendida como sendo a velocidade de formação do
elemento de estrutura, que no caso, pode ser um pequeno trecho microscópico do fractal, e a
grandeza dR/dt, pode ser entendida como sendo a velocidade macroscópica de crescimento do
fractal. Substituindo-se (1.51) em (1.48) tem-se:
ou
usando-se (1.44) tem-se:
dN/dt = -DN[(1/r)dr/dt -(1/R)dR/dt] (5. 10)
dN/dt = -Dβ(N/R)(dR/dt) (5. 11)
dN/N = -DβVdt/R (5. 12)
Observe, que a relação (1.55) acima, descreve o fenômeno fractal em duas
interpretações: fragmentação e crescimento. Para o processo de fragmentação considera-se
Rmax = cte e r, variável de acordo com a escala, já no processo de crescimento considera-se
23

min = cte (que corresponde ao tamanho das partículas ou elementos de estrutura na escala
inferior) e R = variável de acordo com o método Sand-Box.
Ë certo que se o método Sand-Box, for realizado considerando-se uma caixa R
fixada e tomando-se os diverso tamanhos r das estruturas auto similares encontradas dentro
desta caixa, para cada nível de escalonamento, o processo de fragmenteção também poderá
ser escalonado dinamicamente.
logo:
Reescrevendo-se (1.54) tem-se:
observe, que para Dβ = cte, tem-se:
dN/N = -Dβ(dR/R) (5. 13)
d(lnN)/d(lnR) = -Dβ (5. 14)
N = R -Dβ (5. 15)
6. 7 – Escalonamento Dinâmico Longitudinal e Radial: Uma
aplicação a dinâmica de propagação de trincas
6. 8 - A Dissipação da Energia em um Fractal
24

6. 8.1 - A Função Dissipação
6. 8.2 - A Produção de Entropia
6. 8.3 - O Fluxo de Entropia
6. 8.4 - A Potência Dissipada
6. 9 - Um novo princípio físico de dissipação de energia por detrás
das estruturas fractais encontradas na natureza
A teoria matemática fractal aplicada a descrição de fronteiras ou contornos de
objetos fractais de volumes finitos, admite que estas fronteiras ou contornos, possuem uma
extensão que tende ao infinito (A(δ) → ∞) à medida que o tamanho da régua de medida tende
a zero (δ → 0), enquando o volume permanece limitado, onde: 0 ≤ δ ≤ δmáx e 0 ≤ A(δ) ≤ ∞, e
V(δ) = Vo. Isto tem sido largamente demonstrado pelo diagrama de Richardson aplicado ao
estudo geométrico destes objetos [MANDELBROT 1977].
Por outro lado, o tamanhos de régua, δ, para objetos fractais matemáticos,
uniformes com auto-similaridade exata, são automaticamente determinados pelo tamanho das
estruturas geométricas, lk, que são auto-similares ao todo. Estas estruturas padrões são
encontrados em cada nível de escalonamento k do fractal matemático (0 ≤ k ≤ ∞). Porém os
fractais que aparecem na natureza, chamados de fractais físicos, são estatísticos e limitados
por tamanhos de estruturas auto-similares que determinam tamanhos de régua mínima δmin =
lo e máxima δmáx = Lo (δmin ≤ δ ≤ δmáx) em escalas arbitrárias ε = δ/δmáx = lk/Lo, que se
estendem desde o tamanho macroscópico do objeto, δmáx = Lo até o tamanho do menor
25

detalhe, δmin = lo onde a fractalidade se estende, isto é εmin ≤ ε ≤ εmáx. Como exemplos
podemos citar: o pinheiro, o couve-flor, as dendritas, os relâmpagos, etc. O número das
possíveis estruturas auto-similares de tamanho, lk, existentes neste intervalo, definem os níveis
de escalonamento k existentes no fractal (kmin ≤ k ≤ kmáx).
O fator de transformação da escala (ampliação ou redução), εk, entre dois níveis
quaisquer, tanto para uma fractal matemático como para um fractal físico, é determinado pela
razão entre o tamanho da estrutura auto-similar ao todo, num nível, k, isto é, lk, pelo tamanho
da estrutura auto-similar ao todo num nível, k+1, isto é, lk+1 (onde εk = lk/lk+1, εmin ≤ εk ≤
εmáx).
Portanto, podemos utilizar a idéia geral de que o contorno ou a fronteira de um
objeto fractal seja ele matemático ou físico, tende a um valor máximo, (A(δk) → Amáx), à
medida que o tamanho da estrutura auto-similar, lk tende a um valor mínimo, (lkmin → lo, k →
kmáx), onde Ao = A(δmáx= Lo) ≤ A(δ = lk) ≤ Amáx = A(δmin = lo), para propor um Princípio de
Máxima Dissipação de Energia como consequência direta desta suposição, conforme veremos
a seguir.
Pela relação de escalonamento fractal, o tamanho dos elementos de estruturas, lk
em cada escala, εk, ou nível, k, estão diretamente relacionadas com o número de objetos auto-
similares por uma lei de potência do tipo:
Nk(lk)∼ lk -D . (6. 13)
Para fractais de fragmentação Lmáx = Lo = cte e lk → lmin = lo, para fractais de
crescimento lmin = lo = cte e Lk → Lmáx = Lo. De qualquer forma, o número total de elementos
de estruturas formadas é dado por:
NT = (lmin/Lmáx) -D . (6. 14)
O número, N, em (6. 13) é um número qualquer entre os limites máximo e mínimo
onde o número mínimo é N(lmin) = 1 para fractais de crescimento e N(Lmáx) = 1 para fractais
de fragmentação.
Supondo-se que a energia Uk (onde k é o índice do escalonamento fractal)
utilizada para formar um padrão geométrico fractal deste tipo, em um processo físico, é
diretamente proporcional ao volume do fractal, ou ao número de elementos de estruturas
geradas, tem-se então que:
26

Uk (lk) =ρuVk(lk) = µN(lk) (6. 15)
onde ρu é a densidade volumétrica de energia e µ é energia unitária para forma um elemento
da estrutura. O volume do fractal é dado por:
ou ainda
Vk(lk) = N(lk)lk d , (6. 16)
Uk(lk) = ρu N(lk)lk d = µ(lk/Lk) -D , (6. 17)
Sistemas que apresentam um consumo de energia (no processo dinâmico de
dissipação) que se reflete diretamente na estrutura dos padrões geométricos formados, podem
ser tratados por uma relação diretamente proporcional as duas grandezas contidas na (6. 15).
Logo no limite:
ou seja
logo:
Uk(lk → lmin) =ρu(lmin/Lmáx) -D lmin d = µ(lmin/Lmáx) -D , (6. 18)
Logo para a relação (6. 16) e (6. 17) temos que:
Uk - Uk-1 ~ Vk(lk) - Vk(lk)k-1, (6. 19)
∆Uk(lk→lmin)=ρu∆Vk(lk)=(d-D)ρu(lmin/Lmáx) -D lmin d-1 =-Dµ(lmin/Lmáx) -
D lmin -1
Veja que a área do contorno do fractal é dada por:
27
(6. 20)
Ak(lk → lmin) = Amáx ~ NTlmin d-1 = (lmin/Lmáx) -D lmin d-1 , (6. 21)
∆Uk(lk → lmin) ~ Ak(lk → lmin) → ∆Umax = Amáx , (6. 22)
Se o tempo de criação de cada estrutura auto-similar em cada nível, for
diretamente relacionado ao seu tamanho da seguinte forma:
por outro lado temos de (6. 23) que:
ou seja ou seja
t → tmin ⇔ lk d →l d min, (6. 23)
tk - tk-1 ~( l d k – l d k-1)/vk, (6. 24)

∆tk ~ ∆l d k/ vk, (6. 25)
A potência dissipada pode ser expressa a partir de (6. 20) e (6. 25) como:
ψ(lk) = ∆Uk/∆tk =ρu∆Vk(lk)vk/∆l d k, =µ∆Nk(lk)vk/∆l d k, (6. 26)
como no limite Lim ∆tk (∆l d k → l d min) = ∆tmin então:
ψ = (d-D)ρu(lmin/Lmáx) -D lmin d-1 vk/lmin d = -Dµ(lmin/Lmáx) -D lmin -1 vk/lmin d (6. 27)
Para a estutura fratal completamente formada temos que a potência máxima
dissipada na formação da estrutura fractal é dada comparando-se (6. 21) com (6. 27) e
obtendo:
portanto
ψ = ψmáx → Ak(lk→lmin)vk/lmin d = Amaxvk/lmin d , (6. 28)
ψmax = (d-D)ρu(lmin/Lmáx) -D vk/lmin = -Dµ(lmin/Lmáx) -D vk/lmin d+1 (6. 29)
Este é o Principio da Máxima Dissipação da Energia (PMDE) para a formação de
estruturas escalonadas. Sistemas que desenvolvem este tipo de estrutura podem ser chamados
de sistemas de acúmulo crítico de energia com dissipação por sobrecarga de caráter
geométrico formando padrões de dissipação com as trincas e as rupturas dielétricas, por
exemplo. O valor deste acúmulo é dado pela relação (6. 18). Ou ainda
ψmax = (d-D)ρuNT vk/lmin = -DµNT vk/lmin d+1 (6. 30)
Onde a densidade volumétrica de energia é dada por:
ρu = Dµ/(D-d)lmin d (6. 31)
Observe de (6. 18) que a energia de formação de toda a estrutura fractal tende a
um valor fixo. Portanto se a entropia ST total de formação da estrutura fractal depende da
escala, ε, isto é, Sk ∼ lk/Lo, temos que:
Sk → ST ⇔ Nk → NT, (6. 32)
Sendo a entropia uma grandeza extensiva, o grau de desordem do sistema estará
diretamente relacionado com a extensão do contorno do padrão geométrico formado, Ak(lk),
ou com o número de níveis, k, de escalonamento do fractal, N. Como a cada nível, k, tem-se
um tamanho de estrutura auto-similar, lk, diferente, a entropia como sendo uma grandeza
28

extensiva dependerá do tamanho da escala εk = lk/Lmáx. A relacão entre energia dissipada e
entropia é dada por:
ψmáx = T∆ST/∆tmin, (6. 33)
Portanto os processos dinâmicos que possui um aumento da entropia,
demonstrado pelo aumento da quantidade de níveis de escalonamento, k, entre um valor
mínimo e máximo, pode ter este aumento relacionado a um PMDE ou a um Princípio de
Máxima Produção de Entropia (PMPE), num regime de instabilidade que dá origem ao padrão
geométrico fractal conforme mostra a expressão abaixo:
T∆Smáx/∆tmin = (d-D)ρu(lmin/Lmáx) -D vk/lmin = -Dµ(lmin/Lmáx) -D vk/lmin d+1 (6. 34)
Por outro lado, sistemas cuja relação (6. 34) não é direta e sim inversa, a proposta
de um principio de máxima Dissipação pode até existir em outras condições, mas
possivelmente não estará refletido no caráter geométrico da estrutura formada.
6. 10 - O Modelamento multifractal de crescimento
(3.7) em (3.6) temos:
Um modelamento multifractal de crescimento pode ser obtido substituindo (3.8) e
dN/dt = -Dq(q-1) (N/R)(dR/dt), (6. 35)
Para o escalonamento estático podemos escrever:
dN/N = -Dq[(q-1) /R]dR, (6. 36)
Observe que as relações (3.9) e (3.10) acima, descrevem o fenômeno fractal em
duas interpretações: fragmentação e crescimento [ ]. Para o processo de fragmentação
considera-se Rmax = cte e r, variável de acordo com a escala, já no processo de crescimento
considera-se rmin = cte (que corresponde ao tamanho das partículas ou elementos de estrutura
na escala inferior) e R variável de acordo com o escalonamento do método Sand-Box.
É certo que se o método Sand-Box for realizado considerando-se uma caixa R
=Rmáx fixada e tomando-se os diversos tamanhos r das estruturas auto similares internas,
encontradas dentro desta caixa, para cada nível de escalonamento k(t), o processo de
fragmentação também poderá ser escalonado dinamicamente.
Integrando (3.9) de uma forma geral temos:
29

N(R,t) = Noexp{- Dq(q-1) Vdt/R},
30
(6. 37)
Ainda de (3.10) temos que d(lnN)/d(lnR) = -Dβ, observe que para Dq(q-1) = cte,
ficamos com N(t) = [r/R(t)] -Dq(q-1) .
Da expressão (3.9) nós vemos que para inferir o resultado dinâmico a partir do
estático é preciso necessariamente conhecer a função velocidade V(R,t) ao longo de toda a
estrutura. Isto só é possível se houver algum princípio geral [ALVES, 1998b] que possa nos
fornecer alguma informação sobre o comportamento desta função para estruturas fractais
deste tipo. Este tipo de tratamento será feito mais adiante, para descrever o processo de
dissipação de energia de uma trinca longitudinal ou radial ramificada utilizando a expressão
da velocidade de propagação de uma trinca válida para cada uma destes casos.
Considerando µ = dU/dN = cte a energia total de um fractal é dada por:
dU(R,V,t)/dt = µdN(R,V,t)/dt, (6. 38)
Esta é a expressão geral para a função que descreve o crescimento de uma
estrutura fractal laplaciana em função da dimensão radial R e do tempo t. Substituindo (3.7)
em (3.19) temos que a potência dissipada na formação do fractal é dada por:
dU(R,V,t)/dt = -µDq(q-1)[N(R,V,t)/R]V(R,t), (6. 39)
onde N(R,V,t) é dado por (3.18) e V(R,t) é dado por (3.16). De acordo com GRASSBERGER
[1981, 1983], Dq(q - 1) = τq = f(α(q)) - qα., é maximo para q = 0, ou seja, a dimensão fractal
da estrutura possui um valor máximo, Dq=0 =fmáx(α(0)) dentro do espectro multifractal de
dimensões, quando q = 0. Então a potência dissipada possui um valor máximo quando esta
condição é satisfeita.
6. 11 – Discussões

6. 12 - Conclusões
6. 13 - Referências bibliográficas
ALLEN, Martin; Brown, Gareth J.; Miles, Nick J. -”Measurements of boundary fractal
dimensions: review of current techniques” Powder Techn. 84 (1995) 1-14.
ALVES, Lucas Máximo. “Estudo da solidificação de ligas de Silício-Germânio para
aplicações termoelétricas”, Dissertação de Mestrado FCM-IFSC-USP-1995.
ALVES, L. M., Simulação Bidimensional da Propagação de Trincas em Materiais Frágeis:
Parte – I, In: Anais do 41 o Congresso Brasileiro de Cerâmica, 1997, São Paulo-SP. Artigo
publicado neste congresso ref.063/1
ALVES, Lucas Máximo – Esaclonamento dinâmico da fractais laplacianos baseado no
método Sand-Box, In: Anais do 42 o Cong. Bras. de Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de
Junho, 1998. Artigo a ser publicado neste congresso ref.007/1
ALVES, Lucas Máximo - Um novo principio de dissipação de energia para a fratura baseado
na teoria fractal, In: Anais do 42 o Cong. Bras. de Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de
Junho, 1998. Artigo a ser publicado neste congresso ref.008/1
ALVES, L. M. “Uma teoria estastística fractal para a curva-R”, In: Anais do 42 o Cong. Bras. de
Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de Junho, 1998. Artigo a ser publicado neste congresso
ref.009/1
ALVES, Lucas Máximo – Da Fratura a Fragmentação, Uma visão fractal, In: Anais do 42 o
Cong. Bras. de Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de Junho, 1998. ref. 010/1.
ALVES, Lucas Máximo - Simulação Bidimensional da Propagação de Trincas em Materiais
Frágeis: Parte – II, In: Anais do 42 o Cong. Bras. de Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de
Junho, 1998. ref. 011/1.
BARABÁSI, Albert – László; H. Eugene Stanley, Fractal concepts in surface growth,
Cambridge University Press, 1995.
BECK, C. and F. Schlögl, Thermodynamics of Chaotic Systems: an Introduction, Cambridge
Nonlinear Science Series, vol. 4, England: Cambridge University Press, Cambridge 1993.
BUNDE, Armin; Shlomo Havlin, Fractals in Science, Springer-Verlag 1994.
31

CHALMERS, Bruce. Principles of solidification. Robert E. Krieger Publishing Company,
INC, Malabar, Florida, 1982, John Wiley & Sons, INC, New York, 1964.
CHARMET, J. C. ; Roux , S and Guyon, E, Disorder and Fracture, Plenum Press New York
1990.
DAUSKARDT, R. H.; F. Haubensak and R. O. Ritchie, On the interpretation of the fractal
character of fracture surfaces; Acta Metall. Matter., vol. 38, n. 2, p. 143-159, 1990.
DE ARCANGELIS, L.; Hansen A; Herrmann, H. J.- “Scaling laws in fracture”, Phys. Review
B, N.1, vol. 40, 1 July 1989.
FAMILY, Fereydoon; Vicsek, Tamás, Dynamics of Fractal Surfaces, World Scientific,
Singapore,1991, p.7 e 8).
FAMILY, Fereydoon; Vicsek, Tamás - “Dynamics of Fractal Surfaces”, chapter 3, pp. 73-77,
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore 1991.
FEDER, Jens; Fractals, (Plenum Press, New York, 1989).
GRASSBERGER, P. "On the Hausdorff Dimension of Fractal Attractors." J. Stat. Phys. 26,
173-179, 1981.
GRASSBERGER, P. and Procaccia, I. "Measuring the Strangeness of Strange Attractors."
Physica D 9, 189-208, 1983.
HEPING, Xie; Jin-an Wang and E. Stein, Direct fractal measurement and multifractal
properties of fracture surfaces, Physics Letters A , vol. 242, p. 41-50, 18 may 1998.
HERRMANN, Hans J. - “Growth: An Introduction”, In: On the Growth and Form” Fractal
and Non-Fractal Patterns in Physics, Edited by H. Eugene Stanley and Nicole Ostrowsky
NATO ASI Series, Series E: Applied Sciences N. 100 (1986), Proc. of the NATO Advanced
Study Institute Ön Growth and Form”, Cargese, Corsiva, France June 27-July 6 1985.
Copyright by Martinus Nighoff Publishers, Dordrecht, 1986.
HERRMANN, H. J.; Kertész, J.; De Arcangelis, L. - “Fractal Shapes of Deterministic
Cracks”, Europhys. Lett. 10 (2) p.147-152 (1989).
HERRMANN, Hans J.; Roux, Stéphane, “Statistical Models for the Fracture of Disordered
Media, Random Materials and Processes”, Series Editors: H. Eugene Stanley and Etienne
Guyon, North-Holland Amsterdam 1990.
MANDELBROT, Benoit B. 1975
MANDELBROT, Benoit B, Fractals: form chance and dimension, Freeman, San Francisco,
1977.
MANDELBROT, Benoit B. 1978
MANDELBROT, Benoit B., The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco - New
York 1982.
MANDELBROT, Benoit B.; Dann E. Passoja & Alvin J. Paullay, Fractal character of fracture
surfaces of metals, , Nature (London), vol. 308 [5961], p. 721-722, 19 April, 1984.
MANDELBROT, B. B., in: Dynamics of Fractal Surfaces, Edited by Family, Fereydoon. and
Vicsék, Tamás, World Scientific, Singapore, p. 19-39. 1991.
MANDELBROT, B; “Fractals in Nature”, 1994.
32

McCAULEY, Joseph L., Chaos, dynamics and fractals: An algorithmic approach to
deterministic chaos, Cambridge Nonlinear Science Series, vol. 2, England: Cambridge
University Press, Cambridge 1993.
MEAKIN, Paul; Li, G.; Sander, L. M.; Louis, E.; Guinea, F. - “A simple two-dimensional
model for crack propagation”, J. Phys. A: Math. Gen. 22, 1393-1403, 1989.
MEAKIN, Paul, “The growth of rough surfaces and interfaces”, Physics Reports, vol.235,
n.485, p. 189-289, December 1993.
MEAKIN , Paul, Fractal Growth: , Cambridge Nonlinear Science Series, vol. 5, England:
Cambridge University Press, Cambridge 1995.
MECHOLSKY, J. J.; D. E. Passoja and K. S. Feinberg-Ringel; Quantitative analysis of brittle
fracture surfaces using fractal geometry, J. Am. Ceram. Soc., vol. 72, n. 1, p. 60-65, 1989.
MILMAN, Victor Y.; Nadia A. Stelmashenko and Raphael Blumenfeld, Fracture surfaces: a
critical review of fractal studies and a novel morphological analysis of scanning tunneling
microscopy measurements, Progreess in Materials Science, vol. 38, p. 425-474, 1994.
PEITGEN, H.-O., Fractals for the Classroom, Part one: Introduction to fractals and Chaos,
1992, página 191, Figura - 3.24, ibid: página 107, Figura - 2.34 e páginas 381-385.
PIETRONERO, L.; Erzan, A.; Everstsz, C. - “Theory of Fractal Growth”, Phys. Rev. Lett.
Vol. 61, N.7, 15 August 1988, 861-864.
RODRIGUES, J. A.; Pandolfelli, V. C.; CERÂMICA 42(275) MAI/JUN, 1996.
RODRIGUES, J. A.; et alli, 12 o Cong, Bras. de Eng. E Ciências dos Materiais, de 8 a 11 de
Dezembro de 1996, Aguas de Lindóia – SP.
RODRIGUES, José Anchieta; Pandolfelli, Victor Carlos, “Insights on the fractal-fracture
behaviour relationship”, Materials Research, vol.1, n. 1, 47-52, 1998.
SANDER, L. M. - “Theory of fractal growth process”, Kinetics of Aggregation and Gelation,
F. Family, D. P. Landau (editors) © Elsevier Science Publishers B. V., p. 13-17, 1984.
SHI, Duan Wen; Jian Jiang and Chi Wei Lung, Correlation between the scale-dependent
fractal dimension of fracture surfaces and the fracture toughness, Physical Review B. vol. 54,
n. 24, R17355-R17358, 15 December, 1996-III
STANLEY, Eugene - “Form: an Introduction to Self-Similarity and Fractal Behavior”, In: On
the Growth and Form” Fractal and Non-Fractal Patterns in Physics, Edited by H. Eugene Stanley
and Nicole Ostrowsky NATO ASI Series, Series E: Applied Sciences N. 100 (1986), Proc. of the
NATO Advanced Study Institute Ön Growth and Form”, Cargese, Corsiva, France, June 27-July 6,
Copyright by Martinus Nighoff Publishers, Dordrecht; p. 21-53, 1985.
TSALLIS, C.; Plastino, A. R.; and Zheng, W.-M. Chaos, Solitons & Fractals 8, 885, 1997.
VOSS, Richard F. (In: Dynamics of Fractal Surfaces, Edited by Family, Fereydoon. and
Vicsék, Tamás), World Scientific, Singapore, (1991), 40-45.
TANAKA, M., “Fracture toughness and crack morphology in indentation fracture of brittle
materials”, Journal of Materials Science, vol. 31. p. 749-755, 1996.
UNDERWOOD, Erwin E. and Kingshunk Banerji, Fractals in Fractography, Materials
Science and Engineering, Ed. Elesivier, vol. 80, p. 1-14, (1986).
UNDERWOOD, Erwin E. and Kingshuk Banerji, Quantitative Fractography, p. 192-209.
Engineering Aspectes of Failure and Failure Analysis - ASTM 1996.
33

UNDERWOOD, Erwin E. and Kingshuk Banerji, Fractal Analysis of Fracture Surfaces, , p.
210-215. Engineering Aspectes of Failure and Failure Analysis - ASTM 1996.
VICSÉK, Tamás, Fractal Growth, World Scientific, Singapore, (1991)
WEIERSTRASS-MANDELBROT, apud Family, Fereydoon; Vicsek, Tamás, Dynamics of
Fractal Surfaces, World Scientific, Singapore,1991, p.8).
WITTEN III, Thomas A.. - “Scale - Invariant Diffusive Growth. Ibid. 54-78.
WITTEN Jr., T. A. .; Sander, L. M. - “Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical
Phenomenon”, Phys. Rev. Lett. Vol. 47, N. 19, 9 Nov. 1981, 1400-1403.
WITTEN, T. A.; Sander, L. M - “Diffusion Limited Aggregation”, Phys. Rev. B. Vol. 29,
N.9, 1 May 1983, 5686-5697.
WILLIAMS, J. G. “The analysis of dynamic fracture using lumped mass-spring models”,
International Journal of Fracture, vol. 33, p. 47-59, 1987.
WILLIAMS, J.G. and A. Ivankovic, “Limiting crack speeds in dynamic tensile fracture test,
International Journal of Fracture”, vol. 51, p. 319-330, 1991.
003
34