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Isto mostra que qualquer subsequencia (λjk ) deve convergir para zero, ou seja, (λk) → 0.<br />
Reciprocamente, vamos supor que (λk) → 0 e vamos considerar as transformações com<br />
imagens de dimensão finita: Tn : ℓ 2 (R) → ℓ 2 (R)<br />
Observe que<br />
Tnx =<br />
||Tnx − T x|| 2 2 =<br />
n<br />
λjξjej, para x = (ξj) ∈ ℓ 2 (R).<br />
j=1<br />
∞<br />
j=n+1<br />
λ 2 jξ 2 j ≤ sup λ<br />
i≥n<br />
2 i<br />
∞<br />
j=1<br />
Isto mostra que ||Tn − T || → 0 e portanto T é compacta.<br />
4<br />
ξ 2 j , para x = (ξj) ∈ ℓ 2 (R)
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