Capítulo 22 - Instituto de Matemática - UFRJ

306 Cap. 22. O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas
(a) Para que valores de x esta função tem máximos locais.
(b) Em que intervalos esta função é côncava para cima?
Solução (a) A primeira parte do teorema fundamental do Cálculo nos mostra que
S ′ ( ) 2 π x
(x) = sen .
2
A partir desta informação, podemos aplicar os métodos do cálculo diferencial para analisar esta função. Como S ′ é
contínua em toda a reta, os pontos críticos de S só poderão ocorrer onde S ′ ( )
2
π x (x) = 0, ou seja, onde sen = 0. Daí,
decorre que x = ± √ 2 k, para k = 0, 1, 2 . . ..
Para decidir quais destes pontos são máximos locais, vamos aplicar o teste da derivada segunda. Assim, como
S ′′ ( )
2
π x (x) = π x cos , temos que, para valores ímpares de k, S ′′ ( √ 2 k) será negativa e, portanto, os pontos x = √ 2 k
2
(k ímpar) serão máximos locais da função S.
A análise é análoga para o caso em que x = − √ 2 k. O ponto (0, 0) é um ponto de inflexão da função S. (Confira!)
O item (b) é deixado como exercício para o leitor.
Veja abaixo, à esquerda o gráfico desta função traçado com a ajuda do Maple e abaixo à direita um detalhe do
mesmo (para x variando de 0 até 2,5) traçado em conjunto com a sua derivada. Observe que as conclusões obtidas
acima coincidem com os gráficos apresentados.
0.6
0.4
0.2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x
–0.2
–0.4
–0.6
22.3 Integrais indefinidas
Uma integral como
∫ b
a
0.8
0.6
0.4
0.2
0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
1
–1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
x
f(x) dx é chamada integral definida de f. Uma função F , tal que F ′ (x) = f(x) é uma primitiva
de f(x), assim como F (x) + C, onde C é uma constante real qualquer. À medida que variamos C, obtemos o conjunto
de todas as primitivas de f. Podemos representar este conjunto por
∫
f(x) dx = F (x) + C.
A integral que aparece nesta expressão é chamada integral indefinida de f e é usada para especificar a primitiva
mais geral de f. Assim, ∫
f(x) dx = F (x) + C se e somente se F ′ (x) = f(x)
e podemos escrever que
∫
d
dx
f(x) dx = d
(F (x) + C) = f(x)
dx
e
∫
f(x) dx =
∫
d
F (x) dx = F (x) + C .
dx
A constante C é chamada de constante de integração. Para cada valor de C temos uma primitiva de f. Veja a
figura a seguir, onde traçamos o gráfico de várias primitivas da função f(x) = (x − 2) 2 , obtidas pela variação do valor
da constante C.
4
y
2
0
–2
–4
c =3
c = 2
c = 1
c = 0
c = –1
1 2
x
3 4
c = –2
2