UNIVERSIDADE ESTADUAL

1
UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE CAMPINAS
CESET- CENTRO SUPERIOR DE
EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO
UNIVERSITÁRIA :
“MEIO AMBIENTE E DESENVOLVIMENTO
SUSTENTÁVEL”
D I S C I P L I N A CET-301-FUNDAMENTOS DE
MODELAGEM MATEMÁTICA E TÉCNICAS DE
SIMULAÇÃO APLICADOS A SISTEMAS AMBIENTAIS
PROF. RENATO TAKAMI
MARÇO/2005

2
ÍNDICE
Capítulos 1 – Propriedades dos Fluidos e Definições............................................................................6
1.1-Definições de Fluidos..................................................................................................................6
1.2-Tensões de Cisalhamento e Normal..........................................................................................6
1.3-Principio da Aderência...............................................................................................................8
1.4-Sistemas de Unidades..................................................................................................................8
1.5-Peso Especifico............................................................................................................................9
1.6-Massa Especifica e Volume Específico....................................................................................10
1.6.1 – Massa Específica......................................................................................................10
1.6.2 – Volume Específico...................................................................................................10
1.7- Densidade de uma Substância................................................................................................10
1.8 Pressão de Vapor.......................................................................................................................11
1.9 Tensão Superficial.....................................................................................................................11
1.10 Capilaridade............................................................................................................................11
1.11-Lei de Viscosidade de Newton...............................................................................................12
1.12-Diagrama Reológico...............................................................................................................13
1.13-Viscosidade de um Fluido......................................................................................................13
1.13.1-Viscosidade Dinâmica..............................................................................................13
1.13.2-Viscosidade Cinemática...........................................................................................14
1.14-Gás Perfeito............................................................................................................................14
1.15-Modulo De Elasticidade Volumétrica...................................................................................16
1.16-Simplificação na Lei de Viscosidade de Newton..................................................................17
1.17-Unidades e Fatores de Conversão........................................................................................20
1.18-Fatores de Conversão de Unidades.....................................................................................21
1.19-Fatores de Conversão do Sistema Britânico ao Sistema Internacional..........................22
1.20-Exercícios - Capítulos 1.........................................................................................................23
1.21-Respostas dos Exercícios - Capítulos 1.................................................................................26
Capitulo 2- Manometria e Estática da Atmosfera................................................................................................27
2.1-Pressão.......................................................................................................................................27
2.2-Equação Fundamental de Equilibrio Estático.......................................................................27
2.3-Diferença de Pressão Entre dois Pontos em Função da Diferença de Cota.......................30
2.4-Variação da Pressão na Atmosfera Terrestre........................................................................31
2.5 –Altura de Carga.......................................................................................................................33
2.6-Lei de Pascal..............................................................................................................................34
2.7-Regra prática para determinação da diferença de pressão entre dois pontos
ou entre dois reservatórios......................................................................................................35
2.8-Pressão Atmosférica. Vácuo e Escalas de Pressão................................................................35
2.8.1- Pressão Atmosférica..................................................................................................35
2.8.2- Vácuo..........................................................................................................................36
2.8.3- Escalas de Pressão.....................................................................................................36
2.9-Aparelhos de medir pressão....................................................................................................38
2.10-Unidades de Pressões e Pressões Equivalentes....................................................................38
2.11-Exercícios - Capítulo 2 - Estática dos Fluidos no Campo Gravitacional
e Manometria...........................................................................................................................39
2.12-Respostas dos Exercícios do Capítulo 2................................................................................45
Capitulo 3 - Forças de Pressão Sobre Superfícies.Empuxo.................................................................................46
3.1-Força de Pressão Sobre Superfícies.........................................................................................46
3.1.1- Superfícies Planas.....................................................................................................46
3.1.1.1 - Modulo da Força......................................................................................46
3.1.1.2-Ponto de Aplicação da Força(Centro De Pressões).................................47

3
3.1.2-Superfícies Curvas...................................................................................................50
3.2-Empuxo.....................................................................................................................................52
3.2.1 - Corpo Submerso em um Fluido............................................................................52
3.2.2 - Corpo Submerso em Dois ou Mais Fluidos..........................................................53
3.3-Exercícios - ..............................................................................................................................55
3.4-Respostas dos Exercícios do Capítulo 3.................................................................................61
Capitulo 4 - Escoamentos de Fluidos...................................................................................................................62
4. 1-Tipos de Escoamentos.............................................................................................................63
4.1.1-Escoamento Permanente...........................................................................................63
4.1.2-Escoamento Variado.................................................................................................63
4.1.3-Escoamento Uniforme...............................................................................................63
4.1.3.1 - Escoamento Uniforme e Permanente........................................................63
4.1.3.2 - Escoamento Uniforme e Não Permanente...............................................63
4.1.4-Escoamento Laminar e Turbulento.........................................................................64
4.2-Vazão em Volume , Vazão em Massa e Vazão em Peso. Velocidade Média.
Conceitos e Unidades.................................................................................................65
4.2.1-Vazão em Volume......................................................................................................66
4.2.2- Vazão em massa........................................................................................................66
4.2.3- Vazão em Peso...........................................................................................................67
4.2.4- Velocidade Media......................................................................................................67
4.3- Equação da Continuidade.......................................................................................................70
4.3.1-Equação da Continuidade para Regime permanente............................................70
4.3.2-Equação da Continuidade para Regime Não Permanente...................................71
4.4-Exercícios – Capítulo 3 – Cinemática dos Fluidos.................................................................73
4.5-Respostas dos Exercícios do Capítulo 3.................................................................................78
Capitulo 5 - Conceitos Ligados Ao Escoamento De Fluido - Equações Fundamentais ..................................79
5.1-Sistemas e Volumes de Controle............................................................................................79
5.1.1-Sistema........................................................................................................................79
5.1.2-Volume de Controle(V.C).........................................................................................79
5.2-Relação Entre Solução por Sistema e Volume de Controle.................................................79
5.2.1-Grandezas Extensivas...............................................................................................79
5.2.2- Grandezas Intensivas...............................................................................................80
5.3-Equação da Continuidade na Forma de Integral.................................................................82
5.4.Equação de Bernoulli..............................................................................................................84
5.5-Medida de Velocidade.............................................................................................................89
5.5.1-Tubo de Pitot simples................................................................................................89
5.5.2-Tubo de Pitot Estático...............................................................................................90
5.6.Equação de Bernoulli em Presença de uma Máquina..........................................................91
5.7-Potencia e Rendimento de uma Máquina.............................................................................91
5.8-Equação de Bernoulli na presença de uma Máquina...........................................................92
5.9-Coeficiente de Energia Cinética α ........................................................................................93
5.10-Método de Solução de Problema..........................................................................................94
5.11-Exercícios capítulo 5 ............................................................................................................95
5.12-Respostas dos exercícios do capítulo 5...............................................................................100
Capitulo 6 - Equação da Quantidade de Movimento.........................................................................................101

4
6.1-Aplicação da equação da quantidade de movimento..........................................................101
6.1.1 Simplificações da Equação da Quantidade de Movimento....................................102
6.2-Coeficiente da quantidade de movimento β.......................................................................103
6.3-Força sobre superfície sólida em movimento......................................................................107
6.4- Potência de uma Turbina Hidráulica.................................................................................109
6.5-Exercícios do Capítulo 6 – Equação da Quantidade de Movimento...................111
6.6-Respostas dos exercícios do capítulo 6....................................................................116
Capítulo 7-Transporte Difusivo de Massa........................................................................................................117
7.1-Equação da Difusão de FICK...............................................................................................117
Tabela A . 10 Coeficiente de difusão de gases e vapores em ar a 25 o C e 1 atm...........122
Tabela A . 11 Coeficiente de difusão em líquidos a 20 o C...............................................123
Capítulo 8- Estudo de Perda de Carga. Sistema Elevatório. Fórmulas Práticas de
Cálculos de Perda de Carga.....................................................................................125
8.1-Definições...................................................................................................................125
8.2-Estudo da Perda de Carga....................................................................................................125
8.2.1- Estudo da Perda de Carga Distribuída.................................................................126
8.2.1.1-Equação da Continuidade..........................................................................126
8.2.1.2-Equação de Bernoulli(representação gráfica)..............................126
8.2.1.3 - Linha de Energia ou de Carga e Linha Piezométrica...............126
8.2.1.4 - Conceito de Perda de Carga....................................................................127
8.2.1.4-Equação de Hagen- Poiseuille(válida para regime Laminar)..............129
8.2.1.5-Fórmula Universal da Perda de Carga Distribuída..............................128
8.2.1.6-Fórmulação explícita para o Cálculo do Fator de Atrito (f) de
Escoamento Forçado.....................................................................131
8.2.1.7-Equações de Swamee e Jain.....................................................................133
8.2.1.8-Problemas envolvendo apenas perdas de carga distribuída..................134
8.2.1.9-Exercícios sobre Perdas de Carga Distribuída Calculada pela
Fórmula Universal de Perda de Carga..........................................134
8.3-Perdas de Cargas Localizadas ou singulares......................................................................138
8.3.1-Relação entre o comprimento equivalente Leq e o coeficiente Ks...................140
Tabela I - Comprimentos equivalentes em diâmetros de canalizações retilíneas..140
Tabela II - Valores aproximados de Ks......................................................................140
Tabela III - Comprimento Equivalente em Metros de canalizações para
Conexões de Ferro Maleável Classe 10.................................................................141
Tabela IV - Comprimento Equivalente em Metros de canalizações de Aços
Galvanizados para Válvulas , Entradas e Saídas de Canalizações.........142
Tabela V- Comprimento Equivalente em Metros de canalizações de
PVC Rígido ou Cobre..................................................................................143
8.4 - Sistema Elevatório..............................................................................................................144
8.4.1 - Altura Manometrica –Hm..................................................................................144
8.4.2 - Potência Necessária para o Acionamento da Bomba.......................................145
Tabela VI - Margem de Segurança para Escolha do Motor.................................................145
8.4.3-Cavitação................................................................................................................145
8.4.3.1-Pressão de vapor para a água em metro.................................................146
8.4.3.2-Pressão atmosférica em função da altitude............................................146
8.4.4-Curvas Características de uma Bomba...............................................................146
8.4.4.1- Variações das curvas características......................................................147
8.4.5-Curva do Sistema . Ponto de Operação..............................................................149
8.4.5.1-Curva do Sistema.....................................................................................149
8.4.5.2-Ponto de Operação....................................................................................149
8.5-Fórmulas Práticas para Cálculo de Perda de Carga em Tubulações...............................150

5
8.5.1-Fórmula de Hazen-Willians.................................................................................150
Tabela VII– Valores de C da Fórmula de Hazen-Willians......................................150
8.5.2-Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao e de Flamant......................................................151
8.5.2.1-Fair-Whipple-Hsiao.......................................................................................151
8.5.2.2-Flamant...........................................................................................................151
8.6-Emprego de Nomogramas.........................................................................................................152
8.7-Exercícios 8- Estudo da Perda de Carga. Sistema Elevatório...............................................160
8.8-Respostas dos exercícios do capitulo 8.....................................................................................164
Capítulo 9-Simulação Hidráulica Utilizando o Epanet2.0...............................................................................165
9.1-Configurar Projeto.......................................................................................................165
9.2-Traçado Da Rede..........................................................................................................165
9.3-Configurar as Propriedades dos Objetos...................................................................167
9.4-Guardar e Abrir Projetos............................................................................................167
9.5-Executar uma Simulação Estática...............................................................................167
9.6-Executar uma Simulação Dinâmica..........................................................................168
9.7-Criar Gráfico de uma Série Temporal de Nó ou Trecho.........................................168
9.8-Inserir uma Bomba.......................................................................................................168
Bibliografia.................................................................................................................................170
Anexo de Tabelas......................................................................................................................171
Tabela 1A – Propriedades Aproximadas de Alguns Gases...................................................172
Tabela 1B – Algumas Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica......................................173
Tabela 1C – Propriedades Mecânicas da Água à Pressão Atmosférica...............................174
Tabela 2 – Densidade e Viscosidade Cinemática de Alguns Líquidos.................................175
Tabela 3 – De Conversão de Unidades de Pressão.................................................................176
APENDICE A.................................................................................................................................................177
Análise Dimensional e Semelhança.........................................................................................177
A.1-Análise Dimensional.........................................................................................................177
A.1.1-Introdução................................................................................................................177
A.1.2-Finalidades...............................................................................................................177
A.1.3-Grandezas Fundamentais e Derivadas..................................................................177
A.1.4- Equação Dimensional.............................................................................................177
A.1.5- Principio de Homogeneidade................................................................................177
A.1.6-Teorema de Buckinghan ou Teorema dos πs.......................................................178
A.1.7- Principais Grandezas Físicas.................................................................................180
A.1.8- Parâmetros adimensionais de transporte do momento linear............................181
A.1.9- Parâmetros adimensionais de transporte de calor..............................................184
A.1.10- Parâmetros adimensionais de transporte de massa..........................................186
A.1.11- Vantagem da Utilização dos Adimensionais......................................................187
A.2-Semelhança.........................................................................................................................189
A.2.1-Finalidades...............................................................................................................189
A.2.2-Protótipo e Modelo..................................................................................................189
A.2.3-Condições de Semelhança.......................................................................................189
A.2.4-Escalas de Semelhança............................................................................................190
A.2.5-Relações entre Escalas............................................................................................190

6
CAPITULO 1 - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E DEFINIÇÕES.
1.1-Definições de Fluidos.
Fluidos são substâncias, capazes de escoar, cujo volume toma a forma de seus recipientes.
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de
cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão.
1.2-Tensões de Cisalhamento e Normal.
Uma forca de cisalhamento é a componente tangencial da forca que age sobre uma superfície, que
dividida pela área da superfície da origem a tensão de cisalhamento média sobre a área .A tensão normal
média é a relação entre a componente normal da força que age sobre uma superfície e a área desta
superfície.
F
Fn
A
dA
Ft
TENSÃO DE CISALHAMENTO τ
a)Tensão de cisalhamento média
Ft
τ = --------
A
b)Tensão de cisalhamento no ponto
dFt
τ = -------dA
TENSÃO NORMAL σ
a)Tensão de normal média
Fn
σ = -------
A
b)Tensão normal no ponto

dFn
σ = ------dA
Unidades de Tensões
7
M Kf S ..........kgf/m 2
M K S ...........N/m 2
C G S ...........dina/cm 2 .
Se colocarmos um fluido entre duas placas paralelas bem próximas e bem grandes, sendo a placa
inferior fixa, e aplicarmos uma força tangencial F na placa superior, esta se movimentará com velocidade
constante Vo, independente da magnitude da força F e o fluido , se deformará continuamente. Este fato
ocorre apenas quando colocamos fluido entre as placas. A figura 1.1 mostra este fato.
Placa móvel
a c a a’ Vo c c’ F
FLUIDO τ FLUIDO τ
µ µ
b d b d
Placa fixa
Vo
a a’ a” c c’ c”
F
τ FLUIDO τ
µ τ
b d
Figura 1.1- Comportamento de um fluido quando sujeito a força tangencial
Assim, um sólido sujeito a uma força tangencial terá deslocamento angular definido ou se romperá
dependendo da magnitude da força, como mostra a figura 1.2.
∆α Deformação angular
definido ou se romperá F
SÓLIDO SÓLIDO
Figura 1.2 – Deformação angular definido ∆α de um sólido quando sujeito a uma força tangencial.

8
Uma substância plástica não pode preencher a definição de fluido porque a mesma tem uma tensão
de cisalhamento inicial que deve ser superada para depois se ter uma deformação contínua. Uma
substancia elástica colocada entre as duas placas sofreria uma certa deformação proporcional a força , mas
não continuamente em velocidade finita. Vácuo completo entre as placas não acarretaria velocidade final
constante, mas sim uma velocidade sempre crescente. Colocando areia entre as duas placas, o atrito seco
iria requerer uma força finita para causar um movimento contínuo, assim a areia não satisfaz a definição
de fluido.
1.3-Principio da Aderência
"OS PONTOS DE UM FLUIDO EM CONTATO COM UMA SUPERFÍCIE SÓLIDA TEM
A VELOCIDADE DESTA"
De acordo com o princípio da aderência a velocidade entre as placas variará de zero na placa
inferior(fixa) até o valor Vo na placa superior. A figura 1.3 mostra o perfil de velocidades que se forma
no interior do fluido.
Vo τ
F
a)MKfS
FLUIDO PERFIL DE VELOCIDADES
τ µ
V=0
τ Tensão de cisalhamento devido a força tangencial F.
Figura 1.3- Perfil de velocidades formado no interior do fluido.
1.4-Sistemas de Unidades
GRANDEZAS DIMENSÃO UNIDADES
Comprimento L Metro(m)
Tempo T Segundo(s)
Força F Quilogramaforça(kgf)
OBS: A unidade de massa neste sistema(derivada) é a Unidade Técnica de Massa(Utm)
Da 2 a Lei de Newton F = mxa m = F/a = Kgf/m/s 2 (Utm)
b)MKS(SI)
GRANDEZAS DIMENSÃO UNIDADES
Comprimento L Metro(m)
Tempo T Segundo(s)
Massa M Quilograma(kg)
OBS: A unidade de força neste sistema(derivada) é o Newton(N)
Da 2 a Lei de Newton F = mxa F = kgxm/s 2 (Newton)

UNIDADES NO SI
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GRANDEZAS UNIDADE SÍMBOLO
Unidades básicas Comprimento Metro m
Massa Quilograma Kg
Tempo Segundo s
Temperatura Kelvin K
Unidade suplementar Ângulo Radiano rd
Energia Joule(N.m) J
Força Newton(kg.m.s -2 ) N
Potência Wat(J/s) W
Pressão Pascal(N/m 2 Unidades derivadas
) Pa
Trabalho Joule(N.m) J
c)CGS
PREFIXOS (Potência de dez) DE SI
Prefixo Símbolo Potência de dez
Tera T 10 12
Giga G 10 9
Mega M 10 6
Quilo K 10 3
Hecto H 10 2
Deca Da 10 1
Deci D 10 -1
Centi C 10 -2
Mili M 10 -3
Micro µ 10 -6
Nano N 10 -9
Pico P 10 -12
GRANDEZAS DIMENSÃO UNIDADES
Comprimento L Centímetro
Tempo T Segundo
Massa M Grama
OBS: A unidade de força neste sistema(derivada) é o dina(dyn)
Da 2 a Lei de Newton F = mxa F = gxcm/s 2 (dina)
1.5-Peso Especifico γ(gama).
É o peso da unidade de volume de uma substância . Pode ser expresso pela relação do peso de uma
quantidade de uma substância pelo seu volume.
Peso
γ = ----------- , ou se W = peso da substância e V = volume da substância
Volume

W
γ = -----------
V
10
Unidades: M Kf S ...........kgf/m 3
M K S ............N/m 3
C G S ............dina/cm 3
1.6-Massa Especifica e Volume Específico.
1.6.1 – Massa Específica ρ(Rho)
É a quantidade de massa contida na unidade de volume de uma substância qualquer , também
conhecida por “densidade absoluta”. Pode ser expressa pela relação da massa(m) de uma substância pelo
seu volume(V).
Logo:
Massa m γ
ρ = ----------- ou ρ = --------- ou ρ = -----volume
V g
Unidades: M Kf S ..............Utm/m 3
M K S................Kg/m 3
C G S................grama/cm 3
1.6.2 – Volume Específico (vs)
É o inverso da massa específica ρ, isto é, é o volume ocupado pela unidade de massa de fluido.
1 V
vs = ----------- = -----------ρ
m
Unidades: M Kf S ..............m 3 /Utm
M K S................m 3 /kg
C G S................cm 3 /grama
1.7- Densidade de uma Substância(d)
É a relação entre o peso de uma quantidade de substância e o peso de igual volume de água nas
condições normais . Pode ser expressa também como sendo a relação entre a massa específica ou peso
específico de uma substância com os da água .Assim:
Peso da substância
d = ---------------------------------------
Peso de igual volume de água
Peso específico da substância γ
d = -------------------------------------- ou d = ------------
Peso específico de água γH2O

Massa específica da substância ρ
d = ----------------------------------------- ou d = -------------
Massa específica de água ρH2O
1.8 Pressão de Vapor
11
É a pressão desenvolvida pelas moléculas de vapor em decorrência da evaporação em ambiente
fechado. A pressão de vapor dos líquidos depende da temperatura e aumenta com ela.
Em diversas situações , de escoamento de líquidos , as pressões podem atingir valores bastantes
baixos, em certas regiões , até menores que a pressão de vapor do líquido. Quando isto ocorrer o líquido
pode-se evaporar muito rapidamente , formando uma bolsa de vapor ou “cavidade” , que se expande
rapidamente , e pode se deslocar para região de maior pressão que a da pressão de vapor ,ocorrendo o
colapso da bolsa. Este é o fenômeno da cavitação . A formação e a extinção das bolhas afeta o
desempenho das bombas e turbinas hidráulicas, e pode danificar as partes das máquinas onde ocorrer a
cavitação. A tabela 1C do anexo dá os valores da pressão de vapor da água.
1.9 -Tensão Superficial
Uma molécula no interior de um líquido está submetida a força de atração em todas as direções,
cuja soma vetorial destas forças é nula. Mas uma molécula na superfície de um líquido é atraído para o
interior do mesmo, por uma força perpendicular à superfície do líquido, em razão disso, as moléculas da
superfície tendem a se aglutinar, produzindo uma diminuição da área, deste modo, a superfície se
comporta como fosse uma membrana; surge daí o conceito de tensão superficial. Logo é necessário uma
certa quantidade de trabalho para deslocar moléculas para a superfície . Ao trabalho necessário para
deslocar estas moléculas para a superfície representa o que se denomina tensão superficial.
Devido a tensão superficial numa interface de um líquido com um gás forma uma película
elástica, capaz de sustentar uma agulha cuidadosamente colocada sobre ela.
A tensão superficial normalmente simbolizada por σs(sigma) pode ser definida como sendo a
força sobre a superfície líquida , por unidade de comprimento. Assim, se F for a força e L um
comprimento de membrana, pode-se escrever que:
σs = F/L
A tabela 1C do anexo fornece a tensão superficial da água em contato com o ar.
1.10 - Capilaridade
A elevação ou descida de um líquido em um tubo capilar( ou outro meio poroso)é causada pela
tensão superficial, e depende dos valores da coesão do líquido e da adesão do líquido às paredes do tubo
que o contém. Se a adesão> coesão os líquidos sobem nos tubos molhando a paredes e se coesão>
adesão os líquidos descem, não molhando as paredes. A capilaridade tem importância quando usam tubos
com diâmetros menores de 10mm e é desprezível quando os diâmetros dos tubos forem maior que 12mm.
A capilaridade(subida ou descida de um líquido) em tubo pode ser determinada aproximadamente
pela expressão:
2σs cosθ
h = ------------ , onde : - h = altura de subida ou descida capilar;
γ.r - σs = tensão superficial;
-θ = ângulo da superfície do líquido com a parede do tubo. Se
tubo estiver limpo θ=0° para água e cerca de 140° para
mercúrio;

12
-γ = peso específico do líquido;
-r = raio interno do tubo
r r
σs σs
θ
h
h
Água Mercúrio
θ
(a) (b)
σs σs
Figura 1.4- Capilaridade da água (a) e do mercúrio (b).
1.11-Lei de Viscosidade de Newton.
Os fluidos se classificam em newtonianos e não newtonianos:
FLUIDOS NEWTONIANOS: nestes fluidos a tensão de cisalhamento(τ) é proporcional a razão de
variação da velocidade na direção normal ao escoamento(gradiente de velocidade).Todos os gases e a
maioria dos líquidos se comportam como fluidos Newtonianos. A figura 1.5 mostra o comportamento de
um fluido newtoniano. Para estes fluidos:
dV
τ α --------dy
y(normal)
τ Vo τ
V dV
L dy V FLUIDO
y µ
V=0
Figura 1.5- Comportamento de um fluido newtoniano.
Foi o próprio Newton quem observou que o fator de proporcionalidade existente entre a tensão τ e
o gradiente de velocidade(dv/dy) é a propriedade do fluido denominada viscosidade dinâmica ou absoluta
µ .Logo:
dV
τ = µ -----dy
F

13
FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS : nestes fluidos não existe uma relação linear entre o valor da
tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação(gradiente de velocidade).
1.12-Diagrama Reológico.
Os fluidos são classificados em newtonianos e não-newtonianos. No fluido newtoniano existe uma
relação linear entre o valor a tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação resultante. No fluido
não-newtoniano esta relação não é linear.A figura dada a seguir mostra o comportamento de algumas
substancias quando sujeitas a tensão de cisalhamento.
dv/dy 1 2 3 4
Fluido ideal
1 - Fluido newtoniano
2 – Fluido não newtoniano
3 – Plástico ideal
4 – Substância pseudoplástica(
tinta de impressão)
dv/dy –Velocidade de deformação
Tensão de Tensão de Cisalhamento (τ)
Escoamento
1.13-Viscosidade de um Fluido.
1.13.1-Viscosidade Dinâmica µ
É a propriedade do fluido que determina o grau de sua resistência a força de cisalhamento. Pode-se
também ser definida como a resistência do fluido ao esforço cortante ou de cisalhamento. Esta resistência
é decorrente basicamente da interação entre as moléculas do fluido.
Dimensão de µ. .
Da Lei de viscosidade de Newton vem:
τ
µ. = --------dV/dy
[τ ] = [F L -2 ] ; [ V ] = [L T -1 ] ; [ y ] = [ L ]

[F L -2 ]
[µ ] = ------------ ---- = [F L- 2 T ] ==> [µ ] = [ F L- 2 T ].
[L T- 1 .L- 1 ]
Unidades:
M Kf S ............Kgfs/m 2
M K S .............Nxs/m 2
C G S..............dinaxs/cm 2 =1 poise
centipoise = poise/100
1.13.2-Viscosidade Cinemática ν
É a razão entre a viscosidade dinâmica µ e a massa especifica ρ.
µ
ν = --------ρ
Dimensão de ν :
[ µ ] [ F L- 2 T ]
[ν ] = --------- = ----------------- ===> [ν ] = [ L 2 T -1 ]
[ ρ ] [ F L -4 T 2 ]
14
Unidades: M Kf S ..................m 2 /s
M K S....................m 2 /s
C G S.....................cm 2 /s(stoke)
As viscosidades dos líquidos decrescem com o aumento da temperatura, mas não sofrem variações
sensíveis com as variações de pressão. A viscosidade absoluta dos gases aumenta com a temperatura ,
mas não sofre alterações sensíveis com as variações de pressão. Já a viscosidade cinemática dos gases
varia inversamente com a pressão, pois a massa específica dos gases varia com a pressão mantendo-se a
temperatura constante. As tabelas 1A, 1B, 1C e 2 do anexo fornecem as viscosidades dinâmicas e
cinemáticas de alguns fluidos.
1.14-Gás Perfeito
O gás perfeito é definido como uma substância que satisfaz a Lei dos Gases Perfeitos, cuja
equação é : m
P.V = n ℜ T , sendo n = ------- vem:
M
m P.V ℜ
P.V = ------- ℜ T ===> -------- = -------- T
M m M
ℜ 1 V
sendo : R = ------- e ------ = ------
M ρ m

P
Logo: ------ = R.T ; onde:
ρ
15
P - pressão absoluta do gás;
V - volume do gás;
n - numero de moles do gás;
ℜ - constante universal dos gases;
T - temperatura absoluta do gás;
R - constante característica de cada gás;
m - massa do gás;
M - peso molecular do gás;
ρ - massa especifica do gás.
O gás perfeito não é um fluido perfeito ; um fluido perfeito não tem viscosidade e é
incompressível , já o gás perfeito tem viscosidade e pode sofrer tensões de cisalhamento e é compressível
,e segue a lei dos gases perfeitos. A tabela 1A do anexo fornece os valores de R(constante característica)
de alguns gases.
Transformações:
a)Isobáricas(a pressão constante)
P1.V1 P2.V2 V 1
---------- = ----------- , como v = ------- = ------
T1 T2 m ρ
Logo: P P P P
-------- = --------- = --------- = ... =-------= cte
ρ1.T1 ρ2.T2 ρ3.T3 ρT
ρ1.T1 = ρ2.T2 = ρ3.T3 =........= ρT = cte. ou
P . V1 P . V2 P .V3 P. V
---------- = ------------ = ------------ = .... = ---------- = cte
T1 T2 T3 T
V1 V2 V3 V
---------- = ------------ = ------------ = .... = ---------- = cte
T1 T2 T3 T
b)Isovolumétrica(a volume constante ou ρ =cte)
P1 P2 P3 P
-------- = ------- = --------= .....= -------- =cte , ou
T1.ρ T2.ρ T3.ρ T.ρ

16
P1 P2 P3 P
----- = ------ = ------- =.... = ------ = cte
T1 T2 T3 T
c)Isotérmica(a temperatura constante)
P1 P2 P3 P
--------- = ------- = ------- =....= -------- = cte
ρ1.T ρ2.T ρ3.T ρ .T
P1 P2 P3 P
------ = ------ = -------=.....=------ = cte ou
ρ1 ρ2 ρ3 ρ
P1 . V1 P2 . V2 P3 .V3 P. V
---------- = ------------ = ------------ = .... = ---------- = cte
T T T T
P1.V1 = P2.V2 = P3.V3 = .....= P. V =cte
d)Adiabática (sem trocas de calor)
P1.v1 k = P2.v2 k = P3.v3 k =.....=Pn.vn k = cte.
1 1 1 1
Como v1 = ------ ; v2=----- ; v3 = ------ ;v = ---ρ1
ρ2 ρ3 ρ
P1 P2 P3 P
logo: ------- = -------- =--------- =... =------- =cte , onde:
ρ1 k ρ2 k ρ3 k ρ k
K = Cp/Cv=cte = é a relação entre o calor especifico a pressão constante e o calor especifico a
volume constante. Para o ar o K=1,4.
1.15-Modulo de Elasticidade Volumétrica E.
O módulo de elasticidade volumétrica (E) expressa a compressibilidade de um fluido. Pode ser
definida pela relação da variação da pressão unitária para a correspondente variação de volume por
unidade de volume. A figura 1.6 mostra o comportamento de um fluido quando submetido a uma
compressão.
dp dp ∆p
E = - --------- = ------------ = ------------dV/Vi
dρ/ρi ∆ V/Vi
Na figura 1.6 um recipiente indeformável de volume Vi, contém um líquido que foi submetido a
uma compressão dp e sofre uma redução de volume dV.

17
∆F dp
dV
Vi Líquido A
Recipiente indeformável
Figura 1.6- Comportamento de um líquido sujeito a uma compressão
Unidades : M Kf S ..........kgf/m 2
M K S.............N/m 2
C G S............ dina/cm 2
A tabela 1C do anexo fornece os valores do módulo de elasticidade volumétrico(E) da água para
diversas temperaturas.
1.16-Simplificação na Lei de Viscosidade de Newton.
Quando o espaço L entre as duas placas for pequeno será admitido que o perfil de velocidades que
forma no interior do fluido seja linear (AC será considerado uma reta) conforme mostra a figura 1.7.
y(normal)
Vo F
B V E dV C dV
F E F
L dy V
D FLUIDO dy
y µ D
A V=0
Figura 1.7- Comportamento do fluido quando se considera perfil linear de velocidades.
Da figura acima, tem-se que os triângulos ABC e DEF são semelhantes, logo:
dy dV dV Vo
------ = ------- ===> -------- = ------
L Vo dy L
dV Vo
τ = µ ------- e para L pequeno ===> τ = µ -----dy
L
Exemplos:
1-Transformar:
a) 1N em dinas b)10Kgf em N c)100m 2 /s em cm 2 /s d)1000kg/m 3 em g/m 3

18
e)10.000kgf/m 2 em kgf/cm 2 f) 10m 2 /s em cm 2 /s g)10kgf/m 2 em N/m 2
h)100dinas/cm 2 em Ns/m 2
Solução:
m
a) 1N = Kg ------- = 1000g x 100xcm/s 2 1N = 10 5 gcm/s 2 1N = 10 5 dinas
s 2
1Kg = 1000g ; 1m = 100cm
1gcm/s 2 = 1dina
b) 10kgf = 9,81x10 10 kgf = 98,1 N
1 kgf = 9,81 N
c) 100m 2 /s em cm 2 /s
1m 2 = 100cmx100cm = 10 4 cm 2 100m 2 /s = 100x10 4 cm 2 /s =10 6 cm 2 /s
d)1000Kg/m 3 em g/cm 3
1 kg = 1000g
1m 3 = 100cmx100cmx100cm =10 6 cm 3
1000x1000g
1000kg/m 3 = -------------- = 1g/cm 3
10 6 cm 3
e)10.000kgf/m 2 em kgf/cm 2
1m 2 = 100cmx100cm = 10 4 cm 2
10.000kgf/m 2 = 10.000kgf/10 4 cm 2 = 1kgf/cm 2
f) 10m 2 /s em cm 2 /s
1m 2 = 100cmx100cm = 10 4 cm 2
10m 2 /s = 10x10 4 cm 2 /s = 10 5 cm 2 /s
g)10kgf/m 2 em N/m 2
1 kgf= 9,81N
10kgf/m 2 = 10x9,81N/m 2 = 98,1N/m 2 = 98,1Pa(pascal)
h)100dinas/cm 2 em Ns/m 2
1N = 10 5 dinas 1dina = 10 -5 N
1m 2 = 100cmx100cm = 10 4 cm 2 1cm 2 = 10 -4 m 2

19
100dina.s/cm 2 = 100x10 -5 N.s/10 -4 m 2 =10N.s/m 2 =10Pas
2)Calcular o peso específico γ , o volume específico vs e a massa específica ρ , do nitrogênio a
20°C e 800.000Pa(absoluta)
Da tabela 1A do Anexo , tem-se : RN2= 30,3m/K
P
Lei dos gases : ------- = R T em que a unidade de R é em m 2 /s 2 .K ou
ρ
P
--------- = R T em que a unidade de R é em m/K
γ
P 800.000
Da 2 a expressão vem : γ = -------- = -------------------- γ =90,11N/m 3
RT 30,3x(273+20)
γ 90,11
ρ = -------- = ---------- ρ = 9,18 kg/m 3
g 9,81
1 1
vs = -------- = --------- vs = 0.1089 m 3 /kg
ρ 9,18
3)Determinar a variação em volume de 0,030m 3 de água a 30°C quando sujeito a um acréscimo
de pressão de 2100Kpa .
Da Tabela 1C do anexo E = 2,25Gpa E = 2,25x10 6 Kpa
Da definição de módulo de elasticidade volumétrica tem-se:
dp Vixdp 0,030x 2100
E = - -------- dv = ---------- dv = ----------------- dv = 0,000028m 3
dv/Vi E 2,25x10 6
4)Uma superfície plana bem grande é lubrificada com um óleo cuja viscosidade é de µ
=0,01Ns/m 2 . Pretende-se arrastar sobre a superfície lubrificada uma placa plana de 1m x10m a velocidade
1m/s. Pede-se para determinar a força a ser aplicada.
y placa de10mx1m
e=2mm Vo =1m/s
F
τ τ τ
Da lei de viscosidade de Newton simplificada(perfil de velocidades linear) vem:

20
Vo 1,0
τ = µ ------ F = τ x A = 0,01x---------- x10x1,0 F = 50N
e 0,002m
1.17-Unidades e Fatores de Conversão
SISTEMA INTERNACIONAL(SI)
GRANDEZAS SÍMBOLO UNIDADES DIMENSÃO
Comprimento c Metro(m) L
Tempo t Segundo(s) T
Massa m Quilograma(kg) M
Área A m 2
Volume Vol m 3
Vazão Q m 3 /s L 3 T -1
Velocidade V m/s L T –1
Aceleração a m/s 2
Freqüência f s -1
L 2
L 3
L T -2
Força F N(kgxm/s 2 ) M L T -2
Trabalho τ Nxm= 1 Joule(J) M L 2 T -2
Potência N Nxm/s= 1 Watt(W) M L 2 T -2
Pressão P N/m 2 (Pascal=Pa) M L -1 T -2
Tensão σ , τ N/m 2 (Pascal=Pa) M L -1 T -2
Viscosidade
dinâmica µ Nxs/m 2
T -1
M L -1 T -1
Viscosidade
cinemática ν m 2 /s L 2 T -1

21
1.18-Fatores de Conversão de Unidades
1 pe 3 (ft 3 ) = 7,48U.S. gallons = 28,32 litros
1 U.S. gallons = 8,338 litros de água a 60° F
1 pé cúbico por segundo(cfs) = 0,646 milhões de galões por dia(mgpd)
1 pé cúbico por segundo(cfs) = 448,8 galões por minutos
1 pé quadrado por segundo(ft 2 / sec) (ν)= 0,0929 m 2 /s
1 libra- segundo por pé quadrado(lb-sec/ft 2 ) (µ ) = 478,7 poises
1 horsepower(hp)= 550 libras-pé/segundo(lb-ft/sec) = 0,746 quilowatt
1KN = 1000N
1 KN/m 2 = 1 KPa = 1000 Pa ; 1Psi = 1 l bf/in2 = 6894,7572931Pa ; Patm = 14,7 Psi
Patm =101,35 KPa
1 Joule = 1Nxm(J)
1 Watt = 1 J/s (Nxm/s)
1 caloria = 4,19 Joule
1 Kcaloria = 1000 calorias
1 UTM = 9,81 kg
1 kgf = 9,81N.

22
1.19-Fatores de Conversão do Sistema Britanico ao Sistema Internacional
Grandezas Sistema Britânico para SI Do sistema SI para o
Britânico
Comprimento 1in(polegada)=0,0254m
1ft(pé) = 0,3048m
1m = 39,37in
1m = 3,281ft
Massa 1 slug = 14,59 kg 1kg = 0,06854 slug
Força 1 lb = 4,448 N 1N = 0,2248 Lb
Tempo 1 sec = 1s 1s = 1 sec
Peso específico 1 lb/ft 3 = 1 157,1 N/m 2
Massa específica 1 slug/ft 3 = 515,2 kg/m 3
Densidade Adimensional e tem o
mesmo valor
Viscos. Dinâmica 1 lb-sec/ft 2 = 47,88Nxs/m 2
1 N/m 2 = 0,006366 lb/ft 3
1 kg/m 3 = 0,001941 slug/ft 3
Adimensional e tem o
mesmo valor
1 Nxs/m 2 =0,02089lb-sec/ft 2
Viscos. Cinemática 1 ft 2 /sec = 0,09290 m 2 /s 1m 2 /s = 10,76 ft 2 /sec
Pressão 1 lb/ft 2 = 47,88Pa
1 lb/pol 2 = 6,895kPa
1 Pa = 0,02089 lb/ft 2
1 Kpa = 0,1450 Lb/pol 2
Tensão Superficial 1 lb/ft = 14,59 N/m 1 N/m = 0,06853 lb/ft

23
1.20-EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 1
1)Se a água tem módulo de compressibilidade volumétrica E= 21.000kgf/cm 2 , qual o acréscimo de
pressão requerido para reduzir seu volume de 0,5%?
2)Qual o valor do volume específico em m 3 /kg de uma substância cuja densidade vale 0,8?
3)Determinar o peso específico do ar à pressão atmosférica normal 1,033kgf/cm 2 e a temperatura de 27
°C . Dado constante do ar = 29,4m/K .
4)A massa específica da água a 20°C e a pressão atmosférica vale 1000kg/m 3 .Calcular o valor da massa
específica de um volume de água que sofreu um acréscimo de pressão de
1000kgf/cm 2 , mantendo-se a temperatura . Dado : E= 21.000kgf/cm 2 .
5)Determinar o valor da constante R, em m/K, para o ar atmosférico, supondo que esta seja composto de
80% de nitrogênio e 20% de oxigênio .Dados:
-Massa molecular do nitrogênio = 28kg(kgmol)
-Massa molecular do oxigênio = 32kg(kgmol)
-Constante Universal dos gases perfeitos -ℜ =848kgfm/k.
6) Um fluido tem viscosidade igual a 4 centipoises e massa específica de 800kg/m 3 . Determinar sua
viscosidade cinemática em stokes.
7)Qual o módulo de compressibilidade volumétrica de um líquido que tem um aumento de 0,02% na
massa específica para um aumento na pressão de 4800kgf/m 2 ?
8)Um balão sonda de formato esférico foi projetado para ter um diâmetro de 10m a uma altitude de
45.000m. Se a pressão e a temperatura nesta altitude são respectivamente 2000kgf/m 2 (abs) e -60°C,
determinar o volume de hidrogênio a 10.000kgf/m 2 (abs) e 20°C necessário para encher o balão na terra.
9)Um corpo pesa 1962N, tem volume igual a 0,025m 3 , determinar: γ ; ρ e d.
10)A viscosidade cinemática de um fluido é 2,8x10 −2 m 2 /s e a densidade é 0,9.Determinar a viscosidade
dinâmica nos sistemas MKS e CGS. Adotar g= 10m/s 2 .
11)Se a massa específica de um líquido é 835 kg/m 3 , determine seu peso específico e a sua densidade no
sistema MKS.
12)Um volume de 0,056m 3 de ar em pressão atmosférica é comprimido para 0,014m 3 .Em condições
isotérmicas , qual a pressão final? Dado: Patm =10.200kgf/m 2
13)Determine a viscosidade absoluta do mercúrio em Ns/m 2 , supondo uma viscosidade em poises de
0,0158.
14)Uma placa quadrada de 1m de lado e 2 kgf de peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, sobre uma
película de óleo de 2mm. A velocidade da placa é 2m/s(cte).Qual é a viscosidade dinâmica?
Vo
1m
30°
15)Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade constante Vo = 10/π m/s. Entre o pistão e o
cilindro existe uma película de óleo de viscosidade cinemática ν = 10 −3 m 2 /s e γ =
900kgf/m 3 .Sendo o diâmetro do pistão igual a 10cm, o diâmetro do cilindro 10,2cm, determinar o peso do
pistão. Adotar g=10m/s 2 .
2mm
óleo

e
24
De=10,2cm
G
Di =10cm
L = 5cm
16)O peso G da figura ao descer gira o eixo que está apoiado em dois mancais cilíndricos de dimensões
conhecidas, com velocidade angular ω. Determinar G, desprezando a rigidez e o atrito da corda, supondo
que o diagrama de velocidade no lubrificante seja linear? Dados :
D =0,02m; De= 0,102m ;Di =0,10m ; ω =20/π rd/s ; µ= 0,008kgfs/m 2 e L=0,10m..
L óleo L óleo
óleo
D=0,02m
De Di Di
ω
G
17)Admitindo o diagrama de velocidade indicada na figura na qual a parábola tem seu vértice a 10cm do
fundo. Calcular o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento para y=0; y=5cm e y=10cm.Adotar
µ = 400centipoises.
y
Vo=2,5m/s
e=10cm µ
18)Determinar a viscosidade através de um viscosímetro de cilindros coaxiais. São dados: Di= 10cm ;
De= 10,04cm ;n= 90 rpm; h=20cm ; Mt= 0,04kgfm= 3924000dinacm e ω = 3 rd/s.
Mt
µ
Di
e De h
ω
19)Um eixo cilíndrico vertical de diâmetro 10cm gira no interior de um mancal de 10,05cm. A folga entre
o pistão e o mancal é preenchido com óleo de viscosidade dinâmica igual 0,001kgfs/m 2 .Se o mancal tem
25 cm de comprimento e o cilindro gira com uma rotação de 1500rpm, qual será o momento resultante.

25cm
ω
10cm
10,05cm
25
óleo
20)Demonstrar que o conjugado necessário para manter o movimento do cone da figura tem expressão :
M = πµωR 3 /2e R 2 + h 2
R ω
e h
21)Um corpo cônico gira a uma velocidade angular constante ω . Uma película de óleo de viscosidade µ
separa o cone do recipiente que o contém. A espessura da película é e. Qual o momento necessário para
manter o movimento . O cone tem base com R de raio e uma altura h. Utilize a distribuição linear de
velocidade e admitir que o fluido é newtoniano.
ω
h e µ
R e
µ

1.21-RESPOSTAS - CAPÍTULO 1
1-dp = 105 kgf/cm 2 =10.300,5KPa; 2- v = 1,25x10 -3 m 3 /kg ; 3- γ = 1,17kgf/m 3 ;
26
4-1047,62kg/m 3 ou 1050kg/m 3 ; 5-R = 29,4m/K ; 6- ν =5x10 −2 stokes ; 7-2.400kgf/cm 2 ;
8- Vol = 144 m 3 ; 9-γ =78.480N/m 3 ; ρ = 8000kg/m 3 =815,49UTM/m 3 e d = 8 ;
10- µ = 25,2Ns/m 2 e µ =252 dinaxs/cm 2 (poise) ; 11- γ = 8191N/m 3 e d=0,835;
12-P=40.800kgf/m 2 ; 13-µ =0,00158Ns/m 2 ; 14-µ =0,001 kgfs/m 2 15-G = 4,5 kgf ;
16-G = 0,8kgf ; 17-τ(0)= τmáx = 2,0kgf/m 2 ; τ(5cm) =1kgf/m 2 e τ(10cm)=0 ;
18- M = (3/4e)π 2 µ [ De 3 L + Di 4 /8 ] = 0,516dinaxs/cm 2 ; 19-1,23kgfxm ;
21- M = (π/ 2e) µ R 3 ω [ R + R 2 + h 2 ] ;

27
CAPITULO 2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS NO CAMPO GRAVITACIONAL
E MANOMETRIA
2.1-Pressão (p)
Pode ser definida pela relação de uma força F uniformemente distribuída sobre uma superfície de
área A , pela área. Assim:
F
p = --------
A
2.2-Equação Fundamental de Equilibrio Estatico.
Uma partícula de fluido em repouso, sujeita a ação do campo gravitacional terrestre, estará
submetida a forças de duas natureza :forca de massa(gravidade) e força de superfície(pressão).
O equilíbrio dessas duas forças agindo sobre uma partícula de fluido elementar leva a condição
diferencial válida para uma massa fluida qualquer submetida ao campo da gravidade, conhecida como
equação fundamental de equilíbrio estático,conforme mostra a figura 2.1.
Sendo: p - a pressão estática no ponto;
ρ - a massa especifica do fluido no ponto;
g - a aceleração da gravidade no ponto;
z - a cota do ponto, medida a partir de um nível de referencia arbitrário,
Obtém-se as forças de pressão e a força peso conforme a seguir será mostrada.
A força de pressão dF1 é a resultante das forças de pressão que atuam sobre cada uma das faces do
elemento de volume.Tomando-se um elemento de volume com formato de um paralelepípedo retangular ,
as três faces situadas nos planos coordenados corresponde no limite a mesma pressão p., enquanto que nas
outras faces opostas devem ser levados em conta os acréscimos havidos nas direções dos eixos
coordenados, conforme é mostrado na figura abaixo.

28
P
Z P dz dxdy
z +
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂ ⎠
Pdydz
⎛ ∂P
⎞
dz ⎜ P + dy⎟dxdz
⎝ ∂y
⎠
k dy
Pdxdz i j
dx
P
X P dx dydz
x +
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂ ⎠
Figura 2.1
Então a força de pressão dF1 será dada por:
dF1 =[pdzdy - (p + ∂P
dx)dydz] i +
∂x
+ [pdxdz - (p + ∂P
dy)dxdz] j +
∂y
+ [pdxdy - (p + ∂P
dz)dxdy] k ,
∂z
que simplificando tem-se:
dF1 = - ( ∂P
∂x
∂P
i +
∂y
∂P
j +
∂z
k )dx dy dz
Pdxdy
dF2 = ρ g dx dy dz K
A força peso dF2 corresponde ao volume elementar considerado e será dado por :
dF2 = ρg dvol k = dF2 = ρ g dxdydz K
Pela condição de equilíbrio estático vem:
Y

- ( ∂P
∂x
dF1 + dF2 = 0
∂P
i +
∂y
∂P
j +
∂z
29
k )dxdydz - ρg dxdydz k = 0
Dividindo a expressão acima por: dvol=dxdydz fica:
( ∂P
∂x
∂P
i +
∂y
∂P
j +
∂z
k ) + ρ g k = 0
Lembrando que a expressão entre parênteses da equação acima é o gradiente da pressão tem-se
então:
Grad p + ρg k = 0 ou
∇ p + ρg k = 0 ;
que é a chamada equação fundamental de equilíbrio estático para o campo de forças de gravidade, dada
sob a forma de diferencial.
As componentes da equação fundamental de equilíbrio estático nas direções X , Y e Z fornece as
seguintes equações escalares:
∂P
= 0
∂x
∂P
= 0
∂y
∂P
+ ρ g = 0
∂z
ou separando-se as variáveis , finalmente
dp + ρ g dz = 0
pressão constante num plano horizontal.
A integração da equação fundamental do equilíbrio estático dp + ρ gdz = 0 exige o conhecimento
da variação da aceleração da gravidade em função da altitude, e da relação existente entre a pressão e a
massa especifica do fluido que se considere.
De uma maneira geral, nas aplicações práticas a aceleração da gravidade pode ser considerada como
constante.Assim dentro do intervalo de altitudes compreendidas entre a maior profundidade encontrada
nos oceanos(10km aproximadamente abaixo do nível do mar) e as camadas elevadas da
estratosfera(aproximadamente 20km acima do nível do mar) a variação da aceleração da gravidade é
desprezível comparada com as correspondentes variações de pressão, o mesmo da massa especifica do ar
atmosférico ou da água.
A seguir reproduz-se a tabela da variação da aceleração da gravidade em função da latitude e da
altitude adotada como padrão nas normas internacionais.

30
Variação da aceleração da gravidade “g” com a latitude e a altitude média acima do nível médio
do mar.
Latitude Altitude em metros acima do nível médio do mar
0 1000 2000 4000
Graus m/s 2
m/s 2
m/s 2
m/s 2
0 9,78049 9,77740 9,77432 9,76815
10 9,78204 9,77896 9,77587 9,76970
20 9,78652 9,78343 9,78034 9,77417
30 9,79338 9,79029 9,78721 9,78103
40 9,80180 9,79872 9,79563 9,78946
50 9,81079 9,80770 9,80461 9,79844
60 9,81924 9,81615 9,81307 9,80690
70 9,82614 9,82305 9,81997 9,81380
• valor padrão internacional adotado para “g” pela Comissão Internacional de Pesos e Medidas é
9,80665 m/s 2 correspondente aproximadamente à latitude de 45° e ao nível do mar.
2.3-Diferença de Pressão Entre dois Pontos em Função da Diferença de Cota.
a)Para fluidos incompressíveis( ρ =cte)
A massa especifica dos líquidos pode ser considerada como constante na grande maioria dos
fenômenos de equilíbrio estático.Sòmente em aplicações dinâmicas onde tenha interesse a propagação de
perturbações no seio da massa de liquido é que deve sempre ser levada em conta a variação da sua massa
especifica em função da pressão(fenômeno do golpe de aríete).
Para os líquidos e em algumas situações dos gases pode-se admitir massa especifica constante.
Nestes casos a diferença de pressões ∆P entre dois pontos dada em função da diferença de cotas
∆z é ,
∆P = P1 - P2 = ρ g(Z2 - Z1) =∆P= ρg ∆z ou ∆P = γ∆h
b)Para fluidos compressiveis.
Nos fenômenos em que a massa especifica dos fluidos não podem ser considerados constante, para
obter a diferença de pressões entre dois pontos no interior destes fluidos em função da diferença de cotas
z e necessário conhecer como varia ρ = ρ (z), para pode integrar a equação fundamental de equilíbrio
estático, como mostra a figura 2.2.
∫ ∫ − =
2 P2
1
∆Z P1
Z2 Z1
Figura 2.2
( z)
ρ = ρ (z)
2 2
dp gρ
dz = P2 - P1 = - g ( )
1 1
∫ 2
ρ
z
1
dz

31
2.4-Variação da Pressão na Atmosfera Terrestre.
a)Na região da atmosfera onde a temperatura varia linearmente com a altitude.
Na região da atmosfera denominada Troposfera que fica compreendida entre o nível do mar e
aproximadamente 11km acima deste nível a temperatura varia linear com a altitude.
Aplicando-se à atmosfera :
- a Lei dos gases : P
= RT (1)
ρ
-a equação fundamental do equilíbrio estático:
dp = - ρ g dz (2) e
-a Lei da variação da temperatura: T = T1 + K z (3)
é possível estabelecer a expressão que fornece a diferença de pressões entre dois pontos desta
região. Assim:
Da expressão (3) vem,
T - T1 dT
z = -------- == dz = ----- (4)
k K
Substituindo (1) em (2) vem,
p
dp = - g ----- dz (5)
RT
Substituindo (4) em (5) , fica,
Z
Z
Z1
p dT
dP = - g ----- . ----- (6)
RT k
Figura 2.3
A equação (6) pode ser escrita:
T P
T1 P1
T

dp g dT
----- = ------ ----- (equação diferencial de variáveis separadas)(7)
p RK T
Integrando a equação (7) entre o ponto 1 e uma posição genérica vem:
dP g
=−
P RK ∫
P
T
∫P1 T1
dT
T
g
LnP - LnP1 = -------[ LnT - Ln T1 ]
RK
P/P1 =(T/T1)
Finalmente,
32
P T
=Ln P = - g
RK LnT
P1 T1
g
g
−( )
( )
RK RK
=== P/P1= (T1/T)
T1 g/RK
P = P1 ( -----------)
T1 + Kz
b)Na Atmosfera Isotérmica.
A região da atmosfera aproximadamente 11km acima do nível do mar(até cerca de 80 km)
denomina-se Estratosfera. Nesta região a temperatura se mantém constante em torno de -56,5 °C.
Da equação fundamental de equilíbrio estático:
dp = - γ dz = - ρ g dz(1)
e da lei dos gases para temperatura constante :
P P1 P ρ1
------ = ------ = cte = ρ = ------- (2)
ρ ρ1 P1
Z
P
Z P1
Z1
Figura 2.4
1
T=cte
T =cte
T

33
p dp γ1 dz
tem-se: dp = - ----- ρ1 g dz = ------ = - -------- (3)
P1 p P1
Integrando a equação (3) entre o ponto 1 a uma posição genérica vem:
P Z
dp
p P dz
P γ Z
1
∫ =−
P ∫ = Lnp =
1 Z1
1
γ 1
P 1
z
P1 Z1
γ 1
P - -----(z - z1) , finalmente:
----- = e P1
P1
γ 1
- ----- (z - z1)
P = P1 e P1
2.5 –Altura de Carga h
A altura de carga h representa a altura de uma coluna de fluido homogêneo que produz uma dada
intensidade de pressão p. Assim:
p
p = γ h h = --------γ
Para melhor esclarecer este conceito vamos fazer um exemplo. Se a pressão no fundo de um
reservatório contendo água é de 0,80kgf/cm 2 . Pergunta-se , qual a altura de água(carga) no reservatório se
γH20 = 1000 kgf/m 3 ou qual a altura de coluna de água produz a pressão de 0,80kgf/cm 2 .
h
H20 P =0,80kgf/cm 2
Lembrando que 1cm 2 = 10 -4 m 2 , vem:
P = 0,80kgf/cm 2 = 0,80kgf/10 -4 m 2 P = 0,8x10 4 kgf/m 2 P = 8.000kgf/m 2
8.000 kgf/m 2
h = ----------------- h = 8m , logo a altura de carga ou lâmina de água no reservatório é
1000kgf/m 3 de 8m.
Obs: Sempre é possível transformar uma determinada pressão para uma altura de carga de um
determinado fluido(altura de coluna de fluido ) pela expressão h = p/γ . Também é possível transformar
uma altura de carga h de um fluido qualquer para uma pressão através da expressão :
P = γh.
1 o -Exemplo de aplicação- Determinar a pressão do reservatório A. São dados : h1 = 1,00m , h2=
1,20m , γH20 = 1000kgf/m 3 , γHg = 13.600khg/m 3 e Patm = 720mm de Hg.

PA
A
34
h1 h2
H20 Hg
PM PN
PM=PN(pontos com mesma cota de um mesmo fluido em repouso)
PN - Patm=h2. γ Hg PN=h2 . γHg + Patm
PM - PA = γ H2O.h1 PM=PA + h1. γ H2O
PM=PN PA + h1.γ H2O = h2.γ H2O + Patm
PA = h2.γ Hg + Patm - h1.γ H2O.
Numericamente tem-se:
Patm = 720mm de Hg = 0,72mx13.600kgf/m 3 Patm = 9792kgf/m 2
PAabs = 1,2x13.600 + 9792 – 1,00x1000 PAabs =25.112 kgf/m 2 . A pressão PA obtida é uma
pressão absoluta porque nela está incluída a pressão atmosférica local.
2 o -Exemplo de Aplicação- Determinar a diferença de pressão entre os reservatórios A e B.
PA
A
γA
d3 B
d1 PB
d2 γB
PM PN
Hg
PM=PN(pontos com mesma cota de um mesmo fluido em repouso)
PM - PA = d3. γA + d2. γ Hg PM=PA + d3. γA + d2. γ Hg.
PN - PB = d1. γ B PN= PB + d1. γB.
PM = PN PA + d3. γA + d2. γ Hg =PB + d1. γB
PB - PA= d3. γ A + d2. γHg - d1. γB.
2.6-Lei de Pascal
"A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso, transmite-se integralmente a todos os
pontos do fluido. A experiência da figura 2.5 mostra este fato. Se aplicamos uma pressão de 1kgf/cm 2 na
superfície livre do liquido, todos os pontos do fluido sofrerá um acréscimo na pressão de 1kgf/cm 2 .

35
F= 10kgf
A= 10cm 2
F 10
∆p = ----- = --------
H20 H20 A 10
1m γ =1000kgf/m 3 1m ∆p = 1 kgf/cm 2
Pf = 1000kgf/m 2 Pf = P + ∆p = 0,10 + 1
Pf = 0,10kgf/cm 2 Pf = 1,10 kgf/cm 2
Figura 2.5 –Verificação da Lei de Pascal
Com aplicação da força F = 10kgf na área de 10cm 2 houve um acréscimo de pressão de
1,00kgf/cm 2 em todos os pontos do fluido e não apenas no fundo do recipiente.
2.7-Regra prática para determinação da diferença de pressão entre dois pontos ou entre dois
reservatórios.
"Partindo-se da pressão de um dos reservatórios somamos as pressões das colunas descendentes e
subtraímos as das ascendentes e igualamos , o resultado , a pressão do outro reservatório. As alturas são
tomadas a partir das superfícies de separação entre os fluidos". Na figura 2.6 tem-se dois reservatórios
interligados por manômetros com diversos fluidos .Para obter a diferença de pressão entre os reservatórios
será aplicada a regra prática anteriormente enunciada.
B
A γ1 γ4
h6 γ6
PB
PA h1
γ2
h2 γ3
h3 h4 h5
Figura 2.6 –Aplicação da regra prática para determinação da diferença de pressão
PA + γ1.h1 + γ2.h2 - γ3.h3 + γ4.h4 - γ5.h5 - γ 6.h6 = PB
2.8- Pressão Atmosférica. Vácuo e Escalas de Pressão
2.8.1- Pressão Atmosférica.
É a pressão exercida pela atmosfera terrestre , que varia com as mudanças das condições
atmosféricas e diminui com a elevação da altitude. Ao nível do mar, a pressão atmosférica média é de
101,3kpa ou 760mm de Hg ou 1,033kgf/cm 2 ou 10,33mca(metro de coluna de água) ou 1 atmosfera..
Qualquer destes valores é considerada como “pressão atmosférica padrão”.
γ5

36
A pressão atmosférica pode ser medida por aparelhos denominados barômetros. Um barômetro
simples consiste de um tubo de mais de 762mm de comprimento aberto apenas em uma de sua
extremidade e um reservatório aberto para atmosfera contendo mercúrio metálico . O tubo de vidro
cheio de mercúrio sendo invertido e mantido na vertical,de forma que a sua extremidade aberta fique
submersa no mercúrio, tem-se um barômetro. Para medir a pressão atmosférica local através deste
barômetro basta fazer a leitura da coluna de mercúrio que se forma dentro do tubo, que normalmente
apresenta uma escala. O espaço acima do mercúrio contém vapor do mesmo. A figura 2.7 dada em
sequência mostra este tipo de barômetro.
Vapor de mercúrio
h
Patm
Hg
Figura 2.7 - Barõmetro
2.8.2- Vácuo.
Hg
Patm = h de Hg
É o termo utilizado para referir-se a um espaço que tem uma pressão menor que a pressão
atmosférica local.
Um vácuo indica o quanto a pressão de um ambiente está abaixo da pressão atmosférica.
Por exemplo: se a pressão num recipiente for 0,60kgf/cm 2 e a pressão atmosférica local de
1,00kgf/cm 2 , é dito que o recipiente está com vácuo de : 1,00 – 0,60 = 0,40kgf/cm 2 (vácuo)
2.7.3- Escalas de Pressão.
Uma determinada pressão pode ser medida a partir de duas referências : da atmosfera local e do
vácuo absoluto .
Se a pressão é medida a partir da atmosférica local , está-se utilizando a escala relativa e a pressão
medida é denominada de pressão relativa , pressão manométrica ou pressão efetiva, e se a pressão está
sendo medida a partir do vácuo absoluto está-se utilizando a escala absoluta para medir a pressão e ela é
denominada pressão absoluta. Na indicação das pressões absolutas para diferir das relativas , elas devem
vir acompanhadas do termo abs, como índice da letra p de pressão ou entre parênteses após a unidade da
pressão. Assim, para indicar que 250 Kpa é uma pressão absoluta escreve-se:
Pabs = 250 Kpa ou P = 250 Kpa(abs)
Portanto, na escala relativa a pressão é medida a partir da pressão atmosférica local onde ela vale
zero. Em vista disso, pressões menores que Patm são negativas e pressões maiores que Patm são
positivas.
Já na escala absoluta a pressão é medida a partir do vácuo absoluto onde ela vale zero absoluto.
Na pressão absoluta está inclusa a pressão atmosférica local .Assim, pode-se escrever que:
Pabs = Prel + Patm
O esquema da figura 2.8 ilustra como medir pressões nas duas escalas.

37
Pressão Absoluta Patm -
Pressão Relativa
+
Pressão Atmosférica local
(Patm = 0 - Escala
relativa)
Vácuo Absoluto
(Pabs =0)
Figura 2.8 – Escalas de pressão
Exemplo de aplicação . O recipiente dado a seguir contém um fluido cuja pressão está sendo
medida por um manômetro de “Bourdon” do tipo mostrado na figura e que esta pressão vale 2,0kgf/cm 2 .
Pergunta-se: qual a pressão relativa e absoluta do fluido, sabendo-se que a pressão atmosférica local
medida por um barômetro é de 700mm de Hg . Dado: γHg = 13.600kgf/m 3 .
F
P =2,0kgf/cm 2
A pressão relativa é a própria pressão de 2,0kgf/cm 2 , pois o manômetro de “Bourdon” mede
pressão a partir da pressão atmosférica , isto é, a pressão relativa ou pressão manométrica ou pressão
efetiva. Assim, a pressão relativa será :
P = 2,0 kgf/cm 2 (pressão relativa)
Já a pressão absoluta é obtida adicionando à pressão relativa a pressão atmosférica local em
unidades coerentes.
Patm = 700mm de Hg = 0,70mx13.600kgf/m 3 Patm = 9520 kgf/m 2
Como a pressão relativa está em kgf/cm 2 e a absoluta em kgf/m 2 , para somar as duas pressões é
necessário antes mudar a unidade de uma delas. Vamos mudar a unidade da pressão atmosférica e
depois somá-la a pressão relativa p. Como 1m 2 = 10 4 cm 2 ou 1cm 2 = 10 -4 m 2 , então:
Patm = 9520kgf/10 4 cm 2 Patm = 0,9520kgf/cm 2 e
Pabs = P + Patm = 2,0 + 0,9529 Pabs = 2,9520kgf/cm 2 .
2.9-Aparelhos de medir pressão
a)Manômetro de Bourdon. Tubo Metálico
Fluido sob pressão
Escala ligado a um sistema
de ampliação

)Manômetro de Coluna de Fluido
38
γ2
A
PA + h2. γ2 - h1. γ1 = 0
h1
PA γ1 PA = h1. γ1 – h2. γ2
h2
c)Piezômetro Tubo transparente graduado
(Piezômetro)
h P = γ . h
Fluido sob pressão
Obs: Os tubos piezométricos deverão ter diâmetros maior que 12mm para não sofrer o efeito da
capilaridade, e causar erros na medição de pressão.
2.10-Unidades de Pressões e Pressões Equivalentes
MKS- N/m 2 ; KN/m 2 = 1000N/m 2
MKfS- kgf/m 2 ;
CGS - dina/cm 2
1 atmosfera= teoricamente a 1,033kgf/cm 2 e na prática a 1,0kgf/cm 2 ;
1 kgf/cm 2 = 10 4 kgf/m 2
760 mm de Hg = 1 atm = 1kgf/cm 2 ;
1 atm = 10,0 mca(metro de coluna de água) = 1kgf/cm 2 ;
1 Lb/pol 2 = 0,07kgf/cm 2 .
1MPA(megapascal) = 10 kgf/cm 2 = 100mca.
Obs. Utilizando-se a tabela 3 do anexo é possível transformar pressões com uma determinada
unidade para outras.
γ

39
2.11-EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 2 - Estática dos Fluidos no Campo Gravitacional e
Manometria.
1)Nas medidas de pressões elevadas utiliza-se uma combinação de manômetro de peso morto com
manômetro de coluna líquida de um só tubo conforme a figura . Conhecendo-se os valores dados na
figura, determinar a pressão do reservatório E.
H2O óleo W1
E ∆Z3 W2
∆Z1 ∆z2 A
óleo
Hg
2)A figura mostra um tubo “U “ fechado em um extremo e com o outro terminado em um cone. Enche-se
o cone de mercúrio e o ar contido apenas no tubo “U “ comprime-se isotèrmicamente , qual o valor de ∆h
, quando o cone está completamente cheio de mercúrio? Dados: h1; L ; γHg, b e a .
Ar
h1
Hg ∆h
a
b
L
3)A figura abaixo representa um recipiente contendo um líquido mantido a nível constante cuja
temperatura varia linearmente com a altura decrescendo da superfície para o fundo onde vale 20 °C . A
taxa de variação é igual a 40 °C/m. Sabe-se que o peso específico do líquido varia linearmente com a
temperatura diminuindo quando esta aumenta, com uma taxa de variação de 5kgf/m 3 °C. A 20 °C o peso
específico do líquido vale 1200kgf/m 3 . Calcular a altura H da superfície livre do líquido contido no
recipiente. Dados : h1=50cm ; h=10cm e γHg = 13.600 kgf/m 3 .
H
h1=50cm
Hg
h =10cm
4)Calcule a altura manométrica correspondente à diferença de pressões entre as tubulações de recalque e
de sucção de uma bomba hidráulica a partir dos níveis manométricos observados na figura abaixo.

40
Ps sucção H2O recalque H2O Pr
B
h1 H2O
H2O
h2 h3 h4 h5 h6
Hg Hg Hg
5)Achar a diferença de pressão entre os tanques A e B da figura, se : d1=30cm ; d2=45cm e d3= 20cm ;
γH20 = 1000kgf/m 3 e γHg = 13.600kgf/m 3 .
d3 Ar
H2O B
45°
A
d1 d2 Hg
6)Qual é a pressão PA da figura abaixo. Dado densidade do óleo d=0,8 ; γH2O=1000kgf/m 3 e γHg =
13.600kgf/m 3 .
PA
Ar
óleo 3m 4,5m Hg
H2O 0,30m
7)Qual a pressão no centro do recipiente A da figura abaixo. Dados: γH2O= 1000kgf/m 3 e γHg=
13.600kgf/m 3 e dol = 0,8.
H2O óleo
2,60m
A
0,20m
0,30m
0,2m Hg

41
8)Para uma leitura manométrica em A de –0,175kgf/cm 2 , determinar: a)a elevação dos líquidos nas
colunas piezométricas abertas :E;F e G b)deflexão do mercúrio no manômetro em “U “ da figura. Dados :
γH2O = 1000kgf/m 3 e γHg =13.600kgf/m 3 .
A Ar E F G
14,7m
11,4m d=0,7
7,8m H2O
4,2m 6,0m d=1,6
h Hg
9)Um avião munido de um barômetro sobrevoa uma região do Atlântico cuja distribuição média de
temperatura é indicada na figura. O barômetro indica uma pressão de0,275kgf/cm 2 .Calcular a sua altura
conhecendo-se a expressão : P/ρ =RT , sendo R=287m 2 /s 2 K.
Z(m)
-17,5°C 5000m
Z=0 15°C
10)Tem-se um tubo barométrico situado ao nível da superfície de uma represa na cota Z1=520m,
indicando pressão atmosférica local de 716mm de Hg. Numa seção da tubulação na cota Z2=20m tem-se
outro barômetro indicando pressão atmosférica local de 760mm de Hg. Pergunta-se qual é a pressão
relativa no eixo da tubulação na cota Z2= 20m sabendo-se que não há escoamento.
520m
T
H2O
20m Tubulação
11)Dois reservatórios com níveis diferentes contém o mesmo líquido (de peso específico γ) e são ligados
por dois manômetros conforme indicado na figura abaixo. Obtenha uma relação para γ em função das
leituras manométricas A e B , e de γA γB.

γ
B
A γA
γB
12)Qual é a diferença de pressões entre os pontos A e B dos depósitos da figura abaixo?
H2O
A
d2
Hg
42
d1 H2O
d3 B
13)Suponhamos unidos dois depósitos por um tubo de seção constante em forma de “U “, como mostra a
figura. Os depósitos estão cheios de água e as suas cotas piezométrica são h1 e h2(h1 - h2). Os
manometros contém mercúrio e água. Pede-se determinar a diferença de cotas (h1 - h2) entre os
reservatórios. Dados: γ H2O , h e γ Hg.
h1
h2
H2O H2O
H2O
γ
h h H2O
Hg Hg
14)Na medida de pequenas pressões de ar, utiliza-se um manômetro de tubos “U “ cujo planos é inclinado
de um ângulo α relativamente à horizontal. Sabendo-se que o fluido manométrico é álcool , de massa
específica ρ =7,65x10 2 kg/m3, qual é a diferença de pressões ∆p medida pelo manômetro, expressa em
mm de coluna de água, quando a distância entre os dois meniscos, medida segundo a linha de maior
declive do plano do manômetro for igual a L = 0,45m. Adotar α = arc sen1/2.
L
∆P Álcool
α

43
15)Nas medidas de pressões com grande precisão, utiliza-se um micromanômetro; a figura mostra um
determinado tipo. Neste sistema empregam-se dois líquidos imiscíveis de pesos específicos γ1 e γ2
respectivamente. Supondo que nos recipientes A e B temos gases de pesos específicos desprezíveis,
calcular Pa-Pb em função dos dados: d ; γ1 ; γ2 e δ. Se a área de seção reta do tubo é a , e a dos
depósitos C e D é A, determinar δ em função de d, e justificar porque quando a/A for muito pequeno e
γ1 quase igual a γ2, uma pequena diferença de pressão Pa-Pb produzirá uma grande variação de d, o que
dará por sua vez um instrumento muito sensível.
Área A
A Área A B
δ
γ1
γ1
área a d área a
16)Determinar analiticamente a diferença de pressões PA-PB entre os eixos dos dois reservatórios A e B
indicados na figura. Considerar como grandezas conhecidas:γHg; γH2O;∆h ; ∆h1 e ∆h2 ; ∆h1 e ∆h.
B
∆h
A H2O
∆h1
H2O H2O
∆h2
Hg
Hg
17)Determinar as pressões efetivas e absolutas:
1)do ar , 2)do ponto M, da configuração abaixo.Dados: leitura barométrica local 735mmHg; densidade
relativa do óleo 0,85 e γHg = 13.600kgf/m 3
Ar
30cm H2O
M óleo
150cm 70cm
H2O 70cm
30cm
Hg
18)Em uma atmosfera adiabática a pressão varia com o volume específico da seguinte forma: Pv K = cte,
onde K é uma constante igual a relação dos calores específicos Cp e Cv .Mostrar que a expressão que
relaciona a pressão p e a elevação Z para esta atmosfera , utilizando como referência o nível do
solo(índices zero) é:
γ K - 1
p= -----po - -------- γ ( Z - Zo).
γo K
γ2

44
19)Determinar ρa ; Po e Poabs na configuração abaixo sendo, dados : hb=0,1m ; ha= 0,2m; ρb=1000kg
/m 3 ; Pa=Pb=1atm; 1 atm= 101,3kPa.
Ar Po
ha
hb
Patm
Pa Pb
ρa ρb
20)Uma atmosfera tem uma temperatura ao nível do mar de 27°C e cai 1°C para cada 275m de elevação.
Se a constante do ar é 29,3m/k, qual é a elevação sobre o nível do mar onde a pressão é 70% de que existe
sobre o nível do mar?

45
2.12-Respostas dos Exercícios do Capítulo 2
W1 + W2
1 – PE = ------------- + ∆z2.γHg - ∆z1.γH2O - ∆z3.γol
A
Patm(-2b –a) + .γHg h1 (L – b)
2- ∆h = --------------------------------------- ; 3- H = 1,91m
Patm - .γHg(L – b)
4- Pr – Ps = .γHg(h2 + h4 + h6) - .γH2O(h2 + h3 +h5) ; 5)PA –PB =7743,33kgf/m 2
6-PArel = 180kgf/m 2 ;7-PArel = - 1440 kgf/m 2 ; 8-hE = 0,80m ; hF = 4,16m ; hG =4,40m e
- A.γA + BγB
h=0,614m; 9-z =9642m ; 10-P1=499,401kgf/m 2 ; 11- .γ = -------------------- ;
A + B
2h(γHg. - γH2O)
12-PA-PB=d2γHg-γH2O(d2 + d3) ; 13- ∆h = -------------------------- ;14– h =17,2cmde H2O
γH2O
a
15-Pa – Pb = d.γ2 + δ.γ1 - d.γ1 ; δ = ------ d ;
A
16- PA – PB =(∆h1 + ∆h2)( γHg - γH2O) + γH2O ∆h ; 17-Par = 0,34 kgf/cm 2 (rel) ;
Par= 1,34 kgf/cm 2 (abs) ; PM= 0,365kgf/cm 2 (rel) e PM=1,3655kgf/cm 2 (abs);19-Po=- 100kgf/m 2 ;
Poabs=10.230kgf/m 2 ;ρa =500kg/m 3 . ; 20-z =3069m ;

46
Capitulo 3 - Forças de Pressão Sobre Superfícies.Empuxo.
3.1-Força de Pressão Sobre Superfícies.
O cálculo da força resultante das pressões estáticas exercida por fluidos em repouso sobre
superfícies sólidas , apresenta interesse para um grande número de aplicações.
Para fins de análise dividiremos o estudo de forças sobre superfícies submersas em dois casos:
a)forças sobre superfícies submersas planas
b)forças sobre superfícies submersas curvas.
3.1.1- Superfícies Planas
É a determinação da força resultante das pressões estáticas sobre uma superfície plana genérica ,
que pode ser uma das paredes de um recipiente que contem fluido de massa especifica constante.
3.1.1.1 - Modulo da Força
Adotando-se os sistemas de coordenadas OXYZ e Oxoyozo(com origem no centróde da superfície
considerada)tem-se a força elementar sobre o elemento de área dA, conforme mostra a figura 3.1 dada
por:
X
hG
h
γ =ρg=cte dF
F
Y XG
α
y
x
O X
dA
CG
XCP CP YCP
yo A xo
Figura 3.1- Superficie Plana Genérica.
dF = PdA = dF = γ ysen α dF = γ y senα. dA (1)
∫ ∫
F = γ . y.sen α. dA. ⇒ F = γ .sen α.
y. dA(
2)
A A
YG

YG
Da Mecânica Geral e dos elementos da figura 3.2 dada a seguir tem-se:
Y yo
XG dA
x
47
CG Y
YG
A
X
0
Figura 3.2 - Mostra os elementos do centro de gravidade.
∫
=
A
ydA .
dA
⇒ YG. A = ∫ y. dA(
3)
∫
A
Substituindo (3) em (2) vem:
F = γ senα.YG.A (4)
Da figura 1 tem-se:
senα .YG = hG (5)
Substituindo (5) em (4) vem:
F = γ . hG .A - MODULO DA FORÇA (6)
3.1.1.2-Ponto de Aplicação da Força(Centro de Pressões)
Pela equação dos momentos das forcas em relação aos eixos X e Y será determinada as coordenadas
do centro de pressões CP(Xcp;Ycp).
a)Determinação do Ycp
A
dMx=dF.y dMx = γ h. dA..y dMx = γ y.sen α .dA .y (7)
∫ ∫
2
Mx = γ. y.sen α. dA. y ⇒ Mx = γ. sen α.
y . dA(8)
A A
xo

48
Da Mecânica Geral tem-se as seguintes relações para uma área plana, como mostra a figura 3.3:
Y yo
XG dA
0
x
CG Y
Figura 3.3 - Elementos de uma área plana para cálculo de Jxx E Jxy.
MOMENTO DE INERCIA Jxx
PRODUTO DE INERCIA Jxy
A
YG
Jxx = y . dA ⇒ Jxx = Jxo + A. YG ( )
onde: Jxo = momento de inércia da figura em relação ao eixo que passa pelo centro de
gravidade xo
Jxoyo = é o produto de inércia da figura em relação aos eixos xo e yo que passam
pelo centro de gravidade.
Substituindo (9) em (8) tem-se:
Mx = γ senα. .Jxx Mx = γ sen α (Jxo + AYG 2 ) (11)
O momento Mx pode ser calculado por:
Mx = F.Ycp (12)
Substituindo (4) em (12) vem:
Mx = γ. YG . senα. .A.Ycp (13)
Igualando (13) e (11) tem-se:
Mx = Mx
xo
∫
A
2 2 9
∫
Jxy = x. y. dA ⇒ Jxy = Jxoyo + A. XG. YG(
) 10
A
X

γ.YG.senα .A.Ycp = γ sen α .(Jxo + A.YG 2 ) que pode ser escrita:
49
γ.sen α .(Jxo + A.YG 2 )
Ycp = ------------------------------- finalmente
γ.YG.A .sen α
Jxo
Ycp = YG + --------- (14)
YG.A
b)Determinação de Xcp.
dMy = dF x = dMy = γ . h.dA .x = dMy = γ. y. sen α .dA. .x (15)
∫ ∫
My= γ sen α... xydA⇒ My= γ.sen α xydA .. ⇒ My= γ.sen α.
Jxy(
16)
A A
Substituindo (10) em (16) fica:
My = γ sen α .(Jxoyo + A.XG.YG) (17)
O momento My pode ser calculado por:
My = F .Xcp (18)
Substituindo (4) em (18) fica :
My = γ. YG.senα. .A.Xcp (19)
Igualando (19) com (17) tem-se : My = My
γ. YG.sen α .A.Xcp = γ. senα (Jxoyo + A.XG.YG) , que pode escrita:
γ. sen α (Jxoyo + A.XG.YG)
Xcp = ------------------------------------------- ou finalmente:
γ. YG.sen α .A
Jxoyo
Xcp = XG + ------------ (20)
YG..A

3.1.2-Superfícies Curvas.
50
De forma semelhante ao caso anterior procura-se a força resultante das pressões estáticas sobre uma
superfície curva genérica, que pode ser uma das paredes de um recipiente que contem fluido de massa
especifica constante.
Adotando-se o sistema de eixos coordenados OXYZ conforme é mostrado na figura 3.4, tem-se a
força elementar sobre o elemento de área dA dada por:
dF = -PdA en , sendo en dado por
en = cos i + cos j + cos k. onde: α ; β e γ são os ângulos formados pela normal com
os eixos X,Y e Z respectivamente.
Z
π γ =cte
A
X
dAy
Ay
Figura 3.4 - Superficie Curva Generica.
Logo pode-se escrever que:
dF = - PdA(cos α i + cosβ j + cos γ K) ou
dAz
en
dAx
dF dA
k Ax
dF = -PdAcosα i - PdAcos β j - PdAcos γ k (1)
A resultante é obtida integrando a expressão (1), que fica:
∫
F=− ( PdA.cos α. i+ PdA.cos β. j+ PdA.cos γ.
k) ou
A
o J Y
i Az A
h

51
dAx = dAcosα ; ;dAy = dAcos β e dAz = dAcos γ. .
F =−∫ P. dAx . i −∫ P. dAy. j −∫ P. dAz. K( ); onde:
2
Ax
A expressão (2) pode ser considerada nas suas componentes nas direções dos três eixos
coordenados, assim:
F = - Fx i - Fy j - Fz k (3)
De (2) e (3) pode-se escrever que:
Logo, projetando a superfície A nos planos YZ e XZ ou em planos paralelos a estes, tem-se as
superfícies planas Ax e Ay respectivamente e as componentes Fx e Fy serão analisadas como forças sobre
superfícies submersas planas, como no caso anterior.
A componente Fz será obtida da figura 3.5:
π
Ay
Fx = P. dAx = γ. h. dAx. ou. Fx = γ. h . Ax(
4)
∫
∫
Ax
∫
Ax
Fy = P. dAy = γ. h. dAy. ouFy = γ.
h . Ay(5)
Ay
∫
Ay
γ = cte
Z
dAz
A Y
O
X
Az
G
Ax
G
Ay
Figura 3.5 - Componente Fz
h

Fz = ∫ P. dAz =∫.
h. dAz γ
Az
52
O termo hdAz é o volume de fluido contido no cilindro de área dAz limitado entre a superfície A e
a superfície livre.
Logo pode-se escrever que:
∫
Fz = γ. dvol. ⇒ Fz = γ.
Vol(
6)
Az
A componente Fz é o peso de fluido contido entre a superfície A e a superfície livre.
3.2.Empuxo.
Az
É a força resultante exercida por um ou mais fluidos em repouso num corpo nele submerso ou
flutuando.Esta forca age sempre verticalmente dirigido de baixo para cima. .A componente horizontal da
resultante é sempre nula.
O empuxo num corpo submerso é dado pela diferença entre a componente vertical da força de
pressão que age na sua parte inferior e a componente vertical da mesma que atua na sua parte superior.
3.2.1 - Corpo Submerso em um Fluido.
Na figura 3.6 tem-se um corpo de volume Vol imerso num fluido com peso específico γ.
P1.dA
dE
dA
P2.dA
Figura 3.6 - Corpo Submerso em um Fluido.
γ = cte
h

53
O elemento de empuxo dE que age no elemento cilíndrico de área dA é dado por:
dE =(P2 - P1)dA = dE = γ. h .dA , onde: hdA = dVol então:
dE = γ.dVol
O empuxo no corpo todo será dado por:
∫
E = γ. dVol ⇒ E = γ.
Vol(
1)
A
3. 2.2 - Corpo Submerso em Dois ou Mais Fluidos.
Tomemos, inicialmente, um corpo submerso em apenas dois fluidos com pesos específicos γ1 e
γ2 , cujos volumes submersos em cada fluidos são respectivamente V1 e V2.
ho
P1.dA γ1
h1 V1 A1
dA
h2 dE V2 γ2
P2.dA
Figura 3.7 - Corpo Submerso em dois ou mais fluidos.
O elemento de Empuxo dE que age no elemento cilíndrico de área dA é dado por:
dE = P2.dA - P1dA ou dE = (ho γ1 + h1. γ1 + h2. γ2 – ho. γ1)
dE = (γ1h1 + γ2h2 )dA ou dE = γ1.h1.dA + γ2.h2.dA
O Empuxo no corpo todo será dado por:
E = γ1∫h1. dA + γ2.
∫ h2. dA; como:
A1
A2
h1dA =dV1(volume do elemento cilíndrico submerso no fluido 1) e
h2dA =dV2(volume do elemento cilíndrico submerso no fluido 2 ), então:
A2

E = γ1. V1 + γ2 .V2 (2)
54
E = γ1. ∫dV1+
γ2∫dV22
( ). ou. finalmente:
A1
A2
Generalizando para um corpo submerso em n fluidos de pesos específicos γ1; γ2; γ3;...; γn-1 e γn ,
cujos volumes submersos em cada fluidos são respectivamente V1; V2 ;V3 ;...;Vn-1 e Vn , o Empuxo
fica:
E = γ1V1 + γ2V2 + γ3V3 +...+ γn-1.Vn-1 + γ n.Vn (3)

55
3.3-Exercícios do Capítulo 3-Forças Sobre Superfícies Submersas. Empuxo.
1)Calcular a força que atua na comporta de fundo de 4m de largura por 2m de altura de uma barragem de
concreto. Determinar também o ponto de aplicação da força .Dado γH20 =9,79kN/m 3 .
H20
4m
30°
x
•
y 4m
y 2m
2)Calcular as componentes horizontal e vertical da força que atua sobre a superfície submersa ABCD da
figura abaixo.Dado : γ H20 = 9,79 KN/m 3
X Y Y X
2m H20 4m
A=C A C
2m 2m
Z B=D Z B D
3)Calcular o empuxo que atua sobre o cilindro de 2m de diâmetro por 4m de comprimento imerso em
água .Dado: γ H20=9,79 KN/m 3 .
x

H20
1,5m
1m
1m
56
4)Calcular o empuxo que atua no cilindro abaixo, sabendo-se que ele mede 4m de comprimento.
4m
2m γol = 7,848 KN/m 3
1m
γ H20 =9,79 KN/m 3
5)Calcular a força que atua numa barragem de concreto e o ponto de aplicação .Dado :γH20
H20 h
H b
1m
2m
6)Calcular as componentes horizontal e vertical da força que atua na barragem abaixo, bem como as
coordenadas do centro de pressões. Dado: γH20
H H20 H b
R
R R
7)Calcular as componentes horizontal e vertical da força que atua na comporta ABCD, assim como, as
coordenadas do centro de pressões. Dado: γH20.
2m

H H20 H b
R
57
R R
8)Sobre a alavanca AB se exerce uma força de N como mostra a figura abaixo. O extremo B está
conectado a um pistão que se move dno interior de um cilindro de 5cm de diâmetro .Qual a força que deve
atuar sobre o pistão de maior diâmetro para impedir seu movimento sabendo-se que seu diâmetro é de
25cm.
490,5N A
20m d=5cm D=25cm
10m F1
óleo
B
9)A figura abaixo é um depósito que contém água, sobre a qual atua uma pressão PA.Determinar a força
que atua sobre a comporta ABCD para os casos:PA= Patm; b)PAabs = 125,56 KN/m 2 .Dados
comprimento da comporta igual a 3m e Patm =98,10 KN/m 3 .
X
PA C 1,5m
AR
1m
H20
A
B
3m
10)Qual a altura máxima que o nível de água pode alcançar no esquema abaixo, desprezando-se o atrito e
o peso da comporta? Dado: comprimento da comporta igual a 1m e γH20 =9,79KN/m 3 .
D
30°
F2
Y

h 9m
H20
60°
58
35,316KN
11)A adufa AB da figura é articulada em A e apoiada em B e mede 3m normalmente ao plano do
desenho. Determinar as reações em A e B quando: a)a água está nivelada em A e Patm do lado direito;
b)quando estiver com 1,20m acima de A à esquerda e nivelada com A à direita. Dado: γH20=9,79KN/m 3 .
3m
R
A
H20 R 1,80m
B
12)Determinar as componentes horizontal e vertical da resultante do empuxo sobre a superfície cilíndrica
da figura cujo raio é 1m e cuja geratriz é 4m.
3m
H20
D =2m
12)Determine o módulo da força que atua sobre a superfície ABC da figura abaixo sabendo-se que sua
largura é 1m. Dado: γH20=9,79KN/m 3 .
45°

1m
1m
3m
A
H20 B 1m 2m
1m
C
59
13)O cilindro de 1,20m de diâmetro é solicitada por água à esquerda e por óleo de densidade 0,8 à direita.
Determinar: a)a força normal em B se o cilindro pesa 19,62KN e b)a força horizontal devido o óleo e a
água se o nível do óleo cair de 0,30m.
0,60m
1,20m
H20
1,20m 1,20m
óleo
B
14)Achar a força resultante que atua na superfície submersa da figura e determinar as coordenadas do
centro de pressões.
X
60°
3m
H20
60°
Y
1,2m
0,3m
1,2m
0,3m
X

60
15)Verificar a estabilidade da barragem quanto ao tombamento. São dados: γcon= 23,544 KN/m 3 e
γH20=9,79KN/m 3 .
2m
30m
H20
60°
18,5m 8m 6m
P= 20γH20 Subpressão
16)Verificar a estabilidade em relação ao tombamento da barragem dada abaixo. São dados:
γH20=9,79KN/m 3 e γcon= 23,544 KN/m 3 .
15m H20
P=15γH20
5m
60°
10m 8m
Subpressão
O

61
3.4-Respostas dos Exercícios do Capítulo 3
1-F = 353,16 KN ; Ycp= 9,04m e Xcp =2,0m 2)Fy = FH =235,44KN; Xcp =2,0m e
Zcp =3,11m; Fz=Fv = 190,64 KN, Xcp= 2,0m; Ycp =0,9m e Zcp= 1,26m; 3-E= 123,27 KN;
γ b 2
4-E = 479,84 KN ; 5-F = γ bh 2 /2 ; Ycp = 2h/3 e Xcp =b/2; 6-FH = ------(h + R) 2 ;;Zcp = ----(h + R)
2 3
π R 2 2 3hR + 2R 2
e Xcp = b/2; Fz = γ b(-------- + hR) ; Xcp =b/2 e Ycp = ----(----------------)
4 3 4h + π R
1 6h 2 + 3π R h + 4 R 2 2H + R 2 3H 2 +3HR+R 2
Zcp = ----- ( --------------------------- ) ; 7- FH=Fy = γ bR (-------------) ; Zcp = -----(-------------------)
3 4 h + π R 2 3 2 H + R
2 3HR + 2R 2
e Ycp = b/2 ; Fz = γ b(R H + πR 2 /4) ; Xcp= b/2 ; Ycp = -----( -----------------) e
3 4 H + π R
1 6H 2 + 3πR H + 4R 2
Zcp = ------( -------------------------) ; 8-F2= 24,525KN ; 9- a)F = 60,625 KN ; Xcp = 1,5m;
3 4 H + π R
e Ycp = 2,82m ; b) F = 184,31KN ; Xcp = 1,5m e Ycp = 2,77m ; 10-h = 5,26m ; 11- a)VA = 0;
HÁ= 47,68KN e VB = 75,04 KN ; b)VB = 63,56KN ; HÁ= 63,56KN e HÁ =0 ; 12- FH=185,63N
e Fz=267,35KN; 13-R =59,67KN ; 14-24,44KN ; Ycp = 4,03m e Xcp = 0,353m;
15-∑Mo =160.652,05KNxm>0(estável) ;16-∑Mo65.007,04KNxm>0(estável);

62
CAPITULO 4 - ESCOAMENTOS DE FLUIDOS.
4. 1-Tipos de Escoamentos
4.1.1-Escoamento Permanente.
É aquele em que as condições do fluido são invariáveis em cada ponto em relação ao tempo. As
condições podem variar de um ponto para o outro ou de seção para outra seção. Um exemplo deste tipo
de escoamento é mostrado na figura 4.1, em que se tem um reservatório contendo um fluido mantido a
nível constante, isto é , a quantidade de fluido que sai do reservatório é reposta de alguma forma. Pode-se
observar que em cada seção escolhida as velocidades (grandezas escolhidas para análise) não variam com
o decorrer do tempo , ou seja, os perfis de velocidades : V1 , V2 e V3 se mantém constantes. Porém, se for
feita uma comparação entre estes perfis nos mesmos instantes, observa-se que eles são diferentes(V1≠ V2
≠V3). Conclusão: a condição de permanente está relacionada apenas com o parâmetro tempo.
Ncte
(1)
(2) (3)
V1=cte V2=cte V3=cte
Figura 4.1- Escoamento Permanente
4.1.2-Escoamento Variado.
É aquele em que as condições do fluido variam em relação ao tempo em um ponto, numa seção
ou região do escoamento.
Nvariável (diminui)
Figura 4.2- Escoamento Variado
V1(t1)
(1) V2(t1) V3(t1)
(2) (3)
V1(t2) V2(t2) V3(t2)
Na instalação da figura 4.2, em que de um reservatório contendo um fluido , cujo nível varia

63
no decorrer do tempo, sai uma quantidade variável de fluido na unidade de tempo, tem-se um exemplo de
escoamento variado ou não permanente. Pode-se observar nesta instalação que em cada uma das três
seções tomadas para análise os perfis de velocidades variam com o decorrer do tempo, isto é,
V1(t1)≠V1(t2) ; V2(t1)≠V2(t2) e V3(t1)≠V3(t2). Neste exemplo foi admitido que o nível de fluido no
reservatório diminui , mas se poderia admitir que o nível aumentaria e se teria também um escoamento
variado, a diferença é que neste caso as velocidades aumentam, ao invés de diminuir.
4.1.3-Escoamento Uniforme.
É aquele em que as condições do fluido não variam de ponto para ponto, podendo variar em
relação ao tempo. Tem-se dois tipos de escoamento uniforme:
a)Escoamento uniforme permanente e
b)Escoamento uniforme não permanente.
4.1.3.1 - Escoamento Uniforme Permanente.
É aquele em que as condições do fluido não variam de seção para seção e em relação ao tempo.
Na figura 4.3, é mostrado um exemplo de escoamento uniforme e permanente, em que de um reservatório
contendo um fluido com nível constante sai uma quantidade fixa do fluido. Observa-se que nas seções
escolhidas para análise os perfis são idênticos e não variam com o decorrer do tempo, isto é, V1 = V2 =
V3.
Ncte
Figura 4.3- Escoamento Uniforme e Permanente.
4.1.3.2 - Escoamento Uniforme e Não Permanente.
(1)
(2) (3)
V1=cte V2=cte V3=cte
É aquele em que as condições do fluido não variam de seção para seção mas variam em relação ao
tempo. A instalação da figura 4.4, mostra um exemplo deste tipo escoamento, em que de um reservatório
contendo um fluido com nível variável , sai uma quantidade variável de fluido. Pode-se observar que nas
seções escolhidas em cada instante os perfis de velocidades são idênticos , isto é , V1(t1)=V2(t1)=V3(t1) e
V1(t2)=V2(t2)=V3(t2) , mas os perfis de velocidades diferem de instante para instante ou seja :
V1(t1)=V2(t1)=V3(t1) ≠ V1(t2)=V2(t2)=V3(t2)

Nváriável(aumenta)
64
(1) V1(t2)=cte V2(t2)=cte V3(t2)=cte
(2) (3)
V1(t1)=cte V2(t1)=cte V3(t1)=cte
Figura 4.4- Escoamento Uniforme e Não Permanente.
4.1.4-Escoamento Laminar e Turbulento.
Experiência de Reynolds.
H20
Líquido Colorido(H20 + Corante)
Filete Colorido Tubo transparente
Registro de Controle de Vazão
Realizando a experiência acima Osborne Reynolds observou os seguintes comportamento da água:
a)Para vazões pequenas o filete colorido permanecia bem definido no escoamento. É o regime de
escoamento que denominou de laminar ou lamelar.
b)Para vazões maiores o filete colorido se misturava com a água .É o regime de escoamento que
denominou de turbulento.
Escoamento Laminar.
É aquele em que as partículas fluidas apresentam trajetórias bem definidas, que não se cruzam e o
fluido escoam em laminas ou lamelas, conforme mostra a figura 4.5.
Lâminas ou Camadas
Figura 4.5- Escoamento Laminar.

Escoamento Turbulento.
65
É aquele em que partículas fluidas apresentam movimento desordenado, tendo a velocidade em
qualquer instante uma componente transversal a direção do escoamento, conforme ilustra a figura 4.6.
Vn V
Vt
Figura 4.6- Escoamento Turbulento
Pelo adimensional denominado NUMERO DE REYNOLDS(Re) dado por:
ρ V D V D
Re = ---------- = ------ , caracterizamos se um escoamento em tubos é Laminar ou
µ ν
Turbulento. Onde :
ρ = massa especifica do fluido
V= velocidade média do escoamento
D= diâmetro do tubo
µ =viscosidade dinâmica do fluido;
ν =viscosidade cinemática do fluido
Se Rey ≤ 2000 , tem-se regime laminar
Se 2000 < Rey< 4000 , tem-se regime de transição, que é uma zona critica , na qual não se pode
determinar com segurança a perda de carga nas canalizações.
Se Rey ≥ 4000 , tem-se regime turbulento.
4.2-Vazão em Volume , Vazão em Massa e Vazão em Peso.Velocidade Média.Conceitos e
Unidades.
Para definir os conceitos de vazão em volume ,massa e peso, vamos tomar um conduto genérico
cuja seção transversal tem área A, por onde escoa um fluido de massa específica ρ e peso específico γ .
Sobre este conduto , delimitaremos um elemento de volume cilíndrico(dvol) de área transversal dA e
comprimento ds, conforme mostra a figura 4.7, dado por:
dvol = dsxdA
Figura 4.7- Escoamento genérico.
ds dA
dVol= ds.dA
V
(s)
A

4.2.1-Vazão em Volume (Q)
66
É definida como sendo o volume de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo e é
simbolizada por Q. Logo :
volume
Q = -------------
Tempo
A vazão dQ que passa pela seção dA é dada por:
V- velocidade
dvol ds . dA
dQ= ------- = ---------- = V.dA dQ = Vda (4.2.1)
dt dt
Para obter a vazão Q , basta fazer a integração da expressão (4.2.1) na área A. Integrando vem:
Q = ∫ V.dA (4.2.1a)
A
Unidades:
m 3 /s ; L/s ; L/h e m 3 /h
4.2.2- Vazão em massa (G)
Definida pela relação da massa de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo , e é
simbolizada por G . Assim:
massa
G = --------------
Tempo
A vazão em massa dG que passa pela seção dA é dada por:
V- velocidade
dm ρ dvol ρ ds . dA
dG= -------- = ------------ = -------------- = ρV. dA dG = ρ.V.dA (4.2.2)
dt dt dt
Integrando a expressão (4.2.2) na área transversal A , obtém-se a vazão em massa G. Logo:
Unidades:
G = ∫ ρ V.dA (4.2.2a)
A
Kg/s , kg/h , Utm/s e g/s

4.2.3- Vazão em Peso (W)
67
Definida pela relação do peso de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo , e é
simbolizada por W . Assim:
Peso
W= ----------tempo
A vazão em peso dW que passa pela seção dA é dada por:
V - velocidade
dP ρgdvol ρg ds . dA
dW = ------- = ---------- = ------------------ = ρg V.dA dW = ρ gV.dA (4.2.3)
dt dt dt
Logo:
Integrando a expressão (4.2.3) na área transversal A , obtém-se a vazão em peso W.
W = ∫ ρg V.dA (4.2.3a)
A
Unidades:
kgf/s ; N/s, N/h , kgf/h e dina/s
4. 2.4- Velocidade Media (Vm)
A velocidade média Vm ou simplesmente V, pode ser definida pela relação da vazão em volume
Q e a área da seção transversal A do conduto. Ela pode ser definida como sendo a velocidade que
multiplicada pela área fornece a vazão em volume Q . Assim:
Q
Vm = ------- ou Q = Vm .A (4.2.4)
A
Para determinar a expressão matemática da velocidade média, consideremos um conduto qualquer
por onde está escoando um fluido incompressível qualquer, conforme mostra a figura 4.8. Seja A a
seção transversal e dA o seu elemento de área .
V A
Q
Vm
Figura 4.8- Conduto Qualquer para Determinar a Expressão de Vm.
A vazão Q pode ser calculada por:

Q = ∫ V.dA
A
donde vem : Vm.A= ∫ V.dA , que fica:
Q= Vm.A A
1
Vm = ----- ∫ V. dA (4.2.4a)
A A
68
Exemplo de aplicação: No escoamento de um óleo de densidade d através de um conduto circular
de raio R , a velocidade em cada ponto é expressa pela equação :
v = Vmax[ 1 - (r/R) 2 ] – perfil parabólico de velocidades, onde:
v- velocidade em cada ponto da seção em m/s;
Vmax – velocidade máxima que ocorre no centro do conduto em m/s;
r- raio genérico quando a velocidade for v em m;
R- raio do conduto em m.
Determinar:a)a expressão da velocidade média , a vazão em volume , massa e peso.
b) para d =0,80, ρH20 =1000kg/m 3 , R = 0,20m , g = 10m/s 2 e Vmax = 2,4m/s os
valores numéricos da velocidade média e das vazões em volume , massa e peso.
v dA= 2πrdr dr
r R
Q r
Vmax
R
1 1 R
a) Vm = ----- ∫ vdA = ----------∫ Vmax[ 1 – (r/R) 2 ] 2πrdr
2 0
A A πR
2πxVmax R r 3 2xVmax r 2 r 4 R
Vm = --------------- ∫ [ r – ------ ] dr Vm = ---------- [ ----- - ------]
π R 2 0 R 2 R 2 2 4R 2 0
2xVmax R 2 R 4 2 2Vmax 2R 2 - R 2
Vm = ---------------[ ------- - --------] = ----------- [ --------------]
R 2 2 4R 2 R 2 4
2Vmax R 2 Vmax
Vm = ------------ [ -----------] Vm = --------- (1)
R 2 4 2 2
Obs: sempre que o conduto for cilíndrico e o perfil de velocidades parabólico , a velocidade média
é dada pela expressão :
Vmax
Vm = ------------
2

69
A vazão em volume Q pode ser calculada pela expressão (4.2.1a), mas vamos calcular a vazão
utilizando Vm, logo:
Q = VmxA , substituindo a expressão (1) e da área A = πR 2 , vem:
Vmax
Q = ---------- πR 2 ou Q = Vm A (2)
2
A vazão em massa G será calculada pela expressão:
G = ∫ ρ V.dA , como o fluido é incompressível (ρ =cte), vem
A
G = ρ ∫V.dA , onde a integral é a vazão Q , então:
A
G = ρ . Q , substituindo a expressão (2) vem :
Vmax
G = ρ . π R 2 ---------- ou G = ρ A Vm ou G = ρ Q
2
A vazão em peso W será calculada pela expressão:
W = g ∫ ρ V.dA , como o fluido é incompressível (ρ =cte), vem
A
W = g.ρ ∫V.dA , onde a integral é a vazão Q , então:
A
W = ρg . Q , substituindo a expressão (2) vem :
Vmax
W = ρg . π R 2 ---------- ou W = ρg.VmxA ou W =ρgQ ou W = γQ (4)
2
b) Vmax 2,40
Vm = V = ---------- = --------- Vm = V = 1,20m/s
2 2
ρol ρol
d = ---------- 0,80 = --------- ρol = 800kg/m 3
ρH20 10000
γol = gρol = 10x800 γol = 8000N/m 3
Cálculo de Q
Vmax 2,40
Q = ---------- πR 2 = ---------π x0,20 2 Q = 0,1508m 3 /s ou
2 2
Q = VmxA = 1,20xπ.0,20 2 Q = 0,1508m 3 /s

Cálculo de G
Vmax 2,40
G = ρ . π R 2 ---------- = 800xπx0,20 2 x --------- G = 120,64kg/s ou
2 2
simplesmente G = ρQ = 800x0,1508 G = 120,64kg/s
Cálculo de W
70
Vmax Vmax 2,40
W = ρg . π R 2 --------- = γ πR 2- --------- = 8000xπx0,20 2 x--------- W = 1206,40N/s
2 2 2
ou W = ρg Q = γ.Q = g G = 10x120,64 W = 1206,40 N/s
4.3- Equação da Continuidade.
É a equação que faz o balanço de massa de um escoamento, também conhecida como equação da
conservação da massa.
4.3.1-Equação da Continuidade para Regime Permanente.
Para determinar a expressão da equação da continuidade em regime permanente num volume
com uma entrada e uma saída, vamos considerar a situação da figura 4.9. No volume entra uma vazão
em massa G1 pela seção (1) e sai pela seção (2) uma vazão em massa G2. Como o regime é permanente ,
vem:
(1)
G1 G2
` ρ2 , V2, A2
ρ1, V1 , A1
Figura 4.9- Conduto Qualquer com uma Entrada e uma Saída.
G1=G2 = ρ1.V1.A1 = ρ2.V2.A2
Para fluidos incompressíveis ρ1= ρ2 = ρ ; logo:
ρ V1A1 = ρ V2A2 ===> Q1 = Q2
Para o volume da figura 4.10, com duas entradas e duas saídas a equação da continuidade em
regime permanente, terá a seguinte expressão:
(2)

71
(3) ρ3;V3;A3
G3
(1) (4)
G1 G4
ρ1;V1;A1 ρ4;V4;A4
(2) ρ2;V2;A2
G2
Figura 4.10- Um Volume com duas Entradas e duas Saídas.
G1 + G2 -G3 -G4=0 , como G = ρ.V.A, logo:
ρ1.V1.A1 + ρ2.V2.A2 - ρ3.V3.A3 - ρ4.V4.A4=0;
Se o fluido for incompressível , então : ρ1= ρ2= ρ3= ρ4=ρ
Logo:
ρ. V1.A1+ ρ. V2.A2 - ρ. V3.A3 - ρ . V4.A4 = 0 ,ou
Q1 + Q2 - Q3 - Q4 = 0. Q1 + Q2 = Q3 + Q4
4.3.2-Equação da Continuidade para Regime Não Permanente.
Para determinar a equação da continuidade para regime não permanente vamos tomar um volume
com uma entrada e uma saída, mostrado na figura 4.11. Seja G1 a vazão em massa que entra pela seção
(1) e G2 a vazão em massa que sai pela seção (2) e dm/dt ou dG a massa que varia no volume em relação
ao tempo .
1 2
Vol
dm
G1 ρ ; -------- G2
dt
ρ1;V1;A1 ρ2;V2;A2
Figura 4.11
Então podemos escrever que: dG= G1 - G2 = dm/dt
Sendo m a massa do fluido , logo : m = ρ Vol , que derivando em relação ao tempo vem:

72
dm dρ dVol
----- = Vol ----- + ρ. -----dt
dt dt
que substituída na expressão anterior fica:
dρ dVol
G1 - G2 = Vol ----- + ρ -------- (4.3.2)
dt dt
Para regime permanente(que não varia com o tempo)podemos escrever:
dG =0 G1=G2 ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2
Exemplo de aplicação: Num reservatório de abastecimento de água de 500m 3 , pela seção (1)
chega uma vazão de 150 L/s e pela seção (2) sai a vazão de 100L/s . Utilizando a equação da
continuidade para regime não permanente determinar o tempo de enchimento do reservatório , sabendose
que ele está vazio.
(1)
Q1
500m 3
Utilizando a expressão (4.3.2)
dρ dVol
G1 - G2 = Vol ----- + ρ --------- ;
dt dt
A água pode ser considerada um fluido incompressível ρ = cte , logo : dρ/dt =0
0
dρ dVol dVol
G1 - G2 = Vol ----- + ρ -------- ρV1 A1 - ρ V2 A2 = ρ ---------- , sendo:
dt dt dt
dVol
V1 A1 = Q1 ; V2A2 = Q2 e --------- = Q(vazão que efetivamente enche o reservadt
tório)
Logo: Q1 – Q2 = Q Q = 150 – 100 Q = 50L/s
O tempo t de enchimento do reservatório será de:
Volume do reservatório 500.000L
t = -------------------------------- = -------------- t = 10.000s
Q 50L/s
(2)
Q2

73
4.4-Exercícios – Capítulo 4 – Cinemática dos Fluidos
1)Determinar a relação entre a velocidade máxima e a velocidade média correspondente a vazão Q nos
escoamentos dados:
a)escoamento bidimensional com distribuição parabólica de velocidades;
b)escoamento com simetria axial e distribuição parabólica de velocidades.
y v
R r
Q Vmax h Q
v Vmax
y
2)Determinar a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima, para os dois escoamentos
bidimensionais, cujos perfis de velocidade são os mostrados.
Q Q
Círculo a
Vmax
3)Por um longo conduto circular de 0,30m de diâmetro escoa água em regime permanente , com
um perfil de velocidade v= 0,0225 – r 2 (m/s).Determinar a velocidade média com que a água sai pelas
tubulações de 0,05m de diâmetro.
v 0,05m
r Vmax 0,3m
0,05m
4)No dispositivo mostrado na figura, através da tubulação A se introduz uma vazão de 140 L/s de água,
enquanto que pela tubulação B se introduz 28L/s de óleo de densidade relativa 0,8 . Se os líquidos são
incompressíveis e formam uma mistura homogênea de gotículas de óleo em água , qual é a velocidade
média e a massa específica da mistura que abandona o dispositivo pela tubulação C de 30cm de diâmetro.
Admitir uma massa específica média constante para a mistura.
óleo Mistura
B E D
A
H2O
5)Se no problema anterior o pistão D se move para a esquerda com velocidade de 30cm/s e seu diâmetro é
igual a 15cm, qual é a velocidade média do fluido que sai para C.
C
2a

74
6)Por um conduto uniformemente convergente escoa água em regime permanente . Na seção 1 de
diâmetro igual a 0,60m o perfil de velocidades é dado por:
r 2
v = 2[1 – (-------) ](m/s), e na seção 3 de diâmetro igual a 0,40m o perfil de velocidades tem
0,30
distribuição cônica. Determinar a velocidade máxima na seção 3 e a velocidade média na seção 2 que
dista L/6 da seção 1.
(1) L
Q
L/6
(2)
7)Ar escoa por um tubo de seção constante de 5cm de diâmetro . Numa seção (1) a massa específica é
1,668 kg/m 3 e a velocidade de 20m/s .Sabendo-se que o regime é permanente e que o escoamento é
isotérmico, determinar:
a)a velocidade do ar na seção (2), sabendo-se que a pressão na seção (1) é 9,81N/cm 2 (abs) e na seção (2) é
7,85N/cm 2 (abs). b)a vazão em massa c)a vazão em volume nas seções (1) e (2).
8)Determinar a velocidade média do escoamento na seção 3, conhecendo-se as distribuições de
velocidades nas (1) e (2) e sabendo-se que o fluido é incompressível.
r
Seção 1 – distribuição parabólica v1= Vmax1[ 1 – (----) 2 ]
R1
Seção 2- distribuição cônica v2 = Vmax2( 1 – r/R2). Dado: o raio da seção (3) igual a R3.
(1)
(2) R2
R1
9)Determinar a velocidade média na seção (3), sabendo-se que na seção (1) de diâmetro 2D o
escoamento é unidimensional e na seção (2), de diâmetro D, o perfil de velocidade é dado por:
v = k - r 2 , onde k é uma constante e r dimensão linear marcada a partir do eixo do conduto. Fazer as
hipóteses necessárias.
(3)
(3)
R3

(1) V1
2D
75
10)Determinar o volume específico do fluido compressível em escoamento permanente na seção de
diâmetro d3=15cm sabendo-se que a velocidade média V3= 30m/s e que as vazões em peso valem
w1=0,3kgf/s e w2=0,2kgf/s .
w1
(3)
(2)
W2 (3)
D
D
d=15cm w3
11)Por um conduto convergente escoa água com uma vazão de 10L/s. A maior seção do conduto tem
20cm de diâmetro e a menor 10cm. Determinar, em m/s , a expressão da velocidade média em uma seção
genérica do conduto, de abscissa x, sendo L o comprimento do conduto.
x
L
Q=10L/s
12)Água escoa através de um duto longo cujo diâmetro é D =1,5m .A velocidade da água em relação ao
duto é dada por: v = 2,25 - 4 r 2 (m/s) . Qual é a velocidade média da água que sai pelo pequeno tubo de
diâmetro interno de 0,30m?
r D=1,5m
0,30m

76
13)Determinar V3 e Q3 da situação abaixo. Dados: Q; A1; A2 e A3. O fluido é incompressível.
A1
Q
A2
14)Um duto retangular de 0,30m por 0,50m conduz um fluido com γ = 19,62N/m 3 sendo a vazão igual a
0,45m 3 /s .Calcular a velocidade média do fluido no duto. Se o duto se estreita para 0,15m por 0,50m ,e se
o peso específico for igual a 14,72N/m 3 , determinar a velocidade média nesta seção.
15)Na figura abaixo está mostrada uma seringa para injeção com as respectivas dimensões. Se a
velocidade do êmbolo é 0,25cm/s e se a velocidade do líquido na agulha é 24,97cm/s , qual a porcentagem
do líquido que é desperdiçado através da folga entre o êmbolo e o cilindro? Desprezar o volume contido
na agulha. De=0,61cm
Ve=0,25cm/s Da=0,06cm
Dc=0,62cm Va= 24,97cm/s
1,15cm
16)No escoamento turbulento de um fluido em condutos circulares o diagrama de velocidades é dado pela
equação: v = Vmax(1 - r/R) 1/7 , onde as grandezas têm os seguintes significados:
Vmáx- velocidade no eixo do conduto ; R- é o raio do conduto e r- é um raio genérico para o qual a
velocidade é v genérica. Verificar que : Vm/Vmáx= 49/60.
17)Ar escoa num tubo convergente . A área da maior seção do tubo é 20cm 2 e a de menor seção é 10cm 2 .
A massa específica do ar na seção (1) é 1,18kg/m 3 enquanto que na seção (2) é 0,88kg/m 3 . Sendo a
velocidade na seção (1) 10m/s , determinar a velocidade na seção (2) e a vazão em massa.
G
(1) (2)
18)Tem-se um escoamento de fluido compressível em regime permanente em uma convergência de seção
circular . Conhecendo-se a vazão em peso w = 1,8N/s , os diâmetros d1=15cm(6”) e d2=7,5cm(3”) e
também os volumes específicos v1= 1,0 m 3 /kg e v2 = 0,61m 3 /kg , pedem-se as velocidades médias do
escoamento nas seções transversais (1) e (2) e as vazões. Adotar g=10m/s 2
Q
(1) (2)
19)Uma piscina de 20mx9mx2m é alimentada através de um sistema, como mostra o esquema abaixo. O
sistema consta de um poço cilíndrico de 1,20m 2 de área transversal, alimentado por uma vazão constante
Qo = 10L/s , do qual uma bomba recalca a água com uma vazão constante Q1=14L/s através de uma
A3

77
tubulação de recalque. Uma bóia convenientemente instalada no poço provoca o funcionamento da bomba
no instante t =0 , quando o nível d’água atinge o ponto (1) e a desliga quando atinge o ponto(2).
Admitindo que uma válvula de retenção evita o esvaziamento da tubulação de recalque , e que a piscina
está vazia no tempo t=0 , determinar:
a)O intervalo de tempo entre o início e o fim de funcionamento da bomba, em cada ciclo , em minutos.
b)O intervalo de tempo que a bomba permanece desligada, em cada ciclo , em minutos.
c)O tempo necessário para o enchimento total da piscina em horas.
d)O número de vezes que a bomba é ligada até encher a piscina.
e)Traçar o gráfico Q(L/s)xt(min) correspondente ao funcionamento da bomba.
1
2
Qo=10L/s
2m
A=1,2m 2 B
2m
Q1=14L/ 9m
20)Para simular o escoamento de um rio construiu-se uma canaleta por onde escoa água com uma vazão
variável em função do tempo , conforme mostra o gráfico abaixo. A canaleta alimenta um reservatório
regularizador cuja comporta é comandada de tal forma a fornecer para jusante uma vazão constante igual a
vazão média do intervalo de tempo considerado . Tem-se disponível para o reservatório a altura de 2,0m e
uma área horizontal limitada. Determinar:
a)a vazão média no intervalo de tempo de 24 horas.
b)a área mínima para a execução do reservatório para que este nunca extravase, observando que no
instante inicial t=0 o nível d’água no reservatório é 1,0m.
c)o nível mínimo que ocorre no reservatório.
d)traçar a curva volumextempo , para o reservatório.
Q
Canaleta (m 3 /s)
Q
4,0
h
Área=?
Comporta
2m 1,0
6 24 t(hora)

78
4.5-Respostas dos Exercícios do Capítulo 4
1)a)Vm/Vmax=2/3 ; b)Vm/Vmax=1/2 ; 2) a)Vm/Vmax= π/4 ; b)Vm/Vmax=3/4 ; 3)V=0,20m/s;
4)ρm= 967,26 kg/m 3 e Vm = 2,37m/s ; 5)Vm = 2,45m/s ; 6)Vmáx = 6,75m/s e Vm1=1,12m/s ;
7)a)V2=25m/s ; b)G = 0,06551kg/s ; c)Q1 = 39,3L/s e Q2 = 49,1 L/s.
2
2
1 R1
R 2
8) Vm =
( V max1
+ V max 2 )
2
R 2 3
3
9)Vm = 4V1 – K/2 ;10) v =1,06 m 3 /kg ; 11) v = --------------- (m/s) ; 12)Vm = 28,12m/s
π (2 – x/L) 2
A2 A2 Q
13)Q3 = ----------- Q ; V3 = ------------- -------- ;14)Vm1 = 3m/s e Vm2 = 8m/s; 15)3,3% ;
A2 - A1 A2 – A1 A3
17)V2= 26,82m/s e G = 0,0236 kg/s ; 18)V1 = 10,19m/s ; V2= 24,86m/s ; Q1= 0,18m 3 /s e
Q2=0,109m 3 /s 19)a)t = 10 min b)t =4min c)t = 10 horas e d)n = 43 vezes 20)a)Q =2,5m 3 /s
b)Amin=24300m 2 c)hmin= 0,67m ;
4

79
CAPITULO 5 - CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DE FLUIDO -
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS
5.1-Sistemas e Volumes de Controle.
5.1.1-Sistema:
É uma quantidade fixa de matéria .A forma e o volume de um sistema pode variar, porém a sua
massa é sempre a mesma. Por exemplo, podemos escolher como sistema o vapor do cilindro de motor de
combustão após fechada a válvula de admissão , conforme mostra a figura 5.1. À medida que o embolo se
move, o volume do sistema varia, mas a quantidade e a identidade da massa não sofre alteração.
Admissão
SISTEMA
Vapor de Combustível
Figura 5.1 – Exemplo de sistema
5.1.2-Volume de Controle(V.C):
E um volume arbitrário escolhido em relação a um dado referencial. No volume de controle a
quantidade de matéria pode variar, mas a sua forma e seu volume e fixo. Por exemplo para estudar o
escoamento de descarga de um bocal, podemos escolher como volume de controle a parte interna do
bocal. A superfície que envolve o volume de controle é denominada superfície de controle(S.C). A figura
5.2 mostra exemplo de volume de controle.
Bocal
VOLUME DE
CONTROLE(V.C.)
Superfície de Controle(S.C.)
Figura 5.2- Exemplo de Volume de Controle(V.C.)
5.2-Relação Entre Solução por Sistema e Volume de Controle.
5.2.1-Grandezas Extensivas:
São grandezas que dependem da massa do sistema. Por exemplo: peso; quantidade de movimento,
energia; massa ; etc,.
As grandezas extensivas podem ser expressas pelo produto da sua grandeza especifica e a massa.
Por exemplo:
1 1
a)Energia cinetica -Ec= η. m = ----V 2 . m = η= --- V 2
2 2

80
b)Energia Potencial- Ep = η. m = gh.m = η =gh
c)Massa - m = η. m == η = 1
d)Peso - P = η. m =g.m = η = g
e)Quantidade de movimento = η. m =V.m = η = V
5.2.2- Grandezas Intensivas:
São grandezas que independem da massa do sistema. Por exemplo: temperatura e pressão.
Seja N uma grandeza extensiva qualquer e η o valor dessa grandeza por unidade de
massa. Se dN = η .dm , então : dN= ηρ dVol , logo:
Considere um campo de escoamento arbitrário V(x,y,z,t) , observado de OXYZ nos instantes t e t +
∆ t, como mostra a figura 5.3:
X
N = ∫ dvol ηρ . .
vol
Z
O Y
Figura 5.3- Campo de Escoamento
Sistema no instante
t +∆t
I
II III
N Sistema no instante t
V.C.
Seja calcular a razão de variação de N em relação ao tempo para o sistema:
( . . dV . . dV) + ( . . dV . . dV)
( Nsist) t+ t −(
Nsist)
∫ηρ
+ ∫ηρ
∆ − ∫ηρ
+∫ηρ
∆
t II
III
I
II
=
∆t∆t Rearranjando os termos vem:
t t t

( ηρ . . dV) t+ ∆t −(
ηρ . . dV)
t ( ηρ . . dV)
t+ ∆t
( Nsist) t+ ∆t
−(
Nsist)
t II
II
III
=
+ −
∆t∆t∆t −
∫
( ηρdV . . )
I
∆t
t
Passando ao limite fazendo ∆t => 0 ,vem:
81
Combinando os limites c) e d) acima vem:
Agrupando os limites acima vem:
∫ ∫ ∫
⎡(
Nsit ) + ∆ −(
Nsist )
a) − Lim. ∆t⇒0
⎢
⎣ ∆t
∫
t t t
⎤ dN
⎥ ( )
⎦ dt
=
⎡(
ηρ . . dV) t+ ∆t
−(
ηρ . . dV)
⎤
t
⎢
⎥
II
∂
bLim ) ⎢
⎥ = . . dV
∆t⇒0
∆t
t ∫
⎢
⎥
∂ VC . .
⎣
⎦
ηρ
∫
⎡(
ηρ . . dV)
⎢ III cLim ) ⎢ ∆t⇒0
⎢
∆t
⎣
∫
t+ ∆t
sist
⎤
⎥
→ →
⎥ = ∫ηρ . . V• dA = ∫ηρ
. . V cos αdA
= fluxo . de. saida
⎥ AS A. S
⎦
⎡(
ηρ . . dV)
⎤
t
⎢ ⎥
→ →
I
d) Lim⎢
⎥ = . . V . dA . . V cos . dA fluxo. de. entrda
∆t⇒ ∆t
∫ηρ = ∫ηρ
α =
0
⎢ ⎥ AE . . AE . .
⎣ ⎦
→ → → → → →
∫ ∫ ∫
ηρ . . V dA + ηρ . . V . dA = ηρ . . V . dA =
fluxo. pela. S. C.
AS . AE . SC . ..

82
dN ∂
→ →
( ) sist = . . dV + . . V . dA( I)
dt t ∫ηρ ∂ ∫ηρ
A equação( I) afirma que a taxa de variação da grandeza N do sistema é igual a taxa de variação da
grandeza N no volume de controle, mais o fluxo de N através da superfície de controle.
5.3-Equação da Continuidade na Forma de Integral.
Como a massa de qualquer sistema por hipótese é constante , então:
onde: m= massa do sistema
Se na equação ( I) a grandeza N for a massa do sistema , então η será a massa por unidade de
massa , portanto igual a unidade (η =1 ).
Substituindo em ( I) as considerações acima vem:
A expressão (2) é a equação da continuidade na forma de integral.
∂ρ
Para regime permanente(------) = 0
∂t
Logo:
VC . . SC . .
dm
N = m = cte ⇒ = 0 =
dt
∂
→ →
0= ∫ ρ. dV + ∫ρ.
V . dA(
2)
∂t
∫
SC . .
VC . .
→ →
ρ. V. dA = 0
SC . .
Para fluido Incompressível ( ρ =cte)
∫
ρ. VdA . = 0
SC . .
→ →
dN
dt
1 o -Exemplo de aplicação: Considerando escoamento permanente aplicar a equação da continuidade
na forma de integral na situação da figura a seguir.

ρ1;V1;A1
(1)
dA
V.C.
83
dA V1 d A V2
dA
(1) V1 • dA = -V1dA (2) V2 • dA = V2dA
→ →
0= ∫ + ∫ •
∂
. dV ρ.
V. dA
∂t
VC . .
SC . .
∂ρ
Para regime permanente (------ = 0)
∂t
→ → → →
∫ ∫ ∫ ∫
(2) ρ2;V2;A2
ρ. V• dA= 0⇒ ρ. V• dA=− ρ. V. dA + ρ.
V . dA=
0
1 1 2 2
SC .. SC ..
A1
A2
∫
A1
ρ . VdA . = ρ . VdA . ⇒ ρ . VA . = ρ . V. A
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
A2
2 o -Exemplo de Aplicação :Aplicar a equação da continuidade na forma de integral na situação a
seguir , admitindo escoamento permanente.
(1) (3)
dA V.C.
∫
dA ρ3;V3;A3
dA
ρ1;V1;A1 S.C. (2) ρ2;V2:A2

5.4.Equação de Bernoulli.
84
No escoamento da figura 5.4 entre as seções (1) e (2) vamos tomar um elemento de volume dado
por dvol= dA.ds e determinar a Equação de Bernoulli, válida para as seguintes hipóteses:
a)regime permanente;
b)fluido ideal(escoamento sem atrito);
c)fluido incompressível;
d)sem trocas de calor;
e)propriedades uniformes na seção;
f)sem presença de máquinas.
ds dA
V+dV (2)
V V2;P2
P α dz
(1) V1
dA P+dp
P1
dw=ρ.g.ds.dA
z1 z z z2
Plano Horizontal de Referência(PHR)
Figura 5.4- Um Escoamento Qualquer
Aplicando a 2 a Lei de Newton na direção do escoamento vem:
dF = dm.a
dz
PdA - (PdA + dpdA) – dW .----- = dm.a
ds
dz
P.dA – P.dA –dp.dA -ρd ds.dA ---- = ρ.ds.dA.a (1)
ds
A velocidade é dada por:
V
dV ds dV
V= V(s,t) ; logo a = --------. -------- = V. -----ds
dt ds
dV
a = V. ------ (2)
ds
Substituindo (2) em (1), vem:
dV
-dp . dA -ρ.g.dA.dz = ρ.ds.dA.V ------ds

-dp - ρ . g.dz =ρ.V.dV (3)
Dividindo (3) por : -ρ.g = - γ , vem :
dp V.dV
------ + dz + --------- = 0 (4)
γ g
Integrando a expressão (4) entre os pontos 1 e 2 vem:
2 2 2 2 2 2 2
dp V.dV P V
------- + dz + ----------- = 0 = -------- + z + -------γ
g γ 2g
1 1 1 1 1 1
85
2 2 2 2
P2 – P1 V2 - V1 P1 V1 P2 V2
------------ + Z2 – Z1 + -------------- ------- + Z1 + ------- = -------- + ------- = H
γ 2g γ 2g γ 2g
Significado de cada termo da Equação de Bernoulli.
Z = energia potencial por unidade de peso(m)
P
-------- = energia de pressão por unidade de peso(m)
γ
V 2
-------- = energia cinética por unidade de peso (m)
2g
H = energia total por unidade de peso(m)
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
V 2 P
Os termos : Z ; ------ e -------- têm a dimensão de comprimento.
2g γ
Estes termos são normalmente denominados de:
Z= carga potencial ;
V 2
--------- = carga cinética ou de velocidade;
2g
P
--------- = carga de pressão e
γ

H = carga total
86
V 2
-------- = energia cinética por unidade de peso (m)
2g
H = energia total por unidade de peso(m)
V 2 P
Os termos : Z ; ------ e -------- têm a dimensão de comprimento.
2g γ
Estes termos são normalmente denominados de:
Z= carga potencial ;
V 2
--------- = carga cinética ou de velocidade;
2g
P
--------- = carga de pressão e H= carga total.
γ
Se o escoamento for permanente , fluido incompressivel e ideal, sem presença de máquinas e nem
trocas de calor as cargas totais se mantém constantes em qualquer seção, não havendo , nem ganhos e
nem perda de carga.
1)Exemplo de Aplicação – Determinar a velocidade de saída e a vazão da água que escoa através
do bocal da figura a seguir.
Ncte
PHR
(1)
6m H20
Solução: aplicando a Equação de Bernoulli entre (1) e (2), vem:
P1 V1 2 P2 V2 2
----- + Z1 + ----- = -----+ Z2 + ------ ; onde:P1=Patm=0;
γ 2g γ 2g
P2=Patm(jato livre)=0; V1=0(A1>>>A2) e Z2=0 Logo:
(2)
φ 0,10m

87
V2 2
----= Z1 == V2= 2.Z1 .g = 2x6x9,81
2g
V2= 10,85m/s
π. 0,10 2
Q= V.A = 10,85---- -------- === Q= 0,085m 3 /s
4
2o-Exemplo de Aplicação: Calcular a vazão Q do vertedor retangular da figura dada a seguir:
(1)
h h dh
(2)
H H
H20
Bernoulli entre (1) e (2)
P1 V1 2 P2 V2 2
---- + Z1 + ----- = ---- + Z2 + ----- onde :
γ 2g γ 2g
P1=Patm=0 ; Z1=h ; V1=0(A1>>>A2) e Z2=0.
Logo : V2 2
---- = h V2 = 2gh
2g
Para o elemento de área dA = b.dh , tem-se :
H
dQ= V.dA = 2gh . bdh⇒ Q= 2g . b.h 1/2 . dh
0
h 3/2 H 2 b
Q = 2g .b.----- ⇒ Q= ------. 2g H 3/2
3/2 0 3
b
dA =b.dh

88
3o-Exemplo:Calcular a vazão Q de um vertedor triangular da figura dada a seguir:
H
(1) H H
h h x
(2) dh H
H20
Aplicando a Equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2) obtém-se:
V= 2gh (1) e dQ = V. dA (2)
H H
h dA= x dh
x dh
H
dA=X.dh
Da figura acima tem-se : dA = x.dh e por semelhança de triângulos vem:
H H - h
----- =- ---------⇒ x =2(H - h), logo dA=2(H-h).dh(3)
2H x
Substituindo em (1) e (3) em (2) tem-se:
dQ=V. dA = 2gh . 2(H - h).dh
H
Q= 2. 2g. h 1/2 .(H - h)dh
0
H
h 3/2 h 5/2
Q= 2. 2g [----- H - ------ ]
3/2 5/2 0
2 2
Q= 2. 2g [-----H 5/2 - ------ H 5/2 ]
3 5
8
Q = ----- . 2g . H 5/2
15

5.5-Medida de Velocidade
89
A medida de velocidade de fluidos geralmente é feita através de aparelhos denominados Tubo de
Pitot. Tem-se o Tubo de Pitot Simples e Tubo de Pitot Estático.
5.5.1-Tubo de Pitot simples
Pode ser um tubo com uma curva em angulo reto, tendo as extremidades abertas, conforme se vê
na figura 5.5. Uma partícula no centro da seção (1) animada com velocidade V1, ao atingir a seção (2) é
freada e sua energia cinética transforma-se em pressão, que é denominada pressão dinâmica. O Tubo de
Pitot mede a pressão da seção (2), que é denominada pressão total e é a soma das pressões estática e
dinâmica. A pressão estática é aquela obtida por uma tomada de pressão instalada perpendicularmente a
direção do escoamento. A diferença das pressões total e estática é a pressão dinâmica. Com a pressão
dinâmica determina-se a velocidade V1, através da fórmula que será deduzida, a seguir, a partir da
Equação de Bernoulli .Na figura dada a seguir num trecho de um conduto, tem-se instalados um Tubo de
Pitot simples e uma tomada de pressão estática.
Tubo de Pitot
∆h γ
ho
(1) (2)
Z1=Z2
PHR
Figura 5.5 – Tubo de Pitot simples
Aplicando a Equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2) vem:
Bernoulli entre (1) e (2)
2 = 2 0 =
P1 V1 P2 V2
---- + ----- + Z1 = ----- + ----- + Z2
γ 2g γ 2g
Z1=Z2-tem a mesma cota ;
V2=0(ponto de estagnação , a velocidade pode ser considerada nula).
2
P1 V1 P2 (P1- P2)2g
Logo : ----- + ----- = ----- = V1 = --------------- (1)
γ 2g γ γ
Aplicando a equação manométrica vem:
P1 = hoγ + Patm (-1) P2 - P1 = ∆h γ(2)
P2= (∆h + ho)γ + Patm
Substituindo (2) em (1):

90
∆h. γ .2g
V1= ----------- = V1 = 2g . ∆h (4.4.1)
γ
5.5.2-Tubo de Pitot Estático
O Tubo de Pitot Estático é um instrumento que possui as duas tomadas pressão : estática e
dinâmica , fazendo de uma só vez a leitura destas duas pressões, conforme mostra da figura 5.6. A
velocidade V1, pode ser obtida através da fórmula que será deduzida, a seguir, utilizando a Equação de
Bernoulli.
γ
(1) (2)
Z1=Z2
Figura 5.6 – Tubo de Pitot Estático
γ
ho
γ
∆h
PHR γm
Aplicando a Equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2) vem :
Bernoulli entre (1) e (2)
2 = 2 0 =
P1 V1 P2 V2
----- + ----- + Z1 = ----- + ----- + Z2
γ 2g γ 2g
Z1=Z2-pontos de mesma cota;
V2=0-ponto de estagnação.
(P1- P2)2g
V1= (1)
γ
Pela equação manométrica da seção(1) a (2) vem:
P1- ho.γ + ∆h.γm - ∆h.γ + ho .γ = P2,que fica: P2 - P1 = ∆h(γm - γ ) (2)
Substituindo (2) em (1), vem:
Logo: ∆h(γm - γ)2g
V1 = ------------------ (4.4.2)
γ

91
Obs: Para medir a velocidade com qualquer dos dois instrumentos , após a sua instalação, basta fazer a
leitura do ∆h e calcular V1 através das expressões 4.4.1 ou 4.4.2 conforme seja um Tubo de Pitot
simples ou Estático.
5.6.Equação de Bernoulli em Presença de uma Máquina.
A figura 5.7 mostra um escoamento em que entre as seções (1) e (2), existe uma máquina
hidráulica(bomba ou turbina hidráulica).
(1) Hm (2)
M
P1;V1 P2;V2
Z1 Z2
PHR
Figura 5.7 –Escoamento com a presença de uma máquina
Se na Equação de Bernoulli, tivermos H1=H2(energia total igual nas seções 1 e 2 )não há entre
estas seções presença de máquina, onde :
P1 V1 2 P2 V2 2
H1 = ----- + ----- + Z1 e H2 = ----- + ----- + Z2.
γ 2g γ 2g
Bombas Hidráulicas: São máquinas que fornecem energia ao fluido(se há presença de
bomba tem-se H1 H2)
Chamando de Hm a carga manométrica das maquinas(bombas ou turbinas) a Equação de Bernoulli
passa a ter a seguinte expressão:
P1 V1 2 P2 V2 2
------ + ----- + Z1 + Hm = ----- + ----- + Z2.
γ 2g γ 2g
H1 + Hm = H2 ; onde:
Para as turbinas: Hm = - HT(carga manométrica das Turbinas)
Para as bombas: Hm = HB(carga manométrica das bombas)
5.7-Potencia e Rendimento de uma Máquina.
a)Potência de uma maquina (P)
Energia PesoxHm VolxHm
P= ------------ = -------------- = -------------tempo
t t

92
γ Q .Hm
P= Q.Hm (KW) e P= --------------- ( CV)
75
onde: γ =peso especifico do fluido em kN/m 3
Q =vazão em m 3 /s
Hm =carga manométrica em m.
b)Rendimento das Máquinas η
Potência Útil
η =------------------------------
Potência posto em jogo
Como nem toda a potência de uma bomba é fornecida ao fluido e nem toda potência do fluido é
absorvida pela turbina, devido as perdas por atrito do fluido no interior das máquinas e as perdas por atrito
nas partes movéis das máquinas, por isso a potência útil não coincide com a potência posto em jogo. Dai a
noção de rendimento. No caso das bombas a potência útil fornecida ao fluido é menor que a potência
da maquina(potência posto em jogo) , enquanto que na turbina a potência útil da máquina é menor que a
potência fornecida pelo fluido(potência posto em jogo).Daí a noção de rendimento.
Para as bombas tem-se:
P P γ Q .Hm γ Q .Hm
ηB =--------- ⇒ PB= --------- PB = -------------(KW) ou PB = -------------(CV)
PB η B ηB 75ηB
Para as turbinas tem-se:
PT γ Q.HT. ηT
ηT= ------- ⇒ PT= P. ηT ⇒ PT= ------------------ (CV) ou PT = γ Q.HT. ηT (KW)
P 75
onde:
PB= potência da bomba em CV ou KW
PT= potência da turbina em CV ou KW
5.8-Equação de Bernoulli na presença de uma Máquina.
Na figura 5.8 tem-se um escoamento por onde escoa um fluido real, de forma que quando ele escoa
de (1) para (2) parte de sua energia é dissipada no trecho. A energia dissipada simbolizada por HP1,2, é
conhecida por perda de carga entre as seções (1) e (2).
HP1,2 (2)
(1)
H1
Z1
PHR
Figura 5.8- Escoamento de um fluido real.
Na Equação de Bernoulli para fluido ideal tem-se:
H2
Z2

93
P1 V1 2 P2 V2 2
H1 = H2 ⇒ ----- + ----- + Z1 = ----- + -----+ Z2
γ 2g γ 2g
Para fluidos reais , existe atritos durante o transporte e consequente dissipação de energia, então
nesse caso H1> H2.
Para haver igualdade nos membros da equação, adicionamos a energia dissipada(perdas)HP1,2 , no
segundo membro .Logo:
H1 = H2 + Hp1,2 , que desenvolvida fica:
P1 V1 2 P2 V2 2
---- + ----- + Z1 = ---- + ------ + Z2 + HP1,2
γ 2g γ 2g
Na presença de máquina a Equação de Bernoulli passa a ter a seguinte expressão:
P1 V1 2 P2 V2 2
---- + ---- + Z1 + Hm = ---- + ---- + Z2 + Hp1,2(perdas)
γ 2g 2g γ
A potência dissipada pode ser calculada pela expressão:
Pat= Q.Hp1,2 (KW)
γ Q.Hp1,2
Pat=--------------- (CV)
75
5.9-Coeficiente de Energia Cinética α .
Se a distribuição de velocidade numa mesma seção fosse uniforme e a energia cinética calculada
com esta velocidade, então ela seria verdadeira. Mas acontece que a distribuição de velocidade na seção
nem sempre e uniforme, por isso, é necessário introduzir nestes casos, um fator de correção no cálculo da
energia cinética do escoamento. Na figura 5.9 tem um escoamento em que o perfil de velocidades na seção
não é uniforme, que será utilizado para determinar a expressão do coeficiente de energia cinética α.
A v
Vm
Figura 5.9
A energia cinética real que passa pela seção A na unidade de tempo é igual a:
ρ V 2 . dG ρ V 2 . dQ ρ V 2 .V.dA
Ec1= ----------- = ------------- = ----------------
A 2 A 2 A 2

94
A energia cinética que passa na unidade de tempo calculada com a velocidade media Vm é igual a :
ρVm 3 .A
Ec2 =-----------
2
Introduzindo o fator de correção α , pode-se escrever :
ρ Vm 3 .A ρ.V 3 .dA
. α ----------- = ---------- donde vem:
2 A 2
1 V
α ρVm 3 .A = ρV 3 .dA ⇒ α = ---- . ( ----- ) 3 .dA
A A A Vm
A Equação de Bernoulli passa a ter a seguinte expressão ao introduzir os fatores de correções α1 e
α2 ,nas seções (1) e (2).
P1 V1 2 P2 V2 2
----- + α1------ + Z1 + Hm = ---- + α2------ + Z2 + Hp1,2
γ 2g γ 2g
5.10-Metodo de Solução de Problema.
a)escolher um único Plano Horizontal de Referencia(PHR), cotando o CG das seções a partir deste
plano;
b)verificar as seções nas quais a velocidade e conhecida ou possa ser adotada. Para reservatório de
grande dimensões , pode-se adotar velocidade nula para a superfície livre.
c)verificar as seções onde a pressão é conhecida ou possa ser adotada .Num liquido em repouso a
pressão varia com a Lei de Stevin e num gás em repouso pode adotar pressão constante em qualquer ponto
Os pontos de superfície livre de um reservatório e os jatos tem pressão do ambiente.
d)aplicar a equação de Bernoulli entre as duas seções. Uma das seções pode conter uma incógnita a
outra não. No caso da incógnita ser a potência da maquina, ou a perda de carga as seções não podem ter
incógnitas nas duas seções.

5.11-Exercícios Capítulo 5
1)Determinar a velocidade e a vazão do bocal da situação abaixo.
Ncte
6m H20
95
2)Calcular a vazão Q do vertedor retangular abaixo.
H
3)Determinar a vazão Q do vertedor triangular abaixo.
H
b
φ0,10m
4)Determinar a velocidade e a vazão do líquido que sai pelo orifício do tanque do grandes dimensões da
figura abaixo.
h
5)Uma bomba deve recalcar 0,15m 3 /s de óleo γ = 760kgf/m 3 para o reservatório C. Adotando que a perda
de carga seja de 2,5m de (A) até (1) e 6m de (2) a (C), determinar a potência da bomba supondo seu
rendimento de 75%.
90°
d
H
H

(A)
15m óleo
(1) (2)
B
96
‘
6)A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 0,25kgf/cm 2 (abs). Desprezando as
perdas, qual é a máxima altura do ponto s em relação ao ponto A.
s
(A)
H20 1,2m
(B)
7)O óleo de γ = 760kgf/m 3 escoa do tanque A para E , como é mostrado na figura .Determinar:a)a vazão
b)a pressão em C. são dadas as perdas de carga :
2 2 2 2
VB VB VD VD
HpA,B= 0,6------; HpB,C =9 ------ ; HpC,D = 0,4 ------ e HpD,E = 9 -------
2g 2g 2g 2g
Patm
(C)
60m
(D)
(A) (C) 0,60m
φ15cm 12m
oleo (E)
(B) D=30cm
oleo
9)Na instalação da figura são dados : HpB,C=0 ; Q =3,14m 3 /s ;D=2m ; PB=4 kgf/cm 2 ; γ = 1000kgf/m 3
.Determinar: a)as cargas totais em: A, B e C; b)o sentido de escoamento ; c)o tipo de máquina ;d)a perda
de carga entre A e B e e)a potência da máquina se o rendimento é de 80%.

(A)
97
30m
H20 M
(B) 5m
( C) PHR
H20
10)Na instalação abaixo pede-se :a)altura manométrica ;b)a potência fornecida ao fluido pela bomba ;
c)admitindo-se η=83%, a potência dissipada na bomba. Dados: Q=30m 3 /h ;
γ =1000kgf/m 3 ; Pe= 3mca e Ps =10mca.
Pe Ps
B 0,5m
11)Um tubo de Pitot é preso num barco que viaja a 45km/h de tal forma que a tomada do tubo de Pitot fica
a uma profundidade pequena . Qual será a altura alcançada pela água no ramo vertical.
h
Tubo de Pitot
12)Desprezando-se os atritos no pistão na situação abaixo, determinar:
a)a potência da bomba em CV se seu rendimento for 70% b)a força que o pistão pode equilibrar com a
haste .Dados: Hp1,2= 0,5m ;Hp3,4=0,5m; Hp4,5=0;Hp5,6=1m; Q=5L/s;
A1=A2=10cm 2 ;A3=A4=A5=A6=5cm2; AG=21,5cm 2 ; g=10m/s 2 ; γ = 1000kgf/m 3 ;
Ap=10cm 2 ;AH=5cm 2 .Supor o cilindro num plano horizontal a 2m acima da referência.
Ap
H20
(2) (3) 10m
2m B
(1) (4) (G) (5)
AH
(6)

98
13)Óleo com densidade d=0,9 escoa num tubo de 150mm de diâmetro à velocidade de 3m/s , passando
por um Venturi como mostrado na figura. O diâmetro da garganta do medidor é 75mm . Qual será o nível
do óleo no piezometro ligado à garganta do Venturi ?
Desprezar as perdas .
1,20m
0,90m
(1)
(2) φ 75mm φ 150mm
φ150mm
14)Na instalação abaixo , o eixo da turbina transmite uma potência de 15CV.Sendo a vazão de 20L/s , e a
pressão na entrada 6 kgf/cm 2 e na saída 0,2kgf/cm 2 , tendo o tubo de entrada uma seção de área de 10cm 2
e o de saída de 20cm 2 , determinar o rendimento da turbina .Desprezar as perdas nos condutos entre (1) e
(2).
(1)
5m
PHR
TURBINA 15CV eixo
(2)
15)Água escoa na tubulação da figura abaixo, saindo ao ar livre na seção 4. O recipiente é de grande
dimensões transversais e o nível de água é mantido constante. Conhecem-se Z1=80m ; Z2=40m ;Z3=
30m;Z4 =20m ;d2=0,60m ;d3=d4=0,30m e g=10m/s 2 .Supondo que a água seja um fluido ideal , calcular:
a)a vazão b)a altura atingida pela água nos tubos piezométricos.
PHR
(1)
(2)
Z1 Z 4
Z2 (3) (4)
Z3
16)A bomba da figura recalca 84L/s de água. Um manômetro diferencial acusa um desnível de 20cm de
Hg. Determinar a potência da bomba se seu rendimento é 70% e que γ = 1000kgf/m 3 e dHg = 13,6.

99
D1=25cm (2) D2=15cm
B
(1)
20cm Hg
17)Desprezando o atrito no tubo calcular a potência desenvolvida na turbina pela água proveniente do
reservatório. Dado: γH20 = 1000kgf/m 3
30,5m
φ75mm
H20 φ150mm φ150mm
T Vj=9,15m/s
18)Desprezando-se os atritos no pistão da figura, determinar: a)a potência da bomba se seu rendimento for
80%; b)a força que o pistão pode equilibrar com a haste. Dados: A2 =A3 =
A4 =A5 =A6 =10cm², AG =8cm², Ap=20cm², AH =10cm², Hp1,2=0,5m;Hp3,4=0,5m. ;Hp4,5=0 e
Hp5,6=1m, g=10m/s²; γ= 1000kgf/m³. Supor o cilindro no plano de referencia.
4m
(1) Ap
PHR (4) V=10m/s
B
(2) (3) G (5) (6)
19)Dada a instalação na figura por onde escoa água, pedem-se: a)a pressão reinante no interior da câmara
acima da superfície da água. b)a pressão na entrada da bomba.
Dados: Q=25L/s;Hp1,3 =3mca; Hp1,2=0,5mca;g=10m/s²;γ=1000kgf/m³ e P=1CV (potência fornecida à
água).
Ar
(1)
3m A=0,005m 2
(2)
B
(3)
AH
7m

100
5.12-Respostas dos exercícios do capítulo 5
1)V=10,8m/s;Q=0,085m³/s; 2) Q=2/3.b 2g H 2/3 ; 3)Q=8/15 2g H 5/2
4)V = 2gh ; Q = 2gh . π d 2 /4 5)PB =108CV 6)Z=6,3m 7) a)Q = 86,20 L/s
b)PC = -1010kgf/m2 ; 8)a)HA= 35m ; HB= 45,05m e HC = 0 ; b)sentido de escoamento
de C para A; c)HpB,A = 10,05m; PB= 2358CV; 10)a)HB = 7,5m ; b)P=083CV ; c)0,17CV;
11)h = 7,81m ; 12)a)PB=1,62CV; b)F =12kgf ; 13)P2/γ = - 4,56m(o piezometro não funciona);
14)ηT=72%; 15)Q =2,45m3/s; h2= 36,25m; h3= -10m ; 16)PB = 5,6CV ; 17)PT = 14,14CV;
18)a)PB =0,5CV ; b) F =3,8kgf ;19)P1 = - 8750kgf/m 2 e P2= - 7500kgf/m 2 .

101
CAPITULO 6 - EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO.
X
Na figura 6.1 tem-se um campo de escoamento por onde escoa um fluido qualquer.
Z
O
Figura 6.1
Y
N = m. V
V.C.
dN ∂
Se na equação (----) = ---- ∫ η ρ dV + ∫ ηρ V • dA ,
dt sist ∂ t V.C S.C
a grandeza N for a quantidade de movimento (m V) e η a quantidade de movimento por unidade de
massa: m V
η = ------ = V , então temos que:
m
dN ∂
(----) = ---- ∫ η ρ dV + ∫ ηρ V • dA ,
dt sist ∂ t V.C S.C
d ∂
---(m V) = ---- ∫ V ρ dV + ∫ Vρ V • dA (1),
dt ∂ t V.C S.C
Da 2a Lei de Newton vem:
d
ΣFext = ---(m V )= força de superfície(pressão + atrito) +força de campo(peso) (2)
dt
Substituindo (2) em (1) vem:
∂
ΣFext = ---- ∫ V ρ dV + ∫ Vρ V • dA (3),
∂ t V.C S.C
6.1-Aplicação da equação da quantidade de movimento.
S.C.

102
Utilizando-se uma curva redução da figura 6.2 vamos determinar a expressão da equação da
quantidade de movimento válida para regime permanente e propriedades uniformes nas seções de entrada
e saída.
dA
(2)
A2
(1) dA
P
V2
P2 (2)
τ
A1 P P
τ τ
P1
V1 τ Ry R
(1) P
Figura 6.2
W Rx
Chamando de R a resultante das tensões normais e cisalhantes da superfície sólida(curva) sobre o
fluido e W o peso da massa de fluido contido na curva, então temos:
ΣFext = - ∫ P1 dA - ∫ P2 dA + R + W (4)
A1 A2
Substituindo (4) em (3) , vem:
∂
-∫ P1 dA - ∫ P2 dA + R + W = ---- ∫ ρ V dV + ∫ V ρ V •dA (5)
A1 A2 ∂t V.C S.C
A equação (5) é a Equação da Quantidade Movimento aplicada na curva redução.
6.1.1 Simplificações da Equação da Quantidade de Movimento.
Forma Geral:
∂
- ∫ P1 dA - ∫ P2 dA + R + W = --- ∫ V dV + ∫ ρ V V •. dA
A1 A2 ∂t V.C S.C

103
∂
Para regime permanente: ---- ∫ ρ V dV = 0 , logo:
∂ t V.C
- ∫ P1 dA - ∫ P2 dA + R + W = ∫ ρ V V •. dA.
A1 A2 S.C
Para propriedades uniformes nas seções e seções pequenas e planas, pode-se escrever:
- P1 ∫ dA - P2 ∫ dA +R + W = ρ1 Vm1 2 . ∫ dA + ρ2 Vm2 2 ∫ dA
A1 A2 A1 A2
R + W = P1 ∫ dA + P2 ∫ dA + ρ1 Vm1 2 ∫ dA + ρ2 Vm2 2 ∫ dA
A1 A2 A1 A2
Para seções planas e sendo n1 e n2 os seus versores normais e unitários, vem:
R + W = P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + ρ1 Vm1 2 A1 n1 + ρ2 Vm2 2 A2 n2
6.2-Coeficiente da quantidade de movimento β
A distribuição de velocidades numa seção de escoamento nem sempre é uniforme(constante), como
está mostrado na figura 6.3.Por isso ao calcular a quantidade de movimento a partir das velocidade médias
, dependendo do regime de escoamento podemos estar introduzindo um erro. O coeficiente β da
quantidade de movimento faz justamente a correção deste erro.
V A
Vm
Figura 6.3
ρ Vm 2 A = ∫ ρ v 2 dA
A
Introduzindo o coeficiente β pode-se escrever:
∫ ρ v 2 dA = β ρ Vm 2 A e para ρ =cte , vem:
A
1 v
β = ---- ∫ (------) 2 dA
A A Vm

Valores de β :
a) para regime turbulento β =1
b) para regime laminar β = 4/3
104
Introduzindo os coeficientes β1 e β2 da quantidade de movimento nas seções (1) e (2) , a equação
da quantidade de movimento passa a ter a seguinte expressão:
R + W = P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + β1 ρ1 Vm1 2 A1 n1 + β2 ρ2 Vm2 2 .A2 n2
1o-Exemplo de Aplicação: Calcular a força que atua num redutor escoando água no seu interior em
regime permanente com velocidade constante nas seções (1) e (2)( β1= β2=1,0)
Q n1 n2
D1 V.C. d2
P
W
τ τ P
n1 V.C. n2
P2
P1 τ τ
( i • )R + W =P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + β1 ρ1 Vm1 2 A1 n1+ β2 ρ2 Vm2 2 A2 n2
i • n1 = -1 ; i • n2 = 1 ; i • R =Rx e i • W =0
Rx=- P1.A1 + P2.A2 - ρ1 Vm1 2 A1 + ρ2 Vm2 2 A2 , onde:
Q 4 Q Q 4 Q
Vm1= ---- = ---------- e Vm2 = ------ = ---------
A1 πD1 2 A2 πD2 2
Logo:
Q 2 Q 2
Rx = -P1.A1 + P2.A2 - ρ1 ---- + ρ2 -----
A1 A2
Chamando de Kx= - Rx a força do fluido sobre o redutor temos que:
P
W
P

105
Q 2 Q 2
Kx=- Rx = P1.A1 -P2.A2 + ρ1----- - ρ2------
A1 A2
( j • ) R + W =P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + β1 ρ1Vm1 2 A1 n1 + β2 ρ2Vm2 2 A2 n2
j • n1 = 0 ; j • n2 =0 ; j • R= Ry e j • W = -W logo:
Ry -W =0 = Ry = W
Chamando Ky= - Ry vem : Ky = - W
A resultante K será dada por:
2 2
K = Kx + Ky
2 o -Exemplo de Aplicação: Calcular a força que atua numa curva redução , escoando um fluido
incompressível de massa especifica ρ , em regime permanente e turbulento. Dimensionar o bloco de
ancoragem.
Y
D1
(1)
(2)
V2 n2
θ
d2
n1 Ry R
Rx
V1
P2 n2
P θ
j P τ
P Vm2
x τ
i Vm1
P1 P
τ
n1
P P
τ
W P

106
( i •) R + W = P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + ρ1Vm1 2 A1 n1 + ρ2Vm2 2 A2 n2
i • n1 = -1 ; i. • n2 = cos θ ; i • R =Rx ; i •.W =0
Rx= - P1.A1 + P2.A2 cosθ - ρ1Vm1 2 A1 + ρ2Vm2 2 .A2 cosθ
Kx=-Rx=P1A1 + ρ1Vm1 2 A1 - P2A2 cosθ - ρ2Vm2 2 A2 cosθ
Kx= A1(P1 + ρ1 Vm1 2 ) - A2 cosθ (P2 + ρ2 Vm2 2 )
( j • ) R + W =P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + ρ1Vm1 2 A1 n1 + ρ2Vm2 2 A2 n2
j • n1 = 0 ; j • n2 =sen θ ; j • R= Ry e j • W = -W logo:
Ry -W = (P2.A2 + ρ2 Vm2 2 A2)senθ
Ky = -Rx =-W - (P2.A2 + ρ2 Vm2 2. A2)sen θ
2 2
K = Kx + Ky
Dimensionamento do bloco de ancoragem (curva no plano horizontal)
A área da seção do concreto para resistir K:
K K
fck = ------ Acon = -------
Acon fck
A área do solo para resistir a resultante K é dada por:
k K
σadmSolo= ------- Asolo = -----------
Asolo σadmSolo
Bloco de Ancoragem
Acon
Kx
Ky K
Asolo

107
3 o -Exemplo:Calcular a força que age no desviador de jato fixo.
n2
V2 θ2
V1 (2)
n1 θ1 (1)
P τ
P
P τ
τ τ
P
τ
τ Ry
n1 θ1 P R
P W
2 2
( i •) R + W = P1A1 n1 + P2A2 n2 + ρ1Vm1 2 A1 n1 + ρ2Vm2 2 A2 n2
i • n1 = - cosθ1 ; i. • n2 = cos θ2 ; i • R =Rx e i •.W =0
0 0
Rx= - P1A1 + P2A2 - ρ.Vm1 2 A1 cosθ1 + ρ.Vm2 2 A2 cosθ2
Kx= - Rx= ρ.Vm1 2 .A1.cosθ1 - ρ.Vm2 2 .A2. cosθ2
0 0
( j • ) R + W =P1A1 n1 + P2A2 n2 + ρVm1 2 A1 n1 + ρVm2 2 A2 n2
j • n1 = 0 ; j • n2 =sen θ ; j • R= Ry e j • W = -W logo:
Ry -W = - ρ.Vm1 2 .A1.senθ1 + ρ Vm2 2 A2 .senθ2
Ky = -Rx =-W + ρVm1 2 .A1.senθ1 - ρ Vm2 2 A2 .sen θ2
2 2
K = Kx + Ky
n2
θ2
Rx

x
108
6.3-Força sobre superficie sólida em movimento.
z
O y
Vabs
u1 W
Na figura acima tem-se que:
-Vs - velocidade do anteparo em relação ao sistema fixo;
-Vabs - velocidade absoluta do jato;
- u - velocidade relativa do jato. Sendo:
Vabs = Vs + u u = Vabs - Vs
Vs
Substituindo a expressão da velocidade relativa na equação da quantidade de movimento vem:
R + W = P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + ρ1u1 2 A1 n1 + ρ2 u2 2 A2 n2.
1 o -Exemplo de Aplicação: Calcular a forca que atua no anteparo curvo dado a seguir , sabendo-se
que ele se move com velocidade constante Vs.
P n2
P
θ
(2) P
P V.C.
Vj
n1
S.C.
P (1) P
z Aj W Vs
P
x
O y
R + W = (P1A1 + ρ1u1 2 A1) n1 + (P2A2 + ρ2 u2 2 A2) n2
P1=P2=Patm=0 ; u =Vj - Vs ;A1=A2=Aj e ρ1 = ρ2= ρ
u2

( .i • ) R + W = ρ u1 2 A1 n1 + ρ u2 2 A1 n2
109
i • n1= -1 ; i • n2= cos θ ; i • W= 0 e i • R =Rx
Rx = - ρ (Vj - Vs) 2 Aj + ρ (Vj - Vs) 2 Aj cosθ
Kx= - Rx= ρ (Vj -Vs) 2 Aj(1 - cos θ)
( .j • )R + W = u 2 Aj n1 + u 2 Aj n1
j •. R = Ry ; j .• W = -W ; j .• n1 = 0 e j •. n2 =senθ
Ry - W = ρ(Vj - Vs) 2 Aj sen θ
Ky= -Ry = -W - ρ(Vj -Vs) 2 Aj sen θ
2 2
K = Kx + Ky
2 o -Exemplo de Aplicação :Calcular a força exercida pelo jato de água incidindo sobre uma placa
plana.
(1)
n2
V2 Patm
P2=Patm
V.C.
n1 P1=Patm
V2
Patm
n2 P2=Patm
Na direção radial as componentes se cancelam restando apenas força na seção (1).
( i • ) R + W =(P1A1 + ρV1 2 A1) n1
i • R =Rx e i •.n1 = -1; P1=Patm =0 , logo:
Rx= - ρV1 2 A1 Kx= -Rx= ρV1 2 A1 Kx= ρ Q V1
6.4- Potencia de uma Turbina Hidraulica.

110
A potência pode ser obtida do produto de uma força com uma velocidade Neste caso a forca será a
componente da forca(Kx) que age sobre as pás da turbina e a velocidade e a velocidade tangecial das
pás(Vs) da turbina.
H20
h ω
Vj=Vabs
n2
(Vj –Vs)
n1 (2) θ r
P= força x velocidade PT= Kx .Vs
Kx =força do fluido sobre a pá na direção do movimento
Vs ω
Vs= W r= velocidade das pás da turbina(velocidade tangencial)
PT= Kx.Vs = ρVj(Vj - Vs)Aj(1 - cos θ)Vs
PT= ρQ(Vj - Vs)(1 - cos θ)Vs
PT= ρQ(Vj - ωr)(1 - cos θ) ωr

111
6.5-Exercícios do Capítulo 6 – Equação da Quantidade de Movimento
1)Calcular a força que atua num redutor escoando água no seu interior em regime permanente com
velocidade constante nas seções (1) e (2).
P1
P2
Q
D1 V.C. d2
ρ1
W
2)Calcular a força que atua numa curva redução, escoando um fluído impossível de massa específica ρ,
em regime permanente e turbulento. Dimensionar o bloco de ancoragem.
D1
(1)
V1
3)Calcular a força que age no desviador do jato fixo. Dados:ρ1, ρ2, Vml, Vm2, θ1 e θ2.
(2)
ρ2
Vm2 θ2
Vm1 (2)
θ1
(1)
4)Calcular a força que atua no anteparo curvo abaixo sabendo-se que ele se move com velocidade ‘cte Vs.
São dados- W, Vj, Aj, ρ e θ.
V2
θ
d2

Vj
.
112
(1)
Aj W Vs
5)Calcular a força exercida pelo jato de água incidindo numa placa plana. São dados: ρ, V1 e A1.
Vj
Aj
6) Calcular as componentes horizontal e vertical da força que o jato de água exerce sobre o desviador. Dados: ρ=1000kg/m3,
Q=20L/s, Dj=10cm.
θ = 45°
Dj
7)Calcular o esforço horizontal sobre a estrutura do ventilador da figura e a potência transmitido ao fluido
pelo mesmo. Desprezar as perdas de cargas entre as seções (1) e (2). Dados: D2=0,38m, V2=30m/s, γ=
12,75N/m3 e V1≅ 0
(1)
(2)
(2)
θ

113
8)Um jato de água saí de um bocal com velocidade de 6m/s e atinge uma placa estacionária, normal ao
jato. A seção de saída do bocal tem uma área de 6,25cm². Qual a força horizontal sobre a placa?
ρ=1000kg/m³.
Vj = 6m/s
Aj
9)Refazer o problema anterior quando a placa desloca para a direita com uma velocidade de 1,5m/s.
Vj =6m/s
Aj
Vs=1,5m/s
10) A água contida no tanque 1 é descarregada através do bocal sem atrito. Seu nível h1 pode ser
considerado cte. O jato incide sobre a placa de grandes dimensões que cobre a saída do bocal do tanque 2
que contém água a uma h2 acima do orifício. Os bocais são iguais. Se h2 for conhecido, determinar h1 tal
que a força do jato seja suficiente para anular a resultante das forças horizontais que agem sobre a placa.
h1 h2
11)Determinar as componentes da força que atua sobre a curva de uma canalização conforme a figura. A
curva encontra-se num plano horizontal e o líquido que escoa tem ρ=1000kg/m³, são dados θ =30°,
A2=A1=0,1m², V1=2m/s P2=137,34KN/m2 e P1=147,15KN/m2. Desprezar o peso do fluido e da curva.
(2)
θ=30°
(1)
12)A água que sai de um reservatório de grandes dimensões penetra num conduto de 15cm de diâmetro e
incide sobre uma pá refletora fixa que desvia o jato de 90º conforme a figura. Sabendo-se que o empuxo
horizontal desenvolvido sobre a pá é 981N, determinar a potência da turbina. Dados: ρ=1000kg/m³, perda
de carga desprezível e η =70%.

30m
T
114
13) O tubo BC da figura está ligado ao tanque por meio de uma junta elástica de borracha que impede a
transferência de esforços, entre o tanque e o tubo. Calcular a altura h do nível de água do, tanque para que
a força horizontal sobre o suporte D seja anula. Dados:g=10m/s², ρ=1000kgm/m³ e HpA,B=0.
PB=49,05 KN/m 2
AB=80cm 2
h B 60°
Ac=20cm 2
14) Dados o esquema da figura, sabendo-se que a seção do jato tem uma área de 520cm² e que a área do
pistão é 20cm², determinar a vazão do bocal. Dado γH2O=9,81KN/m³, g=10m/s². Obs. O sistema está em
equilíbrio.
60°
15)O cotovelo da figura está preso por duas luvas elástica de forma não é influenciado pelo resto da
instalação. Sendo a área de sua seção 20cm²a vazão de 20L/s, qual será a força causada pelo escoamento
do fluido se a perda é 1m(γ=9,81KN/m³).
H20
1,2m
2m
Hg

1m
1m (2)
(1) P=196,2KN 2
115
16) A turbina da figura “extrai” a potência de 5,3KW(3,9CV) da água em escoamento. Desprezando as
perdas na redução, calcular as forças exercidas pela água sobre a redução e sobre a turbina
respectivamente. Dados: g=10m/s2e γ H20=9,81KN/m³.
P= 82,40 KN/m 2
V1=3m/s D1=30cm
Redução D2=15cm
Turbina
17) Na instalação esquematizada na figura, T é turbina e o fluido que escoa é água de γ=9,812KN/m³. A
vazão que escoa é 314L/s e as pressões em (1)e (2) são respectivamente: P1=176,58KN/m2 e P2= -
19,62KN/m 2 . Desprezando-se as perdas, pedem-se.
a)a potência consumida pela turbina
b)esforço segundo x que atua na base da turbina. Adotar g=10m/s²;A1=0,0314 m² e A2=0,126m².
(1) 1m
D1=0,20m (2)
T
D2=0,40m

116
6.6-Respostas dos exercícios do capítulo 6
1)Kx=P1πD1 2 /4 – P2πd2 2 /4 + ρ1.4Q²/π D1²- ρ2.4Q²/π d2² ; ky=-W
2)Kx=(P1=ρV1²) π D1² /4 – (P2-ρV2²) πd2² cosθ/4;
Ky=-W- (P2+ρV2²) πd2² senθ/4
3)Kx=(P1 +ρ1Vm1²)A1 cosθ1 – (P2+ρ2Vm2²)A2 senθ2
4)Kx=ρ(Vj-Vs)²Aj(1-cosθ); Ky=-W-ρ(Vj-Vs)²Aj senθ; 5)Kx=ρV1²A1
6)Kx=15,10N;Ky=-36,49N ;7)Kx=-130,08N e P=1,95KW(2,65CV);
8)Kx=-38,16KN ; 9)kx=12,36N; 10)h1=h2/2;11)kx=2,88KN e Ky=-7,07KN
12)Nt=24,84KW(33,75CV); 13)h=7,5m; 14)Q=0,233m ³/s; 15)K=8805,10N;
16)KxR= 3,66KN e KxT=0,24KN; 17)a)NT=79,16KW(107,56CV) b)Kx=8,62KN

117
CAPÍTULO 7-TRANSPORTE DIFUSIVO DE MASSA
7.1-Equação da Difusão de FICK.
A Figura 7.1-a representa duas placas paralelas de grandes dimensões, separadas por uma
distância b, e contendo ar seco entre elas. A placa superior é feita de material poroso e pode ser saturada
com água e mantida nesse estado. A placa inferior é recoberta com material dissecante, como sílica-gel,
que pode absorver continuamente toda a água(vapor)que a atingir, mantendo o ar sempre seco nas suas
vizinhanças. No instante t= 0 a placa superior é saturada com água e mantida nesse estado. Imediatamente
após, aparecerá no espaço entre as placas um campo (perfil) de concentração de vapor de água parecido
com aquele indicado na figura 7.1-b por t≅0. Um mecanismo de transporte de massa na direção y é
desencadeado pelo estado de desequilíbrio criado pelas placas.
Figura 7.1
Nesta discussão, por razões de simplicidade, está sendo examinado o caso de um sistema binário ,
ou seja, composto de dois componentes. De uma maneira geral, quando houver interesse em estudar-se a
mistura entre dois gases diferentes, um deles pode ser designado como o componente A e outro como B.
Casos mais complexos, como por exemplo , a mistura entre água do mar e água doce, podem ser tratados
com boa aproximação como um sistema binário, muito embora a água do mar seja, na verdade um sistema
constituído de muitos componentes. Entretanto, se admitirmos que a concentração de cloreto de sódio é
um parâmetro representativo da concentração da água do mar, o processo pode ser considerado binário,
com o cloreto de sódio escolhido como sendo o componente A e a água doce como o componente B.
Antes de iniciar uma análise quantitativa do mecanismo de difusão é necessário definir algumas
grandezas:
A massa específica parcial de um componente ou simplesmente massa específica é definida como
a relação entre a massa do componente e o volume da mistura. Assim:
massa do componente A
ρA= ------------------------------------- = massa específica do componente A
volume da mistura de A e B
massa do componente B
ρB= ------------------------------------- = massa específica do componente B

volume da mistura de A e B
118
A massa específica da mistura é dada por:
massa de A + massa de B
ρ = --------------------------------------volume
da mistura de A e B
As definições acima são válidas para meios homogêneos. Se houver diferença em massa específica
de um ponto para outro, como por exemplo em um fluido estratificado, é preciso que os volumes
considerados sejam elementares, e as definições são substituídas por limites dos mesmos quocientes
quando os volumes da mistura tendem para um valor pequeno.
A massa específica ρ da mistura é igual a:
ρ = ρA + ρB
As concentrações de A e B são definidas respectivamente, como :
ρA
cA = -------ρ
ρB
cB = -------ρ
A soma das concentrações cA e cB é igual a:
cA + cB = 1
Existem outras definições para concentração um pouco diferentes destas aqui apresentadas, como
por exemplo : chamar de concentração a massa específica parcial.
O fato de se utilizar uma ou outra definição não traz dificuldade, porém é necessário observar que
a massa específica parcial é uma grandeza dimensional cuja unidade pode ser: µg/litro; µg/m 3 ; g/cm 3 , etc.
Aqui, concentração é uma grandeza adimensional, pois é uma relação entre massas. Se, por exemplo , 20g
de sal de cozinha forem dissolvidas em 100kg de água, a concentração de NaCl na mistura será de:
20g 20
cA = ------------------- ≅ ------------ = 2x10 -4 ou cA = 0,02% NaCl (em massa)
(100x10 3 +20g) 100x10 3
Ou utilizando a unidade ppm(partes por milhão)
cA = 200 ppm(em massa) de NaCl em água.
Isto significa que uma massa de 200g de NaCl está dissolvida em uma massa de 10 6 g de água.
Esta unidade de medida (ppm em massa) é muito usada pelos técnicos da área de saneamento para avaliar
problemas de poluição, dosagem de produtos químicos na água de abastecimento.
Vale a pena dizer que é comum utilizar-se a unidade ppm volumétrica ao analisarem misturas de
gases. Nos dados de poluição atmosférica, por exemplo, 2ppm de NO no ar significa que em 10 6 litros de
ar estão dissolvidos em 2 litros de NO, ambos nas condições de 25 o C de temperatura e á pressão
atmosférica.

119
Fica assim bem evidente que a unidade ppm quando não claramente definida pode criar dúvidas
pois a medida de uma concentração ppm volumétrica é diferente da mesma medida em ppm mássica em
geral. Aqui a concentração será sempre relações entre massas(adimensionais).
Exemplo 1.1:
A massa específica parcial de 4mg/m 3 de SO2 no ar corresponde que concentração em
ppm(massa)?
ρA= 4mg/m 3 ; ρ ≅ρar= 1,18kg/m 3 a 25 o C e 1 atm.
ρA 4mg/m 3
cA = ------- = --------------------- = 3,39x10 -6 = 3,39ppm(massa)
ρ 1,18x10 6 mg/m 3
Exemplo 1.2:
No caso anterior, qual é a concentração em ppm volumétrica?
cA = 3,39 ppm(massa)
3,39kg de SO2
cA = --------------------
10 6 kg de ar
1 mol de SO2 = 32 + 2x16 =64kg
1 mol de ar = 28,8kg
3,39kg
Logo: 3,39 kg de SO2 = ---------------- = 5,3x10 -2 moles
64kg/mol
10 6 kg
10 6 kg de ar = ----------------- = 3,47x10 4 moles
28,8kg/mol
Nas condições normais de temperatura (0 o C) e pressão (1 atm) 1mol de um gás ocupa um volume
de 22,4 litros. A temperatura de 25 o C o volume será maior , e de acordo com a lei dos gases perfeitos:
Logo:
273+ 25 298
V25oC= V0oC -------------= 22,4 x---------- V25oC= 24,45litros.
273 273
3,39 kg de SO2 = 5,3x10 -2 moles = 5,3x10 -2 moles x24,45 litros/mol
= 1,3litros de SO2
10 6 kg de ar =3,47x10 4 moles = 3,47x10 4 molesx24,45 litros/mol
=8,48x10 5 litros.
E finalmente,
1,3 litros de SO2
cA =------------------------------ = 1,53x 10 -6 = 1,53 ppm(vol)
8,48x 10 5 litros de ar

120
A figura 7.1-b ilustra a variação em função do tempo do perfil de concentração cA do vapor
de água no espaço compreendido entre as duas placas. Nos instantes iniciais (t=0) haverá um
grande gradiente de concentração nas camadas anexas à placa superior, pois nesta região haverá
uma diferença grande de concentração de uma camada de fluido para a camada vizinha. Nas
camadas subsequentes(inferiores) a concentração cai rapidamente para zero, o mesmo acontecendo
com o gradiente.
Em conseqüência, nas camadas superiores surgirá um grande fluxo de massa, pois a
diferença de concentração entre camadas adjacentes será muito grande, enquanto que nas
inferiores o fluxo será nulo.
Com o passar do tempo, o perfil de concentração evolui, como representado na figura, até
atingir a situação estacionária em que o perfil é linear(t=∞).
O perfil do fluxo de massa na direção y, Jy modifica-se como na figura 7.1-c .No início
(t=0) há um grande fluxo nas camadas superiores, e um fluxo nulo nas inferiores. A situação evolui
no sentido de se eliminar esta discrepância. No final (t=∞) o fluxo de massa será constante através
de todas as camadas. O regime de transferência de massa torna-se permanente, ou seja, a descarga
de massa liberada pela placa superior é a mesma que a absorvida pela placa inferior.
Experimentalmente verifica-se que existe uma proporcionalidade entre o fluxo de massa e o
gradiente de concentração. Quando o regime permanente é alcançado o gradiente de concentração
é dado simplesmente por cAo/b . Nesse caso,
m cAo
Jy = ------- = - D ρ -------(1.1) , onde:
A b
m = é a descarga de massa , com dimensões: MT -1 (kg/s);
Jy = é a componente do fluxo de massa na direção y, com dimensões:
ML -2 T -1 (kg/m 2 s);
D = é a difusividade ou coeficiente de difusão, com as dimensões :
L 2 T -1 (m 2 /s);
ρ= é a massa específica da mistura binária com dimensões ML -3 (kg/m 3 );
cAo = é a concentração da camada superior.
O sinal negativo indica que o fluxo se dá no sentido oposto ao eixo y , isto é,
da região de maior concentração para a de menor concentração.
Durante o período transiente uma equação semelhante à equação (7.1) pode ser escrita para
uma fatia bem fina , de espessura ∆y, localizada numa posição genérica y, como mostra a figura 7.2.
y
Figura 7.2
∆c
∆y
cAo
c

121
O fluxo através do plano horizontal na altura y é dado aproximadamente por:
∆(ρ c)
Jy = - D ----------- ou, mais precisamente por:
∆y
∆c ∆(ρ c)
Jy = - D lim ρ ------ Jy = -D lim ------------, ou
∆y0 ∆y ∆y 0 ∆y
∂(ρ c)
Jy = - D --------(7.2)
∂y
∂c
Jy = - Dρ ------, quando ρ não (ou varia muito pouco) de um ponto
∂y para outro.
A equação 7.2 é conhecida como a equação da difusão de Fick. O parâmetro D é o coeficiente de
difusão para um sistema binário e quantifica o processo de difusão. Sua unidade no sistema MKS é o m 2 /s
. Valores elevados de D indicam processos em que a difusão é rápida, enquanto que valores baixos
identificam processos lentos de difusão. A equação 7.2 afirma que um componente por exemplo o vapor
de água difunde na mistura
(vapor de água e ar ) na direção do decréscimo da concentração do componente.
As tabelas A .10 e A .11 fornecem respectivamente os coeficientes de difusão de gases e vapores
em ar a 25 o C e atm , e de líquidos a 20 o C.

122

123
Exemplo. Uma descarga m = 0,2kg/h de dióxido de carbono é liberada de uma superfície
permeável com 5m 2 de área e difunde no ar atmosférico à temperatura de 30 o C. A concentração de CO2
no ar junto a superfície é co= 0,04, e a uma distância de 5cm é praticamente desprezível. Determine a
difusividade do CO2 no ar. Hipótese: suponha que o perfil de concentração seja quase linear junto à
superfície , logo:
∂c ∆c 0,04
- -------- ≅ -------- = ---------- = 0,8m -1
∂y ∆y 0,05

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O fluxo de CO2 será:
m 0,2
Jy = ------- = ---------- Jy = 0,04kg/h.m 2
A 5
Como a porcentagem de CO2 é pequena , a massa específica da mistura é praticamente igual a
massa específica do ar a 30 o C, que vale ρ = 1,165kg/m 3 .
Jy 0,04
Logo : D = -------------= -------------- D =4,3x10 -2 m 2 /h
(-∂ρc/∂y) 1,165x0,8