Prof Collier - DCC

138 4. CONCEITOS BÁSICOS
Outro subespaço associado a uma transformação linear T : V → W é seu núcleo,
definido por
N(T ) = {v ∈ V | T v = 0}.
Note que N(T ) é um subespaço do domínio de T , ao passo que a imagem é um subespaço
do seu contradomínio. Para provar que o núcleo é um subespaço de V , tomamos v, v ′ ∈
N(T ) e lembramos que isto significa que a imagem de ambos é igual a zero. Mas isto
implica que
T (v + v ′ ) = T (v) + T (v ′ ) = 0 + 0 = 0 e que T (λv) = λT (v) = λ · 0 = 0,
mostrando que v + v ′ e λv também são elementos de N(T ).
À primeira vista pode parecer que o núcleo apresenta um novo tipo de subespaço vetorial
sem contrapartida óbvia no capítulo anterior, mas isto não é verdade. Lembre-se que
se T : R n → R m for uma transformação linear e A for sua matriz relativamente à base
canônica, então T (v) = Av. Portanto, T v = 0 equivale a dizer que Av = 0, de modo que
o núcleo de T corresponde ao conjunto solução do sistema linear homogêneo AX = 0.
O núcleo de uma transformação linear desempenha um papel bastante importante, já
que mede a fidelidade da imagem de uma transformação linear. Mais precisamente, uma
transformação cujo núcleo é nulo copia o domínio fielmente dentro de seu contra-domínio.
Tais aplicações são chamadas de injetivas. Formalmente, uma transformação linear T :
V → W do espaço vetorial V no espaço vetorial W é injetivas se dois vetores distintos de
V sempre têm imagens distintas sob T . A relação entre núcleo e injetividade é expressa
pela seguinte afirmação:
T é injetiva se, e somente se, N(T ) = 0.
A demonstração é extremamente simples. Sejam v, v ′ ∈ V . Então, pela definição do
núcleo,
T (v) − T (v ′ ) = T (v − v ′ ) = 0,
se, e somente se, v − v ′ ∈ N(T ); donde o resultado desejado segue imediatamente.
Finalmente, fixados um escalar λ e um operador linear T : V → V , podemos definir o
subespaço
Vλ = {v ∈ V | T v = λv}.
Note que o núcleo de T é o caso especial desta construção para o qual λ = 0. A bem
da verdade, para quase qualquer escolha de λ teremos Vλ = {0} que é um subespaço
sem nenhum interesse. Como no caso dos operadores lineares do R n diremos que λ é um
autovalor de T sempre que Vλ = {0}. Naturalmente, isto equivale a dizer que λ é um
autovalor de T quando existe um vetor não nulo v ∈ V que satisfaz
T (v) = λv.