raciocínio lógico – proposições lógicas - Professor Fabiano
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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS <strong>–</strong> LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA <strong>–</strong> RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO <strong>–</strong><br />
LÓGICA MATEMÁTICA <strong>–</strong> LÓGICA COMENTADA <strong>–</strong> RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO <strong>–</strong> PROVAS DE LÓGICA <strong>–</strong> PROVAS DE<br />
RACIOCÍNIO LÓGICO <strong>–</strong> PROPOSIÇÕES LÓGICAS <strong>–</strong> ARGUMENTOS LÓGICOS<br />
MATEMÁTICA E LÓGICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS É AQUI<br />
Lógica <strong>–</strong> Questões Comentadas<br />
Tipo de questões: Raciocínio e interpretação.<br />
(CESPE) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta<br />
vários desafios ao <strong>raciocínio</strong> <strong>lógico</strong> que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o<br />
seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan.<br />
Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela<br />
fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a<br />
segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala<br />
somente verdades.<br />
Com base no texto acima, julgue o item a seguir.<br />
Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da<br />
mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.<br />
Possibilidades para portar fichas brancas (B) ou pretas (P)<br />
1ª pessoa 2ª pessoa<br />
B ( V ) B( F )<br />
B ( V ) P ( V )<br />
P ( F ) B ( F )<br />
P ( F ) P( V )<br />
Tem que achar qual dessas possibilidades que “casam” com as frases.<br />
1ª Opção: Ambos com fichas da mesma cor e ambos falando a verdade. Não condiz com a expressão da<br />
primeira pessoa:<br />
2ª opção: Fichas de cores diferentes, com o segundo dizendo a verdade. Não condiz com a expressão do<br />
segundo.<br />
3ª opção: Fichas de cores diferentes, ambos mentindo. Não condiz com a expressão do primeiro<br />
4ª opção: Condiz com expressões.<br />
Conclusão: Tanto o primeiro quanto o segundo portam fichas pretas. O segundo fala a verdade.<br />
R: Certo<br />
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(FGV) Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não-políticos.<br />
Todos os políticos sempre mentem e todos os não-políticos sempre falam a verdade. Um<br />
estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao<br />
nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito.
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O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I é<br />
realmente um político. Quantos dos 3 nativos são políticos?<br />
a. zero b. um c. dois d. NDA<br />
O que o nativo1 poderia ter dito?<br />
Se ele for um político, só poderia ter dito que não é um político ou que é um não político.<br />
Se ele for um não político, poderia dizer também que não é um político ou que é um não político<br />
Se o nativo II fala a verdade, pois exprime uma resposta possível para o nativo I, então este não é<br />
político.<br />
Agora analisaremos o nativo III<br />
Se o nativo I for um político.<br />
O nativo III tem que ser um não político, pois tem que falar a verdade sobre a expressão de I.<br />
Se o nativo I for um não político.<br />
O nativo III tem que ser um político, pois tem que negar a condição do nativo I.<br />
Ou seja, A condição do nativo I é contrária a do nativo III, enquanto que o nativo II não é político,<br />
pois fala a verdade.<br />
Então temos 1 político e 2 não-políticos<br />
Resposta: Letra B<br />
(FGV) Alguém afirmou certa feita que Toda pessoa que diz que não bebe não está sendo<br />
honesta. Pode-se concluir dessa premissa que:<br />
a. Uma pessoa que diz que bebe está sendo honesta.<br />
b. Uma pessoa está sendo honesta se diz que bebe.
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c. Não existem pessoas honestas que dizem que não bebem.<br />
d. NDA<br />
Colocando em diagramas, teremos que<br />
~H<br />
Diz<br />
~B<br />
Alternativa a. Se uma pessoa diz que bebe, pode estar ou não estar sendo honesta.<br />
Alternativa b. Mesmo caso da anterior<br />
Alternativa c. Dizer que não existem pessoas honestas que dizem que não bebem, ou seja, não há<br />
pessoa que seja honesta e que diga que não bebe ao mesmo tempo. Opção correta, pois o conjunto dos<br />
que não bebem não chega aos honestos<br />
(FGV) O argumento que se segue foi extraído do livro “As aventuras de Huckleberry Finn”, de<br />
Mark Twain. Nele, o personagem Huck Finn afirma:<br />
- Jim disse que as abelhas não picariam idiotas; mas eu não acreditei nisso, porque eu<br />
mesmo já tentei muitas vezes e elas não me picaram.<br />
Analisando o argumento, podemos dizer que:<br />
a. Uma premissa implícita é que Huck Finn é idiota.<br />
b. Uma premissa implícita é que Huck Finn não é idiota.<br />
c. A conclusão do argumento é que Jim é idiota.<br />
d. A conclusão do argumento é que Huck Finn é inteligente.<br />
O personagem está negando a afirmação: as abelhas não picariam idiotas.<br />
Quando se nega uma negação, tem-se uma afirmação, pois uma negação elimina a outra. Ou seja,<br />
para o personagem: As abelhas picariam idiotas.<br />
Como ele disse que elas não o picaram, então é sinal que ele está afirmando que não é idiota.<br />
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Lembre que toda proposição deve ser uma afirmação.<br />
A lógica tradicional não trabalha com <strong>proposições</strong> interrogativas.<br />
Tabela Verdade: Como a valoração sempre será V ou F. Para saber o número de linhas da tabela<br />
n<br />
verdade, usa-se a fórmula 2 , onde n é o número de <strong>proposições</strong>. Exemplo: se tivermos A e B, n=2, a<br />
tabela terá 4 linhas. Se tivermos A,B,C e D, n=4, então a tabela terá 16 linhas.<br />
Conectivos:<br />
Negação ( ¬ ) Para negar uma proposição, se ela for V vira F; se F vira V.<br />
Verifica-se a negação quando aparece elemento negativo: não, é falso que...<br />
Exemplo: Dada a proposição A, então sua negação(contradição) será ¬ A<br />
A B ~A ~B<br />
V V F F<br />
V F F V<br />
F V V F<br />
F F V V<br />
Conjunção ( ∧ ) Só será verdadeira, se ambas forem verdadeiras. Está relacionada com a<br />
intersecção de conjuntos.<br />
Verifica-se a conjunção quando aparece elemento aditivo: e, mas, contudo...<br />
Exemplo: Dadas as <strong>proposições</strong> A e B, então a conjunção será A ∧ B<br />
A<br />
B<br />
A B A ∧ B<br />
V V V<br />
V F F<br />
F V F<br />
F F F<br />
A<br />
A ∧ B<br />
¬ A<br />
Disjunção Inclusiva ( ∨ ) Será verdadeira se uma ou outra proposição for verdadeira; ou seja, só<br />
será falsa se ambas forem falsas. Está relacionada com a união de conjuntos.<br />
Verifica-se a conjunção quando aparece elemento alternativo: .... ou ....<br />
Exemplo: Dadas as <strong>proposições</strong> A e B, então a disjunção será A ∨ B<br />
A<br />
B<br />
Observe que :<br />
Observe que :<br />
A ∧ B= B ∧ A<br />
(São equivalentes)<br />
A ∨ B= B ∨ A (São equivalentes)
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A B A ∨ B<br />
V V V<br />
V F V<br />
F V V<br />
F F F<br />
Disjunção Exclusiva ( ∨ ) Será falsa quando ambos falsos e também quando ambos verdadeiros.<br />
Pois não há intersecção entre os conjuntos.<br />
Verifica-se a conjunção quando aparece elemento alternativo: ou.... ou ....<br />
É excludente, ou acontece uma coisa A ou outra B.<br />
Se A acontece, B não acontece e vice-versa.<br />
Não pode ambos acontecerem ou ambos não acontecerem.<br />
A<br />
A B A ∨ B<br />
V V F<br />
V F V<br />
F V V<br />
F F F<br />
Implicação ( → ) Só será falsa se uma proposição verdadeira implicar uma falsa. Disso conclui-se<br />
que sempre que a primeira proposição for falsa, a implicação será verdadeira. Em conjuntos, a<br />
primeira proposição está contida na segunda, ou seja, a segunda contém a primeira.<br />
Verifica-se a implicação quando aparecem: se... então; Se A,B; A implica B; A é suficiente para<br />
B; B é necessária para A... (sempre que pudermos substituir o conectivo da frase por se...então)<br />
A primeira proposição é condição suficiente, a segunda é condição necessária<br />
Exemplo: Dadas as <strong>proposições</strong> A e B, então a implicação será A →B<br />
A B A →B<br />
A<br />
A ∨ B<br />
B<br />
B<br />
Observe que :<br />
A →B é diferente de B →A
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V V V<br />
V F F<br />
F V V<br />
F F V<br />
Se a condição suficiente é Falsa, a implicação é verdadeira<br />
Se a condição necessária é Verdadeira, a implicação é verdadeira.<br />
Vale salientar para um detalhe importante na implicação.<br />
Se afirmamos a condição suficiente, afirmamos a necessária.<br />
Se negamos a necessária, negamos a suficiente.<br />
As outras possibilidades acarretam argumentos inválidos, pois nada podemos afirmar<br />
Se negamos condição suficiente, nada podemos afirmar sobre a necessária<br />
Se afirmamos condição necessária, nada podemos afirmar sobre a suficiente.<br />
Dupla implicação ( ↔)<br />
Será verdadeira sempre que ambas <strong>proposições</strong> forem idênticas. Por isso também é chamada de<br />
identidade. Falso com Falso = Verdadeiro ; verdadeiro com verdadeiro = verdadeiro; falso nos outros<br />
casos.<br />
Em diagrama de conjuntos é representado como dois conjuntos idênticos.<br />
Verifica-se a identidade quando aparecem: A se e somente se B; A é idêntico a B...<br />
A e B são condições necessária e suficiente.<br />
Exemplo: Dadas as <strong>proposições</strong> A e B, então a identidade será A ↔B<br />
A B A ↔B<br />
V V V<br />
V F F<br />
F V F<br />
F F V<br />
A ↔B Observe que :<br />
A ↔B= B ↔A (São equivalentes)<br />
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Bide não será capaz de comprar matéria-prima a um preço favorável. No momento, não há<br />
falta de materiais. Logo, a K.Bide não sofrerá perdas”.<br />
a. Trata-se de um argumento válido, apesar da existência de uma premissa discutível.<br />
b. Trata-se de um argumento válido, com todas as premissas verdadeiras.<br />
c. Trata-se de um argumento não válido<br />
d. NDA<br />
A: A companhia K. Bide é capaz de comprar matéria-prima a um preço favorável<br />
B: As vendas aumentam<br />
C: A companhia sofrerá perdas.<br />
D: Haverá falta de material<br />
( A ∨ B)<br />
→~<br />
C;<br />
D →~<br />
A;<br />
~ D f~<br />
C<br />
Na última premissa negou-se a condição suficiente, ou seja, ~D... sabe-se que Se D, então ~A , mas como se<br />
nega a condição suficiente, nada se pode afirmar sobre a negação ou não da necessária. Argumento inválido.<br />
(FGV) Considere o seguinte argumento:<br />
“Se os métodos de trabalho forem anti-econômicos, então eles não serão socialmente desejáveis. Se os<br />
métodos forem enfadonhos, então serão prejudiciais à iniciativa. Se forem prejudiciais à iniciativa, então serão<br />
anti-econômicos. Se os métodos de trabalho forem meramente mecânicos, então serão enfadonhos. Portanto,<br />
se os métodos de trabalho forem meramente mecânicos, então não serão socialmente desejáveis.”<br />
a. Trata-se de um argumento válido.<br />
b. Trata-se de um argumento não-válido, em razão da existência de premissas falsas.<br />
c. Trata-se de um argumento não-válido, em razão da falsidade da conclusão.<br />
d. NDA<br />
A: Métodos de trabalho anti-econômicos<br />
B: Métodos de trabalho socialmente desejáveis<br />
C: Métodos de trabalho enfadonhos<br />
D: Métodos de trabalho prejudiciais à iniciativa<br />
E: Métodos de trabalho meramente mecânicos<br />
A →~ B;<br />
C → D;<br />
D → A;<br />
E → C f E →~<br />
B<br />
Analisando por diagramas que é o método mais rápido<br />
Ordenando as premissas em uma ordem melhor<br />
Se E, então C<br />
Se C, então D<br />
Se D, então A<br />
Se A, então ~B<br />
Ora, é E, logo é ~B<br />
A conclusão deriva das premissas, é argumento válido. Afirmou-se a condição suficiente, afirma-se tudo.<br />
E<br />
C<br />
D A ~B
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(CESPE)Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou<br />
falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são<br />
<strong>proposições</strong> porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As <strong>proposições</strong> são<br />
representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou<br />
B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F,<br />
caso contrário é V. Um <strong>raciocínio</strong> <strong>lógico</strong> considerado correto é formado por uma seqüência<br />
de <strong>proposições</strong> tais que a última proposição é verdadeira sempre que as <strong>proposições</strong> anteriores na seqüência<br />
forem verdadeiras.<br />
Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes.<br />
É correto o <strong>raciocínio</strong> <strong>lógico</strong> dado pela seqüência de <strong>proposições</strong> seguintes:<br />
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.<br />
Maria é alta.<br />
Portanto José será aprovado no concurso.<br />
O diagrama que expressa esta situação é o seguinte.<br />
Antônio é<br />
bonito<br />
José será aprovado<br />
(CESPE) É correto o <strong>raciocínio</strong> <strong>lógico</strong> dado pela seqüência de <strong>proposições</strong> seguintes:<br />
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.<br />
Ela conseguiu um emprego.<br />
Portanto, Célia tem um bom currículo.<br />
A apresentação em diagrama de conjuntos deste problema é a seguinte<br />
Célia tem<br />
um bom<br />
currículo<br />
Ela conseguirá um<br />
emprego<br />
Maria é<br />
Alta<br />
Existe a possibilidade de Célia conseguir um emprego sem possuir um bom currículo, então a<br />
conclusão não é válida. R: Errado<br />
(CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três <strong>proposições</strong>.<br />
“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”<br />
A expressão X + Y é positiva.<br />
O valor de 4 + 3 = 7 .<br />
Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.<br />
O que é isto?<br />
Certo, pois o argumento é válido. Como<br />
Maria é alta, então pode-se concluir que<br />
José foi aprovado no concurso, pois se<br />
uma coisa ou outra acontecesse, ele seria<br />
aprovado.<br />
R: Certo
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Para ser uma proposição, deve ser passível de ser julgada como verdadeira ou falsa.<br />
A suposta proposição “a frase dentro destas aspas é uma mentira” não possibilita tal julgamento,<br />
conforme explicitado no texto.<br />
A segunda que diz a expressão X + Y é positiva é uma sentença aberta e para ser passível de<br />
julgamento deve determinar os intervalos de X e Y que são variáveis. Como não determina, não<br />
possibilita o julgamento.<br />
A terceira e quarta frases possibilitam julgamentos, então são <strong>proposições</strong>.<br />
A última é uma frase interrogativa e, conforme também ao texto, verifica-se que não possibilita o<br />
julgamento de verdadeira ou falsa.<br />
Há somente duas <strong>proposições</strong><br />
R: Errado<br />
(CESPE) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que<br />
contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos<br />
valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x, tem-se que x -<br />
2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x<br />
pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.<br />
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.<br />
A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão<br />
⎧ 5 3 1⎫<br />
no conjunto ⎨5<br />
, , 3,<br />
, 2,<br />
⎬ .<br />
⎩ 2 2 2⎭<br />
1<br />
É válida para quase todos os valores, com exceção de , pois<br />
2<br />
R: Errado<br />
1 2<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
=<br />
1<br />
4<br />
1<br />
que é menor que<br />
2<br />
(CESPE) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para<br />
elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.<br />
Ser divisíveis por 2 e 3, os números devem ser divisíveis pelos dois números ao mesmo tempo, o que<br />
não ocorre com nenhum elemento do conjunto.<br />
R: Errado<br />
(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não<br />
como ambas. As <strong>proposições</strong> são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por<br />
exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas <strong>proposições</strong> é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente<br />
por v, então obtém-se a forma PvQ, lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F.<br />
Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P ∨ Q, lida<br />
como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é<br />
simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de<br />
<strong>proposições</strong> P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é<br />
válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses<br />
conceitos, julgue os próximos itens.<br />
Considere as seguintes <strong>proposições</strong>:<br />
P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”
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Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro” e<br />
“Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”.<br />
A primeira avaliação que se faz quando se trata de “ou” é se vem a ser inclusivo ou exclusivo. Quando for<br />
exclusivo, uma opção exclui a outro e quando é inclusivo, é porque é possível uma condição existir ao mesmo<br />
tempo da outra. No caso acima, é possível que Mara ganhe dinheiro mesmo sem trabalhar, por exemplo, se for<br />
aposentada, p. ex. Então não posso afirmar que Mara não ganha dinheiro se não trabalha, pois é possível<br />
ganhar dinheiro sem estar trabalhando. Resp: E<br />
(CESPE) A proposição simbólica (P ∧ Q) ∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.<br />
Fazendo a tabela verdade para três <strong>proposições</strong>, teremos um número de linhas de 2 8linhas<br />
3 =<br />
P Q R (P ∧ Q) (PvQ) ∨ R<br />
V V V V V<br />
V V F V V<br />
V F V F V<br />
V F F F F<br />
F V V F V<br />
F V F F F<br />
F F V F V<br />
F F F F F<br />
Teremos 5 avaliações verdade, Resp: E<br />
(CESPE) O quadro abaixo pode ser completamente preenchido com algarismos de 1 a 6, de modo que cada<br />
linha e cada coluna tenham sempre algarismos diferentes.<br />
1 3 2<br />
5 6 1<br />
1 6 5<br />
5 4 2<br />
3 2 4<br />
4 2 3<br />
Primeiro passo é avaliar em cada quadrícula com numeração se não há números repetidos na respectiva linha<br />
ou coluna. Depois disso é dar prosseguimento ao preenchimento do painel a partir de quadrados vazios onde<br />
existem a maior quantidade de números diferentes na linha e coluna do mesmo. Segue preenchimento.<br />
1 6 4 5 3 2<br />
3 2 5 6 4 1<br />
2 1 6 3 5 4<br />
5 4 3 1 2 6<br />
6 3 2 4 1 5<br />
4 5 1 2 6 3<br />
Como há a possibilidade do preenchimento.... Resp: C
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(CESPE) Há duas <strong>proposições</strong> no seguinte conjunto de sentenças:<br />
(I) O BB foi criado em 1980.<br />
(II) Faça seu trabalho corretamente.<br />
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.<br />
As <strong>proposições</strong> <strong>lógicas</strong> são passíveis de julgamento, ou seja, de que digamos verdadeiro ou falso a elas.<br />
A única que não é possível é a número II. Resp: C