CAPÍTULO III Sequência ou sucessão numérica - Dia de Matemática

1. Definição
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 49
CAPÍTULO III
Sequência ou sucessão numérica
Uma sequência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem definida:
a1, a2, a3, a4, ..., an, ...
O número a1 é chamado primeiro termo, a2 é o segundo termo e, em geral, an é o n-ésimo
termo. Podemos lidar exclusivamente com sequências infinitas e, assim, cada an terá um sucessor an + 1.
Note que, para cada inteiro positivo n, existe um número correspondente an e, dessa forma, uma
sequência pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. Mas
geralmente escrevemos an em vez da notação de função f(n) para o valor da função no número n.
NOTAÇÃO: A sequência {a1, a2, a3, ...} é também denotada por:
{an} ou { a }
∞
n n = 1
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Algumas sequências podem ser definidas dando uma fórmula para o n-ésimo termo. Nos
exemplos a seguir, damos três descrições da sequência: uma usando a notação anterior, outra
empregando a fórmula da definição e uma terceira escrevendo os termos da sequência. Note que
n não precisa começar em 1.
a)
b)
⎧ n ⎫
⎨ ⎬
⎩n + 1⎭
∞
n = 1
n
⎧( −1)
(n + 1) ⎫
⎨ n ⎬
⎩ 3 ⎭
∞
n = 1
n
a n =
n + 1
n
( 1) (n + 1)
n n
a =
−
3
⎧1 2 3 4 n ⎫
⎨ , , , , ..., , ... ⎬
⎩2 3 4 5 n + 1 ⎭
n
⎧ 2 3 4 5 ( −1)
(n + 1) ⎫
⎨− , , − , , ..., , ...
n ⎬
⎩ 3 9 27 81 3 ⎭
c) { n 3} n = 3
∞
− a n = n − 3, n ≥ 3
{ 0, 1, 2, 3, ..., n − 3, ... }
d)
⎧ nπ ⎫
⎨cos ⎬
⎩ 6 ⎭
∞
n = 0
nπ
a n = cos , n ≥ 0
6
⎧⎪ 3 1 nπ ⎫⎪
⎨1, , , 0, ..., cos , ... ⎬
⎪⎩ 2 2 6 ⎪⎭

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Exemplo 2: Ache uma fórmula para o termo geral an da sequência
assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Resolução:
Nos é dado que: a1 = 3
5 a2 =
4
− a3 =
25
5
125 a4 =
⎧3 4 5 6 7 ⎫
⎨ , − , , − , , ... ⎬
⎩5 25 125 625 3 125 ⎭
6
− a5 =
625
7
3 125
Observe que os numeradores dessas frações começam com 3 e são incrementados por 1 à medida
que avançamos para o próximo termo. O segundo termo tem numerador 4; o terceiro, numerador 5;
generalizando, o n-ésimo termo terá numerador n + 2. Os denominadores são potências de 5, logo an
tem denominador 5 n . Os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo, assim precisamos
multiplicar por uma potência de –1.
No exemplo 1(b) o fator (–1) n significa que começamos com um termo negativo. Neste exemplo,
queremos começar com um termo positivo e assim usamos (–1) n – 1 ou (–1) n + 1 . Portanto,
a = ( − 1)
n + 2
5
n−1 n n
Exemplo 3: Vejamos algumas sequências que não tem uma equação de definição simples.
a) A sequência {pn}, onde pn é a população do mundo no dia 1º de janeiro do ano n.
b) Se fizermos an ser o dígito da n-ésima cada decimal do e, então {na} é uma sequência bem
definida cujos primeiros termos são {7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, ...}
c) A sequência de Fibonacci {fn} é definida recursivamente pelas condições: f1 = 1, f2 = 1,
fn = fn – 1 + fn – 2, com n ≥ 3. Cada termo é a soma dos dois termos precedentes. Os primeiros termos
são: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...}
Essa sequência surgiu quando o matemático italiano conhecido como Fibonacci resolveu, no
século XIII, um problema envolvendo a reprodução de coelhos.
Quando a sequência não possuir lei de formação, denota-se por sequência “randômica”
(aleatório).

2. Limite de uma sequência
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O limite de uma sequência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá
uma definição rigorosa à ideia de uma sequência que converge até um ponto chamado limite. De forma
intuitiva, supondo que se tem uma sequência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos
numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo,
os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de “todos os
pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo”). Um ponto L é o limite da sequência se
para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da sequência (com a possível exceção de um
número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houvesse um conjunto
de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L, e para qualquer destas esferas, só
existiria um número finito de números fora dela.
n
A sequência a n = pode ser desenhada plotando-se seus termos em uma reta, como na
n + 1
figura 1, ou plotando-se seu gráfico, como na figura 2. Note que, como uma sequência é uma função
cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos, seu gráfico consiste em pontos isolados com
coordenadas:
(1, a1) (2, a2) (3, a3) ... (n, an) ...
Figura 1 – Plotagem dos termos de uma sequência em uma reta
Figura 1 – Plotagem dos termos de uma sequência no plano cartesiano

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n
Observando as figuras 1 e 2, é possível notar que os termos da sequência a n = estão ser
n + 1
aproximando de 1 quando n se torna grande. De fato, a diferença:
n
n + 1
n + 1 1 1
= − = 1− n + 1 n + 1 n + 1
pode ser tão pequena quanto se desejar tomando-se n suficientemente grande. Indicamos isso
escrevendo:
n
lim = 1
n→∞
n + 1
Em geral, a notação lim a n = L , significa que os termos da sequência {an} aproxima-se de L
n→∞
quando n torna-se grande. Note que a seguinte definição precisa do limite de uma sequência é muito
parecida com a definição de um limite de uma função no infinito.
Definição 1: Uma sequência {an} tem o limite L e escrevemos
lim a = L
n→∞
n
ou n
a → L quando n
→ ∞
se podemos fazer os termos an tão perto de L quanto se queira ao se fazer n suficientemente grande. Se
lim a
n→∞
n
existir, dizemos que a sequência converge (ou é convergente). Caso contrário, dizemos que a
sequência diverge (ou é divergente).
A figura 3 ilustra a definição 1 mostrando os gráficos de duas sequências que têm limite L.
Figura 3. Gráfico de duas sequências com lim a n
= L
n→∞

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Uma versão mais precisa da definição 1 é a seguinte:
Definição 2: Uma sequência {an} tem o limite L e escrevemos
lim a = L
n→∞
n
ou n
a → L quando n
→ ∞
se para cada ε > 0 existir um correspondente inteiro N tal que
a n − L < ε sempre que n > N.
A definição 2 é ilustrada pela figura 4, na qual os termos a1, a2, a3, ... são plotados em uma reta.
Não importa quão pequeno um intervalo (L – ε , L + ε ) seja escolhido, existe um N tal que todos os
termos da sequência de aN + 1 em diante devem estar naquele intervalo.
Figura 4. Definição 2
Outra ilustração da definição 2 é dada na figura 5. Os pontos no gráfico de {an} devem estar entre
as retas horizontais y = L + ε e y = L – ε se n > N. Esse desenho deve ser válido não importa quão
pequeno ε seja escolhido, mas geralmente ε menor requer N maior.
Figura 5. Definição 2
Se an se tornar grande n se tornar grande, usaremos a notação lim a n = ∞ . Temos:
Definição: n
n→∞
lim a =
sempre que n > M.
Se n
n→∞
n→∞
∞ significa que para cada número positivo M existe um inteiro N tal que an > N
lim a = ∞ , então a sequência {an} é divergente. Dizemos que {an} diverge para ∞ .

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3. Propriedades sobre limites de sequência
Se {an} e {bn} forem sequências convergentes e c for uma constante, então:
( )
lim a ± b = lim a ± lim b
lim ca n = ci lim a n
n n n n
n→∞ n→∞ n→∞
lim c = c
n→∞
a
lim a
n
n n→∞
lim =
n→∞
bn lim bn
n→∞
n→∞ n→∞
( )
lim a b = lim a i lim b
n n n n
n→∞ n→∞ n→∞
( n )
p
lim a = lim a
n→∞ n n→∞
O Teorema do Confronto também pode ser adaptado para sequências.
Se an ≤ bn ≤ cn para n ≥ n0 e lim a n = lim b n = L , então lim b n = L .
n→∞ n→∞
n→∞
Figura 6. Teorema do Confronto
As sequências {bn} está entre as sequências {an} e {cn}.
Outro fato útil sobre limites de sequências é dado pelo seguinte teorema.
lim a = 0, então lim a = 0
n n
n→∞ n→∞
Vejamos alguns exemplos:
p
se p > 0 e an > 0

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n
Exemplo 1: Verifique se a sequência a n = é convergente ou divergente. Se ela convergir,
n + 1
encontre o limite.
Resolução: Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de n e usando as
propriedades dos limites temos:
n 1 lim1
n→∞
lim an = lim = lim =
=
n→∞
n + 1 n→∞
1
1
1 + lim1 + lim
n n→∞ n→∞
n
1
= 1
1 + 0
n
Portanto, a sequência a n = é convergente e converge para 1.
n + 1
Exemplo 2: Verifique se a sequência
convergir, encontre o limite.
2
3n − n − 2
n 2
a = 8n + 4n + 1
é convergente ou divergente. Se ela
Resolução: Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de n e usando as
propriedades dos limites temos:
lim an =
= 3 0 0
− −
8 + 0 + 0
2
3n − n − 2
lim
n→∞
2
8n + 4n + 1
= 3
8
Portanto, a sequência
=
lim
⎛ 1 2 ⎞
1 2
⎜ ⎟ lim 3− lim − lim
⎝ ⎠ n→∞ n→∞ n
2
=
n →∞ n
⎛ 4 1 ⎞
4 1
lim8 + lim + lim 2
⎝ n n n→∞ n→∞ n
⎠
n →∞ n
2
n 3 − − 2
n n
n→∞
2
n ⎜8 + + 2 ⎟
2
3n − n − 2
n 2
a = 8n + 4n + 1
Exemplo 3: Verifique se a sequência
convergir, encontre o limite.
é convergente e converge para 3
8 .
3
4n + 2n 2
n 2
−
a = é convergente ou divergente. Se ela
2n + 5n + 1
Resolução: Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de n e usando as
propriedades dos limites temos:
lim an =
3
4n + 2n 2
lim
n→∞
2
2n + 5n + 1
− =
lim
⎛ 2 2 ⎞
2 2
⎜ ⎟ lim 4 + lim − lim
⎝ ⎠ n→∞ n→∞ 2 3
=
n n→∞
n
⎛ 2 5 1 ⎞ 2 5 1
⎜ ⎟ lim + lim + lim
⎝ n n n ⎠ n n n
3
n 4 + − 2 3
n n
n→∞
3
n + + 2 3
=
n→∞ n→∞ 2
n→∞
3
=

= 4 + 0 0
− 4
=
0 + 0 + 0 0
Portanto, a sequência
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= ∞
3
4n + 2n 2
n 2
−
a = é divergente.
2n + 5n + 1
ln n
Exemplo 4: Verifique se a sequência a n = é convergente ou divergente.
n
Resolução: Note que numerador e denominador se aproximam do infinito quando n
→ ∞ . Não
podemos empregar a Regra de L’Hôspital diretamente, porque ela não se aplica a sequências, mas sim
a funções de uma variável real. Contudo, podemos usar a Regra de L’Hôspital para a função
relacionada f(x) =
ln x
lim
x→∞
x
Portanto,
n→∞
ln x
x
=
x→∞
. Assim, temos:
1
lim x
1
ln n
lim = 0.
n
= 0
1
= 0
Exemplo 5: Determine quando a sequência an = (–1) n é convergente ou divergente.
Resolução: Se escrevemos os termos da sequência, obteremos:
{–1, 1, –1, 1, –1, 1, –1, ...}
O gráfico dessa sequência é exibido na figura 7. Como os termos oscilam entre 1 e –1
infinitamente, an não se aproxima de número algum. Então, ( ) n
lim 1
{(–1) n } é divergente.
( ) n
−1
Exemplo 6: Avalie lim
n→∞
n
n→∞
Figura 7. Exemplo de sequência divergente
se ele existir.
− não existe; isto é, a sequência

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( ) n
−1
Resolução: Temos que lim
n→∞
n
( ) n
−1
Assim, temos que lim
n→∞
n
1
lim = 0.
n
=
n→∞
= 0.
Figura 8. Exemplo de sequência convergente
Exemplo 7: Para que valores de r a sequência {r n } é convergente?
Resolução: Dada a função exponencial f(x) = a x , sabemos que os gráficos das funções exponenciais
são crescentes quando a > 1 e decrescentes quando 0 < a < 1. Portanto, temos que:
e portanto
x
lim a =
x→∞
∞ para a > 1 e
Fazendo a = r, temos:
⎧∞
se r > 1
n
lim r = ⎨
n→∞
0 se 0 < r < 1
É óbvio que
⎩
n
lim1 = 1
n→∞
e
n
lim 0 = 0
n→∞ x
lim a = 0
x→∞
Se –1 < r < 0, então 0 < r < 1, assim:
lim r
n→∞
n
lim r
n→∞
n
=
lim r
n→∞
n
= 0
.
para 0 < a < 1.
= 0. Se r ≤ –1, então {r -n } diverge como no Exemplo 5. A figura 9 mostra os gráficos
para vários valores de r. (O caso r = –1 é mostrado na figura 7.)

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Figura 9. A sequência an = r n
Os resultados do Exemplo 7 estão resumidos a seguir:
A sequência {r n } é convergente se –1 < r ≤ 1 e divergente para todos os outros valores de r.
Exercícios
⎧0
se −1
< r < 1
n
lim r = ⎨
n→∞
1 se r = 1
60. O que é uma sequência?
⎩
61. O que significa dizer que lim a n = 8 ?
n→∞
62. O que significa dizer que lim a n = ∞ ?
n→∞
63. O que é uma sequência convergente? Dê dois exemplos.
64. O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos.
65. Liste os cinco primeiros itens das sequências abaixo:
a) ( ) n
a = 1− 0,2
n
b) n
c)
n + 1
a =
3n − 1
( ) n
−
3 1
a n =
n!
d) n
nπ
a =sen
2
e) a1 = 3, an + 1 = 2an – 1
f) a1 = 4, an + 1 =
g) an = 3n – 1
a n
a − 1
n

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66) Encontre uma fórmula para o termo geral an das sequências abaixo, assumindo que o padrão dos
primeiros termos continua.
a)
b)
⎧1 1 1 1 ⎫
⎨ , , , , ... ⎬
⎩2 4 8 16 ⎭
⎧1 1 1 1 ⎫
⎨ , , , , ... ⎬
⎩2 4 6 8 ⎭
c) {2, 7, 12, 17, ...}
d)
⎧ 1 2 3 4 ⎫
⎨− , , − , , ... ⎬
⎩ 4 9 16 25 ⎭
e)
⎧ 2 4 8 ⎫
⎨1, − , , − , ... ⎬
⎩ 3 9 27 ⎭
f) {0, 2, 0, 2, 0, 2, ...}
g) {6, 11, 16, 21, 26, ...}
67) Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se ela convergir, encontre o limite.
a) a n = n(n − 1)
b)
c)
d)
a =
n
a =
n
a =
n
n + 1
3n − 1
3 + 5n
2
n + n
n
1 + n
2
e)
f)
g)
h)
a =
n
a =
n
2
3
n
n + 1
n
1 + n
⎛ n ⎞
a n = cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 2 ⎞
a n = cos⎜
⎟
⎝ n ⎠
i)
j)
k)
a =
n
a =
n
a =
n
( − )
( )
⎧⎪ 2n 1 ! ⎫⎪
⎨ ⎬
⎪⎩ 2n + 1 ! ⎪⎭
⎛ 2n − 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3n + 7 ⎠
2n − 4n
5 2
7 3
3n + n −10
68) Se R$ 1 000,00 forem investidos a uma taxa de juros de 6%, compostos anualmente, depois de n
anos, o investimento valerá an = 1 000(1,06) n reais.
a) Encontre os cinco primeiros termos da sequência {an}.
b) A sequência é convergente ou divergente? Explique.
⎧ ⎫
69) Calcule o limite da sequência ⎨ 2, 2 2 , 2 2 2 , ... ⎬
⎩ ⎭
4. Funções monótonas crescente e decrescente
Uma sequência {an} é denominada crescente se an < an + 1 para todo n ≥ 1, isto é, a1 < a2 < a3 < ...
Uma sequência {an} é denominada decrescente se an > an + 1 para todo n ≥ 1.
É dita monotônica se for crescente ou decrescente.
Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Verifique se a sequência
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 60
a =
n
3
é decrescente.
n + 5
Resolução: Para a sequência ser decrescente, devemos ter an > an + 1. Então:
3
n + 5 >
3
n + 5 >
3
(n + 1) + 5
3
n + 6
Multiplicando cruzado vem:
3(n + 6) > 3(n + 5)
3n + 18 > 3n + 15
18 > 15
18 > 15 é verdadeiro para todo n ≥ 1. Portanto, an > an + 1, e assim {an} é decrescente.
n
Exemplo 2: Verifique se a sequência a n = é decrescente.
2
n + 1
Resolução: Devemos mostrar que an > an + 1, isto é:
n
n + 1
(n + 1) + 1
2
n + 1 > 2
n
2
n + 1 > 2
n + 1
n + 2n + 2
Essa desigualdade é equivalente àquela que obtivemos pela multiplicação cruzada.
n(n 2 + 2n + 2) > (n 2 + 1)(n + 1)
n 3 + 2n 2 + 2n > n 3 + n 2 + n + 1
2n 2 + 2n > n 2 + n + 1
n 2 + n > 1
É óbvio que para todo n ≥ 1, é verdadeiro para n 2 + n > 1. Portanto, an > an + 1, e assim {an} é
decrescente.
Definição:
Se an é monótona crescente, então a sequência é limitada inferiormente pelo seu primeiro
termo. Ou seja, se existir um número m de forma que m ≤ an para todo n ≥ 1.
Analogamente, se a sequência for monótona decrescente, ela será limitada superiormente.
Ou seja, se existir um número M de forma que an ≤ M para todo n ≥ 1.
Se ela for limitada superiormente e inferiormente, então an é uma sequência limitada.

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 61
Teorema da Sequência Monotônica: Toda sequência limitada, monotônica, é convergente.
Uma sequência que é crescente e limitada superiormente é convergente. Do mesmo modo, uma
sequência decrescente que é limitada inferiormente é convergente. Esse fato é usado muitas vezes para
lidar com séries infinitas, assunto que veremos no 2º semestre.
Exercícios
70) Determine se as sequências abaixo são crescente, decrescente ou não monotônica.
1
5
a) a = n
b)
c)
d)
e)
n
a =
n
a =
n
1
2n + 3
2n − 3
3n + 4
1− e
n
a n =
1 + e
n
n −
e − e
n
a n =
e
n −
+ e
n
71) Verifique se as sequências do exercício são limitadas.
f)
g)
a =
n
a =
n
h) a = 2
i)
n
a = n +
n
2
n + 2n − 3
2n −1
2
3n − 2
2
5n + 1
n
n + 1
72) Suponha que você saiba que an é uma sequência decrescente e que todos os termos estão entre os
números 5 e 8. Explique por que a sequência tem um limite. O que você pode dizer sobre o valor do
limite?
5. Funções contínuas
O limite de uma função quando x tende a a pode muitas vezes ser encontrado simplesmente
calculando-se o valor da função em a. As funções com essa propriedade são chamadas contínuas em a.
A definição matemática de continuidade correspondente estreitamente ao significado da palavra
continuidade na linguagem do dia-a-dia. (O processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem
interrupções ou mudanças abruptas.)
Definição 1: Uma função f é contínua em número a se lim f(x)
x→a figura 10)
1
n
= f(a).
Observe que a Definição 1 implicitamente requer três coisas para a continuidade de f. (Ver

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 62
1) f(a) está definida (isto é, a está no domínio de f)
2)
x→a lim f (x) existe
3)
x→a lim f (x) = f(a)
Figura 10. Continuidade no ponto a
A definição diz que f é contínua em a se f(x) tender a f(a) quando x aproxima-se de a. Assim,
uma função contínua f tem a propriedade que uma pequena variação em x produza apenas uma
pequena modificação em f(x). De fato, a alteração em f(x) pode ser mantida tão pequena quanto
desejarmos mantendo a variação em x suficientemente pequena.
Se f está definida próximo de a (em outras palavras, f está definida em um intervalo aberto
contendo a, exceto possivelmente em a), dizemos que f é descontínua em a, ou que f tem uma
descontinuidade em a, se f não é contínua em a.
Os fenômenos físicos são geralmente contínuos. Por exemplo, o deslocamento ou a velocidade de
um veículo varia continuamente com o tempo, como a altura das pessoas. Mas a descontinuidade
ocorre em situação tal como a corrente elétrica.
Geometricamente, podemos pensar em uma função contínua em todo número de um intervalo
como sendo uma função cujo gráfico não se quebra. O gráfico pode ser desenhado sem remover sua
caneta do papel.
Vejamos alguns exemplos:

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 63
Exemplo 1: A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f. Em quais números f é descontínua? Por
quê?
Resolução: Parece haver uma descontinuidade quando a = 1, pois aí o gráfico tem um buraco. A razão
reconhecida para f ser descontínua em 1 é que f(1) não está definida.
O gráfico também tem uma quebra em a = 3, mas a razão para a descontinuidade é diferente.
Aqui f(3) está definida, mas lim f (x)
x→3 Logo f é descontínua em 3.
não existe (pois o limite esquerdo e o direito são diferentes).
E sobre a = 5? Aqui f(5) está definida, e lim f (x) existe (pois o limite esquerdo e o direito são
x→5 iguais). Mas lim f (x) ≠ f(5). Logo f é descontínua em 5.
x→5 Exemplo 2: Onde cada uma das seguintes funções é descontínua?
a) f(x) =
2
x − x − 2
x − 2
Resolução: Note que f(2) não está definida; logo, f é descontínua em 2.
⎧ 1
⎪ se x ≠ 0
2
b) f(x) = ⎨ x
⎪
⎩ 1 se x = 0
Resolução: Aqui f(0) = 1 está definida, mas
x→0 lim f (x)
1
lim
x
≠
x→0 2
não existe. Logo f é descontínua em 0.

⎧ − −
⎪
c) f(x) = ⎨ x − 2
⎪
⎩ 1 se x = 2
2
x x 2
se x ≠ 2
Resolução: Aqui f(2) está definida e
2
x − x − 2
lim f (x) ≠ lim
x→2 x→2 x − 2
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 64
= lim
x→2 (x − 2)(x + 1)
x − 2
existe. Porém, lim f (x) ≠ f(2). Logo, f não é contínua em 2.
x→2 = lim(x + 1)
x→2 A figura 11 mostra os gráficos das funções no Exemplo 2. Em cada caso o gráfico não pode ser
feito sem levantar a caneta do papel, pois um buraco, uma quebra ou pulo ocorrem no gráfico. As
descontinuidades ilustradas nas partes (a) e (c) são chamadas removíveis, pois podemos removê-las
redefinindo f somente no número 2.
Figura 11. Gráficos das funções do Exemplo 2
Definição 2: Uma função f é contínua à direita em um número a se +
x→a esquerda em a se lim f (x) = f(a).
−
x→a = 3
lim f (x) = f(a) e f é contínua à
Definição 3: Uma função f é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do
intervalo. (Se f for definida somente de um lado do extremo do intervalo, entendemos continuidade no
extremo como continuidade à direita ou à esquerda.)

Vejamos um exemplo:
Exemplo 3: Mostre que a função f(x) =
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 65
2
1− 1− x é contínua no intervalo [–1, 1].
Resolução: Se –1 < a < 1, então, usando as propriedades dos limites, temos:
lim f (x)
x→a lim f (x)
x→a x→a 2
2
= lim ( 1− 1− x ) = lim1− lim ( 1− x )
x→a lim f (x) = f(a)
2
= 1 – lim( 1 x )
x→a − = 1 –
x→a x→a 2
1− a
Assim, pela Definição 1, f é contínua em a se –1 < a < 1. Cálculos análogos mostram que
lim f (x) = 1 = f(–1) e lim f (x) = 1 = f(1)
−
x 1
+
x→−1 →−
logo, f é contínua à direita em –1 e contínua à esquerda em 1. Consequentemente, de acordo com a
Definição 3, f é contínua em [–1, 1].
O gráfico de f está esboçado na figura 12. É a metade inferior do círculo.
Figura 12. Gráfico da função f(x) = − − 2
1 1 x
Em lugar de sempre usar as Definições 1, 2 e 3 para verificar a continuidade de uma função como
feito no Exemplo 3, muitas vezes é conveniente usar o próximo teorema, que mostra como construir as
funções contínuas complicadas a partir das simples.

5.1. Teoremas sobre continuidade
Teorema 1
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 66
Se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções são contínuas,
também, em a:
1) f + g
2) f – g
Teorema 2
3) cf
4) fg
f
5) se g(a) ≠ 0
g
a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em R = ( −∞, ∞ ) .
b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é contínua em seu
domínio.
O conhecimento de quais funções são contínuas nos capacita a calcular muito rapidamente alguns
limites, como os dos exemplos a seguir.
Exemplo 4: Encontre
x→−2 3 2
x + 2x −1
lim
5 − 3x
Resolução: A função f(x) =
domínio, que é
3 2
x + 2x −1
.
5 − 3x
⎧ 5⎫
⎨x / x ≠ ⎬ . Portanto:
⎩ 3⎭
3 2
x + 2x −1
=
x→−2 x→−2 lim
5 − 3x
x→−2 Teorema 3
3 2
x + 2x −1
lim
5 − 3x
= ( ) ( )
lim f (x) = f(–2)
5 − 3( −2)
3 2
−2 + 2 −2 −1
=
é racional; assim, pelo Teorema 1, é contínua em seu
1
−
11
Os seguintes tipos de funções são contínuas em todo o número de seus domínios:
polinômio funções racionais funções raízes
funções trigonométricas funções trigonométricas inversas
funções exponenciais funções logarítmicas

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 67
ln x + arc tg x
Exemplo 5: Onde a função f(x) = 2
x −1
é contínua?
Resolução: Sabemos do Teorema 3 que a função y = ln x é contínua para x > 0 e que y = arc tg x é
contínua em R. Assim, pela parte 1 do Teorema 1, y = ln x + arc tg x é contínua em ( 0, ∞ ) . O
denominador y = x 2 – 1 é um polinômio, portanto é contínuo sempre. Assim, pela parte 5 do Teorema
1, f é contínua em todos os números positivos x, exceto onde x 2 – 1 = 0. Logo, f é contínua nos
intervalos abertos ( 0, 1 ) e ( 1, ∞ ) .
Exercícios
73) Prove que f(x) = x 2 é contínua em x = 2.
74) A função f(x) =
4 3 2
2x − 6x + x + 3
x −1
é contínua em x = 1?
75) Prove que f(x) = 2x 3 + x é contínua em todo ponto x = x0.
76) Para que valores de x no domínio de definição é contínua a função:
x
a) f(x) = 2
x − 1
d) f(x) = 10
g) f(x) =
−1
2
(x −3)
⎧ x − x
⎪ , se x < 0
⎨ x
⎪
⎩ 2 , se x = 0
b) f(x) =
e) f(x) =
1 + cos x
3 + sen x c) f(x) = 1
4 10 + x
−1
⎧
2 ⎪ (x −3)
⎨
10 , se x ≠ 3
⎪⎩ 0 , se x = 3
h) f(x) = x cossec x =
f) f(x) =
x
sen x
x − x
77) Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função f é contínua no número 4.
78) Se f é contínua em ( −∞, ∞ ) , o que você pode dizer sobre seu gráfico?
79) Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda a parte, exceto em x = 3 e é contínua à
esquerda em 3.
80) Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeira hora, ou parte dela, e R$ 2,00 por hora sucessiva,
ou parte, até o máximo de R$ 10,00.
a) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido.
b) Discuta as descontinuidades da função e sua significância para alguém que use o estacionamento.
81) Se f e g forem funções contínuas, com f(3) = 5 e lim[ 2 f (x) − g(x) ] = 4, determine g(3).
x→3 x

82) Seja o gráfico abaixo:
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 68
a) Estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê.
b) Para cada um dos números estabelecidos no item a, determine se f é contínua à direita ou à
esquerda, ou nenhum deles.
83) Explique por que a função é descontínua no número dado. Faça o esboço do gráfico da função.
a) f(x) = ln x − 2 a = 2
b) f(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x
e , se x < 0
2
x , se x ≥ 0
a = 0
2
⎧ x − x −12
⎪ , se x ≠ −3
c) f(x) = ⎨ x + 3
⎪
⎩ − 5 , se x = −3
a = –3
84) Para quais valores da constante c a função f(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
2
cx + 2x, se x < 2
3
x − cx, se x ≥ 2
é contínua em ( −∞, ∞ ) ?
85) Quais as seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade for
removível, encontre uma função g que é igual a f para x ≠ a e é contínua em R.
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) =
d) f(x) =
2
x 2x 8
− −
, a = –2
x + 2
x − 7
, a = 7
x − 7
3
x + 64
, a = –4
x + 4
3− x
, a = 9
9 − x

6. Teorema de Bolzano
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 69
Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a, b], tal que, f(a) . f(b) < 0. Então a função f(x)
possui pelo menos uma raiz no intervalo [a, b].
Podemos enunciar também: Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e se f(a) e f(b) tiverem
sinais contrários, então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = 0.
Podemos verificar este teorema graficamente:
Figura 13. Teorema do Anulamento
Pesquisar as raízes reais de uma equação polinomial P(x) = 0 é localizar (onde? quantos?) os
pontos em que o gráfico cartesiano da função y = P(x) intercepta o eixo das abscissas (y = 0).
seguinte:
Assim, o teorema de Bolzano comporta uma interpretação geométrica baseada, em resumo, no
a) sinal de P(a) ≠ sinal de P(b) → número ímpar de raízes
Figura 14. Teorema do Anulamento

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 70
b) sinal de P(a) = sinal de P(b) → número par de raízes
Figura 15. Teorema do Anulamento
Exemplo 1: Seja a função f(x) = x i ln(x) – 3,2. Podemos calcular o valor de f(x) para valores
arbitrários de x, como mostrado na tabela abaixo:
x 1 2 3 4
f(x) –3,20 –1,81 0,10 2,36
Resolução:
Pelo teorema de Bolzano, concluímos que existe pelo menos uma raiz real no intervalo [2, 3].
Exemplo 2: Verifique que o polinômio P(x) = x 4 – 3x – 1 admite uma raiz real no intervalo [1, 2].
Resolução: Temos que f(1) = 1 4 – 3 i 1 – 1 = 1 – 3 – 1 = –3 e f(2) = 2 4 – 3 i 2 – 1 = 16 – 6 – 1 = 10.
Pelo teorema de Bolzano, concluímos que existe pelo menos uma raiz no intervalo [1, 2], pois
f(1) i f(2) < 0.
Exercícios
86) Dada a função polinomial f(x) = x 3 + 2x + 1, será possível f(x) = 0 em [–1, 4]?
87) Determine o valor de a de modo que a equação x 3 + x 2 + 5x + a = 0, tenha ao menos uma raiz no
intervalo [–2, 0].
88) Mostre que no intervalo
⎡ π ⎤
⎢
0,
⎣ 2 ⎥
existe, pelo menos, uma raiz da equação cos x − 5 sen x = 0.
⎦

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 71
89) A função dada por y = 1
x , em R* , possui f(–1) = –1 < 0 e f(1) = 1 > 0, mas não possui raiz entre –1
e 1. Por que “falhou” o teorema de Bolzano?
90) Determine o valor de a de modo que a equação x 3 + x 2 + 5x + a = 0, tenha ao menos uma raiz no
intervalo [–3, –1].
91) Justifique que a função f(x) = cos
e outra no intervalo [0, 1].
π(x + 1)
8
+ 0,148x – 0,9062 possui uma raiz no intervalo [−1, 0]
92) Justifique que a equação 4x − e x = 0 possui uma raiz no intervalo [0, 1] e outra no intervalo [2, 3].
93) Dada a função polinomial f(x) = x 3 + 2x + 1, será possível f(x) = 0 em [–1, 4]?
94) Quais as seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade for
removível, encontre uma função g que é igual a f para x ≠ a e é contínua em R.
x − 2
a) f(x) = , a = 2
x − 2
x + 4
b) f(x) = , a = –4
x + 4
2
2x − 3x
c) f(x) = , a = 9
2x − 3
7. Teorema do Valor Intermediário
Se f for contínua em [a, b] e se γ for um rela compreendido entre f(a) e f(b), então existirá pelos
menos um c em [a, b] tal que f(c) tal que f(c) = γ.
Figura 16. Teorema do Valor Intermediário
Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do valor intermediário.

8. Teorema de Weierstrass
em [a, b].
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 72
Se f for contínua em [a, b], então existirão x1 e x2 em [a, b] tais que f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) para todo x
Figura 17. Teorema de Weierstrass
O teorema de Weierstrass nos conta que, se f for contínua em [a, b], então existirão x1 e x2 em [a,
b] tais que f(x1) é o valor mínimo de f em [a, b] e f(x2) o valor máximo de f em [a, b].
Ou de outra forma: se f for contínua em [a, b], então f assumirá em [a, b] valor máximo e valor
mínimo. Chamamos sua atenção para o fato de a hipótese de f ser contínua no intervalo fechado [a, b]
ser indispensável; por exemplo, f(x) = 1
, x ∈]0, 1], é contínua em ]0, 1] mas não assume, neste, valor
x
máximo.

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 73
Respostas
Capítulo III
Sequência ou sucessão numérica
60. Uma sequência é uma lista ordenada de números. Pode também ser definida como uma função cujo
domínio é o conjunto dos inteiros positivos. O contradomínio de uma sequência será considerado o
conjunto dos números reais, ou seja, f : N* → R.
A cada número inteiro positivo “n” corresponde um número real f(n).
n → f(n) / a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n)
Ou seja, um conjunto de números que obedecem a uma lei de formação, de modo que a passagem
ao seu sucessor imediato se faça segundo a mesma lei.
61. Significa que os elementos da sequência se aproximam de modo regular para o valor 8, de modo
fixo, sem contudo atingí-lo.
62. Significa que os elementos da sequência vão crescendo ilimitadamente, não se aproximando de um
valor fixo.
63. Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a
sequência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve: lim a n = L.
Exemplos: an =
⎛ 1 ⎞
log ⎜1 + ⎟
⎝ n ⎠ e an
n
= n
2 .
64. O que é uma sequência divergente? Dê dois exemplos.
Sequência divergente é quando os elementos crescem indefinidamente, sem se aproximar de um
valor, não existindo um limite.
Exemplos: an = (–1) n e an = (–1) n i 2 n .
65a) a1 = 0,8, a2 = 0,96, a3 = 0,992, a4 = 0,9994, a5 = 0,99968
b) a1 = 1, a2 = 3
5 , a3 = 1
2 , a4 = 5
11 , a5 = 6
17
c) a1 = –3, a2 = 3
2 , a3 = 1
− , a4 =
2
1
8 , a5 =
d) a1 = 1, a2 = 0, a3 = –1, a4 = 0, a5 = 1
e) a1 = 3, a2 = 5, a3 = 9, a4 = 17, a5 = 33
1
−
60
x →∞

f) a1 = 4, a2 = 4
3 , a3 = 4, a4 = 3
2 , a5 = 3
g) a1 = 2, a2 = 5, a3 = 8, a4 = 11, a5 = 14
1
2
66a) a = n
n
1
b) a n =
2n
c) a n = 5n − 3
67a) Diverge
b) Converge para 1
3
c) Converge para 5
d) Converge para 1
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 74
d)
a n = ( 1)
n
− i
n
(n + 1)
n−1 n−1 ⎛ 2 ⎞
− i ⎜ ⎟
e) a n = ( 1)
⎝ 3 ⎠
n n
f) a n = ( − 1) + (+1)
e) Converge para 0
f) Diverge
68a) 1060; 1123,60; 1191,02; 1262,48; 1338,23
g) Diverge, entre –1 e 1
h) Converge para 1
i) Converge para 0
b) Diverge, pois temos uma função exponencial de razão r = 1,06 > 1.
69) 2
70a) Decrescente
b) Decrescente
c) Crescente
71a) Sim
b) Sim
c) Sim
d) Sim
d) Crescente
e) Decrescente
f) Decrescente
e) Sim
f) Não
2
g) Sim
h) Sim
g) a = 5n + 1
n
j) Converge para 2
3
k) Converge para 0
g) Decrescente
h) Decrescente
i) Crescente
i) Não
72) Como {an} é uma sequência decrescente, temos que an > an + 1 para todo n ≥ 1. Como todos
os termos variam entre 5 e 8, {an}, é uma sequência limitada. Pelo teorema da Sequência
Monotônica Limitada, {an} é convergente; isto é, {an} tem um limite L. L deve ser menor do
que 8, então {an} é decrescente. Então, 5 ≤ L < 8.
73) Temos que
x→2 lim f (x) = f(2) = 4, logo f(x) é contínua em x = 2.
74) f(1) não existe, de modo que f(x) não é contínua. Definindo f(x) de modo que f(1) = lim f (x) = –8,
x→1 se torna contínua em x = 1, isto é, x = 1 é uma descontinuidade removível.

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 75
75) Como f(x) = x é contínua para qualquer ponto x = x0, também o serão f(x) = x i x = x 2 ,
f(x) = x 2 i x = x 3 , f(x) = 2x 3 e, finalmente, f(x) = 2x 3 + x é contínua para qualquer ponto x = x0, pois a
soma e produto de funções contínuas também são funções contínuas.
76a) Para todo x exceto x = ± 1 (em que o denominador é zero)
b) Para todo x
c) Para todo x > –10
d) Para todo x ≠ 3
e) Para todo x, pois lim f (x) = f(3)
x→3 f) Para todo x, exceto x = 0
g) Para todo x ≤ 0
h) Para todo x, exceto x = ± π , ± 2π , ± 3π , ...
77)
x→4 lim f (x) = f(4)
78) O gráfico não tem buraco, pulo ou assíntota vertical.
79) O gráfico de y = f(x) deve ter uma descontinuidade em 3 e deve ter −
x→3 lim f (x) = f(3).

80a)
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 76
b) É descontínua em t = 1, 2, 3 e 4. A pessoa que deixar seu carro no estacionamento deverá saber
que o valor cobrado mudará no começo de cada hora.
81) 6
82a) f(–4) não está definido e lim f (x) (para a = –2, 2 e 4) não existe.
x→a b) –4, nenhum dos dois; –2, à esquerda; 2, à direita.
83a) f(2) não está definido

lim f (x) não existe
b)
x→0 c)
x→−3 84) 2
3
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 77
lim f (x) ≠ f(–3), pois lim f (x) = –7 e f(–3) = –5.
x→−3 2
⎧ x − 2x − 8
⎪ , se x ≠ −2
85a) g(x) = ⎨ x + 2
⎪
⎩ − 6 , se x = − 2
b) A descontinuidade não é removível, pois lim f (x) = 1 e lim f (x) = –1.
+
−
x→7 x→7

6
⎧ x + 64
⎪ , se x ≠ −4
c) g(x) = ⎨ x + 4
⎪
⎩ 16 , se x = − 4
d) g(x) =
⎧3 − x
⎪ , se x ≠ 9
⎪ 9 − x
⎨
⎪ 1
, se x = 9
⎪⎩ 6
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 78
86) f(–1) = –2 e f(4) = 73. Pelo teorema de Bolzano, temos que f(–1) i f(4) < 0. Logo existe, pelo
menos, uma raiz entre [–1, 4].
87) 0 < a < 14
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
⎡ π ⎤
88) f(0) = 1 e f ⎜ ⎟ = –5. Como f(0) i f ⎜ ⎟ < 0, há pelo menos 1 raiz em 0,
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎢
⎣ 2 ⎥
⎦ .
89) Por que a função não é contínua em [–1, 1].
90) 5 < a < 33
91) O teorema de Bolzano é satisfeito, pois f(–1) i f(0) < 0 e f(0) i f(1) < 0.
92) Pelo teorema de Bolzano, temos que f(0) i f(–1) < 0 e f(2) i f(3) < 0. Portanto, a equação possui
raízes nos intervalos dados.
93) Sim, pois temos f(–1) i f(4) < 0, satisfazendo o teorema do anulamento.
94a) A descontinuidade não é removível, pois lim f (x) = 1 e lim f (x) = –1.
+
−
x→2 x→2 b) A descontinuidade não é removível, pois lim f (x) = 1 e lim f (x) = –1.
+
−
x→−4 x→4 c) A descontinuidade não é removível, pois lim f (x) = +
x→3/ 2
3
2 1 e lim f (x) = −
x→3/ 2
3
− .
2

Bibliografia
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 79
AVILA, G. Análise Matemática para licenciatura. 3 ed. São Paulo: Blucher, 2006.
DANTE, L. R. Matemática: Conceitos & Aplicações. 3 ed. São Paulo: Ática, 2004.
GUIDORIZZI, H. L. Curso de Cálculo. vol. 2. Rio de Janeiro: 2001
FERREIRA, J. A construção dos números. 1 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
FIGUEREIDO, D. G. Números Irracionais e Transcendentes. 3 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de
Janeiro, LTC, 2002
LIMA, E. L. Curso de Análise. vol. I. São Paulo: IMPA, 2001
LOUREIRO, C.; PERES, E. e GARCIA, M. A Contribuição da Análise Matemática na Formação
de Professores.
NAME, M. A. Tempo de Matemática. s.e. São Paulo: Editora do Brasil, 1996.
SPIEGEL, M. R. Cálculo Avançado. 3 ed. São Paulo: McGraw Hill, 1974.
STEWART, J. Cálculo. vol. I. 5 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
STEWART, J. Cálculo. vol. II. 5 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
THOMAS, G. B. Cálculo. vol. I São Paulo, Pearson, 2005.

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 80
Anexo 1
O valor de π
A primeira referência ao valor de π (pi) aparece na Bíblia, no Primeiro Livro dos Reis, 7,
versículo 23: “Fez mais o mar de fundição, de dez côvados, de uma borda até à outra borda, redondo
ao redor, e de cinco côvados ao alto; e um cordão de trinta côvados o cingia, em redor.” Aqui, o
valor de π é 3, bastante inexacto, portanto.
Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores
calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o
seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um
círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que
π = circunferência
diâmetro
em que o valor de π é constante. Note-se que o nome “pi”, usando a letra grega, só foi introduzido em
1706 por William Jones (1675-1749).
O valor exato de π desde cedo despertou o interesse dos matemáticos. Arquimedes de Siracusa
(287-212 a.C.) chegou ao valor de 22
7
ou seja 3,142857…
Só no século XVIII é que se provou que π é um número irracional, isto é que não pode ser
expresso como uma fração, própria ou imprópria. Em termos práticos, isso significa que o número de
casas decimais que π pode ter é infinito.
No século XIX, demonstrou-se que π é um número transcendental, isto é, não pode ser expresso
por uma equação algébrica com coeficientes racionais.
Como corolário, deve dizer-se que é impossível fazer a “quadratura do círculo”, isto é, desenhar
um quadrado com o mesmo perímetro de determinado círculo.
Podem apreciar-se na tabela a seguir os progressos feitos no cálculo do valor de π. Só no século
XX, nos anos 50, é que se começaram a utilizar computadores para o cálculo das casas decimais de π.
Os valores de π através dos séculos
Pessoas/Povo Ano Valor
Babilônia ~2000 B.C. 3 1
8
Egípcios ~2000 B.C.
⎛16 ⎞
⎜ ⎟ = 3,1605
⎝ 9 ⎠
Chineses ~1200 B.C. 3
2

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 81
Antigo Testamento ~550 B.C. 3
Arquimedes ~300 B.C.
Ptolomeu ~200 A.D.
encontra 3 10 1
< π < 3
71 7
211 875
usa = 3,14163
67 441
377
= 3,14166...
120
Chung Huing ~300 A.D. 10 = 3,16...
Wang Fau 263 A.D.
157
= 3,14
50
Tsu Chung-Chi ~500 A.D. 3,1415926 < π < 3,1415929
Aryabhatta ~500 3,1416
Brahmagupta ~600 10
Al-Khwarizmi 820 3,1416
Fibonacci 1220 3,141818
Ludolph van Ceulen 1596
Calcula π
decimais
até 35 casas
Machin 1706 100 casas decimais
Lambert 1766 Prova que π é irracional
Richter 1855 500 casas decimais
Lindeman 1882 Prova que π é transcendental
Ferguson 1947 808 casas decimais
Computador
Pegasus
1957 7 840 casas decimais
IBM 7090 1961 100 000 casas decimais
CDC 6600 1967 500 000 casas decimais
Eis algumas das fórmulas utilizadas para calcular o valor de π em computador:
François Viète (1540-1603) determinou que:
π =
2
1 1 1 1 1 1 1 1
i + i + + i ...
2 2 2 2 2 2 2 2
John Wallis (1616-1703) mostrou que:
π =
2i2i4i4i6i6... 2
1i3i3i5i5i7... Euler (1707-1783) construiu esta fórmula:
2 ∞ π 1
∑
=
6 n
1
2

Observações:
Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 82
1 - Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, matemático árabe nascido em Bagdad, por volta
de 780, faleceu em 850. Do seu nome derivam as palavras "algarismo" em português e "guarismo" em
castelhano (guardamos sempre o artigo árabe nas palavras derivadas daquela língua). Para além disso,
escreveu um livro chamado "al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala" (traduzido para
inglês com o título "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”. De Al
jabr, vem o nome Álgebra. Mais: sabe-se que Al-Khwarizmi escreveu um livro que desapareceu, mas
de que chegou até nós uma tradução latina com o título "Algoritmi de numero Indorum", ou seja, "Al-
Khwarizmi sobre o modo Hindu de contar" e do nome latino que ali lhe deram derivou o termo
“algoritmo”.
2 – Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração (própria ou imprópria).
Fração própria é a que tem o numerador inferior ao denominador. Fração imprópria é aquela em que o
numerador é maior ou igual ao denominador. O numerador e o denominador são, evidentemente,
inteiros. Um número primo é um número maior do que 1, que não é divisível por nenhum número
inteiro positivo, que não seja 1 ou o próprio número. Um número composto é um número inteiro
positivo diferente de 1 e que não é número primo.
3 – Os números transcendentais não podem ser expressos como sendo a raiz de uma qualquer equação
algébrica, com coeficientes racionais. Isto significa que π não pode satisfazer com exatidão equações
do tipo 10,9π 4 – 240π² + 1492 = 0. Este tipo de equações envolve sempre números inteiros para o valor
de π. O número π pode ser expresso através de uma fracção que não tem fim ou como o limite de uma
série infinita. A fração 355
113
exprime o valor de π com exatidão até seis casas decimais.
Em 1882, o matemático alemão F. Lindemann provou que π é transcendental, acabando com
2500 anos de especulação. Com efeito, provou que π transcende o poder de a álgebra o representar na
sua totalidade. Não pode ser representado através de qualquer série finita de operações aritméticas ou
algébricas. Não pode ser escrito num pedaço de papel tão grande como o universo.
Site consultado
http://www.arlindo-correia.com/040901.html acessado em julho de 2008

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 83
Anexo 2
O número e, por quê?
A noção de logaritmo quase sempre nos é apresentada, pela primeira vez, do seguinte modo: “o
logaritmo de um número y na base a é o expoente x tal que a x = y”.
Segue-se a observação: “os números mais frequentemente usados como base de um sistema de
logaritmos são 10, e o número e = 2,71828182...”; o que nos deixa intrigados.
De saída, uma pergunta ingênua: esta regularidade na sequência dos algarismos decimais desse
número e persiste? Não. Apenas uma coincidência no começo. Um valor mais preciso seria e =
2,718281828459...
Não se trata de uma fração decimal periódica. O número e é irracional, isto é, não pode ser obtido
como quociente e = p/q de dois inteiros. Mais ainda: é um irracional transcendente. Isto significa que
não existe um polinômio P(x) com coeficiente inteiros, que se anule para x = e, ou seja, que tenha e
como raiz.
Por que então a escolha de um número tão estranho como base de logaritmos? O que faz esse
número tão importante? Talvez a resposta mais concisa seja que o número e é importante porque é
inevitável. Surge espontaneamente em várias questões básicas.
Uma das razões pelas quais a Matemática é útil às Ciências em geral está no Cálculo (Diferencial
e Integral), que estuda a variação das grandezas. Um tipo de variação dos mais simples e comumente
encontrados é aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cada instante é
proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por exemplo, em
questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou bactérias), desintegração radioativa, etc.
Em todos os fenômenos dessa natureza, o número e aparece de modo natural e insubstituível. Vejamos
um exemplo simples.
Suponhamos que eu empreste a alguém a quantia de 1real a juros de 100% ao ano. No final do
ano, essa pessoa viria pagar-me e traria 2 reais: 1 que tomara emprestado e 1 dos juros. Isto seria justo?
Não. O justo seria que eu recebesse e reais. Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas
transações, de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o
empréstimo e o pagamento.
Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo, eu receberia apenas 1
1 2
reais. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião, ele estava com 1 ½ real meu e ficou com esse dinheiro
mais seis meses, à taxa de 100% ao ano; logo deveria pagar-me

Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011 84
2
1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎛ 1 ⎞
1 + ⎜1 ⎟ = 1 x 1 = ⎜1 + ⎟ reais no fim do ano. Isto me daria 2,25 reais, mas, mesmo assim,
2 2 ⎝ 2 ⎠ 2 2 ⎝ 2 ⎠
eu não acharia justo.
período de
1 ano
n
Eu poderia dividir o ano num número arbitrário n, de partes iguais. Transcorrido o primeiro
1 ano
n
, eu estaria
, meu capital emprestado estaria valendo
⎛ 1 ⎞
⎜1 + ⎟
⎝ n ⎠
2
1
1 + n reais. No fim do segundo período de
⎛ 1 ⎞
reais, e assim por diante. No fim do ano eu deveria receber ⎜1 + ⎟
⎝ n ⎠ reais.
Mas, como posso fazer esse raciocínio para todo n, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria
⎛ 1 ⎞
receber pelo meu real emprestado seria lim ⎜1 + ⎟ , que aprendemos nos cursos de Cálculo ser igual
n→∞ ⎝ n ⎠
ao número e. Um outro exemplo no qual o número e aparece.
n
Fonte: Adaptado do artigo de Elon Lages Lima
n