9ª Aula de Análise Matemática I E

9 Aula de Análise Matemática I E
Vítor Daniel de Oliveira Matias
Aulas do Professor Doutor José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes
31 de Outubro de 2008
A Derivada e as suas Aplicações
Probelmas de Optimização (cont.)
1

Para dois carrosseis e os pontos P1 e P2, com uma distancia entre si dada
pela função d(t), pretende-se descobrir em para que valores de t os pontos
estão mais juntos e mais afastados
P1(t) = (cos(t), sin(t)) + (0, 2) = (sin(t), +2 + cos(t))
P2(t) = (sin(t), − cos(t)) + (0, −2) = (sin(t), −2 − cos(t))
d(t) = P1 P2(t) =
= (sin(t) − cos(t)) 2 + (4 + cos(t) + sin(t)) 2
D(t) = d 2 (t) = (sin(t) − cos(t)) 2 + (4 + cos(t) + sin(t)) 2
D ′ (t) = 2(sin(t)−cos(t)×(cos(t)+sin(t)+2(4 cos(t)+sin(t)(− sin(t)+cos(t)) =
= 2(sin(t) − cos(t)) [(cos(t) + sin(t)) − (4 + cos(t) + sin(t))]
−4
D ′ (t) = 8(cos(t) − sin(t))
5π
x
D
0 π
4
4
′ (t) + − +
D(t) ↗ ↘ ↗
Problema: Procura-se achar a area máxima para o triangulo que envolve
o circulo.
2
2π

equação de r
equação de Q
equação de R
equação da área
cos(Θ)(x − cos(Θ)) + sin(Θ)(y − sin(Θ) = 0
= 1 + cos(Θ)
A(Θ) =
cos(Θ)x + sin(Θ)y − 1 = 0
cos(Θ)x − 1 = 0
x =
1
cos(Θ)
cos(Θ)x(−1) + sin(Θ)y − 1 = 0
sin(Θ)
y =
1 + cos(Θ)
sin(Θ)
1 + cos(Θ)
sin(Θ) ×
1
+ 1 =
cos(Θ)
× 1 + cos(Θ)
cos(Θ)
Em alternativa estudamos ln(A(Θ)) =
= (1 + cos(Θ))2
sin(Θ) cos(Θ)
(1 + cos(Θ))2
= ln( = 2 ln(1 + cos(Θ) − ln(sin(Θ)) − ln(cos(Θ))
sin(Θ) cos(Θ)
(ln(A(Θ))) ′ − sin(Θ)
= 2
1 + cos(Θ)
cos(Θ) sin(Θ)
− +
sin(Θ) cos(Θ) =
= −2 sin(Θ) cos(Θ) − cos2 (Θ)(1 + cos(Θ)) + sin 2 (Θ)(1 + cos(Θ))
(1 + cos(Θ)) sin(Θ) cos(Θ)
= −2 sin2 (Θ) cos(Θ) − cos 2 (Θ) − cos 3 (Θ) + sin 2 (Θ) + sin 2 (Θ) cos(Θ)
(1 + cos(Θ)) sin(Θ) cos(Θ)
=
− cos(Θ)
− sin 2 (Θ) cos(Θ) − cos 2 (Θ) cos(Θ) − cos2 (Θ) + sin2 (Θ)
=
(1 + cos(Θ)) sin(Θ) cos(Θ)
= − cos(Θ) − cos2 (Θ) + sin 2 (Θ)
(1 + cos(Θ)) sin(Θ) cos(Θ) = − cos(Θ + 1 − 2 cos2 (Θ)
(1 + cos(Θ)) sin(Θ) cos(Θ)
3
=
=

estudo de − cos(Θ) + 1 − 2 cos 2 (Θ)
Logo cos(Θ) = 1
2
Θ = π
3
x 0 π
cos(Θ) = 1 − √ 1 + 8
−4
− +
A(Θ) ↘ ↗
ou //////////////////, cos(Θ) = −1 Θ ∈ ]0, π
2 [.
3
Tem de ser um triangulo equilatero.
π
2
∨ cos(Θ) = 1 + √ 9
−4
Aplicação da Derivada (Aproximação Linear)
y = f ′ (x0)(x − x0) + f(x0)
f(x) ≈ f ′ (x0)(x − x0) + f(x0)
f(x0 + h) ≈ f(x0) + f ′ (x0)h
4

Exemplos:
1, 1 ≈ √ 1 + 1
2 √ 1
× 0, 1 ≈ 1 + 0, 1
2
1
0, 9 ≈ 1 + × (−0, 1) = 0.95
2
Erro Relativo de uma Aproximação
Erro Absoluto dr
Erro Percentual dr
r
V (r) = 4
3 πr3
V (r)
4
V (r + dr) ≈
3 πr3 V
+
′ (r)
4πr 2 dr
dV
V =
4π//r 2dr 4 = 3dr
3π//r3 r
5
= 1, 05