Aula 7 - Prof. Doutor Jorge Olivio Penicela Nhambiu - Universidade ...

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Transmissão de calor
3º ano
Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1

Aula 7 * 3.6 Superfícies Estendidas
Balanço de energia para uma face
Alhetas com secção uniforme
Alheta que perde calor por convecção pela sua
extremidade
Alheta com a extremidade isolada
Alheta com temperatura prescrita na sua extremidade
Alheta com comprimento infinito
Eficiência da alheta
Desempenho da alheta
Comprimento adequado da alheta
Transferência de Calor em Configurações
Usuais
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3.6 Superfícies Estendidas
O termo superfície estendida é comummente usado
em referência a um sólido onde há transferência de
energia por condução no interior de suas fronteiras e
transferência de energia por convecção (e/ou
radiação) entre suas fronteiras e a vizinhança.
Em diversas condições de engenharia usam-se
superfícies estendidas para aumentar a eficiência de
troca de calor, quer na colecta de energia (colectores
solares) quer na sua dissipação (motores).
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3.6 Superfícies Estendidas
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3.6 Superfícies Estendidas
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3.6 Superfícies Estendidas
O principio físico que justifica o uso das alhetas é simples.
Baseando-se na Lei de Newton pode-se escrever:
Onde:
Q s s
T
hA T
h – é o coeficiente de troca de calor por Convecção;
A s – é a área superficial;
T s – é a temperatura superficial;
T ∞ - é a temperatura do fluído ambiente.
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3.6 Superfícies Estendidas
Para aumentar a dissipação de calor pode-se aumentar h, A s e
a diferença das temperaturas.
O aumento de h pode se conseguir com o aumento da
velocidade do fluido (convecção forçada).
Aumentar a diferença de temperaturas pode-se conseguir com
o abaixamento da temperatura ambiente.
A forma mais fácil de se conseguir o aumento da dissipação de
calor é aumentando a área superficial.
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3.6 Superfícies Estendidas
Condução Estacionária transmissão de calor através de uma alheta
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3.6 Superfícies Estendidas
Exemplos de funcionamento de alhetas
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3.6 Superfícies Estendidas
Alheta
longitudinal de
perfil
rectangular
Alguns tipos de alhetas
Alheta
longitudinal
de perfil
triangular
Tubo
cilíndrico
com alheta
radial de
perfil
rectangular
Pino cónico
truncado
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3.6 Superfícies Estendidas
Supondo que a base da alheta esteja a uma
temperatura superior à do meio ambiente. Numa
secção de comprimento elementar Δx localizada
no meio da alheta tem-se energia entrando por
condução, no material desse elemento, e por outro
lado energia saindo também por condução e não
se pode esquecer da parcela que sai para o meio
ambiente por convecção.
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3.6.1 Balanço de energia para uma face
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3.6.1 Balanço de energia para uma face
As hipóteses a serem usadas são:
Regime permanente e ausência de fontes internas;
Temperatura constante do fluído longe da alheta;
As propriedades térmicas do material não variam com a
temperatura;
As alhetas são finas, assim pode-se modelar a situação como
unidimensional;
O Coeficiente de transferência de calor por convecção é
constante ao longo da alheta;
A temperatura da superfície da base da alheta é a mesma que a
da superfície primária.
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3.6.1 Balanço de energia para uma face
Calor que entra
por condução
no elemento
em x
Q
Q
cond,
x
Calor que sai por
condução o
elemento em x +
Δx
Qcond,
xdx
Onde:
Qconv s
T
hA T
conv
Calor que sai
por
convecção
do elemento
(3.54)
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3.6.1 Balanço de energia para uma face
Substituindo e dividindo-se por Δx obtém-se:
Q
x
d cond s
A
h
x
T T
0
(3.55)
Calculando-se o limite quando Δx → 0 obtém-se:
(3.56)
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3.6.1 Balanço de energia para uma face
Da lei de Fourier para a condução obtém-se:
Q cond kAc
dT
dx
Substituindo em 3.56 chega-se a:
(
T
2
1
1
2
T
d T
c dT h s
dx Ac
dx dx Ac
k dx
dA
ou
dA
(3.57)
) 0
(3.58)
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3.6.2 Alhetas com secção uniforme
P D
A
c
D
2
4
Daqui, depreende-se que:
dA
dx
e
c
dA
dx
s
0
p
P 2w
2t
Ac
wt
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3.6.2 Alhetas com secção uniforme
Então a equação geral transforma-se em:
2
d T
2
dx
hp
kA
0 T T
c
Fazendo:
x T(
x)
T
Então:
d
dx
dT
dx
(3.59)
(3.60)
(3.61)
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3.6.2 Alhetas com secção uniforme
Assumindo que:
2
m
hP
kAc
A equação fica:
2
d
m 2
dx
2
A solução geral desta equação de segunda ordem é:
(
x)
0
mx
C1e
C2
e
mx
(3.62)
(3.63)
(3.64)
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3.6.2 Alhetas com secção uniforme
Uma das condições é a temperatura na base (x=0) b
b T T
(
0)
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3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
As alhetas, na prática, são expostas ao ambiente e,
portanto, a condição de contorno adequada para a ponta
da alheta é a convecção, que também inclui os efeitos da
radiação. A equação da alheta pode ainda ser resolvida,
neste caso, utilizando a convecção na ponta da alheta
como a segunda condição de contorno, mas a análise
torna-se complexa e resulta em expressões da
distribuição da temperatura e da transferência de calor
complicadas.
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3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
Em geral, a área da ponta da alheta é uma
pequena fração da área total da superfície da
mesma, assim, as complexidades envolvidas na
solução da equação, dificilmente podem justificar
uma melhora na exactidão.
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3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
Para determinar as constantes C 1 e C 2 na Equação 3.64, é
necessário estabelecer as condições de contorno.
Q
Q
b
f
( )
hAc T L T Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 23

3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
hA
c
T ( L)
T
kA
d
h
( L)
k
dx
C
b
ou
dai:
1
e:
C
2
c
xL
dT
dx
xL
mL mL
mL
mL
C e C
e kmC
e C
e
h 1 2
2
1
(3.65)
(3.66)
(3.67)
(3.68)
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3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
logo, a distribuição das temperaturas é dada por:
b
cosh m(
L x)
( h
cosh mL
( h
Q
f
Q
b
kA
c
dT
dx
mk)
sinh m(
L x)
mk)
sinh mL
O calor perdido pela alheta calcula-se de:
d
kA
c
x0
dx x0
(3.69)
(3.70)
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3.6.2.1 Alheta que perde calor por
convecção pela sua extremidade
mL h mk mL
Q sinh ( ) cosh
f hPkAc
b
cosh mL
( h mk)
sinh mL
Q
Que resulta em:
f
T ( x)
T
dAs h
A
f
(3.71)
Uma outra forma que integra as perdas de calor por convecção
é:
(3.72)
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3.6.2.2 Alheta com extremidade isolada
As alhetas não são susceptíveis de ser tão longas
que a sua temperatura se aproxime da temperatura
ambiente na ponta. Uma situação mais realista é a
transferência de calor da ponta da alheta ser
desprezada dado que a transferência de calor da
alheta é proporcional à sua superfície e a superfície
da ponta da alheta é geralmente uma fracção
insignificante da área total da alheta. A ponta da
alheta pode ser considerada como isolada.
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3.6.2.2 Alheta com extremidade isolada
A condição de contorno na ponta da alheta pode ser expressa
por:
b
d
dx
C e
1
mL
xL
0
C
e
2
mL
0
cosh m(
L x)
cosh mL
então:
O perfil de temperaturas toma o seguinte aspecto:
O calor dissipado pela alheta avalia-se de:
Qf c b
hPkA tanh mL
(3.73)
(3.74)
(3.75)
(3.76)
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3.6.2.2 Alheta com extremidade isolada
Quando se refere a uma alheta cuja extremidade se encontra
isolada, é muito frequente usar-se o conceito de comprimento
corrigido L c que permite usar as expressões relativas à alheta
com convecção no seu extremo, com um erro não superior a 8%.
L
c
Ac
L
p
t
2
Lc, rectangular
L
Lc,
circular
(3.77)
Usando as relações próprias de A c e p para alhetas de secção
rectangular e circular os comprimentos corrigidos ficam
respectivamente :
D
L
4
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3.6.2.2 Alheta com extremidade isolada
O comprimento corrigido
L c é definido como o
comprimento de uma
alheta com o extremo
isolado, que transfere o
mesmo calor que uma
alheta de comprimento L
com convecção no
extremo.
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3.6.2.3 Alheta com temperatura prescrita
na sua extremidade
Se a temperatuira da alheta no seu extremo for
medida, igual a T L a segunda condição de
contorno pode ser dada como: em X = L, θ = θ L.
L
T L Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 31

3.6.2.3 Alheta com temperatura prescrita
na sua extremidade
Da condição de contorno resulta:
( L)
b
L
O perfil de temperaturas é dado por:
( L b
) sinh mx sinh m(
L x)
sinh mL
O calor dissipado pela alheta é calculado de:
Q
f
cosh mL
L b
hPkAc
b
sinh mL
(3.78)
(3.79)
(3.80)
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3.6.2.4 Alheta com comprimento infinito
Para a alhetas suficientemente longas com
secção transversal constante (A c=constante), a
temperatura da alheta no seu extremo tenderá
para a temperatura ambiente T ∞ e portanto θ
tenderá para zero. Isto é:
L T L T
0
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3.6.2.4 Alheta com comprimento infinito
Da condição de contorno resulta:
( L)
O perfil de temperaturas é dado por
f
b
0
mx
e
O calor dissipado pela alheta é calculado de:
Q hPkA
c
b
(3.81)
(3.82)
(3.83)
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3.6.2.4 Alheta com comprimento infinito
Variação de
temperatura ao
longo de uma alheta
longa circular de
secção constante.
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3.6.3. Eficiência da alheta
Transferência de
calor real e ideal em
uma alheta.
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3.6.3. Eficiência da alheta
Eficiência
da
alheta
=
a
Calor realmente transferido pela alheta
Calor que seria transferido se toda alheta
estivesse à temperatura da base
Para o caso da alheta com extremidade isolada pode-se escrever:
mL
hPkA
b tanh mL
hPL
hP
L
kA
b
h(
2z
2t)
L
kzt
tanh mL
mL
a
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=
(3.84)
Se as alhetas forem suficientemente delgadas para o fluxo de
calor ser considerado unidimensional pode-se escrever:
(3.85)
Onde: z – é a profundidade da alheta e t - a sua espessura

3.6.3. Eficiência da alheta
Partindo do principio que a alheta é suficientemente delgada
2z>>2t, escreve-se:
mL
2hz
L
ktz
2h
L
kt
mL
mL
2h L
kLt
3 2
2h L
kA
m
3 2
(3.86)
Multiplicando o numerador e denominador por L (1/2) obtém-se:
Lt é a área do perfil da alheta que define-se como A m= Lt, assim:
(3.87)
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3.6.3. Eficiência da alheta
Para uma situação
em que se tem um
arranjo de várias
alhetas, tem de se
tomar em conta as
áreas, com e sem
alhetas, para se
fazer o cálculo da
eficiência do arranjo.
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3.6.3. Eficiência da alheta
Q
t
Q
t
t
max
Sendo:
A NA
a
NA
Q
t
hA
t
A
b
Ou por outra:
b
a t 1 1
At
Onde:
N - é o número de alhetas
A a = A f - área da alheta
A b – área da superfície primária
a
(3.88)
(3.89)
(3.90)
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3.6.3. Eficiência da alheta
Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 42

3.6.3. Eficiência da alheta
Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 43

3.6.4. Desempenho da alheta
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3.6.4. Desempenho da alheta
Em alguns casos um método válido de avaliar o desempenho de
uma alheta é comparar o calor transferido com a alheta com
aquele que seria transferido sem a alheta. A razão entre as
quantidades é:
Q
Q
com alheta
sem alheta
a
Aah
b
hA
Aa pL e Ab
b
b
A
A
Qcom alheta tanh mL
Q hA kP
sem alheta
a
b
A
a
(3.91)
Onde A a é a área superficial total da alheta A b a área da base da
alheta. Para a alheta de extremidade isolada pode-se escrever:
(3.92)
(3.93)
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3.6.4. Desempenho da alheta
A taxa de transferência de calor para uma alheta suficientemente
longa consegue-se substituindo na fórmula anterior a de
transferência de calor para essa situação dada pela Equação 3.82
Q
a,
tot
Q
h
Q
alheta longa
Q
ñ alh
Q
alh
com alheta
hA
sem alheta
ñ alh
Añ alh alhAalh
b
b
alh
A
a
hpk
hA
hA
b
alh
b
b
b
kp
hA
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b
(3.94)
Para determinar a taxa de transferência de calor de uma região
alhetada tem de se ter em consideração a parte da superfície que
não está alhetada bem como a área das alhetas.
(3.95)

3.6.4. Desempenho da alheta
A eficácia global para uma
região alhetada é dada pela
seguinte equação:
alheta, total
Q
Q
h
total alheta
total sem alheta
A
A
ñ alh
hA
alh
sem alheta
alh
b
b
(3.95)
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3.6.5 Comprimento adequado da alheta
Devido a perda gradual
de temperatura ao longo
da alheta, a região perto
do extremo da alheta
contribui em pouco ou
em nada para a
transferência de calor.
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3.6.5 Comprimento adequado da alheta
Para se ter a sensibilidade do comprimento adequado de uma
alheta, compara-se o calor transferido pela alheta de
comprimento finito com o de uma de comprimento infinito às
mesmas condições, que é dado pela expressão seguinte:
alheta longa
Q
Q
com alheta
sem alheta
hpkAa
b
tanh mL
tanh mL
hpkA
a
b
(3.97)
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Exemplo 7.1
Se o valor do coeficiente de convecção for grande a alheta pode originar uma
redução na transferência de calor porque a resistência à condução representa
então um impedimento maior ao fluxo de calor que a resistência a convecção.
Considere-se uma alheta de aço inoxidável em forma de pino com k = 16
W/m·ºC, L=10 cm, d = 1 cm exposta a uma situação de transferência de calor
por convecção, de água em ebulição onde h = 5000 W/m 2 o C
Solução
Q
com alheta
Q
sem alheta
tanh mL
hA
kP
2
110 4 1 2
5000
tanh
2 2
16
110
2 2
5000
110
2
( 4)(
16)
( 110
)
2
1010
Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 50
1 2
1,
13
Um pino relativamente grande aumenta a área de transferência de calor em
13% somente.

3.7 Transferência de Calor em
Configurações Usuais
Até agora, foi considerada a transferência de calor em
geometrias simples, como grandes paredes planas,
cilindros longos e esferas. Isso ocorreu porque a
transferência de calor em geometrias pode ser
aproximada a unidimensional e soluções analíticas
simples podem ser facilmente obtidas. Mas muitos
problemas na prática, são de duas ou três dimensões e
envolvem geometrias bastante complicadas para as
quais não há soluções simples disponíveis.
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3.7 Transferência de Calor em
Configurações Usuais
Uma importante classe de problemas de transferência de calor
para os quais soluções simples são obtidas, engloba aquelas
que envolvem duas superfícies mantidas a temperaturas
constantes T 1 e T 2. A taxa constante de transferência de calor
entre as duas superfícies é expresso como:
Q SkT T
(3.96)
1 2 (W)
Onde: S é o factor de forma de condução, que tem a dimensão
de comprimento, e k é a condutividade térmica do meio entre as
superfícies. O factor de forma de condução depende somente da
geometria do sistema.
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3.7.1 Factor de Forma de Condução
(1) Cilindro isotérmico de
comprimento L, enterrado em um
meio semi-infinito (L>> D e z> 1.5D)
S
2
L
ln 4
zD
(2) Cilindro vertical isotérmico, de
comprimento L, enterrado em um
meio semi-infinito (L>> D)
S
2
L
ln 4
LD
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3.7.1 Factor de Forma de Condução
(3) Dois cilindros isotérmicos
paralelos colocados num meio infinito
(L>> D 1, D 2, z)
S
cosh
2
L
4zDD
2DD
2 2 2
1
1 2
1 2
(4) Fila de cilindros isotérmicos
paralelos equidistantes enterrados
num meio semi-infinito (L>> D, Z e
W> 1.5D) (por cilindro)
S
2
L
2w 2z
ln sinh
D w
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3.7.1 Factor de Forma de Condução
(5) Cilindro isotérmico de
comprimento L num plano intermédio
de uma parede infinita (z> 0,5D)
S
2
L
ln 8
z D
(6) Cilindro isotérmico de
comprimento L no centro de uma
barra quadrada sólida do mesmo
comprimento
S
2
L
ln 1,08
wD
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3.7.1 Factor de Forma de Condução
(7) Cilindro excêntrico isotérmico de
comprimento L em um cilindro do
mesmo comprimento (L> D 2)
S
cosh
2
L
DD4z
2DD
2 2 2
1
1 2
1 2
(8) Grande parede plana
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S
A
L

3.7.1 Factor de Forma de Condução
(9) Camada cilíndrica (10) Passagem de fluxo quadrada
S
ln
2
L
D D
2 1
para a b
S
para a b
2
L
S
0,785ln
1,4
2
L
0,93ln 0,948
ab
1,41
ab Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 57

3.7.1 Factor de Forma de Condução
(11) Camada esférica
2 DD
S
D D
1 2
2 1
(12) Disco enterrado num meio
infinito paralelamente a superfície
(z>>D)
S 4D
S 2 D quando z D
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3.7.1 Factor de Forma de Condução
(13) Canto entre duas paredes
adjacentes de espessura igual
(14) Canto entre três paredes
adjacentes de espessura igual
S 0,54w
S
0,15L
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3.7.1 Factor de Forma de Condução
(15) Esfera isotérmica enterrada num
meio semi-infinito
S
2
D
1 0,25Dz
(16) Esfera isotérmica enterrada em
um meio semi-infinito a T 2 cuja
superfície encontra-se isolada
2
D
S
1 0,25Dz
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Exemplo 7.2
Um tanque cilíndrico 0,6 m de diâmetro e 1,9 m de comprimento,
contendo gás natural liquefeito (GNL) a -160 ° C é colocado no
centro de uma barra quadrada sólida de 1,9 m de comprimento,
1,4 m x 1,4 m de secção, feita de um material isolante com k =
0,0006 W/m °C. Se a temperatura da superfície externa da barra
for de 20 °C, determinar a taxa de transferência de calor para o
tanque. Determinar também a temperatura de GNL após um mês.
Considere a massa específica e o calor específico do GNL , 425
kg/m 3 e 3,475 kJ / kg° C, respectivamente.
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Exemplo 7.2 (Solução I)
Um tanque cilíndrico contendo gás natural liquefeito (GNL) é
colocado no centro de uma barra quadrada sólida. Devem ser
determinadas a taxa de transferência de calor para o tanque e a
temperatura do GNL ao fim de um mês.
Pressupostos: 1 O regime é permanente. 2 A transferência de
calor é bidimensional (sem alteração no sentido axial). 3 A
condutividade térmica da barra é constante. 4 A superfície do
tanque está a mesma temperatura que o gás natural liquefeito.
Propriedades: A condutividade térmica da barra é dada k =
0,0006 W /m°C. A massa específica e o calor específico do GNL
são 425 kg/m 3 e 3,475 kJ/kg°C, respectivamente,
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Exemplo 7.2 (Solução II)
Análise: O factor de forma para esta configuração é dado na
Figura (6)
2L2 (1,9
m)
S 12,92
m
1,08 w 1,4 m
ln ln 1,08
D
0,6 m
O calor transferido determina-se de:
-160C
D = 0,6 m
L = 1,9 m
Q Sk( T T ) (12,92 m)(0,0006 W/mC) 20 ( 160) C 1,395 W
1 2
20C
1,4 m
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Exemplo 7.2 (Solução III)
A massa de GNL é dada por:
3 3
D
3 (0,6 m)
mV (425 kg/m ) 48,07 kg
6 6
O calor transferidopelo tanque no período de um mês:
Q Qt (1,395 W)(30 243600 s) 3615840 J
A temperatura do gás natural ao fim de um mês calcula-se de:
Q mC( T T)
2
p
1 2
T
3615840 J (48,07 kg)(3475 J/kg. C) ( 160) C
T
-138,4C Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 64
2