Algoritmos e Programação I Lista de Exercícios 05 – Prof. Marcelo ...

PUCRS – Faculdade de Informática – Algoritmos e Programação I
Lista de Exercícios 05 – Prof. Marcelo Yamaguti, Márcia e Sílvia Moraes 2006/01
Exercícios extraídos da lista de lapro do Prof. João Batista.
1. Implemente para classe Matemática métodos para os problemas definidos
abaixo:
a. Elabora um método que determina se um número é perfeito ou não,
retornando true ou false no caso contrário. Um número é perfeito
quando a soma dos seus divisores, com exceção do próprio número é
igual ao número. Por exemplo: 6 = 1 + 2 + 3.
b. Elabore um método que determina o seguinte somatório.
Somatório = 1 + 1 + 1 + ... + 1____
2! 3! numero!
Utilize o método do fatorial já desenvolvido para a classe Matemática.
c. Elabore um método que determina o maior divisor comum de dois
números n1 e n2, usando o algoritmo básico de Euclides, que na versão
abaixo deixa o valor do maior divisor comum em n1. Teste o algoritmo
à mão primeiro, para ter certeza do que está fazendo!
enquanto n2 for diferente de zero
tmp = n1
n1 = n2
n2 = tmp % n2
d. Um método para cálculo de raízes quadradas de um número N já era
conhecido pelos babilônios em ... bom, há muito tempo atrás. (Este
método também é conhecido como método de Heron, um matemático
grego que o descreveu 20 séculos depois dos babilônios, perto do ano
50 d.c.). Começando de um valor inicial k (geralmente valendo 1) os
babilônios geravam um novo valor de k de acordo com a regra:
N
k +
k =
k
2
Implemente um método que calcula a raiz quadrada de um valor N
(atributo da classe) pelo método de Heron. O método deve receber como
parâmetro a quantidade de iterações desejadas para o cálculo da raiz.
e. Um dos métodos que determina raízes cúbicas de N é o método de
Joãozinho, bastante semelhante ao de Heron. Iniciando com k=1, o
método segue a regra:

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Lista de Exercícios 05 – Prof. Marcelo Yamaguti, Márcia e Sílvia Moraes 2006/01
N
2k
+
2
k =
k
3
Implemente um método que calcula a raiz cúbica de um valor N
(atributo da classe) pelo método de Joãozinho. O método deve receber
como parâmetro a quantidade de iterações desejadas para o cálculo da
raiz.
f. Escreva um método que calcula o valor aproximado de cos(x) dado pela
aproximação abaixo:
2 4 6
x x x
cos( x ) ≈ 1−
+ − + ....
2! 4! 6!
O método deve receber como parâmetro a quantidade de iterações.
2. Analise os problemas abaixo e construa uma solução no método main.
a. A conjectura de goldbach foi apresentada por Christian Goldbach em
uma carta a Leonhard Euler no ano de 1742, e diz: “Todo número para
maior do que 2 pode ser representado pela soma de dois números
primos”. Apesar de até hoje não ter sido provada, a conjectura
funcionou para os casos que foram experimentados. Faça um trecho de
código na main que lê um valor par maior que 2 e escreve na tela os
pares de primos em que esse valor pode ser decomposto. Por exemplo,
o valor 10 pode ser decomposto em : 5-5 e 3-7.
b. Ninguém sabe quem propôs a conjectura dos primos gêmeos, mas ela
sugere que existe um número infinito de pares de números primos na
forma k, k+2. Por exemplo, 17 e 19 são primos gêmeos, assim como 227
e 229 e muitos (infinitos ?) outros pares. Faça um trecho de código na
main que encontra os 100 primeiros primos gêmeos.