Cálculo Numérico - 05/2 Trabalho Computacional Soluç˜ao de ...

Cálculo Numérico - 05/2
Prof.: Leonardo Muniz de Lima - tel.: 3335 2138 (lmuniz@inf.ufes.br)
Homepage do curso: www.inf.ufes.br/~lmuniz
Trabalho Computacional
Solução de Problemas de Valor no Contorno
Bidimensionais
1 Introdução
Equações diferenciais parciais, aparecem com freqüência na solução de problemas em diversas
áreas do conhecimento. Sendo assim, vamos estudar o processo de discretização pelo método
das diferenças finitas de equações do tipo:
( )
∂ 2 u
−
∂x + ∂2 u
+ a ∂u
2 ∂y 2 ∂x + b∂u + cu = f(x, y) em Ω (1)
∂y
considerando que a, b, c e f(x, y) são conhecidas e que u(x, y) é conhecida no contorno de
Ω. Deseja-se obter a solução u(x, y) no interior de um domínio retangular de dimensões
(x 0 , x (N+1) ) × (y 0 , y (M+1) ), sendo conhecida a solução no contorno do retângulo (condições de
Dirichlet). Considere uma subdivisão do domínio em células retangulares, sendo N + 1 divisões
na horizontal e M + 1 divisões na vertical, respectivamente, de dimensões h x e h y .
Como exemplo, na equação (1), tomando a = 0, b = 0, c = 0 e f(x, y) = 0, temos a
conhecida equação diferencial de Laplace:
( )
∂ 2 u
−
∂x + ∂2 u
= 0 (2)
2 ∂y 2
Essa equação aparece em diversos problemas tais como:
• Condução de Calor.
• Campo de potencial eletrostático.
• Escoamento irrotacional de um fluido perfeito (sem viscosidade).
• Torção de uma barra prismática.
Além de muitos outros problemas práticos. O termo u refere-se a grandeza envolvida.
2 Objetivo
Discretizar a equação (1) pelo método das diferenças finitas e resolver o sistema linear resultante
através do método de eliminação gaussina e método de Gauss-Seidel com relaxação sucessiva
SOR (Veja a definição do método de Gauss-Seidel com SOR no anexo 1). Implementar todos
algoritmos em Matlab (Octave) e em alguma das seguintes linguagens de programação: C,
Fortran ou Pascal. Fazer uma análise compartiva dos métodos de solução de sistemas lineares
entre si e da uso do Matlab (Octave) versus o uso da linguagem de programação escolhida (C,
Fortran ou Pascal).

3 Etapas do trabalho
3.1 Implementação
Faça um programa em computacional modularizado (divido em procedimentos e funções) em
Matlab e outro na linguagem de programação escolhida (C, Fortran, Pascal) para resolver a
equação bidimensional (1) pelo método das diferenças finitas utilizando alguns conceitos que
serão desenvolvidos em sala de aula. O programa principal deve ter a seguinte estrutura:
• Um procedimento ou função para leitura dos dados feitas de duas formas alternativas:
através do teclado ou através de um arquivo de entrada. (Deve ser dada ao usuário essa
opção de escolha).
• Um procedimento ou função para a montegem do sistema esparso resultante.
• Um procedimento ou função para tratar as condições de contorno.
• Um procedimento ou função para solução do sistema linear resultante pelo método de
eliminação de Gauss.
• Um procedimento ou função para solução do sistema linear resultante pelo método de
Gauss-Seidel com dispositivo SOR.
• Um procedimento ou função para imprimir os resuldos em um arquivo de saída do tipo
texto ou alternativamente imprimir o resultado na tela.
3.2 Validação dos algoritmos implementados
Teste o seu programa considerando um problema simples: condução de calor em uma placa
plana com condições de contorno constantes e iguais. Em condições ideais de condutividade a
variação da temperatura T (x, y) em uma placa retangular satisfaz a equação de Laplace (caso
particular da equação (1)):
( )
∂ 2 T
−
∂x + ∂2 T
= 0 em (x 2 ∂y 2 0 , x (N+1) ) × (y 0 , y (M+1) ) (3)
considerando que a temperatura T (x, y) = T 0 em todos os lados da placa, os valores no interior
da placa devem ser aproximadamente iguais em todos os pontos da discretização.
3.3 Testes
Os testes visam medir o tempo gasto para efetuar a solução da equação (1) por diferenças
finitas utilizando os dois métodos de solução de sistemas lineares mencionados e as diferentes
implementações em Matlab (Octave) e na outra linguagem escolhida (C, Fortran, Pascal).
Considerando a equação (1) em Ω = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} onde a = 60, b = 80, c = −40 e
f(x, y) é tal que u(x, y) = xe xy sen(πx)cos(πy), deverão ser medidos e apresentados em tabelas
os tempos de processamento em Matlab (Octave) e na outra linguagem de programação (C,
Fortran, Pascal) para os seguintes casos de malhas: 8 × 8, 16 × 16, 32 × 32, 64 × 64, 128 × 128
e 256 × 256.

3.4 Gráficos
Devem ser apresentados pelo menos um gráfico referente a solução do problema de validação
da Seção 3.2 e outro refente a solução do problema da seção de testes. Os gráficos devem ser
obtidos a partir dos arquivos de saída (arquivo texto da solução) e gerados com o auxílio do
Matlab ou do Gnuplot.
4 Estrutura do relatório
O relatório deverá ser escrito em Word ou Latex e a partir desse deve ser gerado um arquivo
em formato pdf. Também devem ser obedecidas as normas do padrão ABNT. A divisão do
relatório deve ser de acordo com as seguintes seções:
• Introdução: onde o grupo deverá sintetizar o conteúdo do trabalho e os objetivos.
• Códigos: onde serão apresentados os códigos em Matlab (ou Octave) e da outra linguagem
escolhida (C, Fortran, Pascal) referentes aos algoritmos implementados.
• Testes: onde serão apresentados os exemplos testes utilizados pelo grupo, tanto as entradas
para os programas bem como tabelas e gráficos das repectivas saídas geradas pelas
soluções.
• Conclusão: onde serão discutidos os resultados obtidos.
5 Considerações gerais sobre o trabalho
• O trabalho poderá ser feito em grupo de no máximo 3 alunos.
• Todos alunos do grupo devem entender completamente a lógica utilizada, pois em cada
grupo um aluno será sorteado para uma entrevista na qual prestará esclarecimentos sobre
os procedimentos adotados. (Caso o aluno não tenha compreendido os procedimentos
adotados, a nota do grupo ficará comprometida).
• Trabalhos considerados iguais receberão nota zero.
• O prazo final para a entrega do trabalho será 01/12/2005, sem qualquer chance de prorrogação.
• A entrega do trabalho será conforme descrito na seção a seguir.
6 Como entregar
• Envie o relatório e os códigos fonte do seu trabalho por e-mail para lmuniz@inf.ufes.br.
• O assunto do e-mail deve ser o seguinte (somente o que está entre aspas duplas): ”cn:trab1:
nome1:nome2:nome3:”. Substitua nome1, nome2 e nome3 pelo primeiro nome e o ultimo
sobrenome de cada integrante do grupo, separados por espaços.

• Compacte o seus arquivos .m, .c (ou .f, .pas) e relatório em pdf utilizando o formato zip
e envie o arquivo compactado em anexo. NÃO coloque nada no corpo do e-mail.
• Após o envio você receberá uma confirmação de recebimento do trabalho. Caso isso não
aconteça, reenvie o seu trabalho para o mesmo endereço.
• O recebimento dos trabalhos é automatizado. Siga as instruções à risca pois algum erro
na submissão pode inviabilizar a entrega do seu trabalho.
Um exemplo de um e-mail de envio do trabalho:
Para: lmuniz@inf.ufes.br
De: Jo~ao da Silva, Maria dos Santos Moraes, Antonio Carlos Santos
Assunto: cn:trab1:Joao Silva:Maria Moraes:Antonio Santos:
Anexo: trab1.zip (contendo os códigos em Matlab ou Octave, C ou Fortran ou Pascal e o
relatório)
ATENÇÃO:
• No assunto, a disciplina (cn) e a identicação do trabalho (trab1) devem ser escritos todos
em letras minúsculas.
• NÃO escreva o seu nome com caracteres estendidos ( á, ç, etc).
• NÃO utilize contas de e-mail do HOTMAIL, pois as mensagens enviadas por esse servidor
não seguem o padrão normal. Assim, o programa de recebimento automático não consegue
detectar o seu e-mail.
Anexo 1
Uma técnica de aceleração de convergência dos métodos iterativos é conhecida com o nome
de relaxação sucessiva ou SOR. Nesta técnica a aproximação na iteração k + 1 é definida como
uma média pondera entre o valor de x k obtido na iteração k e o valor de x k+1 , que seria obtido
pelo método de Seidel na iteração k + 1, que seria obtido pelo método de Seidel na iteração
k + 1, com fator de ponderação w:
x k+1
SOR = (1 − w)xk SOR + wx k+1
S
onde os sub-índices SOR e S se referem às aproximações obtidas pelos métodos SOR e Seidel,
respectivamente. É possível demonstrar que o método SOR gera um procedimento convergente
se 0 ≤ w < 2. Em alguns exemplos particulares é possível calcular o valor ótimo para w. Em
geral o valor de w é obtido por experimentação.