1 Objetivos 2 O Problema de Sturm-Liouville

Universidade Federal do Espírito Santo DI
Trabalho de Cálculo Numérico 2007/2
Resolução do Problema de Sturm Liouville via método da diferenças finitas
Data de entrega: Código via internet até 27/11/2007, relatórios impressos até 29/11/2007
1 Objetivos
Implementar um programa para resolver equações diferenciais de 2 a ordem, com valores de Contorno
(PVC), via métdo das diferenças finitas. O sistema linear tridiagonal resultante da discretização da
equação diferencial deve ser resolvido via método iterativo de Gauss Seidel.
2 O Problema de Sturm-Liouville
Sejam p(x), q(x) e r(x) funções contínuas definidas em I = [a, b]. O problema de encontrar y(x) em
I = [a, b] tal que
y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = r(x)
com valores de contorno y(a) = y a e y(b) = y b é conhecido como Problema de Sturm- Liouville.
Pode-se mostrar que se q(x) < 0 em I = [a, b] há garantia da existencia de uma solução única.
Para resolver tal PVC pode-se usar o método das diferenças finitas.
O método das diferenças finitas consiste em obter aproximações numéricas para derivadas de uma
função, através da transformação do contínuo em discreto.
Ao fazer tal discretização tem-se que
y ′ ≈ y i+1 − y i−1
2h
y ′′ ≈ y i+1 − 2y i + y i−1
h 2
Discretizando o domínio [a, b] em n subintervalos de tamanho h = (b − a)/n tem-se n + 1 pontos
x 0 = a, x 1 , x 2 , ..., x n = b e portanto para cada ponto x i do domínio passa a valer a seguinte equação
y i+1 − 2y i + y i−1
h 2
+ p(x i ) y i+1 − y i−1
2h
+ q(x i )y i = r(x i )
A solução numérica consiste em obter os y i nos n − 1 pontos internos à discretização resolvendo
as n − 1 equações abaixo
Agrupando os termos, e usando a notação p(x i ) = p i q(x i ) = q i , r(x i ) = r i temos para i = 1, (n − 1)
:
(1 − h 2 p i)y i−1 + (−2 + h 2 q i )y i + (1 + h 2 p i)y i+1 = h 2 r i
Como y 0 e y n = y b são dados (valores de contorno) é possível obter os y i resolvendo o sistema
linear.
Para maiores detalhes sobre o método das diferenças finitas ler o texto fornecido em anexo refente
ao assunto (páginas 173 a 177 do livro de Métdos Numéricos da Cristina Cunha colocado na xerox do
CT III).
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3 Implementações
Fazer o código modular, tendo no mínimo as seguintes rotinas:
(1) rotina com o algoritmo de Gauss-Seidel para resolver um sistema linear tridiagonal qualquer, de dimensão
n, levando em consideração a estrutura especial da matriz. Fazer uma implementação usando
unicamente os valores não nulos da matriz envolvida. Gravar o sistema usando apenas 4 vetores, 1
para a diagonal principal, 2 outros para as 2 subdiagonais (inferior e superior) e um quarto vetor para
os termos independentes e usar apenas estes 4 vetores no algoritmo.
(2) rotina que gere o sistema Ax = b triagonal resultante da discretição por difenreças finitas da
equação do Problema de Sturm- Liouville. O sistema deve ser armazenado usando os 4 vetores já
descritos. Os dados de entrada são a e b, y 0 e y n s e o tamanho da discretização. As funções p(x), q(x)
e r(x) devem ser colocadas em rotinas do tipo ’funcao’ (computacional).
4 Validação do método Iterativo de Gauss Seidel
Ler, através de um arquivo texto, chamado matrizdados.txt, os dados de um sistema linear qualquer,
com solução conhecida, onde devem ser fornecidos e lidos : a dimensão em uma linha, a subdiagonal
superior, a diagonal principal,a subdiagonal inferior, e o vetor b, nas outras linhas, nesta ordem.
Seu programa deve exibir para o usuário, 2 telas de menu, similares às mostradas abaixo:
DADOS DE ENTRADA. D i g i t e uma opcao :
1 − Carregar dados de um sistema para a v a l i d a c a o do metodo i t e r a t i v o
2− Resolver o Problema de Sturm−L i o u v i l l e
Escolha :
Se escolher a opção 1, o usúario ainda deve fornecer a precisão com que quer obter a sua solução.
(exemplo ɛ = 10 −7 ).
Se a escolha for 2, devem ser pedidos os dados de entrada relativos ao problema: a e b, y 0 e y n
e o número de subdivisões do dominio n (chamado comumente de tamanho da discretização). Estes
valores devem ser solicitados nesta ordem. O algoritmo iterativo deve trabalhar com uma precisão
fixa (por exemploɛ = 10 −7 ) já estabelecido no seu código (ou seja não será pedido ao usuário quando
este rodar esta aplicação).
Os resultados, em ambas opções, podem ser exibidos na tela ou gravados em arquivo, sendo assim
deve-se criar um menu de saída similar ao mostrado abaixo.
SAIDA . D i g i t e uma opcao :
T − E x i b i r r e s u l t a d o s na t e l a
A − Salvar r e s u l t a d o s em arquivo
S − S a i r
Escolha :
Para a opção 1, deve-se exibir a sequencia de vetores do processo iterativo, e o arquivo deve-se
chamar SolSistema.txt Para a escolha 2, deve-se exibir a matriz gerada e o vetor solução (vetor da
ultima iteração somente) e usar um arquivo com nome SolProbLioville.txt.
5 Problema específico
Resolver o seguinte problema
y ′′ − y ′ + xy = e x (x 2 + 1)
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em I = [0, 1] com y(0) = 0 e y(1) = e.
obs:entregar o seu código contendo as funções p(x), q(x) e r(x) definidas para este problema
6 Relatório
Cada grupo deve redigir um relatório, contendo os seguintes itens:
1. Introdução: Apresentar uma síntese do trabalho (o que se propoẽ, o que foi feito, objetivos
gerais). Explicar primeiro o problema que está sendo tratado, a idéia do método numérico
envolvido, qual foi o problema usado para a validação e os diversos estudos realizados.
2. Implementação: Explicar como rodar o programa e apresentar o código impresso (com letras e
espaçamentos pequenos) da rotinas principais. Explicar como foram desenvolvidas as diversas
rotinas e como elas estão relacionadas.
3. Resultados: Exibir os resultados do problema específico, via gráficos.
7 Condições de entrega
Este trabalho deverá ser realizado em grupos de no máximo 2 alunos. Em hipótese alguma serão
aceitos grupos com mais componentes. OBS.: Escreva os nomes no código fonte do seu programa.
Como entregar:
• Envie o código fonte do seu trabalho por e-mail para galarda@inf.ufes.br.
• O assunto do e-mail deverá ser o seguinte (somente o que está entre aspas duplas):
“cn:trab1:nome1:nome2:”. Substitua nome1, nome2 pelo primeiro nome e o último sobrenome
de cada integrante do grupo, separados por espaços.
• Compacte o seu arquivo utilizando o formato .zip e envie o arquivo compactado em anexo. NÃO
coloque o seu código no corpo do e-mail.
• Após o envio você receberá uma confirmação de recebimento do trabalho. Caso isso não aconteça,
reenvie o seu trabalho para o mesmo endereço.
• O recebimento dos trabalhos é automatizado. Siga as instruções à risca pois algum erro na
submissão pode inviabilizar a entrega do seu trabalho.
• O relatório deverá ser apenas entregue impresso.
Um exemplo de um e-mail de envio do trabalho:
Para: galarda@inf.ufes.br
Assunto: cn:trab1:Ana Silva:Antonio Santos:
Anexo: trab1.zip (contendo o arquivo trab1.f)
ATENÇÃO:
• No assunto, a disciplina (cn) e a identificação do trabalho (trab1 ) devem ser escritos todos em
letras minúsculas.
• NÃO escreva o seu nome com caracteres estendidos (á, ç, etc).
• NÃO utilize contas de e-mail do HOTMAIL, pois as mensagens enviadas por esse servidor não
seguem o padrão normal. Assim, o programa de recebimento automático não consegue detectar
o seu e-mail.
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