Espacos Vetoriais – Apostila 1

Prof. Newton Alcantara
FORTIUM – Sistemas de Informação
Álgebra Linear – SI5A NOTURNO
Espaços Vetorias Reais
ESPAÇOS VETORIAIS REAIS
Vetor – Um vetor é uma n-upla ordenada finita. Representaremos vetores por letras minúsculas com
uma seta na parte superior, como nas figuras abaixo, ou como uma letra minúscula em negrito, itálico
e sublinhada como v, w, u, a etc.
Representação de vetores:
v, w, u, a
Ex: Vetor de duas posições: v = (-1, 4)
Vetor com 5 posições: u = (0, 7, -3, -8, 2)
Vetor com n posições: w = (w 1 , w 2 , w 3 , .... , w n )
Operações com Vetores
1 – Multiplicação de um vetor por um escalar. Seja v um vetor e k ε R um escalar.
Então, definimos k . v como: k . v = k . (v 1 , v 2 , v 3 , .... , v n ) = (k.v 1 , k.v 2 , k.v 3 , .... , k.v n )
Ex: Seja k = 2 e v = (5, 2, -3, 0) => k . v = 2 . (5, 2, -3, 0) = (2.5, 2.2, 2. -3, 2.0)
Portanto, k . v = (10, 4, -6, 0)
Ex: k = -5 e u = (-1, 1, 0, 7, -4) => k . u = -5 . (-1, 1, 0, 7, -4) = (-5.-1, -5.1, -5.0, -5.7, -5.-4)
Portanto, k . u = (5, -5, 0, -35, 20)
Ex: k = 0 e w = (1, -3, 7) => k . w = 0 . (1, -3, 7) = (0.1, 0.-3, 0.7) = (0, 0, 0) = 0
OBS: 0 é o vetor nulo, ou seja, um vetor com todas as componentes igual a zero.
2 – Soma de vetores: Seja u = (u 1 , u 2 , u 3 , .... , u n ) e v = (v 1 , v 2 , v 3 , .... , v n ) vetores.
Então, definimos u + v como: u + v = (u 1 , u 2 , u 3 , .... , u n ) + (v 1 , v 2 , v 3 , .... , v n ) ou seja,
u + v = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 , .... , u n + v n )
Ex: u = (4, -7, 1) e v = (2, 1, -5) = > u + v = (4, -7, 1) + (2, 1, -5) = (4+2, -7+1, 1+(-5))
Portanto, u + v = (6, -6, -4)
Ex: m = (0, -4) e n = (5, 7) = > m + n = (0, -4) + (5, 7) = (0+5, -4+7) = (5, 3)
Observação: u - v = u + (-1. v)
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3 – Produto Escalar: Seja u = (u 1 , u 2 , u 3 , .... , u n ) e v = (v 1 , v 2 , v 3 , .... , v n ) vetores. Então, definimos o
produto escalar u . v como:
n
u . v = Σ (u i . v i )
i = 1
Ex: u = (4, -7, 1) e v = (2, 1, -5) = > u . v = (4 . 2) + (-7 . 1) + (1 . 5) = 8 + (-7) + 5 = 6
Ex: m = (0, -4) e n = (5, 7) = > m . n = (0 . 5) + (-4 . 7) = 0 + (-28) = -28
Observação: O produto escalar de dois vetores também é chamado de “produto interno”.
4 – Magnitude de um vetor – Definimos a magnitude |u| de um vetor u como
|u| = ( u . u ) 1/2 , ou seja
_____
|u| = √ u . u
Ex: u = (4, -7, 1)
Passo 1 – Calcular u . u
Calcular a magnitude de u , ou seja |u|
u . u = (4, -7, 1) . (4, -7, 1) = (4 .4) + (-7 . -7) + (1. 1) = 16 + 49 + 1 = 66
_____ ___
Passo 2 - Extrair a raiz quadrada do resultado obtido no Passo 1: |u| = √ u . u = √ 66 = 8,12
Ex: v = (-6, 0, 8, 0)
Passo 1 – Calcular v . v
Calcular a magnitude de v , ou seja |v|
v . v = (-6, 0, 8, 0) . (-6, 0, 8, 0) = (-6 . -6) + (0 . 0) + (8. 8) + (0 . 0) = 36 + 0 + 64 + 0 = 100
_____ ___
Passo 2 - Extrair a raiz quadrada do resultado obtido no Passo 1: |v| = √ v . v = √ 100 = 10
Definição: se |u| = 1 então u é dito um vetor unitário.
5 – Ângulo entre dois vetores. Sejam u e v dois vetores com o mesmo número de componentes. Seja
β o ângulo entre eles. Então:
u . v
cos β =
|u| . |v|
6 – Vetores ortogonais entre si. Dois vetores u e v são ditos ortogonais entre si se o ângulo entre
eles é de 90º .
Critério de ortogonalidade: Se o produto escalar de dois vetores for zero, então estes vetores são
ortogonais entre si.
Ex: u = (4, -11, 3, 1) e v = (2, 1, -2, 9) = > u . v = (4 . 2) + (-11 . 1) + (3 . -2) + (1 . 9)
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=> u . v = 8 - 11 - 6 + 9 = 0 Portanto, os vetores u e v são ortogonais entre si, ou seja, o ângulo
entre eles é de 90º .
Ex: u = (-4, 5, 0) e v = (7, 3, 2) = > u . v = (-4 . 7) + (5 . 3) + (0 . 2)
=> u . v = -28 + 15 + 0 = -13 Portanto, os vetores u e v não são ortogonais entre si, ou seja, o
ângulo entre eles é diferente de 90º .
EXERCÍCIOS
Sejam os vetores u = (-1, 4, 0, 5) ; v = (7, -3, 2, -3) ; w = (-2, 2, -2, -8)
1 – Seja k = -2. Calcule k . u e (1/k) . w
2 – Calcule u + v e u - w
3 – Calcule |u| , |v| e |w|
4 – Verifique:
a) Se u e v são ortogonais entre si.
b) Se v e w são ortogonais entre si.
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