(1) Fazer os seguintes exercıcios d - Departamento de Matemática ...

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA NO PLANO
E NO ESPAÇO E INTEGRAIS DUPLAS
MAT 1153-2006.2
(1) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção
1.1.4: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b), 2(d)
(2) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção
1.2.5: 2(f), 4(c), 4(d). 5(a), 5(b), 5(e).
(3) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção
2.1.4: Exercs 1(b), 4(a), 4(b).
(4) Considere as superfícies dadas abaixo. Determine: Interseção
com os planos coordenados, xy, xz, yz. Estude as interseções
com os planos z = c, c ∈ R, quando tais interseções forem
círculos. Identifique as superfícies de revolução (e seus eixos).
Explicite também os planos de simetria π das superfícies: Isto
é, reflexão em π, deixa a superfície invariante, levando uma
”metade” desta na outra ”metade”. Lembrando de Cálculo II,
escreva a equação do plano tangente ao gráfico quando pedido.
Esboce um desenho de cada superfície com apuro.
(a) x 2 + y 2 + z 2 = 1.
(b) x 2 + y 2 /4 + z 2 /9 = 1.
(c) x 2 +y 2 −z 2 = −1 (hiperbolóide com 2 folhas. Veja Figura 1 ).
Escreva a equação do plano tangente ao hiperbolóide no
ponto (2, 0, √ 5).
(d) x 2 + z 2 − y 2 = −1.
(e) x 2 +y 2 −z 2 = 1 (hiperbolóide com 1 folha. Veja Figura 2).
(f) (x − 1) 2 + (y + 1) 2 − (z − 3) 2 = −1.
(g) x 2 + y 2 + z 2 /4 = 1.
(h) x 2 + y 2 = 9z 2 .
(i) x 2 + z 2 = 9y 2 .
(j) x 2 − y 2 = z.
(k) y 2 = z Escreva a equação do plano tangente ao gráfico no
ponto (1, 1, 1).
(l) z = xy (Sela. Veja Figura 3). Escreva a equação do plano
tangente ao gráfico no ponto (1, 1, 1).
1

2 LISTA1 DE MAT1153
(m) cosh z = √ x 2 + y 2 (catenóide. Veja Figura 4). Escreva a
equação do plano tangente ao gráfico no ponto (1, 1, arccosh( √ 2)).
Lembrete: cosh z = ez + e −z
.
2
2
(n) z = √ . Procure encontrar um cilindro para o
1 − x2 − y2 qual a superfície “converge” quando z → ∞. Veja Figura 5.
( cos y
)
(o) z = log , −π/2 < x < π/2 − π/2 < y < π/2.
cos x
(Superfície de Scherk. Veja Figura 6).
Figura 1: Hiperbolóide com 2 folhas

LISTA1 DE MAT1153 3
Figura 2: Hiperbolóide com 1 folha
Figura 3: Sela

4 LISTA1 DE MAT1153
Figura 4: Catenóide
Figura 5

LISTA1 DE MAT1153 5
Figura 6: Superfície de Scherk
(5) Considere a regiões do plano R 1 = {(x, y) ∈ R 2 ; 1 y x 2 +
1, 0 x 1} e R 2 = {(x, y) ∈ R 2 ; 1 y −x/3 + 7/3, 1
x 4}. Seja R := R 1 ∪ R 2 . ∫∫
Considere a integral dupla: I = F (x, y) dxdy
(a) Esboce um desenho de R. Escreva, sem fazer cálculos, uma
soma de duas integrais iteradas, usando integrais do tipo
∫ b ∫ f2 (x)
a
f 1 (x)
F (x, y) dydx, que seja igual a I.
(b) Escreva, sem fazer cálculos, uma integral iterada, usando
integrais do tipo
∫ d ∫ g2 (y)
c
g 1 (y)
R
F (x, y) dxdy, que seja igual a
I.
(c) Calcule a área de R e calcule a coordenada y do centróide
de R. Resposta: A = área(R) = 11
6 , y = 73/55.

6 LISTA1 DE MAT1153
(6) Considere as superfícies D, D 1 e S 1 definidas a seguir (esboce
um desenho) :
D = {(x, y, z) ∈ R 3 ; x 2 + y 2 9, z = 0}
D 1 = {(x, y, z) ∈ R 3 ; z = x + y + 7, x 2 + y 2 9}
S 1 = {(x, y, z) ∈ R 3 ; 0 z x + y + 7, x 2 + y 2 = 9}
Considere S := D ∪ S 1 ∪ D 1 a superfície fechada, que é fronteira
de um sólido U ⊂ R 3 .
(a) Desenhe corretamente S.
(b) Escreva o volume de U usando coordenadas retangulares.
Escreva ∫∫ o volume de U [ usando coordenadas polares.
2
(c) Calcule (x + y + 7)
(x 2 + y 2 + 1) + 1 ]
dxdy. Resposta:
2 10
D
189π/10. Sugestão: Use coordenadas polares
(7) Considere a região R do plano xy cuja fronteira dada por R :=
[1/2, 1] × [1, 3]. Calcule
∫∫
f(x, y)dxdy
R
onde
(a) f(x, y) = −x log x cos(πy)sen 2 (πy)
(b) f(x, y) =
2y x cos(πx)
1+y 2
(c) f(x, y) = √ 2x e −√ y
√ 1−x 2 y
(d) f(x, y) = 2xe x log y
(e) f(x, y) = y3 +y 2 −y 1
y+1 2x+10
(f) f(x, y) = e y sen y x 4 e −7x5 .
(g) f(x, y) = y √ y + 1 sen x cos 2 x.
(Respostas (a): 0 (b): − log 5(1/(2π)+1/π 2 ) (c): 2 √ 3(e −1 −
e −√3 ) (d): (3 log 3 − 2) √ e (e): (20/3 + log 2) log(12/11)/2)
(8) Em cada sub-item do item anterior, interprete a integral dupla
em termos de volume de uma região U do espaço, determinando
rigorosamente U usando inequações.
(9) Considere as regiões U 1 , U 2 do espaço dadas por:
U 1 ={(x, y, z) ∈ R 3 ; 0 z 9 − x 2 − y 2 , 0 x y}
U 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 ; 0 z 9 − (x − 1) 2 − (y − 3) 2 }
(a) Escreva o volume V 1 da região U 1 usando integrais iteradas,
via coordenadas cartesianas ou retangulares usuais x, y.

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(b) Escreva o volume V 1 da região U 1 , usando coordenadas polares
e calcule V 1 .
(c) Calcule o volume V 2 de U 2 . Resposta: V 1 = 81π/16, V 2 =
81π/2. Sugestão: use os itens precedentes.
(10) Considere a região U do espaço dada por U := {(x, y, z) ∈
R 3 ; 0 z y 2 + x; 0 y sen x, 0 x π}.
(a) Escreva o volume de U usando uma integral iterada nas
variáveis x, y.
(b) Calcule o volume de U. Resposta: volume(U) = 4/9 + π.
(c) Seja W := {(x, y, z) ∈ R 3 ; 0 z y 2 + x; −sen x y
sen x, 0 x π}. Calcule o volume de W. Sug: Faça o
mínimo de contas possível, justificando corretamente a sua
resposta.
(11) Considere a região R = {(x, y) ∈ R 2 ; x 2 + y 2 √ 2}. Seja A
o∫∫
número real positivo determinado pela integral dupla : A =
[
4 − (x 2 + y 2 ) 4] dxdy. Calcule as seguintes integrais duplas
R
em termo de A. Não é preciso calcular A, mas é preciso dar uma
justificativa matemática correta.
(a) Usando desigualdades, determine U ⊂ R 3 tal que A =
volume(U). ∫∫
Calcule I 1 = 4 − ( (x − 1) 2 + (y + 1) 2) ] 4
dxdy, onde,
R 1
[
R 1 = {(x, y) ∈ R 2 ; (x − 1) 2 + (y + 1) 2 √ 2}. Justifique
sua resposta. ∫∫
[
(b) I 2 = 4 − (x 2 + y 2 ) 4] dxdy, onde R 2 = {(x, y) ∈ R 2 ; x 2 +
R 2
y 2 √ ∫∫2, 0 x y}. Justifique sua resposta.
[
(c) I 3 = 7 − (x 2 + y 2 ) 4] dxdy. Justifique sua resposta.
R
(12) Determine o volume do sólido delimitado pelos parabolóides
z = 4x 2 + 2y 2 e z = 12 + x 2 − y 2 . Idem com respeito aos
parabolóides z = x 2 + 3y 2 e z = 4 − y 2 (Respostas: 24π e 4π).
∫ 4
√
16−x 2
∫ √
(13) Seja V := 8
16 − x2 dydx. Interprete V como sendo
x=0
y=0
o volume de uma certa região do espaço delimitada por dois
cilindros. Calcule V (Resposta: 1024/3). Veja Figura 7.

8 LISTA1 DE MAT1153
Figura 7
(14) Considere a região R do plano delimitada pelas parábolas y =
x 2 + 1 e y = −x 2 + 9.
(a) Calcule a área de R (Resposta: 64/3).
(b) Calcule o centróide de R (Resposta: 5).
(c) Calcule o valor médio da função f(x, y) = x 2 em R (Resposta:
12/5).
(15) Considere as regiões R 1 , R 2 do plano dadas por:
R 1 ={(x, y) ∈ R 2 ; 0 x y 1}
R 2 = {(x, y) ∈ R 2 ; 1 − x 2 y 2 }
Seja R := R 1 ∩ R 2 .
∫∫
Considere a integral dupla I :=
R
y
x 2 + y 2 dxdy.
(a) Faça o desenho da região R. Escreva, usando coordenadas
retangulares x, y, sem fazer cálculos, uma integral iterada,
que seja igual a I.
(b) Escreva sem fazer cálculos, usando coordenadas polares uma
fórmula, que seja igual a I.
(c) Calcule I. Resposta: π/4 − √ 2/2.
(16) Seja R := {(x, y) ∈ R 2 ; 0 x y, x 2 + (y − 1) 2 1}.

LISTA1 DE MAT1153 9
(a) Determine R usando coordenadas polares. Sug: esboce um
desenho.
∫∫
(b) Escreva a integral dupla I = 4(x 2 + y 2 ) dxdy, usando
coordenadas polares.
(c) Usando que
∫ π/2
π/4
R
sen 4 θdθ = 3π/32 + 1/4, deduza que I =
3π/2 + 4
(17) Considere U a região sólida interior à esfera dada por x 2 + y 2 +
z 2 = 16, que está também no interior do cilindro dado por
x 2 + (y − 2) 2 = 4.
(a) Determine U usando desigualdades e faça um desenho da
região.
(b) Calcule o volume de U (Resposta: 128π/3 + 512/9).
(18) Considere a região A delimitada pelo cardióide dado em coordenadas
polares por r = 2 + cos θ. Calcule a área da região
R obtida removendo-se de A o disco de raio 1/2 centrado na
origem. (Resposta: 4π + π/4). Veja Figura 8.
Figura 8
(19) Considere a região A delimitada pelo cardióide dado em coordenadas
polares por r = 1 + cos θ. Calcule a área da região R

10 LISTA1 DE MAT1153
obtida removendo-se de A, a parte que está contida em A do
disco de raio 1/2 centrado na origem .
(20) Calcule I determinando as regiões de integração e interpretando
o resultado
∫ 2 ∫ 2
∫∫
x
I = √
x2 + y dydx + √
1 − x2 − y 2 /4 dxdy
2
x=0 y=x
onde R é a região do plano dada por x 2 +y 2 /4 1 (Resposta:
2 √ 2 − 2 + 2π/3).
(21) Seja R := {(x, y) ∈ R 2 ; x 2 /4 + y 2 /9 1}. Calcule o volume da
região U de R 3 delimitada pelo gráfico da funções z = x 2 +y 2 +1
e z = 2xy restritas à região R (Resposta: 51π/2).
R