Das obras de Diofanto de Alexandria \(A Aritmética, uma ... - CMUP

Das obras de Diofanto de Alexandria (A Aritmética, uma obra sobre números
poligonais, da qual se conhece apenas um fragmento, e a obra Porismas, que está
perdida) a Aritmética é a mais importante. Está escrita em grego, é um tratado analítico
de teoria algébrica dos números e é constituída por 13 livros, como nos diz o próprio
Diofanto no prefácio. Até há cerca de 30 anos, desses livros eram conhecidos apenas 6,
na língua original; posteriormente, apareceram mais 4 livros, traduzidos em árabe, que
alguns historiadores julgam fazer parte da obra.
A Aritmética de Diofanto é um trabalho completamente diferente dos demais trabalhos
gregos da época, assemelhando-se aos trabalhos "algébricos" dos babilónios, mas
revelando relativamente a eles, um grande avanço nesta área. Esta obra não é uma
exposição sistemática de proposições, mas sim uma recolha de problemas (mais de uma
centena!) formulada em termos de exemplos (o que do ponto de vista matemático é
inferior à ciência grega feita até então) e as demonstrações são apenas ilustrações, em
casos particulares concretos.
Uma das contribuições mais significativas deste trabalho diz respeito às notações: são
introduzidas algumas abreviaturas para designar quantidades e operações, iniciando o
que viria a chamar-se "álgebra sincopada".(Os historiadores distinguem, em geral, três
períodos no desenvolvimento da álgebra: álgebra retórica, em que tudo é explicado por
palavras; álgebra sincopada, na qual se usam algumas abreviaturas e álgebra simbólica).
Diofanto usou o símbolo análogo à letra grega ζ para representar a incógnita, à qual
chamou aritmos; para o quadrado da incógnita usou D Y , à qual chamou dinamos
(quadrado); para cubo da incógnita usou K Y e chamou-lhe Kubos; para a potência de
expoente quatro usou D Y D e chamou-lhe dinamos-dinamos; para as potências de
expoente cinco e seis usou, respectivamente, DK Y (quadrado-cubo) e K Y K (cubocubo).
Usou, também, sinais especiais para os recíprocos das seis primeiras potências
da incógnita.
Muitos dos problemas tratados na Aritmética conduzem a equações do 1º e 2º graus, a
uma ou mais incógnitas, determinadas ou não; outros referem-se a equações cúbicas,
mas para estas Diofanto escolhe adequadamente os dados para que seja fácil obter a
solução. Mas há também nela problemas algébricos que Diofanto resolve por recurso à
geometria, como o problema 19 do Livro III, e problemas sobre triângulos rectângulos

de lados racionais. Para os problemas propostos, Diofanto só aceita como solução
números racionais positivos.
O problema mais famoso é o número 8 do Livro II:
" Decompor o quadrado 16 em dois quadrados". A resolução que propõe é: “Se
quisermos decompor 16 em dois quadrados e supusermos que o primeiro é 1 aritmo, o
outro terá 16 unidades menos um quadrado de aritmo e, portanto, 16 unidades menos
um quadrado de aritmo são um quadrado. Formemos um quadrado de um conjunto
qualquer de aritmos diminuído de tantas unidades como tem a raiz de 16 unidades, ou
seja, o quadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este quadrado terá 4 unidades de
aritmo e 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos um
quadrado de aritmo e somando a um e outro lado os termos negativos e restando os
semelhantes, resulta que 5 quadrados de aritmo equivalem a 16 aritmos e, portanto, 1
aritmo vale 16/5; logo, um dos números é 256/25 e o outro 144/25, cuja soma é 400/25,
ou seja 16 unidades, e cada um deles é um quadrado”.
Vejamos alguns outros problemas da Aritmética:
Livro I, 17: "Encontrar quatro números cuja soma três a três seja, respectivamente, 22,
24, 27 e 20."
Livro II, 28: "Encontrar dois números quadrados tais que o seu produto somado a eles
dê um número quadrado."
Livro III, 13: "Encontrar três números tais que o produto de quaisquer dois somado ao
terceiro seja um quadrado."
Livro III, 15: "Encontrar três números tais que o produto de quaisquer dois somado à
soma deles seja um quadrado."