Lista 1 de Lógica Matemática - UFF

Cálculo 1 (2007.1)
Ralph Costa Teixeira
e.
7
Para todo N real, existe um x real tal que x > Nx .
f.
2
Para todo x real, existe um y real tal que x − 3x
+ y = 0 .
2
g. Para todo y real, existe um x real tal que x − 3x
+ y = 0 .
x + 2y
x − y = x .
h. Existe um y real tal que, para todo x real, tem-se ( )( )
2
Demonstrações
26) Mostre que há dois brasileiros que têm o mesmo número de amigos brasileiros (suponha que toda
amizade é mútua).
27) Mostre que há infinitos números primos.
28) Mostre que a raiz quadrada positiva de 2 é um número irracional.
29) Seja x um número irracional e sejam p e q números racionais (com q não-nulo). Mostre que p+qx é
irracional.
30) Mostre que, se n é ímpar, então n 2 −1
é divisível por 8.
31) Sejam a, b e c inteiros ímpares. Mostre que a equação
2
ax + bx + c = 0 não admite raiz racional.
Questões de Testes (Fev 2003)
1) Determine a veracidade das seguintes afirmações. Justifique brevemente as suas respostas, se
possível, usando um contra-exemplo. No caso das afirmativas falsas, escreva a sua negação.
a.
2
Existe um x real tal que x − 8x + 15 = 0 .
2
2
b. Para todo x real, x + 2 ≥ x + 1.
c. Para todo n natural, sin ( nπ ) = 0 .
d. Para quaisquer x e y reais, tem-se xy < 0 ⇒ x < 0 ou y > 0 .
e. Para quaisquer x e y reais, tem-se xy = 1 ⇒ x = 1 ou y = 1.
f.
2
Para todo y real, existe x real tal que x − ( y + 2) x + ( y + 1) = 0 .
g.
2
Existe x real tal que, para todo y real, y ( 3x
+ 2y) = 5y
.
2) Resolva os seguintes sistemas no universo dos números reais, justificando as suas respostas.
a.
2
⎧x
− ( 2 − y)
x + 1 = 0
⎧xy
= 16
⎪
2
⎪
⎨y
= 2y
b. ⎨2
− y − 8 = y
⎪ 4 4 4
⎩z
= x + y
⎪
2
⎩( x + zx − zy + 4)
= 0
3) Determine a veracidade das seguintes afirmações. No caso das afirmativas falsas, quando cabível,
apresente um contra-exemplo.
a. Se Buenos Aires é a capital do Brasil, então Manaus é capital do Amazonas.
b.
2
Existe um x real tal que x ≥ −1.
c. Para todo n natural, n é par ou n é primo.
d. Para quaisquer x e y reais, tem-se xy < 100 ⇒ x < 10 ou y < 10 .
e.
3
Para quaisquer x e y reais, tem-se x −1
= 0 ⇒ x = 1 ou y = 1.
f. Para todo y real, existe x real tal que
2
e x = y .
g. Existe x real tal que, para todo y real, ln( 2 − xy) = 0
x .
2 2
⎧x
y + xy = e
4) Encontre todas as soluções reais do sistema ⎨
⎩ln
⎪⎧
e
5) Sabe-se que e a > a para todo a real. Mostre que o sistema ⎨ ⎪⎩ e
ln x+
ln y
( x + y) = ( ln x)( ln y)
faça por contradição – suponha que o sistema tem uma solução real...]
x
y
.
= ln y
não tem solução real. [Sugestão:
= ln x