Prova IV - Instituto de FÃsica da UFBA - Universidade Federal da Bahia

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(f) Um elétron não relativístico e um próton não relativístico estão em movimento e têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Quais as seguintes grandezas também têm o mesmo valor para as duas partículas? (i) velocidade escalar; (ii) energia cinética; (iii) momento; (iv) frequência. Justifique a sua resposta. (g) No decorrer deste curso, vimos dois comprimentos de onda designados para o elétron: o comprimento de onda Compton e o comprimento de onda de De Broglie. Qual é um comprimento de onda “físico” real associado com o elétron? (i) o comprimento de onda Compton; (ii) o comprimento de onda de De Broglie; (iii) os dois comprimentos de onda; (iv) nenhum desses comprimentos de onda. Justifique a sua resposta. (h) A localização de uma partícula é medida e especificada como ocorrendo exatamente em x = 0, com incerteza “nula”. Como isso afeta nossa habilidade em medir sua componente da velocidade na direção y? Justifique a sua resposta. (i) Se a matéria tem uma natureza ondulatória, por que essa característica ondulatória não é observável em nossas experiências diárias? Justifique a sua resposta. (j) Usando a lei do deslocamento de Wien, estime o comprimento de onda de maior intensidade emitido por um corpo humano. Usando essa informação, explique porque um detector de infravermelho seria um alarme útil no trabalho de segurança. Justifique a sua resposta. (k) O que é a equação de Schrödinger? Como ela é útil para descrever os fenômenos atômicos? Justifique a sua resposta. (l) Para um átomo emitir luz é necessário que ele primeiro seja ionizado? Justifique a sua resposta. Questão n 0 02 − Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji e William Phillips receberam o Prêmio Nobel de 1997 de Física “pelo desenvolvimento do método de resfriamento e confinamento de átomos com luz de laser”. Uma parte do trabalho deles foi feita com um feixe de átomos (massa ∼ 10 −25 kg) que se deslocava a uma velocidade da ordem de 1 km/s (sem efeitos relativísticos), similar à velocidade das moléculas no ar à temperatura ambiente. Um intenso feixe de luz de laser ajustado para uma transição atômica no intervalo visível (suponha 500 nm) é direcionado para o feixe atômico. Isto é, o feixe atômico e o feixe de luz deslocam-se em direções opostas. Um átomo no estado fundamental absorve um fóton imediatamente. O momento total é conservado no processo de absorção. Após um tempo de vida da ordem de 10 −8 s, o átomo excitado irradia por emissão espontânea. Ele tem uma probabilidade igual de emitir um fóton em qualquer direção. Assim, é nulo o “recuo” médio do átomo em muitos ciclos de absorção e emissão. (a) (1,5 ponto) Estime a desaceleração média do feixe atômico. Justifique a sua resposta. (b) (1,0 ponto) Determine a ordem de grandeza da distância percorrida pelos átomos no feixe até parar. Justifique a sua resposta. Questão n 0 03 − Uma partícula de massa m desloca-se em um poço de potencial de largura 2L. Sua energia potencial é ⎧ ∞ , x < −L ⎪⎨ 2 x 2 V (x) = − mL 2 (L 2 − x 2 ) , −L < x < L . ⎪⎩ ∞ , x > +L Além disso, a partícula está em um estado estacionário descrito pela função de onda ⎧ ) ⎪⎨ A (1 − x2 L ψ(x) = 2 , −L ≤ x ≤ +L ⎪⎩ 0 , nas outras regiões (a) (1,0 ponto) Determine a energia da partícula em termos de , m e L. Justifique a sua resposta. (b) (0,5 ponto) Determine A em função de L. Justifique a sua resposta. (c) (1,0 ponto) Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada entre x = −L/3 e x = +L/3. Justifique a sua resposta.
Questão n 0 04 — “bônus” − É um desafio resolver a equação de Schrödinger para os níveis de energia de estados ligados de um poço potencial arbitrário. Um método alternativo que pode fornecer resultados aproximados para os níveis de energia é conhecido como aproximação WKB (sigla dada em homenagem aos físicos Gregor Wentzel, Hendrik Kramers e Léon Brillouin). A aproximação WKB começa com três afirmações: (i) De acordo com De Broglie, o módulo do momento linear p de uma partícula é dada por p = h/λ, (ii) O módulo do momento linear é relacionado com a energia cinética K por K = p 2 /2m. (iii) Quando não existe nenhuma força não-conservativa, de acordo com a mecânica newtoniana a energia E de uma partícula é constante e dada em cada ponto pela soma a energia cinética com a energia potencial: E = K + V (x), onde x é a coordenada. No entanto, a aproximação WKB não é eficiente quando a energia potencial varia descontinuamente como no caso de um poço potencial finito. Ao combinar as três relações anteriores podemos mostrar que o comprimento de onda de uma partícula para uma coordenada x é dado por λ(x) = h √ 2m [E − V (x)] , . (1) Portanto, imaginamos na mecânica quântica uma partícula em um poço de potencial V (x) como se fosse uma partícula livre, porém com um comprimento de onda λ(x) que depende da posição. Em um ponto no qual E = V (x), a mecânica newtoniana afirma que a partícula possui energia cinética zero e que ela está instantaneamente em repouso. Tal ponto é chamado de ponto clássico de inversão, visto que ele corresponde ao ponto onde a partícula pára e retorna na mesma direção e sentido contrário. Como por exemplo, um objeto que executa um movimento harmônico simples oscila para a frente e para trás entre os pontos x = −A e x = +A; ambas as extremidades são um ponto clássico de inversão, visto que nesses pontos a energia potencial 1 2 k′ x 2 é igual à energia total 1 2 k′ A 2 . Para uma partícula em uma caixa de comprimento L, as paredes da caixa são pontos clássicos de inversão. Além disso, o número de comprimentos de onda que completam o comprimento da caixa deve ser um número semi-inteiro, de modo que L = (n/2)λ e, portanto, L/λ = n/2, onde n = 1, 2, 3, . . .. O método WKB para determinar os níveis de energia permitidos de estados ligados de um poço de potencial arbitrário é uma extensão das observações anteriores. Ele exige que para um nível de energia E permitido deve existir um número semi-inteiro de comprimentos de onda entre os dois pontos clássicos de inversão para a energia considerada. visto que o comprimento de onda na aproximação WKB não é constante, porém depende de x, o número de comprimentos de onda entre os dois pontos de inversão a e b para a energia considerada é obtido pela integral de 1/λ(x) entre esses pontos: ∫ b a dx λ(x) = n , n = 1, 2, 3, . . . 2 Usando a expressão de λ(x) que encontramos pela equação (1), podemos mostrar que a condição WKB para as energia permitidas de estados ligados pode ser escrita na forma ∫ b a √ 2m [E − V (x)]dx = nh 2 , n = 1, 2, 3 . . . (a) (0,5 ponto) Determine os pontos clássicos de inversão para um oscilador harmônico de energia E e constante de mola k ′ . Justifique a sua resposta. (b) (1,0 ponto) Mostre que na aproximação WKB os níveis de energia são dados por E n = nω, onde ω = √ k ′ /m e n = 1, 2, 3, . . .. Como os níveis de energia aproximados encontrados se comparam com os níveis de energia verdadeiros indicados na equação E n = (n + 1 2 )ω? A aproximação RKB fornece uma estimativa maior ou menor para os valores reais dos níveis de energia? Justifique a sua resposta. (c) (0,5 ponto) Os prótons, os nêutrons e muitas outras partículas são constituídos por partículas fundamentais chamdas quarks e antiquarks (a antimatéria dos quarks). Os quarks e os antiquarks podem formar estados ligados com uma variedade de níveis de energia diferentes, cada um dos quais corresponde a uma partícula diferente que pode ser observada em laboratório. como um exemplo, a partícula ψ é uma partícula correspondente ao estado ligado de mais baixa energia do chamado quark charm e de seu antiquark, com uma energia de repouso igual a 3097 MeV; a partícula ψ(2S) é outro estado excitado dessa mesma combinação quark-antiquark, com uma energia de repouso igual a 3686 MeV. Uma representação simplificada da energia potencial da interação entre um quark e um antiquark é dada por V (x) = |x|, onde A é uma constante positiva e x representa a distância entre o quark e o antiquark. Podemos usar a aproximação WKB para determinar as energias dos estados ligados para essa função energia potencial. Determine os pontos de inversão clássicos para a energia E e para o a energia potencial V (x) = A|x|. Justifique a sua resposta. (d) (1,0 ponto) Mostre que os níveis de energia do potencial do item (c) na aproximação WKB são dados por E n = 1 2m ( ) 2/3 3mAh n 2/3 , n = 1, 2, 3, . . . 4 A diferença entre dois níveis adjacentes aumenta, diminui ou permanece constante à medida que o número n aumenta? Como esse resultado compara com os níveis de energia do oscilador harmônico? Justifique a sua resposta.
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