Prova IV - Instituto de Física da UFBA - Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia
Instituto de Ciências Ambientais e Desenvolvimento Sustentável
Quarta Prova de Física Geral e Experimental IV - A − T01 − 2/2010
Prof. Angelo Marconi Maniero
Data: 31 de março de 2011
Nome:
Matrícula:
Observações:
• LEIA AS QUESTÕES ATENTAMENTE
• é proibido usar calculadora ou similares e desgrampear as folhas da prova;
• respostas sem justificativas ou que não incluam os cálculos necessários não serão consideradas;
• prova individual e sem consulta;
• as questões devem ser respondidas nas folhas de respostas;
• os cálculos devem ser explicitados;
• a questão de número quatro é uma questão bônus.
• Dados:
∫ √a2
− x 2 dx = 1 2
[
x √ ( )] x
a 2 − x 2 + a 2 arcsen
|a|
Questão n 0 01 − (5,0 pontos) Responda as questões abaixo no contexto da Física Moderna COM AS
DEVIDAS JUSTIFICATIVAS:
(a) Um corpo negro é preto? Justifique a sua resposta.
(b) Todos os corpos irradiam energia. Então, por qual motivo não somos capazes de enxergar todos os corpos em
um quarto escuro? Justifique a sua resposta.
(c) Quando você está ao ar livre em uma noite escura, fica sujeito aos quatro tipos seguintes de radiação
eletromagnética: luz amarela de uma lâmpada de rua de sódio, ondas de rádio de uma estação de rádio AM
próxima, ondas de rádio de um estação de rádio FM próxima e ondas de microondas de uma antena próxima
de um sistema de comunicação. Classifique esses tipos de ondas em termos da energia crescente dos fótons, com
a energia mais baixa em primeiro lugar. Justifique a sua resposta.
(d) Suponha que físicos clássicos tenham tido a ideia de prever a forma de um gráfico de energia cinética máxima
em função da frequência para o efeito fotoelétrico. Qual seria a aparência esperada desse gráfico, com base no
modelo ondulatório para luz? (desenhe também). Justifique a sua resposta.
(e) Certo pesquisador propõe a você um processo de ejetar elétrons de uma peça de metal colocando uma antena
transmissora de rádio próximo do metal e enviando um forte sinal de rádio AM pela antena. Isso funcionará?
Justifique a sua resposta.

(f) Um elétron não relativístico e um próton não relativístico estão em movimento e têm o mesmo comprimento
de onda de De Broglie. Quais as seguintes grandezas também têm o mesmo valor para as duas partículas? (i)
velocidade escalar; (ii) energia cinética; (iii) momento; (iv) frequência. Justifique a sua resposta.
(g) No decorrer deste curso, vimos dois comprimentos de onda designados para o elétron: o comprimento de onda
Compton e o comprimento de onda de De Broglie. Qual é um comprimento de onda “físico” real associado
com o elétron? (i) o comprimento de onda Compton; (ii) o comprimento de onda de De Broglie; (iii) os dois
comprimentos de onda; (iv) nenhum desses comprimentos de onda. Justifique a sua resposta.
(h) A localização de uma partícula é medida e especificada como ocorrendo exatamente em x = 0, com incerteza
“nula”. Como isso afeta nossa habilidade em medir sua componente da velocidade na direção y? Justifique a
sua resposta.
(i) Se a matéria tem uma natureza ondulatória, por que essa característica ondulatória não é observável em nossas
experiências diárias? Justifique a sua resposta.
(j) Usando a lei do deslocamento de Wien, estime o comprimento de onda de maior intensidade emitido por um
corpo humano. Usando essa informação, explique porque um detector de infravermelho seria um alarme útil no
trabalho de segurança. Justifique a sua resposta.
(k) O que é a equação de Schrödinger? Como ela é útil para descrever os fenômenos atômicos? Justifique a sua
resposta.
(l) Para um átomo emitir luz é necessário que ele primeiro seja ionizado? Justifique a sua resposta.
Questão n 0 02 − Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji e William Phillips receberam o Prêmio Nobel de 1997 de
Física “pelo desenvolvimento do método de resfriamento e confinamento de átomos com luz de laser”. Uma parte do
trabalho deles foi feita com um feixe de átomos (massa ∼ 10 −25 kg) que se deslocava a uma velocidade da ordem de
1 km/s (sem efeitos relativísticos), similar à velocidade das moléculas no ar à temperatura ambiente. Um intenso feixe
de luz de laser ajustado para uma transição atômica no intervalo visível (suponha 500 nm) é direcionado para o feixe
atômico. Isto é, o feixe atômico e o feixe de luz deslocam-se em direções opostas. Um átomo no estado fundamental
absorve um fóton imediatamente. O momento total é conservado no processo de absorção. Após um tempo de vida
da ordem de 10 −8 s, o átomo excitado irradia por emissão espontânea. Ele tem uma probabilidade igual de emitir
um fóton em qualquer direção. Assim, é nulo o “recuo” médio do átomo em muitos ciclos de absorção e emissão.
(a) (1,5 ponto) Estime a desaceleração média do feixe atômico. Justifique a sua resposta.
(b) (1,0 ponto) Determine a ordem de grandeza da distância percorrida pelos átomos no feixe até parar. Justifique
a sua resposta.
Questão n 0 03 − Uma partícula de massa m desloca-se em um poço de potencial de largura 2L. Sua energia
potencial é
⎧
∞ , x < −L
⎪⎨
2 x 2
V (x) = −
mL 2 (L 2 − x 2 ) , −L < x < L
.
⎪⎩
∞ , x > +L
Além disso, a partícula está em um estado estacionário descrito pela função de onda
⎧
)
⎪⎨ A
(1 − x2
L
ψ(x) =
2 , −L ≤ x ≤ +L
⎪⎩
0 , nas outras regiões
(a) (1,0 ponto) Determine a energia da partícula em termos de , m e L. Justifique a sua resposta.
(b) (0,5 ponto) Determine A em função de L. Justifique a sua resposta.
(c) (1,0 ponto) Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada entre x = −L/3 e x = +L/3.
Justifique a sua resposta.

Questão n 0 04 — “bônus” − É um desafio resolver
a equação de Schrödinger para os níveis de energia
de estados ligados de um poço potencial arbitrário.
Um método alternativo que pode fornecer resultados
aproximados para os níveis de energia é conhecido como
aproximação WKB (sigla dada em homenagem aos físicos
Gregor Wentzel, Hendrik Kramers e Léon Brillouin). A
aproximação WKB começa com três afirmações: (i) De
acordo com De Broglie, o módulo do momento linear p
de uma partícula é dada por p = h/λ, (ii) O módulo do
momento linear é relacionado com a energia cinética K
por K = p 2 /2m. (iii) Quando não existe nenhuma força
não-conservativa, de acordo com a mecânica newtoniana
a energia E de uma partícula é constante e dada em
cada ponto pela soma a energia cinética com a energia
potencial: E = K + V (x), onde x é a coordenada. No
entanto, a aproximação WKB não é eficiente quando a
energia potencial varia descontinuamente como no caso
de um poço potencial finito. Ao combinar as três relações
anteriores podemos mostrar que o comprimento de onda
de uma partícula para uma coordenada x é dado por
λ(x) =
h
√
2m [E − V (x)]
, . (1)
Portanto, imaginamos na mecânica quântica uma
partícula em um poço de potencial V (x) como se fosse
uma partícula livre, porém com um comprimento de
onda λ(x) que depende da posição. Em um ponto no
qual E = V (x), a mecânica newtoniana afirma que
a partícula possui energia cinética zero e que ela está
instantaneamente em repouso. Tal ponto é chamado
de ponto clássico de inversão, visto que ele corresponde
ao ponto onde a partícula pára e retorna na mesma
direção e sentido contrário. Como por exemplo, um
objeto que executa um movimento harmônico simples
oscila para a frente e para trás entre os pontos x = −A
e x = +A; ambas as extremidades são um ponto clássico
de inversão, visto que nesses pontos a energia potencial
1
2 k′ x 2 é igual à energia total 1 2 k′ A 2 . Para uma partícula
em uma caixa de comprimento L, as paredes da caixa
são pontos clássicos de inversão. Além disso, o número
de comprimentos de onda que completam o comprimento
da caixa deve ser um número semi-inteiro, de modo que
L = (n/2)λ e, portanto, L/λ = n/2, onde n = 1, 2, 3, . . ..
O método WKB para determinar os níveis de energia
permitidos de estados ligados de um poço de potencial
arbitrário é uma extensão das observações anteriores.
Ele exige que para um nível de energia E permitido
deve existir um número semi-inteiro de comprimentos de
onda entre os dois pontos clássicos de inversão para a
energia considerada. visto que o comprimento de onda
na aproximação WKB não é constante, porém depende
de x, o número de comprimentos de onda entre os dois
pontos de inversão a e b para a energia considerada é
obtido pela integral de 1/λ(x) entre esses pontos:
∫ b
a
dx
λ(x) = n , n = 1, 2, 3, . . .
2
Usando a expressão de λ(x) que encontramos pela
equação (1), podemos mostrar que a condição WKB para
as energia permitidas de estados ligados pode ser escrita
na forma
∫ b
a
√
2m [E − V (x)]dx =
nh
2
, n = 1, 2, 3 . . .
(a) (0,5 ponto) Determine os pontos clássicos de
inversão para um oscilador harmônico de energia
E e constante de mola k ′ . Justifique a sua resposta.
(b) (1,0 ponto) Mostre que na aproximação WKB os
níveis de energia são dados por E n = nω, onde
ω = √ k ′ /m e n = 1, 2, 3, . . .. Como os níveis
de energia aproximados encontrados se comparam
com os níveis de energia verdadeiros indicados na
equação E n = (n + 1 2 )ω? A aproximação RKB
fornece uma estimativa maior ou menor para os
valores reais dos níveis de energia? Justifique a
sua resposta.
(c) (0,5 ponto) Os prótons, os nêutrons e muitas
outras partículas são constituídos por partículas
fundamentais chamdas quarks e antiquarks (a
antimatéria dos quarks). Os quarks e os antiquarks
podem formar estados ligados com uma variedade
de níveis de energia diferentes, cada um dos quais
corresponde a uma partícula diferente que pode
ser observada em laboratório. como um exemplo,
a partícula ψ é uma partícula correspondente ao
estado ligado de mais baixa energia do chamado
quark charm e de seu antiquark, com uma energia
de repouso igual a 3097 MeV; a partícula ψ(2S)
é outro estado excitado dessa mesma combinação
quark-antiquark, com uma energia de repouso igual
a 3686 MeV. Uma representação simplificada da
energia potencial da interação entre um quark e
um antiquark é dada por V (x) = |x|, onde A é
uma constante positiva e x representa a distância
entre o quark e o antiquark. Podemos usar a
aproximação WKB para determinar as energias dos
estados ligados para essa função energia potencial.
Determine os pontos de inversão clássicos para a
energia E e para o a energia potencial V (x) = A|x|.
Justifique a sua resposta.
(d) (1,0 ponto) Mostre que os níveis de energia do
potencial do item (c) na aproximação WKB são
dados por
E n = 1
2m
( ) 2/3 3mAh
n 2/3 , n = 1, 2, 3, . . .
4
A diferença entre dois níveis adjacentes aumenta,
diminui ou permanece constante à medida que o
número n aumenta? Como esse resultado compara
com os níveis de energia do oscilador harmônico?
Justifique a sua resposta.