Análise Complexa - Instituto de Matemática - UFRGS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
PLANO DE ENSINO
Código MAT
Nome
01078 Análise Complexa
Créditos/horas-aula Súmula
Semestre
04 / 60
2008-1
Cursos
Bacharelado em Matemática -
ênfase Matemática Pura
Curvas planas e espaciais. Superfícies. Formas fundamentais. Elementos de
geometria intrínseca das superfícies.
Etapa
Professor Responsável
Artur Oscar Lopes
5ª
Pré-Requisitos
MAT01026 Tópicos de Matemática Elementar e
MAT01058 Análise Matemática B
Objetivos:
Apresentar e desenvolver conceitos fundamentais da Análise Complexa e de algumas de suas
aplicações.
Metodologia e Experiências de Aprendizagem:
Aulas teóricas expositivas, Exercícios propostos para fazer em casa. Aulas para correção de
exercícios.
Conteúdo Programático:
1. Número complexo e esfera de Riemann.
2. Raízes, exponencial e logaritmos.
3. Equações de Cauchy-Riemann. Teorema da inversa e funções holomorfas elementares..
4. Transformações de Möbius.
5. Integral ao longo de caminhos admissíveis. Teorema da primitiva e teorema local de
Cauchy. Fórmula Integral de Cauchy e aplicações: derivadas superiores, teoremas de
Morera, de Liouville e Fundamental da Álgebra de Gauss.
6. Taylor finito: zeros e singularidades isoladas.
7. Série de potências: disco de convergência e convergência na fronteira. Séries de Laurent e
caracterização das singularidades isoladas.
8. Teorema de invariância por homotopias e teorema global de Cauchy.

9. Índice de uma curva com respeito a um ponto. Teorema dos resíduos. Princípio do
argumento e aplicações: teorema de Rouché, funções racionais, estrutura local de funções
holomorfas, cálculo de integrais. Aplicações a Transformada de Fourier.
10. Funções Harmônicas. Aplicações ao escoamento de fluidos.
Cronograma de Atividades:
Aula 1: Números complexos. A esfera de Riemann
Aula 2: funções holomorfas
Aula 3: exemplos de funções holomorfas
Aula 4: As equações de cauchy-Riemann
Aula 5: funções de Moebius
Aula 6: A função logaritmo
Aula 7: A integral de Cauchy
Aula 8: A integral de Cauchy
Aula 9: A integral de Cauchy
Aula 10: funções holomorfas
Aula 11: funções holomorfas
Aula 12: Séries de Potencia
Aula 13: Séries de Potencia
Aula 14: Séries de Laurent
Aula 15: Series de Laurent
Aula 16: Primeira Prova Parcial – 30 de abril
Aula 17: Cálculo de integrais via Series de Laurent
Aula 18: Cálculo de integrais via Series de Laurent
Aula 19: Transformada de Fourier
Aula 20: Índice de curvas
Aula 21. Teorema dos resíduos.
Aula 22: Aplicações
Aula 23: Princípio do argumento
Aula 24: Aplicações: teorema de Rouché
Aula 25: propriedades de funções holomorfas
Aula 26: propriedades de funções holomorfas
Aula 27: propriedades de funções holomorfas
Aula 28: propriedades de funções holomorfas
Aula 29: propriedades de funções holomorfas
Aula 30: Segunda Prova Parcial – 25 de junho
Aula 31: recuperação da primeira área. – 27 de junho
Aula 32: recuperação da segunda área. – 2 de julho
Critérios de Avaliação:
O conteúdo programático da disciplina será dividido em 2 partes, denominadas áreas
de conhecimento. A primeira área compreende os itens de 1 a 7 do Conteúdo Programático e a
segunda área consiste dos item 8 a 10 do mesmo. A aprendizagem em cada área será avaliada
independentemente. Ao final de cada área haverá um prova. Para ser considerado aprovado na
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disciplina, é necessário, além de ter uma freqüência mínima de 75%, que o aluno seja
aprovado em cada área, o que significa obter em cada área, nota igual ou superior a 6,0 (seis).
Atividades de Recuperação:
Ao aluno que obtiver em uma ou mais das áreas de verificação nota inferior a 6,0
(seis), será dada, para cada área, a oportunidade de fazer uma nova tentativa de obter a nota
mínima de 6,0 (seis) (Recuperação). A nota da prova de recuperação de uma área substitui a
nota da área correspondente.
Bibliografia Básica:
1. Marcio Soares, Cálculo em Uma Variável Complexa, Segunda Edição, Matemática
Universitária, IMPA, 2001.
2. John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1973
3. G. Ávila, Variáveis Complexas e Aplicações, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1990.
Bibliografia Complementar:
1. Markusevich, A., Teoría de las Funciones Analíticas, Tomos I e II, MIR Moscou, 1987.
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