Capítulo 8 Teoria espectral de operadores lineares limitados

Capítulo 8
Teoria espectral de operadores
lineares limitados
A teoria espectral é um dos ramos principais da análise funcional moderna e suas
aplicações. Essencialmente consiste no inverso de certos operadores, nas suas
propriedades e relação com os operadores originais. Como vimos no Capítulo 5,
os operadores inversos surgem naturalmente na resolução de equações, sistemas
de equações lineares, equações diferenciais, integrais, etc. A teoria espectral de
operadores também ajuda a compreender os próprios operadores, como veremos
mais adiante.
Vamos começar com a teoria espectral de operadores em dimensão finita, a
qual é essencialmente a teoria dos valores próprios de matrizes. Neste capítulo
vamos excluir o espaço vectorial trivial {0} e admitiremos que todos os espaços
vectoriais são complexos, isto é, o corpo subjacente é C.
8.1 Teoria espectral em espaços de dimensão finita
Seja X um espaço normado de dimensão finita n e T : X → X um operador linear.
Então T pode ser representado por uma matriz n × n, a qual, depende da escolha
de uma base em X. Veremos que a teoria espectral de T reduz-se à teoria dos
valores próprios da matriz associada a T. Assim, vamos investigar em primeiro
lugar valores próprios e conceitos relacionados com matrizes n × n.
Seja A = (a i j ) n i, j=1
uma matriz n × n real ou complexa. Os conceitos de valor
próprio, vector próprio estão relacionados pela equação
Ax = λx, λ ∈ C. (8.1)
179

A equação (8.1) pode escrever-se na forma matricial
⎛
⎛
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎜⎝
⎞⎟⎠
a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x
⎜⎝
n
λx 1
λx 2
.
λx n
⎞⎟⎠
ou ainda na forma de sistema de n equações a n incógnitas
⎧
(a 11 − λ)x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = 0
⎪⎨ a 21 x 1 + (a 22 − λ)x 2 + . . . + a 2n x n = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎪⎩ a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + (a nn − λ)x n = 0.
Se denotarmos o operador identidade em X por I, então (8.1) escreve-se
Recordemos os seguintes factos da álgebra linear:
(A − λI)x = 0. (8.2)
1. A equação (8.2) tem uma solução x 0 se e só se o determinante da matriz
A−λI é igual a zero, isto é, det(A−λI) = 0. Isto dá a equação característica
de A
a 11 − λ a 12 . . . a 1n
a
det(A − λI) =
21 a 22 − λ . . . a 2n
= 0.
. . . .
∣
a n1 a n2 . . . a nn − λ ∣
det(A − λI) é chamado determinante característico de A. Desenvolvendo
obtemos um polinómio em λ de grau n, chamado polinómio característico
de A.
2. Por outro lado, se det(A − λI) 0, então a equação (8.2) tem apenas a
solução trivial x = 0.
3. De acordo com o teorema fundamental da álgebra, um polinómio de grau n
tem pelo menos uma raiz complexa e não mais do que n raízes diferentes.
Definição 8.1 Seja A = (a i j ) n i, j=1
uma matriz real ou complexa n × n dada. Consideremos
a equação
Ax = λx, λ ∈ C. (8.3)
180

1. Um número λ ∈ C tal que a equação (8.3) tem solução não trivial x 0
chama-se valor próprio de A. O vector x 0 correspondente chama-se
vector próprio associado ao valor próprio λ ∈ C.
(a) Dado um valor próprio λ de A, o conjunto E(λ) := {x ∈ X| Ax = λx}
forma um subespaço vectorial de X o qual se chama subespaço próprio
de A correspondente ao valor próprio λ.
2. O conjunto σ(A) de todos os valores próprios de A é chamado o espectro
de A.
3. O complemento ρ(A) := C\σ(A) em C é chamado conjunto resolvente de A.
Do que foi dito, concluímos que a matriz A tem pelo menos um valor próprio
complexo e não mais do que n valores próprios diferentes.
Por exemplo, a matriz A = ( )
5 4
1 2 tem por vectores próprios x1 = ( )
4
1 e x2 = ( )
1
−1
os quais correspondem aos valores próprios λ 1 = 6 e λ 2 = 1, respectivamente.
Vamos agora aplicar estas noções a operadores T ∈ B(X), onde X é um espaço
normado de dimensão n < ∞. Seja e = {e 1 , . . . , e n } uma base arbitrária de X e
T e = (a i j ) ∞ i, j=1
a matriz associada ao operador T relativamente à base e. Então os
valores próprios da matriz T e são chamados os valores próprios do operador T o
conjunto σ(T e ) o espectro de T e ρ(T e ) o conjunto resolvente de T. Assim definido,
podemos pensar que o conjunto dos valores próprios, e o conjunto resolvente
dependem da base escolhida. Temos, no entanto, a seguinte proposição.
Proposição 8.2 Seja T ∈ B(X) um operador linear definido num espaço normado
de dimensão finita. Então todas as matrizes representando o operador T nas
diferentes bases têm os mesmos valores próprios.
Podemos combinar os resultados anteriores para mostrar que um operador T ∈
B(X) possui pelo menos um valor próprio.
Proposição 8.3 Todo o operador linear definido num espaço normado complexo
de dimensão finita X {0} possui pelo menos um valor próprio.
A conclusão da proposição anterior não é verdadeira no caso dos espaços de
dimensão infinita, ver Exemplo 8.12 mais à frente.
Exemplo 8.4 Mostre que os valores próprios de uma matriz A de Hermite 2 × 2
são reais. Prove que o mesmo resultado é verdadeiro para uma matriz Hermiteana
n × n qualquer.
181

Prova. Uma matriz A diz-se de Hermite se e só se A = Ā ⊤ . Assim se A = ( a b
c d)
,
então
( ) ( )
a b ā ¯c
A = = = Ā
c d ¯b ¯d
⊤ .
Portanto, temos a = ā, d = ¯d, pelo que a, d ∈ R. Temos ainda b = ¯c, por isso a
matriz A pode escrever-se como
( ) a b
A = . ¯b d
Assim, o polinómio característico de A é dado pelo desenvolvimento de det(A −
λI) = 0, ou seja,
As raízes são
(a − λ)(d − λ) − |b| 2 = 0
⇔ λ 2 − (a + d)λ + ad − |b| 2 = 0 = 0.
λ ± = (a + d) ± √ (a + d) 2 − 4(ad − |b| 2 )
2
= a + d ± 1 √
(a − d)2 + 4|b|
2 2 2 ,
como (a − d) 2 + 4|b| 2 > 0, então as raízes λ ± ∈ R.
No caso geral, procedemos do seguinte modo
Ax = λx ⇔ ¯x ⊤ Ax = ¯x ⊤ λx ⇔ λ = ¯x⊤ Ax
¯x ⊤ x ,
onde ¯x ⊤ x é real e se N denotar ¯x ⊤ Ax, então
assim, N é real e, portanto λ é real.
¯N = ¯N ⊤ = ¯x ⊤ Ax ⊤ = ¯x ⊤ Ā ⊤ x = N,
Exercícios
Exercício 8.1 Encontre os valores e vectores próprios da matriz A = ( a
R e b 0.
182
−b
b
a)
, a, b ∈

Exercício 8.2 Mostre que os valores próprios de uma matriz A anti-Hermiteana
(isto é, Ā T = −A) são imaginários puros ou zero.
Exercício 8.3 Mostre que os valores próprios de uma matriz A unitária (isto é,
Ā ⊤ = A −1 ) têm todos valor absoluto 1.
8.2 Teoria espectral dos operadores lineares limitados
Nesta secção vamos considerar espaços normados de dimensão arbitrária. A teoria
dos operadores lineares limitados nos espaços de dimensão infinita é bem mais
complicada quando comparada com a mesma em dimensão finita.
Seja T : D(T) → X um operador linear, onde D(T) ⊂ X e T λ , λ ∈ C o operador
T λ := T − λI,
onde I é o operador identidade em D(T).
Definição 8.5 (Operador resolvente) Se o operador T λ possui inverso, denotado
por R λ (T), isto é, se existe
R λ (T) := T −1
λ = (T − λI) −1 ,
então R λ (T) é chamado operador resolvente de T. É claro que se R λ (T) existe ele
é linear.
Observação 8.6 O nome “resolvente” é apropriado, visto que R λ (T) serve para
resolver a equação T λ x = y. De facto, se R λ (T) existe, então x = R λ (T)y é solução
da equação T λ x = y. Por outro lado, a investigação das propriedades do operador
R λ (T) desempenham um papel relevante para compreender o próprio operador T.
Definição 8.7 (Valor próprio) Seja T : D(T) → X um operador linear com
D(T) ⊂ X. Um número complexo λ chama-se valor próprio do T se existe x 0
em X tal que
T λ x = (T − λI)x = 0.
O vector x 0 chama-se vector próprio de T associado ao valor próprio λ.
Note que se λ ∈ C é um valor próprio de T, então R λ (T) não existe, pois
N(T λ ) {0}.
183

Definição 8.8 (Valor regular) Seja T : D(T) → X um operador linear com
D(T) ⊂ X. Um número complexo λ chama-se valor regular de T se
(R1) o operador R λ (T) existe e, portanto é um operador linear.
(R2) O operador R λ (T) é limitado.
(R3) O operador R λ (T) está definido num conjunto M denso em X, isto é, M = X.
O conjunto ρ(T) de todos os valores regulares λ ∈ C do operador T chama-se
conjunto resolvente de T.
Definição 8.9 (Espectro) O complemento σ(T) = C\ρ(T) no plano complexo
chama-se espectro de T e λ ∈ σ(T) diz-se um valor espectral de T. Pode provarse
que o espectro σ(T) é a união disjunta dos seguintes conjuntos
onde:
σ(T) = σ d (T) ˙∪σ c (T) ˙∪σ r (T),
σ d (T): é o espectro discreto de T, isto é, é o conjunto dos λ ∈ C tais que R λ (T)
não existe. Portanto, se λ ∈ σ p (T), então λ é um valor próprio de T.
σ c (T): é o espectro contínuo de T, isto é, é o conjunto dos λ ∈ C tais que o
operador R λ (T) existe e satisfaz a condição 3. da Definição 8.8 mas não
satisfaz a condição 2. da Definição 8.8, ou seja R λ (T) é ilimitado.
σ r (T): é o espectro residual de T, isto é, é o conjunto dos λ ∈ C tais que R λ (T)
existe e não satisfaz a condição 3. da Definição 8.8, ou seja, o domínio de
R λ (T) não é denso em X. Neste caso R λ (T) pode ou não ser limitado.
Podemos resumir as Definições 8.8 e 8.9 no seguinte quadro
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
(R1) (R2) (R3) λ pertence a:
√ √ √
ρ(T)
σ d (T)
√
√ √
σ c (T)
√
√
σ r (T)
√
184

Em dimensão finita, isto é, dim X < ∞, o conjunto σ d (T) ∅ e σ c (T) =
σ r (T) = ∅. Mas em dimensão infinita, isto é, dim X = ∞ pode acontecer que
σ d (T) = ∅ no entanto o operador tem valores espectrais. O próximo exemplo
apresenta um operador com esta propriedade, isto é, T possui valores espectrais
que não são valores próprios.
Exemplo 8.10 Seja X = l 2 (C) e T : l 2 (C) → l 2 (C) definido por
Tz := (0, z 1 , z 2 , . . .).
Então ‖T‖ = 1, R 0 (T) existe e λ = 0 é um valor espectral de T mas λ = 0 não é
um valor próprio de T.
Prova. É fácil verificar que ‖T‖ = 1, pois
|Tz| 2 =
∞∑
|z n | 2 = |z| 2 ⇒ |Tz| = |z|,
n=1
de onde resulta ‖T‖ = 1. Por outro lado, R 0 (T) = T −1
0
= (T − 0I) −1 = T −1
existe. De facto, o inverso do operador de deslocamento direito é o operador de
deslocamento esquerdo, sendo este definido em R(T), isto é, D(R 0 (T)) = R(T).
Assim, se w = (0, w 1 , w 2 , . . .) ∈ R(T), então
R 0 (T)w = (w 2 , w 3 , . . .)
e R 0 (T) é um operador limitado; de facto, temos ‖R 0 (T)‖ = 1. É claro que no
domínio D(R 0 (T)) temos T ◦ R 0 (T) = I e também R 0 (T) ◦ T = I. Mas λ = 0 não
é um valor próprio de T, pois
Tz = 0z ⇔ (0, z 1 , z 2 , . . .) = 0 ⇒ z 1 = z 2 = . . . = 0,
logo z = 0 e, assim, λ = 0 não é valor próprio de T. Para ver que λ = 0 é um valor
espectral de T basta ter em atenção o facto de D(R 0 (T)) não ser denso em l 2 (C),
pois
D(R 0 (T)) = { z ∈ l 2 (C)| z 1 = 0 }
e, por exemplo, o vector (1, 0, . . .) não pertence ao conjunto gerado por D(R 0 (T)).
Assim, λ = 0 ρ(T) pelo que λ = 0 ∈ σ(T) ou seja, λ = 0 é um valor espectral
de T em σ r (T).
185

De seguida vamos analisar com mais pormenor o problema da existência de
valores próprios de operadores auto-adjuntos limitados. Seja H é um espaço de
Hilbert complexo e T ∈ B(H) um operador auto-adjunto, isto é,
(T x, y) = (x, Ty), ∀x, y ∈ H.
Ou seja, T ∗ = T e temos ainda que ‖T ∗ ‖ = ‖T‖. Por outro lado se T é autoadjunto,
então (T x, x) é real, visto que H é complexo e, inversamente, se (T x, x)
é real, então T é auto-adjunto, ver Teorema 7.15.
Teorema 8.11 Seja T ∈ B(H) um operador auto-adjunto em H. Então:
1. Todos os valores próprios de T (se existirem!) são reais.
2. Os vectores próprios correspondentes a valores próprios distintos são ortogonais.
3. Se λ é um valor próprio de T, então |λ| ≤ ‖T‖.
Prova. 1. Seja λ um valor próprio qualquer de T e x o vector próprio correspondente.
Então x 0 e T x = λx. Como T é auto-adjunto, temos
λ(x, x) = (λx, x) = (T x, x) = (x, T x) = (x, λx) = ¯λ(x, x).
Como (x, x) = |x| 2
Portanto, λ é real.
0 por x 0, então dividindo por (x, x) obtemos λ = ¯λ.
2. Sejam λ,µ dois valores próprios de T distintos e x, y os vectores próprios
correspondentes. Então T x = λx e Ty = µy. Visto que T é auto-adjunto, temos
λ(x, y) = (λx, y) = (T x, y) = (x, Ty) = (x, µy) = µ(x, y).
Como por hipótese λ µ, então temos (λ − µ)(x, y) = 0, de onde resulta que
(x, y) = 0. Logo x ⊥ y.
3. Tendo em conta a desigualdade
e o facto de x 0, então |λ| ≤ ‖T‖.
|λx| = |λ||x| = |T x| ≤ ‖T‖ |x|
Um operador auto-adjunto pode não ter valores próprios, como mostra o seguinte
exemplo.
186

Exemplo 8.12 Seja H = L 2 ([0, 1]) e T ∈ B(H) definido por
T : L 2 ([0, 1]) → L 2 ([0, 1]), x ↦→ (T x)(t) := tx(t).
Então T é linear limitado auto-adjunto sem valores próprios e σ(T) = σ c (T) =
[0, 1].
Prova. É claro que T é linear limitado e auto-adjunto, pois, para quaisquer x, y ∈
L 2 ([0, 1]) temos
(T x, y) =
∫ 1
0
(T x)(t)y(t)dt =
∫ 1
0
tx(t)y(t)dt =
∫ 1
De onde resulta T ∗ = T, isto é, T é auto-adjunto.
Vamos provar que T não tem valores próprios. Temos
(T λ x)(t) = ((T − λI)x)(t) = (t − λ)x(t).
0
x(t)ty(t)dt = (x, Ty).
1. Suponhamos que λ ∈ [0, 1], então (T λ x)(t) = 0 implica x(t) = 0 para t λ,
logo x = 0, o elemento nulo em L 2 ([0, 1]). Assim, T λ é invertível e, deste
modo, λ ∈ [0, 1] não pode ser valor próprio de T. O inverso Tλ
−1 é dado por
(T −1
λ x)(t) = (t − λ)−1 x(t). (8.4)
É claro que Tλ
−1 não é limitado quando λ ∈ [0, 1] (quando t = λ, (Tλ −1x)(t)
=
∞!); como D(Tλ
−1)
é denso em L2 ([0, 1]), então concluímos que [0, 1] ⊂
σ c (T).
2. Para λ ∈ R\[0, 1] o operador T λ também é injectivo e o seu inverso (dado por
(8.4)) é limitado sendo o seu domínio denso em L 2 ([0, 1]). Logo R\[0, 1] ⊂
ρ(T). Em resumo
ρ(T) = R\[0, 1]
σ(T) = σ c = [0, 1]
σ p (T) = σ r (T) = ∅.
187

Teorema 8.13 Seja T ∈ B(H) um operador linear limitado auto-adjunto no espaço
de Hilbert complexo H. Então
‖T‖ = sup |(T x, x)|.
|x|=1
Prova. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
sup
|x|=1
|(T x, x)| ≤ sup
|x|=1
|T x||x| ≤ sup |T x| = ‖T‖ .
|x|=1
Vamos mostrar a desigualdade contrária. Podemos supor que T x 0 com
|x| = 1, pois, caso contrário se T x = 0 para todos x com |x| = 1, então
‖T‖ = sup |T x| = 0 ⇒ T = 0
|x|=1
e a desigualdade ‖T‖ ≤ sup |x|=1 |(T x, x)| é verdadeira neste caso. Assim, T x 0
com |x| = 1. Definimos
v := √ |T x|x, w :=
1
√ |T x|
T x.
Notemos, desde já que |v| 2 = |w| 2 = |T x| e para y 1 = v + w, y 2 = v − w temos
(Ty 1 , y 1 ) − (Ty 2 , y 2 ) = 2[(Tv, w) + (Tw, v)]
= 2((T x, T x) + (T 2 x, x))
= 4|T x| 2 . (8.5)
Por outro lado, para qualquer y 0 e z = |y| −1 y ⇔ y = |y|z, então
|(Ty, y)| = |y| 2 |(Tz, z)| ≤ |y| 2 sup |(Tz, z)| = K|y| 2 .
|z|=1
Pela desigualdade triangular temos
|(Ty 1 , y 1 ) − (Ty 2 , y 2 )| ≤ |(Ty 1 , y 1 )| + |(Ty 2 , y 2 )|
≤
sup |(Tz, z)|(|y 1 | 2 + |y 2 | 2 )
|z|=1
= 2K(|v| 2 + |w| 2 )
= 4K|T x|. (8.6)
188

Portanto, de (8.5) e (8.6) resulta
4|T x| 2 ≤ 4K|T x| ⇔ |T x| ≤ K.
Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1 obtemos a desigualdade desejada,
isto é, ‖T‖ ≤ K = sup |x|=1 |(T x, x)|.
Teorema 8.14 O espectro residual σ r (T) de um operador T ∈ B(H) auto-adjunto
é vazio.
Prova. Suponhamos, com vista a um absurdo, que existe λ ∈ σ r (T). Assim, R λ (T)
existe mas D(R λ (T)) não é denso em H. Se denotarmos L := D(R λ (T)), então H
pode decompor-se como
H = L ⊕ L ⊥ .
Existe y ∈ H tal que y 0 e y ⊥ D(R λ (T)) = L, ou seja y ∈ L ⊥ .
D(R λ (T)) = R(T λ ), então
(T λ x, y) = 0, ∀x ∈ H.
Como
Como T é auto-adjunto, então (x, T λ y) = 0, ∀x ∈ H. Escolhendo x = T λ y resulta
|T λ y| 2 = 0, ou seja,
T λ y = 0 ⇔ Ty = λy.
Como y 0, isto mostra que λ é um valor próprio de T, logo λ não pode ser um
elemento em σ r (T), absurdo. Assim, σ r (T) = ∅.
Exemplo 8.15 Considere o espaço de Hilbert l 2 (C), e o operador T ∈ B(l 2 (C))
definido por
(
Tz = z 1 , z 2
2 , . . . , z )
n
n , . . . .
Mostre que T é auto-adjunto e compacto. Calcule o espectro de T.
Prova. Vamos mostrar que T é auto-adjunto. De facto, para quaisquer z, w ∈ l 2 (C)
temos
∞∑ z
∞∑
n
(Tz, w) =
n w 1
n = z n
n w n = (z, Tw).
n=1
n=1
Como por definição (Tz, w) = (z, T ∗ w), então
(z, T ∗ w) = (z, Tw) ⇔ (z, (T ∗ − T)w) = 0,
∀z ∈ l 2 (C).
189

Escolhendo z = (T ∗ − T)w, obtemos |(T ∗ − T)w| 2 = 0, ∀w ∈ l 2 (C). Portanto,
as propriedades de norma implicam que (T ∗ − T)w = 0, ∀w ∈ l 2 (C), ou seja
T ∗ − T = 0 e, portanto, T ∗ = T. Deste modo T é auto-adjunto.
Pelo Exemplo 7.25 o operador T é compacto. Assim, do Teorema 8.14 resulta de
imediato que, o espectro residual de T σ r (T) é vazio, isto é, σ r (T) = ∅. Temos,
pois
σ(T) = σ d (T) ˙∪σ c (T).
Relativamente ao espectro discreto, isto é, o conjunto formado pelos valores próprios
de T, temos
(
Tz = λz ⇔ z 1 , z 2
2 , . . . , z )
n
n , . . . = (λz 1 , λz 2 , . . . , λz n , . . .),
de onde resulta que λ ∈ { 1, 1, 1, . . . 1, . . .} . Portanto, σ
2 3 n d (T) = { 1, 1, 1, . . . 1, . . .} .
2 3 n
Falta identificar o conjunto do espectro contínuo, isto é, o conjunto σ c (T) dos valores
λ tais que Tλ
−1 existe mas não é limitado. Para tal, vamos calcular o operador
inverso Tλ
−1 := (T − λI) −1 . Sejam z, w ∈ l 2 (C) dados, então
T λ z = w ⇔ z = T −1
λ w.
Assim,
T λ z = w ⇔ (T − λI)z = w
(
⇔ z 1 − λz 1 , z 2
2 − λz 2, . . . , z )
n
n − λz n, . . . = (w 1 , w 2 , . . . , w n , . . .),
de onde resulta que
z 1 =
z 2 =
. .
z n =
. .
w 1
1 − λ ,
2w 2
1 − 2λ ,
.
nw n
1 − nλ
.
O operador inverso T −1
λ
é dado por
( )
Tλ
−1 w = w1
1 − λ , 2w 2
1 − 2λ , . . . , nw n
1 − nλ , . . . .
190

É claro que para λ { 1, 1, 1, . . . 1, . . .} , o operador está bem definido e D(T −1
2 3 n λ ) =
l 2 (C), de onde resulta que D(Tλ
−1)
é denso em l2 (C). Vamos, agora estudar Tλ
−1
quanto à sua limitação:
∞∑
|Tλ −1 w| 2 =
nw n
2 ∞∑
∣
1 − nλ∣
=
n
2
∣
1 − nλ∣
|w n | 2 .
n=1
Para λ = 0 e w = e n = (0, . . . 0, 1, 0, . . .) (1 na posição n), então
n=1
|T −1
λ e n| = n,
lodo, passando ao supremo sobre todos os e n , n ∈ N, concluímos que Tλ
−1 não é
limitado. Isto prova que λ = 0 ∈ σ c (T), pois, T 0 é auto-adjunto (σ r (T) = ∅). Por
outro lado, se λ 0, então como a sucessão
n é crescente com limite − 1, então
1−λn λ
obtemos
e, deste modo, temos ∥ ∥T
−1
∥ ≤ 1
λ
σ(T) =
|λ|
|T −1
λ w| ≤ 1
|λ| |w|,
−1
, isto é, Tλ
{1, 1 2 , 1 3 , . . . 1 }
n , . . .
é limitado. Portanto,
∪ {0} .
Exercícios
Exercício 8.4 Seja H = l 2 (C) o espaço de Hilbert das sucessões complexas de
quadrado somável. Consideremos o operador T definido por
(
T : l 2 (C) → l 2 (C), x ↦→ Tz := 0, z 1 , z 2
2 , . . . , z )
n
n , . . . .
Encontre o espectro do operador T.
Exercício 8.5 Seja X = C([0, 1]) o espaço de Banach de todas as funções contínuas
no intervalo [0, 1] e T : X → X definida por
Calcule o espectro de T.
(T x)(t) = α(t)x(t), α ∈ C([0, 1]).
191

Exercício 8.6 Seja T : X → X um operador linear limitado num espaço de Banach
X tal que ‖T‖ < |λ|. Mostre que λ pertence ao conjunto resolvente de T, isto
é, λ ∈ ρ(T). Conclua que σ(T) ∈ D ‖T‖ (C), onde D ‖T‖ (C) é o disco com centro na
origem e raio ‖T‖, isto é,
D ‖T‖ (C) := {z ∈ C | |z| ≤ ‖T‖} .
Exercício 8.7 Sendo X um espaço de Banach, encontre os seguintes objectos para
o operador I: σ(I), R λ (I),
Exercício 8.8 Seja X = C([0, 1]) o espaço de Banach e T ∈ B(X 2 ) o operador
definido por
( ) ( )
−1 e
(T x)(t) =
t + 2 x1 (t)
e t .
1 x 2 (t)
Calcule o espectro de T. Calcule o operador R λ (T) para λ σ(T).
Exercício 8.9 Sejam λ 1 , . . . λ n valores próprios de uma n × n-matriz A e p um
polinómio de grau n, isto é,
n∑
p(t) = α k t k .
Mostre que p(λ j ), j = 1, . . . , n são valores próprios da matriz p(A).
Exercício 8.10 Seja X = L 2 ([−1, 1]) e T o operador definido por
k=1
T : L 2 ([−1, 1]) → L 2 ([−1, 1]), x ↦→ (T x)(t) := 1 [0,1] (t)x(t).
Calcule o espectro de T.
Exercício 8.11 Seja T : l 1 (C) → l 1 (C) o operador definido por
Tz = (z 2 , z 3 , . . .).
1. Calcule a norma de T e o operador adjunto T ∗ .
2. Identifique os conjuntos σ(T) e ρ(T).
Exercício 8.12 Sejam λ 1 , λ 2 dois valores regulares de um operador T ∈ B(X).
Mostre que
192

1. A seguinte identidade é verdadeira
R λ1 (T) − R λ2 (T) = (λ 1 − λ 2 )R λ1 (T)R λ2 (T).
2. Os operadores R λ1 (T) e R λ2 (T) comutam, isto é
[R λ1 (T), R λ2 (T)] = R λ1 (T)R λ2 (T) − R λ2 (T)R λ1 (T) = 0.
3. A aplicação
é contínua.
ρ(T) ∋ λ ↦→ R λ (T) ∈ B(X)
Exercício 8.13 Mostre que se T ∈ B(X), então a aplicação
ρ(T) ∋ λ ↦→ R λ (T) ∈ B(X)
tem derivada em qualquer ponto de λ ∈ ρ(T).
8.3 Teorema espectral
Já vimos que os valores próprios de um operador auto-adjunto limitado T é real,
cf. Teorema 8.3. Mas podemos mesmo mostrar que todo o espectro de T é real.
Teorema 8.16 Seja T : H → H um operador linear auto-adjunto limitado no
espaço de Hilbert complexo H.
1. Então um número λ pertence ao conjunto resolvente ρ(T) se e só se existe
uma constante c > 0 tal que, para todo x ∈ H, temos
2. O espectro σ(T) de T é real.
|T λ x| ≥ c|x|, T λ := T − λI.
Prova. 1. Vamos somente mostrar a condição necessária. Se λ ∈ ρ(T), então
R λ (T) = Tλ
−1 : H → H existe e é limitado. Assim, a norma de R λ (T) é, digamos,
‖R λ (T)‖ = k, onde k > 0. É claro que R λ (T)T λ = I e, portanto, para qualquer
x ∈ H temos
|x| = |R λ (T)T λ x| ≤ ‖R λ (T)‖ |T λ x| = k|T λ x|.
193

Deste modo, |T λ x| ≥ c|x|, onde c = 1/k.
2. Suponhamos, que λ = α+βi, β 0 com vista a provar que λ ∈ ρ(T); implicando
que σ(T) ⊂ R. Como T é auto-adjunto, então para qualquer x 0 em H, (T x, x),
(x, x) são reais. Por outro lado, temos
pelo que
(T λ x, x) = (T x, x) − ¯λ(x, x),
(T λ x, x) − (T λ x, x) = (λ − ¯λ)(x, x) = 2iβ|x| 2 .
O lado esquerdo é igual a −2iIm(T λ x, x). Portanto, dividindo por 2, tomando o
valor absoluto e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos
Dividindo por |x| 0 resulta que
|β||x| 2 = |Im(T λ x, x)| ≤ |(T λ x, x)| ≤ |T λ x||x|.
|T λ x| ≥ |β||x|, |β| > 0
e, pela alínea anterior, λ ∈ ρ(T). Concluímos, pois, que se λ ∈ σ(T), então λ é
real.
Teorema 8.17 (Espectro) O espectro σ(T) de um operador T : H −→ H limitado
auto-adjunto está contido dentro do intervalo [m, M] do eixo real, onde
m := inf (T x, x),
|x|=1
M := sup(T x, x).
Prova. Já sabemos pelo Teorema 8.16-2. que o espectro σ(t) é real. Vamos mostrar
que se λ = M + ε, ε > 0, então λ pertence ao conjunto resolvente ρ(T). Seja
x 0 e definimos v := |x| −1 x de onde resulta x = |x|v. Assim,
(T x, x) = |x| 2 (Tv, v)
|x|=1
≤ |x| 2 sup(Tṽ, ṽ)
|ṽ|=1
= (x, x)M.
Daqui resulta −(T x, x) ≥ −(x, x)M e, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz
obtemos
|T λ x||x| ≥ −(T λ x, x)
= −(T x, x) + λ(x, x)
≥ (−M + λ)(x, x)
= c|x| 2 , c := −M + λ = ε > 0.
194

Portanto, dividindo por |x| obtemos a desigualdade
|T λ x| ≥ c|x|
pelo que λ ∈ ρ(T) pelo Teorema 8.16-1. Para λ < m a idea da prova é a mesma.
O teorema seguinte mostra que se ‖T‖ = (T x 0 , x 0 ) para algum x 0 ∈ H com
|x 0 | = 1, então pelo menos um dos números ‖T‖ ou − ‖T‖ é um valor próprio de
T.
Teorema 8.18 Seja T ∈ B(H) um operador auto-adjunto em H.
1. Se existe um vector x 0 ∈ H com |x 0 | = 1 e
µ := sup |(T x, x)| = (T x 0 , x 0 ),
|x|=1
então µ é um valor próprio de T com vector próprio correspondente x 0 .
2. Se existe um vector y 0 ∈ H com |y 0 | = 1 e
λ := inf
|x|=1 |(T x, x)| = (Ty 0, y 0 ),
então λ é um valor próprio de T com vector próprio correspondente y 0 .
Prova. Sem prova.
O teorema anterior dá uma condição necessária para existir um valor próprio
de um operador auto-adjunto T, mas não dá a condição suficiente, isto é, quando é
que (T x, x) tem um máximo ou mínimo no conjunto {x ∈ H| |x| = 1}. O próximo
teorema responde a esta questão.
Teorema 8.19 Seja T ∈ B(H) um operador auto-adjunto e compacto. Então pelo
menos um dos valores ‖T‖ ou − ‖T‖ é um valor próprio de T.
Prova. Se T = 0, então λ = 0 é um valor próprio de T, pois T x = λx para qualquer
x 0. É claro que |λ| = ‖T‖. Assim, suponhamos que T 0 e |λ| = ‖T‖ 0.
Do Teorema 8.13 e definição de supremo, resulta a existência de uma sucessão
(x n ) ∞ n=1 ⊂ H com |x n| = 1 tal que
lim
n→
|(T x n , x n )| → ‖T‖ . (8.7)
195

Como T é compacto, então a sucessão (T x n ) ∞ n=1 possui uma subsucessão (Ty k) ∞ k=1
convergente. Por sua vez, a sucessão de números reais ((Ty k , y k )) ∞ n=1
possui uma
subsucessão ((Tz l , z l )) ∞ l=1
convergente para um número real λ ∈ R com |λ| ≤ ‖T‖.
Vamos provar que
lim z l = ϕ, e lim Tz l = λϕ.
l→∞ l→∞
Como (Ty k ) ∞ k=1 é convergente, então a subsucessão (Tz l) ∞ l=1
também é convergente,
digamos
lim Tz l = ψ.
l→∞
Assim, basta mostrar que
Temos
lim |Tz l − λz l | = 0. (8.8)
l→∞
|Tz l − λz l | 2 = |Tz l | 2 − λ(Tz l , z l ) − λ(z l , Tz l ) + λ 2
= |Tz l | 2 − 2λ(Tz l , z l ) + λ 2
→ |ψ| 2 − λ 2 .
Temos ainda |Tz l | ≤ ‖T‖ = |λ| o que implica |ψ| ≤ |λ|. Daqui resulta a igualdade
(8.8). Por outro lado, de
lim
l→∞ Tz l = ψ
resulta a existência de um elemento ϕ ∈ H com |ϕ| = 1 tal que lim l→∞ z l = ϕ.
Como T ∈ B(H), então
lim
l→∞ Tz l = Tϕ.
Agora a igualdade (8.8) implica que Tϕ = λϕ, isto é, λ é um valor próprio de T.
Corolário 8.20 Se T ∈ B(H) é auto-adjunto e compacto, então
max |(T x, x)|
|x|=1
existe e
‖T‖ = max |(T x, x)|.
|x|=1
196

Prova. Pelo Teorema 8.19, ‖T‖ é um valor próprio de T. Seja x o vector próprio
correspondente a ‖T‖ tal que |x| = 1. Temos,
logo |(T x, x)| = ‖T‖. Assim,
sup
|y|=1
(T x, x) = (‖T‖ x, x) = ‖T‖ |x| 2 = ‖T‖ ,
|(Ty, y)| = ‖T‖ = |(T x, x)| = max |(Ty, y)|.
|y|=1
Observação 8.21 Se T ∈ B(H) é um operador auto-adjunto compacto, então a
componente do espectro σ d (T) ∅ e ainda σ d (T) ⊂ R, pois os valores próprios
são reais.
Num espaço euclidiano de dimensão finita, dado qualquer operador linear
auto-adjunto, existe uma base ortonormada na qual a matriz associada ao operador
é diagonal. Vamos estabelecer este resultado para os operadores auto-adjunto
compactos definidos num espaço de Hilbert H. Antes disso, analisamos o caso de
dimensão finita.
Seja H = C n e T um operador linear auto-adjunto em H. Então T é limitado e
podemos escolher uma base na qual T seja representado por uma matriz diagonal.
O espectro de T consiste nos valores próprios da matriz de T, os quais são reais.
Suponhamos que a matriz de T tem n valores próprios distintos λ 1 < λ 2 < . . . <
λ n . Então os vectores próprios associados x 1 , x 2 , . . . , x n formam uma base de H,
por estes serem ortogonais. Assim, qualquer x ∈ H pode representar-se como
x =
n∑
α i x i . =
i=1
n∑
(x, x i )x i =
i=1
n∑
x ⊺ ¯x i x i . (8.9)
i=1
Aplicando T a x e usando o facto de x i ser um vector próprio de T, com valor
próprio λ i , obtemos
n∑
T x = λ i (x, x i )x i . (8.10)
i=1
Embora T possa actuar de uma forma complicada em x, em cada parcela da soma
(8.9) a sua acção é simples. Isto mostra a vantagem de usar os vectores próprios
como base. Podemos ainda escrever a soma (8.10) de uma forma mais conveniente
197

com vista à sua generalização a espaços de Hilbert com dimensão infinita. Para
cada vector próprio λ i associamos o subespaço próprio E(λ i ) definido por
E(λ i ) = {x ∈ H| T x = λ i x}.
A projecção ortogonal P i := P λi sobre E(λ i ) é definida da seguinte forma
P i : H −→ E(λ i ), x ↦→ P i (x) := α i x i .
P i está bem definida, de facto para cada x ∈ H, P i (x) ∈ E(λ i ), visto que
T(P i (x)) = α i T x i = λ i α i x i = λ i P i (x).
Portanto, a igualdade (8.9) pode escrever-se como
n∑
x = P i x =⇒ I =
e a igualdade (8.10) dá lugar a
n∑
T x = λ i P i x =⇒ T =
i=1
i=1
n∑
i=1
P i
n∑
P i . (8.11)
Isto é a representação de T em termos de projecções e dos valores próprios. Por
outras palavras, o espectro de T é utilizado para obter a representação de T, dada
em (8.11), em termos de operadores simples como são as projecções P i .
Teorema 8.22 (Espectral) Seja T ∈ B(H) um operador auto-adjunto e compacto.
Então
1. Existe um sistema ortogonal (e n ) ∞ n=1
de vectores próprios de T com valores
próprios correspondentes (λ n ) ∞ n=1
tal que para qualquer x ∈ H temos
∞∑
T x = λ n (x, e n )e n .
Se (λ n ) ∞ n=1 é uma sucessão infinita, então λ n → 0, n → ∞.
n=1
2. Inversamente, se (e n ) ∞ n=1 é um sistema ortogonal em H e (λ n) ∞ n=1
é uma sucessão
de números reais finita ou infinita tal que λ n → 0, então o operador
T definido por
∞∑
T x := λ n (x, e n )e n
é linear auto-adjunto e compacto.
Prova. Sem prova.
n=1
i=1
198

Exercícios
Exercício 8.14 Seja T um operador compacto auto-adjunto em H cuja representação
espectral é dada por (8.11). Mostre que
1. Para qualquer k ∈ N temos
T k =
n∑
λ k i P i.
i=1
2. Para qualquer z ∈ ρ(T) e x ∈ H, temos
T −1
z x =
n∑
(λ i − z) −1 P i x.
i=1
Exercício 8.15 Um subespaço X ⊂ H diz-se invariante sob a acção de um operador
T ∈ B(H) se T(X) ⊂ X, isto é, T x ∈ X, para qualquer x ∈ X.
1. Mostre que o subespaço próprio E(λ) do operador T associado a λ é invariante.
2. Mostre que se X ⊂ H é um subespaço invariante do operador T ∈ B(H),
então X ⊥ é um subespaço invariante de T ∗ .
199