Teoria dos Jogos - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio

Opções Reais: Teoria e Prática de Análise de
Investimentos sob Incertezas
Análise Estratégica de
Investimentos com Teoria dos Jogos
Marco Antonio Guimarães Dias,
Professor Adjunto, tempo parcial
Rio de Janeiro, Outubro de 2009 .
Bibliografia
Livros-texto (cobrem apenas parte da matéria):
Parte de teoria dos jogos: MWG = Mas-Colell, A. & M.D. Whinston
& J.R. Green (1995): “Microeconomic Theory” (espec. caps. 7 a 9);
OR e Jogos de OR: DP = Dixit & Pindyck (1994): “Investment under
Uncertainty” (dinâmica da indústria e jogos de OR: caps. 8 e 9).
Bibliografia complementar que mais uso em teoria dos jogos:
Dutta, P.K. (1999): “Strategies and Games”. MIT Press.
Gibbons, R. (1992): "Game Theory for Applied Economists".
Osborne, M.J. (2004): “An Introduction to Game Theory”.
Fudenberg, D. & J. Tirole (1991): “Game Theory”. MIT Press
Shy, O. (1995): “Industrial Organization – Theory and Applications”.
Menezes, F.M. & P. K. Monteiro (2005): "An Introduction to Auction Theory".
Bibliografia complementar que mais uso em jogos de OR:
Huisman, K.J.M. (2001): “Technology Investment: A Game
Theoretic Real Options Approach”.
Smit, H.T.J. & L. Trigeorgis (2004): “Strategic Investment – Real
Options and Games”.
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O Que É a Teoria dos Jogos?
A teoria dos jogos modela decisões interdependentes
entre agentes que se interagem (conflito ou cooperação).
Os agentes podem ser firmas, instituições, coalizões de
firmas ou pessoas, países, pessoas, animais irracionais, etc.
O escopo de teoria dos jogos é bem amplo, sendo usado
em vários ramos das ciências sociais, como economia,
mas também ciências biológicas (conflito de animais).
Tem livros só com foco em biologia, em direito, finanças, etc.
Sendo nosso foco em economia/finanças, vamos discutir
a interação estratégica racional entre firmas ou pessoas.
Não basta pensar qual a melhor decisão para você, é necessário
considerar o que os outros agentes podem fazer e também que
eles estão antecipando o que você pode fazer otimamente.
É necessário “calçar os sapatos do outro jogador”, i. é, se colocar no
lugar do outro, ver suas alternativas e ver o que ele sabe sobre você.
Nossa ênfase será mais normativa, i. é, como o jogo deve ser jogado.
Mercado em Competição Perfeita
Num mercado em competição perfeita todas as firmas
são (ou se comportam como) tomadoras de preço e
produzem um mesmo bem homogêneo (commodity).
As firmas não “exergam” uma curva de demanda para
maximizar o lucro ajustando quantidades. Podem produzir
qualquer quantidade que o preço será o mesmo.
Para a firma a curva de demanda (q x P) é uma reta horizontal e a
elasticidade da demanda (η) é infinito. O mercado tudo absorve.
As firmas não podem ajustar preços para maximizar o lucro, pois
a firma nada venderia com um preço maior e um preço menor
seria sub-ótimo, já que reduziria seu lucro (ou geraria prejuízo).
Já a indústria “enxerga” uma curva da
demanda Q(P) ou gráfico Q x P.
É + usada a função demanda inversa P(Q).
O preço de equilíbrio num certo instante t
é dado pela interseção das curvas de
demanda x suprimento da indústria:
P
P E
Equilíbrio S
E
D
Q E
Q
2

Mercado em Competição Perfeita
Além disso, não é permitido as firmas entrar em colusão
p/ maximizar o lucro ajustando o nível de produção Q.
O conceito de indústria em competição perfeita independe
do número de firmas, pode ocorrer até com só 1 firma.
O resultado do duopólio de Bertrand equivale a comp. perfeita.
Mas dinamicamente uma indústria converge da competição
imperfeita para a perfeita, na maioria dos casos, apenas quando
o número de firmas cresce p/ uma grande quantidade de firmas.
O resultado clássico (Marshall) mais importante p/ nós é:
Em competição perfeita, com livre entrada de firmas, o preço
em equilíbrio é tal que o VPL da firma entrante é zero.
O mercado em equilíbrio com preço P, é condicional ao
estado da demanda e da oferta da indústria no tempo t.
Depois, essa teoria microeconômica clássica será estendida p/
um modelo dinâmico de competição perfeita. As curvas de
oferta e demanda oscilam e logo o preço será estocástico.
Estruturas de Competição num Mercado
VPL entrar = 0 Tipo de Competição
VPL entrar ≥ 0
Perfeita
‣ Firma tomadora de preço;
‣ Decisão: quantidade a produzir.
Oligopólio
‣ Idem duopólio.
Duopólio
‣ Firma tem demanda residual;
‣ Decisão: quantidade ou preço.
Imperfeita
Monopólio
‣ Firma vê curva de demanda;
‣ Decisão: quantidade ou preço.
Não-Cooperativo
Cooperativo
Estático
‣ Colusão: tácita ou coordenada.
Dinâmico
Seqüencial
‣ Modelos de líder-seguidor;
‣ Decisão: quantidade ou preço.
Adaptado de “Industrial
Organization”, O. Shy (1995)
Simultâneo
Bertrand
‣Decisão: preço
Jogos Repetidos
Cournot
‣Decisão: quantidade
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T. Schelling e o Pensamento Estratégico
O raciocínio estratégico da T.J. é bem ilustrado a seguir:
Prêmio Nobel de 2005, T. Schelling se diz só um usuário
da teoria dos jogos, mas ele deu várias contribuições:
A obra clássica de Thomas Schelling, “Estratégia do Conflito”
(1960) deu muita intuição sobre conflitos tais como a guerra
fria, assim como em outras situações de conflito e cooperação.
O conceito de “commitment” crível: atitudes aparentemente
irracionais de eliminar opções para deixar claro o compromisso
de que ele irá seguir um caminho, criando uma ameaça crível.
Ex.: caso do conquistador espanhol Cortés, que queimava os
próprios navios para deixar claro ao seu pessoal e ao inimigo que
a opção de recuar seria impossível. Outro ex.: queimar pontes.
Coordenação tácita com o conceito de ponto focal.
Ex.: um casal marca encontro em New York ao meio-dia, mas
não especifica o local. Pontos focais: Empire State e Penn Station.
Deu contribuições à teoria de barganha (1956), especialmente a
discussão de ameaças críveis e não-críveis (citei na minha tese).
OR e Jogos: Teorias Complementares
Em jogos de opções reais, o problema de maximização de
valor da firma que analisa um investimento, deve
considerar a presença de outras firmas como jogadores:
Os “players” reagem otimamente aos processos estocásticos
relevantes (exógeno) e às ações das outras firmas (endógeno).
Onde “endógeno” significa que depende do nosso controle ótimo
e “exógeno” não depende (entra como restrição na otimização).
A teoria dos jogos é necessária e entra nas condições de contorno
(principalmente), com considerações sobre o equilíbrio do jogo.
As teorias dos jogos e de OR são teorias complementares:
A teoria dos jogos tradicional sozinha ignora os avanços da
teoria de finanças sobre risco-retorno e sobre o valor da
flexibilidade gerencial sob incerteza (ignora as opções reais).
A teoria das opções reais (OR) tradicional sozinha ignora o
fato que o exercício de opções pelas outras firmas pode alterar
o valor da sua opção real (ignora a interação estratégica).
Conceitos de equilíbrio sob incerteza com opções são requeridos.
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Conceitos Básicos de Teoria dos Jogos
Um jogo pode ser cooperativo ou não-cooperativo:
Num jogo cooperativo é permitido aos jogadores fazerem
acordos entre si (um contrato, “acordo de cavalheiros”, etc.)
Nos jogos não-cooperativos não são permitidos acordos.
Jogos não-cooperativos são mais adequados para modelar a
competição e a evolução do mercado (microeconomia).
Jogos cooperativos são mais adequados p/ modelar barganha,
contratos, a firma, acordos sociais, acordos internacionais...
Jogos cooperativos são usados para modelar a firma, por ex.
Jogos não-cooperativos usam conceitos de equilíbrio para
prever o resultado de um jogo (em geral não são Pareto ótimo).
Jogos cooperativos geralmente usam axiomas para estabelecer
regras de como se deve jogar. Busca-se o Pareto ótimo.
Enfocaremos quase que só os jogos não-cooperativos por
serem muito mais usados em economia e finanças (em
especial a competição) do que os jogos cooperativos.
Conceitos Básicos de Teoria dos Jogos
Os jogos podem ser classificados como jogos de somafixa
e jogos de soma variável (esses são mais relevantes).
Regras do jogo (não-cooperativo, se não especificado):
Os lances dos jogadores são simultâneos ou alternados?
Quem joga e quando?
O que cada jogador sabe (conjunto de informação) na sua vez
de jogar? O que os outros jogadores sabem nesse instante?
Quais as ações e planos (estratégias) possíveis?
Resultados e payoffs: para cada conjunto de estratégias,
qual é o resultado do jogo? Quanto vale esse resultado?
Na teoria dos jogos tradicional, que em muitos casos analisa as
decisões de indivíduos, usa-se a função utilidade esperada.
Para firmas, a moderna teoria de finanças recomenda usar
valores de mercado ou valores de opções reais (ativos reais).
Nos jogos de opções reais os payoffs são valores de opções reais.
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Teoria dos Jogos: Origens e Conceitos
A moderna teoria dos jogos começa com Nash em 1950’s
O chamado equilíbrio de Nash é o conceito mais importante e
mais aceito da teoria dos jogos não-cooperativos.
É a base de outros equilíbrios (perfeito, Bayesiano, etc.)
Nash também formulou a mais importante solução em jogos
cooperativos: a solução de Nash para jogos de barganha.
Conceitos antigos como o minimax e maximin (ver anexo), vem
perdendo o interesse na literatura econômica.
Algumas definições básicas de teoria dos jogos.
Defini-se estratégia s i do jogador i como uma regra de decisão
ou plano contingente completo que descreve as ações a serem
tomadas em cada possível evolução do jogo onde o jogador i é
chamado a jogar. Se a estratégia for determinística, é chamada
de estratégia pura, se probabilística é chamada estratégia mista.
As estratégias dos outros jogadores são denotadas por s − i .
Um jogo é descrito especificando os jogadores, as regras, os
possíveis resultados e os valores (“payoffs”) desses resultados.
Representação Formal dos Jogos
Os jogos não-cooperativos podem ser formalizados e
apresentados em dois formatos (a serem detalhados):
Na forma normal (ou estratégica), denotada por Γ N , com uma
representação por matrizes para os payoffs dos jogadores;
Na forma extensiva, denotada por Γ E , com uma árvore de jogos.
Árvore de jogos éuma árvore de decisão generalizada para
múltiplos decisores (os jogadores).
Os jogos cooperativos precisam de um terceiro formato:
É preciso considerar a possibilidade de coalizões, isto é, subconjuntos
dos N jogadores. Existem 2 N − 1 coalizões possíveis.
As coalizões S ⊆ N jogam entre si diferentes tipos de jogos e
internamente possuem uma regra de divisão do payoff ganho.
A forma coalizão, denotada por Γ C , através da definição do par
{N; C} no jogo de N jogadores e com função característica C(S).
A função característica C(S) representa as possibilidades de
cooperação para a coalizão S. É a utilidade total da coalização S
(ou riqueza ou poder de S) a ser transferida aos seus membros.
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ExemplonaForma Normal ouEstratégica
Exemplo: jogo do par ou ímpar com disputa de 1 R$
Estratégias puras
para o jog. 1
Jogador 2
(ímpar)
par ímpar
Estratégias puras
para o jog. 2
par
Jogador 1
(par)
ímpar
1; 0 0; 1
0; 1 1; 0
Payoff do jog. 1 Payoff do jog. 2
Veremos que o único equilíbrio do jogo do par ou ímpar é o
equilíbrio probabilístico ou em estratégias mistas: cada jogador
joga “par” com 50% de chance e “ímpar”com 50% chances.
Dado um conjunto de estratégias puras S i
, uma estratégia mista para
um jogador i é uma função σ i
: S i
→ [0, 1], que assinala a cada estratégia
pura s i
∈ S i
, uma probabilidade σ i
(s i
) ≥ 0. A soma dos σ p/ todos s i é= 1.
Jogo do Par ou Ímpar na Forma Extensiva
A forma extensiva é mais usada para jogos dinâmicos e com
lances seqüenciais. Mas pode ser usada também p/ jogos
com lances simultâneos, como no jogo do par ou ímpar:
par
Jogador 1
ímpar
Jogador 2
par ímpar par ímpar
Elipse significa que o
jog. 2 não sabe em qual
dos dois nós ele está.
(usa-se tb. reta tracejada)
Convenção payoff:
jog. 1 pediu par
jog. 2 pediu ímpar
(1; 0) (0; 1) (0; 1) (1; 0)
Nos jogos simultâneos ou de informação imperfeita, usa-se uma
elipse circundando os nós do mesmo conjunto de informação.
Se o jogo fosse de lances alternados, o jogador 2 saberia em
que nó ele estaria e poderia ganhar $1 com a melhor resposta.
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Jogos Dinâmicos de Opção
Jogos dinâmicos envolvem seqüências de ações.
Constitui a maioria dos jogos de opções reais.
Ex.: jogo de opção real com duas firmas. Elas decidem
de forma seqüencial se exercem (E) ou não exercem (NE)
uma opção de entrar. Os payoffs são valores de opções.
D i = valor em duopólio da firma i e M i = valor em monopólio de i.
E
E
(D 1 ; D 2 ) (M 1 ; 0)
Firma 1
Firma 2
NE E
NE
(0; M 2 )
NE
Note que na forma normal
não se poderia capturar a
dinâmica do jogo. Por isso é
necessária a forma extensiva.
Aqui o jogo é de informação
perfeita, pois a firma 2 decide
sabendo o lance jogado pela
firma 1.
(0; 0)
Conceitos Básicos de Teoria dos Jogos
Um jogo é dito de informação perfeita se cada conjunto
de informação só contém um nó de decisão da árvore.
Caso contrário é dito de informação imperfeita. Ex.: pôquer.
Já o jogo de xadrêz é exemplo de jogo de informação perfeita.
Algumas premissas usuais em teoria dos jogos:
O jogo é assumido ser de memória perfeita (“perfect recall”), i.
é, uma jogadora nunca esquece a informação que sabia antes
de chegar até aquele estágio do jogo.
Também se assume conhecimento comum (“common
knowledge”), i. é, cada jogador conhece a estrutura do jogo
(inclusive os valores) e sabem que os outros também conhecem,
que sabem que os outros sabem que eles conhecem, etc.
Um perfil de estratégias puras de um jogo com J jogadores
é um vetor s = (s 1
, s 2
, … s J
) em que s i
é escolhida pelo
jogador i. Pode ser escrito como (s i
, s − i
) para ressaltar o
ponto de vista de i em relação aos outros J – 1 jogadores.
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Estratégia Dominante e o Dilema dos Prisioneiros
Estratégia dominante é uma estratégia que é ótima para
um jogador independentemente da(s) estratégia(s)
escolhida(s) pelo(s) outro(s) jogador(es) (s − i ).
Equilíbrio com estratégias dominantes é quando cada jogador
possui e joga a sua estratégia dominante. Ex. clássico a seguir.
O dilema dos prisioneiros é um jogo clássico que ilustra a
não-cooperação como equilíbrio com estratégia dominante.
Dois ladrões são presos e colocados em salas separadas. Para cada
ladrão, o detetive propõe que ele confesse o crime e sirva de
testemunha contra o outro. Se um dos ladrões confessar o crime e o
outro não, aquele que confessou será posto em liberdade e o outro
cumprirá pena de 10 anos. Se os dois confessarem, ambos ficarão
presos por 3 anos. Se nenhum dos dois confessarem, a penalidade
será de apenas um ano. Qual o resultado mais provável do jogo?
Note que se eles pudessem se comunicar e fazer acordos críveis de
serem cumpridos, a estratégia cooperativa (não-confessar) seria a
melhor para ambos. Sem acordo, só há o incentivo de trair o outro.
O Jogo Dilema dos Prisioneiros
Os payoffs são “anos de cadeia” com sinal negativo.
Assim, valores mais próximos de zero são os preferíveis.
confessa
(não-coopera)
Prisioneiro 2
não confessa
(coopera)
Prisioneiro 1
confessa
(não-coopera)
não confessa
(coopera)
−3; −3 0; −10
−10; 0 −1; −1
O equilíbrio é em estratégias dominantes (um caso
particular de equilíbrio de Nash) e é muito comum em
várias situações sociais (ex.: a tragédia dos comuns).
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Dilema dos Prisioneiros: O Jogo da Propaganda
Um exemplo de dilema dos prisioneiros na área de
decisão de investimentos é o jogo da propaganda.
Cenário: Duas firmas concorrentes, Firma 1 e Firma 2,
têm de decidir quanto gastar em propaganda.
Estratégias: muita propaganda, pouca propaganda.
Os resultados são mostradas abaixo:
Jogador 2
muita pouca
Jogador 1
muita
pouca
4; 4
10; 1
1; 10 6; 6
Equilíbrio em estratégias dominantes: Nesse jogo, ambas as firmas têm a
mesma estratégia dominante. Dessa forma, o resultado do jogo é (4; 4).
Dilema dos prisioneiros: o equilíbrio não é Pareto ótimo, não éo resultado
que os jogadores escolheriam se eles pudessem cooperar de forma crível.
Dilema dos Prisioneiros: História e Relevância
O dilema dos prisioneiros é talvez o jogo mais conhecido
porque é uma situação que se repete muito em
economia, política e em outros ramos de conhecimento.
Apesar de existir ganhos de cooperação, cada jogador tem um
incentivo de não-cooperar para qualquer estratégia do outro.
Um ex. em política é a corrida nuclear: apesar de construir
bombas ser caro, muitos países querem evitar a pior situação
(menor payoff) que seria o outro país ter a bomba e ele não ter.
Outro exemplo é a chamada “Tragédia dos Comuns”, um caso
clássico de sociologia, em que apesar da cooperação gerar
benefícios, frequentemente ela não ocorre. Ver slides do anexo.
O esquema dilema dos prisioneiros surgiu em jan/1950
quando os profs. M. Dresher e M. Flood usaram ele para
criticar o então novo conceito de equilíbrio de Nash (EN).
Veremos que o resultado desse jogo é um caso particular de EN
A estória original é de A. Tucker (1950), orientador de Nash.
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O Jogo do Aquecimento Global
Outra aplicação do dilema dos prisioneiros é o drama do
aquecimento global. A cooperação (redução de emissões) é
melhor para todos, mas os países não reduzem as emissões.
No discurso, todos dizem que é “urgente” impedir o aquecimento
global, mas poucos realmente se comprometem com isso.
Na prática o que eles dizem é que é urgente que todos os países,
exceto o deles, reduzam as emissões.
Ou seja, querem ter o benefício da redução de emissões, sem ter o
custo de reduzir o crescimento econômico do seu país.
Com a maioria dos países se comportando segundo os seus próprios
interesses, o resultado deve ser o desastre ambiental, embora seja
Pareto ótimo a cooperação. É o dilema dos prisioneiros.
Ver no material o artigo traduzido do The Economist: “Quem
perde e quem ganha no jogo do clima?”
Esse problema gerado pelo dilema dos prisioneiros pode
ser solucionado com jogos repetidos (a ser visto) e com a
introdução de estratégias de punição e recompensa.
Estratégia de Melhor Resposta
Seja V i
(σ i
, σ − i
) o valor da estratégia mista σ i
para o
jogador i quando os demais jogam as estratégias mistas
σ − i
. A estratégia σ i
éa melhor resposta de i para o perfil
σ − i
de J – 1 estratégias mistas dos outros jogadores se:
V i
(σ i
, σ − i
) ≥ V i
(σ i
’, σ − i
) , para qualquer σ i
’ ∈ ∆(S i
)
∆(S i
) é o conjunto simplex do conjunto das estratégias
puras S i
. O simplex é uma extensão do conjunto de
estratégias puras S i
que assinala probabilidades a todas
as M estratégias puras disponíveis para o jogador i.
A definição de estratégia pura de melhor resposta é similar.
A estratégia pura pode ser vista como uma estratégia mista
degenerada (prob. = 1 p/ uma estratégia e zero para as demais)
O conceito de melhor resposta é importante, pois será
visto que o equilíbrio de Nash pode ser visto como um
ponto fixo de estratégias de melhor resposta simultânea.
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Equilíbrio de Nash (1950)
O perfil de estratégias s = (s 1
, s 2
, … s J
) é um equilíbrio de
Nash (EN) em estratégias puras de um jogo se, para todo
jogador i = 1, 2, …, J, vale a desigualdade:
V i
(s i
, s − i
) ≥ V i
(s i
’, s − i
) , para qualquer s i
’ ∈ S i
O EN implica que as estratégias que fazem parte desse
equilíbrio são simultaneamente as melhores respostas para
todos os jogadores. Esse é um resultado fundamental.
Dessa forma, não há incentivo para nenhum jogador desviar
desse equilíbrio, unilateralmente. Ex.: dilema dos prisioneiros.
Para saber se é equilíbrio de Nash, basta fazer a seguinte
pergunta a cada jogador separadamente: mudando a sua
estratégia você ficaria melhor (aumentaria V i
)? Se as respostas
de todos os jogadores forem negativas, então é um EN.
A definição de EN para estratégias mistas é similar à apresentada.
Para se testar se o perfil σ é EN, basta testar desvios de σ para as
estratégias puras s. Se não houver incentivo para desviar, σ éEN.
Eq. de Nash: Competição Internacional
Embraer x Bombadier no mercado de jatos executivos
Suponha que sem subsídios para a Bombadier, a matriz
de payoffs para a fabricação de um novo modelo de jato é:
Desenvolve
Bombadier
Não Desenvolve
Embraer
Desenvolve
−10; −10 100; 0
Não Desenvolve
0 ; 100 0; 0
Ou seja, dois EN em estratégias puras (e um EN em
estratégias mistas). Na prática, existem os riscos de ambos
desenvolverem o jato e terem prejuízo, ou não investirem.
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Mercado de Jatos Executivos com Subsídios
Agora suponha que o governo do Canadá dá $ 20 de
subsídio para a Bombadier para desenvolver jatos
executivos (ex.: taxas de juros abaixo do mercado).
A nova matriz de payoffs mostra a mudança do EN:
Desenvolve
Bombadier
Não Desenvolve
Embraer
Desenvolve
−10; +10 100; 0
Não Desenvolve
0; 120 0; 0
Ou seja, o subsídio fez com que a estratégia investir (desenvolver
o projeto de jato executivo) se tornasse estratégia dominante para
a Bombadier. O único EN é a Bombadier sozinha no mercado.
Jogos Repetidos: Cooperação é Possível
No dilema dos prisioneiros vimos que não é equilíbrio
{cooperar; cooperar}, mesmo sendo Pareto dominante.
No entanto, foi assumido que o jogo é jogado apenas uma vez.
Existem casos em que o jogo pode ser repetido pelas
firmas e o resultado {cooperar; cooperar} pode ser EN.
Com a repetição, cada firma pode criar reputação sobre o seu
comportamento e aprender sobre o comportamento dos rivais.
Ocorre no caso de poucas firmas, com demanda e custos estáveis.
Estudos experimentais tais como “torneios de repetidos
dilema de prisioneiros”, mostra que a estratégia “tit-fortat”
(retribuição/retaliação) pode sustentar a cooperação
Tit-for tat: estratégia é cooperar no instante inicial e continuar
cooperando enquanto o outro coopera. Retaliar (não cooperar)
se o outro não-coopera. Voltar a cooperar se o outro o fizer.
Teoremas populares (“folk theorems”) para jogos repetidos
infinitamente, mostram que a cooperação pode ser EN.
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Equilíbrio de Nash (EN): Notas
O conceito de equilíbrio de Nash (EN) pode ser
intepretado e usado de várias maneiras:
Normativo: aconselhar todos os jogadores. O conselho tem de
ser equilíbrio no sentido de ter relativa estabilidade, não sendo
ótimo para um jogador ganhar mais ao não seguir o conselho.
EN é melhor resposta simultânea e não há incentivo em desviar.
Predição: Num processo dinâmico de ajustes, o EN pode ser
interpretado como um ponto estável. Muito usado em biologia.
Sustentabilidade: é um acordo “self-enforcing” (de autocumprimento),
pois não precisa de ajuda externa para manter
ao ser do próprio interesse de cada jogador seguir o EN.
O conceito de EN ajudou a deixar claro a distinção entre
jogos não-cooperativos e jogos cooperativos:
Em jogos cooperativos há acordos que podem ser forçados (em
tribunais, contratos, etc.) Em jogos não-cooperativos nãohátais
mecanismos ⇒ só resultados de equilíbrios são sustentáveis.
Eq. de Nash: Exercício & Experimento
Esse exercício é interessante como um experimento que
pode ser feito em sala de aula, mas que você pode fazer
numa roda de amigos(as) e/ou familiares.
Ilustra a necessidade do pensamento estratégico para tomada de
decisão. Ou seja, tem de pensar no que os outros farão, etc.
Peça para cada participante escrever o seu nome e um
número entre zero e 100 numa folha de papel.
Informe antes que o ganhador do jogo será aquele que
escrever o número mais próximo da metade da média
dos números escritos.
Após a primeira rodada, conhecido o vencedor e o valor
médio, peça a todos que joguem novamente o jogo.
O que ocorreu com a média e o lance vencedor, dado a “lição”
obtida com o resultado da primeira vez que foi jogado?
Determine o equilíbrio de Nash (EN) desse jogo.
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Jogo “Assurance” ou “Stag-Hunt”
O jogo Stag-Hunt e suas variantes, também conhecidas
como “assurance game” (jogo da garantia) ou jogo de
coordenação ou dilema da confiança, tem sido usado
para modelar conflitos sociais (ex.: livro de Brian, 2004,
“Stag Hunt and Evolution of Social Structure”).
Mostra o dilema entre a segurança x cooperação social.
Estória (Rousseau): dois caçadores podem caçar uma lebre
(hare) ou um cervo adulto (stag). A lebre pode ser caçada por
uma só pessoa, mas o cervo necessita dos dois (cooperação).
Jogo tem dois EN em estratégias puras (e um em est. mistas),
sendo um risco dominante e outro payoff dominante. Ex.:
Caçador 2
Cervo Lebre
Cervo 4 ; 4 0 ; 3
Caçador 1
Lebre 3 ; 0 3 ; 3
Software Para Jogos na Forma Normal
Um dos programas disponíveis na internet para resolver
jogos na forma normal é um applet Java que fica em:
http://www.gametheory.net/Mike/applets/NormalForm/NormalForm.html
Existe também uma versão em português (link na pág. acima).
O applet acha os equilíbrios para jogos de 2 jogadoras com até
4 estratégias puras (matrizes até 4 x 4) e estratégias mistas só
para o caso de matriz 2 x 2. Ver abaixo o ex. batalha dos sexos.
Ele permite carregar alguns exemplos clássicos já prontos:
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Software Mais Geral de Teoria dos Jogos
O software Gambit é um software mais geral que
resolve jogos na forma normal e na forma extensiva.
Mesmo na forma normal, permite mais de dois jogadores
e é menos limitado que o anterior. Escrito em C++, tem
interface amigável para Windows. Última versão jan/2007.
Webpage do Gambit: http://gambit.sourceforge.net/
Inclui links para download e documentação (com arquivos
de exemplos). Exs. de janelas (formas normal e extensiva):
Preços e Curva de Demanda Inversa
A curva de demanda de um produto relaciona preços com a demanda.
Preço mais baixo tem maior demanda e preço alto tem menor demanda.
No duopólio, as firmas têm como dado uma função demanda
inversa p = f(Q T ): o preço do produto é função da produção da
indústria Q T = q 1 + q 2 . As estratégias das firmas são q 1 e q 2 .
Ver os gráficos das curvas de demanda exponencial e linear (planilha).
Nas figuras aparecem duas curvas de demanda, uma delas elevada
refletindo uma economia aquecida (vermelha) e a outra mais baixa,
refletindo um desaquecimento do consumo (curva azul).
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Competição por Quantidades em Duopólio
Duas firmas dividem um mercado geográfico de um produto.
Equilíbrio de Cournot (1838): simultaneamente e de forma
independente os jogadores escolhem as quantidades, e o
preço é tal que o total ofertado é igual a demanda.
Veremos que o resultado de Cournot é um EN único para esse jogo
em que as estratégias são quantidades escolhidas simultaneamente.
Curva de reação de Cournot: especifica a produção ótima de uma
firma em função das possíveis produções da outra firma.
Equilíbrio de Stackelberg: sequencialmente, em dois estágios,
uma firma (líder) estabelece sua produção e depois a outra firma
(seguidor), observando o líder, estabelece a sua própria produção.
A produção e o lucro no modelo de Stackelberg são maiores para o
líder e menores para o seguidor (vantagem de jogar primeiro). O
líder maximiza o lucro dado a curva de reação do seguidor.
Iremos ver depois que esse resultado é um EN perfeito em subjogos
para o jogo seqüencial em que as estratégias são quantidades. Mas
ele tem problemas de inconsistência temporal: não é EN se o jogo
continuar após a entrada do seguidor (há incentivo p/ desviar).
Monopólio com Demanda Linear
Dada a relação 1-1 entre preço e quantidade estabelecida
na curva de demanda, um monopolista pode escolher ou
preço ou quantidade a produzir, mas não ambas.
O monopolista irá maximizar o lucro seja usando o preço
ou usando a quantidade como variável de controle.
Seja uma curva de demanda linear (a mais usada) dada
por p = a – b Q. Assuma que o custo fixo do monopolista
é zero e o custo variável é c. O lucro do monopolista é:
π M = p Q – c Q ⇒ π M = (a – b Q) Q – c Q = (a –c) Q –b Q 2 .
Para maximizar o lucro usa-se a condição de 1ª ordem
(CPO): ∂π M /∂Q = 0 (checar a de 2ª ordem: ∂ 2 π M /∂Q 2 < 0).
Os valores obtidos (quantidade, preço e lucro, respectiv.) são:
q
M
a−
c
2b
= pM
a+
c
=
2
π
M
(a − c)
=
4b
2
17

Duopólio em Quantidades de Cournot
No problema da escolha ótima de quantidade q i , a(s)
firma(s) resolvem problemas de maximização de lucro π i .
Para maximizar o lucro usa-se a condição de 1ª ordem
(CPO): ∂π i /∂q i = 0 (checar a de 2ª ordem: ∂ 2 π i /∂q i2 < 0).
No caso do duopólio, o equilíbrio de Nash-Cournot é
obtido com ambas as firmas escolhendo as quantidades
que maximizam o lucro, considerando no problema de
otimização que a firma rival estará fazendo o mesmo.
Pois o EN é a melhor resposta simultânea (não há incentivo
para nenhum jogador desviar se estiver sendo jogado o EN) e é
assumido conhecimento comum (a firma sabe que a outra ...).
Melhor resposta simultânea: curvas de melhor resposta se cruzam.
Se o custo operacional (fixo + variável) de cada firma é
C i (q i ) e a função demanda é p(Q T ), as funções lucros são:
π 1 = q 1 p(Q T ) − C 1 (q 1 ) e π 2 = q 2 p(Q T ) − C 2 (q 2 )
Duopólio em Equilíbrio de Nash-Cournot
Seja uma curva inversa de demanda linear (por ser mais
simples, é a mais usada), onde os preços são dados por:
p(Q T
) = a − b Q T
⇒ p(Q T
) = a − b (q 1
+ q 2
) ,
com q 1 ≥ 0 ; q 2 ≥ 0 ; e a e b tal que p > 0
Se o custo fixo é zero, a função lucro da firma i (1 ou 2) é:
π i = q i a − q i b (q 1 + q 2 ) − c i q i = q i (a − c i ) − q i b (q 1 + q 2 )
Onde c i é chamado de custo operacional variável da firma i.
A curva de reação ou curva de melhor resposta da firma i
(i = 1; 2) em relação a produção da firma j (j ≠ i), q i *(q j ),
é obtida com a condição de 1ª ordem (CPO).
A interseção das duas curvas de reação, q 1
*(q 2
) e q 2
*(q 1
),
é o ponto de melhor resposta simultânea ⇒ éEN!
Para tal, basta substituir a curva de melhor resposta de
uma na da outra, isto é, obter q 1
*(q 2
*) e q 2
*(q 1
*). O par
{q 1
*(q 2
*); q 2
*(q 1
*)} é EN (próx. slide):
18

Competição de Cournot em Duopólios
Nesse caso com custo fixo igual a zero e demanda linear,
as curvas de reação q i *(q j ), os lucros π i , o preço e as
quantidades em EN-Cournot {q 1 *(q 2 *); q 2 *(q 1 *)} são:
Funções melhor
resposta (reação):
Funções Lucro
em EN-Cournot:
Preço em EN-Cournot:
Quantidades em EN
(estratégias em EN):
q(q)
1 2
a−c − b q
2b
a−c − b q
2b
1 2
2 1
= q(q)
2 1
=
p
EN-C
= a − b Q
q(q)
=
EN-C
T
a− 2 c + c
3b
* * 1 2
1 2
=
a+ c + c
3
q(q)
1 2
=
a− 2 c + c
3b
* * 2 1
2 1
Assim, quanto menor o seu próprio custo e maior o custo do oponente,
maior o seu lucro e a sua produção no EN-Cournot (como esperado).
Como a > c i , o preço em EN é maior que o custo médio das firmas.
Os gráficos a seguir ilustram o cruzamento das curvas de reação (EN).
Curvas de Reação em Cournot
A curva de reação da firma (jogador) 1 dá a melhor
resposta q 1 a cada possível estratégia q 2 da firma 2.
Solução de Monopólio (só firma 1 produz)
a−
c 1
2b
q 1
Curva de Reação q 1 *(q 2 )
q 2
Produção q 2 equivale a
Competição Perfeita
(firma 1 não produz)
a−
c 1
b
A curva de reação da firma 2 é similar (troca os eixos dos X com
os dos Y). Girando um dos gráficos (para que os eixos coincidam)
poderemos ver o cruzamentos das curvas (= EN), ver slides:
19

Curvas de Reação em Cournot
A curva de reação da firma (jogador) 2 dá a melhor
resposta q 2 a cada possível estratégia q 1 da firma 1.
q 2
Girando ⇒
a−
c 2
Curva de Reação q 2 *(q 1 )
2b
a−
c 2
b
q 1
q 2
Curva de Reação q 2 *(q 1 )
q 1
q 1
a−
c 2
b
Curva de Reação q 2 *(q 1 )
a −
c 2
2
2b
2b
q 2
a−
c 2
b
Curvas de Reação e EN em Cournot
O cruzamento das curvas de reação é o ponto em que
temos melhor resposta simultânea ⇒ EN.
q 1
q 2
a−
c 2
b
a−
c 1
2b
Curva de Reação q 2 *(q 1 )
EN-Cournot
Curva de Reação q 1 *(q 2 )
a−
c 2
2b
a−
c 1
b
20

Exemplo Numérico: Competição por Quantidades
Considere uma curva de demanda inversa linear, dada pela
equação: p = 30 − Q T
(ver planilha duopolio_sob_certeza.xls)
Por simplicidade, seja o custo variável igual a zero, ou, de
forma alternativa, considere p a margem de lucro operacional.
A função lucro π i
da firma i é a margem vezes as vendas:
π i = p q i = (30 − Q T ) q i
Na competição perfeita, as firmas irão produzir até a margem p
cair a zero (logo, produzirão q 1 = q 2 = 15 ⇒ Q T = 30 ⇒ p = 0);
No monopólio, a única firma escolhe Q T p/ maximizar o lucro
(derivada do lucro π em relação à produção = 0 ⇒ Q T = 15); e
Colusão é quando as firmas se juntam e agem como monopólio
Vimos que no duopólio onde as estratégias simultâneas
são quantidades, o equilíbrio de Cournot é o EN do jogo.
A curva de reação da firma i é obtida pela maximização ∂π i / ∂q i =
0, que dá as curvas de melhor resposta q i = f(q j ) p/ cada jogador.
O cruzamento dessas curvas é o EN de Cournot (ponto fixo).
Duopólio: Vários Possíveis Resultados
Para entender os possíveis equilíbrios, serão plotadas as curvas
de reação das duas firmas, i. é, as funções melhor resposta dos
dois jogadores dada as estratégias das outras firmas.
Curva de Reação da Firma 2
(vale para Cournot e Stackelberg)
Equilíbrio de Stackelberg
Equilíbrio Competitivo
(*) Margem depois da entrada do seguidor.
Antes da entrada do seguidor a margem do
líder é p = 30 – 15 = 15 = margem da colusão.
Lucro = π i
= (30 − Q T ) q i
Uma solução
de Colusão
Curva de
Contrato
Equilíbrio de Cournot
Curva de Reação em
Cournot, Firma 1
Margem = p = 30 − Q T
21

Cournot em Oligopólios: N Firmas
Seja o caso de oligopólio com N firmas (N > 1) com
decisão simultânea competindo em quantidades
(Cournot). Considere as N firmas homogêneas (mesmo
custo unitário c) e demanda linear (custo fixo = 0).
A produção de cada firma e a produção total da indústria em
EN-Cournot é (basta resolver para 1 firma homogênea):
q
i
= q =
a − c
(N + 1) b
⇒ Q = q = N q =
T
∑
i
N (a − c)
(N + 1) b
O preço de equilíbrio no mercado (“market clearing price”) é:
2
a + N c
(a − c)
2
p =
Já o lucro de cada firma é: π
i
= = b q
2
i
N + 1
(N + 1) b
Agora podemos ver o que ocorre no mercado quando N →∞:
a − c
lim Q
T
=
lim p = c
N →∞
N →∞
b
Que são os resultados do caso de competição perfeita sem custo
de entrada para produção e preço (= custo marginal; lucro = 0).
Comparação dos Modelos
A produção da indústria é maior em competição perfeita (cp)
do que em Cournot (C) que é maior que a do monopólio (m):
(a −c) N (a −c) (a −c)
Q
cp
= > Q
C
= > Q
m
=
b (N+
1) b 2 b
Além disso, em Cournot a produção da indústria Q aumenta
com a competição (n o de firmas N) e no limite tende a c.p.:
∂Q C
(a − c)
= > 0
(a − c)
2
lim Q
C
= = Qcp
∂ N (N+ 1) b
N→∞
b
Já o preço é o contrário: o maior é em monopólio, seguido de
Cournot, e o menor preço é competição perfeita (= custo c):
a + c a + N c
p
m
= > p
C
= > p
cp
= c
2 N + 1
A competição (N grande) reduz o preço:
∂p C
− (a − c)
=
2
∂ N (N + 1)
< 0
(pois a > c)
Exercício: mostre que o lucro da indústria tem a mesma
ordenação acima para o preço e que diminui com N.
22

Oligopólio de Cournot em Fusões & Aquisições
Para ilustrar o caso de N firmas em Cournot, imagine
um mercado petroquímico com 4 firmas homogêneas.
Uma onda de fusões e aquisições fez com que o mercado
fosse reduzido de 4 para 2 firmas, também homogêneas.
Assuma que existam barreiras de entrada de produtos de
firmas estrangeiras devido a custos de transporte e tarifas
alfandegárias, de forma que só essas firmas competem.
Isso é realista no Brasil apenas dentro de certos limites de preços.
Assuma que a curva de demanda do mix de produtos é
linear e dada por p = 180 – 8 Q T , onde p = preço do mix
de produtos e o custo médio unitário é c = 70 $/unidade.
Determine os preços, quantidades e lucros em equil. de Nash-
Cournot antes e depois das fusões. Quem ganha e quem perde?
Agora considere que as fusões permitiram uma redução de
custo unitário para c´ = 60 $/unidade. Quais são os novos
preços, quantidades e lucros? Use a planilha oligopolio.xls.
Oligopólio de Cournot em Fusões & Aquisições
Os resultados do caso de fusões sem reduzir custos são:
Assim, as firmas ganharam com as fusões, mas em
detrimento da renda dos consumidores (maiores preços).
Os resultados do caso de fusões com redução de custos são:
Ainda assim os preços subiram, embora menos que o caso anterior.
Qual seria a redução de custo necessária para que os
preços ao consumidor não aumentem? R: c´ = 48 $/unid.
23

Jogos Dinâmicos
Até aqui vimos só jogos estáticos, onde os jogadores se
encontravam uma só vez, o tempo não era uma variável.
Agora serão vistos jogos dinâmicos onde o tempo é
relevante e/ou os jogadores se encontram várias vezes.
Os jogos dinâmicos podem ser jogos repetidos ou não-repetidos.
Os jogos dinâmicos podem ser determinísticos ou estocásticos.
Antes, os elementos ação e estratégia se confundiam, mas
em jogos dinâmicos é necessário lembrar a diferença:
Uma estratégia s i do jogador i éum plano completo de ações tal
que especifica uma ação factível a i, c em cada contingência c na
qual o jogador i possa ser chamado a jogar.
Cada contingência c pode ser interpretada como cada instante t.
A ação de um jogador pode ou não ser observável pelo(s) outro(s).
Para analisar jogos dinâmicos precisamos do conceito de
Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos (ENPS).
Refinamentos do EN: Equilíbrio Perfeito
O grande problema prático do EN é que geralmente se
têm múltiplos ENs. Isso é freqüente em jogos dinâmicos.
A pergunta natural é: qual o equilíbrio que deve prevalecer?
Em jogos dinâmicos, o conceito de EN não consegue eliminar
várias estratégias não-críveis. É necessário adicionar uma
racionalidade seqüencial no caminho do equilíbrio.
Princípio da racionalidade seqüencial: a estratégia de um jogador
deve especificar ações ótimas em todos os pontos da árvore de jogos.
Selten (1965) introduziu o conceito de equilíbrio de Nash
perfeito em subjogos (ENPS) para jogos dinâmicos.
ENPS usa o princípio da racionalidade seqüencial e o
conhecido processo de otimização backwards (retro-indução):
Estabelece primeiro as estratégias ótimas nos nós terminais e
depois vai estabelecendo as estratégias ótimas nos nós anteriores.
O precursor foi o teorema Zermelo (1913) que pode ser enunciado
assim “todo jogo finito de informação perfeita tem um EN em
estratégias puras que pode ser obtido através de retro-indução”.
24

Subjogos
Antes de definir o ENPS é necessário definir subjogo:
Subjogo é um subconjunto do jogo Γ E
com as propriedades: (a)
começa num conjunto de informação que contém apenas um
nó de decisão e contém todos os nós sucessores; (b) não há
conjuntos de informação quebrados, i. é, se o nó de decisão x
está no subjogo, então cada nó x’ ∈ H(x) (i. é, o conjunto de
informação onde está x) também estará no subjogo.
Todo jogo tem pelo menos um subjogo que é o próprio jogo.
Firma 1
não é subjogo (não contém
E NE todos os nós sucessores)
Firma 2
E NE E
(D 1 ; D 2 ) (M 1 ; 0) (0; M 2 )
NE
(0; 0)
subjogo
Quantos subjogos existem?
R: 3 subjogos.
Subjogos
Exemplo da segunda condição para ser subjogo:
Esse jogo só tem um único subjogo que é o próprio jogo.
Pode ser interpretado como um jogo simultâneo ou como
um jogo seqüencial onde a ação da firma 1 não é observável.
Firma 1
E
NE
Firma 2
E NE E
(D 1 ; D 2 ) (M 1 ; 0) (0; M 2 )
NE
(0; 0)
Não é subjogo, pois não
pode haver conjuntos de
informação quebrados.
Informação imperfeita x incompleta.
Caso acima é informação imperfeita. Veremos depois o outro caso.
25

Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos
O perfil de estratégias σ = (σ 1
, σ 2
, … σ J
) no jogo na
forma extensiva Γ E
éum Equilíbrio de Nash Perfeito em
Subjogos se ele induz um EN em cada subjogo de Γ E
.
No jogo finito com informação perfeita ele pode ser obtido
backwards e o Teorema de Zermelo diz que existe o ENPS.
O ENPS é único caso nenhum jogador tenha os mesmos payoffs
em nós terminais quaisquer. Faremos um exemplo numérico.
Existe uma ligação estreita óbvia entre o conceito de ENPS e o
de programação dinâmica: ambos usam otimização backwards.
Para determinar o ENPS inicia-se procurando o(s) EN nos nós
terminais, substitui-se esse subjogo pelos payoffs do EN e analisa o
sujogo predecessor, procurando o EN, etc., até chegar ao início.
Nos casos de jogos infinitos, a definição de ENPS permanece no
sentido de que induz EN em todos os subjogos, apesar de não ter
a “última data” para trabalhar backwards. Faremos um exemplo.
Trabalhar com horizonte infinito é fácil, pois o tempo deixa de ser
variável de estado (sempre terá um horizonte infinito pela frente).
Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos
Jogo abaixo: a forma normal mostra que existem
dois EN. Forma extensiva mostra que só um é ENPS.
1
u
2
d
0
3
½
2
U
L
1
u
D
R
2
-2
-2
d
1
-1
1
UL
UR
DL
DR
0
0
½
-2
3
3
2
-2
0
0
1
1
3
3
-1
-1
• Dois EN em estratégias puras (ver forma normal). Mas um deles
não é crível (não é sequencialmente racional).
• Um ENPS em estratégias puras: (DL ; u). É o EN “crível”.
26

Procedimento Backward Induction
O procedimento de retro-indução (backward induction) é:
Começe nos nós terminais do jogo e identifique quem joga.
Ache a decisão ótima do jogador nos nós de decisão comparando
os payoffs que os jogadores recebem em cada nó terminal.
Registre essa escolha, ela é parte da estratégia ótima dos jogadores.
Podar a árvore cortando todos os ramos que se originaram de #1.
Atribuir a cada um desses novos nós terminais os payoffs obtidos
quando a ação ótima é realizada nesse nó.
Uma nova árvore de jogo existe e é menor que a original.
Se não existirem mais nós de decisão, o jogo termina. Se ainda
existirem nós de decisão, aplicar os passos #1 a #4 até não haver
mais nós de decisão.
Para cada jogador, selecione as decisões ótimas em cada nó. Esse
conjunto de decisões constitem as estratégias ótimas desse jogo.
O resultado é um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos.
O ENPS pode ser único ou não (mesmo payoff em nós de decisão).
Ex: Barreira de Entrada com Excesso de Capacidade
O caso a seguir é uma variante do modelo de Stackelberg
de líder e seguidor (caso mais geral é visto em seguida).
A motivação desse exemplo é um famoso caso de 1945: o
processo antitrust contra o poder de monopólio da Alcoa,
que dominava 90% do mercado de alumínio nos EUA.
A Alcoa foi condenada porque o juiz entendeu que o rápido
acúmulo de capacidade de produção por parte da Alcoa, que
excedia muito os níveis de demanda, tinha como objetivo criar
uma barreira de entrada para inibir a entrada de competidores.
Veremos que a teoria dos jogos e o ENPS pode justificar a
decisão do juiz americano, assim como o argumento usado.
Suponha que duas firmas estão considerando entrar ou
não no mercado, e também como (capacidade) entrar.
Seja P o preço de equilíbrio e Q T a produção total da indústria
que aqui é a soma das produções das duas firmas q 1 + q 2 .
27

Barreira de Entrada com Excesso de Capacidade
Seja uma curva de demanda inversa linear dada por:
P = 900 – Q T ou P = 900 – q 1 –q 2
Assuma que existem só duas alternativas de
investimento em capacidades: pequena e grande.
A unidade pequena demanda um investimento I p
= US$
50.000 e permite produzir 100 unidades.
A unidade grande teria de investir I g
= US$ 175.000 e
permitiria produzir qualquer quantidade de unidades.
Assim, só a unidade pequena é que tem restrição de capacidade.
Suponha que em ambos os casos o custo operacional é zero.
Assuma que a entrada das firmas é seqüencial:
Primeiro a firma 1 decide se entra e com que capacidade e
depois a firma 2, observando a ação da firma 1, decide se
entra ou não e com que capacidade.
Determine o Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos (ENPS).
Barreira de Entrada com Excesso de Capacidade
Para achar o ENPS, vamos fazer alguns cálculos:
Suponha que a firma i está sozinha no mercado. Assim, o preço
duma unidade é P = 900 – q i e a receita R i = q i (900 – q i ).
O lucro de i é maximizado escolhendo q i = 450, que dá uma
receita (= lucro oper., pois o custo oper. = 0) de R* i = 202.500.
Mas a firma i só produz 450 se ela investir na unidade grande.
Se ela investiu na unidade pequena, ela só produziria 100 e só
obteria uma receita (lucro) de R = 80.000.
Suponha que esses valores estão todos em valor presente, de
forma que os VPLs dos dois casos anteriores seriam:
Unidade grande: VPL g = R – I g = 202.500 – 175.000 = $ 27.500.
Unidade pequena: VPL p = R – I p = 80.000 – 50.000 = $ 30.000.
Agora suponha que ambas as firmas estão no mercado. Assim,
a receita da firma i é R i = q i (900 – q i –q j ). A função melhor
resposta de i é dada pela condição de primeira ordem: ∂R i /∂q i
= 0 ⇒ q* i = 450 – q j /2. Resolvendo o sistema q* 1 = 450 – q* 2 /2 e
q* 2 = 450 – q* 1 /2 obtemos q* 1 = q* 2 = 300.
28

Barreira de Entrada com Excesso de Capacidade
Esse cálculo considera que ambas as firmas não têm restrição de
capacidades (investiram em unidades grandes).
Nesse caso sem restrição e com as duas firmas no mercado, as
firmas teriam receitas R i = (900 – 300 – 300) 300 = 90.000. Nesse
caso os VPLs seriam negativos: VPL 1 = VPL 2 = 90.000 – 175.000
⇒ VPL 1 = VPL 2 = – 85.000.
Se ambas as firmas estão no mercado, mas com capacidade
restrita, a receita será R i = (900 – 100 – 100) 100 = 70.000.
Logo, VPL 1 = VPL 2 = 70.000 – 50.000 ⇒ VPL 1 = VPL 2 = 20.000.
Se ambas as firmas estão no mercado, uma (i) com capacidade
sem restrição e a outra (j) com capacidade restrita, então a que
não tem restrição produziria no ótimo q* i = 450 – 100/2 = 400.
Logo, o preço será P = 900 – 400 – 100 = 400; as receitas das duas
firmas serão: R i = 400 x 400 = 160.000 e R i = 400 x 100 = 40.000.
Os VPLs serão: VPL i = 160.000 – 175.000 ⇒ VPL i = – 15.000 e
VPL j = 40.000 – 50.000 ⇒ VPL j = – 10.000.
Assim, uma análise não-estratégica recomendaria entrar com a planta
pequena ou não entrar. Mas análise estratégica dará outro resultado!
Barreira de Entrada com Excesso de Capacidade
Esse jogo seqüencial é mostrado na forma extensiva, onde N = não-entrar;
P = entrar com capacidade pequena; e G = entrar com capacidade grande.
N (0; 0)
Firma 2
P (0; 30)
Firma 1
N
P
Firma 2
G
N
P
G
(0; 27,5)
(30; 0)
(20; 20)
(− 10; − 15)
Backwards:
Primeiro a
escolha ótima
da firma 2 em
cada subjogo
terminal.
G
N
(27,5; 0)
P
(− 15; − 10)
Firma 2
G
(− 85; − 85)
29

Barreira de Entrada com Excesso de Capacidade
Agora podemos substituir os subjogos terminais pelo payoff advindo da
escolha ótima da firma 2. Com isso ficará claro a escolha ótima da firma 1.
Firma 1
N
P
(0; 30)
(20; 20)
A firma 1 escolhe a ação ótima
nesse subjogo, considerando as
respostas ótimas da firma 2.
G
(27,5; 0)
Assim, o único ENPS é o par de estratégias (G; N), ou
seja, a firma 1 entra com capacidade grande e a firma 2
não entra no mercado. Com isso, temos um monopólio!
Esse resultado é interessante, já que sem competição (sem a
firma 2 ameaçar entrar), o ótimo para a firma 1 seria entrar
com uma capacidade pequena (VPL = 30 > 27,5).
Logo, o excesso de capacidade inibiu a entrada do competidor!
Exemplo 2: Equilíbrio de Stackelberg
Stackelberg: entrada em um mercado com competição
em quantidades e com ações seqüenciais, i. é, primeiro
entra a firma 1 (líder) com q 1 e depois, observando a
quantidade q 1 , entra a firma 2 (seguidor) com q 2 *(q 1 ).
Firmas iguais com custo marginal c. As firmas já têm capacidades
irrestritas. Demanda p(Q) = a − b Q. Determine o único ENPS.
Firma 1
q 1
0 q 1
Firma 2
q 2
0 q 2
(π 1 ; π 2 )
Lembrando: em jogos dinâmicos finitos buscase
o ENPS por retro-indução (“backwards”).
Assim, primeiro verifica-se o q 2 ótimo para a
firma 2, dado que a firma 1 já entrou com q 1 .
A firma 2 observou q 1 e a melhor resposta da
firma 2 é a sua curva de reação q 2 *(q 1 ).
A firma 1 sabe que a firma 2 irá observar o
valor q 1 e sabe que a rival irá jogar q 2 *(q 1 ).
Assim, basta a firma 1 jogar q 1 * de forma a
maximizar π 1 , dado que a rival joga q 2 *(q 1 ).
30

Exemplo: Equilíbrio de Stackelberg
Vimos que a função lucro π 1 da firma 1 e a curva de
reação q 2 *(q 1 ) da firma 2 p/ C i (q i ) = c i q i , são dadas por:
π 1 = q 1 P(Q T ) − C 1 (q 1 ) ⇒ π 1 = q 1 (a − c 1 ) − q 1 b (q 1 + q 2 )
* a−c 2
− b q1
Firmas
* a−c − b q1
q(q)
2 1
=
2b homogêneas
⇒ q(q)
2 1
=
2b
Assim, temos um problema de maximização de π 1 ,
escolhendo q 1 e substituindo q 2 pela função q 2 *(q 1 ):
a − c − b q
Max P(q
1
+ q(q))
2 1
q
1
− C(q)
1
1 1
q
= Max q
1
(a − c) − b q
1
(q
1
+ )
1
q1
2 b
Aplicando a CPO (condição de primeira ordem) ∂π 1 /∂q 1 = 0:
* (a − c)
* (a − c)
q
1
= ⇒ q
2
=
2 b
4 b
Exercício: Mostre que o lucro π 1 > π 2 e determine o preço P.
A firma 2 tem menor lucro por ter mais informação que a
firma 1 (sabe q 1 ): aqui é desvantagem ser informado!
No jogo do par-ou-ímpar, ao contrário, ter mais informação era melhor.
Inconsistência Temporal
O resultado de Stackelberg é não apenas EN como
também ENPS, desde que o jogo termine no 2 o estágio.
A figura abaixo (do exemplo da parte 1, com P(Q) = 30 - Q)
mostra que a quantidade q 1 não é melhor resposta para q 2 .
Assim, se houvesse um terceiro estágio seria ótimo para o líder
reduzir a sua produção q 1 para aumentar o seu lucro π 1 .
Esse problema é chamado de problema de inconsistência temporal.
Stackelberg:
* (a − c)
q
1
=
2 b
* (a − c)
q
2
=
4 b
Na prática a pergunta é:
Será a estratégia q 1 um
compromisso crível?
31

Inconsistência Temporal
O resultado de Stackelberg é um exemplo do problema
de inconsistência temporal (“time inconsistency”):
Como a quantidade q 1 de Stackelberg não é a melhor resposta
para o q 2 do seguidor, se o jogo continua essas quantidades
deixam de ser equilíbrio, pois existe um incentivo para o líder
mudar (reduzir) o valor de q 1 num terceiro estágio do jogo.
Ver, por ex., o livro do Fudenberg & Tirole (1991, pgs. 74-77).
Inconsistência temporal em geral descreve a situação
onde as preferências do decisor mudam ao longo do tempo
O que é preferido num certo instante é inconsistente com o que
é preferido num outro instante do tempo. Os jogadores com
freqüência “re-otimizam” no curto-prazo, abandonando o
plano de longo-prazo que antes era ótimo por um que era pior.
É comum que a série de decisões “ótimas” de curto-prazo tenha
resultados piores do que o compromisso do plano de longo-prazo.
Esse tema é relacionado com “credibilidade” e “compromisso”.
Inconsistência Temporal e Commitment
Esse tema ganhou popularidade após ser premiado com
o Nobel de Economia de 2004 para Kydland & Prescott.
O paper clássico (que inaugurou um tema em macroeconomia)
deles é “Rules Rather than Discretion: The Inconsistency of
Optimal Plans”, Journal of Political Economy, 1977.
Política monetária: Banco Central em vez de perseguir meta de
longo-prazo (commitment) de baixa inflação, ele pode afrouxar a
política devido ao incentivo de aumentar o emprego com emissão
de moeda (“curva Phillips”). No final há desemprego e inflação!
Essa inconsistência está muito ligada ao conceito de
compromisso (“commitment”) não-crível. Ex. na política:
Um governo pode anunciar que não negocia com terroristas
em caso de seqüestros. Entretanto, o terrorista sabe que isso é
um compromisso não-crível, vazio (“bravata”), a menos que
haja uma lei com punição prevista para quem negociar.
Para um compromisso ser crível é necessário que não hajam
incentivos para desviar no curto e longo-prazo.
32

Inconsistência Temporal e Macroeconomia
Uma política macroeconômica tem inconsistência
temporal quando o governo anuncia uma política de
longo-prazo ótima (ex.: baixa inflação), mas de forma
que há incentivos para desviar no curto-prazo.
Os agentes econômicos são racionais ⇒ consideram que o
compromisso do governo é não-crível e reajustam os preços
Uma maneira de conduzir uma política monetária
com consistência temporal é dar autonomia ou
independência ao Banco Central para que faça essa
política de forma a cumprir uma meta de inflação.
O BC tem de ser avaliado por cumprir essa meta e não
por agradar empresários ou centrais sindicais.
Assim o BC não terá incentivos de desviar no curto-prazo.
É isso que tem sido feito no Brasil e em outros países com
muito sucesso. Credibilidade do BC é a palavra-chave.
Jogos Repetidos
Jogo repetido é um jogo na forma extensiva que consiste
de algum número de repetições de um jogo básico
chamado estágio-jogo (“stage-game”).
O estágio-jogo é geralmente um jogo bem conhecido de dois
jogadores. O jogo todo é às vezes chamado de superjogo.
Os jogos repetidos podem ser finitos ou infinitos. Geralmente
os equilíbrios são totalmente diferentes em cada caso.
Quando a ameaça de retaliação é crível, alguns resultados que
não seriam EN no stage-game muitas vezes são sustentáveis no
superjogo. Isso ocorre principalmente em jogos infinitos.
Mas pode ocorrer em jogos repetidos finitos, especialmente os
que têm múltiplos EN no estágio-jogo. Veremos um exemplo.
Nos jogos repetidos finitos de informação perfeita, se o
estágio-jogo tem um único EN (como no dilema dos
prisioneiros), então o único ENPS é sempre jogar o EN.
A prova (“backwards”) é óbvia.
33

Jogos Infinitamente Repetidos
Nos jogos repetidos finitos existe uma última data de
jogo. Mas em várias interações sociais não existe essa
data-limite. Nesse caso, são mais adequado os jogos que
potencialmente podem ser infinitamente repetidos.
Nos jogos infinitamente repetidos é mais fácil sustentar
como ENPS uma ação que não é EN no estágio-jogo.
Ex.: cooperar no dilema dos prisioneiros pode ser ENPS no Γ E∞ .
Mas é necessário usar estratégias de punição e recompensa.
Um dos critérios p/ comparar estratégias é o VPL (valor
presente líquido) do fluxo de lucros descontado por δ < 1.
O fator de desconto δ pode ser vista como 1/(1 + µ), onde µ éa
taxa de desconto ajustada ao risco (dada pelo CAPM, por ex.).
O lucro total (VPL) da firma i é dado por:
VPL i = π i, 1 + (π i, 2 δ) + (π i, 3 δ 2 ) + … + (π i, t δ t − 1 ) + …
Que é finito para π i, t finito, ∀ t. Note que a soma da PG infinita
de razão menor que 1 é finita: 1 + δ + δ 2 + … = 1/(1 − δ).
Estratégias de Punição com Repetição Infinita
Em jogos repetidos os teoremas populares usam as
chamadas estratégias de punição (“trigger strategies”)
para obter certos payoffs. As três mais usadas são:
Estratégia “Grim” (rígida, intransigente): comece com a ação
“cooperar” (C); continue com C a menos que algum jogador
escolha “não-cooperar” (NC), nesse caso jogue NC p/ sempre.
Na repetição infinita do dilema dos prisioneiros pode-se sustentar
a cooperação (não-confessar) como ENPS com essa estratégia,
pois quem desvia tem um ganho imediato, mas uma perda eterna.
Estratégia “tit-for-tat” (“olho-por-olho…”): comece com a
ação “cooperar” (C); nos outros períodos, escolha em t a ação
que o outro jogador escolheu em t − 1. Desvio: ações cíclicas.
Não é ENPS no dilema dos prisioneiros, mas com ela Rapoport
ganhou o torneio desse jogo repetido 200 vezes (Axelrod, 1984)!
Estratégia “minimax”: Punir visando a máxima perda ao outro
jogador, que então minimiza a máxima perda ele que pode ter.
Como na “grim”, pode ser ENPS a depender do fator de desconto.
34

Exemplo Estilo Dilema dos Prisioneiros
Seja um jogo repetido infinitamente em que o estágiojogo
é do estilo dilema dos prisioneiros com os payoffs:
Jogador 2
Coopera Não-Coopera
Jogador 1
Coopera
Não-Coopera
3; 3 0; 5
5; 0 1; 1
Com repetição infinita, note que cada subjogo é igual ao
anterior com exceção talvez da sua história pregressa.
Com a estratégia “grim” e o fator de desconto δ∈[0, 1],
não há incentivo para desviar da estratégia grim se:
3 (1 + δ + δ 2 +…) = 3 / (1 − δ) ≥ 5 + 1(δ + δ 2 +…) = 5 + δ / (1 − δ)
Algebrando se vê que isso ocorre se e somente se δ≥½.
Esse valor limite (½) depende da estrutura de payoffs do jogo.
Jogos Estocásticos Repetidos (Shapley)
A versão clássica de jogos estocásticos é devido a
Shapley (1953). Hoje existe uma nova literatura mais
complexa de jogos de opções, que considera processos
estocásticos e exercício ótimo de opções (reais ou financ.)
A versão clássica é um jogo dinâmico repetido (finito ou
infinito) em que existem probabilidades de transição de
um estágio-jogo para outro estágio.
Assim, a cada estágio do jogo o payoff é em geral diferente,
existindo probabilidades p/ cada possível estado da natureza.
A cada estágio os jogadores devem tomar ações que dependem
não só do estado (e a matriz de payoffs) corrente, mas também
dos possíveis estados nos próximos estágios do jogo.
Jogos estocásticos clássicos são generalizações de jogos
repetidos para um ambiente de payoffs estocásticos.
Ver no anexo o caso do jogo de cotas da OPEP em que a
demanda é estocástica, mas com só dois estados da natureza.
35

Jogos de Informação Incompleta
Em muitos jogos é mais realista considerar que existe
informação incompleta sobre os payoffs dos rivais.
Nesses jogos, cada firma só recebe informações parciais sobre
os valores do jogo, representadas por distribuições de
probabilidades a priori sobre os possíveis cenários dos payoffs.
Um dos jogos dessa classe mais importantes é o jogo de
informação assimétrica, em que existe uma parte
informada e outra parte não (ou menos) informada.
Assimetria de informação já deu 5 prêmios Nobel em economia
Iremos ver alguns casos clássicos, como os jogos de sinalização.
O método geral para resolver os jogos de informação
incompleta é o método Bayesiano (Harsanyi, 1967-68).
O jogo original é transformado num jogo equivalente de Bayes
com informação completa, embora imperfeita.
Harsanyi desenvolveu o conceito de equilíbrio Bayesiano.
Informação Incompleta e Equilíbrio Bayesiano
Nesse jogo de informação incompleta, a natureza faz o
primeiro lance escolhendo a realização de θ i
, a variável
aleatória (v.a.) sobre o valor ou “tipo” de cada jogador i.
Cada jogador i tem uma função valor V i
(s i
, s − i
, θ i
), onde θ i
∈Θ i
é uma v.a. escolhida pela natureza, só observada pelo jogador i.
É assumido, como premissa, que a distribuição conjunta dos
payoffs (valores) dos jogadores são de conhecimento comum.
Estratégia pura p/ o jogador i é a regra de decisão ou função
s i
(θ i
) que dá a escolha para cada realização do seu tipo θ i
.
O valor esperado condicional do jogador i é dado por:
O equilíbrio Bayesiano de Nash (EBN) é definido de forma
similar ao EN, mas para valores esperados condicionais.
Um perfil de estratégias puras s = (s 1
, s 2
, … s J
) é EBN se, para
todos os J jogadores:
36

Informação Incompleta Vira Imperfeita
Harsanyi transformou um jogo de informação incompleta em
um jogo de informação completa mas imperfeita. Para isso, a
natureza joga. Ex.: informação incompleta sobre a firma 1:
Natureza joga:
Com probabilidade p, a
firma 1 é do tipo alto custo
Com probabilidade 1 - p, a
firma 1 é do tipo baixo custo
Firma1tipoAC
E
NE
informação
imperfeita
E
Firma1tipoBC
NE
Firma 2
E
NE
E
NE
E
NE
E
NE
(D 1 ; D 2 ) (M 1 ; 0)
(0; M 2 )
(0; 0)
(D’ 1 ; D’ 2 ) (M’ 1 ; 0)
(0; M 2 )
(0; 0)
Crise 2007/8 e Informação Assimétrica
A crise financeira que começou em agosto de 2007
(crédito imobiliário sub-prime) e se agravou a partir de
setembro de 2008 (crise sistêmica), é um exemplo radical
da gravidade do problema de assimetria de informação.
Assimetria de informação: como um banco não sabe se o outro
tem ou não títulos “podres”, ele não empresta para o outro que
fica com problemas para “fechar o caixa” do dia.
Se um banco, mesmo sólido, não honrar um pagamento devido
a essa paralisia no mercado interbancário, ele pode sofrer uma
“corrida bancária” e quebrar. Se quebra, não honra os seus
demais compromissos, criando mais dificuldades p/ os outros ...
Assim, rapidamente ocorre um grande problema de liquidez
devido a essa falta de confiança entre os bancos. A crise de
confiança é alavancada pela assimetria de informação.
A crise financeira de 1929 se tornou recessão e depois
depressão nos anos 30: o Banco Central (FED) errou ao
restringir ainda mais o crédito/reduzir liquidez.
37

Crise 2007/8 e Informação Assimétrica
Os Bancos Centrais aprenderam com o erro de 1929 e
hoje em dia a atuação padrão dos BCs nesses momentos
é prover liquidez no mercado interbancário para reduzir
os efeitos da informação assimétrica entre os bancos.
Isso é o que tem sido feito desde agosto/07 por BCs dos EUA,
Europa e Japão. No início, essa política foi bem sucedida.
O problema é que o volume de créditos “podres” parece
ser muito maior que se imaginava. Terão os BCs cacifes
suficientes p/ conter a crise? Qual o tamanho do rombo?
O “pacote” aprovado pelo congresso americano em 03/10/2008
é uma maneira de tentar revelar o tamanho do problema, ao
propor a compra desses títulos “podres”, assim como isolar o
problema que causou a crise de confiança interbancária.
Sem ele, poderia acontecer o mesmo problema do Japão nos anos
90 (crise imobiliária também) que teve prolongada recessão.
Problemas: custo ↑↑ do pacote; dúvida se será ele suficiente já que
persiste a assimetria de informação; e quanto pagar pelos títulos.
Crise 2007/8: Epílogo?
Em julho de 2009 aparentemente a crise de confiança no
sistema financeiro terminou e a economia se recupera.
Isso pode ser comemorado como um sucesso nas políticas dos
governos (especialmente os Banco Centrais) p/ reduzir os efeitos
da assimetria de informação (provendo liquidez ao mercado
bancário e dando estímulos econômicos a economia real).
Não foi repetido o erro de 1929. Se fosse, a situação seria bem pior.
Há indicadores surpreendentes de recuperação econômica.
Bancos americanos estão mostrando lucros semestrais elevados.
Já a redução da assimetria de informação em sí (quem detém os
títulos podres) foi apenas parcialmente alcançada, já que a
mudança nas regras contábeis de marcação a mercado está
ocultando problemas com ativos podres (assimetria persiste).
Marcação a mercado aqui significa lançar no balanço o valor de
mercado dum ativo e não o valor nominal. Os bancos americanos
estão podendo colocar o valor nominal de vários ativos no balanço.
O problema é que não é claro se isso causará crises mais adiante.
Também, o custo elevado de estímulo da economia, poderá causar
problemas fiscais nos governos, com inflação, elevação dos juros, etc.
38

Caso da Enron: Auditoria, Consultoria e Incentivos
Um exemplo de falha de mercado foi a falência da Enron e o
papel(ão) das cias. “independentes” de auditoria. Esse caso foi
analisado por Stiglitz (Valor Econômico, 17/02/02):
Firmas de auditoria de balanços existem para evitar que a assimetria
de informação cause prejuízos ao investidor por omissão ou falsidade.
A firma de auditoria joga jogos repetidos com os investidores, logo
teria o incentivo da reputação p/ bem informá-los sobre a Enron.
No entanto, quando a mesma empresa que audita também presta
consultoria, aparece outro (e perverso) incentivo de curto-prazo:
“agradar os clientes que não gostam de relatórios desfavoráveis”.
A auditora da Enron em 2001 chegou ao cúmulo de ajudar a
destruir diversos documentos (supostas provas de irregularidades).
A. Levitt, ex-presidente da SEC, tentou no passado proibir a mistura de
atividades de auditoria e consultoria pela mesma empresa.
Stiglitz argumenta que “a questão central de nossa época é
encontrar o equilíbrio certo entre governo e mercado”.
Mesmo com essas imperfeições no mercado, Stiglitz adverte:
“precisamos resistir a tentação de ir para o extremo oposto”.
Prêmio Nobel em 2007
Esse prêmio Nobel em 2007 foi p/ a teoria de desenho
de mecanismos, relacionada com jogos Bayesianos.
Veremos exemplos: bônus p/ gerentes e desenho de leilões.
Foram três ganhadores, sendo que dois deles
(Maskin e Myerson) têm na teoria dos jogos seu
principal foco de pesquisas (mas Hurwicz também
usou conceitos de teoria dos jogos nessa teoria).
Hurwicz (falecido em 2008) foi o fundador da teoria e de
conceitos tais como o de “incentivo-compatível”.
Myerson foi quem fez o link entre mecanismos incetivocompatível
e jogos Bayesianos, o princípio da revelação II.
Maskin refinou essa teoria com a teoria da implementação
e tem outras contribuições em jogos cooperativos e nãocooperativos,
desigualdade de renda, patentes, etc.
Myerson e Maskin estiveram no Rio em 2008 (LACEA).
Tive a honra de ser o apresentador da palestra do Maskin.
39

Desenho de Mecanismo e Princípio da Revelação
A teoria do desenho de mecanismo combina o modelo de
principal-agente com o conceito de equilíbrio Nash-Bayesiano.
Mecanismo é um jogo: especifica as estratégias possíveis e os payoffs.
Mecanismo direto é aquele que simplesmente pergunta ao agente
para revelar a sua informação privada.
Estratégias disponíveis são simplesmente reportar sobre o seu tipo.
Se for ótimo (ENB) para um jogador revelar a verdade, tal
mecanismo é chamado de incentivo-compatível.
O teorema do princípio da revelação diz que se pode restringir a
busca do mecanismo ótimo para aqueles que sejam diretos
(pergunta o tipo) e incentivo-compatível (revelador da verdade).
Prova-se que não há perda de payoff ao descartar os mecanismos
que não atendam ao princípio da revelação.
O link com jogos Bayesianos é devido a Myerson (1979):
Princípio da Revelação II: Qualquer equilíbrio Nash-Bayesiano
(ENB) de qualquer jogo Bayesiano, pode ser representado por um
mecanismo direto incentivo-compatível.
Ex.: Incentivos para Gerentes em Corporações
Exemplo simples de mecanismo incentivando tanto
revelar a verdade sobre a meta factível de produção
(Q f ), como maior empenho dada a meta.
Um bônus baseado no nível de produção Q incentiva maior
empenho, mas incentiva mais os gerentes de UNs maiores e
desestimula gerentes de UNs menores.
Também bônus baseado na diferença Q − Q f estimula os
gerentes a reportarem valores baixos para Q f .
Weitzman (1976) propõe o seguinte mecanismo para
induzir os gerentes a reportarem a verdade sobre Q f e ao
mesmo tempo induzir esforço para aumentar Q:
Bônus B = β Q f
+ α (Q − Q f
) se Q > Q f
e
B = β Q f
− γ (Q f
− Q) se Q ≤ Q f
Onde: γ > β > α > 0
40

Incentivos para Gerentes em Corporações
Vejamos um exemplo numérico (Pindyck & Rubinfeld, 1995,
Microeconomics, pp.613-616), com γ = 0,5 ; β = 0,3 ; α = 0,2.
Assuma que a verdadeira meta factível é Q f = 20.000 unidades.
Bônus
($/ano)
B = 0,3 Q f + 0,2 (Q − Q f ) se Q > Q f
B = 0,3 Q f − 0,5 (Q f − Q) se
Q ≤ Q f
Q f
= 30.000
9.000 Q f
= 20.000
Q f
= 10.000
6.000
3.000
$6.000 é o nível que a sede quer pagar
Resultado: bônus obedece
o princípio da revelação
(dizer a verdade sobre Q f
é
ótimo) e tem incentivo para
aumentar a produção Q
10.000 20.000 30.000 40.000
Produção Q (unidades/ano)
Introdução à Teoria dos Leilões
Do ponto de vista de modelagem, a teoria dos leilões
pode ser vista como uma aplicação da teoria de desenho
de mecanismos ou de jogos Bayesianos.
Leilão pode ser visto como um mecanismo de mercado
para equilibrar oferta e demanda (market clearing mec.).
Outros mecanismos incluem a venda a preço fixo (ex.: loja
comum) e barganha (ex.: na venda de uma casa, se barganha a
diferença de valor p/ o comprador e o valor p/ o vendedor).
Leilão é mais flexível que a venda a preço fixo e talvez consuma
menos tempo que a barganha, mas não garante o maior preço.
Leilão: regras de formação de preço são explícitas e conhecidas.
Leilões são usados para produtos em que não existe mercado
estabelecido. Exs.: objetos raros, privatizações, carros usados…
São usados porque o vendedor está incerto sobre o preço de venda.
Geralmente quem estabelece as regras do leilão é o
vendedor, que está incerto sobre o preço do objeto.
Há informação incompleta para o leiloeiro e para os “bidders”.
41

Leilões: Motivação e Conceitos Básicos
A essência de qualquer situação de leilão é que os
compradores valoram o bem de forma diferente:
Seja porque eles têm valores privados diferentes (ex.: mercado
de arte, colecionador versus mero admirador) ou porque eles
têm estimativas diferentes do valor interdependente do bem
(ex.: áreas para exploração de petróleo, as firmas têm
diferentes estimativas de probabilid. de sucesso, volume, etc.),
mas todos venderiam petróleo ao mesmo valor de mercado.
Valor comum é um caso especial de valor interdependente
Muitas situações da economia tb. podem ser modeladas
como leilões. Ex.: as aquisições (“takeovers”) de firmas:
Dois tipos de takeover: (a) disciplinar, pois a firma estaria mal
administrada e a firma pode se valorizar com novos gerentes;
(b) sinergético, em que a firma compradora teria benefícios
específicos com a junção das firmas. No caso disciplinar temos
valor comum e no caso sinergético temos valor privado.
Formatos ou Tipos de Leilões
Os leilões podem ser classificados de diversas maneiras.
Podem ser abertos (lances públicos, oral ou não) ou selados.
Leilões abertos podem ser com preços ascendentes (inglês, o
mais popular) ou com preços descendentes (holandês).
Leilões fechados (selados) de primeiro preço e de segundo preço.
Leilões de objeto único ou de múltiplos objetos.
Leilões de primeiro preço (ou 1 o lance), o mais alto lance (bid)
ganha o bem e paga o seu bid. Leilões de 2 o preço (lance) o
preço mais alto também ganha, mas só paga o 2 o maior bid.
O leilão de 2º lance (ou de Vickrey) tem sido usado, por ex.,
para venda de manuscritos antigos pelo Antebellum Covers.
Outro tipo de leilão é o leilão em que todos pagam (“all-pay
auction”). Usado para modelar situações tais como: disputa
por medalha de ouro nas olimpíadas; eleições; lobbies, etc.
Nem sempre o leiloeiro consegue a maior receita. Ver ex. em:
http://isc.temple.edu/economics/Econ_92/Game%20Hwk/Auctions/hwk11-auctions.htm
42

Estratégias Ótimas do Comprador
A decisão de quanto oferecer (“bidar”) num leilão é uma
decisão sob incerteza. Em alguns casos é bem simples:
No leilão aberto inglês, se você tem um valor privado = v, então
a regra é permanecer no leilão enquanto o último lance b ≤ v.
Nesse caso sua estratégia ótima independe das estratégias dos
outros jogadores: não é necessário estimar os planos dos rivais.
No leilão selado de 2º lance, veremos que é ótimo dar um lance
igual ao seu valor privado (b = v), já que se ganhar paga ≤ v.
O caso de leilão selado de 1º lance não é tão simples:
O melhor seria ganhar o leilão com lance b < v, mas pagando o
mínimo possível: b apenas um pouco maior que o 2º maior bid.
Se der um lance muito baixo, a chance de ganhar diminui; se
der um lance muito alto, o payoff v – b é pequeno se ganhar.
Estratégia ótima: escolha b de forma a maximizar o payoff
esperado = probabilid. de vencer x payoff se vencer (= v – b).
Regra prática: presuma que você tem a maior valoração,
estime a 2ª maior valoração (v 2 ) e dê um lance b = v 2 .
Vickrey: Leilão de Segundo Maior Lance
Num leilão de valor privado, cada pessoa (tipo) avalia o bem
de forma diferente (e ninguém quer pagar mais do que vale).
Leilãoseladode segundo lance: ganha o envelope com o
maior lance, mas só paga o valor do segundo maior lance.
Vickrey em 1961 (logo, antes de Harsanyi em 1967/8
formular o equilíbrio Bayesiano, considerar tipos, etc.)
mostrou as estratégias ótimas para esse leilão:
Vickrey mostrou que dar um lance igual a quanto vale o bem para
cada tipo éumaestratégia dominante e independe do tipo.
Será ótimo p/ todos os jogadores revelar quanto realmente vale o bem p/
cada um (cada tipo irá dar um lance diferente) e ganha quem acreditar
que o bem é mais valioso. Ou seja, será ótimo “bidar” seu próprio valor.
Portanto, o leilão de 2º lance atende ao princípio da revelação.
Logo, esse leilão incentiva cada tipo a dizer a verdade sobre o valor
do bem e ganha quem mais está interessado no bem (é eficiente).
Com muitos tipos participando do leilão, no limite, o leiloeiro conseguiria
vender o bem pelo valor máximo (menos δ) do tipo com maior avaliação.
43

Vickrey: Leilão de Segundo Maior Lance
Vamos mostrar que é ótimo para cada pessoa (tipo) dar o lance
exatamente igual a quanto vale para ela.
Suponha que o objeto valha V θ para o tipo θ.
Será que existe algum incentivo para dar um lance maior ou menor?
Se o tipo θ der um lance V + > V θ então se ele ganhar o objeto (isto é, se V + >
V 2 onde V 2 éo segundo maior lance) podem ocorrer dois cenários:
V θ
V 2 V 2
V +
Se V 2 < V θ
então ele obtém a mesma utilidade V θ
− V 2
tanto com lance V + como V θ
Se V + > V 2 > V θ
então ele obtém utilidade negativa V θ
− V 2
com o lance V + e assim
ele estaria pior se desviando de V θ
. Logo ele não tem incentivo para desviar e jogar V +
Se o tipo θ der um lance V − < V θ então podem ocorrer dois cenários:
V 2
V −
V 2
V θ
Se V 2 < V − então ele obtém a mesma utilidade V θ
− V 2
tanto com lance V − como V θ
Se V − < V 2 < V θ
então ele não ganharia o objeto e estaria pior jogando V − pois ele
poderia ganhar com V θ
e obter utilidade positiva. Logo não há incentivo para jogar V −
Logo, jogar o seu valor V θ é equilíbrio separador dominante (Nash-Bayesiano).
MATERIAL
ANEXO
Os anexos nos materiais do curso contém slides que
reforçam os conceitos teóricos e/ou apresentam
exemplos adicionais que não serão discutidos em
sala de aula, mas que podem ser úteis para um
melhor entendimento de conceitos apresentados.
44

Websites Úteis
Existem muitos websites com materiais de teoria dos jogos.
Dois websites muito ricos em materiais e informação são:
http://www.gametheory.net/
http://plato.stanford.edu/entries/game-theory/
Experiência do professor em teoria dos jogos e jogos de OR:
Paper pioneiro em jogos de opções reais (1997, Dallas, EUA):
1º jogo de OR de guerra de atrito; 1º jogo de OR em petróleo).
Mais dois papers (esses com o Prof. José Paulo) em jogos de
OR, sendo um recém publicado e outro aceito para publicação.
Tese de doutorado: capítulo de jogos de OR. Ver capítulo 4 (e
aplicação no capítulo 5) do arquivo da tese em:
http://www.puc-rio.br/marco.ind/pdf/tese_doutor_marco_dias.pdf
Ministra curso de teoria dos jogos na Petrobras também, além de
usar em aplicações de teoria de jogos em parceiras da Petrobras.
Competição Imperfeita e Teoria dos Jogos
A ferramenta neo-clássica para análise de competição
imperfeita éa teoria dos jogos (“game theory”).
A teoria dos jogos ganhou o Nobel de Economia em 1994 com
Nash (equilíbrio básico), Harsanyi (equilíbrio com informação
incompleta) e Selten (equilíbrio perfeito em jogos dinâmicos).
Ganhou de novo em 2005 com Aumann (jogos repetidos e
cooperação) e Schelling (teoria do conflito e do “commitment”).
Aplicações da teoria dos jogos também ganharam o Nobel em
1996 (teoria dos incentivos com informação assimétrica) com
Mirrlees e Vickrey; em 2001 (teor. de mercados com informação
assimétrica) com Akerlof, Spence e Stiglitz; e em 2007 (teoria de
desenho de mecanismos) com Hurwicz, Maskin e Myerson.
A teoria dos jogos também permite analisar interações
estratégicas de cooperação entre as firmas.
Do ponto de vista da firma, a teoria dos jogos permite
modelar de forma endógena os efeitos da competição e
das oportunidades de cooperação.
45

História Resumida da Teoria dos Jogos
Veremos de forma resumida os principais fatos históricos.
Em 1913, Zermelo estabelece o 1º teorema da teoria dos jogos;
Década de 20: Borel, formulação de estratégias mistas e solução
minimax; John von Neumann provou o famoso teorema minimax.
1944: von Neumann & Morgenstern publicam o 1º livro de T. dos J.
1950-1953: Nash publica seus famosos artigos, com os conceitos de
equilíbrio de Nash em jogos não-cooperativos e a solução de Nash em
jogos cooper. de barganha. Inicia a era moderna da teoria dos jogos.
1960: Schelling publica seu famoso livro “The Strategy of Conflict”.
1965: Selten publica o paper sobre equilíbrio perfeito em sub-jogos.
1967-68: Harsanyi publica artigos sobre equilíbrio Nash-Bayesiano.
1972: Maynard Smith publica artigo sobre eq. evolucionário estável.
1994: Prêmio Nobel em Economia para Nash, Selten e Harsanyi.
2005: Prêmio Nobel em Economia para Aumann e Schelling.
2007: Prêmio Nobel em Economia p/ Hurwicz, Maskin e Myerson.
Para muito mais detalhes históricos, ver na internet:
http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pages/paul_walker/gt/hist.htm
Forma Normal x Forma Extensiva
Duas formas extensivas podem ter a mesma forma normal. Exemplo:
Firma 1
A
B
(1; 2)
Firma 2
C
D
(3; 1)
(2; 4)
A
B
C
D
1; 2 1; 2
3; 1 2; 4
Reta tracejada:
firma 2 não sabe
em que nó está.
Firma 1
A
B
Firma 2
Firma 2
C (1; 2) Note que os jogos são diferentes:
na árvore de cima o jogador 2
sabe o que o jogador 1 jogou.
D Precisamos da forma extensiva.
(1; 2)
●Na árvore de baixo eu estou
(3; 1)
C
usando uma reta tracejada para
dizer que o jogador 2 não sabe em
D
que nó está (conjunto de
(2; 4) informação com dois nós).
46

Dilema dos Prisioneiros: Exemplos
A Tragédia dos Comuns (Hume, 1739): dois pescadores e um
único lago têm incentivo de fazer pesca predatória, embora o
melhor para ambos (Pareto ótimo) seja a pescaria leve:
Pescador 1
Estratégias
Pescaria Leve
Pescaria Intensa
Pescador 2
Pescaria Leve Pescaria Intensa
32, 32
28, 35
35, 28 30, 30
Se os cidadões responderem só a incentivos privados, os recursos
públicos serão demasiadamente depletados. Além disso, os bens
públicos não serão providos (ver a seguir) e isso justifica os impostos.
Bens Públicos: contribuição para uma construir uma ponte:
ninguém contribui se for opcional (que é pior para ambos).
Contribuinte 1
Estratégias
Contribui
Não Contribui
Contribuinte 2
Contribui Não Contribui
32, 32
28, 35
35, 28 30, 30
Características e Nomes das Estratégias
Contribuinte 1
Estratégias
Contribui
Não Contribui
Contribui
Contribuinte 2
Não Contribui
Dominância de Pareto: nenhum jogador está pior e pelo menos um
está melhor. Ex.: (32, 32) Pareto domina (30, 30).
(35, 28) domina (30, 30)? Não, pois 28 < 30.
(32, 32), (28, 35) e (35, 28) são ditos Pareto Ótimo, pois só se pode
melhorar o valor de um às custas do prejuízo do outro.
Desses o mais eficiente (maior ganho conjunto) é o (32, 32) que soma 64.
Free Rider (benefício grátis): No caso de (35, 28), dizemos que o
contribuinte 1 está sendo um free rider, pois tem o benefício da ponte
mas nada paga por ela.
Externalidade Negativa: o jogador 1 passando de pagante para nãopagante
gera uma externalidade negativa para o jogador 2, pois
reduz o valor do jogador 2, que arcará com uma maior contribuição.
Conflito individual x social. Sonegadores prejudicam os pagantes.
32, 32
28, 35
35, 28 30, 30
47

A Tragédia dos Comuns
Esse clássico da sociologia (Hume, 1739) é um caso
particular do dilema dos prisioneiros. Mostra o seguinte:
Se o “bolo” é comum, as pessoas (a maioria) são incentivadas a
contribuirem o mínimo possível e a tirarem o máximo proveito.
Caso clássico: a colônia de Plymouth (EUA, 1621) assinou um
contrato coletivo em que toda a produção era comum e entregue
para armazenamento comunitário, sendo que cada indivíduo
receberia uma fração igual, não importando a sua contribuição.
O resultado foi que a produção era insuficiente até para consumo
próprio: faltava comida, mas sobrava ócio e acomodação. Os
homens lamentavam ter de “trabalhar para a esposa e filho dos
outros”, sem ter recompensa. A experiência foi um fracasso.
Dois anos depois foi desfeito o contrato, cada família obteve a sua
própria terra e a comunidade teve estímulo e progrediu.
Como já dizia Aristóteles: “Aquilo que é comum ao maior
número despertará sobre si os menores cuidados”.
Ver artigo “A Tragédia dos Comuns” de João Mauad (O Globo,
julho de 2009) na pasta 72, para detalhes.
Competição com Projetos de P&D
Mesmo com apenas duas firmas no mercado
(duopólio), a competição pode ser muito intensa.
Em indústrias maduras, é freqüente a competição em
preços através de inovações de redução de custo.
O gasto em P&D para reduzir custos pode não ser Pareto
ótimo para as firmas, mas freqüentemente é a estratégia
dominante para ambas as firmas (dilema dos prisioneiros):
Firma 1
P&D
Não-P&D
P&D
20 ; 10 40 ; −10
−10 ; 30
Firma 2
Não-P&D
30 ; 20
A estratégia de P&D nesse
contexto cria barreiras de
entrada para novas firmas
interessadas nesse mercado.
Ocorre mais se a demanda
é mais elástica com o preço.
Uma alternativa ao P&D
(não analisada) é reduzir
custos com ganhos de escala.
48

Equil. de Nash: Jogo Batalha dos Sexos
Uma versão do jogo clássico da batalha dos sexos é:
Um casal tem de decidir o que fazer na sexta-feira à noite.
Eles concordam em ir ao cinema, mas ele prefere assistir
um filme de ação e ela prefere assistir um romance.
Ir ao cinema sozinho é o pior resultado (menor utilidade).
As utilidades são mostradas abaixo. Quais os EN do jogo?
ELE
Dica: ver as melhores respostas simultâneas dos jogadores.
ELA
Resposta:
Ação Romance Os EN em estratégias puras
são dois: {ação; ação} e
Ação 2; 1 0; 0
{romance; romance}. Tem
um EN em estratég. mistas
que é jogar uma estratégia
com probabilidade de 2/3
Romance 0; 0 1; 2 e a outra com prob. 1/3.
Ver slides seguintes.
Batalha dos Sexos: Solução em Est. Mistas
Sejam π 1
e π 2
as probabilidades com que ele e ela,
respectivamente, escolhem “filme de ação”.
O payoff esperado dele (Payoff 1
) será dado por:
2 π 1
π 2
+(1−π 1
) (1 −π 2
)=π 1
(3 π 2
− 1) +1−π 2
O payoff esperado dela (Payoff 2
) será dado por:
π 1
π 2
+2(1−π 1
) (1 −π 2
) = π 2
(3 π 1
− 2) +2 (1−π 1
)
Curvas de reação das firmas 1 e 2 (deriva e faz = 0):
∂Payoff 1 /∂ π 1 = 0 = 3 π 2 − 1 ⇒ π 2 = 1/3 ⇒ qualquer π 1 éótimose π 2 = 1/3
Se ela joga π 2 < 1/3, por ex. π 2 = 0, Payoff 1 = 1 − π 1 ⇒ ótimo: π 1 = 0;
Se ela joga π 2 > 1/3, por ex. π 2 = 1, Payoff 1 = 2 π 1 ⇒ ótimo 1 : π 1 = 1, etc.
⎧ 0 caso π 1
2
<
3
⎪
π
1
1
= ⎨qualquer valor entre 0 e 1 caso π
2
=
3
⎪
⎪1 caso π 1
2
>
⎩
3
⎧ 0 caso π 2
1
<
3
⎪
π
2
2
= ⎨qualquer valor entre 0 e 1 caso π1
=
3
⎪
⎪1 caso π 2
1
>
⎩
3
49

Batalha dos Sexos: EN em Estratégias Mistas
π 2
1
Equilíbrios
de Nash com
estratégias
puras
1/3
Curva de reação dela
Repare que as curvas de
reação não são funções.
Elas são correspondências.
Curva de reação dele
Equilíbrio de Nash
com estratégias
mistas.
2/3 1
Equilíbrios em estratégias mistas: três, sendo um não-degenerado,
que é ele jogar “ação” com 2/3 de probabilidade; e ela jogar
“ação” com 1/3 de probabilidade (⇒ ela joga “romance” com 2/3).
Esse caso resulta: {ação; ação} tem probab. 2/3 x 1/3 = 2/9 de ocorrer;
{romance; romance} tem 1/3 x 2/3 = 2/9; e irem sozinhos, probab. = 5/9.
π 1
Tópicos em EN em Estratégias Mistas
O valor de uma estratégia mista é o valor esperado dos
“payoffs” das relevantes estratégias puras randomizadas.
As probabilidades das estratégias mistas são resultados da análise
de equilíbrio. Elas não são exógenas (estimativas de estados da
natureza) e nem advindas de preferências dos jogadores.
Elas foram calculadas maximizando payoffs simultaneamente.
Essas probabs. são tais que fazem o outro jogador ficar indiferente
entre jogar as suas diferentes estratégias puras relevantes.
Nem sempre as probabilidades de estratégias mistas são intuitivas
já que não refletem características individuais e sim estratégicas.
A análise gráfica anterior é viável para o caso de dois jogadores
com duas estratégias cada. Mas pode-se usar métodos analítico ou
numéricos p/ obter os pontos fixos de melhor resposta simultânea.
Se há múltiplos EN em estrat. puras ⇒ há EN em estrat. mistas
com a randomização dos EN em estratégias puras.
Nesse exemplo tivemos três equilíbrios de Nash (EN).
Múltiplos EN: qual deles é o mais provável ou recomendável?
Veremos alguns refinamentos de EN que reduz o n o de equilíbrios.
50

Exercício sobre Estratégias Mistas
Mostre que o jogo do par ou ímpar com disputa de 1 R$
(ver início da parte 1) tem apenas um único EN em
estratégias mistas que é jogar σ* = (1/2 ; 1/2), onde o 1 o
termo é a probabilidade do 1 o jogador jogar um n o par e
o 2 o termo é a probabilidade do 2 o jogador jogar n o par.
Verifique que o EN em estratégias mistas não-degeneradas tem
a propriedade de fazer o outro jogador ficar indiferente entre
o que jogar.
Dica: siga os passos do jogo Batalha dos Sexos. Verificar que só
existe um ponto de cruzamento nas correspondências de melhor
resposta (cruzamento = simultaneamente melhor resposta).
Mostre que o EN seria exatamente o mesmo (1/2 ; 1/2)
se em vez de “disputa por R$ 1” fosse “aposta de R$ 1”, i.
é, se nos payoffs onde está “zero” fosse “− 1”.
Nesse formato, o jogo do par-ou-ímpar corresponde ao jogo de
soma zero “matching pennies” dos livros da língua inglesa.
Exemplo de Cournot: OPEP x Não-OPEP
Esse exemplo (e outro da OPEP a ser visto) é retirado do
livro do Dutta (Strategy and Games), publicado em 1999.
Assim, a análise foi feita no contexto de baixos preços do
petróleo na década de 90, quando sobrava petróleo no mercado.
Considere o jogo de quantidades no mercado de petróleo
em que temos dois jogadores: OPEP e Não-OPEP.
É uma aplicação do resultado de Cournot. Assuma a seguinte
curva de demanda linear: P(Q T ) = a – b (Q T ) = a – b (q O + q N )
Onde q O e q N são as produções da OPEP e Não-OPEP, respectivamente.
Note que o parâmetro “a” dá o preço máximo dessa função. No
livro o autor colocou a = 65 ($/bbl) refletindo os baixos preços da
época (em dez/98 o petróleo chegou a ficar abaixo de 10 $/bbl).
Ele usou b = 1/3, de forma que a demanda é: P = 65 – 1/3 (q O + q N ).
Assuma que (naquela época) os custos unitários de produção da
OPEP e Não-OPEP são, respectivamente de 5 e 10 US$/bbl.
Hoje esses custos seriam bem maiores. Depois iremos colocar
valores mais representativos da atualidade para ver o que ocorre.
51

Exemplo de Cournot: OPEP x Não-OPEP
Os lucros dos dois jogadores (receita – custos oper.) são:
O lucro da OPEP é: π O
= q O
[65 – 1/3 (q O
+ q N
)] – 5 q O
;
O lucro Não-OPEP é: π N
= q N
[65 – 1/3 (q O
+ q N
)] – 10 q N
As curvas de reação (melhor resposta) são obtidas com a CPO
(∂π O
/∂q O
= 0; e ∂π N
/∂q N
= 0) p/ maximizar esses lucros e são:
* 180 − qN
q
O(q N) =
se qN
≤ 180 (e zero caso contrário)
2
* 165 − qO
q
N(q O) =
se qO
≤ 165 (e zero caso contrário)
2
O cruzamento dessas curvas (retas) – ou substituindo
uma na outra – chega na solução de Nash-Cournot.
Com a solução q* O e q* N , é fácil obter o preço e os lucros:
OPEP
Não-OPEP
Quantidades
65 (MM bbl/d)
50 (MM bbl/d)
Preço (US$/bbl)
26,67
26,67
Lucro (MM $/d)
1.408,3
833,3
Exemplo de Cournot: OPEP x Não-OPEP
A planilha jogos da OPEP.xls permite (re)calcular o jogo.
Sabemos hoje que os custos subiram muito em relação à
década de 90 (~ 2 a 3 vezes), principalmente os não-OPEP.
Além disso, a curva de demanda é muito mais alta e por isso
o preço máximo está muito acima de 65 (já bateu em 79).
Vamos re-calcular o jogo usando os dados: a = 130; b = 1; e
custos marginais unitários c O = 12 $/bbl e c N = 30 $/bbl:
Quantidades Preço (US$/bbl) Lucro (MM $/d)
OPEP 45,3 (MM bbl/d) 57,33
2.055
Não-OPEP 27,3 (MM bbl/d) 57,33
747
Embora a soma das produções estejam próximas do ano de
2007 (~ 72,4 MM bbl/d), estão ~ invertidas as produções.
Existem restrições de capacidade não-consideradas aqui. Além
disso, só a OPEP tem algum comportamento estratégico. Os
países Não-OPEP se comportam como tomadores de preços.
O modelo de Cournot não se adapta bem nesse caso.
52

Demanda Residual e o Mercado de Petróleo
Em muitos casos podemos analisar o conflito de dois
competidores usando análise simplificada.
Imagine o mercado de petróleo com os produtores
sendo a firma 1, a firma 2 e o resto do mundo.
Assim, a produção da indústria é Q T
= q 1
+ q 2
+ q resto
.
Seja uma curva de demanda linear dada por:
p(Q T
) = a – b (Q T
) = a – b (q 1
+ q 2
+ q resto
).
Que pode ser re-escrito como uma demanda residual:
p(Q T
) = (a – b q resto
) – b (q 1
+ q 2
) ⇒
⇒ p(Q T
) = a´ – b (q 1
+ q 2
)
Assim, desde que se mantenha a produção do resto do
mundo constante, bastaria ajustar o parâmetro a da
função demanda. Mas essa é um abordagem simplificada.
A rigor, se mudar q 1 e/ou q 2 , q resto poderia se ajustar otimamente.
Jogo de Cotas da OPEP com Dois Países
Seja o seguinte jogo de quotas da OPEP (planilha
jogos da OPEP.xls , aba “quotas”) com demanda linear
residual dada por p = α − β (q A + q V ), onde:
α = 100; β = 5; as produções são q A (Arábia) e q V (Venezuela),
que podem produzir só as cotas ou acima. Sejam os custos
unitários c A = 12 $/bbl (Arábia) e c V = 20 $/bbl (Venezuela).
As cotas estabelecidas são 8 milhões de bbl/dia para a Arábia
Saudita e 2 milhões de bbl/dia para a Venezuela.
Caso esses países não respeitem as quotas, eles iriam produzir
um montante 25% acima das quotas: 10 MM bbl/d para a
Arábia Saudita e 2,5 MM bbl/d para a Venezuela.
Calcule o EN desse jogo considerando que a escolha da
quantidade produzida pelos países é simultânea.
Calcule também os preços do petróleo em cada possível resultado.
Se o mercado ficar mais aquecido e a demanda subir
(fazendo α = 120). Qual o novo EN? Por que mudou?
53

Jogo de Cotas da OPEP com Dois Países
No primeiro caso, a planilha destaca o EN e mostra os
resultados de payoffs (em milhões US$/dia), preços:
Analisando o jogo vemos que ambos os países têm uma
estratégia dominante. A estratégia da Arábia Saudita é
sempre cooperar (produzir só as cotas) e a da Venezuela
é sempre trair a OPEP (produzir acima das cotas).
Aqui a Arábia sempre coopera por puro interesse próprio!
Jogo de Cotas da OPEP com Dois Países
No exemplo numérico anterior os preços estiveram na
faixa de 37,5 a 50 US$/bbl. Veremos agora o que ocorre
se a demanda estiver mais aquecida (α = 120):
Vemos que ambos os países têm estratégias dominantes,
mas agora para ambos os países essa estratégia é sempre
não-cooperar (produzir acima das cotas).
Note que obtemos um esquema de dilema dos prisioneiros: o
melhor para ambos (Pareto ótimo) seria obedecer as quotas!
54

Jogo de Cotas da OPEP com Dois Países
A mudança de EN ocorreu porque agora, com a maior
demanda (α = 120), a produção extra obtém preços
maiores e a Arábia passa a ter incentivo de não-cooperar.
Como é praxe de jogos não-cooperativos, a cooperação pode
emergir como resultado apenas se for equilíbrio.
Em jogos repetidos, a cooperação da OPEP pode emergir se os
membros usarem estratégias de punição (será visto).
Exercício 1: mostre que para uma demanda intermediária
com α = 114,5 existem dois EN em estratégias puras.
Exercício 2: seja o caso original (com α = 100, etc.), mas
tendo a Venezuela um custo bem maior c V = 38 $/bbl.
Mostre que nesse caso o único EN é {cooperar ; cooperar} e
esse equilíbrio também é em estratégias dominantes p/ ambos.
⇒ O resultado desse jogo depende da demanda, custos, etc.
Discutiremos agora modelos de escolha ótima de quantidades
(Cournot) de um range contínuo de possíveis quantidades.
Duopólio de Cournot: Caso com Custo Fixo
Seja a função demanda linear: p(Q T
) = a − b Q T
Seja o caso mais geral de custo operacional C i (q i ).
Por simplicidade assuma que ∂ 2 C i /∂q i2 = 0 (função linear, tem
custo variável e um custo fixo constante) e ∂C i /∂q j = 0 p/ i ≠ j (a
produção da firma i não influencia o custo da firma j).
A CPO e as resultantes curvas de reação são dadas por:
O EN-Cournot é o par {q 1 *(q 2 *); q 2 *(q 1 *)} obtido pela
substituição de uma curva de reação na outra, que dá:
55

Exercícios sobre EN-Cournot
O que ocorre se uma das firmas investe em P&D para
reduzir seus custos a fim de ter maior competitividade
em quantidades (Cournot)?
Diga o que ocorreria na curva de reação, no lucro de cada
firma, nas quantidades em equilíbrio e no preço.
Resolva o problema anterior sem custo fixo, mas com
custo variável quadrático: c i (q i ) = q i2 .
Resolva agora com o custo variável linear anterior, mas
com custo fixo f i > 0 e com q i > 0.
Dilema dos Prisioneiros e Jogos Cooperativos
Todo jogo não-cooperativo pode ser transformado
num jogo cooperativo (embora nem sempre seja
prático, legal ou ético), com a função característica.
A conversão de qualquer jogo não cooperativo com N-
jogadores para a forma de coalizão (função característica),
é devido a von-Newman & Morgenstern (1944).
No caso anterior, as coalizões seriam de um ou de
dois jogadores com a seguinte função característica:
C(1) = C(2) = 4; C(1; 2) = 12.
A coalizão de só um jogador teria o resultado do jogo nãocooperativo,
que no caso é o mínimo que cada jogador
pode receber. A coalizão de dois jogadores tem valor igual
ao máximo payoff conjunto que a coalizão pode obter.
Nesse caso o maior valor é 6 + 6 = 12 > 10 + 0 > 4 + 4.
Em jogos repetidos a cooperação pode emergir como
equilíbrio de um jogo não-cooperativo (a ser visto).
56

Forma de Coalizão & Jogos Cooperativos
Coalizão é quando um grupo de jogadores se coordenam
em torno dum objetivo comum visando ter maior poder.
Quando são firmas que deviam competir na economia, é ilegal
ou anti-ético e a coalizão é chamada de colusão coordenada.
Em outros contextos (ex.: partidos políticos numa eleição ou
votando uma lei) não é ilegal e (geralmente) nem anti-ético.
Jogos cooperativos em forma de coalizão se dividem em:
Jogos com utilidade transferível (TU), em que existe uma regra
simples qualquer de divisão da utilidade em cada coalizão S.
Também são chamados de jogos com “side payments” (pagamentos
laterais) e são mais simples e mais analisados do que os jogos NTUs:
Jogos com utilidade não-transferível (NTU), em que não existe
uma regra simples de divisão da utilidade e sim p/ cada S um
vetor s j -dimensional de funções payoff p/ cada S com s j players.
Veremos um exemplo simples de jogo TU: votação com N = 3
jogadores (= eleitores), para ilustrar a forma de coalizão.
Jogos Cooperativos TU. Ex: Votação
Seja um jogo eleitoral (cooperat. TU) em que os eleitores
(jogadores) têm várias possibilidades (candidatos a votar).
Os eleitores podem se associar, i.é, formar coalizões (em torno
dum candidato). Ganha a eleição a coalizão S que tem mais
eleitores. Seja uma eleição com N = 3 eleitores (jogadores).
Seja a função característica C(S), com a normalização:
“Grande coalizão” C(N) = 1. Para cada jogador i, C({i}) = 0.
Além disso, C(S) = 1 se a coalizão S vencer e C(S) = 0 se S perder.
A forma de coalizão no jogo TU especifica {N = 3; C(S)}, onde:
C(S)
⎧ 0 se # S < 2
= ⎨
⎩ .1 se # S ≥ 2
Esse tipo de jogo tem grande relevância em sociologia,
mas menos importância em economia.
Em termos de jogos cooperativos, os mais importantes p/
a economia são os jogos de barganha cooperativa.
57

Oligopólio e Colusões: Equilíbrio de Coalizões
Uma literatura que vem crescendo é a que combina
jogos cooperativos com jogos não-cooperativos.
Nela se discute competição entre coalizões, saídas de membros
de uma coalizão para entrar em outra (e o que ocorrerá com a
coalizão rejeitada) e equilíbrio entre coalizões.
O seguinte exemplo usando o oligopólio de Cournot p/ 3
firmas homogêneas é discutido no livro de Ray (A Game-
Theoretic Perspective on Coalition Formation, 2007).
Para facilitar a análise, seja K = (a – c) 2 /b. O lucro da firma i é:
2
(a − c)
K
π
i
= ⇒ π
2 i
=
2
(N + 1) b ( N + 1)
Sem acordo (sem colusão) o lucro de cada uma é de π i = K/16.
Se as três firmas entram em colusão (N = 1), o lucro da
coalizão é π total = K/4. Nesse caso, qualquer que seja a regra de
divisão da colusão, pelo menos uma firma não ganharia mais
do que π i = K/12. Esse valor é maior que sem colusão (K/16).
Oligopólio e Colusões: Equilíbrio de Coalizões
Será que existe incentivo para uma firma desviar da
colusão? Seja o caso de uma firma saindo da colusão:
Nesse caso é como se tivesse duas firmas no mercado (N = 2), a
firma que desviou (i = 1) e a coalizão de duas firmas (j = 2 + 3).
Nesse caso, π 1 = π 2+3 = K/9. Para a firma 1 isso parece atrativo,
pois K/9 > K/12 e assim parece haver incentivo para desviar.
Mas nesse caso pelo menos uma das firmas da coalizão de duas
firmas teria um lucro não maior do que D/18. Esse valor é
menor do que ela obteria também saindo da coalizão (K/16).
Assim, se uma firma deixar a coalizão de três firmas, o ótimo será
a quebra total da colusão, ficando as três firmas produzindo de
forma competitiva (separadas) e lucrando cada uma K/16.
Assim, na análise de equilíbrio da coalizão de 3 firmas, não é
ótimo para a firma 1 desviar, pois ela deverá antecipar que a
coalizão restante seria desfeita e assim em vez de payoff de
colusão igual a K/12, ela obteria no final apenas K/16.
Logo, a colusão de três firmas é estável (coalitional equilibrium).
58

Equilíbrio de Coalizões e Função Partição
No exemplo anterior vimos que a função característica é
insuficiente para descrever a competição entre coalizões.
No caso da coalizão de duas firmas temos de dizer não só o
payoff da coalizão de 2 (função característica) como também o
payoff da firma que está fora da coalizão.
Essa descrição mais completa é chamada de função partição.
Exercício (livro do Ray, pgs. 18-19, “Bens Públicos”):
Analizar a estabilidade das coalizões e mostre que uma firma
terá incentivo de deixar a grande coalizão (de 3 firmas), mas as
outras duas firmas não terão incentivos de dissolver a coalizão
de duas firmas restantes (ao contrário do caso anterior).
A função partição é (ver a
planilha public_goods.xls):
Jogos Estritamente Competitivos & Soma Zero
Jogos de soma fixa (de payoffs) são chamados de jogos
estritamente competitivos, pois um jogador só aumenta o
seu payoff se houver uma redução no payoff de outro.
O resultado desses jogos são sempre Pareto eficiente, pois só se
pode melhorar o payoff dum jogador se piorar o de outro.
Uma classe particular é a classe dos jogos de soma zero. Mas
muitos autores chamam os jogos de soma fixa de jogos de soma
zero. Aqui usaremos os dois termos de forma intercambiável.
Jogos estritamente competitivos se tem um “vencedor” e
um “perdedor”. Exs.: xadrêz, pôquer, futebol, etc.
Esses jogos tem pouca importância em economia, já que a
maioria dos jogos na economia são jogos de soma variável.
Minimax (ou minmax) é um método da teoria da decisão
tradicional para minimizar a máxima perda possível.
Também pode ser visto como a estratégia de punir um outro
jogador, minimizando o máximo que o outro pode obter.
59

Jogos de Soma Zero, Maximin e Minimax
Em jogos estritamente competitivos com 2-jogadores,
minimizar o payoff adversário equivale a maximizar o
seu próprio payoff. Assim, a matriz de jogos pode ter
apenas uma entrada de payoff (do jogador 1), em que:
O jogador 1 tenta maximizar o seu payoff e o jogador 2 tenta
minimizar esse payoff (⇒ maximizando o seu próprio payoff).
Dado o que o adversário está fazendo, a estratégia de segurança
do jogador 1 é maximizar o conjunto de seus payoff mínimos
(estratégia maximin), enquanto que para o jogador 2 ela é a de
minimizar o conjunto de máximos de 1 (estratégia minimax).
Assim, podemos definir estratégias maximin e minimax:
● O equilíbrio do jogo (s*1; s*2) é
Máx Mín v
1(s 1, s
2)
obtido resolvendo o problema:
s1∈S1
s2 ∈S2
Máximo v (s , s *)
Mín Máx v (s , s )
s
∈S
s ∈S
2 2 1 1
1 1 2
s ∈S
1 1
1 1 2
Mínimo v (s *, s )
s
∈S
2 2
1 1 2
Estratégias MiniMax & Maximin
O teorema minimax de John von Neumann (1928) diz:
Admitindo estratégias mistas, a estratégia minimax sempre existe
em jogos de soma zero com dois jogadores e é única.
As estratégias minimax e maximin surgiram na análise
de jogos de soma fixa, mas podem ser usadas em jogos de
soma variável. Mas o eq. de Nash é muito mais aceito.
Nos jogos de soma variável, em economia, estrat. minimax só
tem algum interesse como estratégias de punição em jogos
repetidos, a fim de forçar a cooperação dos jogadores.
O payoff minimax m i é o menor payoff que os rivais do jogador i
podem impor ao jogador i. É uma punição mais severa do que o EN.
O jogador i se defende jogando a estratégia maximin.
Como observa Rasmusen no seu livro de teoria dos jogos:
Nos jogos de soma variável, a estratégia minimax é para
sádicos e a estratégia maximin é para paranóicos!
Em jogos de soma zero, a estratégia minimax ép/ neuróticos
otimistas e a estratégia maximin p/ neuróticos pessimistas!
60

Simplex de Três Jogadores
Em topologia, simplex é um invólucro convexo no R n .
No caso de 3 estratégias puras ele é um tetraedro no 3 com 4
pontos: (0, 0, 0); (1, 0, 0); (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Ver a figura.
Os valores são normalizados: os valores do gráfico podem ser
interpretados como percentagens. Assim é usado para
estratégias mistas (probabilidades alocadas p/ cada estratégia).
Em muitas aplicações só interessa o plano eficiente que dá o
payoff máximo: plano x 1 + x 2 + x 3 = 1.
Por isso pode-se trabalhar no R 2 com esse triângulo eficiente.
x 3
x 1
x 2
Fonte: Wikipedia
Curva de Demanda Linear e Lucro
O mercado de um produto qualquer tem uma curva de
demanda p = f(q), onde p é o preço e q a quantidade total
demandada. Suponha uma curva de demanda linear.
a
p
p = a − bq
β
Assuma que a = 16 + c , onde c é o custo unitário do produto
(⇒ margem = p − c) e suponha b = 1 (⇒ β = 45 0 )
Função lucro π é a margem vezes as vendas: π = (p − c) q
Logo, π = (a − bq − c) q = (16 - q) q ⇒ π = 16 q − q 2
q
61

Competição Perfeita e Monopólio
Na competição perfeita, as firmas são tomadoras de preço e
irão produzir com margem igual a zero, isto é, p = c . Logo, a
quantidade produzida em competição perfeita será:
c = a − bq ⇒ a − c = bq ⇒ 16 = 1 . q ⇒ q = 16
No caso de monopólio, isto é, com apenas uma firma no
mercado, o monopolista irá produzir de forma a maximizar
o lucro. Logo a quantidade produzida em monopólio será tal
que maximiza o lucro π = 16 q − q 2 :
Condições de maximização:
∂π = 0 ; e
∂ 2 π
∂q
∂q < 0 2
∂π = 16 − 2q = 0 ⇒ q = 8
Conclusão
∂q
Competição produz 16
∂ 2 π
∂q = − 2 < 0 (logo é um máximo) Monopólio produz 8
2
Cournot com Função Demanda Genérica
Para uma curva de demanda inversa genérica p(Q) com
N ≥ 1 firmas de mesmo custo variável c e custofixo= 0,
a condição de primeira ordem (CPO) é dada por:
p’(Q*) (Q*/N) + p(Q*) = c
Para N = 1 temos o caso de monopólio.
Quando N → ∞temos o caso de competição perfeita com p = c.
Além da CPO, depois deve-se verificar a existência ou não de
solução de canto, i. é, com q i = 0.
Cournot permite também ser visto de forma dinâmica:
Se um par de estratégias iniciais não é EN, então os desvios
seqüenciais de cada jogador para a sua curva de melhor
resposta dado o que o outro jogou, converge para o único EN-
Cournot.
62

Competição de Curto-Prazo: Quantidade x Preços
A competição de curto-prazo com quantidades (Cournot)
supõe que o preço resulta do balanço oferta x demanda.
É como se existe um leilão do produto. Mas quem é o leiloeiro?
Parece mais natural as firmas escolherem preços no curto-prazo.
A primeira tentativa de modelar a competição por preços
foi de Bertrand (1883), na crítica ao livro de Cournot.
Ele argumentou que seria mais provável que a competição
entre as firmas fossem em preços e não em quantidades.
Mas quando uma firma pensa em reajustar preços, deve levar
em conta que a outra firma também pode reajustar o preço.
Ex.: a IBM tem de decidir que preço cobrar de seus “personal
computers”, levando em conta a reação das rivais Dell e HP.
O que diferencia a competição de preços dos casos de monopólio e
competição perfeita, em que essa interação estratégica não existe.
Veremos o modelo clássico de Bertrand de duopólio simétrico.
Esse modelo de duopólio leva a resultados de competição perfeita.
Duopólio de Preços de Bertrand
Como em Cournot é um jogo simultâneo de curto-prazo,
mas as estratégias de Bertrand são preços p i ∈ S i = [0, ∞).
Encontraremos um equilíbrio de Nash totalmente diferente!
As premissas fundamentais do duopólio de Bertrand são:
1) As firmas vendem o mesmo produto (produto homogêneo) e só
têm custos variáveis que são iguais c 1 = c 2 (firmas homogêneas);
2) Se uma firma cobrar um preço menor que a rival, ela obterá
toda a demanda do produto e terá capacidade de atendê-la; e
3) Cobrando preços iguais, cada firma leva a metade da demanda.
A premissa crítica é a segunda, pois supõe não haver restrição
de capacidade, podendo uma só firma atender todo o mercado.
Para calcular o(s) EN-Bertrand do jogo, note que numa
competição “guerra de preços”, o preço tem dois limites:
Limite inferior éo custo c: não é ótimo p < c (teria prejuízo); e
Limite superior éo preço de monopólio p M : ótimo p/ 1 firma.
Pois é razoável supor que os lucros são tais que 0 ≤ π 1 + π 2 ≤π M .
63

Duopólio de Preços de Bertrand
Para determinar o EN temos de traçar as curvas de
reação das duas firmas, pois o preço ótimo da firma 1
depende do preço cobrado pela firma 2 (ver gráfico):
Demanda da firma 1 ⎧ Q(p ) se p < p
(descontínua):
q (p , p ) se p p
⎪ 2
⎪⎩ 0 se p > p
Problema:
Máx π = (p −c) q (p , p )
p1
1 1 2
⎪ Q(p
1
)
1 1 2
= ⎨
1
=
2
1 1 1 1 2
1 2
Se a firma 2 joga p 2 ≤ c, a melhor
respostadafirma 1 ép 1 = c.
‣Preços menores dariam prejuízo e
preços maiores não venderiam nada.
Se a firma 2 jogar p 2 ∈ (c, p M ], o
melhor é jogar p 1 apenas um pouco
menor que p 2 e ter todo o mercado.
‣Preços iguais dividiriam o mercado e
preços maiores não venderiam nada.
Se a firma 2 jogar p 2 > p M , o melhor é
jogar p 1 = p M e ter todo mercado.
‣ Preço p 1 tal que p M < p 1 < p 2 teria todo
o mercado tb., mas com menor lucro.
Duopólio de Preços de Bertrand
Como as firmas são homogêneas, o problema é simétrico
em relação à reta de 45 o . Assim, plotando no mesmo
gráfico a curva de melhor resposta da firma 2, p 2 *(p 1 ):
O único ponto de cruzamento,
i. é, melhor resposta simultânea,
é o ponto {p 1 = c; p 2 = c}, que é
o único EN-Bertrand.
Assim, o único equilíbrio de
Nash é cada firma escolher um
preço igual ao custo marginal.
Logo, no EN-Bertrand o lucro
operacional de cada firma é zero.
O resultado equivale ao do obtido
no caso de mercado em competição
perfeita, mas com só duas firmas!
64

Duopólio de Preços de Bertrand
Em resumo, o único EN desse jogo é ambas as firmas
jogarem preço = custo como na competição perfeita
(mas só tem duas firmas no mercado!)
Note que se uma das firmas não jogar p 1 = p 2 = c, existe
incentivo para a outra desviar (não seria EN), pois:
Se p 1 = p 2 > c , a firma 1 ou a firma 2 desvia para p i −ε;
Se p 1 > p 2 = c , a firma 2 desvia para p 2 + ε;
Se p 1 > c > p 2 , a firma 2 desvia para p 1 −ε;
Se c > p 1 > p 2 , a firma 1 ou a firma 2 desvia para c;
Se p 1 > p 2 > c , a firma 1 desvia para p 2 −ε; e
Se p 2 > p 1 = c , a firma 1 desvia para p 1 + ε.
Exercício: Mostre que não há EN em estratégias puras na
competição com preços num produto homogêneo se o custo
marginal (constante) de uma firma for maior que a da outra.
Os Paradoxos de Bertrand
O fato da presença de apenas mais uma única firma ser
suficiente para passar de monopólio para competição
perfeita com firmas tendo lucro zero é difícil de acreditar.
Isso é chamado de paradoxo (clássico) de Bertrand.
Um outro paradoxo é por que uma firma entraria nessa
indústria se o lucro operacional é igual a zero?
Além disso, suponha que existe algum custo fixo de entrar no
mercado ou produzir. Então se uma firma entrar (monopólio)
a outra firma não irá entrar (pois não pagaria o custo fixo).
Logo, mesmo um pequeno custo fixo (de produção ou de entrada)
é barreira suficiente para o mercado ser um provável monopólio!
Um paradoxo relacionado ao clássico é que o preço de
equilíbrio independe da quantidade de firmas no mercado.
No caso de N > 2 firmas homogêneas competindo em preços
(Bertrand), mostra-se que o único EN é todos jogarem p i = c.
65

Soluções dos Paradoxos de Bertrand
A 1 a proposta de solução p/ o paradoxo de Bertrand foi
de colocar restrições de capacidades (Edgeworth, 1897).
A premissa de que reduzindo um pouco o preço se obtém todo
o mercado é muito forte na maioria dos casos. Exemplo:
Imagine uma pequena cidade com dois hotéis. Como o número de
quartos é fixo por hotel, uma guerra de preços não teria lógica
pois um hotel não poderia absorver toda a demanda.
Com restrição de capacidades, passa a ser ótimo um preço p i > c.
Produtos diferenciados: outra solução é que os produtos
das firmas geralmente não são totalmente homogêneos.
Por ex., a firma que vende um software não tem restrição de
capacidades, mas geralmente tem alguma diferenciação: p i ≠ p j
Dinâmica da competição e/ou incerteza na demanda.
As firmas geralmente não se encontram apenas uma vez no
mercado, como assume o modelo. Elas jogam jogos repetidos e
existe a ameaça de punição que pode levar a cooperação p i > c.
Incerteza na demanda também pode levar a p i > c (livro do Shy).
Dois Estágios: Cournot + Bertrand = Cournot
O paper clássico de Kreps & Scheinkman (1983) mostra
o caso em dois estágios em que as firmas escolhem
capacidade (Cournot) no primeiro estágio e então
seguem uma competição de preços de Bertrand.
O primeiro estágio pode tanto ser visto como o de investimento
em capacidades como o de acúmulo de estoques.
Em muitos casos é um estágio necessário antes de ir ao mercado.
No segundo estágio as quantidades não podem alteradas (logo,
restrição de capacidade) e as firmas escolhem preços.
Eles mostram que o resultante equilíbrio de Nash (perfeito
em subjogos, a ser visto) é os jogadores escolherem as
quantidades e os preços iguais ao de Cournot em 1 estágio!
Os autores concluem que “Com premissas brandas sobre a
demanda, o único equilíbrio resultante é o de Cournot”.
Modelos de Cournot, Bertrand, etc., são mais detalhados
em bons livros de organização industrial (Tirole, Shy, etc.)
66

Bertrand com Restrição de Capacidade
Considere que as firmas têm capacidade limitada, de
forma que no máximo produzem q 1máx = k 1 e q 2máx = k 2 .
Para a firma 1, se ela jogar os preços para baixo, não irá obter
todo o mercado e sim k 1 . Se ela jogar os preços acima, p 1 > p 2 , ela
não perde todo o mercado, pois a firma 2 no máximo produz k 2 .
A figura ilustra essa idéia, onde c = custo unitário marginal:
p
p(k 2 )
p = c
demanda atendida
pela firma 2
Digamos que a firma 2 atenda as k 2
primeiras unidades demandadas.
A firma 1 tem incentivo p/ desviar
de p* = c, pois poderia jogar um
preço p 1 > c e obter lucro positivo
(em vez de lucro = 0 com p = c)
A firma 2 não pode “roubar” o
mercado jogando p = c, pois não
teria capacidade de atendê-lo.
p 1
k 2 vendas da firma 1
Q T
Cournot + Bertrand = Cournot
A demonstração do modelo de Kreps & Scheinkman não
é simples e envolve conceitos ainda a serem vistos.
Entretanto iremos mostrar a idéia com um exemplo simples.
Seja um curva de demanda dada por p = 10 – Q T e c 1 = c 2 = 1.
Usando as equações vistas, a produção em Cournot é q 1 = q 2 = 3.
No primeiro estágio as firmas investem em capacidades.
Suponha que por algum motivo tenham escolhidos investir
numa capacidade de produzir a quantidade de Cournot q* = 3.
No segundo estágio do jogo as firmas irão escolher preços, mas
com restrição de capacidade. Vimos que nesse caso as firmas
têm incentivos para desviar da escolha clássica de p Bertrand = c.
Iremos mostrar que eles escolherão p = p(k 1 + k 2 ) como EN,
onde k 1 = k 2 = 3 (= q*), devido à restrição de capacidade.
Se no 2º estágio é ótimo jogar um preço p(k 1 + k 2 ), então temos
de verificar qual o ótimo no 1º estágio em que se escolhe a
quantidade. Mas isso é exatamente o problema de Cournot já
visto, i. é, de maximização de lucros escolhendo quantidades!
67

Cournot + Bertrand = Cournot
Provaremos que a escolha ótima de preços no 2º estágio
é p 1 = p 2 = p Cournot = $ 4 [pois p Cournot = 10 – (3 + 3)].
Se a firma 1 atende os 1 os três consumidores, então a curva de
demanda residual p/ a firma 2 (após a produção da firma 1) é:
p = 10 – (q 1 + q 2 ) ⇒ p = 10 – (3 + q 2 ) ⇒ p = 7 – q 2 . Ou q 2 = 7 – p.
Só será ótimo a firma 2 desviar na escolha de preço se isso
aumentar o lucro dela. Sua função lucro Π 2 (p 2 ) é dada por:
Π 2 (p 2 ) = p 2 q 2 –c 2 q 2 ⇒Π 2 (p 2 ) = p 2 (7 – p 2 ) –1.(7 –p 2 ) ⇒
⇒Π 2 (p 2 ) = 7 p 2 –p 22 – 7 + p 2 ⇒Π 2 (p 2 ) = 8 p 2 –p 22 –7
Usa-se a CPO p/ maximizar o lucro escolhendo p, ∂Π 2 / ∂p 2 = 0:
∂Π 2 / ∂p 2 = 0 ⇒ 8 – 2 p 2 = 0 ⇒ p 2 = 4, que é exatamente o preço
obtido quando se joga a quantidade de Cournot!
Por simetria, o mesmo vale para a firma 1 (não é ótimo desviar).
Intuição: preços menores não aumenta as vendas, só obtém
menos receita p/ o mesmo q. Preços maiores diminui a demanda e
mesmo com maior margem, o lucro por vender menos é menor.
Notas sobre Cournot + Bertrand = Cournot
A idéia do exemplo ilustrativo foi mostrar que p(k 1 + k 2 )
para os jogadores é EN por não valer a pena desviar.
Foi colocada a curva de demanda residual para a firma 2
apenas para analisar se tinha vantagem a firma 2 desviar de
forma unilateral, i. é, mantendo fixa a estratégia da firma 1.
Por definição, demanda residual da firma 2 é quando fazemos a
demanda da firma 1 fixa. Por isso pode-se ver desvio unilateral.
A curva de demanda residual não assume que a firma 1 jogou
primeiro (atendendo k 1 ) e depois a firma 2 jogou atendendo a
demanda restante. O jogo é simultâneo (não é sequencial).
A análise do EN é: as firmas estão jogando um preço tal
que está sendo demandado k 1 + k 2 . Esse preço é p(k 1 +
k 2 ). Vale a pena de forma unilateral cobrar outro preço?
Preço menor só reduz a receita da firma 2 por estar no limite
da capacidade (não consegue vender mais).
Preço maior da firma 2 vende menos que k 2 e usando demanda
residual vimos que ela maximiza o lucro com p preço p(k 1 +k 2 ).
68

Existência de Equilíbrio de Nash
Existência de EN: todo jogo tem pelo menos um EN se:
1) Puder jogar estratégias mistas e se há um número finito de
estratégias puras no conjunto de estratégias de cada jogador
Senão, o jogo do par ou ímpar e outros tais como o leilão que
todos pagam (“all-pay auction” a ser visto) não teriam equilíbrio.
2) Caso o jogo só permita estratégias puras, a existência de
EN só é garantida em certas condições.
Por ex., com conjuntos S i , ∀i, tendo um contínuo de estratégias
(infinitas estratégias, ex.: quantidades no modelo de Cournot).
Mais precisamente, EN em estratégias puras existe se para
todos os jogadores i, o conjunto de estratégias S i é nãovazio,
convexo e compacto e a função payoff v i (s 1 , … s I ) é
contínua em (s 1 , … s I ) e quase-concava em s i .
São condições suficientes (garante EN), mas não necessárias.
Ver apêndices matemáticos do livro MWG: M.C.3 (p. 933, função
quase-concava); M.F (p.943, conjunto compacto = conjunto
limitado e fechado); M.G (p.946, conjunto convexo).
Existência de Equilíbrio de Nash
Para provar isso veremos uma definição alternativa de EN
usando o conceito de ponto fixo de uma correspondência.
Correspondência: conceito generalizado de função. Associa a cada
ponto x um conjunto de pontos e não um único ponto y. MWG: p. 949
Ponto fixo: Dada uma função ou correspondência f: A → A
(conjunto A nele mesmo), o vetor x ∈ A é ponto fixo de f(.) se:
x = f(x) em caso de função e x ∈ f(x) em caso de correspondência.
Ver apêndice matemático M.I, do livro MGW, p. 952.
Teorema do ponto fixo de Brouwer:
Seja f: S → S uma função contínua de
um conjunto não-vazio, compacto e
convexo S ⊂ R n nele mesmo. Então
existe um x* ∈ S tal que x* = f(x*), i.
é, existe um ponto fixo x* da função f.
Figura: S é o intervalo [0, 1], por ex.,
probabilidades de estratégias mistas.
Tem 3 pontos fixos (corta reta f(x) = x)
Figura: Wikipedia
69

Existência de Equilíbrio de Nash
No caso mais geral temos correspondências e usa-se o
teorema do ponto fixo de Kakutani:
Seja ϕ : S → S uma correspondência superior hemi-contínua de
um conjunto não-vazio, compacto e convexo S ⊂ R n nele
mesmo tal que para todo x ∈ S, o conjunto ϕ(x) é convexo e
não-vazio. Então existe um x* tal que x* ∈ ϕ(x*), i. é, existe um
ponto fixo x* pertencente à correspondência ϕ(.).
Figura: cepa.newschool.edu
EN como Ponto Fixo de Correspondência
EN são matematicamente equivalentes aos chamados
pontos fixos das correspondências de melhor resposta.
No caso do EN-Cournot, vimos que q 1 * = f(q 2 *) e q 2 * = g(q 1 *).
Logo, temos um ponto fixo no EN: q 1 * = f(g(q 1 *)) = h(q 1 *).
No caso mais geral usa-se correspondência, pois mais de uma
estratégia pode ser melhor resposta a uma certa estratégia.
Assim, podemos definir o EN também como ponto fixo:
Seja R i (s 1
, s 2
, … s N
) a correspondência de melhor resposta do
jogador i contra s −i . O perfil de estratégias s = (s 1
, s 2
, … s N
) é
equilíbrio de Nash de um jogo se, p/ todo jogador i = 1, …, N:
s i
* = R i (s 1
*, s 2
*, … s N
*)
A equação acima deixa claro que um EN é um ponto fixo dessa
correspondência de melhor resposta. Uma intuição:
Se iniciarmos com um perfil de estratégias que seja um EN e
aplicarmos na correspondência de melhor resposta para todo i,
então permaneceremos fixos nesse ponto (obtém o mesmo perfil).
70

EN como Ponto Fixo: Exemplo em Cournot
Dizemos que se iniciarmos com um perfil de estratégias
que seja um EN e aplicarmos na correspondência de
melhor resposta para todo i, então permaneceremos
fixos nesse ponto (obtém o mesmo perfil). Exemplo:
No caso do duopólio de Cournot com demanda linear e sem
custo fixo, vimos que as curvas de melhor resposta são:
Funções melhor
a−c 1
− b q2
a−c 2
− b q1
q(q)
1 2
= q(q)
2 1
=
resposta (reação):
2b
2b
Se substituirmos q 2 (q 1 ) em q 1 (q 2 ) iremos obter q 1* = f(q 1* ):
*
⎛a−c 2
− b q ⎞
1
a−c 1
− b ⎜ ⎟
*
*
2b 2a −2c 1− a + c
2
+ b q1
q
1
=
⎝
⎠
=
2b
4b
Assim q 1 é uma função de q 1 , i. é, q 1 = f(q 1 ). Se na expressão
acima chutarmos no lado direito um valor de q 1* que seja EN,
então o valor de q 1 obtido do lado esquerdo é o mesmo q
*
1
chutado. Logo, se chutarmos um EN, temos um ponto fixo.
Exemplo de Ponto Fixo de Correspondência
No jogo “batalha dos sexos” foi contruído um gráfico
para determinar o equilíbrio em estratégias mistas que
ilustra o EN como ponto fixo de correspondências de
melhor resposta.
π 2
1
Correspondência do jogador 2: π 2 *(π 1 )
Correspondência do jogador 1: π 1 *(π 2 )
1/3
EN em estratégias
mistas: um dos três
pontos fixos π 1 *(π 2 *)
2/3
π 1
71

Exercício de Jogos Repetidos: Cournot
Seja o estágio-jogo G uma competição em quantidades de
Cournot, num mercado com demanda P(Q) = a − b Q e
jogadores com os mesmos custos marginais c.
Mostre que num jogo G repetido infinitamente, existe
algum fator de desconto δ ∗ , tal que se δ ≥ δ * então:
Pode ser sustentado num ENPS o payoff de colusão obtido com
cada firma produzindo a metade da quantidade de monopólio
q M e cada firma usando a seguinte estratégia “grim”:
‣ Produzir q M / 2 no primeiro período. No período t continuar
produzindo q M / 2 se ambas as firmas tiverem produzidos q M / 2
nos t − 1 períodos anteriores. Caso contrário produzir a
quantidade do EN-Cournot q C .
Determine o valor de δ * (o que também prova que ele existe)
Dicas: ver ex. do dilema dos prisioneiros; calcule o máximo lucro
de desvio π D em um estágio (dado que o outro está jogando q M /2)
que, somado aos lucros de Cournot π C nos estágios seguintes, deve
ser comparado com o lucro eterno de π M /2se não desviar de q M /2
Cotas da OPEP com Repetição Infinita
Seja o jogo de quotas da OPEP, mas com repetição
infinita. Considere dois países Arábia Saudita e Irã.
Ver planilha Jogos da OPEP.xls (aba “quotas_repetido_estoc”)
O jogo é apresentado no livro do Dutta (“Strategy and Games”,
MIT Press, 1999), ver trecho do livro na Pasta 72.
Considere que em qualquer período a demanda pode ser
alta ou baixa. A função demanda é linear e dada por:
Demanda alta: p H = a H –b H (q A + q I ) = 44,5 – 1,5 (q A + q I ).
Demanda baixa: p L = a L –b L (q A + q I ) = 22,5 – 0,5 (q A + q I ).
Sejam os custos unitários marginais c A = c I = 5 US$/bbl e
cada país pode produzir o valor da quota OPEP ou nãocooperar
produzindo dois milhões bbl/dia acima da cota.
As quotas são de 8 milhões de bbl/dia para a Arábia Saudita e
de 5 milhões de bbl/dia para o Irã. Assim, as produções totais
possíveis são 13 ; 15 e 17 milhões bbl/dia.
72

Cotas da OPEP com Repetição Infinita
Considere que caso algum país não-coopere em um
estágio, a seguir haverá punição com a estratégia “grim”.
Se um dos países jogar “não-cooperar” (produção acima da
cota) num estágio, então será jogado sempre {não-cooperar;
não-cooperar} nos estágios sub-sequentes do superjogo.
Determine, p/ cada país, os fatores de desconto mínimos
para sustentar a cooperação (jogar as cotas) nos estados
de demanda alta e fraca.
Depois considere uma probabilidade p da demanda ser alta
em qualquer estágio (e, logo, 1 – p para a demanda ser fraca).
Iremos considerar repetição infinita, como aproximação
razoável. Mas alguns autores consideram que o jogo da
OPEP é de repetição finita, pois as reservas são finitas.
Para resolver, teremos de montar as matrizes de payoffs
para os dois casos de demanda (ver próximo slide).
Cotas da OPEP com Repetição Infinita
A matrizes de payoffs para os dois casos de demanda são
(checar!):
Demanda Alta:
Demanda Baixa:
73

Cotas da OPEP com Repetição Infinita
Observando a matriz no caso de demanda alta, temos
um caso típico de dilema dos prisioneiros, onde existe
ganho para ambos cooperarem.
O mesmo não ocorre para o caso de demanda fraca, onde
{cooperar ; cooperar} tem um payoff somado (143) menor que
o caso do EN {não-cooperar ; não-cooperar} (payoff = 153).
Isso ocorre devido aos valores adotados (não é regra geral), mas o
livro usa isso p/ explicar a falta de cooperação nos anos 60, já que
não-cooperar atende as racionalidades individuais (EN) e coletiva.
Vejamos o caso de interesse (demanda alta). Se a Arábia
tem um fator de desconto δ A e não desviar o payoff será:
Π A (coopera) = 160 + 160 δ A + 160 δ A2 + ... = 160 / (1 − δ A )
Se ela desviar no 1º estágio, terá um ganho de curto prazo, mas
será punido com o EN nos demais estágios e o payoff será:
Π A (desvia) = 170 + 140 δ A + 140 δ A2 ... = 170 + [140 δ A /(1 − δ A )]
A cooperação ocorre se Π A (coopera) ≥ Π A (desvia) ⇒ δ A ≥ 1/3
Cotas da OPEP com Repetição Infinita
Assim, para a Arábia Saudita não seria difícil cooperar
com demanda alta, já que o fator de desconto mínimo
(taxa de desconto máxima) é bem baixo.
Para o Irã um raciocínio análogo resulta em:
Π I (coopera) = 100 + 100 δ I + 100 δ I2 + ... = 100 / (1 − δ I )
Se ele desviar no 1º estágio e ser punido depois, o payoff será:
Π I (desvia) = 119 + 98 δ I + 98 δ I2 ... = 119 + [98 δ I /(1 − δ I )]
A cooperação ocorre se Π I (coopera) ≥ Π I (desvia) ⇒ δ I ≥ 19/21
Logo, o fator de desconto mínimo do Irã é bem mais alto
que o da Arábia. É bem mais difícil para o Irã cooperar.
Note que o Irã ganha mais desviando que a Arábia e a perda
com a punição grim é menor para o Irã do que para a Arábia.
No caso estocástico cada país tem 4 estratégias diferentes:
Sempre cooperar [q C ; q C ]; cooperar só se a demanda for alta
[q C ; q N ]; coop. só se for baixa [q N ; q C ]; nunca cooperar [q N ; q N ] .
74

Cotas da OPEP com Repetição Infinita
Onde o 1º termo em [. ; .] é relativo a demanda alta e o 2º
em relação a demanda fraca. A matriz de payoffs para
uma probabilidade de demanda alta de p = 50% é:
Note que a estratégia de cooperação de interesse, onde a soma
de payoffs é máxima, é quando ambos jogam baixa produção se
a demanda é alta e alta produção se a demanda é baixa.
Mostre que esse resultado vale para qualquer probabilidade p.
Cotas da OPEP com Repetição Infinita
Note que o único EN é produção alta para ambos os
países. Esse par de estratégias é EN para qualquer p e é
EN único para qualquer p não trivial, i. é, p ≠ 0 e p ≠ 1.
A cooperação baseada na estratégia de punição grim é:
Cooperar enquanto o ambos cooperam, sendo cooperar é
quando ambos jogam baixa produção se a demanda é alta e
alta produção se a demanda é baixa.
Se algum país não cooperar, então será jogado o único EN
(ambos produzindo o máximo) em todos os estágios futuros.
Imagine que a demanda é alta, de forma que existe um
ganho de curto prazo desviando da cooperação.
Quais os fatores de desconto mínimos p/ sustentar a cooperação?
Considere primeiro o caso da Arábia. Se ela nunca trair:
Π A (coop.) = 160 + [160 p + (1 – p) 90] δ A + [160 p + (1 – p) 90] δ A
2
+ ... ⇒ Π A (coop.) = 160 + {[160 p + (1 – p) 90] δ A / (1 − δ A )}
75

Cotas da OPEP com Repetição Infinita
Caso a Arábia desvie no 1º período, seu payoff ficaria:
Π A (não-coop.) = 170 + [140 p + (1 - p) 90] δ A + [140 p + (1 - p) 90] δ A
2
+ ... ⇒ Π A (não-coop.) = 170 + {[140 p + (1 – p) 90] δ A / (1 − δ A )}
Não haverá incentivo para trair se Π A (não-coop.) ≥ Π A (coop.):
160 + {[160 p + (1 – p) 90] δ A / (1 −δ A )} ≥ 170 + {[140 p + (1 – p) 90] δ A / (1 −δ A )}
⇒ δ A ≥ 1 / (1 + 2 p) para a Arábia cooperar.
Considere agora o caso do Irã. Se ele nunca trair:
Π I (coop.) = 100 + [100 p + (1 – p) 63] δ I + [100 p + (1 – p) 63] δ I2 +
... ⇒ Π I (coop.) = 100 + {[100 p + (1 – p) 63] δ I / (1 −δ I )}
Caso o Irã desvie no 1º período, seu payoff ficaria:
Π I (não-coop.) = 119 + [98 p + (1 - p) 63] δ I + [98 p + (1 - p) 63] δ I2 +
... ⇒ Π I (não-coop.) = 119 + {[98 p + (1 – p) 63] δ I / (1 − δ I )}
Não haverá incentivo para trair se Π I (não-coop.) ≥ Π I (coop.):
100 + {[100 p + (1 – p) 63] δ I / (1 −δ I )} ≥ 119 + {[98 p + (1 – p) 63] δ I / (1 −δ I )}
⇒ δ I ≥ 19 / (19 + 2 p) para o Irã cooperar.
Cotas da OPEP com Repetição Infinita
A não ser no caso trivial de p = 0, o fator de desconto
mínimo requerido para o Irã é maior (ou bem maior)
que o requerido para a Arábia.
Logo, é relativamente fácil para a Arábia cooperar sempre,
mas é geralmente difícil para o Irã cooperar.
Essa é uma conclusão consistente com a realidade observada,
conforme o autor (Dutta) argumenta.
Note que usamos os mesmo custos unitários, apenas as
capacidades de produção desses países é que são diferentes.
A tabela abaixo mostra a sensibilidade com a probabilidade p:
76

Ex: Cournot com Informação Incompleta
Seja a competição em quantidades (Cournot) mas com
informação incompleta e assimétrica sobre o custo:
Firma 1 é uma firma estabelecida no mercado e por isso tem
custo marginal c conhecido pela firma 2.
Firma 2 é uma firma nova, que está entrando no mercado e
que tem custo conhecido por ela, mas que a firma 1 desconhece.
Assim, a informação incompleta é assimétrica: a firma 2 é a firma
informada e a firma 1 tem informação incompleta sobre a firma 2.
Assuma só dois cenários: a firma 2 pode ser de alto custo c H , ou
de baixo custo c L , por ex. devido a diferenças de tecnologia.
No contexto Bayesiano, diz-se que a firma 1 tem um só tipo
(espaço de tipos Θ 1 = {c}) e a firma 2 tem dois tipos, Θ 2 = {c L , c H }.
Porém, é conhecimento comum (firmas 1 e 2) a distribuição de
probabilidades a priori sobre os tipos dos jogadores:
A firma 1 sabe que a firma 2 tem probabilidade p de ser do
tipo c H e probabilidade 1 − p de ser do tipo c L .
Aqui os tipos são independentes ⇒ prob(θ 2 = c L | c) = prob(θ 2 = c L ).
Cournot com Informação Incompleta
Seja a função demanda inversa linear P(Q) = a − Q, com
Q = q 1 + q 2 . As firmas maximizam o lucro escolhendo as
quantidades, mas agora a curva de reação da firma 2
depende se ela é do tipo alto custo ou do tipo baixo custo.
Denote q 2* (c L ) e q 2* (c H ) as curvas de reação da firma 2 a
depender de seu tipo e q 1* a curva de reação da firma 1.
Se a firma 2 for do tipo baixo custo, ela escolhe q 2* (c L ) que
resolve: max [(a − q − q ) − c ] q
q2
1 2 L 2
Se a firma 2 for do tipo alto custo, ela escolhe q 2* (c H ) que
resolve: max [(a − q
1
− q
2) − c
H] q
2
q2
A firma 1 escolhe q 1* sabendo que existe uma probabilidade p
da firma 2 ter a curva de reação q 2* (c H ) e 1 − p dela ser q 2* (c L ):
max p [(a −q −q (c )) −c ] q + (1 −p) [(a −q −q (c )) −c ] q
q1
1 2 H 1 1 2 L 1
Usando as condições de primeira ordem para cada um dos três
problemas de maximização e como as quantidades têm de ser ≥ 0:
77

Cournot com Informação Incompleta
Usando CPOs (derivando e igualando a zero):
* ⎧ a−q1 −cH
⎫
* ⎧ a−q1 −cL
⎫
q
2(c H) = max ⎨0,
⎬
q
2(c L) = max ⎨0,
⎬
⎩ 2 ⎭
⎩ 2 ⎭
* ⎧ p [a −q 2(c H) −c ] + (1 −p) [a −q 2(c L) −c ] ⎫
q
1
= max⎨0,
⎬
⎩
2
⎭
Substituindo a curva de reação duma firma na curva de reação da
outra firma se obtém os valores de quantidades em equilíbrio:
* ⎧ a 2 c
H
+ c (1 p) (cH c
L)
q
2(c H) = max 0,
− − − ⎫
⎨
+
⎬
⎩ 3 6 ⎭
* ⎧ a−2 c
L
+ c p (cH −c L)
⎫
q
2(c L) = max ⎨0,
− ⎬
⎩ 3 6 ⎭
* ⎧ a − 2 c + p c
H
+ (1 −p) cL
⎫
No caso + geral ocorre
q
1
= max ⎨0,
⎬
E[q
2(c)]
≠ q
2(E[c])
⎩
3
⎭
Compare com o caso com informação completa, em que tínhamos
q i* = (a − 2 c i + c j ) / 3 (se não-negativo). Firma 1: linearidade de π 1
com q 2 e o custo a fez usar o valor esperado do custo da rival no q
*
1 .
Firma 2: se ela for de alto custo ela produziria mais do que com
inform. completa. Mas se for de baixo custo, ela produziria menos.
Cournot com Informação Incompleta
Assim, uma firma de alto custo irá querer esconder o
seu custo da outra firma, p/ produzir mais e lucrar mais.
Já uma firma de baixo custo poderá querer sinalizar que ela é
de baixo custo, i. é, divulgar de forma crível o seu custo baixo.
q 1 Curva de reação da firma 2
se ela for de baixo custo: q 2 *(c L )
q 2
Curva de reação da firma 2
se ela for de alto custo: q 2 *(c H )
q 1
*
Curva de reação esperada da firma 2: E[q 2 ]. Coincidência: a firma 1
maximiza E[π 1 (q 2 )], mas aqui π 1 é linear com q 2 ⇒ pode usar E[q 2 ].
Com informação completa as quantidades seriam
diferentes: equilíbrio caso a firma 2 for de baixo custo
Curva de Reação
da firma 1: q 1 *(q 2 )
q 2*
(c H
) q 2*
(c L
)
ver também a planilha
cournot_assimetrico.xls
78

Teoria da Informação Assimétrica
A teoria de mercados sob informação assimétrica foi
agraciada com três Prêmios Nobel em Economia (2001):
Seleção Adversa: George Akerlof (“mercado de limões”).
Sinalização: Michael Spence (mercado de trabalho).
Screening: Joseph Stiglitz (mercado de seguros).
A teoria de incentivos sob informação assimétrica obteve
mais dois Prêmios Nobel (1996) [ver paper na Pasta 72]:
James Mirrless (desenho da taxação ótima de renda).
William Vickrey (desenho de leilões).
Teoria de Agência vs. Assimetria de Informação
Teoria de Agência: analisa problemas devido a conflitos de
agente e principal, com informação assimétrica ou não.
“Common Agency”: vários principais. Ex.: firma é um agente
informado com vários principais: fisco, agência reguladora, etc.
Assimetria de Informação: o agente é a parte mais informada e
o principal é a parte menos informada.
Leilões na Internet
Leilões online surgiram na web em 1995. O site virou
uma empresa (AuctionWeb) que virou eBay em 1997.
Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Ebay
Existem todos os tipos de leilões na internet.
O mais usado é o leilão inglês e suas variações (em ~ 85% dos
casos segundo Kambil & van Heck, “Making Markets”, 2002).
O leilão inglês é o mais antigo de todos (desde ~500 A.C.) e
muito usado para objetos de arte.
O leilão de 2º lance é um dos formatos usados pelo eBay (proxy
bidding system), mas com uma pequena variação: o vencedor
paga o segundo maior bid mais um incremento de valor fixo.
O leilão holandês data de ~1870, usado em mercado de flores e
tem sido usado na internet com ajuda de um “auction clock”.
O “relógio” vai marcando preços decrescentes ao longo do tempo
até que alguém para o relógio. No caso tradicional, oral, o
leiloeiro vai reduzindo o preço até alguém dizer “é meu!”.
79

Leilão de Telecomunicações (FCC)
Um caso famoso foi o leilão de um espectro de telecom.
da FCC (US Federal Communication Commision) em
1994/1995 que gerou uma receita de 7,7 bilhões de US$.
Licenças para oferecer uma gama de serviços wireless tais
como serviços p/ celulares, pagers, transmissão de dados, etc.
O leilão foi desenhado por três especialistas em teoria
dos jogos (Milgrom, Wilson e McAfee) para venda
simultânea de várias licenças em várias áreas dos EUA.
O formato foi de preços abertos ascendentes, mas p/ múltiplas
licenças. Cada participante podia dar lances nas áreas que
quisessem, a cada rodada. O leilão só terminava quando em
uma rodada nenhuma área recebesse novos bids.
Houveram 112 rodadas que levaram 4 meses. Resultado foi
considerado um sucesso pelo governo.
Esse formato previne o “winner´s curse” (que ocorreria se
fosse leilão selado), que poderia levar as firmas a dar lances
muito conservadores, e dava flexibilidade às firmas que
queriam uma combinação de licenças p/ serem mais agressivas.
Estratégias do Comprador: Winner’s Curse
Maldição do vencedor (“winners’ curse”): firmas pagam
mais do que vale o bem. Uma firma só ganha o leilão se
sua avaliação for a mais alta dentre todas as jogadoras.
Assim, mesmo que em média as suas avaliações (e seus lances)
não superestimem os valores dos ativos, as firmas só ganham
quando as suas avaliações são as mais otimistas do leilão.
Condicional a ser o vencedor, paga-se mais que a avaliação
média (ou melhor, do bid médio) dos participantes do leilão.
Capen & Clapp & Campbell, 1971: isso ocorreu em leilões de
áreas exploratórias no Golfo do México americano nos anos 60.
Com o tempo, as firmas aprendem a se comportar de forma
estratégica, antecipando o “winner’s curse” e dando lances
mais conservadores. Em equilíbrio esse problema é descartado.
De novo, a firma no leilão de 1º lance tem de raciocinar qual o
lance ótimo, dado que ela tem a maior valoração do leilão.
“Dinheiro deixado sobre a mesa” no leilão de 1º lance:
diferença entre o lance vencedor e o lance do 2º colocado.
80

Leilão Ótimo para o Leiloeiro
Com um número reduzido de pretendentes ao bem em leilão, o
leiloeiro poderia obter um valor muito abaixo de V θ .
Elepodeatéterum preço de reserva abaixo do qual ele não
vende o bem, pois teria utilidade negativa.
Qual o leilão ótimo, o de segundo lance ou o de primeiro lance?
Surpresa: em geral ambos dão a mesma receita esperada ao leiloeiro!
Isso é referido como sendo a equivalência de receita entre os dois leilões.
Demonstração usa o princípio da revelação para restringir a busca.
Ex.: Dutta (1999, cap.23) caso extremo com dois compradores.
No leilão de primeiro lance ele obtém o seguinte ENB:
O tipo de menor valoração µ oferta o seu próprio valor e o tipo de
maior valor θ joga uma estratégia mista atribuindo uma distribuição de
probabilidades a todos os lances entre µ e (θ + µ)/2 (equilíbrio único).
No caso analisado, cada jogador tem 50% de chance de ser de cada tipo,
e logo pode ocorrer que ambos os dois jogadores sejam do tipo θ (ou µ).
Ele chega a conclusão que ambos os leilões dão a mesma receita esperada
Definição: Estratégias simétricas de equilíbrio são quando todos
os jogadores jogam a mesma função, b i (θ) = b j (θ) = b(θ), embora
cada um possa ter um tipo diferente (e dar lances diferentes).
Receita e Número de Competidores: Exemplo
O resultado clássico de que a receita esperada do leiloeiro
aumenta com o n o de compradores nos 4 formatos vistos é
ilustrado com o seguinte exemplo p/ leilão de 2º lance:
Seja um leilão de 2º lance com só dois competidores, sendo que
cada um tem uma valoração privada de que o bem vale $ 10 ou
$ 20 com 50% de chances cada um. Qual a receita esperada?
Note que existem 4 possibilidades, cada uma com 25% de
chances: [10; 10]; [10; 20]; [20; 10]; [20; 20].
Como é ótimo para cada um dar um lance igual a seu valor, a
receita do leiloeiro é: R n = 2 = ¾ . 10 + ¼ . 20 = $ 12,5.
Considere agora o caso de três competidores. Teremos 2 3 = 8
possibilidades com probabilidade 1/8 cada uma: [10; 10; 10];
[10; 10; 20]; [10; 20; 10]; [10; 20; 20]; [20; 10; 10]; [20; 10; 20];
[20; 20; 10]; [20; 20; 20]. A receita do leiloeiro será nesse caso:
R n = 3 = ½ . 10 + ½ . 20 = $ 15. Como R n = 3 > R n = 2 ⇒ a receita
aumentou com o número de competidores. Note que o 3º
competidor não tinha valoração maior que os dois anteriores.
81

Equivalência de Receita
Um resultado clássico da teoria de leilões é a equivalência
de receita (revenue equivalence) entre diversos formatos
se cada “bidder” segue a estratégia equilíbrio de Nash.
Se os jogadores têm valores independentes, são neutros ao
risco, sem restrição orçamentária e usam estratég. simétricas,
então todos os formatos de leilão razoáveis (1 o lance, 2 o lance,
inglês, holandês) levam a mesma receita esperada p/ o leiloeiro!
Não significa que exista só um equilíbrio de Nash. No leilão
selado de 1º lance, por ex., existem múltiplos equilíbrios, mas eles
levam ao mesmo resultado esperado para o leiloeiro.
No leilão de 1º lance o vencedor paga um preço menor do que sua
avaliação, mas ganha o leilão quem atribui o maior valor ao bem.
Esses resultados clássicos não valem em situações tais como o
leilão de bem de valor comum; com jogadores avessos ao risco;
em mercados de múltiplos itens (exceto vendas individuais), etc.
Corolário: A receita esperada do vendedor aumenta com o n o
de compradores nos 4 formatos mencionados.
Equivalência de Receita: Exemplo
Para ilustrar o conceito de equivalência de receita,
seja um leilão de valor privado com apenas dois
interessados, cujos valores privados são v 1
e v 2
.
Os valores privados são conhecimento apenas de cada um,
mas é conhecimento comum que os valores privados têm
distribuição de prob. uniforme entre os valores 0 e 1000.
O objeto pode ser leiloado em leilão selado de 1º ou de 2º
lance. Mostre que em equilíbrio (EBN), a receita esperada
do leiloeiro em ambos os leilões é de 1000/3.
OBS: no caso do leilão de 1º lance considere apenas o EBN
simétrico simples, i. é, bids com a mesma proporção do seu
valor: b 1 = k v 1 e b 2 = k v 2 , onde a proporção k é a mesma.
No leilão de 1º lance, o vencedor também é que deu o maior
lance b i , mas paga o seu próprio lance (e não o 2º maior bid).
Note que, para a distrib. uniforme entre 0 e 1000, a densidade
de probabilidade é 1/1000 e a acumulada Prob[v < x] = x/1000.
82

Equivalência de Receita: Leilão 2º Lance
No caso do leilão de 2º lance, vimos que b i = v i éEBN.
Nesse caso, a receita esperada do leiloeiro é o valor esperado
do 2º maior lance. Provaremos que b i = v i é igual a 1000/3.
Note que o valor esperado da segunda maior valoração,
condicional a conhecer o valor v 1 é:
Prob[v 2
≥ v 1
] v 1
+ Prob[v 2

Equivalência de Receita: Leilão 1º Lance
Para calcular a receita do leiloeiro, procede-se de forma
similar a anterior. Temos duas distribuições (p/ v 1 e v 2 ):
Primeiro se condiciona em relação a uma delas e depois se
considera a outra. Antes iniciamos com valor esperado do bid,
condicional a conhecer o valor v 1 (ficava uma função de v 1 ) e
depois integrava em relação aos possíveis valores de v 1 . Pode-se
fazer da mesma forma ou invertendo a ordem. Vamos inverter
essa ordem e iniciar por v 2 e depois integrar em relação a v 2 :
1000⎛
v2
⎞ 1
∫0
⎜Prob[v1 ≤ v
2] + Prob[v1 > v
2] E[b
1
| v1 > v
2] dv
2
2
⎟
⎝
⎠1000
1000⎛
v2 v2 ⎛ v2 ⎞⎛ v2
+ 1000 ⎞⎞
1 1000
= ∫ ⎜ + 1 dv
0
2
=
1000 2
⎜ −
1000
⎟⎜ ⎟
2×
2
⎟
⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠1000 3
A explicação é similar ao caso anterior (leilão de 2º lance), mas
usando o fato de que já foi mostrado que o ENB é jogar a metade da
sua valoração (por isso apareceu v 2 /2 quando o jog. 2 ganha). Note
que se v 1 > v 2 , então v 1 é um número equiprovável entre v 2 e 1000,
cuja média é (v 2 +1000)/2. Como o EBN é v 1 /2, então fica (v 2 +1000)/4.
Leilão Selado de Primeiro Lance
No leilão selado de primeiro lance, o maior bid b 1 éo
vencedor do leilão, recebe o bem e paga seu bid b 1 .
Para o jogador i, com valor privado x, seu payoff π i é:
π i = x − b i se b i > max j ≠ i b j ; ou π i = 0 se b i < max j ≠ i b j
As estratégias dos jogadores são os valores de bid que
são funções dos tipos, b i (θ). Considere apenas estratégias
simétricas de equilíbrio, i. é, todos os jogadores jogam a
mesma função de seu tipo, b i (θ) = b j (θ) = b(θ).
Proposição: O único equilíbrio em estratégias simétricas
(EBN) num leilão de primeiro lance é (p/ todos jogad.):
b(v) = E[v 2 | v 2 < v] = E[segundo maior tipo | maior tipo = v]
Onde v 2 é o maior valor dos outros N − 1 valores independentes.
Ex.: Valores v com distribuição uniforme [0, 1] tem a solução para o
bid do EBN: b(v) = [(N − 1)/N] v. Demonstração a seguir.
84

Leilão Selado de 1º Lance: Exemplo
Para ver o último resultado, seguirei McMillan (1992).
Seja o valor privado do jogador 1, v 1 . Então:
b 1 = k v 1 e b j = k v j para j = 2, 3, ... N.
O jogador 1 ganha o leilão se v j ≤ b 1 /k, para todo j = 2, 3, ... N.
Como as valorações são independentes, a probab. de vitória é:
Pr[v 2 ≤ b 1 /k, v 3 ≤ b 1 /k, ..., v N ≤ b 1 /k] = Pr[v 2 ≤ b 1 /k] x Pr[v 3 ≤
b 1 /k] ... x Pr[v N ≤ b 1 /k].
Como as distribuições são uniformes [0, 1], Pr[v j ≤ b 1 /k] = b 1 /k.
Assim, a expressão anterior fica:
Pr[v 2 ≤ b 1 /k, v 3 ≤ b 1 /k, ..., v N ≤ b 1 /k] = (b 1 /k) N – 1 . O payoff
esperado do jogador 1 é: (v 1 –b 1 )(b 1 /k) N – 1 .
O jogador 1 quer maximizar o payoff esperado escolhendo b 1 .
Logo, usaremos a CPO (deriva o payoff esperado e iguala a 0):
0 = [v 1 (N – 1) (b 1 ) N – 2 /k N – 1 ] – [N (b 1 /k) N – 1 ] ⇒ b 1 = v 1 (N – 1)/N □
Ou seja, o k ótimo para o equilíbrio simétrico é (N – 1)/N.
Note que se N → ∞ ⇒ b 1 (v) → v. Maior competição, maior receita.
85