Exercícios do Capítulo 2 - Grupo de Mecânica Aplicada

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
ENG3003 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS I
Lista de exercícios 1 - Tensão
1. Deduza as equações de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões, no caso dinâmico:
∂σ xx
∂x
∂σ xy
∂y
+ ∂σ xy
∂y + b x = ρü
+ ∂σ yy
∂y + b y = ρ¨v
onde ü e ¨v são as acelerações nas direções x e y, respectivamente.
2. A seguinte distribuição de tensões foi encontrada para um componente 2D:
[ ]
6x
[σ] =
2 + 3xy + 15 4x 2 + 3y + 10yz
4x 2 [MPa]
+ 3y + 10xy 2xy + 20
Deduza as expressões para as forças de corpo b x e b y para que as equações de equilíbrio estáticas
sejam satisfeitas. Calcule o valor de b x e b y no ponto (3,2).
3. O estado de tensões 3D em um corpo foi calculado como:
⎡
[σ] = ⎣ 3xy ⎤
5y2 0
5y 2 0 2z ⎦
0 2z 0
[MPa]
Deduza as expressões para as forças de corpo b x , b y e b z de forma que as equações de equilíbrio
estáticas sejam satisfeitas.
4. A figura abaixo ilustra duas seções transversais de peças.
y
y
x
x
Considerando que as únicas tensões não-nulas atuando nessas áreas são, em MPa:
σ xz = 2x 2 − 8y
σ yz = 1 + 2x
σ zz = x 2 + xy
calcule a força e o momento resultantes que causam tal distribuição de tensões em cada seção.
1

t
5. Em uma peça, as componentes de tensão σ xx , σ zz e σ xy são constantes em todo o volume, sendo as
demais tensões nulas, exceto σ yy . Utilizando as equações de equilíbrio, e desconsiderando as forças
de corpo, deduza qual deve ser o comportamento de σ yy .
6. Um eixo transmite um torque de 580 Nm a um tubo através de uma conexão de borracha colada
aos dois, como ilustrado a seguir. Deduza uma expressão para cálculo da tensão cisalhante que
ocorre na borracha em função do raio r.
Conector de borracha
r
D
d
T
7. Repita o exercício anterior, substituindo o torque T por uma força axial N de 3000 N.
8. Como se sabe, uma barra de seção transversal constante submetida a uma força axial N produz
apenas tensão normal. Para um corte perpendicular ao seu eixo centroidal, essa tensão pode ser
bem aproximada por σ xx = N/A. Agora deduza as tensões normal e cisalhante para os cortes
ilustrados abaixo:
σ xx
σ xx
σ xx
τ = ?
σ = ?
τ = ?
σ = ?
9. Uma barra é submetida a um esforço cortante. Considerando o sistema de coordenadas (x, y)
ilustrado na figura, sabemos que a única tensão não nula é a de cisalhamento, cujo valor médio
é dada por σ xy = V/A, onde A é a área da seção transversal. Calcule o que acontece com as
componentes de [σ] no ponto C quando o escrevemos no sistema de coordenadas (x ′ , y ′ ).
2

10. A placa em forma de paralelogramo ilustrada abaixo tem 2, 5 mm de espessura. Sobre cada par
de lados opostos, atuam os carregamentos mostrados.(a) Calcule as tensões normais e cisalhantes
atuando sobre os lados AD e BC. (b) A placa etá em equilíbrio?
0,70 MPa
0,35 MPa
D
C
x A B
0,35 MPa
0,70 MPa
11. Uma flange une dois segmentos de um eixo que transmite torque e força axial simultaneamente.A
flange emprega quatro parafusos métricos M12, que são pré-apertados durante a montagem com 500
N cada. Supondo que os componentes estão bem alinhados, qual a tensão normal e de cisalhamento
atuante nos parafusos?
12. As componentes de tensão associadas a um sistema (x, y, z) em um certo ponto de um dente de
engrenagem são conhecidas e dadas por:
⎡
⎤
200 40 0
[σ] = ⎣ 40 −120 −80 ⎦ [MPa]
0 −80 0
Obtenha o valor da tensão normal associada à direção {n} = { 0, 1 0, 35 0, 9 } T
neste mesmo
ponto.
13. Seja uma placa sob o seguinte estado plano de tensões:
[ ] 15 7
[σ] =
7 30
[MPa]
Utilizando as fórmulas de transformação de tensões dadas em aula, calcule as componentes para um
sistema de coordenadas (x ′ , y ′ ) rotacionado de 30 ◦ a partir do eixo x, no sentído horário. Repita o
exercício montando uma matriz de mudança de base e aplicando sobre [σ].
14. Os seguintes estados de tensão foram medidos em quatro pontos do barramento de uma máquina
ferramenta. Determine as tensões principais, tensão cisalhante máxima e o ângulo que as direções
3

principais faz com o eixo x escolhido. Ilustre seus resultados com um círculo de Mohr.
[ ]
120 −60
[σ] A
=
[MPa]
−60 −40
[ ]
−160 50
[σ] B
=
[MPa]
50 −80
[ ]
−180 70
[σ] C
=
[MPa]
70 300
[ ] 0 75
[σ] A
=
[MPa]
75 −20
15. Para os estados de tensão abaixo, calcule as tensões/direções principais e as tensões cislhantes máximas
e sua direção, bem como as tensões normais associadas. Ilustre em um elemento infinitesimal
alinhado com cada situação.
[ ] 120 50
[σ] A
=
[MPa]
50 60
[ ]
−60 60
[σ] B
=
[MPa]
60 −80
[ ] 0 70
[σ] C
=
[MPa]
70 0
16. No ponto crítico de um reservatório, o estado de tensões para um sistema de coordenadas (x, y, z)
escolhido é dado pelo tensor abaixo.Calcule o valor de I 1 = σ xx + σ yy + σ zz para este sistema.
Depois mostre que quando alinhado com as direções principais o tensor fornece o mesmo valor para
I 1 .
⎡
⎤
60 −30 5
[σ] = ⎣ −30 60 0 ⎦ [MPa]
5 0 80
17. Usando a figura abaixo como referêcia, mostre que as equações diferenciais de equilíbrio para um
estado plano de tensões, em coordenadas polares, são dadas por (desconsiderando-se as forças de
corpo):
∂σ rr
∂r
+ 1 r
∂σ rθ
∂r
∂σ rθ
∂θ
+ 1 r
+ σ rr − σ θθ
r
∂σ θθ
∂θ
+ 2σ rθ
r
= 0
= 0
4