Lista 5 Cálculo Vetorial II Versão do 12-6-2012 Superfície ... - Unesp

Lista 5
Cálculo Vetorial II
Versão do 12-6-2012
Superfície parametrizada
1) Escreva a equação paramétrica para o cone dado por z=√ x 2 + y² .
(Sol.: xi+yj+ √ x 2 + y² k)
2) Encontre a parametrização do cilindro x²+(y-3)²=9, o≤z≤5 .
(Sol.: r(θ, z)=3sin(2θ)⃗i +6 sin² θ⃗j+ z ⃗ k ,0≤θ≤π ,0≤z≤5 , Fábio dos Santos Mathias)
Integrais de Superfície
3) Calcule a integral de superfície ∫ S
∫(xyz)dS onde S é o triângulo de vértices (1,0,0), (0,1,0),
(0,0,1) (Sol.:
√3
120
, Raphael Guimarães Allegrini)
4) Calcule a integral de superfície ∫ S
∫(x² + y² )dS , onde S é a superfície da esfera de raio a.
(Sol.:
8 π a 4
3
, Caio Rodrigues)
5) Calcule ∫ S
∫ √x 2 + y² dS , onde S=S 1
+ S 2 , sendo S 1 a superfície de revolução gerada por z =
1-x, 0≤x≤1 girando em torno do eixo z e S 2 é a tampa de S 1 (disco de raio 1 no plano xy).
2π
(Sol.:
3 (√2+ 1) Gabriel Donizetti Lupi)
Planos tangentes
6) Determine o plano tangente à superfície com eq. Paramétrica x = u², y = v², z = u+2v no ponto
(1,1,3).
(Sol.: x+2y-2z = -3, Gabriela Alves Nascimento)
7) Determine o plano tangente à superfície com eq. Paramétrica x = u+v, y = 3u², z = u-v, no ponto
(2,3,0).
(Sol.: -6x+2y-6z =-6, Guilherme dos Santos Lima)
Teorema de Green
7) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação
positiva:
a) ∫ C
e y dx+2xe y dy , onde C é o quadrado de lados x = 0, x = 1, y = 0 e y =1.
(Sol: e-1)

) ∫ C
( y+e √x )dx+(2x +cos y 2 )dy , onde C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x² e
x = y². (Sol: 1/3)
Integrais de fluxo
9) Se F(x,y,z) = x²y i +y²j+xzk, e S é a superfície do cubo no primeiro octante limitado pelos planos x
= 1, y = 1, z = 1 e pelo planos coordenados, ache o fluxo de F através de S.
(Sol.: 2 m³)
10) O campo de velocidades de um fluido é dado por F(x,y,z) = yi-xj+8k, e a superfície S é a parte da
esfera x²+y²+z² = 9 que está acima da região D no plano xy, encerrada pela circunferência x² + y² =4.
Ache o fluxo de F através de S.
(Sol.: 32π , Nathália Pires de Almeida)
11) Seja T ( x , y , z)=e −(x²+ y²+ z) a temperatura em cada ponto de um parabolóide circular de altura 1.
Determine o fluxo de calor através da superfície.
π
(Sol. 2 (5e−2 −1) , Eduardo Augusto Vaz)
Teoremas de Stokes e da divergência
12) Calcule ∫ C
y²dx+ z²dy+ x²dz , onde C é a borda do plano x+y+z=1 no primeiro octante, no
sentido anti-horário.
(Sol.: -1 m²)
13) Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C
⃗F⋅⃗dr , onde ⃗F= yz⃗i +2xz j+e xy ⃗ k , e C é a
circunferência x²+y² = 16, z =5. (Sol.: 80π )
14) Verifique que o teorema da divergência é verdadeiro para o campo F(x,y,z) = xi+yj+zk, onde E é a
bola esférica unitária. (Sol.: 4 π )