FÃsica I - Centro de Estudos Espaço
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Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1<br />
Ementa<br />
Introdução à Física, Vetores, Movimento em uma<br />
dimensão;Movimentos em duas e três dimensões, Leis <strong>de</strong><br />
Newton, Trabalho e energia, Energia potencial e<br />
conservação da energia, Sistema <strong>de</strong> partículas e<br />
conservação do momento linear, Colisões;Rotações.<br />
Bibliografia Básica<br />
HALLIDAY, D., RESNIK, D. e WALKER, J.;<br />
Fundamentos <strong>de</strong> Física 3: Mecânica. 6ª Edição. Rio <strong>de</strong><br />
Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 2002.<br />
Bibliografia Complementar:<br />
NUSSENZVEIG, H. M. Curso <strong>de</strong> Física Básica<br />
:Mecânica. Volume 1. 3ª Edição . São Paulo: Editora<br />
Edgard Blücher LTDA, 1997.<br />
Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Física.<br />
2ed. Rio <strong>de</strong> Janeiro: livros técnicos e científicos, 2000. v.1.<br />
Tipler, P. A. Física. 4 ed. Rio <strong>de</strong> Janeiro: LTC, 2000.<br />
V.1.<br />
www.claudio.sartori.nom.br<br />
Introdução:<br />
A Física é uma ciência baseada em observações<br />
experimentais e quantitativamente mensuráveis. Seu<br />
objetivo é encontrar um conjunto <strong>de</strong> Leis fundamentais que<br />
governam os fenômenos naturais e utilizá-las para po<strong>de</strong>r<br />
prever resultados em futuros experimentos.<br />
As Leis fundamentais utilizadas no <strong>de</strong>senvolvimento<br />
<strong>de</strong> teorias são expressas em linguagem matemática, uma<br />
espécie <strong>de</strong> ―ponte‖ que liga a teoria ao experimento.<br />
Quando ocorre uma discrepância entre a teoria e o<br />
experimento, novas teorias são formuladas para remover a<br />
discrepância. Muitas vezes as teorias são satisfatórias sob<br />
um conjunto limitado <strong>de</strong> condições; as teorias mais gerais<br />
<strong>de</strong>vem ser satisfatórias sem limitações. Por exemplo, as<br />
Leis do movimento <strong>de</strong>scobertas por Isaac Newton (1642-<br />
1727) <strong>de</strong>screvem precisamente o movimento <strong>de</strong> corpos sob<br />
velocida<strong>de</strong>s normais, porém, não se aplicam a corpos com<br />
velocida<strong>de</strong>s próximas à da luz. Em contraste, a Teoria<br />
especial da relativida<strong>de</strong> <strong>de</strong>senvolvida por Albert Einstein<br />
(1879-1955) em torno <strong>de</strong> 1900 <strong>de</strong>screve o movimento <strong>de</strong><br />
corpos com quaisquer velocida<strong>de</strong>s, coincidindo os<br />
resultados com a teoria <strong>de</strong> Newton para corpos com<br />
velocida<strong>de</strong>s inferiores à da luz.<br />
A física clássica, que consiste <strong>de</strong> toda física<br />
<strong>de</strong>senvolvida antes <strong>de</strong> 1900, inclui a teoria, conceitos, leis e<br />
experimentos em mecânica clássica, termodinâmica e<br />
eletromagnetismo.<br />
Importante contribuição para a física clássica veio dos<br />
trabalhos <strong>de</strong>senvolvidos por Newton, que <strong>de</strong>senvolveu a<br />
mecânica clássica como uma teoria sistemática e foi um<br />
dos criadores do cálculo e <strong>de</strong> todo um verda<strong>de</strong>iro<br />
ferramental matemático.<br />
O <strong>de</strong>senvolvimento da mecânica continuou pelo século<br />
18, mas nos campos da termodinâmica, eletricida<strong>de</strong> e<br />
magnetismo não foram <strong>de</strong>senvolvidos até por volta<br />
do século 19, pprincipalmente porque antes <strong>de</strong>ssa<br />
época, havia difículda<strong>de</strong> para avaliar os aparatos<br />
para o controle <strong>de</strong> experimentos e seus resultados.<br />
Uma nova era da física, conhecida como física<br />
mo<strong>de</strong>rna, iniciou-se por volta do início do século 19,<br />
pois foram <strong>de</strong>scobertos vários fenômenos que não<br />
eram explicados pela física clássica.<br />
Os mais importantes <strong>de</strong>senvolvimentos da física<br />
mo<strong>de</strong>rna são as teorias da relativida<strong>de</strong> e a teoria da<br />
mecânica quântica. A teoria <strong>de</strong> Einstein da<br />
relativida<strong>de</strong> revolucionou os conceitos <strong>de</strong> massa,<br />
tempo e energia; a mecância quântica, a qual se<br />
aplica ao mundo macro e microscópico, foi<br />
originado por um gran<strong>de</strong> número <strong>de</strong> distintos<br />
cientistas que <strong>de</strong>screveram fenômenos físicos em<br />
nivel atômico.<br />
Os cientistas constantemente trabalham<br />
para improvisar experimentos qua auxiliem no<br />
entendimento <strong>de</strong> fenômenos naturais, <strong>de</strong>senvolvem<br />
teorias e novas <strong>de</strong>scobertas sugem nas mais<br />
diferentes áreas da ciência, como na física, geologia,<br />
química e biologia, causando um enorme impacto<br />
na socieda<strong>de</strong>.
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 2<br />
CAPITULO 1<br />
UNIDADES, GRANDEZAS FÍSICAS E<br />
VETORES.<br />
SISTEMA INTERNACIONAL DE<br />
UNIDADES DE MEDIDA (SI);<br />
ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS.<br />
MEDIDAS.<br />
1971 – 14 a conferência geral <strong>de</strong> pesos e<br />
medidas – Sistema Internacional <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s (SI).<br />
Quantida<strong>de</strong> Nome da Símbolo<br />
Fundamentais unida<strong>de</strong><br />
Comprimento metro m<br />
Massa kilograma kg<br />
Tempo segundo s<br />
Prefixos para o sistema SI:<br />
Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbo<br />
lo<br />
10 24 yotta Y 10 -24 yocto y<br />
10 21 zetta Z 10 -21 zepto z<br />
10 18 exa 10 -18 Atto a<br />
10 15 peta P 10 -15 femto f<br />
10 12 tera T 10 -12 Pico p<br />
10 9 giga G 10 -9 Nano n<br />
10 6 mega M 10 -6 micro<br />
10 3 kilo k 10 -3 Milli m<br />
10 2 hecto h 10 -2 centi c<br />
10 1 <strong>de</strong>ka da 10 -1 Deci d<br />
‣ Prefixos mais usados:<br />
Fator Prefix Símbolo<br />
10 6 mega M<br />
10 3 kilo k<br />
10 -2 centi c<br />
10 -3 Milli m<br />
10 -6 micro<br />
10 -9 Nano n<br />
Alguns fatores <strong>de</strong> conversão:<br />
Massa Comprimento Volume<br />
1kg=1000g=6.02<br />
.10 23 u<br />
1m=100cm=39.<br />
4in=3.28ft<br />
1m 3 =1000l<br />
=35,3ft 3 =2<br />
64gal<br />
1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5 Tempo<br />
280ft<br />
1u=1,66.10 -27 kg 1 in=2.54cm 1d=86400s<br />
Densida<strong>de</strong> 1nm=10 -9 m=10 1year=<br />
0<br />
365<br />
4<br />
A<br />
1kg/m 3 =10 -<br />
3 g/cm 3 1 lightyear=9,46.10<br />
15<br />
m<br />
d=3,16.10 7 s<br />
Medida<br />
Angular<br />
1rad=57,3 0<br />
=0,159rev<br />
rad=180 0 =<br />
1/2 rev<br />
Velocida<strong>de</strong> Pressão Energia<br />
1m/s=3,27ft<br />
/s=2.24mi/h<br />
1Pa= 1N/m 2 1J=10 7 erg=0,239cal=0<br />
.738ft-lb<br />
1km/h=0.27 1Pa=1dyne/cm 2 1kWh=3,6.10 6 J<br />
8m/s<br />
1km/h=0.62 1Pa=1,45.10 - 1cal=4,19J<br />
1mi/h<br />
4 lb/in 2<br />
Força 1atm=1,01.10 5 Pa 1eV=1,60.10 -19 J<br />
1N=10 5 dyn 1atm=14,7lb/pol 2 Potência<br />
e<br />
1lb=4,45N 1atm=76cm-<br />
Hg=760mm-Hg<br />
1<br />
horsepower=746W=5<br />
50 ft.lb/s<br />
Observações:<br />
inch: polegada<br />
feet: pé<br />
light-year: ano-luz, distância que a luz<br />
percorre em um ano.<br />
horsepower: cavalovapor<br />
‣ Notação Científica:<br />
Resultados obtidos em calculadoras ou<br />
computadores , possuem formatos do tipo dos<br />
exemplos abaixo:<br />
Exemplo 1 - Visor:<br />
126,096E+06=126,096.10 6<br />
Escrito em notação científica:<br />
1,26096.10 8<br />
Exemplo 2- Visor:<br />
0,0108E-08=0,0108.10 -8<br />
Escrito em notação científica:<br />
1,08.10 -10 Teoria dos erros:<br />
‣ Erros aleatórios e Sistemáticos<br />
Na medição <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>zas físicas, como<br />
comprimentos, intervalos <strong>de</strong> tempo, voltagem entre<br />
dois pontos, carga elétrica, etc, há fontes <strong>de</strong> erros<br />
que a afetam. As medidas são afetadas por erros<br />
experimentais classificados em dois gran<strong>de</strong>s grupos:<br />
Erros sistemáticos<br />
Erros aleatórios<br />
Os erros sistemáticos são causados por<br />
fontes i<strong>de</strong>ntificáveis, po<strong>de</strong>ndo ser eliminados ou<br />
compensados. Prejudicam a exatidão (―accuracy‖)<br />
da medida.<br />
Causas dos erros sistemáticos:<br />
Instrumento que foi utilizado.<br />
Método <strong>de</strong> observação utilizado.<br />
Efeitos ambientais.<br />
Simplificação do mo<strong>de</strong>lo teórico<br />
utilizado.
Y<br />
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 3<br />
Ao realizar as medidas, <strong>de</strong>ve-se i<strong>de</strong>ntificar e<br />
eliminar o maior número possível <strong>de</strong> fontes <strong>de</strong> erros<br />
sistemáticos.<br />
Os erros aleatórios são flutuações pacima ou para<br />
baixo, que fazem com que aproximadamente a meta<strong>de</strong> das<br />
medidas realizadas <strong>de</strong> uma mesma gran<strong>de</strong>za numa mesma<br />
situação experimental esteja <strong>de</strong>sviada para mais e a outra<br />
meta<strong>de</strong> esteja <strong>de</strong>sviada para menos, afetando portanto a<br />
precisão.<br />
Algumas fontes <strong>de</strong> erro típicas:<br />
Métodos <strong>de</strong> observação.<br />
Flutuações ambientais.<br />
Os erros aleatórios po<strong>de</strong>m ser tratados<br />
quantitativamente através <strong>de</strong> métodos estatísticos, <strong>de</strong><br />
maneira que seus efeitos na gran<strong>de</strong>za física medida<br />
po<strong>de</strong>m ser em geral, eliminados.<br />
‣ O Tratamento Estatístico<br />
Tendo N conjunto <strong>de</strong> dados x i , calculamos a média<br />
o <strong>de</strong>svio padrão da forma:<br />
N<br />
i<br />
N<br />
Se os dados x i forem distribuídos em frequência f i :<br />
N<br />
i 1<br />
1<br />
i<br />
N<br />
1<br />
x<br />
i 1<br />
N<br />
x<br />
i<br />
i<br />
i 1<br />
N<br />
f<br />
i<br />
N<br />
x<br />
x<br />
N<br />
f<br />
i<br />
i 1<br />
A variância é <strong>de</strong>finida como o quadrado do <strong>de</strong>svio<br />
padrão ( 2 ). Relações importantes:<br />
x<br />
2<br />
f<br />
i<br />
f<br />
i<br />
i<br />
i<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
e<br />
On<strong>de</strong>:<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
x<br />
2<br />
i<br />
i 1<br />
N<br />
68,7%<br />
95,45%<br />
0,0<br />
-4 -2 0 2 4<br />
N<br />
Z<br />
f<br />
i 1<br />
f<br />
x<br />
i<br />
2<br />
i<br />
(Média Quadrática).<br />
A distribuição Normal ou <strong>de</strong><br />
Gauss:<br />
Foi Gauss (&&) quem <strong>de</strong>duziu a expressão<br />
para a chamada distribuição Gaussiana ou Normal:<br />
Y<br />
1<br />
2<br />
e<br />
(&&)<br />
Carl Friedrich Gauss (1777-1855),<br />
Brunswick, Germany<br />
Po<strong>de</strong>mos trabalhar com a variável<br />
<strong>de</strong>nominada <strong>de</strong> variável reduzida z:<br />
x<br />
z<br />
Nesse caso, a distribuição Normal ou<br />
Gaussiana fica:<br />
z<br />
2<br />
1 2<br />
Y e<br />
2<br />
Esta é uma expressão mais simplificada,<br />
cujo gráfico está dado a seguir:<br />
Veja que há uma área sob a curva <strong>de</strong> 1.<br />
Quando x se encontra no intervalo <strong>de</strong> ( - , + ),<br />
a área sob a curva é <strong>de</strong> 68,7%; já quando x se<br />
encontra no intervalo ( - 2 , + 2 ) a área já é <strong>de</strong><br />
95% ou 0.95.<br />
Distribuição Normal ou Gaussiana<br />
Média<br />
Variância 2<br />
Desvio Padrão<br />
Coeficiente <strong>de</strong> simetria 0<br />
Observe que a curva Gaussiana ou Normal<br />
é uma curva simétrica em relação ao eixo Oy, tendo<br />
50% <strong>de</strong> área à esquerda e a direita do eixo Oy.<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 4<br />
Veja como se aproxima da distribuição Normal<br />
um resultado para N=8 para um exemplo <strong>de</strong> lançamento <strong>de</strong><br />
moeda ) p = 0.5 = q:<br />
Erros na Fase <strong>de</strong> Mo<strong>de</strong>lagem:<br />
Necessita-se <strong>de</strong> várias simplificações do mundo físico,<br />
em geral, para se tentar representar um fenômeno natural<br />
por um mo<strong>de</strong>lo matemático. Esses erros levam em<br />
consi<strong>de</strong>ração a precisão dos instrumentos <strong>de</strong> medidas.<br />
Em geral se um instrumento possui precisão p,<br />
<strong>de</strong>finida em geral pela meta<strong>de</strong> da menor divisão; faz-se um<br />
conjunto <strong>de</strong> N medidas. Ao apresentar o resultado final<br />
teremos que calcular a média x do conjunto <strong>de</strong> x i medidas<br />
e o <strong>de</strong>svio padrão :<br />
2<br />
2<br />
n m x y<br />
F x y n m<br />
x y<br />
2 2<br />
2<br />
f 2 f 2 f 2<br />
f D x y z<br />
x y z<br />
N<br />
N<br />
x<br />
y<br />
Apresentação do resultado<br />
xi<br />
yi<br />
i<br />
i<br />
x y<br />
N<br />
x N<br />
y<br />
N<br />
2<br />
xi<br />
x<br />
i 1<br />
N 1<br />
O erro x associado à média será:<br />
N 1<br />
x<br />
x<br />
N 1 y<br />
; y<br />
N N<br />
Assim o resultado a apresentar será dado por:<br />
Se p<br />
x<br />
px<br />
x x; s<br />
y<br />
p<br />
y<br />
y y<br />
Se < p<br />
Espessura (mm)<br />
x p<br />
2,23<br />
x<br />
px<br />
x p s<br />
x y<br />
p<br />
y<br />
y p<br />
2,25<br />
2,31<br />
Tais erros em operações matemáticas se<br />
2,18<br />
2,21<br />
x; y , <strong>de</strong>svios x e y e erros<br />
2,23<br />
e e 2.24 0.01mm pois<br />
0,03437<br />
x<br />
0,0140<br />
6<br />
2 2<br />
S D x y<br />
2) Produto P = x.y<br />
2<br />
2<br />
x y<br />
e p 2.24 0.03<br />
P xy<br />
x y<br />
3) Quociente Q = x/y<br />
2<br />
2<br />
x x y<br />
Q<br />
y x y<br />
4) Potenciação: F = x n y m<br />
s<br />
s ;<br />
y<br />
propagam: Assim, suponha que faz-se medidas diretas das<br />
variáveis x e y com médias<br />
dados por x e y. Teremos que fazer o que se chama <strong>de</strong><br />
propagação <strong>de</strong> erros nas operações matemáticas:<br />
1) Soma S = x + y e diferença D = x - y:<br />
Nesse caso o erro na soma ou na diferença é dado<br />
por:<br />
F<br />
x<br />
n<br />
y<br />
m<br />
Tais regras são conhecidas como regras <strong>de</strong><br />
propagação <strong>de</strong> erro.<br />
Caso Geral:<br />
Se tivermos uma função f <strong>de</strong> n variáveis, o<br />
erro na função f é dado por:<br />
O resultado <strong>de</strong>ve ser apresentados em<br />
termos dos algarismos significativos (todos os<br />
corretos da medida mais o primeiro duvidoso, ou<br />
seja matematicamente, todos da esquerda para a<br />
direita) . Por exemplo:<br />
12,345 - 5 Algarismos significativos<br />
(digito 5:duvidoso)<br />
0,00012 – 2 AS<br />
-1,234.10 -5 – 4 AS<br />
Exemplo 3 – Mediu-se a espessura <strong>de</strong> uma<br />
lâmina e encontrou-se a seguinte tabela: (medido<br />
com paquímetro p=0.025mm)<br />
Como a precisão p = 0.025, ou seja, maior<br />
que o <strong>de</strong>svio padrão, aí escrevemos como:
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5<br />
Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s. Gran<strong>de</strong>zas<br />
Fundamentais<br />
O SI também é conhecido como sistema métrico.<br />
As gran<strong>de</strong>zas <strong>de</strong>rivadas do SI são dadas em<br />
termos das fundamentais.<br />
As gran<strong>de</strong>zas fundamentais são:<br />
‣ Metro: (m)<br />
O metro foi <strong>de</strong>finido, em 1792 na França, como 1<br />
décimo <strong>de</strong> milionésimo da distância do pólo norte para o<br />
equador. Atualmente é <strong>de</strong>finido como a distância entre<br />
duas linhas finas gravadas em uma barra <strong>de</strong> platina-irídio,<br />
mantida no International Bureau of Weights and Measures<br />
próximo à Paris.<br />
Em 1960 foi adotado um novo padrão para o<br />
metro, baseado no comprimento <strong>de</strong> onda da luz.<br />
Especificamente, o metro foi re<strong>de</strong>finido como 1650763,73<br />
comprimentos <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> uma particular luz vermelhoalaranjada<br />
emitida por átomos <strong>de</strong> Kriptônio-86.<br />
COMPRIMENTOS TÍPICOS m<br />
Distância ao mais afastado quasar (1990) 2.10 26<br />
Distância à galáxia <strong>de</strong> Andrômeda 2.10 22<br />
Distância à mais próxima estrela (Próxima 4.10 16<br />
Centauri)<br />
Distância ao mais afastado planeta (Plutão) 6.10 12<br />
Raio da Terra 6.10 6<br />
Altura do monte Everest 9.10 2<br />
Espessura <strong>de</strong>ssa página 1.10 -4<br />
Comprimento <strong>de</strong> onda da luz 5.10 -7<br />
Comprimento <strong>de</strong> um vírus típico 1.10 -8<br />
Raio do átomo <strong>de</strong> hidrogênio 5.10 -11<br />
Raio <strong>de</strong> um próton 10 -15<br />
‣ Tempo: (s)<br />
Para medir tempo-padrão, os relógios atômicos<br />
foram <strong>de</strong>senvolvidos em diversos países.<br />
A 13 a conferência geral <strong>de</strong> pesos e medidas adotou<br />
o segundo padrão baseado no relógio atômico <strong>de</strong> césio.<br />
(NIST- Colorado USA)<br />
Em princípio, dois relógios <strong>de</strong> Césio funcionando<br />
por 6000 anos não atrasariam 1s em relação ao outro.<br />
Intervalo <strong>de</strong> Tempo (s)<br />
Tempo <strong>de</strong> vida <strong>de</strong> um próton 10 39<br />
Ida<strong>de</strong> do universo 5.10 17<br />
Ida<strong>de</strong> da pirâmi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Quéops 1.10 11<br />
Expectativa <strong>de</strong> vida humana (EUA) 2.10 9<br />
Duração <strong>de</strong> um dia 9.10 4<br />
Tempo entre duas batidas do 8.10 -1<br />
coração humano<br />
Tempo <strong>de</strong> vida <strong>de</strong> um múon 2.10 -6<br />
Menor pulso luminoso no 6.10 -15<br />
laboratório (1989)<br />
Tempo <strong>de</strong> vida da mais instável 10 -23<br />
partícula<br />
Constante <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> Planck 10 -43<br />
‣ Massa: (kg)<br />
A unida<strong>de</strong> padrão para a massa é um<br />
cilindro <strong>de</strong> platina-irídio guardada no International<br />
Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris,<br />
França, como mostramos na figura<br />
abaixo:correspon<strong>de</strong> a uma massa <strong>de</strong> 1kg, <strong>de</strong> acordo<br />
internacional.<br />
1kg padrão internacional.<br />
Algumas massas típicas:<br />
Massa<br />
kg<br />
Universo conhecido 10 53<br />
Nossa galáxia 2.10 41<br />
Sol 2.10 30<br />
Lua 7.10 22<br />
Asterói<strong>de</strong> Eros 5.10 15<br />
Pequena Montanha 1.10 12<br />
Periferia do Oceano 7.10 7<br />
Elefante 5.10 3<br />
Grampo 3.10 -3<br />
Grão <strong>de</strong> Areia 7.10 -10<br />
Molécula <strong>de</strong> 5.10 -17<br />
Penicilina<br />
Próton 2.10 -27<br />
Elétron 9.10 -31<br />
Relógio <strong>de</strong> Césio Padrão, no NIST (USA)
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6<br />
Análise <strong>de</strong> Equações e variáveis em Física.<br />
Análise dimensional:<br />
Muitas vezes em problemas e medidas é <strong>de</strong><br />
extrema utilida<strong>de</strong> analisar a dimensão da gran<strong>de</strong>za a ser<br />
medida ou da variável em questão. Para isso representamos<br />
as gran<strong>de</strong>zas fundamentais como:<br />
Medida Nome da Símbolo Dimensão<br />
unida<strong>de</strong><br />
Comprimento metro m [L]<br />
Massa kilograma kg [M]<br />
Tempo segundo s [T]<br />
Exemplo 4 – Analisar a dimensão da gran<strong>de</strong>za<br />
pressão:<br />
P=F/A<br />
F=ma<br />
Gran<strong>de</strong>za (unida<strong>de</strong> SI) Dimensão<br />
Aceleração a (m/s 2 ) [L][T] -2<br />
Massa (kg)<br />
[M]<br />
Força (1N=kgm/s 2 ) [M][L][T] -2<br />
Pressão (N/m 2 ) [M][L][T] -2 /[L] 2<br />
[M][L] -1 [T] -2<br />
Assim, a análise dimensional para a Pressão nos<br />
dá: =[M][L] -1 [T] -2 .<br />
Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
comprimento<br />
Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
massa<br />
Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
tempo<br />
Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
corrente<br />
elétrica<br />
Definições do sistema <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s básicas do<br />
SI:<br />
metro<br />
kilograma<br />
segundo<br />
ampere<br />
É o comprimento<br />
atravessado pela luz no<br />
vácuo num intervalo <strong>de</strong><br />
1/299 792 458 <strong>de</strong> um<br />
segundo.<br />
Massa <strong>de</strong> um protótipo<br />
padrão internacional.<br />
O Segundo é a duração <strong>de</strong><br />
9 192 631 770 períodos da<br />
radiação correspon<strong>de</strong>nte<br />
para a transição <strong>de</strong> dois<br />
níveis hiperfinos do estado<br />
fundamental do átomo <strong>de</strong><br />
Césio 133.<br />
O ampére é uma corrente<br />
a qual, mantidos dois fios<br />
condutores<br />
<strong>de</strong><br />
comprimentos infinitos e<br />
paralelos e <strong>de</strong><br />
negligenciável área <strong>de</strong><br />
seção reta circular, s<br />
separados por 1 metro no<br />
vácuo, produzir-se-á entre<br />
esses condutores uma força<br />
Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
temperatura<br />
termodinâmica<br />
kelvin<br />
Unida<strong>de</strong> da mole<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
uma substância<br />
Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
quantida<strong>de</strong><br />
luminosa<br />
can<strong>de</strong>la<br />
<strong>de</strong> 2 x 10 -7 newton por<br />
metro <strong>de</strong> comprimento.<br />
O kelvin, unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
temperatura<br />
termodinâmica, é a fração<br />
<strong>de</strong> 1/273.16 da temperatura<br />
do ponto triplo da água.<br />
1. O mole é a quantida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> uma substância <strong>de</strong> um<br />
sistema o qual contém<br />
quantida<strong>de</strong>s elementares<br />
existentes em 0,0012 kg <strong>de</strong><br />
carbono 12, simbolizando<br />
o "mol."<br />
2. Quando n mole é usado,<br />
as entida<strong>de</strong>s elementares<br />
<strong>de</strong>vem ser especificadas,<br />
po<strong>de</strong>ndo ser átomos ou<br />
moléculas, íons, elétrons<br />
ou outras partículas.<br />
A can<strong>de</strong>la é a intensida<strong>de</strong><br />
luminosa, em uma dada<br />
direção, <strong>de</strong> uma fonte que<br />
emite<br />
radiação<br />
monocromática <strong>de</strong><br />
frequência 540 x 10 12 hertz<br />
e que tem uma intensida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> radiação na direção of<br />
1/683 watt por<br />
estereoradiano.<br />
‣ Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
Acrônimos: CGPM,<br />
comprimento (metro)<br />
CIPM, BIPM<br />
As origens do metro voltam para o 18º século. Naquele<br />
momento, havia duas aproximações competindo à <strong>de</strong>finição <strong>de</strong><br />
uma unida<strong>de</strong> standard (padrão) <strong>de</strong> duração. O astrônomo<br />
Christian Huygens sugestionou <strong>de</strong>finindo o metro como a<br />
duração <strong>de</strong> um pêndulo que tem um período <strong>de</strong> um segundo;<br />
outros sugestionaram <strong>de</strong>finindo o metro como um décimo <strong>de</strong><br />
milionésimo da duração do meridiano da terra ao longo <strong>de</strong> um<br />
quadrante (um quarto a circunferência da terra). Em 1791, em<br />
seguida a Revolução francesa, a Aca<strong>de</strong>mia francesa <strong>de</strong> Ciências<br />
escolheu a <strong>de</strong>finição meridiana em cima da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> pêndulo<br />
porque a força <strong>de</strong> gravida<strong>de</strong> varia ligeiramente em cima da<br />
superfície da terra e afeta o período do pêndulo.<br />
Assim, era pretendido que o metro igualava 10 -7 ou um<br />
décimo <strong>de</strong> milionésimo da duração do meridiano por Paris para o<br />
equador. Porém, o primeiro protótipo era pequeno através <strong>de</strong> 0.2<br />
milímetros porque os investigadores calcularam mal o aplainando<br />
da terra <strong>de</strong>vido a sua rotação. Ainda esta duração se tornou o<br />
padrão. ( gravura à certos espetáculos <strong>de</strong> arremesso da liga <strong>de</strong><br />
platina-irídio chamado a " 1874 Liga ".) Em 1889, um protótipo<br />
internacional novo foi feito <strong>de</strong> uma liga <strong>de</strong> platina com 10 % <strong>de</strong><br />
irídio, para <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> 0.0001, isso seria medido ao ponto <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>rretimento do gelo. Em 1927, o metro foi <strong>de</strong>finido mais<br />
justamente como a distância, a 0°, entre os machados das duas<br />
linhas centrais marcados na barra <strong>de</strong> platina-irídio persistida no<br />
BIPM, e <strong>de</strong>clarou Protótipo do metro pelo 1º CGPM, esta barra<br />
que está sujeito a pressão atmosférica standard e apoiada em dois<br />
cilindros <strong>de</strong> pelo menos um diâmetro <strong>de</strong> centímetro,<br />
simetricamente colocadas no mesmo plano horizontal a uma<br />
distância <strong>de</strong> 571 mm <strong>de</strong> um ao outro.<br />
A <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> 1889 do metro, fundamentada no protótipo<br />
internacional <strong>de</strong> platina-irídio, foi substituída pelo CGPM em<br />
1960 usando uma <strong>de</strong>finição fundada em um comprimento <strong>de</strong><br />
onda <strong>de</strong> radiação kryptônio-86. Esta <strong>de</strong>finição foi adotada para
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7<br />
reduzir a incerteza com que o metro po<strong>de</strong> ser percebido. Em 1983 o<br />
CGPM substituiu esta <strong>de</strong>finição posterior pela seguinte <strong>de</strong>finição:<br />
O metro é a duração do caminho percorrido pela luz no<br />
vácuo durante um intervalo <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> 1/299 792 458 <strong>de</strong> um segundo.<br />
Note que o efeito <strong>de</strong>sta <strong>de</strong>finição é fixar a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> luz no vácuo<br />
a exatamente 299 792 458 m·s -1 . O protótipo internacional original do<br />
metro que foi sancionado pelo 1º CGPM em 1889 ainda é persistido no<br />
BIPM <strong>de</strong>baixo das condições especificadas em 1889.<br />
‣ Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> massa Acrônimos: CGPM,<br />
(kilograma)<br />
CIPM, BIPM<br />
Ao término do 18º século, um quilograma era a massa <strong>de</strong> um<br />
<strong>de</strong>címetro cúbico <strong>de</strong> água. Em 1889, o 1º CGPM sancionou o protótipo<br />
internacional do quilograma, feito <strong>de</strong> platina-irídio, e <strong>de</strong>clarou: Será<br />
consi<strong>de</strong>rado daqui em diante que este protótipo é a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> massa. A<br />
figura anterior mostra o bloco <strong>de</strong> platina-irídio, um protótipo<br />
internacional, como está na Agência Internacional <strong>de</strong> Pesos e Medidas<br />
<strong>de</strong>baixo <strong>de</strong> condições especificadas pelo 1º CGPM em 1889.<br />
O 3d CGPM (1901), em uma <strong>de</strong>claração preten<strong>de</strong>ram terminar a<br />
ambigüida<strong>de</strong> em uso popular relativo ao palavra " peso, " confirmou isso:<br />
O quilograma é a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> massa; é igual à massa do<br />
protótipo internacional do quilograma.<br />
‣ Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo Acrônimos: CGPM,<br />
(segundo)<br />
CIPM, BIPM<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo, o segundo, foi <strong>de</strong>finida originalmente como a<br />
fração 1/86 400 do dia solar médio. A <strong>de</strong>finição exata <strong>de</strong> "dia " solar<br />
médio permaneceu sob as teorias astronômicas. Porém, a medida mostrou<br />
que não pu<strong>de</strong>ssem ser levadas em conta irregularida<strong>de</strong>s na rotação da<br />
Terra pela teoria e tem o efeito que esta <strong>de</strong>finição não permite alcançar a<br />
precisão exigida. Para <strong>de</strong>finir a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo mais justamente, o 11º<br />
CGPM (1960) adotou uma <strong>de</strong>finição dada pela União Astronômica<br />
Internacional que estava baseado no ano tropical. Porém, um trabalho<br />
experimental já tinha mostrado que um padrão atômico <strong>de</strong> intervalo <strong>de</strong><br />
tempo, baseado numa transição entre dois níveis <strong>de</strong> energia <strong>de</strong> um átomo<br />
ou uma molécula, po<strong>de</strong>ria ser reproduzida muito mais justamente.<br />
Consi<strong>de</strong>rando que uma <strong>de</strong>finição muito precisa da unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo é<br />
indispensável para o Sistema Internacional, o 13º CGPM (1967) <strong>de</strong>cidiu<br />
substituir a <strong>de</strong>finição do segundo pelo seguinte (afirmou pelo CIPM em<br />
1997 que esta <strong>de</strong>finição se refere a um átomo <strong>de</strong> césio em seu estado<br />
fundamental à uma temperatura <strong>de</strong> 0 K):<br />
O segundo é a duração <strong>de</strong> 9 192 631 770 períodos da<br />
radiação que correspon<strong>de</strong> à transição entre o dois níveis hiperfinos do<br />
estado fundamental do átomo <strong>de</strong> césio 133.<br />
‣ Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente Acrônimos: CGPM,<br />
elétrica (ampere)<br />
CIPM, BIPM<br />
Unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> corrente elétrica, chamada " internacional, " para corrente<br />
e resistência foi introduzida pelo Congresso Elétrico Internacional em<br />
Chicago em 1893, e as <strong>de</strong>finições do " ampère internacional " e o " ohm<br />
internacional " eram confirmadas pela Conferência Internacional <strong>de</strong><br />
Londres em 1908.<br />
Embora já era óbvio na ocasião do 8º CGPM (1933) que havia um<br />
<strong>de</strong>sejo unânime para substituir essas " unida<strong>de</strong>s internacionais " através <strong>de</strong><br />
unida<strong>de</strong>s absolutas " <strong>de</strong>nominadas ", a <strong>de</strong>cisão oficial para aboli-los só foi<br />
levada pelo 9º CGPM (1948) que adotou o ampère para a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
corrente elétrica e segue a <strong>de</strong>finição proposta pelo CIPM em 1946:<br />
O ampère é aquela corrente <strong>de</strong> constante que, se manter<br />
diretamente em dois condutores paralelos e infinitos, <strong>de</strong> seção circular<br />
transversal <strong>de</strong>sprezível, colocados paralelamente a 1 metro no vácuo,<br />
produziria entre estes condutores uma força igual para 2 x 10 -7 newton<br />
por metro <strong>de</strong> comprimento.<br />
A expressão " unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> MKS <strong>de</strong> força " que acontece no texto<br />
original foi substituída aqui através <strong>de</strong> " newton, " o nome adotou para<br />
esta unida<strong>de</strong> pelo 9º CGPM (1948). Note que o efeito <strong>de</strong>sta <strong>de</strong>finição é<br />
fixar a constante magnética (permeabilida<strong>de</strong> do vácuo) a exatamente 4 x<br />
10 -7 H · m -1 .<br />
‣ Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> temperatura Acronimos: CGPM,<br />
termodinâmica (kelvin)<br />
CIPM, BIPM<br />
A <strong>de</strong>finição da unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> temperatura termodinâmica era<br />
<strong>de</strong>terminada em substância pelo 10º CGPM (1954) que<br />
selecionou o ponto triplo <strong>de</strong> água como o ponto fixo fundamental<br />
e nomeou a isto a temperatura 273.16 K, <strong>de</strong>finindo a unida<strong>de</strong><br />
assim. O 13º CGPM (1967) adotou o kelvin <strong>de</strong> nome (símbolo K)<br />
em vez <strong>de</strong> " grau Kelvin " (símbolo °K) e <strong>de</strong>finiu a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
temperatura termodinâmica como segue:<br />
O kelvin, unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> temperatura termodinâmica, é a<br />
fração 1/273.16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo<br />
da água.<br />
Por causa das escalas termométricas <strong>de</strong> temperatura,<br />
permanece prática comum para expressar temperatura<br />
termodinâmica, símbolo T, em termos <strong>de</strong> sua diferença da<br />
referência temperatura T 0 = 273.15 K, o ponto <strong>de</strong> gelo. Esta<br />
diferença <strong>de</strong> temperatura é chamada uma temperatura Celcius<br />
(em graus Centígrados, símbolo t, e é <strong>de</strong>finido pela equação <strong>de</strong><br />
quantida<strong>de</strong><br />
t = T – T 0 .<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> temperatura Celcius é o grau Centígrado,<br />
símbolo °C que é por <strong>de</strong>finição igual em magnitu<strong>de</strong> para o kelvin.<br />
Uma diferença ou intervalo <strong>de</strong> temperatura po<strong>de</strong>m ser<br />
expressados em kelvins ou em graus Centígrado (13º CGPM,<br />
1967). O valor numérico <strong>de</strong> uma temperatura t graus Celcius é<br />
<strong>de</strong>terminada por<br />
t/°C = T/K - 273.15.<br />
O kelvin e o grau Centígrado também são também unida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> Temperatura Internacional. A Escala <strong>de</strong> 1990 (ITS-90) adotou<br />
pelo CIPM em 1989.<br />
‣ Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Acrônimos: CGPM,<br />
substância (mole)<br />
CIPM, BIPM<br />
Seguindo a <strong>de</strong>scoberta das leis fundamentais <strong>de</strong> química, as<br />
unida<strong>de</strong>s foram chamadas, por exemplo, ―átomo-grama" e<br />
"molécula-grama‖, foram usadas para especificar quantias <strong>de</strong><br />
elementos químicos ou combinações. Estas unida<strong>de</strong>s tiveram uma<br />
conexão direta com "pesos" atômicos e "pesos moleculares" que<br />
eram <strong>de</strong> fato massas relativas. Referiram ―pesos" atômicos<br />
originalmente ao peso atômico <strong>de</strong> oxigênio, por acordo geral<br />
levado como 16. Mas consi<strong>de</strong>rando os isótopos físicos separados<br />
no espectrógrafo <strong>de</strong> massa, atribuiu o valor 16 a um dos isótopos<br />
<strong>de</strong> oxigênio; os químicos atribuíram aquele mesmo valor para o<br />
(ligeiramente variável) mistura <strong>de</strong> isótopos 16, 17, e 18 que eram<br />
para eles o oxigênio <strong>de</strong> elemento naturalmente acontecendo.<br />
Finalmente, um acordo entre a União Internacional <strong>de</strong> Puras e<br />
Aplicadas Físicas (IUPAP) e a União Internacional <strong>de</strong> Pura e<br />
Aplicada Química (IUPAC) trouxe esta dualida<strong>de</strong> para um fim<br />
em 1959/60. Os Físicos e Químicos concordaram nomear o valor<br />
12, exatamente, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> então para o "peso atômico" corretamente<br />
a massa atômica relativa, do isótopo <strong>de</strong> carbono com massa<br />
número 12 (carbono 12, 12C). A balança unificada assim obtida<br />
dá valores <strong>de</strong> massa atômica relativa.<br />
Permaneceu <strong>de</strong>finir a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> substância<br />
fixando a massa correspon<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> carbono 12; por acordo<br />
internacional, esta massa esteve fixa em 0.012 kg, e a unida<strong>de</strong><br />
da quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> “substância" era <strong>de</strong>terminada <strong>de</strong> nome mole<br />
(mol <strong>de</strong> símbolo).<br />
As Propostas seguintes da IUPAP, IUPAC, e a Organização<br />
Internacional para Padronização (ISO), o CIPM ce<strong>de</strong>u 1967, e<br />
confirmou em 1969, a <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> mole, eventualmente adotados<br />
pelo 14º CGPM (1971):<br />
1. mole é a quantia <strong>de</strong> substância <strong>de</strong> um sistema que<br />
contém tantas entida<strong>de</strong>s elementares quanto há átomos em 0.012<br />
quilograma <strong>de</strong> carbono 12; seu símbolo é " mol ".<br />
2. quando o mole é usado, as entida<strong>de</strong>s elementares<br />
<strong>de</strong>vem ser especificadas e po<strong>de</strong>m ser átomos, moléculas, íons,<br />
elétrons, outras partículas, ou especificados grupos <strong>de</strong> tais<br />
partículas.
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8<br />
A sua 1980 reunião, o CIPM aprovou a proposta <strong>de</strong> 1980 pelo Comitê <strong>de</strong><br />
Consultas em Unida<strong>de</strong>s do CIPM que especifica isso nesta <strong>de</strong>finição, é<br />
compreendido que átomos não ligados <strong>de</strong> carbono 12, em repouso e no<br />
estado <strong>de</strong> solo <strong>de</strong>les/<strong>de</strong>las, se refere.<br />
‣ Apêndice:<br />
‣ Modo Estatístico das calculadoras.<br />
‣ Casio fx-82MS<br />
‣ Unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> Acrônimos: CGPM,<br />
luminosa (can<strong>de</strong>la)<br />
CIPM, BIPM<br />
Originalmente, cada país teve seu próprio, e bastante mal<br />
reprodutível, unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> luminosa; era necessário esperar até<br />
as 1909 para ver um começo <strong>de</strong> unificação no nível internacional, quando<br />
os laboratórios nacionais dos Estados Unidos da América, França, e Grã<br />
Bretanha <strong>de</strong>cidiram adotar a vela internacional representada por<br />
luminárias <strong>de</strong> filamento <strong>de</strong> carbono. Ao mesmo tempo, a Alemanha ficou<br />
com a vela <strong>de</strong> Hefner, <strong>de</strong>finida por um padrão <strong>de</strong> chama, e igual para<br />
aproximadamente nove décimos <strong>de</strong> uma vela internacional. Mas um<br />
padrão baseado em luminárias incan<strong>de</strong>scentes, e conseqüentemente<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte na sua estabilida<strong>de</strong>, nunca teria sido completamente<br />
satisfatório e po<strong>de</strong>ria ser então só provisional; por outro lado, as<br />
proprieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> um corpo negro proveram uma solução teoricamente<br />
perfeita e, já em 1933, foi adotado o princípio que unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> fotometria<br />
novas estariam baseado na emissão luminosa <strong>de</strong> um corpo negro na<br />
temperatura <strong>de</strong> fusão da platina (2045 K).<br />
As unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> luminosa eram baseadas em chama ou<br />
padrões <strong>de</strong> filamento incan<strong>de</strong>scentes e foram substituídas em uso em<br />
vários países antes <strong>de</strong> 1948 inicialmente pela "vela" baseado no<br />
luminance da radiação <strong>de</strong> corpo negro (Teoria feita por Planck) à<br />
temperatura <strong>de</strong> platina citada acima. Esta modificação tinha sido<br />
preparada pela Comissão Internacional em Iluminação (CIE) e pelo CIPM<br />
antes das 1937, e foi promulgado pelo CIPM em 1946. Foi ratificado<br />
então em 1948 pelo 9º CGPM que adotaram um nome internacional novo<br />
para esta unida<strong>de</strong>, can<strong>de</strong>la (cd <strong>de</strong> símbolo); em 1967 o 13º CGPM <strong>de</strong>u<br />
uma versão emendada da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong>1946.<br />
Em 1979, por causa das dificulda<strong>de</strong>s experimentais que ocorriam na<br />
radiação <strong>de</strong> corpo negro (Teoria <strong>de</strong> Planck) a temperaturas altas e as<br />
possibilida<strong>de</strong>s novas ofereceu através da radiometria, i.e., a medida <strong>de</strong><br />
po<strong>de</strong>r <strong>de</strong> radiação óptico, o 16º CGPM (1979) adotou uma <strong>de</strong>finição nova<br />
para o can<strong>de</strong>la:<br />
O can<strong>de</strong>la é a intensida<strong>de</strong> luminosa, em uma <strong>de</strong>terminada<br />
direção, <strong>de</strong> uma fonte que emite radiação monocromática <strong>de</strong> freqüência<br />
540 x 1012 hertz e tem uma intensida<strong>de</strong> radiante naquela direção <strong>de</strong><br />
1/683 watt por stereoradianos.<br />
Comando<br />
Função<br />
on<br />
Liga<br />
Mo<strong>de</strong> 2<br />
Entra no modo sd<br />
(statistical data)<br />
Shift CLR 1 = Limpa memórias<br />
Dado 1 M+ Inseri dado 1<br />
Shift 2<br />
Entra no s-var<br />
Shift 2 1 =<br />
Dá a média<br />
Shift 2 2 =<br />
Dá o DPP<br />
Shift 2 3 =<br />
Dá o DPA<br />
Shift CLR 3 =<br />
Limpa tudo<br />
Mo<strong>de</strong> 3<br />
Entra no modo reg<br />
1 (regressão<br />
linear)<br />
x 1 ,y 1 M+ Inseri ponto (x 1,y 1)<br />
Exemplo:<br />
Insere o ponto<br />
(1.879.10<br />
1.879EXP(-<br />
,<br />
2.46.10<br />
)5,2.456EXP4 M+<br />
)<br />
Shift 2 1 =<br />
Dá a média <strong>de</strong> x<br />
Shift 2 2 =<br />
Dá o DPP <strong>de</strong> x<br />
Shift 2 3 =<br />
Dá o DPA <strong>de</strong> x<br />
Shift 2 1 = Dá a média <strong>de</strong> x<br />
Shift 2 2 = Dá o DPP <strong>de</strong> x<br />
Shift 2 3 = Dá o DPA <strong>de</strong> x<br />
Shift 2 1 = Dá o coeficiente<br />
linear A<br />
Shift 2 2 = Dá o coeficiente<br />
angular B<br />
Shift 2 3 = Dá a correlação r<br />
‣ Série HP
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9<br />
Recursos estatísticos:<br />
Σx, Σx 2 , Σy, Σy 2 , Σxy<br />
Desvio padrão <strong>de</strong> amostra, média<br />
Desvio padrão <strong>de</strong> população<br />
Regressão linear<br />
Combinações, permutações<br />
Média pon<strong>de</strong>rada<br />
Editar, gravar, nomear, listar<br />
Ajuste <strong>de</strong> curva ( LIN, LOG, EXP, POW )<br />
Plotagem <strong>de</strong> dados estatísticos<br />
Testes <strong>de</strong> hipóteses<br />
Intervalos <strong>de</strong> confiança<br />
Comando<br />
Single-var<br />
Edit<br />
population<br />
sample<br />
chk<br />
Função<br />
Entra no modo<br />
estatístico<br />
Entra no modo <strong>de</strong><br />
edição. Escolha a<br />
coluna que inserirá os<br />
dados<br />
Dpp<br />
Dpa<br />
Marque para mostrar<br />
o valor<br />
‣ GRANDEZAS FÍSICAS<br />
escalares.<br />
‣ VETORES<br />
‣ Vetores no plano R 2 :<br />
Vetoriais e<br />
Versores: São vetores <strong>de</strong> módulo<br />
1 e perpendiculares entre si. No plano R 2 <strong>de</strong>finimos<br />
os versores î 1, 0 e ĵ 0, 1<br />
y<br />
1<br />
ĵ<br />
î<br />
0 1 x<br />
Representação:<br />
<br />
v<br />
v<br />
iˆ<br />
v<br />
x y<br />
( v , v x y<br />
ˆj<br />
ou<br />
v ) ou<br />
<br />
v OA A O<br />
v : Componente horizontal do vetor v .<br />
x<br />
v : Componente vertical do vetor v .<br />
y<br />
Entra no modo <strong>de</strong><br />
ajuste <strong>de</strong> curvas<br />
Fit data<br />
Edit<br />
Insira os dados (x,y)<br />
nas colunas 1 e 2, por<br />
exemplo<br />
Valeu,<br />
carinha <br />
v x<br />
v y<br />
<br />
v<br />
<br />
v<br />
cos<br />
sen<br />
CD D C<br />
CD xD, yD xC , y<br />
C<br />
CD xD xC , yD y<br />
C<br />
CD x x iˆ<br />
y y ˆj<br />
D C D C<br />
Módulo ou magnitu<strong>de</strong> do vetor:<br />
v <br />
2 2<br />
v x<br />
v y
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10<br />
o<br />
sentido.<br />
número.<br />
Importante:<br />
v é um vetor, por tanto possui módulo direção e<br />
v é o módulo do vetor v , sendo portanto um<br />
Direção do vetor:<br />
A direção <strong>de</strong> um vetor é dada pelo ângulo que o<br />
vetor forma com o eixo horizontal Ox, com o ângulo<br />
medido no sentido anti-horário.<br />
θ<br />
Unida<strong>de</strong>s angulares:<br />
Definimos o grau (em inglês: <strong>de</strong>gree) como um<br />
noventa avos do ângulo reto.<br />
O grado é <strong>de</strong>finido <strong>de</strong> tal forma que a cada 100<br />
grados correspon<strong>de</strong> a 90 0 . Assim:<br />
( grados ) 100 90<br />
0<br />
O radiano é dado pela correspondência: a cada π<br />
radianos correspon<strong>de</strong> a 180 0 . Assim:<br />
(rad )<br />
0<br />
180<br />
‣ Modo angular na calculadora:<br />
Lembre-se que para encontrar o ângulo em graus<br />
o modo que se <strong>de</strong>ve trabalhar na calculadora é <strong>de</strong>g (<strong>de</strong><br />
―<strong>de</strong>gree”) e se quisermos operar em radianos, rad.<br />
A relação entre um ângulo medido em grau<br />
0 e um<br />
0<br />
0<br />
Conversões <strong>de</strong> quadrantes:<br />
i) Vetor no segundo quadrante<br />
y<br />
arctg<br />
v 0 0 0<br />
180<br />
v y (rad )<br />
v x 0 x<br />
ii) Vetor no terceiro quadrante<br />
y<br />
0x<br />
arctg<br />
v 0 0 0<br />
180<br />
v y (rad )<br />
v x<br />
iii) Vetor no quarto quadrante<br />
y<br />
0x<br />
arctg<br />
v 0 0 0<br />
360<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
ângulo medido em radiano<br />
é dada por:<br />
3.14159...<br />
Determinação do ângulo :<br />
cos<br />
sen<br />
tan<br />
vx<br />
<br />
v<br />
vy<br />
<br />
v<br />
v<br />
v<br />
y<br />
x<br />
vx<br />
arccos <br />
v<br />
vy<br />
arcsen <br />
v<br />
v<br />
arctan<br />
v<br />
0<br />
180<br />
y<br />
x<br />
0<br />
v y (rad ) 2<br />
u <br />
v x<br />
Operações com vetores<br />
‣ Multiplicação por um escalar<br />
‣ Soma <strong>de</strong> vetores<br />
Regra do Polígono<br />
v w <br />
<br />
S<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
<br />
w<br />
<br />
t<br />
t
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11<br />
Regra do Paralelogramo<br />
u<br />
v<br />
<br />
u <br />
u<br />
v<br />
<br />
v 2 2 <br />
u v u v 2 u v cos<br />
Ângulo Ângulo formado pelo: Cossenos<br />
diretores<br />
Vetor e eixo Ox<br />
θ x<br />
θ y<br />
θ z<br />
Vetor e eixo Oy<br />
Vetor e eixo Oz<br />
cos<br />
cos<br />
cos<br />
x<br />
y<br />
z<br />
v x<br />
<br />
v<br />
v y<br />
<br />
v<br />
v z<br />
<br />
v<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
<br />
u<br />
2<br />
<br />
v<br />
2<br />
2<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
cos<br />
‣ Versores:<br />
î 1,0,0<br />
Obs.: Vi<strong>de</strong> <strong>de</strong>monstração no Apêndice I<br />
ĵ<br />
0,1,0<br />
‣ Subtração <strong>de</strong> vetores<br />
‣ Vetores no espaço R 3 :<br />
Representação:<br />
ˆk 0,0,1<br />
Módulo do vetor:<br />
2 2 2<br />
v v v v<br />
x<br />
y<br />
z<br />
Normalização <strong>de</strong> um vetor:<br />
Dado um vetor u qualquer, o vetor <strong>de</strong><br />
módulo 1 que aponta na mesma direção e sentido <strong>de</strong><br />
u é dado por:<br />
u <br />
nˆ <br />
u nˆ<br />
u<br />
Ou:<br />
nˆ<br />
cos<br />
iˆ<br />
sen<br />
ˆj<br />
x<br />
<br />
v<br />
ou<br />
v <br />
ou<br />
v<br />
x<br />
iˆ<br />
v<br />
y<br />
( vx<br />
, v<br />
y<br />
, vz<br />
)<br />
ˆj<br />
v<br />
z<br />
kˆ<br />
<br />
v OA A O<br />
v : Componente x do vetor v .<br />
x<br />
v : Componente y do vetor v .<br />
y<br />
v<br />
z<br />
: Componente z do vetor v .<br />
Determinação dos ângulos formados pelo vetor<br />
com os eixos:<br />
Regra do paralelogramo:<br />
<br />
u v<br />
<br />
S u v<br />
u <br />
<br />
D u v<br />
v <br />
<br />
u<br />
2<br />
<br />
v<br />
2<br />
<br />
2 u v cos<br />
Analogamente, po<strong>de</strong>mos provar que:<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
<br />
u<br />
2<br />
<br />
v<br />
2<br />
2<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
cos
Física I – Sistemas <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12<br />
Apêndice II<br />
Regra do Paralelogramo: Demonstração:<br />
Relações trigonométricas:<br />
sen(<br />
a b)<br />
sena cosb<br />
senb<br />
cos a<br />
cos( a<br />
b)<br />
cos a<br />
cosb<br />
senb<br />
sena<br />
cos<br />
2<br />
sen<br />
2<br />
1<br />
sen(<br />
2 ) 2<br />
sen<br />
sen<br />
Observe que:<br />
u<br />
u<br />
x<br />
y<br />
<br />
u<br />
<br />
u<br />
cos<br />
cos<br />
u<br />
u<br />
e<br />
v<br />
v<br />
x<br />
y<br />
<br />
v<br />
<br />
v<br />
cos<br />
cos<br />
v<br />
v<br />
2 2<br />
cos( 2 ) cos sen<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
cos<br />
cos<br />
u<br />
v<br />
iˆ<br />
iˆ<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
sen<br />
sen<br />
v<br />
u<br />
ˆj<br />
ˆj<br />
<br />
u<br />
<br />
u<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
<br />
v<br />
<br />
v<br />
<br />
u<br />
cos<br />
<br />
u<br />
2<br />
<br />
u<br />
u<br />
(cos<br />
<br />
v cos<br />
cos<br />
2<br />
u<br />
u<br />
v<br />
sen<br />
iˆ<br />
<br />
v<br />
2<br />
u<br />
<br />
u sen<br />
cos<br />
)<br />
<br />
v<br />
u<br />
2<br />
v<br />
2<br />
(cos<br />
<br />
v<br />
2<br />
sen<br />
<br />
u<br />
u<br />
v<br />
ˆj<br />
sen<br />
sen<br />
2<br />
u<br />
u<br />
)<br />
<br />
v sen<br />
<br />
2u<br />
v (cos<br />
v<br />
u<br />
2<br />
cos<br />
v<br />
sen<br />
u<br />
sen<br />
v<br />
)<br />
Como:<br />
cos<br />
Teremos:<br />
cos(<br />
u<br />
v<br />
)<br />
cos<br />
u<br />
cos<br />
v<br />
sen<br />
u<br />
sen<br />
v<br />
<br />
u v<br />
<br />
u<br />
2<br />
<br />
v<br />
2<br />
<br />
2 u v<br />
Analogamente, po<strong>de</strong>mos provar que:<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
<br />
u<br />
2<br />
<br />
v<br />
2<br />
2<br />
<br />
u<br />
<br />
v<br />
cos<br />
cos
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
Apêndice II<br />
Lei dos Cosenos:<br />
c<br />
b<br />
a<br />
a<br />
a<br />
c<br />
2<br />
2<br />
2<br />
b<br />
c<br />
b<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a<br />
a<br />
c<br />
b<br />
c<br />
b<br />
cos<br />
cos<br />
cos<br />
cos<br />
sen<br />
sen<br />
h<br />
2<br />
h c cos<br />
c<br />
m<br />
1<br />
m a sen<br />
a<br />
n<br />
2<br />
n c sen<br />
c<br />
2<br />
1<br />
2<br />
sen<br />
sen( sen<br />
1 2)<br />
sen<br />
1<br />
cos<br />
2 2<br />
cos<br />
1<br />
13<br />
a<br />
Lei dos Senos:<br />
a<br />
sen<br />
b<br />
sen<br />
b<br />
c<br />
sen<br />
c<br />
sen<br />
Portanto:<br />
m1<br />
a<br />
h<br />
c<br />
n h<br />
c a1<br />
ac<br />
b<br />
( m n)<br />
h<br />
ac<br />
bh<br />
ac<br />
h sen {3}; Reunindo {1},<br />
{2} e {3}:<br />
h a sen c sen<br />
ac<br />
sen<br />
b<br />
Dividindo os membros por a.c:<br />
sen sen sen<br />
c a b<br />
Ou:<br />
a<br />
sen<br />
b<br />
sen<br />
c<br />
sen<br />
Prova:Observe que:<br />
1<br />
2<br />
a h c<br />
m<br />
sen<br />
h<br />
a<br />
h a sen {1}<br />
sen<br />
h<br />
c<br />
h c sen {2}<br />
cos<br />
h<br />
1<br />
h a cos<br />
1<br />
a<br />
cos<br />
b<br />
n<br />
h<br />
1<br />
h a cos<br />
a<br />
1<br />
Produtos entre vetores<br />
Dados dois vetores:<br />
u u iˆ<br />
u ˆj u k ˆ<br />
θ<br />
x y z<br />
v v iˆ<br />
v ˆj v k ˆ<br />
x y z<br />
Definimos:<br />
‣ Produto escalar:<br />
O produto escalar entre dois vetores tem como<br />
u e v resultado um número.<br />
u v u v<br />
Representamos por: uv<br />
u v ux vx uy vy uz v<br />
z<br />
Também po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>monstrar que:<br />
cos<br />
On<strong>de</strong> θ é o ângulo entre os vetores u e v .<br />
‣ Produto vetorial:<br />
O produto escalar entre dois vetores tem como<br />
u e v resultado um vetor.
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
Representamos por: u<br />
v<br />
iˆ<br />
ˆj kˆ<br />
u v u u u<br />
x y z<br />
v v v<br />
x y z<br />
Também po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>monstrar que:<br />
O vetor u<br />
u v u v sen<br />
plano formado pelos vetores u e v .<br />
‣ EXERCÍCIOS<br />
v é um vetor perpendicular ao<br />
SEÇÃO 1.4 PADRÕES E<br />
UNIDADES<br />
SEÇÃO 1.5<br />
COERÊNCIA E CONVERSÃO DE<br />
UNIDADES<br />
1.1 Usando a <strong>de</strong>lmição l milha = l.61 km. calcule o<br />
número <strong>de</strong> quilômetros em 5 milhas.<br />
1.2 De acordo com o rótulo <strong>de</strong> uma garrafa <strong>de</strong><br />
molho para salada, o volume do conteúdo é <strong>de</strong> 0,473<br />
litros (L). Usando a conversão l L = 1000 cm 3 ,<br />
expresse este volume em milímetros cúbicos.<br />
1.3 Calcule o tempo em nanossegundos que a luz<br />
leva para percorrer uma distância <strong>de</strong> l.00 km no<br />
vácuo.<br />
1.4 A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> do chumbo é l l .3 g/cm 3 . Qual e<br />
este valor em quilogramas por metro cúbico'<br />
1.5 O cilindro <strong>de</strong> um potente automóvel Chevrolet<br />
Corvette possui um volume <strong>de</strong> 5.3 l.. Sabendo que l<br />
<strong>de</strong>câmetro (dam) é igual a 10 m, expresse este volume<br />
em <strong>de</strong>cametros cúbicos.<br />
1.6 Para controlar seu consumo <strong>de</strong> bebida<br />
alcoólica, você resolveu beber 0,04 m 3 <strong>de</strong> vinho durante<br />
um ano. Supondo que todo dia você beba a mesma<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> vinho, quantos cm 3 <strong>de</strong> vinho você<br />
<strong>de</strong>veria beber por dia<br />
1.7 O Concor<strong>de</strong> é o avião comercial mais veloz do<br />
mundo. Ele po<strong>de</strong> viajar a 1450 mi/h (cerca <strong>de</strong> duas<br />
vezes a velocida<strong>de</strong> do som ou Mach 2. Calcule esta<br />
velocida<strong>de</strong><br />
(a) em km/h e (b) em m/s.<br />
1.8 Em um país europeu você vê o seguinte aviso:<br />
limite máximo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> = 100 mi/h. Expresse este<br />
limite em km/h e em m/s.<br />
1.9 O consumo <strong>de</strong> gasolina <strong>de</strong> um cairo pequeno<br />
é aproximadamente igual a 15,0 km/L. Expresse este<br />
consumo em dam/cm 3 .<br />
SEÇÃO 1.6<br />
INCERTEZA<br />
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS<br />
1.10 Um modo útil <strong>de</strong> saber quantos segundos<br />
existem em um ano é dizer que um ano ê<br />
aproximadamente igual a 10 7 segundos. Calcule o erro<br />
percentual <strong>de</strong>ste valor aproximado.<br />
(Em um ano existem 365.24 dias.)<br />
1.11<br />
(a) Suponha que um trem tenha percorrido 890<br />
km <strong>de</strong> Berlim ate Paris e superou em 10 m o limite final<br />
do trilho. Qual o erro percentual na distância total<br />
percorrida<br />
(b) Seria correto dizer que ele percorreu uma<br />
distância total <strong>de</strong> 890.010 m Explique.<br />
1.12 Usando uma régua <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ira, você me<strong>de</strong><br />
o comprimento <strong>de</strong> uma placa metálica retangular e<br />
encontra 12 mm. Usando um micrômetro para medir a<br />
largura da placa você encontra 5,98 mm.<br />
Forneça as respostas dos seguintes itens com o número<br />
<strong>de</strong> algarismos significativos correio,<br />
(a) Qual a área do retângulo<br />
(b) Qual a razão entre a largura do triângulo e<br />
o seu comprimento<br />
(c) Qual o perímetro do retângulo<br />
(d) Qual a diferença entre o comprimento do<br />
retângulo e a sua largura<br />
(e) Qual a razão entre o comprimento do<br />
retângulo e a sua largura<br />
1.13 Estime o erro percentual ao medir:<br />
(a) a distancia <strong>de</strong> 75 cm usando uma régua <strong>de</strong> l<br />
m.<br />
(b) a massa <strong>de</strong> 12 g com uma balança química:<br />
(c) o intervalo <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> 6 min com um cronômetro.<br />
1.14 Uma placa retangular <strong>de</strong> alumínio possui<br />
comprimento <strong>de</strong>:<br />
5.60 ±0.01 cm e largura <strong>de</strong>:<br />
l.90 ±0.01 cm.<br />
(a) Ache a área do retângulo e a incerteza na<br />
área.<br />
14
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(b) Verifique se a incerteza fracionaria na área<br />
é igual à soma das incertezas fracionárias do<br />
comprimento e da largura.<br />
1.15 Um disco fino <strong>de</strong> chocolate possui<br />
diâmetro igual a 8,50 ± 0,02 cm e espessura igual a<br />
0.050 ± 0,005 cm.<br />
(a) Ache o volume e a incerteza no volume,<br />
(b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessura<br />
e a incerteza <strong>de</strong>sta razão.<br />
SEÇAO 1.7 ESTIMATIVAS E<br />
ORDENS DE GRANDEZA<br />
1.16 Faça uma estimativa do volume da<br />
gasolina consumida no Brasil durante um ano.<br />
1.17 Uma caixa possui volume <strong>de</strong> 28 cm x 22<br />
cm x 42 cm e está cheia <strong>de</strong> folhas <strong>de</strong> papel <strong>de</strong> 28 cm x<br />
22 cm. Esta caixa contém aproximadamente 10 mil ou<br />
10 milhões <strong>de</strong> folhas<br />
1.18 Quantas laranjas você <strong>de</strong>ve espremer para<br />
obter 2 L <strong>de</strong> suco <strong>de</strong> laranja<br />
1.19 Estime a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>za do número<br />
<strong>de</strong> palavras <strong>de</strong> um livro (200 páginas).<br />
1.20 Qual é o volume <strong>de</strong> ar que uma pessoa<br />
respira em toda sua vida Compare este volume com o<br />
volume <strong>de</strong> um apartamento <strong>de</strong> dois quartos. (Estime que<br />
para cada respiração o volume <strong>de</strong> ar aspirado é<br />
aproximadamente igual a 500 cm 3 .)<br />
1.21 Quantos fios <strong>de</strong> cabelo há em sua cabeça<br />
1.22 Quantas vêzes o coração <strong>de</strong> uma pessoa<br />
bale em toda sua vida Quantos litros <strong>de</strong> sangue ele<br />
bombeia neste período<br />
(Estime que em cada batida do coração o volume <strong>de</strong><br />
sangue bombeado é aproximadamente igual a 50 cm 3 ).<br />
1.23 Na ópera <strong>de</strong> Wagner O anel dos<br />
Niebelungos, a <strong>de</strong>usa Freia é resgatada em troca <strong>de</strong> uma<br />
pilha <strong>de</strong> ouro com largura e altura suficientes para<br />
escondê-la. Estime o valor <strong>de</strong>sta pilha <strong>de</strong> ouro.<br />
(Use o Exemplo l .4 para obter os dados necessários<br />
para a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> e o preço do ouro.)<br />
1.24 Quantas gotas <strong>de</strong> água existem em todos<br />
os oceanos da Terra<br />
1.25 Quantas pilhas são consumidas durante<br />
um ano acadêmico em sua faculda<strong>de</strong><br />
1.26 Quantas notas <strong>de</strong> um dólar seriam<br />
necessárias para fazer uma pilha <strong>de</strong> notas com uma<br />
altura igual ã distância entre a Terra e a Lua Este total<br />
seria maior ou menor do que o valor gasto em um<br />
projeto para construir e lançar uma nave até a Lua<br />
1.27 Quantas notas <strong>de</strong> um dólar seriam<br />
necessárias para cobrir a área total dos Estados Unidos<br />
(incluindo o Alasca e o Havaí)<br />
Quanto isto custaria para cada americano<br />
SEÇÃO 1.8 VETORES E SOMA<br />
VETORIAL<br />
1.28 Ouvindo o ruído <strong>de</strong> uma serpente, você faz<br />
dois <strong>de</strong>slocamentos rápidos com módulos <strong>de</strong> 1.8 e 2.4<br />
m. Usando diagramas (aproximadamente em escala),<br />
mostre como esses <strong>de</strong>slocamentos <strong>de</strong>veriam ser<br />
cfetuados para que a resultante tivesse módulo igual<br />
a:<br />
(a) 4.2 m. (b) 0.6 m, (c) 3,0 m.<br />
1.29 Um empregado do Correio dirige um<br />
caminhão <strong>de</strong> entrega e faz trajeto indicado na Figura l<br />
.24. Determine o módulo, a direção e o sentido do<br />
<strong>de</strong>slocamento resultante usando diagramas em escala.<br />
(Ver o Exercício l.34 para usar um método alternativo<br />
na solução <strong>de</strong>ste problema.)<br />
FIGURA 1 Exercícios l.29 e 1.34.<br />
1.30 Para os vetores A e B indicados na<br />
Figura 2 use diagramas em escala para <strong>de</strong>terminar:<br />
(a) a soma vetorial A B<br />
(b) a diferença velorial A B. Com as<br />
respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a<br />
direçao e o sentido <strong>de</strong><br />
(c) A B<br />
15
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(d) B A(Veja o Exercício l.35 para usar um<br />
método alternativo na solução <strong>de</strong>ste problema.)<br />
1.34 Um empregado do serviço postal dirige<br />
um caminhão <strong>de</strong> entrega e faz o trajeto indicado na<br />
Figura 4. Use o método dos componentes para<br />
<strong>de</strong>terminar o módulo, a direção e o sentido do<br />
<strong>de</strong>slocamento resultante. Mediante um diagrama<br />
vetorial (aproximadamente em escala), mostre que o<br />
<strong>de</strong>slocamento resultante obtido com este diagrama<br />
concorda aproximadamente com o resultado obtido pelo<br />
método dos componentes.<br />
FIGURA 2 Exercícios l.30. l.35, l .40 c 1.48.<br />
1.31 Uma espeleóloga está pesquisando uma<br />
caverna. Ela percorre 180 m em linha rela <strong>de</strong> leste para<br />
oeste, <strong>de</strong>pois caminha 210 m em uma direçao formando<br />
45 0 com a direção anterior e em sentido do sul para o<br />
leste: a seguir, percorre 90 m a 30 0 no sentido do norte<br />
para o oeste. Depois <strong>de</strong> um quarto <strong>de</strong>slocamento não<br />
medido, ela retorna ao ponto <strong>de</strong> partida. Use um<br />
diagrama em escala para <strong>de</strong>terminar o módulo, a<br />
direçao c o sentido do quarto <strong>de</strong>slocamento. (Veja o<br />
Problema l.59 para usar um método alternativo na<br />
solução <strong>de</strong> um problema semelhante a este).<br />
‣ SEÇÃO 19<br />
‣ COMPONENTES DE VETORES<br />
1.32 Use um diagrama em escala para<br />
<strong>de</strong>terminar os componentes A e B dos vetores<br />
seguintes. Para cada vetor, os números indicam<br />
(i) o módulo do velor<br />
(ii) o ângulo que ele faz com o eixo Ox medido<br />
supondo-se uma rotação no sentido do eixo +Ox para o<br />
eixo +Oy. Ache para<br />
(a) módulo 9,3 m e ângulo <strong>de</strong> 60,0 0 ;<br />
(b) módulo 22.0 km e ângulo 135 0 ;<br />
(c) módulo 6.35 cm e ângulo <strong>de</strong> 307 0 .<br />
1.33 Determine os componentes A , B eC<br />
indicados na Figura 3.<br />
FIGURA 3 Exercícios 1.33, 1.41. l.44 e Problema 1.58.<br />
1.35 Para os vetores A , B indicados na<br />
Figura 3 use o método dos componentes para<br />
<strong>de</strong>terminar o módulo, a direção e o sentido<br />
(a) a soma vetorial A B<br />
(b) a diferença velorial A B. Com as<br />
respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a<br />
direçao e o sentido <strong>de</strong><br />
(c) A B<br />
(d) B A<br />
1.36 Determine o módulo, a direção e o<br />
sentido dos vetores representados pêlos seguintes<br />
pares <strong>de</strong> componentes:<br />
(a) A x = -8.60 cm, A y = 5.20 cm;<br />
(b) A x = -9.70 m, A y = -2.45cm;<br />
(c) A x = 7.75 km, A y = -2.70 km.<br />
1.37 Um professor <strong>de</strong> física <strong>de</strong>sorientado<br />
dirige 3.25 km do sul para o norte, <strong>de</strong>pois 4.75 km <strong>de</strong><br />
leste para oeste, a seguir l.50 km do norte para o sul.<br />
Determine o módulo, a direção e o sentido do<br />
<strong>de</strong>slocamento resultante, usando o método dos<br />
componentes. Usando diagramas (aproximadamente em<br />
escala), mostre que o <strong>de</strong>slocamento resultante<br />
encontrado em seu diagrama concorda<br />
aproximadamente com o resultado obtido pelo método<br />
dos componentes.<br />
1.38 O vetor A possui componentes A x = l.30<br />
cm, A y = 2,25 cm; o vetor B possui componentes B x =<br />
4,10 cm, B y = -3.75 cm.<br />
Ache<br />
(a) os componentes da soma vetorial A B<br />
(b) o módulo, a direçao e o sentido da soma<br />
vetorial A B<br />
(c) os componentes da diferença vetorial<br />
A B<br />
(d) o módulo, a direçao e o sentido da<br />
16<br />
diferença vetorial A<br />
B
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
1.39 O vetor A possui comprimento igual a<br />
2,80 cm e esta no primeiro quadrante a 60.0 0 acima do<br />
eixo Ox. O vetor B possui comprimento igual a l .90<br />
cm e está no quarto quadrante a 60,0 0 abaixo do eixo Ox<br />
(Figura 4). Ache o módulo, a direção e o sentido <strong>de</strong>:<br />
(a) a soma vetorial A B<br />
(b) a diferença velorial A B.<br />
(c) A B<br />
Em cada caso faça um diagrama da soma ou da<br />
diferença e mostre que os resultados concordam<br />
aproximadamente com as respostas numéricas obtidas.<br />
FIGURA 4 Exercícios<br />
FIGURA 5 Exercícios B (2,40 m). Exercício 1.42<br />
e Problema 1.66.<br />
1.43 Dados os vetores<br />
A 4,00 iˆ<br />
3,00 ˆj e B 5,00 iˆ 2,00 ˆj<br />
(a) ache o módulo, a direção e o sentido <strong>de</strong><br />
cada vetor;<br />
(b) escreva uma expressão para a diferença<br />
vetorial A B usando vetores unitários;<br />
(c) ache o módulo, a direção e o sentido da<br />
diferença vetorial A B<br />
(d) faça um diagrama vetorial para A , B e<br />
A B e mostre que os resultados queconcordam<br />
aproximadamente com a resposta do item (c).<br />
17<br />
‣ SEÇÃO 1.10<br />
‣ VETORES UNITÁRIOS<br />
1.40 Escreva cada vetor indicado na Figura 5 em<br />
termos dos vetores unitários î e ĵ .<br />
1.41 Escreva cada vetor indicado na Figura 1.26<br />
em termos dos vetores unitários î e ĵ .<br />
1.42<br />
(a) Escreva cada vetor indicado na Figura 6 em<br />
termos dos vetores unitários î e ĵ .<br />
(b) Use vetores unitários para escrever o vetor C ,<br />
on<strong>de</strong> C 3 A 4 B<br />
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do vetor<br />
C .<br />
‣ SEÇÃO 1.1<br />
‣ PRODUTOS DE VETORES<br />
1.44 Para os vetores A , B eC , indicados na<br />
Figura 6, ache os produtos escalares<br />
(a) AB<br />
(b) BC<br />
(c) AC<br />
1.45<br />
(a) Ache o produto escalar dos dois vetores A e<br />
B mencionados no Exercício 1.43.<br />
(b) Ache o ângulo entre estes vetores.<br />
1.46 Ache o ângulo entre cada par <strong>de</strong> vetores:<br />
(a) A 2,00 iˆ 6,00 ˆj e<br />
B 2,00 iˆ<br />
3,00 ˆj<br />
(b) A 3,00 iˆ 5,00 ˆj e<br />
B 10,00 iˆ<br />
6,00 ˆj<br />
(c) A 4,00 iˆ 2,00 ˆj e<br />
B 7,00 iˆ<br />
14,00 ˆj
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
1.47 Supondo um sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas com<br />
orientação da mão direita, ache a direção e o sentido do<br />
eixo Oz.<br />
1.48 Para os vetores indicados na Figura 4,<br />
(a) ache o módulo, a direção e o sentido do<br />
produto vetorial A B;<br />
(b) ache o módulo, a direção e o sentido do<br />
produto vetorial B A<br />
1.49 Encontre o produto vetorial A B<br />
expresso em termos dos vetores unitários.<br />
Qual o módulo <strong>de</strong>ste produto vetorial<br />
1.50 Para os vetores indicados na Figura 5,<br />
(a) ache o módulo, a direção e o sentido do<br />
produto vetorial A B;<br />
(b) ache o modulo, a direção e o sentido do<br />
produto veional B A.<br />
‣ PROBLEMAS<br />
1.51 A milha é uma unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento<br />
muito usada nos Estados Unidos e na Europa. Sabendo<br />
que l mi é aproximadamente igual a 1,61 km, calcule:<br />
(a) o número <strong>de</strong> metros quadrados existentes<br />
em uma rnilha quadrada;<br />
(b) <strong>de</strong>címetros cúbicos existentes em uma<br />
milha cúbica.<br />
1.52 Suponha que uma fazenda seja avaliada<br />
em R$ 4,00 o metro quadrado. Calcule o preço <strong>de</strong>sta<br />
fazenda sabendo que sua áreatotal é igual a 100 milhas<br />
quadradas.<br />
1.53 O Maser <strong>de</strong> Hidrogénio. As ondas <strong>de</strong><br />
rádio geradas por um maser <strong>de</strong> hidrogénio po<strong>de</strong>m ser<br />
usadas como um padrão <strong>de</strong> freqüência. Afreqüência<br />
<strong>de</strong>ssas ondas é igual a 1420405751.786 hertz. (Um<br />
hertz significa o mesmo que um ciclo por segundo.)<br />
Um relógio controlado por um maser <strong>de</strong> hidrogênio<br />
po<strong>de</strong> atrasar ou adiantar apenas l s em 100.000 anos.<br />
Para as respostas das perguntas seguintes, use apenas<br />
três algarismos significativos. (O gran<strong>de</strong> número <strong>de</strong><br />
algarismos significativos nesta frequência ilustra a<br />
impressionante acurácia <strong>de</strong>sta medida).<br />
(a) Qual é o intervalo <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> um ciclo <strong>de</strong>sta<br />
onda <strong>de</strong> rádio<br />
(b) Quantos ciclos ocorrem em 1h <br />
(c) Quantos ciclos po<strong>de</strong>riam ter ocorrido durante a<br />
ida<strong>de</strong> da Terra, estimada em 4,6.10 9 anos<br />
(d) Quantos segundos um relógio controlado por um<br />
maser <strong>de</strong> hidrogênio po<strong>de</strong>ria atrasar ou adiantar durante<br />
a ida<strong>de</strong> da Terra<br />
1.54 Estime o número <strong>de</strong> átomos existentes em seu<br />
corpo.<br />
(Sugestão: com base em seus conhecimentos <strong>de</strong><br />
biologia e <strong>de</strong> química; diga quais os tipos mais comuns<br />
<strong>de</strong> átomos existem em seu corpo. Qual a massa <strong>de</strong> cada<br />
um <strong>de</strong>stes átomos O Apêndice D apresenta uma<br />
relação das massas dos diferentes elementos, expressas<br />
em unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> massa atómica; você encontrará o valor<br />
De uma unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> massa atômica).<br />
1.55 (a) Estime o número <strong>de</strong> <strong>de</strong>ntistas em sua<br />
cida<strong>de</strong>. Você <strong>de</strong>ve consi<strong>de</strong>rar nesta estimativa o número<br />
<strong>de</strong> habitantes, a frequência com a qual se costuma ir a<br />
um <strong>de</strong>ntista, a duração típica <strong>de</strong> um procedimento no<br />
tratamento <strong>de</strong>ntário (obturações, tratamento <strong>de</strong> canais<br />
etc.) e quantas horas um <strong>de</strong>ntista trabalha durante a<br />
semana. Confira sua estimativa consultando uma lista<br />
Telefônica local.<br />
1.56 Os matemáticos, os físicos e outros<br />
pesquisadores trabalham com números gran<strong>de</strong>s. Os<br />
matemáticos inventaram o nome extravagante <strong>de</strong><br />
googol para <strong>de</strong>signar 10 100 . Vamos comparar alguns<br />
números gran<strong>de</strong>s existentes na física com o googol.<br />
{Nota: Este problema necessita do uso <strong>de</strong> alguns<br />
valores numéricos nos apêndices <strong>de</strong>ste livro, com os<br />
quais seria conveniente você se familiarizar.}<br />
(a) Estime o número aproximado <strong>de</strong> átomos<br />
existentes em nosso planeta. Para facilitar, consi<strong>de</strong>re a<br />
massa atómica dos átomos igual a 14 g/mol. O número<br />
<strong>de</strong> Avogadro fornece o número <strong>de</strong> átomos existentes em<br />
um mol. N A = 6.02.10 23 átomos/mol.<br />
(b) Estime o número aproximado <strong>de</strong> nêutrons<br />
existentes em uma estrela <strong>de</strong> nêutrons. Uma estrela <strong>de</strong><br />
nêutrons é constituída quase que exclusivamente <strong>de</strong><br />
nêutrons e possui massa igual a duas vezes a massa do<br />
Sol.<br />
(c) Na teoria principal acerca da origem do<br />
universo, todo o universo observável ocupava em em<br />
tempos primordiais um raio igual à atual distância entre<br />
a Terra e o Sol. Naquela época, o universo possuía<br />
<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> (massa/volume) <strong>de</strong> 10 15 g/cm 3 .<br />
Estime o número <strong>de</strong> partículas existentes no<br />
universo supondo que naquela época a composição das<br />
partículas era: 1/3 <strong>de</strong> prótons, 1/3 <strong>de</strong> elétrnns e 1/3 <strong>de</strong><br />
nêutrons.<br />
1.57 Você <strong>de</strong>seja programar o movimento do<br />
braço <strong>de</strong> um robô em uma linha <strong>de</strong> montagem. Seu<br />
primeiro <strong>de</strong>slocamento é A A; seu segundo<br />
<strong>de</strong>slocamento é B , cujo módulo é igual a 6,40 cm,<br />
18
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
orientado formando um ângulo <strong>de</strong> 63,0°, medido<br />
consi<strong>de</strong>rando-se uma rotação do eixo +0x para o eixo<br />
Oy. A resultante C A B dos dois <strong>de</strong>slocamentos<br />
<strong>de</strong>ve também possuir módulo igual a 6,40 cm, porém<br />
formando um ângulo <strong>de</strong> 22,0°, medido consi<strong>de</strong>randose<br />
uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy.<br />
(a) Desenhe um diagrama em escala aproximada<br />
para estes vetores.<br />
(b) Ache os componentes <strong>de</strong> A .<br />
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido <strong>de</strong> A .<br />
FIGURA 6 - Exercício 1.58<br />
37,0 0 A 12,0m<br />
Dê o módulo. a direção e o sentido do terceiro<br />
<strong>de</strong>slocamento. Faça um diagrama em escala da soma<br />
vetorial dos <strong>de</strong>slocamentos e mostres que eles<br />
concordam aproximadamente ocorrem com o resultado<br />
obtido mediante a solução numérica.<br />
1.61 Um esquiador percorre 2.80 km com<br />
ângulo <strong>de</strong> 45,0° consi<strong>de</strong>rando rotação em sentido do sul<br />
para o oeste, a seguir 7,40 km a 30,0° em sentido do<br />
leste para o norte, e finalmente 3,30 km a 22.0° em<br />
sentido do oeste para o sul.<br />
(a) Mostre estes <strong>de</strong>slocamentos em um<br />
diagrama,<br />
(b) Qual é a distância entre o início ë o fim do<br />
trajeto<br />
FIGURA 6 - Exercício 1.60<br />
19<br />
60,0 0 40,0 0<br />
C 6,0m B 15,0m<br />
1.58<br />
(a) Ache o módulo, a direção e o sentido do<br />
vetor R que é a soma dos vetorea A , B e C Figura6.<br />
Desenhe um diagrama para mostrar como R é formado<br />
com a soma os três vetores indicados na Figura 6.<br />
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido do<br />
vetor S C A B . Desenhe um diagrama para<br />
mostrar como S é formado com os três vetores<br />
indicados na Figura 6.<br />
1.59 Como dissemos no Exercício 1.31. uma<br />
espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre<br />
180 m em linha reta <strong>de</strong> leste para oeste; <strong>de</strong>pois caminha<br />
210m em uma direção que forrna 45° com a direção<br />
anterior e em sendito do do sul para o leste, a seguir<br />
percorre 280 m a 30° no sentido do norte para o leste.<br />
Depois <strong>de</strong> um quarto <strong>de</strong>slocamento, ela retorna ao<br />
ponto <strong>de</strong> partida. Use o método dos componentes para<br />
<strong>de</strong>terminar o módulo, a direção e o sentido do quarto<br />
<strong>de</strong>slocamento. Verifique quê a solução obtida usando-se<br />
um diagrama sm escala é, aproximadamente igual ao<br />
resultado obtido pelo método dos componentes.<br />
1.60 Uma velejadora encontra ventos que<br />
impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km<br />
<strong>de</strong> oeste para leste, a seguir 3,50 km para su<strong>de</strong>ste e<br />
<strong>de</strong>pois uma certa distância em direção <strong>de</strong>sconhecida.<br />
No final do trajeto ela se encontra a 5,80 km<br />
diretamente a leste <strong>de</strong> seu ponto <strong>de</strong> partida (Figura 7 ).<br />
1.62 Em um voo <strong>de</strong> treinamento, uma aprendiz<br />
<strong>de</strong> piloto voa <strong>de</strong> Lincoln, no Estado <strong>de</strong> NeBraska: até<br />
Clarinda, no lowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri;<br />
<strong>de</strong>pois até Manhattan, no Kansas (Figura l .30). Os<br />
ângulos formados pêlos <strong>de</strong>slocamentos são medidos em<br />
relação ao norte: 0° significa o sentido do sul para o<br />
norte. 90° é o leste, 180° é o sul e 270° é o oeste. Use o<br />
método dos componentes para achar<br />
(a) a distância que ela terá <strong>de</strong> voar para voltar<br />
para Lincoin; b) a direção e o sentido que ela <strong>de</strong>verá<br />
voar para voltar ao ponto <strong>de</strong> partida. Ilustre a solução<br />
fazendo um diagrama vetorial.<br />
(b) Aju<strong>de</strong>-o a impedir que ele se perca na<br />
floresta fomecendo-lhe o vetor <strong>de</strong>slocamento, calculado<br />
pelo método dos componentes, necessário para que ele<br />
retome para sua cabana.<br />
1.64 Uma artista está criando um novo<br />
logotipo para a página <strong>de</strong> sua companhia na Internet.<br />
No programa gráfico que ela está usando, cada pixel em<br />
um arquivo <strong>de</strong> imagem possui coor<strong>de</strong>nadas (x, y) on<strong>de</strong> a<br />
origem (0,0) está situada no canto superior esquerdo da<br />
imagem, o eixo +Ox aponta para a direita e o eixo +Oy<br />
aponta para baixo. As distâncias são medidas em pixels.<br />
(a) A artista <strong>de</strong>senha uma linha ligando o local<br />
do pixel (10,20) com o local (210,200). Ela <strong>de</strong>seja
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
<strong>de</strong>senhar uma segunda linha que começa em (10,20),<br />
tem comprimento <strong>de</strong> 250 pixels e forma um ângulo <strong>de</strong><br />
30 0 medindo no sentido dos ponteiros do relógio a partir<br />
da direção inicial. Qual o local do pixel no qual esta<br />
segunda linha <strong>de</strong>ve terminar<br />
(b) A artista agora <strong>de</strong>senha uma flecha ligando<br />
a extremida<strong>de</strong> direita inferior da primeira linha com a<br />
extremida<strong>de</strong> direita inferior da segunda linha.<br />
Determine o módulo, a direção e o sentido <strong>de</strong>sta flecha.<br />
Faça um diagrama mostrando as três linhas.<br />
1.64 Um explorador <strong>de</strong> uma <strong>de</strong>nsa floresta na<br />
África equatorial <strong>de</strong>ixa sua cabana. Ele dá 40 passos no<br />
sentido nor<strong>de</strong>ste, <strong>de</strong>pois 80 passos em uma direção que<br />
forma 60 0 consi<strong>de</strong>rando a rotação no sentido <strong>de</strong> oeste<br />
para o norte, a seguir 50 passos diretamente para o sul.<br />
(a) Faça um diagrama aproximadamente em<br />
escala dos três vetores e da resultante da soma vetorial.<br />
(b) Aju<strong>de</strong>-o a impedir que ele se perca na<br />
floresta fornecend-lhe o o vetor <strong>de</strong>slocamento,<br />
calculado a partir do método das componentes,<br />
necessário para que ele retorne a sua cabana.<br />
1.65 Os vetores A , e B são <strong>de</strong>senhados a<br />
partir <strong>de</strong> um ponto. O vetor A possui módulo A e<br />
forma um ângulo θ A , medido supondo-se uma rotação<br />
no sentido do eixo +0x para o eixo +0y. As gran<strong>de</strong>zas<br />
correspon<strong>de</strong>ntes do vetor B são o módulo B e o<br />
ângulo θ B Logo:<br />
A A cos A<br />
iˆ<br />
A sen A<br />
ˆj<br />
B B cos B<br />
iˆ<br />
B sen B<br />
ˆj<br />
(a) Deduza a Equação:<br />
A B A B<br />
B<br />
A<br />
(b) Mostre que:<br />
cos<br />
A B Ax Bx Ay B<br />
y<br />
Observação: Para vetores em 3-D:<br />
A B Ax Bx Ay By Az B<br />
z<br />
On<strong>de</strong>:<br />
A A cos iˆ<br />
A cos ˆj A cos kˆ<br />
Ax Ay Az<br />
A A iˆ<br />
A ˆj A k ˆ<br />
x y z<br />
B B cos iˆ<br />
B cos ˆj B cos kˆ<br />
Bx By Bz<br />
B B iˆ<br />
B ˆj B k ˆ<br />
x y z<br />
FIGURA 6 - Exercício 1.62<br />
1.66 Para os vetores A e a <strong>de</strong>senhados na<br />
Figura 6,<br />
(a) Ache o produto escalar AB ;<br />
(b) Determine o módulo, a direçao e o sentido<br />
do produto vetorial A B.<br />
1.67 A Figura 7 mostra um paralelogramo<br />
cujos lados são os vetores A e B .<br />
(a) Mostre que o módulo do produto vetorial<br />
<strong>de</strong>stes vetores é igual à área <strong>de</strong>ste paralelogramo.<br />
(Sugestão: área = base. altura.)<br />
(b) Qual é o ângulo entre o produto vetorial e o<br />
plano <strong>de</strong>ste paralelogramo<br />
1.68 O vetor A possui comprimento <strong>de</strong> 3,50<br />
cm e aponta para o interior <strong>de</strong>sta página. O vetor B<br />
aponta do canto direito inferior <strong>de</strong>sta página para o<br />
canto esquerdo superior <strong>de</strong>sta página. Defina um<br />
sistema apropriado <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas com orientação da<br />
mão direita e ache os três componentes do produto<br />
vetorial A B, medidos em cm 2 . Faça um diagrama<br />
mostrando o sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas e os vetores A ,<br />
B e A B.<br />
1.69 Dados dois vetores:<br />
A 2 iˆ<br />
3 ˆj 4 k ˆ<br />
e A 3 iˆ<br />
1 ˆj 3 k ˆ<br />
<strong>de</strong>termine:<br />
(a) o medulo <strong>de</strong> cada vetor;<br />
(b) uma expressão para a diferença vetorial<br />
A B usando vetores unitários;<br />
20
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(c) o módulo da diferença vetorial A B<br />
(d) É este valor igual ao módulo da diferença<br />
vetorial B A Explique.<br />
1.70 Ângulo da ligação no metano. Na<br />
molécula do metano, CH 4 , cada átomo <strong>de</strong> hidrogênio<br />
ocupa o vértice <strong>de</strong> um tetraedro regular em cujo centro<br />
se encontra o átomo <strong>de</strong> carbono. Usando coor<strong>de</strong>nadas<br />
<strong>de</strong> tal modo que uma das ligações C—H esteja na<br />
direção iˆ<br />
ˆj k ˆ , uma ligação C—H adjacente estará<br />
na direção iˆ<br />
ˆj k ˆ . Calcule o ângulo entre estas duas<br />
ligações.<br />
1.71 Os dois vetores A e B são <strong>de</strong>senhados a<br />
partir <strong>de</strong> um mesmo ponto e C A B<br />
(a) Mostre que quando C 2 = A 2 + B 2 o ângulo<br />
entre os vetores A e B é 90°.<br />
(b) Mostre que quando C 2 < A 2 + B 2 ,<br />
o ângulo entre os vetores A e B é maior do que 90°.<br />
(c) Mostre que quando C 2 > A 2 + B 2 o ângulo<br />
entre os vetores A e B está compreendido entre 0° e<br />
90°.<br />
1.72 Quando dois vetores A e B são<br />
<strong>de</strong>senhados a partir <strong>de</strong> um mesmo ponto, o ângulo entre<br />
eles é φ.<br />
(a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o<br />
módulo da soma <strong>de</strong>stes vetores é dado por:<br />
2 2<br />
A B A B 2 A B cos<br />
(b) Se A e B possuem o mesmo módulo, qual<br />
<strong>de</strong>ve ser õ valor A ou <strong>de</strong> B <br />
(c) Deduza um resultado análogo ao do item<br />
(a) para o módulo da diferença vetorial A B.<br />
(d) Se A e B possuem o mesmo módulo, qual<br />
<strong>de</strong>ve ser o valor <strong>de</strong> φ para que o módulo <strong>de</strong> A Bseja<br />
igual ao módulo <strong>de</strong> A ou <strong>de</strong> B <br />
1.73 Um cubo é colocado <strong>de</strong> modo que um dos<br />
seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam<br />
com os eixos +Ox, +Oy e +Oz <strong>de</strong> um sistema <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas (Figura l .31). Use vetores para calcular<br />
(a) O ângulo entre a aresta ao longo do eixo<br />
+Oz (linha az) e a diagonal da origem até o vértice<br />
oposto (linha ad);<br />
(b) o ângulo entre a linha ac (a diagonal <strong>de</strong><br />
uma das faces) e a linha ad.<br />
FIGURA 7 - Problema 1.73 e 1.74<br />
x<br />
a<br />
b<br />
z<br />
1.74 Obtenha um vetor unitário ortogonal<br />
aos dois vetores indicados no Problema l .69.<br />
1.75 Mais tar<strong>de</strong> em nossos estudos <strong>de</strong> física<br />
encontraremos gran<strong>de</strong>zas representadas por<br />
A B C .<br />
C , prove que:<br />
(a) Quaisquer que sejam os vetores A , B e<br />
A B C<br />
c<br />
d<br />
A B C<br />
(b) Calcule A B C para os três vetores<br />
seguintes: A com modulo 5.00 e ângulo θ A = 26,0°<br />
medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo +0x<br />
para o eixo +0y, B com módulo 4,00 e ângulo θ B =<br />
63,0° e C com módulo 6,00 e orientado ao longo do<br />
eixo +0z. Os vetores A e B estão sobre o plano xy.<br />
‣ PROBLEMAS DESAFIADORES<br />
1.76 O comprimento <strong>de</strong> um retângulo é dado<br />
por L ± l e sua largura é W ± w.<br />
(a) Mostre que a incerteza na área A é dada por<br />
a = Lw + W. Suponha que as incertezas l e w sejam<br />
pequenas, <strong>de</strong> modo que o produto lw é muito pequeno e<br />
po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>sprezado,<br />
(b) Mostre que a incerteza fracionária na área é<br />
igual à soma da incerteza fracionária do comprimento<br />
com a incerteza fracionária da largura,<br />
(c) Um paralelepípedo possui dimensões L± l,<br />
W ±w e H ±h. Ache a incerteza fracionária do seu<br />
volume e mostre que ela é igual à soma das incertezas<br />
fracionárias do comprimento, da largura e da altura.<br />
y<br />
21
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
1.77 Em um jogo <strong>de</strong> futebol, a bola está<br />
inicialmente no centro do campo. Consi<strong>de</strong>re um sistema<br />
<strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas Oxy no plano do campo e cujo centro O<br />
coincida com o centro do campo. Depois do primeiro<br />
chute, a bola se encontra na posição 3 iˆ 4 ˆj on<strong>de</strong><br />
as unida<strong>de</strong>s são em metros. Determine:<br />
(a) o módulo do <strong>de</strong>slocamento inicial da bola,<br />
(b) o ângulo entre este vetor e o eixo +0x.<br />
1.78 Navegando no Sistema Solar. A<br />
espaçonave Mars Polar Lan<strong>de</strong>r (explorador do pólo <strong>de</strong><br />
Marte) foi lançada em 3 <strong>de</strong> janeiro <strong>de</strong> 1999. No dia 3 <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>zembro <strong>de</strong> 1999 ela pousou na superfície <strong>de</strong> Marte,<br />
ocasião em que as posições <strong>de</strong> Marte e da Terra eram<br />
dadas pelas coor<strong>de</strong>nadas:<br />
x y z<br />
Terra 0,3182 UA 0,9329 UA 0,0000 UA<br />
Marte 1.3087UA -0,4423 UA -0,0414 UA<br />
Nessas coor<strong>de</strong>nadas, o Sol está na origem e o plano da<br />
órbita da Terra é o plano xy. A Terra corta o eixo +Ox<br />
uma vez por ano no equinócio <strong>de</strong> outono no Hemisfério<br />
Norte (ou primavera no hemisfério Sul, o que ocorre no<br />
dia 22 <strong>de</strong> setembro). Uma UA, ou Unida<strong>de</strong><br />
Astronômica, equivale a 1.496.10 8 km, a distância<br />
média entre a Terra e o Sol.<br />
(a) Em um diagrama, mostre as posições da<br />
Terra, <strong>de</strong> Marte e do Sol no dia 3 <strong>de</strong> <strong>de</strong>zembro <strong>de</strong> 1999.<br />
(b) Calcule as seguintes distâncias em UA no<br />
dia 3 <strong>de</strong> <strong>de</strong>zembro <strong>de</strong> 1999:<br />
(i) entre o Sol e a Terra,<br />
(ii) entre o Sol e Marte,<br />
(iii) entre a Terra e Marte<br />
(c) Observando da Terra, qual era o ângulo<br />
entre a reta que unia a Terra a Marte e a reta que unia a<br />
Terra ao Sol no dia 3 <strong>de</strong> <strong>de</strong>zembro <strong>de</strong> 1999<br />
(d) Verifique e explique se Marte era visível à<br />
meia-noite no seu local no dia 3 <strong>de</strong> <strong>de</strong>zembro <strong>de</strong> 1999.<br />
(Quando é meia noite no horário local, o Sol está do<br />
lado oposto da Terra relação a você.)<br />
1.79 Navegando na Ursa Maior. As sete<br />
estrelas principais Ursa Maior parecem estar sempre<br />
situadas a uma mesma distância da Terra, embora elas<br />
estejam muito afastadas entre si. A Figura indica a<br />
distância entre a Terra e cada uma <strong>de</strong>ssas estrelas.<br />
As distâncias são dadas em anos-luz (al), um ano-luz é<br />
a distância percorrida pela luz durante um ano. Um anoluz<br />
equivale a 9.461.10 15 m.<br />
(a) Alcai<strong>de</strong> e Méraque estão separadas <strong>de</strong><br />
25,6° no céu. Em um diagrama, mostre as posições do<br />
Sol, <strong>de</strong> Alcai<strong>de</strong> e Méraque. Calcule a distância em<br />
anos-luz entre Alcai<strong>de</strong> e Méraque.<br />
(b) Para um habitante <strong>de</strong> um planeta que orbita<br />
Méraque, qual seria a separação angular entre o Sol e<br />
Alcai<strong>de</strong><br />
1.80 O vetor r x iˆ<br />
y ˆj z kˆ<br />
<strong>de</strong>nomina-se vetor posição e aponta da Origem uo<br />
Sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (0,0,0) para o espaço cujas<br />
coor<strong>de</strong>nadas são (x, y, z). Use seus conhecimentos sobre<br />
vetores para provar o seguinte:<br />
Todos os pontos (x, y, z)que satisfazem a<br />
equação Ax + By + Cz = 0, on<strong>de</strong> A, B e C são<br />
constantes, estão situados em um plano que passa na<br />
origem e é ortogonal ao vetor A iˆ<br />
B ˆj C k ˆ .<br />
Faça um esquema <strong>de</strong>ste vetor e do plano.<br />
FIGURA 8 - Problema 1.79<br />
: Alcai<strong>de</strong> (1.38 al)<br />
: Mizar (73 al)<br />
: Arioto (64 al)<br />
: Megrez (81 al)<br />
: Feeda (80 al)<br />
: Dube(105 al)<br />
: Méraque (77 al)<br />
22
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
‣ QUESTÕES PARA DISCUSSÃO<br />
Q2.1 O velocímetro <strong>de</strong> um automóvel me<strong>de</strong> a<br />
velocida<strong>de</strong> escalar ou o vetor velocida<strong>de</strong> Explique.<br />
Q2.2 Maria afirma que uma velocida<strong>de</strong> com<br />
módulo igual a 60 km/h é equivalente a uma velocida<strong>de</strong><br />
com módulo igual a 17 m/s. Qual foi o erro percentual<br />
cometido por ela nessa conversão <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s<br />
Q2.3 O limite <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> nas estradas <strong>de</strong> alguns<br />
países da Europa é <strong>de</strong> 110 km/h. Diga qual é o valor<br />
<strong>de</strong>sse limite em m/scom aproximação <strong>de</strong> três algarismos<br />
significativos.<br />
Q2.4 Em que condições uma velocida<strong>de</strong> média<br />
po<strong>de</strong> ser igual a uma velocida<strong>de</strong> instantânea<br />
02.5 Para um <strong>de</strong>terminado intervalo <strong>de</strong> tempo, o<br />
<strong>de</strong>slocamento total é dado pelo produto da velocida<strong>de</strong><br />
media pelo intervalo <strong>de</strong> tempo. Essa afirmação continua<br />
válida mesmo quando a velocida<strong>de</strong> não é constante.<br />
Explique.<br />
Q2.6 Sob quais condições o módulo do velor<br />
velocida<strong>de</strong> media e igual ao módulo da velocida<strong>de</strong><br />
escalar.<br />
Q2.7 Para lazer um mesmo percurso um carro <strong>de</strong><br />
potência menor levou o dobro do tempo <strong>de</strong> outro carro<br />
com maior potência. Como estão relacionadas as<br />
velocida<strong>de</strong>s medias <strong>de</strong>sses carros.<br />
Q2.8 Um motorista em Massachusells foi<br />
submetido a julgamento por excesso <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>. A<br />
evi<strong>de</strong>ncia contra o motorista foi o <strong>de</strong>poimento <strong>de</strong> um<br />
policial que notou que o carro do acusado estava<br />
emparelhado com um secundo carro que o ultrapassou.<br />
Segundo o policial, o segundo carro já havia<br />
ultrapassado o limite <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>. O motorista<br />
acusado se <strong>de</strong>fen<strong>de</strong>u alegando que "o segundo carro me<br />
ultrapassou, portanto eu não estava acelerando". O Juiz<br />
<strong>de</strong>u a sentença contra o motorista, porque, pelas<br />
palavras do Juiz, "se dois carros estão emparelhados,<br />
ambos estavam acelerando". Se você fosse o advogado<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>fesa do motorista acusado, como contestaria<br />
Q2.9 É possível ter <strong>de</strong>slocamento nulo e<br />
velocida<strong>de</strong> media diferente <strong>de</strong> zero E uma velocida<strong>de</strong><br />
instantânea Ilustre suas respostas usando um gráfico<br />
x-t.<br />
Q2.10 Po<strong>de</strong> existir uma aceleração nula e uma<br />
velocida<strong>de</strong> diferente <strong>de</strong> zero' Ilustre suas respostas<br />
usando um gráfico v-t.<br />
Q2.11 É possível ter uma velocida<strong>de</strong> nula e<br />
uma aceleração média diferente <strong>de</strong> zero Velocida<strong>de</strong><br />
nula e uma aceleração instantânea diferente <strong>de</strong> zero<br />
Ilustre suas respostas usando um gráfico v-t.<br />
Q2.12 um automóvel está se <strong>de</strong>slocando <strong>de</strong><br />
leste para oeste. Ele po<strong>de</strong> ler uma velocida<strong>de</strong> orientada<br />
para oeste e ao mesmo tempo uma aceleração orientada<br />
para leste Em que circunstâncias<br />
Q2.13 A caminhonete oficial da Figura 2.2<br />
está em x 1 = 277 m para t 1 = 16.0 s e em x 2 = l9 m para<br />
t 2 = 25.0 s.<br />
(a) Desenhe os diferentes grálicos possíveis<br />
para o movimento da caminhonete. As duas velocida<strong>de</strong>s<br />
medias v m durante os intervalos <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> t 1 até t 2<br />
possuem o mesmo valor nos dois gráficos Explique.<br />
Q2.14 Em movimento com aceleração<br />
constante, a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> uma partícula e igual á<br />
meta<strong>de</strong> da soma da velocida<strong>de</strong> inicial com a velocida<strong>de</strong><br />
final. Isto é verda<strong>de</strong> quando a aceleração não é<br />
constante Explique.<br />
Q2.15 Você lança uma bola <strong>de</strong> beisebol<br />
verticalmente para cima e ela atinge uma altura máxima<br />
maior do que sua altura. O módulo da aceleração e<br />
maior enquanto ela está sendo lançada ou logo <strong>de</strong>pois<br />
que ela <strong>de</strong>ixa a sua mão Explique.<br />
Q2.16 Prove as seguintes afirmações:<br />
(i) Desprezando os efeitos do ar, quando você<br />
lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele<br />
possui a mesma velocida<strong>de</strong> em seu ponto <strong>de</strong> lançamento<br />
tanto durante a ascensão quanto durante a queda.<br />
(ii) O tempo total da Irajelória e igual ao dobro<br />
do tempo que o ohjeto leva para atingirsua altura<br />
máxima.<br />
Q2.17 No Exemplo 2.7 substituindo y = -18.4<br />
m na Equação (2.13) obtemos v = ± 24.2 m/s. A raiz<br />
negativa é a velocida<strong>de</strong> para t = 4.00 s. Explique o<br />
significado da raiz positiva.<br />
Q2.18 A posição inicial e a velocida<strong>de</strong> inicial<br />
<strong>de</strong> um veículo são conhecidas e faz-se um registro da<br />
aceleração a cada instante. Po<strong>de</strong> a posição do veículo<br />
<strong>de</strong>pois <strong>de</strong> um certo tempo ser <strong>de</strong>terminada a partir<br />
<strong>de</strong>stes dados Caso seja possível, explique como isto<br />
po<strong>de</strong>ria ser feito.<br />
23
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
‣ EXERCÍCIOS<br />
‣ SEÇÃO 2.2<br />
‣ DESLOCAMENTO.<br />
‣ TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA<br />
2.1 Um foguete transportando um satélite e acelerado<br />
verticalmente a partir da superfície terrestre. Após l.15 s<br />
<strong>de</strong> seu lançamento, o foguete atravessa o topo <strong>de</strong> sua<br />
plataforma <strong>de</strong> lançamento a 63 m acima do solo. Depois<br />
<strong>de</strong> 4.75 s adicionais ele se encontra a l .00 km acima do<br />
solo. Calcule o modulo da velocida<strong>de</strong> média do foguete<br />
para<br />
(a) o trecho do voo correspo<strong>de</strong>nte ao intervalo<br />
<strong>de</strong> 4,75 s;<br />
(b) os primeiros 5 s do seu voo.<br />
2.2 Em uma experiência, um pomho-correio<br />
foi retirado <strong>de</strong> seu ninho, levado para um local a 5150<br />
km do ninho e libertado. Ele retoma ao ninho <strong>de</strong>pois <strong>de</strong><br />
13,5 dias. Tome a origem no ninho e estenda um eixo<br />
+Ox ate o ponto on<strong>de</strong> ele foi libertado. Qual a<br />
velocida<strong>de</strong> media do pomho-correio em m/s<br />
(a) para o vôo <strong>de</strong> retorno ao ninho<br />
(b) para o trajeto todo. <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o momento em<br />
que ele é retirado do ninho ate seu retorno<br />
2.3 Uma viagem <strong>de</strong> carro <strong>de</strong> San Diego a Los<br />
Angeles dura 2 h e 20 min quando você dirige o carro<br />
com uma velocida<strong>de</strong> media <strong>de</strong> 105 km/h. Em uma<br />
sexta-feira na parte da tar<strong>de</strong>, contudo, o trânsito está<br />
muito pesado e você percorre a mesma distância com<br />
uma velocida<strong>de</strong> media <strong>de</strong> 70 km/h. Calcule o tempo que<br />
você leva nesse percurso.<br />
2.4 De um pilar até um poste. Começando em<br />
um pilar, você corre 200 m <strong>de</strong> oeste para leste (o<br />
sentido do eixo +Ox) com uma velocida<strong>de</strong> média <strong>de</strong> 5.0<br />
m/s e a seguir corre 280 m <strong>de</strong> leste para oeste com uma<br />
velocida<strong>de</strong> média <strong>de</strong> 4.0 m/s até um poste. Calcule<br />
(a) sua velocida<strong>de</strong> escalar do pilar até o poste:<br />
(b) o módulo do velor velocida<strong>de</strong> média do<br />
pilar até o poste.<br />
2.5 (a) Seu carro velho po<strong>de</strong> <strong>de</strong>senvolver uma<br />
velocida<strong>de</strong> média <strong>de</strong> 8.0 m/s durante 60 s. a seguir<br />
melhorar o <strong>de</strong>sempenho e uma velocida<strong>de</strong> média <strong>de</strong><br />
20,0 m/s durante 60 s. Calcule sua velocida<strong>de</strong> média<br />
para o intervalo total <strong>de</strong> 120 s.<br />
(b) Suponha que a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 8.0 m/s seja<br />
mantida durante um <strong>de</strong>slocamento <strong>de</strong> 240 m, seguido <strong>de</strong><br />
uma velocida<strong>de</strong> média <strong>de</strong> 20.0 m/s em outro<br />
<strong>de</strong>slocamento <strong>de</strong> 240 m. Calcule a velocida<strong>de</strong> média<br />
para o <strong>de</strong>slocamento total,<br />
(c) Fim qual dos dois casos a velocida<strong>de</strong><br />
escalar do percurso total é igual à média das duas<br />
velocida<strong>de</strong>s escalares<br />
2.6 Um carro percorre um trecho retilíneo ao<br />
longo <strong>de</strong> uma estrada. Sua distância a um sinal <strong>de</strong><br />
parada é uma função do tempo dada por:<br />
2 3<br />
x t t t , on<strong>de</strong> = l.50 m/s 2 e<br />
= 0.0500 m/s 3 . Calcule a velocida<strong>de</strong> média do carro<br />
para os seguintes intervalos <strong>de</strong> tempo:<br />
(a) t = 0 até t = 2.00 s;<br />
(b) t = 0 até t = 4.00 s;<br />
(c) t = 2 s até t = 4.00 s.<br />
‣ SEÇÃO 2.3<br />
‣ VELOCIDADE INSTANTÂNEA<br />
2.7 Um carro pára em um semáforo. A seguir ele<br />
percorre um trecho retilíneo <strong>de</strong> modo que sua distância<br />
ao sinal é dada por :<br />
2 3<br />
x t b t c t , on<strong>de</strong> b = 2.40 m/s 2 e c =<br />
0.120 m/s 3 ;<br />
(a) Calcule a velocida<strong>de</strong> média do carro para o<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo t = 0 até t = 10.0 s.<br />
(b) Calcule a velocida<strong>de</strong> instantânea do carro para<br />
(i) t = 0<br />
(ii) t = 5.0 s<br />
(iii) t = 10,0 s<br />
(c) Quanto tempo após partir do repouso o carro<br />
retorna novamente ao repouso<br />
2.8 Uma professora <strong>de</strong> física sai <strong>de</strong> sua casa e se<br />
dirige a pé para o campus. Depois <strong>de</strong> 5 min começa a<br />
chover e ela retorna paracasa. Sua distância da casa em<br />
função do tempo é indicada pelo gráfico da Figura 2.25.<br />
Em qual dos pontos indicados sua velocida<strong>de</strong> e<br />
(a) zero (b) constante e positiva<br />
(c) constante e negativa (d) crescente em módulo<br />
(e) <strong>de</strong>crescente em módulo<br />
FIGURA 1 - Problema 2.8<br />
24
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
‣ SEÇÃO 24<br />
‣ ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA<br />
‣ ACELERAÇÃO MÉDIA<br />
2.9 Em um teste <strong>de</strong> um novo mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> automóvel<br />
da empresa Motores Incríveis, o veloeímetro é calibrado<br />
para ler m/s em vê <strong>de</strong> km/h. A série <strong>de</strong> medidas a seguir<br />
foi registrada durante o teste ao longo <strong>de</strong> uma estrada<br />
retilínea muito longa:<br />
Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16<br />
Velocida<strong>de</strong> (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22<br />
(a) Calcule a aceleração media durante cada<br />
intervalo <strong>de</strong> 2.0 s. A aceleração é constante Ela é<br />
constante em algum trecho do teste<br />
(b) Faça um gráfico v-t dos dados tabelados usando<br />
escalas <strong>de</strong> l cm = l s no eixo horizontal e <strong>de</strong> l cm = 1 s<br />
no eixo vertical. Desenhe uma curva entre os pontos<br />
piotados. Medindo a inclinação <strong>de</strong>ssa curva, calcule a<br />
aceleração instantânea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e<br />
t = 15 s.<br />
2.10 A Figura 2.26 mostra a velocida<strong>de</strong> em função<br />
do tempo <strong>de</strong> um carro movido a energia solar. O<br />
motorista acelera a partir <strong>de</strong> um sinal <strong>de</strong> parada e se<br />
<strong>de</strong>sloca durante 20 s com velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 60<br />
km/h, e a seguir pisa no freio e pára 40 s após sua<br />
partida do sinal. Calcule sua aceleração média para os<br />
seguintes intervalos <strong>de</strong> tempo:<br />
(a) t = 0 até t = 10 s;<br />
(b) t = 30 s até t = 40 s;<br />
(c) t = 10 s até t = 30 s;<br />
(d) t = 0 até t = 40 s.<br />
c (km/li)<br />
FIGURA 2 - Exercícios 2.10 e 2.l l.<br />
2.11 Tome como referência o Exercício 2. IO c<br />
a Figura 2.26.<br />
(a) Em qual intervalo <strong>de</strong> tempo a aceleração<br />
instantânea a possui seu maior valor positivo<br />
(b) Em qual intervalo <strong>de</strong> tempo a aceleração<br />
instantânea u possui seu maior valor negativo<br />
(c) Qual é a aceleração instantânea a para t =<br />
20 s<br />
(d) Qual é a aceleração instantânea a para t =<br />
35 s<br />
(e) Faça um diagrama do movimento (como o<br />
da Figura 2.<br />
(f) mostrando a posição, a velocida<strong>de</strong> e a<br />
aceleração do carro para os tempos t =5 s, t = 15 s, t<br />
=25 s t = 35 s.<br />
2.12 Um astronauta saiu da Estação Espacial<br />
Internacional para testar um novo veículo espacial. Seu<br />
companheiro permanece a bordo e registra as seguintes<br />
variaçóes <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>, cada uma ocorrendo em<br />
intervalos <strong>de</strong> 10 s. Determine o módulo, a direção eo<br />
sentido da aceleração média cm cada intervalo.<br />
Suponha que o sentido positivo seja da direita para a<br />
esquerda,<br />
(a) No início do intervalo o astronauta se move<br />
para a direita ao longo do eixo +Ox com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
15,0 m/s e no final do intervalo ele se move para a<br />
direita com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 5.0 m/s.<br />
(b) No início do intervalo o astronauta se move<br />
a 5.0 m/s para a esquerda e no final se move para a<br />
esquerda com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 15.0 m/s.<br />
(c) No início do intervalo ele se move para a<br />
direita com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 15.0 m/s e no final se move<br />
para a esquerda com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 15,0 m/s.<br />
2.13 (a) Com base em sua experiência <strong>de</strong><br />
dirigir um automóvel, estime o módulo da aceleração<br />
média <strong>de</strong> um carro quando pisa forte no freio em uma<br />
pista <strong>de</strong> alta velocida<strong>de</strong> até uma parada repentina,<br />
(b) Explique por que essa aceleração média<br />
po<strong>de</strong>ria ser consi<strong>de</strong>rada positiva ou negativa.<br />
tempo é dada por<br />
2.14 A velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um carro em função do<br />
v t<br />
On<strong>de</strong> = 3.00 m/s e = 0.1 m/s 3<br />
(a) Calcule a aceleração média do carro para o<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> t = 0 a t = 5,00 s.<br />
(b) Calcule a aceleração instantânea para<br />
(i) t = 0s; (ii) t = 5,00 s.<br />
(c) Desenhe gráficos acurados v-t e a-t para o<br />
movimento do carro entre t = 0 e t = 5,00 s.<br />
2.15 A Figura 3 mostra a coor<strong>de</strong>nada <strong>de</strong> uma<br />
aranha que se <strong>de</strong>sloca lentamente ao longo do eixo 0x<br />
(a) Faça um gráfico <strong>de</strong> sua velocida<strong>de</strong> e<br />
aceleração em função do tempo,<br />
(b) Faça um diagrama do movimento<br />
mostrando a posição, a velocida<strong>de</strong> e a aceleração da<br />
aranha para cinco tempos: t 1 = 2,5 s, t 2 = 10 s, t 3 = 20 s,<br />
t 4 = 30 s e t 5 = 37.5 s.<br />
t<br />
2<br />
25
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
x(t) (m)<br />
Parábola<br />
FIGURA 3 – Exercício 2.15.<br />
Linha Parábola Linha<br />
reta<br />
reta<br />
Parábola<br />
0 5 10 15 20 25 30 35 40 t(s)<br />
2.16 Um microprocessador controla a posição<br />
do pára-choque dianteiro <strong>de</strong> um carro usado em um<br />
teste. A posição é dada pela equação<br />
2 2 6 6<br />
x t 2.17 m 4.80 m s t 0.1m s t<br />
Determine:<br />
(a) sua posição e aceleração para os instantes em que<br />
o carro possui velocida<strong>de</strong> zero.<br />
(b) Desenhe gráficos x-tl, v-t e a-t para o movimento<br />
do pára-choque entre t =0 e t = 2.00 s.<br />
‣ SEÇAO 2.5<br />
‣ MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO<br />
CONSTANTE<br />
2.17 Um antílope que se move com aceleração<br />
constante leva 7.00 s para percorrer uma distância <strong>de</strong><br />
70.0 m entre dois pontos. Ao passar pelo segundo<br />
ponto, sua velocida<strong>de</strong> é <strong>de</strong> 15,0 m/s.<br />
(a) Qual era sua velocida<strong>de</strong> quando passava pelo<br />
primeiro ponto<br />
(b) Qual era sua aceleração<br />
2.20 Um avião precisa <strong>de</strong> 280 m <strong>de</strong> pista para<br />
atingir a velocida<strong>de</strong> necessária para <strong>de</strong>colagem. Se ele<br />
parle do repouso, se move com aceleração constante e<br />
leva 8.0 s no percurso, qual é sua velocida<strong>de</strong> no<br />
momento da <strong>de</strong>colagem<br />
2.21 Um carro está parado na rampa <strong>de</strong> acesso <strong>de</strong><br />
uma auto-cstrada. esperando uma diminuição do<br />
tráfego. O motorista verifica que existe um espaço<br />
vazio entre um caminhão com l8 rodas e uma<br />
caminhonete e acelera seu carro para entrar na autoestrada.<br />
O carro parte do repouso, se move ao longo <strong>de</strong><br />
uma linha reta e atinge uma velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 20 m/s no<br />
final da rampa <strong>de</strong> 120 m <strong>de</strong> comprimento,<br />
(a) Qual e a aceleração do carro<br />
(b) Quanto tempo ele leva para percorrer a rampa<br />
(c) O tráfego na auto-estrada se move com uma<br />
velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 20 m/s. Qual é o <strong>de</strong>slocamento<br />
do tráfego enquanto o carro atravessa a rampa<br />
2.22 A Figura 4 foi <strong>de</strong>senhada para movimento<br />
com aceleração constante com valores positivos <strong>de</strong> x 0 ,<br />
v 0 e a. Refaça essas quatro figuras para os seguintes<br />
casos:<br />
(a) x 0 < 0; v 0 < 0 e a < 0.<br />
(b) x 0 > 0; v 0 < 0 e a > 0.<br />
(c) x 0 > 0; v 0 > 0 e a < 0.<br />
FIGURA 4 – Exercício 2.22<br />
26<br />
2.18 Ao ser lançado pela catapulta da plataforma <strong>de</strong><br />
um porta-avióes. um caça a jato atinge a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>colagem <strong>de</strong> 270 km/h em uma distância aproximada<br />
<strong>de</strong> 90 m. Suponha aceleração constante,<br />
(a) Calcule a aceleração do caça em m/s 2 .<br />
(b) Calcule o tempo necessário para o caça atingir<br />
essa velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>colagem.<br />
2.19 Airbag <strong>de</strong> Automóvel. O corpo humano po<strong>de</strong><br />
sobreviver a um trauma por aci<strong>de</strong>nte com aceleração<br />
negativa (parada súbita) quando o módulo <strong>de</strong> aceleração<br />
é menor do que 250 m/s 2 (cerca <strong>de</strong> 25g'). Suponha que<br />
você sofra um aci<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> automóvel com velocida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> 105 km/h e seja amortecido por um airbag que se<br />
infla automaticamente. Qual <strong>de</strong>ve ser a distância que o<br />
airbag se <strong>de</strong>forma para que você consiga sobreviver
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(b) Faça um diagrama do movimento<br />
mostrando aposição, a velocida<strong>de</strong> e a aceleração do<br />
carro.<br />
2.25 O gráfico da Figura 5 mostra a velocida<strong>de</strong><br />
da motocicleta <strong>de</strong> um policial em função do tempo,<br />
(a) Calcule a aceleração instantânea para t = 3<br />
s, t = 1 s e t = l l s.<br />
(b) Qual foi o <strong>de</strong>slocamento do policial nos 5 s<br />
iniciais E nos 9 s iniciais E nos 13 s iniciais<br />
2.26 O gráfico da Figura 2.29 mostra a<br />
aceleração <strong>de</strong> um mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> locomotiva que se move<br />
no eixo Ox. Faça um gráfico da velocida<strong>de</strong> e da posição<br />
sabendo que x = 0 e v = O para t = 0.<br />
27<br />
FIGURA 5 – Exercício 2.25<br />
2.23 No instante t = 0 um carro está se<br />
movendo ao longo <strong>de</strong> uma auto-estrada no Estado <strong>de</strong><br />
São Paulo com uma velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 30 m/s.<br />
Esse movimento continua durante 20 s. A seguir, para<br />
não atrapalhar o tráfego, o motorista resolve acelerar<br />
com uma taxa constante, elevando a velocida<strong>de</strong> do<br />
carro até 40 m/s. Q carro se move durante 10 s com esta<br />
nova velocida<strong>de</strong>. Porem o motorista avista um policial<br />
em uma motocicleta escondido atrás <strong>de</strong> uma árvore e<br />
diminui sua velocida<strong>de</strong> com uma taxa constante <strong>de</strong> 4.0<br />
m/s ale que a velocida<strong>de</strong> do carro se reduz ao limite<br />
legal <strong>de</strong> 30 m/s. Ele então mantém essa velocida<strong>de</strong> e<br />
acena para o policial quando passa por ele 5 s mais<br />
tar<strong>de</strong>,<br />
(a) Para o movimento do carro <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o instante<br />
t = O até o momento em que ele cru/.a com o policial,<br />
<strong>de</strong>senhe gráficos acurados x-t. v-t e a-t.<br />
(b) Faça um diagrama do movimento<br />
mostrando a posição, a velocida<strong>de</strong> e a aceleração do<br />
carro.<br />
2.24 Para t = 0 um carro pára em um semáforo.<br />
Quando a luz fica ver<strong>de</strong>, o carro começa a acelerar com<br />
uma taxa constante. Elevando sua velocida<strong>de</strong> para 20<br />
m/s, 8 s <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> a luz ficar ver<strong>de</strong>, ele se move com<br />
essa nova velocida<strong>de</strong> por uma distância <strong>de</strong> 60 m. A<br />
seguir, o motorista avista uma luz vermelha no<br />
cruzamento seguinte e começa a diminuir a velocida<strong>de</strong><br />
com uma taxa constante. O carro pára no sinal vermelho<br />
a l80 m da posição para t = 0.<br />
(a) Para o movimento do carro, <strong>de</strong>senhe<br />
gráficos acurados <strong>de</strong> x-t, v-t e a-t.<br />
2.27 Uma espaçonave se dirige em linha reta<br />
para a Base Lunar I situada a uma distância <strong>de</strong> 384000<br />
km da Terra. Suponha que ela acelere 20,0 m/s 2 durante<br />
os primeiros 15.0 minutos da viagem e a seguir viaje<br />
com velocida<strong>de</strong> constante até os últimos 15.0 minutos,<br />
quando acelera a -20,0 m/s 2 , atingindo o repouso<br />
exalamente quando toca a Lua.<br />
(a) Qual foi a velocida<strong>de</strong> máxima atingida<br />
(b) Qual foi a Iração do percurso total durante<br />
o qual ela viajou com velocida<strong>de</strong> constante<br />
(c) Qual foi o tempo total da viagem<br />
2.28 Um trem <strong>de</strong> metro parte do repouso em<br />
uma estação acelera com uma taxa constante <strong>de</strong> l .60<br />
m/s 2 durante 14.0 s. Ele viaja com velocida<strong>de</strong> constante<br />
durante 70.0 s e reduz a velocida<strong>de</strong> com uma taxa<br />
constante <strong>de</strong> 3,50 m/s 2 até parar na estação seguinte.<br />
Calcule a distância total percorrida.<br />
2.29 Dois carros, A e R. se movem no eixo 0x.<br />
O gráfico da figura 6 mostra as posições <strong>de</strong> A e B em<br />
função do tempo.
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(a) Faça um diagrama do movimento<br />
mostrando a posição, a velocida<strong>de</strong> e a aceleração do<br />
carro para t =0, t = l s e t = 3s.<br />
(b) Para que tempo(s) caso exista algum A e B<br />
possuem a mesma posição<br />
(c) Faça um gráfico da velocida<strong>de</strong> contra o<br />
tempo para A e B.<br />
(d) Para que tempo(s), caso exista algum, A e B<br />
possuem a mesma velocida<strong>de</strong><br />
(e) Para que tempo(s), caso exista algum, o<br />
carro B passa o carro A<br />
FIGURA 6 – Exercício 2.28<br />
2.30 Quando uni sinal luminoso fica ver<strong>de</strong>, um<br />
carro que eslava parado começao movimento com<br />
aceleração constante <strong>de</strong> 3.20 m/s . No mesmo instante,<br />
uni caminhão que se <strong>de</strong>sloca com velocida<strong>de</strong> constante<br />
<strong>de</strong> 20,0 m/s ultrapassa o carro. ai y>ial a distância<br />
percorrida a partir do sinal para qiiL' o carro ultrapasse<br />
o caminhão<br />
(b) Qual é a velocida<strong>de</strong> do carro no momento<br />
em que ultrapassa o caminhão<br />
(c) Faça um gráfico x-t dos movimentos <strong>de</strong>sses<br />
dois veículos. Consi<strong>de</strong>re x = 0 o ponto <strong>de</strong> interseção<br />
inicial.<br />
(d) Faça um gráfico v-t dos movimentos <strong>de</strong>sses<br />
dois veículos.<br />
2.31 Um carro se move com velocida<strong>de</strong><br />
constante <strong>de</strong> módulo igual a v c . No momento em que o<br />
carro passa por um policial numa motocicleta, a<br />
motocicleta e acelerada a partir do repouso com uma<br />
aceleração a M ,<br />
(a) Faça um gráfico x-t dos movimentos <strong>de</strong>sses<br />
dois veículos. Mostre que quando a motocicleta<br />
ultrapassa o carro a velocida<strong>de</strong> da motocicleta e igual<br />
ao dobro da velocida<strong>de</strong> do carro, qualquer que seja o<br />
valor <strong>de</strong> a M .<br />
(b) Seja a distância percorrida pela motocicleta<br />
até alcançar o carro. Em lermos <strong>de</strong> d qual foi a distância<br />
percorrida pela motocicleta ate que sua velocida<strong>de</strong> fosse<br />
igual a do carro<br />
‣ SEÇÃO 2.6<br />
‣ QUEDA LIVRE DE CORPOS<br />
2.32 Se a resistência do ar sobre as gotas <strong>de</strong><br />
chuva pu<strong>de</strong>sse sei <strong>de</strong>sprezada po<strong>de</strong>ríamos consi<strong>de</strong>rar<br />
essas gotas objetos em queda livre,<br />
(a) As nuvens que dão origem a chuvas estão<br />
em alturas típicas <strong>de</strong> algumas centenas <strong>de</strong> metros acima<br />
do solo. Estime a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> unia gola <strong>de</strong> chuva ao<br />
cair no solo se ela pu<strong>de</strong>sse ser consi<strong>de</strong>rada um corpo em<br />
queda livre. Forneça essa estimativa em m/s e km/h.<br />
(b) Estime (pela sua experiência pessoal sobre<br />
chuva) a velocida<strong>de</strong> real <strong>de</strong> unia gola <strong>de</strong> chuva ao cair<br />
no solo.<br />
(c) Com base nos resultados (a) e (b), verifique<br />
se e uma boa aproximação <strong>de</strong>sprezar a resistência do ar<br />
sobre as gotas <strong>de</strong> chuva. Explique.<br />
2.33 (a) Se uma pulga po<strong>de</strong> dar um salto e<br />
atingir uma altura <strong>de</strong> 0.440 m. qual seria sua velocida<strong>de</strong><br />
inicial ao sair do solo<br />
(b) Durante quanto tempo ela permanece no<br />
ar<br />
2.34 Descida na Lua. Um módulo explorador<br />
da l.ua esta pousando na Base -lunar l. Ele <strong>de</strong>sce<br />
lentamente sob a ação dos retro-propulsores do motor<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>scida. O motor se separa do modulo quando ele se<br />
encontra a 5 m da superfície lunar e possui uma<br />
velocida<strong>de</strong> para baixo igual a 0.8 m/s. Ao se separar do<br />
motor, o modulo inicia uma queda livre. Qual é a<br />
velocida<strong>de</strong> do modulo no instante em que ele toca a<br />
superfície<br />
A aceleração da gravida<strong>de</strong> na Lua é igual a l.6<br />
m/s 2 .<br />
2.35 Um teste simples para o tempo <strong>de</strong><br />
reaçao. Uma régua <strong>de</strong> medição e mantida verticalmente<br />
acima <strong>de</strong> sua mão com a extremida<strong>de</strong> inferior entre o<br />
polegar e o indicador. Ao ver a régua sendo largada,<br />
você a segura com estes dois <strong>de</strong>dos. Seu tempo <strong>de</strong><br />
reaçao po<strong>de</strong> ser calculado pela distancia percorrida pela<br />
régua medida diretameiile pela posição dos seus <strong>de</strong>dos<br />
na escala da régua,<br />
(a) Deduza uma relação para seu tempo <strong>de</strong><br />
reaçao em função da distância d.<br />
(b) Calcule o tempo <strong>de</strong> reação supondo uma<br />
distância medida igual a 17.0 cm.<br />
2.36 Um tijolo e largado (velocida<strong>de</strong> inicial<br />
nula) do alto <strong>de</strong> um edifício. Ele atinge o solo em 2.50<br />
28
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
s. A resistência do ar po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>sprezada, <strong>de</strong> modo que<br />
o tijolo esta em queda livre,<br />
(a) Qual e a altura do edifício<br />
(b) Qual e o modulo da velocida<strong>de</strong> quando ele<br />
atinge o solo<br />
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o<br />
movimento do tijolo,<br />
2.37 Maria lança seu anel verticalmente para<br />
cima a partir do telhado <strong>de</strong> um edilício, a l2 m acima do<br />
solo com umavelocida<strong>de</strong> inicial <strong>de</strong> 5.0 m/s. Despreze a<br />
resistência do ar. Determine o modulo e o sentido<br />
(a) da velocida<strong>de</strong> media do anel,<br />
(b) da aceleração media do anel<br />
(c) Calcule o tempo que o anel leva para<br />
atingir o solo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o momento em que ele foi lançado,<br />
(d) Qual e a velocida<strong>de</strong> do anel quando ele<br />
atinge o solo<br />
(e) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o<br />
movimento do anel.<br />
2.38 Um balonista <strong>de</strong> ar quente que se <strong>de</strong>sloca<br />
verticalmente para cima com velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong><br />
modulo igual a 5.0 m/s <strong>de</strong>ixa cair um saco <strong>de</strong> areia no<br />
momento em que ele esta a uma distância <strong>de</strong> 40.0 m<br />
acima do solo (Figura 7). Depois que ele e largado, o<br />
saco <strong>de</strong> areia passa a se mover em queda livre,<br />
(a) Calcule a posição e a velocida<strong>de</strong> do saco <strong>de</strong><br />
areia 0,20 s e l ,00 s <strong>de</strong>pois que ele é largado.<br />
(b) Calcule o tempo que o saco <strong>de</strong> areia leva<br />
para atingir o solo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o momento em que ele foi<br />
lançado,<br />
(c) Qual e a velocida<strong>de</strong> do saco <strong>de</strong> areia<br />
quando ele atinge o solo<br />
(d) Qual e a altura máxima em relação ao solo<br />
atingida pelo saco <strong>de</strong> areia<br />
(e) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o<br />
movimento do saco <strong>de</strong> areia.<br />
FIGURA 7 – Exercício 2.34 e 2.38<br />
2.39 Um estudante no topo <strong>de</strong> uni edifício joga<br />
uma bola com água verticalmente para baixo. A bola<br />
<strong>de</strong>ixa a mão do estudante com uma velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 6,0<br />
m/s. A resistência do ar é ignorada, <strong>de</strong> modo que a bola<br />
po<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>rada em queda livre após o lançamento,<br />
(a) Calcule sua velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> 2.0 s <strong>de</strong><br />
queda.<br />
(b) Qual a distância percorrida nesses 2.0 s<br />
(c) Qual o modulo da velocida<strong>de</strong> quando a bola<br />
caiu 10,0 m<br />
(d) Faça gráficos x-t, v-t e a–t para o<br />
movimento.<br />
2.40 Um ovo e atirado verticalmente <strong>de</strong> baixo<br />
para cima <strong>de</strong> um ponto próximo da cornija na<br />
extremida<strong>de</strong> superior <strong>de</strong> um edifício alto. Ele passa<br />
rente da cornija em seu movimento para baixo,<br />
atingindo um ponto a 50.0 m abaixo da cornija 5.0 s<br />
após ele abandonar a mão do lançador. Despreze a<br />
resistência do ar.<br />
(a) Calcule a velocida<strong>de</strong> inicial do ovo.<br />
(b) Qual a altura máxima atingida acima do<br />
ponto inicial do lançamento<br />
(c) Qual o módulo da velocida<strong>de</strong> nessa altura<br />
máxima<br />
(d) Qual o módulo e o sentido da aceleração<br />
nessa altura máxima<br />
(e) Faça gráficos <strong>de</strong> x-t, v-t e a–t para o<br />
movimento do ovo.<br />
2.41 O Sonic Wind N o 2 é uma espécie <strong>de</strong> trenó<br />
movido por um foguete, usado para investigar os eleitos<br />
fisiológicos <strong>de</strong> acelerações elevadas. Fie se <strong>de</strong>sloca em<br />
uma pista retilínca com 1070 m <strong>de</strong> comprimento.<br />
Partindo do repouso po<strong>de</strong> atingir uma velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
224 m/s em 0.900 s.<br />
(a) Calcule a aceleração em m/s 2 supondo que<br />
ela seja constante,<br />
(b) Qual a razão entre essa aceleração e a<br />
aceleração <strong>de</strong> um corpo em queda livre <br />
(c) Qual a distância percorrida cm 0.900 s<br />
(d) Um artigo publicado por uma revista<br />
afirma que no final <strong>de</strong> uma corrida a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong>sse<br />
trenó diminui <strong>de</strong> 2S3 km/h ate /ero em 1.40 s e que<br />
durante este intervalo <strong>de</strong> tempo a aceleração e maior<br />
que 40 g. Esses valores são coerentes<br />
2.42 Uma pedra gran<strong>de</strong> e expelida<br />
verticalmente <strong>de</strong> baixo para cima por um vulcão com<br />
velocida<strong>de</strong> inicial <strong>de</strong> 40.0 m/s Despreze a resistência do<br />
ar.<br />
(a) Qual e o tempo que a pedra leva, após o<br />
lançamento, para que sua velocida<strong>de</strong> seja <strong>de</strong> 20,0 m/s<br />
<strong>de</strong> baixo para cima<br />
(b) Qual o tempo que a pedra leva após o<br />
lançamento, para que sua velocida<strong>de</strong> seja <strong>de</strong> 20,0 m/s<br />
<strong>de</strong> cima para baixo<br />
(c) Quando o <strong>de</strong>slocamento da pedra e igual a<br />
zero<br />
(d) Quando a velocida<strong>de</strong> da pedra e igual a<br />
zero<br />
29
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(e) Qual o módulo e o sentido da aceleração<br />
enquanto a pedra<br />
(i) está se movendo <strong>de</strong> baixo para cima<br />
(ii) esta se movendo <strong>de</strong> cima para baixo<br />
(iii) está no ponto mais elevado da sua<br />
trajetória<br />
(f) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o<br />
movimento.<br />
2.43 Suponha que a aceleração da gravida<strong>de</strong><br />
seja <strong>de</strong> apenas 0.98 m/s 2 em vez <strong>de</strong> 9.8 m/s 2 , porém a<br />
velocida<strong>de</strong> inicial para você pular ou lançar uma bola<br />
continua sendo a mesma,<br />
(a) Calcule a altura que você po<strong>de</strong>ria atingir<br />
caso <strong>de</strong>sse um salto para cima, sabendo que a altura<br />
atingida pelo salto com g = 9.81 m/s 2 e igual a 0.75 m.<br />
(b) Ate que altura você po<strong>de</strong>ria lançar uma<br />
bola, caso você lançasse a mesma bola ate uma altura<br />
<strong>de</strong> 18 m supondo g = 9.81 m/s 2 <br />
(c) Supondo que você possa pular com<br />
segurança <strong>de</strong> uma janela para uma calçada situada a<br />
uma altura <strong>de</strong> 2.0 m da janela, consi<strong>de</strong>rando g = 9.8<br />
m/s 2 . calcule a altura máxima da janela, consi<strong>de</strong>rando o<br />
valor reduzido da aceleração da gravida<strong>de</strong>.<br />
‣ SECAO 2.7<br />
‣ VELOCIDADE E POSIÇÃO POR<br />
INTEGRAÇÃO<br />
2.44 A aceleração <strong>de</strong> um ónihus e dada por<br />
a()<br />
t t on<strong>de</strong> = l .2 m/s 3 .<br />
(a) Se a velocida<strong>de</strong> do ônibus para t = l .0 s é igual<br />
a 5,0 m/s. qual e sua velocida<strong>de</strong> para<br />
(a) t = 2.0 s<br />
(b) Se a posição do ônibus para t = l .0 s é igual a<br />
6,0 m, qual sua posição para t = 2.0 s<br />
(c) Faça grálicos x-t, v-te a-t para esse movimento.<br />
2.45 A aceleração <strong>de</strong> uma motocicleta e dada por<br />
2<br />
a()<br />
t A t B t , on<strong>de</strong> A = l,5 m/s 3 e B = 0.120<br />
m/s 4 A motocicleta está em repouso na origem no<br />
instante t = 0.<br />
(a) Calcule sua velocida<strong>de</strong> e posição em função do<br />
tempo,<br />
(b) Calcule a velocida<strong>de</strong> máxima que ela po<strong>de</strong><br />
atingir.<br />
‣ PROBLEMAS<br />
2.46 Em uma competição <strong>de</strong> bicicletas com<br />
percurso <strong>de</strong> 30 km, você percorre os primeiros 15 km<br />
com uma velocida<strong>de</strong> media <strong>de</strong> 12 km/h. Qual <strong>de</strong>ve ser<br />
sua velocida<strong>de</strong> escalar media nos 15 km restantes para<br />
que sua velocida<strong>de</strong> escalar media no percurso total <strong>de</strong><br />
30 km seja <strong>de</strong><br />
(a) 6 km/h<br />
(b) 18 km/h<br />
(c) Dada a referida velocida<strong>de</strong> média para os<br />
primeiros 15 km. você po<strong>de</strong>ria ou não atingir uma<br />
velocida<strong>de</strong> escalar media <strong>de</strong> 24 km/h no percurso total<br />
<strong>de</strong> 30 km Explique.<br />
2.47 A posição <strong>de</strong> uma partícula entre t = 0 e t<br />
= 2,0 s é dada por:<br />
3 2<br />
x t 3 t 10 t 9 t SI<br />
(a) Faça gráFicos <strong>de</strong> x-t, v-t e a-t para essa<br />
partícula,<br />
(b) Para que tempo entre t = 0 s e t = 2.00 s a<br />
partícula está em repouso O resultado obtido por você<br />
estado acordo com o gráfico da parte (a)<br />
(c) Para qual tempo calculado na parte (b) a<br />
aceleração da partícula e positiva ou negativa<br />
Mostre que em cada caso po<strong>de</strong>mos obter a<br />
mesma resposta pelo grafico v-t ou pela função a(t).<br />
(d) Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a<br />
velocida<strong>de</strong> da partícula não varia instantaneamente<br />
Localize esse ponto nos grálicos a-t e v-t da parte (a).<br />
(e) Qual a maior distancia entre a partícula e a<br />
origem (x = 0) no intervalo entre t = 0 e t = 2.00 s<br />
(f) Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a<br />
partícula está diminuindo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> com a maior<br />
taxa Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a<br />
partícula está aumentando a velocida<strong>de</strong> com a maior<br />
taxa Localize esses pontos nos grálicos v-t e a-t da<br />
parte (a).<br />
2.48 Em uma gincana, cada concorrente corre<br />
25.0 m transportando um ovo equilibrado em uma<br />
colher, dá a volta e retorna ao ponto <strong>de</strong> partida. Elaine<br />
corre os primeiros 25.0 m em 20,0 s. Quando volta, ela<br />
se sente mais segura e leva apenas 15.0 s. Qual o<br />
módulo do vetor velocida<strong>de</strong> media para<br />
(a) os 25.0 m<br />
(b) a viagem <strong>de</strong> volta<br />
(c) Qual o módulo do vetor velocida<strong>de</strong> média<br />
no percurso lodo quando ela volta ao ponto <strong>de</strong> partida<br />
(d) Qual e a velocida<strong>de</strong> escalar média no<br />
percurso lodo quando ela volta ao ponto <strong>de</strong> partida<br />
2.49 Daniel dirige na Estrada I-SO em Seward.<br />
no Estado <strong>de</strong> Nebraska e segue por um trecho retilíneo<br />
<strong>de</strong> leste para oeste com uma velocida<strong>de</strong> média com<br />
módulo igual a 72 km/h. Depois <strong>de</strong> percorrer 76 km. ele<br />
atinge a saída <strong>de</strong> Aurora. Percebendo que ele foi longe<br />
<strong>de</strong>mais, retorna 34 km <strong>de</strong> oeste para leste até a saída<br />
paraYork com uma velocida<strong>de</strong> média com módulo igual<br />
a 72 km/h. Para a viagem total <strong>de</strong>s<strong>de</strong> Seward até a saída<br />
<strong>de</strong> York, qual é:<br />
30
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(a) sua velocida<strong>de</strong> escalar média<br />
(b) o modulo do vetor velocida<strong>de</strong> média<br />
2.50 Tráfego em uma auto-estrada. De<br />
acordo com um artigo (da revista Scientific American<br />
(maio <strong>de</strong> 1990) circulam normalmente em uma autoestrada<br />
americana cerca <strong>de</strong> 2400 veículos por hora em<br />
cada pista com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 96 km/h para um tráfego<br />
consi<strong>de</strong>rado regular. Depois <strong>de</strong>sse limite o fluxo do<br />
tráfego começa a ficar "turbulento" (com aceleraçóes e<br />
paradas).<br />
(a) Se cada veículo possui comprimento<br />
aproximadamente igual a 4.6 m. qual é o espaçamento<br />
médio entre os veículos para a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> do tráfego<br />
mencionado<br />
(b) Um sistema automático para evitar colisões<br />
que opera com sinais <strong>de</strong> radar ou sonar. e que po<strong>de</strong><br />
acelerar ou parar um veículo quando necessário, po<strong>de</strong>ria<br />
reduzir sensivelmente a distância entre os veículos.<br />
Supondo uma distância <strong>de</strong> 9,2 m (igual a dois<br />
comprimentos <strong>de</strong> carro), quantos veículos por hora<br />
po<strong>de</strong>riam circular em cada pista com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 96<br />
km/h<br />
FIGURA 8 - Problema 2.49.<br />
distancia do topo e 2,00 s mais tar<strong>de</strong> esta a 57,6 m <strong>de</strong><br />
distância do topo.<br />
(a) Qual o módulo da velocida<strong>de</strong> média do<br />
trenó durante cada um dos intervalos <strong>de</strong> 2,0 s <strong>de</strong>pois <strong>de</strong><br />
passar pelo ponto a 14.4 m <strong>de</strong> distância do topo<br />
(b) Qual a aceleração do trenó<br />
(c) Qual a velocida<strong>de</strong> escalar do trenó quando<br />
ele passa pelo ponto a 14,4 m <strong>de</strong> distancia do topo<br />
(d) Quanto tempo ele leva para ir do topo até<br />
o ponto a 14.4 m <strong>de</strong> distância do topo<br />
(e) Qual a distância percorrida pelo trenó<br />
durante o primeiro segundo <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> passar pelo ponto<br />
a 14,4 m <strong>de</strong> distância do topo<br />
2.53 Um carro <strong>de</strong> 3.5 m <strong>de</strong> comprimento se<br />
<strong>de</strong>sloca com velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 20 m/s<br />
aproximando-se <strong>de</strong> uni cru/amenio (Figura 9). A largura<br />
do cruzamento é <strong>de</strong> 20 m. A luz do sinal fica amarela<br />
quando a frente do carro esta a 50 m do início do<br />
cruzamento. Quando o motorista pisa no freio, o carro<br />
diminui <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> com uma taxa igual a -3,8 m/s 2 .<br />
Se em vêz <strong>de</strong> pisar no freio o motorista pisar no<br />
acelerador, o carro aumenta <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> com uma<br />
taxa igual a 2.3 m/s 2 . A luz fica amarela durante 3,0 s.<br />
Despreze o tempo <strong>de</strong> reação do motorista. Para evitar<br />
que o carro fique no espaço do cruzamento, o motorista<br />
<strong>de</strong>ve pisar no freio ou no acelerador<br />
31<br />
2.51 Um velocista po<strong>de</strong> acelerar ate sua<br />
velocida<strong>de</strong> máxima em 4.0 s. Ele então mantém esta<br />
velocida<strong>de</strong> durante o trajeto restante em uma<br />
competição <strong>de</strong> 100 m, terminando a corrida com um<br />
tempo total <strong>de</strong> 9, l s.<br />
(a) Qual a aceleração media do velocista<br />
durante os 4,0 s iniciais<br />
(b) Qual sua aceleração média durante os<br />
últimos 5,1 s<br />
(c) Qual sua aceleração média durante a<br />
corrida toda<br />
(d) Explique por que sua resposta do item (c)<br />
não é a média das respostas (a) e (b).<br />
2.52 Um trenó esta em repouso no alto <strong>de</strong> uma<br />
montanha e escorrega para baixo com aceleração<br />
constante. Em um dado instante está a 14,4 m <strong>de</strong><br />
distancia do topo; 2,00 s mais tar<strong>de</strong> está a 25,6 m <strong>de</strong><br />
distância do topo; 2.00 s mais tar<strong>de</strong> está a 40,0 m <strong>de</strong><br />
FIGURA 8 - Problema 2.53.<br />
2.54 O maquinista <strong>de</strong> um trem <strong>de</strong> passageiros<br />
que viaja com velocida<strong>de</strong> v = 25.0 m/s avista um trem<br />
<strong>de</strong> carga cuja traseira se encontra a 200,0 m <strong>de</strong> distância<br />
da frente do trem <strong>de</strong> passageiros (Figura 9). O trem <strong>de</strong><br />
carga se <strong>de</strong>sloca no mesmo sentido do trem <strong>de</strong><br />
passageiros com velocida<strong>de</strong> v = 15,0 m/s. O maquinista<br />
imediatamente aciona o freio, produzindo uma<br />
aceleração constante igual a -0.100 m/s 2 , enquanto o<br />
trem <strong>de</strong> carga continua com a mesma velocida<strong>de</strong>.<br />
Consi<strong>de</strong>re t = 0 como o local on<strong>de</strong> se encontra a frente<br />
do trem <strong>de</strong> passageiros quando o freio é acionado.<br />
(a) As vacas das vizinhanças assistirão a uma<br />
colisão<br />
(b) Caso a resposta anterior seja positiva, em<br />
que ponto ocorrera a colisão
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(c) Faça um gráfico simples mostrando a<br />
posição da frente do trem <strong>de</strong> passageiros e a traseira do<br />
trem <strong>de</strong> carga.<br />
FIGURA 10 - Problema 2.56.<br />
32<br />
FIGURA 9 - Problema 2.54.<br />
2.55 Uma barala gran<strong>de</strong> po<strong>de</strong> <strong>de</strong>senvolver uma<br />
velocida<strong>de</strong> igual a 1,50 m/s em intervalos <strong>de</strong> tempo<br />
curtos. Suponha que ao ligar lâmpada em um motel<br />
você aviste uma barata que se move com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
1.50 m/s na mesma direção e sentido que você. Se você<br />
está a 0,90 m atras da barata com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 0.8 m/s,<br />
qual <strong>de</strong>ve ser sua aceleração mínima para que você<br />
alcance a barata antes que ela se esconda embaixo <strong>de</strong><br />
um móvel situado a 1,20 m da posição inicial <strong>de</strong>la<br />
2.56 Consi<strong>de</strong>re a situação <strong>de</strong>scrita no Exemplo<br />
2.5. O exemplo é ligeiramente irreal, porque se o<br />
policial está acelerado ele <strong>de</strong>ve ultrapassar o motorista.<br />
Em uma perseguição real. ele <strong>de</strong>ve ultrapassar o<br />
motorista e <strong>de</strong>pois diminuir a velocida<strong>de</strong> para ficar com<br />
a mesma velocida<strong>de</strong> do motorista. Suponha que o<br />
policial do Exemplo 2.5 acelere sua motocicleta a partir<br />
do repouso com aceleração <strong>de</strong> 2.5 m/s 2 ate que sua<br />
velocida<strong>de</strong> seja <strong>de</strong> 20 m/s. Ele diminui sua velocida<strong>de</strong><br />
com uma taxa constante ale se emparelhar com o carro<br />
para x = 360 m <strong>de</strong>slocando-se com a mesma velocida<strong>de</strong><br />
do carro <strong>de</strong> 15.0 m/s.<br />
(a) Qual o tempo necessário para o policial se<br />
emparelhar com o carro<br />
(b) Qual o tempo no qual o policial <strong>de</strong>ixa <strong>de</strong><br />
acelere e passa a diminuir <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> Nesse<br />
instante, qual a distância entre o policial e o sinal Qual<br />
a distância entre ele e o carro nesse instante<br />
(c) Encontre a aceleração do policial quando<br />
sua velocida<strong>de</strong> diminui.<br />
(d) Desenhe um diagrama x-t para os dois<br />
veículos.<br />
(e) Desenhe um diagrama v-t para os dois<br />
veículos.<br />
2.57 Um automóvel e um caminhão partem do<br />
repouso no mesmo instante, estando o automóvel uma<br />
certa distância atrás do caminhão. O caminhão possui<br />
aceleração constante <strong>de</strong> 2.10 m/s e o automóvel tem<br />
aceleração <strong>de</strong> 3.40 m/s . O automóvel ultrapassa o<br />
caminhão <strong>de</strong>pois que o caminhão se <strong>de</strong>slocou 40,0 m.<br />
(a) Qual o tempo necessário para que o<br />
automóvel ultrapasse o caminhão<br />
(b) Qual era a distância inicial entre o<br />
automóvel e o caminhão<br />
(c) Qual a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong>sses veículos quando<br />
eles estão lado a lado<br />
(d) Em um único diagrama, <strong>de</strong>senhe a posição<br />
<strong>de</strong> cada veículo em função do tempo. Consi<strong>de</strong>re x = 0<br />
como a posição inicial do caminhão.<br />
2.58 Dois motoristas malucos resolvem dirigir<br />
uni <strong>de</strong> encontro ao outro. No instante t = 0 a distância<br />
entre os dois carros é D e o carro l esta em repouso e o<br />
carro 2 se move da direita para a esquerda com<br />
velocida<strong>de</strong> v 0 . O carro l começa a acelerar a partir <strong>de</strong> t =<br />
0 com aceleração constante a. O carro 2 continua a se<br />
mover com velocida<strong>de</strong> constante,<br />
(a) Em que instante ocorrerá a colisão<br />
(b) Ache a velocida<strong>de</strong> do carro l<br />
imediatamente antes <strong>de</strong> colidir com o carro 2.<br />
(c) Faça diagramas x-t e v-t para o carro l e<br />
para o carro 2. Desenhe curvas para cada veículo<br />
usando o mesmo eixo.<br />
2.59 Em seu Mustang. José contorna uma<br />
curva e atinge uma estrada retilínea no campo enquanto<br />
se <strong>de</strong>sloca a 20 m/s e avista um trator que espalha<br />
adubo bloqueando completamentc a pista a uma<br />
distância <strong>de</strong> 37 m a sua frente. Surpreso, ele pisa no<br />
freio <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> 0.80 s <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> reação, conseguindo<br />
parar bem próximo do tralor. Consi<strong>de</strong>rando o mesmo
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
tempo <strong>de</strong> reação e a mesma aceleração, se ele estivesse<br />
a 25.0 m/s em vez <strong>de</strong> 20 m/s.<br />
(a) qual seria sua velocida<strong>de</strong> ao colidir com o<br />
trator<br />
(b) quanto tempo <strong>de</strong> vida ele teria <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o<br />
momento em que viu o trator ate n instante da colisão<br />
2.60 Um carro da polícia se <strong>de</strong>sloca em linha<br />
rela com velocida<strong>de</strong> constante v p . Um caminhão que se<br />
move no mesmo sentido com velocida<strong>de</strong> 3v p /2<br />
ultrapassa o carro. A motorista que dirige o caminhão<br />
verifica que está acelerando e imediatamente começa a<br />
diminuir sua velocida<strong>de</strong> com uma taxa constante.<br />
Contudo, ela estava em um dia <strong>de</strong> sorte e o policial<br />
(ainda movendo-se com a mesma velocida<strong>de</strong>) passa<br />
pelo caminhão sem aplicar-lhe a multa,<br />
(a) Mostre que a velocida<strong>de</strong> do caminhão no<br />
instante em que o carro da polícia passa por ele não<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do módulo da aceleração do caminhão no<br />
momento em que ele começa a diminuir sua velocida<strong>de</strong><br />
e calcule o valor <strong>de</strong>ssa velocida<strong>de</strong>,<br />
(b) Faça um gráfico x-t para os dois veículos.<br />
2.61 O motorista <strong>de</strong> um carro <strong>de</strong>seja passar um<br />
caminhão que se <strong>de</strong>sloca com velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong><br />
20.0 m/s. Inicialmente o carro também se <strong>de</strong>sloca com<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 20.0 m/s e seu pára-choque dianteiro esta<br />
a 24.0 m alias do para-choque traseiro do caminhão. Ele<br />
acelera com taxa constante <strong>de</strong> 0.60 m/s 2 , a seguir volta<br />
para a pista do caminhão quando a traseira do carro esta<br />
a 26,0 m da frente do caminhão. Ele possui<br />
comprimento <strong>de</strong> 4,5 m e o comprimento do caminhão e<br />
igual a 21.0 m.<br />
(a) Qual o tempo necessário para o carro<br />
ultrapassar o caminhão<br />
(b) Qual a distância percorrida pelo carro nesse<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo<br />
(c) Qual e a velocida<strong>de</strong> fina] do carro<br />
2.62 A velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um objelo e dada por<br />
v t<br />
On<strong>de</strong> = 4,0 m/s e = 2.0 m/s 3 .<br />
Para t = 0, o objeto está em x = 0.<br />
(a) Calcule a posição e a aceleração do objeto<br />
em função do tempo.<br />
(b) Qual a distância entre o ohjeto e a origem<br />
2.63 A aceleração <strong>de</strong> uma partícula e dada por:<br />
a t<br />
2 3<br />
t<br />
2<br />
t SI<br />
(a) Calcule a velocida<strong>de</strong> inicial <strong>de</strong> modo que a<br />
partícula tenha a mesma coor<strong>de</strong>nada x para t = 0 s.<br />
(b) Qual seria sua velocida<strong>de</strong> para t = 4.0 s<br />
2.64 Você está sobre o telhado do edifício <strong>de</strong><br />
um físico, 46 m acima do solo (Figura 11). Seu<br />
professor <strong>de</strong> física, que possui l.80 m <strong>de</strong> altura, está<br />
caminhando próximo do edifício com uma velocida<strong>de</strong><br />
constante <strong>de</strong> l.2 m/s. Se você <strong>de</strong>seja jogar um ovo na<br />
cabeça <strong>de</strong>le, em que ponto ele <strong>de</strong>ve estar quando você<br />
largar o ovo Suponha que o ovo esteja em queda livre.<br />
2.65 Um estudante <strong>de</strong> física com bastante<br />
tempo livre <strong>de</strong>ixa cair uma melancia do alto do telhado<br />
<strong>de</strong> um edifício. Ele escuta o barulho da melancia ao se<br />
espatifar 2,50 s <strong>de</strong>pois do lançamento. Qual a altura do<br />
edifício A velocida<strong>de</strong> do som no ar e igual a 340 m/s.<br />
Despreze a resistência do ar.<br />
FIGURA 11 - Problema 2.64.<br />
2.66 Estime a velocida<strong>de</strong> máxima e o módulo<br />
da aceleração <strong>de</strong> um elevador. Você precisa usar suas<br />
observações sobre o tempo que o elevador leva para ir<br />
<strong>de</strong> um andar para outro, a distância vertical aproximada<br />
<strong>de</strong> um andar para outro e a distância percorrida quando<br />
o elevador acelera ate sua velocida<strong>de</strong> máxima ou<br />
quando diminui <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> ate parar.<br />
2.67 Os visitantes <strong>de</strong> um parque <strong>de</strong> diversões<br />
observam uma mergulhadora saltar <strong>de</strong> uma plataforma<br />
situada a uma altura <strong>de</strong> 21.3 m <strong>de</strong> um pequeno lago. De<br />
acordo com o apresentador, a mergulhadora entra na<br />
água com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 25 m/s. Despreze a resistência<br />
do ar.<br />
(a) A aFirmação do anúncio está correia<br />
(b) A velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 25 m/s po<strong>de</strong>ria ser atingida<br />
caso a mergulhadora saltasse diretamcnte para cima<br />
sobre uma prancha <strong>de</strong> modo que abandonasse a prancha<br />
no momento cm que ela se abaixa Em caso afirmativo,<br />
qual <strong>de</strong>veria ser sua velocida<strong>de</strong> para cima Essa<br />
velocida<strong>de</strong> inicial seria Fisicamente atingível<br />
2.68 Um vaso <strong>de</strong> flores cai <strong>de</strong> um peitoril <strong>de</strong><br />
uma |anela e passa pela janela <strong>de</strong> baixo. Despreze a<br />
33
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
resistência do ar. Ele leva 0.420 s para passar por essa<br />
janela. cuja altura e igual a l ,90 m. Qual é a distância<br />
entre o topo <strong>de</strong>ssa janela e o peitoril <strong>de</strong> on<strong>de</strong> o vaso<br />
caiu<br />
2.69 Uma bola <strong>de</strong> futebol e chutada<br />
verticalmente <strong>de</strong> baixo para cima e um estudante que<br />
está olhando para fora <strong>de</strong> uma janela a vê subir e passar<br />
por ele com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 5.00 m/s. A janela está a uma<br />
altura <strong>de</strong> 12.0 m acima do solo. Despreze a resistência<br />
do ar.<br />
(a) Qual e a altura máxima atingida pela bola<br />
em relação ao solo<br />
(b) Qual e o tempo que a bola leva para ir do<br />
solo ate a altura máxima<br />
2.70 Um mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> foguete possui uma<br />
aceleração constante <strong>de</strong> baixo para cima igual a 40.0<br />
m/s 2 enquanto seu motor está funcionando. O foguete e<br />
lançado verticalmente e o motor funciona durante 2.50 s<br />
ale o combustível terminar. Depois que o motor pára <strong>de</strong><br />
funcionar, o foguete está em queda livre. O movimento<br />
do foguete e puramente na vertical:<br />
(a) Faça diagramas <strong>de</strong> a-t, v-t e x-t para o<br />
foguete<br />
(b) Qual a altura máxima atingida pelo<br />
foguete<br />
(c) Qual a velocida<strong>de</strong> do foguete<br />
imediatamente antes <strong>de</strong> ele se chocar com o solo<br />
(d) O tempo total <strong>de</strong> vôo e igual ao dobro do<br />
tempo que o foguete leva para atingir a altura máxima<br />
Explique.<br />
2.71 Sérgio arremessa uma eslera <strong>de</strong> chumbo<br />
<strong>de</strong> 7 kg <strong>de</strong> baixo para cima. Aplicando-lhe um impulso<br />
que a acelera a partir do repouso ale 45.0 m/s para um<br />
<strong>de</strong>slocamento vertical <strong>de</strong> 64.0 cm. Ela sai <strong>de</strong> sua mão a<br />
2.20 m acima do solo. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Qual a velocida<strong>de</strong> da esfera imediatamente<br />
apôs sair da sua mão<br />
(b) Qual a altura máxima atingida pela esfera<br />
Qual o tempo que ele dispõe para sair da vertical antes<br />
que a esfera volte até a altura da sua cabeça, situada a<br />
1.83 m acima do solo<br />
2.72 Desejando testar a lei da gravida<strong>de</strong>, um<br />
estudante doido pula <strong>de</strong> um arranha-céu com altura <strong>de</strong><br />
l80 m com um cronômetro na mão iniciando sua queda<br />
livre (com velocida<strong>de</strong> inicial nula). Cinco segundos<br />
mais tar<strong>de</strong>, o Super-Homem entra em cena e mergulha<br />
do alto do edifício para salvá-lo.<br />
(a) O Super-Homem dá um impulso com<br />
velocida<strong>de</strong> v 0 <strong>de</strong> cima para baixo com suas pernas <strong>de</strong><br />
aço. A seguir ele cai com uma aceleração igual á <strong>de</strong><br />
qualquer corpo em queda livre. Qual <strong>de</strong>ve ser o valor <strong>de</strong><br />
v 0 para que o Super-Homem possa segurar o estudante<br />
imediatamente antes <strong>de</strong> ele se chocar com o solo<br />
(b) Usando um mesmo gráfico <strong>de</strong>senhe a<br />
posição do Super-Homem e do estudante em função do<br />
tempo. Consi<strong>de</strong>re a velocida<strong>de</strong> inicial do Super-Homem<br />
calculada no item (a), (c) Quando a altura do arranhacéu<br />
for menor do que um certo limite, nem mesmo o<br />
Super-Homem seria capaz, <strong>de</strong> salvar o estudante. Qual é<br />
essa altura mínima<br />
2.73 Outro estudante doido pula da Torre CN<br />
em Toronto, que possui uma altura <strong>de</strong> 553 m. iniciando<br />
sua queda livre. Sua velocida<strong>de</strong> inicial é igual a zero.<br />
Cinco segundos mais tar<strong>de</strong>, o Homem-Foguete entra em<br />
cena e mergulha do alto do edifício para salvá-lo. O<br />
Homem-Foguete parte com velocida<strong>de</strong> v 0 <strong>de</strong> cima para<br />
baixo. A fim <strong>de</strong> suavizar a queda Final, ele segura o<br />
estudante a uma certa altura do solo e diminui a<br />
velocida<strong>de</strong> até atingir o solo com velocida<strong>de</strong> nula. A<br />
aceleração para cima necessária para isso é obtida por<br />
um dispositivo a jato transportado pelo Homem-<br />
Foguete, o qual e acionado no momento em que ele<br />
segura o estudante. Para que o percurso seja confortável<br />
para o estudante, o modulo da aceleração não <strong>de</strong>ve ser<br />
maior do que 5g.<br />
(a) Qual é a altura mínima acima do solo on<strong>de</strong><br />
o Homem-Foguete segura o estudante<br />
(b) Qual <strong>de</strong>ve ser o valor <strong>de</strong> v 0 para que o ele<br />
possa segurar o estudante na altura mínima calculada<br />
em (a)<br />
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o Homem-<br />
Foguete e para o estudante. Para cada gráfico, <strong>de</strong>senhe<br />
as curvas para o Homem-Foguete e para o estudante<br />
usando os mesmos eixos.<br />
2.74 Uma bola é lançada do solo diretamente<br />
<strong>de</strong> baixo para cima com velocida<strong>de</strong> v 0 . No mesmo<br />
instante, outra bola é largada do repouso a uma altura H<br />
diretamente acima do ponto on<strong>de</strong> a primeira bola foi<br />
lançada para cima. Despre/e a resistência do ar.<br />
(a) Calcule o instante em que as duas bolas<br />
coli<strong>de</strong>m.<br />
(b) Ache o valor <strong>de</strong> H em lermos <strong>de</strong> v 0 <strong>de</strong><br />
modo que no momento da colisão a primeira bola atinja<br />
sua altura máxima.<br />
2.75 Dois carros, A e B se <strong>de</strong>slocam ao longo<br />
<strong>de</strong> uma linha reta. A distancia <strong>de</strong> A ao ponto inicial é<br />
dada em função do tempo por:<br />
2<br />
xA<br />
t t t SI<br />
On<strong>de</strong> = 2,60 m/s e = 1,20 m/s 2 . A distância <strong>de</strong> B<br />
ao ponto inicial é dada em funçáo do tempo por:<br />
2 3<br />
xB<br />
t t t SI<br />
on<strong>de</strong> =2.80 m/s 2 e = 0.20 m/s 3 .<br />
34
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(a) Qual carro está na frente logo que eles<br />
saem do ponto inicial<br />
(b) Em que instante(s) os carros estão no<br />
mesmo ponto<br />
(c) Em que inslante(s) a distância entre os<br />
carros A e B não aumenta nem diminui<br />
(d) Em que instante(s) os carros A e B possuem<br />
a mesma aceleração<br />
2.76 A queda da maça <strong>de</strong> uma macieira po<strong>de</strong><br />
ser consi<strong>de</strong>rada uma queda livre. A maçã está<br />
inicialmente a uma altura H acima do topo <strong>de</strong> um<br />
gramado espesso, o qual e constituído por camadas <strong>de</strong><br />
grama <strong>de</strong> espessura h. Quando a maçã penetra na<br />
grama, ela diminui sua velocida<strong>de</strong> com uma taxa<br />
constante e atinge o solo com velocida<strong>de</strong> igual a zero.<br />
(a) Ache a velocida<strong>de</strong> da maça imediatamente<br />
antes <strong>de</strong> ela penetrar na grama,<br />
(b) Ache a aceleração da maçã enquanto ela<br />
penetra na grama,<br />
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o<br />
movimento da maçã.<br />
‣ PROBLEMAS DESAFIADORES<br />
2.77 Uma estudante está se <strong>de</strong>slocando com sua<br />
velocida<strong>de</strong> máxima <strong>de</strong> 5,0 m/s para pegar um ônibus<br />
parado. Quando a estudante está a uma distancia <strong>de</strong><br />
40,0 m do ônihus, ele começa ase mover com<br />
aceleração constante igual a 0.170 m/s .<br />
(a) Durante quanto tempo e qual é a distância<br />
percorrida para que a estudante alcance o ônibus<br />
(b) Quando a estudante alcança o ônihus, qual é<br />
a velocida<strong>de</strong> do ônibus<br />
(c) Faça um gráfico <strong>de</strong> x-t para a estudante e<br />
para o ônibus. Consi<strong>de</strong>re v = 0 como a posição inicial<br />
da estudante.<br />
(d) As equações usadas para calcular o tempo<br />
na parte (a) possuem uma segunda solução que<br />
correspon<strong>de</strong> a um tempo posterior para o qual a<br />
estudante e o ônibus estão na mesma posição caso<br />
continuassem com seus movimentos especificados.<br />
Explique o significado <strong>de</strong>sta segunda solução. Qual a<br />
velocida<strong>de</strong> do ônihus neste ponto<br />
(e) Caso sua velocida<strong>de</strong> máxima fosse igual a<br />
3.5 m/s ela po<strong>de</strong>ria alcançar o ônihus<br />
(f) Qual seria sua velocida<strong>de</strong> inicial para que<br />
ela pu<strong>de</strong>sse alcançar o ônibus Neste caso, quanto<br />
tempo e qual seria a distância percorrida para que a<br />
estudante pu<strong>de</strong>sse alcançar o ônihus<br />
2.78 Estando inicialmente agachado, um atleta<br />
dá um salto vertical para atingir a altura máxima<br />
possível. Qs melhores atletas permanecem cerca <strong>de</strong> 1,0<br />
s no ar (o "tempo <strong>de</strong> suspensão"no ar). Consi<strong>de</strong>re o<br />
atleta como uma partícula e <strong>de</strong>nomine <strong>de</strong> y M , sua altura<br />
máxima acima do solo. Despreze a resistência do ar.<br />
Para explicar por que ele parece estar suspenso no ar.<br />
calcule a razão entre o tempo que ele leva para atingir a<br />
altura y M /2 e o tempo que ele leva para atingir a altura<br />
y M .<br />
2.79 Uma bola é atirada <strong>de</strong> baixo para cima do<br />
canto superior do telhado <strong>de</strong> um edifício. Uma segunda<br />
bola é largada do mesmo ponto 1.00 s mais tar<strong>de</strong>.<br />
Despre/e a resistência do ar.<br />
(a) Sabendo que a altura do edifício e igual a<br />
20.0 m, qual <strong>de</strong>ve ser a velocida<strong>de</strong> inicial da primeira<br />
bola para que ambas atinjam o solo no mesmo instante<br />
Em um mesmo grálico, <strong>de</strong>senhe a posição <strong>de</strong> cada bola<br />
em função do tempo medido a partir do lançamento da<br />
primeira bola. Consi<strong>de</strong>re a mesma situação, mas agora<br />
suponha que seja conhecida a velocida<strong>de</strong> inicial v 0 da<br />
primeira bola e que a altura h do edifício seja uma<br />
incógnita.<br />
(b) Qual <strong>de</strong>ve ser a altura do edifício para que<br />
ambas atinjam o solo no mesmo instante para os<br />
seguintes valores <strong>de</strong> v 0 ,:(i) 6,0 m/s; (ii) 9.5 m/s<br />
(c) Quando v 0 for superior a um certo valor<br />
máximo v M não existirá nenhum valor <strong>de</strong> h que<br />
satisfaça a condição <strong>de</strong> as bolas atingirem o solo no<br />
mesmo instante. O valor v M , possui uma interpretação<br />
física simples. Qual é ela<br />
(d) Quando v 0 for inferior a um certo valor<br />
mínimo v M não existirá nenhum valor <strong>de</strong> h que<br />
satisfaça a condição <strong>de</strong> as bolas atingirem o solo no<br />
mesmo instante. O valor v min também possui uma<br />
interpretação ftísica simples. Qual é ela<br />
2.80 Um excursionista atento vê uma pedra<br />
cair do alto <strong>de</strong> um morro vizinho e nota que ela leva<br />
l,30 s para cair a última terça parte da sua trajetória até<br />
o solo. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Qual ê a altura do morro em metros<br />
(b) Se na parle (a) você obtiver duas soluções<br />
<strong>de</strong> uma equação do segundo grau e usar apenas uma na<br />
resposta, o que representará a outra solução<br />
35
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
‣ QUESTÕES PARA DISCUSSÃO<br />
03.1 Um pêndulo simples (um corpo oscilando<br />
na extremida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um fio <strong>de</strong>screve um arco <strong>de</strong> círculo<br />
em cada oscilação. Qual é adireção e o sentido da<br />
aceleração nas extremida<strong>de</strong>s da oscilação E no ponto<br />
médio Explique como você obteve cada resposta.<br />
03.2 Refazer a Figura 3.9a supondo a<br />
antiparalelo v . A partícula se move em linha reta O<br />
que ocorre com a velocida<strong>de</strong> escalar<br />
03.3 Desprezando a resistência do ar, um projétil<br />
se move em uma trajetória parabólica. Existe algum<br />
ponto em que a é paralelo a v E perpendicular a v <br />
Explique.<br />
03.4 Quando um rifle é disparado para um alvo<br />
distante a direção do cano não coinci<strong>de</strong> com a do alvo.<br />
Por que não coinci<strong>de</strong> O ângulo da correção <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da<br />
distância ao alvo<br />
03.5 No mesmo instante em que a bala sai<br />
horizontalmente do cano <strong>de</strong> uma arma, você larga um<br />
corpo da mesma altura do cano. Desprezando a<br />
resistência do ar. qual dos dois chegará primeiro ao<br />
solo Explique.<br />
03.6 Um pacote é largado <strong>de</strong> um avião que voa<br />
em uma mesma altitu<strong>de</strong> com velocida<strong>de</strong> constante.<br />
Desprezando a resistência do ar, qual seria a trajelória<br />
do pacote observada pelo piloto E a trajetória<br />
observada por uma pessoa no solo<br />
03.7 Desenhe os seis gráficos para os<br />
componentes x e y da posição, da velocida<strong>de</strong> e da<br />
aceleração em função do tempo para movimento <strong>de</strong> um<br />
projêtil com x 0 = y 0 = 0 e 0 < 0 < 90 0 .<br />
03.8 Supondo y 0 = 0 e 0 negativo, y nunca<br />
po<strong>de</strong> ser positivo para um projétil. Contudo, a expressão<br />
<strong>de</strong> h encontrada no Exemplo 3.9 parece que fornece<br />
uma altura máxima positiva para 0,negativo. Explique<br />
essa aparente contradição.<br />
03.9 Supondo que uma rã possa pular sempre<br />
com a mesma velocida<strong>de</strong> inicial em qualquer direçâo<br />
que ela pule (para a frente ou diretamente <strong>de</strong> baixo para<br />
cima), como a altura máxima que ela po<strong>de</strong> atingir se<br />
relaciona com o alcance horizontal máximo<br />
2<br />
v0<br />
Rmax<br />
g<br />
03.10 Suponha que o dardo tranquilizante da<br />
Figura 3.21 seja atirado com uma velocida<strong>de</strong> v 0<br />
relativamente pequena, <strong>de</strong> modo que o dardo já tenha<br />
ultrapassado a altura máxima <strong>de</strong> sua trajetória e esteja<br />
<strong>de</strong>scendo quando ele atinge o macaco (que ainda<br />
está no ar quando isso ocorre). No instante em que o<br />
dardo estava na altura máxima, a altura do macaco em<br />
relação ao solo era a mesma, maior ou menor do que<br />
essa altura máxima Explique sua resposta com um<br />
diagrama.<br />
Q3.11 Em um movimento circular uniforme,<br />
qual é a velocida<strong>de</strong> média e a aceleração média para<br />
uma revolução Explique.<br />
Q3.12 Em um movimento circular uniforme,<br />
como varia a aceleração quando a velocida<strong>de</strong> cresce <strong>de</strong><br />
um fator igual a 3 Quando o raio <strong>de</strong>cresce <strong>de</strong> um fator<br />
igual a 2<br />
Q3.13 Em um movimento circular uniforme, a<br />
aceleração é perpendicular à velocida<strong>de</strong> em cada<br />
instante, embora ambas mu<strong>de</strong>m <strong>de</strong> direção<br />
continuamente. O movimento circular uniforme é o<br />
único movimento que goza <strong>de</strong>ssa proprieda<strong>de</strong> ou existe<br />
algum outro<br />
Q3.14 As gotas da chuva vistas através do<br />
vidro lateral <strong>de</strong> um carro em movimento caem em uma<br />
direçâo diagonal. Por quê A explicação é a mesma ou<br />
diferente para a diagonal vista através do pára-brisa<br />
Q3.15 No caso <strong>de</strong> uma chuva forte, o que<br />
<strong>de</strong>termina a melhor posição do guarda-chuva<br />
Q3.16 Você se encontra na margem oeste <strong>de</strong><br />
um rio cujas águas se escoam do sul para o norte com<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 1,2 m/s. Sua velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> natação em<br />
relação à água é igual a 1,5 m/s e o no possui 60 m <strong>de</strong><br />
36
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
largura. Qual é a trajetória em relação ao solo para você<br />
atravessar o rio no menor intervalo <strong>de</strong> tempo possível<br />
Explique seu raciocínio.<br />
‣ EXERCÍCIOS<br />
‣ SEÇÃO 3.2<br />
‣ VETOR POSIÇÃO<br />
‣ VETOR VELOCIDADE<br />
37<br />
3.1 Um esquilo possui coor<strong>de</strong>nadas x e y (l. l m e<br />
3.4 m) para t 1 = 0 e coor<strong>de</strong>nadas (5.3 m e -0,5 m) para t 2<br />
= 3.0 s. Para esse intervalo <strong>de</strong> tempo, calcule<br />
(a) os componentes da velocida<strong>de</strong> média;<br />
(b) o módulo c direçâo da velocida<strong>de</strong> média.<br />
3.2 Um rinoceronte está na origem do sistema <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas para t 1 = 0. Para o intervalo <strong>de</strong> tempo<br />
entre t 1 = 0 e t 2 = 12.0 s, sua velocida<strong>de</strong> média possui<br />
componente v x = -3.8 m/s e componente v y = 4.9 m/s.<br />
Para t 2 = 12,0 s:<br />
(a) quais são as coor<strong>de</strong>nadas x e y do<br />
rinoceronte<br />
(b) qual é a distância entre a origem e o<br />
rinoceronte<br />
3.3 Um projelista <strong>de</strong> páginas da Internet cria uma<br />
animação naqual um ponto da tela do computador<br />
2<br />
possui posição r 4 2.5 t iˆ 5 t ˆj (SI).<br />
(a) Ache o módulo, a direção e o sentido da<br />
velocida<strong>de</strong> média do ponto para o intervalo entre t 0 = 0<br />
e t = 2,0 s.<br />
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da<br />
velocida<strong>de</strong> instantânea para t 0 = 0 e t 1 = 2,0 s.<br />
(c) Faça um <strong>de</strong>senho da trajetória do ponto no<br />
intervalo t 0 = 0 e t 1 = 2,0 s e mostre as velocida<strong>de</strong>s<br />
calculadas em (c).<br />
2 3<br />
3.4 Se r b t iˆ<br />
c t ˆj on<strong>de</strong> b e c são<br />
constantes positivas, quando o vetor velocida<strong>de</strong> faz um<br />
ângulo <strong>de</strong> 45.0 0 com o eixo Ox ou com o eixo Oy
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
‣ SEÇÃO 3.3<br />
‣ VETOR ACELERAÇÃO<br />
3.6 A velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um cachorro correndo em<br />
um campo aberto possui componentes v x = 2,6 m/s e v y<br />
= -1.8 m/s para t = 10.0 s. Para o um intervalo <strong>de</strong> tempo<br />
entre t 1 = 10.0 s e t 2 = 20.0 s, a aceleração média do<br />
cachorro possui módulo igual a 0.45 m/s 2 , formando um<br />
ângulo <strong>de</strong> 31,0 0 medido consi<strong>de</strong>rando uma rotação do<br />
eixo +0x para o eixo +0y. Para t = 20,0 s,<br />
(a) quais são os componentes v x e v y da<br />
velocida<strong>de</strong> do cachorro<br />
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da<br />
velocida<strong>de</strong> do cachorro,<br />
(c) Faça um <strong>de</strong>senho mostrando o vetor<br />
velocida<strong>de</strong> para t 1 e para t 2 . Qual é a diferença entre<br />
estes velores'<br />
3.7 Um pássaro voando em um plano xy possui<br />
2<br />
coor<strong>de</strong>nadas x t e y 3 t , com = 2,4<br />
m/s e = 1.2 m/s 2 ,<br />
(a) Faça um esboço da trajetória do pássaro<br />
entre t 0 = 0 e t 1 = 2.0 s.<br />
(b) Ache o velor velocida<strong>de</strong> e o vetor<br />
aceleração do pássaro em função do tempo,<br />
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do<br />
vetor velocida<strong>de</strong> e do vetor aceleração do pássaro para t<br />
= 2,0 s.<br />
(d) Faça um esboço do vetor velocida<strong>de</strong> e do<br />
vetor aceleração do pássaro para t = 2.0 s. Nesse<br />
instante, a velocida<strong>de</strong> escalar do pássaro está<br />
aumentando, diminuindo ou é constante O pássaro<br />
está fazendo uma volta Em caso positivo, em que<br />
sentido<br />
3.8 Uma partícula segue uma trajelória<br />
indicada na Figura 3.31. Entre os pontos B c D. a<br />
trajetória é uma linha reta. Desenhe o vetor aceleração<br />
em A, C e E para os casos em que<br />
(a) a partícula se move com velocida<strong>de</strong> escalar<br />
constante;<br />
(b) a partícula se move com velocida<strong>de</strong> escalar<br />
que cresce uniformemente;<br />
(c) a partícula se move com velocida<strong>de</strong> escalar<br />
que <strong>de</strong>cresce uniformemente.<br />
38<br />
3.5 Um avião a jato está voando a uma altura<br />
constante. No instante t = 0. os componentes da<br />
velocida<strong>de</strong> são v x = 90 m/s, v y = 110 m/s. No instante t 2<br />
= 30,0 s, os componentes são v x = -170 m/s, v y = 40<br />
m/s.<br />
(a) Faça um esboço do vetor velocida<strong>de</strong> para t 1<br />
e para t 2 Qual a diferença entre estes vetores Para esse<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo, calcule<br />
(b) os componentes da aceleração média,<br />
(c) o módulo, a direção e o sentido da<br />
aceleração média.
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
‣ SEÇÃO 3.4<br />
‣ MOVIMENTO DE UM<br />
PROJET1L<br />
3.9 Um livro <strong>de</strong> física escorrega<br />
horizonlalmente para fora do topo <strong>de</strong> uma mesa com<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 1,10 m/s e coli<strong>de</strong> com o solo em 0.350 s.<br />
Desprezando a resistência do ar, ache<br />
(a) a altura do topo da mesa até o solo;<br />
(b) a distância horizonlal entre a extremida<strong>de</strong><br />
da mesa e o ponto on<strong>de</strong> ele colidiu com o solo;<br />
(c) os componentes da velocida<strong>de</strong> do livro e o<br />
módulo, a direção e o sentido da velocida<strong>de</strong><br />
imediatamente antes <strong>de</strong> o livro atingir o solo;<br />
(d) faça diagramas x-t, y-t, v x -t, v y -t para o<br />
movimento.<br />
3.10 Um helicóptero militar em missão <strong>de</strong><br />
treinamento voa horizontalmente com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
60,0 m/s e aci<strong>de</strong>ntalmente <strong>de</strong>ixa cair uma bomba<br />
(felizmente não ativa) a uma altura <strong>de</strong> 300 m. Despreze<br />
a resistência do ar.<br />
(a) Quanto tempo a bomba leva para atingir o<br />
solo<br />
(b) Qual a distância horizontal percorrida pela<br />
bomba durante a queda<br />
(c) Ache os componentes da velocida<strong>de</strong> na<br />
direção horizontal e na vertical imediatamente antes <strong>de</strong><br />
a bomba atingir o solo.<br />
(d) Faça diagramas x-t, y-t, v x -t, v y -t para o<br />
movimento da bomba,<br />
(e) Mantida constante a velocida<strong>de</strong> do<br />
helicóptero, on<strong>de</strong> estaria ele no momento em que a<br />
bomba atingisse o solo<br />
3.11 Uma bola <strong>de</strong> futebol é chutada com<br />
velocida<strong>de</strong> inicial v 0 = 15.0 m/s. formando um ângulo<br />
inicial 0 = 45,0 0 .<br />
(a) Ache o tempo t quando a bola atinge a<br />
altura máxima,<br />
(b) Nos três instantes t 1 = T - 0,50 s, t 2 = T s e<br />
t 3 = T + 0,50 s, ache os componentes v x e v y do vetor<br />
posição,<br />
(c) Para os instantes t 1 , t 2 e t 3 <strong>de</strong>termine o<br />
módulo, a direção e o sentido do velor velocida<strong>de</strong>,<br />
(d) Para os instantes t 1 , t 2 e t 3 , <strong>de</strong>termine os<br />
componentes do vetor aceleração que sejam paralelos<br />
(ou antiparalelos) ao vetor velocida<strong>de</strong> e ache os<br />
componentes do vetor aceleração que sejam<br />
perpendiculares ao vetor velocida<strong>de</strong>.<br />
(e) Faça um esboço da trajetória da bola. Nesse<br />
esboço, i<strong>de</strong>ntifique a posição da bola nos instantes t 1 , t 2<br />
e t 3 . Em cada um <strong>de</strong>sses pontos, <strong>de</strong>senhe o velor<br />
velocida<strong>de</strong> e os componentes paralelos e<br />
perpendiculares do vetor aceleração,<br />
(f) Discuta como a velocida<strong>de</strong> escalar e a<br />
direção do movimento da bola variam com o tempo nos<br />
instantes t 1 , t 2 e t 3 , e explique como os vetores do seu<br />
<strong>de</strong>senho <strong>de</strong>screvem essas variações.<br />
3.12 Uma bola <strong>de</strong> tênis rola para fora da<br />
extremida<strong>de</strong> <strong>de</strong> uma mesa situada a uma altura igual a<br />
0.750 m acima do solo e atinge o solo em um ponto<br />
situado a 1,40 m da extremida<strong>de</strong> da mesa.<br />
Despreze a resistência do ar. Ache o tempo <strong>de</strong><br />
percurso.<br />
(a) Ache o módulo da velocida<strong>de</strong> inicial,<br />
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da<br />
velocida<strong>de</strong> da bola imediatamente antes <strong>de</strong> a bola<br />
atingir o solo.<br />
(c) Faça diagramas x-t, y-t, v x -t, v y -t para o<br />
movimento.<br />
3.13 Uma pistola <strong>de</strong> sinalização atira uma bala<br />
luminosa com velocida<strong>de</strong> inicial (velocida<strong>de</strong> na saída<br />
do cano) igual a 120 m/s.<br />
(a) Se a bala é atirada a 55 0 acima da<br />
horizontal em uma região plana <strong>de</strong> Brasília, qual é seu<br />
alcance horizonlal Despreze a resistência do ar.<br />
(b) Se a bala fosse atirada nas mesmas<br />
condições em uma região plana da Lua, on<strong>de</strong> g = l .6<br />
m/s 2 , qual seria seu alcance horizontal<br />
3.14 Pelé chuta uma bola <strong>de</strong> futebol com<br />
velocida<strong>de</strong> inicial tal que o componente vertical é igual<br />
a 16,0 m/s e o componente horizontal é igual a 20.0<br />
m/s. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Que tempo a bola leva para atingir a altura<br />
máxima <strong>de</strong> sua trajetória<br />
(b) Qual a altura <strong>de</strong>sse ponto<br />
(c) Quanto tempo a bola leva (<strong>de</strong>s<strong>de</strong> o<br />
momento do chute inicial) até o instante cm que ela<br />
retorna ao mesmo nível inicial Qual é a relação entre<br />
esse tempo e o calculado no item (a)<br />
39
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(d) Que distância hori/ontal ela percorreu<br />
durante esse tempo<br />
(e) Faça diagramas x-t, y-t, v x -t e v y -t para o<br />
movimento.<br />
3.15 Mark McGwire bate uma bola <strong>de</strong> beisebol<br />
<strong>de</strong> forma que ela abandona o bastão com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
30,0 m/s formando um ângulo <strong>de</strong> 36.9° acima da<br />
hori/.ontal. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Ache os dois instantes para os quais a<br />
altura da bola esta a 10,0 m acima do nível inicial,<br />
(b) Calcule o componente vertical e o<br />
componente horizontal da velocida<strong>de</strong> da bola em cada<br />
um dos dois tempos calculados no item (a).<br />
(c) Determine o módulo, a direção e o sentido<br />
da velocida<strong>de</strong> da bola quando ela retorna ao nível<br />
inicial.<br />
3.16 Um taco golpeia uma bola <strong>de</strong> golfe em<br />
uma pequena elevação acima do solo com uma<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 12,0 m/s e um ângulo inicial <strong>de</strong> 51.0 0<br />
acima da horizontal. A bola atinge o campo 2,08 s após<br />
a tacada. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Quais são os componentes da aceleração da<br />
bola durante o vôo<br />
(b) Quais são os componentes da velocida<strong>de</strong> da<br />
bola no início e no final <strong>de</strong> sua trajetória<br />
(c) Qual é a distancia horizontal percorrida<br />
pela bola<br />
(d) Por que a expressão <strong>de</strong> K obtida no<br />
exemplo 3.9 não po<strong>de</strong> ser usada para dar a resposta<br />
correia do item (c)<br />
(e) Qual era a altura da bola no momento cm<br />
que ela saiu do taco<br />
(f') Faça diagramas x-t, y-t, v x -t e v y -t para o<br />
movimento.<br />
3.17 Em um parque <strong>de</strong> diversões você po<strong>de</strong><br />
ganhar uma girafa inflável se conseguir encaixar uma<br />
moeda <strong>de</strong> 25 centavos em um prato pequeno. O prato<br />
está sobre uma prateleira acima do ponto em que a<br />
moeda <strong>de</strong>ixa sua mão, a uma distância horizontal <strong>de</strong> 2,1<br />
m <strong>de</strong>ste ponto. Se você lança a moeda com velocida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> 6,4 m/s formando um angulo <strong>de</strong> 60 0 acima da<br />
horizontal, a moeda se encaixa no prato. Despreze a<br />
resistência do ar.<br />
(a) Qual a altura da prateleira em relação ao<br />
nível da sua mão<br />
(b) Qual ê o componente vertical da velocida<strong>de</strong><br />
da moeda imediatamente antes <strong>de</strong> a moeda pousar no<br />
prato<br />
FIGURA 3.32 Exercício 3.17.<br />
3.18 Suponha que o ângulo inicial da figura<br />
3.21 seja 42 0 e que d seja igual a a 3.0 m. On<strong>de</strong> o dardo<br />
e o macaco se encontrarão se a velocida<strong>de</strong> inicial do<br />
dardo for:<br />
(a) 12.0 m/s<br />
(b) 8,0 m/s<br />
(c) O que ocorreria se a velocida<strong>de</strong> inicial do<br />
dardo fosse 4,0 m/s Faça um esboço da trajetória em<br />
cada caso.<br />
3.19 Um homem está parado no alto <strong>de</strong> um<br />
edifício <strong>de</strong> 15.0 m <strong>de</strong> altura e atira uma pedra com<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> módulo <strong>de</strong> 30,0 m/s formando um ângulo<br />
inicial <strong>de</strong> 33,0 0 acima da horizontal. Dcspreze a<br />
resistência do ar. Calcule:<br />
(a) a altura máxima acima do telhado atingida<br />
pela pedra.<br />
(b) o módulo da velocida<strong>de</strong> da pedra<br />
imediatamente antes <strong>de</strong> ela atingir o solo.<br />
c) a distância horizontal entre a base do<br />
edifício e o ponto on<strong>de</strong> ela atinge o solo.<br />
(d) Faça diagramas x-t, y-t, v x -t e v y -t para o<br />
movimento.<br />
‣ SEÇÃO 3.5<br />
‣ MOVIMENTO CIRCULAR<br />
3.20 Em seu primeiro dia <strong>de</strong> trabalho em uma<br />
fábrica <strong>de</strong> eletrodomésticos. você é solicitado a<br />
informar o que é necessário para que a centrifugadora<br />
<strong>de</strong> uma máquina <strong>de</strong> lavar triplique sua aceleração<br />
centrípeta. Você impressiona a sua chefe respon<strong>de</strong>ndo<br />
imediatamente. O que você diz a ela<br />
3.21 A Terra possui um raio igual a 6380 km e faz<br />
um giro completo em 24 horas,<br />
(a) Qual é a aceleração radial <strong>de</strong> um objeto no<br />
equador da Terra Dê sua resposta em m/s 2 e como uma<br />
fração <strong>de</strong> g.<br />
(b) Se a rad no equador fosse maior do que g os<br />
objetos seriam ejetados da Terra e voariam para o<br />
40
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
espaço. (Veremos a razão disso no Capítulo 5.) Qual<br />
<strong>de</strong>veria ser o período mínimo <strong>de</strong> rotação da Terra para<br />
que isso ocorresse<br />
3.22 Um mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> rotor <strong>de</strong> helicóptero possui<br />
quatro lâminas, cada qual com 3.40 m <strong>de</strong> comprimento<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> o eixo central até sua extremida<strong>de</strong>. O mo<strong>de</strong>lo gira<br />
em um túnel <strong>de</strong> vento com 550 rev/min.<br />
(a) Qual é a velocida<strong>de</strong> linear da extremida<strong>de</strong> da<br />
lâmina em m/s<br />
(b) Qual é a aceleração radial da extremida<strong>de</strong> da<br />
lâmina expressa como múltiplo da aceleração da<br />
gravida<strong>de</strong>, g <br />
3.23 Em um teste <strong>de</strong> um "aparelho para g" um<br />
voluntário gira em um círculo horizontal <strong>de</strong> raio igual a<br />
7.0 m. Qual é o período da rotação para que a<br />
aceleração centrípeta possua módulo <strong>de</strong><br />
(a) 3.0g (b) 10g<br />
3.24 O raio da órbita da Terra em torno do Sol<br />
(suposta circular) é igual a l.50.10 8 km e a Terra<br />
percorre esta órbita em 365 dias.<br />
(a) Qual é o módulo da velocida<strong>de</strong> orbital da Terra<br />
em m/s<br />
(b) Qual é a aceleração radial da Terra no sentido<br />
do Sol em m/s 2 <br />
(c) Repita os cálculos <strong>de</strong> (a) e <strong>de</strong> (b) para o planeta<br />
Mercúrio (raio da órbita = 5,79.10 7 km, período da<br />
órbita = 88.0 dias).<br />
3.25 Uma roda-gigantc com raio igual a 14.0 m<br />
está girando em torno <strong>de</strong> um eixo horizontal passando<br />
pelo seu centro (Figura 3.33). A velocida<strong>de</strong> linear <strong>de</strong><br />
uma passageira em sua periferia é igual a 7.00 m/s.<br />
Determine o módulo, a direção e o sentido da<br />
aceleração da passageira a) no ponto mais baixo do<br />
movimento circular,<br />
(a) no ponto mais alto do movimento circular,<br />
(b) Quanto tempo leva a roda-gigante para<br />
completar uma revolução<br />
FIGURA 3.33 Exercícios 3.25 c 3.26.<br />
3.26 A roda-gigante da Figura 3.3.3. que gira o<br />
sentido contrário ao dos ponteiros <strong>de</strong> um relógio,<br />
começa a se mover. Em dado instante, um passageiro na<br />
periferia da roda e passando no ponto mais baixo do<br />
movimento circular se move a 3,00 m/s e está ganhando<br />
velocida<strong>de</strong> com uma taxa <strong>de</strong> 0,500 m/s 2 ,<br />
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido<br />
da aceleração do passageiro nesse instante,<br />
(b) Faça um <strong>de</strong>senho do passageiro e da rodagigante<br />
mostrando o vetor velocida<strong>de</strong> e o vetor<br />
aceleração.<br />
3.27 Uma pista <strong>de</strong> corrida plana possui forma<br />
elíptica. (Consulte um manual <strong>de</strong> matemática ou uma<br />
enciclopédia para caracterizar uma elipse.) Um carro<br />
viaja ao longo <strong>de</strong>ssa pista com velocida<strong>de</strong> escalar<br />
constante,<br />
(a) Faça um <strong>de</strong>senho mostrando o velor<br />
velocida<strong>de</strong> e o vetor aceleração do carro em cinco<br />
pontos dilerentes <strong>de</strong>ssa trajelória.<br />
(b) O vetor aceleração do carro sempre aponta<br />
para o centro geométrico da elipse Explique.<br />
(c) Para qual(isl ponto(s) da elipse a aceleração<br />
do carro possui maior módulo Explique.<br />
‣ SEÇÃO 3.6<br />
‣ VELOCIDADE RELATIVA<br />
3.28 Um vagão plano aberto <strong>de</strong> um trem se<br />
<strong>de</strong>sloca para a direita com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 13,0 m/s<br />
relativa a um observador lixo no solo. Uma motoneta<br />
está se <strong>de</strong>slocando sobre o vagão Qual é a velocida<strong>de</strong><br />
(módulo e sentido) da motoneta em relação ao vagão se<br />
a sua velocida<strong>de</strong> em relação a um observador fixo no<br />
solo e<br />
(a) 18 m/s para a direita<br />
(b) 3,0 m/s para a esquerda<br />
(c) 0<br />
3.29 A "esteira rolante horizontal" do terminal<br />
<strong>de</strong> um aeroporto possui comprimento igual a 35,0 m e<br />
se <strong>de</strong>sloca a l ,0 m/s. Suponha uma mulher se<br />
<strong>de</strong>slocando a l ,5 m/s em relação à esteira e partindo da<br />
extremida<strong>de</strong> da esteira. Quanto tempo leva para atingir<br />
a outra extremida<strong>de</strong> da esteira se ela se move:<br />
(a) no mesmo sentido da esteira<br />
(b) em sentido contrário ao da esteira<br />
3.30 Dois píeres estão localizados em um rio: o<br />
píer K está situado a 1500 m <strong>de</strong> A corrente abaixo. Dois<br />
amigos <strong>de</strong>vem fazer um percurso do píer A ao píer B e<br />
<strong>de</strong>pois voltar. Um <strong>de</strong>les vai <strong>de</strong> barco com velocida<strong>de</strong><br />
constante <strong>de</strong> 4 km/h em relação à água. O outro<br />
caminha pela margem do rio com velocida<strong>de</strong> constante<br />
<strong>de</strong> 4,00 km/h. A velocida<strong>de</strong> do rio é 2,80 km/h no<br />
41
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
sentido <strong>de</strong> A para B. Calcule o tempo <strong>de</strong> cada um para<br />
fazer o percurso <strong>de</strong> ida e <strong>de</strong> volta.<br />
3.31 Uma canoa possui velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 0,40 m/s<br />
do sul para leste em relação à Terra. A canoa se <strong>de</strong>sloca<br />
em um rio que escoa a 0.50 m/s do oeste para leste em<br />
relação à Terra. Determine o módulo, a direção e o<br />
sentido da velocida<strong>de</strong> da canoa em relação ao rio.<br />
3.32 O piloto <strong>de</strong> um avião <strong>de</strong>seja voar <strong>de</strong> leste<br />
para oeste. Um vento <strong>de</strong> 80 km/h sopra do norte para o<br />
sul.<br />
(a) Se a velocida<strong>de</strong> do avião em relação ao ar<br />
(sua velocida<strong>de</strong> se o ar estivesse em repouso) é igual a<br />
320.0 km/h, qual <strong>de</strong>ve ser a direção que o piloto<strong>de</strong>ve<br />
escolher<br />
(b) Qual é a velocida<strong>de</strong> do avião em relação ao<br />
Solo Ilustre sua solução com um diagrama vetorial.<br />
3.33 A água <strong>de</strong> um rio se escoa com<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 2,0 m/s do norte para o sul. Um homem<br />
dirige um barco com motor através do rio; sua<br />
velocida<strong>de</strong> em relação à água é igual a 4.2 m/s <strong>de</strong> oeste<br />
para leste. A largura do rio é igual a 800 m.<br />
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido<br />
da sua velocida<strong>de</strong> em relação à Terra,<br />
(b) Quanto tempo e necessário para atravessar<br />
o rio<br />
(c) A que distância ao sul do ponto inicial ele<br />
atingirá a margem oposta<br />
3.34 (a) Em que direção o barco do Exercício<br />
3.33 <strong>de</strong>veria se <strong>de</strong>slocar para atingir a margem oposta<br />
diretamente a leste do ponto inicial<br />
(Sua velocida<strong>de</strong> em relação à água permanece<br />
igual a 4.2 m/s.) (b) Qual a velocida<strong>de</strong> do barco em<br />
relação à Terra (c) Quanto tempo é necessário para<br />
atravessar o rio<br />
3.35 Um avião ultraleve aponta <strong>de</strong> norte para<br />
sul, e seu indicador <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> em relação ao ar<br />
mostra 35 m/s. O avião está submetido a um vento <strong>de</strong><br />
10 m/s que sopra na direção sudoeste em relação à<br />
Terra,<br />
(a) Faça um diagrama vetorial mostrando a<br />
relação entre os vetores dados e<br />
v<br />
PE<br />
(a velocida<strong>de</strong> do<br />
avião em relação à Terra),<br />
(b) Usando a coor<strong>de</strong>nada X para o leste e a<br />
coor<strong>de</strong>nada y para o norte, <strong>de</strong>termine os componentes<br />
v .<br />
<strong>de</strong><br />
PE<br />
<strong>de</strong> v .<br />
PE<br />
(c) Determine o módulo, a direção e o sentido<br />
‣ PROBLEMAS<br />
3.36 Um mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> foguete se move no plano<br />
xy (o sentido positivo do eixo vertical 0y é <strong>de</strong> baixo<br />
para cima). A aceleração do foguete possui os<br />
componentes<br />
2<br />
ax<br />
t t<br />
y<br />
a t t on<strong>de</strong><br />
= 2,50 m/s 4 , = 9,00 m/s 2 e = l,40 m/s 3 .<br />
Para t = 0, o foguete está na origem e possui velocida<strong>de</strong><br />
v v iˆ<br />
v ˆj sendo v 0x = 1,00 m/s e v 0y = 7,00<br />
0 0x<br />
0y<br />
m/s.<br />
(a) Determine o vetor velocida<strong>de</strong> e o vetor<br />
posição em função do tempo,<br />
(b) Qual a altura máxima atingida pelo<br />
foguete<br />
(c) Faça um <strong>de</strong>senho da trajetória do foguete,<br />
(d) Qual o <strong>de</strong>slocamento horizontal do foguete<br />
quando ele retorna para o ponto y = 0<br />
3.37 Um estudante se move em um plano xy<br />
num quarto escuro tentando localizar uma nota <strong>de</strong> R$<br />
50. As coor<strong>de</strong>nadas do estudante em função do tempo<br />
2<br />
são x t t e y t 15 t on<strong>de</strong><br />
= l .20 m/s e = 0,500 m/s 2 . Embora o estudante não<br />
saiba, a nota <strong>de</strong> R$ 50 se encontra na origem,<br />
(a) Em que instantes a velocida<strong>de</strong> do estudante<br />
é perpendicular à sua aceleração<br />
(b) Em quais instantes a velocida<strong>de</strong> do<br />
estudante não varia instantaneamente<br />
(c) Em quais instantes a velocida<strong>de</strong> do<br />
estudante é perpendicular ao seu vetor posição On<strong>de</strong> se<br />
encontrão estudante nesses instantes<br />
(d) Qual é a distancia mínima entre a nota <strong>de</strong><br />
R$ 50 e o estudante Em que instante essa distância<br />
mínima é atingida<br />
(e) Faça um <strong>de</strong>senho da trajetória do infeliz<br />
estudante.<br />
3.38 Um pássaro voa em um plano xy com um<br />
vetor velocida<strong>de</strong> dado por:<br />
2 ˆ ˆ<br />
v t i t j<br />
sendo = 2.4 m/s e = l .6 m/s e = 4,0 m/s 2 .<br />
Em t = 0 o pássaro está na origem. O sentido positivo<br />
do eixo vertical Oy e <strong>de</strong> baixo para cima.<br />
(a) Determine o vetor posição e o vetor<br />
aceleração do pássaro em função do tempo.<br />
(b) Qual é a altura do pássaro (coor<strong>de</strong>nada y)<br />
quando ele voa sobre x = O pela primeira vêz, <strong>de</strong>pois <strong>de</strong><br />
t = 0<br />
3.39 Um Piper Warrior. um pequeno avião<br />
com quatro lugares, necessita <strong>de</strong> 300 m <strong>de</strong> pista para<br />
levantar voo. Sua velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>colagem é igual a 88<br />
km/h. A seguir ele se inclina com velocida<strong>de</strong> constante<br />
42
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
<strong>de</strong> 88 km/h ao longo <strong>de</strong> uma trajetória retilinea.<br />
passando rente uma linha <strong>de</strong> transmissão com 15 m <strong>de</strong><br />
altura situada a uma distância horizontal <strong>de</strong> 460 m do<br />
local on<strong>de</strong> o avião <strong>de</strong>cola,<br />
(a) Qual era a aceleração inicial do Piper<br />
(suposta constante) durante seu movimento na pista<br />
para <strong>de</strong>colar<br />
(b) Depois <strong>de</strong> o Piper <strong>de</strong>colar, qual era seu<br />
ângulo <strong>de</strong> vôo acima da horizontal<br />
(c) Qual era sua taxa <strong>de</strong> elevação (em m/s 2 )<br />
(d) Qual o tempo <strong>de</strong>corrido <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o início do<br />
movimento ate o instante em que o Piper passa rente â<br />
linha <strong>de</strong> transmissão<br />
3.40 Um instrutor (que também e professor <strong>de</strong><br />
tísica) treina um atleta a arremessar um dardo <strong>de</strong> modo<br />
que ele saia da mão do atleta, a uma altura h com<br />
velocida<strong>de</strong> 25gh 8 formando um ângulo <strong>de</strong> 36.9 0<br />
acima da horizontal. O dardo continua voando ate<br />
atingir o solo. O campo em torno do atleta é plano e a<br />
resistência do ar é <strong>de</strong>sprezível.<br />
(a) Faça um <strong>de</strong>senho da velocida<strong>de</strong> horizontal<br />
do dardo cm função do tempo e da velocida<strong>de</strong> vertical o<br />
dardo em função do tempo,<br />
(b) Calcule a altura máxima alcançada pelo<br />
dardo,<br />
(c) Calcule a distância horizonlal que o dardo<br />
percorreu <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o instante em que ele <strong>de</strong>ixou a mão do<br />
atleta até o instante em que atingiu o solo.<br />
3.41 Uma equipe <strong>de</strong> <strong>de</strong>molição usa dinamite<br />
para explodir um edifício velho. Fragmentos da<br />
explosão voam em todas as direções, e mais tar<strong>de</strong> são<br />
encontrados num raio <strong>de</strong> 50 m da explosão. Faça uma<br />
estimativa da velocida<strong>de</strong> máxima atingida pêlos<br />
fragmentos da explosão. Descreva todas as hipóteses<br />
que você usar.<br />
m acima do solo com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 64,0 m/s, a que<br />
distância horizontal do alvo <strong>de</strong>ve o piloto lançar a<br />
caixa Despreze a resistência do ar.<br />
3.44 Uma garota joga um saco com água a um<br />
ângulo <strong>de</strong> 50.0 0 acima da horizontal com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
12.0 m/s. O componente horizontal da velocida<strong>de</strong> do<br />
saco é direcionado para o carro que se aproxima da<br />
garota com velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 8.00 m/s. Supondo<br />
que o saco atinja o carro na mesma altura em que ele<br />
abandona a mão da garota, qual é a distância máxima<br />
que o carro po<strong>de</strong> estar da garota quando o saco c<br />
jogado Despreze a resistência do ar.<br />
3.45 Maior alcance <strong>de</strong> uma bola <strong>de</strong> beisebol.<br />
De acordo com o Guinness Book of World Records o<br />
recor<strong>de</strong> <strong>de</strong> alcance <strong>de</strong> uma bola <strong>de</strong> beisebol foi obtido<br />
cm uma batida feita por Roy "Dizzy" Carlyle. A bola<br />
percorreu uma distância horizontal <strong>de</strong> 188 m ale atingir<br />
o solo fora do campo,<br />
(a) Supondo que a bola tenha sido lançada a<br />
45,0 0 acima da horizontal e <strong>de</strong>sprezando a resistência<br />
do ar, qual era a velocida<strong>de</strong> inicial da bola para que isso<br />
ocorresse, sabendo-se que a bola foi batida em um<br />
ponto a 0,9 m acima do nível do solo Suponha que o<br />
solo seja perfeitamente plano.<br />
(b) Em que ponto a bola passou acima da cerca<br />
<strong>de</strong> 3,0 m <strong>de</strong> altura, sabendo-se que a cerca estava a uma<br />
distância <strong>de</strong> 116 m do ponto do lançamento da bola<br />
v = 8,00 m/s..<br />
43<br />
3.42 Uma dublê <strong>de</strong> cinema pula <strong>de</strong> um<br />
helicóptero em voo a 30.0 m acima do solo com<br />
velocida<strong>de</strong> constante cujo componente vertical e igual a<br />
10.0 m/s <strong>de</strong> baixo para cima c cujo componente<br />
horizontal é igual a 15.0 m/s do norte para o sul.<br />
Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Em que lugar do solo (em relação ao ponto<br />
on<strong>de</strong> ela abandonou o helicóptero) a duble colocou<br />
almofadas <strong>de</strong> espuma para amortecer sua queda<br />
(b) Faça diagramas x-t, y-t, v x -t e v y -t para o<br />
movimento.<br />
3.43 No combate a incêndios em florestas,<br />
avióes jogam água para ajudar equipes que trabalham<br />
no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa<br />
com corante vermelho, na esperança <strong>de</strong> atingir um alvo<br />
no solo. Se o avião está voando horizontalmente a 90.0<br />
FIGURA 3.36 - Problema 3.44.<br />
3.46 Um dia após sua graduação, você <strong>de</strong>cidiu<br />
lançar um fósforo aceso no topo <strong>de</strong> uma lixeira<br />
cilíndrica (diâmetro D e altura 2D) cheia <strong>de</strong> papéis<br />
velhos com exercícios para casa. Para tomar esse evento<br />
mais esportivo, a parte inferior da lixeira está no mesmo<br />
nível do ponto em que o fósforo <strong>de</strong>ixa a sua mão, e a<br />
lixeira está a uma distância horizontal <strong>de</strong> 6D do ponto<br />
em que o fósforo <strong>de</strong>ixa a sua mão. Você lança o fósforo<br />
com ângulo <strong>de</strong> 45.0 0 acima da horizontal. Ache o valor<br />
máximo e o valor mínimo da velocida<strong>de</strong> inicial do<br />
lançamento para que o fósforo entre pela parle superior<br />
da lixeira. Despreze a resistência do ar e dê sua resposta<br />
em termos <strong>de</strong> g e <strong>de</strong> D.
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
3.47 Você <strong>de</strong>seja jogar uma bola para um<br />
amigo segurá-la no meio do seu quarto. A distância<br />
entre o chão e o teto é igual a D evocê lança a bola com<br />
velocida<strong>de</strong> v0 6gD . Qual é a distância horizontal<br />
máxima (cm termos <strong>de</strong> D) que a bola po<strong>de</strong> se <strong>de</strong>slocar<br />
sem que ela seja rebatida pelo teto (Suponha que a<br />
bola tenha sido lançada do chão.)<br />
3.48 Uma bola <strong>de</strong> beisebol ê batida com<br />
ângulo <strong>de</strong> 60,0 0 acima da horizontal e atinge um edifício<br />
a 18.0 m <strong>de</strong> distância em um ponto a 8.00 m acima do<br />
ponto <strong>de</strong> lançamento. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Calcule o módulo da velocida<strong>de</strong> inicial da<br />
bola <strong>de</strong> beisebol (a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> lançamento da bola <strong>de</strong><br />
beisebol),<br />
(b) Determine o módulo, a dircção e o sentido<br />
da bola <strong>de</strong> beisebol imediatamente antes <strong>de</strong> ela atingir o<br />
edifício.<br />
(c) Faça diagramas x-t, y-t, v x -t e v y -t para o<br />
movimento.<br />
3.49 Um projétil é lançado com velocida<strong>de</strong> v 0<br />
formando um ângulo 0 com a horizontal. O ponto <strong>de</strong><br />
lançamento está situado a uma altura l: acima do solo.<br />
(a) Desprezando a resistência do ar, mostre que<br />
a distância horizontal percorrida pelo projétil antes <strong>de</strong><br />
ele atingir o solo é dada por<br />
v<br />
cos<br />
g<br />
0 0<br />
2 2<br />
x v0 sen<br />
0<br />
v0 sen<br />
0<br />
2gh<br />
Verifique que, se o ponto <strong>de</strong> lançamento estivesse<br />
situado no mesmo nível do solo. isto é, h = 0 essa<br />
expressão se reduziria ao alcance horizontal R<br />
encontrado.<br />
(b) Para o caso v 0 = 10 m/s e h = 5,0 m, faça<br />
um gráfico <strong>de</strong> x em função do ângulo <strong>de</strong> lançamento 0<br />
para valores <strong>de</strong> 0 <strong>de</strong> 0 0 a 90 0 . Seu gráfico <strong>de</strong>ve mostrar<br />
que x é igual a zero para 0 = 90 0 , mas x é diferente <strong>de</strong><br />
zero para 0 = 0 0 ; explique a razão disso,<br />
(c) Vimos no Exemplo 3.9 que, quando o<br />
projétil atinge o solo no mesmo nível em que ele é<br />
lançado, o alcance horizontal é máximo para 0 = 45 0 .<br />
Para o caso <strong>de</strong>senhado no item (b), o ângulo <strong>de</strong><br />
lançamento para o alcance horizontal máximo é igual a,<br />
maior que ou menor que 45 0 <br />
(Este problema fornece um resultado geral para o<br />
lançamento <strong>de</strong> um projétil lançado <strong>de</strong> um ponto mais<br />
elevado do que o ponto on<strong>de</strong> ele atinge o solo.)<br />
3.50 Uma bola <strong>de</strong> neve rola do telhado <strong>de</strong> um<br />
celeiro que possui uma inclinação para baixo igual a 40 0<br />
A extremida<strong>de</strong> do telhado está situada a 14.0 m acima<br />
do solo e a bola <strong>de</strong> neve possui velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 7,00 m/s<br />
quando ela abandona o telhado. Despreze a resistência<br />
do ar.<br />
(a) A que distância do celeiro a bola <strong>de</strong> neve<br />
atingirá o solo caso não colida com nada durante sua<br />
queda<br />
(b) Faça diagramas x-t, y-t, v x -t e v y -t para o<br />
movimento da parte (a),<br />
(c) Um homem <strong>de</strong> 1.9 m <strong>de</strong> altura está parado<br />
a uma distância <strong>de</strong> 4,0 m da extremida<strong>de</strong> do celeiro. Ele<br />
será atingido pela bola <strong>de</strong> neve<br />
3.51 – (a) Prove que um projétil lançado em<br />
um ângulo 0 possui o mesmo alcance horizontal <strong>de</strong><br />
outro lançado com a mesma velocida<strong>de</strong> em um ângulo<br />
(90 - 0).<br />
(b) Uma râ pula com uma velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 2.2<br />
m/s e chega ao solo a 25 cm <strong>de</strong> distância <strong>de</strong> seu ponto<br />
inicial. Para que ângulos acima da horizontal ela<br />
po<strong>de</strong>ria ter pulado<br />
3.52 No trapézio voador. Em um novo circo,<br />
Maria oscila em um trapézio, projeta-se a um ângulo <strong>de</strong><br />
53 e <strong>de</strong>ve ser segurada por João, cujas mãos estão a 6.1<br />
m acima e 8.2 m horizontalmente do ponto <strong>de</strong><br />
lançamento <strong>de</strong> Maria. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Qual <strong>de</strong>ve ser a velocida<strong>de</strong> inicial <strong>de</strong> Maria<br />
para que ela seja segurada por João<br />
(b) Para a elocida<strong>de</strong> inicial calculada em (a),<br />
qual é o módulo, a direção e o sentido da velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
Maria quando ela é segurada por João<br />
(c) Supondo que Maria possua a velocida<strong>de</strong><br />
inicial calculada em (a), faça diagramas x-t, y-t, v x -t e<br />
v y -t para o movimento dos dois trapezistas.<br />
Seus gráficos <strong>de</strong>vem mostrar o movimento<br />
para cima até o instante cm que Maria alcança João.<br />
(d) Na noite <strong>de</strong> estreia, João não consegue<br />
segurar Maria. Qual a distância horizontal percorrida<br />
por Maria, a partir <strong>de</strong> seu ponto inicial, até o momento<br />
em que ela atinge a re<strong>de</strong> <strong>de</strong> segurança situada a 8.6 m<br />
abaixo <strong>de</strong> seu ponto inicial<br />
3.53 Um professor <strong>de</strong> física faz. proezas loucas<br />
em suas horas vagas. Sua última façanha foi saltar sobre<br />
um rio com sua motocicleta. A rampa <strong>de</strong> <strong>de</strong>colagem era<br />
inclinada <strong>de</strong> 53.0 0 , a largura do rio era <strong>de</strong> 40,0 m, e a<br />
outra margem estava a 15.0 m abaixo do nível da<br />
rampa. O rio eslava a 100 m abaixo do nível da rampa.<br />
Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Qual <strong>de</strong>veria ser sua velocida<strong>de</strong> para que<br />
ele pu<strong>de</strong>sse alcançar a outra margem sem cair no rio<br />
(b) Caso sua velocida<strong>de</strong> lesse igual á meta<strong>de</strong><br />
do valor encontrado em (a), on<strong>de</strong> ele cairia<br />
44
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
(c) No segundo lançamento livre, a bola entra<br />
na cesta. Para esse segundo lançamento, o jogador<br />
novamente lança a bola com um ângulo <strong>de</strong> 35 0 acima da<br />
horizontal e a uma altura <strong>de</strong> 1.83 m acima do solo. Qual<br />
foi a velocida<strong>de</strong> inicial <strong>de</strong>sse segundo lançamento<br />
(d) Para o segundo lançamento, qual a altura<br />
máxima atingida pela bola Qual a distância ao longo<br />
do solo entre o ponto on<strong>de</strong> a bola atinge a cesta e a<br />
linha do lançamento livre<br />
45<br />
FIGURA 3.38- Problema 3.50.<br />
FIGURA 3.40 Problema 3.55.<br />
FIGURA 3.37- Problema 3.50<br />
3.54 Uma pedra é atirada do telhado <strong>de</strong> um<br />
edifício com velocida<strong>de</strong> v 0 , formando um ângulo 0<br />
com a horizontal. Despreze a resistência do ar.<br />
Determine o módulo, a direção e o sentido da<br />
velocida<strong>de</strong> da pedra imediatamente antes <strong>de</strong> atingir o<br />
solo e mostre que essa velocida<strong>de</strong> não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
ângulo 0.<br />
3.55 Um jogador <strong>de</strong> basquete recebe uma<br />
pancada na disputa <strong>de</strong> um lance. Como prémio, ele<br />
po<strong>de</strong>rá lazer dois lances livres. O centro da cesta está<br />
situado a uma distância horizontal <strong>de</strong> 4,21 m da linha<br />
do lançamento livre e a uma altura <strong>de</strong> 3,05 m acima do<br />
solo. Na primeira tentativa do lance livre, ele lança a<br />
bola com velocida<strong>de</strong> V 0 = 4.88 m/s formando um<br />
ângulo <strong>de</strong> 35 0 acima da horizontal. A bola é lançada a<br />
1.83 m acima do solo. Esse lançamento não atingiu a<br />
cesta. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Qual a altura máxima atingida pela bola<br />
(B) Qual a distância ao longo do solo entre o<br />
ponto on<strong>de</strong> a bola atinge o solo e a linha do lançamento<br />
livre<br />
3.56 Romeu joga um seixo na janela <strong>de</strong> JuliEta<br />
para acordÁ-la. Infelizmente, o seixo nÃo era muito<br />
pequeno e a velocida<strong>de</strong> inicial do lançamento lambem<br />
não era muito pequena. Imediatamente antes <strong>de</strong> quebrar<br />
o vidro da janela, o seixo se move horizontalmente,<br />
tendo já percorrido uma distância horizontal x e uma<br />
distância vertical y como um projétil. Determine o<br />
módulo, adireção e o sentido da velocida<strong>de</strong> inicial do<br />
seixo no momento em que ele abandona a mão <strong>de</strong><br />
Romeu.<br />
3.57 Um foguete está inicialmente em repouso<br />
no solo. Quando seu motor é ligado, ele dispara em<br />
linha rela com uma aceleração constante <strong>de</strong> módulo<br />
igual a g formando um angulo <strong>de</strong> 53, l 0 acima da<br />
horizontal. O motor para em um dado instante 7s após o<br />
lançamento, <strong>de</strong>pois do qual o foguete se torna um<br />
projétil. Despreze a resistência do ar e suponha que g<br />
não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da altura,<br />
(a) Faça um diagrama do movimento do<br />
foguete, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o momento em que ele é lançado até o<br />
instante em que ele retorna ao solo. Indique o vetor<br />
velocida<strong>de</strong> e o vetor aceleração em vários pontos ao<br />
longo da trajelória.<br />
(b) Faça diagramas x-t, y-t, v x -t e v y -t para o<br />
movimento do foguete <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o momento em que ele é<br />
lançado ate o instante cm que cie retorna ao solo.<br />
(c) Ache a altura máxima atingida pelo<br />
foguete. Sua resposta <strong>de</strong>ve ser dada em função <strong>de</strong> T e <strong>de</strong><br />
g.<br />
(d) Ache a distância horizontal entre o ponto<br />
em que ele e lançado ate o ponto em que ele retorna ao<br />
solo (isto é, seu alcance). Sua resposta <strong>de</strong>ve ser dada em<br />
função <strong>de</strong> T e <strong>de</strong> g.
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
3.58 Em um filme <strong>de</strong> aventura, o herói joga<br />
uma granada <strong>de</strong> seu carro, que se <strong>de</strong>sloca a 90.0 km/h.<br />
atingindo o carro do inimigo, que se <strong>de</strong>sloca a 110,0<br />
km/h. O carro do inimigo está a 15.8 m a frente do carro<br />
do herói quando ele joga a granada. Se o lançamento é<br />
tal que sua velocida<strong>de</strong> inicial em relação a ele forma um<br />
ângulo <strong>de</strong> 45 0 acima da horizontal. qual <strong>de</strong>ve ser o<br />
módulo da velocida<strong>de</strong> inicial Os dois carros se<br />
<strong>de</strong>slocam no mesmo sentido numa estrada retilínea e<br />
plana. Despreze a resistência do ar. Ache o modulo da<br />
velocida<strong>de</strong> inicial em relação ao herói e em relação a<br />
Terra.<br />
3.59 Uma pedra amarrada em uma corda se<br />
move no plano xy. Suas coor<strong>de</strong>nadas são dadas em<br />
função do tempo por:<br />
x t R cos t<br />
y t R sen t<br />
on<strong>de</strong> R e são constantes,<br />
(a) Mostre que a distancia da pedra até a<br />
origem é constante e igual a R, ou seja, sua trajetória e<br />
uma circunferência <strong>de</strong> raio R.<br />
(b) Mostre que cm cada ponto o velor<br />
velocida<strong>de</strong> é perpendicular ao vetor posição,<br />
(c) Mostre que o vetor aceleração é sempre<br />
oposto ao vetor posição e possui módulo igual a R.<br />
(d) Mostre que o módulo da velocida<strong>de</strong> da<br />
pedra e constante c igual a v 2 /R.<br />
(e) Combine os resultados das partes (c) e (d)<br />
para mostrar que a aceleração da pedra possui modulo<br />
constante igual a v 2 /R.<br />
3.60 A velocida<strong>de</strong> escalar <strong>de</strong> uma partícula que<br />
se move em um plano xy é igual ao módulo da<br />
velocida<strong>de</strong> instantânea.<br />
v v v v<br />
2 2<br />
x y<br />
(a) Mostre que a taxa <strong>de</strong> variação da<br />
velocida<strong>de</strong> escalar e dada por :<br />
v a v a<br />
x x y y<br />
v<br />
v<br />
2 2<br />
x y<br />
(b) Use essa expressão para achar dv/dt no<br />
instante t = 2.0 s para o carro com controle remoto dos<br />
Exemplos 3.1. 3.2 c 3.3. Compare sua resposta com os<br />
componentes da aceleração encontrados no Exemplo<br />
3.3. Explique por que sua resposta não é igual ao<br />
módulo da aceleração encontrado na parte (b) do<br />
Exemplo 3.2.<br />
(c) Mostre que a taxa <strong>de</strong> variação da<br />
velocida<strong>de</strong> escalar po<strong>de</strong> ser expressa como:<br />
dv v a<br />
dt v<br />
e use esse resultado para enten<strong>de</strong>r por que<br />
dv<br />
a<br />
dt<br />
o componente <strong>de</strong> a paralelo a v.<br />
3.61 Uma partícula se move em um plano xy .<br />
Suas coor<strong>de</strong>nadas são dadas em função do tempo por:<br />
x t R t sen t<br />
y t R 1 sen t<br />
on<strong>de</strong> R e são constantes,<br />
(a) Faça um esboço da trajelória da partícula.<br />
(Essa curva e a trajetória <strong>de</strong> um ponto que se <strong>de</strong>sloca na<br />
periferia <strong>de</strong> uma roda que rola com velocida<strong>de</strong> escalar<br />
constante numa superfície horizonial. A curva traçada<br />
por esse ponto enquanto ele se move no espaço<br />
<strong>de</strong>nomina-se ciclói<strong>de</strong>)<br />
(b) Determine os componentes da velocida<strong>de</strong> e<br />
da aceleração da partícula em qualquer tempo.<br />
(c) Para que instantes a partícula está<br />
momentaneamente em repouso Quais são as<br />
coor<strong>de</strong>nadas da partícula nesses instantes Determine o<br />
vetor aceleração.<br />
(d) O módulo da aceleração é função do<br />
tempo Compare com o movimento circular uniforme.<br />
3.62 Você esta voando em um avião leve.<br />
relatando as condições do tráfego para uma emissora <strong>de</strong><br />
rádio. Seu vôo se dirige <strong>de</strong> oeste para leste sobre uma<br />
estrada. Os marcos da estrada abaixo indicam que sua<br />
velocida<strong>de</strong> e igual a 50.0 m/s em relação ao solo e seu<br />
indicador <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong> do ar também mostra 50.0 m/s.<br />
Contudo, a frente <strong>de</strong> seu avião aponta ligeiramente para<br />
uma direção su<strong>de</strong>ste e um luncionário do serviço <strong>de</strong><br />
meteorologia informa a você que está soprando um<br />
vento <strong>de</strong> 20.0 m/s. Qual é a direção do vento<br />
3.63 O problema do pombo-correio. Lúcia<br />
está dirigindo <strong>de</strong> oeste para leste a 40 km/h. Seu irmão<br />
gémeo Fernando dirige <strong>de</strong> leste para oeste a 30 km/h. se<br />
aproximando <strong>de</strong> Lúcia em um carro idêntico na mesma<br />
estrada retilínca. Quando a distância entre eles e <strong>de</strong> 42<br />
km. Lúcia solta um pomho-correio que voa com<br />
velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 50 km/h. (Todas as velocida<strong>de</strong>s<br />
são em relação á Terra.) O pombo voa no sentido <strong>de</strong><br />
Fernando, fica confuso e retorna no sentido <strong>de</strong> Lúcia,<br />
fica mais confuso e retorna no sentido <strong>de</strong> Fernando. Isso<br />
continua ate que os gêmeos se encontram, instante em<br />
que o pombo correio cai no chão exausto. Desprezando<br />
o tempo das mudanças <strong>de</strong> direção, qual foi a distância<br />
percorrida pelo pombo-correio<br />
3.64 Quando a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um trem e <strong>de</strong> l2,0<br />
m/s <strong>de</strong> oeste para leste, gotas <strong>de</strong> chuva caindo<br />
46
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
verticalmente em relação à Terra fazem traços<br />
inclinados <strong>de</strong> 30.0 0 nas janelas do trem.<br />
(a) Qual o componente horizontal da<br />
velocida<strong>de</strong> da gota <strong>de</strong> chuva em relação à Terra E em<br />
relação ao trem<br />
(b) Qual o módulo da velocida<strong>de</strong> da gota <strong>de</strong><br />
chuva em relação à Terra E em relação ao trem<br />
3.65 Dm piloto <strong>de</strong> avião coloca o curso da<br />
direção <strong>de</strong> leste para oeste com uma bússola e mantém<br />
uma velocida<strong>de</strong> em relação ao ar <strong>de</strong> 220 km/h. Depois<br />
<strong>de</strong> voar durante 0.500 h, ele se encontra sobre uma<br />
cida<strong>de</strong> a 120 km a oeste e 20 km ao sul da sua posição<br />
inicial,<br />
(a) Ache a velocida<strong>de</strong> do vento (módulo,<br />
direção e sentido).<br />
(b) Se a velocida<strong>de</strong> do vento tosse igual a 40<br />
km/h do norte para o sul, em que direção o piloto<br />
<strong>de</strong>veria orientar seu curso para que pu<strong>de</strong>sse se dirigir <strong>de</strong><br />
leste para oeste. Consi<strong>de</strong>re a mesma velocida<strong>de</strong> em<br />
relação ao ar <strong>de</strong> 220 km/h.<br />
3.66 Um avião voa <strong>de</strong> um ponto diretamentc<br />
sobre Metrópolis a um ponto diretamente sobre<br />
Bra.sópolis, a seguir dá, uma volta e retorna ao ponto <strong>de</strong><br />
partida. A velocida<strong>de</strong> do ar (isto é, a velocida<strong>de</strong> do<br />
avião em relação ao ar) é constante e igual a u durante o<br />
voo. Brasópolis esta a uma distância D a leste <strong>de</strong><br />
Metrópolis.<br />
(a) Caso não exista vento, quanto tempo é<br />
necessário para a viagem <strong>de</strong> ida e volta Quanto tempo<br />
é necessário para a viagem <strong>de</strong> ida e volta se o vento<br />
sopra com velocida<strong>de</strong> w,<br />
(b) <strong>de</strong> oeste para leste,<br />
(c) do norte para o sul<br />
(d) Supondo D = 3.00.10 2 km, v = 4,00.10 2<br />
km/h e w = l ,00.10 2 km/h, calcule o tempo necessário<br />
para a viagem <strong>de</strong> ida e volta nos casos (a), (b) e (c).<br />
Qual dos três fornece a viagem <strong>de</strong> ida e volta mais<br />
lenta<br />
3.67 Um elevador se move <strong>de</strong> baixo para cima<br />
com velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 2,50 m/s. Um parafuso no<br />
teto do elevador está frouxo e cai.<br />
(a) Quanto tempo ele leva para atingir o piso<br />
do elevador Qual é a velocida<strong>de</strong> do parafuso no<br />
momento em que ele atinge o piso do elevador<br />
(b) para um observador <strong>de</strong>ntro do elevador<br />
(c) E para um observador parado fora do<br />
elevador<br />
(d) Para o observador do item (c), qual é a<br />
distância percorridapelo parafuso entre o teto e o piso<br />
do elevador<br />
‣ PROBLEMAS DESAFIADORES<br />
3.68 Um homem está sobre uni vagão largo e<br />
aberto, que se<strong>de</strong>sloca com velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 9,10 m/s<br />
(Figura 3.41). Ele <strong>de</strong>seja lançar uma bola através <strong>de</strong> um<br />
aro em repouso a uma altura <strong>de</strong> 4,90 m <strong>de</strong> sua mão, <strong>de</strong><br />
tal modo que a bola se mova horizontalmente quando<br />
ela passar através do aro. Ele lança a bola com<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 10,8 m/s em relação a si próprio,<br />
(a) Qual <strong>de</strong>ve ser o componente vertical da<br />
velocida<strong>de</strong> inicial da bola<br />
(b) Quantos segundos após o lançamento da<br />
bola ela passará através do aro<br />
(c) A que distância horizontal à frente do aro<br />
ele <strong>de</strong>ve lançar a bola<br />
(d) Quando a bola <strong>de</strong>ixa a mão do homem,<br />
qual é a direção <strong>de</strong> sua velocida<strong>de</strong> relativa em relação<br />
ao vagão E em relação a um observador em repouso no<br />
solo<br />
FIGURA 3.41 Problema Desafiador 3.68.<br />
3.69 Uma espingarda dispara <strong>de</strong> baixo para<br />
cima um gran<strong>de</strong> número <strong>de</strong> pequenas pelotas. Algumas<br />
<strong>de</strong>las se <strong>de</strong>slocam aproximadamente na vertical e outras<br />
divergem cerca <strong>de</strong> 1,0° da vertical. Suponha que a<br />
velocida<strong>de</strong> inicial das pelotas seja uniforme para todas e<br />
igual a 150,0 m/s. Despreze a resistência do ar.<br />
(a) Dentro <strong>de</strong> que raio a partir do ponto do<br />
disparo as pelotas se distribuem<br />
(b) Caso haja 1000 pelotas e elas caiam em um<br />
círculo cujo raio foi calculado na parte (a), qual a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que pelo menos uma pelota caia na<br />
cabeça da pessoa que fez o disparo<br />
Suponha que seja <strong>de</strong> 10 cm o raio da sua<br />
cabeça,<br />
(c) A resistência do ar <strong>de</strong> fato produz diversos<br />
efeitos. Ela faz diminuir a velocida<strong>de</strong> da pelota que<br />
sobe, faz diminuir o seu componente horizontal e limita<br />
a velocida<strong>de</strong> com a qual elas caem. Qual <strong>de</strong>sses efeitos<br />
po<strong>de</strong>rá fazer aumentar o raio no cálculo que você tez<br />
para respon<strong>de</strong>r ao item (a) e qual po<strong>de</strong>rá fazer<br />
diminuir O que você pensa sobre o efeito global da<br />
resistência do ar (O efeito da resistência do ar sobre<br />
um componente da velocida<strong>de</strong> aumenta quando o<br />
módulo da velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong>sse componente aumenta.)<br />
3.70 Um projétil é lançado <strong>de</strong> um ponto P. Ele<br />
se move <strong>de</strong> tal modo que sua distância ao ponto P é<br />
sempre crescente. Determine o ângulo máximo acima<br />
47
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
da horizontal com o qual o projétil foi lançado.<br />
Despreze a resistência do ar.<br />
3.71 Uma bola <strong>de</strong> beisebol recebe uma<br />
velocida<strong>de</strong> inicial com módulo v 0 formando um ângulo<br />
φ com um plano que está inclinado <strong>de</strong> um ângulo θ<br />
acima da horizontal (Figura 3.42).<br />
(a) Calcule a distância, medida ao longo do<br />
plano inclinado, entre o ponto <strong>de</strong> lançamento e o ponto<br />
em que a bola coli<strong>de</strong> com o plano inclinado. Suas<br />
respostas serão em termos <strong>de</strong> v 0 , g, θ e φ .<br />
(b) Qual o ângulo φ que fornece o alcance<br />
máximo, medido ao longo do plano inclinado<br />
(Nota: Você po<strong>de</strong>ria se interessar pêlos três<br />
diferentes métodos <strong>de</strong> solução apresentados por L R.<br />
Lapidus na revista Am. Jour. Of Phys., Vol. 51. (1983).<br />
pp. 806 e 847. Veja também H. A. Buckmaster na<br />
revista/tf». Jour. Of Phys., Vol. 53 (1985), pp. 63S-641.<br />
para um estudo aprofundado <strong>de</strong>ste e <strong>de</strong> outros<br />
problemas semelhantes.)<br />
FIGURA 3.42 Problema Desafiador 3.71.<br />
3.72 Consi<strong>de</strong>re o Problema Desafiador 3.71.<br />
(a) Um arqueiro se encontra em um terreno<br />
com inclinação constante <strong>de</strong> 30.0 0 e <strong>de</strong>seja atingir um<br />
alvo situado a uma distância <strong>de</strong> 60.0 m para cima do<br />
plano inclinado. O arco, a flecha e o centro do alvo<br />
estão situados a uma distância <strong>de</strong> 1,50 m acima do<br />
plano inclinado. A velocida<strong>de</strong> inicial da flecha no exato<br />
momento em que ela sai do arco possui módulo igual a<br />
32,0 m/s. Para que ângulo acima da horizontal o<br />
arqueiro <strong>de</strong>ve apontar para atingir o centro do alvo<br />
Caso existam dois ângulos, ache o menor entre os dois.<br />
Você po<strong>de</strong>ria resolver a equação que fornece o ângulo<br />
através <strong>de</strong> uma iteração, ou seja, pelo método das<br />
tentativas. Como esse ângulo estaria relacionado com o<br />
ângulo que seria obtido supondo-se um terreno plano<br />
com inclinação igual a zero<br />
(b) Repita o item (a) para uma inclinação pura<br />
baixo constante e igual a 30,0 0 .<br />
3.73 Sem nenhum motivo aparente, um cão<br />
poodie corre com velocida<strong>de</strong> constante v = 5,00 m/s em<br />
torno <strong>de</strong> um círculo com raio R = 2,50 m. Seja v o<br />
1<br />
vetor velocida<strong>de</strong> no tempo t 1 e v<br />
2 , o vetor velocida<strong>de</strong><br />
no tempot 2 . Consi<strong>de</strong>re:<br />
v v2 v<br />
1<br />
t t t Lembre-se <strong>de</strong> que:<br />
E<br />
2 1<br />
a<br />
t<br />
Para Δt = 0,5 s, 0,1s, calcule o módulo (com<br />
quatro algarismos significativos), a direção e o sentido<br />
da aceleração média. Compare seus resultados com a<br />
expressão geral da aceleração instantânea a obtida no<br />
texto para o caso do movimento circular uniforme.<br />
3.74 Um foguete projetado para colocar<br />
pequenas cargas em órbita é conduzido a uma altura <strong>de</strong><br />
12,0 km acima do nível do mar por uma aeronave<br />
convertida. Quando a aeronave está voando em linha<br />
reta com velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 850 km/h, o foguete é<br />
lançado. Depois do lançamento, a aeronave mantém a<br />
mesma altitu<strong>de</strong> e velocida<strong>de</strong> e continua a voar cm linha<br />
reta. O foguete cai durante um intervalo <strong>de</strong> tempo<br />
pequeno, <strong>de</strong>pois do qual seu motor éacionado. Com o<br />
motor funcionando, o efeito combinado da gravida<strong>de</strong> e<br />
da força motriz produzem uma aceleração constante <strong>de</strong><br />
módulo 3,00 g dirigida para cima e formando um<br />
ângulo <strong>de</strong> 30,0 0 com a horizontal. Por razões <strong>de</strong><br />
segurança, o foguete <strong>de</strong>ve pemanecer pelo menos a uma<br />
distância <strong>de</strong> l ,00 km à frente da aeronave quando ele<br />
sobe até atingir a altura da aeronave. Sua tarefa é<br />
calcular o intervalo <strong>de</strong> tempo mínimo da queda do<br />
fogueie antes do seu motor ser acionado. Despreze a<br />
resistência do ar. Sua solução <strong>de</strong>ve incluir:<br />
(i) um diagrama que mostre as trajetórias do<br />
voo do foguete e da aeronave, i<strong>de</strong>ntificadas mediante<br />
seus respectivos velores para a velocida<strong>de</strong> e a<br />
aceleração em diversos pontos;<br />
(ii) um gráfico x-t que mostre os movimentos<br />
do foguete e da aeronave; e<br />
(iii) um gráfico v-t que mostre os movimentos<br />
do foguete e da aeronave. Nos diagramas e nos gráficos,<br />
indique o instante em que o foguete é lançado, o<br />
instante em que o motor é acionado e o instante em que<br />
o foguete sobe atingindo a altura da aeronave.<br />
3.75 Dois estudantes estão praticando<br />
canoagem em um rio. Quando eles estão se dirigindo no<br />
sentido contrário ao da corrente, uma garrafa vazia cai<br />
aci<strong>de</strong>ntalmente da canoa. A seguir, eles continuam<br />
remando durante 60 minutos, atingindo um ponto 2.0<br />
km a montante do ponto inicial. Nesse ponto eles notam<br />
a falta da garrafa e, pensando na preservação do meio<br />
ambiente, dão uma volta e retomam no sentido da<br />
corrente. Eles recolhem a garrafa (que acompanhou o<br />
movimento da corrente) em um ponto situado a 5,00 km<br />
a jusante do ponto on<strong>de</strong> eles retornaram,<br />
(a) Supondo que o esforço feito para remar<br />
m<br />
v<br />
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Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
seja constante em todas as etapas do trajeto, qual a<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> escoamento do rio<br />
(b) Qual seria a velocida<strong>de</strong> da canoa em um<br />
lago calmo, supondo que o esforço feito para remar seja<br />
o mesmo<br />
Figuras<br />
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Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas <strong>de</strong> Unida<strong>de</strong>s, Gran<strong>de</strong>zas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.<br />
Referência:<br />
‣ Sears e Zemansky – Física I, 10 a Edição –<br />
Mecânica – Editora Pearson.<br />
Provas Data<br />
P 1 25/03<br />
P 2 13/05<br />
P 3 24/06<br />
R 28/06<br />
P1 P2 P3<br />
M<br />
S<br />
3<br />
MS<br />
MS<br />
5 M<br />
s<br />
2<br />
R<br />
50