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1ª Prova de Física I - FCM0101<br />
#USP:<br />
Nome:<br />
Instruções:<br />
1. Escreva seu nome e número USP no espaço acima.<br />
2. A duração da prova é de 2 horas. A prova tem 4 questões.<br />
3. Não é permitido consultar livros, anotações ou os colegas em volta.<br />
4. É permitido o uso de calculadoras simples. Não é permitido usar celulares.<br />
5. Resultados numéricos devem ser expressos com o número correto de algarismos significativos e com as unidades<br />
apropriadas.<br />
6. Escreva suas soluções de maneira clara e concisa. Você pode usar lápis ou caneta e usar todo o espaço<br />
disponível, inclusive o verso das folhas. A última folha da prova está em branco e pode ser usada como rascunho.<br />
7. Se preferir que alguma parte dos seus cálculos não seja levada em consideração na correção, faça um grande<br />
X sobre essa parte.<br />
1
1. Uma pessoa segura uma maçã em um balão que sobe verticalmente com velocidade constante de 4, 0 m/s a<br />
partir do solo. Após 1, 6 s de subida, a pessoa solta a maçã do lado de fora do balão. Considere que a aceleração<br />
da gravidade é de g = 10 m/s 2 e despreze efeitos de atrito com o ar.<br />
(a) (1,0 ponto) Qual é a altura máxima atingida pela maçã em relação ao solo<br />
(b) (1,5 ponto) Após ter sido solta, quanto tempo a maçã leva para atingir o solo<br />
Solução:<br />
(a) Após a maçã ser solta da mão da pessoa, ela continua em ascendência com velocidade inicial v 0 = 4, 0 m/s<br />
mas agora sob efeito da gravidade. As equações horárias são h = h 0 +v 0 t−gt 2 /2 e v = v 0 −gt. Pode-se usá-las para<br />
achar o ponto de máxima altura. Outra maneira é aplicar Torricelli usando que no ponto mais alto da trajetória, a<br />
velocidade é nula:<br />
v 2 = 0 = v0 2 − 2g∆h, ⇒ ∆h = h máx − h 0 = v2 0<br />
= 0, 8 m.<br />
2g<br />
Como a maçã tinha subido por ∆t = 1, 6 s junto com o balão, a altura em que ela se encontrava antes de ser solta<br />
é h 0 = v 0 ∆t = 6, 4 m. Logo, a altura total atingida pela maçã é<br />
h máx = 7, 2 m.<br />
(b) Devemos calcular em que instante de tempo, t queda , a mação se encontra na origem, i.e., h = 0. Logo, da<br />
equação horária temos que<br />
0 = h 0 + v 0 t queda − 1 2 gt2 queda, ⇒ t queda = v 0 ± √ v 2 0 + 2gh 0<br />
g<br />
= 4 + √ 16 + 128<br />
, ⇒ t queda = 1, 6 s.<br />
10<br />
Note que a solução com raiz negativa foi ignorada porque não tem significado físico.<br />
2
2. Um inseto muito pequeno está sentado próximo à borda de um disco<br />
de raio R = 10 cm que gira em relação ao solo com velocidade angular<br />
constante ω = 2π/5 rad/s.<br />
(a) (1,0 ponto) No instante inicial t = 0, o inseto encontra-se sobre<br />
o eixo x como ilustra a Fig. 1. Calcule o vetor velocidade do inseto em<br />
relação ao solo no instante t = 15/8 s.<br />
(b) (1,5 pontos) No instante t = 15/8 s, o inseto começa a andar sobre<br />
o disco na direção do centro, de tal maneira que a velocidade relativa do<br />
inseto em relação ao disco tem módulo constante v = 1, 0 cm/s e aponta<br />
na direção radial no sentido do centro do disco. Calcule o vetor velocidade<br />
do inseto em relação ao solo no instante em que o inseto se encontra a<br />
uma distância de R/2 = 5, 0 cm do centro do disco.<br />
R<br />
y<br />
0<br />
inseto<br />
ω<br />
x<br />
Solução:<br />
(a) Como o inseto descreve um movimento circular uniforme, sua velocidade<br />
tem módulo u = ωR = 4π cm/s e aponta tangencialmente ao<br />
disco como indica a Fig. 2. Para achar essa direção, é necessário saber a<br />
distância ângular θ = ωt = 3π/4 rad. Sendo ⃗u = ωR (− sin θˆx + cos θŷ) ,<br />
temos que<br />
û = −2 √ 2π (ˆx + ŷ) cm/s = −8, 9 (ˆx + ŷ) cm/s.<br />
Figura 1: Inseto sobre o disco em t = 0.<br />
(b) A velocidade do inseto em relação ao solo ⃗w é dada pela composição<br />
da velocidade relativa da velocidade do inseto em relação ao disco ⃗v com a<br />
velocidade do disco em relação ao solo ⃗u como ilustra a Fig. 2: ⃗w = ⃗v + ⃗u.<br />
Os módulos de ⃗v e ⃗u são, respectivamente, 1, 0 cm/s e ωR/2 = 2π cm/s.<br />
Devemos agora achar o novo ângulo em que o inseto se encontra. O tempo<br />
necessário para ele percorrer R/2 é de<br />
∆t = Distância<br />
velocidade = R 2v .<br />
Durante esse intervalo de tempo, ele percorreu um distância angular de<br />
∆θ = ω∆t = ωR<br />
2v = 2π.<br />
Ou seja, o vetor posição do inseto faz com a horizontal um ângulo<br />
de θ = 3π/4 (vide Fig. 2). Como ⃗v = v (− cos θˆx − sin θŷ) e ⃗u =<br />
ωR (− sin θˆx + cos θŷ) /2, temos que<br />
⃗w =<br />
( 1, 0 − 2π<br />
√ ˆx − 2<br />
)<br />
1, 0 + 2π<br />
√ ŷ cm/s = (−3, 7ˆx − 5, 1ŷ) cm/s.<br />
2<br />
u<br />
u<br />
R/2<br />
w<br />
v<br />
y<br />
θ<br />
ω<br />
0 x<br />
,<br />
trajetoria<br />
Figura 2: Resposta da questão 2.<br />
3
3. Uma bala de massa 10 g é disparada com velocidade de<br />
240 m/s contra uma porta de madeira sólida. A força que atua<br />
sobre a bala enquanto ela atravessa a porta é mostrada no gráfico<br />
da Fig. 3. Despreze a gravidade.<br />
(a) (0,5 ponto) Faça um gráfico que representa a força que<br />
a bala exerce sobre a porta em função do tempo.<br />
(b) (1,5 ponto) Calcule a velocidade da bala logo depois que<br />
ela atravessa a porta.<br />
(c) (0,5 ponto) Faça um gráfico esquemático que representa a<br />
velocidade da bala em função do tempo, indicando quais curvas<br />
representam segmentos de retas, parábolas, etc.<br />
⃗v 0<br />
x<br />
F bala (N)<br />
400<br />
200<br />
0<br />
2, 0 4, 0 6, 0<br />
−200<br />
t (ms)<br />
porta<br />
−400<br />
Figura 3: Gráfico da força em função do tempo.<br />
Solução:<br />
(a) Pela terceira lei de Newton, em cada instante de tempo a<br />
força sobre a porta tem o mesmo módulo e direção da força sobre<br />
a bala, mas sentido oposto. Por isso o gráfico deve mostrar F porta<br />
com valores positivos (vide primeiro gráfico na Fig. 4).<br />
(b) Do gráfico da força sobre a bala obtemos o gráfico da aceleração<br />
da bala em função do tempo<br />
a(t) = F bala(t)<br />
m ,<br />
com m = 1, 0 × 10 −2 kg.<br />
A variação da velocidade entre t = 2, 0 s e t = 6, 0 s é dada pela<br />
área sob a curva, que é a área de um trapézio (vide segundo gráfico<br />
na Fig. 4):<br />
∆v = − (2, 0 + 4, 0) · 104 m/s 2<br />
2<br />
· (4, 0 · 10 −3 ) s = −120 m/s.<br />
Logo a velocidade após t = 6, 0 s é v ′ = v 0 + ∆v = 120 m/s .<br />
(c) Entre t = 2, 0 s e t = 6, 0 s a curva de v bala (t) é um arco<br />
de parábola. A inclinação da reta tangente à curva v bala (t), que<br />
equivale à aceleração, é sempre negativa e deve ser maior em módulo<br />
em t = 2, 0 s do que em t = 6, 0 s (vide terceiro gráfico na Fig. 4).<br />
F porta (N)<br />
400<br />
200<br />
0<br />
2, 0 4, 0 6, 0<br />
t (ms)<br />
−200<br />
a (m/s 2 )<br />
2, 0 × 10 4 2, 0 4, 0 6, 0<br />
0<br />
t (ms)<br />
−2, 0 × 10 4<br />
−4, 0 × 10 4<br />
v bala (m/s)<br />
240<br />
parábola<br />
120<br />
0<br />
2, 0<br />
4, 0 6, 0<br />
t (ms)<br />
Figura 4: Resposta da questão 3.<br />
4
4. Um cacho de bananas está pendurado a uma distância d e a uma<br />
altura h acima de uma plataforma, como mostrado na Fig. 5.<br />
y<br />
(a) (1,0 ponto) Tentando alcançar o cacho de bananas, um macaco<br />
salta da extremidade da plataforma com velocidade de módulo v formando<br />
um ângulo θ com a direção horizontal. Qual é a distância entre o macaco e<br />
⃗v<br />
o cacho de bananas quando a coordenada x do macaco é x = d Despreze<br />
h<br />
a resistência do ar e escreva sua resposta em função de v, θ, d, h e da<br />
θ<br />
aceleração da gravidade g.<br />
0<br />
(b) (1,0 ponto) Considere que a velocidade do macaco no item (a) não<br />
é suficiente para alcançar o cacho de bananas e ele passa por baixo do<br />
d x<br />
cacho. O macaco tenta novamente, desta vez equipado com um propulsor<br />
a jato. A partir do momento em que é acionado, o propulsor a jato imprime<br />
Figura 5: O macaco e as bananas.<br />
sobre o macaco uma aceleração constante de módulo a (valor resultante,<br />
já subtraindo a aceleração da gravidade) orientada sempre na direção vertical para cima. Suponha que o macaco<br />
salta da plataforma com a mesma velocidade inicial do item (a) e que ele aciona o jato em um tempo T após o salto.<br />
Calcule as funções x(t) e y(t) que descrevem a posição do macaco para t > T . Escreva sua resposta em função de<br />
v, θ, d, h, g, a e T .<br />
(c) (0,5 ponto) Qual deve ser o tempo T para que o macaco alcance o cacho de bananas<br />
Dados: para o movimento uniformemente acelerado com ⃗a = aĵ e condições iniciais x(t = t 0 ) = x 0 , y(t = t 0 ) = y 0 , v x(t = t 0 ) = v 0x ,<br />
v y(t = t 0 ) = v 0y , temos: x(t) = x 0 + v 0x (t − t 0 ), y(t) = y 0 + v 0y (t − t 0 ) + a 2 (t − t 0) 2 .<br />
Solução:<br />
(a) Dadas as condições iniciais ⃗r(t = 0) = 0 e ⃗v(t = 0) = v cos θî + v sin θĵ, a trajetória do macaco é dada por<br />
x(t) = v cos θt,<br />
y(t) = v sin θt − g 2 t2 .<br />
O macaco passa por x = d no instante t = d/(v cos θ). Nesse instante, sua coordenada y é<br />
y(t = d/v cos θ) = tan θd −<br />
gd 2<br />
2v 2 cos 2 θ .<br />
Como o vetor posição do cacho de bananas é ⃗r b = dî + hĵ, a diferença entre a coordenada y do macaco e da banana<br />
nesse instante é<br />
gd 2<br />
∆y = h − y(t = d/v cos θ) ⇒ ∆y = h − tan θd +<br />
2v 2 cos 2 θ ,<br />
tal que ∆y > 0 se o macaco passa por baixo do cacho de bananas e ∆y < 0 se ele passa por cima.<br />
(b) Antes de ligar o jato, o macaco se move com aceleração constante −gĵ. Em t = T , as componentes do vetor<br />
posição são:<br />
e as componentes da velocidade são:<br />
x(T ) = v cos θT,<br />
y(T ) = v sin θT − g 2 T 2 ,<br />
v x (T ) = v cos θ,<br />
v y (T ) = v sin θ − gT.<br />
Para t > T , o macaco se move com aceleração constante aĵ. Usando as equações do movimento uniformemente<br />
acelerado com a posição e a velocidade em t = T , obtemos<br />
x(t > T ) = x(T ) + v x (T )(t − T )<br />
= v cos θt,<br />
5
y(t > T ) = y(T ) + v y (T )(t − T ) + a (t − T )2<br />
2<br />
= v sin θT − g 2 T 2 + (v sin θ − gT ) (t − T ) + a (t − T )2<br />
2<br />
= a + g T 2 − (a + g)tT + v sin θt + a 2<br />
2 t2 .<br />
(c) Como no item (a), o macaco passa por x = d no instante t = d/(v cos θ). Para que ele alcance a banana, sua<br />
coordenada y neste instante deve ser<br />
y(t = d/v cos θ) = a + g<br />
2<br />
Isso leva a uma equação do segundo grau em T<br />
A solução com T < d/(v cos θ) é<br />
T 2 −<br />
2d<br />
v cos θ T + 2<br />
a + g<br />
√ (<br />
T =<br />
d<br />
d<br />
v cos θ − v cos θ<br />
T 2 d<br />
− (a + g)<br />
v cos θ T + tan θd + ad 2<br />
2v 2 cos 2 θ = h.<br />
(<br />
tan θd +<br />
) 2<br />
− 2 (<br />
tan θd +<br />
a + g<br />
ad 2 )<br />
2v 2 cos 2 θ − h = 0.<br />
)<br />
ad 2<br />
2v 2 cos 2 θ − h .<br />
6