MATEMÃTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo - VouPassar.com.br

MATEMÁTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo<br />

CAPÍTULO 01<br />

JUROS SIMPLES e composto<br />

INTRODUÇÃO<br />

A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta ou indireta. Quanto<br />

mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios que teremos, tanto para ganhar dinheiro<br />

como para evitar perde-lo. Como por exemplo, na escolha do melhor financiamento de um bem ou<br />

onde fazer aplicações financeiras.<br />

O estudo da Matemática Financeira é todo feito em<br />

função do crescimento do capital (C) aplicado com o tempo.<br />

Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou<br />

dinheiro.<br />

O montante (M), ou seja, o valor final do capital<br />

aplicado é dado pela soma do capital inicial e uma segunda<br />

parcela, que é uma fração do capital inicial, à qual damos o<br />

nome de juro. Juro (J) é, portanto, a compensação financeira<br />

conseguida por um aplicador durante um certo tempo ou ainda<br />

o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa<br />

o capital de outra.<br />

O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de juro (i), que é dado<br />

geralmente em percentagem e sempre se refere a um intervalo de tempo (ano, semestre, mês, etc),<br />

tomado como unidade, denominado período financeiro ou, abreviadamente período (t ou n).<br />

Existem duas formas de serem calculados os juros a cada período: calculando sobre o capital inicial<br />

ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro caso esse crescimento se comporta como<br />

um progressão aritmética (P.A.) e no segundo caso o montante aumenta segundo uma progressão<br />

geometrica (P.G.).<br />

De outra forma temos:<br />

Quando os juros são acrescentados, ao capital inicialmente aplicado, somente após o término<br />

da aplicação, podemos dizer que estamos calculando juros simples.<br />

Quando os juros são incorporados ao capital após cada período de tempo, criando<br />

assim um novo capital a cada período, dizemos que estamos fazendo uma<br />

capitalização ou calculando juros compostos.<br />

Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da esquerda cresce<br />

linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas por vez (juros<br />

simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rápido, pois seu<br />

aumento é exponencial (juros compostos).<br />

1<br />

www.voupassar.com.br


CAPITAL (C): Aplicação, investimento,<br />

saldo inicial, valor inicial, valor atual,<br />

valor presente e principal.<br />

TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa<br />

de juros e percentual de juros.<br />

JUROS (J): Ganho, rendimento,<br />

excedente e compessação financeira.<br />

TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa<br />

de juros e percentual de juros.<br />

TEMPO (t): Prazo, período, número de<br />

períodos e unidades de tempo.<br />

LINK:<br />

Para compreender melhor esse assunto, é de grande valia conhecer bem o conceito de<br />

porcentagem, pois é uma ferramenta importante em tudo o que diz respeito a matemática financeira.<br />

Lembre-se que x% de y, significa uma fração de y, ou seja, x partes de y para cada 100.<br />

x<br />

x % de y .y<br />





JUROS SIMPLES<br />

Na capitalização simples, o juro produzido em vários períodos financeiros é constante em<br />

cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este coeficiente de proporcionalidade<br />

chamado de taxa de juros.<br />

CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTÃO:<br />

A importância de R$ 600,00 é aplicada numa instituição financeira à taxa de 6% ao mês<br />

(a.m.), durante 3 meses. Qual o montante após esse tempo<br />

No problema apresentado anteriormente, temos:<br />

capital aplicado .............. R$ 600,00<br />

taxa % ao mês .............. 6% = 6/100 = 0,06<br />

tempo em meses .......... 3 meses<br />

Temos que:<br />

Após o 1º período, os juros serão:<br />

0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00<br />


R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00<br />



Assim, o montante (capital mais rendimentos) será de:<br />


Vamos generalizar, deduzindo uma fórmula para calcular os juros simples.<br />

C capital aplicado<br />

i<br />

t<br />

taxa % por<br />

período<br />

de tempo<br />

número de períodos de tempo<br />

Então, temos<br />

Após o 1º período, o total de juros será: C.i;<br />

Após o 2º período, o total de juros será: C.i+C.i;<br />

Após o 3º período, o total será: C.i+C.i+C.i;<br />

Após o t-ésimo período, o total de juros será:<br />

C.i + C.i + C.i + .... + C.i.<br />

t parcelas<br />

Assim, a fórmula que fornece o total de juros simples é:<br />

J = C.i.t<br />

O montante final é de:<br />

M = C + J<br />




Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as fórmulas citadas. Calculando os<br />

juros simples, temos:<br />

J = 600.0,06.3 = 108<br />

O montante será de:<br />

M = C + J = 600 + 108 = 708<br />


Nas aplicações financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam convenção diferente<br />

para contagem do prazo.<br />

O tempo pode ser contado de duas formas:<br />

ANO CIVIL: 365 dias<br />

ANO COMERCIAL: 360 dias<br />

JUROS COMERCIAL (ORDINÁRIOS)<br />

Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o ano.<br />

Nas aplicações práticas e por convenção, quando nos referimos apenas ao número de meses,<br />

utilizaremos o mês comercial com 30 dias, de forma indiferente.<br />

JUROS EXATOS<br />

Adotam o ano civil e por isso deve ser contado o tempo exato.<br />

Fica implícito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas da negociação e<br />

do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata, inclusive considerando anos bissextos.<br />

É importante saber que os bancos trabalham com juros ordinários e tempo exato. Na<br />

contagem dos dias, em geral, exclui-se o primeiro e inclui-se o último dia.<br />


Taxa Diária (ao dia)<br />

Taxa Quinzenal (a quinzena)<br />

a.d.<br />

a.qi.<br />

Taxa Mensal (ao mês)<br />

a.m.<br />

Taxa Bimestral (ao bimestre)<br />

a.b.<br />

Taxa Trimestral (ao trimestre)<br />

a.t.<br />

Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre)<br />

a.q.<br />

Taxa Semestral (ao semestre)<br />

a.s.<br />

Taxa Anual (ao ano)<br />

a.a.<br />




SIMPLES X COMPOSTO<br />

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas<br />

modalidades a saber: Juros Simples ou Composto.<br />

Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros<br />

compostos, com um exemplo:<br />

Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos:<br />

JUROS SIMPLES ao longo do tempo, somente o principal rende juros.<br />

PRINCIPAL = 100<br />

N O DE MESES MONTANTE SIMPLES<br />

1 100 + 10%.100 = 110,00<br />

2 110 + 10%.100 = 120,00<br />

3 120 + 10%.100 = 130,00<br />

4 130 + 10%.100 = 140,00<br />

5 140 + 10%.100 = 150,00<br />

As taxas equivalentes para cada período são proporcionais ao tempo.<br />

100 +10% 110<br />

+10<br />






+20%<br />



JUROS COMPOSTOS após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por<br />

sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".<br />

PRINCIPAL = 100<br />

N O DE MESES MONTANTE COMPOSTO<br />

1 100,00 + 10%.100,00 = 110,00<br />

2 110,00 + 10%.110,00 = 121,00<br />

3 121,00 + 10%.121,00 = 133,10<br />

4 133,10 + 10%.133,10 = 146,41<br />

5 146,41 + 10%.146,41 = 161,05<br />

Nesse caso, as taxas equivalentes para cada período não são proporcionais.<br />

100 +10% 110 +10% 121 +10% 133,1 +10% 146,41<br />


+33,1%<br />

+46,41%<br />

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o<br />

crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito<br />

mais "rápido". Isto poderia ser ilustrado graficamente como no gráfico ao lado.<br />




Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores<br />

particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas<br />

aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de<br />

juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples<br />

não se justifica em estudos econômicos.<br />

M<br />

JUROS<br />

COMPOSTO<br />

JUROS<br />

SIMPLES<br />

C<br />




Para ganhar tempo em muitas questões, o que é fundamental em concursos, observe que se<br />

um capital x aumenta 20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o<br />

desenvolvimento:<br />

x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x<br />

Observe os aumentos e descontos a seguir:<br />





120%x<br />




20%<br />








2x<br />




















EXEMPLOS<br />

R –<br />

Reais<br />

I –<br />

01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, com taxa de 5% a.m..<br />

Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação.<br />

1ª SOLUÇÃO:<br />

Sem usar fórmula, temos que:<br />

5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 mês)<br />

Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos:<br />

Inteiros<br />

12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao N fim – de 12 meses)<br />

Portanto, o resgate (montante) será<br />


Irracio<br />

nais<br />

Q –<br />

Racion<br />

ais<br />

Z –<br />

Naturai<br />

s<br />





Dados:<br />

C = 800<br />

i = 5% a.m.<br />

t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo)<br />

Aplicando na fórmula J = C.i.t, temos<br />

J = 800.5%.12<br />

J = 800. 5 .12<br />


J = 480 (rendimento)<br />

Como M = C + J, então<br />

M = 800 + 480<br />

Portanto o resgate (montante) é de 1280 reais.<br />

02. Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de<br />

R$ 1.080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo<br />

SOLUÇÃO:<br />

1080 – 600 = 480 (juros obtidos após todo o período de aplicação)<br />

x% de 600 = 480<br />

480 80 (porcentagem do rendimento)<br />




Como 80 : 20 = 4, temos:<br />

4.20% = 80%<br />

Logo, o tempo de aplicação foi de 4 anos.<br />


Generalizando, podemos escrever um problema de juros simples<br />

assim:<br />

Se um capital C, aplicado à taxa i ao período, no sistema de juros<br />

simples, rende juros J, no fim de t períodos, então:<br />

i.C = juros obtidos no fim de 1 período<br />

(i.C).t = juros obtidos no fim de t períodos J = C . i . t<br />

03. Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um<br />

trimestre<br />


1º modo:<br />

Como a taxa está dada ao mês, o tempo deve ser usado em meses (3 meses = 1 trimestre). Se em 3<br />

meses os juros foram de R$ 90,00, em um mês foram de R$ 30,00 (90 : 3). Então R$ 30,00<br />

correspondem a 1,5% do capital.<br />

Fazemos 1,5% de x = R$ 30,00:<br />




1,5<br />




1,5x = 3000<br />


x 2000 (capital)<br />


2º modo:<br />

C = <br />

t = 3 meses (1 trimestre)<br />

J = 90<br />

i = 1,5% (0,015) ao mês<br />

J = C.i.t 90 = C. 0,015. 3<br />

0,045C = 90 C = 90/0,045 = 2000<br />

Portanto, o capital foi de R$ 2000,00.<br />

04. A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4.500,00, no sistema de juros simples, para que,<br />

depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5.040,00<br />


5040 – 4500 = 540 (rendimento em 4 meses)<br />

540 : 4 = 135 (rendimento em 1 mês)<br />

x% de 4500 = 135<br />

135 27 3<br />

3% (taxa de juros ao mês)<br />

4 500 900 100<br />



t = 4 meses<br />

J = 540 (5040 – 4500)<br />

i = <br />

J = C.i.t 540 = 4500.i.4 18000.i = 540<br />

Logo, devemos aplicar à taxa de 3% ao mês.<br />

i 540<br />

18 000<br />

= 0,03 3%<br />

05. Calcule o valor total a ser resgatado por um capital de dois milhões de reais aplicado em um<br />

banco por doze meses, sabendo-se que o banco corrige as aplicações em três por cento ao mês.<br />




J = 2000000.3%.12 M = 2000000 + 720000<br />

J = 720.000 M = 2.720.000<br />

06. Em quanto tempo um capital de duzentos e quarenta reais poderá se transformar em dois mil e<br />

quatrocentos reais, sabendo-se que a taxa de juros será de dez por cento ao mês.<br />


J = C.i.t 2400 = 240.J<br />

2160= 240.10%.t J = 2400 240<br />

n = 2160/24 J = 2.160<br />

n = 90 meses<br />




07. Em quanto tempo um capital dobra de tamanho, sabendo-se que a taxa de juros é de quarenta e<br />

cinco por cento ao ano<br />


Se o capital dobrar, ele irá aumentar 100%.<br />

Como esse capital aumenta 45% a cada ano, teremos:<br />

t = 100% / 45% = 20/9 anos<br />

t = 2 anos, 2 meses e 20 dias<br />

ou então<br />

t = 800 dias<br />

Observe que<br />

20/9 = 18/9 + 2/9 = 2 anos e 8/3 meses<br />

2 anos 2/9 de 12 = 8/3 (1 ano = 12 meses)<br />

8/3 = 6/3 + 2/3 = 2 meses e 20 dias<br />

2 meses 2/3 de 30 = 20 (1 mês = 30 dias)<br />



C = x<br />

M = 2x<br />

i = 45% a.a.<br />

Prevendo que o tempo, em anos, será um valor quebrado, devemos converter a taxa para diária<br />

(dividindo por 360), para encontraremos o tempo em dias.<br />

Se<br />

M = 2C<br />

então<br />

J = C<br />

logo<br />



C = C. .t 360<br />


1 = .t<br />


portanto<br />

t = 800 dias<br />

08. Qual o capital que produz dezoito mil reais de juros em quarenta e cinco meses a uma taxa de<br />

juros de dois por cento ao mês<br />


Seja<br />


Então<br />




18000 = C.2%.45<br />

C = 18000 / 0,02.45<br />

C = 18000 / 0,9<br />


09. Determinar em quanto tempo um capital quadruplicará a juros simples quando aplicado a 10% ao<br />

mês.<br />


Chamando de t o número de meses para que um capital C quadruplique, temos que os juros<br />

produzidos são o triplo do capital inicial, ou seja,<br />

J = 3C.<br />

portanto:<br />

J = C . i . t<br />

3C = C . i . t<br />

3C = C . 0,10 . t<br />

0,10.t = 3<br />

t = 30<br />

O tempo necessário é de 30 meses, ou seja, dois anos e meio.<br />

10. Determine a taxa de juros que triplica um capital em nove meses.<br />


Se o capital triplica, temos então que M = 3C.<br />

Como J = M – C, então J = 2C.<br />



2C = C.i.9<br />

2 = 9i<br />

i = 2/9 = 0,22<br />

Portanto a taxa é de 22% a.m.<br />

11. Calcule a taxa de juros mensal que faz um capital dobrar em 6 meses e 20 dias.<br />


Se M = 2C, então<br />

J = M – C J = C<br />



Como t = 6 meses e 20 dias = 200 dias, temos:<br />

C = C.i.200<br />

1 = 200i<br />

i = 1/200 = 0,5/100 = 0,5% a.d.<br />

Portanto 15% a.m.<br />

12. Determine o montante ao fim de 3 meses e 10 dias, resultante da aplicação de um capital de R$<br />

500,00 sob uma taxa de 36%a.a..<br />







i = 36% a.a. = 3% a.m. = 0,1% a.d.<br />

t = 3 meses e 10 dias = 100 dias<br />

Sendo<br />



J = 500.0,1%.100<br />


Logo<br />


M = 500 + 50 = 550<br />

13. Um boleto bancário no valor de R$ 300,00 venceu no dia 10 de março e foi pago no dia 26 de<br />

setembro do mesmo ano. Determine o valor pago, sabendo que são cobrados juros diários (taxa de<br />

1,5% a.m.) e uma multa de 5% sobre o valor de face.<br />




Multa = 5% de 300 = 15<br />

i = 1,5% a.m. = 0,05% a.d.<br />

Como foram dadas as datas do vencimento e do pagamento, admitiremos que os juros sejam<br />

ordinários, ou seja, devemos contar o tempo exato.<br />

De 10/03 a 10/09 temos 6 meses (180 dias comerciais), então de 10/03 a 26/09 temos 6 meses<br />

e 16 dias. Como Mar, Mai, Jul e Ago tem 31 dias, devemos somar 4 dias ao tempo comercial, ou seja<br />

t = 6 meses e 16 dias = 180 + 4 + 16 = 200 dias<br />

Portanto<br />

J = 300.0,05%.200<br />


Logo o valor pago será<br />

V = 300 + 30 + 15<br />

V = 345<br />

14. Uma pessoa aplica a terça parte do seu capital a 5% ao mês, a quarta parte a 8% ao mês e o<br />

restante a 6% ao mês. No fim do mês recebe R$ 1.480,00 de rendimentos. Calcular o capital inicial.<br />


Chamando de C o capital, temos:<br />

C 1 = C/3 foi aplicado a 5% a.m.<br />

C 2 = C/4 foi aplicado a 8% a.m.<br />

C 3 = C – C 2 – C 3 foi aplicado a 6% a.m.<br />

Então resta a ser aplicado (a 6% a.m.)<br />




C 12 . C<br />


4 . C<br />


Assim sendo, após 1 mês tem-se:<br />

3 . C<br />

5. C<br />





J 1 + J 2 + J 3 = 1480<br />

Ou seja<br />

5%.C 1 .1 + 8%.C 2 .1 + 6%.C 3 .1 = 1480<br />

5 C 8 C 6 5.<br />

. . .<br />

C 1.480,00<br />

100 3 100 4 100 12<br />

Multiplicando os dois membros da equação anterior por 1200 encontramos:<br />

20.C + 24.C + 30.C = 1776000<br />

portanto:<br />


Assim, concluímos que o capital inicial era de R$ 24.000,00.<br />

15. (FCC) Um capital de R$ 5 500,00 foi aplicado a juro simples e ao final de 1 ano e 8 meses foi<br />

retirado o montante de R$ 7 040,00. A taxa mensal dessa aplicação era de<br />

a) 1,8% b) 1,7% c) 1,6% d) 1,5% e) 1,4%<br />




M = 7040<br />

t = 1 ano e 8 meses = 20 meses<br />


J = M – C = 7040 – 5500 = 1540<br />



Temos<br />

1540 = 5500 . i . 20<br />


i = = 0,014<br />


portanto<br />

i = 1,4% a.m.<br />

JUROS COMPOSTOS<br />

Na capitalização composta, o juro produzido no final de cada período financeiro é somado ao<br />

capital que o produziu, passando os dois, capital mais juros a render juros no período seguinte.<br />

Quando estudamos juros simples, calculamos o montante produzido por R$ 600,00, aplicados<br />

a 6% a.m., depois de 3 meses. Obtivemos um montante final de R$ 708,00.<br />

No entanto é muito mais comum as aplicações serem feitas a juros compostos, ou seja, após<br />

cada período de tempo, os juros são integrados ao capital, passando também a render juros, como,<br />

por exemplo, nas cadernetas de poupança.<br />

Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos:<br />

Após o 1º período (mês), o montante será:<br />





1,06 . R$ 674,16 = R$ 714, 61<br />




Esse é o montante final, representado por M. Observe que esse montante é maior do que o achado<br />

anteriormente, quando utilizamos juros simples.<br />

Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma fórmula para o cálculo de juros<br />

compostos.<br />

Sejam:<br />

C capital inicial<br />




taxa % por período de tempo<br />

número de períodos de tempo<br />

mon tante<br />

final<br />

Então:<br />

após o 1º período (mês), o montante será:<br />

M 1 = C + i.C<br />

M 1 = C.(1 + i);<br />


M 2 = M 1 + i.M 1 M 2 = M 1 .(1 + i)<br />

M 2 = C(1 + i).(1 + i) M 2 = C.(1 + i) 2 .<br />


M 3 = M 2 + i.M 2 M 3 = M 2 .(1 + i)<br />

M 3 = C(1 + i) 2 .(1 + i) M 3 = C.(1 + i) 3 .<br />

Procedendo de modo análogo, é fácil concluir que, após t períodos de tempo, o valor M t , que<br />

indicaremos simplesmente por M, será:<br />

M = C.(1 + i) t<br />

Assim, resolvendo novamente o problema dado, temos:<br />

M = 600.(1+6%) 3<br />

Olhando na tabela 1, temos (1+6%) 3 = 1,1910, logo<br />

M = 600.1,1910<br />


M = 714,60<br />

Para determinar os juros produzidos, basta calcular a diferença entre o montante produzido e<br />

o capital.<br />

J = M – C<br />

No exemplo dado, teremos:<br />

J = 714,60 – 600<br />


J = 114,60<br />





Na fórmula para o cálculo do Montante aparecem<br />

quatro variáveis: M, C, i e t. Podemos encontrar<br />

qualquer uma delas, desde que se conheçam as outras<br />

três.<br />

É extremamente importante saber ler e interpretar as<br />

tabelas contidas nos anexos. A tabela I, por exemplo,<br />

diz respeito à capitalização composta, dando o fator de<br />

acumulação (1+i) t .<br />

Portanto, você não precisa calcular o valor de<br />

(1+5%) 10 , basta olhar o resultado na linha 10 (período),<br />

coluna 5% (taxa) e encontrar 1,6289.<br />


É extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos anexos. A tabela 1,<br />

por exemplo, diz respeito à capitalização composta, dando o fator de acumulação (1+i) n .<br />

Portanto, você não precisa calcular o valor de (1+8%) 6 , basta olhar nessa tabela o resultado na<br />

linha 6 (período) associada à coluna 8% (taxa), para encontrar 1,5869 (como visto na figura).<br />







01. Um capital de R$800 é aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos, com taxa de 5% a.m..<br />

Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação<br />


Dado:<br />





<br />

R$800,00<br />

5% a.m.<br />

1ano<br />

12 meses<br />


M = C.(1 + i) t<br />


M = 800.(1+5%) 12<br />

Pela tabela 1, temos:<br />

M = 800.1,796 = 1436,8<br />

Portanto o montante final será de R$ 1.436,80.<br />

02. Qual o capital que, aplicado em caderneta de poupança, produz um montante de R$ 41.674,50 em 3<br />

meses, a 5% ao mês<br />


M = C . (1 + i) t C<br />


, em que:<br />


(1 i)<br />

M R$<br />

41.674,50<br />




<br />

5% ou 0,05 ao mês<br />


MESMA UNIDADE DE TEMPO<br />



41674,50 41674,50<br />



(1,05) 1,157625<br />

O capital aplicado é R$ 36.000,00.<br />


03. Determinar em quantos meses um capital de R$ 240.000,00 produz R$ 37.830,00 de rendimento, quando<br />

aplicado a juros compostos, a 5% ao mês.<br />


Encontrando inicialmente o montante final, temos:<br />

M = 240000 + 37830 = 277830<br />


M = C . (1 + i) t , em que:<br />








R$<br />




5% ou 0,05 ao mês<br />

meses<br />


Assim:<br />

(1+i) t =<br />



(1<br />


0,05)<br />



Portanto:<br />

(1 + 0,05) t = 1,15763<br />

Uma forma mais simples, seria você olhar na tabela I, para qual valor de t (período) o valor de<br />

(1+5%) t é igual a 1,15763 e irá encontrar 3.<br />

Portanto, o capital ficou aplicado durante 3 meses.<br />

04. Foram aplicados R$ 50.000,00 a juros compostos a 10% a.m. Determinar depois de quanto tempo essa<br />

quantia rendeu R$ 23.205,00.<br />


Temos: M = C . (1 + i) t e M = C + j, em que t é o tempo em meses.<br />


50000.(1 + 0,1) t = 50000 + 23205<br />

50000.(1,1) t = 73.205<br />

(1,1) t = 1,4641<br />

Observando a tabela I, verifica–se que na coluna de 10% encontraremos 1,4641 para t = 4.<br />

Portanto, veremos que o tempo de aplicação foi de 4 meses.<br />

05. A que taxa percentual ao mês foi aplicado, em caderneta de poupança, um capital de R$ 300.000,00<br />

para, na quanta parte do ano, produzir um montante de R$ 347.287,50<br />


Como o problema pede a taxa percentual ao mês, deveremos trabalhar com o tempo em meses.<br />

Como a quarta parte do ano equivale a 3 meses, temos:<br />

M = C . (1 + i) t , em que<br />









% ao mês<br />



(1 + i) t =<br />


M (1 + i) t =<br />


347287 ,5<br />


(1 + i) t = 1,1576<br />

Observando a tabela I, verifica–se que na linha t = 3 encontraremos 1,1576 para i = 5%.<br />

Portanto a taxa foi de 5% ao mês.<br />




CALCULO DE MONTANTE PARA Períodos não–<br />

inteiros<br />

Para calcular o montante em juros composto em que o período não seja um número<br />

inteiro de períodos a que se refere à taxa considerada. Isto decorre do fato de que estamos<br />

considerando capitalizações descontínuas, ou seja, os juros supõem-se formados apenas<br />

no fim de cada período de capitalização. Devemos, portanto, considerar hipóteses<br />

adicionais para resolver o problema.<br />

Dessa forma, podemos utilizar dois métodos: convenção exponencial (valor real) ou<br />

convenção linear (valor aproximado).<br />

CONVENÇÃO EXPONENCIAL<br />

É aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa<br />

equivalente. Ou seja, se a taxa for anual e o período for dado em anos e meses, devemos trabalhar<br />

com a taxa mensal equivalente e o período em meses.<br />

MONTANTE<br />

M 2<br />




t 1<br />



PERÍODO<br />

CONVENÇÃO LINEAR<br />

É aquela em que os juros do período não-inteiro são calculados por interpolação. Ou seja,<br />

deve-se calcular os montantes no período anterior e posterior ao período não-inteiro, considerando<br />

um crescimento linear entre eles.<br />

MONTANTE<br />








PERÍODO<br />





JUROS SIMPLES<br />



J = juros simples<br />

C = capital aplicado<br />

t = número de períodos de tempo<br />

i = taxa % por período de tempo<br />

M = montante<br />

JUROS COMPOSTOS<br />

M = C . (1 + i) t<br />

M = C + j<br />

J = juros produzidos<br />

C = capital inicial<br />

t = número de períodos de tempo<br />

i = taxa % por período de tempo<br />

M = montante final<br />

EXERCÍCIOS<br />

01. (CESGRANRIO) Aplicações financeiras podem ser feitas em períodos fracionários e inteiros<br />

em relação à taxa apresentada, tanto em regimes de capitalização simples quanto compostos. A partir<br />

de um mesmo capital inicial, é possível afirmar que o montante final obtido pelo regime composto<br />

em relação ao montante obtido pelo regime simples:<br />

a) é sempre maior<br />

b) é sempre menor<br />

c) nunca é igual<br />

d) nunca é menor<br />

e) pode ser menor<br />

02. Foi feita uma aplicação de R$ 4.000,00 a uma taxa de 20% a.q., em um regime de juros simples,<br />

durante três trimestres. Determine o valor do resgate após esse período.<br />

a) R$ 6.200,00<br />

b) R$ 5.800,00<br />

c) R$ 4.500,00<br />

d) R$ 2.400,00<br />

e) R$ 1.800,00<br />

03. Diego atrasou o pagamento de um boleto bancário de R$120,00, que venceu dia 12 de janeiro de<br />

2009. Em caso de atraso será cobrada multa de 4% e juros simples de 3% a.m.. Quanto seria o total<br />

pago por ele no dia 21 de junho do mesmo ano<br />

a) 139,20<br />

b) 144,00<br />

c) 153,00<br />

d) 162,40<br />




04. (FCC) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12 800,00 foi aplicado à taxa<br />

anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, esse capital deve ficar aplicado por um<br />

período de<br />

a) 8 meses.<br />

b) 10 meses.<br />

c) 1 ano e 2 meses.<br />

d) 1 ano e 5 meses.<br />

e) 1 ano e 8 meses.<br />

05. (ESAF) O preço à vista de uma mercadoria é de $1.000,00. O comprador pode, entretanto, pagar<br />

20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $922,60 vencível em 90 dias.<br />

Admitindo-se o regime de juros simples, a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é de:<br />

a) 98,4%<br />

b) 122,6%<br />

c) 22,6%<br />

d) 49,04%<br />

e) 61,3%<br />

06. (FCC) Num mesmo dia, são aplicados a juros simples: 2/5 de um capital a 2,5% ao mês e o<br />

restante, a 18% ao ano. Se, decorridos 2 anos e 8 meses da aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7<br />

600,00, o capital inicial era<br />

a) R$ 12 500,00<br />

b) R$ 12 750,00<br />

c) R$ 14 000,00<br />

d) R$ 14 500,00<br />

e) R$ 14 750,00<br />

07. (FCC) Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabese<br />

que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao<br />

final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi:<br />






08. (NCE) Antônio tomou um empréstimo de R$5.000,00 a uma taxa de juros mensal de 4% sobre o<br />

saldo devedor, ou seja, a cada mês é cobrado um juro de 4% sobre o que resta a pagar. Antônio<br />

pagou R$700,00 ao final do primeiro mês e R$1.680,00 ao final do segundo; se Antônio decidir<br />

quitar a dívida ao final do terceiro mês, terá de pagar a seguinte quantia:<br />

a) R$3.500,00<br />

b) R$3.721,00<br />

c) R$3.898,00<br />

d) R$3.972,00<br />




e) R$3.120,00<br />

09. (FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao<br />

mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês.<br />

Determine quantos meses depois da primeira aplicação o montante referente ao valor aplicado pela<br />

primeira pessoa será igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa.<br />

a) 22<br />

b) 20<br />

c) 24<br />

d) 26<br />

e) 18<br />

10. (ACEP) Fátima aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês e por um<br />

prazo de 1 trimestre. Tendo sido as capitalizações mensais, qual será o valor do resgate<br />



c) R$ 331,00<br />

d) R$ 300,00<br />


11. (FCC) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês durante 3 meses. Os<br />

montantes correspondentes obtidos segundo capitalização simples e composta, respectivamente,<br />

valem<br />

a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45.<br />

b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00.<br />

c) R$ 2.185,45 e R$ 2.485,45.<br />

d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00.<br />

12. (FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ano.<br />

O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um<br />

bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicações foi<br />

a) R$ 149, 09<br />

b) R$ 125,10<br />



e) R$ 62,16<br />

13. A caixa beneficente de uma entidade rende, a cada mês, 10% sobre o saldo do mês anterior. Se,<br />

no início de um mês, o saldo era x, e considerando-se que não haja retiradas, depois de 4 meses o<br />

saldo será de:<br />

a) (11/10) 4 .x<br />

b) (11/10) 3 .x<br />

c) x + (11/10) 4 .x<br />

d) x + (11/10).x<br />




e) x + 40%.x<br />

14. Carol investiu R$3.000,00 em um fundo de longo prazo, que rende cumulativamente 4% a.m.<br />

Quanto ela irá resgatar dois anos depois<br />

a) 9.760,00<br />

b) 8.310,00<br />

c) 7.690,00<br />

d) 6.970,00<br />

15. Determine o valor mais próximo da aplicação que 14 meses mais tarde gera um montante de<br />

R$2.000,00, quando submetido a uma taxa mensal composta de 5%.<br />





16. (FCC) O capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalização composta, deve<br />

estar vinculado a uma taxa mensal de<br />

a) 50%<br />

b) 100%<br />

c) 150%<br />

d) 200%<br />

17. Quantos meses são necessários para que um capital triplique, se for submetido a uma taxa de<br />

juros compostos de 13%a.m.<br />





18. (ESAF) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de 9% ao trimestre<br />

aumenta 100%.<br />





e) 6<br />

19. Uma aplicação de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa mensal composta<br />

de juros dessa operação<br />








20. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$5.000,00, em regime de juros compostos e<br />

taxa de 6%a.t., para gerar um montante de R$7.518,00<br />

a) 7 anos<br />

b) 2 anos e 1 mês<br />

c) 1 ano e 9 meses<br />

d) 1 ano e 3 meses<br />

GABARITO<br />

01. E 02. B 03. B 04. B 05. E<br />

06. A 07. E 08. E 09. A 10. A<br />

11. A 12. D 13. A 14. C 15. A<br />

16. B 17. A 18. D 19. C 20. C<br />




médias<br />


Prazo, taxa e capital médio são aqueles que substituem diversas aplicações financeiras por<br />

uma única. É muito utilizado em operações de desconto de títulos quando precisamos saber o prazo<br />

médio do desconto, ou a taxa média (ou única) ou, ainda, o capital médio.<br />

Esse assunto vem sendo cobrado em muitos concursos públicos, com destaque para provas da<br />

Esaf. Observe a teoria e os exercícios resolvidos para perceber a diferença entre cada uma das<br />

médias.<br />

TAXA MÉDIA<br />

Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos distintos, podemos<br />

encontrar através de média ponderada a taxa média em que esses capitais poderão ser aplicados<br />

produzindo os mesmos montantes.<br />



C1.<br />

i1.<br />

t1<br />

C . t<br />










...<br />


Cn.<br />



n<br />



. t<br />


PRAZO MÉDIO<br />

Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos distintos, podemos<br />

encontrar através de média ponderada o prazo média em que esses capitais poderão ser aplicados<br />

produzindo os mesmos montantes.<br />






C . i<br />












Cn.<br />






. t<br />


CAPITAL MÉDIO<br />

Quando vários capitais são aplicados a taxas diferentes e em períodos distintos,<br />

podemos encontrar através de média ponderada o capital médio.<br />









i . t i . t<br />






... C<br />

... i . t<br />




. i . t<br />






exemplos<br />

01. Três meses atrás tomei num mesmo dia e ao mesmo credor os seguintes empréstimos a juros<br />

postecipados:<br />

C 1 = 30.000 i = 10% a.m. prazo = 7 meses<br />



Agora estou negociando com o credor para trocar os três títulos por um único de valor igual ao<br />

somatório dos três originais. O credor concordou desde que não sofresse prejuízo. Como eu também<br />

não quero ser prejudicado, qual deve ser o prazo dessa letra única<br />



C.<br />

i.<br />




Como 1 mês = 30 dias, temos<br />

t = 8,84375 . 30<br />


t = 265 dias.<br />


30000.0,1.7 60000.0,11.8 80000.0,12.10<br />

30000.0,1 60000.0,11 80000.0,12<br />





Isto quer dizer que posso trocar os três títulos por um único, cujo vencimento se dará em 265<br />

dias, sem haver perda para ambas as partes.<br />






Qual a taxa média de juros desses três títulos<br />









30000.0,1.7 60000.0,11.8 80000.0,12.10<br />

30000.7 60000.8 80000.10<br />








Isto quer dizer que se aplicarmos os três capitais, pelos prazos inicialmente estabelecidos, a uma<br />

taxa de 11,294% ao período, o rendimento será igual a se fosse aplicado as taxas de 10%, 11% e<br />

12%.<br />






Nesse caso, qual o Capital médio desses três títulos<br />









30000.0,1.7 60000.0,11.8 80000.0,12.10<br />

0,10.7 0,11.8 0,12.10<br />





Isto quer dizer que o capital médio aplicado é de R$ 61.079,14.<br />

exercícios<br />

01. (ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros simples durante<br />

o mesmo prazo às taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal média<br />

de aplicação destes capitais.<br />






02. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4%<br />

ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo<br />

médio de aplicação destes capitais.<br />

a) quatro meses<br />

b) quatro meses e cinco dias<br />

c) três meses e vinte e dois dias<br />

d) dois meses e vinte dias<br />

e) oito meses<br />




03. (ESAF) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a<br />

juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente.<br />

Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.<br />






04. (ESAF) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00<br />

é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é aplicado a 4% ao mês e o capital de R$<br />

5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.<br />





e) 2%<br />

05. (ESAF) Os capitais de R$2.500,00, R$3.500,00, R$4.000,00 e R$3.000,00 são aplicados a juros<br />

simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha<br />

a taxa média mensal de aplicações de capitais.<br />







01. C 02. A 03. E 04. B 05. E<br />




DESCONTOS<br />


DESCONTO SIMPLES<br />

Os títulos de crédito, tais como Nota Promissória, Duplicata, Letra de Câmbio, são<br />

instrumentos legais com todas as garantias jurídicas que podem ser negociados com uma instituição<br />

de crédito, gerando uma operação ativa, que consiste na transferência de direito através de endosso,<br />

em troca do seu valor nominal ou de face, menos os juros proporcionais à taxa, vezes o tempo<br />

compreendido entre a data da emissão até o vencimento do título.<br />

Atualmente, não apenas os Bancos, mas empresas especializadas efetuam essas operações,<br />

que chamaremos de DESCONTO.<br />

Temos os seguinte tipos de descontos:<br />

Comercial (Por Fora)<br />

Racional (Por Dentro)<br />

Bancário<br />

NOMENCLATURA<br />

VALOR NOMINAL ou de FACE (N)<br />

Quantia declarada no título, o valor pelo qual foi emitido.<br />

DESCONTO (D)<br />

Valor obtido pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um compromisso, quando<br />

quitado “n” períodos antes do vencimento.<br />

TEMPO (t ou n)<br />

Prazo compreendido entre a data da operação (desconto) e a data do vencimento. Os dias serão<br />

contados excluindo se o dia da operação e incluindo se a data do vencimento.<br />

TAXA (i)<br />

Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem) unidades, num determinado<br />

período, ou seja, o percentual de juros.<br />

VALOR ATUAL ou ATUAL (A)<br />

É a diferença entre o Valor Nominal e o Desconto.<br />

DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)<br />

O calculo é efetuado sobre o valor nominal do título, de forma semelhante ao calculo dos<br />

juros simples.<br />

A<br />

1 i.<br />


D<br />



N<br />






A – Valor Atual (Valor com desconto)<br />

D – Desconto (Valor a ser descontado)<br />

N – Valor Nominal (Valor de face e sem desconto)<br />

Onde N = A + D.<br />

Podemos ainda dizer que na fórmula dos juros simples J = C.i.t, o capital pode ser substituído<br />

por N e os juros por D C , então temos:<br />

D C = N.i.t<br />

A = N – D C<br />

EXEMPLO:<br />

Qual o desconto comercial, sofrido por uma NP de R$ 7.000,00, à taxa de 6% a.m., 2 meses antes do<br />

vencimento<br />



N = 7.000<br />



Aplicando a relação, temos:<br />


7000 D = 840<br />

6%.2<br />


Qual o valor atual de um título de R$ 6.000,00 descontado comercialmente à taxa de 36% a.a., 3<br />

meses antes do vencimento<br />




i = 36% a.a.<br />


Lembre-se que 36% a.a é equivalente a 3% a.m.<br />




A = 5460<br />

1 3%.3<br />

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO)<br />

Nesse caso o calculo é feito sobre o valor líquido ou atual.<br />







1 i.<br />






A – Valor Atual (Valor com desconto)<br />

D – Desconto (Valor a ser descontado)<br />

N – Valor Nominal (Valor de face e sem desconto)<br />

Observe que sempre N = A + D.<br />

Podemos ainda dizer que na fórmula dos juros simples J = C.i.t, o capital pode ser substituído<br />

por A e os juros por D R , então temos:<br />

D R = A.i.t<br />

A = N – D R<br />


Qual o desconto racional, sofrido por uma NP de R$ 7.000,00, à taxa de 6% a.m., vencível em 2<br />








D 7000<br />

D = 750<br />

6%.2 1 6%.2<br />

Observe que o valor atual (A) é igual a R$ 6.250,00 e sofrendo aumento a juros simples de 12% (2<br />

meses) produzirá um montante igual ao valor nominal (N).<br />


Um cheque de R$ 3.360,00 com data para 90 dias foi trocado em uma Factoring. Quanto será o valor<br />

atual recebido se a operadora cobrar uma taxa proporcional de 4% a.m. e seguir o desconto racional<br />



N = 3360<br />


t = 90 dias = 3 meses (mês comercial)<br />

Como o desconto é feito por dentro, os juros foram calculados com base no valor atual, equivalente a<br />

100%.<br />

Portanto A = 3360.(1+3.4%) = 3000<br />

(FCC) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois<br />

meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de<br />

resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com<br />

vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês,<br />

determine o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos.<br />





Como os descontos são comerciais, devem ser calculados sobre seus valores nominais.<br />



0 1 2 3 4<br />

–8%<br />



Para o primeiro valor temos um desconto de 8%, logo<br />

A 1 = 92%.N 1<br />


50000 = .N1 100<br />

N 1 = 54347,8<br />

Para o segundo temos desconto de 4%, logo<br />

A 2 = 96%.N 2<br />


100000 = .N2 100<br />

N 2 = 104166,7<br />


N = N 1 + N 2<br />

N = 158514,5<br />

(FCC) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operações de<br />

cinco meses. Deste modo, determine o valor mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o<br />

banco deverá cobrar em suas operações de cinco meses.<br />


No juro simples as taxa são sempre proporcionais, logo<br />

i = 24% a.t. = 8% a.m.<br />

Portanto a taxa em 5 meses será<br />

i = 40%<br />

Como a taxa efetiva é calculada em relação ao valor atual, temos<br />

N = 140%. A<br />


N = . A 100<br />


A = . N 140<br />

A = 0,714. N<br />

Sendo o desconto comercial calculado em relação ao valor nominal, temos<br />

A = 71,4%.N<br />

o que representa um desconto de 28,6% em cinco meses, então<br />

i = 5,72% a.m. = 17,16% a.t.<br />


Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma<br />

taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto<br />

fosse simples e racional.<br />





Na questão, o valor nominal nos dois casos (comercial ou racional) é o mesmo e a taxa para o<br />

trimestre é de 9%.<br />

No caso de desconto comercial, o valor nominal é o referencial (100%), portanto:<br />







Ou seja,<br />

9810 N N = 9810/0,09 = 109000<br />



Já no caso de desconto racional, o valor atual é o referencial (100%), portanto:<br />








D 109000<br />

D = 0,09.109000/1,09<br />

9% 109%<br />

D = 9000<br />


Outra maneira é perceber a relação direta que existe entre o desconto comercial (D C ) e<br />

racional (D R ).<br />

D C = D R .(1 + i.t)<br />

Sabendo que a taxa mensal é 3% e para o trimestre é de 9%, temos:<br />

9810 = D R .(1 + 9%)<br />

D R = 9810/1,09 = 9000<br />


A seguir serão apresentados os quatro casos que mais aparecem em provas, no que diz<br />

respeito a equivalências de taxas de descontos comerciais e racionais.<br />

COMERCIAL (POR FORA)<br />

TAXA EFETIVA)<br />










0 t<br />






















RACIONAL (POR DENTRO OU<br />
















www.voupassar.com.br<br />



31



01. Um cheque de R$ 800,00 com data para 120 dias foi trocado em uma Factoring. Quanto será o<br />

valor atual recebido se a operadora cobrar uma taxa simples de 60% a.a. e seguir o desconto<br />

comercial<br />

a) R$ 600,00<br />




02. Leonardo resgatou uma nota promissória 5 meses antes do seu vencimento e por isso teve<br />

desconto de R$100,00. Sabendo que a taxa usada foi de 4%a.m. e o desconto foi comercial,<br />

determine o valor dessa NP.<br />





03. Nícolas descontou antecipadamente, em uma financeira, um cheque com data para 3 meses mais<br />

tarde e por isso a financeira descontou R$96,00 de seu valor. Sabendo que a taxa efetiva usada foi de<br />

4%a.m.. Determine o valor desse cheque.<br />





04. A loja Alfa Móveis, vende uma mesa por R$ 600,00 em quatro parcelas mensais e iguais. O<br />

pagamento é feito com quatro cheques no valor de R$ 150,00 cada, sendo o primeiro para 30 dias e<br />

os outros com datas para os meses subsequentes. Para receber o dinheiro antecipado, a loja recorre a<br />

uma financeira, que desconta comercialmente todos os cheques a uma taxa simples de 10% a.m..<br />

Quanto receberá o comerciante<br />





05. Uma loja de informática vendeu um equipamento por R$ 514,80 e recebeu 3 cheques no valor de<br />

R$ 171,60 para 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Para receber o dinheiro antecipado, recorreu a uma<br />

financeira e descontou-os antecipadamente a uma taxa simples de 10% a.m.. Se a financeira utilizar o<br />

desconto por dentro, quanto receberá o comerciante<br />








06. Em uma loja o comerciante pode vender os produtos de duas formas: a vista, dando um desconto<br />

comercial de x%, ou sem desconto e a prazo, recebendo um cheque para 60 dias. Sabendo que esse<br />

cheque será negociado em uma Factoring com desconto racional de 25% para o mesmo período,<br />

determine o valor de x para que a escolha da opção seja indiferente para o comerciante.<br />





07. (ESAF) Um cheque pré-datado é adquirido com um desconto comercial de 20% por uma<br />

empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da<br />

operação considerando um desconto simples por dentro.<br />

a) 6,25%.<br />

b) 6%.<br />

c) 4%.<br />

d) 5%.<br />

e) 5,5%.<br />

08. (ESAF) Um valor de R$1.100,00 deve ser descontado racionalmente, um bimestre antes do<br />

vencimento. Determine o valor atual recebido na operação, sabendo que a taxa mensal utilizada foi<br />

de 60%.<br />





09. (ESAF) A uma taxa de juros de 25% ao período, uma quantia de 1000 no fim do período t, mais<br />

uma quantia de 2000 no fim do período t+2, são equivalentes, no fim do período t+1, a uma quantia<br />

de:<br />

a) $ 4062,50<br />

b) $ 3525,00<br />

c) $ 2850,00<br />

d) $ 3250,00<br />

10. Um título público de R$10.000,00 é descontado 3 semestres antes do vencimento, com taxa<br />

efetiva de 50%a.s.. Qual seria a taxa semestral, se o desconto fosse comercial<br />








11. Um desconto comercial simples de 25% a.m. é dado a uma duplicada três meses antes do<br />

vencimento. Se o desconto tivesse sido racional, para se obter o mesmo valor atual um trimestre<br />

antes, qual teria sido a taxa mensal na operação<br />





12. (CESGRANRIO) Uma duplicata no valor de R$13.000,00 deve ser descontada um ano antes do<br />

vencimento, com taxa de 30% a.a.. Determine a diferença entre D – d, onde D é o valor do desconto<br />

caso seja comercial e d é o valor do desconto caso seja racional.<br />






01. B 02. A 03. B 04. A 05. A 06. C<br />

07. A 08. B 09. C 10. C 11. C 12. D<br />





TIPOS DE TAXAS<br />

TAXAS PROPORCIONAIS<br />

Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando ao serem aplicadas a um mesmo capital,<br />

durante um mesmo período de tempo, produzem um mesmo montante no final do prazo, em regimes<br />

de juros simples.<br />

i i<br />



B<br />



T<br />



S<br />






1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a.<br />

2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a.<br />

24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m.<br />

TAXAS EQUIVALENTES<br />

ou<br />







Duas ou mais taxas são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, em<br />

regime de juros compostos, capitalizados em prazos diferentes, durante um mesmo período de<br />

tempo, produzem um mesmo montante no final do período.<br />

Assim duas ou mais taxas são equivalentes se, e somente se:<br />


B<br />



T<br />



S<br />










( 1 ia<br />

) C(1<br />

is<br />


it<br />


im)<br />

C(1<br />

id<br />

)<br />






( 1 i<br />

a)<br />

(1 is<br />

) (1 it<br />

) (1 im)<br />

(1 id<br />

)<br />


De maneira geral temos:<br />

I taxa do período maior.<br />

i taxa do período menor.<br />

n numero de vezes que o período maior contém o menor.<br />

Podemos escrever que então:<br />



( 1 i)<br />

(1 I)<br />




i 1<br />



l<br />

l<br />


Qual a taxa bimestral equivalente 2% a.m.<br />






Observando a tabela I, temos:<br />

(1+2%) 2 = 1,0404 = 1 + 4,04%<br />

Portanto, 2% a.m é equivalente a 4,04% a.b.<br />


Qual a taxa anual equivalente 5% a.b.<br />


Observando a tabela I, temos:<br />

(1+5%) 6 = 1,34 = 1 + 34%<br />

Portanto, 5% a.b é equivalente a 34% a.a.<br />


Qual a taxa mensal equivalente 42,58% a.a.<br />


Do enunciado temos:<br />

(1 + i M ) 12 = (1 + 42,58%) 1<br />


(1 + i M ) 12 = 1,4258<br />

Observando a tabela I, na linha n = 12 temos uma taxa de 3%.<br />

Portanto, 42,58% a.a. é equivalente a 3% a.m.<br />


Qual a taxa mensal equivalente a 60% a.a.<br />


Do enunciado temos:<br />

(1 + i M ) 12 = (1 + 60%) 1<br />


(1 + i M ) 12 = 1,60<br />

Observando a tabela I, na linha n = 12 temos 1,60 para uma taxa de 4%.<br />

Portanto, 60% a.a. é equivalente a 4% a.m.<br />

TAXA NOMINAL<br />

A unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de<br />

tempo dos períodos de capitalização, geralmente a Taxa Nominal é fornecida em<br />

tempos anuais, e os períodos de capitalização podem ser mensais, trimestrais ou<br />

qualquer outro período, inferior ao da taxa.<br />

EXEMPLOS:<br />

12% a.a. capitalizamos mensalmente.<br />

20% a.a. capitalizamos semestralmente.<br />

15% a.a. capitalizamos trimestralmente.<br />


EFETIVA<br />


NOMINAL<br />






36% a.a. capitalizados mensalmente (Taxa Nominal).<br />

36% a.<br />

a.<br />

3% a.<br />

m.<br />

(Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal)<br />

12meses<br />


A Taxa Nominal é bastante difundida e usada na conversação<br />

do mercado financeiro, entretanto o seu valor nunca é usado nos<br />

cálculos por não representar uma Taxa Efetiva. O que nos<br />

interessará será a Taxa Efetiva embutida na Taxa Nominal, pois<br />

ela é que será efetivamente aplicada em cada período de<br />

capitalização.<br />

TAXA EFETIVA<br />

É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos<br />

períodos de capitalização.<br />


15% a.a. capitalizados anualmente.<br />

5% a.s. capitalizados semestralmente.<br />

3% a.m. capitalizados mensalmente.<br />


Nestes casos, costuma se simplesmente dizer: 15% a.a., 3%<br />

a.m., 5% a.s., omitindo se o período da capitalização.<br />


Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. capitalizado mensalmente<br />



i N = 60% a.a. (cap. mens.)<br />

Como taxa nominal é anual e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte proporção<br />

i N i EF 60%<br />

iEF<br />

12 1 12 1<br />



i EF = 5% a.m. (cap. mens.)<br />

(1 + i A ) 1 = (1 + 5%) 12<br />





1 + i A = 1,796<br />


i A = 0,796 = 79,6% a.a.<br />


Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa nominal de 24% a.s. capitalizado mensalmente<br />



i N = 24% a.s. (cap. mens.)<br />

Como taxa nominal é semestral e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte<br />

proporção<br />

iN<br />








i EF = 4% a.m. (cap. mens.)<br />

(1 + i S ) 1 = (1 + 4%) 6<br />


1 + i S = 1,265<br />


I S = 0,265 = 26,5% a.s.<br />


Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 42% a.a. capital. bimestralmente<br />



i N = 42% a.a. (cap. bim.)<br />

Como taxa nominal é anual e a capitalização é mensal, a taxa efetiva obedece a seguinte proporção<br />

iN<br />








i EF = 7% a.b. (cap. bim.)<br />

(1 + i A ) 1 = (1 + 7%) 6<br />





1 + i S = 1,50<br />


I S = 0,50 = 50% a.a.<br />

TAXA REAL E APARENTE<br />

Em uma situação em que a inflação for levada em consideração, a taxa i aplicada sobre um<br />

capital é aparente, pois o montante produzido não terá o mesmo poder aquisitivo.<br />

Entenda que se em um certo período aplicarmos um capital C à taxa de juros i A , obteremos o<br />

montante:<br />

M = C.(1 + i A )<br />

Se no mesmo período a inflação foi i INF , o capital C para manter seu poder aquisitivo deve ser<br />

corrigido pela inflação, gerando um montante inflacionado:<br />

M INF = C.(1 + i INF )<br />

Dessa forma, M INF e C correspondem ao mesmo poder aquisitivo em momentos distintos: um<br />

afetado pela inflação e outro não.<br />

Portanto, chamaremos de taxa real de juros i R a taxa que leva o valor M INF ao valor M e de<br />

taxa aparente de juros i A a taxa que leva C ao valor M.<br />

CÁLCULO DA TAXA REAL<br />

Ora, C(1+i R ) é o montante, no final de um período, considerando uma economia sem<br />

inflação, à taxa real de juros i R . C(1+i INF ) é o montante considerando apenas a inflação e<br />

C(1+i R )(1+i INF ) é o montante considerando o juros reais e a inflação.<br />

Como o montante gerado por uma taxa aparente i A , divulgada pelo mercado financeiro,<br />

produz o mesmo montante gerado pelas taxas de inflação i INF e real i R aplicadas uma sob a outra,<br />

temos:<br />

C.(1+i A ) = C.(1+i R )(1+i INF )<br />


(1+i A ) = (1+i R )(1+i INF )<br />

ou então<br />

Onde<br />


R<br />

i R<br />

i A<br />

i INF<br />






INF<br />


taxa real<br />

taxa aparente<br />

taxa de inflação<br />






Um capital foi aplicado por um ano à taxa de juros nominal de 21% ao ano. No mesmo período a<br />

inflação foi de 11%. Qual a taxa real de juros<br />


Temos que<br />

(1+i A ) = (1+i R )(1+i INF )<br />


(1 + 21%) = (1 + i R ).(1 + 11%)<br />

1,21 = (1 + i R ).1,11<br />


1 + i R =<br />


i R = 0,09<br />

i R = 9%<br />


Um ano atrás um televisor 20” custava R$ 1000,00 e hoje a loja cobra R$ 1260,00 pelo mesmo<br />

produto. Sabendo que nesse mesmo período a inflação foi de 20%, determine a taxa real de aumento<br />

sofrida pelo televisor.<br />


O aumento de R$260, representa 26% de R$1000, portanto essa é a taxa aparente.<br />



(1 + i A ) = (1 + i R )(1 + i INF )<br />

(1 + 26%) = (1 + i R )(1 + 20%)<br />

1,26 = (1 + i R ).1,20<br />

1 + i R = 1,26/1,20<br />

i R = 1,05 – 1<br />

i R = 5%<br />

R$ 1.000,00 R$ 1.260,00<br />

i APARENTE = 26%<br />

i INFLAÇÃO = 20%<br />

i REAL = 5%<br />

R$ 1.200,00<br />

Portanto a loja aumentou aparentemente 26%, mas na verdade ela subiu o preço 5% acima da<br />

inflação.<br />





01. Qual a taxa anual aparente de um investimento, se a retabilidade real foi de 40%a.a. e a inflação<br />

do período foi de 20%<br />





02. A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformando-se em R$<br />

40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100 %, qual foi a inflação medida no mesmo<br />

período<br />

a) 100% ao período<br />

b) 200% ao período<br />

c) 300% ao período<br />

d) 400% ao período<br />

03. Sabendo-se que o rendimento anual em caderneta de poupança em um determinado país<br />

subdesenvolvido no ano passado foi de 230%, e que a sua taxa de inflação no período foi de 200%,<br />

determine o ganho real de um aplicador.<br />

a) 10% a.a.<br />

b) 11% a.a.<br />

c) 12% a.a.<br />

d) 13% a.a.<br />

04. Um banco deseja auferir 2% ao mês de juros reais (compostos) sobre determinada aplicação.<br />

Qual deve ser a taxa aparente de juros para o período de um ano se a inflação esperada neste período<br />

for de 18%<br />





05. Se um banco deseja auferir 2% ao mês de juros reais (simples) sobre determinada aplicação. Qual<br />

deve ser a taxa nominal aparente de juros para o período de um ano se a inflação esperada neste<br />

período for de 18%<br />





06. (CESGRANRIO) Três aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um único aumento<br />

trimestral de:<br />









07. Qual a taxa quadrimestral equivalente a 8% a.m.<br />

a) 32% a.q.<br />

b) 34% a.q.<br />

c) 36% a.q.<br />

d) 38% a.q.<br />

08. Se em um financiamento está escrito que a taxa de juros nominal anual é de 30%, com<br />

capitalização bimestral, então a taxa de juros anual equivalente anual será:<br />

a) 0,7 6 + 1<br />

b) 0,05 6 – 1<br />

c) 1,05 6 – 1<br />

d) 1+0,05 6<br />

09. (CESGRANRIO) Um capital é aplicado com taxa anual de 10%, se o investidor resgatar um<br />

semestre após a data da aplicação, então a taxa equivalente para esse período:<br />

a) deverá ser de 5% a.s.<br />

b) deverá ser maior que 5% a.s.<br />

c) deverá ser menor que 5% a.s.<br />

d) deverá ser maior que 10% a.s.<br />

e) dependerá do valor do capital<br />

10. Uma aplicação financeira paga juros composto de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente.<br />

Qual é a taxa de juros trimestral efetiva de aplicação.<br />





11. Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização<br />

mensal.<br />





12. Encontre a taxa quadrimestral equivalente a uma taxa nominal de 60% a.s. capitalizados<br />

mensalmente.<br />

a) 40% a.q.<br />

b) 46,41% a.q.<br />

c) 51,54% a.q.<br />

d) 69,65% a.q.<br />




13. Qual a Taxa Efetiva trimestral equivalente a uma Taxa Nominal de 36% a.a. capitalizados<br />

mensalmente<br />

a) 8,27% a.t.<br />

b) 9,27% a.t.<br />

c) 10,27% a.t.<br />

d) 11,27% a.t.<br />

14. (ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano<br />

com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre<br />

com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos<br />

Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:<br />

a) 69 % e 60 %<br />

b) 60 % e 60 %<br />

c) 69 % e 79 %<br />

d) 60 % e 69 %<br />

e) 120 % e 60 %<br />

15. A taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização trimestral é equivalente a:<br />

a) 10% ao mês<br />

b) 30% ao trimestre<br />

c) 58% ao semestre<br />

d) 185,6% ao ano<br />

e) 244% ao ano<br />


01. D 02. C 03. A 04. D 05. B<br />

06. E 07. C 08. C 09. C 10. A<br />

11. C 12. B 13. B 14. C 15. D<br />





DESCONTO COMPOSTO<br />

Os descontos compostos funcionam da mesma forma que as capitalizações, podendo ser<br />

usadas as mesma fórmulas, onde o valor descontado (D) corresponde aos juros (J) do período (t),<br />

enquanto o valor nominal (N) e o valor atual (A), corresponderão ao montante (M) e ao capital (C),<br />

dependendo do tipo de desconto.<br />

Da mesma forma que o desconto simples, o desconto composto pode ocorrer de duas formas:<br />

desconto racional e desconto comercial. É importante salientar que na grande maioria dos casos os<br />

descontos compostos são racionais, portanto quando não estiver descriminado fica implicito o uso<br />

desse tipo de desconto.<br />

DESCONTO COMPOSTO RACIONAL<br />

Sabemos que quando o desconto é dito racional, devemos calular o desconto em ralação ao<br />

valor atual, logo o valor nominal (N) corresponderá ao montante (M) e o valor atual (A)<br />

corresponderá ao capital (C), assim como em uma capitalização, portanto:<br />

N A.<br />





0 1 2 3 ... t<br />

Dessa forma, podemos dizer que o valor atual (A) é equivalente ao valor nominal (N) em<br />

períodos diferentes, assim como representado no fluxo.<br />

Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente o juro que o valor<br />

atual (A) deveria produzir nesse período, logo<br />






Na maioria dos casos é dado o valor nominal, a taxa e o<br />

período para ser encontrado o valor atual (A


DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL<br />

No caso do desconto comercial, devemos calular o desconto em ralação ao valor nominal (N),<br />

logo este corresponderá ao capital (C) e o valor atual (A) corresponderá ao montante (M), que será<br />

sempre menor que o valor nominal. Se for usada a fórmula da capaitalização a taxa de juros (i) deve<br />

ser negativa, mas a forma prática é substituir (i) positiva na seguinte equação:<br />



A N.<br />




0 1 2 3 ... t<br />

Portanto, o valor a ser descontado (D) do valor nominal (N) é exatamente a deflação<br />

calculada sobre ele, logo<br />

D N A<br />

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL<br />

Dizemos que dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes<br />

quando transportados para uma mesma data, anterior ou posterior, a uma mesma data de juros,<br />

produzem nessa data, valores iguais.<br />

Para melhor representar as entradas e saídas de capitais, envolvidas nos problemas, faremos<br />

um esquema gráfico utilizando setas para cima e para baixo ao longo de um eixo horizontal que<br />

representa o tempo. O sentido das setas é convencionado. No exemplo abaixo, se $100, $50 e $200<br />

representam entradas, então $150 deve representar uma saída.<br />




0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />



Quando esse conjunto de capitais é transportado para a data final do fluxo de caixa, dizemos<br />

que existe um capital único que é equivalente a todos eles denominado de Valor Futuro.<br />

VF VP.<br />




VP<br />

0 1 2 3 ... n<br />

VF<br />

Quando esse conjunto de capitais é transportado para a data inicial do fluxo de caixa, dizemos<br />

que existe um capital único que é equivalente a todos eles denominado de Valor Presente ou Valor<br />

Atual.<br />


VF.<br />











É comum usar essa equivalência de capitais para se fazer análise comparativa entre dois ou<br />

mais fluxos diferentes. Observe que independentemente da data escolhida para os transportes de<br />

capital, a equivalência será verificada.<br />


(ESAF) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$50.000,00 em dois bancos<br />

diferentes. Um parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, a taxa de 3% a.m.. O restante dessa<br />

quantia foi aplicado no Banco B, a taxa de 4% a.m.. Após um ano Paulo verificou que os valores<br />

finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, determine o valor aplicado no Banco A e<br />

no Banco B, sem considerar os centavos.<br />


Do enunciado temos os montantes:<br />

BANCO A (i = 3%a.m.)<br />

M A = x.(1+3%) 12<br />

e<br />

BANCO B (i = 4%a.m.)<br />

M A = (50000–x).(1+4%) 12<br />

Como M A = M B , temos:<br />

x.(1+3%) 12 = (50000–x).(1+4%) 12<br />

De acordo com a TABELA I, temos:<br />

(1+3%) 12 = 1,425760<br />

(1+4%) 12 = 1,601032<br />


x.1,425760 = (50000–x).1,601032<br />

0,8905256.x = 50000 – x<br />

1,8905256.x = 50000<br />

Logo,<br />

x = 26447,7<br />

Portanto os valores aplicados são<br />

BANCO A 26447,7<br />

BANCO B 23552,3<br />





01. Três cheques iguais no valor de R$1.000,00 devem ser descontados comercialmente, a uma taxa<br />

composta de 10% para cada período. Determine o valor atual desses cheques, segundo o fluxo<br />

abaixo.<br />

1000 1000 1000<br />






02. Determine o valor atual de três cheques no valor de R$1.331,00, se forem descontados<br />

racionalmente, a uma taxa composta de 10% para cada período, segundo o fluxo a seguir.<br />

1331 1331 1331<br />





03. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 55.500,00, 60 dias antes do vencimento,<br />

sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva<br />

de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final):<br />

OBS.:<br />


(1,84) 1/3 = 1,23<br />

(1,84) 1/4 = 1,17<br />

(1,84) 1/6 = 1,11<br />

a) $ 42.930<br />

b) $ 44.074<br />

c) $ 45.122<br />

d) $ 47.435<br />

e) $ 50.000<br />

04. (CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$24.200,00 será descontado dois meses antes do<br />

vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial<br />

composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale<br />








e) 395,00<br />

05. Pedro quer fazer uma aplicação de R$ 5.000,00 em um dos três bancos em que ele opera. Cada um<br />

deles oferece uma forma de retorno diferente, representadas nos fluxos abaixo.<br />












BANCO A<br />

BANCO B<br />

BANCO C<br />

5000 5000 5000<br />

Dessa forma, Pedro verificou que, para ele:<br />

a) o Banco A é mais vantajoso<br />

b) o Banco B é mais vantajoso<br />

c) o Banco C é mais vantajoso<br />

d) todos são igualmente vantajosos<br />

06. (ESAF) Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para resolução da questão<br />

seguinte. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados.<br />

TABELA DE FLUXOS DE CAIXA:<br />

Fluxos J F M A M J J A<br />

UM 1000 1000 500 500 500 500 250 50<br />

DOIS 1000 500 500 500 500 500 500 300<br />

TRÊS 1000 1000 1000 500 500 100 150 50<br />

QUATRO 1000 1000 800 600 400 200 200 100<br />

CINCO 1000 1000 800 400 400 400 200 100<br />

Considere uma taxa efetiva (juros compostos) de 4% a.m. O fluxo de caixa, da tabela acima, que<br />

apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é:<br />

a) Fluxo Um<br />

b) Fluxo Dois<br />

c) Fluxo Três<br />

d) Fluxo Quatro<br />

e) Fluxo Cinco<br />


01. C 02. C 03. E 04. B 05. B 06. C<br />





RENDAS CERTAS<br />

Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de<br />

uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos.<br />

Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de<br />

capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se o processo de amortização.<br />

Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização,<br />

que é o caso dos aluguéis.<br />

Estes exemplos caracterizam a existência de rendas ou anuidades, que podem ser,<br />

basicamente de dois tipos:<br />

RENDAS CERTAS: são aquelas cuja duração e pagamentos ou recebimentos são<br />

prefixados. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazo de duração, taxa de juros,<br />

etc, são fixos e imutáveis.<br />

Exemplo: compra a prestação<br />

RENDAS ALEATÓRIAS: os valores e/ou as datas de pagamento ou de recebimento podem<br />

ser variáveis aleatórias.<br />

Exemplo: seguro de vida.<br />

Vamos estudar as rendas certas que são, simultaneamente: temporárias, periódicas e imediatas<br />

(postecipadas ou antecipadas) e as diferidas.<br />

Nos casos mais comuns e que vamos estudar, as rendas podem ser:<br />

Temporárias: quando a duração for limitada<br />

Constantes: se todos os termos são iguais.<br />

Periódicas: se todos os períodos são iguais.<br />

Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do 1º período. Elas podem ser:<br />

Postecipadas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos.<br />

Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos.<br />

Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o 1º período. Elas também<br />

podem ser postecipadas ou antecipadas.<br />

Podemos então tratar as rendas certas como uma seqüência uniforme de capitais. Estudaremos<br />

a seguir cada um dos casos separadamente:<br />

VP (valor presente) de uma sequência uniforme postecipada.<br />

VP (valor presente) de uma sequência uniforme antecipada.<br />

VF (valor futuro) de uma sequência uniforme postecipada.<br />

VF (valor futuro) de uma sequência uniforme antecipada.<br />




SEQUÊNCIAS UNIFORMES DE CAPITAIS<br />

VALOR PRESENTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME POSTECIPADA<br />

Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou parcelas, for feita no final de cada período,<br />

será denominada de postecipada. Trazendo todos os P para a data inicial teremos:<br />

P P P<br />

P<br />











Nesse caso, o valor presente (VP) será a soma dessa progressão geométrica (P.G.), dada por<br />


P P P P<br />

a1 .( q 1)<br />

Sn , onde o primeiro termo é a 1 =<br />

q 1<br />




e a razão é q =<br />


. Substiuindo esses dados,<br />




1 i 1<br />

P. n , ou simplesmente VP P. a n i .<br />


1 i<br />

O fator de valor atual a n i (a n cantoneira i) está na tabela 3.<br />

Se desejar encontrar a parcela (P) em função do valor presente (VP), teremos:<br />




P VP.<br />

n , ou simplesmente<br />




VP. .<br />

a n<br />


O fator de recuperação do capital 1/a n i está na tabela 4.<br />


Uma televisão foi comprada no carnê em 4 prestações mensais iguais de R$ 300,00 cada, sem<br />

entrada, iniciando a primeira parcela um mês após a compra. Sabendo que para esse tipo de transação<br />

a loja trabalha com juros compostos de 9% a.m., determine qual deve ser o preço a vista dessa TV.<br />


O preço a vista da TV é o valor presente dessa série, portanto:<br />

VP = P.a 4 9%<br />

Onde P = 300 e pela tabela III vemos que a 4 9% = 3,2397, então<br />

VP = 300.3,2397<br />

VP = 971,91<br />

Portanto o valor a vista da TV é R$ 971,91.<br />

VALOR PRESENTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME ANTECIPADA<br />

Quando uma série de pagamentos (P ou PMT) for feita no início de cada período, será<br />

denominada de antecipada. Trazendo todos os P para a data inicial teremos:<br />









( 1 )<br />





i)<br />







0 1 2 3 ... n–1<br />


Observe que nesse caso, basta somar P que está no início da série com o valor presente da<br />

sequência postecipada que começa no 1 e termina em n-1. Dessa forma teremos:<br />

VP P P.<br />

a n 1<br />


VALOR FUTURO DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME POSTECIPADA<br />

Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou depósitos, for feita no final de cada<br />

período, será denominada de postecipada. Trazendo todos os P para a data final teremos:<br />

a1 .( q<br />

Sn<br />

q<br />


VF = P + P(1+i) + P(1+i) 2 +...+ P(1+i) n-1<br />


Nesse caso, o valor futuro (VF) será a soma dessa progressão geométrica (P.G.), dada por<br />



1)<br />

, onde o primeiro termo é a<br />


1 = P e a razão é q = (1 + i). Substiuindo esses dados,<br />




P. i<br />

, ou simplesmente VF P.<br />

s n i<br />

O fator de acumulação de capital s n i (s n cantoneira i) está na tabela 5.<br />

Um fato interessante é que o valor futuro dessa série de pagamentos é um capital equivalente<br />

ao valor presente, dessa mesma série, na data final do período, portanto podemos dizer que:<br />

VF VP.(<br />

1 i)<br />


Por esta razão, temos:<br />

s a .( 1 i)<br />







Uma pessoa resolveu poupar mensalmente R$400,00, pretendendo fazer uma viagem de férias,<br />

aplicando no final de cada mês em um fundo que paga 24% a.a. capitalizado mensalmente. Ao final<br />

de um ano, quanto ele terá guardado<br />





A taxa de 24%a.a, dada no problema, é nominal. Portanto, a taxa efetiva é de 2% a.m.<br />

O montante acumulado ao final de uma ano (n=12) é o valor futuro dessa série, portanto:<br />

VF = P.s 12 2%<br />

Onde P = 400 e pela tabela 5 temos que s 12 2% = 13,4121, então<br />

VF = 400.13,4121<br />

VF = 5364,84<br />

Portanto, o valor acumulado é de R$ 5.264,84.<br />

VALOR FUTURO DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME ANTECIPADA<br />

Quando uma série de pagamentos (P ou PMT), ou depósitos, for feita no início de cada<br />

período, será denominada de antecipada. Trazendo todos os P para a data final teremos:<br />

VF = P(1+i) + P(1+i) 2 +...+ P(1+i) n<br />



0 1 2 3 ... n–1<br />


Essa série é equivalente a uma sequência postecipada com n+1 depósitos, menos o depósito R<br />

da data final. Dessa forma teremos:<br />


P.<br />

s<br />

n 1<br />




01. Uma dívida foi financiada em doze parcelas mensais de R$ 500,00, sendo a primeira para 30<br />

dias. Determine o valor atual da dívida, sabendo que a taxa utilizada foi de 4% a.m.. (Use 1,04 12 =<br />

1,6)<br />






02. O cliente de um banco acerta com o gerente uma poupança programada, onde serão aplicados<br />

automaticamente doze parcelas mensais de R$ 500,00, sendo a primeira para 30 dias. Determine o<br />

valor futuro do saldo dessa aplicação na data do ultimo depósito, sabendo que a taxa utilizada foi de<br />

4% a.m.. (Use 1,04 12 = 1,6)<br />









03. Leonardo comprou uma moto em seis parcelas de R$600,00, sendo a primeira no ato da compra e<br />

as demais a cada 30 dias. Determine o valor à vista dessa moto, sabendo que a taxa utilizada pela<br />

financeira foi de 3% a.m.<br />





04. Qual o valor futuro da série de quatro depósitos antecipados mensais e iguais no valor de<br />

R$1.000,00 cada, um mês após o último deposito, se aplicado a uma taxa composta de 10% a.m.<br />





05. (ACEP) Uma família comprou uma geladeira nova, a prazo, em prestações iguais, com juros.<br />

Assinale a alternativa CORRETA.<br />

a) para um mesmo valor de prestação, o valor presente das prestações diminui quando a taxa de juros<br />

aumenta.<br />

b) no momento da compra, o valor presente da última prestação é igual ao valor presente da primeira<br />

prestação.<br />

c) o valor das prestações será maior se for dado um sinal no momento da compra.<br />

d) o valor das prestações não depende da taxa de juros.<br />

e) o valor das prestações não depende da quantidade de parcelas.<br />

06. (CESGRANRIO) Uma série de 10 anuidades de R$ 100 mil pode ser usada para amortizar um<br />

determinado financiamento. Sabendo que a taxa de juros oferecida para financiamento é de 1,25% a.m.,<br />

pode-se afirmar que o preço justo para pagamento à vista é:<br />

a) maior que R$ 1mi<br />

b) R$1,1 mi<br />

c) maior que R$ 1mi e menor que R$ 1,1 mi<br />

d) R$ 1 mi<br />

e) menor que R$ 1 mi<br />

07. Quando Carol foi comprar um televisor de R$ 1.600,00, o vendedor informou que a loja estava<br />

parcelando em 8 vezes sem entrada e sem juros. Ela então ofereceu R$ 1.400,00 à vista e “em<br />

espécie”. Se a loja aceitar essa proposta, significa que estará cobrando indiretamente juros no<br />

parcelamento mensal, logo o valor da taxa de juros embutida na operação a prazo é de:<br />








08. Raquel comprou um carro de R$ 20.000,00 dando 40% de entrada e financiando o restante em 18<br />

parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira em 30 dias. Sabendo que a taxa utilizada pela<br />

financeira foi de 3%, determine o valor de cada uma das prestações.<br />





09. Hoje Felipe foi ao banco retirar a quantia que vinha juntando nos últimos 2 anos. Ele efetuou 24<br />

depósitos mensais e iguais, todos no valor de R$400,00, de forma antecipada, até o mês anterior a<br />

data da retirada, em um fundo especial que lhe rendia 4% ao mês. Qual a quantia resgatada 24 meses<br />

após o primeiro depósito<br />





10. (ACEP) Em uma loja, um certo computador está a venda por 10 parcelas mensais de R$ 300,00,<br />

sem entrada, podendo também ser pago em 5 parcelas bimestrais de R$ 615,00, sem entrada. Qual a<br />

taxa de juros cobrada pela loja<br />

a) 3% ao mês<br />

b) 4% ao mês<br />

c) 5% ao mês<br />

d) 6% ao mês<br />

e) 7% ao mês<br />


01. A 02. E 03. A 04. C 05. A<br />

06. E 07. C 08. A 09. A 10. C<br />





PLANOS DE AMORTIZAÇÃO<br />

No Brasil são adotados vários esquemas de financiamento. Quando contraímos uma dívida,<br />

devemos saldá-la por meio de pagamentos do principal e dos juros contratados. Veremos os tipos<br />

mais usado, que são: Sistema Price (Francês), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de<br />

Amortização Crescente (SACRE) e Sistema de Amortização Misto (SAM).<br />

SISTEMA FRANCÊS<br />

Caracteriza se pelo fato de o mutuário pagar a dívida, periodicamente, por meio de<br />

prestações constantes. O Sistema Price é um caso particular do Sistema Francês quando as parcelas<br />

são mensais.<br />

A parcela (P) é dada em função do valor atual (A) que foi emprestado ou financiado, do<br />

número de parcelas (n) e da taxa de juros (i), de acordo com a fórmula<br />

III.<br />




P = A. n ,<br />


ou simplesmente<br />


P = A. .<br />


Lembrando que a n<br />


i é o fator de valor atual de uma série de pagamentos encontrado na tabela<br />


Inicialmente paga-se muito juro e amortiza-se pouco.<br />

Com o decorrer dos períodos, vai-se pagando menos<br />

juros e, conseqüentemente, amortizando-se mais o<br />

principal.<br />


Um empréstimo de R$ 1.000,00 é concedido para ser pago pelo sistema Francês de Amortização em<br />

5 prestações mensais, à taxa de 10% a.m. Calcule o valor de cada prestação e monte a planilha<br />

teórica do financiamento.<br />


No plano Price (sistema francês com prestações mensais), para encontrar a prestação deve ser<br />

seguido o mesmo procedimento usado nas séries de pagamento uniformes.<br />

VP = P . a n i<br />




Onde<br />

VP é o capital (C) emprestado<br />

P é a prestação<br />

a n i é o fator de valor atual<br />

Então pela fórmula temos:<br />


P = C.<br />




i.(1<br />


10%.(1 10%)<br />

P C. = 1000.<br />




1 (1 10%) 1<br />

Pela tabela 4, encontramos o fator de recuperação de capital<br />

P = 1000 . 0,264 = 264<br />


a<br />




= 0,264, logo<br />

MONTAGEM DA PLANILHA TEÓRICA DO FINANCIAMENTO<br />


0 1 2 3 4 5<br />


N PREST. JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR<br />

0 – – – 1000,00<br />

1 264 10%.1000 = 100 264 – 100 = 164 1000 – 164 = 836<br />

2 264 10%.836 84 264 – 84 = 180 836 – 180 = 656<br />

3 264 10%.656 66 264 – 66 = 198 656 – 198 = 458<br />

4 264 10%.458 46 264 – 46 = 218 458 – 218 = 240<br />

5 264 10%.240 = 24 264 – 24 = 240 240 – 240 = 0<br />

SISTEMA SAC<br />

No Sistema de Amortização Constante a dívida também é paga por meio de prestações<br />

periódicas que englobam juros e amortização, no entanto, caracteriza se pelo fato de o mutuário<br />

pagar prestações decrescentes de valor, com amortizações iguais como o próprio nome diz.<br />


A amortização do saldo devedor é constante e prestação<br />

decresce. Os juros também são cobrados sobre o saldo<br />

devedor.<br />


Uma dívida de R$ 1.000,00 vai ser paga pelo sistema SAC em 5 prestações mensais, à taxa de 10%<br />

a.m. Calcule o valor de cada prestação e monte a planilha teórica do financiamento.<br />





No plano SAC o valor amortizado é sempre o mesmo, logo temos<br />

C 1000<br />

A A 200<br />

n 5<br />

Então no cálculo do valor de cada prestação deve ser feito cada mês, somando o valor amortizado<br />

(A) ao juro produzido em relação ao saldo devedor do mês anterior.<br />









n PREST. JUROS AMORTIZAÇ<br />

ÃO<br />

SALDO<br />

DEVEDOR<br />

0 – – – 1000<br />

1 300 10%.1000 = 100 200 1000 – 200 = 800<br />

2 280 10%.800 = 80 200 800 – 200 = 600<br />

3 260 10%.600 = 60 200 600 – 200 = 400<br />

4 240 10%.400 = 40 200 400 – 200 = 200<br />

5 220 10%.200 = 20 200 200 – 200 = 0<br />

SISTEMA SAM<br />

O Sistema de Amortização Mista é a média aritmética do Sistema Price e do SAC. A título de<br />

exemplo, construiremos a planilha de financiamento dado no Sistema Price e SAC.<br />


Uma dívida de R$ 1.000,00 vai ser paga pelo sistema SAM em 5 prestações mensais, à taxa de 10%<br />

a.m.. Calcule o valor de cada prestação e monte a planilha teórica do financiamento.<br />


Assim como no plano SAC, as prestações no plano SAM também são calculadas todos os meses,<br />

pois a cada mês deve ser feito uma média das prestações obtidas nos planos PRICE e SAC, então a<br />

prestação do primeiro mês será<br />


P =<br />

= 282<br />


Então fica claro que devem ser usados os dados obtidos nos exemplos anteriores.<br />












n PREST. JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO<br />

DEVEDOR<br />

0 – – – 1000<br />

1 (264 + 300)/2 = 282 10%.1000 = 100 282 – 100 = 182 1000 – 182 = 818<br />

2 (264 + 280)/2 = 272 10%.818 = 82 272 – 82 = 190 818 – 190 = 628<br />

3 (264 + 260)/2 = 262 10%.628 = 63 262 – 63 = 199 628 – 199 = 429<br />

4 (264 + 240)/2 = 252 10%.429 = 43 252 – 43 = 209 429 – 209 = 220<br />

5 (264 + 220)/2 = 242 10%.220 = 22 242 – 22 = 220 220 – 220 = 0<br />

COMPARAÇÃO ENTRE OS PLANOS<br />

SALDO DEVEDOR:<br />

Em todos os planos de amortização o saldo devedor diminui a cada pagamento, uma vez que<br />

deve existir amortização em todos os períodos, caso contrário não seria um plano de<br />

“amortização”.<br />

JUROS:<br />

Os juros representam um percentual em cima do saldo devedor e por isso também diminuem<br />

a cada pagamento em todos os planos.<br />

PARACELAS:<br />

Observe, no diagrama a seguir, que as parcelas do PRICE são constantes, do SAC começa<br />

maior e termina menor que nos outros sistemas, enquanto no SAM tem sempre valor<br />

intermediário em relação aos outros planos.<br />

AMORTIZAÇÃO:<br />

No plano PRICE a amortização é crescente, pois enquanto a parcela (P) é constante, os juros<br />

(J) caem a cada período, portanto essa diferença (P – J) vai aumentando. No plano SAC,<br />

como já é de se esperar, a amortização é constante. Por fim, no plano SAM tudo é a média<br />

entre os outros dois planos, o que por consequência faz com que a amortização seja crescente.<br />





07. (ACEP) Qual das alternativas abaixo, em relação ao Sistema de Prestações Constantes em<br />

pagamento de empréstimos, está CORRETA<br />

a) O saldo devedor tem comportamento linearmente decrescente.<br />

b) Os juros pagos têm comportamento linearmente decrescente.<br />

c) As amortizações têm comportamento crescente.<br />

d) Todas as amortizações têm o mesmo valor.<br />

e) As amortizações têm comportamento decrescente.<br />

08. (CESGRANRIO) Para a construção de um galpão, para instalação de uma indústria, foi feito um<br />

empréstimo no valor de R$10 mil, de forma a ser pago em 20 parcelas mensais e utilizando-se taxa<br />

mensal composta de 8%. Para amortizar a dívida, se for utilizado o sistema PRICE, as parcelas<br />

ficarão em torno de R$1.018,50. Dessa forma, comparando a parcela no PRICE com as parcelas no<br />

Sistema de Amortização Constante (SAC) e no Sistema de Amortização Misto (SAM), podemos<br />

afirmar que:<br />

a) No SAC os juros pagos na primeira prestação são maiores<br />

e) No SAM os juros pagos na primeira prestação são menores<br />

c) No SAC a primeira prestação seria menor<br />

d) No SAC a primeira prestação seria maior<br />

e) No SAM a primeira prestação seria menor<br />

09. Uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10 parcelas mensais e iguais, com taxa de 5% a.m.,<br />

vencendo a 1ª em 30 dias. Determine o da 1ª parcela.<br />







vencendo a 1ª em 30 dias. Determine o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1ª parcela.<br />







vencendo a 1ª em 30 dias. Determine o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 6ª parcela.<br />









12. Através do sistema SAC, uma dívida de R$ 4.000,00 deverá ser quitada em 10 parcelas decrescentes,<br />

com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias. Determine valor da 1ª parcela.<br />







com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias. Determine valor dos juros pagos na 2ª parcela.<br />














com taxa de 5% a.m., vencendo a 1ª em 30 dias. Determine saldo devedor imediatamente após o pagamento<br />

da 2ª parcela.<br />














01. C 02. D 03. C 04. D 05. B<br />

06. E 07. A 08. D 09. B 10. D<br />

MATEMÃTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo - VouPassar.com.br

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

MATEMÃTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo - VouPassar.com.br