МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Методические указания по выполнению контрольной работы №4
Интегральное исчисление
Задача №1. Найти неопределённый интеграл. Результаты проверить дифференцированием:
1)
e
x
3x
2
dx
4 8x
5 2
dx
2 e
3x
x 3
dx
4x
1
; 7)
; 2)
3dx
4x
2
3
(
x 7)sin 5x dx
; 12)
dx
; 3)
5x
2 2x
7
7 x dx
2
3x
4
; 8) x e
.
x7
; 4)
dx ; 9)
ln ( x 2)
dx
x 2
7 3
cos 3 (7x 2 ) dx
; 5)
; 10)
cos 3x
dx
sin 3x
5 4
dx
6x
2 3x
2
Решение: При нахождении интегралов следует помнить свойства и таблицу простейших
неопределённых интегралов.
Свойства неопределённого интеграла:
1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
F(
x)
C F(
x)
dx f ( x dx
d f ( x)
dx d
)
2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой
функции и произвольной постоянной:
.
d F(
x)
F(
x)
dx f ( x)
dx F(
x)
Отсюда следует, что символы дифференциала и неопределённого интеграла,
применённые последовательно, «уничтожают» друг друга.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:
k f ( x)
dx k f ( x)
dx
(k=const).
4. Если функции f 1 (x) и f 2 (x)имеют первообразные, то функция f 1 (x)+f 2 (x) также имеет
первообразную, причём
.
0dx
C
dx x C
n1
n u
u du C
n 1
du
u
ln|u|
C
u
u a
a du C
ln а
u
e du e
u
f x)
f ( x)
dx f ( x)
dx f ( x)
dx
1( 2
1
2
Таблица простейших неопределённых интегралов
; [1]
; [2]
; [3]
; [4]
; [5]
C ; [6]
sin u du cos
u C
; [7]
cos u du sin u C ; [8]
du
2
u
du
sin
2
ctg u C ; [9]
tg u C ; [10]
cos u
du u
arcsin C ; [11]
2 2
a u
a
C
.
; 6)
; 11)

u du
a
u
u
2
u
du
2
a
u du
2
a
du
2
u a
2
2
2
2
a
2
ln|u
u
2
u
a
u
2
2
2
C
1 u a
ln C
2a
u a
u du 1
ln|u
2 2
u a 2
2
2
a | C
; [12]
; [13]
C ; [14]
2
a | C
; [15]
; [16]
du 1 u
arctg C ; [17]
2 2
a u a a
u du 1
ln|a
2 2
a u 2
tg u du
ctg u du
Решение: 1)
2)
3dx
4x
2
2
2
u | C
sin u
du ln|
cos u| C
cos u
3
; [18]
; [19]
cos u
du ln|
sin u| C ; [20]
sin u
dx
4 8x
5 2
. Используя формулу [3] имеем:
1 (4 8x)
8 3
5
2
5
1
5
5 3
C = (4 8x)
C ;
24
. Упростим исходное выражение и по формуле [13] имеем:
3
2
2
x
dx
4
3
=
3 2
ln
2
x
x
3
4
C
=
3 2
ln 2x
4x
3 C
2
7 x dx
3) . Используя формулу замены переменной:
,
2
3x
4
где х=φ(t), причем должна существовать обратная функция t=φ –1 (x) произведем замену:
u 3 x
2 4
du
du 6x dx , тогда исходный интеграл имеет вид:
x dx
6
7
6
u
du
=
7
ln | u | C
6
=
7
6
u
du
7 2
( x)
dx f ( (
t))
(
t)
dt
.
f g(
t)
dt
, по формуле [4] имеем:
ln 3x 4 C
6
7 3
ln ( x 2)
4).
dx . Используем формулу замены переменной:
x 2
интеграл имеет вид:
3
u
7
du , по формуле [3] имеем:
.
u ln( x 2)
dx , тогда исходный
du
x 2

5)
cos 3x
dx
sin 3x
5 4
интеграл имеет вид:
6)
e
3x
dx
2 e
3x
интеграл имеет вид:
3
u
7 du
=
7
10
10
7
u C
=
7
10
C
ln( x 2)
7 10
. Используем формулу замены переменной:
1
3
du
1
5
u
, по формуле [3] имеем:
1 5
4
u 5 C
3 4
=
5
12
sin 3x
4 C
5 4
. Используем формулу замены переменной:
1
3
u
du
, по формуле [4] имеем:
1
ln |
3
u | C
=
1
ln 2 e 3x
C
3
7) ( x 7) sin 5x dx — данный интеграл вычисляется по частям.
;
u sin 3x
4
du 3cos 3x
dx
du
cos 3x
dx
3
;
;
u 2 e
3dx
du
3x
e
dx du
3x
e 3
3x
, тогда исходный
, тогда исходный
Пусть u и v — две функции аргумента х, имеющие производные и v, тогда
справедлива формула: .
Интегрирование по частям полезно применять в случае, когда подынтегральное
выражение представляет собой произведение двух функций, одна из которых является
многочленом, или если подынтегральная функция не имеет табличной первообразной
(логарифм, обратные тригонометрические функции и т.п.).
=
u dv u v
u x 7
( x 7)sin5x
dx
dv sin5x
dx
x 7 1
cos 5x
sin 5x
C
5 25
8) xe
x 7
dx
;
v du
du dx
1
v cos5x
5
=
x 7
cos 5x
cos 5x
dx
5
— данный интеграл вычисляется по частям, следовательно,
u x
dv e
du dx
v e
x 7 x 7
=
xe
e
x 7 x 7
9) cos 3 (7x 2)
dx — данный интеграл относится к виду
dx
=
xe
e
x7
x7
C
n
sin k x cos x dx
;
=
u
, где n — нечетное
число, следовательно, отделяем от нечётной степени один множитель и подводим его под
знак дифференциала:
cos 2 (7x 2) cos(7x
2)
dx
=
2
1
sin (7x 2)
cos(7 x 2)
dx
= sin(7x
2) sin (7x
2)
C
2
= cos(7 x 2) dx sin (7x
2) cos(7 x 2)
dx
=
1 3
7
1
21
;

10)
dx
6x
2 3x
2
формулу [17], имеем:
=
dx
6x
2 3x
2
=
4
1 4 3
arctg
6 13
11)
x
2
6x
. В знаменателе данного интеграла выделяем полный квадрат и, используя
2
u x
x 3
dx
4x
1
производим замену:
1
3x
2 6 x
4
1
;
4
1
3 x
4
13
du dx;
=
2
3
3
13
2
a
arctg
13
48
13
.
48
=
1
6
2
u
3(4x
1)
C
13
du
13
48
;
=
1 1 u
arctg
6
. В знаменателе данного интеграла выделяем полный квадрат и
x
2
x 3
dx
4x
1
=
x 3
dx
2
( x 2) 5
=
x 2 t
x t 2
dx dt
13
48
= 2
t
разбиваем на два интеграла и используя формулы [16] и [15] имеем:
t dt
5
dt
2
5
2
t t
=
1 2
ln |
2
12)
x
=
1 2
ln |
2
1 x 2
4x
1|
ln
2 5 x 2
dx
5x
2 2x
7
используя формулу [13] имеем:
=
dx
5x
2 2x
7
=
5 x
t
1 t
5 | ln
2 5 t
5
C
5
;
5
C
5
=
t 1
dt
5
13
48
=
. Данный интеграл
. В знаменателе данного интеграла выделяем полный квадрат и,
2
u x
1 1 1
ln x x
5 5 5
2 7
1
x 5 x
5 5
5
1
;
5
2
du dx;
36
25
.
a
2
6
.
5
36
;
25
=
1
5
2
u
du
36
25
=
1 ln u u
2
5
36
25
=
Задача №2. Вычислить интеграл
8
x 3 dx
x
3 1
. Сделаем замену: t x 1,
откуда
2
x 3
x t 1,
x
2t
. При этом 3 1
2, 8 1
3.
Тогда dx =
x
3
2
( t
2
4)2t
dt
t
3
2 2 3 3
2
( t 4) dt t 8t
6
3 2
2
32
3
14
.
3
8
3 1
Задача №3. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
х= – 1, х = 1 и осью ОХ;
y x
2 2x
, прямыми

2) Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси ОY фигуры, лежащей в
плоскости XOY и ограниченной линиями , х = 0;
2
у 4 х
3) Найти длину дуги кривой
2 y x
3
3
, абсциссы концов которой
x 1
3
Решение: 1) Построим фигуру, ограниченную данными линиями рисунок 9.
,
x 2
8
.
Рисунок 9
Площадь криволинейной трапеции A B b a, ограниченной сверху графиком функции
y=f(x), слева и справа — прямыми х=а, х=b, снизу осью ОХ, (рис. 10) вычисляется по
формуле:
b
S f ( x)
dx
a
.
S S 1
S 2
Рисунок 10
Вычислим площадь фигуры ограниченную данными линиями (рис. 9):
=
0
1
2
2
( x 2x)
dx ( x 2x)
dx
1
0
=
3
3
x 2 0 x
x
1
3
x
3
2
1
1 1
1
1
2
0 3 3
кв.ед.;
2) Объём тела, полученного вращением вокруг оси ОY криволинейной трапеции C c d D,
ограниченной дугой CD кривой y= (у) ( ) и прямыми y=c и y=d (рис. 11)
вычисляется по формуле:
V
y
π
( у)
0
d
c
d
2
2
x dy π dy
c
.
V
y
π
Рисунок 11
Вычислим объем фигуры ограниченный данными линиями:
d
c
2
x dy π
2
2
2
2 2
2 2
2 4
( 4 y ) dy 2π (4 y ) dy 2π
(16 8y
y ) dy =
0
5
8 3 у 2 64 32 512
= 2
16у
у
3 5
= 2 32
107, 23 куб.ед.;
0 3 5 15
2
0

3) Длина дуги кривой y=f(x), где
a x b
b
вычисляется по формуле:
2
1
y
dx 1[
f
Вычислим длину дуги, абсциссы концов которой
8
3
2
1
( x)
dx
a
8
3
(1 x)
1
x dx
3
2
b
a
3
2
( x)]
8
3
2
x 1
=
dx
.
3
,
x 2
34 11,33
3
8
:
ед.длины.
Задача №4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 1)
1
dx
; 2)
1
x
2 1
dx
e
x
.
2
0 1
x
Решение: 1) Для вычисления несобственных интегралов необходимо применить предельный
переход, т.е. изменить пределы интегрирования так, чтобы они стали конечными (для
несобственных интегралов 1-го рода) и подынтегральная функция сохраняла непрерывность
внутри и на концах нового промежутка интегрирования (для несобственных интегралов 2-го
рода). Затем, вычислив значение интеграла в измененных пределах по формуле Ньютона-
Лейбница, нужно применить предельный переход для возвращения к пределам
интегрирования, заданным в условии задачи.
1
0
dx
1
x
2
. Рассматривается несобственный интеграл 2-го рода, т.к. подынтегральная
функция терпит разрыв на правом конце промежутка интегрирования. На основании
определения
1
0
1
0
dx
1
x
dx
1
x
2
2
=
lim
b
a
b
f ( x)
dx lim f ( x)
dx , если этот предел конечен имеем:
1
0
0
2
.
dx
1
x
2
0
a
=
lim
0
arcsin x
1
0
=
lim
0
arcsin(1 )
arcsin 0
arcsin 1
2
2) Применим теорему сравнения, согласно которой, если при x > a выполнено условие
0 f ( x)
(
x)
1
dx
2
x
=
и если (x) dx сходится, то
a
a
f ( x)
dx
В нашем случае при х ≥ 1 справедливо неравенство
b
lim
b
1
dx
2
x
=
1
lim
b
b
x 1
=
1
lim
1 1
b
b
сравнения несобственный интеграл
1
x
2 1
dx
e
, т.к.
x
1
dx
2
x
сходится.
также сходится.
x
2
1
1
1
x 2
e x
, т.е.
. Рассмотрим
сходится, то на основании теоремы
Задача №5. Вычислить определенный интеграл функции y x в пределах
1) по формуле Ньютона-Лейбница; 2) по формуле Симпсона.
Интервал разбивается на 10 частей.
Решение.
1) вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница
x[0,4]:

2) вычислим интеграл по формуле Симпсона:
b
a
h
y dx
3
где n – четное число.
4
0
2 4 16
x x
3 0 3
x dx 5.333 .
y0 y 4 y y ... y 2 y y ... y
n
1
3
n1
2
Составим таблицу
Номер
шага k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
y
k
x k
f ( x )
k
4
0 0,632 0,894 1,095 1,265 1,414 1,549 1,673 1,789 1,897 2
4 n1 n2
0
h
0.4
x dx
0 10
4
í å÷¸ò
2
÷¸ò 0 2 4 6.711 2 5.497
5.312
3
y y y y
i1 i2
3
Абсолютная погрешность формулы Симпсона
Относительная погрешность:
n2
0,021100% S
0.394%
5.333
.
| 5.333 5.311| 0.021
S
.
.
.