campo eletrico

Capítulo 3
Campo Elétrico
3.1 O Campo Elétrico
Suponhamos uma distribuição de cargas q 1 , q 2 ,..., q n fixas no espaço, e vejamos
não as forças que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que
produzem sobre alguma outra carga q 0 que seja trazida às suas proximidades.
Sabemos que a força sobre q 0 é:
F o = K o
n
i=1
q o q i
ˆr
ro,i
2 o,i
Assim, se dividirmos → F 0 por q 0 teremos:
F o
n
= K o
q o
i=1
q i
r 2 o,i
ˆr o,i (3.1)
uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema original
de cargas q 1 , q 2 ,..., q n e da posição do ponto (x,y,z). Chamamos essa
função vetorial de x,y e z de campo elétrico criado por q 1 , q 2 ,..., q n e usamos
o símbolo → E . As cargas são chamadas fontes do campo. Desta forma
19

20
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
definimos o campo elétrico de uma distribuição de cargas no ponto (x,y,z):
E(x, y, z) = K o
n
q i
r 2 i=1 o,i
ˆr o,i (3.2)
F o = q o
E (3.3)
Note que utilizamos como condição que as cargas fontes do campo estavam
fixas, ou seja, que colocar a carga q 0 no espaço não perturbará as
posições ou movimento de todas as outras cargas responsáveis pelos campos.
Muitas pessoas, às vezes, definem o campo impondo à q 0 a condição de
ser uma carga infinitesimal e tomando E → como: lim
qo→0
Cuidado! Na realidade este rigor matemático é falso. Lembre-se que no
mundo real não há carga menor que e!
Se considerarmos a Equação 3.2 como definição de → E , sem referência
a uma carga de prova, não surge problema algum e as fontes não precisam
ser fixas.
Casa a introdução de uma nova carga cause deslocamento das
cargas fontes, então ela realmente produzirá modificações no campo elétrico
e se quisermos prever a força sobre a nova carga, devemos utilizar o campo
elétrico para calculá-la.
Conceito de campo: um campo é qualquer quantidade física que possue
valores diferentes em pontos diferentes no espaço.
F
q o
Temperatura, por
exemplo, é um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual nós escrevemos
como T(x,y,z). A temperatura poderia também variar com o tempo, e nós
poderíamos dizer que a temperatura é um campo dependente do tempo e
escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo é o campo de velocidade de um líquido
fluindo. Nós escrevemos → v =(x,y,z,t) para a velocidade do líquido para cada
ponto no espaço no tempo t. esse é um campo vetorial. Existem várias idéias
criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos.
A mais correta é também a mais abstrata: nós simplesmente considerarmos
os campos como funções matemáticas da posição e tempo.

3.2.
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 21
O campo é uma grandeza vetorial e na unidade no SI é N C (Newton/Coulumb).
Se tivermos somente uma carga:
E = K oq
r ˆr 2
Observação 3.1. Campo elétrico é radial e cai com a distância ao quadrado
O Princípio da superposição também é aplicado para os campos elétricos,
ou seja, o campo elétrico resultante em um ponto P qualquer será a soma
dos campos elétricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto.
E = E 1 + E 2 + ... + E n
3.2 Distribuições Contínuas de Carga
Figura 3.1: Distribuições contínuas de carga
Usando o Princípio da Superposição: E =
d E =Ko
dq
r 2 ˆr
3.2.1 Tipos de Distribuições:
a) linear: carga distribuída ao longo de um comprimento (ex: fio, barra,
anel).
Densidade linear de carga = λ = dq
dl
dq = λdl

22
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
E = K λdl
o ˆr
r 2
b) superficial: carga distribuída ao longo de uma superfície(ex: disco,placa).
Densidade superficial de carga = σ = dq
ds
dq = λds
E = K σds
o ˆr
r 2
c) volumétrica: carga distribuída no interior de um volume(ex: esfera,
cubo, cilindro).
Densidade volumétrica de carga = ρ = dq
dv
dq = ρdv
E = K ρdv
o ˆr
r 2
Exercício 3.1. Determinar o campo elétrico no ponto P.
Figura 3.2: Determinação do campo no ponto P
Resolução. Se tomarmos limite quando b>>L temos:
= carga pontual
E P
=
K oλL
b 2
= KoQ N
b 2 C

3.2.
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 23
Colocando uma carga q no ponto P, a força é dada por:
F = qE λL
P = qK o
b(b − L)îN
Quando lim b >> L temos:
qQ
F = K o î = força de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q
b2 Observação 3.2. Só funciona para matérias isolantes. Com os metais teríamos
uma redistribuição de carga no condutor quando a presença da carga q.
Exercício 3.2. Determinar o campo elétrico no ponto P.
Figura 3.3: Determinação do campo no ponto P

24
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Exercício 3.3. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um anel de
raio R
Figura 3.4: Anel de raio R
Resolução.
r = z 2 + R 2
dE z = dE cos α =
dl = Rdθ
λRdθ z
√
z 2 + R 2 z2 + R 2
Por simetria só teremos componente na direção z.
2π
z λRdθ
E = k 0 √
z2 + R 2 z 2 + R ˆk ⇒ zRλ2π
E = k 2 0
ˆk
(z 2 + R 2 ) 3 2
0
E =
2πk
0λRz N Qzλ
ˆk =
ˆk
(z 2 + R 2 ) 3 2 C (z 2 + R 2 ) 3 2
Analisando os limites R → ∞ e z >> R:

3.2.
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 25
z >> R : E = 2πλRk 0z
= k 0Q
= carga puntual
z 3 z 2
R → ∞:E → 0, com
1 se Q for fixa
R3 com
1 se λ constante
R3 Exercício 3.4. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um disco
com densidade de carga σ.
Figura 3.5: Anel de raio R
Resolução. Pela simetria só temos componente na direção z.

26
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
ds = rdθdr
z
dE z = dE cos α = dE √
r2 + z 2
E z = k 0
2π
0
r 2 + z 2 = u
R
0
zσrdθdr
R
√
r2 + z 2 (r 2 + z 2 ) = k 0zσ2π
du = 2rdr
0
rdr
(r 2 + z 2 ) 3 2
R
2 +z 2
du
E z = k 0 zσ2π = k
(u) 3 0 zσπ u −1 R
2 +z 2
2
2 − 1
z 2
2 z
2
1
E z = −k 0 zσ2π √
R2 + z − 1
= 2πk 0 σ
2 |z|
Analisando os limites:
z 0
− σ
2ε 0
, z < 0
z >> R :
z
|z| −
z
√
R2 + z 2
1 −
−
1
z
√
z2 + R = 1 + 1 + R2 2
= 1 − 1 − 1 R 2
2 z 2 2
⇒ E z =
σ
2ε 0
R 2
2z 2 = σπR2
4πε 0 z 2 =
Q
4πε 0 z 2
z 2 + ...
≈ 1 2
R 2
z 2

3.2.
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 27
⎧
⎪⎨
E z =
⎪⎩
Fazendo os gráficos:
σ
1 −
2ε 0
σ
−1 −
2ε 0
z
√ , z > 0
z2 + R 2
z
√ , z < 0
z2 + R 2
z R
Figura 3.7: Gráfico para z >> R

28
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
3.3 Linhas de Forças
Os esquemas mais utilizados para a representação e visualização de um campo
elétrico são:
a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espaço
Figura 3.8: Linhas de força-vetores
Quando q > 0 o campo é divergente.
Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distância.
b) Desenhar as linhas de campo:
Linhas de força de um campo, ou simplesmente linhas de campo são retas
ou curvas imaginárias desenhadas numa região do espaço, de tal modo que, a
tangente em cada ponto fornece a direção e o sentido do vetor campo elétrico
resultante naquele ponto.
As linhas de campo fornecem a direção e o sentido, mas não o módulo. No
entanto, é possível ter uma idéia qualitativa do módulo analisando as linhas.
A magnitude do campo é indicada pela densidade de linhas de campo.
Exemplo 3.1. carga puntual +q
Atenção: o desenho está definido em duas dimensões, mas na realidade
representa as três dimensões.

3.3. LINHAS DE FORÇAS 29
Figura 3.9: Linhas de força de um campo
Figura 3.10: Carga pontual + q
Se considerássemos duas dimensões, a densidade de linhas que passam
através de uma circunferência seria igual a
, o que faria com que
e
Caso 3D a densidade seria igual a
n
2πr
E ∝ 1 r
n
4πr 2
E ∝ 1 r 2

30
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
, o que é correto.
Existem algumas regras para desenhar as linhas:
1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contrário, teríamos dois
sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto não faz sentido pois
o campo que elas significam é sempre o resultante.
2) As linhas de campo começam na carga positiva e terminam na carga
negativa, ou no infinito.
3) O número de linhas é proporcional ao módulo das cargas.
Q 1
Q 2
= n 1
n 2
Exemplo 3.2.
Figura 3.11: Linhas de Campo
3.4 Fluxo
Consideremos uma região no espaço, onde existe um campo elétrico como na
figura abaixo:
Uma superfície de área A perpendicular a direção de E.
O fluxo através desta superfície é: f = EA

3.4. FLUXO 31
Figura 3.12: Fluxo na área A
Se esta superfície estiver na mesma direção de
E
a⊥ E
Figura 3.13: Fluxo na área A
Se esta superfície estiver inclinada em relação as linhas de campo em um
ângulo θ
Considere agora, uma superfície fechada qualquer. Divida a superfície em
pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor

32
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.14: Fluxo na área A
campo não varie apreciavelmente sobre um trecho.
Não deixe que a superfície seja muito rugosa nem que essa passe por uma
singularidade. (ex: carga puntiforme)
Figura 3.15: Superfície
A área de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente
uma direção e sentido, a normal à superfície orientada para fora. Para cada
trecho, temos um vetor → a j que define sua área e orientação.

3.5. LEI DE GAUSS 33
O fluxo através desse pedaço de superfície é dado por: Φ = → Ej . → a j
E o fluxo através de toda a superfície: Φ = j
→
Ej . → a j
Tornando os trechos menores, temos: Φ = → E .d → a em toda a superfície
3.5 Lei de Gauss
Tomemos o caso mais simples possível: o campo de uma única carga puntiforme.
Qual é o fluxo Φ através de uma esfera de raio r centrada em q?
Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme

34
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Ou simplesmente:
q
E = k 0
r ˆr 2
da = r 2 senθdθdϕˆr
q
Φ = E · da = k 0
r 2 r2 senθdθdϕˆr
s
= k 0 q
π 2π
0
0
s
senθdθdϕ =
= 4πk 0 q = 4πq
4πε 0
= q ε 0
E × area total = k 0
q
r 2 4πr2 = q ε 0
Portanto o fluxo não depende do tamanho da superfície gaussiana.
Agora imagine uma segunda superfície, ou balão, mas não esférica envolvendo
a superfície anterior. O fluxo através desta superfície é o mesmo do
que através da esfera.
Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme

3.5. LEI DE GAUSS 35
Para ver isto podemos considerar a definição de linhas de campo:
O número de linhas que atravessam as duas superfícies é o mesmo.
Ou então podemos considerar um cone com vértice em q.
Figura 3.18: Comparação de fluxos
O fluxo de um campo elétrico através de qualquer superfície que envolve
uma carga puntiforme é q ε o
Corolário 3.1. Fluxo através de uma superfície fechada é nulo quando a carga
é externa à superfície.
O fluxo através de uma superfície fechada deve ser independente do seu
tamanho e forma se a carga interna não variar.
Superposição:
Considere um certo número de fontes q 1 , q 2 , ..., q n e os campos de cada
uma
E 1 , E 2 , ..., E n
O fluxo Φ , através de uma superfície fechada S, do campo total pode ser
escrito:

36
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Φ =
E · ds =
( E 1 + E 2 + ... + E n )·ds
S
S
LEI DE GAUSS:
S
E i · ds = q i
ε 0
⇒ Φ = q 1 + q 2 + ... + q n
ε 0
= q int
ε 0
O fluxo do campo elétrico → E através de qualquer superfície fechada é igual
à carga interna dividida por 0 .
S
E i · ds = q int
ε 0
Pergunta: A lei de Gauss seria válida se
E
∝ 1 r 3
?
Não, pois:
Φ = E · A = EA total = k 0
q
r 3 4πr2 =
q
ε 0 r
Por meio da lei de Gauss é possível calcular a carga existente numa região
dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, porém limitados
a sistemas que possuem alta simetria.
3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss:
1) Identifique as regiões para as quais E deve ser calculado.
2) Escolha superfícies gaussianas observando a simetria do problema,
preferencialmente com E perpendicular e constante ou E → paralelo.
3) Calcule
Φ = E i · ds
S

3.6.
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 37
4) Calcule q int
5) Aplique a Lei de Gauss para obter → E
Figura 3.19: Simetrias mais comuns
3.6 Aplicações da Lei de Gauss
É essencial que a distribuição tenha elemento de simetria (plana, axial,
esférica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo através de uma
superfície gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a simetria,
em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta
superfície.
Plano Uniformemente Carregado
Fio Cilíndrico de densidade linear λ
Casca Esférica
O campo elétrico externo à camada é o mesmo que se toda a carga da
esfera estivesse concentrada no seu centro.
CAMPO ELÉTRICO NA SUPERFÍCIE DE UM CONDUTOR
A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor.
No equilíbrio não pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas
se deslocariam sob a ação do campo, rompendo o equilíbrio estático. Só é
possível ter componente do campo normal à superfície.

38
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado
Figura 3.21: Fio Cilíndrico de densidade linear λ
3.7 Divergência de um vetor e Equação de
Poisson
A lei de Gauss é um indicador global de presença de cargas:
Φ =
S
E · ds = q int
ε 0

3.7.
DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 39
Figura 3.22: Casca esférica
Queremos agora achar um indicador local que analise a presença de fontes
num ponto P.
Considere um ponto P:
Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga
dentro deste volume é ρ∆V, então:
Φ ∆Σ =
∆Σ
E.ds = q
int
=
ε 0
lim
∆V →0
V
1
∆V
ρ∆V
ε 0
⇒ 1
∆V
∆Σ
E.ds = 1
∆V
V
ρ∆V
ε 0
E.ds = ρ(P )
ε 0
(3.4)
Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P independe
de ∆Σ e é uma característica local do campo.
Para um vetor qualquer, definimos a divergência como sendo:
divv(P ) = ∇.v 1
= lim
∆V →0 ∆V
v.ds
onde ∆V é um volume arbitrário que envolve o ponto P e d → s (elemento
orientado de superfície).
De acordo com a Equação 3.4

40
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.23: Esquema para aplicação da Lei de Gauss

∇. E = ρ ε o
3.7.
DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 41
Figura 3.24: Continuação
Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal
Equação de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss
O divergente de E → num ponto P é o fluxo para fora de E → por unidade de
volume nas vizinhanças do ponto P.
Mas sempre que for calcular o divergente nós temos que calcular pela
definição?

42
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Figura 3.26: Paralelepípedo infinitesimal
1
∇.v = lim
∆V →0 ∆V
v.ds
Não. Vamos ver a forma do
∇.v
em coordenadas cartesianas:
Segundo a definição ∆V é qualquer. Vamos considerar um paralelepípedo
de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z).
Vamos calcular o fluxo de → v na face 2:
v x (2).∆y.∆z

3.7.
DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 43
Fluxo → v na face 1:
−v x (1).∆y.∆z
Observe que v x (2) = v x (1)
v x (2) = v x (x + 1 2 ∆x, y, z) = v x(x + y + z) + 1 ∂v x
2 ∂x ∆x
v x (1) = v x (x − 1 2 ∆x, y, z) = v x(x + y + z) − 1 ∂v x
2 ∂x ∆x
Fluxo sobre 1 e 2:
fluxos =
∂v x
∂x ∆x∆y∆z
Da mesma forma se considerarmos as outras faces:
∂v
Φ total = x
+ ∂vy + ∂vz ∆x∆y∆z
∂x ∂y ∂z
∂v
Φ total = x
+ ∂vy + ∂vz ∆V
∂x ∂y ∂z
Φ total = ∂ v • ds =
∂v x
+ ∂vy
∂x ∂y
Superfície infinitesimal = ∆Σ
+ ∂vz ∆V
∂z
∇v = ∂v x
∂x + ∂v y
∂y + ∂v z
∂z
Por outro lado se somarmos para todos os elementos:
∇v∆V =
∇vdV
V
Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contribuições
às superfícies internas são iguais a zero.

44
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
vds = vds
i
∆ P i
∇vdV =
S
vds
Vimos que a definição de divergente é:
V
divv(P ) = ∇.v =
S
1
lim
∆V i →0 V i
S i
v.ds i
sendo → v um campo vetorial qualquer, V i é o volume que inclui o ponto
em questão e S i a superfície que envolve este volume V i .
Significado de ∇ → . → v :
a) Fluxo por unidade de volume que sai de V i no caso limite de V i infinitésimo;
b) Densidade de fluxo desse valor através da região;
c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto.
3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da
Lei de Gauss
Φ =
S
F ds =
Fazendo lim
N→∞ e V i −→ 0
S
n
i=1
S i
F dsi =
F ds =
V
n
i=1
∇ F dV
F dsi
S
∆V
i
i
∆V i
Teorema de Gauss ou Teorema de Divergência
Já tínhamos visto a equação de Poisson:

3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45
∇. E = ρ ε o
Vamos usar o teorema da divergência para chegar neste resultado:
ρdV
V Eds =
Pelo teorema da divergência:
Eds = ∇ EdV = 1
ε 0
ρdV
s
ε 0
Como o volume é qualquer, temos:
s
V
V
∇. E = ρ ε o
sendo a relação local entre densidade de carga e campo elétrico
O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS:
Figura 3.27: Divergente

46
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
F = F x î + F y ĵ + F zˆk
∇ F 1
= lim
Vi →0 V i
s i
F dsi
Queremos saber o → ∇ . → F no ponto P
Sabemos que:
∂F y
∂y = F y(x, y + ∆y, z) − F y (x, y, z)
∆y
Fluxo por 2:
F y (x, y + ∆y/2, z) = F y (x, y, z) + ∂F y
∂y
∆y
2
F A = F y (x, y + ∆y/2, z)∆x∆z =
Fluxo por 1:
F y (x, y, z) + ∂F y
∂y
∆y
∆x∆z
2
F A = −F y (x, y − ∆y/2, z)∆x∆z = − F y (x, y, z) − ∂F y
∂y
Somando fluxo 1 + fluxo 2:
∆y
∆x∆z
2
Somando fluxo 3 + fluxo 4:
∂F y
∂y ∆x∆y∆
Somando fluxo 5 + fluxo 6:
∂F x
∂x ∆x∆y∆z

3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47
∂F z
∂z ∆x∆y∆z
Figura 3.28: Superfícies consideradas
Fluxo total que sai do volume V i
∂Fx
∂x + ∂F y
∂y + ∂F
z
∆x∆y∆z
∂z
∇ F =
1 ∂Fx
lim
∆V i →0 ∆V i ∂x + ∂F y
∂y + ∂F
z
∆V i = ∂F x
∂z ∂x + ∂F y
∂y + ∂F z
∂z
F = F x î + F y ĵ + F zˆk
Operador nabla: ∇ = ∂
∂xî + ∂ ∂y ĵ + ∂ ∂z ˆk
Em coordenadas esféricas: (r,θ,ϕ):
∇ F = 1 ∂
r 2 ∂r (r2 F r ) + 1 ∂
rsenθ ∂θ (senθF θ) + 1 ∂F ϕ
rsenθ ∂ϕ
Em coordenadas cilíndricas: (r,ϕ,z):
∇ F = 1 r
∂
∂r (rF r) + 1 ∂F ϕ
ρ ∂ϕ + ∂F z
∂z

∇ E = ρ ε 0
48
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO
Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volumétrica de cargas positivas
uniforme.
Figura 3.29: Cilindro com densidade volumétrica de cargas uniforme
Resolução.
E2πrL = ρπr2 L
ε 0
↔ E2πrL = ρπa2 L
ε 0
−→ E =
ρr
2ε 0
ˆr (r < a) ↔ E2πrL = ρπa2 L
ε 0
∇ E (r < a) = 1 r
∂
∂r (rE r) = 1
∂
r ρr
r ∂r 2ε 0
∇ E (r > a) = 1 r
∂
∂r (rE r) = 1
∂
r ρa2
r ∂r 2ε 0 r
∇ E = 0

3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49
O divergente do campo só é diferente de zero onde há carga!
CARGA PONTIFORME
∇ E =
E = 1
4πε 0
q
r 2 ˆr
q 1 ∂
4πε 0 r 2 ∂r (r2 E r ) = 0 , r = 0
Não faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), já que
ela gera o campo.

50
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO