Download .pdf - Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ

Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Física Armando Dias Tavares
Rafael de Vasconcellos Clarim
Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor
nemático
Rio de Janeiro
2012

Rafael de Vasconcellos Clarim
Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático
Dissertação apresentada como requisito parcial
para obtenção do título de Mestre, ao Programa
de Pós Graduação em Física, da Universidade do
Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci
Rio de Janeiro
2012

CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ/REDE SIRIUS/CTC/D
C591
Clarim, Rafael de Vasconcellos
Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor
nemático / Rafael de Vasconcellos Clarim. - 2012.
85f. : il.
Orientador: Daniel Gustavo Barci.
Dissertação - Universidade do Estado do Rio de Janeiro,
Instituto de Física Armando Dias Tavares.
1. Supercondutividade - Teses.2. Transformações de fase
(Física matemática) - Teses.3. Cristais líquidos - Teses. I. Barci,
Daniel Gustavo. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Instituto de Física Armando Dias Tavares. III. Título
CDU 537.31
Autorizo, apenas para fins acadêmicos ou científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação,
desde que citada a fonte.
Assinatura
Data

Rafael de Vasconcellos Clarim
Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático
Dissertação apresentada como requisito parcial
para obtenção do título de Mestre, ao Programa
de Pós Graduação em Física, da Universidade do
Estado do Rio de Janeiro.
Aprovado em 03 de Abril de 2012.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci (Orientador)
Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Pedro Jorge Von Hanke Perlingeiro
Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Mauro Melchiades Doria
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Dr. Daniel Lorenzo Reyes López
Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Luca Roberto Augusto Moriconi
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro
2012

DEDICATÓRIA
A meus pais,
Hamilton de Jesus Clarim e
Rita de Cássia Jesus de Vasconcellos
e aos meus avós,
José Rangel e Ondina e
Wilson e Inês

AGRADECIMENTOS
À meus pais, Hamilton e Rita de Cássia, e à meus avós, Wilson, Inês, José Rangel e Ondina,
por terem me dado toda estrutura familiar essencial para meu desenvolvimento pessoal e
profissional.
À minha namorada, Jéssica Furtado, que sempre me apoiou e colaborou para que eu pudesse
alcançar os meus objetivos.
Ao meu orientador, Dr. Daniel Gustavo Barci, que me orientou de maneira excelente,
sempre com muita paciência para passar o conhecimento, dando total apoio para produção do
trabalho e também por toda a confiança que tem depositado em mim nos últimos anos.
À todos os meus amigos, próximos ou distantes, recentes ou antigos, pelo carinho e amizade
que foram muito importantes nesses últimos anos. Em especial gostaria de agradecer à Thiago
Gaddini, Bruno Cabral, Alan Michel Rangel, Jorge Ricardo (com sua brilhante teoria sobre
vetores), Gustavo Luiz, Paula Ribeiro, Bruno Alho, Gustavo Vicente, Leonardo Rodrigues e
aos diversos outros amigos que peço desculpas por não ter acrescentado o nome nesta lista.
Ao Instituto de física da UERJ e à todos os professores, antigos e recentes, pois sem eles
seria impossível alcançar o conhecimento que me permitiu desenvolver este trabalho.
À CAPES pelo apoio financeiro.

"Se quiser vir a ser alguém na vida, que devore os livros."
Don Ramon.
"Com a força da sua mente, seu instinto e, também com sua experiência você pode voar alto."
Ayrton Senna.
"Se você quer fazer do mundo um lugar melhor, olhe para si mesmo e faça uma mudança."
Michael Jackson.
"Enquanto tiverem os livros nas mãos serão pessoas honradas, serão gente de bem. Em outras
palavras, serão como eu..."
Rubén Aguirre.

RESUMO
CLARIM, Rafael de Vasconcellos. Teoria de Landau-Ginzburg para o estado
supercondutor nemático. 2012. 83f. Dissertação (Mestrado em Física) - Instituto
de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, Rio de Janeiro, 2012.
O objetivo geral deste projeto é propor um modelo bidimensional que descreva
o novo estado supercondutor, que apresenta simetria de cristal líquido,
chamado de supercondutor nemático. O estudo começa com uma introdução
sobre a teoria de Landau-Ginzburg das transições de fase, onde são discutidos
conceitos como parâmetro de ordem e as ordens das transições de fase,
que são essenciais para o desenvolvimento deste projeto. Em seguida, é feita
uma discussão sobre as principais características dos supercondutores como a
resistência zero, o efeito Meissner-Ochsenfeld, os tipos de supercondutores, o
surgimento de vórtices e uma análise sobre a teoria de Landau-Ginzburg para
transição de fase metal-supercondutor. Após isto, é feita uma abordagem sobre
os principais tipos de cristais líquidos, com destaque ao cristal líquido
nemático, onde é desenvolvida a teoria de Landau-Ginzburg para transição de
fase isotrópica-nemática e um estudo sobre o surgimento de disclinações no
cristal líquido nemático em duas dimensões. Por fim, é apresentado o modelo
proposto para descrever o estado supercondutor nemático, com a construção da
teoria de Landau-Ginzburg, o estudo do acoplamento entre as fases e os defeitos
topológicos presentes nesse estado.
Palavras-chave: Supercondutividade. Transformações de fase (Física matemática). Cristais
líquidos.

ABSTRACT
CLARIM, Rafael de Vasconcellos. Landau-Ginzburg theory for the nematic superconductor
state. 2012. 83f. Dissertação (Mestrado em Física) - Instituto de
Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio
de Janeiro, 2012.
The objective of this project is to propose a two-dimensional model that describes
the new superconducting state, which has liquid crystal symmetry, called
nematic superconductor. The study begins with an introduction to the Ginzburg-
Landau theory of phase transitions, which are discussed concepts such as order
parameter and the orders of phase transitions, which are essential for the development
of this project. Then, there is a discussion of the main characteristics
of superconductors such as zero resistance, the Meissner effect-Ochsenfeld,
the types of superconductors, the appearance of vortex and an analysis of the
Landau-Ginzburg theory to metal superconductor phase transition. After this,
an approach is made on the main types of liquid crystals, especially the nematic
liquid crystal, which is developed Ginzburg-Landau theory for nematicisotropic
phase transition and a study about the disclinations in the two dimensional
nematic liquid crystal. Finally, the proposed model is presented to describe
the nematic superconductor state, with the construction of the Ginzburg-
Landau theory, the study of coupling between the phases and the topological
defects present in this state.
Keywords: Superconductivity. Phase transformations (Statistical physics). Liquid crystals.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Transição de fase de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 2 - Transição de fase de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 3 - Resistividade de um Metal Típico em função da Temperatura . . . . . . 28
Figura 4 - Efeito Meissner-Ochsenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 5 - Diamagnetismo Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 6 - Supercondutor tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 7 - Supercondutor tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 8 - Diagrama H x T dos supercondutores tipo I e tipo II . . . . . . . . . . . 33
Figura 9 - Densidade energia livre, f s − f n , em função de ψ . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 10 - Anel supercondutor com campo magnético aplicado . . . . . . . . . . . 46
Figura 11 - Ângulo α entre o vetor diretor e o eixo maior da molécula em um cristal
líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 12 - Moléculas de um Cristal Líquido Nemático . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 13 - Moléculas de um Cristal Líquido Colestérico . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 14 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético A . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 15 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético B . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 16 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético C . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 17 - Configuração das moléculas de um material através da variação da temperatura
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 18 - Energia Livre de Landau para um cristal líquido nemático em três dimensões
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 19 - Energia Livre de Landau-Ginzburg para um cristal líquido nemático em
duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 20 - Processo de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 21 - Diagrama de Fase a partir do acoplamento algébrico . . . . . . . . . . . 68
Figura 22 - J · ˆn = 0 em todos os pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 23 - Vórtice e Disclinação separados por uma distância R . . . . . . . . . . . 76
Figura 24 - Diagrama de Fase para a aproximação de London . . . . . . . . . . . . 77

SUMÁRIO
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 TRANSIÇÕES DE FASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Física Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Teoria de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Procedimentos para a construção da teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Relação com a Física Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Transição de fase de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4 Transição de fase de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 SUPERCONDUTIVIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Modelo de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Resistividade e Condutividade elétrica nos metais . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Características dos Supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Resistência Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Efeito Meissner-Ochsenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Diamagnetismo Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Supercondutores: Tipo I e Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Supercondutores Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Supercondutores Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Equação de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Pares de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Vórtice de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7 Teoria de Landau-Ginzburg para a Supercondutividade . . . . . . . . . . . . 38
2.7.1 Descrição da Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7.2 Sistemas Não-Homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7.3 Superfície dos Supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.4 Teoria de Landau-Ginzburg com campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.5 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.6 Quantização do Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 CRISTAL LÍQUIDO NEMÁTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1 Cristais Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1 Tipos de Cristais Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1.1 Cristais Líquidos Nemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1.2 Cristais Líquidos Colestéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1.3 Cristais Líquidos Esméticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Teoria de Landau-Ginzburg para os Cristais Líquidos Nemáticos . . . . . . 52
3.2.1 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 3 Dimensões . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 2 Dimensões . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2.1 Teoria de Landau-Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2.2 Disclinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 O ESTADO SUPERCONDUTOR NEMÁTICO . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Supercondutores High T c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 O Estado Supercondutor Modulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático . . . . . 69
4.3.1 Aproximação de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12
INTRODUÇÃO
A primeira teoria bem sucedida sobre transições de fase foi introduzida por van der Waals
antes do surgimento da Mecânica Estatística [1]. Esta teoria trazia um pensamento inédito de
que um único tipo de interação entre moléculas poderia descrever distintas fases termodinâmicas.
Nas teorias e os modelos atuais que descrevem as transições de fase e os fenômenos críticos
têm como base a Mecânica Estatística, mas incorporam a idéia de van der Waals.
A Mecânica Estatística foi sistematizada por Gibbs. De acordo com a teoria de Gibbs, as
propriedades de um sistema em equilíbrio termodinâmico a uma determinada temperatura podem
ser obtidas a partir da distribuição canônica de probabilidades que está relacionada com a
hamiltoniana que descreve o sistema. As propriedades termodinâmicas em questão são determinadas
a partir da energia livre, que é proporcional à função de partição. Uma transição de fase
ou um ponto crítico manifesta-se como uma singularidade na energia livre a qual é observada
quando se toma o limite termodinâmico. O cálculo da energia livre do modelo de Ising por
Onsager mostrou explicitamente essa propriedade pela primeira vez.
Antes de Onsager as transições de fase haviam sido estudadas do ponto de vista teórico
em teorias aproximadas como a teoria de Weiss para o ferromagnetismo, a teoria de Bragg-
Williams para a transição ordem-desordem em ligas metálicas e a teoria de van der Waals para
a transição líquido-vapor. Essas teorias clássicas ou de campo médio podem ser vistas de forma
unificada através da teoria de Landau.
Uma transição de fase que podemos destacar nas pesquisas em Física da matéria condensada
é a transição de fase metal-supercondutor. Os Metais ocupam uma posição muito especial
no estudo dos sólidos, apresentando uma impressionante variedade de propriedades que outros
sólidos não possuem [2]. Eles são excelentes condutores de calor, de eletricidade, entre outras
propriedades interessantes. O desafio da inclusão desses recursos dos metais deu o impulso
inicial para a teoria moderna dos sólidos.
No ano de 1911, houve um grande acontecimento no estudo da condução em metais. H.

13
Kamerlingh Onnes observou que a resistividade do mercúrio, abaixo da temperatura de 4,15 K,
caia para zero. Este foi o início dos Estudos dos Supercondutores.
Em 1950, Landau e Ginzburg propuseram uma Teoria para o estudo da transição de fase
metal-supercondutor. A Teoria de Landau-Ginzburg é uma teoria que não explica os mecânismos
microscópicos que dão origem a supercondutividade. Em vez disso, a teoria analisa as
propriedades macroscópicas de um supercondutor com o auxílio de termodinâmica. Inicialmente
esta teoria era introduzida como uma teoria fenomenológica, mas Gor´kov mostrou que
era possível obter esta teoria através da teoria microscópica de Bardeen Cooper e Schrieffer
(BCS) no limite adequado.
Outro tipo de material que ocupa uma posição importante nos estudos das transições de
fase são os cristais líquidos [3]. A descoberta do primeiro cristal líquido foi devido ao estudo
do botânico austríaco Friedrich Reinitzer, em 1888. Ao realizar sua pesquisa no estudo da
função do colesterol nas plantas, ele observou a existência de dois pontos de fusão em um éster.
Aumentando a temperatura do sistema, ele percebeu que o composto variava do estado cristalino
para um líquido opaco e, aumentando novamente a temperatura, o líquido opaco tornava-se um
líquido transparente.
Após realizar essas observações, Reinitzer enviou algumas amostras a Otto Lehmann, físico
alemão, que as estudou com um microscópio equipado com um polarizador e um controlador
de temperatura. Lehmann verificou que a fase em que o líquido era opaco, a substância era um
líquido homogêneo, mas, que o seu comportamento na presença de uma luz polarizada era igual
ao comportamento de um cristal. Esta é a origem da denominação Cristal Líquido.
Impulsionado por essa descoberta muitos estudos foram realizados. Entre esses estudos
destacamos: Daniel Vorlander, com o seu trabalho que mostrou a tendência das moléculas
lineares em formarem fases líquido-cristalinas; Georges Friedel, que em 1922 publicou um
trabalho descrevendo as 3 fases do cristal líquido: nemático, esmético e colestérico, explicando
a razão pela existência de variações da orientação das moléculas e concluiu que para o
caso de cristais líquidos esméticos existia uma estrutura de camadas; Carl Oseen e F.C. Frank
realizaram, entre 1920 e 1958, um estudo teórico denominado como "Teoria Contínua"que
descreve as propriedades elásticas nos cristais líquidos; V. Tsevtkov introduz o parâmetro de

14
ordem em 1942; Glenn Brown, químico norte-americano, publicou um trabalho de revisão sobreas
fases líquido-cristalinas em 1957; Wilhelm Maier e Alfred Saupe, dois físicos alemães,
em 1961 formularam pela primeira vez uma teoria microscópica que relaciona as características
moleculares com as fases líquido-cristalinas.
As pesquisas de transições de fase em sistemas de matéria condensada ainda estão em pleno
desenvolvimento. Recentemente foi observado em alguns materiais supercondutores de alta
temperatura um novo estado supercondutor [4], [5], [6], [7], que apresenta simetria de cristal
líquido nemático, algo que até então não havia sido observado e, consequentemente, ainda não
possui uma teoria completa para descrever esse estado. Este trabalho propõe um modelo que
visa estudar as principais características desse novo estado supercondutor através da teoria de
Landau-Ginzburg para as transições de fase.
A presente dissertação é estruturada da seguinte forma:
• Capítulo 1: Refere-se a construção da teoria de Landau-Ginzburg das transições de fase,
onde são discutidos conceitos como parâmetro de ordem e as ordens das transições de
fase, que são essenciais para o desenvolvimento deste projeto.
• Capítulo 2: São apresentadas as principais características dos supercondutores como a
resistência zero, o efeito Meissner-Ochsenfeld, os tipos de supercondutores, o surgimento
de vórtices e a teoria de Landau-Ginzburg para transição de fase metal-supercondutor.
• Capítulo 3: É feita uma abordagem sobre os principais tipos de cristais líquidos, com
destaque ao cristal líquido nemático, onde é desenvolvida a teoria de Landau-Ginzburg
para transição de fase isotrópica-nemática e um estudo sobre o surgimento de disclinações
no cristal líquido nemático em duas dimensões.
• Capítulo 4: É proposto um modelo para descrever o estado supercondutor nemático, com
a construção da teoria de Landau-Ginzburg, o estudo do acoplamento entre as fases e a
análise dos defeitos topológicos presentes nesse estado.

15
1 TRANSIÇÕES DE FASE
Neste capítulo apresentaremos os principais conceitos que serão abordados nessa dissertação.
Inicialmente descreveremos o conceito de energia livre e de parâmetro de ordem, que
servirão como base para o estudo principal deste trabalho: a teoria de Landau-Ginzburg para as
transições de fase.
1.1 Introdução
As transições de fase são muito comuns na natureza [8]. Essas transições ocorrem quando
o estado de equilíbrio de um sistema sofre um alteração em suas condições de simetria devido
a variação dos parâmetros externos do mesmo, como por exemplo temperatura, pressão, campo
magnético. Compreender e descrever a existência dessas transições, bem como seu caráter e
consequências para fenômenos cotidianos, é um dos papeis mais importante do estudo da física
matéria condensada e da física estatística.
Para descrever um sistema, de um ponto de vista microscópico, temos que analisar o Hamiltoniano
do mesmo. O Hamiltoniano apresenta invariância sobre determinadas operações de
simetrias, que nos permite tirar importantes conclusões sobre a estrutura e o comportamento
em determinadas condições. Em geral, se o sistema estiver sob alta temperatura ou diluído, o
sistema está em uma fase desordenada na qual é invariante frente a operações do mesmo grupo
de invariância do Hamiltoniano. Quando ocorre uma transição de fase, alguma invariância é
quebrada. As quantidades que não permanecem invariantes através de uma transição de fases
são chamadas de parâmetros de ordem.
Vamos agora analisar as transições de fase do ponto de vista da Física Estatística.
1.1.1 Física Estatística
Uma das aplicações da Física Estatística (além de nos ajudar a entender a natureza) é
calcular propriedades fundamentais da natureza, incluindo as transições de fase. Através dos

16
estudos de Boltzmann podemos definir uma quantidade chamada de Função de Partição. Esta
quantidade codifica as propriedades de um sistema em equilíbrio termodinâmico. Ela é uma
função de parâmetros como a temperatura e, a maioria das variáveis termodinâmicas do sistema,
como por exemplo a energia livre, entropia e pressão, podem ser obtidas em termos da função
partição e de suas derivadas. A sua expressão matemática é dada por:
∑ ∑
Z = e −H[γ]/κBT = e −H[γ]β (1.1)
γ
γ
Onde γ se refere a todos os microestados do sistema ( como por exemplo todas as configurações
possíveis dos spins em um material magnético), β é igual a 1/κ B T e H[γ] é a Hamiltoniana.
Boltzmann mostrou também que a energia livre de Helmholtz é dada por:
F = − 1 ln(Z) (1.2)
β
Obtendo a expressão da energia livre, podemos obter também quantidades termodinâmicas
importantes, como por exemplo a entropia, através de suas derivadas em relação a determinados
parâmetros do sistema.
Com base no que discutimos até agora e no que veremos no decorrer desse estudo, podemos
dizer que a energia livre F(T) é, matematicamente, uma função não analítica da temperatura.
Uma função não analítica é aquela que apresenta derivadas não definidas em certos pontos ou
singularidades. Quando aparecem esses pontos que apresentam singularidades nas derivadas,
dizemos que ocorreu uma transição de fase.
É interessante tentar e entender como obter o comportamente não analítico fora de uma
soma de exponências, cada qual separado analíticamente em uma temperatura finita qualquer:
[ ∑
F = −κ B Tln
γ
]
e −H[γ]/κ BT
(1.3)
A existência de singularidades em F é um resultado direto da existência do limite termodinâmico,
ou seja, a presença de um número essencialmente infinito de graus de liberdade em
um sistema termodinâmico.

17
Podemos pensar que a energia livre possa apresentar uma descontinuidade na sua primeira
derivada ou nas derivadas de ordem superior. Definimos então que, quando a primeira derivada
é descontínua, trata-se de uma transição de fase de primeira ordem. No caso da segunda
derivada ser descontínua, trata-se de uma transição de fase de segunda ordem. Esses dois
casos serão estudados com mais detalhes na sessão seguinte, no qual definiremos a teoria de
Landau para as transições de fase.
1.2 Teoria de Landau
A partir da teoria das funções analíticas estamos familiarizados com o fato de que uma
quantidade surpreendente de informação está contida em singularidades. Então, se podemos de
alguma forma vir a nos deparar com uma singularidade na energia livre, então pode-se elaborar
uma teoria para tornar possível a compreensão da física das transições de fase. Este é o objetivo
da Teoria de Landau.
Landau fez uma série de pressupostos para a energia livre aproximada de um sistema, de tal
forma que a energia livre exibe a não analiticidade de uma transição de fase e nos fornece grande
parte da física envolvida neste processo. Existem essencialmente quatro etapas neste procedimento:
vamos estudar esses primeiros passos, e depois explorá-los novamente em termos da
função de partição.
1.2.1 Procedimentos para a construção da teoria
Inicialmente temos que definir um parâmetro de ordem ψ para o sistema. Como já haviamos
falado anteriormente, esta quantidade deve ser zero na fase desordenada (acima da temperatura
crítica T c ) e diferente de zero da fase ordenada (abaixo da temperatura crítica T c ). Feito isso,
assumimos um funcional da energia livre, cujo a energia livre é determinada minimizando o
funcional:
˜F = F 0 (T) + F L (T, ψ) (1.4)
Onde F 0 (T) é uma função analítica da temperatura e F L (T, ψ) contém toda a informação sobre
a dependência do parâmetro de ordem ψ.

18
O funcional de Landau é assumido como sendo uma função analítica de ψ, que obedece todas
as simetrias possíveis associadas com ψ, o que geralmente inclui a invariância de translação
e rotação. Na fase desordenada, assumimos que ψ seja igual a zero. Então, perto da transição de
fase, é esperado que ψ seja pequeno, ou seja, podemos construir o funcional de Landau através
de uma expansão polinomial do parâmetro de ordem (essa expansão só é válida quando ψ pequeno).
Assumimos também que toda dependência não trivial da temperatura no funcional de
Landau está presente no termo de menor ordem da expansão polinomial de F L (T, ψ), que tem a
forma:
∫
F L (T, ψ) =
]
1
dV[
2 a 0(T − T c )ψ 2 + ...
(1.5)
Onde a 0 é uma constante. Desde que F L (T, ψ) seja construído como uma expansão, haverão
outras constantes desonhecidas. Em um sistema físico, essas constantes têm dependência da
temperatura, mas, em geral, elas tem efeito desprezível perto da transição de fase.
Após a construção do funcional de Landau e minimizando-o como uma função da temperatura,
a natureza da transição de fase pode ser determinada. O sistema neste nível é especificado
como tendo um estado uniforme ou um estado médio. Por isso a teoria de Landau é dita uma
teoria de campo médio.
1.2.2 Relação com a Física Estatística
Pela equação (1.3) podemos obter a relação:
∑
e −F/κBT =
γ
e −H[γ]/κ BT
(1.6)
Relacionando (1.6) com (1.4) temos que:
∫
e −F/κBT ≃ e −F 0/κ B T
Dψe −F L[T,ψ]/κ B T
(1.7)
Onde a integral ∫ Dψ é uma integral funcional em todos os graus de liberdade associados com

19
ψ, ao invés da integral sob todos os microestados. Calculando esta integral, obtemos a relação:
F = E − TS (1.8)
Onde E representa a energia interna do sistema, T a temperatura e S a entropia. A entropia é
dada por:
S = κ B ln[g(ψ)] (1.9)
Onde g(ψ) representa a degenerescência de ψ, ou seja, o número de microestados acessíveis do
sistema. Expandindo a energia livre temos:
F ≃ E 0 − E ∗ ψ 2 + ... − T[S 0 − aψ 2 + ...] = F 0 + a(T − E ∗
a )ψ2 + ... (1.10)
Onde a é uma constante. Identificamos a dependência da temperatura no termo quadrático
da expansão. Veremos na próxima sessão que E∗
a
assumirá o papel de uma temperatura do
sistema em que, nos exemplos que serão apresentados, esta temperatura será a temperatura
crítica para a transição de fase de segunda ordem.
1.2.3 Transição de fase de primeira ordem
Vamos supor uma energia livre do tipo:
F = F 0 + 1 2 a(T − T 0)ψ 2 − 1 4 bψ4 + 1 6 cψ6 (1.11)
Onde T 0 é uma temperatura diferente da temperatura crítica. Calculando os mínimos para essa
energia livre fazemos a primeira derivada igual a zero:
∂F
∂ψ = a(T − T 0)ψ − bψ 3 + cψ 5 = 0 (1.12)
Com isso obtemos os valores:
ψ = 0, ψ 2 = b ± √ b 2 − 4ca(T − T 0 )
2c
(1.13)

20
Para definir a temperatura crítica fazemos T = T c . Com isso temos:
F − F 0 = 1 2 a(T c − T 0 ) − 1 2 bψ2 + 1 3 cψ4 = 0 (1.14)
Calculando a derivada primeira obtemos:
ψ 2 = 3b
4c
(1.15)
Substituindo (1.15) em (1.14):
a(T c − T 0 ) − b 3b ( ) 2
3b
4c + c = 0 (1.16)
4c
Ou seja, T c é dado por:
T c = T 0 + 3b2
16ac
(1.17)
Comparando (1.11) com (1.8), identificamos a Entropia como sendo:
S = ∂F
∂T = −1 2 aψ2 = − 1 ( ) 3b
2 a = −a 3b
4c 8c
(1.18)
Podemos identificar também a existência de um Calor Latente L, em T = T c , que tem a
forma:
L = T c
1
2 aψ2 = T c a 3b
8c = −T cS (1.19)
A existência do calor latente em uma transição de fase é caracterizada por uma descontinuidade
na primeira derivada da energia livre quando T = T c , o que nos leva a concluir que
esta energia livre corresponde a uma transição de fase de primeira ordem..
Um gráfico típico de uma transição de fase de primeira ordem [9] é apresentado na figura
1. Nesta figura vemos que para T > T c existe um mínimo estável em ψ = 0, porém existem
também dois mínimos metaestáveis. Os estados metaestáveis correspondem a qualquer estado
do sistema diferente do estado de equilíbrio mais estável, que tenham consigo associado uma
restrição que impeça a transição imediata deste para o estado mais estável sem alguma perturbação
significativa de origem geralmente externa ao sistema. Quando T = T c , vemos que a

21
energia livre apresenta 3 mínimos estáveis, sendo um deles em ψ = 0. Para T < T c , temos que
em ψ = 0, que anteriormente era um ponto de mínimo, passa a ser agora um ponto de máximo
e o sistema apresenta dos mínimos estáveis.
Figura 1: Transição de fase de primeira ordem
Está associado a transição de fase de primeira ordem um fenômeno chamado de Histerese
[10]. Basicamente, podemos definir a histerese como sendo a situação na qual o sistema fica
"preso"em um mínimo local de energia do sistema e, em consequência disto, não consegue alcançar
o equilíbrio termodinâmico. Ainda não existe formalmente um tratamento da histerese
baseado na metaestabilidade e na termodinâmica fora do equilíbrio. Portanto, para fazer esse estudo
devemos utilizar aproximações, como por exemplo a histerese independente do passo, que
consiste basicamente em uma aproximação a temperatura zero, onde o sistema fica indefinidamente
em qualquer mínimo local que ele possa ocupar inicialmente, a histerese dependente
do passo, onde algum mecanismo dissipativo limita a resposta do sistema a ações externas e
a relaxação térmica, pelo qual o sistema se aproxima do equilíbrio termodinâmico auxiliado
pelas relaxações térmicas. Em Física, a histerese é encontrada no ferromagnetismo, ferroeletricidade,
supercondutividade, absorção e recentemente foi estudada em materiais com memória
de forma.

22
1.2.4 Transição de fase de segunda ordem
Vamos supor agora que temos uma energia livre da forma:
F = F 0 + 1 2 a(T − T c)ψ 2 + 1 4 bψ4 (1.20)
Onde vamos assumir que a e b são constantes independentes da temperatura. Calculando os
pontos de mínimo:
∂F
∂ψ = a(T − T c)ψ + bψ 3 = 0 (1.21)
Com isso obtemos os valores:
ψ = 0, ψ 2 = a(T c − T)
b
(1.22)
Comparando (1.20) e (1.8) vemos que a entropia é dada por:
S = − 1 2 aψ2 = − 1 2 a2 (T c − T)
b
(1.23)
Deste resultado podemos obter a expressão do calor específico:
C = ∂2 F
∂T 2 = T ∂S
∂T = ⎧⎪⎨⎪⎩
0, se T > T c
a 2
2b T, se T < T c
(1.24)
O Calor específico apresenta uma descontinuidade finita, um salto na temperatura crítica, o
que nos mostra que essa energia livre corresponde a uma transição de fase de segunda ordem.

23
Um gráfico típico de uma transição de fase de segunda ordem [9] é apresentado na figura
2. Nesta figura vemos que para T > T c existe um mínimo estável em ψ = 0. Quando T = T c ,
vemos que a energia livre continua apresentando um mínimo estável em ψ = 0. Para T < T c ,
temos que em ψ = 0, que anteriormente era um ponto de mínimo, passa a ser agora um ponto
de máximo e o sistema apresenta dos mínimos estáveis, semelhante ao que ocorre na transição
de fase de primeira ordem.
Figura 2: Transição de fase de segunda ordem

24
2 SUPERCONDUTIVIDADE
Nesse capítulo apresentaremos inicialmente uma breve descrição do modelo de Drude para
a condução em metais, que consiste em uma analogia com a teoria cinética dos gases, considerando
o metal como sendo um gás de elétrons. Feito isso, descreveremos as principais características
da supercondutividade: o efeito Meissner-Ochsenfeld e a resistência zero, através
de um modelo teórico simples, a equação de London, e as consequências desta equação, como
a existência de vórtices nos supercondutores e a diferença entre os supercondutores tipo I e tipo
II. Por fim, uma discussão sobre a transição de fase metal supercondutor através da teoria de
Landau-Ginzburg, com aplicações em sistemas uniformes, sistemas não-homogêneos, sistemas
na presença do campo magnético, no estudo da superfície dos supercondutores e na quebra
espontânea de simetria.
2.1 Modelo de Drude
Em 1897, J.J. Thomson descobriu o Elétron. [11] Esta descoberta teve um vasto e imediato
impacto nas teorias da estrutura da matéria e definiu o mecanismo de condução nos metais.
Aproximadamente 3 anos depois da descoberta de Thomson, Drude construiu uma teoria para
condução térmica e elétrica aplicando a Teoria Cinética para um metal, considerando-o como
um gás de elétrons.
A teoria cinética dos gases fornece informações sobre as grandezas macroscópicas do gás,
descrevendo-o como um grande número de moléculas em movimento caótico, que colidem
elasticamente entre si. Entre as colisões sucessivas, o movimento das moléculas é retilíneo e
cada colisão tem duração desprezível. Podemos supor que as forças aplicadas estão distribuídas
em todas as direções, ou seja, se cancelam globalmente, sendo nula a sua resultante. Drude
adaptou essa teoria para desenvolver um modelo para a condutividade em metais e com isso foi
capaz de descrever e prever uma série de propriedades desses materiais.
Os életrons possuem carga elétrica negativa. Com base nisso, Drude assumiu que a com-

25
pensação das cargas positivas nos metais, afim de garantir a neutralidade elétrica do material,
estaria ligada à partículas muito pesadas que são consideradas imóveis.
Fazendo uma comparação com o que conhecemos hoje sobre a estrutura da matéria, podemos
dizer que os elétrons do gás proposto por Drude são os elétrons que se localizam na camada
de condução dos átomos, e as partículas pesadas e imóveis de carga positiva são os íons
metálicos, compostos por núcleos atômicos e elétrons fortemente ligados a eles, que chamamos
de elétrons do núcleo. Quando esses átomos isolados estão condensados formando um metal,
os életrons do núcleo continuam ligados ao núcleo formando o íon metálico, mas os elétrons
de valência podem deslocar-se para muito longe do átomo de origem. Nesse contexto, isto é
chamado de Condução Elétrica.
De maneira resumida, as hipóteses do modelo são:
• Na ausência de campos eletromagnéticos externos, os elétrons movem-se em movimento
retilíneo uniforme.
Quando existe um campo externo atuando, o elétron move-se de
acordo com as Leis de Newton, livre de qualquer influência de íons ou de outros elétrons.
• As colisões de elétrons com os íons no modelo de Drude, como na Teoria Cinética, são
eventos instantâneos que alteram a velocidade do elétron.
• Um elétron escolhido aleatoriamente, em média, pode deslocar-se por um tempo τ, que é
chamado de tempo livre médio ou tempo de relaxamento, antes da sua próxima colisão.
• Os elétrons alcançam o equilíbrio térmico com o meio somente através das colisões e
quanto maior for a temperatura onde ocorre a colisão, mais rápido um elétron emerge
dessa colisão.
2.1.1 Resistividade e Condutividade elétrica nos metais
A resistividade ρ é definida como sendo a constante de proporcionalidade entre o campo
elétrico E em um ponto no metal e a densidade de corrente que é induzida neste metal. Ou seja:
E = ρ j (2.1)

26
A densidade de corrente j é um vetor, paralelo ao fluxo de cargas, cuja magnitude é a quantidade
de cargas por unidade de tempo que circula por uma área perpendicular ao fluxo.
Supondo que n elétrons por unidade de volume V movem-se em um metal com velocidade
v. O número total de elétrons que atravessam uma seção transversal de área A, em um intervalo
de tempo dt, é:
N = nV = n(vdt)A (2.2)
Como cada elétron possui carga −e, a densidade de corrente pode ser escrita como:
j = − eN
Adt
= −env (2.3)
De acordo com a primeira hipótese do modelo vemos que a velocidade dos elétrons após uma
colisão, na presença de um campo externo, pode ser escrita em função da aceleração imposta
por este campo, ou seja:
− eE = m dv
dt
−→ v = −eEt
m
−→ v = −eEτ
m
(2.4)
Onde substituímos t por τ pois o tempo em questão é o tempo livre médio. Se aplicarmos a
equação (2.4) em (2.3) obtemos:
j = ne2 τ
m E (2.5)
Este resultado é usualmente representado em termos do inverso da resistividade, que chamamos
de Condutividade, e representamos por σ:
σ = ne2 τ
m
(2.6)
Isto estabelece a dependência linear de j em E e dá uma estimativa da condutividade em termos
de quantidades conhecidas, exceto para o tempo de relaxamento. Logo, podemos escrever a
resistividade como:
ρ = m
ne 2 τ−1 (2.7)
Onde a resistividade é proporcional a τ −1 que chamamos de frequência de espalhamento.

27
Em um metal típico existem 3 tipos de espalhamentos: espalhamento por impurezas τ −1
imp ,
por interação elétron-elétron τ −1
el−el
e pelas colisões elétron-fônon τ−1
el− f
. Como eles são processos
independentes, então a taxa de espalhamento total deve ter a forma:
τ −1 = τ −1
imp + τ −1
el−el + τ−1 el− f (2.8)
Onde τimp −1 não depende da temperatura, τ−1
el−el é proporcional ao quadrado da temperatura, T 2 ,
e τ −1
el− f
é proporcional a T 5 . Portanto, podemos representar a resistividade um metal á baixas
temperaturas, através de:
ρ = ρ 0 + aT 2 + ... (2.9)
Onde, de acordo com essa equação, a resistividade a temperatura zero, ρ 0 , dependeria apenas
da concentração de impurezas no material. Contudo, para alguns metais observou-se algo
completamente diferente. Após resfriarmos o metal, a resistividade inicialmente seguia um
comportamento simples, como descrito em (2.9). Mas, em um determinado momento, ela desaparece
totalmente, como pode ser observado na figura 3. A temperatura onde a resistividade
desaparece é chamada de temperatura crítica, que usaremos a notação T c . Abaixo dessa temperatura
a resistividade não é apenas pequena, mas é exatamente zero. Esse fenômeno é conhecido
como Supercondutividade.

28
Figura 3: Resistividade de um Metal Típico em função da Temperatura
2.2 Características dos Supercondutores
O fenômeno da supercondutividade foi um completa surpresa e, ainda hoje, se apresenta
como uma das grandes fronteiras para o conhecimento científico. A teoria de Bardeen, Cooper
e Schrieffer fornece uma explicação microscópica para esse fenômeno, porém ela só é aplicável
a supercondutores de baixas temperaturas.
Nesta sessão, vamos expor as principais características dos supercondutores[2] [13] [12]
[14], independente de qualquer modelo proposto para estudá-los.
2.2.1 Resistência Zero
Como havíamos citado anteriormente, em um supercondutor a resistividade ρ é zero e a
condutividade σ é infinita para temperaturas abaixo de T c . Outra característica do supercondutor
é que para ser consistente com a equação (2.5), temos que o campo elétrico dever ser nulo, E=0,
ou seja, há circulação de corrente sem a presença do campo elétrico.
A resistência nula no supercondutor é representada por uma transição de fase termodinâmica,
como um líquido passando para o estado gasoso, por exemplo. As propriedades de
cada fase são completamente diferentes. Aqui nós temos duas fases diferentes denominadas
“estado normal”, para temperaturas acima da temperatura crítica, e “estado supercondutor”,
para temperaturas abaixo da temperatura crítica. No estado normal, a resistividade e as outras
propriedades se comportam como um metal normal, enquanto que no estado supercondutor

29
várias propriedades físicas são diferentes, incluindo a resistividade.
Um grande obstáculo que encontramos é ter a noção precisa para distinguir uma resistência
muito pequena de uma resistência nula. Este problema ocorre pois geralmente, quando medimos
uma resistência de uma amostra supercondutora, o multímetro também apresenta uma
resistência nos fios de medição, o que nos dá uma resposta de uma resistência muito pequena,
mas diferente de zero. Uma boa técnica para saber distinguir entre uma resistência muito pequena
e uma resistência nula é a observação da existência de uma corrente chamada Corrente
Persistente. Se aplicarmos uma corrente I circulando em um anel feito por um fio supercondutor,
por exemplo, a energia armazenada no campo magnético do anel permanecerá constante
e, como não há resistência, esta corrente irá circular sem perda alguma. Se houver alguma resistência
no anel, ocorrerá uma dissipação de energia, consequentemente a corrente I irá decair
com o tempo.
2.2.2 Efeito Meissner-Ochsenfeld
Ao observar amostras supercondutoras de Estanho submetidas a um campo magnético externo,
Walther Meissner e seu assitente, Robert Ochsenfeld, descobriram, em 1933, a prova fundamental
que caracteriza um material ser supercondutor, o chamado Efeito Meissner-Ochsenfeld.
Esse efeito consiste na expulsão do campo magnético do interior do supercondutor e é
descrito pela equação de Maxwell:
∇ × E = − ∂B
∂t
(2.10)
Com o fato do campo elétrico ser nulo, E=0, no supercondutor, temos que:
∂B
∂t
= 0 (2.11)
Em todos os pontos do supercondutor, ou seja, ao aplicarmos um campo magnético em um
supercondutor, este campo não consegue penetrar no seu interior, como é visualizado na figura
4.
Existem muitas razões para que a existência do efeito Meissner-Ochsenfeld seja a principal
prova da supercondutividade. A razão mais fundamental é que o efeito Meissner-Ochsenfeld

30
Figura 4: Efeito Meissner-Ochsenfeld
é uma propriedade do equilíbrio térmico, enquanto a resistividade é um efeito de transporte
que não está em equilíbrio. Chegamos ao mesmo estado final do sistema se nós, inicialmente,
resfriamos o material até a temperatura crítica e depois aplicamos o campo, ou o inverso. Portanto,
o estado final do sistema não depende do estado inicial da amostra, que é uma condição
necessária para o equilíbrio térmico.
2.2.3 Diamagnetismo Perfeito
Para manter o campo magnético nulo dentro do supercondutor, como foi definido pelo
efeito Meissner-Ochsenfeld, deve existir uma corrente de blindagem circulando na borda do
supercondutor. Isto produz um campo magnético igual em módulo, mas oposto ao campo magnético
externo aplicado no supercondutor, ou seja, o campo magnético resultante é zero.
Para descrever as correntes de blindagem, basta usar as equações de Maxwell e analisar as
densidades de corrente de blindagem. A densidade total de corrente é separada em 2 partes: a
parte externa e a parte interna, ou seja:
j = j ext + j int (2.12)
As correntes de blindagem geram uma magnetização por unidade de volume, M, no supercondutor,
que é definida por:
∇ × M = j int (2.13)

31
Definindo o campo magnético H em termos da densidade de corrente externa, temos:
∇ × H = j ext (2.14)
Os vetores M, H e B são relacionados por:
B = µ 0 (H + M) (2.15)
Impondo a condição de Meissner-Ochsenfeld, B=0, na equação (2.15), obtemos:
M = −H (2.16)
A susceptibilidade Magnética é definida, em um aspecto de resposta linear, por:
χ = dM
dH
∣ (2.17)
H=0
Assim, temos que para os supercondutores, χ = -1. O gráfico do comportamento da susceptibilidade
magnética é apresentado na figura 5.
Materiais com valores negativos de χ são chamados de Diamagnéticos (quando χ é positivo
o material pode ser chamado de paramagnético ou ferromagnético). Os diamagnéticos blindam
parte do campo magnético externo, e se magnetizam em oposição ao campo magnético externo.
Nos supercondutores o campo magnético externo é totalmente blindado. Por isso podemos dizer
que os supercondutores são Diamagnéticos Perfeitos.
Figura 5: Diamagnetismo Perfeito

32
2.3 Supercondutores: Tipo I e Tipo II
A susceptibilidade χ é definida no limite de campos magnéticos fracos. A medida que o
campo fica mais forte, podem ocorrer 2 situações que serão descritas nos tópicos a seguir.
2.3.1 Supercondutores Tipo I
Figura 6: Supercondutor tipo I
Neste caso o campo magnético H continua sendo nulo no interior do supercondutor até a
supercondutividade ser destruída. O valor do campo em que ocorre a destruição do estado
supercondutor é chamado campo crítico H c . A magnetização obedece a relação descrita na
equação (2.16) para todos os campos menores que H c e torna-se nula para campos maiores que
H c , como é indicado na figura 6.
2.3.2 Supercondutores Tipo II
Este é o caso mais comum nos supercondutores. No supercondutor tipo II existem dois
campos críticos diferentes, denotados por: H c1 , que é o campo crítico inferior, e H c2 , que é o
campo crítico superior. Para pequenos valores do campo magnético H aplicado no supercondutor,
o supercondutor continua apresentando o efeito Meissner-Ochsenfeld, M=-H, e não existe
campo no interior do supercondutor. Contudo, se o campo magnético H chegar a um valor maior
que o campo crítico inferior, o fluxo magnético começa a entrar no interior do supercondutor e
o campo no seu interior fica diferente de zero. Com isso, a magnetização começa tender a zero
a medida que aumentamos o campo magnético H. A magnetização atinge o valor zero quando

33
Figura 7: Supercondutor tipo II
o campo H chega ao valor do campo crítico superior, destruindo assim o estado supercondutor
do material. Este comportamento é descrito na figura 7.
A explicação física para a fase termodinâmica entre H c1 e H c2 foi feita por Abrikosov. Ele
mostrou que o campo magnético pode penetrar no supercondutor na forma de vórtices. Os vórtices
consistem em uma região onde circula uma supercorrente ao redor de um pequeno núcleo,
que é essencialmente um metal normal. Os vórtices serão estudados com maiores detalhes na
sessão 2.6.
A figura 8 descreve o comportamento dos supercondutores tipo I e tipo II através de um
diagrama campo magnético H x Temperatura T. Nesta figura vemos claramente as regiões de
Meissner e de Abrikosov no caso do supercondutor do tipo II.
Figura 8: Diagrama H x T dos supercondutores tipo I e tipo II

34
2.4 Equação de London
A primeira teoria que descreve a existência do efeito Meissner-Ochsenfeld foi desenvolvida
por dois irmãos, F. London e H. London, em 1935. Nesta teoria eles assumiram que uma
fração dos elétrons tornam-se supercondutores e podem mover-se livremente, sem dissipação,
enquanto que o restante dos elétrons continuam no estado condutor normal, ou seja, tendo uma
resistividade finita. Os elétrons supercondutores anulam a resistividade dos elétrons normais,
fazendo com que a resistividade total seja nula. Para definir a densidade de elétrons chamamos
de: n s a densidade dos elétrons supercondutores, n n a densidade dos elétrons condutores normais
e n a densidade total dos elétrons, ou seja, n = n s + n n .
Apesar desse modelo ser bem simples, ele é bem eficaz. Este modelo nos leva a Equação
de London, que relaciona a densidade de corrente elétrica dentro do supercondutor, j, com o
potencial vetor magnético, A, na forma:
j = − n se 2
m e
A (2.18)
Esta é uma das mais importantes equações que descrevem a supercondutividade. Aproximadamente
20 anos após essa teoria ser elaborada, Bardeen, Cooper e Schrieffer desenvolveram
uma teoria chamada de Teoria BCS, que reproduz a teoria de London em um limite adequado.
Podemos escrever a equação de London de uma outra forma:
Onde o fator λ =
j = − 1
µ 0 λ 2 A (2.19)
( ) 1/2
m e
µ 0 n s
é a Profundidade de Penetração, que define o quanto o campo
e 2
magnético pode penetrar na superfície do supercondutor.
Outra maneira de relacionar j e B é utilizar a equação de Maxwell, ∇ × B = µ 0 j. A partir
dessa equação de Maxwell e utilizando a equação (2.19), sabendo que B = ∇ × A, podemos
obter a relação:
∇ × (∇ × B) = − 1 λ 2 B (2.20)

35
Na qual podemos obter o valor do campo magnético.
Vale também ressaltar que se a corrente for contínua, a equação de continuidade se reduz a
∇ · j = 0. Se aplicarmos isto na equação de London, obtemos o calibre de London:
∇ · A = 0 (2.21)
Em resumo, a equação de London permite descrever o efeito Meissner-Ochsenfeld, indica a
profundidade de penetração de campos externos, substitui a relação j = σE em supercondutores
e prevê o comportamento do campo magnético dos vortex nos supercondutores.
2.5 Pares de Cooper
Antes de apresentar uma definição formal sobre os vortex de London e a teoria de Landau-
Ginzburg, é importante enunciar um fenômeno que foi explicado pela teoria BCS: a formação
dos Pares de Cooper. [15] A ideia dos pares de Cooper foi proposta por Cooper em 1956.
Cooper mostrou que, nos supercondutores, dois elétrons interagem formando um par e esse par
é responsável pela supercorrente a baixa temperatura.
Em uma situação normal, seria improvável pensar nessa formação de pares, devido a forte
repulsão coulombiana entre os elétrons (pois possuem carga de mesmo sinal). Contudo, Cooper
mostrou que para ocorrer a formação desses pares, os elétrons contam com a ajuda de uma
excitação da rede cristalina conhecida como Fônon.
O fônon, de um ponto de vista quântico, se equivalem a um movimento especial vibracional,
conhecido como modos normais de vibração na mecânica clássica. Esse movimento caracterizase
por cada parte da rede oscilar com a mesma frequência.
Em geral, essa excitação, que
se desloca como uma onda pelo material, é causada pela agitação natural existente em todo
sistema sujeito a uma temperatura finita, apresentando um pequeno deslocamento dos átomos
da rede.
Os átomos que formam a rede cristalina do metal não são eletricamente neutros, como
vimos anteriormente na sessão 2.1. Os elétrons de condução deslocam-se para muito longe do
átomos de origem, fazendo com que esses átomos fiquem carregados positivamente. Quando

36
um elétron desloca-se no material, ele perturba os átomos da rede, sendo atraído pela força
coulombiana. Essa pertubação do elétron gera um fônon e, consequentemente, a interação
elétron-fônon na rede.
Como consideramos o fônon como uma onda de átomos positivos deslocados, esses fônons
podem atrair outro elétron que esteja próximo, ou seja, com essa configuração conseguimos
fazer a "atração"entre os elétrons, formando o que chamamos de Pares de Cooper.
Algumas características importantes devem ser citadas nos pares de Cooper como por exemplo
se aumentarmos consideravelmente a temperatura do sistema, a agitação térmica faz
com que a interação elétron-fônon seja desfeita e com isso deixamos ter os pares, ou seja, essa
configuração dos pares de Cooper só é possível a baixas temperaturas. Outra característica importante
é que os elétrons isolados possuem spin 1/2, ou seja, são Férmions, mas, quando o par
é formado, um spin aponta para cima (+1/2) e outro para baixo (-1/2), consequentemente o spin
do par de Cooper é 0, logo ele é um Bóson.
Cooper originalmente só considerou o caso de um par isolado formado em um metal.
Quando se considera o estado mais realista consistindo em muitos elétrons formando pares
faz parte do estudo da Teoria BCS.
2.6 Vórtice de London
A teoria proposta pelos irmãos London relaciona a densidade de corrente com campos
magnéticos externos.[13][12] Esses campos conseguem penetrar na superfície dos supercondutores
formando os vórtices. Através da equação de London podemos encontrar um modelo
matemático que descreve os vórtices nos supercondutores.
Os vórtices são definidos como um núcleo cilíndrico na amostra supercondutora, com propriedades
de condutores normais, cujo raio é ξ 0 , que é conhecido como comprimento de coerência.
O comprimento de coerência está intimamente relacionado ao gap de energia (energia
necessária para retirar um elétron do átomo e colocá-lo na banda de condução) , cuja interpretação
é representar o tamanho físico do par de Cooper.
Vamos descrever como o campo magnético decresce até um valor nulo quando partimos de
uma região dentro do núcleo do vórtice (ou seja, onde temos um condutor normal) até a área

37
onde ocorre novamente a supercondutividade.
Dentro do núcleo existe um campo magnético radial finito, B=(0,0, B z (r)). O rotacional,
em coordenadas cilíndricas, desse campo magnético é dado por:
∇ × B = − ∂B z êφ (2.22)
∂r
Aplicando (2.22) em (2.20), podemos escrever (2.22) como:
1
r
d
dr
(
r dB )
z
= B z
(2.23)
dr λ 2
Para solucionar essa equação temos que analisar as seguintes situações:
• Para r muito pequeno, r

38
2.7 Teoria de Landau-Ginzburg para a Supercondutividade
Nessa sessão, vamos fazer uma descrição completa das propriedades macroscópicas de um
supercondutor, através da teoria proposta por Landau-Ginzburg [13] [12] [2].
2.7.1 Descrição da Teoria
A Teoria de Landau-Ginzburg da supercondutividade foi desenvolvida como uma aproximação
da teoria de Landau para transição de fase de segunda ordem, em 1950.
Para supercondutividade Ginzburg e Landau (GL) postularam a existência de um parâmetro
de ordem, denotado por ψ. No estado normal metálico, acima da temperatura crítica do supercondutor
T c , ψ é zero. Enquanto que no estado supercondutor, abaixo T c , ψ é diferente de zero.
Portanto presume-se a obedecer:
⎧
⎪⎨ 0, se T > T c
ψ =
(2.27)
⎪⎩ ψ(T) 0, se T < T c
GL postulou que o parâmetro de ordem ψ deveria ser um número complexo, como uma
função de onda macroscópica para o supercondutor. Com o desenvolvimento da teoria BCS,
podemos mesmo identificar |ψ| 2 como sendo a densidade dos pares de Cooper presentes na
amostra.
GL postulou que a energia livre dos supercondutores depende somente do parâmetro ψ.
Como ψ é complexo e a energia livre tem que ser real, a energia deve depender então de |ψ|.
Como ψ vai para zero na temperatura crítica, T c , podemos fazer uma expansão em Série de
Taylor da Energia livre. Para temperaturas próximas à T c , somente os 2 primeiros termos são
considerados, então temos que a densidade de energia livre (f=F/V) é:
f s (T) = f n (T) + a(T)|ψ| 2 + 1 2 b(T)|ψ|4 + · · · (2.28)
Com |ψ| pequeno. Neste caso, f s (T) e f n (T) são as densidade de energia livre no estado
supercondutor e condutor normal, respectivamente. Os parâmetros a(T) e b(T) são parâmetros
fenomenológicos da teoria, dependentes da temperatura. Assumimos que b(T) deve ser posi-

39
tivo, pois caso contrário, a densidade de energia livre não teria mínimo globais e sim máximos
globais, o que não apresentaria sentido físico.
Plotando o gráfico de f s − f n como função de ψ é possível observar duas curvas possíveis,
dependentes do sinal de a(T), como vemos na figura 9.
Figura 9: Densidade energia livre, f s − f n , em função de ψ
No caso de a(T)>0, a curva tem um mínimo em ψ=0.
Para a(T) T c
|ψ| =
(2.31)
⎪⎩ ( c b )1/2 (T c − T) 1/2 , se T < T c
O valor mínimo da energia livre é facilmente obtido pela figura (9) e tem o valor -a(T) 2 /2b(T),
que pode ser reescrita na forma:
f s (T) − f n (T) = − c2 (T − T c ) 2
2b
(2.32)

40
A partir da energia livre podemos obter quantidades físicas relevantes como por exemplo
entropia. Derivando f com relação a T, obtemos a entropia por unidade de volume, s=S/V,
abaixo de T c :
s s (T) − s n (T) = − c2
b (T c − T) (2.33)
Na temperatura crítica, não existe descontinuidade na entropia, confirmando que o Modelo
GL corresponde a uma transição de fase de segunda ordem.
2.7.2 Sistemas Não-Homogêneos
A Teoria GL completa da Supercondutividade também permite a possibilidade do parâmetro
de ordem depender da posição, ψ(r). Quando isso acontece, devemos considerar o termo de gradiente
vindo da energia cinética. Como a energia livre não pode assumir valores complexos, o
termo contendo o gradiente de ψ(r) tem que ser real. Portanto, a energia livre deve ser função
do módulo do gradiente de ψ(r).
f s (T) = f n (T) + 2
2m ∗ |∇ψ(r)|2 + a(T)|ψ(r)| 2 + b(T)
2 |ψ(r)|4 (2.34)
Onde o novo parâmetro m ∗ determina o custo de energia associado com gradientes de ψ(r).
Tem dimensões de massa e desempenha o papel de uma massa efetiva para o sistema quântico
com a função de onda macroscópica ψ(r).
Integrando a expressão (2.34) em 2 dimensões, obtemos:
∫ (
2
F s (T) = F n (T) +
2m ∗ |∇ψ(r)|2 + a(T)|ψ(r)| 2 + b(T) )
2 |ψ(r)|4 d 2 r (2.35)
O que indica que F s (T) é um funcional de ψ(r). Para minimizar este funcional, podemos
fazer uso da derivada funcional na forma:
δF s [ψ]
δψ(r)
= 0, δF s[ψ]
δψ ∗ (r) = 0 (2.36)
Levando em consideração que a energia livre representa uma função de ψ(r) para cada valor de

41
r. Portanto, a energia é a integral das contribuições das duas derivadas, ou seja:
δF s =
∫ ( δFs [ψ]
δψ(r) δψ(r) + δF )
s[ψ]
δψ ∗ (r) δψ∗ (r) d 2 r (2.37)
Outra forma de minimizar o funcional é fazendo uma variação infinitesimal no parâmetro
de ordem na forma:
ψ(r) → ψ(r) + δψ(r) (2.38)
E aplicar esta variação na energia livre. Com isso obtemos que:
∫
δF s =
δψ ∗( − 2
2m ∗ ∇2 ψ + aψ + bψ|ψ 2 | ) ∫ (−
d 3 2
r +
2m ∗ ∇2 ψ + aψ + bψ|ψ 2 | ) ∗
δψd 2 r (2.39)
Onde identificamos a equação de movimento que minimiza a energia livre:
− 2
2m ∗ ∇2 ψ(r) + (a + b|ψ(r)| 2 )ψ(r) = 0 (2.40)
Que é uma equação do tipo Schrödinger não linear, ou seja, não pode ser aplicado o princípio
da superposição neste caso.
2.7.3 Superfície dos Supercondutores
A equação efetiva de Schrödinger não-linear tem várias aplicações úteis. Em particular, ela
pode ser usado para estudar a resposta do parâmetro de ordem supercondutor quando exposto
à perturbações externas. Exemplos importantes disso são as propriedades das superfícies e
interfaces de supercondutores.
Considerando um modelo simples de interface entre um estado normal e um supercondutor,
em 3 dimensões. Suponha que a interface se situa no plano yz separa o metal normal, em x0. No lado metal normal da interface o parâmetro de ordem,
ψ(r), para o supercondutor deve ser zero. Partindo do princípio que ψ(r) deve ser contínuo, por
isso, devemos resolver a equação de Schrödinger não-linear:
− 2
2m ∗ d 2 ψ(x)
dx 2 + a(T)ψ(x) + b(T)ψ 3 (x) = 0 (2.41)

42
Na região x>0, com a condição de contorno ψ(0)=0, cuja solução é:
ψ(x) = ψ 0 tanh (
x )
√
2ξ(T)
(2.42)
Onde ξ(T) é um parâmetro chamado Comprimento de Coerência de Landau-Ginzburg,
que é dado pela expressão:
( )
2 1/2
ξ(T) =
(2.43)
2m ∗ |a(T)|
Isto é um importante parâmetro físico que caracteriza o supercondutor. ξ(T) é uma medida
da distância da superfície sobre a qual o parâmetro de ordem retorna ao seu valor máximo.
O comprimento de coerência de Landau-Ginzburg aparece em quase todos os problemas de
supercondutores inomogêneos, incluindo superfícies, interfaces, defeitos e vortíces.
2.7.4 Teoria de Landau-Ginzburg com campo magnético
Como já havíamos discutido anteriormente, o efeito Meissner-Ochsenfeld é a principal característica
dos supercondutores. Para estudar esse efeito através da teoria de Landau-Ginzburg,
temos que incluir um termo de campo magnético na energia livre. Esse termo de campo magnético
entra como se ψ(r) fosse a função de onda de partículas carregadas, ou seja, com a
substituição usual na mecânica quântica:
i ∇ → ∇ − qA (2.44)
i
Onde q é a carga e A é o potencial vetor magnético. Para todos os supercondutores conhecidos
verifica-se que a carga adequada é −2e, devido a formação dos pares de Cooper.
Com esta substituição a densidade de energia livre de GL do supercondutor torna-se:
f s (T) = f n (T) + 1 ∣ ∣∣∣ ( 2m ∗ i ∇ + 2eA) ψ
∣ 2 + a|ψ| 2 + b 2 |ψ|4 (2.45)
Integrando em todo o espaço, incluindo o termo proveniente da energia do campo magnético
∫ ( 1
∣ ∣∣∣ ( F s (T) = F n (T) +
2m ∗ i ∇ + 2eA) ψ
∣ 2 + a|ψ| 2 + b )
2 |ψ|4 d 2 r + 1 ∫
2µ 0
B(r) 2 d 2 r (2.46)

43
A primeira integral é realizada em pontos r no interior da amostra, enquanto o segundo é
executada através de todo o espaço.
Para encontrar o mínimo de energia fazemos o mesmo procedimento utilizado na sessão
(2.7.2). Com isso obtemos a equação de Schrödinger não linear na forma:
− 2
2m ∗ (
∇ +
2ei
A) 2
ψ(r) + (a + b|ψ| 2 )ψ(r) = 0 (2.47)
A Supercorrente devido ao campo magnético pode ser encontrada a partir da derivada da
energia livre de GL em relação ao potencial vetor
j s = − ∂F s
∂A(r)
(2.48)
O que nos leva à
j s = − 2ei
2m ∗ (ψ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) − (2e)2
m ∗ |ψ|2 A (2.49)
Se ψ(r)=ψ=cte e ψ ∗ (r)=ψ ∗ =cte, então temos que o primeiro termo de (2.49) é nulo, pois os
gradientes de ψ e ψ ∗ serão nulos, ou seja, a equação (2.49) fica:
j s = − (2e)2
m ∗ |ψ|2 A (2.50)
Que é a equação de London. Onde n s = 2|ψ| 2 e m ∗ = 2m e . Os valores de n s e m ∗ comprovam a
formação de pares de Cooper nos supercondutores, como era previsto pela teoria BCS.
Com isso podemos expressar o comprimento de penetração de London em termos das
variáveis de Landau-Ginzburg.
[
]
bm ∗ 1/2
λ =
(2.51)
µ 0 e 2 ȧ(T − T c )
Que diverge na temperatura crítica.

44
2.7.5 Simetrias
O parâmetro de ordem GL para supercondutores tem uma amplitude e uma fase complexa:
ψ(r) = |ψ(r)|e iθ(r) (2.52)
Considere o termo na densidade de energia livre GL contendo o operador momentum
canônico
ˆp = ∇ + 2eA (2.53)
i
Aplicando (2.53) em (2.52) obtemos:
ˆpψ(r)e iθ(r) = e iθ(r)(
i ∇ + 2eA) ψ(r) + ψ(r)e iθ(r) ∇θ(r) = e iθ(r)(
i ∇ + 2e( A + 2e ∇θ)) ψ(r) (2.54)
Disto resulta que a energia livre não será alterada quando mudarmos simultaneamente ψ(r)
para ψ(r)e iθ(r) e o potencial vetor de acordo com
A(r) → A(r) + ∇θ (2.55)
2e
Isso mostra que a teoria satisfaz invariância de gauge local. Tanto a fase do parâmetro de
ordem e do potencial vetor magnético depende da escolha do gauge, mas todos os observáveis
físicos (energia livre, B o campo magnético, etc) são invariantes de gauge.
Contudo essas transformações alteram o parâmetro de ordem. Inicialmente consideramos o
parâmetro de ordem constante no estado fundamental. Fora do estado fundamental, deve haver
uma rigidez de fase, ou uma perda de energia associada com a mudança de θ de uma parte
do sólido para o outro. Se considerarmos um supercondutor no limite de London, ou seja, no
limite em que o parâmetro de ordem tem uma magnitude constante, |ψ|, e uma fase θ(r), que
varia muito lentamente com a posição r, obtemos a energia livre total:
∫
F s = F n +
[
(
d 2 2e
r ρ s ∇θ +
A) 2
+ a|ψ| 2 + b ]
2 |ψ|4 + 1 ∫
2µ 0
B(r) 2 d 2 r (2.56)

45
Onde, o termo de rigidez é dado por:
ρ s = 2
2m ∗ |ψ|2 (2.57)
Agora se escolhermos um gauge particular para A(r), como o gauge de London, ∇·A = 0,
em seguida, dentro desta gauge fixo, há uma perda de energia livre associada com gradientes
de θ(r). Para minimizar o gradiente de energia, temos de minimizar os gradientes, fazendo
θ(r) o mais constante possível em todo o sistema. No caso de ausência de campo aplicado,
podemos escolher A = 0 e, claramente, então θ(r) será constante em todo o sistema. Desde que
o sistema efetivamente escolhe um parâmetro de ordem constante arbitrário para todo o sistema,
podemos dizer que o sistema exibe uma ordem de longo alcance, da mesma forma como um
material ferromagnético varia na sua magnetização M(r).
Devido a ordem de longo alcance está em fase variável, dizemos que o sistema teve uma
quebra espontânea da simetria global de gauge. O ponto é que a simetria global do gauge referese
à mudança de θ(r) por um valor constante em todo o sólido (que não implica em qualquer
variação em A). Isto está em contraste com a simetria de gauge local em que θ(r) e A(r) são
alterados simultâneamente.
Considerando que a magnitude também possa variar com a posição, temos que a energia
livre é dada por:
∫
F s = F n +
[
d 2 2 [( ) 2
r
( ∇|ψ| + |ψ(r)|
2
∇θ + 2e
2m ∗ A) 2]
+ a|ψ(r)| 2 + b ]
2 |ψ(r)|4 + 1 ∫
2µ 0
B(r) 2 d 2 r
(2.58)
Fazendo o procedimento descrito anteriormente na equação (2.36) ou pela equação (2.38),
obtemos a equação de movimento para |ψ(r)|:
− 2
2m ∗ [
∇ + i ( ∇θ(r) + 2eA
) ] 2
|ψ(r)| + (a + b|ψ(r)| 2 )|ψ(r)| = 0 (2.59)
e também a equação de movimento para θ(r):
[ [(
− 2
∇ · ∇θ(r) + 2eA ]] )|ψ(r)| 2 = 0 (2.60)
2m ∗

46
Que serão estudadas com maiores detalhes no capítulo 4.
2.7.6 Quantização do Fluxo Magnético
Consideraremos agora a quantização do fluxo magnético em um anel supercondutor, no
qual iremos fazer uma analogia com a quantização do fluxo em um vórtice. [13][12] Em um
anel supercondutor, é aplicado um fluxo magnético conforme a figura 10.
Figura 10: Anel supercondutor com campo magnético aplicado
Utilizando coordenadas cilíndricas, podemos expressar a simetria do parâmetro de ordem:
ψ(r, θ, z) = ψ(r, θ + 2π, z) (2.61)
Podemos considerar que o parâmetro de ordem não varia ao longo da sessão transversal do
anel. Com isso, torna-se uma função exclusivamente de θ.
ψ(θ) = ψ 0 e inθ (2.62)
É possível escrever o potencial vetor magnético A em termos do fluxo magnético Φ através
de:
∫
Φ =
∮
B · dS =
A · dr = A θ 2πR (2.63)
Substituindo (2.63) em (2.46) obtemos:
F s (T) = F 0 s + 1
2µ 0
∫
∫ [ 1
B(r) 2 d 3 r + 2 (∇ψ ∗ )(∇ψ) + ehΦ
]
2m ∗ iπR [(∇ψ)ψ∗ − (∇ψ ∗ )ψ] + e2 Φ 2
π 2 R 2 ψ∗ ψ d 3 r
(2.64)

47
Onde F 0 s é a energia no interior do supercondutor. Calculando as derivadas em relação a ψ
e ψ ∗ obtemos que:
(∇ψ)ψ ∗ − (∇ψ ∗ )ψ = 2inψ ∗ ψ (2.65)
Utilizando as equações (2.65) e (2.62), podemos reescrever a equação (2.64) como:
F s (T) = F 0 s + Φ2
2L + V 4e 2
2π 2 m ∗ R 2 |ψ|2 [Φ + nΦ 0 ] 2 (2.66)
Onde V é o volume total do anel supercondutor, L é a indutância do anel e Φ 0 é o quantum
do fluxo magnético. O quantum de fluxo magnético é expresso por:
Φ 0 = h 2e = 2.7x10−15 Wb (2.67)
A partir da expressão (2.66) e (2.67) podemos obter conclusões importantes. Uma delas é
que o segundo termo de (2.66) é a energia de vácuo, dependente de Φ 2 . Mas a principal conclusão
que obtemos nesse resultado é que o fluxo magnético é quantizado. Se fizermos uma
analogia deste anel supercondutor como um vórtice, a estrutura de ambos é bastante semelhante,
o que nos permite concluir também que o fluxo magnético de um vórtice é quantizado. Para
o caso dos vórtices, o fator n que multiplica o quantum do fluxo é chamado de carga topológica
do vórtice. Outra conclusão importante é que a energia terá um mínimo em Φ = −nΦ 0 .
Escrevendo a energia livre em termos de Φ obtemos:
F(Φ) − F(0) = C(Φ − nΦ 0 ) 2 + DΦ 2 (2.68)
Onde C e D são constantes. Vemos que essa função possui um mínimo absoluto em Φ
= 0 e mínimos metaestáveis em Φ = −nΦ 0 . Podemos considerar a possibilidade de pares de
elétrons passarem de um mínimo metaestável para outro, porém a nível macroscópico, vamos
desconsiderar estes eventos.

48
3 CRISTAL LÍQUIDO NEMÁTICO
Nesse capítulo vamos fazer inicialmente uma introdução sobre cristais líquidos, apresentando
suas 3 principais configurações: Nemático, Esmético e Colestérico, onde daremos uma
ênfase maior no estudo dos cristais líquidos nemáticos, aplicando a teoria de Landau-Ginzburg
para descrever a transição de fase líquido isotrópico-cristal líquido nemático.
3.1 Cristais Líquidos
Os estados da matéria mais usuais são: sólido, líquido e gasoso. [3] Estes estados diferem
um dos outros pelo arranjo das moléculas do sistema, ou seja, pelos diferentes graus de ordem
das moléculas que compõem o sistema.
Os líquidos e os sólidos são dois casos extremos de ordem e simetria. [16] Os líquidos apresentam
simetria de rotação e translação arbitrárias em R 3 e eles exibem apenas ordem de curto
alcance, visto que são maximamente desordenados. Os sólidos cristalinos, por sua vez, exibem
ordem de longo alcance e são invariantes perante um conjunto discreto de translações, que são
compatíveis com a periodicidade da rede, e um conjunto discreto de rotações. Definimos então
que quando nos referimos a ordem posicional, estamos nos referindo a invariância perante
translações, e quando nos referimos a ordem orientacional, estamos nos referindo a invariância
perante rotações.
Existem materiais que exibem um espectro de simetria e de ordem intermediários se compararmos
com as fases líquida e sólida e um exemplo disso são os cristais líquidos. Os cristais
líquidos são formados por moléculas anisométricas, ou seja, não possuem simetria esférica. As
moléculas que formam os cristais líquidos podem ser de dois tipos: alongadas (em forma de
bastão), que chamamos de moléculas calamíticas, ou em forma de disco, que chamamos de
moléculas discóticas. Em geral, observamos que a parte interna das moléculas de um cristal
líquidos é rigida e a parte externa é fluída. Devido a esse caráter duplo da estrutura das moléculas,
deu origem a interações, conhecidas como interações estéricas, que conduzem a diversos

49
tipos de ordem orientacional, juntamente com o caráter fluído das fases dos cristais líquidos.
Na figura 11, observamos a configuração de uma molécula em um cristal líquido. A direção
média de orientação do eixo maior de uma molécula é chamado de vetor diretor ˆn. O ângulo
α define a direção entre o diretor e o eixo maior da molécula. Quando o material está na fase
isotrópica, α varia entre 0 e 90 graus, o que representa todas as direções possíveis de uma
configuração aleatória.
Figura 11: Ângulo α entre o vetor diretor e o eixo maior da molécula em um cristal líquido
A tendência das moléculas de apontarem ao longo do vetor diretor leva a uma condição
conhecida como anisotropia. Esse termo significa que as propriedades dos materiais dependem
da direção em que eles são medidos. O conceito de anisotropia foi fundamental para o
desenvolvimento desta pesquisa.
3.1.1 Tipos de Cristais Líquidos
Em geral, podemos classificar os cristais líquidos de duas formas: [17] [18] os termotrópicos
e os liotrópicos. Os cristais líquidos termotrópicos são formados ou pelo aquecimento de
um sólido ou pelo resfriamento de um líquido, ou seja, pela variação de temperatura no material.
Os cristais líquidos liotrópicos não são substâncias puras, mas soluções de uma substância em
um líquido altamente polar, tal como a água. Tais soluções apresentam propriedades do estado
cristalino líquido somente acima de uma certa concentração. Mais recentemente, sintetizaramse
cristais líquidos que podem ter comportamento tanto termotrópico como liotrópico, e que se
dizem anfotrópicos.
Neste trabalho estaremos mais interessados nas propriedades dos termotrópicos. Vamos
então descrever os principais tipos de cristais líquidos termotrópicos:

50
3.1.1.1 Cristais Líquidos Nemático
[19]Este cristal líquido se caracteriza por possuir, em geral, moléculas de forma alongada
e são caracterizadas por estarem dispostas no espaço com ordem posicional do tipo líquida
isotrópica, mas apresentando uma certa ordem orientacional. Neste caso, as moléculas tendem
a ficar, em média, paralelas a um eixo comum representado por um vetor unitário, que é o vetor
diretor.
Figura 12: Moléculas de um Cristal Líquido Nemático
3.1.1.2 Cristais Líquidos Colestéricos
[19]Apesar do colesterol não formar cristal líquido, alguns de seus derivados químicos
o fazem e recebem essa denominação. Os Cristais Líquidos Colestérico se assemelham aos
nemáticos, a diferença é que a ordem orientacional, em um escala maior, varia seguindo uma
conformação helicoidal. As moléculas estão dispostas em camadas e ordenadas em direções
ligeiramente diferentes, na qual o diretor varia de ponto para ponto do espaço, descrevendo
uma hélice. Este tipo de cristal apresenta cores fortes que podem ser alteradas sob ação de
temperatura, pressão, campo elétrico e magnético.
Figura 13: Moléculas de um Cristal Líquido Colestérico

51
3.1.1.3 Cristais Líquidos Esméticos
[19]A fase esmética é caracterizada por apresentar uma distribuição espacial com ordem
superior à dos nemáticos e colestéricos. As moléculas são distribuídas em camadas com um espaçamento
bem definido.Dentro de cada camada não há ordem posicional: As moléculas podem
mover-se livremente, como num líquido isotrópico. Pode, porém existir ordem orientacional
nos planos das camadas (planos esméticos). É isto que distingue as diferentes fases esméticas.
As substâncias que apresentam a fase esmética são divididas em subfases, designadas por esméticos
A, B, C, D,... seguindo a ordem cronológica de sua descoberta. Vamos descrever os
principais cristais líquidos esméticos:
• Esmético A: Quando as moléculas são perpendiculares aos planos esméticos e não existe
qualquer tipo de ordem orientacional nesses planos.
Figura 14: Moléculas de um Cristal Líquido Esmético A
• Esmético B: É a configuração molecular que exibe ordem orientacional nos planos esméticos,
de tal forma que cada molécula esteja, em média, rodeada por seis outras, dispostas
nos vértices de um hexágono, e os hexágonos formados pelos vizinhos de cada molécula
tenham lados paralelos uns aos outros.
Figura 15: Moléculas de um Cristal Líquido Esmético B
• Ésmético C: É a configuração molecular que exibe ordem orientacional, tal que as moléculas
estejam inclinadas todas para o mesmo lado, e fazendo o mesmo ângulo com a direção
perpendicular aos planos esméticos. Estas fases apresentam ordem posicional em uma

52
dimensão: Cada camada é um líquido, mas as diferentes camadas têm posições fixas
relativamente umas às outras.
Figura 16: Moléculas de um Cristal Líquido Esmético C
Podemos, então, [20]apresentar a configuração das moléculas através da variação da temperatura
em um determinado material, conforme a figura 17:
Figura 17: Configuração das moléculas de um material através da variação da temperatura
Nesta sessão foi feita uma apresentação geral dos cristais líquidos e suas principais estruturas.
Na sessão seguinte será apresentados, com mais detalhes, a transição de fase líquido
isotrópico - cristal líquido nemático.
3.2 Teoria de Landau-Ginzburg para os Cristais Líquidos Nemáticos
Nesta sessão vamos descrever inicialmente como ocorre a transição de fase líquido isotrópico
- cristal líquido nemático em 3 dimensões. Feito isto, descreveremos como é a mesma transição
em 2 dimensões e analisaremos os defeitos topológicos, conhecidos como disclinações, que
serão essenciais para o desenvolvimento deste trabalho.
3.2.1 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 3 Dimensões
Como haviamos introduzido na sessão anterior, as moléculas que formam os cristais líquidos
nemáticos orientam o seu eixo de simetria em torno de uma direção preferencial, caracterís-

53
tica essa que chamamos de anisotropia, e eles mantem a desordem nas posições do centro de
massa.
[21][22]Quando o sistema está acima da temperatura crítica, observamos que ele não apresenta
ordem orientacional e posicional. A medida que resfriamos o sistema até a temperatura
crítica T c , observamos a existência de uma ordem orientacional. Devido a forma das moléculas
que constituem o cristal líquido, elas possuem simetria de reflexão entre os extremos do eixo
principal, o que nos leva a concluir que a ordem molecular nos cristais líquidos não é representada
por um vetor.
Analogamente ao caso vetorial, no qual o parâmetro de ordem tem que ter média nula em
todas as direções na fase isotrópica, vemos que as propriedades de simetrias estabelecidas pela
ordem nemática são satisfeitas por um tensor de segunda ordem, simétrico e de traço nulo:
Q i j (⃗x) = V ∑(
v γ i
N
vγ j − 1 )
3 δ i j δ(⃗x − ⃗x γ ) (3.1)
γ
Onde v γ i
é componente i do vetor unitário ⃗v γ associado à molécula γ. Q i j são as componentes
do tensor ˆQ símetrico de traço nulo, Tr( ˆQ) = 0.
Considerando um sistema de coordenadas com o vetor diretor global alinhado com o eixo
x, temos que o tensor será dado por:
< ˆQ >=
⎛
⎜⎝
2
S 0 0
3
0 − 1 3 S + η 0
0 0 − 1 3 S − η ⎞⎟⎠
(3.2)
Se η 0, dizemos que o tensor é biaxial, ou seja, existem duas direções preferenciais em
lugar de uma. Se η = 0, dizemos que o tensor é uniaxial, ou seja, existe apenas uma direção
preferencial, que é o caso mais comum. No caso uniaxial, podemos escrever as componentes
do tensor como:
(
< Q i j >= S n i n j − 1 )
3 δ i j
(3.3)
Onde chamamos o vetor unitário de vetor diretor de Frank, que tem a função de definir o

54
eixo principal de ˆQ. Podemos definir o valor do parâmetro de ordem orientacional escalar S,
que é igual ao valor médio do polinômio de Legendre de ordem 2, que tem a forma:
S = 1 2 < 3(⃗vγ · ⃗n) 2 − 1 >= 1 2
〈
〉
(3cos 2 α γ − 1) =< P 2 cos(α) > (3.4)
Com isso, podemos construir a energia livre de Landau para esta transição de fase. Na fase
desordenada, a energia livre tem que ser invariante perante a rotações arbitrárias. Em um grupo
de rotações < ˆQ > se transforma como um tensor. Neste caso, as únicas combinações possíveis
são de traços de potências de < ˆQ >, ou seja, Tr < ˆQ >, Tr < ˆQ > 2 , Tr < ˆQ > 3 , etc. Como,
por construção, o traço de Tr < ˆQ > é nulo, escrevemos a energia livre de Landau até a quarta
ordem como:
f N = f LI + 1 ( ( )
) 2
3 9 3
2 r 2 Tr < ˆQ >
)−w
2 2 Tr < ˆQ > +u( 3 2 Tr < ˆQ > 2 = f LI + 1 2 rS 2 −wS 3 +uS 4 (3.5)
Onde f LI é o valor quando S=0, ou seja, o material está na fase líquido isotrópico. Deveria
aparecer um termo proporcional a Tr <
ˆQ > 4 , porém em um tensor 3 x 3 de traço nulo, os
termos quartícos são proporcionais. Considerando, como na sessão 1.2.3, r como uma função
da temperatura na forma:
r = a(T − T ∗ ) (3.6)
Considerando também u e w como constantes positivas independentes da temperatura, identificamos
esta transição de fase como sendo de primeira ordem, devido a presença do sinal negativo
do termo cúbico da energia livre. Com isso, a energia livre apresenta uma assimetria com
relação a origem e um novo mínimo aparece a temperaturas altas. Isto é mostrado na figura 17.
O valor do mínimo correspondente ao estado de líquido isotrópico, onde S = 0, tem o
valor F N = 0 e não varia com a temperatura. O segundo mínimo, para S > 0, aparece a uma
temperatura T ∗∗ com um valor de F N > 0, e portanto aparece como um estado metaestável.
Diminuindo mais a temperatura, uma transição de fase acontece em T c onde o valor de F N
passa a ser negativo para a solução com S > 0, o que é ilustrado no gráfico a seguir.

55
Figura 18: Energia Livre de Landau para um cristal líquido nemático em três dimensões
Fazendo um tratamento análogo ao que foi feito na sessão 1.2.3, obtemos os valores de S c
e r c :
S c = w 2u , r c = a(T c − T ∗ ) = w2
2u
(3.7)
A entropia é dada por:
S = ∂F N
∂T = −1 2 aS 2 c = − 1 2 a(w/2u)2 (3.8)
Observamos a existência de um calor latente nesta transição de fase:
L = −T c ∆S = 1 2 aT c(w/2u) 2 (3.9)
O que comprova que esta é uma transição de fase de primeira ordem.
3.2.2 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 2 Dimensões
3.2.2.1 Teoria de Landau-Ginzburg
Esta é a parte principal, neste trabalho, do estudo dos cristais líquidos nemáticos. [21][16]
Analogamente ao caso tridimensional, o parâmetro de ordem tem que ter média nula em todas
as direções na fase isotrópica, ou seja, as propriedades de simetrias estabelecidas pela ordem
nemática são satisfeitas por um tensor de segunda ordem, simétrico e de traço nulo. Porém,

56
neste caso, o tensor uniaxial tem a forma:
(
< Q i j >= S n i n j − 1 )
2 δ i j
(3.10)
E sua representação matricial é dada, no eixo principal, por:
⎛
< ˆQ >=
⎜⎝
1
S 0 2
0 − 1 2 S ⎞⎟⎠
(3.11)
Com isso, podemos calcular os traços das potências de < ˆQ > até a quarta ordem, lembrando
que, por construção, o traço Tr < ˆQ > é nulo:
• Tr < ˆQ > 2
⎛
Tr < ˆQ > 2 = Tr
⎜⎝
1
S 0 2
⎛
0 −
⎞⎟⎠ 1S ⎜⎝
2
1
S 0 2
0 − 1 2 S ⎞⎟⎠ = Tr ⎛⎜⎝
1
S 2 0
4
0
1
4 S 2 ⎞⎟⎠ = 1 2 S 2 (3.12)
• Tr < ˆQ > 3
Tr < ˆQ > 3 = Tr(< ˆQ > 2 < ˆQ >) = Tr
⎜⎝
⎛
1
S 2 0
4
0
1
⎛
⎞⎟⎠
S 2 ⎜⎝
4
1
S 0 2
0 − 1 2 S ⎞⎟⎠ = Tr ⎛⎜⎝
1
S 3 0
8
0 −
⎞⎟⎠ = 0
1S 3
8
(3.13)
• Tr < ˆQ > 4
Tr < ˆQ > 4 = Tr(< ˆQ > 2 < ˆQ > 2 ) = Tr
⎜⎝
⎛
1
S 2 0
4
0
1
⎛
⎞⎟⎠
S 2 ⎜⎝
4
1
S 2 0
4
0
1
4 S 2 ⎞⎟⎠ = Tr ⎛⎜⎝
1
S 4 0
16
0
1
16 S 4 ⎞⎟⎠ = 1 8 S 4
(3.14)
Estes resultados nos permite concluir que Tr < Q > 2n+1 = 0, ∀n, em 2 dimensões.
Com as equações (3.12), (3.13) e (3.14), podemos escrever a energia livre de Landau para
o cristal líquido nemático bidimensional:
)
f N (T) = f LI (T) + r(T)
(2Tr < ˆQ > 2 + 1 )
(8Tr
2 u < ˆQ > 4 = f LI (T) + r(T)S 2 + 1 2 uS 4 (3.15)

57
Onde r(T) é dado por:
r(T) = a(T − T c ) (3.16)
Se calcularmos os mínimos dessa função:
∂ f
∂S = a(T − T c)S + uS 3 = 0 (3.17)
Obtemos os valores:
Calculando a Entropia:
S = 0, S 2 = a(T c − T)
u
(3.18)
s = − ∂ f
∂T = −1 2 aS 2 = − a2 (T c − T)
2u
(3.19)
Como não existe descontinuidade na entropia, vemos que a transição de fase líquido isotrópico
cristal líquido nemático em 2 dimensões trata-se de uma transição de fase de segunda ordem,
diferente do que ocorre em 3 dimensões, que é um caso de transição de fase de primeira ordem.
O gráfico da energia livre de Landau-Ginzburg para o cristal líquido nemático é apresentado na
figura 19.
Figura 19: Energia Livre de Landau-Ginzburg para um cristal líquido nemático em duas dimensões
Em duas dimensões, existe uma forma alternativa para o paramêtro de ordem. [16]Esta
forma alternativa, já que o parâmetro de ordem têm apenas 2 componentes independentes, pode
ser representada por um número complexo, cuja forma é:
Q = S e i2α (3.20)

58
Onde S é o módulo do parâmetro de ordem e α é o ângulo responsável pela orientação do vetor
diretor ˆn. O fator 2 garante a simetria α −→ α + π, que é a simetria de reflexão nemática.
Notamos que essa forma alternativa, exceto pelo fator 2, é análoga a forma do parâmetro de
ordem supercondutor.
Podemos verificar facilmente que esse número complexo reproduz a teoria de Landau para o
cristal líquido nemático, pois, Q 2 = (S e −i2α )(S e i2α ) = S 2 e Q 4 = ((S e −i2α )(S e i2α )) ∗ ((S e −i2α )(S e i2α )) =
S 4 . Então, com isso, a energia livre fica:
f N = f LI + a(T − T c )Q 2 + 1 2 uQ4 = f LI + a(T − T c )S 2 + 1 2 uS 4 (3.21)
Para completar a teoria, introduzimos uma dependência posicional do parâmetro de ordem,
analogamente a sessão 2.7.5, ou seja:
Q(r) = S (r)e i2α(r) (3.22)
Quando fazemos isso, consideramos o termo de gradiente, vindo da energia cinética, que
tem a forma:
∇Q = (∇S (r))e i2α(r) + S (r)[i2(∇α(r))e i2α(r) ] (3.23)
Como a energia livre não pode assumir valores complexos, S(r) tem que ser real. Portanto,
a energia livre deve ser função do módulo do gradiente de S(r). Calculando, então, |∇Q| 2
|∇Q| 2 = (∇Q) ∗ (∇Q) = (∇S (r)) 2 + 4S 2 (r)(∇α(r)) 2 (3.24)
Logo, a energia livre de Landau-Ginzburg fica:
f N = f LI + ς N
2 [(∇S (r))2 + 4S 2 (r)(∇α(r)) 2 ] + a(T − T c )S 2 (r) + 1 2 uS 4 (r) (3.25)
Onde ς N é uma constante do termo cinético da energia livre. Integrando (3.25):
∫
F N = F LI +
d r[ 2 ςN
2 [(∇S (r))2 + 4S 2 (r)(∇α(r)) 2 ] + a(T − T c )S 2 (r) + 1 ]
2 uS 4 (r)
(3.26)

59
Podemos fazer uma analogia com o procedimento descrito em (2.36) ou em (2.38) para
obter a equação de movimento para S(r) e para α (r). Para S(r) obtemos:
ς N [−∇ 2 S (r) + 4S (r)(∇α(r)) 2 ] + [a(T − T c ) + uS 2 (r)]S (r) = 0 (3.27)
E para α (r) obtemos:
− ς N ∇ · (4S 2 (r)(∇α(r))) = 0 (3.28)
Que serão estudadas com maiores detalhes no capítulo 4.
3.2.2.2 Disclinações
Nos cristais líquidos nemáticos observamos singularidades. [23]Estas singularidades tem
estrutura semelhante a dos vórtices em supercondutores. Elas causam distorções na ordem
orientacional do sistema e estas distorções não são removidas por deformações do meio. Este
é um tipo de defeito topológico conhecido como Disclinações. As Disclinações são defeitos
lineares em três dimensões e pontuais em duas dimensões que são responsáveis pela distorção
local da ordem orientacional, o que leva a uma quebra da simetria de rotação do sistema.
Existe um parâmetro que mede a intensidade da disclinação que é dado por κ = η
2π , onde η é
o ângulo no qual o vetor diretor percorre ao fazer um transporte paralelo por um circuito fechado
contendo o defeito, que é conhecido como circuito de Burgers. Para demostrar a construção
desse defeito faremos uso do processo de Volterra com κ = −1/2. O processo é ilustrado na
figura 20:
• a) É feito um corte Σ em uma linha L;
• b) É feita uma abertura nas bordas de Σ em um ângulo π e é introduzido um setor extra
de matéria;
• c) Sistema em equilíbrio;
• d) Demonstra como medir a intensidade κ do defeito devido a medida do caminho angular
Γ, no qual o vetor diretor percorre quando faz o transporte paralelo pelo circuito de
Burgers ζ.

60
Figura 20: Processo de Volterra
O sinal negativo é devido a orientação contrária de Γ em relação a de ζ. Experimentalmente,
é visto que as disclinações são múltiplos inteiros de ±1/2.
Associamos a estes defeitos uma energia de deformação.
Baseado nos estudos de De
Gennes[24], vemos que existem três tipos de deformações possíveis em um cristal líquido
nemático. Essas deformações estão presentes na densidade de energia livre:
f e = 1 2 K 1(∇ · n) 2 + 1 2 K 2(n · ∇ × n) 2 + 1 2 K 3(n × ∇ × n) 2 (3.29)
tipo:
Onde K 1 ,K 2 e K 3 , são constantes associadas a cada deformação. As deformações são do
• Primeiro termo: Deformação do tipo "Splay"↦−→ Compressão do sistema;
• Segundo termo: Deformação do tipo "Twist"↦−→ Torção do sistema;
• Terceiro termo: Deformação do tipo "Bend"↦−→ Encurvamento do sistema.
Como estamos tratando de um cristal líquido nemático bidimensional, os defeitos não
causam torção no sistema[23]. Neste caso, podemos usar o modelo planar de Frank para descrever
as deformações do sistema. Esse modelo consiste em fazer K 1 = K 3 = K, K 2 = 0 e as
componentes do vetor diretor são:
n x = cos(α), n y = sen(α), n z = 0 (3.30)

61
Com α = α(x, y).
Aplicando (3.30) em (3.29) e integrando a equação, obtemos uma energia da forma:
∫
E = K
dA(∇α(x, y)) 2 (3.31)
O que torna o estudo das disclinações em duas dimensões muito mais simples. Minimizando
esta energia obtemos uma equação, em coordenadas polares, do tipo:
1
r
∂
∂r
(
r ∂α )
+ 1 ( ) ∂ 2 α
= 0 (3.32)
∂r r 2 ∂φ 2
Com a condição de contorno:
∮
dα = 2πκ discl (3.33)
Estamos buscando soluções singulares para a equação de movimento da disclinação. Neste
caso, então, temos duas soluções que satisfazem essa equação:
α = Aφ + B, α = Cln(r) + D (3.34)
Onde A, B, C e D são constantes a determinar.
Dentre as duas soluções a que realmente é de nosso interesse é a primeira, pois ela descreve
a deformação orientacional devido a disclinação. A segunda solução se refere a deformações
na ordem translacional que aparecem nas dislocações, que são os defeitos topológicos em um
cristal líquido usual. Da condição de contorno obtemos que A ≡ κ discl , com κ discl sendo um
múltiplo inteiro de ± 1/2. Substituindo a solução α = κ discl φ + B na equação (3.31) e sabendo
que dA = rdrdφ, obtemos:
∫
E = K
∫
dA(∇α(x, y)) 2 = K
rdrdφ(∇α(r, φ)) 2 = K 2
∫ R ∫ 2π
r 0
0
drdφκ 2 1
discl
r
(3.35)
Onde R é o raio do sistema e r 0 é o tamanho do defeito, que é introduzido para que a
energia do sistema seja bem comportada nas proximidades do defeito. Integrando a equação

62
(3.35) obtemos:
E = πKκ 2 discl ln ( R
r 0
)
(3.36)
Analisando esta equação vemos que a energia é da ordem do logaritmo do tamanho do
sistema, ou seja, o custo de energia é muito alto devido ao sistema ser macroscópico.

63
4 O ESTADO SUPERCONDUTOR NEMÁTICO
Neste capítulo, veremos as principais caracterísiticas do estado supercondutor nemático.
Inicialmente, é feita uma introdução sobre os supercondutores de alta temperatura, pois foi no
estudo desses compostos que foi observado este novo estado supercondutor. Após esta descrição,
é construida a teoria geral de Landau-Ginzburg para este estado, onde são os estudados
o acoplamento entre as fases e as equações de movimento. Por fim, é usado o limite de London,
que considera os módulos dos parâmetros de ordem constantes, possibilitando um melhor
compreensão da teoria e a construção de diagramas de fase para este estado.
4.1 Supercondutores High T c
A supercondutividade a altas temperaturas, conhecida como supercondutores "High T c ",
tem sido um grande desafio para os pesquisadores, [34]desde a descoberta inicial do fenômeno
da supercondutividade, pelo pesquisador Kammerling Onnes, em 1911.
Muitas técnicas tem sido desenvolvidas para alcançar esse objetivo, como por exemplo
aplicar altas pressões em determinados compostos que, em condições normais, não exibiriam a
supercondutividade [25]. [32] Com a utilização desta técnica, foi possível praticamente dobrar o
número de supercondutores conhecidos até então. Apesar de grandes progressos na catalogação
de novos supercondutores, a temperatura crítica ainda não era tão alta, na máxima de 10K para
supercondutores convecionais e de 23K para a liga de Nióbio-Germânio Nb 3 Ge.
Em 1986, [26] porém, houve uma grande revolução com a descoberta da supercondutividade
com temperatura crítica de 30K em um composto cerâmico contendo La-Ba-Cu-O.
O material sintetizado, La 2−x Ba x CuO 4 , iniciou a pesquisa em supercondutores chamados de
cupratos ou óxidos de cobre, cujas temperaturas crítica excederam a temperatura de liquefação
do Nitrogênio, que é 77K.
Além da alta temperatura crítica [32], os cupratos supercondutores apresentam propriedades
interessantes, como por exemplo anisotropias extremamente elevadas, estrutura em camadas e

64
dependência de dopagem.
A estrutura dos supercondutores High T c é formada por camadas sobrepostas de diferentes
átomos, sendo compostas puramente de cobre e oxigênio aquelas onde se origina o fenômeno da
supercondutividade. [27]Os átomos de cobre e oxigênio disputam elétrons entre si. O oxigênio
necessita de dois elétrons, e o cobre tem um para doar. Assim, para cada par cobre-oxigênio,
fica faltando um elétron. Essa ausência, que é conhecida como buraco, comporta-se como um
elétron, porém de carga positiva, que fica localizada no cobre, em vista do oxigênio segurar
dois elétrons extras. O notável é que esses buracos mantêm uma das propriedades fundamentais
do elétron: o spin, que poderemos entender como a rotação de uma partícula ao redor de seu
próprio eixo.
Na camada de cobre-oxigênio, define-se uma grandeza fundamental para o entendimento
dos compostos: a dopagem. Ela corresponde aos buracos acrescentados à camada, além de
seu valor natural, ou seja, de apenas um buraco por átomo de cobre. São os átomos nas demais
camadas do composto que, ao subtraírem elétrons da camada de cobre-oxigênio, regulam
a dopagem, deixando ali buracos. A dopagem corresponde ao x na fórmula dos compostos.
Quanto mais buracos existirem no plano formado pelos átomos de cobre e oxigênio, maior será
a chamada dopagem do material.
As camadas de cobre-oxigênio desempenham um papel fundamental nas propriedades de
transporte. A condução eletrônica encontra-se confinada basicamente nestes planos, enquanto
as demais camadas atômicas atuam como reservatórios de carga, visto que são responsáveis
pela transferência de cargas as camadas cobre-oxigênio.
As propriedades eletrônicas nos estados supercondutor e normal dependem fortemente da
dopagem do material e são muito sensíveis à aumento de pressão. Para exemplificar isto, podemos
citar o composto La 2−x S r x CuO 4 . Neste caso, o elemento dopante Estrôncio (Sr), retira
elétrons dos planos de condução de Cobre e Oxigênio, que apresentam um elétron extra para
cada átomo de Cobre (ou sítio da rede), deixando os buracos com mobilidade para se deslocar
nos planos.
Em geral, os cupratos apresentam características semelhantes com relação a dopagem [28].
Para compostos com baixo nível de dopagem (x ≤ 0, 05 − 0, 06), o material apresenta uma fase

65
antiferromagnética isolante, tornando-se um isolante de Mott no composto pai (x = 0), mesmo
para baixas temperaturas. A partir de x ≈ 0, 06 começa a se observar a supercondutividade com
valores de T c muito baixos até que a máxima temperatura crítica é verificada em compostos
com nível de dopagem ótimo x ≈ 0, 16. Acima desse valor, a temperatura crítica volta a cair,
tornando-se nula em x ≈ 0, 27.
Muitos grupos no mundo tem se dedicado no estudo do comportamento dos cupratos supercondutores.
Na próxima sessão, vamos iniciar a discussão sobre o comportamento de alguns
cupratos quando a dopagem se aproxima de x =1/8.
4.2 O Estado Supercondutor Modulado
Uma série de experimentos no cuprato La 2−x Ba x CuO 4 [4], [5], [6], [7], mostrou um comportamento
anômalo nas propriedades de transporte, quando a dopagem se aproxima de x = 1/8.
Essencialmente, é observado que o material se comporta como um supercondutor nos planos
de Cu, porém no eixo perpendicular a estes planos, o comportamento é metalico com uma
grande resistência. Ou seja, num certo intervalo de temperatura e dopagem, existe uma grande
frustração no acoplamento Josephson entre os planos de Cu, que faz com que a supercondutividade
deixe de ser isotrópica. De alguma forma, existe um desacoplamento dinâmico entre as
diferentes camadas de Cu e O.
Por outro lado, nesta região de dopagem, é bem conhecida a existência de ordem unidirecional,
na forma de ondas de densidade de carga (CDW) e spin (SDW), comumente chamadas
de stripes, que em português seria "listrado"[29]. As stripes foram preditas teoricamente pelos
cálculos de Hartree-Fock com condições de contorno periódicas [30], sendo verificadas posteriormente
através da observação experimental de correlação de spins em La 2−x S r x CuO 4 por
espalhamento de nêutrons, evidenciando a formação de domínios estáticos antiferromagnéticos
em antifase nos planos CuO 2 separados por stripes quase-1D contendo os portadores dopados.
Em outras palavras, as cargas dopadas concentram-se ao longo das paredes de domínio geradas
espontaneamente entre regiões antiferromagnéticas (Do inglês Antiferromagnetic Domain
Walls, ADW). Assim, a fase de stripes ocorre através da relação entre as interações antiferromagnéticas
(entre íons magnéticos e interações coulombianas entre cargas), que favorecem

66
elétrons localizados, e a energia cinética de ponto-zero dos buracos dopantes, que tendem a
uma deslocalização de carga. A instabilidade das stripes vem de flutuações quânticas que, no
caso unidimensional, implicam no fenômeno da separação spin-carga. Experimentalmente, as
stripes são mais fáceis de serem detectadas em isolantes (onde ela é relativamente estática),
mas existem fortes evidências de flutuações na correlação de stripes em compostos metálicos e
supercondutores.
Efeitos similares que ocorrem no cuprato La 2−x Ba x CuO 4 são verificados na fase listrada de
La 1.6−x Nd 0.4 S r x CuO 4 e na fase listrada com campo magnético induzido em La 2−x S r x CuO 4 .
Com o intuito de interpretar estas observações foi proposto uma nova ordem supercondutora
chamada de [7] [4] [5] [6]“Onda de densidade de pares”, ou PDW, do inglês, Pair Density
Wave. Neste novo estado da matéria, a supercondutividade, a onda de densidade de carga e
spin estariam interconectados. Esta modulação do parâmetro de ordem supercondutor seria o
responsável de produzir a frustração no acoplamento Josephson 1 entre os planos de Cu. A
PDW pode ser entendida como uma fase de cristal líquido quântico anisotrópico que quebra o
grupo de simetria de rede, bem como a invariância translacional e o gauge global.
Em geral, o parâmetro de ordem de um estado supercondutor pode ser escrito na forma [4]
[5] [6]:
ψ ι,ι ′(r, r ′ ) =< φ † ι (r)φ † ι
(r ′ ) > (4.1)
′
onde φ † ι (r) é o operador de campo fermiônico que cria um elétron com spin ι na posição
r. Outras distinções entre os diferentes estados supercondutores podem ser estabelecida com
base das simetrias espaciais e de spin de ψ. Em sólidos cristalinos, todos os estados supercondutores
respeitam a simetria de translação do solído, ψ(r + R, r ′ + R) = ψ(r, r ′ ), onde R é um
vetor qualquer da rede de Bravais 2 . Na ausência de acoplamento spin-órbita, os estados supercondutores
podem ser classificados, [31]bem como pela sua transformação em rotações de spin
como singleto (quando o spin do operador de criação na posição r não está alinhado com o spin
1
É um efeito físico que se manifesta pela aparição de uma corrente elétrica que flui através de dois supercondutores
fracamente interligados, separados apenas por uma barreira isolante muito fina. A corrente que
atravessa a barreira é chamada de Corrente Josephson.
2
Denominação dada às configurações básicas que resultam da combinação dos sistemas de cristalização com
a disposição das partículas em cada uma das células unitárias de uma estrutura cristalina, sendo estas células
entendidas como os paralelepípedos que constituem a menor subdivisão de uma rede cristalina que conserva
as características gerais de toda rede, permitindo que pela réplica da mesma possa reconstruir todo o sólido.

67
do operador na posição r’) ou tripleto (quando os spins estão alinhados). Finalmente, o estado
supercondutor pode preservar ou quebrar a simetria inversão temporal.
O supercondutor listrado é um exemplo de um estado em que a simetria translacional do
cristal é espontaneamente quebrada de tal forma que ψ(r + R, r ′ + R) exibe uma dependência
não trivial em R. Assim como um CDW é geralmente definido em termos de um estado fundamental,
então um estado PDW é caracterizado pelo menor valor do momento P cry do cristal,
para o qual:
ψ 0 ι,ι ′(r, r′ ) = N −1 ∑ R
exp[iP cry · R] < φ † ι (r + R)φ † ι ′ (r ′ + R) > (4.2)
tem um valor esperado que não nulo.
Um estado supercondutor é caracterizado pela quebra espontânea da simetria de gauge. Uma
vez quebrada esta simetria, funções de correlação como
ψ (4) =< φ † ι1 (r 1)φ † ι2 (r 2)φ † ι3 (r 3)φ † ι4 (r 4) > (4.3)
são geralmente diferentes de zero. Em qualquer estado supercondutor com carga 2e temos que
ψ ι,ι ′(r, r ′ ) 0. Alguns componentes do parâmetro de ordem do supercondutor com carga 4e
também serão diferentes de zero. Porém, poderia acontecer que, considerando a equação (4.1),
ψ ι,ι ′(r, r ′ ) = 0 mas ψ (4) 0. Nesta caso, o estado seria supercondutor, já que quebra invariância
de gauge porém, não existiriam pares de Cooper, mas condensados de quatro cargas.
Há duas razões para considerar a existência deste parâmetro de ordem. Em primeiro lugar,
é evidente que mesmo no estado PDW, embora a componente uniforme de ψ seja nula,
a componente uniforme de ψ (4) ∼ ψ P cry
ψ −P cry
0. Mais importante ainda, o ordenamento de
ψ (4) pode ser mais robusto do que o ordenamento PDW. Especificamente, em algumas circunstâncias,
é possível que flutuações térmicas ou quânticas destruam a ordem PDW, restaurando
simetria translacional sem restaurar simetria de calibre nem a rotacional. Neste caso, alguns
componentes de ψ (4) permanecem diferentes de zero, embora ψ vá a zero, dando lugar ao estado
Supercondutor Nemático.
A forma mais simples de um parâmetro de ordem do supercondutor modulado é dado por

68
um campo escalar complexo de carga 2e, com momento P cry ,
ψ(r, r ′ ) = ∆ Pcry e iP cry·R + ∆ −Pcry e −iP cry·R
(4.4)
onde R = (r +r ′ )/2 e, em geral, ∆ −Pcry não é o complexo conjugado de ∆ Pcry . Definimos também,
o parâmetro de ordem do supercondutor 4e como um campo escalar complexo ψ 4e (r, r ′ ) ∼
∆ −Pcry ∆ −Pcry .
A partir do acoplamento algébrico destes parâmetros, levando em conta também as ondas
de desidade de carga e de spin, pode-se construir uma teoria de Landau, cujo diagrama de
fases é apresentado na figura 21. Podemos observar a presença de diferentes fases dependendo
da temperatura e da rigidez das stripes (que é representada pela letra κ). Se a rigidez for muito
grande κ/ρ s >> 1, os vortices desordenam o estado PDW produzindo uma transição de fase para
uma onda de densidade de carga. Se a rigidez for menor, é possivel a proliferação de vórtices
e dislocações, produzindo um estado metálico nemático. Porém, se a rigidez das stripes for
menor ainda, existe a possibilidade muito interesante da proliferação de dislocações isoladas,
mantendo o ordem orientacional e de gauge, dando lugar neste caso ao supercondutor nemático
de carga 4e.
Figura 21: Diagrama de Fase a partir do acoplamento algébrico

69
4.3 Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático
A ideia desta dissertação é pesquisar as propriedades gerais da fase supercodutora nemática
recentemente proposta.
Para isto, construiremos uma teoria de Landau-Ginzburg com dois
parâmetros de ordem: o parâmetro supercondutor, descrito no capítulo 2 e o parâmetro nemático,
descrito no capitulo 3.
Consideramos então o parâmero de ordem supercondutor
ψ(r) = |ψ(r)|e iθ(r) (4.5)
e o nemático em duas dimensões dado por
Q(r) = S (r)e i2α(r) (4.6)
note que o fator 2 nesta definição é para ter a simetria de reflexão α → α + π.
Seguindo a filosofia da teoria de Landau, supomos que os parâmetros de ordem são pequenos
e fazemos uma expansão da energia livre, considerando todos os acoplamentos permitidos pela
simetria até ordem quartico.
A parte dos potenciais que produzem as quebras de simetria de rotação e gauge são as usuais:
• Potencial supercondutor:
V S = a(T)ψ(r) ∗ ψ(r) + 1 2 b(ψ(r)∗ ψ(r)) 2 = a(T)|ψ(r)| 2 + 1 2 b|ψ(r)|4 (4.7)
• Potencial Nemático:
V N = r(T)Q(r) ∗ Q(r) + 1 2 u(Q(r)∗ Q(r)) = r(T)S (r) 2 + 1 2 uS (r)4 (4.8)
Resta agora estudar os acoplamentos entre os parâmetros de ordem. O acoplamento usual
entre dois campos complexos é:

70
V S N = υ 2 ψ(r)∗ ψ(r)Q(r) ∗ Q(r) = υ 2 |ψ(r)|2 S (r) 2 (4.9)
Porém, o efeito da nematicidade é mais sutil por ser de caráter geométrico.
[35] [7]O
parâmetro supercondutor sente a nematicidade como uma curvatura ou uma alteração da métrica
do espaco como:
g i j = δ i j + ΛQ i j = δ i j + ΛS (r)[n i n j − 1 2 δ i j] (4.10)
Onde δ i j é a métrica do espaço sem o acoplamento, Λ é uma constante de acoplamento e
Q i j é o termo nemático definido na equação (3.10)
Esta métrica entra no cálculo dos termos cinéticos (termos com gradiente) da energia livre
do supercondutor. Para compreender melhor como ocorre esse processo, vamos analisar inicialmente
apenas estes termos cinéticos. Considerando o campo magnético nulo, temos que o
termo cinético é dado por:
|∇ψ(r)| 2 = [∇ψ(r)] ∗ i [∇ψ(r)] j g i j (4.11)
Substituindo a equação (4.10) em (4.11) obtemos:
|∇ψ(r)| 2 = |∇ψ(r)| 2 + ΛS (r)[ˆn · ∇ψ(r) ∗ ][ˆn · ∇ψ(r)] (4.12)
Onde o primeiro termo é referente ao gradiente com a métrica sem o acoplamento e o
segundo termo é referente ao acoplamento. Escrevendo (4.12) em termos de |ψ(r)| e θ(r):
|∇ψ(r)| 2 = [|∇|ψ(r)|| 2 + |ψ(r)| 2 |∇θ(r)| 2 ] + ΛS (r)[(∇ n |ψ(r)|) 2 + |ψ(r)| 2 (∇ n θ(r)) 2 ] (4.13)
Onde definimos a derivada direcional ∇ n :
∇ n = ˆn · ∇ (4.14)
Das equações (4.7), (4.8), (4.9) e (4.13) e fazendo ς S
2 = 2
2m ∗
na energia livre supercondutora,
podemos obter a energia livre de cada fase da energia livre do estado supercondutor nemático,

71
ou seja:
• Energia livre supercondutora:
∫
F S = F n +
d 2 r ς S
2 [(∇|ψ(r)|)2 + |ψ(r)| 2 (∇θ(r)) 2 ] + V S (|ψ(r)|) (4.15)
• Energia livre nemática:
∫
F N = F LI +
d 2 r ς N
2 [(∇S (r))2 + 4S (r) 2 (∇α(r)) 2 ] + V N (S (r)) (4.16)
• Energia livre de acoplamento e interação:
∫
F S N =
d 2 rΛS (r)[(∇ n |ψ(r)|) 2 + |ψ(r)| 2 (∇ n θ(r)) 2 ] + V S N (|ψ(r)|, S (r)) (4.17)
• Energia livre total:
F = F S + F N + F S N (4.18)
Da equação (4.18) vemos que a energia livre é uma função de |ψ(r)|, de α(r), de θ(r) e de
S(r). Desta forma, para minimizar a energia livre temos que fazer a derivada funcional com
relação a estas 4 variáveis individualmente e igualar cada uma delas a zero, analogamente ao
que foi feito na equação (2.36) ou na (2.38). Com isso, temos que as equações de movimento
para cada variável são dadas por:
• Equação para |ψ(r)|:
δF
δ|ψ(r)| =
δF S
δ|ψ(r)| +
δF N
δ|ψ(r)| + δF S N
δ|ψ(r)| = 0 (4.19)
Calculando cada termo separadamente:
–
δF S
δ|ψ(r)| = ς S (−∇ 2 |ψ(r)| + |ψ(r)||∇θ(r)| 2 ) + V ′ S (|ψ(r)|) (4.20)

72
–
δF N
δ|ψ(r)| = 0 (4.21)
–
δF S N
δ|ψ(r)| = Λ[S [−∇2 n|ψ(r)| + |ψ(r)|(∇ n θ) 2 ] − ∇ n S ∇ n |ψ(r)|] + υ|ψ(r)|S 2 (4.22)
Aplicando (4.20), (4.21) e (4.22) em (4.19) temos a equação de movimento para |ψ(r)|
δF
δ|ψ(r)| = ς S (−∇ 2 |ψ(r)| + |ψ(r)||∇θ(r)| 2 ) + a(T)|ψ(r)| + b|ψ(r)| 3 +
+Λ[S [−∇ 2 n|ψ(r)| + |ψ(r)|(∇ n θ) 2 ] − ∇ n S ∇ n |ψ(r)|] + υ|ψ(r)|S 2 = 0 (4.23)
• Equação para θ(r):
δF
δθ(r) = δF S
δθ(r) + δF N
δθ(r) + δF S N
δθ(r) = 0 (4.24)
Calculando cada termo separadamente:
–
–
–
δF S
δθ(r) = −ς S ∇ · [|ψ(r)| 2 ∇θ(r)] (4.25)
δF N
δθ(r) = 0 (4.26)
δF S N
δθ(r) = −Λ∇ n[S |ψ(r)| 2 ∇ n θ(r)] (4.27)
Aplicando (4.25), (4.26) e (4.27) em (4.24) temos a equação de movimento para θ(r):
δF
δθ(r) = ς S ∇ · [|ψ(r)| 2 ∇θ(r)] + Λ∇ n [S |ψ(r)| 2 ∇ n θ(r)] = 0 (4.28)
• Equação para S (r):
δF
δS (r) = δF S
δS (r) + δF N
δS (r) + δF S N
δS (r) = 0 (4.29)

73
Calculando cada termo separadamente:
–
δF S
δS (r) = 0 (4.30)
–
δF N
δS (r) = ς N[−∇ 2 S (r) + 4S (r)|∇α(r)| 2 ] + V ′ N(S (r)) (4.31)
–
δF S N
δS (r) = Λ 2 [(∇ n|ψ(r)|) 2 + |ψ(r)| 2 (∇ n θ(r)) 2 ] + υ|ψ(r)| 2 S (4.32)
Aplicando (4.30), (4.31) e (4.32) em (4.29) temos a equação de movimento para S (r):
δF
δS (r) = ς N[−∇ 2 S (r) + 4S (r)|∇α(r)| 2 ] + r(T)S (r) + uS (r) 3 +
+ Λ 2 [(∇ n|ψ(r)|) 2 + |ψ(r)| 2 (∇ n θ(r)) 2 ] + υ|ψ(r)| 2 S = 0 (4.33)
• Equação para α(r):
δF
δα(r) = δF S
δα(r) + δF N
δα(r) + δF S N
δα(r) = 0 (4.34)
Calculando cada termo separadamente:
–
δF S
δα(r) = 0 (4.35)
–
δF N
δα(r) = −4ς N∇ · (S 2 ∇α(r)) (4.36)
–
δF S N
δα(r) = −ΛS [∇ n⊥|ψ(r)|∇ n |ψ(r)| + |ψ(r)| 2 ∇ n⊥ θ(r)∇ n θ(r)] (4.37)
Onde definimos o operador ∇ n⊥ que é dado por:
∇ n⊥ = ˆn × ∇ (4.38)

74
Aplicando (4.35), (4.36) e (4.37) em (4.34) temos a equação de movimento para
α(r):
δF
δα(r) = 4ς N∇ · (S 2 ∇α(r)) + ΛS [∇ n⊥ |ψ(r)|∇ n |ψ(r)| + |ψ(r)| 2 ∇ n⊥ θ∇ n θ(r)] = 0 (4.39)
As equações (4.23), (4.28), (4.33) e (4.39) são as equações de movimento que minimizam
a energia livre. Solucioná-las é uma tarefa bastante ardua e até então não existe uma solução
exata para estas equações acopladas. Porém, no presente trabalho, vamos fazer uso de uma
aproximação que permite obter resultados e análises significativas.
4.3.1 Aproximação de London
Consideraremos agora a teoria de Landau-Ginzburg mediante a aproximação de London.[7]
Nesta aproximação, novamente com o campo magnético igual a zero, temos que os módulos
dos parâmetros de ordem são constantes, ou seja, |ψ(r)| = |ψ| e S(r) = S. Com isso, os termos
com gradiente dos módulos será igual a zero. Analisando apenas os termos cíneticos, a energia
livre de Landau-Ginzburg, com esta aproximação, assume a forma:
∫
F =
[
d 2 x ϖ|∇α(r)| 2 + ρ s |∇θ(r)| 2 + ρ ]
sS
2 (∇ nθ(r)) 2
(4.40)
Onde ρ s foi definido na equação (2.57), mas temos que observar que, como estamos tratando
de um supercondutor de carga 4e, a massa efetiva m ∗ neste caso é equivalente a 4m e .O termo
ϖ = 4S 2 ς N é o termo de rigidez da fase nemática. O último termo da parte cinética é referente
ao acoplamento entre a corrente supercondutora e a flutuação nemática. A corrente supercondutora
é definida aplicando a equação (2.55) na equação (2.18) e fazendo com que o campo
magnético seja nulo. Fazendo isto, a corrente passa a ter uma dependência apenas do gradiente
de θ(r) e da rigidez supercondutora. Logo, o termo de acoplamento é definido por Q i j J i J j , onde
J = ρ s ∇θ(r) é a corrente supercondutora.
Nesta aproximação, o conjunto de equações de movimento (4.23), (4.28), (4.33) e (4.39) é
reduzido para apenas 2 equações, que são as equações para os ângulos θ(r) e α(r). Sendo assim,
(4.28) e (4.39) assumem a forma:

75
• Equação para θ:
ρ s ∇ 2 θ(r) + ΛS ρ s ∇ 2 nθ(r) = 0 (4.41)
• Equação para α:
ϖ∇ 2 α(r) + ΛS ρ s ∇ n⊥ θ∇ n θ = 0 (4.42)
Que são duas equações bastante semelhantes, no qual fica expressa a depêndencia de θ e
α em ambas (a dependência de α em (4.41) é devido a ∇ n conter o vetor diretor n, que, como
vimos anteriormente, é uma função de α).
Para minimizar a energia livre, a corrente deve ser localmente perpendicular ao vetor diretor
n. Para isto, temos duas configurações possíveis que minimizam esta energia livre: Disclinações
isoladas ou vórtices acoplados as disclinações, de tal forma que J · ˆn = 0 em todos os pontos,
como é apresentado na figura 22.
Figura 22: J · ˆn = 0 em todos os pontos
Uma solução possível para minimizar esta energia livre é dada pela disclinação
n i = x i /r (4.43)
e pelo vórtice
∂ i θ = ε i j x j /r 2 (4.44)
Aplicando (4.43) e (4.44) em (4.42) e (4.41) vemos que elas realmente são soluções que
minimizam a energia livre.

76
Vamos agora imaginar uma situação em que tentamos separar a disclinação do vórtice, por
uma distância R, como vemos na figura 23.
Figura 23: Vórtice e Disclinação separados por uma distância R
Fazendo isto, as equações (4.43) e (4.44) ficam:
n i = x i
r
∂ i θ(r) = ε i j(x j + R j )
(r + R) 2 (4.45)
Aplicando a equação (4.45) em (4.40), obtemos que os vórtices e as disclinações possuem
uma interação atrativa logarítmica, F ∼ ln(R), cujo sinal é independente do sinal das suas cargas
topológicas. Portanto, desde que ρ s não seja pequeno, o desordenamento da fase N-SC só pode
ser produzido de duas formas:
• Por disclinações isoladas, que restauram a isotropia, mas não afetam a supercondutividade
(Transição N-SC/SC);
• Pela proliferação de vortex fortemente ligados as disclinações (Transição N-SC/condutor
normal).

77
Na figura 24 vemos o diagrama de fases na aproximação de London. Podemos observar as
duas formas de desordenamento da fase N-SC devido as configurações citadas anteriormente.
Figura 24: Diagrama de Fase para a aproximação de London

78
5 CONCLUSÕES
Nesta dissertação estudamos propriedades termodinâmicas de um novo estado supercondutor
recentemente proposto chamando de supercondutor nemático. Este estado aparece como
uma consequência direta da existência de supercondutividade modulada, quando o parâmetro
de ordem muda de sinal seguindo uma estrutura de faixas. Flutuações quânticas ou térmicas
destas estruturas podem reestabelecer a simetria de translação, produzindo um parâmetro de
ordem homogêneo, porém anisotrópico.
Para seu estudo propomos uma teoria de Landau-Ginzburg, construída usando dois parâmetros
de ordem: o parâmetro de ordem supercondutor e o parâmetro de ordem nemático. As teorias
de Landau para estes dois parâmetros independentes foram descritas nos capítulos II e III
respectivamente. No capítulo IV estudamos os diferentes acoplamentos possíveis. Mostramos
que, além do acoplamento algébrico entre os parâmetros supercondutor e nemático, existe um
acoplamento geométrico que influencia as flutuações do parâmetro de ordem. Isto deve-se ao
parâmetro nemático induzir a “curvatura” do espaço, já que a nematicidade induz uma “métrica”
flutuante. Em certo sentido, o supercondutor nemático tem uma dinâmica similar a um campo
complexo num espaço curvo.
De posse da teoria completa de Landu-Ginzburg, calculamos as equações que levam a minimizar
a energia livre. Como estas equações são bastante complexas, decidimos iniciar seu
estudo no limite de London. Nesta aproximação, desprezamos as flutuações dos módulos dos
parâmetros de ordem, tanto do supercondutor quanto do nemático. Desta forma obtemos uma
energia livre apenas para as fases. Neste regime, as equações de movimento são mais simples.
Procuramos então, soluções com topologia não trivial achando apenas dois tipos: disclinações,
associadas com a fase do parâmetro de ordem nemático, e vórtices ligados fortemente
às disclinações. Tem que ser destacado que a solução de vórtice isolado não minimiza a energia
livre, pelo menos na aproximação de London. Comprovamos que, devido ao acoplamento geométrico,
existe uma interação atrativa logarítmica entre vórtice e a disclinação a qual mantém

79
estas estruturas fortemente ligadas. Quanto maior for a distância que tentamos separar os dois
defeitos, maior vai ser a força de atração entre eles.
A construção dos diagramas de fase na aproximação de London nos permite uma boa
visualização de como ocorre a formação do estado supercondutor nemático e a desordenação do
mesmo. Os parâmetros que influenciam a ordem ou a desordem desse estado são a temperatura,
a rigidez da estrutura de stripes e a proliferação de defeitos topológicos, que são os vórtices
para supercondutores e as disclinações para os cristais líquidos nemáticos.
O estado supercondutor nemático pode desordenar-se em apenas duas situações: Via proliferação
de disclinações, o que produz uma transição supercondutor nemático/supercondutor
isotropico, ou pela proliferação de vórtices ligados às disclinações, o que produz uma transição
supercondutor nemático/metal isotrópico. Fica claro que estes resultados são consequência da
aproximação de London, já que se levarmos em conta flutuações dos módulos dos parâmetros
de ordem, o diagrama de fases poderia ser muito mais complexo.
Existem várias perguntas abertas sobre o supercondutor nemático, o que nos motiva para
definir futuras linhas de pesquisa. Para uma caracterização mais acurada do diagrama de fases,
deveriamos ir além da aproximação de London, ou seja, levar em conta as flutuações nos módulos
dos parâmetros de ordem. Para isto teremos que minimizar a energia livre em função,
tanto dos módulos quanto das fases. Este será o próximo passo para completar a caracterização
termodinâmica deste novo estado supercondutor.
Se este estado supercondutor existir, deverá ter consequências experimentais muito claras.
Uma delas seria o comportamento da dinâmica dos vórtices. Por exemplo, se os vórtices são
ligados às disclinações, significa que uma rede de Abrikosov deveria ser também uma rede de
disclinações. Dado o caráter geométrico destas, deveria ser possível sua manipulação por meios
mecânicos. Portanto, uma possível linha de pesquisa é estudar os diferentes estados da matéria
de vórtices agora ligados as disclinações.
Outra linha de pesquisa será a determinação das propriedades eletrônicas deste estado. Estudaremos
o espectro fermiônico na presença de flutuações do parâmetro de ordem supercondutor
nemático. Este cálculo é importante, já que a dispersão eletrônica e a forma da superfície de
Fermi são observáveis típicos em experiências de ARPES (“Angle resolved photoemission”).

80
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