Trabalho de Grupo - ESEC

TÉCNICA DA DENTADA

Formadora:
-Dr.ª Alzira Figueiredo Silva
TURMA 3
GRUPO:
- António Alberto Figueira Carvalho
- José Manuel Torres Aniceto
- Lucília Mendes Cartaxo
- Luís Peralta da Cruz
-Maria Adelaide de Jesus Oliveira
2/07/2009

GEOMETRIA NO PLANO

• A Matemática está presente na vida diária das
crianças:
- na partilha de brinquedos com colegas e amigos;
- nas discussões sobre velocidades e distâncias;
- na utilização de pequenas quantidades
monetárias;
- nos traçados e planeamento de jogos no
pavimento;
- …

• As crianças não vêem
estas actividades como
“matemáticas”,
• Mas para realizá-las há
que respeitar princípios e
técnicas matemáticas
leccionadas na escola ou
transmitidas
informalmente em casa
(Nunes, 1997).

• Ensinar Matemática é adequar a “sua aplicabilidade a
inúmeros problemas práticos e a um número crescente
de áreas do conhecimento” (Matos, 1996:19).

- A Matemática tem um carácter formativo de cidadãos
críticos e responsáveis “ajudando os alunos a tornarem-se
indivíduos não dominados… mas independentes – no sentido
de competentes e críticos, confiantes e criativos” (ob. cit:
19).

• O Novo Programa de Matemática do Ensino Básico
pretende desenvolver actividades para uma
aprendizagem significativa, gradual, global,
construtiva e que se assuma como um acto social
entre professor-alunos, alunos-alunos e alunoscomunidade
(ME, sd; matos, 1996).

• A Matemática:
- estimula a curiosidade e a capacidade de resolução
de problemas;
- Complementa as capacidades transversais
configuradas nas Áreas Curriculares Não
Disciplinares;
- Responde à pergunta “Para quê a escola?” (Rey,
2002:53), ligando esta à via diária.

• Para o desenvolvimento das aprendizagens no 1º CEB,
a Matemática deve:
- abordar conceitos e implementar estratégias
baseadas em processos experimentais;
- utilizar o trabalho de grupo como meio de incentivar
as interacções indispensáveis à construção do saber
matemático e as suas conexões.

O novo Programa de Matemática do Ensino Básico
assume a Geometria como um “tema unificador na
aprendizagem da matemática” (Ponte, 2000: 165),
propondo:
- exercícios com “Figuras no plano”: “Propriedades e
classificações”, “Construir pavimentações com
polígonos”, “Resolução de problemas envolvendo a
visualização e a compreensão das relações espaciais”.

• Desafio lançado ao grupo pelo Programa de Formação
Contínua em matemática para Professores do 1º CEB:
Transformações geométricas elementares no
plano e no espaço euclidiano: Pavimentações
pela técnica da dentada.

um pouco da sua história

• O astrónomo Joannes Kepler terá sido o
primeiro a estudar pavimentações do plano,
utilizando polígonos regulares.
• A sua obra Harmonice Mundi ensaiou uma
classificação das pavimentações a partir de
trabalhos efectuados por Platão e Arquimedes
sobre poliedros.
• No entanto, foram sobretudo cristalógrafos
que enveredaram esforços, sistematizando os
vários tipos de pavimentações.

•Em 1891, o russo Fedorov
estabeleceu a primeira
prova rigorosa da
existência de grupos de
simetria dos cristais no
espaço tridimensional,
demonstrando a
existência de 17 grupos de
simetria periódicos no
plano (Mello, 2002).

• No início do séc. XX, Maurist Cornelis
Escher, holandês de nascimento interessouse
por todo o tipo de pavimentações
regulares e irregulares ao observar padrões
da azulejaria espanhola.
• Explorou e aplicou estes padrões básicos
nas suas pavimentações, aplicando o que os
matemáticos chamam de rotação e reflexão,
obtendo uma grande variedade de padrões,
não se limitando a usar apenas polígonos
(Azevedo, 2001).

DEFINIÇÃO

“Quando se preenche uma porção do plano com
figuras, sem deixar espaços vazios e sem que essas
figuras se sobreponham, dizemos que se realizou uma
pavimentação” (Palhares, 2004: 290).

As pavimentações são então arranjos de formas
fechadas que cobrem completamente o plano. As
pavimentações mais vulgares e mais observáveis são
as que usam quadrados e rectângulos que
observamos no chão e nas paredes de azulejos.
Podem ser pavimentações lado a lado (quando os
polígonos partilham os lados) ou não lado a lado.

• A geometria desenvolve:
- a capacidade de visualização, de percepção, de
interpretação do mundo e de verbalização (Matos, 1996).
- a capacidade de manipulação, a interacção e a
compreensão de ideias geométricas, a capacidade de
organização lógica do pensamento e a capacidade de
aplicar os conhecimentos geométricos a outras situações
(Matos, 1996).

• Matemática, nas pavimentações, requer o
desenvolvimento do sentido espacial para:
-a comparação de duas figuras com diferentes
orientações, onde se estabelecem rotações,
- o reconhecimento de simetrias, percepção
figura-fundo (Ponte, 2000).

São aquelas em que o
ladrilho é um polígono
regular congruente;

Combinam dois ou mais tipos de polígonos regulares
em que os vértices aparecem pela mesma ordem e são
do mesmo tipo.

São pavimentações cujos vértices são de tipos
diferentes;

São pavimentações
efectuadas através de
translações segundo
qualquer direcção ou
sentido.

TÉCNICAS DE PAVIMENTAÇÃO
TÉCNICA POR
ROTAÇÃO
TÉCNICA POR
TRANSLAÇÃO
TÉCNICA POR
REFLEXÃO

TÉCNICA DA DENTADA
• Técnica da dentada: esta consiste em tirar um pedaço de
ladrilho num dos lados (ou em mais do que um) e aplicá-lo
a outro lado, por translação ou rotação, de modo a obter
um novo ladrilho.

Objectivos Gerais:
- Estudar algumas
transformações geométricas
elementares no plano e no
espaço euclidiano;
- Estudar alguns tipos de
planificações/ornamentos no
plano euclidiano;
- Trabalhar aplicações de
transformações geométricas
em Software de geometria
dinâmica;
Objectivos específicos:
- Definir a transformação geométrica no plano e no
espaço pela “Técnica da dentada”;
- Justificar as suas propriedades e conexões com os
conteúdos programáticos – Geometria – na sua
aplicação a problemas e na resolução de situações
práticas;
- Estabelecer uma ligação entre a arte e a geometria a
partir de conexões entre grupos de isometrias e
ladrilhamentos;
- Introdução do uso de Software de geometria no
processo de estudo das transformações geométricas,

DENTADA

PLANIFICAÇÃO
PAVIMENTAÇÃO POR DENTADA
Temas/Conteúdos: FORMA E ESPAÇO 06 de Maio de 2009 – 13H30
Objectivos
- Recortar figuras simples. Material
- Fazer transformações de figuras geométricas planas - Polígonos para recorte; borracha;
(utilizando diferentes meios e materiais: recorte e colagem, dobragem, geoplano, tangram). - quadrados em cartolina; tesoura;
- Fazer uma composição a partir de um dado padrão - papel de desenho; lápis; fita-cola
Avaliação
Tarefa
Através de observação directa e dos registos efectuados
- Recorte de polígonos
- Recorte de uma dentada e colagem por translação e/ou rotação no lado oposto do polígono.
- Reprodução e recorte de outras peças a partir da primeira peça formada: molde
- Pavimentação da superfície da mesa.
Operacionalização e pontos para discussão
Formar-se-ão 3 grupos de 3 alunos e um de 4.
Os alunos serão informados que, em grupo, terão de proceder ao recorte dos polígonos fornecidos numa folha.
Recortadas os polígonos, deverão experimentar pavimentar o tampo da mesa com os polígonos, respondendo assim à seguinte
questão
Todos os polígonos servem para pavimentar?
Concluindo-se que nem todas as peças servem para pavimentar e que apenas os que têm a mesma forma o fazem, serão
convidados a pavimentar a mesa, aplicando os conhecimentos adquiridos.
Numa segunda fase, ser-lhes-á pedido que, a partir de um quadrado, retirem uma pequena dentada com a tesoura e a colem
noutra parte desse mesmo polígono, reproduzam a peça, contornando-a com o lápis, a recortem e tentem pavimentar o tampo
da mesa. Ser-lhes-á então perguntado: Qualquer dentada dada pode ser utilizada na posterior pavimentação?
Será dado espaço para as experiências e conclusões frustradas, esperando que concluam que as dentadas têm de ter regras.
Introduzir-se-á então os termos translação e rotação. Incentivando os alunos a colocarem a dentada por translação e/ou rotação
no lado oposto do sítio de onde foi recortada.

Nem todos os polígonos pavimentam.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• Azevedo, Atila (2001). “Contando História – Escher: Um artista
gráfico com alma de matemático”, Revista Theorema. Belo
Horizonte.
• Matos, José M.; Serrazina, Maria L. (1996). Didáctica da
Matemática. Lisboa: Universidade Aberta.
• Ministério da Educação (sd). Programa de Matemática do
Ensino Básico. Lisboa: dgidc.
Mello, José L. P. (2002). “Matemática: pavimentações e a
matemática do mal”. Jornal Folha de São Paulo –
www.folha.com.br
• Nunes, Terezinha; Bryant, Peter (1997). Crianças Fazendo
Matemática. Porto Alegre: Artmed.
• Palhares, Pedro (2004). Elementos de matemática para
Professores do Ensino Básico. Lisboa: Lidel.
• Ponte, João P.; Serrazina, Maria L. (2000). Didáctica da
Matemática do 1º Ciclo. Lisboa: Universidade Aberta.