DUPLA FENDA DE YOUNG

TRABALHO Nº 1DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DE ONDA DE UMA RADIAÇÃODUPLA FENDA DE YOUNGPretende-se realizar a experiência clássica de Thomas Young eutilizar o padrão de interferência de duas fontes pontuais paraestimar o comprimento de onda da radiação de um laser de He-Ne.Para além disso, este trabalho pretende ilustrar de um modoqualitativo o padrão de difracção da fenda simples e de uma duplafenda. Finalmente, pretende-se ainda ilustrar de que modo o padrãode difracção de múltiplas fendas em transmissão pode ser utilizadona determinação do comprimento de onda de radiação monocromática.1. Introdução:À interacção entre duas ou mais ondas electromagnéticas que fazcom que a irradiância num determinado ponto do espaço sejadiferente da soma das irradiâncias nesse ponto devidas a cadafonte de radiação considerada isoladamente chama-se interferênciaóptica.1.1. Experiência da dupla fenda de Thomas Young:Um dos arranjos geométricos mais simples em que a interferência daradiação é evidente deve-se a Thomas Young que, nas suasexperiências, provou conclusivamente em 1803 que a luz apresentavacaracterísticas ondulatórias. Esse arranjo está esquematizado naFigura 1.15

Figura 1: Experiência de Young com zonas de interferênciaconstrutiva e destrutiva.As fontes S 1 e S 2 (duas fendas estreitas) funcionam como fontes deradiação monocromática coerentes (mantêm a diferença de faserelativa constante ao longo do tempo) que dão origem a um padrãode franjas de interferência alternadamente claras (interferênciaconstrutiva) e escuras (interferência destrutiva). Ao longo dasdirecções em que as ondas devidas a S 1 e a S 2 chegam com o mesmoestado de oscilação (linhas a cheio) há reforço da irradiância eresulta um máximo da intensidade; ao contrário, nas regiões emque, por exemplo, uma onda chega num máximo (linhas a cheio)enquanto a outra chega num mínimo (linhas a tracejado) há ummínimo de intensidade. Deste modo, se colocarmos um alvo em frentedas duas fontes há formação de um padrão de interferência.Na Figura 2 mostra-se o arranjo geométrico utilizado naexperiência de Young onde se podem identificar os parâmetrosrelevantes para a interpretação do padrão de interferência: adistância entre as duas fontes coerentes, s distância dupla fenda –16

alvo e y distância no alvo medida na perpendicular à orientação dasfendas.Figura 2: Geometria da experiência de Young.Se as duas fontes S 1 e S 2 da mesma frequências forem consideradaspontuais e se tiverem a mesma intensidade o padrão deinterferência pode ser descrito pela equação:2 ⎛ δ ⎞I = 4I 0cos ⎜ ⎟(1)⎝ 2 ⎠onde δ é a diferença de fase relativa e I 0 a intensidade devida acada uma das fontes considerada isoladamente. Verifica-se assimque a intensidade varia entre um valor mínimo de zero e um valormáximo de 4I 0 .Nas condições em que a experiência é realizada a distância duplafenda – alvo é muito maior que a distância a entre fendas o quepermite transformar a equação anterior em:2 ⎛ π a ⎞I = 4I0cos ⎜ sen θ⎟(2)⎝ λ ⎠e finalmente em:2⎛ π a y ⎞I = 4 I0cos⎜⎟(3)⎝ λ s ⎠17

As posições em que surgem os máximos e os mínimos de interferênciasão dadas por:⎧⎪y⎪⎨⎪⎪y⎪⎩maxminλ s= ma⎛ 1 ⎞ λ s= ⎜m+ ⎟⎝ 2 ⎠ a(4)em quem = 0 , ± 1, ± 2, ⋯ . Daqui se pode concluir que a separação entremáximos ou mínimos consecutivos (∆y) é constante e dada por:λ s∆ y =(5)aou seja, sabendo as distâncias a e s estamos habilitados a calcularo comprimento de onda da radiação.1.2. Padrões de difracção da fenda simples e dupla:A aproximação envolvida na secção anterior de considerar as fontespontuais é uma abstracção matemática pois, em rigor, as fendas têmuma largura não nula. A dupla fenda deverá ser descrita então pelaFigura 3 onde, além da distância entre fendas a, se identifica adistância b, largura de cada uma das fendas.Figura 3: Geometria da dupla fenda.18

Quando a radiação encontra no seu percurso as fendas da Figura 3ocorre uma perturbação da frente de onda e, os vários segmentos dafrente de onda que se propagam para além do obstáculo interferemdando origem a uma distribuição de densidade de energia conhecidapor padrão de difracção. No caso de o alvo se encontrarsuficientemente afastado das fendas (como na experiência arealizar) o tratamento geral da difracção é simplificado obtendoseaquilo que é conhecido como aproximação de Fraunhofer ou docampo longínquo.Se a radiação passar através de apenas uma das fendas, o padrão dedifracção é dado por:2⎛ sen β ⎞I = I0⎜ ⎟(6)⎝ β ⎠comβ =⎛ πb⎞⎜ ⎟senθ⎝ λ ⎠e onde o ângulo θ se encontra definido na Figura 3.A equação (6) encontra-se representada na Figura 4 em função doângulo θ.Figura 4: Padrão de difracção da fenda simples.λ = 633 nm, b = 0.12 mm.19

Se agora fizermos incidir a radiação em simultâneo nas duas fendasobtém-se o padrão de difracção da dupla fenda:2⎛ sen β ⎞ 2I = 4I0⎜ ⎟ cos α(7)⎝ β ⎠com⎛ π a ⎞α = ⎜ ⎟ sen θ . Repare-se que o termo que possui β é comum à⎝ λ ⎠equação que descreve o padrão de difracção da fenda simples razãopela qual se diz que se tem um termo de interferência entre asfendas decos 2 α modulado pelo termo de difracção da fenda simples⎛ senβ⎞⎜ ⎟⎠⎝ β2com a mesma largura b. Na Figura 5 mostra-se o padrão dadupla fenda em simultâneo com o termo⎛ senβ⎞⎜ ⎟⎠⎝ β2para mostrar que adistribuição de intensidades é limitada pelo termo da difracção.Devido a isto, para certos valores da razãoa b , a um mesmo valordo ângulo θ pode corresponder um máximo do termo de interferência eum mínimo do termo de difracção. Nessa posição do espaço nãoexiste luz para participar no processo de interferência e ao picoassim suprimido chama-se uma ordem (de interferência) ausente.Figura 5: Padrão de difracção da dupla fenda.λ = 633 nm, a = 0.5 mm, b = 0.12 mm.20

No limite das fendas infinitamente estreitas:2⎛ sen β ⎞lim ⎜ ⎟b→0⎝ β ⎠β→0= 1obtendo-se a equação (2) correspondendo à interferência “pura”.1.3. Padrão de difracção da múltipla fenda:Se em vez de duas fendas a radiação encontrar no seu percurso umobstáculo constituído por N fendas de largura b e espaçadas de aentre si, o padrão de difracção resultante é:22⎛ sen β ⎞ ⎛ sen Nα⎞I = I0⎜ ⎟⎜sen⎟(8)⎝ β ⎠ ⎝ α ⎠expressão que contém como casos particulares a fenda simples(N = 1) e a dupla fenda (N = 2). Na Figura 6 mostra-se o padrão deinterferência obtido no caso de 10 fendas.Figura 6: Padrão de difracção de uma múltipla fenda constituídapor 10 fendas. λ = 633 nm, a = 0.5 mm, b = 0.12 mm.21

Neste caso cada fenda gera a mesma distribuição de densidade defluxo e da múltipla interferência do padrão de difracção de cadafenda resulta a figura de interferência final. Esta é moduladapelo envelope da difracção da fenda simples e tem máximosprincipais nas regiões do espaço onde se verificar:a sen θ = m λ(9)mSe o alvo estiver suficientemente afastado da múltipla fenda éválida a aproximaçãosen θm≈ ymaxs , obtendo-se então a expressãopara os máximos da experiência ideal de Young da equação (4). Queristo dizer que a localização dos máximos principais deinterferência no caso de uma múltipla fenda em transmissão éconstante e independente do valor de N ≥ 2 o que aliás se podefacilmente ver pela comparação das Figuras 4 a 6.2. Procedimento experimental:2.1. Material:• Laser de He-Ne• Fendas• Lente convergente• Calha óptica com os respectivos suportes• Régua e fita métrica22

2.2. Descrição do procedimento experimental:Assegure-se que o material se encontra disposto na calha óptica deacordo com a Figura 7.d 2 + d 1d 1 d 2Figura 7: Esquema da montagem experimental.2.2.1. Distância entre fendas:Com a lente convergente colocada vai efectuar um conjunto demedidas cujo objectivo é determinar a distância a entre as fendas apartir da distância entre as imagens das fendas projectadas noalvo (a’).Para tal deverá focar com cuidado a imagem da dupla fenda no alvo.Esta focagem deve ser feita com duas pessoas. Uma deve observarcom cuidado a imagem da dupla fenda enquanto a segunda desloca alente convergente até se obter a melhor focagem possível.Deve medir a distância entre as imagens das duas fendas entre oslimites das imagens e não entre os centros das imagens. Destaforma obtém duas medições independentes e evita os erros inerentesa estimar por observação subjectiva a posição do centro de cadaimagem. Este ponto é importante pois os erros de medição dadistância entre os centros das fendas são muito importantes para ocálculo do comprimento de onda da radiação.Deverá tomar nota das distâncias dupla fenda – lente (d 1 ) e lente –alvo (d 2 ). A distância real entre as fendas a é dada pora'a =A23

sendodd2A = a ampliação produzida pela lente. Quando medir as1distâncias d 1 e d 2 tenha em atenção a largura dos suportes.Deverá repetir estas medições para três posições do alvo de modo aobter três estimativas independentes da distância a.2.2.2. Padrões de difracção das fendas simples e dupla:Deverá observar qualitativamente os padrões de difracção dasfendas simples e dupla. Comece por verificar se o feixe laserpassa através das duas fendas aproximadamente com a mesmaintensidade. Depois, remova o suporte com a lente convergente eobserve o padrão de difracção da dupla fenda. Volte a colocar alente convergente e faça incidir o laser sobre a fenda simples.Remova o suporte com a lente convergente e observe o padrão dedifracção da fenda simples. Assegure-se que compreende a razãopela qual existem ordens de interferência “ausentes”, no padrão dedifracção da dupla fenda.2.2.3. Cálculo de λ a partir da difracção da dupla fenda:No cálculo do comprimento de onda do laser a partir do padrão deinterferência da dupla fenda deverá medir a diferença entremínimos de intensidade. O cálculo do comprimento de onda é feitocom base na equação (5); como a distância entre mínimosconsecutivos ( ∆ y ) é muito pequena e, para reduzir o erro, aequação (5) pode ser reescrita na forma:∆y aλ = mm sonde∆ ymé agora a separação entre m + 1 máximos ou mínimos (amedida directa).Meça então a diferença entre mínimos de intensidadecorrespondentes a cerca de 15 a 25 franjas escuras. Deverá fazer o24

maior número possível de medidas independentes aproximadamentecentradas em relação ao alvo (cerca de 7). Calcule um valor docomprimento de onda para cada medida e só depois o valor médio docomprimento de onda.2.2.4. Cálculo de λ a partir da difracção da múltipla fenda:O cálculo do comprimento de onda do laser a partir do padrão deinterferência das múltiplas fendas é análogo ao feito para a duplafenda. Agora deverá medir a diferença entre máximos de intensidadecorrespondentes a cerca de 8 a 18 franjas. Deverá fazer o maiornúmero possível de medidas independentes aproximadamente centradasem relação ao alvo.3. Resultados e cálculos:Faça um registo das medições experimentais directas e efectue oscálculos necessários ao preenchimento das tabelas que se seguemtendo em conta as seguintes observações.No cálculo da distância entre os centros das duas fendas deveráestimar o respectivo erro associado. Para isso admita comoestimadores razoáveis dos erros associados às medidas directas osseguintes valores:Parâmetro Estimativa do erroa’ 1 mmd 1d 22 mm10 mmEfectue o cálculo do erro associado ao comprimento de onda para osresultados obtidos com a dupla fenda admitindo como estimadoresrazoáveis dos erros associados às medidas directas os seguintesvalores:ParâmetroEstimativa do erro∆ y m1 mms2510 mm

Além disso, não se esqueça da estimativa do erro da determinaçãode a.O padrão de difracção da dupla fenda na aproximação de Fraunhoferé dado pela equação (7) com os parâmetros α e β tendo osignificado usual. Note que α e β são funções do ângulo θ e queeste pode ser escrito como:⎛ y ⎞θ = arctan ⎜ ⎟⎝ s ⎠Represente graficamente as contribuições para ( )0I θ / 4Idevidas aotermo de interferência a ao termo de difracção (isoladamente edepois em conjunto) para os valores de distância entre fendas elargura de cada fenda fornecidos pelo fabricante em função dadistância y no alvo (primeiro de -12.5 cm até 12.5 cm e depoisapenas os 10 cm centrais). Relacione este gráfico com o padrãoexperimental que observou e justifique as ordens “ausentes”.Na representação gráfica deverá utilizar os valores teóricos docomprimento de onda e dos parâmetros a e b.• Dados:Espaçamento e largura das fendas:- a = 0.1 mm- b = 0.05 mmLaser de He-Ne: λ = 632.8 nm26

ÓPTICA-FÍSICA ⎯ TRABALHO Nº 1DUPLA FENDA DE YOUNGTurno:Grupo:Autores:Data:Objectivos do trabalho:Distância entre fendas:Resultado final:a ± δ a =Valor esperado:ateor=Percentagem de erro em relação ao valor esperado:Comentário:d 1 d 2 a’ a δaδd 1 = δd 2 = δa’= a =δ a =Equações: Cálculo de a:Cálculo de δa:Cálculo de λ a partir da difracção da dupla fenda:Resultado final:λ ± δ λ =Valor esperado:λteor=Percentagem de erro em relação ao valor esperado:Comentário:Distância fenda – alvo: s =δ s =27

m ∆y m λ δλδ(∆y m ) = λ =δ λ =Equações: Cálculo de λ:Cálculo de δλ:Cálculo de λ a partir da difracção da múltipla fenda:Resultado final:λ ± δ λ =Valor esperado:λteor=Percentagem de erro em relação ao valor esperado:Comentário:Distância fenda – alvo: s =m ∆y m λλ =Equações: Cálculo de λ:Resultados finais:Valor esperado:λteor=28

Fenda λ % de ErroduplamúltiplaComentário final e conclusões:GráficosInclua uma folha com os gráficos pedidos no ponto 3 e respondasucintamente às seguintes questões.Questões:• Qual a relação entre os padrões de difracção da dupla fendae de uma fenda simples equivalente ?• Relacione os gráficos com o padrão observadoexperimentalmente para a dupla fenda.• Justifique a existência de ordens de interferência“ausentes”.29