Lista 3 - Bases Matemáticas

Lista 3 - Bases MatemáticasIndução1 — Calcule :a) a soma dos n primeiros números pares.b) a soma dos n primeiros números ímpares.2 — Prove que para todo inteiro positivo nvale:= 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n 2 =n(2n + 1)(n + 1).63 — Demonstre que para todo inteiro positivon vale:a) 1 3 + 2 3 + · · · + n 3 = ( 122 .b) 1+2( 1)+3( 1 2 2 )2 +· · ·+n( 1 2 )n−1 = 4− n+2 .2 n−1c) (1 − 1)(1 − 1) · · · (1 − 1 2 3 n+1 n+1d) 1 + 2 + 2 2 + · · · + 2 n−1 = 2 n − 1.e) n < 2 n .f) 1 2 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + · · · + (−1) n+1 n 2 =(−1) n+1 n(n+1).26 — Seja x um inteiro positivo. Demonstreque:(1 + x) n > 1 + nx, para todo n ≥ 2.7 — Prove que11 · 2 + 12 · 3 + · · · + 1n(n + 1) =nn + 1 .8 — Prove que para qualquer inteiro positivon o número 2 2n − 1 é divisível por 3.9 — Prove que um caixa eletrônico pode entregarao usuário qualquer valor maior ou iguala R$4 usando apenas notas de dois e de cincoreais.* 10 — Mostre que a soma dos ângulos internosde um polígono convexo com n lados (n ≥ 3)é (n − 2)π.4 — Dados a e r dois números inteiros,r ≠ 1. A sequência a 1 = a, a 2 =ra, a 3 = r 2 a, · · · , a n = r n−1 a, · · · é denominadaprogressão geométrica de razão r. Proveque a soma dos n primeiros termos de umaprogressão geométrica é:S n = rn a − ar − 1 .5 — Prove que 2n + 1 < 2 n para todo n > 3.Exercícios Extras:11 — Prove quen∑a) 2 k = 2 n+1 − 2b)c)d)k=1n∑k 2 =k=1n∑i=1n(n + 1)(2n + 1)61(2i − 1)(2i + 1) = n2n + 1n∑j(j + 1) =j=1n(n + 1)(n + 2)3

e)f)n∑(2j − 1) = n 2j=1n∑i(i!) = (n + 1)! − 1i=1= (X ∩ X 1 ) ∪ (X ∩ X 2 ) ∪ · · · ∪ (X ∩ X n ).b) Prove por indução que(X 1 ∪ X 2 ∪ · · · X n ) C = (X C 1 ) ∩ (X C 2 ) ∩ · · · ∩ (X n ) C .12 — Use indução para mostrar que um conjuntofinito com n elementos possui 2 n subconjuntos.* 13 — Sejam X, X 1 , X 2 , · · · , X n conjuntoscom relação a um conjunto universo U fixado.a) Prove por indução queX ∩ (X 1 ∪ X 2 ∪ · · · ∪ X n ) =* 14 — Prove que para todo n ≥ 9,.n! ≥ (2n) 2* 15 — Prove para todo n ≥ 1,n∑i=11i 2 < 2 − 1 n2

Respostas dos Exercícios1 b.) Comecemos com verificar a condição PIF 1.P(1) =”1 = 1 2 ”Logo, P(1) é verdadeira. Para verificar a condiçãoPIF 2, devemos tomar um número natural positivoqualquer k ∈ N e mostrar que vale a implicaçãoP(k) ⇒ P(k+1). Em outras palavras, devemos suporque P(k) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrarque P(k + 1) é verdadeira. Logo, a nossa hipóteseindutiva é1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2Reescrevendo P(k + 1) e usando a hipótese indutivatemos :1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1)= k 2 + 2k + 1= (k + 1) 2Assim, verificamos que, se P(k) é verdadeira,também o é P(k + 1). Donde, pelo PIF, concluímosque P(n) é verdadeira para todo natural n ≥ 1, i.e.para todo natural positivo.2 Comecemos com verificar a condição PIF 1.P(1) = ‘‘1 + 2 = 2 1+1 − 1 ′′ (1)P(1) = ‘‘3 = 3 ′′ verdadeira (2)Logo, P(1) é verdadeira. Para verificar acondição PIF 2, devemos tomar um número naturalpositivo qualquer k ∈ N e mostrar que vale aimplicação P(k) ⇒ P(k+1). Em outras palavras,devemos supor que P(k) é verdadeira (hipóteseindutiva) e mostrar que P(k + 1) é verdadeira.Logo, a nossa hipótese indutiva é1 + 2 + 2 2 + 2 3 + · · · + 2 k = 2 k+1 − 1Reescrevendo P(k + 1) e usando a hipótese indutiva:1 + 2 + 2 2 + · · · + 2 k + 2 k+1 = 2 k+1 − 1 + 2 k+1= 2(2 k+1 ) − 1= (2 k+2 ) − 1Assim, verificamos que, se P(k) é verdadeira,também o é P(k + 1). Donde, pelo PIF, concluímosque P(n) é verdadeira para todo naturaln ≥ 1, i.e. para todo natural positivo.3 d.) Comecemos com verificar a condição PIF 1.P(1) = ‘‘1 + 2 = 2 1+1 − 1 ′′P(1) = ‘‘3 = 3 ′′ verdadeiraLogo, P(1) é verdadeira. Para verificar a condiçãoPIF 2, devemos tomar um número natural positivoqualquer k ∈ N e mostrar que vale a implicaçãoP(k) ⇒ P(k+1). Em outras palavras, devemos suporque P(k) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrarque P(k + 1) é verdadeira. Logo, a nossa hipóteseindutiva é1 + 2 + 2 2 + 2 3 + · · · + 2 k = 2 k+1 − 1Usando a hipótese de indução, queremos demonstrarP(k + 1), reescrevendo P(k + 1) e usando ahipótese indutiva temos:1 + 2 + 2 2 + 2 3 + · · · + 2 k + 2 k + 1 = 2 k+1 − 1 + 2 k+1= 2(2 k+1 ) − 1= (2 k+2 ) − 16 Comecemos com verificar a condição PIF 1.P(2) = ‘‘(1 + x) 2 > 1 + 2x ′′P(2) = ‘‘1 + 2x + x 2 > 1 + 2x ′′como x > 0, P(2) é verdadeiraLogo, P(2) é verdadeira. Para verificar acondição PIF 2, devemos tomar um número naturalpositivo qualquer k ∈ N e mostrar que vale aimplicação P(k) ⇒ P(k+1). Em outras palavras,devemos supor que P(k) é verdadeira (hipóteseindutiva) e mostrar que P(k + 1) é verdadeira.Logo, a nossa hipótese indutiva é(1 + x) k > 1 + kxUsando a hipótese de indução, queremosdemonstrar P(k + 1), reescrevendo P(k + 1) e3

usando a hipótese indutiva temos:(1 + x) k+1 = (1 + x)((1 + x) k )≥(1 + x)(1 + kx)≥ 1 + kx + x + kx 2≥ 1 + (k + 1)x7 Comecemos com verificar a condição PIF 1.1P(1) = ‘‘1 · 2 = 11 · 2′logo P(1) é verdadeira8 Queremos demonstrar que para todo n ∈ Z ∗ +existe m ∈ Z ∗ tal que2 2n − 1 = 3mComecemos com verificar a condição PIF 1.P(1) = 2 2.1 − 1 = 3 · 1Vamos assumir que P(k) é verdadeira, i.e., existem ∈ Z ∗ tal queLogo, P(1) é verdadeira. Para verificar acondição PIF 2, devemos tomar um número naturalpositivo qualquer k ∈ N e mostrar que vale aimplicação P(k) ⇒ P(k+1). Em outras palavras,devemos supor que P(k) é verdadeira (hipóteseindutiva) e mostrar que P(k + 1) é verdadeira.Logo, a nossa hipótese indutiva é11 · 2 + 12 · 3 + · · · + 1k(k + 1) =kk + 1Usando a hipótese de indução, queremosdemonstrar P(k + 1), reescrevendo P(k + 1) eusando a hipótese indutiva temos:11 · 2 + 12 · 3 + · · · + 11+k(k + 1) (k + 1)(k + 2) =} {{ }Por hipótese de indução = k/k+1= kk + 1 + 1(k + 1)(k + 2) = k + 1k + 22 2k − 1 = 3.mou seja, vamos assumir que2 2k = 3.m + 1Agora vamos demonstrar a implicação P(k) ⇒P(k + 1). Reescrevendo P(k + 1) e usando ahipótese indutiva temos:2 2 (k + 1) − 1 = 2 2k+2 − 1 (3)= 4.22k − 1 (4)= 4.(3m + 1) − 1 (5)= 12m + 4 − 1 (6)= 3(4m + 1) (7)(8)E logo 2 2 (k + 1) − 1 é divisível por 3.4