Enunciados de problemas

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICODepartamento de Engenharia Electrotécnica e de ComputadoresSecção de ElectrónicaAnálise de CircuitosEnunciados dos ProblemasSetembro de 2003Elaborado por:João Costa Freire1

PARTE I - Circuitos Resistivos LinearesProblema 1.1 - Leis de Kirchhoff6AR 1i10A1 5Ω 12A+ -+v 2 R 260V- 5ΩFigura 1.1 - Circuito com um gerador de tensão e um de correnteindependentesConsidere o circuito da figura 1.1.a) Construa o seu grafo e indiqueo número de ramos e de nós.b) Calcule os valores dasresistências R 1 e R 2 .c) Determine os valores dacorrente i 1 e da tensão v 2 .Problema 1.2 - Leis de Kirchhoffa) Quantas equações de Kirchhoffindependentes consegue obter para o circuitoda figura 1.2?b) Utilizando as leis de Kirchhoff obtenha osvalores da resistência R e da condutância G,sabendo que a fonte de 5A fornece aocircuito 125W.c) Qual a potência fornecida ao circuito pelafonte de tensão de 40V?Problema 1.3 - Leis de Kirchhoff-v in5Ω+ 2A60V- +3Ω2ΩV S8AFigura 1.3 - Circuito com gerador de tensão comandadoi x4i x+-+ v R -R5A+ --110VG7A+-40V6AFigura 1.2 - Circuito com múltiplas fontes independentesUse a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff paracalcular as seguintes grandezas indicadas nocircuito da figura 1.3:a) Tensão de entrada v in e a tensão da fontecontínua (DC) independente V S .b) Potência em jogo na fonte dependente 4i x .Problema 1.4 – Leis de Kirchhoff (associação de resistências)Quanto tem que valer a resistência R para serpercorrida por uma corrente de 5A com osentido indicado na figura 1.4?Figura 1.4 - Circuito resistivo em T excitado por umafonte contínua de 50V e carregado com 26Ω+ - 50V1.5Ω 15Ω26ΩR5AProblema 1.5 – Leis de Kirchhoff (associação de resistências)O circuito da figura 1.5 tem 3 secções em escadae as resistências são dadas em Ohm.a) Para se ter I 0 =1A, qual deve ser o valor deV S ?b) Quanto deve valer V S para se ter I 0 =0,4A?c) Para V S =100V, obtenha I 0 .20 530I 0+V S1610-Figura 1.5 - Circuito resistivo em escada com três secções202

Problema 1.6 - Método nodal4A20Ω 25Ω+ v Y -5Ω10Ω +50Ω v X 100Ω20A- 5A10AUtilizando o método nodal, calcule as tensõesv X e v Y da figura 1.6:Figura 1.6 - Rede eléctrica com apenas geradores decorrenteProblema 1.7 - Método nodala) Escreva as equações nodais do circuito da figura 1.7na forma matricial.2Sv 15Vv 2 4S v 3- ++ v x -b) Obtenha a partir das equações calculadas na alíneaanterior a potência fornecida pela fonte de 5Volt.5A13S4v x1SFigura 1.7 - Circuito com geradores de corrente e de tensãoProblema 1.8 - Método nodal100V160V25A 25Ω 20Ωref.4A40Ω3a) Por análise nodal, calcule as seguintesgrandezas do circuito da figura 1.8:1. A tensão no nó 3, v 3 ;2. A potência fornecida pela fonte de 5A.b) A presença da fonte de corrente de 4A influinas grandezas do circuito?Figura 1.8 - Circuito com geradores de corrente e tensãoindependentesProblema 1.9 - Método nodalv 1 + v x - v 2 3Ω v 3+-1Ωv G =6Vv 4+-Pretende-se estudar o circuito da figura 1.92ΩV DC =8V usando a análise nodal.a) Calcule as tensões nodais v 1 a v 4 .4Ωb) Calcule a potência fornecida pela fonte de 6V.5v xFigura 1.9 - Circuito com geradores de tensãoProblema 1.10 - Método nodal3Ω- +Considere o circuito da figura 1.10.20Va) Escreva as suas equações nodaise ponha-as na forma matricial.V 1 6Ω V 230Ω V 3b) Utilizando o resultado da alíneaanterior, determine a potência6A fornecida pela fonte de 6A.4A2A15Ω9ΩFigura 1.10 - Circuito com geradores decorrente e tensão3

Problema 1.11 - Teoremas de Thévenin, de Norton e da sobreposiçãoConsidere o circuito da figura 1.11.a) Resolva o circuito pelo método dos nós, calculando os valores de v x e i y .b) Obtenha os equivalentes de Thévenin e debNorton à direita dos terminais a-b.i x 2Ω2Ωc) Substitua o sub-circuito à direita dos terminais1Ω+a-b pelo equivalente de Norton calculado na 4A5A v x1Ωalínea anterior. Usando o Teorema da+ -- 3VSobreposição, do modo que considerar mais3V + -conveniente, confirme o valor de i y calculadoana alínea a).Figura 1.11 - Circuito com geradores independentesProblema 1.12 - Método das malhas4V+ v x -200Ω600Ω5mA j 3400Ω500Ω1kΩj 1j 2v x400Considere o circuito da figura 1.12.a) Use o método das malhas, para saber qual a potênciafornecida pela bateria de 4V.Sugestão: escreva a equação matricial do circuito e só calcule asvariáveis estritamente necessárias.b) A fonte de corrente v x /400 fornece ou recebe energiaeléctrica? Justifique.Figura 1.12 - Circuito em «T shuntado»Problema 1.13 - Método das malhasNo circuito da figura 1.13 use o método das malhas para obter i o , acorrente que passa em R L , se v 2 =1,234V.Suponha o Amplificador Operacional (AO) representado pelo seumodelo composto por uma resistência de 50kΩ entre os terminais+ e - (resistência de entrada R i ), e a série dum gerador de tensãocomandado -10 4 v 1 com uma resistência de 2kΩ (resistência desaída R o ) entre o terminal 0 e a massa do circuito. Comente sobrea utilidade deste circuito.AO-v + 1 0-++R L =1kΩ v 0-v 2 + -Figura 1.13 - Circuito seguidor comum Amplificador Operacionali 0Problema 1.14 - Teorema da sobreposiçãoi x5Ω10Ω24V + -2A 20Ω 36VPara o circuito da figura 1.14, use o Teorema daSobreposição para calcular a corrente i x .Problema 1.15 - Teoremas da Sobreposição e de Nortona) Use o Teorema da Sobreposição para calcular, nocircuito da figura 1.15, a corrente i.b) Calcule o equivalente de Norton do sub-circuitoà direita do gerador de -4V.c) Calcule o equivalente de Norton do sub-circuitoaos terminais do gerador de -4V.Figura 1.14 - Circuito em T com 3 geradores independentes- ++3Ω- 4Vv x 2Ω1Ω + 5v - - x2AiFigura 1.15- Circuito em T terminado4

Problema 1.16 - Fonte real / Máxima transferência de potência / Associação de resistências10V+ -R Sfonte realab8ΩR L2Ω24Ω40Ω60ΩFigura 1.16 - Circuito excitado por uma fonte realNo circuito da figura 1.16, o sub-circuito àesquerda dos terminais (a, b) representa umafonte de tensão “real” e o sub-circuito à direita asua carga R L .a) Qual deve ser o valor da resistência internada fonte «real» R S para que se extraia apotência máxima da fonte real?b) Qual o valor dessa potência máxima?Problema 1.17 - Teoremas da sobreposição e de Thévenin/Nortona) Calcule a tensão em vazio V OC (open5Ωcircuit), a corrente em curto circuito I SC(short circuit) e a resistência equivalente de2AThévenin R th aos terminais a-b do circuitoda figura 1.17. Use métodos distintos paracada um dos cálculos: para V OC o método20Ωab15Ωdas malhas, para I SC o teorema da Figura 1.17 - Circuito com geradores de tensão e de correntesobreposição e para R th a sua definição.b) Desenhe os circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton, vistos dos terminais a-b.60VProblema 1.18 - Teorema de Thévenin20Ω40Ωa+ 10i 1+- 50V -bProblema 1.19 - Teorema de Thévenin/Nortona5A12A3A12Ω 4Ωi xFigura 1.19 - Circuito com múltiplos geradores de correntei 1bObtenha o circuito equivalente de Thévenin aosterminais a-b do circuito da figura 1.18.Figura 1.18 - Circuito com dois geradores de tensão reaisem paralelo (um dependente e outro independente)a) Determine os equivalentes de Thévenin ede Norton do circuito da figura 1.19, vistosdos terminais a-b.b) Substitua a fonte de 5A por uma fonte detensão dependente de valor 5i x (com oterminal + à direita) e repita os cálculospara obter os equivalentes de Thévenin e deNorton.Problema 1.20 - Teorema de ThéveninDetermine o equivalente de Thévenin do circuito dafigura 1.20, visto dos terminais x-y.Figura 1.20 - Circuito só com um gerador de corrente comandado200Ω 100Ω+v X-50Ω 150Ωx0,01v xy5

Problema 1.21 - Teorema de Thévenini b20i aDetermine o equivalente de Thévenin do circuito dai a- + a figura 1.21, aos terminais a-b. Para o efeito, calcule100Ω0,2i b50ΩProblema 1.22 - Teorema de Thévenin/Nortonbsequencialmente as seguintes grandezas.a) v oc - tensão em vazio (circuito aberto)b) i sc - corrente em curto circuitoc) R th - resistência equivalenteFigura 1.21 - Circuito com apenas geradores comandadosConsidere o circuito da figura 1.22.a) Calcule os equivalentes de Thévenin e deNorton, vistos dos terminais a-b, em funçãodo parâmetro α.b) Comente os valores obtidos para aresistência equivalente de Thévenin R thquando α>R 1 +R 2 .R 1v i+-- + aαi aR 2i aFigura 1.22 - Circuito com geradores de tensãobProblema 1.23 - Ganho e Teorema de Thévenin2kΩ i 1+v + Sv 50i+ 1 220kΩ--5000Figura 1.23 - Amplificador com um transistor de junção bipolar (TJB)v 2-A figura 1.23 representa o circuitoequivalente de um amplificador comum transistor de junção bipolar (TJB).Determine:a) a tensão de saída em aberto, v 2 ,em função da tensão de excitaçãov S ;b) a resistência equivalente de saídado amplificador (R th ).6

PARTE II - Circuitos Resistivos Não-LinearesProblema 2.1 - Amplificador não inversor (isolador)Considere o amplificador da figura 2.1. A tensão, v in , na entrada doamplificador operacional (A.O.), que se supõe ideal, é um sinalsinusoidal dado por v in =V im cos(ω t-φ) onde V im =3V, ω=100πrad s -1 e φ=π/8.a) Trace o andamento de v in (t) e v out (t) entre 0 e 100ms para R 2 =4R 1 .b) Repita a alínea anterior para R 1 =∞ e R 2 =0.c) Qual o valor da resistência de entrada do amplificador nascondições das alíneas anteriores? Comente a utilidade do circuitonas condições da alínea b).V inR 2R 1V outFigura 2.1 - Amplificador nãoinversorProblema 2.2 - Amplificador inversorConsiderando que o Amplificador Operacional dafigura 2.2 é ideal, e que satura para v 0 =±12V, qual ovalor da tensão de entrada v s por forma a ter-se umatensão nula em v o ? Considere i s =1mA e R=1kΩ.Rv- s is+-+Rv 0Figura 2.2 - Amplificador inversorProblema 2.3 - Amplificador inversorUsando um amplificador operacional ideal projecte um amplificador de baixa frequência com umganho de tensão igual a –100 e uma resistência de entrada de 1kΩ.Trace o seu esquema eléctrico, indicando o valor dos componentes.Problema 2.4 - Amplificador inversorR 1R 2R 3v I-+R 4v OCalcule o ganho de tensão v o /v I do circuito da figura2.4, onde se considera o amplificador operacionalideal. Qual a vantagem desta configuração emrelação à montagem inversora clássica (só umaresistência de realimentação)?Figura 2.4 - Amplificador com realimentação em TProblema 2.5 - Amplificador de correnteConsidere o circuito da figura 2.5, onde oamplificador operacional é suposto ideal.a) Analise-o e derive uma expressão para a correntei L em função das variáveis indicadas.b) Uma fonte v s =2V em série com R S =1kΩ é ligadaao terminal v 1 . Se R 1 =100KΩ, R F =1MΩ eR 2 =10kΩ, determine i L .c) Fazendo i 1 =v 1 /R 1 , verifique que o circuitofunciona como amplificador de corrente (i L éindependente de R L ).R FR 1vR L 1 -v 2+Figura 2.5 - Amplificador de correnteI LR 27

Problema 2.6 - Fonte de corrente comandada por tensãov SR 1I L-+R 2R 3 R 4No circuito da figura 2.6, verifique que se R 2 /R 1 =R 4 /R 3 o circuito éuma fonte de corrente (i L ) comandada por tensão (v S ) para uma cargaZ L com um dos terminais à massa. Considere o amplificadoroperacional ideal.Z LFigura 2.6 - Fonte de corrente comandada por tensãoProblema 2.7 - Amplificador somador com saturaçãoSabe-se que o amplificador operacional da figura 2.7satura para v 0 = ± 16V.a) Se v 2 =1V, v 3 =0 e v 1 =V 1m cos(ω t), qual a amplitudemáxima do sinal v 1 que leva o amplificadoroperacional ao limiar da saturação? Pode utilizar oprincípio da sobreposição para a calcular? Justifique.b) Para v 1 =v 2 =0, trace a característica v 0 (v 3 ) do circuito.v 1v 22k10k-1kv 3 +v 0Figura 2.7 - Amplificador somadorProblema 2.8 - Amplificador somador com saturação+-R 1 =1kΩv g-R 2 =1kΩV G =3V+R F =2kΩR L =2kΩ+v RL-a) Supondo que o AO da figura 2.8 é ideal, a menos dastensões de saturação que valem ±10V, representegraficamente a característica de transferência v RL (v g ).b) Explique o que significa a afirmação feita na alíneaanterior "Supondo que o AO da figura 2 é ideal" tendoem conta os cálculos que efectuou na alínea anterior.Figura 2.8 - Amplificador diferençaProblema 2.9 - Amplificador com dois AOsOs dois amplificadores operacionais (A.Os.) dafigura 2.9 estão polarizados com uma fontedupla de ±12 V. A tensão de entrada, v in , temuma amplitude de 1V. Calcule a amplitude datensão na saída de cada um dos amplificadoresoperacionais. Comente os valores obtidos.10R2RRRv inFigura 2.9 - Amplificador com dois A.Os.v outProblema 2.10 -Amplificador inversorv IR 1R 2-++V CC-V CCR 3R 4v OFigura 2.10 - Amplificador inversorNo circuito da figura 2.10 onde o amplificador operacional éideal e:V CC =±15V, R 1 =20kΩ, R 3 =10kΩ e R 2 =R 4 =100kΩ.a) Determine a curva de transferência do circuito v O (v I ).b) Com R 2 =R 4 diga o que se altera na curva de transferência se:i. - R 1 = R 3ii.- R 1 < R 38

Problema 2.11 - Comparadores+V CC-v+v OI +v I --V CC+V CC-V CCv ONos circuitos da figura 2.11 o amplificadoroperacional é ideal e:V CC =±15V, V X =5V, R=10kΩ.Determine as curva de transferência dos circuitosv O (v I ).Ra) b)V XProblema 2.12 - Comparador de JanelaR 1v I +V CC+v+O--V -CC V Xa) b)-V CCFigura 2.11 - (a) Detector de zero e (b) comparador.Nos circuitos da figura 2.11 o amplificadorR 2 v IR 1 R 2operacional é ideal e:+V CCV CC =±15V, V X =5V, R 1 = R 2 =10kΩ.v ODetermine as curva de transferência dos circuitosv O (v I ).Problema 2.13 - Díodo de junçãoO circuito da figura 2.13 é um carregador de baterias de9V elementar onde a tensão de alimentação v in é sinusoidalde amplitude máxima 20V e frequência 50Hz,v in =20sen(2π50t). Admita que o díodo D é ideal.a) Represente graficamente as tensões v in e v D , e correntei D , indicando os respectivos valores máximos.Figura 2.12 - Comparador de janelav in+-100Ωi Dv DDv O =9VFigura 2.13 - Carregador de bateriasb) Que implica, nas especificações dum díodo real, os valores calculados na alínea anterior?Problema 2.14 - Díodo de junçãoO circuito da figura 2.14 é excitado por uma tensão v intriangular, de amplitude máxima 20V e periodo 20ms(v in >0 de t=0 a 10ms). Admita que o díodo D é ideal.a) Represente graficamente a tensão de entrada v in e atensão v O e a corrente i O , na carga de 1kΩ.1kΩ+v in D-1kΩFigura 2.14 - Carregador de bateriasb) Qual é o valor máximo da tensão e corrente suportada pelo díodo.Problema 2.15 - Lógica DRi O+v O-Assumindo para os díodos do circuito da figura 2.15que r d =0, V γ =0.7V e r r =∞ , calcular a tensão de saídav O nas seguintes condições de entrada:a) v 1 = v 2 = 5Vb) v 1 = 5V, v 2 = 0Vc) v 1 = v 2 = 0VJustificar o estado dos díodos em cada situação.v 1v 21kΩ1kΩv O10kΩFigura 2.15 - Circuito E lógico (AND)5V9

Problema 2.16 - Lógica DRACBR 1 R 220VFigura 2.16 - Função lógica em tecnologia DRv OOs valores binários das tensões de entrada docircuito da figura 2.16 são V(0)=0V e V(1)=10V.Assuma os díodos como ideais.a) Analise o circuito e obtenha a função lógica f,v O =f(A, B, C).b) Qual o valor mínimo de R 2 (em função de R 1 )para que operação do circuito seja a previstana alínea anterior?Problema 2.17 - Díodos limitadores de tensãoConsidere o circuito da figura 2.17 (a) em R 1D 1 V D2ii Dque os díodos D 1 , D 2 e D 3 têm aDD 2característica apresentada na figura 2.21b . i GD 3 R 2 R 3 R 4va) Admita que a fonte i G fornece 5mA aoi DR3circuito. Determine o valor da corrente (a) R 2 =6kΩR 1 =R 3 =2kΩ (b) 0.7V v Di R3 .b) Nas condições da alínea a), determine a Figura 2.17 - (a) Circuito DR; (b) Característica i(v) dos díodostensão v D2 .c) Com i G =10senωt (mA), ω=2πf, f=100Hz, represente graficamente um período de i G , de v D2 e dei RS .Problema 2.18 - Limitador a díodosNo circuito da figura 2.23 os díodos são ideais eR 1 =R 2 =1kΩ.a) Calcular e esboçar a curva de transferência v o (v i ).b) Repita a alínea a) para a corrente em R 1 i R1 (v i ) para0

PARTE III -Circuitos Dinâmicos LinearesProblema 3.1 - Circuito LC em regime estacionário (dc)Considere o circuito da figura 3.1, que representa uma rede RLC alimentada por um gerador detensão contínua. Calcule as seguintes grandezas eléctricas, em regime estacionário:i C8 Ω2 Ω10 Ω12 ΩC=200 µF 10 Va) Energia W C no condensador C,+ i Lb) Energia W L na bobina L,c) As correntes nos ramos,v L_L=3 mHProblema 3.2 - Circuito RLC com fonte de corrented) As tensões nos ramos.Figura 3.1 - Rede LC com gerador dciRef.i Ci S+1 kΩv C2 µF_i L5mHConsidere o circuito da figura 3.2, em que i s =2u(t)[A]. Admita que no instante inicial (t=0) se temv C (0)=8V e i L (0)=3A.a) Escreva as equações nodais (integro-diferenciais)do circuito.b) Escreva as equações das malhas.Figura 3.2 – Circuito RLC com fonte de correnteProblema 3.3 - Circuito RC com fonte dc e interruptorPara o circuito da figura 3.3, determine emt=1s os valores das seguintes grandezaseléctricas:a) Tensão no condensador v C ,b) Tensão na resistência de 20Ω (v R ),c) Tensão aos terminais do interruptor (v SW ).Problema 3.4 - Circuito RL excitado por um escalãoConsidere o circuito da figura 3.4, onde umramo RL série é polarizado por uma tensãocontínua de 10V e excitado por um sinal emescalão. Trace o andamento no tempo dacorrente e da tensão na bobina i L (t) e v L (t).4 Ω12 Vt = 0+ _v sw20 Ω5 Ω++v R_v C_50mFFigura 3.3 - Circuito RC com fonte dc e interruptor20 u(t) [V]+_10 VR = 5 ΩL = 0,2 HFigura 3.4 - Circuito RL excitado por um escalãoi L+_v L11

Problema 3.5 - Circuito RL com um gerador comandado100 u(t) [V]+_10 Ωi A20 Ωi L1,5 i A0,05 HProblema 3.6 - Circuito RC excitado por dois escalõesConsidere o circuito RL da figura 3.5 quecontém um gerador de corrente comandado e éexcitado por um escalão de tensão.Determine o andamento no tempo da corrente nabobina i L (t) para t>0.Figura 3.5 - Circuito RL com gerador comandado+_v x+_20 Ωi80 CΩ0,05 F+_ v C3-2 u(t) [A]100 u(t) [V]Problema 3.7 - Carga de um condensador120 V10 Ω 10 Ωv C+_10 µF10 Ωt = 0240 VFigura 3.7 - Circuito RC com um interruptor e fontes dcConsidere o circuito da figura 3.6 que incluiuma rede RC e dois geradores em escalão: umde corrente e um de tensão.Determine o andamento no tempo das tensõesv x (t) e v C (t), e da corrente i C (t) para todo o t.Figura 3.6 - Circuito RC excitado por dois escalõesConsidere o circuito da figura 3.7, onde em t=0se fecha o interruptor. Admita que o interruptorestava aberto há muito tempo.a) Determine a tensão v C (t) para t>0.b) Em que instante se verifica v C (t)=0 [V]?Problema 3.8 - Carga e descarga dum condensadorNo circuito da figura 3.8, admita que ocomutador está há muito tempo na posição A.Move-se o comutador para B em t=0 enovamente para A em t=1s. Determine R 1 e R 2de modo que se tenha para a tensão nocondensador v C =7.5V em t=1s e v C =1V emt=1.001s.9 VR 1R 2BAC=1µF+vCFigura 3.8 - Carga de um condensador a tensão constante_Problema 3.9 - Carga duma bobina36 V+_2 Ω t = 0 3 HB12 VA+_4 Ωi A6 Ω_++v 0_2 i AFigura 3.9 - Bobina comutada entre uma fonte de 12V e uma de 36VNo circuito da figura 3.9, abobina de 3H que estava ligadaa uma fonte dc de 12V em t=0passa a estar ligada a uma de36V com uma resistênciainterna de 2Ω. Calcule aexpressão da tensão v 0 (t) parat>0.12

Problema 3.10 - Carga simultânea de uma bobina e um condensador200µFC12Ω8Ω10Vt=02Ω20V10ΩL3mHFigura 3.10 - Carga duma bobina e dum condensador em simultâneoProblema 3.11 - Carga dum condensador a corrente constanteConsidere o circuito da figura 3.11 onde se supõeque o interruptor abre em t=0 e torna a fechar emt 1 =15ms.a) Calcule a potência fornecida pela fonte decorrente e a energia armazenada no condensadorantes da abertura do interruptor (t=0 _ ).2 mAPara o circuito da figura 3.10, ondesimultaneamente se comuta a carga docondensador C e da bobina L,determine as correntes, as tensões e asenergias nestes dois componentes (i L ,i C , v L , v C , w L e w C ) em t=0 _ , t=0 + et=∞. O comutador é actuado em t=0.1 µF+t = 0vC_10 kΩFigura 3.11 - Carga dum condensador a correnteconstanteb) Calcule a expressão da tensão v C (t) no intervalo ]0,t 1 [ e o seu valor em t=t 1 .c) Calcule a expressão da tensão v C (t) no intervalo [t 1 ,∞[ e o seu valor em t=2t 1 =30ms.d) Represente graficamente v C (t), i C (t) e i R (t) no intervalo ]0,∞[. Considere como t=∞, um valor de ttal que as grandezas a representar já sejam praticamente constantes.e) Calcule a energia fornecida pela fonte e a energia dissipada na resistência no intervalo de tempo]0,2t 1 [.Problema 3.12 - Transitório de descarga dum condensador2 vC4 Ω180 u(t ) [V]_+90 V5 Ω40 µF+vC_Determine o instante t 0 em que se verifica oanulamento da tensão aos terminais docondensador da figura 3.12 [v C (t 0 )=0].Figura 3.12 - Circuito de descarga com geradorcomandado13

PARTE IV - Regime Forçado SinusoidalProblema 4.1 - Análise dum circuito RL no domínio da frequênciai(t)10H100Ω+v in(t) + --v s(t)No circuito da figura 4.1, a fonte de tensão v S é da formav S (t) = 50 sen(20t-53º) [V]. Para obter i(t) = 0,8 sen20t [A],qual deve ser a tensão de entrada v in (t)?Figura 4.1- Circuito RL sérieProblema 4.2 - Impedâncias complexasNo circuito da figura 4.2, considere que a tensão de excitaçãov é sinusoidal e de frequência angular ω=500rad/s.a) Determine a tensão v (amplitude e fase) para que acorrente no condensador i C tenha uma amplitude complexaI c =2 e j30º [A]. Qual é a expressão de v(t)?b) Determine a impedância complexa aos terminais ±.+v-4Ω 1mF12mH10ΩFigura 4.2 - Rede RLCi C1/4 mFProblema 4.3 - Amplitudes complexas - Método nodal no domínio da frequência2Ω∼ + - V g100+j0[V]+V x_j3Ω+1ΩV RL_Ref.-j4Ω50V x+-Estude o circuito da figura 4.3 utilizando o método nodal.Determine a amplitude complexa da tensão V RL , aos terminais dasérie RL.Figura 4.3 - Circuito RLC em regime alternado sinusoidalProblema 4.4 - Método das malhas no domínio da frequênciaEscreva as equações das malhas para o circuito da figura4.4. Sabendo que a corrente i S (t)=10cos(10 4 t+30º),determine a corrente de malha i 3 (t).Figura 4.4 - Circuito RLC~i S1Ω0,4mH1Ω 1Ωi 3 (t)400µF2ΩProblema 4.5 - Diagrama de amplitudes complexas (vectorial)v SV j1Ω+ 1 -I1ΩL+++ v 2 -j1Ω V∼ L- - 2Ω -Figure 4.5 - Circuito RLCa) Considere o circuito da figura 4.5. Escolhendo umvalor de referência para I L , trace o diagrama dasamplitudes complexas de V L , V 2, V 1 e V S . Determine arazão entre os módulos das seguintes amplitudescomplexas:1) V 1 e V S2) V 2 e V S3) V L e V Sb) Qual o valor de i L (t) quando v S (t)=cosωt, comω=10rad/s?14

Problema 4.6 - Função de transferência F(ω)Considere o circuito da figura 4.6. Calcule o quocienteentre as amplitudes complexas da tensão de saída v o e datensão do gerador v s (função de transferência F(ω)=V O )em função da frequência angular ω. Esboce o gráfico deF(ω) determinando pontos que considere notáveis.VSL++ -2mHC R v∼v COv S 125µF 4Ω−Figura 4.6 - Circuito RLCProblema 4.7 - Adaptação de impedânciasxDetermine o valor da impedância a ligar entre os2Ω + j3Ωterminais x e y da figura 4.7 para que esta absorva a+ - 10+j0 + máxima potência disponível no circuito (potência0.8V xy -média).[V]-Qual é o valor desta potência?yFigura 4.7 - Circuito RL com geradoresProblema 4.8 - Método nodal / SobreposiçãoSugestão: utilize o equivalente de Thévenin do circuito da figuraem relação aos terminais xy.No circuito da figura 4.8 as impedâncias são dadas em Ohm e as correntes em Ampere.a) Calcule a expressão da tensão nos nós 1 e 2,-j5v 1 v 2sabendo que os geradores independentes i 1 e i 2 sãoj10sinusoidais e de frequência idêntica ω, caracterizados-j10∼j5pelas respectivas amplitudes complexas I 1 =1|0º [A] ei 1 ∼5 10i 21|0º0.5|-90º I 2 =0.5|-90º [A].Sugestão: utilize o método nodal ou o princípio da sobreposição.Figura 4.8 - Circuito RLC em Πb) Trace o andamento no tempo das correntes i 1 (t) e i 2 (t) e das tensões v 1 (t) e v 2 (t).c) A tensão v 1 está avançada ou atrasada em relação à tensão v 2 (t)? E i 1 (t) em relação a i 2 (t)?Comente.Problema 4.9 - Equivalente de Thévenin. Máxima transferência de potênciaNo circuito da figura 4.9, as impedâncias são dadas em Ohm, a tensão em Volt e a corrente emAmpere.+v g-∼12|0º4-j4Z Lj24|90ºFigura 4.9 - Circuito RLC em T∼i sa) Calcule a carga Z L que proporciona a máximatransferência de potência média do circuito paraessa carga.b) Qual é o valor dessa potência?Sugestão: utilize o teorema de Thévenin.15

Problema 5.1 - Função de transferência H(s)2ΩL C +v s 2mH 2mF -PARTE V - Domínio da Frequência Complexa sv oConsidere o circuito RLC representado na figura 5.1.a) Obtenha a sua função de transferência H(s)=V o (s)/V s (s) ecalcule as frequências dos seus polos.b) Calcule o coeficiente de amortecimento α, a frequência deressonância ω 0 e a frequência natural ω n do circuito.Figura 5.1 - Filtro LC passa-bandaSupondo v s (t) = u(t) Volt resolva as alíneas seguintes.c) Determine a resposta permanente ou forçada v Cp (t).d) Escreva a expressão da resposta natural v Cn (t).e) Calcule as condições iniciais v C (0 + ) e [dv C (t)/dt] + t=0 .f) Escreva a expressão da resposta total v C (t) e esboce o seu andamento no tempo.Problema 5.2 - Função de transferência. Frequência complexa. Diagramas de Bode++R=4Ωa) Para o circuito da figura 5.2, calcule as funções dev 1 Lvtransferência K 1 (s)=V 1 (s)/I s (s) e K 2 (s)=V 2 (s)/I s (s) e as suasC 2i s 0.2H 0.01Fsingularidades (zeros e polos).--Figura 5.2 - Filtro passivoI = 5 |70º,b) Calcule a amplitude complexa de v 1 ( V 1 ) para uma excitação de amplitude complexa sem Ampère, para as seguintes frequências complexas s: (1) 0; (2) j∞; (3) -20 s -1 ; (4) j20 s -1 ; (5)-10+j10 s -1 . Comente o significado dos resultados obtidos.c) Se o gerador de corrente é uma sinusoide amortecida dada por i S (t) = 4 e –10t cos (5t +40°),calcule v 2 (t) em t=0 e t=0.25s.d) Trace o diagrama de Bode de K 1 (ω) e K 2 (ω).Problema 5.3 - Função de transferência. Diagrama de BodeUm filtro com um amplificador operacional ideal (filtro activo) está representado na figura 5.3.Quatro dos componentes externos valem: R 1 =R 2 =1kΩ, L=10mH e C=10µF.v I (t)_+v C_ +CR1 R 9Rv XLi LR 2Figura 5.3 - Filtro activo LCv O (t)a) Calcule a função de tranferênciaV (s)H (s) = oV i(s)evidenciando os polos e zeros.b) Indique a forma geral da resposta naturalv On (t).c) Desenhe os diagramas de Bode assimptóticosH ( j ω).(amplitude e fase) ded) Qual o valor de R 2 , mantendo os restantes comoponentes o seu valor, para que H () s apresenteum polo duplo? Desenhe, de forma esquemática, o diagrama de Bode de amplitude para estecaso. Qual o valor de ( j100)H ?e) Supondo v I (t)=cos(10 5 t) u(t) , calcule as condições iniciais e a resposta total v o (t) para -∞

Problema 5.4 - Função de transfência. Diagramas de BodeNo circuito da figura 5.4 admita que osR 2 =10kΩR 4 =10kΩ amplificadores operacionais A 1 e A 2 sãoideais.a) Calcule a função da transferênciaR 1 =2.5kΩv i-+C 2 =15nFA 1vR 3 =10kΩ-+C 4 =1nFA2v oF(s)=VoVido circuito. Qual o valor dosC 3 =0.1µFseus polos e zeros? Qual o seu valorna origem? Interprete este resultado.Figura 5.4 - Filtro RC activob) Trace os diagramas de Bode, módulo e fase, da função de transferência calculada na alínea a).c) Qual é a frequência de ganho de tensão unitário f o (|F(j2πf o )|=1) e a respectiva fase (φ F (j2πf o))?d) Repita as alíneas anteriores se C 2 =0.1µF, C 4 =3.3nF e R 3 =1kΩ.Problema 5.5 - Diagramas de BodeUm circuito tem a seguinte função de transferência:410 sG (s) =4(s + 1) (s + 10 )a) Trace os digramas de Bode (aproximação assimptótica) de G(jω). Determine os valores de ωG( j100)para que G ( jω) =10b) Calcule os valores exactos de ω onde ( jω)Problema 5.6 - Diagramas de BodeG =G( j100)Trace os diagramas de Bode (aproximação assimptótica) da seguinte função de transferência:Qual é o seu tipo de filtragem? Comente.Problema 5.7 - Diagramas de Bode21000sG(s) =2s + 10s + 400Para a aproximação assimptótica do diagrama de Bode de amplitude representado na figura 5.7,obtenha a respectiva função de transferência H(s). Qual o valor e ordem das singularidades (pólos ezeros)? Trace o respectivo diagrama de fase assimptótico.|H|dB+200-201010 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 ω (log)rad s -1Figura 5.7 - Diagrama de Bode (amplitude) de um amplificador de banda larga17

PARTE VI - Problemas integrados e de recapitulaçãoProblema 6.1 - Integrador positivoConsidere o amplificador operacional da figura 6.1 ideal.a) Prove que o circuito é um integrador positivo. Para oefeito calcule a relação entre a variável de saída v o e ade entrada v i .b) Calcule a função de transferência do integrador dafigura 6.1. Trace o respectivo diagrama de Bodeassimptótico.RR-+v iCFigura 6.1 - Integrador positivoRRv oProblema 6.2 - Equalizador de amplitudeR 2R 1-v S +CR 3v OFigura 6.2 - Equalizador de amplitudePara o circuito da figura 6.2, considerando que o amplificadoroperacional é ideal, calcule:a) A relação v O (v S ) - domínio do tempo.b) A relação V O (V S ) - domínio da frequência.c) Trace o diagrama de Bode da função de transferênciaH(s)= V O /V S .Problema 6.3 - Integrador com perdasR 2R 1-v i +C 1Figura 2.15 - Integradorv oC 1 = 11nFV CC = ±12VR 1 = 1kΩR 2 = 1MΩSuponha o amplificador operacional da figura 6.3ideal.a) Calcule a relação v O (v I ) e estude a sua resposta auma onda quadrada de 10mV pp (pico a pico).b) Trace o diagrama de Bode da função detransferência H(s)= V O /V S .c) Qual a função do circuito e quais as vantagensrelativamente a uma montagem sem R 2 ?Problema 6.4 - Amplificador Operacional em regime não linearConsidere o circuito da figura 6.4,onde o amplificador operacional ésuposto ideal.a) Analise-o e esboce as formas deonda v O (t) e v C (t). Diga qual a suafunção.Sugestão: Considere que no instante t=0 oamplificador operacional está saturado eR=11kΩ (valor médio).b) O que acontece às característicasdos sinais v O (t) e v C (t) quando sevaria R?C = 11nFV CC = ±12VR 1 = 10kΩR 2 = R 3 = 33kΩR = Potenciómetro de 22kΩFigura 6.4 - Oscilador de relaxaçãoCR-+C 1R 1R 2R 3v O18

Problema 6.5 - Amplificador LimitadorO circuito da figura 6.5 utiliza um amplificadoroperacional alimentado com V CC =±10V, que sesupõe ideal. Os componentes valem:R 1 =R 2 =R 3 =10kΩ e V R = 2V.a) Trace a curva de transferência v O (v S ) para-10V≤v S ≤10V, supondo o díodo ideal. Qual afunção deste circuito?b) Repita a alínea anterior para um díodo com V Don =0.7V e –30V≤v I ≤40V.Problema 6.6 - Amplificador com desvio e limitaçãov S+-D 1v+R -+ - v OR 1R 2R 3Figura 2.32 - Amplificador Limitadorv SR 1 D R 3R 2v + - v ORFigura 6.6 - Amplificador com desvio e limitaçãoO circuito da figura 6.6 utiliza um amplificadoroperacional ideal alimentado com V CC =±15V.Sabe-se que R 1 =10kΩ, R 2 =5kΩ, R 3 =33kΩ eV R =3V.a) Trace a curva de transferência v O (v S ) para-20V≤v S ≤20V, supondo o díodo ideal. Qual afunção deste circuito?b) Repita a alínea anterior para um díodo com V Don= 0.7V.19