Aula 7 - Departamento de Estatística

UNIVERSIDADE FEDERALDA PARAÍBADistribuições DiscretasBernoulli e BinomialProf. Luiz MedeirosDepartamento de Estatística – UFPB

IntroduçãoNa prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados.Exemplo:1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ounegativa.3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadasgenericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. Associaremos p, aprobabilidade de sucesso, ao evento que nos interessa e 1-p, será aprobabilidade de fracasso.Esses experimentos recebem o nome de Ensaiosv.a. com distribuição de Bernoulli.de Bernoulli e originam uma2

Distribuição de BernoulliUma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), comprobabilidade de sucesso p, isto é,X =1, se ocorrer “sucesso”0, se ocorrer “fracasso”E sua função de probabilidade é dada por:Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli comparâmetro p.Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:E(X)=p e Var(X)=p(1-p).Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem aomodelo Binomial.3

Exemplo 1.Seja o experimento E: “Lançar um dado e observar a face superior”.Defina o evento: “o número é múltiplo de 3” e a variável X é definidacomo o número de sucesso. Determine a função de probabilidade de X,calcule a esperança e a variância.4

Distribuição de uma v.a. BinomialConsidere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com amesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o númerototal de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variávelaleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dadapor:P(Xonde= x)=⎛⎜⎝nx⎧⎛n ⎞⎪⎜⎟⎨⎝x ⎠⎪⎩⎞⎟⎠=pxn!x!(n −(1 −0,p)n−x,x, representax)!= 0,1, L,nc.co coeficienteBinomial.Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial comparâmetros n e p.E(X)=npVar(X)=np(1-p).5

Exemplo 2.O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltiplaescolha, consistente em 10 questões, cada uma com 4 alternativas. Suponhaque nenhum dos estudantes que vão fazer a prova vão as aulas e nãoestudaram. O professor estabeleceu que para ser aprovado o aluno deveacertar corretamente pelo menos 8 questões. Qual a probabilidade de umaluno ser aprovado?.6

Exemplo 3.O time Sport Clube do Recife tem 1/4 de probabilidade de perder sempre quejoga em Recife. Se o time jogar 5 partidas, calcule a probabilidade do timeperder exatamente 3 partidas. Calcule a probabilidade do time perder aomenos uma partida. Se o time jogar 60 partidas, em quantos partidas seespera que o time perca?7

Exemplo 4.O escore em um teste internacional de proficiência na língua inglesa varia de 0a 700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações,coletadas durante vários anos, permitem estabelecer o seguinte modelo para odesempenho no teste:Pontos [0, 200) [200, 300) [300, 400) [400, 500) [500, 600) [600, 700]p i 0,06 0,15 0,16 0,25 0,27 0,11Várias universidades americanas, exigem um escore mínimo de 600 pontos paraaceitar candidatos de países de língua não inglesa. De um grande grupo deestudantes que prestaram o último exame, escolhemos ao acaso 10 deles. Quala probabilidade de no máximo 2 atenderem ao requisito mencionado? Em umgrupo de 2200 candidatos espera-se que quantos sejam aprovados?8