Capítulo 12

NOTAS DE AULAS DEESTRUTURA DA MATÉRIAProf. Carlos R. A. LimaCAPÍTULO 12ESTATÍSTICA QUÂNTICAPrimeira Edição – junho de 2005

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Lista de Exercícios1- Considere um ensemble formado por dois sistemas ( M = 2 ) cada um contendo dois níveis deenergia ε1e ε 2. Os níveis de energia ε 1e ε 2são ocupados, cada um, por duas partículas( N1 = N2 = 2). Encontre o número de maneiras W de permutar as partículas nos estados seessas forem: (a) distinguíveis , (b) férmions ou (c) bósons. Explique essas contagens com aajuda de diagramas esquemáticos.2- Dê uma justificativa que permita afirmar que a distribuição de Maxwell-Boltzmann se situaentre as distribuições de Bose-Einstein e Fermi-Dirac.3- Sabe-se que, para a estatística de Maxwell-Boltzmann, a energia média por partícula éε =− ∂∞ln Z∂ β, onde − iZ = ∑ e βε é a função de partição. Use esse resultado e o fato quei=1212Z V⎛= 3 , ondeh β ⎞λth=λ⎜ 2πm⎟é o comprimento de onda de de Broglie térmico, para mostrarth⎝ ⎠que ε =3 2 kT B.4- Utilizando a estatística de Maxwell-Boltzmann, (N −βεini= ) e , e o fato que ε =− ln ZZ∂ ∂ β,mostre que a flutuação de energia por partícula Δ ε , pode ser escrita em termos da função departição Z , como2( ε 2 2 2) ε ε ∂Δ = − =β ln Z ∂2(Sugestão: Primeiramente mostre que22∂ ⎛ 1 ∂Z ⎞ 1 ∂ Z 1 ⎛ ∂Z⎜ ⎟= −⎞2 2 ⎜ ⎟β β β βidentidade).∂ ⎝Z ∂ ⎠ Z ∂ Z ⎝∂⎠ε1 1∂Z∞22 2= ∑ niεi= e, em seguida, adote a2N i=1 Z ∂β5- Considere um sistema de N partículas distinguíveis no qual cada partícula tem doispossíveis níveis de energia ε 1= 0 e ε 2= Δ . Um exemplo desse sistema é um sólido comvacâncias, ou lacunas, em posições intermediárias na rede cristalina, que podem ser ocupadaspor elétrons. (a) Encontre as funções distribuições n 1, n2e construa um gráfico da razão n 2n 1−como função do parâmetro τ e β Δ= , no intervalo 0≤τ ≤ 1 correspondente a variação dad εtemperatura de zero a infinito. (b) Encontre a energia média ε e o calor específico c = .dTConstrua gráficos ε Δ e ckBcomo função de τ ou de kTBΔ .56- Um reservatório é ocupado com gás de H 2a uma pressão de 1atm ( 1,013× 10 Pa ) àtemperatura ambiente ( T = 300K). (a) Assumindo o sistema como um gás ideal, encontre aconcentração NV de partículas. (b) Estime o espaçamento a entre partículas usando(V) 1 3a ∼ . (c) Calcule o comprimento de onda térmico λNthde de Broglie. Para que temperaturao gás deve ser resfriado para que os efeitos quânticos fiquem importantes? Estime essa102

temperatura por meio da comparação do comprimento de onda térmico de de Broglie com oespaçamento entre partículas. Repita os cálculos para elétrons de condução num metal onde oespaçamento médio entre partículas é a= 0,1nm.7- Nas equações do gás ideal usou-se grandezas não-relativísticas. Explique porque isso épermitido nesse caso, considerando-se o efeito da temperatura e a natureza das partículas.2 3 1 12 2 − 28- A equação p ( )e βε−βεε = β ε ∼ ε e dá a densidade de probabilidade de MaxwellπBoltzmann de encontrar a energia de uma partícula no intervalo de energia entre ε e ε + dε.Encontre a energia mais provável maximizando a função p ( ε ). Compare o resultado com3ε = kT.2 B9- Encontre a energia total E e a capacidade térmica C da radiação de corpo negro de umacavidade de volume V . Mostre que C tem a mesma dependência com a temperatura que umsistema de fônons a baixa temperatura. Estime esse valor para a temperatura ambiente (300K )3e a volume de 1cm .10- Cite algumas semelhanças e diferenças entre fótons e fônons.11- O hélio sólido pode ser fabricado somente pela pressurização do hélio líquido a umatemperatura muita baixa. Sua temperatura de Debye é da ordem de Θ= 30K comodeterminado por medidas de capacidade térmica. Se a separação entre partículas é(V) 1 3a∼ ∼ 0,3nmdetermine a velocidade do som cNsnesse material. Compare seu resultadocom a velocidade do som no ar (330 m/s), para observar uma anomalia associada ao héliosólido. É notório que a velocidade na maioria dos sólidos é maior do que a velocidade do somno ar.12- Dê o significa físico para a temperatura de Debye.13- A freqüência máxima da onda sonora nos sólidos é aproximadamente dada, porcs 2 2 2 cs csνm= ( n1 + n2 + n3)≈ onde a é o espaçamento médio entre partículas. Sabendo-se2L 2L aque a velocidade do som no cobre é da ordem de 5000 m/s e o espaçamento médio entreátomos é a≈0, 2nm, determine o valor de ν mnesse metal. Essa freqüência é audível peloouvido humano? Justifique.14- Calcule a temperatura de Fermi T Fassociada ao sistema de prótons e neutrons no interiorde um núcleo atômico. Nos cálculos, considere uma separação entre partículas da ordem de−15a∼10 m. Na sua opinião, temperaturas como essa poderiam ser alcançadas atualmente?Justifique.103

15- Uma anã branca é o nome que se dá ao estágio final de algumas estrelas. Devido a altatemperatura de Fermi T F, os elétrons no interior de uma anã branca são muito degenerados.Quando uma estrela queima, todo o seu combustível de hidrogênio é transformadoprincipalmente em plasmas de núcleo de Hélio ( Partículas α ) e elétrons. As forçasgravitacionais entre os núcleos de Hélio causa o colapso da estrela até que ocorra um equilíbrio2com a pressão de Pauli P dos elétrons, dada por P= ρεF ( 0). A pressão gravitacional P G52 Epara dentro da estrela pode ser calculada usando-se uma equação análoga a P = discutida3 Vno texto, isto éPG2EGGM 1∼ ∼V R R311 2 2onde EGé a energia potencial gravitacional, G = 6,673× 10 − N. m / Kg é a constantegravitacional, R é o raio da estrela e M ∼ NMHeé a massa da estrela constituída de N átomos2222 3de Hélio, cada um de massa MHe. Como P= ρεF ( 0)e εF ( 0) = ( 3π ρ), então a52m epressão de Pauli P para fora da estrela , éPP∼N R m22 3⎛ N ⎞⎜ ⎟R ⎠3 3e ⎝onde meé a massa do elétron e o número de elétrons é 2N , o dobro do número de núcleos deHélio.(a) Igualando-se P e PG, encontre uma expressão para o raio R de uma estrela no seu estágio30de anã branca. Use a massa solar M = MS= 1,99× 10 Kg , para mostrar que o sol deve ter umraio da ordem de R ∼ 700Kgno seu estágio de anã branca.O resultado do item (a) mostra que a anã branca é um objeto muito compacto. Entretanto, issonão deve estar totalmente correto, uma vez que, efeitos relativísticos não foram consideradosno cálculo do raio R .(b) Mostre que efeitos relativísticos deveriam ser levados em conta no cálculo de R ,encontrando-se o que se chama de velocidade de Fermi vF, por1ε =22( 0) mvF e FEnquanto a idéia básica dos cálculos efetuados acima permanecem válidos, o tratamentorelativísticos deve produzir resultados interessantes tal como: Para massas de estrelas maiordo que 1, 4M S, a pressão de Pauli não consegue equilibrar o colapso gravitacional, ocorrendouma supernova, formando uma estrela de neutron ou um buraco negro. Essa massa críticaé conhecida como o limite Chandrasekhar, descoberta por S. Chandrasekhar em 1934.104