Enunciado da ficha nº 3

Ficha n o 3: Exercícios variados de cálculo diferencial e integralde funções de várias variáveis 1⎧y⎨2x , x ≠ 0,1. Considere a função f(x, y) =.⎩y, x = 0.(a) Estude a existência de derivadas parciais de f na origem.(b) Justifique que f não tem limite na origem.2. Seja f : R 2 → R tal que grad f(x, y) = (2x + y, x − 2y) e f(1, 0) = 3.(a) Justifique que existe plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, 0, 3) e determineuma equação desse plano.(b) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto (1, 0).(c) Calcule a derivada de h(x, y) = grad f(x, y).(d) Mostre que a origem é um ponto de sela de f.⎧2x ⎪⎨3 y+xy 3, (x, y) ≠ (0, 0),x 2 +y 23. Considere a função f(x, y) =.⎪⎩0, (x, y) = (0, 0).(a) Mostre que f é diferenciável em (0, 0).(b) Calcule f⃗u ′ (0, 0) para todo o ⃗u, ‖⃗u‖ = 1.(c) Mostre (sem utilizar o critério da hessiana) que (0, 0) é um ponto sela de f.(d) Determine, justificando, o vector ⃗u, segundo o qual f⃗u ′ (1, 0) é mínima.⎧x⎨ y−1 , y ≠ 1,4. Considere a função f(x, y) =.⎩0, y = 1.(a) Averigue a existência de limites direccionais de f no ponto (0, 1). O que pode concluirsobre a existência de limite nesse ponto?(b) Justifique que f não é diferenciável em (0, 1).(c) Calcule f ′ x(0, 1) e f ′ y(0, 1).(d) Justifique a existência de plano tangente ao gráfico de f no ponto (2, 3, 1) e determineuma equação deste plano.⎧2xy⎨ , (x, y) ≠ (0, 0),x 2 +y 25. Considere a função f(x, y) =.⎩0, (x, y) = (0, 0).(a) Calcule os limites direccionais de f no ponto (0, 0).(b) Estude a diferenciabilidade de f em (0, 0).(c) Justifique a existência de plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, 1, 1) e determineuma equação deste plano.1 A grande maioria destes exercícios foram retirados de exames da disciplina de Análise Matemática II.1

⎧⎪⎨6. Considere a função f(x, y) =⎪⎩x 5 +y 3x 2 +y 2 , (x, y) ≠ (0, 0),0, (x, y) = (0, 0)..(a) Calcule f ′ x(0, 0) e f ′ y(0, 0).(b) Prove que f é contínua em (0, 0).(c) Justifique que não é diferenciável em (0, 0).7. Considere a função, f : D f ⊂ R 2 → R, definida por f(x, y) =(a) Determine D f e represente-o geometricamente.1√ xy + 1.(b) Mostre que a curva parametrizada por c(t) = (t, 1 t), t ≠ 0, está contida nalgumacurva de nível de f.(c) Indique um vector ⃗u, ‖⃗u‖ = 1, tal que f⃗u ′ (1, 1) = 0.(8. Considere a função f(x, y) = log(4 − x 2 − y 2 3x),).3x 2 +y 2(a) Determine D f e represente-o geometricamente.(b) Calcule, justificando a existência, lim (x,y)→(0,0) f(x, y).(c) Calcule, justificando a existência, f ′ (0, 1).9. Sejam f : R −→ R, f ∈ C 1 (R) e g(x, y) = f(x 2 y). Sabendo que f ′ (2) = −1 determineg ′ y(1, 2).10. Seja f : R 2 −→ R, f ∈ C 1 (R 2 ) tal que f ′ (1, e) = [1 −1] e seja g(x) = f(x 3 , e x ). Determineg ′ (1).11. Seja f : R 2 → R uma função diferenciável tal que f(u, 0) = 0 e f(0, v) = v para qualqueru, v ∈ R. Seja g(x, y) = (x 2 − x − y, y 2 − x − y).(a) Mostre que h = f ◦ g é diferenciável em R 2 .(b) Calcule h ′ (2, 2).12. Considere a função f(x, y) = xy(x+y −1). Determine os pontos críticos de f e classifiqueos.13. Considere a função f(x, y) = x 4 + y 4 − (x − y) 2 . Determine os pontos críticos de f eclassifique-os.14. Calcule o volume da região V = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z24 ≤ 1}.15. Calcule o volume da região V = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 11, z ≤ 5 − (x 2 + y 2 ), z ≥ 0}.16. Calcule, usando um integral duplo, a àrea deD = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4, xy ≥ 1, xy ≤ 4}.17. Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies de equação (x − 1) 2 + y 2 = z e2x + z = 2.18. Considere as superfícies esféricas S 1 , de centro na origem e raio 2, e S 2 de centro em(0, 0, 2) e raio 2.(a) Indique uma parametrização da curva de intersecção S 1 ∩ S 2 .(b) Calcule o volume da região limitada superiormente por S 1 e inferiormente por S 2 .2