UMA INTRODUÇÃO ÀTEORIA ECONÔMICA DOS JOGOS

UMA INTRODUÇÃO ÀTEORIA
ECONÔMICA DOS JOGOS
Humberto José Bortolossi
Universidade Federal Fluminense
Gilmar Garbugio
Universidade Federal Fluminense
Brígida Sartini
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
VERSÃO 1.1.2
2 de fevereiro de 2017
Por favor, envie suas sugestões, correções e críticas para
hjbortol@vm.uff.br, gilmarg@id.uff.br e brigida.sartini@gmail.com.

À minha esposa Joselí eà minha filha Hillary Winry.
H. J. B.
À minha mãe Rita e aos meus irmãos Humberto e Reginaldo.
B. A. S.
Aos meus pais Orlando e Iraci e aos meus irmãos Roseli, Rosinei,
Rosana, Carla, Andréia e Reginaldo.
G. G.

Sumário
Prefácio 3
1 Alguns marcos históricos 5
2 Jogos na forma estratégica 10
2.1 O que é um jogo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Soluções de um jogo em estratégias puras . . . . . . . 13
2.2.1 Dominância em estratégiaspuras........ 14
2.2.2 Equilíbrio de Nash em estratégias puras . . . . 20
2.2.3 Relações entre dominância e equilíbrio de Nash 24
2.3 Estratégias mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Soluções de um jogo em estratégias mistas . . . . . . . 31
2.4.1 Dominância em estratégias mistas . . . . . . . 32
2.4.2 Equilíbrio de Nash em estratégias mistas . . . . 35
2.4.3 Relações entre dominância e equilíbrio de Nash 45
2.4.4 Como interpretar estratégias mistas? . . . . . . 45
2.5 Jogos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 O teorema de equilíbrio de Nash 60
3.1 Usando o teorema de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Usando o teorema de Kakutani . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Algumas propriedades dos equilíbrios de Nash . . . . . 69
3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1

2 Sumário
4 Calculando equilíbrios de Nash 71
4.1 Equilíbrio de Nash via um problema de otimização . . 71
4.2 Equilíbrio de Nash via equações polinomiais . . . . . . 74
4.3 Jogos de soma zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1 Jogos de soma constante com dois jogadores . . 82
4.3.2 Equilíbrio de Nash em estratégias puras . . . . 86
4.3.3 Equilíbrio de Nash em estratégias mistas . . . . 91
4.3.4 O teorema minimax de von Neumann . . . . . 93
4.4 Equilíbrio de Nash via um problema de complementaridade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.1 Jogos bimatriciais . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.2 O algoritmo de Lemke-Howson . . . . . . . . . 104
4.5 Gambit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5 Jogos na forma extensa 108
5.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Equilíbrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Indução retroativa e equilíbrio perfeito em subjogos . . 114
5.4 O teorema de Kuhn-Zermelo . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6 Exemplos 120
6.1 O jogo Le Her simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2 O modelo de duopólio de Cournot . . . . . . . . . . . 126
6.3 O modelo de duopólio de Bertrand . . . . . . . . . . . 129
6.4 O modelo de duopólio de Stackelberg . . . . . . . . . . 131
6.5 A tragédia dos comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A Convexidade 137
B Programação Linear 145
C Respostas dos exercícios 155
Bibliografia 173
Índice 183

Prefácio
A teoria dos jogos é uma teoria matemática criada para se modelar
fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais “agentes de
decisão” interagem entre si. Ela fornece a linguagem para a descrição
de processos de decisão conscientes e objetivos envolvendo mais de
um indivíduo.
Suas aplicações incluem eleições, leilões, balanço de poder, evolução
genética, etc. Ela também é uma teoria matemática pura, que
pode e tem sido estudada como tal, sem a necessidade de relacioná-la
com problemas comportamentais ou jogos per se.
Algumas pessoas acreditam que a teoria dos jogos formará, algum
dia, o alicerce de um conhecimento técnico estrito de como decisões
são feitas e de como a economia funciona. A teoria ainda não atingiu
este patamar e, hoje, é mais estudada em seus aspectos matemáticos
puros e, em aplicações, ela é usada como uma ferramenta ou alegoria
que auxiliam no entendimento de sistemas mais complicados.
Neste texto trataremos da teoria matemática dos jogos não-cooperativos
estáticos de informação completa e dos jogos dinâmicos de
informação perfeita.
A Teoria Econômica dos Jogos não deve ser confundida com a
Teoria Combinatória dos Jogos, iniciada por Sprague e Grundy na
década de 30. Enquanto que a primeira tem motivações predominante
econômicas e procura estabelecer métodos para se maximizar
o ganho (payoff ), a segunda se concentra nos aspectos combinatórios
de jogos de mesa (por exemplo, a estratégia do jogo de nim) enão
permite “elementos imprevisíveis” como o lançamento de um dado
ou o embaralhamento de cartas.
Acreditamos que o assunto seja estimulante para o estudante de
matemática: ele terá a oportunidade de ver como conceitos de análise,
3

4 Prefácio
topologia, otimização e probabilidade se integram em uma teoria aplicada.
Agradecimentos 1
Gostaríamos de agradecer a Hilmar Ilton Santana Ferreira, Polyane
Alves Santos e Larissa Santana Barreto, que participaram ativamente
dos seminários sobre teoria dos jogos realizados no período
2003-2004, momento no qual uma versão preliminar deste texto foi
escrita. Também gostaríamos de agradecer a Rita de Cássia Silva
Costa, Bernardo K. Pagnoncelli e, em especial, a Carlos Tomei, que
leram o texto e fizeram várias sugestões. Finalmente, gostaríamos de
agradecer a Seção de Referência (SRE) da Divisão de Bibliotecas e
Documentação da PUC-Rio pela agilidade e eficiência na aquisição
de alguns artigos difíceis de se encontrar.
Agradecimentos 2
Gostaríamos de agradecer às várias pessoas que, após a divulgação
da versão Creative Commons deste livro, colaboraram com sugestões:
Doherty Andrade, Carlos Frederico Palmeira.
Humberto José Bortolossi
Brígida Alexandre Sartini
Gilmar Garbugio
1 de fevereiro de 2017

Capítulo 1
Alguns marcos
históricos
Neste capítulo apresentaremos alguns marcos históricos da teoria
dos jogos relacionados principalmente com os tópicos que iremos explorar
no texto. Para uma cronologia mais completa, recomendamos
as referências [46, 50, 65, 86, 95, 96].
O conceito de solução de um jogo por estratégia mista 1 surgiu pela
primeira vez no estudo do jogo Le Her, realizado por James Waldegrave
e descrito por ele em uma carta a Pierre Rémond de Montmort,
em 13 de novembro de 1713. Em seu estudo, ele procurou encontrar
uma estratégia que maximizasse a probabilidade de vitória do jogador,
independentemente da escolha de estratégia de seu oponente.
Este jogo foi discutido por Montmort e por Nicholas Bernoulli em
1713 e os resultados foram publicados nesse ano por Montmort, que
incluiu a solução de Waldegrave em um apêndice.
Em 1838, Augustin Cournot publicou sua obra Recherches sur
les Principes Mathematiques de la Theorie des Richesses, na qual
analisou um caso especial de duopólio. As empresas decidiam as
quantidades a produzir e Cournot definiu o conceito de equilíbrio de
1 Uma estratégia pura é uma das escolhas que o jogador pode fazer. Uma
estratégia mista é uma distribuição de probabilidades sobre o conjunto de estratégias
puras. Definições formais serão apresentadas no próximo capítulo.
5

6 [CAP. 1: ALGUNS MARCOS HISTÓRICOS
Figura 1.1: Antoine Augustin Cournot (1801–1877).
mercado como sendo a situação em que ambas as empresas reagem
de forma ótima à decisão da empresa concorrente. Este conceito
de solução éumaversão do equilíbriodeNashaplicadoaocasodo
duopólio.
No início do século XX, apareceram vários artigos sobre teoria dos
jogos. Ernst Zermelo, em 1913, publicou um teorema sobre o jogo
de xadrez no artigo Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die
Theorie des Schachspiels, afirmando que, em cada etapa do jogo, pelo
menos um dos jogadores possui uma estratégia que o levará avitória
ou ao empate. Contudo, Zermelo não demonstrou o teorema em seu
artigo. A primeira demonstração foi dada por Laszlo Kalmar. Aparentemente,
foi Zermelo quem primeiro destacou o uso da semântica
de otimalidade em teoria dos jogos: “Whether one could calculate
with mathematical objectivity, or even give a participant some idea
of, the value of a possible position in the game, as well as of the best
move in this position: information without which the player would
have to eliminate both subjective and psychological guesses and the
opinions of ‘the perfect player’, etc.?” ([95]).
No período de 1921 a 1927, Émile Borel publicou uma série de
notas sobre jogos simétricos de soma zero com dois jogadores com
um número finito n de estratégias puras para cada jogador. Borel
foi o primeiro a tentar formular matematicamente este jogo. Ele introduziu
o conceito de “método de jogada” (o que hoje corresponde
àestratégia pura) e procurou por uma solução em estratégias mistas
(o que hoje é conhecido como solução minimax). Em 1921, ele
provou a existência de tal solução para n = 3 ([07]) e, em 1924,

7
Figura 1.2: Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871–1953).
para n = 5 ([08]). Borel acreditava que o resultado de existência
não seria válido para um n qualquer, mas como não encontrou um
contra-exemplo, deixou o problema em aberto.
Figura 1.3: Félix Edouard Justin Émile Borel (1871-1956).
No artigo Zur Theorie der Gesellschaftsspiele de 1928, usando
topologia e cálculo funcional ([50]), John von Neumann demonstrou
aexistência de solução em estratégias mistas de um jogo finito de
soma zero com dois jogadores e um número arbitrário de estratégias
puras. Este artigo também introduziu a forma extensa de um jogo.
Até adécada de 40, os artigos publicados sobre teoria dos jogos
não tinham despertado muito o interesse dos cientistas sociais e de
outras áreas que pesquisavam sobre conflitos de interesses. Talvez
isto se deva ao fato de que os artigos eram escritos por matemáticos
e publicados em revistas matemáticas. Este panorama foi alterado
com a publicação em 1944 do livro Theory of Games and Economic

8 [CAP. 1: ALGUNS MARCOS HISTÓRICOS
Behavior, escrito por John von Neumann e pelo economista Oskar
Morgenstern, um marco na teoria dos jogos.
Oskar Morgenstern John von Neumann
(1902-1977) (1903-1957)
Figura 1.4: Oskar Morgenstern e John von Neumann.
Eles detalharam a formulação de problemas econômicos e mostraram
várias possibilidades de aplicação da teoria dos jogos em economia,
procurando apresentar as motivações, os raciocínios e as conclusões
da teoria de forma acessível, atraindo assim a atenção de pesquisa-

9
dores de diversas áreas. Na reedição de 1947, tomada como padrão,
os autores estabeleceram os axiomas da teoria da utilidade. O livro
foi republicado em 1953 e sua mais recente edição é de 1980.
Na Universidade de Princeton, John Forbes Nash Jr. escreveu sua
tese de doutorado em 1949, sob o título Non-Cooperative Games. Ele
definiu o conceito de ponto de equilíbrio, atualmente conhecido como
equilíbrio de Nash de um jogo e provou sua existência para jogos nãocooperativos.
Os resultados mais importantes de sua tese estão no
artigo Equilibrium Points in N-Person Games de 1950 ([66]) e, mais
detalhadamente, no artigo Non-Cooperative Games de 1951 ([69]).
Ainda em 1950, Nash escreveu sobre o problema da barganha em
The Bargaining Problem ([68]) e, no ano de 1953, sobre jogos cooperativos
em Two Person Cooperative Games ([70]). Nestes, Nash
definiu o conceito de solução da barganha de Nash em um jogo cooperativo
com dois jogadores, estabeleceu um sistema de axiomas que
esta solução deveria satisfazer e provou a existência e unicidade desta
solução.
Em 1994, John Harsanyi, John Nash e Reinhard Selten receberam
oPrêmio Nobel de Economia em reconhecimento ao trabalho pioneiro
sobre análise de equilíbrio na teoria de jogos não-cooperativos.
(a) (b) (c)
Figura 1.5: Ganhadores do prêmio Nobel de Economia em 1994:
(a) John Harsanyi (1920-2000), (b) John Forbes Nash Jr.
(1928-2015) e (c) Reinhard Selten (1930-2016).

Capítulo 2
Jogos na forma
estratégica
2.1 O que é um jogo?
A teoria dos jogos pode ser definida como a teoria dos modelos
matemáticos que estuda a escolha de decisões ótimas sob condições
de conflito. O elemento básico em um jogo é o conjunto de jogadores
que dele participam. Cada jogador tem um conjunto de estratégias.
Quando cada jogador escolhe sua estratégia, temos então uma situação
ou perfil no espaço de todas as situações (perfis) possíveis.
Cada jogador tem interesse ou preferências para cada situação no
jogo. Em termos matemáticos, cada jogador tem uma função utilidade
que atribui um número real (o ganho ou payoff do jogador)
a cada situação do jogo. Mais especificamente, um jogo tem os seguintes
elementos básicos: existe um conjunto finito de jogadores,
representado por
G = {g 1 ,g 2 ,...,g n },
e cada jogador g i ∈ G possui um conjunto finito
S i = {s i1 ,s i2 ,...,s imi }
10

[SEC. 2.1: O QUE É UM JOGO? 11
de opções, denominadas estratégias puras do jogador g i (m i ≥ 2).
Um vetor
s =(s 1j1 ,s 2j2 ,...,s njn ),
onde s iji éumaestratégia pura para o jogador g i ∈ G, édenominado
um perfil de estratégias puras. O conjunto de todos os perfis de
estratégias puras formam, portanto, o produto cartesiano
S =
n∏
S i = S 1 × S 2 ×···×S n ,
i=1
Para cada joga-
denominado espaço de estratégias puras do jogo.
dor g i ∈ G, existeumafunção utilidade
u i : S → R
s ↦→ u i (s)
que associa o ganho (payoff) u i (s) do jogador g i a cada perfil de
estratégias puras s ∈ S. Esta função utilidade éumaformaderepresentar
a preferência do jogador g i com relação aos vários perfis de
estratégias do jogo ([13]).
Jogos descritos nesta forma são denominados jogos estratégicos ou
jogos na forma normal. Neles, cada jogador deve fazer a sua escolha
de estratégia sem o conhecimento das escolhas dos demais jogadores.
Admite-se, contudo, que cada jogador conhece toda a estrutura do
jogo. Por este motivo, jogos deste tipo também são denominados
jogos não-cooperativos de informação completa.
Assume-se também que os jogadores sejam racionais, istoé, eles
sempre escolherão ações que maximizem a sua função utilidade. Além
de ser racional, cada jogador (1) sabe que seus adversários também
são racionais, (2) sabe que eles sabem que o jogador sabe que eles são
racionais, ad infinitum.
Exemplo 2.1 (O dilema do prisioneiro) Possivelmente o exemplo
mais conhecido na teoria dos jogos éodilema do prisioneiro. Ele
foi formulado por Albert W. Tucker em 1950, em um seminário para
psicólogos na Universidade de Stanford, para ilustrar a dificuldade de
se analisar certos tipos de jogos.
A situação é a seguinte: dois ladrões, Al e Bob, são capturados
e acusados de um mesmo crime. Presos em selas separadas e sem

12 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
poderem se comunicar entre si, o delegado de plantão faz a seguinte
proposta: cada um pode escolher entre confessar ou negar o crime.
Se nenhum deles confessar, ambos serão submetidos a uma pena de
1ano. Seosdoisconfessarem,então ambos terão pena de 5 anos. Mas
se um confessar e o outro negar, então o que confessou será libertado
eooutroserá condenado a 10 anos de prisão. Neste contexto, temos
G = {Al, Bob},
S Al = {confessar, negar}, S Bob = {confessar, negar},
S = S Al × S Bob =
{(confessar, confessar), (confessar, negar),
(negar, confessar), (negar, negar)}.
As duas funções utilidade
u Al : S → R e u Bob : S → R
são dadas por
u Al (confessar, confessar) = −5, u Al (confessar, negar) = 0,
u Al (negar, confessar) = −10, u Al (negar, negar) = −1,
(que representam os ganhos de Al) e
u Bob (confessar, confessar) = −5, u Bob (confessar, negar) = −10,
u Bob (negar, confessar) = 0, u Bob (negar, negar) = −1
(que representam os ganhos de Bob). Éumaprática representar os
payoffs dos jogadores através de uma matriz, denominada matriz de
payoffs.
Bob
confessar
negar
confessar (−5, −5) (0, −10)
Al
negar (−10, 0) (−1, −1)
Nesta matriz, os números de cada célula representam, respectivamente,
os payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes
a célula.

[SEC. 2.2: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS PURAS 13
Exemplo 2.2 (A batalha dos sexos) Um homem e a sua mulher
desejam sair para passear. O homem prefere assistir a um jogo de
futebol enquanto que sua mulher prefere ir ao cinema. Se eles forem
juntos para o futebol, então o homem tem satisfação maior do que a
mulher. Por outro lado, se eles forem juntos ao cinema, entãoamulher
tem satisfação maior do que o homem. Finalmente, se eles saírem
sozinhos, então ambos ficam igualmente insatisfeitos. Esta situação
também pode ser modelada como um jogo estratégico. Temos:
G = {homem, mulher},
S homem = {futebol, cinema}, S mulher = {futebol, cinema},
S = S homem × S mulher =
{(futebol, futebol), (futebol, cinema),
(cinema, futebol), (cinema, cinema)}.
As duas funções utilidade u homem : S → R e u mulher : S → R são
descritas pela seguinte matriz de payoffs:
futebol
Mulher
cinema
Homem
futebol (10, 5) (0, 0)
cinema (0, 0) (5, 10)
.
2.2 Soluções de um jogo em estratégias
puras
Uma solução de um jogo é uma prescrição ou previsão sobre o resultado
do jogo. Existem vários conceitos diferentes de solução. Nesta
seção, investigaremos os dois conceitos mais comuns: dominância e
equilíbrio de Nash.
Considere o dilema do prisioneiro. Como encontrar uma solução
para o dilema de Al e Bob, isto é, que estratégias são plausíveis

14 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
se os dois prisioneiros querem minimizar 1 o tempo de cadeia? Se
analisarmos o jogo do ponto de vista de Al, ele pode raciocinar da
seguinte maneira:
“Duas coisas podem acontecer: Bob pode confessar ou
Bob pode negar. Se Bob confessar, então émelhorpara
mim confessar também. Se Bob não confessar, então eu
fico livre se eu confessar. Em qualquer um dos casos, é
melhor para mim confessar. Então, eu confessarei.”
Se analisarmos agora o jogo do ponto de vista de Bob, podemos
aplicar a mesma linha de raciocínio e concluir que Bob também irá
confessar. Assim, ambos confessarão e ficarão presos por 5 anos.
Em termos da teoria dos jogos, dizemos que (1) os dois jogadores
possuem uma estratégia dominante, istoé, todas menos uma
estratégia é estritamente dominada, (2) que o jogo éresolúvel por dominância
estrita iterada e (3) que o jogo termina em uma solução que
éumequilíbrio de estratégia dominante, conceitos que definiremos a
seguir.
2.2.1 Dominância em estratégias puras
Freqüentemente, iremos discutir perfis de estratégia na qual apenas
a estratégia de um único jogador g i ∈ G irá variar, enquanto que
as estratégias de seus oponentes permanecerão fixas. Denote por
s −i =(s 1j1 ,...,s (i−1)ji−1 ,s (i+1)ji+1 ,...,s njn ) ∈
S −i = S 1 ×···×S i−1 × S i+1 ×···×S n
uma escolha de estratégia para todos os jogadores, menos o jogador g i .
Desta maneira, um perfil de estratégias pode ser convenientemente
denotado por
s =(s iji , s −i )=(s 1j1 ,...,s (i−1)ji−1 ,s iji ,s (i+1)ji+1 ,...,s njn ).
1 No Exemplo 2.1, os payoffs foram definidos como números ≤ 0. Desta maneira,
minimizar o tempo de cadeia é equivalente a maximizar o payoff.

[SEC. 2.2: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS PURAS 15
Definição 2.1 (Estratégia Pura Estritamente Dominada)
Dizemos que uma estratégia pura s ik ∈ S i do jogador
g i ∈ G é estritamente dominada pela estratégia s ik ′ ∈ S i se,
independentemente das escolhas dos demais jogadores, o jogador
g i ganhar mais escolhendo s ik ′ do que s ik ,istoé, se
para todo s −i ∈ S −i .
u i (s ik ′, s −i ) >u i (s ik , s −i ),
Definição 2.2 (em estratégias puras)
(a) (Dominância Estrita Iterada) Dominância estrita iterada
é o processo no qual, seqüencialmente, se eliminam as
estratégias que são estritamente dominadas.
(b) (Equilíbrio de Estratégia Estritamente Dominante)
Quando o processo de dominância estrita iterada reduz
o jogo para um único perfil de estratégias puras s ∗ , dizemos
que s ∗ éumequilíbrio de estratégia estritamente dominante.
Exemplo 2.3 Considere o jogo determinado pela matriz de payoffs
abaixo.
g 2
s 21 s 22 s 23 s 24
g 1
s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

16 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
Neste jogo, para o jogador g 2 ,aestratégia s 21 éestritamentedominada
pela estratégia s 24 e, assim, a primeira coluna da matriz pode
ser eliminada.
g 2
s 22 s 23 s 24
g 1
s 12 (3, 2) (2, 1) (1, 1)
s 11 (2, 6) (1, 4) (0, 4)
s 13 (2, 2) (1, 1) (5, 1)
s 14 (1, 3) (0, 2) (4, 8)
Agora, nesta matriz reduzida, para o jogador g 1 ,asestratégias s 11
e s 14 são estritamente dominadas pelas estratégias s 12 e s 13 , respectivamente.
Portanto, as linhas 1 e 4 podem ser eliminadas. Além
disso, a estratégia s 23 do jogador g 2 é estritamente dominada pela estratégia
s 22 . Assim, a coluna 2 também pode ser eliminada. Obtemos
então uma matriz reduzida 2 × 2.
g 2
s 22 s 24
g 1
s 12 (3, 2) (1, 1)
s 13 (2, 2) (5, 1)
Finalmente, a estratégia s 24 do jogador g 2 é estritamente dominada
pela estratégia s 22 e, na matriz 2 × 1 resultante, a estratégia s 13 do
jogador g 1 éestritamentedominadapelaestratégia s 12 . Vemos então
que (s 12 ,s 22 )éoequilíbrio de estratégias estritamente dominantes do
jogo: o jogador g 1 escolhe a estratégia s 12 (ganhando 3) e o jogador g 2
escolhe a estratégia s 22 (ganhando 2).
Note que, em cada passo do processo de eliminação das estratégias
estritamente dominadas, o jogo é substituído por um outro jogo

[SEC. 2.2: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS PURAS 17
mais simples, no sentido de que o conjunto de estratégias puras
de um jogador (aquele que tem uma estratégia estritamente dominada)
é substituído por um subconjunto com menos elementos (obtido
removendo-se justamente as estratégias que são estritamente dominadas).
No exemplo acima, os conjuntos de estratégias puras iniciais
dos dois jogadores são dados, respectivamente, por
S 1 = {s 11 ,s 12 ,s 13 ,s 14 } e S 2 = {s 21 ,s 22 ,s 23 ,s 24 }.
Como a estratégia pura s 21 é estritamente dominada por s 24 ,oconjunto
S 2 é substituído por {s 22 ,s 23 ,s 24 } = S 2 −{s 21 }. O conjunto S 1
permanece o mesmo. Sendo assim, podemos substituir o jogo original
por um mais simples, onde os conjuntos de estratégias puras dos dois
jogadores são dados por
S (1)
1 = {s 11 ,s 12 ,s 13 ,s 14 } e S (1)
2 = {s 22 ,s 23 ,s 24 }.
As funções utilidade do novo jogo são as restrições das funções utilidade
do jogo original aos novos conjuntos de estratégias puras:
u 1 | S
(1)
1
e u 2 | S
(1)
2
.
Para o novo jogo, vemos que as estratégias s 11 e s 14 são estritamente
dominadas pelas estratégias s 12 e s 13 , respectivamente. Logo, podemos
simplificar o jogo mais uma vez, considerando os conjuntos de
estratégias puras
S (2)
1 = {s 12 ,s 13 } e S (2)
2 = {s 22 ,s 23 ,s 24 }.
Seguindo com as outras eliminações, terminamos com um jogo muito
simples, onde cada conjunto de estratégias puras é unitário:
S (5)
1 = {s 12 } e S (5)
2 = {s 22 }.
Este processo de eliminação gerou, portanto, uma cadeia de espaços
de estratégias puras:
S = S 1 × S 2 S (1) = S (1)
1 × S (1)
2 S (2) = S (2)
1 × S (2)
2 ···
S (5) = S (5)
1 × S (5)
2 = {(s 12 ,s 22 )}.

18 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
Neste exemplo, a técnica de dominância estrita iterada forneceu um
único perfil de estratégias como solução do jogo, no caso, o perfil
(s 12 ,s 22 ) ∈ S (5)
1 × S (5)
2 .
Contudo, pode acontecer da técnica fornecer vários perfis ou, até
mesmo, fornecer todo o espaço de estratégias, como é o caso da batalha
dos sexos, onde não existem estratégias estritamente dominadas.
Um outro conceito importante éodeestratégia pura fracamente
dominada.
Definição 2.3 (Estratégia Pura Fracamente Dominada)
Dizemos que uma estratégia pura s ik ∈ S i do jogador
g i ∈ G é fracamente dominada pela estratégia s ik ′ ∈ S i
se
u i (s ik ′, s −i ) ≥ u i (s ik , s −i ),
para todo s −i ∈ S −i e, pelo menos para algum s • −i ∈ S −i,
u i (s ik ′, s • −i) >u i (s ik , s • −i).
Em outras palavras, s ik ∈ S i é fracamente dominada por
s ik ′ ∈ S i se, independentemente das escolhas dos demais jogadores,
o jogador g i nada perde se trocar a estratégia s ik ∈ S i
pela estratégia s ik ′ ∈ S i e, pelo menos para uma escolha dos
demais jogadores, esta troca dá ao jogador g i um ganho maior.
Definição 2.4
(a) (Dominância Fraca Iterada) Dominância fraca iterada
é o processo no qual, seqüencialmente, se eliminam as estratégias
que são fracamente dominadas.
(b) (Equilíbrio de Estratégia Fracamente Dominante)
Quando o processo de dominância fraca iterada reduz o jogo
para um único perfil de estratégias puras s ∗ , dizemos que
s ∗ éumequilíbrio de estratégia fracamente dominante.

[SEC. 2.2: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS PURAS 19
Exemplo 2.4 Considere o jogo cuja matriz de payoffs é dada por:
g 2
s 21 s 22
g 1
s 11 (1, 1) (1, 0)
s 12 (1, 0) (0, 1)
.
Aestratégia s 12 do jogador g 1 éfracamentedominadapelaestratégia
s 11 . Eliminando-a, obtemos a matriz reduzida:
g 2
s 21 s 22
g 1 s 11 (1, 1) (1, 0)
.
Vemos agora que a estratégia s 22 do jogador 2 éestritamentedominada
pela estratégia s 21 . Sendo assim, (s 11 ,s 21 )éoequilíbrio de
estratégias fracamente dominadas do jogo.
Uma pergunta natural é se o processo de eliminação das estratégias
dominadas depende ou não da ordem em que são realizadas. Para
ocasodeestratégias estritamente dominadas, pode-se mostrar que
esta ordem é irrelevante, isto é, independentemente da ordem em
que as estratégias (estritamente dominadas) são eliminadas, obtém-se
sempre a mesma matriz reduzida no final do processo. Por outro lado,
o processo de eliminação das estratégias fracamente dominadas pode
conduzir a resultados diferentes, dependendo da ordem de eliminação.
Considere, por exemplo, o jogo (conforme [32]):
g 2
s 21 s 22 s 23
g 1
s 11 (0, 2) (0, 0) (1, 0)
s 12 (0, 3) (1, 0) (0, 0)
.

20 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
Eliminando-se, em sequência, as estratégias s 23 (que éestritamente
dominada por s 21 ), s 11 (que é fracamente dominada por s 12 )es 22
(que é estritamente dominada por s 21 ), obtemos (s 12 ,s 21 )comoresposta.
Agora, eliminando-se, em sequência, as estratégias s 22 (que
é estritamente dominada por s 21 ), s 12 (que é fracamente dominada
por s 11 )es 23 (que é estritamente dominada por s 21 ), obtemos outra
resposta: (s 11 ,s 21 ). Para detalhes sobre este assunto, recomendamos
as referências [01, 15, 26, 32, 47, 55].
Com relação à complexidade computacional, os resultados mostram
que os problemas relacionados com estratégias estritamente dominadas
tendem a ser mais fáceis (no sentido que eles podem ser
resolvidos em tempo polinomial), enquanto que questões envolvendo
estratégias fracamente dominadas são mais difíceis (no sentido que
eles são NP-completos). Por exemplo, saber se uma dada submatriz
de uma matriz de payoffs pode ser obtida através do processo de
eliminação de estratégias dominadas é um problema polinomial para
ocasodeestratégias estritamente dominadas e éumproblemaNP-
Completoparaocasodeestratégias fracamente dominadas. Detalhes
sobre o assunto podem ser encontrados nas referências [18, 33].
2.2.2 Equilíbrio de Nash em estratégias puras
Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um jogo éum
perfil de estratégias onde cada jogador não tem incentivo de mudar
sua estratégia se os demais jogadores não o fizerem.
Definição 2.5 (Equilíbrio de Nash) Dizemos que um perfil
de estratégias
s ∗ =(s ∗ 1,...,s ∗ (i−1) ,s∗ i ,s ∗ (i+1) ,...,s∗ n) ∈ S
éumequilíbrio de Nash se
u i (s ∗ i , s ∗ −i) ≥ u i (s iji , s ∗ −i)
para todo i =1,...,neparatodoj i =1,...,m i ,comm i ≥ 2.

[SEC. 2.2: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS PURAS 21
Exemplo 2.5
(a) No dilema do prisioneiro (Exemplo 2.1), o perfil de estratégias
(confessar, confessar) é um equilíbrio de Nash. De fato:
e
u Al (confessar, confessar) = −5 > −10 = u Al (negar, confessar)
u Bob (confessar, confessar) = −5 > −10 = u Bob (confessar, negar).
Estas desigualdades mostram que, para o perfil de estratégias
(confessar, confessar), um prisioneiro não se sente motivado a
mudar a sua estratégia se o outro nãoofizer(elenão vai ficar
menos tempo na cadeia fazendo isto).
Já o perfil (negar, confessar) não é um equilíbrio de Nash do
jogo pois, neste caso, dado que Bob decide confessar, Al fica
menos tempo na cadeia se mudar a sua estratégia de negar para
confessar. Em outras palavras, para o perfil (negar, confessar),
Al se sente motivado a mudar a sua estratégia se Bob nãoofizer.
Os perfis (confessar, negar) e (negar, negar) também não são
equilíbrios de Nash. Em (confessar, negar), Bob se sente motivado
a mudar a sua estratégia se Al não o fizer e, em (negar,
negar), cada um dos prisioneiros se sente motivado a mudar a
sua estratégia se o outro não o fizer. Desta maneira, vemos que
oúnico equilíbrio de Nash do jogo é (confessar, confessar).
(b) Na batalha dos sexos (Exemplo 2.2), os perfis de estratégia (futebol,
futebol) e (cinema, cinema) são os únicos equilíbrios de
Nash do jogo.
(c) No Exemplo 2.3, o único equilíbrio de Nash do jogo éoperfilde
estratégias (s 12 ,s 22 ).
Existem, contudo, jogos que não possuem equilíbrios de Nash em
estratégias puras. Este é o caso, por exemplo, do jogo de comparar
moedas (matching pennies).

22 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
Exemplo 2.6 (Comparar moedas) Nesse jogo, dois jogadores exibem,
ao mesmo tempo, a moeda que cada um esconde em sua mão.
Se ambas as moedas apresentam cara ou coroa, o segundo jogador
dá sua moeda para o primeiro. Se uma das moedas apresenta cara,
enquanto a outra apresenta coroa, é a vez do primeiro jogador dar
sua moeda para o segundo. Esse jogo se encontra representado por
sua matriz de payoffs dada abaixo.
g 2
s 21 s 22
g 1
s 11 (+1, −1) (−1, +1)
s 12 (−1, +1) (+1, −1)
Observe que o perfil de estratégias (s 11 ,s 21 )não é um equilíbrio de
Nash em estratégias puras, pois se o jogador g 1 mantiver a sua estratégia
s 11 , o jogador g 2 terá um ganho maior se mudar sua estratégia
de s 21 para s 22 ,istoé, ele se sente motivado a mudar a sua
estratégia se o jogador g 1 não mudar a sua escolha. O mesmo comportamento
ocorre para o perfil de estratégias (s 12 ,s 22 ). Já, para os
perfis (s 11 ,s 22 )e(s 12 ,s 21 ), é o jogador g 1 que se sente motivado a
mudar de estratégia para ganhar mais, se o jogador g 2 mantiver a sua
estratégia. Isto mostra que o jogo de comparar moedas não possui
equilíbrios de Nash em estratégias puras.
Existe uma maneira conveniente de se caracterizar equilíbrios de
Nash através das funções de melhor resposta. De maneira informal,
a melhor resposta de um jogador para uma determinada escolha de
estratégias dos demais jogadores é o conjunto de estratégias do jogador
que maximizam o seu ganho quando os demais jogadores não
mudam as suas escolhas. Mais precisamente, temos a seguinte
Definição 2.6 (Funções de melhor resposta) A função de
melhor resposta do jogador g i é a aplicação
MR i : S −i → 2 Si

[SEC. 2.2: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS PURAS 23
definida por
MR i (s −i ) = argmax si∈S i
u i (s i , s −i )
= {s ∗ i ∈ S i |∀s i ∈ S i ,u i (s ∗ i , s −i) ≥ u i (s i , s −i )},
com s −i ∈ S −i (aqui 2 Si representa o conjunto das partes de S i ).
A função de melhor resposta do jogo é a aplicação
definida por
MR: S → 2 S
MR(s) =(MR 1 (s −1 ), MR 2 (s −2 ),...,MR n (s −n )),
com s ∈ S. Observação: alguns autores usam as notações
MR i : S −i ⇒ S i eMR i : S −i →→ S i para representar a função
de melhor resposta MR i : S −i → 2 Si .
Exemplo 2.7
(a) No dilema do prisioneiro (Exemplo 2.1), temos
MR Al : S Bob →→ S Al
confessar ↦→ {confessar}
negar ↦→ {confessar}
MR Bob : S Al →→ S Bob
confessar ↦→ {confessar}
negar ↦→ {confessar}.
(b) Na batalha dos sexos (Exemplo 2.2), temos
MR Homem : S Mulher →→ S Homem
futebol ↦→ {futebol}
cinema ↦→ {cinema}
MR Mulher : S Homem →→ S Mulher
futebol ↦→ {futebol}
cinema ↦→ {cinema}.

24 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
(c) No Exemplo 2.3, temos
MR 1 (s 21 )={s 14 }, MR 1 (s 22 )={s 12 },
MR 1 (s 23 )={s 12 }, MR 1 (s 24 )={s 13 },
MR 2 (s 11 )={s 22 }, MR 2 (s 12 )={s 22 },
MR 2 (s 13 )={s 22 }, MR 2 (s 14 )={s 24 }.
(d) No jogo de comparar moedas (Exemplo 2.6), temos
MR 1 (s 21 )={s 11 }, MR 1 (s 22 )={s 12 },
MR 2 (s 11 )={s 22 }, MR 2 (s 12 )={s 21 }.
Apróxima proposição é uma consequência direta das definições
de equilíbrio de Nash e funções de melhor resposta.
Proposição 2.1 s ∗ =(s ∗ 1 ,...,s∗ i ,...,s∗ n ) ∈ S é um equilíbrio
de Nash em estratégias puras se, e somente se, s ∗ i ∈ MR i(s ∗ −i )
para todo i =1,...,n.
Observação. Como vimos, nem sempre um jogo possui um equilíbrio
de Nash em estratégias puras. Contudo, épossível garantir
esta existência para certos tipos de jogos com estruturas especiais.
O leitor interessado pode consultar os jogos descritos nos artigos [28,
61, 80, 94]. Para resultados quantitativos, veja [60].
2.2.3 Relações entre dominância e equilíbrio de
Nash
Proposição 2.2 O processo de dominância estrita iterada não
pode eliminar um equilíbrio de Nash ao simplificar um jogo.
Demonstração: Lembramos que, em cada etapa do processo de eliminação
de estratégias estritamente dominadas, o conjunto de estratégias
puras de algum jogador é substituído por um subconjunto

[SEC. 2.2: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS PURAS 25
com menos elementos, obtido removendo-se as estratégias do jogador
que são estritamente dominadas. Cada eliminação gera um espaço de
estratégias puras com menos elementos o que, sucessivamente, simplifica
o jogo original:
S = S 1 ×···×S n S (1) = S (1)
1 ×···×S n
(1)
··· S (k) = S (k)
1 ×···×S n (k) .
Com esta notação, o enunciado da proposição pode ser colocado assim:
se s ∗ ∈ S é um equilíbrio de Nash, então s ∗ ∈ S (k) .
Ademonstração será feita por contradição: suponha, por absurdo,
que exista s ∗ =(s ∗ 1 ,...,s∗ n ) ∈ S tal que s∗ é um equilíbrio de Nash,
mas s ∗ ∉ S (k) . Isto significa que existe i tal que s ∗ i ∈ S (l)
i mas
s ∗ i ∉ S(l+1) i para algum l =0,...,k− 1(sel = 0, defina S (0)
i = S i ).
Sem perda de generalidade, vamos supor que esta propriedade ocorre
pela primeira vez para o índice i, istoé, s ∗ i é a primeira estratégia do
perfil de estratégias
s ∗ =(s ∗ 1 ,...,s∗ (i−1) ,s∗ i ,s∗ (i+1) ,...,s∗ n )
que é eliminada por uma estratégia estritamente dominante. Sendo
assim, existe s • i ∈ S(l) i tal que
u i (s ∗ i , s −i )

26 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
Demonstração: Suponha que o processo de dominância estrita iterada
gere uma cadeia de espaços de estratégias puras
S = S 1 ×···×S n S (1) = S (1)
1 ×···×S n
(1)
··· S (k) = S (k)
1 ×···×S n (k) ,
onde o último conjunto da cadeia é unitário:
S (k) = S (k)
1 ×···×S n
(k) = {s ∗ } = {(s ∗ 1,...,s ∗ i ,...,s ∗ n)}.
Note que, em particular, s ∗ 1 ∈ S(l) 1 , s∗ 2 ∈ S(l) 2 , ..., s∗ n ∈ S n (l) ,para
todo l =0,...,k. Vamos mostrar que, nesta situação, s ∗ éoúnico
equilíbrio de Nash do jogo. De fato, basta mostrar que s ∗ éum
equilíbrio de Nash, pois a unicidade é uma consequência direta da
Proposição 2.2. Suponha então, por absurdo, que s ∗ não seja um
equilíbrio de Nash. Neste caso, devem existir índice i eestratégia
pura s [1]
i ∈ S i ,coms [1]
i ≠ s ∗ i ,taisque
u i (s ∗ i , s∗ −i )

[SEC. 2.3: ESTRATÉGIAS MISTAS 27
Mas isto é um absurdo, pois S i é um conjunto finito.
Arecíproca da Proposição 2.3 é falsa, isto é,mesmoqueojogo
tenha um único equilíbriodeNash,elenão é necessariamente obtido a
partir do processo de dominância estrita iterada. O jogo cuja matriz
de payoffs é
g 2
s 21 s 22 s 23
g 1 s 12 (+1, −1) (−1, +1) (+1, −1)
s 11 (−1, +1) (+1, −1) (−1, +1)
s 13 (−1, +1) (+1, −1) (+5, +5)
fornece um contra-exemplo: s ∗ =(s 13 ,s 23 )éoúnico equilíbrio de
Nash do jogo, mas não existem estratégias estritamente dominadas.
AProposição 2.2 é falsa se trocarmos dominância estrita por dominância
fraca, istoé, o processo de dominância fraca iterada pode
eliminar um equilíbrio de Nash (veja o exercício [10] na página 58
para um contra-exemplo). Se o processo de dominância fraca iterada
reduz o jogo para apenas um único perfil de estratégias (como na
Proposição 2.3), então este perfil é obrigatoriamente um equilíbrio de
Nash, contudo, ele não é necessariamente o único equilíbrio de Nash
do jogo.
2.3 Estratégias mistas
Como vimos no jogo de comparar moedas do Exemplo 2.6, existem
jogos que não possuem equilíbrios de Nash em estratégias puras. Uma
alternativa para estes casos é a de considerar o jogo do ponto de vista
probabilístico, isto é, ao invés de escolher um perfil de estratégias
puras, o jogador deve escolher uma distribuição de probabilidade sobre
suas estratégias puras.
Uma estratégia mista p i para o jogador g i ∈ G é uma distribuição
de probabilidades sobre o conjunto S i de estratégias puras do jogador,

28 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
isto é, p i éumelementodoconjunto
{
Δ mi = (x 1 ,...,x mi ) ∈ R mi | x 1 ≥ 0,...,x mi ≥ 0e
∑m i
k=1
x k =1
}
.
Assim, se p i =(p i1 ,p i2 ,...,p imi ), então
p i1 ≥ 0, p i2 ≥ 0, ..., p imi ≥ 0 e
∑m i
k=1
p ik =1.
Note que cada Δ mi é um conjunto compacto e convexo. Nas
Figuras2.1e2.2temososdesenhosdeΔ 2 eΔ 3 , respectivamente. Os
pontos extremos (vértices) de Δ mi ,istoé, os pontos da forma
e 1 =(1, 0,...,0, 0), e 2 =(0, 1,...,0, 0), ..., e mi =(0, 0,...,0, 1)
dão, respectivamente, probabilidade 1 às estratégias puras s i1 , s i2 ,
..., s imi . Desta maneira, podemos considerar a distribuição de probabilidade
e k comoaestratégia mista que representa a estratégia
pura s ik do jogador g i .
x 2
1
0
1
x 1
Figura 2.1: Δ 2 = { (x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 | x 1 ≥ 0,x 2 ≥ 0ex 1 + x 2 =1 } .

[SEC. 2.3: ESTRATÉGIAS MISTAS 29
x 3
1
0
1 x 2
1
x 1
Figura 2.2: Δ 3 = { (x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R 3 | x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0ex 1 +
x 2 + x 3 =1}.
Oespaço de todos os perfis de estratégia mista é o produto cartesiano
Δ=Δ m1 × Δ m2 ×···×Δ mn ,
denominado espaço de estratégias mistas. Como o produto cartesiano
de conjuntos compactos e convexos é compacto e convexo, vemos que
Δé compacto e convexo.
Um vetor p ∈ Δé denominado um perfil de estratégias mistas.
Como no caso de estratégias puras, usaremos a notação p −i para
representar as estratégias mistas de todos os jogadores, excluindo-se
a do jogador g i . Desta maneira, escreveremos
(p i , p −i )
para representar p =(p 1 ,...,p i ,...,p n ). Como a estratégia pura s ik
pode ser identificada com a distribuição de probabilidades que dá
peso1as ik epeso0às demais estratégias do jogador g i ,usaremos
(s ik , p −i )

30 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
como uma notação alternativa para o perfil de estratégias mistas
(e k , p −i ). Do mesmo modo, usaremos
(p i , s −i )
para indicar o perfil de estratégias mistas onde o jogador g i escolhe
a distribuição de probabilidades p i e os demais jogadores escolhem
distribuições que dãopeso1às estratégias puras em s −i .
Cada perfil de estratégias mistas p =(p 1 ,...,p n ) ∈ Δ determina
um payoff esperado (utilidade esperada), uma média dos payoffs ponderada
pelas distribuições de probabilidades p 1 , ..., p n . Mais precisamente,
se
p = (p 1 , p 2 ,...,p n )
= (p 11 ,p 12 ,...,p 1m1 ; p 21 ,p 22 ,...,p 2m2 ; ...; p n1 ,p n2 ,...,p nmn ),
} {{ } } {{ } } {{ }
p 1
p 2
p n
então
u i (p) =
∑m 1
∑m 2
j 1=1 j 2=1
···
∑m n
j n=1
p 1j1 · p 2j2 ···p njn · u i (s 1j1 ,s 2j2 ,...,s njn ).
(2.1)
Cuidado com o abuso de notação: estamos usando u i para representar
a função utilidade tanto em estratégias puras quanto em estratégias
mistas.
Como exemplo, considere o jogo de comparar moedas na página
22. Se g 1 escolhe a distribuição de probabilidade p 1 =(1/4, 3/4)
e g 2 escolhe a distribuição de probabilidade p 2 =(1/3, 2/3), então
os payoffs esperados associados ao perfil de estratégias mistas p =
(p 1 , p 2 )=(1/4, 3/4; 1/3, 2/3) são dados por
u 1 (p) =
2∑
j 1=1 j 2=1
2∑
p 1j1 · p 2j2 · u 1 (s 1j1 ,s 2j2 )
= p 11 · p 21 · u 1 (s 11 ,s 21 )+p 11 · p 22 · u 1 (s 11 ,s 22 )+
p 12 · p 21 · u 1 (s 12 ,s 21 )+p 12 · p 22 · u 1 (s 12 ,s 22 )
= 1 4 · 1
3 · (+1) + 1 4 · 2
3 · (−1) + 3 4 · 1
3 · (−1) + 3 4 · 2
3 · (+1)
= + 1 6

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 31
e, analogamente,
u 2 (p) =
2∑
j 1=1 j 2=1
2∑
p 1j1 · p 2j2 · u 2 (s 1j1 ,s 2j2 )
= p 11 · p 21 · u 2 (s 11 ,s 21 )+p 11 · p 22 · u 2 (s 11 ,s 22 )+
p 12 · p 21 · u 2 (s 12 ,s 21 )+p 12 · p 22 · u 2 (s 12 ,s 22 )
= 1 4 · 1
3 · (−1) + 1 4 · 2
3 · (+1) + 3 4 · 1
3 · (+1) + 3 4 · 2
3 · (−1)
= − 1 6 .
Observação. Se p ∗ =(p ∗ i , p∗ −i ) ∈ Δ, então a função x ↦→ u i(x, p ∗ −i )
preserva combinações convexas. Mais precisamente, se x 1 ,...,x r ∈
Δ mi e λ 1 ,...,λ r são escalares não-negativos com ∑ r
k=1 λ k =1,então
( r∑
)
r∑
u i λ k · x k , p ∗ −i = λ k · u i (x k , p ∗ −i). (2.2)
k=1
Em particular, se
∑m i
p ∗ i =(p∗ i1 ,...,p∗ im i
)= p ∗ ik · e k, (2.3)
com e k o k-ésimo vetor da base canônica de R mi ,então
(
mi
)
u i (p ∗ )=u i (p ∗ i , p∗ −i )=u ∑
i p ∗ ik · e ∑m i
k, p ∗ −i = p ∗ ik · u i(e k , p ∗ −i ).
k=1
k=1
k=1
k=1
(2.4)
2.4 Soluções de um jogo em estratégias
mistas
Todososcritérios básicos para soluções de jogos em estratégias
puras podem ser estendidos para estratégias mistas.

32 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
2.4.1 Dominância em estratégias mistas
Definição 2.7 (Estratégia Mista Estritamente Dominada)
Dizemos que uma estratégia mista p i ∈ Δ mi do jogador
g i ∈ G é estritamente dominada pela estratégia p ′ i ∈ Δ m i
se, independentemente das escolhas de distribuições de probabilidade
dos demais jogadores, o jogador g i ganha mais escolhendo
p ′ i do que p i,istoé, se
u i (p ′ i, p −i ) >u i (p i , p −i ),
para todo p −i ∈ Δ −i =Δ m1 ×···×Δ mi−1 ×Δ mi+1 ×···×Δ mn .
Como os payoffs u i (p ′ i , p −i )eu i(p i , p −i )são, respectivamente,
combinações convexas dos payoffs u i (p ′ i , s −i) e u i (p i , s −i ),
segue-se que a condição acima é equivalente a
u i (p ′ i , s −i) >u i (p i , s −i ),
para todos perfis de estratégias puras s −i ∈ S −i .
Exemplo 2.8 ([30], página 21) Considere o jogo com a seguinte
matriz de payoffs:
g 2
s 21 s 22
g 1 s 12 (0, 0) (5, 3)
s 11 (5, 3) (0, 0)
.
s 13 (2, 1) (2, 1)
Aestratégia mista p 1 =(0, 0, 1) ∈ Δ 3 do jogador g 1 éestritamente

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 33
dominada pela estratégia mista p ′ 1 =(1/2, 1/2, 0) ∈ Δ 3,pois
( 1
u 1 (p ′ 1, p 2 )=u 1
2 , 1 )
2 , 0; p 21,p 22 = 5 2 · p 21 + 5 2 · p 22 = 5 2
>
(
)
u 1 (p 1 , p 2 )=u 1 0 , 0, 1; p 21 ,p 22 =2· p 21 +2· p 22 =2
para todo p 2 = (p 21 ,p 22 ) ∈ Δ 2 . Como p 1 = (0, 0, 1) representa
aestratégia pura s 13 do jogador g 1 , este exemplo também mostra
que uma estratégia pura pode não ser dominada por nenhuma outra
estratégia puras mas, ainda sim, ser dominada por uma estratégia
mista.
Exemplo 2.9 ([31], página 7) Uma estratégia mista que atribui
probabilidade positiva para uma estratégia pura estritamente dominada
também é estritamente dominada (Exercício [13]). Contudo,
uma estratégia mista pode ser estritamente dominada mesmo que ela
atribua probabilidades positivas apenas para as estratégias puras que
não são nem mesmo fracamente dominadas. Considere, por exemplo,
o jogo com a seguinte matriz de payoffs:
g 2
s 21 s 22
g 1 s 12 (2, 0) (5, 3)
s 11 (5, 3) (2, 0)
.
s 13 (4, 1) (4, 1)
As estratégias puras s 11 e s 12 não são fracamente dominadas, mas
aestratégia mista p 1 =(1/2, 1/2, 0) é estritamente dominada pela
estratégia mista p ′ 1 =(0, 0, 1) (que corresponde àestratégia pura s 13 ),

34 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
pois
u 1 (p ′ 1, p 2 )=u 1
(
0 , 0, 1; p 21 ,p 22
)
=4· p 21 +4· p 22 =4
>
( 1
u 1 (p 1 , p 2 )=u 1
2 , 1 )
2 , 0; p 21,p 22 = 7 2 · p 21 + 7 2 · p 22 = 7 2
para todo p 2 =(p 21 ,p 22 ) ∈ Δ 2 .
A definição de dominância estrita iterada para estratégias mistas que
daremos aqui segue a linha proposta pelas referências [26, 31, 74].
Abordagens alternativas podem ser encontradas em [01, 15].
Definição 2.8 (Dominância Estrita Iterada em Estratégias
Mistas) Sejam S (0)
i = S i eΔ (0)
m i
=Δ mi . Defina, recursivamente,
e
S (n)
i
= {s ∈ S (n−1)
i
| ∄p i ∈ Δ (n−1)
m i
tal que
∀s −i ∈ S (n−1)
−i ,u i (p i ,s −i ) >u i (s, s −i )}
Δ (n)
m i
= {p i =(p i1 ,...,p imi ) ∈ Δ mi |
∀k =1,...,m i ,p ik > 0somenteses ik ∈ S (n)
i }.
Ainterseção
S ∞ i =
∞⋂
n=0
S (n)
i
é o conjunto de estratégias puras que sobrevivem a remoção
iterada de estratégias estritamente dominadas e

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 35
Δ ∞ m i
= {p i ∈ Δ mi | ∄p ′ i ∈ Δ mi
tal que ∀s −i ∈ S (∞)
−i ,u i (p ′ i,s −i ) >u i (p i ,s i )}
é o conjunto de todas as estratégias mistas do jogador g i que
sobreviveram a técnica de dominância estrita iterada.
Note que S (n)
i é o conjunto de estratégias puras em S (n−1)
i que não são
estritamente dominadas pelas estratégias mistas em Δ (n−1)
m i
equeΔ (n)
m i
é o conjunto de estratégias mistas que dá probabilidades positivas
apenas para as estratégias puras em S (n)
i .
Definição 2.9 (Equilíbrio de Estratégia Estritamente
Dominante) Se, no processo de dominância estrita iterada, o
conjunto S ∞ = S1 ∞ ×···×S∞ n é unitário, isto é, se
S ∞ = {s ∗ },
então dizemos que s ∗ éumequilíbrio de estratégia estritamente
dominante.
Como no caso de estratégias puras, épossível mostrar que os conjuntos
S ∞ = S1 ∞ ×···×Sn ∞ eΔ ∞ =Δ ∞ m 1
×···×Δ ∞ m n
não dependem
da ordem em que as estratégias estritamente dominadas são
removidas. Não apresentaremos a demonstração deste fato aqui.
O leitor interessado poderá encontrá-la (bem como as definições e
resultados sobre estratégias mistas fracamente dominadas) nasreferências
[01, 15, 26, 55].
2.4.2 Equilíbrio de Nash em estratégias mistas
Definição 2.10 (Equilíbrio de Nash) Dizemos que um perfil
de estratégias mistas

36 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
p ∗ =(p ∗ 1, p ∗ 2,...,p ∗ n) ∈ Δ=Δ m1 × Δ m2 ×···×Δ mn
éumequilíbrio de Nash se
u i (p ∗ i , p ∗ −i) ≥ u i (p, p ∗ −i)
para todo p ∈ Δ mi ,istoé, nenhum jogador sente motivação
de trocar a sua estratégia mista se os demais jogadores não o
fizerem.
Exemplo 2.10
(a) No dilema do prisioneiro (Exemplo 2.1), o perfil de estratégias
mistas
p ∗ =(p ∗ 1 , p∗ 2 )=(1, 0; 1, 0)
é um equilíbrio de Nash, pois
u 1 (p 1 , p ∗ 2)=u 1 (p 11 ,p 12 ;1, 0) = 5 · p 11 − 10 ≤
− 5=u 1 (1, 0; 1, 0) = u 1 (p ∗ 1 , p∗ 2 )
para todo p 1 =(p 11 ,p 12 ) ∈ Δ 2 e
u 2 (p ∗ 1 , p 2 )=u 2(1, 0; p 21 ,p 22 )=5· p 21 − 10 ≤
− 5=u 2 (1, 0; 1, 0) = u 2 (p ∗ 1, p ∗ 2)
para todo p 2 = (p 21 ,p 22 ) ∈ Δ 2 . Observe que este equilíbrio
corresponde ao equilíbrio em estratégias puras
s ∗ = (confessar, confessar).
Mostraremos mais adiante que este éoúnico equilíbrio de Nash
em estratégias mistas do jogo.
(b) Na batalha dos sexos (Exemplo 2.2), os equilíbrios de Nash em
estratégias mistas são
(1, 0; 1, 0), (0, 1; 0, 1) e (2/3, 1/3; 1/3, 2/3).

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 37
Os dois primeiros perfis de estratégias mistas correspondem às
estratégias puras (futebol, futebol) e (cinema, cinema), respectivamente.
Mostraremos mais adiante que estes são os únicos
equilíbrios de Nash em estratégias mistas do jogo.
(c) No Exemplo 2.3, o único equilíbrio de Nash em estratégia mista
éoponto
(0, 1, 0, 0; 0, 1, 0, 0)
que corresponde ao equilíbrio de Nash (s 12 ,s 22 )emestratégias
puras.
(d) No jogo de comparar moedas do Exemplo 2.6, o único equilíbrio
de Nash em estratégias mistas éoponto
(1/2, 1/2; 1/2, 1/2).
Como no caso de estratégias puras, podemos caracterizar equilíbrios
de Nash em estratégias mistas através das funções de melhor
resposta. Considere um jogo com espaço de estratégias mistas Δ =
Δ m1 ×···×Δ mi ×···×Δ mn . No que se segue, usaremos as seguintes
notações:
Δ(S i )=Δ mi e Δ(S −i )=Δ m1 ×···×Δ mi−1 × Δ mi+1 ×···Δ mn .
Definição 2.11 (Funções de melhor resposta em estratégias
mistas) A função de melhor resposta do jogador g i éa
aplicação
MR i :Δ(S −i ) → 2 Δ(Si)
definida por MR i (p −i ) = argmax pi ∈Δ(S i) u i (p i , p −i ), isto é,
MR i (p −i )
=
{p ∗ i ∈ Δ(S i) |∀p i ∈ Δ(S i ),u i (p ∗ i , p −i) ≥ u i (p i , p −i )},
com p −i ∈ Δ(S −i ). A função de melhor resposta do jogo éa
aplicação
MR: Δ → 2 Δ

38 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
definida por
com p ∈ Δ.
MR(p) =(MR 1 (p −1 ), MR 2 (p −2 ),...,MR n (p −n )),
Note que, como Δ(S i )é um conjunto compacto não-vazio e a
função p i ↦→ u i (p i , p −i )écontínua, podemos usar o teorema de Weierstrass
para garantir que MR i (p −i ) = argmax pi ∈Δ(S i) u i (p i , p −i )é
um conjunto não-vazio para todo p −i ∈ Δ(S −i ).
Apróxima proposição é uma consequência direta das definições
de equilíbrio de Nash e funções de melhor resposta em estratégias
mistas.
Proposição 2.4 p ∗ =(p ∗ 1 ,...,p∗ i ,...,p∗ n ) ∈ Δé um equilíbrio
de Nash em estratégias mistas se, e somente se, p ∗ i ∈ MR i(p ∗ −i )
para todo i =1,...,n,istoé, p ∗ ∈ MR(p ∗ ).
Exemplo 2.11 Suponha que, na batalha dos sexos (Exemplo 2.2),
a mulher escolha a estratégia mista p 2 =(1/2, 1/2). Qual éamelhor
resposta do homem a esta estratégia da mulher? Para responder a
esta pergunta, observe inicialmente que
u Homem (p 1 , p 2 ) = u Homem (p 11 ,p 12 ; p 21 ,p 22 )
= p 11 · p 21 · u Homem (futebol, futebol) +
p 11 · p 22 · u Homem (futebol, cinema) +
p 12 · p 21 · u Homem (cinema, futebol) +
p 12 · p 22 · u Homem (cinema, cinema)
= 10· p 11 · p 21 +5· p 12 · p 22
e, portanto, u Homem (p 11 ,p 12 ;1/2, 1/2) = 5 · p 11 +(5/2) · p 12 . Desta
maneira,
MR Homem (1/2, 1/2) = argmax (p11,p 12)∈Δ 2
(5 · p 11 +(5/2) · p 12 ).

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 39
Segue-se que a melhor resposta do homem àestratégia mista p 2 =
(1/2, 1/2) da mulher é obtida resolvendo-se o seguinte problema de
otimização:
maximizar 5 · p 11 +(5/2) · p 12
sujeito a p 11 + p 12 =1,
p 11 ≥ 0,
p 12 ≥ 0,
cuja solução é(p ∗ 11 ,p∗ 12 )=(1, 0). Sendo assim, MR Homem(1/2, 1/2) =
{(1, 0)}.
No caso de jogos com apenas dois jogadores, cada um com apenas
duas estratégias puras, épossível escrever as estratégias mistas de
uma maneira mais simplificada:
Δ 2 = {(p, 1 − p) ∈ R 2 | 0 ≤ p ≤ 1},
isto é, cada elemento de Δ 2 pode ser identificado com um número real
no intervalo [0, 1]. Com isto, as funções de melhor resposta podem
ser reescritas de forma a depender de apenas de um número real. Por
exemplo, se o homem escolhe uma estratégia mista (p, 1 − p) ∈ Δ 2 ,
qual é a melhor resposta da mulher a esta estratégia do homem?
Escrevendo as estratégias mistas da mulher na forma (q, 1 − q) ∈ Δ 2 ,
vemos que
u Mulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15pq +10− 10 q − 10 p
= 5 (3p − 2) q +10(1− p).
Sendo assim,
MR Mulher (p) = argmax (q,1−q)∈Δ2 (5 (3 p − 2) q +10(1− p))
= argmax q∈[0,1] (5 (3 p − 2) q +10(1− p)),
onde, por simplicidade, estamos escrevendo MR Mulher (p) no lugar
de MR Mulher (p, 1 − p). Assim, dada a escolha de p ∈ [0, 1] do homem,
a mulher quer encontrar os valores de q ∈ [0, 1] que maximizam o valor
de sua utilidade u Mulher =5(3p − 2) q +10(1− p). Se p ∈ [0, 2/3),
então 3 p − 2 < 0 e, para maximizar a sua utilidade, a mulher deverá

40 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
escolher q =0. Sep =2/3, então 3 p − 2 = 0 e, portanto, a utilidade
u Mulher =10(1− p) da mulher não dependerá deq. Neste caso, a
mulher poderá escolher qualquer valor de q em [0, 1]. Se p ∈ (2/3, 1],
então 3 p − 2 > 0 e, para maximizar a sua utilidade, a mulher deverá
escolher q = 1. Mostramos então que
⎧
⎨ {0}, se p ∈ [0, 2/3),
MR Mulher (p) = [0, 1], se p =2/3,
⎩
{1}, se p ∈ (2/3, 1].
Esta função de melhor resposta pode ser representada graficamente,
como mostra a Figura 2.3.
(Mulher)
q
(Futebol)
1
(Cinema)
0
2/3
1 p (Homem)
(Cinema)
(Futebol)
Figura 2.3: Representação gráfica da função de melhor resposta da
mulher no jogo da batalha dos sexos.
Do mesmo modo, se a mulher escolhe uma estratégia mista (q, 1−q) ∈
Δ 2 ,então
u Homem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15pq +5− 5 q − 5 p
= 5 (3q − 1) p +5(1− q),
de modo que
MR Homem (q) = argmax (p,1−p)∈Δ2 (5 (3 q − 1) p +5(1− q))
= argmax p∈[0,1] (5 (3 q − 1) p +5(1− q)).

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 41
Assim, dada a escolha de q ∈ [0, 1] da mulher, o homem quer encontrar
os valores de p ∈ [0, 1] que maximizam o valor de sua utilidade
u Homem =5(3q − 1) p +5(1− q). Se q ∈ [0, 1/3), então 3 q −
1 < 0 e, para maximizar a sua utilidade, o homem deverá escolher
p =0. Seq =1/3, então 3 q − 1=0e,portanto,autilidade
u Homem =5(1− q) dohomemnão dependerá dep. Neste caso, o
homem poderá escolher qualquer valor de p em [0, 1]. Se q ∈ (1/3, 1],
então 3 q − 1 > 0 e, para maximizar a sua utilidade, o homem deverá
escolher p = 1. Mostramos então que
⎧
⎨ {0}, se q ∈ [0, 1/3),
MR Homem (q) = [0, 1], se q =1/3,
⎩
{1}, se q ∈ (1/3, 1].
Esta função de melhor resposta pode ser representada graficamente,
como mostra a Figura 2.4.
(Homem)
p
(Futebol)
1
(Cinema)
0
1/3
1 q (Mulher)
(Cinema)
(Futebol)
Figura 2.4: Representação gráfica da função de melhor resposta do
homem no jogo da batalha dos sexos.
Agora, pela Proposição 2.4, segue-se que um perfil de estratégias
mistas (p ∗ , 1 − p ∗ ; q ∗ , 1 − q ∗ )é um equilíbrio de Nash se, e somente se,
q ∗ ∈ MR Mulher (p ∗ )ep ∗ ∈ MR Homem (q ∗ ). Desta maneira, os valores
de p ∗ e q ∗ que geram equilíbrios de Nash correspondem aos pontos
de interseção entre as representações gráficas das funções de melhor

42 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
resposta da mulher e do homem, quando representadas em um mesmo
sistema de eixos, como ilustra a Figura 2.5.
(Mulher)
q
(Futebol)
1
1/3
(Cinema)
0
2/3
1 p (Homem)
(Cinema)
(Futebol)
Figura 2.5: Calculando os equilíbrios de Nash usando as representações
gráficas das duas funções de melhor resposta.
Vemos, portanto, que a batalha dos sexos possui apenas 3 equilíbrios
de Nash em estratégias mistas:
(0, 1; 0, 1), (2/3, 1/3; 1/3, 2/3) e (1, 0; 1, 0),
que correspondem, respectivamente, aos três únicos pontos de interseção
(p ∗ ,q ∗ )=(0, 0), (p ∗ ,q ∗ )=(2/3, 1/3) e (p ∗ ,q ∗ )=(1, 1) das
duas representações gráficas.
Exemplo 2.12 ([31], página 17) (O jogo da inspeção) Ochefe
de uma empresa de computação desconfia que seu operador de
computadores está usando o tempo de serviço para “bater papo”
na internet. Se o operador trabalha corretamente, ele gasta g em
esforço e produz um lucro bruto de v unidades para a empresa. O
chefe, por sua vez, pode fiscalizar ou não o trabalho do operador.
Fiscalizar custa h unidades para a empresa. Se o operador for pego
“batendo papo” na internet, ele perde o seu salário de w unidades
(o chefe não pode condicionar o valor do salário w ao valor do lucro
bruto v). Para limitar o número de casos a considerar, vamos assumir

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 43
que g > h > 0equew > g. Os dois jogadores escolhem suas
estratégias simultaneamente (em particular, ao decidir se vai fiscalizar
ou não, o chefe não sabe se o empregado decidiu trabalhar ou decidiu
“bater papo” na internet). Neste contexto, o jogo da inspeção tem a
matriz de payoffs indicada abaixo.
empregado
não trabalhar
trabalhar
chefe
fiscalizar (−h, 0) (v − w − h, w − g)
não fiscalizar (−w, w) (v − w, w − g)
Observe que este jogo não possui equilíbrio de Nash em estratégias
puras e, como ele deve se repetir em cada dia útil de trabalho, não é
sensato escolher sempre a mesma estratégia pura para todos os dias.
Asolução, neste caso, é escolher entre as estratégias puras a cada dia
seguindo uma distribuição de probabilidades, isto é, através de estratégias
mistas. Como as funções de melhor resposta do empregado
edochefesão dadas, respectivamente, por
MR Empregado (p) = argmax q∈[0,1] ((−wp + g) q + w − g)
⎧
⎨ {1}, se p ∈ [0,g/w),
= [0, 1], se p = g/w,
⎩
{0}, se p ∈ (g/w, 1],
MR Chefe (q) = argmax p∈[0,1] ((+wq − h) p + v (1 − q) − w)
⎧
⎨ {0}, se q ∈ [0,h/w),
= [0, 1], se q = h/w,
⎩
{1}, se q ∈ (h/w, 1],
segue-se que o (único) equilíbrio de Nash em estratégias mistas é
obtido tomando-se p ∗ = g/w e q ∗ = h/w. Se, por exemplo, v =5,
w =4,g =3eh =2,então
(p ∗ , 1 − p ∗ ; q ∗ , 1 − q ∗ )=(3/4, 1/4; 1/2, 1/2).
Isto significa que o chefe deve escolher sua estratégia de acordo com
um gerador de números aleatórios com distribuição de probabilidade
(3/4, 1/4) e o operador deve escolher sua estratégia de acordo

44 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
com um gerador de números aleatórios com distribuição de probabilidade
(1/2, 1/2). Isto pode ser feito, por exemplo, com as duas “rodas
da fortuna” da Figura 2.6.
Fiscalizar
Trabalhar
Não fiscalizar
Não trabalhar
chefe
empregado
Figura 2.6: Distribuições de probabilidade que constituem um equilíbrio
de Nash para o jogo do Exemplo 2.12.
A partir deste resultado, podemos calcular o valor ótimo de contrato
do empregado, isto é, o valor de w que maximiza o payoff esperado
do chefe:
(
u Chefe (w) =(+wq ∗ − h) p ∗ + v (1 − q ∗ ) − w) =v 1 − h )
− w.
w
Se, por exemplo, √ √ vh > g, então este valor ótimo é dado por w ∗ =
vh (note que u
′
Chefe (w ∗ )=0eu ′′ Chefe (w) ≤ 0paraw>0).
Jogos deste tipo têm sido usados para se estudar temas como controle
de armas ([03, 10, 83]), prevenção de crimes ([04]) e incentivos no
trabalho ([53]).
Como vimos no jogo de comparar moedas no Exemplo 2.6, existem
jogos que não possuem equilíbrios de Nash em estratégias puras e, até
agora, todos os jogos apresentados em nossos exemplos possuem pelo
menos um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Uma pergunta
natural éseaexistência de equilíbrios de Nash em estratégias mistas
é um resultado geral ou não. A resposta ésim!Nopróximo capítulo
apresentaremos e demonstraremos o teorema de equilíbrio de Nash,

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 45
que garante a existência de equilíbrios em estratégias mistas para
jogos finitos.
2.4.3 Relações entre dominância e equilíbrio de
Nash
As Proposições 2.2 e 2.3 para estratégias puras continuam válidas
para estratégias mistas: (1) o processo de dominância estrita iterada
em estratégias mistas não pode eliminar um equilíbrio de Nash
e (2) se o processo de dominância estrita iterada em estratégias mistas
deixa apenas um único perfil de estratégias, então este perfil éum
equilíbrio de Nash do jogo. Não apresentaremos as demonstrações
destes resultados aqui. O leitor interessado poderá encontrá-las nas
referências [15, 26].
2.4.4 Como interpretar estratégias mistas?
Existe muita controvérsia sobre as interpretações e usos de estratégias
mistas ([02, 12, 17, 57, 74, 77, 81, 73, 92, 93]). Aumann,
por exemplo, em [02], afirma que
“Mixed strategy equilibria have always been intuitively
problematic because they are not ‘strict’: a player will not
lose if he abandons the randomization and uses instead
any arbitrary one of the pure strategy components of the
randomization.”
(veja as Equações 4.1 na página 81) e, segundo Rardner e Roshental
([76]),
“One of the reasons why game-theoretic ideas have not
found more widespread application is that randomization,
which plays a major role in game theory, seems to have
limited appeal in many practical situations.”
Ainda, segundo Rubinstein ([81]),
“The reason for the criticism is that the naive interpretation
of a mixed strategy as an action which is conditional
on the outcome of a lottery executed by the player before

46 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
the game, goes against our intuition. We are reluctant to
believe that our decisions are made at random. We prefer
to be able to point to a reason for each action we take.
Outside of Las Vegas we do not spin roulettes.”
De fato, testes experimentais recentes mostraram que jogadores não
seguem a estratégiamistaprevistapelateoria,mesmoquandoojogo
possui um único equilíbrio de Nash em estratégias mistas ([57]).
Existem também certas análises feitas com estratégias mistas que
produzem resultados não-intuitivos. Considere, por exemplo, a seguinte
situação. Um contribuinte C deve decidir se vai ou não sonegar
imposto, sabendo que existe um fiscal F quepodeounão fiscalizá-lo.
Na matriz de payoffs abaixo, vamos assumir que valem as seguintes
desigualdades
(1) c 21 >c 11 : o contribuinte C prefere não sonegar se souber que
ofiscalF irá fiscalizar,
(2) c 12 >c 22 : o contribuinte C prefere sonegar se souber que o fiscal
F não irá fiscalizar,
(3) f 11 >f 12 :ofiscalF prefere fiscalizar se souber que o contribuinte
C irá sonegar e
(4) f 22 >f 21 :ofiscalF prefere não fiscalizar se souber que o contribuinte
C não irá sonegar.
Vocêpodepensarqueosc ij são números negativos que representam
oquantoserá debitado de C pelo pagamento de imposto e que os f ij
são números positivos que representam bônus salariais de F .
F
fiscalizar não fiscalizar
C
sonegar (c 11 ,f 11 ) (c 12 ,f 12 )
não sonegar (c 21 ,f 21 ) (c 22 ,f 22 )
Usandoatécnica descrita no Exemplo 2.11, vemos que o único equilíbrio
de Nash do jogo é dado por (p ∗ C , 1 − p∗ C ; p∗ F , 1 − p∗ F ), onde
(
)
(p ∗ C ,p∗ F )= f 22 − f 21
c 22 − c 12
,
.
f 22 − f 21 − f 12 + f 11 c 22 − c 12 − c 21 + c 11
.

[SEC. 2.4: SOLUÇÕESDEUMJOGOEMESTRATÉGIAS MISTAS 47
Aqui, p ∗ C representa a probabilidade com que C decide sonegar e p∗ F
representa a probabilidade com que F decide fiscalizar. Dois resultados
não-intuitivos advêm destas expressões para p ∗ C e p∗ F :
(a) Se a receita federal decide aumentar a multa de sonegação, isto
é, se ela resolve diminuir o valor de c 11 ,entãoafreqüência p ∗ C de
sonegações não muda e a freqüência de fiscalizações p ∗ F diminui.
(b) Se a receita federal decide aumentar o bônus salarial para os fiscais
que identificam contribuintes sonegadores, isto é, se ela resolveraumentarovalordef
11 ,entãoafreqüência de fiscalizações p ∗ F
não muda e a freqüência de sonegações p ∗ C diminui.
Isto acontece porque alterações introduzidas nos payoffs de um jogador
afeta apenas a expressão para o perfil de estratégias mistas
do equilíbrio de Nash do outro jogador (Proposição da Irrelevância
do Payoff [43]).
Existem, contudo, interpretações que são mais robustas. Uma delas
é imaginar o jogo como uma interação entre n populações numerosas:
cada partida ocorre depois que n jogadores são selecionados
de maneira aleatória nestas populações. As probabilidades p iji no
perfil de estratégias mistas p i do jogador g i são interpretadas como
as freqüências dos jogadores que escolheram a estratégia pura s iji na
i-ésima população. Outra interpretação é devida a Harsanyi. Apresentamos
aqui o abstract de seu artigo [39]:
“Equilibrium points in mixed strategies seem to be unstable,
because any player can deviate without penalty from
his equilibrium strategy even if he expects all other players
to stick to theirs. This paper proposes a model under
which most mixed-strategy equilibrium points have full
stability. It is argued that for any game Γ the players’
uncertainty about the other players’ exact payoffs can be
modeled as a disturbed game Γ ∗ , i.e., as a game with small
random fluctuations in the payoffs. Any equilibrium point
in Γ, whether it is in pure or in mixed strategies, can ‘almost
always’ be obtained as a limit of a pure-strategy
equilibrium point in the corresponding disturbed game
Γ ∗ when all disturbances go to zero. Accordingly, mixedstrategy
equilibrium points are stable – even though the

48 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
players may make no deliberate effort to use their pure
strategies with the probability weights prescribed by their
mixed equilibrium strategies – because the random fluctuations
in their payoffs will make them use their pure
strategies approximately with the prescribed probabilities.”
Não nos aprofundaremos neste tema polêmico. O leitor interessado
pode consultar as referências citadas no início desta subseção e, em
especial, [81] e a Seção 3.2 de [74].
2.5 Jogos infinitos
Os jogos que estudamos até agora são finitos, istoé, eles possuem
um número finito de jogadores, cada um com um número finito de estratégias
puras. Contudo, existem situações que, para serem modeladas,
necessitam de um número infinito de jogadores ou de um número
infinito de estratégias ([06, 44, 62]). Jogos em estratégias mistas, por
exemplo, podem ser pensados como jogos com um número finito de
jogadores e com um número infinito de estratégias (as infinitas distribuições
de probabilidade que cada jogador pode escolher). Vamos
nos concentrar no caso de jogos com um número finito de jogadores e
um número infinito de estratégias puras (o caso de estratégias mistas
requer como pré-requisito teoria da medida e não será tratado aqui).
As definições de estratégias estritamente dominadas, estratégias fracamente
dominadas e equilíbrios de Nash são análogas ao caso finito,
com a diferença de que, agora, os conjuntos S i podem ser infinitos.
Definição 2.12 (Estratégia Pura Estritamente Dominada)
Dizemos que uma estratégia pura s i ∈ S i do jogador g i ∈
G é estritamente dominada pela estratégia s ′ i ∈ S i se
para todo s −i ∈ S −i .
u i (s ′ i , s −i) >u i (s i , s −i ),

[SEC. 2.5: JOGOS INFINITOS 49
Definição 2.13 (Estratégia Pura Fracamente Dominada)
Dizemos que uma estratégia pura s i ∈ S i do jogador
g i ∈ G é fracamente dominada pela estratégia s ′ i ∈ S i se
u i (s ′ i, s −i ) ≥ u i (s i , s −i ),
para todo s −i ∈ S −i e, pelo menos para algum s • −i ∈ S −i,
u i (s iκ ′, s • −i ) >u i(s iκ , s • −i ).
Definição 2.14 (Equilíbrio de Nash)Dizemos que um perfil
de estratégias
s ∗ =(s ∗ 1 ,...,s∗ (i−1) ,s∗ i ,s∗ (i+1) ,...,s∗ n ) ∈ S
éumequilíbrio de Nash se
u i (s ∗ i , s∗ −i ) ≥ u i(s i , s ∗ −i )
para todo i =1,...,n eparatodos i ∈ S i .
Exemplo 2.13 ([26], página 2009) Considere o seguinte jogo infinito:
G = {g 1 ,g 2 }, S 1 = S 2 =[0, 1] e u 1 ,u 2 : S = S 1 × S 2 → R
definidas por
⎧
⎨
u 1 (x, y) =
⎩
x, se x

50 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
Do mesmo modo, toda estratégia pura y ∈ [0, 1) do jogador g 2 é
estritamente dominada por (1 + y)/2 ∈ (y, 1). Como
u 1 (1, 1) = 1 ≥ u 1 (x, 1) e u 2 (1, 1) = 1 ≥ u 2 (1,y), ∀x, y, ∈ [0, 1],
segue-se que (x ∗ ,y ∗ )=(1, 1) éoúnico equilíbrio de Nash em estratégias
puras do jogo. Eliminando-se todas as estratégias em S 1 −
{1,t} e S 2 −{1,t}, paraalgumt

[SEC. 2.6: EXERCÍCIOS 51
g 2
s 21 s 22 s 23 s 24
g 1
s 11 (3, 0) (1, 1) (5, 4) (0, 2)
s 12 (1, 1) (3, 2) (6, 0) (2, −1)
s 13 (0, 2) (4, 4) (7, 2) (3, 0)
[02] Considere a matriz de payoffs para os jogadores L (linhas) e C
(colunas), a seguir:
C
c 1 c 2
L
l 1 (3, 3) (0, 1)
l 2 (1, 1) (2, 3)
Pede-se:
(a) Determinar se existe alguma estratégia estritamente dominante
para algum jogador.
(b) Determinar se existe algum equilíbrio de Nash (em estratégias
puras). Caso exista mais do que um equilíbrio, quantos
equaissão.
[03] A partir da matriz de payoffs a seguir para os jogadores L (linhas)
e C colunas,
C
c 1 c 2
L
l 1 (3, 2) (4, 4)
l 2 (1, 1) (9, 2)
determine:

52 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
(a) Se algum jogador possui alguma estratégia dominante.
(b) Quantos equilíbrios de Nash em estratégias puras existem.
[04] (Jogo do covarde) Neste jogo, dois adolescentes pilotam
carros roubados em direçãoaumabismoemumtestedecoragem:
aquele que desviar o carro primeiro será chamado de
covarde (chicken).
Este tipo de jogo ficou popular depois do filme Juventude Transviada
(Rebel Without a Cause) de 1955, estrelado por James
Dean, que morreu em decorrência de um acidente de automóvel.
Bertrand Russell, em [82], compara uma variação deste jogo
com a tática de brinkmanship 2 na corrida nuclear:
“Since the nuclear stalemate became apparent, the
Governments of East and West have adopted the
policy which Mr. Dulles calls ‘brinkmanship’. This
is a policy adapted from a sport which, I am told, is
practised by some youthful degenerates. This sport
is called ‘Chicken!’. It is played by choosing a long
straight road with a white line down the middle and
starting two very fast cars towards each other from
opposite ends. Each car is expected to keep the wheels
of one side on the white line. As they approach each
other, mutual destruction becomes more and more
imminent. If one of them swerves from the white
2 Arte ou prática de se levar uma situação perigosa ou confrontação além do
limite do que pode ser considerado seguro, para conseguir determinado desfecho.

[SEC. 2.6: EXERCÍCIOS 53
line before the other, the other, as he passes, shouts
‘Chicken!’, and the one who has swerved becomes
an object of contempt. As played by irresponsible
boys, this game is considered decadent and immoral,
though only the lives of the players are risked. But
when the game is played by eminent statesmen, who
risk not only their own lives but those of many hundreds
of millions of human beings, it is thought on
both sides that the statesmen on one side are displaying
a high degree of wisdom and courage, and
only the statesmen on the other side are reprehensible.
This, of course, is absurd. Both are to blame
for playing such an incredibly dangerous game. The
game may be played without misfortune a few times,
but sooner or later it will come to be felt that loss
of face is more dreadful than nuclear annihilation.
The moment will come when neither side can face
the derisive cry of ‘Chicken!’ from the other side.
When that moment is come, the statesmen of both
sides will plunge the world into destruction.”
O jogo do covarde pode ser modelado com a seguinte matriz
de payoffs:
desviar
g 2
não desviar
g 1
desviar (2, 2) (1, 3)
não desviar (3, 1) (0, 0)
.
Pede-se:
(a) Determinar se existe alguma estratégia estritamente dominante
para algum jogador.
(b) Determinar se existe algum equilíbrio de Nash (em estratégias
puras). Caso exista mais do que um equilíbrio, quantos
equaissão.

54 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
[05] (Jogo Hawk-Dove) Dois animais disputam um recurso (uma
presa, por exemplo). Cada animal tem duas opções: (1) brigar
pelo recurso (estratégia hawk) ou (2) ameaçar o seu oponente
(estratégia dove). Se os dois animais resolverem brigar pelo
recurso, o conflito continuará até que um deles fique ferido e
o vencedor será o outro. Se somente um animal decide atacar,
então ele vencerá o animal que decidiu apenas ameaçar.
Se os dois escolherem fazer ameaças, então existe um empate
e cada animal recebe um ganho menor do que ganharia na situação
onde um escolhe brigar e o outro ameaçar. Este jogo
foi apresentado pela primeira vez por John Maynard Smith e
George Price no artigo The Logic of Animal Conflict na revista
Nature [56]. A forma tradicional da matriz de payoffs éa
seguinte:
g 1
brigar
ameaçar
brigar
( V − C
, V − C )
2 2
(0,V)
g 2
ameaçar
(V,0)
( V
2 , V 2
)
.
Aqui, V é o valor do recurso sendo disputado e C éocustoda
briga. Em geral, assume-se que o valor do recurso émenordo
que o custo da briga, isto é, C>V >0. Pede-se:
(a) Determinar se existe alguma estratégia estritamente dominante
para algum jogador.
(b) Determinar se existe algum equilíbrio de Nash (em estratégias
puras). Caso exista mais do que um equilíbrio, quantos
equaissão.
[06] No artigo “Nornmandy: Game and Reality”, deW.Drakerna
revista “Moves”, no. 6 (1972), é feita uma análise da invasão da
Europa na Normandia na Segunda Guerra Mundial. Seis configurações
possíveis de ataque (1 a 6) pelos Aliados e seis possíveis

[SEC. 2.6: EXERCÍCIOS 55
estratégias defensivas (A a F ) pelo Eixo foram simuladas e calculadas,
num total de 36 simulações. A matriz da Tabela 2.1
foi estimada pelos Aliados para cada batalha hipotética. Use o
processo de dominância fraca iterada para reduzir ao máximo
possível o tamanho da matriz.
[07] Considere um jogo com três jogadores: A, B e C. Asestratégias
do jogador A são {x 1 ,x 2 ,x 3 },asestratégias do jogador B são
{y 1 ,y 2 } easestratégias do jogador C são {z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 }. Se
o jogador B escolhe a estratégia y 1 ,ospayoffs são dados pela
matriz
C
z 1 z 2 z 3 z 4
x 1 (5, 0, 2) (1, 0, 1) (3, 0, 6) (1, 2, 1)
A
x 2 (3, 2, 2) (9, 1, 8) (2, 0, 5) (2, 0, 2)
x 3 (1, 0, 0) (1, 0, 9) (4, 0, 8) (3, 0, 3)
Por outro lado, se o jogador B escolhe a estratégia y 2 ,então os
payoffs são dados por
C
z 1 z 2 z 3 z 4
x 1 (0, 1, 1) (0, 1, 2) (2, 1, 3) (0, 3, 9)
A
x 2 (0, 3, 2) (1, 2, 3) (2, 1, 8) (2, 1, 0)
x 3 (1, 1, 0) (2, 1, 1) (3, 2, 2) (3, 1, 3)
Use a técnica de dominância estrita iterada para reduzir a matriz
deste jogo.

56 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
Tabela 2.1: Análise da invasão da Europa na Normandia na Segunda Guerra Mundial.
6 (+23, −23) (+22, −22) (+19, −19) (+23, −23) (+30, −30) (+34, −34)
Aliados
3 (+18, −18) (+22, −22) (+31, −31) (+31, −31) (+27, −27) (+37, −37)
4 (+11, −11) (+22, −22) (+12, −12) (+21, −21) (+21, −21) (+26, −26)
5 (+18, −18) (+16, −16) (+19, −19) (+14, −14) (+19, −19) (+28, −28)
2 (+18, −18) (+22, −22) (+21, −21) (+22, −22) (+29, −29) (+31, −31)
1 (+13, −13) (+29, −29) (+ 8, − 8) (+12, −12) (+16, −16) (+23, −23)
Eixo
A B C D E F

[SEC. 2.6: EXERCÍCIOS 57
[08] Repita o exercício anterior com a matriz de payoffs
C
z 1 z 2 z 3 z 4
x 1 (1, 2, 9) (2, 9, 9) (3, 7, 9) (2, 8, 9)
A
x 2 (3, 8, 3) (4, 5, 4) (4, 1, 3) (3, 9, 3)
x 3 (2, 9, 9) (3, 9, 9) (3, 9, 9) (2, 9, 9)
caso o jogador B escolha a estratégia y 1 eamatrizdepayoffs
C
z 1 z 2 z 3 z 4
x 1 (2, 1, 9) (3, 9, 9) (2, 9, 9) (1, 9, 9)
A
x 2 (4, 9, 1) (4, 2, 2) (3, 2, 1) (2, 2, 1)
x 3 (1, 9, 9) (2, 9, 9) (2, 9, 9) (1, 9, 9)
caso ele escolha a estratégia y 2 .
[09] Considere um jogo com três jogadores: A, B e C. Asestratégias
do jogador A são {x 1 ,x 2 ,x 3 },asestratégias do jogador B são
{y 1 ,y 2 } easestratégias do jogador C são {z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 }. Se
o jogador B escolhe a estratégia y 1 ,ospayoffs são dados pela
matriz
C
z 1 z 2 z 3 z 4
x 1 (1, 2, 1) (2, 3, 1) (1, 0, 2) (1, 4, 1)
A
x 2 (2, 0, 1) (1, 2, 1) (3, 1, 3) (3, 2, 1)
x 3 (1, 0, 1) (1, 1, 1) (2, 5, 1) (1, 3, 1)

58 [CAP. 2: JOGOS NA FORMA ESTRATÉGICA
Por outro lado, se o jogador B escolhe a estratégia y 2 ,então os
payoffs são dados por
C
z 1 z 2 z 3 z 4
x 1 (0, 0, 0) (1, 2, 3) (1, 3, 0) (1, 1, 1)
A
x 2 (2, 1, 0) (1, 5, 1) (2, 2, 3) (1, 5, 2)
x 3 (2, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 0, 4) (1, 5, 3)
Calcule os equilíbrios de Nash em estratégias puras deste jogo.
[10] Considere o jogo cuja matriz de payoffs é dada por:
Jogador 2
L C R
Jogador 1
T (1, 0) (3, 1) (1, 1)
M (1, 1) (3, 0) (0, 1)
B (2, 2) (3, 3) (0, 2)
.
(a) Identifique, para cada jogador, todos os pares de estratégias
onde uma estratégia é fracamente dominada pela outra.
(b) Usando o processo de eliminação das estratégias fracamente
dominadas, encontre todas as possíveis de maneiras de reduzir
o jogo para uma matriz 1 × 1.
(c) Quais são os equilíbrios de Nash em estratégias puras do
jogo?
[11] Suponha que o processo de dominância fraca iterada em estratégias
puras reduza um jogo finito para apenas um único
perfil de estratégias s ∗ .Mostreques ∗ é um equilíbrio de Nash
em estratégias puras do jogo.

[SEC. 2.6: EXERCÍCIOS 59
[12] Demonstre a propriedade 2.2 da página 31 da função utilidade
esperada definida em 2.1.
[13] Mostre que uma estratégia mista que atribui probabilidade positiva
para uma estratégia pura estritamente dominada também
é estritamente dominada.
[14] Use a técnica descrita no Exemplo 2.11 para calcular as funções
de melhor resposta dos jogadores dos Exemplos 2.1 (o dilema
dos prisioneiros) e 2.6 (comparar moedas). Em seguida, use as
representações gráficas destas funções para calcular os equilíbrios
de Nash em estratégias mistas de cada jogo.
[15] Um equilíbrio de Nash em estratégias mista pode dar probabilidade
positiva a uma estratégia pura que éestritamentedominada?
E em uma estratégia pura que é fracamente dominada?
[16] (Eficiência de Pareto) Um perfil de estratégias puras é Pareto
eficiente (também denominado ponto ótimo de Pareto) se
nenhum outro perfil de estratégias puras oferece a todos os jogadores
um ganho maior, isto é, nenhum jogador pode aumentar o
seu ganho sem que algum outro jogador tenha uma perda. Mais
precisamente, s ∗ ∈ S é Pareto eficiente se, não existe s • ∈ S
tal que
u i (s • ) >u i (s ∗ ),
para todo i =1,...,n.
O equilíbrio de Nash s ∗ = (confessar, confessar) do jogo do
dilema dos prisioneiros é Pareto eficiente?

Capítulo 3
O teorema de equilíbrio
de Nash
O teorema de equilíbrio de Nash estabelece que todo jogo finito
possui pelo menos um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Este
resultado foi provado por John Forbes Nash Jr. em sua tese de doutorado
em 1949 na Universidade de Princeton. Neste capítulo apresentaremos
duas demonstrações do teorema, obtidas através de dois
teoremas de ponto fixo: o de Brouwer e o de Kakutani.
3.1 Usando o teorema de Brouwer
Teorema 3.1 (do ponto fixo de Brouwer) Se Δ éum
subconjunto compacto, convexo e não-vazio de um espaço euclidiano
de dimensão finita e se F: Δ→ Δé uma função contínua,
então F possui um ponto fixo em Δ, isto é, existe p ∗ ∈ Δtal
que
F(p ∗ )=p ∗ .
Ademonstração deste teorema pode ser encontrada, por exemplo,
em [63, 79]. A dissertação de mestrado [89] oferece um excelente
60

[SEC. 3.1: USANDO O TEOREMA DE BROUWER 61
survey sobre o assunto: ela inclui dados históricos, generalizações e
aplicaçõesdoteoremadopontofixodeBrouwer.
Com as notações dadas na Seção 2.3, estabeleceremos uma seqüência
de teoremas que fornecem caracterizações alternativas para
um equilíbrio de Nash.
Teorema 3.2 Para cada i =1,...,n e j =1,...,m i , defina as
funções
z ij : Δ → R
p ↦→ z ij (p) =u i (s ij , p −i ) − u i (p i , p −i )
(isto é, z ij mede o ganho ou perda do jogador g i quando ele troca
a distribuição de probabilidade p i pela estratégia pura s ij ). Temos
que p ∗ é um equilíbrio de Nash se, e somente se,
z ij (p ∗ ) ≤ 0
para cada i =1,...,n e j =1,...,m i .
Demonstração:
(⇒) Sep ∗ =(p ∗ i , p∗ −i )é um equilíbrio de Nash, então u i(p ∗ i , p∗ −i )
≥ u i (s ij , p ∗ −i ) para cada i =1,...,n e j =1,...,m i. Conseqüentemente,
z ij (p ∗ )=u i (s ij , p ∗ −i) − u i (p ∗ i , p ∗ −i) ≤ 0
para cada i =1,...,n e j =1,...,m i .
(⇐) Se
z ij (p ∗ )=u i (s ij , p ∗ −i ) − u i(p ∗ i , p∗ −i ) ≤ 0
para cada i =1,...,n e j =1,...,m i ,então
u i (s ij , p ∗ −i) =u i (e j , p ∗ −i) ≤ u i (p ∗ i , p ∗ −i)
para cada i =1,...,n e j =1,...,m i , onde e j éovetoremR mi que
tem 1 na j-ésima coordenada e zero nas demais. Devemos mostrar
que para todo p i =(p i1 ,...,p imi ) ∈ Δ mi
u i (p i , p ∗ −i) ≤ u i (p ∗ i , p ∗ −i).

62 [CAP. 3: O TEOREMA DE EQUILÍBRIO DE NASH
Mas, como x ↦→ u i (x, p ∗ i ) preserva combinações convexas, temos que
(
mi
)
∑
∑m i
u i (p i , p ∗ −i) =u i p ik · e k , p ∗ (
−i = p ik · u i ek , p ∗ )
−i
∑m i
k=1
k=1
≤
k=1
(
p ik · u i p
∗
i , p ∗ ( ∑m i
−i)
= ui p
∗
i , p ∗ (
−i)
· p ik = u i p
∗
i , p ∗ −i)
,
onde, na última igualdade, usamos o fato de que ∑ m i
k=1 p ik =1,dado
que p i ∈ Δ mi .
k=1
Teorema 3.3 Para cada i =1,...,n e j =1,...,m i , defina as
funções
g ij : Δ → R
p ↦→ g ij (p) =max{0,z ij (p)} .
Temos que p é um equilíbrio de Nash se, e somente se,
g ij (p) =0
para cada i =1,...,n e j =1,...,m i .
Demonstração: A prova segue imediatamente do teorema anterior.
Teorema 3.4 Defina a aplicação
F: Δ = Δ m1 ×···×Δ mn → Δ=Δ m1 ×···×Δ mn
p =(p 1 ,...,p n ) ↦→ F(p) =(y 1 (p),...,y n (p)) ,
onde
e
y i (p) =(y i1 (p),...,y imi (p)), p i =(p i1 ,...,p imi )

[SEC. 3.1: USANDO O TEOREMA DE BROUWER 63
y ij (p) =
p ij + g ij (p)
m i
.
∑
1+ g ik (p)
k=1
Temos que p ∗ é um equilíbrio de Nash se, e somente se,
F(p ∗ )=p ∗ ,
isto é, se, e somente se, p ∗ éumpontofixodaaplicação F.
Demonstração: Observe que, de fato, F(Δ) ⊆ Δ, pois claramente
y ij ≥ 0e
∑m i
k=1
⎛
⎞
∑m i
∑m i
∑m i
p ik + g ik (p)
y ik (p) =
p ik + g ik (p)
⎜ m i
k=1 ⎝ ∑ ⎟
⎠ = k=1 k=1
∑m i
1+ g ik (p) 1+ g ik (p)
k=1
∑m i
1+ g ik (p)
k=1
m i
=
=1,
∑
1+ g ik (p)
k=1
isto é, cada y i (p) ∈ Δ mi .
(⇒) Sep ∗ é um equilíbrio de Nash, então g ij (p ∗ ) = 0 para cada
i =1,...,n e j =1,...,m i .Destamaneira,y ij (p ∗ )=p ∗ ij para cada
i =1,...,ne j =1,...,m i ,istoé, y i (p ∗ )=p ∗ i para cada i =1,...,n
ou, ainda, F(p ∗ )=p ∗ .
(⇐) Suponha que p ∗ =(p ∗ 1, p ∗ 2,...,p ∗ n) ∈ Δ=Δ m1 ×···×Δ mn
seja um ponto fixo da aplicação F: Δ→ Δ, isto é, suponha que
p ∗ ij = p∗ ij + g ij(p ∗ )
∑m i
1+ g ik (p ∗ )
k=1
k=1

64 [CAP. 3: O TEOREMA DE EQUILÍBRIO DE NASH
para todo j =1,...,m i e i =1,...,n.Segue-seentão que
m i
p ∗ ij ·
∑
g ik (p ∗ )=g ij (p ∗ ),
k=1
∑
para todo j =1,...,m i e i =1,...,n. Afirmamos agora que α =
mi
k=1 g ik(p ∗ ) = 0, de modo que g ik (p ∗ )=0paratodok =1,...,m i
e i =1,...,n. De fato: se, por absurdo, α>0, vemos a partir da
relação acima que
g ij (p ∗ ) > 0 se, e somente se, p ∗ ij > 0.
Sem perda de generalidade, suponha que p ∗ i1 > 0, p∗ i2 > 0,...,p∗ il > 0
e p ∗ i(l+1) = p∗ i(l+2) = ···= p∗ im i
=0. Observeque
∑m i
p ∗ i = p ∗ ike k ,
k=1
onde e i é o i-ésimo vetor da base canônica de R mi . Dado que
g ik (p ∗ ) > 0paratodok =1,...,l,temosque
u i (e k , p ∗ −i) >u i (p ∗ i , p ∗ −i),
para todo k =1,...,l.Destamaneira,
(
mi
)
∑
∑m i
u i (p ∗ i , p ∗ −i) =u i p ∗ ike k , p ∗ −i = p ∗ (
ik · u i ek , p ∗ )
−i
k=1
k=1
=
l∑
k=1
p ∗ ik · u (
i ek , p ∗ )
−i
>
l∑
p ∗ ik · u (
i p
∗
i , p ∗ (
−i)
= ui p
∗
i , p ∗ −i)
·
k=1
l∑
p ∗ ik = u (
i p
∗
i , p ∗ −i)
,
um absurdo. Isto demonstra que g ij (p ∗ )=0paratodoj =1,...,m i
e j =1,...,m e, assim, p ∗ é um equilíbrio de Nash em estratégias
mistas.
k=1

[SEC. 3.2: USANDO O TEOREMA DE KAKUTANI 65
Teorema 3.5 (do equilíbrio de Nash) Todo jogo definido
por matrizes de payoffs possui um equilíbrio de Nash.
Demonstração: A aplicação F: Δ→ Δ definida no teorema anterior
écontínua e Δ é um conjunto compacto e convexo. Pelo teorema
do ponto fixo de Brouwer, F possui um ponto fixo p ∗ . Pelo teorema
anterior, p ∗ é um equilíbrio de Nash.
3.2 Usando o teorema de Kakutani
Seja X um subconjunto de R n . Dizemos que p ∗ ∈ X éumponto
fixo de uma função φ: X → 2 X se p ∗ ∈ φ(p ∗ ). O teorema do ponto
fixo de Kakutani estabelece condições suficientes para que φ possua
pelo menos um ponto fixo.
Teorema 3.6 (do ponto fixo de Kakutani) Seja X um
subconjunto compacto, convexo e não-vazio de R n .Se
φ: X → 2 X
ésemicontínua superiormente e φ(x)énão-vazio e convexo para
todo x ∈ X, então φ possui pelo menos um ponto fixo, isto é,
existe p ∗ ∈ X tal que
p ∗ ∈ φ(p ∗ ).
Suponha que exista um subconjunto compacto K de R n tal que
φ(x) ⊆ K para todo x ∈ X e suponha que φ(x) é um subconjunto
fechado de R n para todo x ∈ X. Dizemos que φ: X → 2 X é contínua
superiormente se, e somente se, y 0 ∈ φ(x 0 ) sempre que (a) x 0 ∈ X,
(b) x k ∈ X para k =1, 2,..., (c) lim k→+∞ x k = x 0 ,(d)y k ∈ φ(x k )
e (e) lim k→+∞ y k = y 0 . Neste contexto, φ écontínua superiormente
se, e somente se, o gráfico de φ,
Gr(φ) ={(x, y) ∈ X × X | y ∈ φ(x)},

66 [CAP. 3: O TEOREMA DE EQUILÍBRIO DE NASH
é um subconjunto fechado de X × X. Por exemplo, se X =[0, 1],
então
{ {1/2}, se 0 ≤ x

[SEC. 3.2: USANDO O TEOREMA DE KAKUTANI 67
y
1
3/4
1/2
1/4
0 1/2
1
x
Figura 3.2: Gráfico de uma função que não é semicontínua superiormente.
Teorema 3.7 (do equilíbrio de Nash) Todo jogo definido
por matrizes de payoffs possui um equilíbrio de Nash.
Demonstração: Basta verificarmos que a função de melhor resposta
satisfaz as hipóteses do teorema do ponto fixo de Kakutani.
(1) O conjunto X =Δ=Δ(S 1 ) × ···× Δ(S n )énão-vazio, compacto
(como produto cartesiano de conjuntos compactos) e convexo
(como produto cartesiano de conjuntos convexos).
(2) Para todo p ∈ Δ, o conjunto MR(p) está contido no compacto
K =Δ.
(3) Para todo p ∈ Δ, o conjunto MR(p) é convexo. De fato: suponha,
por absurdo, MR(p) não seja um conjunto convexo. Então
existem q (•) , q (◦) ∈ MR(p) eλ ∈ (0, 1) tais que
(1 − λ) · q (•) + λ · q (◦) ∉ MR(p).

68 [CAP. 3: O TEOREMA DE EQUILÍBRIO DE NASH
Mas, para todo índice i, valeque
u i ((1 − λ) · q (•)
i
Agora,
+ λ · q (◦)
i , p −i )=
(1 − λ) · u i (q (•)
i
, p −i )+λ · u i (q (◦)
i , p −i ).
u i (q (•)
i , p −i )=u i (q (◦)
i , p −i )=constante= max u i(p i , p −i ).
p i ∈Δ(S i)
Conseqüentemente, u i ((1 − λ) · q (•)
i + λ · q (◦)
i , p −i )=constante,
isto é, (1 − λ) · q (•)
i + λ · q (◦)
i ∈ MR i (p −i ), para todo i =1,...,n,
oqueéumacontradição.
(4) Para todo p ∈ Δ,oconjuntoMR(p) é fechado. Para ver isto,
basta mostrar que MR i (p −i ) = argmax pi ∈Δ(S i) u i (p i , p −i )éfechado.
Seja então p (k)
i uma sequência de pontos em MR i (p −i )que
converge para p (0)
i . Desta maneira, u i (p (k)
i , p −i )=constante=
max pi ∈Δ(S i) u i (p i , p −i )e,comox ↦→ u i (x, p −i )é uma função
contínua, concluímos que
u i (p (0)
i , p −i )=constante= max
p i ∈Δ(S i) u i(p i , p −i ).
Sendo assim, p (0)
i ∈ MR i (p −i ).
(5) MR: Δ → 2 Δ ésemicontínua superiormente. Com efeito, mostraremos
que se (a) p (0) ∈ Δ, (b) p (k) éumasequência de pontos
em Δ, (c) lim k→+∞ p (k) = p (0) ,(d)q (k) ∈ MR(p (k) )e(e)q (k)
converge para q (0) , então q (0) ∈ MR(p (0) ). Se, por absurdo,
q (0) ∉ MR(p (0) ), então existe índice i tal que q (0)
i
∉ MR(p (0)
Portanto, existem ɛ>0eq (•)
i
∈ Δ(S i )taisque
u i (q (•)
i , p (0)
−i ) >u i(q (0)
i , p (0)
−i )+3· ɛ.
−i ).
Mas, desde que u i é uma função contínua e (q (k)
i , p (k)
−i )converge
para (q (0)
i , p (0)
−i ), então para todo k suficientemente grande,
u i (q (•)
i , p (k)
−i ) >u i(q (•)
i , p (0)
−i ) − ɛ>
u i (q (0)
i , p (0)
−i )+2· ɛ>u i(q (k)
i
, p (k)
−i )+ɛ.

[SEC. 3.3: ALGUMAS PROPRIEDADES DOS EQUILÍBRIOS DE NASH 69
Sendo assim, q (k)
i ∉ MR i (p (k)
−i ), pois u i(q (•)
i , p (k)
−i ) >u i(q (k)
i , p (k)
−i ),
o que contradiz (d).
Shizuo Kakutani demonstrou o seu teorema no artigo [45]. Debreu
lista mais de 300 aplicações do teorema do ponto fixo de Kakutani
ao provar a existência de um equilíbrio econômico em [24].
3.3 Algumas propriedades dos equilíbrios
de Nash
Wilson ([97]) mostrou que, a menos de um conjunto fechado e
de medida zero, todo jogo finito possui um número finito e ímpar
de equilíbrios de Nash em estratégias mistas. Pelo menos para jogos
com dois jogadores, cada um com duas estratégias, este resultado
pode ser antecipado através da análise das funções de melhor resposta
que fizemos na Subseção 2.4.2 (veja, por exemplo, a Figura 2.5 na
página 42). Harsanyi, em [40], apresentou uma prova alternativa para
este resultado. Também tratam do assunto as referências [35, 36, 59].
Por outro lado, os casos degenerados podem ter topologias diversificadas.
De fato, Datta provou que toda variedade algébrica real
(soluções reais de um sistema de equações polinomiais) éisomorfa
ao conjunto de equilíbrios de Nash em estratégias totalmente mistas
de algum jogo com 3 jogadores e, também, de algum jogo com n
jogadores, cada um com apenas 2 estratégias puras ([20]). Um perfil
de estratégias totalmente mistas éumperfilquedá probabilidade
positiva a cada estratégia pura.
Existem jogos cujos payoffs são todos números racionais, mas todos
os equilíbrios de Nash em estratégias mistas possuem coordenadas
irracionais ([69]). Contudo, Markakis mostrou que, neste contexto,
existe sempre pelo menos um equilíbrio de Nash em estratégias mistas
com coordenadas algébricas ([51, 54]).
Torres-Martínez ([91]) e Zhao ([99]) demonstram que épossível
deduzir os teoremas de ponto fixo de Brouwer e Kakutani a partir de
um teorema de existência de equilíbrios de Nash.

70 [CAP. 3: O TEOREMA DE EQUILÍBRIO DE NASH
3.4 Exercícios
[01] O objetivo deste exercício é mostrar que as hipóteses do teorema
do ponto fixo de Brouwer não podem ser removidas.
(a) Exiba uma função F: Δ→ Δ descontínua, definida em um
subconjunto Δ compacto, convexo e não-vazio de R n ,que
não possui ponto fixo.
(b) Exiba uma função F: Δ→ Δcontínua, definida em um
subconjunto Δ não-compacto, convexoenão-vazio de R n ,
que não possui ponto fixo.
(c) Exiba uma função F: Δ→ Δcontínua, definida em um
subconjunto Δ compacto, não-convexo enão-vazio de R n ,
que não possui ponto fixo.
[02] Exiba um exemplo de função φ: X → 2 X definida em um
subconjunto X compacto, convexo e não-vazio de R n , que é
semicontínua superiormente, mas não possui ponto fixo. Isto
mostra que a hipótese de φ(x) ser um conjunto convexo para
todo x ∈ X não pode ser removida do enunciado do teorema
do ponto fixo de Kakutani.
[03] Dê um exemplo de jogo com um número par de equilíbrios de
Nash em estratégias mistas.

Capítulo 4
Calculando equilíbrios
de Nash
4.1 Equilíbrio de Nash via um problema
de otimização
O Teorema 3.3 sugere uma maneira de se calcular os equilíbrios
de Nash de um jogo. Eles são soluções do seguinte problema de
otimização não-linear:
minimizar
n∑ ∑m i
(g ij (p)) 2
i=1 j=1
sujeito a p ∈ Δ.
Com efeito: a soma de quadrados é zero se, e somente se, cada parcela
é igual a zero. McKelvey demonstrou em [58] que a função objetivo
p ↦→
n∑ ∑m i
(g ij (p)) 2
i=1 j=1
é uma função de classe C 1 . Assim, algoritmos numéricos de otimização
que usam derivadas (Newton, Davidon-Fletcher-Powell) podem
ser usados.
71

72 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Exemplo 4.1 Para o dilema do prisioneiro (Exemplo 2.1, página 11),
(p, q) =(p, 1 − p; q, 1 − q) ∈ Δ 2 × Δ 2
é um equilíbrio de Nash se, e somente se, (p, q) ésolução do seguinte
problema de otimização
minimizar G(p, q) = (max{0, − (−1+p)(4q +1)}) 2 +
(max {0, −p (4 q +1)}) 2 +
(max {0, − (4 p +1)(−1+q)}) 2 +
(max {0, −q (4 p +1)}) 2
sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,
0 ≤ q ≤ 1.
Como vemos pela Figura 4.1, que mostra o gráfico e o mapa de contorno
de G, oponto
(p ∗ , q ∗ )=(1, 0; 1, 0)
éoúnico equilíbrio de Nash do jogo.
Exemplo 4.2 Para a batalha dos sexos (Exemplo 2.2, página 13),
(p, q) =(p, 1 − p; q, 1 − q) ∈ Δ 2 × Δ 2
é um equilíbrio de Nash se, e somente se, (p, q) ésolução do seguinte
problema de otimização
minimizar G(p, q) = (max{0, −5 (−1+p)(3q − 1)}) 2 +
(max {0, −5 p (3 q − 1)}) 2 +
(max {0, −5 (3p − 2) (−1+q))) 2 +
(max {0, −5 q (3 p − 2)}) 2
sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,
0 ≤ q ≤ 1.
Como vemos pela Figura 4.2, que mostra o gráfico e o mapa de contorno
de G, ospontos
(p ∗ , q ∗ )=(1, 0; 1, 0), (p ∗ , q ∗ )=(0, 1; 0, 1) e
(p ∗ , q ∗ )=(2/3, 1/3; 1/3, 2/3)

[SEC. 4.1: EQUILÍBRIO DE NASH VIA UM PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO 73
são os únicos equilíbrios de Nash do jogo.
Exemplo 4.3 Para o jogo do Exemplo 2.6 da página 22,
(p, q) =(p, 1 − p; q, 1 − q) ∈ Δ 2 × Δ 2
é um equilíbrio de Nash se, e somente se, (p, q) ésolução do seguinte
problema de otimização
minimizar G(p, q) = (max{0, −2 (−1+p)(2q − 1)}) 2 +
(max {0, −2 p (2 q − 1)}) 2 +
(max {0, 2(2p − 1) (−1+q)}) 2 +
(max {0, 2(2p − 1) q}) 2
sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,
0 ≤ q ≤ 1.
Como vemos pela Figura 4.3, que mostra o gráfico e o mapa de contorno
de G, oponto
(p ∗ , q ∗ )=(1/2, 1/2; 1/2, 1/2)
éoúnico equilíbrio de Nash do jogo.
Exemplo 4.4 Para o jogo do exemplo 2.12 da página 42,
(p, q) =(p, 1 − p; q, 1 − q) ∈ Δ 2 × Δ 2
é um equilíbrio de Nash se, e somente se, (p, q) ésolução do seguinte
problema de otimização
minimizar G(p, q) = (max{0, −2 (−1+p)(2q − 1)}) 2 +
(max {0, −2 p (2 q − 1)}) 2 +
(max {0, (−3+4p)(−1+q)}) 2 +
(max {0,q(−3+4p)}) 2
sujeito a 0 ≤ p ≤ 1,
0 ≤ q ≤ 1.

74 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Como vemos pela Figura 4.4, que mostra o gráfico e o mapa de contorno
de G, oponto
(p ∗ , q ∗ )=(3/4, 1/4; 1/2, 1/2)
éoúnico equilíbrio de Nash do jogo.
4.2 Equilíbrio de Nash via equações polinomiais
Apróxima proposição estabelece que a maior utilidade esperada
que o jogador g i pode obter contra qualquer escolha de estratégias
mistas dos demais jogadores não depende se o jogador g i está usando
estratégias mistas ou somente estratégias puras. Mais ainda, as estratégias
mistas ótimas para o jogador g i são justamente aquelas que
atribuem probabilidade positiva somente para as estratégias puras
ótimas.
Proposição 4.1 Para todo i = 1,...,n e para todo p =
(p 1 ,...,p i ,...,p n ) ∈ Δ=Δ(S 1 ) ×···×Δ(S i ) ×···Δ(S n ),
Mais ainda,
max u i (s iji , p −i )= max u i(˜p i , p −i ).
s iji ∈S i ˜p i ∈Δ(S i)
p ∗ i =(p ∗ i1,...,p ∗ ik,...,p ∗ im i
) ∈ argmax˜pi ∈Δ(S i) u i (˜p i , p −i )
⇕
p ∗ ik = 0 para todo k tal que s ik ∉ argmax siji ∈S i
u i (s iji , p −i ).
Demonstração: Pela Propriedade 2.4, sabemos que
u i (˜p i , p −i )=
∑m i
j i=1
˜p iji · u i (s iji , p −i ).

[SEC. 4.2: EQUILÍBRIO DE NASH VIA EQUAÇÕES POLINOMIAIS 75
25
20
15
10
5
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
p
0
0.5 q
p
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0.8
0.6
q
0.4
0.2
0
Figura 4.1: Encontrando os equilíbrios de Nash para o dilema do prisioneiro
via um problema de otimização.

76 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
3
2.5
2
1.5
1
1
0.5
0.8
0.6
0.4 q
0
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
1
p
p
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0.8
0.6
q
0.4
0.2
0
Figura 4.2: Encontrando os equilíbrios de Nash para a batalha dos
sexos via um problema de otimização.

[SEC. 4.2: EQUILÍBRIO DE NASH VIA EQUAÇÕES POLINOMIAIS 77
4
3
2
1
1
0.8
0.6
q
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1
p
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0.8
0.6
q
0.4
0.2
0
Figura 4.3: Encontrando os equilíbrios de Nash do jogo de comparar
moedas via um problema de otimização.

78 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
8
6
4
2
1
0.8
0.6
q
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1
p
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0.8
0.6
q
0.4
0.2
0
Figura 4.4: Encontrando os equilíbrios de Nash do jogo do Exemplo
2.12 via um problema de otimização.

[SEC. 4.2: EQUILÍBRIO DE NASH VIA EQUAÇÕES POLINOMIAIS 79
Assim, u i (˜p i , p −i )éamédia ponderada dos valores u i (s iji , p −i ), onde
os pesos ˜p iji são não-negativos e somam 1. Esta média ponderada
não pode ser maior do que o maior dos valores que participam no
cálculo da média. Assim,
para todo ˜p i ∈ Δ(S i ) e, portanto,
u i (˜p i , p −i ) ≤ max
s iji ∈S i
u i (s iji , p −i )
max
˜p i ∈Δ(S i) u i(˜p i , p −i ) ≤ max
s iji ∈S i
u i (s iji , p −i ).
Por outro lado, u i (s iji , p −i )=u i (e ji , p −i ), onde e ji é a distribuição
de probabilidades em Δ(S i ) que dá peso1àestratégia pura s iji .
Assim,
u i (s iji , p −i )=u i (e ji , p −i ) ≤
para todo s iji ∈ S i e, portanto,
max u i(˜p i , p −i )
˜p i ∈Δ(S i)
max u i (s iji , p −i ) ≤ max u i(˜p i , p −i ).
s iji ∈S i ˜p i ∈Δ(S i)
Para a segunda parte da proposição, suponha por absurdo que exista
p ∗ i =(p ∗ i1,...,p ∗ ik,...,p ∗ im i
) ∈ argmax˜pi ∈Δ(S i) u i (˜p i , p −i )
onde, para algum índice k, ocorre que
p ∗ ik > 0 e s ik ∉ argmax siji ∈S i
u i (s iji , p −i ).
Isto implica que u i (s ik , p −i ) < max siji ∈S i
u i (s iji , p −i ). Uma vez que
u i (s iji , p −i ) ≤ max siji ∈S i
u i (s iji , p −i )paratodoj i ≠ k, segue-se que
u i (p ∗ i , p −i ) =
<
∑m i
j i=1
∑m i
j i=1
p ∗ ij i · u i (s iji , p −i )
p ∗ ij i · max
s iji ∈S i
u i (s iji , p −i )=
maxu i (s iji , p −i )
s iji ∈S i
= max
˜p i ∈Δ(S i) u i(˜p i , p −i ).

80 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Masisto contradiz o fato de p ∗ i pertencer a argmax˜p i ∈Δ(S i) u i (˜p i , p −i ).
Reciprocamente, se p ∗ i satisfaz a condição p∗ ik = 0 para todo k tal que
s ik ∉ argmax siji ∈S i
u i (s iji , p −i ), então
sempre que p ∗ ik > 0. Assim
u i (s ik , p −i )= max
s iji ∈S i
u i (s iji , p −i )
m i
u i (p ∗ i , p −i ) = ∑
p ∗ ik · u i(s ik , p −i ) = ∑
k=1
= ∑
p ∗ ik >0 p ∗ ik · max
s iji ∈S i
u i (s iji , p −i )=
= max
˜p i ∈Δ(S i) u i(˜p i , p −i ).
p ∗ ik >0 p ∗ ik · u i(s ik , p −i )
maxu i (s iji , p −i )
s iji ∈S i
Isto mostra que p ∗ i pertence a a argmax˜p i ∈Δ(S i) u i(˜p i , p −i ).
Corolário 4.1 p ∗ =(p ∗ 1 ,...,p∗ i ,...,p∗ n) ∈ Δé um equilíbrio
de Nash em estratégias mistas se, e somente se, para todo i =
1,...,n,
p ∗ ik > 0 ⇒ s ik ∈ argmax siji ∈S i
u i (s iji , p ∗ −i),
onde p ∗ i =(p∗ i1 ,...,p∗ ik ,...,p∗ im i
).
O suporte de um perfil p ∗ i =(p∗ i1 ,...,p∗ ik ,...,p∗ im i
)deestratégias
mistas é o conjunto de estratégias puras do jogador g i que recebe
probabilidade positiva por p ∗ i . Mais precisamente,
supp(p ∗ i )={s ik ∈ S i | p ∗ ik > 0}.
Assim, o Corolário 4.1 diz que p ∗ =(p ∗ 1 ,...,p∗ i ,...,p∗ n )é um equilíbrio
de Nash se, e somente se, para todo i =1,...,n,
supp(p ∗ i ) ⊆ argmax s iji ∈S i
u i (s iji , p ∗ −i ).

[SEC. 4.2: EQUILÍBRIO DE NASH VIA EQUAÇÕES POLINOMIAIS 81
AProposição 4.1 pode ser usada para calcular equilíbrios de Nash
em estratégias mistas. O ponto chave é observar que, pela Proposição
4.1, se p ∗ ∈ Δé um equilíbrio de Nash em estratégias mistas,
então, para todo i =1,...,n,
u i (s ik , p ∗ −i) =constante= max
s iji ∈S i
u i (s iji , p ∗ −i) (4.1)
sempre que p ∗ ik > 0, isto é, em um equilíbrio de Nash, o jogador g i
tem o mesmo ganho se trocar sua estratégia p ∗ i por qualquer outra
estratégia pura que recebeu probabilidade positiva de p ∗ i .
Exemplo 4.5 No Exemplo 2.11, vimos que as funções utilidade dois
jogadores da batalha dos sexos são dadas por
u Homem (p 11 ,p 12 ; p 21 ,p 22 ) = 10· p 11 · p 21 + 5· p 12 · p 22 ,
u Mulher (p 11 ,p 12 ; p 21 ,p 22 ) = 5· p 11 · p 21 +10· p 12 · p 22 .
Vamosusarasrelações 4.1 para calcular o equilíbrio de Nash em
estratégias mistas que não é um equilíbrio em estratégias puras,
isto é, o equilíbrio de Nash cujas estratégias mistas tem suporte
nas duas estratégias puras de cada jogador. Para isto, considere
p ∗ =(p ∗ 11,p ∗ 12; p ∗ 21,p ∗ 22) ∈ Δ 2 × Δ 2 ,com0

82 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
mais do que dois jogadores e com mais do que duas estratégias puras
por jogador. Neste caso, é preciso (1) considerar os vários casos que
resultam das diferentes escolhas das estratégias puras que farão parte
do suporte de cada perfil em estratégias mistas e (2) resolver o sistema
não-linear resultante. Mais precisamente, para cada jogador g i epara
cada subconjunto não-vazio T i = {s ik1 ,...,s ikti } de S i (que especifica
quais estratégias puras farão parte do suporte), devemos resolver o
sistema descrito na Figura 4.5 (neste sistema, w i representa o ganho
constante que o jogador g i obtém escolhendo qualquer uma de suas
estratégias puras que recebeu probabilidade positiva de p ∗ i ).
Para jogos com muitos jogadores e muitas estratégias, o sistema
da Figura 4.5 não éprático para o cálculo a mão dos equilíbrios de
Nash. Contudo, métodos numéricos para a solução de um sistema
de equações polinomiais podem ser aplicados: o método de Newton
com uma estratégia de subdivisão espacial, bases de Gröbner e continuação
homotópica poliedral. O leitor interessado pode consultar as
referências [21, 22, 51]
4.3 Jogos de soma zero
Nesta seção estudaremos os jogos de soma zero com dois jogadores,
uma classe especial de jogos onde a soma dos payoffs dos dois
jogadores é sempre zero: o que um jogador ganha, o outro perde 1 .
Veremos que, para este tipo de jogo, os equilíbrios de Nash em estratégias
mistas podem ser facilmente calculados resolvendo-se um
problema de otimização linear.
4.3.1 Jogos de soma constante com dois jogadores
Definição 4.1 (Jogos de soma constante com dois jogadores)
Um jogo de soma constante com dois jogadores éum
jogo com dois jogadores, comumente denominados jogador linha
e jogador coluna, com estratégias
1 Por este motivo, jogos de soma zero também são denominados jogos estritamente
competitivos.

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 83
∑
m1
j1=1
···
mi−1
∑
ji−1=1
mi+1
∑
ji+1=1
···
∑
mn
jn=1
p ∗ 1j1 ···p∗ (i−1)ji−1 · p∗ (i+1)ji+1 ···p∗ njn · u i(s1j1,...,sij−i,sikτ
,siji+1,snjn) =wi,
∀i =1,...,n,∀sikτ ∈ Ti,
p ∗ ikτ =0, ∀i =1,...,n,∀τ =1,...,t i,
∑
ti
τ =1
p ∗ ikτ
=1, ∀i =1,...,n.
Figura 4.5: Calculando equilíbrios de Nash através de um sistema não-linear.

84 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
S jogador linha = {1, 2,...,m}
e
S jogador coluna = {1, 2,...,n}
ematrizdepayoffs
jogador coluna
1 2 ··· n
jogador linha
1 (a 11 ,b 11 ) (a 12 ,b 12 ) ··· (a 1n ,b 1n )
2 (a 21 ,b 21 ) (a 22 ,b 22 ) ··· (a 2n ,b 2n )
.
.
.
.
.
.
. ..
.
.
m (a m1 ,b m1 ) (a m2 ,b m2 ) ··· (a mn ,b mn )
satisfazendo a ij + b ij = c = constante, para todo i =1,...,m
e j =1,...,n. No caso particular em que a constante c é zero,
dizemos que o jogo tem soma zero.
Em termos de estratégias mistas, se p =(p 1 ,...,p m ) ∈ Δ m éuma
distribuição de probabilidades para as estratégias puras do jogador
linha e q =(q 1 ,...,q n ) ∈ Δ n é uma distribuição de probabilidades
para as estratégias puras do jogador coluna, então o payoff esperado
para o jogador linha é
m∑ n∑
u l (p, q) = p i q j a ij
i=1 j=1
⎡
= [ ]
p 1 p 2 ··· p m ⎢
⎣
⎤ ⎡
a 11 a 12 ··· a 1n
a 21 a 22 ··· a 2n
.
.
. .. .
⎥ ⎢
⎦ ⎣
a m1 a m2 ··· a mn
q 1
q 2
. .
q n
⎤
⎥
⎦ ,

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 85
isto é,
⎡
u l (p, q) =p T Aq, com A = ⎢
⎣
⎤
a 11 a 12 ··· a 1n
a 21 a 22 ··· a 2n
. . .
. . ..
. ⎥
. ⎦ .
a m1 a m2 ··· a mn
Analogamente, o payoff esperado para o jogador coluna é dado por
⎡
⎤
b 11 b 12 ··· b 1n
u c (p, q) =p T b 21 b 22 ··· b 2n
Bq, com B = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ .
b m1 b m2 ··· b mn
Uma vez que o jogo tem soma constante, vemos que
⎡
⎤ ⎡
⎤
a 11 a 12 ··· a 1n b 11 b 12 ··· b 1n
a 21 a 22 ··· a 2n
A + B = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ + b 21 b 22 ··· b 2n
⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
a m1 a m2 ··· a mn b m1 b m2 ··· b mn
⎡
⎤
c c ··· c
c c ··· c
= ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ ,
c c ··· c
isto é,
⎡
A + B = C = ⎢
⎣
c c ··· c
c c ··· c
.
.
. .. . c c ··· c
⎤ ⎡
⎥
⎦ = c ⎢
⎣
1 1 ··· 1
1 1 ··· 1
.
.
. .. . 1 1 ··· 1
⎤
⎥ ⎥⎥⎦
= c 1 ,
onde 1 denota a matriz m × n formada com 1 em todas as suas
entradas. Sendo assim, éfácil de ver que
u c (p, q) =p T Bq = p T (c 1 − A)q = cp T 1 q − p T Aq = c − u l (p, q)

86 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
onde, na última igualdade, usamos que p T 1 q =1,poisp e q são
distribuições de probabilidades e, por isto,
m∑
n∑
p i =1 e q j =1.
i=1
j=1
Em particular, vale a seguinte propriedade importante:
u l (p ∗ , q ∗ ) ≥ u l (p, q ∗ ) ⇔ u c (p ∗ , q ∗ ) ≤ u c (p, q ∗ ). (4.2)
4.3.2 Equilíbrio de Nash em estratégias puras
Definição 4.2 (Ponto de sela) Dizemos que um elemento
a ij de uma matriz A éumponto de sela da matriz A se ele for
simultaneamente um mínimo em sua linha e um máximo em sua
coluna, isto é, se
a ij ≤ a il para todo l =1,...,n e
a ij ≥ a kj para todo k =1,...,m.
Otermoponto de sela vem do fato que se desenharmos o gráfico
dos payoffs do jogador linha, a vizinhança do ponto de sela lembra o
formato de uma sela de cavalo (Figura 4.6).
Teorema 4.1 O elemento a ij é um ponto de sela da matriz A
se, e somente se, o par (i, j) é um equilíbrio de Nash em estratégias
puras para o jogo.
Demonstração:
(⇒) Sejaa ij um ponto de sela da matriz A. Comoa ij émáximo
em sua coluna, vale que
u l (i, j) =a ij ≥ a kj = u l (k, j)

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 87
payoff
Colunas
Linhas
Figura 4.6: Ponto de sela.
para todo k =1,...,m,istoé, o jogador linha não pode aumentar o
seu payoff se o jogador coluna mantiver a escolha da coluna j. Por
outro lado, como a ij émínimo em sua linha, vale que
u c (i, j) =b ij = c − a ij ≥ c − a il = b il = u c (i, l)
para todo l =1,...,n,istoé, o jogador coluna não pode aumentar
oseupayoff se o jogador linha mantiver a escolha da linha i. Isto
mostra que o perfil de estratégias puras (i, j) é um equilíbrio de Nash
do jogo.
(⇐) Seja(i, j) é um equilíbrio de Nash do jogo. A partir das
considerações acima, éfácil de ver que a ij émáximo em sua coluna
emínimo em sua linha e que, portanto, a ij é um ponto de sela da
matriz A.

88 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Teorema 4.2 Se a ij e a rs são dois pontos de sela da matriz A,
então a is e a rj também são pontos de sela da matriz A e
a ij = a rs = a is = a rj .
Demonstração: Considere a matriz
⎡
. .
··· a ij ··· a is ···
A =
.
. . ..
.
.
⎢
⎣ ··· a rj ··· a rs ···
. .
⎤
.
⎥
⎦
Como a ij e a rs são pontos de sela, sabemos que eles são mínimos
em suas respectivas linhas e máximos em suas respectivas colunas.
Assim,
a ij ≤ a is ≤ a rs e a ij ≥ a rj ≥ a rs ,
e, portanto,
a ij = a is = a rj = a rs .
Observe que a is émínimo em sua linha, pois a ij = a is émínimo
da mesma linha e que a is émáximo em sua coluna, pois a rs = a is
émáximo da mesma coluna. Analogamente, a rj émínimo em sua
linha, pois a rs = a rj émínimo da mesma linha e a rj émáximo em
sua coluna, pois a rj = a ij émáximo da mesma coluna. Concluímos
então que a is e a rj também são pontos de sela da matriz A.
O payoff mínimo do jogador linha, se ele escolher a linha k, édado
por
a k = min a kl.
1≤l≤n
Analogamente, o payoff mínimo do jogador coluna, se ele escolher a
coluna l, é dado por c − a l , onde
a l = max
1≤k≤m a kl.

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 89
Defina
e
v l (A) =
max a k =
1≤k≤m
max
v c (A) = min a l = min
1≤l≤n 1≤l≤n
min
a kl
1≤k≤m 1≤l≤n
max
1≤k≤m a kl.
Teorema 4.3 Para toda matriz A, tem-sev c (A) ≥ v l (A).
Demonstração: Temos que para todo k =1,...,m e j =1,...,n,
a kj ≥ min a kl.
1≤l≤n
Assim,
max a kj ≥ max min a kl = v l (A),
1≤k≤m 1≤k≤m 1≤l≤n
para todo j =1,...,n.Conseqüentemente,
v c (A) = min
1≤j≤n
max a kj ≥ max
1≤k≤m
1≤k≤m
min a kl = v l (A).
1≤l≤n
Opróximo teorema caracteriza a existência de pontos de sela e,
portanto, a existência de equilíbrios de Nash em estratégias puras,
em termos das funções v l e v c .
Teorema 4.4 Uma matriz A tem um ponto de sela se, e somente
se, v l (A) =v c (A).
Demonstração:
(⇒) Se a ij é um ponto de sela da matriz A, então vale que
a ij =min 1≤l≤n a il = a i . Como v l (A) =max 1≤k≤m a k ,é claro que
v l (A) ≥ a i = a ij . Por outro lado, a ij =max 1≤k≤m a kj = a j . Como
v c (A) =min 1≤l≤n a l , segue-se que v c (A) ≤ a j = a ij . Combinando
estas duas desigualdades, concluímos que v c (A) ≤ a ij ≤ v l (A). Mas,
pelo teorema anterior, v c (A) ≥ v l (A) e, sendo assim, v c (A) =v l (A).
(⇐) Como v l (A) = max 1≤r≤m a r , existe uma linha i tal que
v l (A) =a i . Como, por sua vez, a i =min 1≤s≤n a is ,existeumacoluna
l tal que a i = a il . Assim, v l (A) =a i = a il . Analogamente, como

90 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
v c (A) =min 1≤s≤n a s , existe uma coluna j tal que v c (A) =a j . Como,
por sua vez, a j =max 1≤r≤m a rj , existe uma linha k tal que a j = a kj .
Assim, v c (A) =a j = a kj . Uma vez que, por hipótese, v l (A) =v c (A),
temos que
a il = a i = v l (A) =v c (A) =a j = a kj .
Afirmamos que a ij é um ponto de sela da matriz A. Com efeito, a ij ≤
a j = a i ≤ a is ,paratodos =1,...,n,istoé, a ij éomínimo de sua
linha. Por outro lado, a ij ≥ a i = a j ≥ a rj ,paratodor =1,...,m,
isto é, a ij éomáximo de sua coluna. Portanto, a ij éumpontode
sela da matriz A.
Corolário 4.2 Um jogo de dois jogadores com soma constante
definido pela matriz de payoffs A do jogador linha tem um
equilíbrio de Nash em estratégias puras se, e somente se,
v l (A) =v c (A).
Exemplo 4.6 Considere o jogo de soma zero cujos payoffs do jogador
linha são dados pela matriz A abaixo.
mínimo das linhas
⎡
3 1 1
⎤
0 0
0 1 2 0 0
A = ⎢
⎥
⎣1 0 2 1⎦
0
3 1 2 2 1
máximo das colunas 3 1 2 2
Como v l (A) =máximo dos mínimos das linhas = 1 = v c (A) =mínimo
dos máximos das colunas, segue-se que o jogo possui um equilíbrio
de Nash em estratégias puras. De fato, a 42 é um ponto de sela da
matriz A.

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 91
Exemplo 4.7 Considere o jogo de soma zero cujos payoffs do jogador
linha são dados pela matriz A abaixo.
mínimo das linhas
⎡
3 2 1
⎤
0 0
0 1 2 0 0
A = ⎢
⎥
⎣1 0 2 1⎦
0
3 1 2 2 1
máximo das colunas 3 2 2 2
Como v l (A) =máximo dos mínimos das linhas = 1 < 2=v c (A) =
mínimo dos máximos das colunas, segue-se que o jogo não possui um
equilíbrio de Nash em estratégias puras.
4.3.3 Equilíbrio de Nash em estratégias mistas
Defina
v l (A) = max min p T Aq e v c (A) = min max p T Aq.
q∈Δ n p∈Δ m
p∈Δ m
q∈Δ n
Teorema 4.5 Para toda matriz A, tem-sev c (A) ≥ v l (A).
Demonstração: Temos que para todo p ∈ Δ m ,
p T Aq ≥ min
y∈Δ n
p T Ay.
Assim,
max p T Aq ≥ max min p T Ay = v l (A).
p∈Δ m p∈Δ m y∈Δ n
Conseqüentemente,
v c (A) = min max p T Aq ≥ max min p T Ay = v l (A).
p∈Δ m y∈Δ n
q∈Δ n
p∈Δ m
Opróximo teorema caracteriza a existência de equilíbrios de Nash
em estratégias mistas em termos das funções v l e v c .

92 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Teorema 4.6 Um perfil de estratégias mistas (p ∗ , q ∗ )éum
equilíbrio de Nash de um jogo de dois jogadores com soma constante
definido pela matriz de payoffs A do jogador linha se, e
somente se,
v l (A) =v c (A) =p ∗T Aq ∗ .
Demonstração:
(⇒) Se(p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash, então
p ∗T Aq ∗ = u l (p ∗ , q ∗ ) ≥ u l (p, q ∗ )=p T Aq ∗ ,
para todo p ∈ Δ m .Emparticular,
p ∗T Aq ∗ =max
p∈Δ m
p T Aq ∗ ≥ min
Vale também que
y∈Δ n
max p T Ay = v c (A).
p∈Δ m
p ∗T Aq ∗ = c − u c (p ∗ , q ∗ ) ≤ c − u c (p ∗ , q) =p ∗T Aq,
para todo q ∈ Δ n .Emparticular,
p ∗T Aq ∗ =min
q∈Δ n
p ∗T Aq ≤ max
x∈Δ m
min x T Aq = v l (A).
q∈Δ n
Desta maneira, v l (A) ≥ v c (A). Como, pelo teorema anterior, v l (A) ≤
v c (A), concluímos que v l (A) =v c (A).
(⇐) Comov l (A) =max p∈Δm min q∈Δn p T Aq, existep ∗ ∈ Δ m tal
que
v l (A) = minp ∗T Aq.
q∈Δ n
Analogamente, como v c (A) =min q∈Δn max p∈Δm p T Aq, existeq ∗ ∈
Δ m tal
v c (A) = maxp T Aq ∗ .
p∈Δ m
Uma vez que, por hipótese, v l (A) =v c (A), temos que
min
q∈Δ n
p ∗T Aq = v l (A) =v c (A) = max
p∈Δ m
p T Aq ∗ .

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 93
Afirmamos que (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash do jogo. Com efeito,
u l (p ∗ , q ∗ )=p ∗T Aq ∗ ≥ min
q∈Δ n
p ∗T Aq =
para todo x ∈ Δ m . Por outro lado,
max
p∈Δ m
p T Aq ∗ ≥ x T Aq ∗ = u l (x, q ∗ ),
u c (p ∗ , q ∗ )=c − p ∗T Aq ∗ ≥ c − max p T Aq ∗ =
p∈Δ m
c − min p ∗T Aq ≥ c − p ∗T Ay = u c (p ∗ , y),
q∈Δ n
para todo y ∈ Δ n . Desta maneira, (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash
do jogo.
4.3.4 O teorema minimax de von Neumann
Opróximo teorema estabelece que, para jogos de dois jogadores
com soma zero, v l (A) =v c (A) sempre. Sendo assim, pelo teorema 4.6,
segue-se que, para esta classe de jogos, sempre existe pelo menos um
equilíbrio de Nash em estratégias mistas.
Teorema 4.7 (minimax de von Neumann) Para todo jogo
de soma zero com dois jogadores, representado pela matriz
de payoffs A do jogador linha, sempre existe um perfil de estratégias
mistas (p ∗ , q ∗ ) ∈ Δ m × Δ n satisfazendo
v l (A) = max min p T Aq
q∈Δ n
p∈Δ m
=
p ∗T Aq ∗
=
min max p T Aq = v c (A).
p∈Δ m
q∈Δ n
Em particular, (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash do jogo.

94 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Daremos uma demonstração deste teorema minimax de von Neumann
usando o teorema de dualidade da teoria de programação linear.
Lembramos que um problema de programação linear éumproblema
de otimização com função objetivo e restrições lineares:
(problema primal)
maximizar b T y
sujeito a Ay ≤ c,
y ≥ 0,
onde as desigualdades devem ser interpretadas componente a componente.
A cada problema de programação linear (problema primal)
podemos associar um outro problema de otimização (problema dual):
(problema dual)
minimizar c T x
sujeito a x T A ≥ b T ,
x ≥ 0.
Teorema 4.8 (da dualidade em programação linear)
(a) O problema primal possui uma solução se, e somente se, o
problema dual possui uma solução.
(b) Se y ∗ ésolução do problema primal e x ∗ ésolução do problema
dual, então c T x ∗ = b T y ∗ .
Uma demonstração do teorema de dualidade pode ser encontrada
em [14, 52].
Demonstração do teorema minimax: sem perda de generalidade,
podemos assumir que todas as entradas da matriz de payoffs A do jogador
linha são positivas. Caso contrário, basta substituir A por à =
A + D e B = −A por ˜B = −D + B, onde D = d 1 ,comd>
max 1≤i≤m,1≤j≤n |a ij |.Observequeà + ˜B = 0 (isto é, o jogo definido
pelas matrizes à e ˜B tem soma zero) e que (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 95
de Nash para o jogo definido pela matriz A se, e somente se, (p ∗ , q ∗ )
é um equilíbrio de Nash para o jogo definido pela matriz Ã.
Sejam c =(1, 1,...,1) T e b =(1, 1,...,1) T . Considere os problemas
de programação linear:
(problema primal)
maximizar b T y
sujeito a Ay ≤ c,
y ≥ 0,
(problema dual)
minimizar c T x
sujeito a x T A ≥ b T ,
x ≥ 0.
Passo 1: o problema dual possui uma solução.
Como A>0, o conjunto admissível
X = {x ∈ R m | x T A ≥ b T e x ≥ 0}
énão vazio. Por outro lado, como c =(1, 1,...,1) T , a função objetivo
do problema éescritacomox =(x 1 ,x 2 ,...,x m ) ↦→ c T x =
x 1 + x 2 + ···+ x m . Assim, o problema dual consiste em encontrar o
pontodoconjuntoX mais próximo da origem segundo a norma da
soma || · || 1 , um problema que certamente possui uma solução pois,
se p ∈ X, então podemos “compactificar” o conjunto admissível incluindo
a restrição ||x|| 1 ≤||p|| 1 e, com isso, podemos usar o teorema
de Weierstrass para garantir a existência de um mínimo.
Passo 2: construção do equilíbrio de Nash.
Dado que o problema dual possui uma solução, pelo teorema de
dualidade, o problema primal também possui. Mais ainda: se x ∗ é
solução do problema dual e y ∗ ésolução do problema primal, então
c T x ∗ =(x ∗ ) T Ay ∗ = b T y ∗ .
Seja θ = c T x ∗ = b T y ∗ (que é > 0pois(0, 0,...,0) não éadmissível)
e defina
p ∗ = x∗
θ
e
q ∗ = y∗
θ .

96 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Afirmamos que (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash do jogo. Com efeito:
claramente p ∗ ∈ Δ m e q ∗ ∈ Δ n ,poisp ∗ ≥ 0 (já quex ∗ ≥ 0 e θ>0),
q ∗ ≥ 0 (já quey ∗ ≥ 0 e θ>0),
e
m∑ m∑
p i =
i=1
m∑
q j =
j=1
i=1
n∑
j=1
x ∗ i
θ = cT x ∗
= θ θ θ =1
yj
∗
θ = bT y ∗
= θ θ θ =1.
Agora, como x ∗T A ≥ b T , temos que para todo q ∈ Δ n , x ∗T Aq ≥
b T q = ∑ n
j=1 q j =1. Masp ∗ = x ∗ /θ. Desta maneira, p ∗T Aq ≥ θ =
p ∗T Aq ∗ ,paratodoq ∈ Δ n .Conseqüentemente,
u c (p ∗ , q ∗ )=−p ∗T Aq ∗ ≥−p ∗T Aq = u c (p ∗ , q)
para todo q ∈ Δ n . Mostramos então que o jogador coluna não pode
aumentar o seu payoff esperado trocando q ∗ por q, se o jogador linha
mantiver a escolha p ∗ . Analogamente, como Ay ≤ c, temos que
para todo p ∈ Δ m , p T Ay ∗ ≤ p T c = ∑ m
i=1 p i = 1. Mas y ∗ =
q ∗ /θ. Desta maneira, p ∗ Aq ∗ ≤ θ = p ∗T Aq ∗ ,paratodop ∈ Δ m .
Conseqüentemente,
u l (p ∗ , q ∗ )=p ∗T Aq ∗ ≥ p T Aq ∗ = u l (p, q ∗ ),
para todo p ∈ Δ m . Mostramos então que o jogador linha não pode
aumentar o seu payoff esperado trocando p ∗ por p, se o jogador coluna
mantiver a escolha q ∗ .Concluímos, portanto, que (p ∗ , q ∗ )éum
equilíbrio de Nash do jogo.
Além de estabelecer a existência de equilíbrios de Nash, a demonstração
que demos sugere uma maneira de calculá-los: resolvendo-se
dois problemas de programação linear.
Exemplo 4.8 O governo deseja vacinar seus cidadãos contra um
certo vírus da gripe. Este vírus possui dois sorotipos, sendo que é
desconhecida a proporção na qual os dois sorotipos ocorrem na população
do vírus. Foram desenvolvidas duas vacinas onde a eficácia

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 97
da vacina 1 é de 85% contra o sorotipo 1 e de 70% contra o sorotipo
2. A eficácia da vacina 2 é de 60% contra o sorotipo 1 e de 90%
contra o sorotipo 2. Qual política de vacinação deveria ser tomada
pelo governo?
Esta situação pode ser modelada como um jogo de soma zero
com dois jogadores, onde o jogador linha L (o governo) deseja obter
a maior compensação (a fração dos cidadãos resistentes ao vírus) o
maior possível e o jogador coluna C (o vírus) deseja obter a maior
compensação a menor possível. A matriz de payoffs é a seguinte:
vírus
sorotipo 1 sorotipo 2
governo
vacina 1 (85/100, −85/100) (70/100, −70/100)
vacina 2 (60/100, −60/100) (90/100, −90/100)
Para encontrar um equilíbrio de Nash, devemos resolver os seguintes
problemas de programação linear
(problema primal)
maximizar [ y 1 + ][ y 2 ] [ 85/100 70/100 y1 1
sujeito a
≤
60/100 90/100 [ y 2 ] [ 1
y1 0
≥
y 2 0
]
,
]
,
(problema dual)
minimizar x 1 + x 2
[ ] [ ]
85/100 70/100
sujeito a x1 x 2 ≥ [ 1 1 ] ,
60/100 90/100 [ ] [ ]
x1 0
≥ ,
x 2 0
isto é,

98 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
(problema primal)
maximizar y 1 + y 2
sujeito a 17y 1 +14y 2 ≤ 20,
6y 1 + 9y 2 ≤ 10,
y 1 ≥ 0,
y 2 ≥ 0,
(problema dual)
minimizar x 1 + x 2
sujeito a 7x 1 +12x 2 ≥ 20,
7x 1 + 9x 2 ≥ 10,
x 1 ≥ 0,
x 2 ≥ 0.
Asolução do problema dual é x ∗ =(20/23, 10/23) (Figura 4.7) e a
solução do problema primal é y ∗ =(40/69, 50/69), com
θ = x ∗ 1 + x ∗ 2 = y1 ∗ + y2 ∗ = 30
23 .
Desta maneira, o único equilíbrio de Nash para o problema édado
pelo ponto (p ∗ , q ∗ ), onde
(
p ∗ = x∗ 2
θ = 3 , 1 )
3
e
(
q ∗ = y∗ 4
θ = 9 , 5 )
.
9
O teorema minimax de von Neumann garante que, para jogos de
soma zero, existem estratégias mistas p ∗ e q ∗ tais que:
(a) Se o jogador linha jogar com p ∗ , então o seu ganho esperado
nunca émenordoquev ∗ = p ∗T Aq ∗ , independentemente da escolha
do jogador coluna.
(b) Se o jogador coluna jogar com q ∗ ,entãoasuaperda esperada
nunca é maior do que v ∗ = p ∗T Aq ∗ , independentemente da escolha
do jogador linha.
Como efeito: como (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash em estratégias
mistas, segue-se que v ∗ = u c (p ∗ , q ∗ ) ≥ u c (p ∗ , q), ∀q ∈ Δ n ,ev ∗ =

[SEC. 4.3: JOGOS DE SOMA ZERO 99
x 2
0 20/23 30/23
30/23
10/23
x 1
Figura 4.7: Solução do problema dual.
y 1
30/23
50/69
0 40/69 30/23
y 1
Figura 4.8: Solução do problema primal.

100 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
u l (p ∗ , q ∗ ) ≥ u c (p, q), ∀p ∈ Δ m .Masu c (p, q) =−p T Aq e u l (p, q) =
+p T Aq. Assim,
∀q ∈ Δ n ,v ∗ = u c (p ∗ , q ∗ ) ≥ u c (p ∗ , q)
⇓
∀q ∈ Δ n , p ∗T Aq ≥ p ∗T Aq ∗ = v ∗ (4.3)
⇓
O ganho esperado do jogador linha nunca émenor
do que v ∗ se ele jogar com p ∗ , independentemente
da escolha q do jogador coluna.
e, analogamente,
∀p ∈ Δ m ,v ∗ = u l (p ∗ , q ∗ ) ≥ u l (p, q ∗ )
⇓
∀p ∈ Δ m , pAq ∗ ≤ p ∗T Aq ∗ = v ∗ (4.4)
⇓
A perda esperada do jogador coluna nunca é maior
do que v ∗ se ele jogar com q ∗ , independentemente
da escolha p do jogador linha.
Mais ainda: se (p ∗ ,q ∗ )é um equilíbrio de Nash do jogo, então
n∑
a ij · qj ∗ = v∗ , para todo i tal que p ∗ i > 0 e (4.5)
j=1
m∑
p ∗ i · a ij = v ∗ , para todo j tal que qj ∗ > 0. (4.6)
i=1
De fato: suponha, por absurdo, que exista algum índice k tal que
p ∗ k > 0e∑ n
j=1 a kj · qj ∗ ≠ v ∗ . Usando as desigualdades 4.4 com
p = e i , sabemos que ∑ n
j=1 a ij ·qj ∗ ≤ v∗ para todo i =1,...,m. Logo,
se ∑ n
j=1 a kj · qj ∗ ≠ v∗ ,então ∑ n
j=1 a kj · qj ∗

[SEC. 4.4:
EQUILÍBRIO DE NASH VIA UM PROBLEMA DE COMPLEMENTARIDADE101
oqueéumacontradição. Um argumento análogo pode ser usado
para provar 4.6. Note que 4.5 e 4.6 nada mais são do que as condições
estabelecidas no Corolário 4.1 na página 80 para o caso particular de
jogos de soma zero.
4.4 Equilíbrio de Nash via um problema
de complementaridade
4.4.1 Jogos bimatriciais
Sejam u 1 (p, q) =p T Aq e u 2 (p, q) =p T Bq são, respectivamente,
as funções utilidade dos jogadores 1 e 2. Sem perda de generalidade,
podemos assumir que A>0 e B > 0 pois, caso contrário, basta
substituir A por A + c 1 e B por B + c 1 para alguma constante
c>0 suficientemente grande. Observe agora que (p ∗ , q ∗ ) ∈ Δ=
Δ m × Δ n é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas do jogo se,
esomentese,p ∗ e q ∗ satisfazem os seguintes programas lineares, um
dependendo do outro:
maximizar (Aq ∗ ) T p
sujeito a ½ T mp =1,
p ≥ 0,
maximizar (B T p ∗ ) T q
sujeito a ½ T n q =1,
q ≥ 0,
onde ½ m e ½ n são, respectivamente, matrizes de tamanho m×1en×1
com todas as entradas iguais a 1. Os problemas duais destes dois PLs
são dados por:
minimizar λ
sujeito a ½ m λ ≥ Aq ∗ ,
minimizar μ
sujeito a ½ n μ ≥ B T p ∗ .
Se λ ∗ é a solução ótima do primeiro problema dual, então pelo teorema
forte da dualidade, vale que (Aq ∗ ) T p ∗ = λ ∗ .Mas(Aq ∗ ) T p ∗ =
q ∗T A T p ∗ = p ∗T Aq ∗ e λ ∗ =(p ∗ ½ m )λ ∗ . Assim, p ∗T Aq ∗ =(p ∗ ½ m )λ ∗
ou, equivalentemente,
p ∗T (½ m λ ∗ − Aq ∗ )=0. (4.7)

102 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Esta condição diz que p ∗ e ½ m λ ∗ −Aq ∗ são ortogonais. Dado que estes
vetores são não-negativos, eles têm que ser complementares, no sentido
que eles não podem ter componentes positivas na mesma posição.
Esta caracterização de um par primal-dual ótimo é conhecida como
folgas complementares em programação linear. Dado que p ∗ éuma
distribuição de probabilidades, pelo menos uma de suas componentes
é positiva, de modo que a respectiva componente de ½ m λ ∗ − Aq ∗
é zero e λ ∗ é a maior das entradas de Aq ∗ . Qualquer estratégia
pura i do jogador 1 é uma melhor resposta a q ∗ se, e somente se,
a i-ésima componente de ½ m λ ∗ − Aq ∗ é igual a zero. Desta forma,
aEquação 4.7 obtém o Corolário 4.1 na página 80: uma estratégia
mista p ∗ é uma melhor resposta para q ∗ se, e somente se, ela dá probabilidade
positiva apenas para as estratégias puras que são melhores
respostas para q ∗ . Analogamente, se μ ∗ é a solução ótima do segundo
problema dual, então
q ∗T (½ n μ ∗ − B T p ∗ )=0. (4.8)
Teorema 4.9 O perfil de estratégias mistas (p ∗ , q ∗ ) é um
equilíbrio de Nash se, e somente se, existem números reais λ ∗
e μ ∗ tais que
½ T mp ∗ = 1,
½ T n q∗ = 1,
½ m λ ∗ − Aq ∗ ≥ 0,
½ n μ ∗ − B T p ∗ ≥ 0,
p ∗ , q ∗ ≥ 0,
(4.9)
easEquações 4.7 e 4.7 sejam satisfeitas.
Dado um vetor t ∈ R n e uma matriz M de tamanho n × n, o
problema de complementaridade linear (PCL)associadoaopar(t,M)
consiste em encontrar z, w ∈ R n tais que
w + Mz = t, w ≥ 0, z ≥ 0 e z T w = 0.
Veremos agora como caracterizar os equilíbrios de Nash em estratégias
mistas de jogos bimatriciais (jogos finitos com apenas dois

[SEC. 4.4:
EQUILÍBRIO DE NASH VIA UM PROBLEMA DE COMPLEMENTARIDADE103
jogadores) através de um problema de complementaridade linear.
Se (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash do jogo, então
u 1 (p ∗ , q ∗ )=p ∗T Aq ∗ ≥ p T Aq ∗ = u 1 (p, q ∗ ), ∀p ∈ Δ m .
Mas, por linearidade, p ∗T Aq ∗ ≥ p T Aq ∗ para todo p ∈ Δ m se, e
somente se, p ∗T Aq ∗ ≥ e T i Aq∗ , ∀i = 1,...,m, onde e i representa
o i-ésimo vetor da base canônica. Mas, então,
(p ∗T Aq ∗ )½ m ≥ (e T i Aq ∗ )½ m = ½ m (e T i Aq ∗ )=(½ m e T i )(Aq ∗ )=Aq ∗ .
Analogamente, como
u 2 (p ∗ , q ∗ )=p ∗T Bq ∗ ≥ p ∗T Bq = u 2 (p ∗ , q), ∀q ∈ Δ n ,
= e T j BT p ∗ , ∀j =1,...,n e, por-
segue-se que p ∗T Bq ∗ ≥ p ∗T Be j
tanto,
(p ∗T Bq ∗ )½ n ≥ (e T j BT p ∗ )½ m =
½ m (e T j BT p ∗ )=(½ m e T j )(BT p ∗ )=B T p ∗ .
Desta maneira, (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash se, e somente se,
(p ∗T Aq ∗ )½ m ≥ Aq ∗ e (p ∗T Bq ∗ )½ n ≥ B T p ∗ . (4.10)
Como A e B possuem todas as entradas positivas, segue-se que os
números p ∗T Aq ∗ e p ∗T Bq ∗ são positivos. Sejam então
x ∗ =
p ∗
p ∗T Bq ∗ e y ∗ q ∗
=
p ∗T Aq ∗ .
Introduzindoas variáveis de folga w ∗ =(u ∗ , v ∗ ), vemos que se (p ∗ , q ∗ )
é um equilíbrio de Nash, então z ∗ =(x ∗ , y ∗ )ew ∗ constituem uma
solução do problema de complementaridade linear
w + Mz = t, w ≥ 0, z ≥ 0 e z T w = 0,
onde
t =
[
½m
½ n
]
e M =
[ 0 A
B T 0
]
.

104 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Reciprocamente, se z ∗ =(x ∗ , y ∗ )ew ∗ =(u ∗ , v ∗ )constituemuma
solução do problema de complementaridade linear acima, então
p ∗ =
x∗
½ T e q ∗ = y∗
m x∗ ½ T n y∗
constituem um equilíbrio de Nash do jogo bimatricial.
Além de programação linear, programação quadrática e teoria dos
jogos, aplicações do problema de complementaridade linear incluem
o estudo de modelos financeiros, a análise não-linear de certas estruturas
elasto-plásticas e muitas outras áreas ([64]).
4.4.2 O algoritmo de Lemke-Howson
Um dos métodos mais importantes para se encontrar uma solução
de um PCL é o algoritmo de Lemke-Howson. Ele foi apresentado no
artigo [49] em 1964. Muito mais do que um método de cálculo de
equilíbrios de jogos bimatriciais, o algoritmo de Lemke-Howson dá
uma prova algébrica construtiva para a existência de equilíbrios, além
de estabelecer que, genericamente, o número de equilíbrios de Nash é
finito e ímpar. Sendo similar ao algoritmo Simplex para programação
linear, sua complexidade é exponencial ([84]). Além do artigo original,
o leitor interessado em mais detalhes do algoritmo pode consultar
a referência [87].
4.5 Gambit
Desenvolvido por Richard D. McKelvey (California Institute of
Technology), Andrew M. McLennan (University of Minnesota) e Theodore
L. Turocy (Texas A&M University), Gambit é um programa de
computador, gratuito e multiplataforma, orientado para a construção
eanálise de jogos finitos. Ele oferece uma interface gráfica intuitiva
para o cálculo de equilíbrios de Nash e a análise das estruturas de
dominância das estratégias do jogo. Para baixá-lo, acesse o endereço:
http://econweb.tamu.edu/gambit.

[SEC. 4.5: GAMBIT 105
Figura 4.9: Gambit eliminando as estratégias fracamente dominadas
do Jogo da Segunda Gerra Mundial descrito no
Exercício 6 na página 54.

106 [CAP. 4: CALCULANDO EQUILÍBRIOS DE NASH
Observação. A equipe do Gambit recentemente desenvolveu uma
versão on-line do software que está disponível no endereço: http:
//gte.csc.liv.ac.uk/gte/builder/ (é preciso habilitar o uso de
janelas pop-up).
4.6 Exercícios
[01] Calcule os pontos de sela da matriz
⎡
A =
⎢
⎣
24 23 22 25
10 22 20 19
27 25 22 23
20 28 16 15
⎤
⎥
⎦ .
[02] Como no Exemplo 4.8, escreva os problemas primal e dual do
jogo de comparar moedas (Exemplo 2.6, página 22). Resolva
estes problemas de otimização para encontrar o equilíbrio de
Nash em estratégias mistas do jogo.
[03] Mostre como encontrar pelo menos um equilíbrio de Nash de
um jogo de soma zero 2 × 2geral.
[04] Encontre pelo menos um equilíbrio de Nash em estratégias mistas
do jogo de soma zero definido pela matriz
[ ]
−1 +5 +1 −2
A =
.
+1 −3 −2 +5
[05] Sejam p ∗ ∈ Δ m e q ∗ ∈ Δ n duas estratégias mistas de um jogo
de soma zero com dois jogadores. Mostre que se o mínimo dos
ganhos médios do jogador linha usando p ∗ é igual ao máximo
das perdas médias do jogador coluna usando q ∗ ,istoé, se
min u l(p ∗ , e l )= max (−u c(e k , q ∗ )),
1≤l≤n 1≤k≤m
então (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash do jogo. Aqui e k representa
o k-ésimo vetor da base canônica de R m e e l o l-
ésimo vetor da base canônica de R n . Use este resultado para

[SEC. 4.6: EXERCÍCIOS 107
mostrar que as estratégias mistas p ∗ =(6/37, 20/37, 0, 11/37)
e q ∗ = (14/37, 4/37, 0, 19/37, 0) constituem um equilíbrio de
Nash do jogo de soma zero definido pela matriz
⎡
⎤
5 8 3 1 6
A = ⎢ 4 2 6 3 5
⎥
⎣ 2 4 6 4 1 ⎦ .
1 3 2 5 3
[06] (Jogos de quadrados mágicos) Um quadrado mágico éuma
matriz quadrada n × n cujas entradas são constituídas pelos
números 1, 2,...,n 2 , arranjados de tal forma que a soma das
n entradas em qualquer linha, coluna ou diagonal principal é
sempre o mesmo número. Mostre como encontrar pelo menos
um equilíbrio de Nash em estratégias mistas de um jogo de soma
zero cuja matriz é um quadrado mágico. Aplique a técnica para
amatriz
⎡
A = ⎢
⎣
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
⎤
⎥
⎦ .
Este quadrado mágico aparece na gravura Melencolia I de Albrecht
Dürer:
http://en.wikipedia.org/wiki/Melancholia_I.
[07] Considere um jogo de soma zero definido por uma matriz A
inversível que possui um equilíbrio de Nash (p ∗ , q ∗ ) totalmente
misto (isto é, 0

Capítulo 5
Jogos na forma extensa
A forma normal de um jogo é usada em situações onde os jogadores
escolhem sua estratégia simultaneamente ou o fazem sem conhecer
aestratégia dos outros jogadores. Contudo, existem situações em que
os jogadores tomam suas decisões de forma seqüencial, depois de observar
a ação que um outro jogador realizou. A forma extensa tem
uma estrutura mais adequada para analisar jogos desta natureza, especificando
assim quem se move, quando, com qual informação e o
ganho de cada jogador. Ela contém toda informação sobre um jogo.
Existem várias formas de se representar um jogo da forma extensa, todas
elas tentando formalizar a ideia de árvore. Entre elas: (1) relações
de ordem, (2) teoria de grafos ([41]) e (3) alfabetos ([27]). Nossa abordagem
aqui será mais informal. Trataremos dos jogos seqüencias de
informação perfeita: os ganhos são de conhecimento comum de todos
os jogadores, um único jogador faz um movimento por vez e cada
jogador conhece as escolhas dos jogadores que o antecederam toda
vez que for jogar.
5.1 Definição
Um jogo na forma extensa (também denominado jogo seqüencial)
é aquele em que os jogadores realizam seus movimentos em uma ordem
predeterminada. Por este motivo, uma maneira muito adequada
108

[SEC. 5.1: DEFINIÇÃO 109
de se representar um jogo na forma extensa éatravés de uma árvore.
Por exemplo, na Figura 5.1, o jogador 1 joga primeiro: ele pode escolher
entre as ações a e b. Depois,é a vez do jogador 2 jogar. Se 1
jogou a, então 2 pode escolher entre c ou d e, se 1 jogou b,então 2 pode
escolher entre e e f. Depois que todos jogadores realizaram (seqüencialmente)
suas ações, cada jogador recebe o seu ganho. A convenção
équeaprimeiracoordenadadovetordepayoffs represente o ganho
de quem jogou em primeiro lugar, a segunda coordenada represente
o ganho de quem jogou em segundo lugar, e assim por diante.
1
a
2
c
d
( 2, 4)
( 1, 0)
b
2
e
f
( 6,12)
( 9, {1)
Figura 5.1: Um jogo na forma extensa.
Uma árvore é composta por nós e ramos. Os ramos representam
as ações dos jogadores. No jogo da Figura 5.1 existem 6 ramos: a, b,
c, d, e e f. Alguns são do jogador 1 (a e b), enquanto que outros são
do jogador 2 (c, d, e e f). Os nós são de dois tipos: existem aqueles
que emanam ramos e existem aqueles que não. Estes últimos são as
folhas da árvore e neles estão os valores dos payoffs dos jogadores.
Um nó que não é uma folha identifica o jogador que deve escolher
uma das ações representadas pelos ramos que saem do nó. Nós que
não são folhas são denominados nós de decisão. Por exemplo, no
primeiro nó (também denominado raiz da árvore) o jogador 1 que
deve fazer a sua escolha entre os ramos (ações) a e b.
Uma estratégia de um jogador é um plano de ação completo que
especifica uma ação factível deste jogador em cada nó de decisão
em que o jogador pode atuar. No jogo da Figura 5.1, o jogador 1
temapenasumnó de decisão. Por este motivo, suas estratégias se

110 [CAP. 5: JOGOS NA FORMA EXTENSA
confundem com suas ações:
S 1 = {a, b}.
Por outro lado, o jogador 2 tem dois nós de decisão: um que se segue
depois que o jogador 1 jogou a e o outro depois que o jogador 1 jogou b.
Por este motivo, cada estratégia do jogador 2 deve conter duas ações:
uma para o primeiro nó e a outra para o outro nó. Assim, uma
estratégia possível para o jogador 2 é “jogar c se o jogador 1 jogar a
e jogar f se o jogador 1 jogar b”. Outra é “jogar c se o jogador 1
jogar a e jogar e se o jogador 1 jogar b”. Escrevendo apenas as ações
que o jogador 2 pode tomar em cada nó de decisão, o conjunto de
suas estratégias pode ser então representado da seguinte maneira:
S 2 = {(c, e), (c, f), (d, e), (d, f)}.
É muito importante notar a diferença entre ações e estratégias. Neste
contexto, (c, e) éumaestratégia do jogador 2, enquanto que c e e são
ações (uma para cada nó de decisão do jogador). Uma ação éum
conceito local: ela representa o comportamento do jogador em um
momento particular do jogo, isto é, em um nó de decisão. Uma
estratégia é um conceito global: ela especifica o comportamento do
jogador no jogo inteiro, isto é, em todos os nós de decisão do jogador.
Mais exemplos: no jogo da Figura 5.2,
S 1 = {a, b},
S 2 = {(c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g)}
e, no jogo da Figura 5.3,
S 1 = {(a, l, p), (a, l, q), (a, m, p), (a, m, q),
(b, l, p), (b, l, q), (b, m, p), (b, m, q)}
e
S 2 = {(c, e), (c, f), (d, e), (d, f)}.
5.2 Equilíbrio de Nash
A definição de equilíbrio de Nash para jogos seqüenciais éamesma
dada para jogos na forma normal: se S i é o conjunto de estratégias

[SEC. 5.2: EQUILÍBRIO DE NASH 111
1
a
2
c
d
( 2, 4)
( 1, 0)
b
2
e
f
g
( 6,12)
( 9, {1)
( 8, 9)
Figura 5.2: Um jogo na forma extensa.
a
2 c
d
¯
( 2, 4)
( 1,10)
1
®
b
2
e
1 l
±
m
( 2, 3)
( 1, 4)
°
f
1 p
q
²
( 5, 0)
( 5, 4)
Figura 5.3: Um jogo na forma extensa.

112 [CAP. 5: JOGOS NA FORMA EXTENSA
do jogador i, 1≤ i ≤ n, então um perfil de estratégias
s ∗ =(s ∗ 1,...,s ∗ i ,...,s ∗ n) ∈ S 1 ×···×S i ×···×S n
éumequilíbrio de Nash (em estratégias puras) se
u i (s ∗ i , s∗ −i ) ≥ u i(s iji , s ∗ −i )
para todo i =1,...,n eparatodoj i =1,...,m i ,comm i onúmero
de estratégias do jogador i. A caracterização via funções de melhor
resposta também pode ser usada: s ∗ =(s ∗ 1,...,s ∗ i ,...,s∗ n) ∈ S éum
equilíbrio de Nash em estratégias se, e somente se, s ∗ i ∈ MR i (s ∗ −i )
para todo i =1,...,n, onde MR i (s −i ) = argmax si∈S i
u i (s i , s −i ).
No jogo da Figura 5.4, temos que
S 1 = {a, b},
S 2 = {(c, e), (c, f), (d, e), (d, f)}
Assim, existem 8 perfis de estratégias:
S = S 1 × S 2 = {(a, (c, e)), (a, (c, f)), (a, (d, e)), (a, (d, f)),
(b, (c, e)), (b, (c, f)), (b, (d, e)), (b, (d, f))}.
1
a
2
c
d
( 2, 4)
( 1, 9)
b
2
e
f
( 5, 0)
( 5, 4)
Figura 5.4: Calculando equilíbrios de Nash em um jogo seqüencial.
Vamos mostrar que o perfil (a, (c, f)) não é um equilíbrio de Nash
do jogo. Inicialmente, observe que, para calcular o ganho dos jogadores
associado a um determinado perfil de estratégias, basta seguir

[SEC. 5.2: EQUILÍBRIO DE NASH 113
o caminho de execução do jogo. Por exemplo, para o perfil de estratégia
(a, (c, f)), a execução do jogo se dá da seguinte maneira:
o jogador 1 escolhe a ação a e, em seguida, o jogador 2 escolhe a
ação c, o que resulta no ganho 2 para o jogador 1 (Figura 5.5). Já,
para o perfil de estratégia (b, (c, f)), o jogador 1 escolhe a ação a
e o jogador 2 escolhe a ação f, dando o ganho 5 para o jogador 1
(Figura 5.6).
1
a
2
c
d
( 2, 4)
( 1, 9)
b
2
e
f
( 5, 0)
( 5, 4)
Figura 5.5: Caminho de execução associado ao perfil de estratégias
(a, (c, f)).
1
a
2
c
d
( 2, 4)
( 1, 9)
b
2
e
f
( 5, 0)
( 5, 4)
Figura 5.6: Caminho de execução associado ao perfil de estratégias
(b, (c, f)).
Desta maneira, se o jogador 2 mantiver a sua estratégia (c, f), o
jogador 1 ganhará mais trocando sua estratégia a pela estratégia b:
u 1 (a, (c, f)) = 2 < 5=u 1 (b, (c, f)).

114 [CAP. 5: JOGOS NA FORMA EXTENSA
O per-
Isto mostra que (a, (c, f)) não é um equilíbrio de Nash.
fil (b, (c, f)), por sua vez, é um equilíbrio de Nash, pois
e
u 1 (b, (c, f)) = 5 > 2=u 1 (a, (c, f))
u 2 (b, (c, f)) = 4 > 0=u 2 (b, (c, e)),
u 2 (b, (c, f)) = 4 > 0=u 2 (b, (d, e)),
u 2 (b, (c, f)) = 4 ≥ 4=u 2 (b, (d, f)).
O jogo possui mais um equilíbrio de Nash: o perfil (b, (c, f)).
5.3 Indução retroativa e equilíbrio perfeito
em subjogos
A indução retroativa é um processo que produz um perfil de estratégias
com a propriedade de que se cada jogador seguir as recomendações
de ações estabelecidas pelo perfil, então suas estratégias
serão ótimas em cada nó de decisão onde o jogador pode atuar.
O algoritmo é simples. Começando pelos nós de decisão finais,
determinamos as melhores ações disponíveis para os jogadores que
vão atuar nestes nós. Isto éfácil de se fazer, já que não existem
outros nós de decisão que sucedem os nós em questão: basta, em
cada nó de decisão final, escolher a ação que dê ao jogador do nó
o maior payoff possível. Seexisteumempateentreduasações que
levam ao maior payoff, escolhemos uma delas arbitrariamente. Feito
isto, as ações escolhidas são marcadas e, as demais, ignoradas. Este
processo agora é repetido para os penúltimos nós de decisão, para os
antepenúltimos, etc., até quearaizdaárvore seja alcançada.
Por exemplo, no jogo seqüencial da Figura 5.3, os últimos nós de
decisão são β, δ e ɛ. Assim, no passo 1 da indução retroativa, o jogador
2 marca a ação d no nó β e o jogador 1 marca as ações l e p nos
nós δ e ɛ, respectivamente (Figura 5.7). No passo 2, o jogador 2 marca
aação e no nó γ (Figura 5.8). Finalmente, no passo 3, o jogador 1
marca a ação b (Figura 5.9). O perfil de estratégias obtido é
((b, l, p), (d, e)).

[SEC. 5.3: INDUÇÃO RETROATIVA E EQUILÍBRIO PERFEITO EM SUBJOGOS 115
a
2 c
d
¯
( 2, 4)
( 1,10)
1
®
b
2
e
1 l
±
m
( 2, 3)
( 1, 4)
°
f
1 p
q
²
( 5, 0)
( 5, 4)
Figura 5.7: Indução retroativa: passo 1.
a
2 c
d
¯
( 2, 4)
( 1,10)
1
®
b
2
e
1 l
±
m
( 2, 3)
( 1, 4)
°
f
1 p
q
²
( 5, 0)
( 5, 4)
Figura 5.8: Indução retroativa: passo 2.

116 [CAP. 5: JOGOS NA FORMA EXTENSA
a
2
¯
c
d
( 2, 4)
( 1,10)
1
®
b
2
e
1
±
l
m
( 2, 3)
( 1, 4)
°
f
1
²
p
q
( 5, 0)
( 5, 4)
Figura 5.9: Indução retroativa: passo 3.
O processo de indução retroativa dá, portanto, um algoritmo para
encontrar um equilíbrio de Nash em estratégias puras de um jogo
seqüencial com informação perfeita. Note, contudo, que nem todo
equilíbrio de Nash pode ser obtido por indução retroativa. O perfil
de estratégias (b, d) do jogo da Figura 5.10 é um equilíbrio de Nash
que não é obtido por indução retroativa.
1
a
2
c
d
( 2, 1)
( 0, 0)
b
( 1, 2)
Figura 5.10: (b, d) é um equilíbrio de Nash que não é obtido por
indução retroativa.
Seja α um dos nós de decisão de um jogo G. O subjogo que
começa em α é o jogo obtido copiando-se todos os nós de decisão,
ramos e payoffs do jogo original que sucedem α. Por exemplo, no
jogo da Figura 5.3, o subjogo que começa nó de decisão γ, é o jogo

[SEC. 5.3: INDUÇÃO RETROATIVA E EQUILÍBRIO PERFEITO EM SUBJOGOS 117
da Figura 5.11.
2
e
1 l
±
m
( 2, 3)
( 1, 4)
°
f
1 p
²
q
( 5, 0)
( 5, 4)
Figura 5.11: Subjogo que começa no nó γ do jogo da Figura 5.3.
Dizemos que um perfil de estratégias (puras) s ∗ éumequilíbrio
perfeito em subjogos de um jogo seqüencial G se os respectivos subperfis
de s ∗ são equilíbrios de Nash de cada subjogo de G. Como
veremos, este equilíbrio idealizado por Reinhard Selten, tem forte conexão
com o processo de indução retroativa. De fato: considere, por
exemplo, o jogo da Figura 5.3. Se
s ∗ =((a α ,a δ ,a ɛ ), (a β ,a γ ))
é um equilíbrio perfeito em subjogos deste jogo, então (a δ )e(a ɛ )
devem ser equilíbrios de Nash dos subjogos que começam nos nós δ
e ɛ, respectivamente. Mas, neste caso, a δ e a ɛ devem ser ações que
maximizem o ganho do jogador 1 nestes nós. Sendo assim, concluímos
que a δ = l e a ɛ = p ou a ɛ = q. Tomemos a ɛ = p. Do mesmo modo,
como (a β ) deve ser um equilíbrio de Nash do subjogo que começa no
nó β, vemos que o jogador 2 escolherá a β = d. Então, nesta primeira
iteração, já podemos afirmar que
s ∗ =((a α ,l,p), (d, a γ )).
Agora, se a γ = e, o jogador 2 ganhará 3(já que o jogador 1 escolhe l
neste caso) e, se a γ = f, o jogador 2 ganhará 0(já que o jogador 1
escolhe p neste caso). Como (a γ , (l, p)) deve ser um equilíbrio de
Nash do subjogo que começa no nó γ, segue-se que, obrigatoriamente,
a γ = e. Assim, após a segunda iteração, vale que
s ∗ =((a α ,l,p), (d, e)).

118 [CAP. 5: JOGOS NA FORMA EXTENSA
Como as ações nos nós β, γ, δ e ɛ já estão agora todas determinadas,
éfácil de ver que se s ∗ =((a α ,l,p), (d, e)) é um equilíbrio de Nash do
jogo original, então a α = b. Assim, o equilíbrio perfeito em subjogos é
s ∗ =((b, l, p), (d, e)).
Note que a imposição de que os respectivos subperfis de s ∗ sejam
equilíbrios de Nash de cada subjogo de G induz a mesma seleção de
ações que seria feita no processo de indução retroativa. Époreste
motivo que os equilíbrios perfeitos em subjogos coincidem com os
equilíbrios obtidos por indução retroativa.
5.4 O teorema de Kuhn-Zermelo
Teorema 5.1 (Kuhn-Zermelo) Todo jogo seqüencial de informação
perfeita possui pelo menos um equilíbrio de Nash em
estratégias puras.
Idéiadaprova.Ademonstração é feita por indução. Se o jogo possui
apenas um único nó de decisão, entãooteoremaé verdadeiro: o jogador
que age neste nó escolhe uma ação que maximiza o seu payoff.
Os outros jogadores, se existirem, tem espaços de estratégias vazios.
Suponha então que todo jogo com menos do que m>1nós de decisão
possua pelo menos um equilíbrio de Nash. Escolhendo um nó de
decisão β que sucede imediatamente a raiz α da árvore do jogo, criaremos
dois jogos. O primeiro é o subjogo G β que começa em β. Pela
hipótese de indução, G β possui pelo menos um equilíbrio de Nash s ∗ β .
O segundo jogo, G −β ,éconstruído da seguinte maneira: removemos
de G o subjogo G β enó β, que antes era de decisão, criamos uma
folha cujos payoffs são dados pelos payoffs associados ao equilíbrio s ∗ β
de G β . Novamente, pela hipótese de indução, G −β possui pelo menos
um equilíbrio de Nash s ∗ −β .Seaação em s∗ −β
não usa o ramo a
que liga α a β em G −β ,então s ∗ −β é um equilíbrio de Nash do jogo
original G. Por outro lado, se s ∗ −β usaoramoa, então (a, s∗ β )éum
equilíbrio de Nash do jogo original G.

não confiar
[SEC. 5.5: EXERCÍCIOS 119
5.5 Exercícios
[01] (Jogo da centopéia) Use indução retroativa para obter um
equilíbrio de Nash do jogo seqüencial da figura abaixo. O
equilíbrio é Pareto eficiente?
1 Continuar 2 Continuar 1 Continuar 2 Continuar
(64, 16)
Parar
Parar
Parar
Parar
(4, 1) (2, 8) (16, 4) (8, 32)
.
Este jogo foi desenvolvido pelo economista Robert W. Rosenthal,
mas o seu nome é devido a Kenneth Binmore.
[02] (Jogo da confiança) Use indução retroativa para obter um
equilíbrio de Nash do jogo seqüencial da figura abaixo. O equilíbrio
é Pareto eficiente?
1
confiar
2
trair
honrar
({1, 2)
(1,1)
(0, 0)
.

Capítulo 6
Exemplos
6.1 O jogo Le Her simplificado
Nesta seção estudaremos a versão simplificada do jogo Le Her,
como apresentada por Benjamim e Goldman em [05]. Dois jogadores
empregam um pacote de 13 cartas do mesmo naipe (A, 2, ..., 10,
Q, J e K). Após um sistema de distribuição e troca de cartas que
descreveremos a seguir, o vencedor é aquele com a maior carta (A <
2 < ···< 10 < Q < J < K).
Inicialmente, o jogador 1 embaralha as 13 cartas e distribui uma
carta X para si, uma carta Y para o jogador 2 e deixa o restante
dascartasemummonteZ, sem que nenhum dos dois jogadores
veja as cartas. Feito isto, cada jogador vê suacarta,masnão as
outras. O jogador 1 deve então decidir se mantém a sua carta ou
a troca com o jogador 2 (que não pode se negar a fazer a troca).
No primeiro caso, é a vez do jogador 2 decidir se ele mantém a sua
carta (a única que ele conhece até o momento) ou se ele faz a troca
com a primeira carta do monte Z. Depois que o jogador 2 faz a sua
escolha, os jogadores mostram as suas cartas e vence aquele com a
maior carta. No segundo caso, os dois jogadores conhecem os valores
das duas cartas X e Y e o jogador 2 não tem escolha alguma: se,
depois da troca, a sua carta for menor do que a carta do jogador 1,
então ele deve obrigatoriamente trocá-la com a carta do monte Z
na esperança de obter uma carta maior para vencer o jogo, caso
120

[SEC. 6.1: O JOGO LE HER SIMPLIFICADO 121
contrário, ele mantém a sua carta e vence o jogo. O leitor interessado
pode se familiarizar com as regras do jogo atuando como o jogador 2
no applet Java disponível no endereço:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/
applets/leher1_br.html.
Quais são as estratégias puras do jogador 1? Cada estratégia pura
corresponde a uma escolha de um subconjunto formado pelas cartas
que ele irá manter na primeira etapa do jogo. Por exemplo, a escolha
do subconjunto {5, 7, 9} corresponde àestratégia pura do jogador 1
em manter a sua carta se, e somente se, ela for igual a 5, 7 ou 9. Desta
maneira, existem tantas estratégias puras quantos subconjuntos do
conjunto
D = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Q, J, K},
isto é, existem um total de 2 13 = 8192 estratégias puras para o jogador
1. O mesmo vale para o jogador 2: ele tem 2 13 estratégias puras
que estão em correspondência biunívoca com os 2 13 subconjuntos

122 [CAP. 6: EXEMPLOS
distintos de D, cada um especificando quais cartas o jogador 2 irá
manter. É importante observar mais uma vez que o jogador 2 só faz
uma escolha (a de manter a sua carta Y ou trocá-la com uma carta
do monte Z) quando o jogador 1 decide por manter a sua carta X.
Se o jogador 1 resolve trocar de cartas, a ação do jogador 2 está completamente
determinada pelos valores das cartas X e Y (supondo,
naturalmente, que o jogador 2 seja racional).
Amatrizdepayoffs do jogo tem, portanto, dimensão 2 13 × 2 13 .
Este tamanho pode ser reduzido consideravelmente observando que
estratégias puras “com saltos” são dominadas por aquelas “sem saltos”.
Por exemplo, a estratégia pura
{5, 7, 9}
(manter apenas as cartas 5, 7 e 9) é dominada pela estratégia pura
{5, 6, 7, 8, 9, 10, Q, J, K}
(manter apenas as cartas maiores do que ou iguais a 5). Assim, ao
invés de considerar todos os 2 13 subconjuntos de D, podemosnos
restringir aos 13 subconjuntos da forma {C ∈ D | C ≥ ˜C}, onde
˜C ∈ D. No que se segue, usaremos o seguinte abuso de notação
A = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 10, Q, J, K},
2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 10, Q, J, K},
3 = {3, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 10, Q, J, K},...
para representar estas estratégias puras dominantes de cada jogador.
O ganho do jogador 1 é sua probabilidade de vitória que, evidentemente,
depende das estratégias puras (dominantes) escolhidas pelos
dois jogadores. Através de cálculos com probabilidades condicionais
(como em [05]) ou através de uma enumeração direta (veja o applet
Java disponível no endereço http://www.professores.uff.br/
hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher2_br.html), obtemos a
matriz de payoffs apresentada na tabela 6.1, onde as probabilidades
foram calculadas com 3 casas decimais corretas. Como o jogo éde
soma zero (isto é, um jogador vence se, e somente se, o outro perde),
amatrizdepayoffs do jogador 2 éamatrizdepayofffs do jogador 1
multiplicada por −1.

[SEC. 6.1: O JOGO LE HER SIMPLIFICADO 123
jogador 2
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K
A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2 0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3 0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4 0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5 0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6 0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8 0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q 0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J 0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
Tabela 6.1: Matriz de payoffs do jogador 1 para o jogo Le Her.
jogador 1

124 [CAP. 6: EXEMPLOS
Tabela 6.2: Matriz de payoffs do jogador 1 para o jogo Le Her após mais uma eliminação de estratégias
estritamente dominadas.
jogador 1
7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8 0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
jogador 2
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K

[SEC. 6.1: O JOGO LE HER SIMPLIFICADO 125
Vamos usar dominância para simplificar ainda mais a matriz do
jogo. Observe que as estratégias 7 e 9 do jogador 1 dominam, respectivamente,
as estratégias de A a 6 ede10 a K (isto é, o jogador 1
deve sempre trocar cartas ≤ 6edevesempre manter cartas ≥ 10).
Eliminando-se então as linhas estritamente dominadas, obtemos a
matriz da tabela 6.2. Para esta matriz reduzida, as estratégias 9
e 10 do jogador 2 dominam, respectivamente, as estratégias de A a 8
edeQaK (isto é, o jogador 2 deve sempre trocar cartas ≤ 8edeve
sempre manter as cartas Q, J e K. Eliminando-se então as colunas
estritamente dominadas, obtemos a matriz da tabela 6.3.
jogador 1
jogador 2
9 10
7 0.538 0.543
8 0.547 0.548
9 0.549 0.545
Tabela 6.3: Matriz de payoffs do jogador 1 para o jogo Le Her após
mais uma eliminação de estratégias estritamente dominadas.
Finalmente, vemos que para esta matriz reduzida, a estratégia 8 do
jogador 1 domina estritamente a estratégia 7. Eliminando-a, obtemos
amatriz2× 2databela6.4.
jogador 1
jogador 2
9 10
8 0.547 0.548
9 0.549 0.545
Tabela 6.4: Matriz de payoffs do jogador 1 para o jogo Le Her após
mais uma eliminação de estratégias estritamente dominadas.
Usando-se programação linear ou funções de melhor resposta, podemos
calcular facilmente o equilíbrio de Nash em estratégias mistas

126 [CAP. 6: EXEMPLOS
deste jogo 2 × 2:
(p 1 ,p 2 )=(4/5, 1/5) para o jogador 1
e
(q 1 ,q 2 )=(3/5, 2/5) para o jogador 2.
Os payoffs médios são, respectivamente, 0.5474 e 0.4526. Vemos,
portanto, que o jogador 1 leva vantagem nesta versão simplificada
do Le Her supondo, é claro, que ele aja racionalmente seguindo o
equilíbrio de Nash.
Observações.
1. No jogo original com 52 cartas, o jogador 2 pode se negar a trocar
de cartas com o jogador 1 se sua carta for K (a de maior valor). No
caso de cartas de mesmo valor (mas naipes diferentes), o jogador 2
vence. Mesmo na versão original, a probabilidade média de ganho
do jogador 1 é maior do que a do jogador 2 no equilíbrio de Nash.
Os detalhes podem ser encontrados nas referências [25] e [37].
2. O jogo Le Her foi investigado por Pierre Rémond de Montmort
(1678–1719) e Nicholas Bernoulli (1687–1759), mas foi James Waldegrave
(1684–1741) que forneceu uma solução para o jogo usando
o conceito de equilíbrio em estratégias mistas. As referências [90]
e [37] apresentam em detalhes a história deste jogo, incluindo a
troca de correspondência entre Montmort, Bernoulli e Waldegrave
e os erros cometidos na solução apresentada por Bernoulli.
3. Benjamim e Goldman mostram em [05] que, para a versão simplificada
do Le Her, a redução da matriz de payoffs para uma
matriz 2 × 2 ocorre para qualquer baralho com um número N ≥ 3
de cartas de um mesmo naipe.
6.2 O modelo de duopólio de Cournot
Sejam q 1 e q 2 as quantidades de um produto homogêneo fabricado
por duas empresas 1 e 2, respectivamente. Diz-se que dois produtos
fabricados por empresas diferentes são homogêneos quando os consumidores
não percebem diferenças na qualidade dos dois produtos

[SEC. 6.2: O MODELO DE DUOPÓLIO DE COURNOT 127
e, assim, eles tomam suas decisões sobre qual produto comprar considerando
apenas o preço, independentemente do fabricante. Vamos
assumir a situação de market-clearing, istoé, não existe excesso de
demanda ou excesso de oferta no mercado. Assim, a quantidade demandada
do produto é igual à quantidade ofertada do mesmo. Para
simplificar, vamos supor que o preço de mercado é uma função linear
da quantidade agregada Q = q 1 + q 2 do produto no mercado. Mais
precisamente,
P (Q) =
{ A − Q, se QA,
u 2 (q 1 ,q 2 ) = q 2 · P (q 1 + q 2 ) − c · q 2
{
q2 · [A − (q
=
1 + q 2 ) − c], se q 1 + q 2 ≤ A,
q 2 · [−c],
se q 1 + q 2 >A,
{
q2 · (−q
=
2 +(A − q 1 − c)), se q 1 + q 2 ≤ A,
q 2 · [−c],
se q 1 + q 2 >A.
Desta maneira, as funções de melhor resposta das duas empresas são
dadas por
{
{(A − c − q2 )/2}, se q
MR 1 (q 2 ) =
2 ≤ A − c,
{0}, se q 2 >A− c,

128 [CAP. 6: EXEMPLOS
MR 2 (q 1 ) =
{
{(A − c − q1 )/2}, se q 1 ≤ A − c,
{0}, se q 1 >A− c.
Lembrando que (q1 ∗,q∗ 2 )é um equilíbrio de Nash em estratégias puras
se, e somente se, q2 ∗ ∈ MR 2(q1 ∗)eq∗ 1 ∈ MR 1(q2 ∗), vemos que (q∗ 1 ,q∗ 2 )
deve ser solução do sistema
q ∗ 2 =(A − c − q ∗ 1)/2 e q ∗ 1 =(A − c − q ∗ 2)/2.
Sendo assim, vemos que o único equilíbrio de Nash em estratégias
puras do jogo é
( A − c
(q1 ∗ ,q∗ 2 )= , A − c )
. (6.1)
3 3
Estes valores também podem ser encontrados geometricamente, a-
través dos pontos de interseção das representações gráficas das duas
funções de melhor resposta (Figura 6.1).
q 2
A { c
(A { c)/2
(q , q ) 1 * * 2
0 (A { c)/2 A { c
q 1
Figura 6.1: Calculando o equilíbrio de Nash do modelo de duopólio
de Cournot.

[SEC. 6.3: O MODELO DE DUOPÓLIO DE BERTRAND 129
6.3 O modelo de duopólio de Bertrand
Neste modelo, ao invés de decidir o quanto produzir, as empresas
devem escolher o quanto cobrar pelo produto, isto é, elas entram em
uma competição de preços. Como no modelo de Cournot, estamos
assumindo que tudo o que é produzido é consumido. Lembrando
que A éopreço máximo aceitável pelo mercado, vemos que S 1 =
S 2 =[0,A]eS = S 1 × S 2 =[0,A] × [0,A]. As funções utilidade são
dadas por
u i (p 1 ,p 2 )=p i · Q i (p 1 ,p 2 ) − c · Q i (p 1 ,p 2 )=(p i − c) · Q i (p 1 ,p 2 ),
onde Q i (p 1 ,p 2 ) representa a produção vendida da empresa i com o
perfil de preços (p 1 ,p 2 ). Comooprodutoé homogêneo, podemos
assumir que os consumidores comprarão o produto mais barato. Se
as duas empresas cobrarem o mesmo preço, vamos assumir que elas
dividem igualmente o mercado. Desta maneira,
⎧
⎨A − p i , se p i p j ,
e, portanto,
⎧
⎨(p i − c) · (A − p i ), se p i p j ,
onde j ≠ i =1, 2.
Quais são os equilíbrios de Nash em estratégias puras deste modelo?
Certamente (p ∗ 1 ,p∗ 2 )=(c, c) é um equilíbrio de Nash pois, neste
caso,
u 1 (p ∗ 1,p ∗ 2)=0≥ u 1 (p 1 ,p ∗ 2) e u 2 (p ∗ 1,p ∗ 2)=0≥ u 2 (p ∗ 1,p 2 ),
para todo p 1 ∈ S 1 eparatodop 2 ∈ S 2 . Existem outros equilíbrios de
Nash? A resposta énão, como podemos concluir a partir dos casos
descritos a seguir.
(a) Se p ∗ 2

130 [CAP. 6: EXEMPLOS
p 2
A
c
Caso (c)
Caso (d)
Caso (e)
Caso (b) Caso (f)
Caso (g)
Caso (h)
Caso (a)
0 c A
p 1
Figura 6.2: Calculando o equilíbrio de Nash do modelo de duopólio
de Bertrand analisando os vários casos.
(b) Se p ∗ 1 = p∗ 2

[SEC. 6.4: O MODELO DE DUOPÓLIO DE STACKELBERG 131
(f) Suponha que p ∗ 2 = p∗ 1 >c. Se p∗ 1 = p∗ 2 ∈ ((A + c)/2,A], então
u 1 (p ∗ 1,p ∗ 2) c. Como u 1(p ∗ 1 ,p∗ 2 )=0c.Sep ∗ 1

132 [CAP. 6: EXEMPLOS
u 2
0 c (A +c)/2 A p 2
Figura 6.3: Gráfico da função p 2 ↦→ u 2 ((A + c)/2,p 2 ).
e, então, escolhe a sua quantidade de produção q 2 ≥ 0. O ganho de
cada empresa é o lucro que ela obtém:
u 1 (q 1 ,q 2 )=q 1 · P (q 1 + q 2 ) − c · q 1 ,
u 2 (q 1 ,q 2 )=q 2 · P (q 1 + q 2 ) − c · q 2 ,
onde P (Q) =A − Q éopreço de mercado em função da quantidade
agregada Q = q 1 + q 2 e c>0é o custo unitário de produção.
Vamos usar indução retroativa para encontrar um equilíbrio de
Nash deste jogo seqüencial. Primeiro, vamos calcular a ação ótima
A 2 (q 1 )daempresa2emfunção da quantidade de produção q 1 :
A 2 (q 1 ) = argmax q2≥0 u 2(q 1 ,q 2 ) = argmax q2≥0 q 2 · [A − q 1 − q 2 − c] .
Pela regra de Fermat, obtemos que
q 2 = A 2 (q 1 )= A − q 1 − c
,
2

[SEC. 6.5: A TRAGÉDIA DOS COMUNS 133
desde que q 1

134 [CAP. 6: EXEMPLOS
Two Lectures on the Checks to Population de 1833, que depois foi popularizada
e estendida por Garret Hardin no seu artigo The Tragedy
of the Commons publicado na revista Science em 1968 ([38]).
A palavra “tragédia”temosignificadodadoporAlfredNorth
Whitehead em seu livro Science and The Modern World: “The essence
of dramatic tragedy is not unhappiness. It resides in the solemnity
of the remorseless working of things.”. Já a palavra “comuns”
designa uma área de pastagem coletiva, sem dono e sem qualquer
regulamentação, usada por pastores na Idade Média, que cuidavam
do rebanho de ovelhas para obter a lã que vendiam para a confecção
de roupas.
Com o crescimento do número de famílias de camponeses ao longo
do tempo, ocorreu um aumento do número de ovelhas necessárias
para o sustento de cada família. Como a área de pastagem era de uso
comum, nenhuma família tinha incentivo para controlar o número de
ovelhas de seu rebanho pois, se o fizesse, outras famílias usariam as
pastagens de qualquer forma. Com uma superpopulação de ovelhas, a
terra que antes era fértil, começou a se exaurir. A redução da área de
pastagem afetou tanto o rebanho quanto a indústria local de roupas.
Aparábola mostra, então, que a imprudência em administrar um
recurso finito do qual todos se beneficiam pode levar àruína.
Vamos usar teoria dos jogos para modelar uma versão ingênua da
tragédia dos comuns. Considere uma aldeia com n pastores e seja o i
onúmero de ovelhas do i-ésimo pastor, de modo que o número total
de ovelhas da aldeia é o = o 1 + ···+ o n .Ocustodecompradeuma
ovelha é c, independentemente do númerodeovelhasqueopastor
já possui. O benefício de um pastor em deixar uma ovelha pastando
é v(o) por ovelha. Como o campo de pastagem é um recurso finito,
existe um número máximo o de ovelhas que ele pode suportar. Assim,
v(o) > 0seo

[SEC. 6.5: A TRAGÉDIA DOS COMUNS 135
exigindo-se que v ′ ≤ 0ev ′′ < 0. Desta maneira, v temumgráfico tal
como o apresentado na Figura 6.4.
v
v
0 o o
Figura 6.4: Gráfico da função v.
Neste jogo, a estratégia do pastor i é a escolha da quantidade de
ovelhas que ele deixará no pasto. Podemos então considerar que o
conjunto de estratégias puras do pastor i é S i =[0, o). Sua função
utilidade é dada por
u i (o 1 ,...,o i ,...,o n )=o i · v(o 1 + ···+ o i + ···+ o n ) − c · o i .
Suponha que c0, logo μ i é crescente e, portanto, positiva, em
um intervalo (0,ɛ)paraalgumɛ>0e

136 [CAP. 6: EXEMPLOS
(5) μ i écôncava em [ 0, o − σ−i] ∗ .
Logo, a função de melhor resposta do pastor i está bem definida:
MR i (o ∗ ) = argmax oi∈(0,o−σ ∗ −i ) (
oi · v ( o i − σ ∗ −i)
− c · oi
)
.
Se o ∗ i ∈ MR i(o ∗ ), então, pela regra de Fermat, μ ′ i (o∗ i ) = 0, isto é,
v(o ∗ i + σ∗ −i )+o∗ i · v′ (o ∗ i + σ∗ −i ) − c =0.
Somando-se estas equações para i =1,...,n e, então, dividindo-se
por n, obtemosqueσ ∗ deve satisfazer a seguinte equação:
v(σ ∗ )+ 1 n · σ∗ · v ′ (σ ∗ )=0. (6.2)
Por outro lado, se o objetivo é maximizar a utilidade coletiva, isto
é,asomadasfunções utilidades individuais, então devemos resolver
o seguinte problema de otimização:
max (o · v(o) − c · o) .
o∈(0,o)
Usando novamente a regra de Fermat, concluímos que uma solução σ •
deste problema de otimização deve resolver a seguinte equação:
v(σ • )+σ • · v ′ (σ • )=0. (6.3)
Observe que σ ∗ >σ • . Com efeito: se, por absurdo, σ ∗ ≤ σ • ,então
v(σ ∗ ) ≥ v(σ • ), já quev é decrescente. Mas v ′ também é decrescente,
já quev ′′ < 0. Desta maneira, 0 >v ′ (σ ∗ ) ≥ v ′ (σ • ). Como 0 <
σ ∗ /n < σ ∗ ≤ σ • , segue-se que
σ ∗
n · v′ (σ ∗ ) ≥ σ∗
n · v′ (σ • ) >σ • · v ′ (σ • )
e, portanto,
0=v(σ ∗ )+ σ∗
n · v′ (σ ∗ ) >v(σ • )+σ • · v ′ (σ • )=0,
uma contradição. Vemos então que o equilíbrio de Nash o ∗ coloca
mais ovelhas no pasto do que o número de ovelhas sugerido pelo
equilíbrio coletivo o • . Isto acontece porque cada pastor considera
apenas o seu próprio benefício e nãooefeitodesuasações sobre os
outros pastores.

Apêndice A
Convexidade
Neste apêndice apresentaremos as definições e propriedades básicas
de funções convexas necessárias no texto. As demonstrações
omitidas podem ser encontradas em [42].
Definição A.1 (Conjuntos convexos) Dizemos que U ⊂
R n éumconjunto convexo se, e somente se, para todo p, q ∈ U
tem-se
(1 − t) · p + t · q ∈ U,
para todo t ∈ [0, 1], isto é, se o segmento de reta que une dois
pontos quaisquer de U está sempre contido em U.
Teorema A.1 Seja {U ξ } ξ∈Ξ
uma família de conjuntos convexos
em R n Então ⋂
ξ∈Ξ
U ξ
também é um conjunto convexo em R n .
137

138 [CAP. A: CONVEXIDADE
(a)
(b)
Figura A.1: O conjunto da esquerda é convexo enquanto que o da
direita não o é.
Definição A.2 (Semiplanos e Semiespaços) Seja a um vetor
não-nulo em R n esejac um número real. Os conjuntos
H + = {x ∈ R n | ax ≥ c} e H − = {x ∈ R n | ax ≤ c}
são denominados, respectivamente, semiespaços fechados correspondentes
ao semiplano H = {x ∈ R n | ax = c}.
Por linearidade, segue-se que semiplanos e semiespaços são conjuntos
convexos.
Definição A.3 (Politopos e Poliedros) Um politopo éum
conjunto que pode ser expresso como a interseção de um número
finito de semiespaços fechados. Um poliedro é um politopo limitado.
Note que politopos e poliedros são conjuntos convexos, como interseção
de conjuntos convexos.
Definição A.4 (Combinação convexa) Sejam x 1 ,...,x k ∈
R n e λ 1 ,...,λ k números reais ≥ 0taisque ∑ n
i=1 λ i =1. Acombinação
convexa de x 1 ,...,x k com pesos λ 1 ,...,λ k éoponto
λ 1 · x 1 + ···+ λ i · x k .

139
(a)
(b)
Figura A.2: O conjunto de todas as combinações convexas de (a) dois
pontos distintos éumsegmentoderetaqueligaosdois
pontos e de (b) três pontos não-colineares éumtriângulo
(lados e interior) com vértices nos três pontos.
Teorema A.2 Um subconjunto U de R n é convexo se, e somente
se, toda combinação convexa de pontos de U pertence
a U.
Definição A.5 (Funções convexas e côncavas)
(a) Dizemos que uma função f : U ⊂ R n → R definida em um
subconjunto convexo U de R n é convexa se, e somente se,
f((1 − t) · p + t · q) ≤ (1 − t) · f(p)+t · f(q),
(A.1)
para todo p, q ∈ U etodot ∈ [0, 1].
(b) Dizemos que uma função f : U ⊂ R n → R definida em um
subconjunto convexo U de R n é côncava se, e somente se,
f((1 − t) · p + t · q) ≥ (1 − t) · f(p)+t · f(q),
(A.2)
para todo p, q ∈ U etodot ∈ [0, 1].
A interpretação geométrica é a seguinte: para uma função convexa, o
segmento de reta secante que passa pelos pontos (p,f(p)) e (q,f(q))
sempre está acima ou coincide com o gráfico de f para qualquer

140 [CAP. A: CONVEXIDADE
y
f(p)
segmento de reta secante
(1{t) . f(p)+t.
f(q)
gráfico de f
f(q)
f((1{t) . p +t.
q)
0
p
(1{t) . p+t.
q
q
x
Figura A.3: Para uma função convexa, o segmento de reta secante
fica sempre acima ou coincide com o gráfico da função,
para quaisquer escolhas de p e q.
escolha de pontos p e q em U (veja a Figura A.3). Já parauma
função côncava, o segmento de reta secante que passa pelos pontos
(p,f(p)) e (q,f(q)) sempre está abaixo ou coincide com o gráfico
de f para qualquer escolha de pontos p e q em U. Note que f é
côncava se, e somente se, −f éconvexa.
Opróximo teorema estabelece o motivo de convexidade ser uma propriedade
tão desejável em otimização.
Teorema A.3
(a) Se f : U ⊂ R n → R éconvexa,então todo ponto de mínimo
local de f em U também é ponto de mínimo global de f
em U.
(b) Se f : U ⊂ R n → R écôncava, então todo ponto de máximo
local de f em U também é ponto de máximo global de f
em U.

141
Teorema A.4 Seja f : U ⊂ R n → R uma função de classe C 1
definida em um subconjunto convexo U de R n .
(a) f é uma função convexa em U se, e somente se,
f(q) ≥ f(p)+∇f(p) · (q − p),
(A.3)
para todo p, q ∈ U, istoé, se, e somente se, cada hiperplano
tangente ao gráfico de f está sempreabaixo ou coincide com
ográfico de f.
(b) f é uma função côncava em U se, e somente se,
f(q) ≤ f(p)+∇f(p) · (q − p),
(A.4)
para todo p, q ∈ U, istoé, se, e somente se, cada hiperplano
tangente ao gráfico de f está sempreacima ou coincide com
ográfico de f.
Aqui ∇f(p) denota o vetor gradiente de f em p.
y
gráfico de f
0
x
Figura A.4: Para uma função convexa, cada hiperplano tangente ao
gráfico de f está sempre abaixo do gráfico de f.

142 [CAP. A: CONVEXIDADE
Definição A.6 (Funções quase-convexas e quase-côncavas)
(a) Dizemos que uma função f : U ⊂ R n → R definida em um
subconjunto convexo U de R n é quase-convexa se, e somente
se,
{x ∈ U | f(x) ≤ c}
é um conjunto convexo para todo c ∈ R.
(b) Dizemos que uma função f : U ⊂ R n → R definida em um
subconjunto convexo U de R n é quase-côncavo se, e somente
se,
{x ∈ U | f(x) ≥ c}
é um conjunto convexo para todo c ∈ R.
Note que f équase-côncava se, e somente se, −f équase-convexa.
Toda função convexa é quase-convexa e toda função côncava équasecôncava.
Existem funções quase-convexas que não são convexas. Por
exemplo, a função f : R → R definida por y = f(x) = 3√ x 2 équaseconvexa,
mas não éconvexa.
y
0 x
Figura A.5: y = f(x) = 3√ x 2 é quase-convexa, mas não éconvexa
em R.

143
Toda função f : R → R monótona é quase-convexa e quase-côncava.
A função y = f(x) =⌊x⌋ que leva x ∈ R no maior inteiro menor do
que ou igual a x é função quase-convexa que não écontínua. A função
da Figura A.6 é um exemplo de função que não équase-convexa.
Teorema A.5 Seja f : U ⊂ R n → R uma função definida em
um subconjunto convexo U de R n .
(a) As seguintes condições são equivalentes:
(1) f é uma função quase-convexa em U.
(2) ∀x 1 , x 2 ∈ U, ∀t ∈ [0, 1], se f(x 1 ) ≤ f(x 2 ), então
(3) ∀x 1 , x 2 ∈ U, ∀t ∈ [0, 1],
f(t · x 1 +(1− t) · x 2 ) ≤ f(x 2 ).
f(t · x 1 +(1− t) · x 2 ) ≤ max{f(x 1 ),f(x 2 )}.
(b) As seguintes condições são equivalentes:
(1) f é uma função quase-côncava em U.
(2) ∀x 1 , x 2 ∈ U, ∀t ∈ [0, 1], se f(x 1 ) ≥ f(x 2 ), então
(3) ∀x 1 , x 2 ∈ U, ∀t ∈ [0, 1],
f(t · x 1 +(1− t) · x 2 ) ≥ f(x 2 ).
f(t · x 1 +(1− t) · x 2 ) ≥ min{f(x 1 ),f(x 2 )}.
Teorema A.6 Seja f : U ⊂ R n → R uma função de classe C 1
definida em um subconjunto convexo U de R n .
(a) f équase-convexaemU se, e somente se,
∀x 1 , x 2 ∈ U, f(x 2 ) ≤ f(x 1 ) ⇒ ∇f(x 1 ) · (x 2 − x 1 ) ≤ 0.

144 [CAP. A: CONVEXIDADE
y
c
0 x
Figura A.6: Um exemplo de função que não équase-convexa.
(b) f équase-côncava em U se, e somente se,
∀x 1 , x 2 ∈ U, f(x 2 ) ≥ f(x 1 ) ⇒ ∇f(x 1 ) · (x 2 − x 1 ) ≥ 0.

Apêndice B
Programação Linear
Neste apêndice apresentaremos as definições e propriedades básicas
da teoria de programação linear necessárias no texto. Para
detalhes, demonstrações e extensões, recomendamos os excelentes livros
[14, 52].
Um programa linear éumproblemadeotimização onde a função
que queremos otimizar e as restrições são todas lineares. Por exemplo,
minimizar x 1 + x 2
x 1,x 2∈R
sujeito a 3 x 1 +2x 2 ≥ 8,
x 1 +5x 2 ≥ 7,
x 1 ≥ 0,
x 2 ≥ 0,
(B.1)
é um programa linear. Para resolvê-lo, precisamos encontrar um
ponto (x 1 ,x 2 )doconjunto admissível
K = {(x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 | 3 x 1 +2x 2 ≥ 8,x 1 +5x 2 ≥ 7,x 1 ≥ 0,x 2 ≥ 0}
que torna o valor da função objetivo o(x 1 ,x 2 )=x 1 + x 2 omenor
possível. O conjunto K está desenhado na Figura B.1. Por inspeção,
vemos que a solução ótima é dada por (x ∗ 1 ,x∗ 2 )=(2, 1). Este ponto é
ainterseção da curva de nível f(x 1 ,x 2 )=x 1 + x 2 = c “mais baixa”
que intercepta o conjunto admissível.
145

146 [CAP. B: PROGRAMAÇÃO LINEAR
x 2
4
3
1
0 2 3
7
x 1
Figura B.1: O conjunto admissível do programa linear B.1.
Dizemos que um programa linear está naforma padrão se todas
as variáveis de decisão são não-negativas e se todas as restrições são
em igualdade:
minimizar
x 1,...,x n
∈ R c 1 x 1 + ···+ c n x n
sujeito a a 11 x 1 + ··· + a 1n x n = b 1 ,
. . . . .
a m1 x 1 + ··· + a mn x n = b m ,
e x 1 ≥ 0, ..., x n ≥ 0.
Todo programa linear pode ser reescrito na forma padrão com o uso
de variáveis de folga. Por exemplo, uma restrição da forma
a i1 x 1 + ···+ a in x n ≥ b i
pode ser substituída, de maneira equivalente, pelas restrições
a i1 x 1 + ···+ a in x n − y i = b i e y i ≥ 0.
Se uma variável de decisão x i pode assumir qualquer valor real, isto é,
se não existe restrição de não-negatividade em x i ,então podemos

147
substituir x i por u i − v i , a diferença de dois números positivos. Se
colocarmos o programa linear B.1 na forma padrão, obtemos o seguinte
PL:
minimizar
x 1,x 2,y 1,y 2∈R
x 1 + x 2
sujeito a 3 x 1 +2x 2 − y 1 =8,
x 1 +5x 2 − y 2 =7,
x 1 ≥ 0,
x 2 ≥ 0,
y 1 ≥ 0,
y 2 ≥ 0.
(B.2)
Um programa linear pode ser escrito de forma mais compacta
usando-se matrizes e vetores:
minimizar c T x
x∈R n
sujeito a Ax = b e x ≥ 0,
(B.3)
onde x ∈ R n , c ∈ R n , b ∈ R m e A é uma matriz m × n. Note
que o conjunto admissível K = {x ∈ R n | Ax = b e x ≥ 0} de um
programa linear, quando não-vazio, é um politopo convexo, e que as
hipersuperfícies de nível da função objetivo são hiperplanos.
Problemas de maximização podem ser transformados em problemas
de minimização substituindo-se a função objetivo o por −o. Mais
precisamente, x ∗ é uma solução ótima de
maximizar c T x
x∈R n
sujeito a Ax = b e x ≥ 0,
se, e somente se, x ∗ também ésolução de
minimizar −c T x
x∈R n
sujeito a Ax = b e x ≥ 0.
Na teoria de programação linear, assume-se que m

148 [CAP. B: PROGRAMAÇÃO LINEAR
Da teoria de Álgebra Linear sabemos, então, que existem m colunas
de A que são linearmente independentes. Renomeando-se índices se
necessário, podemos assumir que estas colunas sejam as m primeiras.
Isto induz uma decomposição de A edex:
A = [ B C ] [ ]
xB
, x = ,
x C
onde B é uma matriz m×m inversível. Como o sistema linear Ax = b
é equivalente a Bx B + Cx C = b, segue-se então que existe uma
solução x de Ax = b na forma
[
xB
0
]
.
Esta solução é denominada solução básica do sistema linear Ax =
b associada à base B. As componentes de x B são denominadas
variáveis básicas.
Teorema B.1 (Teorema Fundamental da Programação
Linear) Considere um programa linear na forma padrão B.3,
com A matriz m × n de posto m.
(a) Se o programa linear possui um ponto admissível, então ele
possui um ponto admissível que é uma solução básica do
sistema linear Ax = b.
(b) Se o programa linear possui um ponto ótimo, então ele possui
um ponto ótimo que é uma solução básica do sistema
linear Ax = b.
Opróximo teorema dá uma interpretação geométrica para pontos
admissíveis que são soluções básicas: eles correspondem aos pontos
extremos (vértices) do politopo K = {x ∈ R n | Ax = b e x ≥ 0}.
Definição B.1 (Ponto Extremo) Dizemos que um ponto x
em um conjunto convexo U é ponto extremo de U se não existem
dois outros pontos distintos x 1 e x 2 em U tais que x = α x 1 +
(1 − α) x 2 para algum α no intervalo (0, 1).

149
Na Figura B.2, x 1 , x 2 e x 3 são os únicospontosextremosdo
conjunto admissível K do PL B.1. O ponto x 4 não éumponto
extremo de K, pois ele pode ser escrito como uma combinação convexa
de x 2 ∈ K e x 3 ∈ K. Como x 6 = α x 5 +(1− α) x 7 para
algum α ∈ (0, 1), vemos que o ponto x 6 (no interior do conjunto
admissível) também não é um ponto extremo de K.
x 2
4
3
x 1
x x 7
6
x 5
x 4
1
x 2
x 3
0 x 1
2 3
7
Figura B.2: x 1 , x 2 e x 3 são os únicospontosextremosdoconjunto
admissível do PL B.1.
Teorema B.2 (Equivalência entre Pontos Extremos e
Soluções Básicas) Seja A uma matriz m × n de posto m,
b um vetor em R m e K = {x ∈ R n | Ax = b e x ≥ 0} oconjunto
admissível de B.3. Então x é um ponto extremo de K
se, e somente se, x é um ponto admissível que ésolução básica
de Ax = b.
Os teoremas B.1 e B.2 dizem que, para se resolver o problema B.3, não
é preciso considerar todos os pontosdoconjuntoadmissível K: basta
procurar pelo ponto ótimo entre os pontos extremos (vértices) de K!
Ométodo simplex explora esta estrutura para construir um algoritmo
muito popular para se resolver B.3. Outra categoria de métodos que

150 [CAP. B: PROGRAMAÇÃO LINEAR
recentemente ganhou bastante popularidade é a classe dos métodos
de ponto interior. Não é nosso propósito estudar estes algoritmos
aqui. O leitor interessado poderá consultar os livros [14, 52]. O que é
preciso se ter em mente é que programas lineares podem ser resolvidos
numericamente de maneira muito eficiente nos dias de hoje. A seguir
estabeleceremos resultados sobre dualidade, um conceito fundamental
emuitoútil em programação linear.
Definição B.2 (O problema dual) O problema dual de
minimizar c T x
x∈R n
sujeito a Ax ≥ b e x ≥ 0,
(B.4)
é o programa linear
maximizar λ T b
λ∈R m
sujeito a A T λ ≤ c e λ ≥ 0,
(B.5)
onde λ T b = ∑ m
i=1 λ ib i . B.5 é denominado o problema dual
de B.4. Neste contexto, B.4 é denominado problema primal.
Por exemplo, o problema dual do programa linear B.1 é
minimizar 8 λ 1 +7λ 2
λ 1,λ 2∈R
sujeito a 3 λ 1 + λ 2 ≤ 1,
2 λ 1 +5λ 2 ≤ 1,
λ 1 ≥ 0,
λ 2 ≥ 0.
(B.6)
O problema dual de qualquer programa linear pode ser encontrado
convertendo-o para o formato B.4. Por exemplo, como Ax = b se,
esomentese,Ax ≥ b e −Ax ≥−b, o programa linear na forma
padrão B.3 pode ser escrito na forma do problema primal B.4 da

151
seguinte maneira equivalente
minimizar
x∈R n
sujeito a
[
A
−A
]
x ≥
c T x
[
b
−b
]
e x ≥ 0.
Particionando-se agora as variáveis duais na forma (u, v), o problema
dual deste último PL é
minimizar
u T b − v T b
x∈R n
sujeito a A T u − A T v ≤ c, u ≥ 0 e v ≥ 0.
Fazendo-se λ = u − v, o problema acima pode ser simplificado, o que
nos leva ao seguinte par de problemas duais:
Par Dual B.1
(problema primal)
minimizar c T x
x∈R n
sujeito a Ax = b,
x ≥ 0,
(problema dual)
maximizar λ T b
λ∈R m
sujeito a A T λ ≤ c.
Outros pares de problemas duais de interesse são dados a seguir.
Par Dual B.2
(problema primal)
maximizar c T x
x∈R n
sujeito a Ax = b,
x ≥ 0,
(problema dual)
minimizar λ T b
λ∈R m
sujeito a A T λ ≥ c.

152 [CAP. B: PROGRAMAÇÃO LINEAR
Par Dual B.3 (O da Definição B.2)
(problema primal)
minimizar c T x
x∈R n
sujeito a Ax ≥ b,
x ≥ 0,
(problema dual)
maximizar λ T b
λ∈R m
sujeito a A T λ ≤ c,
λ ≥ 0.
Par Dual B.4
(problema primal)
maximizar b T y
y∈R m
sujeito a Ay ≤ c,
y ≥ 0,
(problema dual)
minimizar
x∈R n
sujeito a
c T x
x T A ≥ b Ț
x ≥ 0.
Teorema B.3 (Teorema fraco de dualidade) Se x e λ são
admissíveis para os problemas B.3 e B.5, respectivamente, então
c T x ≥ λ T b.
Este teorema mostra que um ponto admissível para um dos problemas
fornece uma cota para o valor da função objetivo do outro
problema. Os valores associados com o problema primal são sempre
maiores ou iguais aos valores associados com o problema dual. Como
corolário, vemos que se um par de pontos admissíveis pode ser encontrado
para os problemas primal e dual com valores iguais da função
objetivo, então estes pontos são ótimos.
Teorema B.4 (Teorema forte de dualidade) Se um dos
problemas B.3 ou B.5 tem uma solução ótima finita, então o
outro também terá uma solução ótima finita e, neste caso, os
valores das respectivas funções objetivo são iguais. Se a função

153
objetivo do problema primal não é limitada inferiormente, então
oconjuntoadmissível do problema dual é vazio e, se a função
objetivo do problema dual não é limitada superiormente, então
oconjuntoadmissível do problema primal é vazio.
Oconjuntoadmissível do problema dual B.6 do programa linear B.1
está desenhado na Figura B.3. Por inspeção, vemos que a solução
ótima é dada por (λ ∗ 1,λ ∗ 2)=(4/13, 1/13). Este ponto éainterseção da
curva de nível g(λ 1 ,λ 2 )=8λ 1 +7λ 2 = c “mais alta” que intercepta
oconjuntoadmissível. Lembrando que (x ∗ 1 ,x∗ 2 )=(2, 1) é a solução
do problema primal B.1, vemos que
f(x ∗ 1 ,x∗ 2 )=x∗ 1 + x∗ 2 =3=8λ∗ 1 +7λ∗ 2 = g(λ∗ 1 ,λ∗ 2 ),
como afirma o teorema forte da dualidade.
¸2
3/7
1/5
(4/13, 1/13)
0
1/3
3/8
¸1
Figura B.3: O conjunto admissível do problema dual B.6 do programa
linear B.1.
Por fim, gostaríamos de observar que se a função objetivo do programa
linear B.3 não é limitada inferiormente no conjunto admissível

154 [CAP. B: PROGRAMAÇÃO LINEAR
K = {x ∈ R n | Ax = b e x ≥ 0} ,
então existem ponto extremo ˜x eraioextremo˜r de K tal que o valor
da função objetivo de B.3 em x = ˜x + t˜r tende a −∞ quando t tende
a+∞. Emparticular,
c T˜r < 0.
Dizemos que ˜r éumraiodeK se, e somente se, ˜r ≠ 0 e o conjunto
{p ∈ R n | p = x + t˜r e t ≥ 0} está contidoemK para todo x ∈ K.
Um raio ˜r de K é extremo, senão existem outros dois raios r 1 e r 2
de K (com r 1 ≠ t r 2 para todo t>0) e um escalar s no intervalo (0, 1)
tal que ˜r = s r 1 +(1− s) r 2 .
r 2
r 3
K
0 x 1
Figura B.4: Os vetores r 1 e r 2 não são raios extremos de K. O vetor
r 3 éumraioextremodeK.

Apêndice C
Respostas dos exercícios
Capítulo 2
[01] O processo de dominância estrita iterada reduz o jogo para uma
matriz 1×1 comumúnico perfil de estratégias puras: (s 13 ,s 22 ).
[02] (a) Não existem estratégias dominantes neste jogo.
(b) (l 1 ,c 1 )e(l 2 ,c 2 )são os únicos equilíbrios de Nash em estratégias
puras do jogo.
[03] (a) c 2 domina estritamente c 1 .
(b) (l 2 ,c 2 )éoúnico equilíbrio de Nash em estratégias puras do
jogo.
[04] (a) Não existem estratégias dominantes neste jogo.
(b) (desviar, não desviar) e (não desviar, desviar) são os únicos
equilíbrios de Nash em estratégias puras do jogo.
[05] (a) Não existem estratégias dominantes neste jogo.
(b) (brigar, ameaçar) e (ameaçar, brigar) são os únicos equilíbrios
de Nash em estratégias puras do jogo.
[06] Usando o processo de dominância fraca iterada, o jogo se reduz
para uma matriz 3 × 3:
155

156 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Eixo
A B C
Aliados
1 (+13, −13) (+29, −29) (+ 8, − 8)
3 (+18, −18) (+22, −22) (+31, −31)
.
6 (+23, −23) (+22, −22) (+19, −19)
[07] O processo de dominância estrita iterada reduz o jogo para
uma matriz 1 × 1 × 1comumúnico perfil de estratégias puras:
(x 3 ,y 2 ,z 4 ).
[08] O processo de dominância estrita iterada reduz o jogo para
uma matriz 1 × 1 × 1comumúnico perfil de estratégias puras:
(x 2 ,y 1 ,z 2 ).
[09] O perfil de estratégias (x 2 ,y 2 ,z 3 )éoúnico equilíbrio de Nash
em estratégias puras do jogo.
[10] (a) Para o jogador 1, a estratégia M é fracamente dominada
pela estratégia T etambém fracamente dominada pela estratégia
B. Para o jogador 2, a estratégia L éfracamente
dominada pela estratégia R.
(b) O processo de eliminação das estratégias fracamente dominadas
conduz a duas reduções 1 × 1: {(B,C)} e {(T,R)}.
(c) Os equilíbrios de Nash em estratégias puras são (T,C),
(T,R)e(B,C). Note que (T,C) não está entre os perfis
de estratégias encontrados no item anterior.
[11] Suponha, por absurdo, que s ∗ =(s ∗ 1,...,s ∗ n)não seja um e-
quilíbrio de Nash. Então devem existir índice i eestratégia
pura s [1]
i ∈ S i ,coms [1]
i ≠ s ∗ i ,taisqueu i(s ∗ i , s∗ −i )

157
porque a estratégia s [1]
i foi fracamente dominada por outra estratégia
s [2]
i . Logo, u i(s [1]
i , s −i) ≤ u i (s [2]
i , s −i) paratodos −i
que pode ser construído com as estratégias que restaram nos
espaços de estratégias puras dos outros jogadores neste estágio
do processo (que inclui s ∗ −i ) e, mais ainda, pelo menos para
um s [2]
−i , vale a desigualdade estrita: u i(s [1]
i , s[2] −i )

158 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
[12] Note que
u i (p ∗ ) = u i (p ∗ i , p∗ −i )
=
∑m 1
j 1=1
···
∑m n
j n=1
Reordenando os somatórios, obtemos que
onde
v ji =
∑m 1
j 1=1
···
u i (p ∗ i , p ∗ −i) =
m∑
i−1
m∑
i+1
j i−1=1 j i+1=1
p ∗ 1j 1 ····p ∗ nj n · u i (s 1j1 ,...,s njn ).
∑m i
j i=1
···
p ∗ ij i · v ji = 〈p ∗ i , v〉
∑m n
j n=1
c j1,...,j n
· u i (s 1j1 ,...,s njn ),
com c j1,...,j n
= p ∗ 1j 1 ···p ∗ (i−1)j i−1
· p ∗ (i+1)j i+1
···p ∗ nj n
. Desta maneira,
se x 1 ,...,x r ∈ Δ i e λ 1 ,...,λ r são escalares não-negativos
com ∑ r
k=1 λ k =1,então
( r∑
) 〈 r∑
〉
u i λ k · x k , p ∗ −i = λ k · x k , v
k=1 k=1
=
=
r∑
λ k ·〈x k , v〉
k=1
r∑
λ k · u i (x k , p ∗ −i ).
k=1
Nas igualdades acima não usamos que λ 1 ,...,λ r são escalares
não-negativos com ∑ r
k=1 λ k = 1. De fato, esta exigência é
necessária
∑
apenas para garantir que se x 1 ,...,x r ∈ Δ i ,então
r
k=1 λ k · x k ∈ Δ i .
[13] Suponha que a estratégia pura s ik do jogador g i seja estritamente
dominada por uma estratégia mista
p ′ i =(p ′ i1,...,p ′ ik,...,p ′ im i
) ∈ Δ mi .

159
Vamos mostrar que se p i =(p i1 ,...,p ik ,...,p imi )éumaoutra
estratégia mista do jogador g i com p ik > 0, então p i também
é estritamente dominada. Como s ik éestritamentedominada
por p ′ i , segue-se que
u i (p ′ i ,s −i) >u i (s ik ,s −i ), ∀s −i ∈ S −i .
Assim,
u i (p i ,s −i )
(∗)
=
=
<
∑m i
r=1
m i
p ir · u i (s ir ,s −i )
∑
p ir · u i (s ir ,s −i )+p ik · u i (s ik ,s −i )
r=1
r≠k
∑m i
r=1
r≠k
p ir · u i (s ir ,s −i )+p ik · u i (p ′ i,s −i ),
onde, em (∗), usamos a propriedade 2.4 da página 31. Mas, por
esta mesma propriedade,
Conseqüentemente,
∑m i
r=1
r≠k
∑m i
r=1
r≠k
u i (p ′ i ,s −i) =
∑m i
r ′ =1
u i (p i ,s −i )
<
p ir · u i (s ir ,s −i )+p ik ·
=
p ′ ir ′ · u i(s ir ′,s −i ).
∑m i
r ′ =1
p ′ ir ′ · u i(s ir ′,s −i )
(p ir + p ik · p ′ ir) · u i (s ir ,s −i )+p ik · p ′ ik · u i (s ik ,s −i )
∑m i
r=1
=
p ′′
ir · u i(s ir ,s −i ),

160 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
onde os coeficientes p ′′
ir são definidos por
{
p ′′
ir = pir + p ik · p ′ ir , se r ≠ k,
p ik · p ′ ik
, se r = k.
Como p ′′
ir ≥ 0paratodor =1,...,m i e ∑ m i
r=1 p′′ ir =1,segue-se
que p ′′
i =(p ′′
i1 ,...,p′′ ir ,...,p′′ im i
)é uma distribuição de probabilidades
e, sendo assim,
∑m i
u i (p i ,s −i ) < p ′′
ir · u i(s ir ,s −i )=u i (p ′′
i ,s −i), ∀s −i ∈ S −i .
r=1
Isto mostra que a estratégia mista p i éestritamentedominada
pela estratégia mista p ′′
i .
[14] Para o dilema dos prisioneiros, as funções de melhor resposta
são dadas por:
MR Bob (p) = argmax q∈[0,1] ((4 p +1)q − (9 p +1))={1},
MR Al (q) = argmax p∈[0,1] ((4 q +1)p − (9 q +1))={1}.
A partir das representações gráficas destas funções (Figura C.1),
vemos que o único equilíbrio de Nash em estratégias mistas do
jogo éoperfil(1, 0; 1, 0), que corresponde ao único ponto de
interseção (p ∗ ,q ∗ )=(1, 1) das duas representações gráficas.
Para o jogo de comparar moedas, as funções de melhor resposta
são dadas por:
MR 2 (p) = argmax q∈[0,1] (2 (+1 − 2 p) q − 1+2p)
⎧
⎨ {1}, se p ∈ [0, 1/2),
= [0, 1], se p =1/2,
⎩
{0}, se p ∈ (1/2, 1],
MR 1 (q) = argmax p∈[0,1] (2 (−1+2q) p +1− 2 q)
⎧
⎨ {0}, se q ∈ [0, 1/2),
= [0, 1], se q =1/2,
⎩
{1}, se q ∈ (1/2, 1].
A partir das representações gráficas destas funções (Figura C.2),
vemos que o único equilíbrio de Nash em estratégias mistas do

161
(Bob)
q
(Confessar)
1
(Negar)
0
1 p (Al)
(Negar)
(Confessar)
Figura C.1: Calculando os equilíbrios de Nash usando as representações
gráficas das duas funções de melhor resposta.
jogo éoperfil(1/2, 1/2; 1/2, 1/2), que corresponde ao único
ponto de interseção (p ∗ ,q ∗ )=(1/2, 1/2) das duas representações
gráficas.
[15] Um equilíbrio de Nash não pode por probabilidade positiva em
uma estratégia pura que é estritamente dominada. De fato:
suponha, por absurdo, que p ∗ =(p ∗ i , p∗ −i ) seja um equilíbrio
de Nash com p ∗ i =(p∗ i1 ,...,p∗ ik 1
,...,p ∗ ik 2
,...,p ∗ im i
)ep ∗ ik 1
> 0,
onde s ik1 éumaestratégia pura estritamente dominada por s ik2 .
Defina agora p • i =(p ∗ i1 ,...,0,...,p∗ ik 1
+ p ∗ ik 2
,...,p ∗ im i
). Note
que p • i ∈ Δ(S i)eu i (p • i , p∗ i ) >u i(p ∗ i , p∗ i ), contradizendo o fato
de p ∗ =(p ∗ i , p∗ −i ) ser um equilíbrio de Nash. Um equilíbrio de
Nash pode por probabilidade positiva em uma estratégia pura
fracamente dominada. No jogo abaixo,
g 2
s 21 s 22
g 1
s 11 (12, 10) (28, 26)
s 12 (20, 46) (20, 46)
,

162 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
(g ) 2
q
(s ) 21
1
1/2
(s ) 22
0
(s ) 12
1/2 1 p
(s ) 11
(g ) 1
Figura C.2: Calculando os equilíbrios de Nash usando as representações
gráficas das duas funções de melhor resposta.
o perfil de estratégias mistas (0, 1; 1/2, 1/2) é um equilíbrio de
Nash que põe probabilidade p 21 =1/2 > 0naestratégia s 21
e s 21 é fracamente dominada pela estratégia s 22 .
[16] O perfil de estratégias puras s ∗ = (confessar, confessar) não é
Pareto eficiente pois, se s • = (negar, negar) étalqueu Al (s • )=
−1 > −5 =u Al (s • )eu Bob (s • )=−1 > −5 =u Bob (s • ).
Capítulo 3
[01] (a) Considere Δ = [0, 1] e F: Δ→ Δcujográfico édadona
Figura C.3.
(b) Considere Δ = (0, 1) e F: Δ→ Δcujográfico édadona
Figura C.4.
(c) Considere Δ = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] e F: Δ→ Δcujográfico é
dado na Figura C.5.

163
y
1
1/2
0 1/2
1
x
Figura C.3: Gráfico do item (a).
y
1
2/3
0 1/3
1
x
Figura C.4: Gráfico do item (b).

164 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
y
1
2/3
1/3
0 1/3 2/3
1
x
Figura C.5: Gráfico do item (c).
y
1
3/4
1/4
0 1/2
1
x
Figura C.6: φ não possui ponto fixo.

165
[02] Conforme a Figura C.6 na página 164, um exemplo é obtido
tomando-se X =[0, 1] e
⎧
⎨[3/4, 1], se 0 ≤ x

166 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
(problema dual)
minimizar x 1 + x 2
sujeito a 3 x 1 + x 2 ≥ 1,
x 1 +3x 2 ≥ 1,
x 1 ≥ 0,
x 2 ≥ 0.
Asolução do problema dual é(x ∗ 1 ,x∗ 2 )=(1/4, 1/4) e a solução
do problema primal é(y1,y ∗ 2)=(1/4, ∗ 1/4). Se
θ = x ∗ 1 + x∗ 2 = y∗ 1 + y∗ 2 = 1 2 ,
segue-se que o único equilíbrio de Nash do jogo de comparar
moedas é dado por (p ∗ , q ∗ ), onde
p ∗ = (x∗ 1,x ∗ 2)
θ
( 1
=
2 , 1 2)
e q ∗ = (y∗ 1,y ∗ 2)
θ
=
( 1
2 , 1 2)
.
[03] Considere o seguinte jogo matricial geral de ordem 2 × 2:
[ ]
a b
A = .
d c
Se existe um ponto de sela, basta usarmos os resultados da Subseção
4.3.2 para encontrar um equilíbrio de Nash do jogo. Suponha
então que a matriz A não possua pontos de sela. Desta
maneira, o jogo possui apenas equilíbrios de Nash
(p ∗ , 1 − p ∗ ; q ∗ , 1 − q ∗ )
totalmente mistos, isto é, com 0

167
ou a>b, bde d

168 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
v
*
5
v* ={7p* +5
v* =8p* {3
Coluna 2
1
v* ={2p* +1
v* =3p* {2
Coluna 3
0 1 p
{ 1
Coluna 1
*
{ 2
Coluna 4
{ 3
Figura C.7: Envelope inferior.
isto é, ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
v ∗ ≤ −2 p ∗ +1,
v ∗ ≤ 8 p ∗ − 3,
v ∗ ≤ 3 p ∗ − 2,
v ∗ ≤ −7 p ∗ +5.
(C.1)
As funções afins v ∗ = −2 p ∗ +1, v ∗ =8p ∗ − 3, v ∗ =3p ∗ − 2
e v ∗ =3p ∗ − 2 representam os ganhos médios do jogador linha
quando ele escolhe a distribuição de probabilidades (p ∗ , 1−p ∗ )e
o jogador coluna escolhe as colunas 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
Os gráficos destas funções para 0 ≤ p ∗ ≤ 1estão desenhados na
Figura C.7.
Para um valor fixo de p ∗ , o jogador linha está seguro de que seu
ganho médio é pelo menos o mínimo destas quatro funções calculadas
em p ∗ ,oenvelope inferior destas quatro funções. Como
o jogador linha pretende maximizar os seus ganhos médios,

169
então ele precisa encontrar p ∗ queatingeomáximo deste envelope
inferior. De acordo com a Figura C.7, o máximo ocorre
justamente na interseção das retas v ∗ = −2 p ∗ +1 e v ∗ =3p ∗ −2,
as quais representam, respectivamente, as colunas 1 e 3 do jogador
coluna. Deste modo, uma solução do jogo 2 × 4original
pode ser obtida estudando-se o jogo 2 × 2 definido pela matriz
R =
[
−1 +1
+1 −2
O valor deste jogo é v ∗ = −1/5 parap ∗ =3/5 eq ∗ =3/5.
Assim, um equilíbrio de Nash do jogo original é dado por
( 3
(p ∗ , 1 − p ∗ ; q ∗ , 0, 1 − q ∗ , 0) =
5 , 2 5 ; 3 5 , 0, 2 )
5 , 0 .
Naturalmente, a técnica aqui descrita pode ser aplicada para
qualquer jogo de soma zero com matriz A de tamanho 2 × n.
[05] Lembre-se que u l (p, q) =p T Aq e u l (p, q) =−p T Aq. Sejam
e k ∗ e e l ∗ tais que
min u l(p ∗ , e l )=u l (p ∗ , e l ∗)
1≤l≤n
e
max (−u c(e k , q ∗ )) = −u c (e k ∗, q ∗ ),
1≤k≤m
isto é, p ∗T Ae l ≥ p ∗T Ae l ∗ para todo l e e T k Aq∗ ≤ e T k ∗Aq∗ para
todo k. Destamaneira,
e T k Aq∗ ≤ e T k ∗Aq∗ = −(−p ∗T Ae l ∗)=p ∗T Ae l ∗ ≤ p ∗T Ae l ,
para todo k =1,...,me l =1,...,n. Por linearidade, segue-se
que
p T Aq ∗ ≤ p ∗T Aq,
para todo p ∈ Δ m e q ∈ Δ n .Emparticular,p T Aq ∗ ≤ p ∗T Aq ∗
e p ∗T Aq ∗ ≤ p ∗T Aq, istoé, u l (p, q ∗ ) ≤ u l (p ∗ , q ∗ )eu c (p ∗ , q) ≤
u c (p ∗ , q ∗ )paratodop ∈ Δ m e q ∈ Δ n . Istomostraque(p ∗ , q ∗ )
é um equilíbrio de Nash do jogo.
]
.

170 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Para a matriz A de tamanho 4 × 5 do enunciado, temos que
u l (p ∗ , e 1 )= 121
37 , u l(p ∗ , e 2 )= 121
37 , u l(p ∗ , e 3 )= 160
37 ,
u l (p ∗ , e 4 )= 121 e u l (p ∗ , e 5 )= 169
37
37 ,
e
u c (e 1 , q ∗ )= 121
37 , u c(e 2 , q ∗ )= 121
37 , u c(e 3 , q ∗ )= 120 e
37
u c (e 4 , q ∗ )= 121
37 ,
de modo que
min u l(p ∗ , e l ) = 121/37 = max (−u c(e k , q ∗ )) = 121/37.
1≤l≤n 1≤k≤m
Pelo resultado acima, isto mostra que (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio
de Nash do jogo.
[06] Seja M = ∑ n
l=1 a il = ∑ n
k=1 a kj a constante obtida pela soma
de qualquer linha ou coluna. Defina
( 1
p ∗ = q ∗ =
n n)
,..., 1 ∈ Δ n .
∑
Observe que, para todo k, l ∈{1,...,n}, u l (p ∗ , e l )=p ∗ Ae l =
n
i=1 p∗ i a il = p ∗ ∑ n
i i=1 a il = M/n e u c (e k , q ∗ ) = −e k Aq ∗ =
− ∑ n
j=1 a kjqj ∗ = ∑ n −q∗ j j=1 a kj = −M/n. Portanto,
min u l(p ∗ , e l )= M
1≤l≤n n = max (−u c(e k , q ∗ )).
1≤k≤m
Pelo resultado do exercício anterior, concluímos que (p ∗ , q ∗ )é
um equilíbrio de Nash do jogo. Para o caso do quadrado mágico
da gravura Melancolia I de Albrecht Dürer,
( 1
p ∗ = q ∗ =
4 , 1 4 , 1 4 , 1 4)
e o valor do jogo é v ∗ =34/4 =17/2.

171
[07] Se (p ∗ , q ∗ )é um equilíbrio de Nash totalmente misto, então,
pelas relações 4.5,
n∑
a ij qj ∗ = v ∗ ,
j=1
∀i ∈{1,...,n}.
Estas equações podem ser escritas usando-se matrizes da seguinte
maneira: Aq ∗ = v ∗ ½. Como, por hipótese, A éuma
matriz inversível, segue-se que q ∗ = v ∗ A −1 ½. Agora,
n∑
qj ∗ =1 ⇒ 1=½ T q ∗ = v ∗ ½ T A½ ⇒ v ∗ 1
=
½ T A −1 ½ .
j=1
Sendo assim,
q ∗ =
A−1 ½
½ T A −1 ½ .
Do mesmo modo, pelas relações 4.6,
n∑
p ∗ i a ij = v ∗ ,
i=1
∀j ∈{1,...,n}.
Estas equações podem ser escritas usando-se matrizes da seguinte
maneira: p ∗T Aq ∗ = v ∗ ½. Como, por hipótese, A éuma
matriz inversível, segue-se que p ∗ = v ∗ ½A −1 e, assim,
Capítulo 5
p ∗ =
½A−1
½ T A −1 ½ .
[01] O equilíbrio de Nash em estratégias puras obtido por indução
retroativa é
((Parar, Parar), (Parar, Parar)).
Este equilíbrio não é Pareto eficiente pois, em comparação com
o perfil acima,
((Continuar, Continuar), (Continuar, Continuar))
dá um ganho maior para os dois jogadores.

172 [CAP. C: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
[02] O equilíbrio de Nash em estratégias puras obtido por indução
retroativa é
(Não confiar, Trair).
Este equilíbrio não é Pareto eficiente pois, em comparação com
o perfil acima,
(Confiar, Honrar)
dá um ganho maior para os dois jogadores.

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Índice
Árvore, 109
Bernoulli, Nicholas, 5, 126
Bertrand
Modelo de duopólio, 129
Binmore, Kenneth, 119
Borel, Émile, 6
Combinação convexa, 31, 138
Complementaridade Linear, 102
Conjunto
admissível de um PL, 145
convexo, 137
Cournot
Augustin, 5
Modelo de duopólio, 126
de Montmort, Pierre Rémond,
126
Dominância
em estratégias mistas, 32
em estratégias puras, 14
estrita iterada, 15, 34
fraca iterada, 18
Dürer, Albrecht, 107
Eficiência de Pareto, 59
Equilíbrio
de estratégia estritamente
dominante, 15, 35
de estratégia fracamente dominante,
18
de Nash, 20, 110
em estratégias mistas, 35
perfeito em subjogos, 117
Espaço de estratégias
mistas, 29
puras, 11
Estratégia
de um jogo sequêncial, 109
mista, 27
suporte, 80
pura, 11
totalmente mista, 69
Folgas complementares, 102
Folha de uma árvore, 109
Forma
normal, 11
padrão de um PL, 146
Função
côncava, 139
convexa, 139
de melhor reposta, 22
objetivo de um PL, 145
quase-côncava, 142
quase-convexa, 142
183

184 ÍNDICE
utilidade, 11
esperada, 30
Gambit, 104
Ganho, 10
Hardin, Garret, 134
Harsanyi, John, 9
Indução retroativa, 114
Informação perfeita, 108
Jogo
a batalha dos sexos, 13
bimatricial, 101
Chicken, 52
comparar moedas, 21
da centopéia, 119
da confiança, 119
da inspeção, 42
de informação perfeita, 108
de soma zero, 82
2 × 2, 106
2 × n, 169
matriz inversível, 107
quadrado mágico, 107
do covarde, 52
estratégico, 11
estritamente competitivo,
82
hawk-dove, 54
Le Her, 120
na forma extensa, 108
na forma normal, 11
não-cooperativo, 11
o dilema do prisioneiro, 11
quadrado mágico, 107
sequêncial, 108
Kalmar, Laszlo, 6
Le Her, 120
Lloyd, William Forster, 133
Market-clearing, 127
Matriz de payoffs,12
Melhor resposta, 22
Método simplex, 149
Modelo de Duopólio
de Bertrand, 129
de Cournot, 126
de Stackelberg, 131
Montmort, Pierre Rémond, 5
Morgenstern, Oskar, 8
Nash
Equilíbrio de
em estratégias mistas, 35
em estratégias puras, 20
Nash Jr., John Forbes, 9, 60
Nó deumaárvore, 109
Ótimo de Pareto, 59
Pareto, eficiência de, 59
Payoff ,10
Perfil de estratégias
mistas, 29
puras, 11
Politopo, 138
Ponto
extremo, 148
fixo, 60, 65
Problema
de complementaridade linear,
102
dual, 150
dual de um LP, 150

ÍNDICE 185
primal de um LP, 150
Produto homogêneo, 126
Proposição da Irrelevância do Payoff,
47
básica de um PL, 148
de folga de um PL, 146
von Neumann, John, 7
von Stackelberg, Heinrich, 131
Quadrado mágico, 107
Raiz de uma árvore, 109
Ramo de uma árvore, 109
Rosenthal, Robert W., 119
Russell, Bertrand, 52
Waldegrave, James, 5, 126
Whitehead, Alfred North, 134
Zermelo, Ernst, 6
Selten, Reinhard, 9, 117
Semiespaço, 138
Semiplano, 138
Simplex, 149
Solução
básica de um PL, 148
Solução estratégica, 20
Stackelberg
Modelo de duopólio, 131
Subjogo, 116
Suporte, 80
Teorema
do ponto fixo de Brouwer,
60
do ponto fixo de Kakutani,
65
forte de dualidade, 152
fraco de dualidade, 152
fundamental da programação
linear, 148
Tucker, Albert W., 11
Utilidade, 11
esperada, 30
Variável