Trab3-Am3-EIC_2021

Integral Complexa Sequências e séries complexas Singularidades Série de potência Resíduos Bibliografia

Análise Matemática III - Trabalho III

Licenciatura em Engenharia Informática e Computadores

- 2. o ano -

Prof. Narciso Gomes

UniCV

Atenção ao prazo: ◮ 30.01.2021 ◭

Entrega exclusiva no Moodle ⊲ ⊲ ⊲ http://moodle.unicv.edu.cv/

21.01.2021

Prof. Narciso Gomes UniCVAtenção ao prazo: ◮ 30.01.2021 ◭ Entrega exclusiva no Moodle ⊲ ⊲ ⊲ http://moodle.unicv.edu.cv/

Análise Matemática III - EIC


1 Integral Complexa

Parametrização de curvas

Independência de percurso

Integral de Cauchy: Fórmula Integral de Cauchy

2 Sequências e séries complexas

Sequências complexas

Séries (numéricas) complexas

3 Singularidades

4 Série de potência

Séries de Taylor/McLaurin

Série de Laurent

5 Resíduos

Aplicações de resíduos

6 Bibliografia




Parametrização de curvas

Integral complexa: curvas parametrizadas

I. Considere as figuras seguintes, com as curvas C 1 = curva(PQ 1 R)

e C 2 = curva(PQ 2 R) de mesmos extremos respetivamente mas de

percurso diferente:

∫ ∫

Mostre que zdz =

C 1

zdz.

C 2






II. Calcule:

∮

sinh(πz)

a)

C a z 2 − ez

z dz, C a = {z ∈ C : |z| = 2}.

∮

cos(z)

b)

2z + 2π dz, C b = {z ∈ C : |z + 3| = 1}.

C b




Sequências complexas

Sequências e séries complexas

III. Sejam as sequências seguintes:

a) Seja a sequência

b) Seja a sequência

z n =

z n = 1 + ni

n + 2ni .

(

1 + 1 ) n

− 2n3 − 2n

n n 2 − n 3 i.

Para cada uma das alíneas anteriores determine o ponto de

convergência L = a + ib.




Séries (numéricas) complexas

Séries complexas

IV. Estude a natureza das séries complexas seguintes:

a)

b)

∞∑

n=1

e ni

n 2 .

∞∑

z n .

n=0




Singularidades

VI. Para cada uma das funções seguintes classifique cada uma das

singularidades:

sin(z − i)

a) f a (z) = .

z − i

b) f b (z) = cos(πz) − 1

z 2 .

c) f c (z) = sin(πz)

(z + 1) 2 .

d) f d (z) = e 2

z−1 .






V. Para cada uma das funções seguintes, escreva a série de

McLaurin correspondente e de seguida determine o círculo de

convergência:

a)

p(z) = ln(1 + z).

b)

c)

q(z) = ze iz .

r(z) = 2

2 + 3z .




Série de Laurent

Série de Laurent

VII. Para cada uma das funções seguintes represente a Série de

Laurent correspondente:

a) h a (z) = sin(πz)

z 2 , z 0 = 0.

1

b) h b (z) =

z(z + 1) 2 , z 0 = −1.

c) h c (z) = (1 − z) 3 e 1

z−1 , z0 = 1.




Resíduos

VIII. Para cada uma das funções do slide anterior (exercicio VIII.),

determine o residuo em cada ponto singular e calcule:

∮

a) h a (z)dz, C 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.

C

∮ 1

b) h b (z)dz, C 2 = {z ∈ C : |z| = 2}.

C

∮ 2

c) h c (z)dz, C 3 = {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

C 3






IX. Calcule:

a) I a =

b) I b =

∫ 2π

0

∫ 2π

0

1

1 + sin θ dθ.

2

sin 2 θ

5 + 4 cos θ dθ.




Bibliografia

Dennis G. Zill, Patrick D. Shanahan, Curso Introdutório à

Análise Complexa com Aplicações, LTC, 2a Edição, 2018.

Avila, G., Variáveis complexas e aplicações, LTC, 3.a Edição,

2008.




Bom Trabalho!!



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