Resumos - Polinomios

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS
DO CONCELHO DE CAMINHA
Polinómios
ANO LETIVO
2021/2022
10.º ano
Resolver, página 95, Exercícios.
Um polinómio na variável x, P(x), de grau n é uma expressão do tipo:
P(x) = anx n + an–1x n–1 + an–2x n–2 + an–3x n–3 + … a2x 2 + a1x + a0
a1x 1 a0x 0
onde:
• an, an–1, an–2, an–3, … a2, a1, a0 IR
• an 0
• n IN
Sejam P(x) e Q(x), dois polinómios de grau n e m, com m ≤ n. Então:
• P(x) Q(x) tem grau m + n
• P(x) + Q(x) tem grau menor ou igual a n
Resolver, página 96, exercícios 5 e 6.
Divisão inteira de Polinómios
• Divisão inteira em IN
Como calcular
1 3 0 7 2 3
–1 2 4 3 5 7
–9
Dividendo
1 0
1 7
–1 5
2 2
–2 1
1
Resto
13072 aplicando o algoritmo completo da divisão:
3
Divisor
Logo: 13072 = 4357 3 + 1
Dividendo
Quociente
Quociente
Divisor
Resto
Dividendo = Quociente Divisor + Resto
1

• Divisão inteira de polinómios
Ler páginas 98 e 99, Exemplos e nota conclusiva (retângulo amarelado).
Ler páginas 100, Exercícios.
Resolver, páginas 99, Exercícios 11, 12, 13, 14.
Regra de Rufini
Divisão por x – a.
A Regra de Rufini é utilizada para determinar, com maior rapidez, o resto e o quociente da divisão de um
polinómio
por
P(x) = anx n + an–1x n–1 + an–2x n–2 + an–3x n–3 + … a2x 2 + a1x + a0
x – a
onde an, an–1, an–2, an–3, … a2, a1, a0, a IR, n IN, an 0
Ler, páginas 101 e 102, Exemplos e Exercícios.
Resolver, página 102, Exercícios 16, 17, 18.
Divisão por ax – b.
Para realizar a divisão P(x) de por ax – b, deve-se:
• escrever ax – b da forma a (x − b a )
• dividir P(x) por (x − b ), utilizando a regra de Ruffini, obtendo Q(x) e R(x)
a
• escrever P(x) = Q(x) (x − b a ) + R(x)
• compôr o quociente e o divisor:
P(x) = Q(x) (x − b a ) + R(x)
P(x) = Q(x)× 1 a × a (x − b a ) + R(x)
P(x) = Q(x)
⏟
× 1 a
Q 1 (x)
× (ax − b) + R(x)
P(x) = Q 1 (x) × (ax − b) + R(x)
Quociente: Q 1 (x) e Resto: R(x)
Ler, páginas 103 e 104, Exemplo e Exercícios.
Resolver, páginas 103 e 104, Exercícios 19, 20, 21, 22.
Exercícios de consolidação: Resolver, páginas 106 até 109, exceto 12.3.
2

Teorema do resto para divisores do tipo ax – b
Ler, página 110 até 112.
Dado um polinómio P(x),
• o resto da divisão de P(x) por x – a é P(a)
• o resto da divisão de P(x) por ax – b é P( b ) a
• c é uma raiz ou um zero de P(x) P(c) = 0
• c é uma raiz ou um zero de P(x) P(c) é divisível por x – c
Resolver, página 110 até 112, Tarefa 2 e Exercícios 26 até 33.
Fatorização de um polinómio
Ler, páginas 114 até 118, Exemplos e Exercícios.
Dado um polinómio P(x) de grau n,
• a raiz a tem multiplicidade m (m ≤ n) P(x) é divisível por (x – a) m
P(x) = (x – a) m Q(x) (grau de Q(x) igual a n – m)
• este pode ser decomposto em fatores
P(x) = (x − a 1 ) m 1(x − a 2 ) m 2 … (x − a k ) m kQ(x),
onde Q(x) é um polinómio sem raízes (de grau par: 0, 2, 4, …)
• se os coeficientes de P(x) são inteiros, então as suas raízes inteiras, caso existam, são divisores
do termo independente
Resolver, página 115 até 118, Tarefa 3 e Exercícios 37, 39, 41, 42, 43, 44 e 45.
Ler, páginas 119 e 120, Exemplo e Exercícios.
Resolver, páginas 119 até 121, Tarefa 5 e Exercícios 47 até 55.
Exercícios de consolidação: Resolver, páginas 123 até 129.
3