Hiper_Aula_MetDeslocamento

MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTOS DE BARRA

Elemento de Pórtico Plano Rígido-Rígido
Elemento de Pórtico Plano Rotulado-Rígido
Elemento de Pórtico Plano Rígido-Rotulado
Elemento de Pórtico Plano Rotulado-Rotulado

REAÇÕES DE ENGASTAMENTO PERFEITO

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
A solução pelo método dos deslocamentos pode ser vista como uma superposição de soluções cinematicamente
determinadas, isto é, de configurações deformadas conhecidas.
Vimos anteriormente a solução nodal para elementos de barra plana: reações de engastamento perfeito, relações entre
forças e deslocamentos nodais e a relação entre os valores nodais e a solução ao longo da barra (funções de forma).
IDÉIA: Se restringirmos todas as deslocabilidades nodais livres de uma estrutura reticulada, teremos uma estrutura com o
isolamento da configuração deformadas de seus elementos. A essa estrutura damos o nome de Sistema Hipergeométrico
(SH) e a usaremos para avaliar os casos básicos a serem superpostos para reestabelecer o equilíbrio de forças de maneira a
obtermos os deslocamentos nodais da estrutura hiperestática original.
Essa figura mostra a configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas
elementares, cada uma associada a um determinado efeito que é isolado.

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
SUPERPOSIÇÃO

q
P
2
q
5
P
1
3
6
4
= +
CASO (0)
7
Obter os esforços nas direções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Obs: reações de engastamento perfeito da barra carregada.

1
5
2
3
6
4
. D1
+
CASO (1)
7
Obter os esforços nas direções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Obs: Coeficientes de rigidez das barras deformadas pelo deslocamento unitário indicado.

5
1
1
3
6
4
. D2
+
CASO (2)
7
Obter os esforços nas direções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Obs: Coeficientes de rigidez das barras deformadas pelo deslocamento unitário indicado.

2
5
1
3
1
6
4
CASO (3)
. D3
+
7
Obter os esforços nas direções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Obs: Coeficientes de rigidez das barras deformadas pelo deslocamento unitário indicado.

1
1
2
3
5
6
. D4
+
CASO (4)
7
Obter os esforços nas direções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Obs: Coeficientes de rigidez das barras deformadas pelo deslocamento unitário indicado.

5
1
2
3
6
4
1
. D5
+
CASO (5)
7
Obter os esforços nas direções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Obs: Coeficientes de rigidez das barras deformadas pelo deslocamento unitário indicado.

2
5
1
3
1
4
CASO (6)
. D6
+
7
Obter os esforços nas direções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Obs: Coeficientes de rigidez das barras deformadas pelo deslocamento unitário indicado.

2
5
1
3
4
. D7
CASO (7)
1
Obter os esforços nas direções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Obs: Coeficientes de rigidez das barras deformadas pelo deslocamento unitário indicado.

Para avaliar os deslocamentos nodais D1, D2, ... D7, aplicamos as condições de equilíbrio nos
Nós, ou seja, a soma dos esforços em cada direção (coordenadas estruturais LIVRES 1, 2, 3...7)
deve ser igual a zero. Assim:
Equilíbrio nas direções i:
∑ = 0 ⇒ + + + + + + + + =0
⇒ + + + + + + + =0
⇒ + + + + + + + =0
⇒ + + + + + + + =0
Onde são os esforços nodais globais provenientes das reações de engastamento perfeito dos
elementos de barra submetidos aos carregamento externos nas barras e
são os coeficientes de rigidez globais nas coordenas LIVRES da estrutura,obtidos pela
contribuição dos coeficientes de rigidez locais de cada elemento de barra.

, {P} =
0
, {F} =
0
-
1
2
0
0
7
1
2
-
0
+
11
21
D1+
7
0
71
1
2
7
-
0
0

{F} = {P}-{ }
{ }= Vetor com as resultantes das reações de engasta mento perfeito
{P} = Vetor de forças aplicadas diretamente sobre os nós

Exemplo do Livro Texto
Coordenadas globais (LIVRES)
(Sistema Hipergeométrico)

CASO (0)

CASO (1)
Observe que :
K11 = K44 da barra 1 em Referencial
Global + K11 da barra 2
K21 = K54 da barra 1 em Referencial
Global + K21 da barra 2
K31 = K64 da barra 1 + K31 da barra 2

CASO (2)
Observe que :
K12 = K45 da barra 1 em Referencial
Global + K12 da barra 2
K22 = K55 da barra 1 em Referencial
Global + K22 da barra 2
K32 = K65 da barra 1 + K35 da barra 2

CASO (3)
Observe que :
K13 = K46 da barra 1 em Referencial
Global + K13 da barra 2
K23 = K56 da barra 1 em Referencial
Global + K23 da barra 2
K33 = K66 da barra 1 + K36 da barra 2

Equilíbrio nas direções i = 1,2,3
∑ = 0 ⇒ + + + =0
⇒ + + + =0
⇒ + + + =0

4EI/L
2EI/L

MÉTODO DAS FORÇAS
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

MÉTODO DAS FORÇAS
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS