MODELE SI ALGORITMI DE OPTIMIZARE

Seria „Matematică”
MODELE ŞI ALGORITMI
DE OPTIMIZARE

OPTIMIZATION MODELS AND ALGORITHMS
This book presents a set of optimization methods, models and algorithms. After
the Introduction, where the reader is familiarized with the object of optimization
and some applications of it, the book includes Graphs in Optimization, Convex
Programming, Linear Programming, the Transportation Problem, Quadratic
Programming, Dynamic Programming, Basics of Queuing Theory, Basics of
Inventory Theory, and an Appendix.
These chapters provide a minimum of knowledge for practical activities in
engineering and economics.
Many of the results are being formally established, but some theorems are listed
without a proof, while providing a reference where the proof can be found. The
methods and corresponding algorithms are illustrated by examples. Also, the solutions
obtained by using the following software are included: Management Scientist, Excel,
and MathCAD. Almost all chapters end with suggested problems.
This book is aimed at engineers, economists, mathematicians and students of
technical and economic faculties, being a useful tool for solving practical problems.
MODÈLES ET ALGORITHMES D’OPTIMISATION
Cet ouvrage présente un ensemble de modèles, de méthodes et d’algorithmes
d’optimisation. Le premier chapitre, Introduction, où l’objet de l’optimisation et les
principaux domaines d’application sont fournis, est suivi de Graphes en optimisation,
Programmation convexe, Programmation linéaire, le Problème de transport,
Programmation dynamique, Programmation quadratique, Éléments de la théorie files
d’attente, Éléments de la théorie de stockes et une Annexe.
Ces chapitres représentent un minimum de connaissances nécessaires dans les
activités pratiques de management des ingénieurs et économistes.
La plupart des résultats sont démontrés, mais il y a des résultats (théorèmes,
propositions) qui sont acceptés sans démonstration, pour lesquelles on indique
l’ouvrage où ils sont démontrés. Les méthodes et les algorithmes correspondants sont
illustrés par exemples complètement résolus. On a donné également les solutions
obtenues en utilisant les logiciels Management Scientist, Excel et MathCAD. Presque
tous les chapitres finissent par des problèmes proposés à résoudre.
L’ouvrage s’adresse aux ingénieurs, économistes, mathématiciens et étudiants des
facultés techniques et économiques, étant un outil pour résoudre les problèmes
pratiques.
8

Romică Trandafir
MODELE ŞI ALGORITMI
DE OPTIMIZARE
Editura AGIR
Bucureşti, 2004
Seria „Matematică”

ASOCIAŢIA GENERALĂ A INGINERILOR DIN ROMÂNIA
Copyright © EDITURA AGIR, 2004
Editură acreditată de CNCSIS
Toate drepturile pentru această ediţie sunt rezervate.
All rights reserved.
Adresa: Calea Victoriei nr. 118, sector 1, Bucureşti, cod 010071;
telefon: 40 21 212 81 04; 40 21 212 81 06 (redacţie);
40 21 211 83 50 (difuzare); fax: 40 21 312 55 31;
e-mail: editura@agir.ro; Internet: http://www.agir.ro
Referenţi ştiinţifici:
● prof. univ. dr. Ion Văduva;
● prof. univ. dr. Ştefan Mititelu
Redactor: ing. Adina Negoiţă
Coperta: Răzvan Drăghici
Bun de tipar: 25.08.2004; Coli de tipar: 15,5
ISBN 973-8466-76-8
Imprimat în România

PREFAŢĂ
Lucrarea de faţă este o reuşită sinteză, care tratează în mod concis, dar şi
riguros din punct de vedere matematic, problemele de optimizare.
După o Introducere în care se formulează conceptele de bază ale construcţiei
modelelor matematice şi ale descrierii problemelor de optimizare, lucrarea
tratează sistematic o mare varietate de modele şi algoritmi de optimizare,
care intervin în rezolvarea diverselor tipuri de probleme ridicate de practica
inginerească, în particular în construcţii. Astfel, un prim capitol este dedicat
formulării şi tratării unor modele şi algoritmi de optimizare din teoria
grafurilor, legate de determinarea drumurilor minime, a fluxurilor minime/maxime
sau a arborilor de acoperire de cost minim. Apoi, în cinci capitole distincte,
sunt tratate la nivel teoretic evoluat, diverse probleme de programare matematică,
cum sunt: programarea convexă programarea liniară, problema de
transport, programarea pătratică şi programarea dinamică. În aceste capitole se
fac remarcate construcţia şi analiza aprofundată a numeroşi algoritmi generali,
dar şi a unor particularităţi ale acestora de un real interes practic.
Un capitol special este dedicat analizei unor modele de teoria matematică
a aşteptării, modele care au ca scop reglarea aşteptărilor şi fluxurilor în sistemele
de servire în condiţii de incertitudine. Sunt tratate modele de aşteptare pentru sisteme
cu o staţie de servire, cu coada finită sau infinită, sau sisteme de aşteptare cu
mai multe staţii paralele. În toate aceste modele se presupune că venirile şi duratele
serviciilor sunt aleatoare, de repartiţii cunoscute.
În sfârşit, ultimul capitol al cărţii tratează modelele reprezentative de teoria
matematică a stocurilor. Sunt tratate modele clasice care determină politici de
reaprovizionare optime pentru stocarea unuia sau mai multor produse, precum şi
unele modele aleatoare.
Aproape toate metodele şi algoritmii descrişi sunt ilustrate prin exemple
preluate cu precădere din practica activităţilor de construcţii, exemple ce sunt prelucrate
cu ajutorul unor pachete de programe, fapt care măreşte mult utilitatea şi
atractivitatea lucrării.
Întrucât în tratarea unor modele intervin noţiuni şi metode ale teoriei probabilităţilor
şi statisticii matematice, anexa cărţii prezintă tocmai noţiunile de bază
necesare înţelegerii acelor modele.
În concluzie, avem de-a face cu o carte bine construită, interesantă prin
acurateţea, claritatea şi rigurozitatea problemelor tratate şi care oferă posibilităţi
de aplicare la rezolvarea multor probleme practice, ea prezentând deci un interes
deosebit pentru o clasă largă de cititori.
Bucureşti, 20 iulie 2004
Prof. univ. dr. Ion Văduva

6
Modele şi algoritmi de optimizare

CUPRINS
1. Introducere .....................................................................................................................11
1.1. Obiectul optimizării ..................................................................................................11
1.1.1. Construcţia modelului.....................................................................................11
1.1.2. Concepte de bază în modelare ........................................................................12
1.2. Tipuri de probleme ...................................................................................................14
1.2.1. Dimensiunea problemelor...............................................................................16
1.2.2. Algoritmi iterativi şi convergenţă ...................................................................16
2. Grafuri în optimizare.....................................................................................................17
2.1. Definiţii şi algoritmi..................................................................................................17
2.1.1. Grafuri orientate..............................................................................................17
2.1.2. Grafuri neorientate..........................................................................................19
2.2. Căutarea unui arbore de acoperire de lungime minimă ............................................20
2.2.1. Algoritmul lui Kruskal....................................................................................21
2.2.2. Algoritmul lui Prim.........................................................................................22
2.3. Algoritmul lui Dijkstra .............................................................................................25
2.4. Metoda PERT ...........................................................................................................29
2.5. Probleme propuse .....................................................................................................35
3. Programare convexă......................................................................................................43
3.1. Mulţimi şi funcţii convexe........................................................................................43
3.2. Extreme condiţionate ................................................................................................45
3.2.1. Cazul restricţiilor egalităţi...............................................................................48
3.2.2. Cazul restricţiilor inegalităţi ...........................................................................49
4. Programare liniară ........................................................................................................51
4.1. Exemple de probleme de programare liniară ............................................................51
4.1.1. Utilizarea optimă a resurselor .........................................................................51
4.1.2. Problema de transport .....................................................................................52
4.1.3. Alocarea optimă a fondurilor financiare .........................................................54
4.1.4. Gestionarea optimă a unui depozit..................................................................54
4.1.5. Problema dietei ...............................................................................................55
4.2. Diferite forme ale problemelor de programare liniară ..............................................56
4.3. Algoritmul simplex...................................................................................................57
4.4. Fundamentele algoritmului simplex .........................................................................59
4.5. Enunţul algoritmului simplex ...................................................................................62
4.6. Tabelul simplex şi transformarea sa .........................................................................63
4.7. Exemplu....................................................................................................................65
4.8. Convergenţa algoritmului simplex. Degenerare şi ciclare ........................................72
4.9. Interpretarea geometrică a algoritmului simplex ......................................................74
4.10. Interpretarea economică a algoritmului simplex.....................................................76
4.11. Metoda celor două faze...........................................................................................77
4.12. Dualitatea în programarea liniară............................................................................82
4.13. Teorema fundamentală a dualităţii..........................................................................84

8
Modele şi algoritmi de optimizare
4.14. Algoritmul simplex dual .........................................................................................89
4.15. Interpretarea economică a algoritmului simplex dual.............................................92
4.16. Determinarea unei soluţii dual admisibile ..............................................................94
4.17. Probleme propuse ...................................................................................................95
5. Problema de transport.................................................................................................102
5.1. Fundamentele algoritmului de transport .................................................................102
5.2. Enunţul algoritmului de transport...........................................................................107
5.3. Determinarea soluţiei iniţiale de bază.....................................................................108
5.4. Exemplu..................................................................................................................109
5.5. Problema atribuirii sarcinilor ..................................................................................119
5.6. Probleme propuse ...................................................................................................119
6. Programare pătratică ..................................................................................................122
6.1. Exemple de probleme care conduc la programare pătratică ......................................122
6.1.1. Utilizarea optimă a resurselor .......................................................................122
6.1.2. Problema investiţiei ......................................................................................123
6.1.3. Regresii liniare..............................................................................................123
6.2. Definiţii. Proprietăţi................................................................................................124
6.3. Fundamentarea algoritmului lui Wolfe...................................................................127
6.4. Forma scurtă a algoritmului lui Wolfe....................................................................132
6.5. Probleme propuse ...................................................................................................141
7. Programare dinamică ..................................................................................................143
7.1. Generalităţi .............................................................................................................143
7.2. Analiza retrospectivă ..............................................................................................146
7.2.1. Rezolvarea în cazul aditiv.............................................................................147
7.2.2. Problema repartiţiei investiţiilor ...................................................................148
7.2.3. Problema gestiunii stocului...........................................................................152
7.2.4. Problema alocării optime a resurselor...........................................................155
7.3. Probleme propuse ...................................................................................................157
8. Elemente de teoria aşteptării.......................................................................................161
8.1. Introducere în teoria aşteptării ................................................................................161
8.2. Caracterizarea procesului N(t) ca proces de naştere şi deces..................................162
8.3. Modelul Po(λ)/Exp(µ)/1:(∞,FIFO)........................................................................165
8.4. Modelul Po(λ)/Exp(µ)/1:(m, FIFO).......................................................................170
8.5. Modelul Po(λ)/Exp(µ)/c:(∞, FIFO) ........................................................................174
8.6. Modelul P0(λ)/Exp(µ)/c:(m,FIFO).........................................................................180
8.7. Simulare..................................................................................................................185
8.8. Probleme propuse ...................................................................................................188
9. Elemente de teoria stocurilor ......................................................................................194
9.1. Introducere în teoria stocurilor ...............................................................................194
9.1.1. Punerea problemei ........................................................................................194
9.1.2. Concepte utilizate în teoria stocurilor ...........................................................195
9.2. Modelul clasic al lotului economic.........................................................................199
9.3. Modelul clasic al lipsei de stoc ...............................................................................204

Cuprins
9.3.1. Modelul de stocare considerând influenţa preţului de cumpărare ................209
9.3.2. Modelul de stocare considerând influenţa costului de producţie..................209
9.4. Extensii ale modelului clasic al lotului economic...................................................210
9.5. Model pentru stocarea mai multor tipuri de produse ..............................................216
9.6. Modele stochastice de stocare.................................................................................216
9.6.1. Determinarea nivelului optim de reaprovizionare.........................................217
9.6.2. Modele de stocare pe o singură perioadă cu cerere aleatoare .......................221
9.6.3. Modele stochastice de stocare bazate pe modele de aşteptare ......................224
9.6.4. Modelul P0(λ)/Exp(µ)/1:(∞, FIFO)...............................................................224
9.6.5. Modelul cu mai multe staţii paralele şi cu timp de avans L aleatoriu ...........226
9.7. Probleme propuse ...................................................................................................230
Anexă.................................................................................................................................233
A.1. Câmp de evenimente. Axioma lui Kolmogorov ....................................................233
A.1.1. Evenimente. Probabilităţi.............................................................................233
A.1.2. Probabilitate .................................................................................................233
A.1.3. Câmp de probabilitate complet aditiv ..........................................................233
A.1.4. Probabilitate condiţionată ............................................................................234
A.1.5. Evenimente independente ............................................................................234
A.2. Variabile aleatoare .................................................................................................234
A.2.1. Funcţia de repartiţie .....................................................................................235
A.2.2. Densitate de repartiţie ..................................................................................236
A.2.3. Variabile aleatoare independente.................................................................236
în sensul Steinhaus−Kaç .........................................................................................236
A.2.4. Valoare medie. Dispersie. Momente............................................................236
A.3. Câteva repartiţii clasice..........................................................................................237
A.3.1. Repartiţia uniformă ......................................................................................237
A.3.2. Repartiţii Markov.........................................................................................237
A.3.3. Repartiţia normală unidimensională a lui Gauss..........................................238
A.3.4. Repartiţia Beta .............................................................................................239
A.4. Procese aleatoare....................................................................................................239
A.5. Teste de concordanţă .............................................................................................241
A.5.1. Etapele verificării ipotezelor statistice .........................................................242
2
A.5.2. Testul de concordanţă χ ..........................................................................243
A.5.3. Testul Kolmogorov ......................................................................................243
Bibliografie .......................................................................................................................245
Index alfabetic ..................................................................................................................247
9

10
Modele şi algoritmi de optimizare

1. INTRODUCERE
1.1. Obiectul optimizării
Un manager vrea să aleagă acel curs al activităţii sale care va fi cel mai
performant în atingerea scopului firmei sale. În judecarea eficienţei diferitelor decizii
posibile, trebuie să se folosească anumite criterii pentru măsurarea performanţei
activităţii în discuţie. Este indicat să se urmărească etapele (Bonini et al, 1997):
1. Stabilirea criteriului de eficienţă
2. Selectarea unei mulţimi de alternative posibile
3. Determinarea unui model care să fie folosit şi a valorilor parametrilor procesului
4. Determinarea alternativei care optimizează criteriul stabilit la etapa 1.
Deoarece problemele lumii reale devin extrem de complicate este necesar să se
facă o abstractizare şi o simplificare a realităţii într-un model. Să considerăm de
exemplu problema construirii unei clădiri. Este necesară o durată îndelungată
pentru culegerea de informaţii privind locul unde se amplasează, caracteristicile
fizice ale clădirii, studiul detaliat al condiţiilor climatice şi de sol, influenţa asupra
costurilor, sursele de finanţare şi costurile. Decidentul poate hotărî să considere în
mod deosebit şi în detaliu toate celelalte potenţiale folosite în această perioadă şi în
perioadele viitoare. Dacă decidentul adoptă strategia colectării tuturor informaţiilor
înainte de a acţiona, atunci nici o acţiune nu va avea loc. Mintea umană nu poate
considera toate aspectele empirice ale problemei. Anumite atribute ale problemei
trebuie ignorate ca să se poată lua o decizie. Decidentul trebuie să identifice
factorii cei mai relevanţi pentru problemă. Abstracţia şi simplificarea sunt paşi
necesari în rezolvarea oricărei probleme umane.
1.1.1. Construcţia modelului
După ce decidentul a identificat factorii critici ai problemei concrete pe care o
are de rezolvat, aceştia trebuie combinaţi în mod logic formând astfel modelul. Un
model este reprezentarea simplificată a problemei reale. Prin modelare, fenomenului
natural complex i se reproduce comportarea esenţială cu mai puţine variabile şi care
sunt legate între ele mai simplu. Avantajele unui model simplu sunt:
1) economia de timp de concepere
2) poate fi înţeleasă realitatea de către decident
3) dacă este necesar, modelul poate fi modificat repede şi eficient.

12
Modele şi algoritmi de optimizare
Un model cât mai apropiat de realitate cere un timp excesiv în construcţie.
Decidentul doreşte ca modelul simplificat să prezică rezultate rezonabile şi să fie
consistent cu acţiunea efectivă. După ce modelul a fost construit se pot obţine
concluziile prin intermediul acţiunilor logice. Decidentul îşi bazează acţiunile sau
deciziile pe aceste concluzii. Dacă deducerea concluziilor din modelul abstract este
corectă şi dacă variabilele importante au fost abstractizate atunci soluţia modelului
ar servi ca o soluţie efectivă pentru problema empirică.
Există două surse de erori în folosirea modelului pentru factorul de decizie:
1) omiterea unor variabile importante din model
2) erori în definirea relaţiilor dintre variabile.
Tehnica abordată pentru descrierea şi stabilirea legăturilor variabilelor selectate
depinde de natura variabilelor. Dacă variabilele pot fi date în reprezentare
cantitativă atunci modelele matematice sunt cele mai indicate. Matematica
împreună cu calculatoarele moderne fac posibilă rezolvarea problemelor care cer
modele de mare complexitate şi atunci când analiza cantitativă se poate aplica ea
facilitează procesul de luare a deciziilor.
În luarea unei decizii, se stabileşte criteriul de decizie, se selectează
alternativele, se construieşte un model, se evaluează alternativele folosind modelul
apoi se selectează cea mai bună alternativă.
Un model este o abstracţie şi o simplificare a unei probleme reale, încorporând
ideal elementele esenţiale şi relaţiile din problema reală.
Rezolvarea unui model înseamnă obţinerea concluziilor logice care rezultă,
concluzii ce constituie un ghid efectiv în luarea deciziei dacă modelul este proiectat
şi rezolvat corect. Luarea deciziei implică informaţia cantitativă obţinută din model
cu judecarea intuitivă a factorilor calitativi.
1.1.2. Concepte de bază în modelare
Primul pas în construirea unui model este stabilirea factorilor şi variabilelor pe
care decidentul le consideră importante. Acestea pot fi clasificate în cinci categorii:
variabile de decizie, variabile exogene, restricţii, măsuri ale performanţei şi
variabile intermediare.
Variabilele de decizie sunt acele variabile pe care le controlează decidentul, ele
reprezentând alegerile alternative pentru decident. De exemplu: trebuie să se
introducă un nou produs în fabricaţie. Decidentul poate alege: să se introducă sau
nu, preţul, culoarea, suma alocată reclamei etc.
Variabilele exogene sau externe sunt acelea care sunt importante în problema
de decizie, dar sunt controlate de factori externi sferei decidentului. De exemplu:
preţul materiilor prime pentru realizarea noului produs.

1.Introducere
Restricţiile pot fi legate de capacităţile de producţie, resurse, limitări
legislative, politica firmei etc.
Măsuri ale performanţei. În luarea unei decizii decidentul are un scop, un
obiectiv pe care încearcă să-l atingă. Criteriile sau măsurile performanţei sunt
expresii cantitative ale acestor obiective.
Variabilele intermediare sunt necesare pentru includerea tuturor factorilor
importanţi în problema de decizie. Adesea ele leagă factorii de cost şi de câştig. Se
folosesc să lege variabilele de decizie şi exogene de măsurile de performanţă.
*
* *
A face « cel mai bine posibil » este sensul oricărei atitudini naturale în viaţa de
zi cu zi. Dar aceasta nu are decât un sens relativ în raport cu nişte restricţii impuse
din exterior sau acceptate de bunăvoie (Cohen, 2000).
Pentru un inginer « a face cel mai bine posibil » ar trebui să fie un obiectiv
permanent atunci când are de conceput o clădire, de dimensionat o instalaţie etc.
Expresia este relativizată în funcţie de buget, de securitate, sau altele, restricţii al
căror nivel a făcut la rândul său obiectul deciziilor prealabile şi adesea exterioare.
Cuvintele « a optimiza, optimizare etc. » sunt presupuse să reflecte această idee
de « cel mai bine posibil ». În viaţa curentă alegerile posibile se limitează adesea la
două (atunci le numim alternative) sau câteva unităţi, de tipul că algoritmul care ia
decizia se reduce la a înfăţişa, explicit sau nu, toate posibilităţile, să considere şi să
evalueze consecinţele lor probabile şi să reţină pe cea care pare « cea mai bună »
(dar cea mai bună are sens doar în măsura în care un criteriu de alegere a fost
definit mai înainte).
În problemele tehnice, alegerile posibile reprezintă adesea un continuu (de
exemplu: ce dimensiune să se dea unei grinzi ?) şi o enumerare exhaustivă a
posibilităţilor este de neconceput. Atunci trebuie găsit un algoritm mai performant,
adică o metodă pentru a găsi drumul spre soluţia cea mai bună dintre toate soluţiile
posibile.
Optimizarea poate fi definită ca ştiinţa determinării «celei mai bune» soluţii la
anumite probleme definite matematic, care sunt adesea modele ale realităţii fizice.
Ea implică studiul criteriilor de optimalitate pentru probleme, determinarea soluţiei
cu metode algoritmice, studiul structurii acestor metode şi experimentarea pe
calculator a metodelor cu date experimentale şi cu date reale.
Metodele de optimizare au o largă aplicabilitate în aproape orice activitate în
care sunt prelucrate informaţiile numerice: ştiinţă, inginerie, matematică, economie,
comerţ etc.
O selecţie a domeniilor în care apar probleme de optimizare ar cuprinde:
proiectarea reactoarelor chimice, a aparatelor aerospaţiale, a clădirilor, a podurilor,
în comerţ în probleme de alocarea resurselor, planificarea producţiei, a stocurilor,
în diferite ramuri ale analizei numerice, în ajustarea datelor, principii variaţionale
13

14
Modele şi algoritmi de optimizare
în sisteme de ecuaţii diferenţiale şi cu derivate parţiale, funcţii de penalitate etc.
(Cohen, 1995).
Se optimizează o funcţie obiectiv care cuantifică produsul unui proces
economic sau profitul rezultat în urma aplicării sistemului.
Conceptul de optimizare este bine încetăţenit ca principiul de bază în analiza
problemelor complexe de decizie sau alocare. Folosirea optimizării se bazează pe
concentrarea atenţiei asupra unui singur obiectiv conceput să cuantifice performanţa
şi calitatea deciziei într-o problemă ce ar necesita determinarea valorilor unui număr
mare de variabile interconectate. Acest obiectiv este maximizat sau minimizat supus
unor restricţii care să limiteze alegerea variabilelor de decizie. Dacă un aspect al
problemei poate fi identificat şi caracterizat printr-un obiectiv (de exemplu: profitul
într-o afacere) atunci optimizarea poate să ofere un cadru adecvat pentru o astfel de
analiză. Optimizarea ar trebui privită ca un instrument de concepere şi analiză, şi nu
ca un principiu care să ducă la soluţia corectă din punct de vedere filozofic.
Formularea problemei implică întotdeauna găsirea unui echilibru între
construirea unui model suficient de complex pentru a descrie cât mai bine
problema şi uşurinţa de rezolvare a acestuia.
1.2. Tipuri de probleme
Termenul programare, în această lucrare va fi sinonim cu optimizare şi îşi are
originea în planificarea optimală.
Când variabilele sunt supuse unor restricţii (relaţii) avem de-a face cu
programare cu restricţii, care face obiectul acestei lucrări. În lipsa restricţiilor
spunem că avem programare fară restricţii (Luenberger, 1989).
Problemele fără restricţii par lipsite de proprietăţi structurale astfel încât
aplicabilitatea lor în probleme practice este redusă.
Problemele cu restricţii permit modelarea fenomenelor complexe prin
descompunerea în subprobleme şi fiecare subproblemă având mai multe restricţii.
Forma generală a unei probleme de programare cu restricţii este
⎪
⎪
⎩
g i (x)
≤ 0 i ∈I
min ⎧
n
f ( x) x ∈R
⎨g
i (x ) = 0 i ∈E
(1.1)
unde: f este funcţia obiectiv,
gi sunt funcţiile care dau restricţiile asupra variabile lor x1, x2, …, xn,
E este mulţimea indicilor pentru restricţiile cu egalitate, iar
I este mulţimea indicilor pentru restricţiile cu inegalitate.
Restricţiile de forma g i (x ) ≤ bi
pot fi puse sub forma g i ( x ) − bi
≤ 0 .

1.Introducere
n
Definiţia 1.1. Un punct x ∈R
care verifică restricţiile (1.1) se numeşte punct
admisibil (realizabil) sau soluţie admisibilă şi mulţimea tuturor acestor puncte R,
formează
regiunea admisibilă (realizabilă).
*
Definiţia 1.2. O soluţie admisibilă x ∈R
este o soluţie optimă pentru problema
(1.1) dacă ( x ) ≤ ( x)
, ( ∀)
x ∈R
*
f f
.
Prin schimbarea
max f ( x) = − min{
− f ( x)
} ,
problema de maximizare devine o problemă de minimizare, aşa că în continuare se
vor considera numai probleme de minimizare.
Dacă toate funcţiile gi(x) care dau restricţiile sunt liniare şi funcţia obiectiv
este liniară, problema (1.1) se numeste problemă de programare liniară, iar dacă
funcţia obiectiv este pătratică atunci problema (1.1) se numeşte problemă de
programare pătratică.
Programarea liniară permite rezolvarea unei game largi de probleme cu un efort
redus. Popularitatea programării liniare se datorează în principal etapei de
formulare, şi nu celei de rezolvare numerică, deoarece multe dintre restricţiile şi
obiectivele care apar în practică sunt liniare prin definiţie.
Optimizarea sistemelor reale cu evoluţie în etape constituie obiectul
programării dinamice, care are la bază pricipiul de optimalitate al lui Bellman
(Kaufmann, II, 1967), care poate fi exprimat astfel: Orice politică optimă nu poate
fi alcătuită decât din subpolitici optime.
Fenomenele de aşteptare se optimizează cu modele de aşteptare care dau
informaţii asupra organizării sistemului în vederea reducerii timpilor de aşteptare în
sistem, a reducerii cheltuielilor de funcţionare a sistemului de aşteptare etc.
Asigurarea unui regim optim de funcţionare a unui proces de producţie sau
aprovizionarea optimă cu anume sortimente a cererilor pieţei se realizează cu
ajutorul modelelor de stocare.
Ca o aplicaţie practică a teoriei grafurilor este prezentată organizarea şi
planificarea proiectelor complexe şi stabilirea duratei minime de realizare a acestora.
Toate aceste modele fac obiectul acestei lucrări, fiind prezentate soluţiile
modelelor,
exemple practice rezolvate fie manual, fie cu ajutorul
Solver-ului din
EXCEL,
fie cu ajutorul pachetului de programe specializat în rezolvarea
problemelor de optimizare, Management Scientist (MS), fie cu ajutorul pachetului
de programe MathCAD.
15

16
1.2.1. Dimensiunea problemelor
Modele şi algoritmi de optimizare
O măsură a complexităţii problemei de programare este dimensiunea acesteia
exprimată prin numărul de necunoscute şi de restricţii (Luenberger, 1989).
Dimensiunea problemelor care pot fi rezolvate a crescut o dată cu dezvoltarea
teoriei şi a tehnicilor de calcul.
Se pot distinge acum trei categorii de probleme: de dimensiune redusă (cu cel
mult 5 variabile sau restricţii), de dimensiune medie (între 5 şi 100 de variabile sau
restricţii) şi de dimensiuni mari (cu peste 100 de variabile şi restricţii). Această
clasificare reflectă nu numai diferenţe de dimensiuni, dar şi de abordare. Astfel
problemele
de dimensiuni mici pot fi rezolvate de mână sau cu un calculator de
buzunar. Problemele de dimensiuni medii pot fi rezolvate pe un calculator, folosind
programe matematice generale. Problemele de dimensiuni mari necesită programe
sofisticate care exploatează caracteristicile particulare ale problemei şi de obicei se
rulează
pe calculatoare de mare capacitate.
Teoria iniţială a optimizării s-a concentrat asupra obţinerii rezultatelor
teoretice,
ignorând
aspectele de calcul ale metodelor propuse. Abordările recente se axează pe
exploatarea
caracteristicilor calculatoarelor, obţinând soluţia prin metode iterative.
1.2.2. Algoritmi iterativi şi convergenţă
vectori x0, x1, …, xk, …, fiecare îmbunătăţind
aloarea funcţiei obiectiv, faţă de precedentul. Acest şir converge către x * Cea mai importantă caracteristică a calculatoarelor este capacitatea lor de a
efectua operaţii repetitive într-un mod eficient şi din această cauză majoritatea
algoritmilor de rezolvare a problemelor de optimizare sunt iterativi (Luenberger,
1989). În căutarea unei soluţii se alege un vector iniţial x0 şi algoritmul determină
un vector x1 care conduce la o valoare mai bună a funcţiei obiectiv; procesul se
repetă obţinându-se un şir de
v
, soluţia
problemei. În problemele de programare liniară soluţia se obţine după un număr
finit de paşi. În probleme de programare neliniară şirul nu atinge niciodată soluţia,
dar converge către ea. Practic, algoritmul se opreşte când s-a obţinut un punct
suficient de aproape de soluţie.
Teoria algoritmilor iterativi poate fi împarţită în trei părţi. Prima parte se ocupă
cu crearea de algoritmi. A doua parte, numită şi analiza convergenţei globale,
analizează convergenţa unui algoritm către soluţia optimă
atunci când se
iniţializează cu un punct depărtat de soluţia optimă. Cea de-a treia componentă se
numeşte analiza convergenţei locale şi studiază rata de convergenţă a şirului către
soluţia optimă. Este esenţial când se recomandă un algoritm să se menţioneze şi
o estimare a timpului necesar pentru obţinerea soluţiei. Lucrarea de faţă
argumentează convergenţa majorităţii algoritmilor prezentaţi.

2. GRAFURI ÎN OPTIMIZARE
2.1. Definiţii şi algoritmi
2.1.1. Grafuri orientate
Definiţia 2.1. Se numeşte graf orientat o pereche de mulţimi G=(X,U), unde: X
este o mulţime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc noduri (vârfuri) , iar
U este o mulţime formată din perechi ordonate (x,y), x, y ∈ X , numită mulţimea
arcelor (muchii). Dacă ( x,
y)
∈U
, x se numeşte extremitatea iniţială (originea) a
arcului, iar y, extremitatea finală (extremitatea).
Grafurile permit modelarea unui număr mare de situaţii (Henry-Labordere, 1995).
Exemple de grafuri:
a) o reţea rutieră (cu drumuri având sens unic) – vârfurile sunt intersecţiile,
iar arcele sunt drumurile.
b) ordinea lucrărilor într-un
şantier.
c) relaţiile stabilite între
2
indivizi (situaţie întâlnită
în psihologia de grup) –
de exemplu: X={1, 2,
3, 4} , U={(1, 2), (3, 4) ,
1
(4, 2), (4, 3)}. Grafic se
poate reprezenta ca în
Figura 2.1. Individul 1 îl
4
apreciază pe individul 2,
individul 2 nu îl apreciază
pe individul 1, individul 4
3
îl apreciază pe individul
2, iar indivizii 3 şi 4 se
apreciază reciproc.
Figura 2.1
Definiţia 2.2. Se numeşte drum într-un graf orientat un şir de arce
{ u1,...,
u u ∈U
, i = 1,
−1}
D i
= k k cu proprietatea că extremitatea finală a arcului ui
coincide cu extremitatea iniţială a arcului ui+1 , i = 1, k −1
.

18
Modele şi algoritmi de optimizare
Dacă extremitatea finală a arcului uk coincide cu extremitatea iniţială a arcului
u1 atunci drumul se numeşte circuit.
Un circuit format
dintr-un singur arc se numeşte buclă.
Dacă
nodurile arcelor drumului sunt distincte două câte două, drumul se numeşte
elementar.
Exemplu. În Figura 2.1 (1, 2, 4, 3) este un drum, iar (1, 2, 3) nu este drum.
Definiţia 2.3. Un nod x dintr-un graf orientat G se numeşte precedentul altui
nod y din G dacă exist ă arcul ( x, y)
∈U
.
Un nod y dintr-un graf orientat G se numeşte succesorul altui nod x din G
dacă există arcul ( x, y)
∈U
.
Un nod x dintr-un graf orientat G se numeşte ascendentul altui nod y din G
dacă există un drum de origine x şi extremitate y.
Un nod y dintr-un graf orientat G se numeşte descendentul altui nod x din G
dacă există un drum de origine x şi extremitate y.
Vârful y este adiacent vârfului x dacă (x, y)∈U sau (y, x)∈U .
Fie G=(X,U) un graf orientat şi A⊂X. Arcul u ∈U este incident mulţimii A
spre exterior dacă extremitatea sa finală aparţine lui A, iar extremitatea iniţială nu
aparţine
lui A. Arcul u ∈ U este incident mulţimii A spre interior dacă este
incident spre exterior mulţimii A = X − A .
Definiţia 2.4. Se numeşte gradul exterior al lui x şi se notează d + (x) numărul de
noduri succesoare lui x.
e numeşte gradul lui x şi se notează cu d(x) numărul d + (x)+ d − Se numeşte gradul interior al lui x şi se notează d
(x),
− (x) numărul de noduri
precedente lui x.
S
(d(x)=d + (x)+ d − (x)).
Definiţia 2.5.
Fie G=(X,U) un graf orientat şi fie U ′ ⊂ U , G′
= ( X , U ′ ) se
numeşte
graf parţial al lui G.
Fie A ⊂ X şi UA={u∈U astfel încât cele două extremităţi ale lui u să fie în A} .
GA
=(A, UA) se numeşte subgraf al lui G.
Definiţia 2.6. Graful se numeşte tare conex dacă pentru orice perechi de vârfuri
x, y ∈ X există un drum din x plecând la y .
Definiţia 2.7. Se numeşte arborescenţă un graf tare conex şi fără cicluri,
orientat, a cărui orientare este astfel încât fiecare vârf al său cu excepţia unuia
singur, numit rădăcină, este extremitatea terminală a unui arc şi numai unul.

2. Grafuri în optimizare 19
Definiţia 2.8. Se numeşte graf ponderat sau valuat ş i se notează G=(X, U, l) un
graf (X, U) căruia i se asociază o funcţie l : U → R numită ponderea arcelor.
Exemple: a) l(x,y) = lungimea tronsonului de drum, (x,y) care
uneşte localităţile x şi y;
b) l(x,y) = capacitatea tronsonului de drum (x,y).
Definiţia 2.9. Se numeşte reţea de
transport un graf orientat, G=(X,U), fără
bucle, cu proprietăţile următoare:
• există un nod x0 unic, numit originea reţelei, şi care nu are ascendenţi;
• există un nod xf unic, numit destinaţia reţelei, şi care nu are descendenţi;
• fiecărui arc u ∈U îi este asociat un număr l(
u)
≥ 0 numit capacitatea
arcului u .
2.1.2. Grafuri neorientate
Definiţia 2.10. Se numeşte graf neorientat şi se notează G=(X,U) o pereche de
mulţimi, unde: X este o mulţime finită şi nevidă, iar U este o mulţime de perechi
neordonate (x, y) cu x, y∈X . Elementele lui X se numesc vârfurile (nodurile)
grafului, iar elementele lui U se numesc muchiile (arcele) grafului. Dacă
u = x, y ∈ , x şi y se numesc extremităţile muchiei u.
( ) U
Definiţia 2.11. Un graf G=(X, U), în care, dacă ( x y)
∈U
numeşte
graf simetric.
+
, atrage ( y x)
∈U
, , se
Definiţia 2.12. Un graf neorientat, G=(X, U), se numeşte graf complet dacă
pentru
∀ x, y ∈ avem ( x, y)
∈U
.
( ) X
Definiţia 2.13. Într-un graf neorientat,
G=(X,U), se numeşte lanţ o mulţime de
vârfuri L { x1
,..., xk
xi
∈ X , i = 1,
k}
= cu proprietatea că oricare două vârfuri
consecutive sunt adiacente, adică ( , x 1) ∈U
, i = 1,
k −1
xi i+
. Vârfurile x 1 , xk
se
numesc extremităţile lanţului, iar numărul de muchii care intră în componenţa sa
se numeşte lungimea lanţului. Dacă x1,..., xk sunt distincte două câte două, lanţul
se numeşte elementar, altfel se numeşte neelementar.

20
Modele şi algoritmi de optimizare
Definiţia 2.14. Un graf G=(X,U) se numeşte simplu conex sau conex dacă pentru
orice pereche de vârfuri x, y ∈ X există un lanţ de extremităţi x şi y .
Definiţia 2.15. Se numeşte ciclu
într-un graf G=(X,U), un lanţ
{ x1 ,..., xk
xi
∈ X , i = 1,
k}
L = cu proprietatea că x1=xk şi muchiile (x1, x2), ... , (xk-
1, xk) sunt distincte două câte două.
Definiţia
2.16. Se numeşte ponderea unui lanţ, drum, ciclu sau circuit valoarea
∑
P = l(
x,
y)
.
( x,
y)
∈ ( x1
, x2
,..., xn
)
De exemplu, în cadrul metodei PERT, ponderea unui drum este durata sa totală.
Definiţia 2.17. Un lanţ, drum, ciclu sau circuit se numeşte hamiltonian dacă el
trece o dată şi numai o dată prin toate vârfurile grafului. Un lanţ,
drum, ciclu sau
circuit se numeşte eulerian dacă el trece o dată şi numai o dată prin toate arcele
grafului. Definiţia 2.18. Un arbore este un graf conex şi fără cicluri.
Se disting la un arbore două tipuri de vârfuri : vârfuri la care mai multe muchii
sunt incidente
şi alte vârfuri la care o singură muchie este incidentă. Acestea din
urmă se numesc vârfuri pendante sau frunze.
2.2. Căutarea unui arbore de acoperire de lungime minimă
Fie G=(X, U, l) un graf conex (ipoteză necesară pentru a asigura existenţa cel
puţin a unui arbore) ponderat neorientat. Să notăm cu n = X (numărul
elementelor lui X). Se pune problema găsirii arborelui de acoperire de lungime
minimă, adică, folosind arce ale grafului să se lege între ele toate nodurile astfel
încât lungimea totală a arcelor folosite (suma ponderilor) să fie minimă. O astfel de
problemă apare în proiectarea reţelelor de comunicaţii, unde obiectivul este să se
minimizeze lungimea cablului necesar conectării tuturor nodurilor care trebuie să
comunice între ele, în proiectarea reţelelor de drumuri, benzi rulante, sisteme de
canalizare etc. În continuare sunt prezentaţi doi algoritmi care rezolvă această
problemă.

2. Grafuri în optimizare 21
2.2.1. Algoritmul lui Kruskal
Algoritmul lui Kruskal permite căutarea unui arbore de acoperire de lungime
minimă. Vom presupune că graful G are lungimile muchiilor diferite două câte
două (dacă u≠v , u, v – muchii, atunci l(u)≠l(v) ).
Algoritmul Kruskal
Pas 1. Se consideră v1 – muchia de lungime cea mai mică. Apoi v2 – muchia de
lungime cea mai mică dintre cele rămase şi se notează V2={v1, v2} ;
k :=2 ;
Pas 2. Repetă
k :=k+1 ; vk – muchia de lungime cea mai mică dintre cele rămase
astfel încât Vk−1 ∪vk să nu formeze ciclu
până când k=n−1 ;
Pas 3. Stop. {Vn−1 este un graf de n−1 muchii şi nu are cicluri}.
Demonstrăm prin absurd că Vn−1 este arborele minim căutat (Henry-
Labordere, 1995). Fie V≠Vn−1 arborele minim şi să presupunem că are cele n−1
muchii ordonate astfel încât lungimile lor sunt în ordine crescătoare la fel ca şi cele
ale lui Vn−1 şi că uk este prima muchie a lui V care nu este în Vn−1 .
Vn−1 v1 v2 … vk−1 vk vk+1 … vp … vn
Vn v1 v2 … vk−1 uk uk+1 … up … un
l(v1)

22
2
17
16
15
1
19
3 4
10
Figura 2.2
14
18
5
Modele şi algoritmi de optimizare
14
2
1
16 15
Figura 2.3
3
5 4
Pas 1. Se consideră V1={v1=[3,4]} deoarece l ([ 3,
4])
= min{
l(
v )} .
1≤i≤7
Pas 2. k=2. Se alege din U-V1,
v2=[2,5], muchia cu cea mai mică pondere
l[
2,
5]
min l(
v)
) şi care adăugată la V să nu formeze cicluri. Se obţine
( { }
= 1
v∈U −V1
V 2={
[3,4]; [2,5]}.
k=3. Se alege din U-V2, v3=[1,3], muchia cu cea mai mică pondere
( l[
1,
3]
= min l(
v)
) şi care adăugată la V2 să nu formeze cicluri. Se obţine
v∈U −V2
{ }
V3={[3,4]; [2,5]; [1,3]}.
k=4. Dintre muchiile rămase cea care are pondere minimă şi care nu formează
cicluri prin adăugare la V3 este [1,2]. Se obţine V 4={[3,4];
[2,5]; [1,3]; [1,2]}
arborele de lungime minimă. Lungimea minimă a grafului este Lmin=l([3,4])+
l([2,5])+ l([1,3])+ l([1,2])=10+14+15+16=55 .
Algoritmul se încheie furnizând arborele de acoperire de lungime minimă V4
igura 2.3) şi lungimea minimă a arborelui găsit L =55.
(F min
2.2.2. Algoritmul lui Prim
Algoritmul lui Prim determină arborele de acoperire de lungime minimă
într-un graf conex ponderat G=(X, U, l) şi, spre deosebire de algoritmul lui
Kruskal, nu cere ca ponderile
a două muchii diferite să fie diferite. Se notează
nodurile lui G cu numere de la 1 la n . Sunt folosiţi trei vectori de
dimensiune n astfel:
χ = χ , χ ,..., χ ) , cu componentele
( 1 2 n
i
10

2. Grafuri în optimizare 23
⎧1
χ i = ⎨
⎩0
dacã
nodul
iniþial i este în arbore
altfel ,
⎧ j
p = ( p1,
p2
,..., pn
) , cu componentele
pi = ⎨
⎩0
dacã muchia [ i,
j]
este
pentru nodul iniþial
în arbore
⎧l([
i,
pi
])
c = ( c1,
c2
,..., cn
) , cu componentele
c i = ⎨
⎩0
ponderea muchiei [ i,
pi
]
,
pentru nodul iniþial
pentru
i = 1,
n .
Algoritmul Prim
P as 1. Se iniţializea ză cu 0 cei trei vectori. Se dă nodul de start s ( 1 ≤ s ≤ n ) şi
χ = 1;
A={ s } arborele parţial.
s
Pas 2. Repetă
Determină muchia [i,j], cu ponderea minimă, care are o extremitate în
arborele parţial, i ∈ A şi cealaltă j ∈ X − A . Atunci χ = 1 , pj=i şi
cj=l([i,j]) .
până când = 1 ( ∀)
i 1,
n
χ = .
i
Pas 3. Arborele de acoperire de lungime minimă este dat de muchiile [pi,i]
, iar
lungimea minimă es
te i c L n
min = ∑
i= 1
. Stop!
Algoritmul furnizează arborele de acoperire de lungime minimă prin înlocuirea
muchiilor unui arbore oarecare obţinut
cu vârfurile grafului G cu muchiile
arborelui de lungime minimă.
Exemplu. Să se aplice algoritmul lui Prim grafului din exemplul
precedent.
Pas
1. s=1; A={1}
nodul 1 2 3 4 5
χ 1 0 0 0 0
p 0 0 0 0 0
c 0 0 0 0 0
Pas 2.
Iteraţia I: min{l([1,2]), l([1,3]), l([1,4])}= l([1,3])=15
nodul 1 2 3 4 5
χ 1 0 1 0 0
p 0 0 1 0 0
c 0 0 15 0 0
j

24
Modele şi algoritmi de optimizare
Iteraţia a II-a: min{ l([1,2]), l([1,4]), l([3,2]), l([3,4]) , l([3,5]) }= l([3,4])=10
nodul 1 2 3 4 5
χ 1 0 1 1 0
p 0 0 1 3 0
c 0 0 15 10 0
Iteraţia a III-a: min{ l([1,2]), l([3,2]), l([3,5])}= l([1,2])=16
nodul 1 2 3 4 5
χ 1 1 1 1 0
p 0 1 1 3 0
c 0 16 15 10 0
Iteraţia a IV-a: min{ l([2,5]), l([3,5]) }= l([2,5])=14
nodul 1 2 3 4 5
χ 1 1 1 1 1
p 0 1 1 3 2
c 0 16 15 10 14
χ i = 1 , i = 1,
4 şi se trece la pasul
următor.
Pas 3. Arborele de acoperire de lungime minimă este {[1,2]; [2,5]; [1,3]; [3,4]} şi
are lungimea Lmin=55
.
Problema găsirii arborelui de acoperire de lungime minimă este rezolvată în
Management Scientist de modulul Minimal Spanning Tree (arbore de acoperire de
lungime minimă). Pentru aplicarea acestui modul exemplului de mai sus se
procedează astfel. După lansarea pachetului de programe se selectează modulul
Minimal Spanning Tree ca în Figura 2.4.
Figura 2.4

2. Grafuri în optimizare 25
După apăsarea butonului OK apare o fereastră din care se selectează File şi, de
aici, New. Apar succesiv ferestrele din Figura 2.5 în care se introduc numărul de
noduri, numărul de muchii şi apoi muchiile şi ponderile lor.
Figura 2.5
Pentru rezolvare şi afişarea rezultatului se selectează Solution şi, de aici, Solve.
Rezultatele sunt date de Figura 2.6 .
Figura 2.6
2.3. Algoritmul lui Dijkstra
Se pune adesea problema determinării unui plan de transport printr-o reţea
rutieră (de transport) astfel încât cheltuielile de transport sau duratele de transport
să fie minime. Este necesar să se determine drumul cel mai „scurt” dintre două
noduri oarecare ale reţelei rutiere. Acest tip de problemă se mai întâlneşte şi în
proiectarea reţelelor de calculatoare, în stabilirea traseelor mijloacelor de transport
în comun etc. (Henry-Labordere, 1995).
Algoritmul lui Dijkstra permite calcularea lungimilor celor mai scurte drumuri
de la un vârf s la toate vârfurile x ale unui graf conex G=(X,U,l), dacă lungimile
tuturor arcelor sunt nenegative.

26
Modele şi algoritmi de optimizare
Fie ∏(x) lungimea celui mai scurt drum de la s la x . Fie S mulţimea
vârfurilor pentru care se calculează ∏. Atunci, ∏(x) def
= {lungimea celui mai scurt
drum de la s la x , care are toate vârfurile în S cu excepţia lui x }. Se notează cu
+
−
Γ (x ) = {mulţimea arcelor care pornesc din nodul x}, iar cu Γ (x ) = { mulţimea
arcelor care intră în nodul x}. Dacă graful este neorient at Γ = ( x) = Γ(
x)
=
mulţimea arcelor incidente în nodul x.
+
(x) Γ −
Algoritmul Dijkstra
Pas 1. {Iniţializări}
S :={s} ; s nodul de start, ∏(s) :=0 ;
Pentru orice x ∈ X − S dacă x∈
Γ(s)
atunci ∏(x) :=l(s,x) altfel
∏(x) :=+∞ ;
Pas 2. {Iteraţia curentă}
Repetă
Determină y ∈ X − S astfel încât ∏( y) = min ∏(z) ;
Dacă ∏(y)

2. Grafuri în optimizare 27
Pas 1. s=1, S={1}, Γ(
1)
= { 2,
4}
,
Pas 2.
y 1 2 3 4 5 6 7
∏(y) 0 1 ∞ 4 ∞ ∞ ∞
Π( y = Π z ) = Π 2 Π Π Π Π Π = Π ,
Iteraţia I . { ) } min { ( } min{
( ), ( 3),
( 4),
( 5),
( 6),
( 7)
} ( 2)
z∈X
−S
y=2, S={1,2}, Γ ( 2)
= { 1,
3,
4}
. ∏(2)=l([1,2])=1
∏(3)=min{∏(3),
∏(2)+l([2,3])}=min{∞,1+4}=5
∏(4)=min{∏(4), ∏(2)+l([2,4])}=m in{ 4, 1 +2 } =3
y 1 2 3 4 5 6 7
∏(y) 0 1 5 3 ∞ ∞ ∞
Iteraţia a II-a
Π( y) = min Π(
z)
= min Π(
3),
Π(
4),
Π(
5),
Π(
6 Π(
7)
} = Π(
4)
, y=4, S={1,2,4},
z∈X
−S
Γ ( 4)
= { 1,
2,
3,
5,
6}
.
{ } { ),
∏(3)=min{∏(3),
∏(4)+l([3,4])}=min{5,3+5}=5
∏(5)=min{∏(5), ∏(4)+l([4,5])}=m in{∞ ,3+2}= 5
∏(6)=min{∏(6), ∏(4)+ l([4,6] )}=m in{∞ ,3+9}= 12
y 1 2 3 4 5 6 7
∏(y) 0 1 5 3 5 12 ∞
Iteraţia a III-a
Π(
y)
= min Π(
z)
= min Π(
3),
Π(
5),
Π(
6),
Π(
7)
= Π(
3)
, y=3, S={1,2,3,4},
{ } { } { }
z∈X
−S
Γ(
3)
= { 2,
4,
5,
6}
.
∏(5)=min{∏(5), ∏(3)+l ([3,5] )}=m in{
5,5+2}=5
∏(6)=min{∏(6),
∏(3)+l ([3,6]) }=min{12,5+3}=8
y 1 2 3 4 5 6 7
∏(y) 0 1 5 3 5 8 ∞
Iteraţia a IV-a
Π( y ) = min Π(
z)
= min Π(
5),
Π(
6),
Π(
7)
= Π 5)
, y=5, S={1,2,3,4,5},
{ } { } { } (
z∈X
−S
Γ(
5)
= { 3,
4,
6,
7}
.
∏(6)=min{∏(6), ∏(5)+ l([5,6] )}= min{8, 5 +6 } =8
∏(7)=min{∏(7), ∏(5)+l([5,7])}=min{∞,5+7}=12
y 1 2 3 4 5 6 7
∏(y) 0 1 5 3 5 8 12

28
Iteraţia a V-a
{ Π y)
} = min { Π(
z)
} = min{
Modele şi algoritmi de optimizare
( Π(
6),
Π(
7)
} = Π(
6)
, y=6, S={1,2,3,4,5,6},
z∈X
−S
Γ ( 6)
= { 3,
4,
5,
7}
.
∏(7)=min{∏(7),
∏(6)+l([6,7])}=min{12,8+1}=9
Iteraţia a VI-a
{ Π( y)
} = min { Π(
z)
} = min{
Π(
7)
} = Π(
7)
z∈X
−S
y 1 2 3 4 5 6 7
∏(y) 0 1 5 3 5 8 9
, y=7, S={1,2,3,4,5,6,7},
Pentru nodurile din mulţimea
S ∩ Γ(y)
nu s-au mai evaluat ∏(y).
Algoritmul se opreşte deoarece S=X. Vectorul ∏(y) conţine cele mai mici
distanţe de la nodul 1 la celelalte noduri. Drumul cel mai scurt între nodurile 1 şi 7
se obţine din muchiile
(marcate cu litere îngroşate) D={[1,2], [2,3]; [3,6]; [6,7]} şi
este
de 9 ore.
În Management Scientist modulul Shortest Route determină cel mai scurt
drum dintre două noduri ale reţelei şi precizează muchiile care realizează acest
drum. Pentru rezolvarea problemei din exemplul precedent cu Management
Scientist, după lansarea sistemului se selectează modulul Shortest Route (Figura
2. 4) şi se introduc datele în ferestrele prezentate în Figurile 2.8. şi 2.9 .
Figura 2.8

2. Grafuri în optimizare 29
Figura 2.9
Rezultatele sunt afişate după selectarea din meniul Solution a opţiunii Solve
(Figura
2.10).
Figura 2.10
2.4. Metoda PERT
Metoda PERT (Program Evaluation and Review Technique) sau CPM
(Critical
Path Method – metoda drumului critic) este un instrument pentru
gestionarea (planificarea şi controlul) proiectelor mari cu multe activităţi separate
care necesită coordonare. În realizarea unui proiect unele activităţi trebuie să aibă o
anume succesiune, altele se defăşoară în paralel. Tehnica PERT a fost concepută
pentru a oferi factorului de decizie un ajutor în planificarea şi controlul unui astfel
de proiect.
Ea permite stabilirea timpului necesar realizării întregului proiect,
asigurând controlul evoluţiei procesului şi atrage atenţia asupra acelor întârzieri în
realizarea activităţilor care
ar determina o întârziere în realizarea proiectului
(Bonini
et al, 1997).

30
Modele şi algoritmi de optimizare
Sunt necesare două tipuri de informaţii pentru fiecare activitate din proiect:
a) succesiunea activităţilor care preced o activitate,
b) timpul necesar realizării activităţii, care poate fi determinist sau aleatoriu.
Diagrama activităţilor este reprezentarea grafică a întregului proiect (graf
orientat valuat). Activităţile sunt arcele, iar nodurile, momentele de început şi
sfârşit ale activităţilor.
Drumul critic este o mulţime de activităţi din proiect care are cea mai mare
durată de timp asociată.
Pentru prezentarea metodei se va considera un exemplu simplu
în care duratele
activităţilor sunt presupuse deterministe şi cunoscute.
Exemplu. În Tabelul 2.1 sunt trecute activităţile unui proiect şi duratele lor. Graful
corespunzător este d at în Figura 2.11. În acest exemplu,
pentru o înţelegere mai
uşoară, se vor nota activităţile şi duratele lor în noduri, săgeţile
indicând
succesiunea
activităţilor.
START
Activitate
Talelul 2.1
Activitate
precedentă
Timpul necesar
rii (în zile),
A Nici una 2
B A
3
C A
4
D B, C
6
E Nici una 2
F E 8
A
2
E
2
B3
C
4
Figura 2.11
realiză ti
D
6
F
8
STO
P

2. Grafuri în optimizare 31
Sunt posibile doar trei drumuri: l (ABD)=11 zile , l (ACD)=12 zile, l (EF)= 10
zile. Drumul critic este cel care are cea mai mare durată, şi anume
ACD.
Lungimea drumului critic determină timpul minim în care
proiectul poate fi
terminat.
Drumul critic este important pentru că arată că:
− timpul
necesar pentru realizarea completă a proiectului nu poate fi redus sub
valoarea dată de drumul critic,
− orice întârziere în realizarea activităţilor de pe drumul critic va produce întârziere
în realizarea proiectului.
Pentru reducerea duratei totale a proiectului trebuie reduse duratele activităţilor
incluse în drumul critic.
Aflarea drumului critic
O cale de aflare a drumului critic este descrisă în continuare. Se notează cu:
DSi – momentul cel mai devreme de începere a activităţii i,
DFi – momentul cel mai devreme de terminare a activităţii i,
TSi – momentul cel mai târziu
de începere a activităţii i,
TF i – momentul cel mai târziu de terminare a activităţii i.
Momentul cel mai devreme de începere a unei activităţi este cel mai devreme
moment posibil la care acea activitate poate să înceapă, presupunând că toate
activităţile
care o preced au început la cel mai devreme moment posibil.
Momentul cel mai devreme de terminare a unei activităţi este suma
momentului de început cel mai devreme
posibil cu timpul necesar realizării
activităţii
respective.
Momentul cel mai târziu de terminare a unei activităţi reprezintă cel mai târziu
moment posibil de terminare
a activităţii respective fără întârzierea proiectului,
presupunând că toate activităţile sunt desfăşurate conform planului iniţial.
Momentul cel mai târziu de începere a unei activităţi
este diferenţa dintre cel
mai târziu moment posibil de terminare a activităţii respective şi timpul necesar
realizării
acestei activităţi.
Procedeu pentru determinarea momentelor DS , DF , TS şi TF
1. Pentru prima activitate se ia DS egal cu zero. Dacă se adaugă la DS timpul t
necesar realizării primei activităţi se obţine DF pentru prima activitate.
2. Pentru o activitate
oarecare i, care pentru toate activităţile care o preced imediat
are determinate DS şi DF , se ia
DSi=max{DFk | activitatea k precede imediat activitatea i} şi DFi=DSi+ti,
deoarece activitatea i nu poate începe până când toate activităţile care o preced
nu s−au terminat.
3. Pentru ultima activitate se ia TF=DF al acestei activităţi. Atunci TS=TF−tn , tn
fiind timpul necesar realizării
ultimei activităţi.
4. Pentru
o activitate oarecare i, având pentru activităţile care o succed imediat
determinate TS şi TF , se ia
TFi=min{TSk | activitatea k succede imediat activitatea i} şi TSi=TFi−ti,.

32
Modele şi algoritmi de optimizare
Marja, M, a unei activităţi reprezintă numărul de zile cu care o activitate
poate întârzia fără ca termenul de încheiere al proiectului să fie afectat. După
determinarea valorilor DS, D F, TS, T F pentru t oate activităţile, se pot calcula
marjele ca fiind
Mi= DSi – TS i sau M i= D Fi – TFi .
Dacă proiectul are termenul de finaliz are egal cu lungimea drumului critic,
atunci orice întârziere în realizarea unei activităţi incluse în drumul
critic va cauza
întârziere în finalizarea proiectului. În schimb, activităţile c are au marja pozitivă
pot fi decalate cu un număr de zile egal cu m arja, f ără ca termenul de finalizare a
proiectului
să se modifice.
Pentru exemplul de mai sus se consideră că proiectul durează 12 zile şi s-a luat
TF pentru activitatea D egal cu 12. În Tabelul 2.2 sunt trecute momentele DS,
DF, TS, M şi TF pentru acest exemplu obţinute în urma aplicării procedeului de
mai sus.
Tabelul 2.2
Activitate Durata D
S
DF TS TF M
A 2 0 2 0 2 0
B 3 2 5 3 6 1
C 4 2 6 2 6 0
D 6 6 12 6 12 0
E 2 0 2 2 4 2
F 8 2 10 4 12 2
Exemplul de mai sus poate fi rezolvat şi cu ajutorul pachetului de programe
Management Scientist. După lansarea pachetului de programe se selectează
modulul PERT/CPM (Figura 2.4). Din fereastra care apare se selectează File, apoi
New şi se precizează faptul că duratele activităţilor sunt deterministe şi numărul
acestor activităţi, ca în Figura 2.12.
Figura 2.12
Se afişează o fereastră în care se introduc duratele activităţilor şi activităţile
care le preced imediat, ca în Figura 2.13. Activităţile se codifică folosind literele
alfabetului în ordine crescătoare. O activitate care precede o alta trebuie să fie deja
definită atunci
când este definită ca precedenţă.

2. Grafuri în optimizare 33
Figura 2.13
Selectând Solution, şi de aici Solve, se obţine soluţia sub form a dată de
Figura 2.14.
Figura 2.1 4
S−au obţinut aceleaşi rezultate ca şi prin aplicarea procedeului descris mai sus.
Analiza numai sub aspectul duratei poate fi completată cu costuri asociate
activităţilor. De exemplu, durata unei activităţi poate fi redusă dacă se alocă resurse
suplimentare. Aceasta implică şi costuri suplimentare.
Se introduce astfel şi o
funcţie
de cost în luarea deciziei.

34
Modele şi algoritmi de optimizare
În continuare se consideră cazul, mai apropiat de realitate, când duratele
activităţilor sunt aleatoare. Atunci, trebuie să se cunoască despre aceste variabile
aleatoare care sunt densităţile lor de probabilitate. În practică se cunosc anumite
date despre duratele activităţilor, cum ar fi:
− ai – cea mai optimistă durată pentru activitatea i,
− bi – cea mai pesimistă durată pentru activitatea i,
− mi – cea mai probabilă durată pentru activitatea i (modul repartiţiei).
Repartiţia
Beta(a,b) ar putea caracteriza aceste durate deoarece este o
repartiţie continuă, unimod ală şi cu valori în intervalul (a,b). Un estimator pentru
1
valoarea
medie a unei variabile aleatoare Beta(a,b) este t = ( a + 4m
+ b)
şi
6
1
pentru abaterea medie standard σ = ( b − a)
.
6
Pentru exemplul precedent, în Tabelul 2.3, sunt trecute duratele activităţilor
cele mai optimiste, cele mai pesimiste, cele mai probabile (ca rezultat al
experienţelor
anterioare), estimările duratelor medii, ale abaterilor medii pătratice
şi ale dispersiilor.
Se caută drumul critic cu duratele activităţilor ti şi se obţine acelaşi drum
critic
(duratele medii ti coincid cu duratele activităţilor în cazul determinist).
Tabelul 2.3
Activitate ai bi mi ti
σ i
2
σ i
A 1 3 2 2 0.33 0.11
B 1 5 3 3 0.67 0.45
C 2 6 4 4 0.67 0.45
D 4 8 6 6 0.67 0.45
E 1 3 2 2 0.33 0.11
F 1 15 8 8 2.33 5.43
Dacă se presupune că duratele activităţilor sunt variabile aleatoare independente,
atunci dispersia drumului critic ACD este suma dispersiilor activităţilor
2
componente, adică σ = 0.
11+
0.
45 + 0.
45 = 1.
01,
iar abaterea medie standard
ACD
este σ = 1 . 01 = 1.
005 .
ACD
Dacă drumul critic conţine multe activităţi (peste 30) durata totală poate fi
considerată repartizată normal. Se va considera şi în acest caz repartiţia duratei
drumului
critic ca fiind N (12, 1.005) şi atunci se poate să se determine
probabilitatea
ca durata drumului critic să fie mai mică decât o valoare (de
exemplu,
14 zile), folosind tabela repartiţiei normale standard, astfel:
⎛ T − µ ⎞ ⎛14 −12
⎞
P(
T < 14 ) = F⎜
⎟ = F⎜
⎟ = F(
2)
= 0.
977 .
⎝ σ ⎠ ⎝ 1.
005 ⎠

2. Grafuri în optimizare 35
2.5. Probleme propuse
1.
O firmă de construcţii are şantiere în 6 locuri diferite. Transportul zilnic de oameni,
utilaje,
materiale de la sediu la şantiere şi invers este destul de costisitor. Reţeaua
arătată în Figura 2.15 prezintă străzile şi distanţa dintre şantiere şi sediul firmei.
Nodurile
reprezintă şantierele numerotate de la 1 la 6, iar muchiile, străzile. Numerele
de pe muchii reprezintă distanţa în kilometri. Dacă se doreşte minimizarea distanţei
dintre sediul firmei şi şantierul 6, care este drumul care trebuie parcurs şi lungimea sa?
Sediul firmei (1)
10
15
3
2
Figura 2.15
2. O firmă de Internet Cafe trebuie să aibă linii speciale pentru legarea
calculatoarelor
instalate la cele 5 centre ale sale în diferite locuri din oraş la
serverul
central. Deoarece liniile sunt scumpe, proprietarul doreşte ca lungimea
totală
a cablurilor folosite să fie minimă. În Figura 2.16 sunt prezentate cele
5 centre şi serverul central (în noduri), iar muchiile reprezintă traseele posibile şi
lungimile
cablurilor între server şi centrele firmei. Să se stabilească legăturile care
să conducă la cel mai mic cost (lungimea totală a cablurilor să fie minimă).
6
Figura 2.16
R. Arborele de acoperire
17
6 5
4
4
4
2
3 5
6
R. Lmin=22 , obţinută pe traseul D={[1,3], [3,5], [5,6], [6,7]} .
Serverul
central (1)
2
3
2
4
4
5
1
3
4
4
2
3
3
4
5
6
7

36
Modele şi algoritmi de optimizare
de lungime minimă este dat de muchiile {[1,2], [1,4], [4,6], [4,3], [4,5]} (Figura
2.17), iar lungimea minimă a cablurilor este de Lmin=11.
Figura
2.17
3. Trebuie să se construiască o autostradă care să treacă prin
apropierea localităţilor
notate
în Figura 2.18 cu numere de la 1 la 14.
1
5
3
2
1
2
4
6
3
3
2
11
Costurile (lucrărilor propriu-zise, lucrărilor de artă, de expropriere, sociale etc.)
sunt trecute pe muchiile acestui graf.
Să se
stabilească traseul autostrăzii care uneşte localităţile 1 şi 14 şi care să
implice costuri minime (Kaufmann, 1967).
R. Traseul de cost minim care leagă localitat ea 1 de
localitatea
14 trece prin
localităţile 1, 3, 5, 9, 12, 14 şi costă 19 u. m (unităţ i monetare).
4. Fie un proiect ale cărui date sunt trec ute în Tabel ul 2 .4.
Tabelul 2. 4
8
6
4
4
2
9
2
5
6
7
1
8
4
3
6
9
Figura 2.18
3
11
5
2
3
8
9
10
11
7
5
8
5
9
3
6
12
13
3
4
14

2. Grafuri în optimizare 37
Activitate
Activitate
precedentă
Tim pul necesar realizării
(în zile), ti
A Nici una 5
B A 4
C Nici una 7
D B, C 3
E B 4
F D, E 2
a) Să se traseze diagrama grafului asociat proiectului.
b) Să se calculeze DS, DF, TS, TF pentru fiecare activitate, presupunând că DF
şi TF pentru ultima activitate coincid.
c) Să se precizeze activităţile incluse în drumul critic.
R. a) Diagrama grafului asociat este dată în Figura 2.19.
A
C
Figura 2.19
b) În Tabelul 2.5 sunt trecute valorile corespunzătoare. Durata proiectului este de
15 zile.
Tabelul 2.5
Activitate DS DF TS TF
A 0 5 0 5
B 5 9 5 9
C 0 7 3 10
D 9 12 10 13
E 9 13 9 13
F 13 15 13 15
c) Drumul critic este format din activităţile A, B, E, F.
B4
D
5. În problema 4 se consideră că timpul necesar realizării activităţii C este de
9 zile.
E4
F2

38
Modele şi algoritmi de optimizare
a) Să se precizeze dacă se modifică drumul critic în acest caz.
b) Dar dacă activităţii C îi sunt necesare 11 zile, se modifică drumul critic?
R. a) Nu, deoarece activitatea C are o marjă de 3 zile, iar creşterea duratei este
doar de 2 zile.
b) Da, şi drumul critic este compus din activităţile C, D, F şi durata proiectului
este de 16 zile.
6. Un depozit angro doreşte să se modernizeze şi să se extindă. Activităţile
necesare sunt trecute în Tabelul 2.6 . Să se stabilească durata minimă şi care sunt
activităţile critice ale acestei iniţiative.
Activitate Descriere activitate
Tabelul 2.6
Activitate
precedentă
Timpul necesar
Realizării (în săptămâni), ti
A Proiectul de arhitectură Nici una 5
B Identificarea chiriaşilor potenţiali Nici una 6
C Dezvoltarea prospectului A 4
D Selectarea antreprenorului A 3
E Pregătirea autorizaţiei de
construcţie
A 1
F Obţinerea autorizaţiei de
construcţie
E 4
G Construcţia D,F 14
H Finalizarea contractelor cu
chiriaşii
B,C 12
I Instalarea chiriaşilor G,H 2
R. Activităţile critice sunt A, E, F, G, I, iar durata minima a iniţiativei este de
26 săptămâni.
7. Se consideră un proiect având datele despre activităţi trecute în Tabelul 2.7
unde:
Tabelul 2.7
Activităţi
Activitate precedent
e
ai bi mi
A – 2 6 4
B – 6 10 8
C A 1 15 5
D C 1 9 5
E B 6 10 8
− ai – cea mai optimistă durată pentru activitatea i,
− bi – cea mai pesimistă durată pentru activitatea i,

2. Grafuri în optimizare 39
− mi – cea mai probabilă durată pentru activitatea i (modul repartiţiei).
2
σ i
a) Să se calculeze timpul mediu ti şi dispersia pentru timpul necesar realizării
fiecărei activităţi.
b) Să se traseze diagrama grafului asociat. Care este lungimea medie a drumului
critic?
c) Presupunând că duratele activităţilor drumului critic sunt independente şi că
durata drumului critic este repartizată normal, să se calculeze probabilitatea ca
durata drumului ACD să fie mai mică decât 16 zile.
d) Care este probabilitatea ca proiectul să se termine în mai puţin de 16 zile ?
R. a) Media duratelor şi dispersia sunt trecute în Tabelul 2.8.
Tabelul 2.8
Activitate ti
A 4
2
σ i
0.44
B 8 0.44
C 6 5.44
D 5 1.78
E 8 0.44
b) Diagrama asociată grafului este dată de Figura 2.20
STAR
A4
B8
C6 D5
Figura 2.20
E
STO
Lungimea drumului critic este 16 zile.
c) Pentru drumul ACD lungimea medie este 15 zile, iar dispersia este
0.44+5.44+1.78=7.67 , iar abaterea medie pătratică este 2.77 .
⎛16
−15
⎞
P( TACD
< 16)
= F⎜
⎟ = 0.
64 .
⎝ 2⋅
77 ⎠
Pentru drumul BE dispersia este de 0.44+0.44=0.88 , iar abaterea medie pătratică
este 0.94 .

40
⎛16 −15 ⎞
P (T BE < 16) = F ⎜ ⎟ = 0.50.
⎝
0,
94 ⎠
Modele şi algoritmi de optimizare

2. Grafuri în optimizare 41
d)
Probabilitatea ca durata proiectului să fie mai mică de 16 zile este
P T < 16 = 0.
64 ⋅ 0.
50 = 0.
.
( ) 32
proiect
8. Exploatarea unei cariere implică următoarele acţiuni: − construirea drumurilor de a cces (A)
− cumpărarea şi livrarea utilajelor de excavare pen tru înlăturarea zonei fertile (B)
− angajarea de personal: conductori de utila je şi miner i (C )
− adâncirea excavaţiei (D)
− pregătirea minerilor angajaţi în mineritul de suprafaţă (E).
Restricţiile
impuse de ordinea acţiunilor:
− excavarea nu poate începe decât dacă:
– utilajele au fost livrate;
– conductorii de utilaje au fost
angajaţi.
În Tabelul 2.9 sunt date duratele şi condiţionările acţiunilor acestui proiect.
Activitate
Activitate
Tabelul 2.9
Timpul
necesar
precedentă realizării (în lu
A Nici una
10
B Nici una
4
C Nici una
8
D
E C
A, B, C 5
6
ni), ti
a) Să se traseze diagrama
grafului asociat proiectului.
b) Să se ca lculeze DS, DF, TS, TF şi marja
pentru fiecare activitate, presupunând
că DF şi TF pentru ultima
activitate coincid.
c) Să se precizeze lungimea drumului critic şi activităţile incluse în drumul critic.
R. a) Diagrama este dată de Fig ura 2.21.
STAR A1
B4 D5
C8 E6
Figura 2.21
STO

42
b)
Valorile cerute sunt conţinute în Tabelul 2.10.
Tabelul 2.10.
Activitate DS DF TS TF M
A 0 10 0 10 0
B 0 4 6 10 6
C 0 8 2 10 2
D 10 15 10 15 0
E 8 8 15 15 7
c)
Drumul critic conţine activităţile A, D şi are lungimea 15.
Modele şi algoritmi de optimizare
9. O firmă producătoare de aspiratoare îşi propune să introducă în fabricaţie
aspiratoare
portabile. Pentru aceasta iniţiază un proiect ale cărui activităţi
şi durate
sunt trecute în Tabelul 2.11 .
Tabelul 2.11
Activitate Descriere activitate
Activitate
precedentă
Durata
realizării (în săptămâni)
cea mai cea mai cea mai
pesimistă probabilă optimistă
A
Proiectarea
produsului
Nici una 4 5 12
B
Cercetarea pieţei de
defacere
Nici una 1 1.5 5
C
Stabilirea procesului
tehnologic
A 2 3 4
D
Construirea
prototipului
Pregătirea broşurii cu
A
3 4 11
E instrucţiuni de
folosire
A 2 3 4
F Estimarea costurilor C 1.5 2 2.5
G Testarea prototipului D 1.5 3 4.5
H Inspectarea pieţei B, E 2.5 3.5 7.5
I
Stabilirea preţului şi
estimarea vânzărilor
H 1.5 2 2.5
J Raportul final F, G, I 1 2 3
Să se precizeze activităţile critice, duratele: cea mai optimistă, cea mai probabilă şi
cea mai pesimistă de realizare a acestui proiect.
R. Activităţile critice sunt A, E, H, I, J şi duratele cea mai optimistă 14.28 , cea
mai probabilă 17 şi cea mai pesimistă 19.72 .

3. PROGRAMARE CONVEXĂ
3.1. Mulţimi şi funcţii
convexe
În acest capitol sunt prezentate câteva noţiuni şi rezultate (Fletcher, II, 1981) pe
care se bazează metodele şi algoritmii următoarelor trei capitole.
n
D efiniţia 3.1. O mulţime K ⊂ R se numeşte convexă dacă ( ∀) x 0 , x1
∈ K şi
∀ θ ∈ 0,
1 , atunci
( ) [ ]
sau, în general: ( ∀) x
= ( 1 − θ ) x0
+
x ,..., x K
m
0 , 1
xθ θ x1
∈ K
, atunci
(3.1)
m ∈
( ∀)
∈[
0,
1]
x θ θ i xi
∈ K , θ i şi θ i = 1
(3.2)
= ∑
i=
0
Definiţia 3.2. x θ din Definiţia 3.1 se numeşte combinaţia liniară
a punctelor x0,
x1 etc.
Definiţia 3.3. Fie x 0 , x1,
..., x n ∈ K . Mulţimea punctelor x θ date de (3. 2) se
umeşte înfăşurătoarea convexă a mulţimii x , x ,..., x .
∑
0
m
i=
{ }
n 0 1 n
Exemple de mulţimi
convexe: mulţimea formată dintr-un singur punct, o dreaptă,
n ⎧ n ⎫
un segment de dreaptă, un hiperplan
(adică ⎨x
∈R ∑ ai
xi
= b⎬
), un semiplan
⎩
i=
1 ⎭
(adică
n ⎧ n ⎫
⎨x
∈R ∑a i xi
≥ b⎬
), o bilă
închisă de centru a şi rază r,
⎩ i= 1 ⎭
n
n
⎪⎧
n
2 ⎪⎫
Br( a) = { x ∈R
x − a ≤ r}
= ⎨x
∈R
∑ ( xi
− ai
) ≤ r
2
⎬ ,
⎪⎩
i=
1
⎪⎭
n
*
*
un con ( C = x ∈ A ( x − x ) ≥ 0 A∈
M ( R ) , x vârful conului) etc.
{ }
R , m,
n
Lema
3.1. Fie Ki , i=1,2,…,m, m mulţimi convexe. Atunci K = K este tot o
mulţime convexă.
I m
i=
1
i

44
Demonstraţie. Fie ( ∀) 0 , x1
∈ K
( ) i = 1,
m . Atunci
Modele şi algoritmi de optimizare
x , atunci rezultă că x 0 , x1
∈ K i pentru
∀ xθ dat de (3.2) este în fiecare mulţime Ki
, deci şi în
intersecţia lor.
Consecinţa
3.1. Mulţimea punctelor admisibile într-o problemă de programare
(1.1) cu restricţii liniare este o mulţime convexă.
n
Definiţia 3.4. Fie K ⊂ R , o mulţime convexă. x se numeşte punct de extrem
p entru K dacă, având x=(1−θ ) x0+θ x1 , x 0 , x1
∈ K şi θ ∈(
0,
1)
, atunci rezultă
că
x=x0=x1, sau, altfel spus, x nu cade în interiorul nici unui segment din K.
Exemple:
vârfurile unui poligon regulat, punctele circumferiţei unui cerc sunt
puncte
de extrem pentru poligon, respectiv disc.
n
Definiţia 3.5. Fie K ⊂ R , o mulţime convexă şi f : K → R o funcţie
continuă. Funcţia f se numeş te convexă dacă ( ∀) x 0 , x1
∈ K are loc relaţia
f ( 1 − θ ) x + θ x ) ≤ ( 1 − θ ) f ( x ) + θ f ( x ) , ( ∀)
θ ∈[
0,
1]
. (3.3)
( 0 1
0
1
Dacă f este diferenţiabilă pe K şi
următoarea definiţie
a funcţiei convexe.
K este deschisă, atunci se poate da
( ) ∈ K
Definiţia 3.5’. Funcţia f este convexă pe K dacă ∀ x 0 , x1
are loc relaţia
f ( x1) ≥ f ( x0
) + ( x1 − x 0 )'∇f
( x 0 )
(3.4)
unde cu prim s-a notat transpunerea,
iar ∇ f este gradientul lui f.
Exerciţiu.
Să se demonstreze echivalenţa Definiţiilor 3.5 şi 3.5’.
Corolar 3.1.
x x f x ) f ( x ) f ( x ) x x ∇f
x
′
−
′
∇ ≥ − ≥ − ( )
(3.5)
( ) ( )
1
0
( 1
1
0 1 0
Cu alte cuvinte, panta unei funcţii convexe este nedescrescătoare de-a lungul
oricărei
drepte.
Definiţia 3. 5 ′′ . Fie f : K → R , o funcţie dublu diferenţiabilă pe K, m ulţime
deschis ă şi
convex ă în R ţia f este convexă dacă este pozitiv
it
n 2
. Func d f ( x0
)
semidefin ă (Definiţia 6.2) pentru ( ) x ∈ K .
∀ 0
n
Definiţia 3.6. Fie K ⊂ R , o mulţime convexă şi f : K → R o funcţie continuă.
f se numeşte
strict convexă dacă
f ( 1 − θ ) x + θx
< ( 1 − θ ) f ( x ) + θ f ( x ) , ∀ θ ∈ 0,
1 , x ≠ x (3.4’)
( 0 1 ) 0
1 ( ) ( ) 0 1
0

3. Programare convexă 45
Definiţia 3.7. Fie
⊂ , o mulţime convexă şi f : K → R o funcţie
n
K R
continuă. f se numeşte concavă dacă –f este convexă şi f se numeşte strict
concavă
dacă –f este strict convexă.
Exemple de funcţii convexe: funcţiile liniare (sunt şi concave), funcţiile pătratice
1
de forma f ( x ) = x'Cx
+ c'
x + c0
, unde C este o matrice pozitiv semidefinită
2
(x’Cx≥0 , ).
Lema 3.2. Fie
f i
n
K ⊂ R , o mulţime convexă
şi funcţiile convexe
: K → R , i = 1,
m . Dacă λ i ≥ 0 , i = 1,
m , atunci ∑ i i f f λ este o funcţie
convexă pe K.
3.2. Extreme condiţionate
=
i=
1
Problema minimizării unei
funcţii convexe f pe o mulţime convexă K se
numeşt e problema de programare convexă şi se poate scrie sub forma
⎪⎧
min f ( x)
⎨
n
(3.6)
⎪⎩
x ∈R = { x ∈R
gi (x)
≤ 0 , i = 1,
m }
unde: f
Lema 3.3. Dacă
şi gi sunt funcţii convexe pe R n .
( ) ′
n
g = g ,..., g este convexă
pe R , atunci
este convexă.
Demonstraţie. Fie x ∈R
( a)
1
1 , 2
n
R ( a) = x ∈
n { R g(x
) ≤ a }
x şi = 1 − θ ) x + θ x , θ ∈[
0,
1]
θ
m
x . Din
( 0 1
convexitatea lui g avem
g ( x ) ≤ ( 1 − θ ) g(
x ) + θ g(
x ) ≤ ( 1 − θ ) a + θ a = a , adică g( x ) ∈R
( a)
.
θ 0
1
Vom
nota R ( 0)
= R . Mulţimea R se mai numeşte şi domeniul problemei
de prog ramare convexă (3.6) sau mulţimea soluţiilor admisibile (regiunea
realizabilă) pentru problema de programare
convexă (3.6).
Consecinţa 3.2. Regiunea realizabilă R dată de (3.6) este o mulţime
convexă.
n
Definiţia 3.8. Fie K ⊂ R , o mulţime nevidă şi o funcţie f :
K → R .
θ

46
Modele şi algoritmi de optimizare
*
Punctul x ∈ K este un maxim (minim) global pentru f pe K dacă pentru
( ) ∈ K
*
∀ x avem ( x ) f( x )
astfel încât
pentru
*
f ≤ ( f ( x) ≥ f ( ) )
x .
x ( ∃) r > 0
*
Punctul ∈ K este un maxim (minim) local sau relativ pentru f dacă
*
n *
( ∀)
x ∈ B ( x ) = { x ∈R
x - x < r}
⊂ K
r
avem
*
*
f ( x ) ≤ f( x ) ( f ( x) ≥ f ( x ) ) .
Un minim global (local) pentru problema (3.6) se numeşte soluţie globală (locală)
pentru problema (3.6) .
Teorema 3.1. Orice soluţie locală x a unei p
oluţiilor globale, R, este convexă.
* robleme de programare convexă
(3.6) este o soluţie globală şi mulţimea s
Demonstraţie. Fie x * o soluţie locală pentru problema (3.6), dar nu globală.
*
Atunci ( ) x ∈R
astfel încât ( x ) f ( x ) θ ∈ 0,
1 se consideră
∃ 1
f < . Pentru [ ]
xθ = ( 1 − ) x + x1
∈R
*
θ θ
(din convexitatea lui R ). Din convexitatea lui f rezultă
*
*
θ 1
1
1
*
*
( f ( x ) − f ( x ) ) ( x )
f ( x ) ≤ ( 1−
θ)
f ( x ) + θf
( x ) = f ( x ) + θ
< f .
Pentru θ suficient de mic, află în vecinătatea lui x * x se şi inegalitatea
de
s contrazice proprietatea de o m local a lui x * mai su pti
. Astfel, soluţia locală este şi
globală.
Pentru a arăta că R este convexă, se consid eră
θ
[ ]
x 0 , x1
∈R
şi θ ∈ 0,
1 , xθ = ( 1 − θ ) x0
Deoarece x0 , x1 sunt soluţii globale, au loc relaţiile
+ θx1.
f(x0)=f(x1) şi f x ) ≤ ( 1−
θ)
f ( x ) + θf
( x ) = f ( x ) ,
( θ
0
1 0
adică f ( xθ ) = f ( x0
) şi astfel x θ ∈R
, ceea ce arată că R este convexă.
Corolar 3.2. Dacă f este strict convexă pe R , atunci orice soluţie globală este
unică.
Demonstraţie. Fie x ∈R
şi θ ∈ 0,
1 . Atunci
x ( )
0 ≠ 1
x ∈R
şi f x ) ≥ f ( x ) = f ( x ) ,
θ
( θ
0
1
iar din convexitatea strictă a lui f avem
f x ) < ( 1 − θ ) f ( x ) + θf
( x ) = f ( x ) = f ( x )
( θ
0
1
0
1
şi s-a obţinut o contradicţie. Aşadar, nu pot exista două soluţii globale distincte în
R pentru problema (3.6).

3. Programare convexă 47
Teorema 3.2. În problema (3.6) dacă f şi gi, i = 1,
m sunt de clasă C 1 (R ) şi
dacă
* *
*
*
∇ xL
( x , λ ) = 0 , gi
( x ) = 0 , i ∈E
; g j ( x ) ≤ 0 ,
*
* *
λ j ≥ 0,
j ∈I
; λi
gi
( x ) = 0 ; ( ∀)
i ∈E
∪ I
j ∈I
;
(3.7)
unde : L ( x, λ)
= f ( x)
+ ∑λi
gi
( x)
este funcţia lagrangian, E este mulţimea
i
indicilor restricţiilor egali tăţi, I este mulţimea indicilor restricţiilor inegalităţi
*
din (3.7), atunci
x este o solu ţie globală pentru problema (3.6).
*
∗
D emonstraţie. Fie x ∈R , x ≠ x . Atunci, deoarece λ ≥ 0 şi g( x)
≤ 0 , f şi
*
* *
g sunt convexe, din ipoteză avem că ∇f ( x ) + ∑λ
i∇g
i ( x ) = 0 , λ
şi, ţinând cont şi de relaţia (3.4), avem
m
m
i=
1
*
*
* *
f ( x) ≥ f ( x)
+ ∑ λ g ( x)
≥ f ( x ) + ( x − x ) ′ ∇f
( x ) +
i=
1
i
i
* ′ * ⎞
( x − x ) ∇g
( x ) ⎟ =
m
* ⎛ *
+ ∑ λ i ⎜ gi
( x ) +
i
i=
1 ⎝
*
* ⎛
= f ( x ) + ( x − x ) ′ ⎜
∇f
( x
⎝
*
m
*
⎞
) +∑
i=
1
⎠
* *
*
λi
∇g
( x ) ⎟ i ⎟
= f ( x ) .
⎠
*
i i g
*
( x ) = 0
Aşadar, f ( x) ≥ f ( x ) şi astfel x * este soluţie globală.
Definiţia 3.9. O restricţie inegalitate g ( x)
≤ 0 se numeşte activă într-un punct
admisibil x * *
*
dacă g ( x ) = 0 şi inactivă dacă g ( x ) < 0 .
i
i
Următoarea teoremă afirmă că optimalitatea unei soluţii a problemei de
programare convexă (3.6) nu se modifică dacă se înlătură restricţiile pe
care soluţia
le transformă
în inegalităţi stricte.
eorema 3.3. Dacă x * este o soluţie a problemei (3.6), atunci x * T
este şi o soluţie
a problemei restrânse
⎧ min f ( x)
⎨
*
(3.6’)
⎩g
i ( x)
≤ 0 , i ∈E
,
*
unde E = { i ∈E
∪ I g ( x ) = 0}
*
i
.
Demonstraţie. Presupunem că x nu este soluţie a problemei (3.6’), adică
n
∃ x ∈R
, soluţie a problemei (3.6’), astfel încât
( )
*
*
g i (x ) ≤ 0 , i ∈E
şi f ( x ) < f ( x)
, ( ) ∈R
i
∀ x . (3.8)
*
F ie x = θ x + ( 1 − θ ) x , 0 < θ < 1.
Să arătăm că pentru θ suficient de mic
θ
este o soluţie pentru problema (3.6) ‘mai bună’ decât x * , adică
xθ
.
( ) ( )
*
x f x
f <
θ

48
Modele şi algoritmi de optimizare
Mai întâi să arătăm că x ∈R
, ad ică este un punct admisibil pentru problema
(3.6’).
Din convexitatea g , i 1,
m
θ
funcţiilor i = , pentru orice ∈(
0,
1)
*
*
( xθ ) ≤ θg
( x) + ( 1 − θ ) g i ( x ) ≤ 0 , ( ∀)
i ∈E
şi
*
*
( x ) ≤θ g ( x) ( −θ
) ( ) < 0 ( ∀)
j ∉E
,
g i
i
g j j + 1 g j x ,
θ
θ avem
*
*
deoarece
g ( x)
≤ 0 , ( x ) < 0 , ( ∀)
j ∉E
. Din convexitatea funcţiei f şi din
(3.8) rezultă
j
g j
*
*
( x ) ≤ θf
( x)
+ ( − θ ) f ( x ) f ( x )
f <
Inegali p ctului x * θ 1 (3.9)
tatea (3.9) este în contradicţie cu proprietatea un de a fi
so luţie optimă pentru problema (3.6). Aşadar, un astfel de punct x nu există.
Convenim ca orice restricţie (3.6) cu egalitate, în punctele admisibile este o
restricţie activă. Restricţiile acti ve într- un punct admisibil x restrâng domeniul de
admisibilitate în vecinătatea punctului x , în timp ce restricţiile inactive nu au
influenţă în vecinătatea
punctului x . Aşadar, în studiul proprietăţilor unui extrem
local atenţia se poate concentra numai asupra restricţiilor active. Dacă s-ar cunoaşte
care restricţii sunt active pentru rezolvarea problemei (3.6), soluţia ar fi un minim
local al problemei
obţinute din (3.6) prin ignorarea restricţiilor inactive şi tratarea
restricţiilor active ca egalităţi. Astfel, pentru soluţii locale, problema
(3.6) poate fi
privită numai cu restricţii egalităţi.
*
Definiţia 3.10. Un punct x ∈ K care satisface restricţiile (x ) = 0,
i ∈ E se
*
numeşte regulat dacă vectorii ∇g ( x ) i ∈E
i , sunt liniar independenţi.
3.2.1. Cazul
restricţiilor egalităţi
Acest caz reprezintă bine cunoscuta problemă a extremelor cu legături (sau
extreme condiţionate).
Teo rema 3.4. În problema (3.6) considerăm că gi(x)=0, i = 1,
m şi că f şi gi
sunt diferenţiabile, iar matricea jacobiană
*
*
⎛ ∂g1
( x ) ∂g1
( x ) ⎞
⎜ L ⎟
⎜ ∂x1
∂xn
⎟
J = ⎜ O
⎟
⎜ *
* ⎟
⎜
∂g
m ( x ) ∂g
m ( x )
⎟
⎜
L
⎟
⎝ ∂x1
∂xn
⎠
g i

3. Programare convexă 49
are în x u
* rangul m , x * fiind un punct regulat care realizează n minim local.
Atunci există
Numerele 1
*
* *
numerele λ ∈R
, asfel încât f ( x ) + λ ∇ ( x ) = 0 .
λ ,..., m
m
m
∇ ∑
i=
1
λ se numesc multiplicatorii
lui Lagrange.
3.2.2. Cazul restricţiilor inegalităţi
i i g
Un rol esenţial în rezolvarea problemei (3.6) cu I ≠ φ îl au condiţiile Kuhn-
Tucker.
Pentru demonstrarea condiţiilor Kuhn-Tucker (cunoscute şi sub denumirea de
condiţii optimale de ordinul I) avem nevoie de lema Farkas-Minkowski a cărei
demonstraţie o omitem (Henry-Labordere, 1995).
Lema 3.4. (Farkas-Minkowski) Fie
că
( )
A∈ M ( R)
, rang(
A)
= m şi presupunem
m,n
m
∀ x ∈R
Ax ≥ 0 şi c ′x ≥ 0 .
Atunci există multiplicatorii λ ≥ 0 , i = 1,
n astfel încât vectorul c se scrie sub
t
forma A λ , unde λ .
c = ( ) ′
λ , λ , ..., λ
i
= 1 2 n
*
Definiţia 3.11. Fie un punct x ∈R
de extrem local (global) pentru problema
( k )
( k )
( k )
(k) ( k )
(3.6) şi un şir ( x ) ⊂ R astfel încât ( x ) ⎯⎯ →x
, x − x = δ s , iar
k≥1
⎯k →∞
( k )
( k )
( )
s = 1 , δ > 0 . Vectorul lim se numeşte direcţie admisibilă
k
s = s
*
(realizabilă) în x .
k →∞
Notăm
C a ={s∈R n ⎥ s este direcţie admisibilă în x * }
*
conul direcţiilor admisibile în x , şi
t
n
*
C = ∈ ′ ∇g
( ) ≤ 0 , i ∈E
*
s s R
{ }
i x
conul tangent în
*
x la R.
Ipoteza de calificare a restricţiilor într-un punct de extrem este dată de relaţia
a t
C = C . (3.10)
Se poate demonstra următoarea propoziţie (Fletcher, 1981).
Propoziţia 3.1. Ipoteza de calificare a restricţiilor (3.10) are loc dacă :
*
i) restricţiile cu indicele i ∈E
sunt liniar independente, sau
*
ii) vectorii ∇g ( ) , i ∈E
sunt liniar independenţi.
*
i x

50
Considerăm că :
E ≠ φ , I ≠ φ şi ⎪E⎪+⎪I⎪=m≤n ,
x * punct admisibil
dă un minim local,
f, gi sunt diferenţiabile
şi
*
* *
vectorii ∇ ( x ) , i ∈E
∪ ∇g
( x ) g ( x ) = b , j ∈I
{ } { }
g i
j j
j
Modele şi algoritmi de optimizare
sunt independenţi.
Teorema
3.5. (Condiţiile Kuhn-Tucker) În ipotezele de mai sus, condiţia necesară
şi suficient ă pentru ca x să existe
multiplicato
* să fie o soluţie a problemei (3.6) este
rii λi ∈R
+ , i = 1,
m , astfel încât
(i)
*
*
*
∂f
( x ) ∂gk
( x ) ∂g
k ( x )
+ ∑λ
k + ∑λ
k = 0 , ( ∀)
i = 1,
n
∂xi
k∈E
∂xi
k∈I
∂xi
( ii)
k ( g k ( x ) − bk
) = 0 , ( ∀)
k ∈I
Demonstraţie. Condiţiile Kuhn-Tucker sunt necesare. Din ipoteza de calificare a
*
*
λ
restricţiilor în x rezultă că ′ ∇g
( ) ≤ 0 , i ∈E
*
a
s i x
şi deoarece pentru ( ∀ ) s ∈C
avem
( k )
* ( k ) ( k ) *
( k )
( k )
*
f ( x ) = f ( x ) + δ s ∇f
( x ) + O ( δ ) , ( ∀)
x ∈ Br
( x ) .
Dar
( k )
* ( k ) ( k ) *
( k )
f ( x ) ≥ f ( x ) ⇒δ
s ∇f
( x ) + O ( δ ) ≥ 0 .
( k )
Împărţim relaţia de mai sus la δ > 0 şi trecem la limită pentru k → ∞ şi
*
obţinem că s′ ∇f
( x ) ≥ 0 . În Lema Farkas-Minkowski, înlocuind x cu s şi A
cu ( )
*
∇ gE x , rezultă că ( ∃) λ E
*
*
≥ 0 , astfel încât ( x ) E gE
( x ) ∇ − = ∇f λ , unde
( )
*
∇ gE x este matricea care are ca linii ∇g ( ) , i ∈E
*
i x . Considerăm vectorul
n
*
*
*
λ = [ λE
, 0 ] ∈ R şi ∇f ( x ) = −λ′
∇g(
x ) cu proprietatea că λ ′ ∇g(
x ) = 0 ,
egalitate evidentă, deoarece
*
*
( x ) = 0 , i ∈E
, λ = 0 ,
*
∀ j ∈I
− E .
g i
j
Condiţiile Kuhn-Tucker sun t suficiente. În Teorema
3.2 se consideră b=0 şi
*
rezultă că x este soluţia problemei (3.6) .
Se observă că pentru suficienţa condiţiilor Kuhn-Tucker nu mai este necesară
ipoteza calificării
restricţiilor.
În capitolele 4, 5 şi 6 funcţiile obiectiv sunt cazuri particulare de funcţii
convexe, iar restricţiile sunt liniare, deci convexe. Algoritmii
prezentaţi în aceste
capitole
se bazează pe particularităţile fiecărui tip de problemă.
( )

4. PROGRAMARE LINIARĂ
4.1. Exemple de probleme de programare liniară
4.1.1. Utilizarea optimă a resurselor
Un manager de agent economic trebuie să rezolve destul de des următoarea
problemă (Zidăroiu, 1983):
Resursele pe care le are la dispoziţie
(materie primă, forţă de muncă, maşiniunelte,
resurse financiare etc.) sunt în cantităţi limitate. Fie i numărul de ordine al
resursei şi fie bi cantitatea disponibilă din resursa i. Cu ajutorul acestor resurse se
pot desfăşura mai multe activităţi (de exemplu: procese de producţie).
Fie j numărul de ordine al activităţii desfăşurate şi fie xj nivelul (necunoscut)
la care trebuie să se desfăşoare această activitate. De exemplu, pentru procesul de
producţie j, care constă în fabricarea unui anumit produs, se notează cu xj
cantitatea ce va fi produsă. Fie aij cantitatea din resursa i necesară producerii
unei unităţi din produsul j. Se presupune că ai j nu depinde decât de tipul resursei
(i)
şi
de tipul produsului realizat (j) şi nu de cantităţile produse, ceea ce constituie
evident
o simplificare a situaţiei reale.
Cu aceste notaţii se pot determina mărimile următoare:
− cantitatea din resursa i folosită pentru producerea cantităţii
xj, care este aij xj;
− cantitatea totală din resursa i folosită pentru producţia totală formată din n
produse:
ai1 x1+ai2 x2+...+ain xn .
Deoarece nu se poate consuma din resursa i mai mult decât cantitatea de care
se dispune, trebuie să fie respectate condiţiile:
ai1 x1+ai2 x2+...+ain xn ≤ bi , (∀) 1 ≤ i ≤ m,
sau
n
∑
j=
1
a
ij
x
j
≤ b
i
, i∈{1, 2,..., m}. (4.1)
xj reprezentând cantitatea ce trebuie produsă din sortimentul j, ea nu poate
fi
un număr negativ:
x j ≥ 0, j∈{1, 2,..., m}.
(4.2)
Inec uaţiile (4.1) se numesc restricţiile problemei, iar (4.2),
condiţiile de
nenegativitate.

52
Modele şi algoritmi de optimizare
Sistemul de inecuaţii liniare (4.1) şi (4.2) poate avea o infinitate de soluţii,
o
soluţie sau nici una. Pentru problemele corect puse, cel mai frecvent este cazul cu o
infinitate de soluţii.
Adoptarea unei variante de plan (luarea unei decizii) se face pe baza unui
criteriu economic, ca de exemplu venitul sau profitul să fie
maxim.
Dacă se notează cu cj preţul de vânzare al unei unităţi din produsul j şi cu dj
costul unitar pentru acelaşi produs (se presupune, pentru simplificarea problemei,
că atât preţul de vânzare cât şi costul nu depind de cantitatea produsă, ceea ce nu
prea este în concordanţă cu realitatea), atunci venitul total va fi: ∑ n
cheltuielile de producţie ∑ j j , şi deci profitul obţinut va fi:
j=
x d
1
n
n
∑cx−∑d n
j j
j=
1 j=
1
j
x
j
n
j=
1
j=
1
= ∑ ( c j − d j ) x j
(4.3)
Problema care se pune acum este de a d etermina acea variantă de plan,
adică
acea soluţie a sistemului de inegalităţi (4.1), (4.2) care
dă pentru profitul (4.3)
valoarea maximă. În acest moment, din
acea problemă economică s-a obţinut
următoarea
problemă matematică:
n ⎧
⎪max∑
( c j − d j ) x j
j=
1 ⎪
n
⎪
⎨∑
a ij x j ≤ bi
(4.4)
⎪ j=
1
⎪x
j ≥ 0
⎪
⎩
Aceasta este o problemă de programare liniară, sau program liniar.
4.1.2. Problema de transport
j j x c
, iar
Se consideră că există m centre de aprovizionare
(depozite) şi n centre
de
consum (puncte de lucru, uzine, magazine etc.). Se pune
problema să se determine
un plan de transport pentru un produs omogen care se află în cantitatea ai la
depozitul i (1 ≤ i ≤ m) şi este cerut în cantitatea bj la centrul j (1 ≤ j ≤ n). Se
notează cu xij cantitatea necunoscută ce va
fi transportată de la depozitul i la
centrul de consum j şi cu cij costul transportului unei unităţi din produsul
considerat de la depozitul i la centrul j (pentru simplificare se presupune că acest
cost unitar nu depinde de cantitatea transportată pe ruta respectivă).
Se pot exprima atunci următoarele mărimi:
– cantitatea cerută de la depozitul i la toate cele n centre de consum
ai = xi1 + xi2 + ... + xin = cantitatea aflată la depozitul i,
(4.5)
–
cantitatea transportată de la toate cele m depozite la centrul de consum j

4. Programare liniară 53
bj = x 1j + x 2j + ...+ x mj = necesarul la centrul de consum j, (4.6)
– costul transportului de la depozitul i la centrul de consum j este cijxij.
O condiţie evidentă este
xij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n . (4.7)
Costul total al transportului de la toate cele m depozite la toate cele n centre
de consum este
∑∑
i=
1 j=
1
Pentru a putea efectua transportul este necesar ca
m
m
∑
i=
1
a
i
n
=
egalitate numită
şi condiţia de balansare sau de echilibru.
Sistemul de ecuaţii (4.5), (4.6) are o infinitate de soluţii. Dintre acestea trebuie
alese cele care dau costului total de transport valoarea minimă. Se obţine astfel
un
program
liniar:
n
∑
j=1
m
∑
i=1
m
n
∑∑
i=
1 j=
1
c
ij ij x
n
∑
j=
1
ij ij x
b
j
.
,
c min (4.8)
x = a , 1 ≤ i ≤ m (4.9)
ij
i
x = b , 1 ≤ j ≤ n
care se numeşte program de transport.
ij
j
(4.10)
xij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, (4.11)
Programe liniare de acelaşi tip pot să apară şi în următoarea situaţie.
Trebuie aprovizionat un grup de uzine dirijate de un centru comun, având la
dispoziţie m centre de aprovizionare, n puncte de consum
şi se cere determinarea
unui plan de transport (xij), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, care să minimizeze cheltuielile
totale de transport:
în
condiţiile
n
∑
j=1
m
∑
i=1
m n
∑∑ min i= 1 j=
1
c
ij ij x
, (4.12)
x ≤ a , 1 ≤ i ≤ m (4.13)
ij
i
x ≥ b
ij
j
, 1 ≤ j ≤ n
(4.14)
xij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n, (4.15)

54
Modele şi algoritmi de optimizare
unde ai , 1 ≤ i ≤ m, sunt capacităţile centrelor de depozitare,
bj , 1 ≤ j ≤ n, sunt
cantităţile
necesare uzinelor, iar cij este costul unitar de transport de la depozitul i
la uzina j. Pentru a avea soluţii trebuie ca
m
∑
i=
1
a
i
≥
Problema se poate pune şi invers, considerând problema unui plan de transport
de la mai multe uzine i la punctele de desfacere j.
Dacă ai , 1 ≤ i ≤ m, reprezintă acum capacităţile de producţie ale uzinelor, bj ,
1 ≤ j ≤ n, capacităţile de depozitare ale punctelor de desfacere, se obţine un model
similar în care grupurile
de inecuaţii (4.13), (4.14) îşi schimbă sensul.
4.1.3. Alocarea optimă a fondurilor financiare
Având la dispoziţie o sumă totală S care poate fi investită în diverse activităţi
j, 1 ≤ j ≤ n, fiecare producând un anumit profit unitar aj , 1 ≤ j ≤ n, se pune
problema determinării sumei xj , 1 ≤ j ≤ n, investită pentru activitatea j, astfel
încât să se obţină un profit maxim, adică:
în condiţiile:
∑ n
j= 1
j j x
n
∑
j=
1
b
j
.
a max (4.16)
n
∑
j=
1
x
j =
S
xj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n . (4.18)
Problema mai poate fi complicată
dând anumite reguli suplimentare în legătură
cu posibilitatea de investiţie, cu existenţa unui risc al investiţiilor şi neliniaritatea
profitului total.
4.1.4. Gestionarea optimă a unui depozit
(4.17)
Să considerăm problema funcţionării unui depozit care cumpără şi vinde un
anumit produs cu scopul maximizării profitului pe o anumită durată de timp.
Depozitul are o anumită capacitate fixă S şi un cost unitar de stocare h . Preţul
produsului fluctuează de-a lungul perioadei de analiză, dar
pe durata unei unităţi de
timp preţul de achiziţie şi preţul de vânzare sunt aceleaşi. Depozitul este iniţial gol
şi trebuie
să rămână gol la sfârşitul perioadei de analiză.
Modelarea problemei. Fie

4. Programare liniară 55
− xi stocul din depozit la începutul perioadei i,
− di cantitatea achiziţionată în perioada i,
− bi cantitatea vândută în perioada i şi
− pi preţul pe perioada i.
Dacă sunt n intervale de timp avem:
max
n
∑
i=
1
( p b − hx )
⎧xi+
1 = xi
+ di
− bi
, i = 1,
n −1
⎪
xn
+ dn
− bn
= 0
⎨
⎪xi
+ di
≤ S
⎪
⎩x1
= 0 , xi
, di
, bi
≥ 0
Se obţine astfel o problemă de programare liniară.
i
i
4.1.5. Problema dietei
i
(4.19)
Se presupune că există n alimente diferite, cu preţul unitar ci pentru
alimentul i, din care trebuie să se pregăteacă o dietă. Dieta trebuie să
conţină
zilnic m ingrediente nutritive şi din fiecare ingredient j, minimum bj unităţi. Se
presupune că o unitate din alimentul i conţine
aji unităţi din ingredientul
j. Să
se determine cea mai economică dietă care satisface
minimul nutriţional cerut.
Modelarea problemei
Se notează cu x i numărul de unităţi din alimentul
i conţinut în dietă. Trebuie
minimizat costul
total al dietei
min {c1x1+ c2x2+...+ cnxn}
supus la rest ricţiile următoare date de conţinutul în ingrediente
nutriţionale
⎧ a11x1
+ a12 x2
+ ... + a1n
xn
≥ b1
⎪
⎪
a21x1
+ a22
x2
+ ... + a2n
xn
≥ b2
⎪
⎨
M
M
⎪am
1x1
+ am
2 x2
+ ... + amn
xn
≥ bm
⎪
⎪⎩
xi
≥ 0 , i = 1,
n
Problema care a rezultat este tot o problemă de programare liniară. Acelaşi tip
de problemă
poate apărea în realizarea amestecurilor de tip mortar, beton etc.

56
Modele şi algoritmi de optimizare
4.2. Diferite forme ale problemelor de programare liniară
Scrisă matriceal, cea mai generală problemă de programare liniară are forma
(Zidăroiu, 1983)
1 2 3
min [ c ′ x + c′
x + c′
x ]
1
2
1
2
3
⎧A11x
+ A12
x + A13
x ≥ b1
⎪ 1
2
3
⎨ A + + x = b
(4.20)
21x
A22
x A23
2
⎪ 1
2
3
⎩
A31x
+ A32
x + A33
x ≤ b3
1 2 3
x ≥ 0, x oarecare, x ≤ 0
unde x se impun condiţii de
variabilelor asupra cărora se impun condiţii de nepozitivitate,
1 este vectorul variabilelor asupra cărora
nenegativitate, x 2 − vectorul variabilelor asupra cărora nu se impun condiţii de
semn, x 3 − vectorul
Aij − submatrice a matricei A , ale cărei elemente sunt coeficienţii componentelor
vectorului x j , iar bi sunt subvectori ai vectorului b ( 1≤ , j ≤ 3)
i . Prin x≥ 0 se
va înţelege că fiecare componentă a vectorului x este nenegativă.
Se spune că o problem ă are forma standard dacă toate restricţiile
sunt ecuaţii
şi tuturor variabilelor li se impun condiţii de nenegativitate
⎧ min(max) c′
x
⎪
⎨Ax
= b
⎪
⎩x
≥ 0
(4.21)
c′
x =
n
∑
i=
1
i i x c
Se spune că o problemă are forma canonică dacă toate restricţiile sunt inegalităţi
de acelaşi sens şi tuturor variabilelor li se impun condiţii de nenegativitate
≥
⎪
⎩ ≥
⎧min
c′
x
⎪
⎨Ax
b
(4.22)
x 0
⎧max
c′x
⎪
⎨Ax
≤ b
⎪
⎩x
≥ 0
3
(4.22’)
Observaţia 4.1. Orice problemă de forma (4.20) poate fi adusă la forma standard
(4.21) sau forma canonică (4.22) folosind următoarele transformări:
i) transformarea maximului în minim şi invers se bazează pe următoarea
egalitate:
max f ( x) = −min
− f ( x)
x∈X
x∈X
{ }
ii) transformarea sensului unei inegalităţi se realizează prin înmulţirea cu −1

4. Programare liniară 57
iii) o variabilă x căreia nu i se impun condiţii de semn se înlocuieşte cu
diferenţa a două variabile nenegative
x = x1−x2 , x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
iv) o variabilă x ≤ 0 se înlocuieşte cu o variabilă
nenegativă −x
v) transformarea ecuaţiilor
în inecuaţii
⎧a′ x ≤ b
a′ x = b ⇔ ⎨
⎩a′
x ≥ b
vi) transformarea inecuaţiilor în ecuaţii
a'x ≤ b se poate scrie ca o ecuaţie
a'x+y=b,
introducând o variabilă y ≥ 0 numită variabilă ecart;
a'x ≥ b se poate scrie ca o ecuaţie
a' x− y=b, y ≥ 0.
Variabilele ecart nu apar în funcţia obiectiv (sau apar cu coeficienţi nuli).
4.3. Algoritmul simplex
lgoritmului (Zidăroiu, 1983).
M (R) o
at
stemul Ax = b devine:
⎡ ⎤ B
Acest algoritm (datorat lui G. B. Dantzig, 1951) se aplică problemelor de
programare liniară sub forma standard. Sunt necesare câteva noţiuni de bază pentru
prezentarea a
Fie sistemul de ecuaţii Ax = b, A∈Mm,n(R), rang A = m. Fie B∈ m,n
m rice pătratică nesingulară extrasă din A şi notăm x B vectorul variabilelor
corespunzătoare coloanelor lui B. Notăm cu S partea din matricea A care mai
rămâne şi cu x S variabilele corespunzătoare. Si
x B S [ BS ] ⋅ ⎢ ⎥ = b sau Bx + Sx = b. (4.23)
S
⎣x
⎦
Astfel, în (4.23) luăm x B variabile principale şi celelalte x S , variabile
secundare şi avem
x B = B −1 b−B −1 S x S . (4.24)
Anulând variabilele secundare avem
ie s meşte soluţie de bază (deoarece B fiind nesingu
oloanele sale constituie o bază în R m x
).
Variabilele p
Se numeşte are exact m
omponente nenule.
Se numeşte soluţie degenerată o soluţie de bază care are şi componente nule.
B = B −1 b , x S =0. (4.25)
O astfel de soluţ e nu lară,
c
rincipale se numesc variabile de bază.
soluţie nedegenerată o soluţie de bază care
c
Se numeşte soluţie admisibilă sau program o soluţie a sistemului de ecuaţii
şi inecuaţii (4.1) ce verifică şi condiţia de nenegativitate (4.2).
Notăm R = {x∈ R n x program}, z * = min{c'x⏐x∈ R n } .

58
Convenim să punem z * = +∞ dacă R = φ.
Dacă z * = −−∞, spunem că problema are optim infinit.
Modele şi algoritmi de optimizare
Dacă z * este finit, atunci x * ∈ R cu proprietatea că z * = c' x * se numeşte
soluţie optimă sau program optim.
Notăm cu R r optime.
* mulţimea soluţiilo
Soluţia de bază a problemei de programare liniară sub forma standard se
numeşte program de bază (x = 0 este program de bază dacă x=0 este program).
Teorema fundamentală a programării liniare stă la baza algoritmului simplex
(Luenberger, 1989).
Teorema 4.1.
(i) Dacă problema de programare liniară sub forma standard (4.21) are un
program, atunci are cel puţin un program de bază.
(ii) Dacă problema de programare liniară sub
forma standard (4.21) are un
program optim, atunci are şi un program de bază optim.
Demonstraţie.
(i) Se notează coloanele
matricei A cu a1, a2, …, an şi se presupune că x’=(x1, x2,
…, xn)’ este o soluţie admisibilă şi atunci are loc relaţia
x1a1+x2a2+ …+xnan=b.
Se presupune
că exact p≤ m dintre variabilele xi sunt diferite de zero şi că acestea
sunt chiar
primele. Atunci
x1a1+x2a2+…+xpap=b.
(4.26)
Coloanele
a1, a2, …, ap pot fi liniar independente sau liniar dependente.
Cazul I. Presupunem că a1, a2, …, a p sunt liniar independente. Dacă p=m
atunci soluţia este de bază şi demonstraţia
se încheie. Dacă p 0⎬
.
⎩ yi
⎭
Pentru orice valoare ε soluţia dată de (4.29) este admisibilă şi are cel
mult
p−1 componente pozitive. Repetând acest proces dacă este necesar, putem elimina

4. Programare liniară 59
componentele pozitive
până când avem o soluţie admisibilă corespunzătoare
coloanelor
care sunt liniar independente. Am ajuns în cazul I şi se poate aplica
acesta în continuare.
(ii) Fie x’=(x1, x2, …, xn) o soluţie admisibilă optimală care are exact p
componente pozitive x1, x2, …, xp . Din nou pot fi două cazuri: coloanele
corespunzătoare componentelor nenule pot fi liniar independente sau liniar
dependente.
Cazul I. Coloanele sunt liniar independente. Este exact ca şi la (i).
Cazul II. Coloanele sunt liniar dependente. Este ca şi în cazul II de la (i) numai
că trebuie să arătăm că pentru orice ε soluţia
dată de (4.29) este optimală. Pentru
această soluţie, valoarea funcţiei obiectiv este
c’x− εc’y
(4.30)
Pentru ε suficient de mic, x−εy este o soluţie
admisibilă pentru valori
pozitive sau negative ale lui ε. Astfel putem concluziona că c’y=0. Dacă c’y≠0
se poate determina un ε mic
şi semnul acestuia, astfel încât (4.30) să conducă la o
valoare
mai mică pentru funcţia obiectiv. Contradicţie cu faptul că x este soluţie
optimală şi astfel trebuie să presupunem că c’y=0. Având stabilit că noua soluţie
admisibilă cu mai puţine componente pozitive este optimală, restul demonstraţiei
este ca la (i).
4.4. Fundamentele algoritmului simplex
Din Teorema 4.1 rezultă că putem determina soluţia problemei de programare
liniară sub forma standard astfel: pentru toate bazele B din matricea A (acestea
sunt, evident, în număr finit), calculăm soluţia de bază corespunzătoare B b ,
mică sau cea
mai mare).
Dezavantajul ce apare constă în volumul mare de calcule, chiar şi atunci când
e
r de bază, mai precis de trecere de la un program de bază la altul care dă
funcţiei obiectiv o valoare mai mare sau mai mică, după cum problema e
z
niară nu are programe sau are optim
Astfel, dacă B este o bază (să presupunem că B b ≥ 0), sistemul Ax=b se
poate scrie (Zidăroiu, 1983)
1 −
reţinem dintre acestea doar pe acelea care sunt programe de bază (B −1 b ≥ 0) şi
alegem pe aceea care dă funcţiei obiectiv valoarea optimă (cea mai
problemele sunt de dim nsiuni mici.
Algoritmul simplex dă o metodă de explorare sistematică şi economică a
programelo
ste de
maximizare sau minimizare. De asemenea, algoritmul furnizea ă criterii pentru
cazurile în care problema de programare li
infinit.
−1
sau
x B =B −1 b−B −1 Sx S

60
sau pe componente
unde
x
B
= x
B
∑
j∈S
−
∑
j∈S
y
B
j
x
j
Modele şi algoritmi de optimizare
(4.31)
B B
B
x = x − y x , i∈ B, (4.31’)
i
i
x
B
ij
= B
y = B
iar:
aj este coloana j a matricei A ,
S={indicii variabilelor secundare},
B={indicii variabilelor
de bază}.
B
Observaţie 4.2. Pentru j∈ B, y j = B a j = e j , ej fiind vectorul unitate.
−1
−1
B −1
j
j
b
a
(4.32)
(4.33)
Folosind (4.31), putem exprima funcţia obiectiv
cu ajutorul variabilelor
secundare x S astfel
n
z = ∑c
j x j
j=
1
sau
= ∑cjxj j∈S ⎛ ⎞
B B
B ⎛ B ⎞
+ ∑c⎜ i ⎜
xi
− ∑y⎟
⎟ ∑ ∑∑ ⎜ − ⎟
ij x j = ci
xi
− c i yij
c j x j
i∈B
⎝ j∈S
⎠ i∈B
j∈S⎝i∈B ⎠
unde
j
B ( c )
j
B
z = z ∑ z − x ,
(4.34)
− j j j
j∈S
B
B
B
z ci
xi
= c B ⋅ x
i∈B
B
j
= ∑
i∈B
i
ij
′
,
(4.35)
z = ∑ c y = c′ ⋅ y , (4.36)
α = −(
z − c ) sunt numiţi coeficienţi de cost redus sau coeficienţi de cost
j
j
relativ.
Pentru simplificarea scrierii renunţăm la indicele superior B, înţelegându-se că
este vorba de elementele corespunzătoare bazei.
La baza algoritmului simplex stau următoarele
observaţii ce rezultă din
teoremele prezentate în continuare (Zidăroiu, 1983).
Teorema 4.2. Dacă zj−cj ≤ 0, ( ∀)
j∈ S, atunci programul de bază corespunzător
bazei B, (x B =B −1 b, x S =0) este optim.
B
B
j

4. Programare liniară 61
Demonstraţie. P ste B
entru acest program valoarea funcţiei obiectiv e z . Pentru
orice alt program x , deoarece xj≥0 rezultă că
B
z − c x ≤
şi atunci
∑
j∈S
( ) 0
j
i
B
z > z .
Teorema 4.3. Dacă (∃)k∈ S cu zk−ck > 0, atunci programul asociat bazei B nu
este optim (cu excepţia cazului în care programul este degenerat) şi poate fi
îmbunătăţit
dacă xk ia valori pozitive.
Demonstraţie. Dacă există k ∈S
asociat bazei B nu este optim
cu proprietatea că zk−ck>0, atunci programul
B
z − c x >
B
, iar z < z
( ) 0
∑
j∈S j i j
(cu excepţia cazului în care programul este degenerat) şi poate fi îmbunătăţit dacă
xk>0.
Teorema
4.4. Dacă (∃)k∈ S , cu zk−ck > 0, şi dacă yik ≤ 0, pentru (∀) i∈B,
atunci problema are optim infinit.
B B
Demons traţie. Dacă yik ≤ 0 (∀) i∈B atunci x = x − y x , ( xj=0 pentru
j∈ S – {k}), iar creşterea lui xk nu face negativă nici o componentă de bază.
Atunci
B
z z − ( z − c ) x ⎯⎯
⎯ →−∞
= k k k xk
→∞
Teorema 4.5. Dacă zk−ck > 0, dar (∃) yik > 0, atunci xk poate creşte până la
valoarea:
i yik
yik
ylk
>0
xi
xl
min = , (4.37)
pentru care se obţine un nou program de baz , asociat bazei B ~
ă , dedusă din B
prin înlocuirea coloanei al cu coloana ak.
Demonstraţie. Dacă yik > 0 (∀)i∈B, atunci pentru a păstra xi ≥ 0 , ştiind că
x x − y x ≥ 0 ,
i = i ik k
xi
atunci x ≤ , ( ∀)
i ∈B
cu proprietatea că y > 0 . Atunci creşterea maximă
a
k
yik ik
lui xk este dată de (4.37).
Observaţia 4.3. Dacă există mai mulţi indici k pentru care zk−ck > 0, ar fi
preferabil să se aleagă acela pentru care
xl
( zk
−
ck
)
y
lk
j
i
i
ik
k

62
Modele şi algoritmi de optimizare
are cea mai mare valoare, ceea ce asigură, în general, o scădere mai rapidă a
funcţiei obiectiv şi dă un număr mai mic de iteraţii (o iteraţie reprezintă
o trecere
de la un program de bază la altul).
Practic, se ia drept criteriu de alegere a lui k , acel k pentru care
zk− ck=maxim.
Acest criteriu se mai numeşte şi criteriu de intrare în bază.
Criteriul
dat de (4.37 ) reprezintă criter iul de ieşir e din bază.
4.5. Enunţul algoritmului simplex
Fie
problema de programare linia ră s ub f orma standard ( 4 .21) . Pentru această
problemă algoritmul simplex are următorul enunţ.
Pas 0. Se determin ă o ba ză B în matric ea A , se calcu lează
B −1
x = B b ,
B
z c′
B
x
B
y
−1
= B a
B
(aj − coloanele din A), z − cj, 1 ≤ j ≤ n.
= B , j
j
Pas 1 . a) Criteriu de intrare în bază
B
1) dacă toţi z −cj ≤ 0, j∈B, programul este optim. Stop.
j
B
2) dacă (∃) z −cj
> 0, se determină k astfel încât:
j
zk−ck= max{zj−cj}.
b) Criteriu de ieşire din bază
1) dacă toţi
yik ≤ 0, problema are optim infinit.
2) dacă (∃) yik > 0, se determină l astfel încât:
xl
⎧ xi
⎫
= ⎨ ⎬
y i yik
>
lk
⎩ y ⎭
0
min .
ik
Pas 2. Se înlocuieşte în baza B vectorul al cu vectorul ak , obţinându-se baza
B ~ ~ ~ ~
~
B B B
B
, şi se calculează x , z , y , 1 ≤ j ≤ n, z − c , 1 ≤ j ≤ n,
j
conform cu (4.31), (4.34), (4.33) apoi se trece la pasul 1, înlocuind baza B
cu baza B ~ .
Observaţia 4.4. Pentru o problemă de maximizare:
′
⎪
⎨ =
⎪
⎩ ≥
⎧max
c x
Ax b
x 0
trebuie modificat criteriul de intrare în bază astfel:
a'1)
dacă toţi zj−cj ≥ 0, programul este optim.
a'2) dacă (∃)j pentru care zj−cj < 0, se determină k astfel
încât
zk−ck= min{zj−cj}.
j
j
j

4. Programare liniară 63
4.6. Tabelul simplex şi transformarea sa
Presupunem că pentru o bază B am calculat xi , z , zj−cj, yij şi le dispunem
într-un tabel numit tabel simplex (Tabelul 4.1). Presupunem că baza B este
formată din primele m coloane ale matricei A.
Prima coloană (CVB) conţine coeficienţii din funcţia obiectiv ai variabilelor de
bază.
A doua coloană (VB) conţine variabilele de bază.
A treia coloană (VVB) conţine valorile variabilelor de bază, ultima linie fiind
valoarea funcţiei obiectiv pentru programul de bază corespunzător
bazei B, adică
B
z .
B
Coloanele următoare conţin vectorii y (având
grijă ca pentru variabilele de
B
bază
y =ej), iar ultima linie conţine diferenţ ele zj−cj=
c′ B yi−cj.
j
Observaţia 4.5. Pentru variabilele de bază, zj−cj= c′ B ej−cj=cj−cj=0.
Pentru calculul elementelor B
z j −cj şi
j
B
z ale primului tablou este util să
trecem coeficienţii cj din funcţia obiectiv în partea de sus a coloanelor respective.
Să presupunem că ak trebuie să intre în bază în locul lui al. Elementul ylk se
numeşte pivot şi îl evidenţiem încercuindu-l.
Pentru fiecare bază se alcătui eşte câte un tabel simplex (Tabelul 4.1).
Cum se calculează elementele noului tablou corespunzător noii baze ?
Elementele liniei k se împart la pivot
x
~
~
B l B
x k = ; ykj
=
ylk
y
y
lj
lk
(4.38)
Elementele celorlalte linii se calculează cu regula dreptunghiului cu diagonala
principală cea a pivotului.
x
~
B
i
= x − y
i
ik
x
y
l
lk
~
B
lj
( i ≠ l)
; y = y − y ( i ≠ l)
Modificarea funcţiei obiectiv se face după formulele de mai jos.
x
ij
~
l
B
( z − c ) ; z − c = ( z − c ) − ( z c )
~
B B
z = z − k k
j j j j k −
ylk
ij
ik
y
y
lk
k
y
y
lj
lk
(4.39)
(4.40)

64
Coeficienţii variabilelor de bază în
funcţia
obiectiv
Tabelul 4.1
Coeficie nţii funcţiei obie ctiv
Modele şi algoritmi de optimizare
c1 cl cm cm+1 ck
cn alegem min
CVB VB VVB x1
xl xm xm +1 xk
xn c1 x1 x 1 1 ... 0 ... 0 y1, m+1 ... y1, k ... y1,n M M M M M M M M M
cl xl x l 0 ... 1 ... 0 yl,m+1 ... yl,k ... yl,n M M M M
c x m
M M M M M
m x m 0 ... 0 ... 1 ym ,m+1 ... ym, k ... ym,n valoarea
funcţiei obiectiv
z 0 0 0 zm+1 −cm+1
xi
y
ik
alegem max
zj−c j>0
În noul tabel în loc de x l este trecut x k în coloana VB.
~
~
B
B
Deoarece xk este variabilă de bază, yk = ek
, z k − ck
= 0 , aşa cum rezultă
şi
din (4 .39) şi (4 .40) .
În problemele practice m, numărul liniilor matricei A, este mult mai
mic
decât n, numărul coloanelor, şi atunci efortul de calcul trebuie redus la coloanele
care sunt necesare în găsirea soluţiei optime.
În algoritmul simplex revizuit se fac calcule doar pentru elementele
tabloului
strict
necesare.
O variantă a algoritmului simplex revizuit se bazează pe reprezentarea
inversei
matricei de bază B ca un prod us de matrice elementare E (Luenberger, 1989),
obţinute din matricea unitate, care au elementele coloanei p date de
relaţiile:
yik
1
vi
= , i ≠ l şi v l = ,
y
y
l k
yl
k fiind pivotul.
Înmulţirea lui E la dreapta cu orice coloană a tabelului simplex este
echivalentă cu aplicarea regulii dreptunghiului. Dacă baza iniţială în algoritmul
simplex este cea canonică (B=In), atunci la iteraţia a p-a, inversa matricei B este
− 1
B = E p
E p−1...
E 2 E1
, unde Ep este o matrice elementară de forma dată mai jos
l k

4. Programare liniară 65
⎛ 1 0 L 0 1 0 L 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 L 0 2 L 0 ⎟
⎜L
L L L L L L⎟
⎟
⎜ 0 0 L 1 l −1
L L⎟
E = ⎜
⎟ .
⎜
0 0 L 0 v 0 L 0
⎟
⎜ 0 L 0 v l + 1 L 0 ⎟
⎜
⎟
⎜L
L L L L 0 L 0 ⎟
⎜
⎝ 0 L L v L 1 ⎟
⎠
v
1 v 0
L
⎜
v 0
l
0
1
0
m 0
Astfel, yk − coloana a k-a din noua bază B ~ − va fi calculată direct cu formula
yk=(Ep.Ep-1…E1ak)’ .
4.7. Exemplu
S-a observat că în fiecare lună, maşinile M1, M2, M3 , ce lucrează într-o
secţie a unei întreprinderi, nu sunt folosite 8 ore, 24 de ore şi respectiv 18 ore
(Văduva et al, I, 1974). Se ia hotărârea să se folosească şi acest timp, punându-le să
lucreze la fabricarea a 2 produse suplimentare, P1 şi P2 , ca produse anexe ale
secţiei, care aduc un profit la unitatea de produs fabricat de 4 şi respectiv 3 u. m.
Timpul necesar de lucru la fiecare maşină este, pe fiecare produs, dat de Tabelul
4.2.
Tabelul 4.2
Maşina
P1 P2
M1 2 1
M2 3 2
M3 1 3
Să se determine planul de producţie al secţiei pentru produsele P1 şi P2 care
să dea un profit maxim.
Rezolvare
a) Modelarea problemei. Fie x1, x2 cantităţile din produsele P1 şi P2 ce trebuie
fabricate. Formularea matematică a problemei este
⎧max
z = max{ 4x1
+ 3x2}
⎧max
z = 4x1
+ 3x2
⎪
⎪
3x1
+ 2x
≤ 24
⎪
2
⎪
2x1
+ x2
+ x3
= 8
⎨x1
+ 3x2
≤18
sau ⎨3x1
+ 2x
2 + x4
= 24
⎪x1,
x2
≥ 0
⎪x1
+ 3x2
+ x5
= 18
⎪
⎪
⎪⎩
2x1
+ x2
≤ 8
⎪⎩
xi
≥ 0,
i ∈1,
5
după adăugarea variabilele de compensare

66
Modele şi algoritmi de optimizare
b) Tabelul simplex şi calculele aferente
Calculele corespunzătoare primei iteraţii sunt pezentate în Tabelul 4.3.
Tabelul
4.3
4 3 0 0 0 alegem min
CVB VB VVB x1 x2 x3 x4 x5
x i
y
0 x 8 2 1 1 0 0
3
ik
8
= 4
2
24
0 x4 24 3 2 0 1 0 8
3 =
18
0 x5 18 1 3 0 0 1 = 18
1
valoarea
alegem min
funcţiei 0 –4 –3 0 0 0
obiectiv z zj−cj

4. Programare liniară 67
Tabelul 4.4
4 3 0 0 0 alegem min
CVB VB VVB x1 x2 x3 x4 x5
4 x1
0 x4
3 x2
valoarea
funcţiei
obiectiv z
6 1 0
5
46
0 0
5
28
0 1
5
21.6 0 0
3
0
5
2
− 1
5
1
− 0
5
9
0
5
x i
y
ik
1
− 8
5
1
− 24
5
2
5
2
5
28
5
alegem min
zj−cj
< 0
Vom rezolva această problemă utilizând pachetul de programe Management
Scientist. La lansarea programului se afişează pe ecran fereastra de prezentare apoi
după apăsarea
butonului Continue apare fereastra care permite selectarea modulului
pentru rezolvarea
problemelor de programare liniară ca în Figura 2.4.
Selectă m acest modul şi în fereastra care apare din submeniul File alegem
New. În fereastra Problem Features precizăm numărul de variabile, de restricţii şi
tipul problemei,
ca în Figura 4.1.
Figura 4.1
Dup ă
apăsarea butonului OK, apare fereastra în care se introduc coeficienţii
funcţiei obiectiv şi restricţiile problemei, ca în Figura 4.2.

68
Figura 4.2
Modele şi algoritmi de optimizare
După c e s−au introdus datele, pentru rezolvare se apasă butonul Solve şi apare
fereastra cu rezultate ca în Tabelul 4.5.
Objective
Function Value = 21.600
Variable Value Reduced Costs
-------------- --------------- ------------------
X1 1.200 0.000
X2 5.600 0.000
Constraint Slack/Surplus Dual Prices
-------------- --------------- ------------------
1 0.000 1.800
2 9.200 0.000
3 0.000 0.400
OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES
Variable Lower Limit Current Value Upper Limit
------------ --------------- --------------- ---------------
X1 No Lower Limit 4.000 No Upper Limit
X2 No Lower Limit 3.000 No Upper Limit
RIGHT HAND SIDE RANGES
Tabelul 4.5
Constraint Lower Limit Current Value Upp er Limit
------------ --------------- --------------- ---------------
1 No Lower Lim it 8. 000 No Upper Limi t
2 No Lower Limit 24.000 No Upper Limit
3 No Lower Limit 18.000 No Upper Limit
Rezultatele sunt cele obţinute şi în urma aplicării algoritmului simple x.
Informaţia din coloana Reduced Costs arată cu cât ar trebui să se modifice
coeficientul variabilei respective în funcţia obiectiv pentru ca varia bila să
fie
pozitivă în soluţia optimă (Anderson et al, 1998). Astfel, dacă
o variabilă este deja
pozitivă, atunci costul redus este zero.

4. Programare liniară 69
Informaţiile despre restricţii (Constraint) din Tabelul 4.5 se referă
la:
− Slack/Surplus – această coloană dă va lorile variabilelor auxili
are. Dacă restricţiile
sunt verificate cu inegalităţi stricte, atunci variabilele auxiliare sunt nenule, altfel
vor fi nule.
− Dual prices – conţine informaţii despre valorile marginale
ale resurselor. În
Management Scientist un preţ dual înseamnă « îmbunătăţirea
valorii optime a
funcţiei obiectiv cores punzătoare creşterii cu o unitate a termenului liber al
restricţiei » . Pentru restricţiile verificate cu egalitate aceste preţuri
vor fi nenule.
Pentru restricţiile cu inegalităţi stricte aceste preţuri
sunt nule, din cauza nefolosirii
integrale a resurselor disponibile.
Secţiunea Objective Coefficient Rang es (intervalele coeficienţilor în
funcţia
obiectiv) dă intervalul în care pot varia coeficienţii funcţiei obiectiv astfel încât
s oluţia să rămână optimă.
Ultima secţiune Right
Hand Side Ranges (intervalele termenilor liberi) conţine
intervalele în care ar trebu i să se menţină termenii liberi pentru ca preţul dual
asociat restricţiei să rămână nemodificat.
Observaţia 4.6. Analiza sensibilităţii
prezentată
mai sus se bazează pe faptul că
un
singur terme n liber variază la un moment dat, ceilalţi rămânând la valorile
iniţiale.
Aceeaşi problemă p oate fi rezolvată şi
utilizând Solver-ul din Excel. Mai întâi
se creează foaia electronică de calcul cu datele de intrare, ca în Figura 4.3.
Celulele D13−D14 sunt considerate necunoscutele
x1 – x2 , celulele H7−H9
conţin restricţiile problemei H7= B7*D13+C7*D14, H8= B8*D13+C8*D14,
H9=
B9*D13+C9*D14, iar celula D3 = B10*D13+C10*D14, funcţia de optimizat.
Figura 4.3

70
Modele şi algoritmi de optimizare
Pentru rezolvarea acestei probleme folosind Solver-ul trebuie urmăriţi paşii:
1. Se selectează celula conţinând formula cu funcţia de optimizat (D3).
2. Se selectează din meniul bară principal Tools (Instrumente) şi, de aici,
Solver (Rezolvitor). Apare caseta de dialog Solver Parameters
(Parametrii Rezolvitor), care are în caseta de text Set Target Cell
(Setare Celulă ţintă) celula de optimizat (D3).
Se selectează tipul de optim max sau min; pentru acest caz, max.
3. În caseta de text By Changing Cells (Prin modificarea celulelor) se
selectează celulele care reprezintă variabilele problemei (D13−D14).
4. În caseta de text Subject to the constraints (Se supune restricţiilor) se
impune condiţia de nenegativitate asupra variabilelor x1 – x2 şi
celelate restricţii ale modelului, astfel (Figura 4.4):
Figura 4.4
5. Se apăsă butonul Add (Adăugare) şi apare caseta de dialog Add
Constraint (Adăugare restricţie), Figura 4.5. Se selectează celule
D13−D14 în Cell Reference, apoi se alege simbolul ≥ , iar în caseta
Constraint (Restricţii) celulele F7−F8. Se apasă butonul
OK.
Figura 4.5
6. Adăugarea celorlalte restricţii se face apăsând butonul Add, iar în
caseta Add Constraint se trec celulele în care s-au înscris formulele cu
restricţiile (H7−H9). Se alege semnul ≤ şi se selectează în caseta
Constraint celulele cu termenii liberi (D7−D9). Când s-au introdus
toate restricţiile se selectează butonul OK.
7. Se apasă butonul Solve (Rezolvare) şi apare caseta de dialog Solver
Results (Rezultate rezolvitor), iar în Reports (Rapoarte) se pot alege

4. Programare liniară 71
formele de prezentare a rezultatelor. Se apasă butonul OK după
precizarea tipurilor de rapoarte.
Se creează Answer Report (Raport răspuns), Sensitivity Report (Raport
sensibilitate), Limits Report (Raport limite) ca în Tabelele 4.6, 4.7 şi
respectiv 4.8.
Tabelul 4.6
Microsoft Excel 10.0 Answer Report
Worksheet: [Programare liniara.xls]Sheet1
Report Created: 7/23/2002 7:38:01 AM
Target Cell (Max)
Original
Cell Name
Functia de
Value Final Value
$D$3 optimizat 0 21.6
AdjusTable Cells
Original
Cell Name Value Final Value
$B$13 x1 Produsul P1 0 1.2
$B$14 x2 Produsul P1 0
Constraints
5.6
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$G$13 2x1+x2

72
Constraints
Modele şi algoritmi de optimizare
Final S hadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$G$13 2x1+x2

4. Programare liniară 73
Pentru o problemă nedegenerată, convergenţa algoritmului simplex, mai precis
faptul că el conduce la o soluţie într-un număr finit de iteraţii, este asigurată.
Pentru o problemă degenerată, adică având cel puţin un program degenerat,
este posibilă, în principiu, ciclarea.
Observaţia 4.7. Degenerarea nu implică în mod necesar ciclarea: cu toate că
foarte multe probleme practice sunt degenerate, exemplele de ciclare se
construiesc cu destulă dificultate (exemplul dat de
Beale în Hadley G. 1962 Linear
Progr amming, Addison−Wesley,
Reading, Mass.).
Degenerarea apare, în afara cazului în care vectorul b are componente nule,
atunci când criteriul de ieşire al algoritmului simplex, mai precis minimul
(4.37),
nu defineşte în mod unic variabila care iese din bază. Presupunem c ă acest minim
se atinge pentru doi indici, l şi h, adică
x l xh
= ,
ylk
yhk
şi presupunem că alegem variabila xl
să părăsească baza. Atunci
~
B yhk
x h = xh
− xl
= 0 ,
ylk
şi deci noul program de bază va fi degenerat.
Dacă programul iniţial nu va fi degenerat, degenerarea poate apărea numai în
acest caz.
Pentru demonstrarea valabilităţii generale a algoritmului simplex este totuşi
necesară o regulă care să facă posibilă înlăturarea ciclării.
Regula lui Bland de înlăturare a ciclării (Luenberger, 1989):
a) se selectează coloana q min q z − c > 0 , adică, cel mai mic indice
{ }
= q q
de
coloană favorabilă pentru a intra în noua bază,
b) pentru ieşirea din bază se ia coloana candidată cu indicele cel mai mic.
Vom demonstra prin reducere la absurd că regula lui Bland înlătură ciclarea.
Presupunem că, deşi aplicăm regula, apare ciclarea. În timpul ciclului un număr
finit de coloane intră şi ies din bază. Fiecare dintre aceste coloane intră la nivelul 0
şi funcţia obiectiv nu-şi schimbă valoarea. Ştergem coloanele şi liniile care nu
conţin pivotul în timpul unui ciclu, obţinând o nouă problemă de programare
liniară redusă care, de asemenea ciclează. Presupunem că această nouă problemă
are m linii şi n coloane şi că suntem în situaţia ca să înlocuim coloana n cu
coloana p. Fără a restrânge generalitatea, presupunem că baza curentă este situată
pe ultimele m coloane. Putem considera problema de programare liniară redusă
ca având matricea coeficienţilor restricţiilor A , iar vectorul coeficienţilor funcţiei
obiectiv c. Notăm pivotul cu amp >0. Din partea b) a regulii lui Bland, an poate
părăsi baza numai dacă nu există egalitatea în testul raportului din criteriul de ieşire

74
Modele şi algoritmi de optimizare
din bază şi atunci b=0, deoarece toate coloanele sunt în ciclu, iar aip≤0 , ( ∀ ) i ≠ n .
Să considerăm cazul când an este în situaţia de a intra în bază. Partea a) a regulii
lui Bland ne asigură că r n = z n − cn
> 0 şi r i = zi
− ci
≤ 0 pentru ( ∀ ) i ≠ n .
Aplicăm formula
B
r
⎛ ′ −1 i = ( ) ⎞
⎜ c B S ⎟
⎝ ⎠ i
− ci
′ −1
ultimelor m coloane ca să arătăm că fiecare componentă = ( c ) B ≤ 0
B
λ cu
excepţia lui λ > 0 . Atunci λ ′ a − c > c > 0 .
Contradicţie cu faptul că
m
r ≤ 0 .
p
rp = p p p
Îndepărtarea situaţiei de ciclare se poate face şi cu metoda perturbării a lui A.
Charnes,
sau cu cea lexicografică a lui Dantzig şi Wolfe .
Observaţia 4.8. O regulă practică de evitare a ciclării este următoarea: se divid
liniile
corespunzătoare variabilelor nule din Tabelul simplex prin pivoţii
posibili,
mergând de la stânga spre dreapta; în momentul când unul dintre rapoarte este
mai mic decât celelalte, precizăm variabila care iese din bază ca fiind cea care
corespunde raportului minim (Zidăroiu, 1983).
4.9. Interpretarea geometrică
a algoritmului simplex
Rezolvarea problemelor simple de programare liniară (n=2 sau n=3) se poate
face
şi geometric. Pentru exemplificare considerăm următoarea problemă (Mihăilă,
Popescu, 1978).
Realizarea a două produse P1 şi P2 se face folosind patru materii prime M1, M2,
M3, M4 . Disponibilul de materii prime, consumul specific şi profitul unitar pentru
fiecare tip de produs sunt date de tabelul 4.9.
Produsul
Tabelul 4.9
Materia
primă P1 P2
Consum specific Disponibil
M1 2 2 12
M2 1 2 8
M3 4 0 16
M4 0 4 12
Profit unitar 2 3
Să se determine cantităţile x şi y care trebuie realizate din produsele P1 ,
respectiv, P2 , pentru ca profitul total să fie maxim.

4. Programare liniară 75
Rezolvare
Funcţia de optimizat (obiectiv) este f(x,y ) = 2x + 3y . Restricţiile problemei,
aşa cum rezultă din Tabelul 4.8, sunt:
⎧2x + 2y ≤12
⎪
⎪
x + 2y
≤ 8
⎨4x
+ 0y
≤16
⎪0x
+ 4y
≤12
⎪
⎪⎩ x ≥ 0 , y ≥ 0
Se cere să se determine necunoscutele x 0 , y 0 , astfel încât
să se verifice
restricţiile, iar f(x0 , y0) să ia valoarea maximă. Considerăm restricţiile cu egalităţi
şi reprezentăm
grafic dreptele ale căror ecuaţii rezultă (Figura 4.6).
x
x+ y=6 ⇒ y=6−x (d1) , x+2y=8 ⇒ y=4− (d2) , 4x=16 ⇒ x=4 (d3) , 4y=12 ⇒
2
y=3 (d4) , x≥0 , y≥0 .
d 1
Reprezentarea grafică a
restricţiilor conduce la
poligonul OABCD, ale căru i
puncte constituie soluţii ale
problemei de programare
liniară (mulţimea R a
punctelor admmisibile).
Din
acest motiv se numeşte
poligonul soluţiilor. Rezultă
că realizarea practică a
producţiei celor două produse
din cele patru materii prime
se poate face într-o infinitate
de moduri. Să alegem dintre
aceste soluţii pe cele care dau
valoarea maxi mă pentru
funcţia obiectiv. Punem funcţia
obiectiv sub forma
f 2
(d) y x
3 3
−
4
f max
D
2
C
g
d4
B
d 3
O
0
2
A
4 6
Figura 4.6
= ,
care
reprezintă un fascicul de drepte, considerând f ca parametru ( (g) o dreaptă
din fascicul). Funcţia f va avea maximul o dată cu ordonata la origine a dreptei (d).
Astfel,
trebuie găsită acea dreaptă din fasciculul (d) care are ordonata la origine
cea mai mare şi care trece printr-un punct din poligonul soluţiilor. Se observă
că
acea
dreaptă trebuie să treacă prin punctul B, un vârf al poligonului soluţiilor.

76
Modele şi algoritmi de optimizare
⎧ x ⎫
x
{ B} = ⎨y
= 4 − ⎬ I { y = 6 − x}
⇒ 4 − = 6 − x ⇒ x = 4 , y = 2
⎩ 2⎭
2
Valoarea funcţiei obiectiv este f(4, 2)=14 . În Tabelul 4.10 se prezintă starea
sistemului de restricţii şi gradul de utilizare a resurselor pentru soluţia optimă.
Materia
Tabelul 4.10
Cantitatea folosită pentru Cantitatea Gradul de
primă programul optim disponibilă folosinţă
M1 2⋅4+2⋅2=12 12 100%
M2 1⋅4+2⋅2=8 8 100%
M3 4⋅4+0⋅2=16 16 100%
M4 0⋅4+4⋅2=8 12 66.67%
Problema are soluţie unică, deoarece dreapta (d) nu este paralelă cu nici o latură a
poligonului soluţiilor. Dacă, de exemplu, se modifică profitul unitar pentru
produsul P2 , devenind 4, atunci dreapta (d) devine
f x
(d’) y = − ,
4 2
fiind paralelă cu dreapta corespunzătoare celei de-a doua restricţii (latura BC a
poligonului soluţiilor). În acest caz, to ate punct ele segmentului BC sunt soluţii
optime ale problemei date. Avem de-a face cu o problemă cu o infinitate de soluţii
optime. Se pot introduce alte criterii suplimentare pentru a putea selecta o soluţie.
Metoda geometrică s-ar mai putea aplica şi în cazul a trei necunoscute, în locul
poligonului soluţiilor obţinându-se poliedrul soluţiilor. Pentru n > 3 nu mai pot fi
reprezentate grafic hiperpoliedrele soluţiilor şi deci metoda devine impracticabilă.
4.10. Interpretarea economică a algoritmului simplex
Revenim la problema "utilizarea
optimă a resurselor" şi presupunem că
restricţiile
sunt sub formă de egalităţi, Ax=b (Dragomirescu şi Maliţa, 1968).
Observăm că cele n activităţi de producţie se asociază câte m, în grupe de
activităţi de bază, corespunzătoare
programelor de bază. Deoarece programul optim
este un program de bază, rezultă concluzia interesantă că într-o organizare optimă a
producţiei nu se vor desfăşura toate cele n activităţi posibile (deci, nu se vor
produce toate cele n sortimente), ci cel mult m (cazul programului
nedegenerat).
Această concluzie este dedusă din considerente pur matematice
şi în afara oricăror
considerente economice.
Presupunem că activitatea k nu face parte din grupul activităţilor de bază
corespunzătoare unei baze B (adică xk nu este variabilă de bază, xk=0, adică în
această variantă sortimentul nu se produce). Dacă dorim să mărim nivelul acestei

4. Programare liniară 77
activităţi, adică să producem sortimentul k în cantitatea xk > 0, producţiile
celorlalte sortimente de bază
se vor modifica în conformitate cu (4.39); unele vor
trebui
reduse şi, cum nu pot fi reduse decât cel mult până la 0, rezultă că xk poate
creşte cel mult până la valoarea
dată de (4.37), pentru care activitatea de bază l
atinge nivelul
0. Aceasta este interpretarea criteriului de ieşire.
Creşterea lui xk cu o unitate implică
variaţii de −yik ale celorlalte activităţi şi
deci şi o variaţie a funcţiei obiectiv
∑
( )
∆z = ck
+ ci
− yik
i∈B
k
− z ,
adică o creştere a lui xk cu o unitate aduce, în acelaşi timp, un profit suplimentar
ck−z k. Dacă z−c k k < 0 (pentru problema de maximizare a beneficiilor), atunci
∆ z>0 şi, deci, introducerea activităţii k în bază, adică
producerea sortimentului
k, aduce o îmbunătăţire a funcţiei obiectiv, ceea ce revine la o sporire a profitului
total. Regăsim astfel criteriul de intrare în bază al algoritmului simplex.
Aplicarea algoritmului simplex constă astfel într-o explorare sistematică a
diverselor variante de m activităţi de bază; la fiecare
iteraţie se înlocuieşte o
activitate l printr-o activitate k, obţinându-se o creştere a profitului total, până
când, pentru toate activităţile care nu sunt în bază, avem zk−ck ≥ 0, şi deci nici o
creştere a profitului nu mai este posibilă.
= c
4.11. Metoda celor două faze
Metoda celor două faze permite obţinerea unui program de bază de plecare în
rezolvarea problemei de programare iniţială sub forma standard, adică (Zidăroiu,
1983) :
⎧min
c′
x
⎪
⎨Ax
= b
(4.41)
⎪
⎩x
≥ 0
Se poate presupune că bi ≥ 0, 1≤ i ≤ m ; dacă nu, se înmulţeşte linia
a
respectivă cu −1. Se adăugă la fiecare ecuaţie câte o variabilă artificială xi
şi se
obţine:
a ⎧Ax
+ Ix = b
⎪
⎨x
≥ 0
(4.42)
⎪ a
x ≥ 0
⎩
Problema (4.41) are programe dacă (4.42) are programe (x, x a ), cu x a = 0.
Dacă se obţine un astfel de program de bază cu x a = 0, atunci x corespunzător
este un program de bază pentru (4.41).
k

78
Modele şi algoritmi de optimizare
În faza I pentru a obţine un program de bază al sistemului (4.41) se rezolvă
problema de programare liniară
a ⎧min∑
i = W
⎪
a
⎪Ax
+ Ix = b
⎨
(4.43)
⎪xi
≥ 1 ≤ i ≤ n
⎪ a
⎩
x j ≥ 0,
1 ≤ j ≤ m
folo d algo it imp obişnuit.
Se observă c a (4.43) dispunem de programul de bază iniţial
x=0, x a x
0,
sin r mul s lex
ă pentru problem
= b ( ≥ 0 ), corespunzător bazei I din matricea acestui sistem [A,I].
a
a
Deoarece x ≥ 0 ⇒ ∑ x ≥ 0 , şi deci min W ≥ 0. Sunt posibile 2 cazuri:
i
i
(i) dacă min W > 0, atunci problema (4.41) nu are program de bază (dacă ar avea,
atunci (4.43) ar avea programe cu x a = 0 şi deci min W = 0)
a
(ii) dacă min
W = 0, am obţinut un program cu x i = 0, 1 ≤ i ≤ m, deci
un
program de
b ază al problemei (4.43), şi
se trece la faza a II-a pentru rezolvarea
problemei (4.41) (după eliminarea liniilor redundante). Matricea A este acum
transformată aşa cum a ieşit din faza I.
⎧min
c′
x
⎪
⎨Ax
= b . Faza a II−a
⎪
⎩x
≥ 0
a
Observaţia 4.9. Faza I con stă din eliminarea din bază a variabilelor artificiale xi
şi înlocuirea lor cu variabilele xj. Când toate variabilele au fost eliminate din
bază, adică la sfârşitul fazei I, coloanele acestora sunt şterse din tabelul simplex
şi se începe faza a II-a, pornind de la acest tabel simplex, în care calculăm doar
elementele liniei zj−cj corespunzătoare funcţiei obiectiv din faza a II−a.
În cele prezentate până acum am presupus că rang A = m. Introducerea
variabilelor artificiale face ca rangul matricei [A, I] să fie sigur m.
Dacă rang A < m sau dacă problema este degenerată, atunci când se ajunge la
mi x = 0, este posibil să mai rămână în bază câteva variabile artificiale,
n∑ a
i
desigur cu valoarea 0. Faza I se consideră încheiată
atunci când toate variabilele
x au fost eliminate, şi anume:
a
i
a
(i) dacă rang
A = m (dar problema este degenerată), variabilele x i = 0 pot
fi
întotdeauna înlocuite cu variabilele xj care in tră în bază tot
cu valoarea 0, fără
să producă vreo modificare în funcţia obiectiv.
a
(ii) dacă rangA < m, nu este posibilă eliminarea tuturor variabilelor x
(câteva
rămân în bază cu valoarea 0). În acest caz, liniile corespunzătoare ale matricei
i

4. Programare liniară 79
A sunt combinaţii ale celorlalte, adică restricţiile corespunzătoare a'i x = bi
sunt consecinţe ale celorlalte şi s e pot elimina.
Această discuţie arată că nu este necesar s ă se impună rang A = m.
Dacă în problema (4.42) cu b ≥ 0 există xj care apare într-o singură ecuaţie şi
cu coeficient pozitiv, adică matricea
A conţine un vector unitate, atunci în ecuaţia
respectivă nu este necesară introducerea unei variabile auxiliare, variabila xj putând
fi luată în baza iniţială. Desigur că dacă există k astfel de variabile, vom introduce
doar n−k variabile artificiale, ceea ce scurtează faza I.
Uneori este necesară cunoaşterea inversei bazei curente a problemei de
programare. În acest caz, la sfârşitul fazei I nu mai înlăturăm din tabel
coloanele
corespunzătoare variabilelor
a rtificiale. În fie care tabel
al fazei a II−a, în aceste
ăseşte m tricea
coloane se g a B −1 I = B −1 , adică inversa bazei curente B.
Exemplu. O balastieră are 3 linii de sortare S1, S2, S3,
pentru 2 tipuri de agregate
A1, A2 şi trebuie să sorteze 300 tone din primul tip şi 372 tone din al doilea tip.
Profitul încasat de pe urma sortării materialelor diferă de la o linie la alta precum
diferă şi cantităţile ce pot fi sortate conform cu Tabelul 4.11.
Linie Tabelul 4.11
Agregat
A1 A2 Profit
de sortare
S1 2 1 5 u.
m.
S2 3 2 4 u.
m.
S3 1 2 6 u.
m.
Cantitatea ce 300 372
trebuie sortată tone tone
Să se determine repartiţia optimă pe liniile de sortare a agregatului astfel încât
profitul obţinut să fie maxim.
Rezolvare
a) Modelarea problemei
Fie x1, x2 , x3 cantităţile sortate pe liniile S 1 , S 2 , S 3 respectiv. Atunci funcţia
de optimizat este f = 5x1+4x2+6x3 .

80
Modele şi algoritmi de optimizare
Trebuie determinat maximul acestei funcţii cu restricţiile
⎧2x1
+ 3x2
+ x3
= 300
⎪
⎨x1
+ 2x
2 + 2x3
= 372 .
⎪
⎩x1
, x2
, x3
≥ 0
⎛2
Deoarece matricea A = ⎜
⎝1
aplică metoda celor două faze.
3
2
1⎞
⎟ a restricţiilor nu are o bază evidenţiată, se
2⎠
b) Metoda
celor două faze
i) Faza I
Se aplică algoritmul simplex problemei
a
x + x
a
min { }
a
⎧ 2x1 + 3x2
+ x3
+ x1
= 300
⎪
a
⎨ x 1 + 2x 2 + 2x3
+ x2
= 372
⎪
a a
⎩
x1,
x2
, x3
, x1
, x2
≥ 0
Calculele fazei I sunt trecute
în Tabelul 4.12 .
La prima iteraţie a ieşit din bază
1
din ⎜ =
a
⎛3 1⎞
bază x2 şi a intrat x3. Baza obţinută B ⎟ are inversa în tabelul final
⎝2
2⎠
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
al fazei I sub variabilele artificiale,
⎟
⎟
1 1
-1
B = ⎜ 2 4 .
⎜ 1 3
⎜−
⎝ 2 4 ⎠
ii) Faza a II-a
Se aplică algoritmul simplex problem ei
max {5x 1+4x 2+6x 3 }
⎪
⎨−
⎪
⎪
⎪⎩
1
⎧ 3
⎪ x1
+ x2
= 57
4
x1
+ x3
= 129
4
x1,
x2
, x3
≥ 0
Calculele fazei a II−a sunt trecute în Tabelul 4.13.
2
a
x 1 şi a intrat x 2 , iar la iteraţia a doua a ieşit
c) Culegerea şi interpretarea rezultatelor
Algoritmul se opreşte cu optim finit, anume, profitul maxim este 1268,
obţinut pentru x1=76 , x2=0 , x3=148 , care constituie o soluţie de bază
nedegenerată.

4. Programare liniară 81
Tabelul
4.12
CVB VB VVB x1 x2 x3
1
a
x1 a
1 x2 valoarea
funcţiei
obiectiv
z
0 x2 100
1
a
x2 valoarea
funcţiei
obiectiv
z
0 0 0 1 1 alegem min
a
x1 a
x2 300 2 3
1 1 0
x
i
y
ik
300
= 100
3
372
372 1 2 2 0 1 = 186
2
672 3 5 3 0 0
172
172
0 x2 57
0 x3 129
valoarea
funcţiei
obiectiv z
2
1
3
1
3
4
1
− 0 3
3
1
− 0
3
4
3
3
1 0
4
1
− 0 1
4
1
0
3
2
− 1
3
5
− 0
3
1
2
1
−
2
0 0 0 0 −1 −1
alegem max
zj−cj>0
100
= 300
1
3
172
= 129
4
3
alegem max
zj−cj>0
1
− 8
4
3
4
24
alegem max
zj−cj>0

82
Modele şi algoritmi de optimizare
Tabelul 4.13
5 4 6 alegem min
CVB VB VVB x1 x2 x3
x
i
y
ik
4 x2 57
6 x3 129
valoarea
funcţiei
obiectiv z
7
−
1002 2
5 x1 76 1
6 x3 148 0
Valoarea
funcţiei
obiectiv z
1268 0
3 228
1 0 = 76
4
3
1
− 0 1
4
0 0
4
0
3
1
1
3
14
3
0
alegem min
zj−cj

4. Programare liniară 83
( )
1 2 3
⎧ max b1u
+ b2u
+ b3u
⎪ t 1 t 2 t 3
⎪A11u
+ A21u
+ A31u
≤ c1
⎪ t 1 t 2 t 3
⎨A12u
+ A22u
+ A32u
= c2
(4.44)
⎪ t 1 t 2 t 3
⎪
A13u
+ A23u
+ A33u
≤ c3
1
2
3
⎩⎪
u ≥ 0,
u − arbitrar,
u ≤ 0
Duala dualei este chiar problema iniţială. De aceea, (4.20) şi (4.44) formează
un cuplu de probleme duale.
Din examinarea cuplului de probleme duale rezultă că una dintre probleme se
obţine în următorul mod:
a) termenii liberi din problema primală devin coeficienţi ai funcţiei obiectiv în
problema duală,
b) coeficienţii funcţiei obiectiv din problema primală devin termeni liberi în
problema duală,
c) o problemă de maximizare
(minimizare) se transformă într-o problemă de
minimizare (maximizare),
d) matricea coeficienţilor sistemului de restricţii pentru problema duală este
transpusa matricei coeficienţilor sistemului de restricţii ale problemei primale,
e)
variabilele duale (primale) asociate unor restricţii primale (duale) concordante
sunt supuse condiţiei de nenegativitate,
f) variabilele duale (primale) asociate unor restricţii
primale (duale), care sunt
ecuaţii, nu sunt supuse nici unei condiţii privind
semnul.
Din definiţia dată rezultă că:
− duala unei probleme de programare sub forma standard
⎧ minc′
x
⎪
⎨Ax
= b
(4.45)
⎪
⎩x
≥ 0
este problema de programare liniară
⎧ maxb′ u
⎪
⎨A
u ≤ c
⎪
⎩u
− arbitrar
t
(4.46)
− duala unei probleme de programare
sub forma canonică
⎧ max c′x
⎪
⎨Ax ≤ b
(4.47)
⎪
⎩ ≥ 0 x

84
Modele şi algoritmi de optimizare
este următoarea problemă de programare liniară, care are tot forma canonică:
⎧max
b′
u
⎪ t
⎨A
u ≤ c .
⎪
⎩u
≥ 0
(4.48)
Problemele (4.47) şi (4.48) formează un cuplu de probleme duale simetrice, în
timp ce problemele (4.45) şi (4.4 6) formează un cuplu de probleme duale
asimetrice.
− duala unei probleme mixte
⎧min
c′x
⎪A1
x ≥ b1
⎨
⎪A2
x = b2
⎪⎩
x ≥ 0
(4.49)
e ste problema
1 2
⎧max( b′
1u
+ b′
2u
)
⎪ t 1 t 2
⎨A1
u + A2u
≤ c
⎪ 1
2
⎩
u ≥ 0,
u − arbitrar
− duala problemei de transport (4.8)-(4.11) este problema
(4.50)
⎧ ⎛ m
n ⎞
⎪max⎜
⎟
⎜∑
aiu
i +∑ b jv
j ⎟
,
i=
j=
1
⎪ ⎝ 1
⎠
⎨u
i + v j ≤ cij
, 1≤
i ≤ m ; 1≤
j ≤ n ,
⎪ui
, v j oarecare .
⎪
⎪⎩
(4.51)
În continuare sunt prezenate teoremele
care stabilesc conexiunile fundamentale
între cele două probleme duale.
4.13. Teorema fundamentală
a dualităţii
Fie problema primală sub forma standard
(4.45) şi duala sa (4.46).
Definiţia 4.1. O bază B din matricea A se numeşte primal
admisibilă pentru
problema
(4.45) dacă verifică relaţia
−1 B b ≥ 0
(4.52)
O bază B din matricea A se numeşte
dual admisibilă pentru problema (4.45)
dacă verifică
relaţia
−1
c′
B A − c′
≤ 0
(4.53)

4. Programare liniară 85
Nu vom presupu ne că A are rangul maxim. Lema următoare stabileşte o
relaţie importantă între cele două
probleme.
Lema slabă a dualităţii. Dacă x şi u sunt soluţii
admisibile pentru problemele
(4.45) şi respectiv (4.46), atunci x’c ≥ b’u (Luenberger,
1989).
Demonstraţie. Deoarece
t t
b’u =(Ax)’u =xA u , dar A u≤ c’ şi x≥0 ,
atunci rezultă că
b’u ≤ x’c.
Această lemă arată că o soluţie admisibilă a oricăreia dintre cele două probleme
este o limită pentru valoarea funcţiei obiectiv a celeilalte probleme.
Corolarul 4.1. Dacă x0 şi u0 sunt soluţii admisibile pentru problemele (4.45) şi
respectiv (4.46) şi da că c’x0 = u ’0 b , atunci x0 şi u0 sunt soluţii
optime pentru
problemele respective.
Corolarul 4.1 arată că dacă poate fi găsită o pereche de soluţii admisibile care
să producă aceeaşi valoare pentru funcţiile
obiectiv ale problemelor (4.45) şi
(4.46), atunci acestea sunt amândouă optime.
Vom enunţa şi demonstra Teorema fundamentală a dualităţii, care afirmă că şi
reciproca Corolarului 4.1 este adevărată (Luenberger, 1989). Pentru aceasta avem
nevoie de următorul rezultat (demonstrat
în Fletcher, II, 1981).
Lema de separare. Există un hiperplan care separă un con convex închis C de un
vector nenul v ∉C
.
Teorema fundamentală a dualităţ că una dintre problemele (4.45) sau (4.46)
are o soluţie optimă finită, atunci ă are soluţie optimă finită şi valorile
corespunzătoare ale funcţiilor obiectiv sunt egale. Dacă una dintre cele două
probleme are optim infinit, atunci cealaltă problemă nu are nici o soluţie admisibilă.
Demonstraţie. A doua afirmaţie este o consecinţă a le i slabe a dualităţii. Dacă
problema primală are optim infinit şi u este o solu admisibilă a problemei
duale, atunci în mod necesar u’ b≤ −M pentru un M suficient de mare, ceea ce
deşi cel ză un cuplu de probleme
aţie este suficient să presupunem că
oluţie
rile celor două
oblema (4.46) are o s imă z * ii. Da
şi cealalt
me
ţie
este imposibil.
Observăm că, e două probleme nu formea
duale simetrice, pentru a demonstra prima afirm
problema primală
are o soluţie optimă finită şi apoi să arătăm că problema duală
are o s cu aceeaşi valoare pentru funcţia obiectiv. Acest lucru este posibil
deoarece ambele probleme pot fi rescrise în formă standard şi rolu
probleme se pot inversa.
Să presupunem că pr oluţie opt finită. Considerăm
următoarea mulţime convexă în spaţiul R m+1 :
*
{ ( r,
) r = tz − c' x,
w = tb
− x,
x ≥ 0,
≥ 0}
C = w A t .

86
Modele şi algoritmi de optimizare
Se poate arăta că C este un con convex închis. Vom arăta că vectorul (1, 0,
…, 0) nu este în C.
x0
Dacă w= t0b−Ax0
= 0 , unde t0>0 şi x0 ≥ 0 , atun ci x = este o soluţie
t0
admisibilă pentru problema (4.46) şi deci
r *
= z − c' x ≤ 0 ,
t0
ceea ce implică r≤0 (nu poate astfel să ia valoarea 1).
Dacă w= −Ax
0 0
atunci x+α x0 este o soluţie admisibilă
eza existenţei unui
, 0) nu aparţine lui
C.
Cum C este o mulţime convexă închisă, există un hiperplan care separă
un vecto , u)∈R m+1
0 = 0 (t=0), unde x ≥ 0 şi c’x = −1 şi dacă x este o soluţie
admisibilă oarecare a problemei (4.46),
pentru problema (4.45) pentru orice α ≥ 0 şi dă valori din ce în ce mai mici pentru
funcţia obiectiv, pe măsură ce α creşte. Aceasta contrazice ipot
optim finit şi rezultă că un astfel de x0 nu există. Deci (1, 0,…
vectorul (1,0,…,0) de C. Aşadar, există r nenul (s şi o
constantă c astfel încât :
s < c = inf sr + u' w ( r,
w)
∈C
.
{ }
ă ar exista
valori
α. Pe d e (0,0)∈C, trebuie ca să avem c≤0. Aşadar, c=0. Prin
urmare s

4. Programare liniară 87
−1
u′ b = c′
B B b = c′
B x
şi astfel valoarea funcţiei obiectiv a problemei duale este pentru acest u egală cu
valoarea funcţiei obiectiv a problemei primale. Atunci, din Corolarul 4.1 rezultă
că
u este
soluţia optimă a problemei duale. Am demonstrat următoarea teoremă.
Teorema 4.6. Dacă problema de programare standard are soluţie de bază optimă
−1
corespunzătoare bazei B, atunci u′ = c′
B B este soluţie optimă a problemei
duale asociate. Valorile optime ale funcţiilor obiectiv corespunzătoare celor două
probleme
asociate sunt egale.
Teorema ecarturilor complementare pentru cuplu de probleme duale asimetrice.
O condiţie necesară şi suficientă ca programele x * şi u * să fie optime pentru
problemele duale (4.45) şi (4.46) este ca pentru orice i să avem:
x > 0 ⇒ u′
a = c
a) i
i i
b) ′ ai
< ci
⇒ xi
= 0
u .
Demonstraţie. Dacă au loc relaţiile a) şi b) atunci (u’A−c’)x=0, adică u’b=c’x ,
şi, din Corolarul 4.1, rezultă că x şi u sunt soluţii optime pentru perechea de
probleme (4.45) şi (4.46). Invers, dacă x şi u sunt soluţii optime pentru perechea
de probleme (4.45) şi (4.46), atunci din Teorema fundamentală a dualităţii rezultă
că u’b= c’x şi astfel (u’A−c’)x=0. Deoarece fiecare componentă a lui x este
nenegativă şi fiecare componentă a lui u’A−c’ este nepozitivă,
rezultă condiţiile
a) şi b) din teoremă.
Teorema ecarturilor complementare pentru cuplu de probleme duale simetrice. O
condiţie necesară şi suficientă ca programele x * şi u * să fie optime pentru un cuplu
de probleme duale simetrice este ca pentru orice i şi j să avem:
x > 0 ⇒ u′
a = c
a) i
i i
b) u ′ ai
< ci
⇒ xi
= 0
c) u j
j
> 0 ⇒ a x = b j
j
d) a x b ⇒ u = 0 ,
> j j
unde a A
onstraţia este simil
j reprezintă linia j din matricea .
Dem ară demonstraţiei teoremei precedente.
Să notăm cu
{ ∈ < 0 } x
B
i B
B =
, B fiind o bază dual admisibilă. Dacă
− i
B−≠φ atunci baza B este şi primal admisibilă şi
problemei primale (Zidăroiu, 1983).
x
B
= B
−1
b
este program optim
al
Teorema 4.7. Fie B o bază dual admisibilă pentru problema (4.45) şi B−≠φ. Dacă
∃ i ∈B astfel încât y ≥ ∀ j ∈ atunci problema (4.45) nu are programe.
B
0
,
( −
) ( ) S
ij

88
Modele şi algoritmi de optimizare
Demonstraţie. Fie programul dual asociat cu baza B− , linia de
rang i din matricea B −1 u′ B
−1
i′
= c′
B B
a
şi fie u( δ ) = uB − δ ⋅ αi
, unde δ ≥ 0 . Atunci
u ( δ ) ′ a = u′
a − δ ⋅ α′
a
B
B
= z − δ ⋅ y
B
≤ z ≤ c pentru 1 ≤ j ≤ n . Aşadar,
j
B
t
A u ≤ c . Însă
j
i
j
j
u ) ′ ′ ′ δ
ij
j
j
B
B
( δ b = uBb
− δ ⋅ αib
= z − ⋅ xi
şi atunci lim u ( δ ) ⋅ b = +∞
δ →∞
adică problema duală are optim infinit şi din Teorema fundamentală a dualităţii,
rezultă că şi problema primală are optim infinit.
Lema substituţiei. Fie A o matrice pătratică nesingulară A∈M
(R ) şi B o
matrice obţinută din A prin înlocuirea coloanei a
Atunc
şi
a) condiţia necesară şi suficientă ca să existe B este ca
r n
cu vectorul nenul b ∈R
−1
c = A b . i:
-1
c ≠ 0 ;
− 1
−1
b) Dacă c r ≠ 0 , atunci B = E r ( η)
A , unde E r (η)
se obţine din
matricea unitate de ordinul n prin înlocuirea coloanei r cu vectorul
′ r
( ) ′
− c c , 1,
−c
,..., −c
η =
.
c
−1
1,...,
− r−1
r+
1 r
Demonstraţie. Din forma lui c rezultă că
1
n
b = ( c1 a + ... + cna
) . (4.54)
a) Necesitatea condiţiei. Dacă c r=0
, atunci din definiţia lui c rezultă că
vectorii { } n
r
r 1 −1
+ 1
a ,..., a , b,
a ,..., a sunt liniar dependenţi şi B nu este inversabilă.
Suficienţa condiţiei. Presupunem că B nu este inversabilă şi atunci rangul ei
este mai mic decât n, adică vectorii coloană ai matricei B sunt liniar dependenţi.
Fie λ , i = 1,
n , astfel încât
i
Însă din (4.54) avem
n
∑
i=
1
n
∑
i=
1
i≠
r
2 i
λ i ≠ 0 şi λi
a + λr
b = 0 .
n
∑ ( i i r )
i=
1
i≠
r
i
r
λ + c λ a + λ c a = 0 ,
ceea ce înseamnă că A are coloanele liniar dependente şi astfel nu este inversabilă.
Atunci, trebuie ca crλ r = 0 . Sunt posibile două
cazuri.
i) cr=0
şi suntem în cazul a) al lemei, sau
1 r-1 r+1 n
ii) λ r = 0 şi atunci din (4.54) rezultă că vectorii a ,…, a , a ,…, a , sunt
liniar dependenţi , iar matricea A nu este inversabilă. Contradicţie!
n
r −1 −1
i
r
b) Din (4.54) avem a = cr
b − ∑ cr
cia
, adică a = Bη
. Cum
i=
1
i≠
r
i i
a = Be , i = 1,
n , i ≠ r , rezultă că A = BE (η ) , sau
r
r
r
r
n
B η
− 1
1
= E r ( ) E
′
,
− .

4. Programare liniară 89
Teorema 4.8. Fie B o bază dual admisibilă pentr u problema primală (4.45) şi
B−≠φ. Dacă pentru ∀ ∈B−
∃ j ∈
B
y < 0
( ) ( ) S
i , astfel încât ij şi alegem l∈B−
arbitrar, iar k∈S asfel încât să fie
satisfăcută condiţia
⎧ z − c
⎫
B
B
⎪ j j ⎪ z k −
min ⎨ B ⎬ =
B
B
j ylj

90
Modele şi algoritmi de optimizare
Algoritmul simplex dual explorează bazele dual admisibile ale problem
până la obţinerea unei baze dual admisibile care să fie i prim isibil ),
sau până la punerea în evidenţă a faptului că problema duală nu are programe.
l m plex prim se obţ o s esiu de programe de bază
), iar în algoritmul simplex dual se obţine o succesiune de soluţii de bază
care nu sunt programe ( −1 ei (4.46)
−1 ş al adm ă ( B b ≥ 0
În a gorit ul sim al ine ucc ne
−1 ( B b ≥ 0
B b nu are toate componentele nenegative).
Pe ntru o problemă de minimizare
în algoritmul sim plex funcţia
obiectiv descreşte
spre minim, în timp ce în algoritmul simplex dual funcţia obiectiv creşte spre maxim.
Adesea, pentru problema de programare liniară se cunoaşte o soluţie de bază,
dar care nu este şi admisibilă şi pentru care multiplicatorii simplex sunt admisibili
pentru problema duală asociată. În tabelul simplex această situaţie corespunde stării
în care ultima linie (zj−cj) nu are elemente pozitive, dar soluţia
nu este admisibilă.
O astfel de situaţie apare, de exemplu, atunci când o problemă de programare
liniară este rezolvată şi din aceasta se construieşte o problemă nouă prin
schimbarea vectorului termenilor liberi b (postoptimizare sau reoptimizare). În
acea stă situaţie, dispunând de o soluţie admisibilă de
bază pentru problema duală
este de preferat să continuăm să rezolvăm problema duală.
Considerăm problema de programare
liniară sub forma standard şi fie B o
−1
bază cunosc ută a acestei probleme, iar u′ = c′
B B este admisibilă pentru
problema duală. Dacă xB=B −1 b≥0, această soluţie este primal admisibilă şi atunci
ea este optimă. Vectorul u este admisibil pentru problema duală şi atunci are loc
inegalitatea u’aj
≤cj
pentru
j = 1 , n . Presupun ând că baza este formată cu prim ele
m coloane ale lui A, atunci au loc egalităţile u’aj=cj , j = 1,
m şi, cu excepţia
degenerării, inegalităţile u’aj

4. Programare liniară 91
⎧min
c′
x ⎧ max bu′
⎪
⎪ t
⎨ Ax = b ⎨ A u ≤ c
⎪
⎩ x ≥ 0
⎪
⎩u
arbitrar
algoritmul simplex dual constă din următorii paşi.
Pas 0. Se determină o bază dual admisibilă B , în matricea A , se calculează
x
B
B
B
B
z B
j
j
j
-1
B -1
= B b , = c′
x , y = B a , z j − c , 1≤
j ≤ n
aj fiind coloane ale matricei A.
Pas 1. a) Criteriu de ieşire din bază
1) dacă toţi x ≥ 0 , atunci programul este optim. Stop!
2) dacă ( ) < 0
∃ i
i
x , atunci se determină l astfel încât
{ xi
x 0 }
x min < .
l = i
b) Criteriu de intrare în bază
1) dacă toţi y lj ≥ 0 , atunci problema nu are programe. Stop!
y < , atunci se determină k astfel încât
∃ lj
2) dacă ( ) 0
z − c z j − c j
ε 0 = = min
(4.57)
y
y j ylj
lk

92
min {3x 1+4x 2+5x 3}
⎧x1
+ 2x
2 + 3x3
≥ 5
⎪
⎨2x1
+ 2x
2 + x3
≥ 6
⎪
⎩xi
≥ 0 i = 1,
3
forma standard
Modele şi algoritmi de optimizare
min {3x 1+4x 2+5x 3}
⎧x1
+ 2x
2 + 3x3
− x4
= 5
⎪
⎨2x1
+ 2x
2 + x3
− x5
= 6
⎪
⎩xi
≥ 0
i = 1,
5
duala corespunzătoare
şi aplicăm algoritmul simplex dual problemei
min {3x1+4x2+5x 3}
⎧−
x1
− 2x 2 − 3x3
+ x4
= −5
⎪
⎨−
2x1 − 2x
2 − x3
+ x5
= −6
⎪
⎩xi
≥ 0
i = 1,
5
obţinută
din precedenta prin înmulţirea primelor două restricţii cu –1.
Coloanele 4 şi 5 din matricea coeficienţilor restricţiilor dau o bază dual
admisibilă, deoarece valorile pentru x4 şi x5 sunt negative, iar zj−cj sunt
nepozitive. La prima iteraţie iese din bază x5 şi intră x1, iar la iteraţia a doua iese
din bază x4 şi intră x2. Rezultatele sunt trecute în Tabelul 4.14.
Valoarea funcţiei obiectiv este min f=10, obţinută pentru x1=1 şi x2=2 .
4.15. Interpretarea economică a algoritmului simplex dual
Pentru exemplificare ne vom referi la problema utilizării eficiente a resurselor
(Dragomirescu şi Maliţa, 1968)
⎧max
c′
x
⎪
⎨Ax
≤ b
⎪
⎩x
≥ 0
unde: xj este numărul de unităţi din sortimentul j care trebuie produse şi ∑ n
reprezintă cantitatea d in resursa i care se consumă în procesul de producţie.
Problema duală asociată acesteia
este
⎧ min b′u
⎪
⎨ A u ≤ c′
⎪
⎩ ≥
T
u 0
unde: ui este costul unitar intern (shadow price) al resursei
i, iar aiju
i reprezintă
i 1
valoarea totală a resurselor consumate pentru realizarea unei unităţi
din sortimentul j.
Tabelul 4.14
m
∑
=
j=
1
a
ij
x
j

4. Programare liniară 93
3 4 5 0 0 alegem min
CVB VB VVB x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 −5 −1 −2 −3 1 0
0 x5 −6 −2 −2 −1 0 1
valoarea
funcţiei
obiectiv z
0 −3 −4 −5 0 0
0 x4 −2 0 −1
3 x1 3 1 1
valoarea
funcţiei
obiectiv
z
9 0 −1
4 x2 2 0 1
5
− 1
2
1
0
2
7
− 0
2
5
−1
2
1
−
2
1
−
2
3
−
2
3 x 1 1
1 0 −2 1 −1
Valoarea
funcţiei
obiectiv z
11 0 0 −1 −1 −1
1
2
z
min
yij

94
Modele şi algoritmi de optimizare
producţie x şi nici un sistem de costuri interne u profitul total al întreprinderii nu
poate depăşi costul total al resurselor; egalitatea se realizează doar pentru
programele optime de producţie şi pentru costuri interne optime.
Relaţiile Teoremei ecarturilor complementare scrise sub forma
n
− ∑ ij j
⎝ j=
x
⎛ ⎞
m ⎛ ⎞
u ⎜ a ⎟
i ⎜
bi
⎟
= 0 , 1 ≤ i ≤ m şi x j ⎜∑
aiju
i − c j ⎟ = 0 , 1≤j≤n 1 ⎠
⎝ i=
1 ⎠
în acest caz au următoarea interpretare: într-un plan de producţie optim nu se pot
produce sortime nte pentru care consumurile de resurse – calculate pe baza
costurilo
r interne – depăşesc profiturile. În p lus, costurile interne nenule se atribuie
numai
resurselor folosite integral în cadrul acestui plan.
4.16. Determinarea unei soluţii dual admisibile
Dacă toţi coeficienţii funcţiei obiectiv sunt nenegativi, atunci variabilele ecart
formează o soluţie de bază dual admisibilă, deoarece în acest caz
zi−ci= −ci ≤ 0.
Dacă nu toţi coeficienţii funcţiei obiectiv sunt nenegativi, se introduce
o
restricţie nouă (Maliţa şi Zidăroiu,
1971)
+ x + x + ... + x = M
xn + 1 ν 1 ν 2
ν ,
k
cu M suficient de mare, xn+1 o nouă variabilă, iar ν , 1≤
r ≤ k , fiind
variabilele care corespund coeficienţilor cν < 0 .
Dacă max { c c < 0 }
cν = f
j j , se înlocuieşte f
r
x r
x ν din restricţia suplimentară
în funcţia obiectiv. Se obţine o mulţime
de n variabile ( xn+1 înlocuieşte xν ) f
astfel încât toţi coeficienţii funcţiei obiectiv să fie
nenegativi şi numărul restricţiilor
a crescut cu o un itate.
Exemplu
⎧min(
−x3
− 2x
4 + x5
)
⎪
x1
+ 3x3
+ x4
− x5
= −4
⎨
⎪x2
− x3
− 4x 4 + x5
= 1
⎪
⎩xi
≥ 0 , 1≤
i ≤ 5
x1,
x2 formează o bază care nu este
primal admisibilă pentru că x1= − 4 . Pentru a
face pozitivi toţi coeficienţii funcţiei obiectiv, introducem relaţia
suplimentară
x x + x = M
+ 3 4
6 . Atunci = max{ c } = c4
= −2
c f
j
j c j < 0
ν şi x4=M−x3−x6.
Se obţine o
nouă problemă care are toţi coeficienţii funcţiei obiectiv nenegativi:

4. Programare liniară 95
⎧min(
−2M
+ x3
+ x5
+ 2x6
)
⎪
⎪
x1
+ 2x3
− x5
− x6
= −4
− M
⎨x
2 + 3x3
+ x5
+ 4x
6 = 1 + 4M
x3
+ x4
+ x6
= M
⎪⎩ ≥ 0 , 1≤
i ≤ 6
x ⎪
⎪
i
unde M este suficient de mare astfel încât –4–M < 0 . Se obţine o soluţie dual
admisibiă x1= –4–M , x2 = 1+4M , x4 = M .
4.17. Probleme propuse
1. Într-o staţie de betoane se pot produce 3 tipuri de betoane 150, B200, B300).
Staţia este organ fi re ni arcă de
betoane, capacitatea maximă a staţiei este de 600 m etonul se transportă
cu ajutorul a 20 de autobetoniere de 5 m 3 (B
izată astfel
încât eca beto eră poate produce orice m
3
zilnică . B
capacitate fiecare, duratele
ciclurilor de
transport pentru cele 3 mărci de betoane fiind de 0.1 ; 0.2 şi
0.1 zile respectiv.
Consumurile normate de ciment pe c ele trei mărci
de beton sunt respectiv 200, 300
3
şi 400 kg/m . Staţia este aprovizionată zilnic cu o cantitate de 180 tone de ciment .
Ca urmare a organizării staţiei se obţin următoarele economii pe mărci de beton: 1;
1.2 şi 0.8 u.m. / m 3 .
Se cere găsirea soluţiei care aduce maximum de profit staţiei, ştiind că se cere
beton în cantităţi mai mari decât posibilităţile de preparare.
Rezolvare
a) Modelarea problemei
Notăm cu x1 , x2 , x3 , cantităţile de beton din fiecare marcă ce se cer a fi
determinate astfel încât funcţia obiectiv
z = f(x1 , x2 , x3 ) = 1·x1 + 1.2·x2 + 0.8·x3 ,
să fie maximă sub restricţiile
x1 + x2 + x3 ≤ 600 (nu se poate depăşi capacitatea de producţie
a staţiei)
0.1·x1 +0.2·x2 +0.1·x3 ≤ 20·5 (nu se poate depăşi capacitatea zilnică
de
transport)
200·x1 +300·x2 + 400·x3 ≤ 600 (nu se poate depăşi cantitatea de ciment cu
care este aprovizionată zilnic staţia)
S-a obţinut următoarea problemă de programare liniară:
Forma canonică Forma standard

96
Modele şi algoritmi de optimizare
{ x + 1.
2x
0.
8 } max{
x + 1.
2x
+ 0.
8x
}
⎧ max 1 2 + x3
⎪
⎪
x1
+ x2
+ x3
≤ 600
⎨x1
+ 2x
2 + x3
≤1000
⎪2x1
+ 3x2
+ 4x3
≤1800
⎪
⎪⎩
xi ≥ 0 , i = 1,
2,
3
⎧ 1 2
3
⎪
⎪
x1
+ x2
+ x3
+ x4
= 600
⎨ x1
+ 2x
2 + x3
+ x5
= 1000
⎪2x1
+ 3x2
+ 4x3
+ x6
= 1800
⎪
⎪⎩
xi ≥ 0 , i = 1,
6
după introducerea variabilelor ecart
Se obţin următoarele rezultate:
max f=680 realizat pentru x1=200 , x2=400 , x3=0 .
Variabilele auxiliare x 4=0 , x5=0 , x6= 200 , arată că
primele două restricţii se
verifică pentru soluţia de mai sus cu egalităţi, iar cea de-a treia cu inegalitate.
Profitul
este maxim dacă nu se produce beton de tipul B300.
2. Într-o secţie a unei întreprinderi se produc trei tipuri de produse P1, P2 , P3 ,
folosind rezerve de forţă de muncă (F) şi resurse financiare (B) limitate conform
Tabelul 4.15.
Tabelul 4.15
Tip produs
P1 P2 P3 Disponibil
Rezerve
F 2 3 2 15
B 1 2 3 12
Profit 1.5 4 3
care conţine şi consumurile din aceste rezerve la unitatea de produs pentru fiecare
tip, precum şi beneficiile aduse de o unitate de fiecare tip de produs. Datorită
condiţiilor impuse de stocare întreaga producţie nu trebuie să depăşească 8 unităţi.
Să se determine planul optim de producţie care în condiţiile date să dea un
profit total maxim pe secţie.
R. În urma modelării acestei
probleme se obţine următorul program liniar:
max f = max{1.5x1+4x2+3x3}
⎧2x1
+ 3x2
+ 2x3
≤15
⎪
x1
+ 2x
2 + 3x3
≤12
⎨
.
⎪x1
+ x2
+ x3
≤ 8
⎪
⎩xi
≥ 0 , i = 1,
3
Se obţine soluţia max f=20.4 pentru x1 = 0 , x2 = 4.2 , x3 = 1.2 .
3. La o secţie de producţie a unei întreprinderi de construcţii, unde se lucrează în
flux continuu de bandă, sunt necesare pentru fabricarea de panouri pentru cofraje 4
tipuri de materii prime (panel (P), scândură de brad (SB), dulapi (D), cuie
(C)) care

4. Programare liniară 97
sunt
prelucrate la 3 standuri. Repartiţia materiilor prime şi a cheltuielilor de muncă
necesare prelucrării pe cele 3 standuri este dată de Tabelul 4.16.
Stand
Materie primă
Tabelul 4.16
P SB D C
Nr. necesar de
panouri
S1 1 1 0 1
2
S2 1 2 1 0
4
S3 0 1 1 1 3
Cheltuieli de munc ă 6 8 12 10
Să se determine un plan de producţie astfel încât cheltuielile să fie minime.
R. Modelând problema se obţine următorul program liniar:
min f = min {6x 1+8x
2+12x 3+10x 4}
⎧ x1
+ x2
+ x4
= 2
⎪
x1
+ 2x
2 + x4
= 4
⎨
.
⎪ x2
+ x3
+ x4
= 3
⎪
⎩ xi ≥ 0 , i = 1,
4
Se obţine soluţia min f = 29 , pentru nivelurile de consum de materiale
x =0 , x =1.5 , x =1 , x =0.5 .
1 2 3 4
4. O secţie a unei întreprinderi are în fabricaţie 7 tipuri de produse, P1−P7 . Două
materii prime (M 1 , M 2 ) necesare realizării acestor produse sunt în cantităţi limitate,
200 şi respectiv 300 unităţi, celelalte fiind în cantităţi suficiente oricărui plan de
producţie. Consumurile de materii prime M1 , M2 pe unitatea de produs pentru
fiecare tip, precum şi beneficiile nete aduse de producerea unei unităţi din fiecare
tip de produs sunt date în Tabelul 4. 17.
Tabelul 4.17
Materie
Produs
P P P
M1 3 4 2 3 5 2 3
M2 5 3 1 4 2 4 3
Profit 6 5 2 6 6 5 6
P1 P2 P3 4 P5 6 7
Datorită unei cereri mari de produse P1 , P2 s-a propus ca măcar 25% din
întreaga producţie a secţiei să fie reprezentată de aceste produse. Să se determine
un plan de producţie care să respecte condiţiile impuse şi care să aducă un profit
total maxim în secţia respectivă.
R. Trebuie rezolvată următoarea problemă de programare liniară:
max f = max{6x +5x +2x +6x +6x +5x +6x }
1 2 3 4 5 6 7

98
Modele şi algoritmi de optimizare
⎧3x1
+ 4x
2 + 2x3
+ 3x4
+ 5x5
+ 2x6
+ 3x7
≤ 200
⎪
5x1
+ 3x2
+ x3
+ 4x
4 + 2x5
+ 4x
6 + 3x7
≤ 300
⎨
⎪−
3x1
− 3x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
+ x7
≤ 0
⎪
⎩xi
≥ 0 , i = 1,7
Se obţine max f =430.77 pentru
x1=19.23 ; x2= x3= x4= x5=0 ; x2=30.77 ; x2=26.92 .
5. Problema dietei alimentare (problemă de amestec)
Un meniu trebuie să asigure necesarul în substanţele S1 , S2 , S3 , cu ajutorul
alimentelor A1 , A2 , A3 . Cantităţile de substanţele S1 , S2 , S3 , ce se găsesc într-o
unitate de aliment de fiecare fel, cantităţile minime necesare organismului în cele 3
substanţe, precum şi preţurile
celor 3 alimente sunt trecute în Tabelul 4.18.
Tabelul 4.18
Aliment
Substanţă
A1
A2 A3 Necesar S1 4 3 2 24
S1 5 7 2 35
S1 1 5 4 40
Preţ 8 7 5
Să se determine cantităţile ce trebuie incluse în meniu din cele 3 alimente,
astfel încât costul total al meniului să fie minim .
R. În urma modelării se obţine problema de programare liniară sub forma canonică
min f = min{8x1+7x2+5x3}
⎧4x1
+ 3x2
+ 2x3
≥ 24
⎪
5x1
+ 7x
2 + 2x3
≥ 35
⎨
.
⎪x1
+ 5x
2 + 4x3
≥ 40
⎪
⎩xi
≥ 0 , i = 1,
3
După introducerea variabilelor de compensare se obţine problema sub forma
standard, dar nu are o bază canonică evidenţiată. De aceea se aplică metoda în două
faze.
min f = min{8x1+7x2+5x3}
⎧4x1
+ 3x2
+ 2x3
− x4
= 24
⎪
5x1
+ 7x
2 + 2x3
− x5
= 35
⎨
.
⎪x1
+ 5x2
+ 4x3
− x6
= 40
⎪
⎩ xi
≥ 0 , i = 1,
6
Se obţine min f = 56 , meniul constă din 8 unităţi din alimentul al doilea şi
conţinutul în substanţa S2 depăşeşte minimul necesar cu 21 unităţi, adică
x1=0 , x2=8 , x3=0 , x4=0 , x5=21 , x6=0 .

4. Programare liniară 99
6.
Substanţele S1 , S2 , S3 , S4 conţin în cantităţi diferite elementele E1 , E2 , E3 , E4.
Din cele 4 substanţe trebuie făcut un amestec care să conţină cel puţin 28, 30, 25 şi
respectiv 25 u nităţi din cele 4 elemente. Câte o unitate din fiecare tip de substanţă
costă
6, 3, 4 şi respectiv 5 u. m.
Conţinutul unei unităţi din fiecare substanţă în cele 4 elemente este dat de Tabelul
4.
19.
Tabelul 4.19
Substanţă
Element
S1 S2 S3 S4
E1 3 2 1 3
E2 4 0 3 1
E3 0 3 0 4
E4 5 0 3 1
Conţinutul substanţelor S1 , S2 în alte elemente ce aduc amestecului anumite
proprietăţi speciale cer ca acest amestec să conţină cel puţin 3 unităţi din S1 şi cel
puţin 3 unităţi din S 2 . Să se determine cantităţile ce trebuie amestecate din cele 4
substanţe astfel încât să fie îndeplinite toate condiţiile impuse, iar costul total al
amestecului să fie minim.
R. Modelând problema se obţine
min f = min {6x 1+3x 2+4x 3+5x 4}
⎧3x1
+ 2x
2 + x3
+ 3x4
≥ 28
⎪
⎪
4x1
+ 3x3
+ x4
≥ 30
⎪3x
2 + 4x
4 ≥ 25
⎪
⎨5x1
+ 3x3
+ x4
≥ 25
⎪x1
≥ 3
⎪
⎪x
2 ≥ 2
⎪
⎩xi
≥ 0 , i = 1,
4 .
Pentru a reduce numărul restricţiilor problemei liniare obţinute se poate face
schimbarea de variabile y1
= x1−3 , y2 = x2−2 , y3 = x3
, y4 = x4 .
Se obţine problema
min g =min {6y1+3y2+4y3+5y 4+24}
⎧3y1
+ 2y
2 + y3
+ 3y
4 ≥15
⎪
⎪
4y1
+ 3y
3 + y4
≥18
⎨3y
2 + 4y
4 ≥19
.
⎪5y1
+ 3y
3 + y4
≥10
⎪
⎪⎩
yi ≥ 0 , i = 1,
4
După aducerea la forma standard, se aplică metoda în două faze şi, după
revenirea la variabilele xi
, se obţine soluţia:
min f =65.416 , pentru x1=3
, x2=2 , x3=4.416 , x4=4.75 .

100
Modele şi algoritmi de optimizare
7. O întreprindere doreşte să producă un nou aliaj format din 30%
metal A şi 70%
metal B. Pentru aceasta are la dispoziţie alte 5 aliaje ale căror preţuri şi compoziţii
sunt date în Tabelul 4.20.
Tabelul 4.20
Aliaj 1 2 3 4 5
% A
1
0
2
5
5
0
7
5
95
% B
9
0
7
5
5
0
2
5
5
Preţ/kg 5 4 3 2 1.5
Aliajul dorit va fi produs prin combinarea unor cantităţi din celelalte 5 aliaje. Să se
determine cantităţile necesare realizării noului aliaj cu cost minim.
R. Notăm cu xi – cantitatea din aliajul i (i=1,2,...,5) care intră în alcătuirea noului
aliaj. Trebuie rezolvată următoarea problemă de programare liniară:
min {5x1+4x2+3x 3+2x 4+1.5x 5 }
⎧10x1
+ 25x2
+ 50x3
+ 75x4
+ 95x5
= 30
⎪
⎨90x1
+ 75x
2 + 50x3
+ 25x4
+ 5x5
= 70
⎪x
,..., x ≥ 0
⎩ 1 5
care are soluţia: x1=0 , x2=0.9 , x3=0 , x4=1 , x5=0 , iar valoarea funcţiei obiectiv
este min f = 3.8 .
8.
O rafinărie de petrol are două surse de aprovizionare cu petrol brut: petrol brut
uşor la 35$/baril şi petrol brut greu la 30 $/baril. Rafinăria produce benzină, petrol
lampant şi benzină superioară, obţinând dintr-un baril de petrol brut
cantităţile din
Tabelul 4.21.
Tabelul 4.21
Produs finit
Petrol Benzină
Benzină
Materie primă
lampant superioară
Petrol brut uşor 0.3 0.2 0.3
Petrol brut greu 0.3 0.4 0.2
Rafinăria s-a angajat să producă 900 000 barili de benzină, 800 000 barili
de petrol
lampant şi 500 000 barili de benzină superioară. Ce cantităţi de petrol
brut uşor şi
greu trebuie achiziţionate pentru a se realiza angajamentul cu un cost minim?
R. Notăm cu x1 , x2 , x3 cantităţile de petrol brut uşor folosite pentru obţinerea de
benzină, petrol lampant şi respectiv benzină superioară, şi analog x4 , x5 , x6 ,
cantităţile de petrol brut greu. Se ajunge la următoarea problemă de programare
liniară:
min {35(x1 + x2 + x3 ) + 30(x4 + x5 + x6 )}

4. Programare liniară 101
⎧0.
3x1
+ 0.
3x4
= 900 000
⎪
0.
2x2
+ 0.
4x5
= 800 000
⎨
⎪0.
3x3
+ 0.
2x6
= 500 000
⎪
⎩x1
, x2
, x3
, x4
, x5
, x6
≥ 0
Pentru realizarea planului de producţie sunt necesare cantităţile 1 666 666.67
barili petrol brut uşor şi 5 000 000 barili petrol brut greu, costul minim fiind
208 333 333.33 .
9. O firmă produce cinci tipuri de piese de schimb pentru automobile. Fiecare piesă
este turnată în oţel la turnătorie şi apoi este trimisă la secţia de finisaj. Numărul de
ore muncă necesare pentru 100 de unităţi din fiecare tip de piesă în cele două secţii
sunt date în Tabelul 4.22.
Tabelul 4.22
Tip piesă 1 2 3 4 5
Secţie
Turnătorie 2 1 3 3 1
Finisaj 3 2 2 1 1
Profit / 100 unităţi 3 2 4 2 1
0 0 0 5 0
Capacitatea de turnare şi finisare pe parcursul unei luni este de 700, respectiv
1000 ore muncă. Să se determine numărul de piese din fiecare tip care trebuie
produse pentru a se obţine un profit maxim.
R. Notând cu xi numărul de sute de piese de tipul i, i = 1,
5 , obţinem următoarea
problemă de programare liniară
max {30x1+20x2+40x3+25x4+10x5}
⎧2x1
+ x2
+ 3x3
+ 3x4
+ x5
≤ 7
⎪
⎨3x1
+ 2x
2 + 2x3
+ x4
+ x5
≤10
⎪
⎩xi
≥ 0 , i = 1,
5
care
are maximul egal cu 120, obţinut pentru x1=0 , x2=4 , x3=1 , x4=0 , x5=0 .
10. O firmă producătoare de calculatoare prognozează că în următoarele n luni
cererea va fi d i , i = 1,
n . Într-o lună firma poate produce r unităţi cu un cost b.
Lucrând peste program, firma poate produce calculatoare la un cost c > b . Costul
unitar de stocare al calculatoarelor de la o lună la alta este s . Să se determine
planul de producţie care minimizează costul.

5. PROBLEMA DE TRANSPORT
5.1. Fundamentele algoritmului de transport
Problema de transport (4.8) − (4.11) are totdeauna o soluţie admisibilă, anume
a b
m n
i j
xi j = , unde S = ∑ ai
= ∑b
j şi care este o soluţie mărginită de ai şi bj .
S i= 1 j=
1
Există în total n+m restricţii (m ecuaţii corespunzătoare restricţiilor date de
centrele de aprovizionare şi cele n ecuaţii corespunzătoare restricţiilor date de
centrele de consum) la care se adaugă condiţia de echilibru ∑ a i = ∑b
j . De aici
m
n
i= 1 j=
1
rezultă
că una dintre restricţii este redundantă. Orice restricţie se poate exprima în
funcţie de celelalte m+n−1 rămase.
Teorema
5.1. Problema de transport are totdeauna soluţie şi o restricţie este
redundantă. Înlăturând oricare dintre restricţii, cele n+m−1 rămase formează un
sistem liniar independent (Luenberger, 1989).
Demonstraţie. Existenţa soluţiei şi redundanţa rezultă
din observaţia de mai sus.
Deoarece suma restricţiilor date de centrele de aprovizionare este egală cu suma
restricţiilor date de centrele de consum, rezultă că orice restricţie poate fi exprimată
ca o combinaţie liniară de celelalte m+n−1 . Astfel, orice restricţie poate fi
eliminată. Să presupunem că am eliminat o restricţie, fie ea ultima. Presupunem că
există o combinaţie liniară a ecuaţiilor rămase egală cu zero. Să notăm cu
α , i = 1,
m , coeficienţii acestei combinaţii liniare corespunzători primelor ecuaţii
i
din problema de transport şi cu β , j = 1,
n −1
coeficienţii corespunzători
j
ultimelor n−1 ecuaţii. Fiecare variabilă xin , i = 1,
m , apare numai în a i - a
ecuaţie, deoarece ultima ecuaţie a fost înlăturată. Astfel, α = 0 , i = 1,
n . În restul
ecuaţiilor xij apare numai
într-o ecuaţie şi a stfel β j = 0, j = 1,
n −1
. Aşadar,
sistemul de n+m−1 ecuaţii este liniar independent.
Din Teorema 5.1 rezultă că o bază pentru
problema de transport este
formată din m+n−1 vectori liniar independenţi, iar soluţia de bază admisibilă are
m+n−1 variabile. Problema duală asociată problemei de transport este dată de
(4.51) . Are loc
următoarea teoremă.
i

5. Problema de transport 103
Teorema 5.2. Cuplul de soluţii duale ( x ij ) şi ( i v j )
problemele (4.8)-(4.11), respectiv (4.51), dacă şi numai dacă
n
∑
j=
1
x
m
ij = ai
; ∑
i=
1
cij
− ui
− v j ≥ 0 ; xij
( cij
− ui
− v j ) = 0.
(rezultă din Teorema ecarturilor complementare).
x
ij
= b
j
;
x
ij
≥ 0
u , este optim pentru
Din ultima condiţie rezultă că pentru x ij > 0 se obţine c ij = ui
+ v j .
În cele ce urmează prin celulă se înţelege o pereche de indici (i,j), iar prin
ciclu se înţelege un şir de celule notate
( i1, j1
) , ( i1,
j2
) , ( i2
, j1
) , L , ( it
, jt
) , ( it
, j1
) .
În continuare vom evidenţia cea mai importantă proprietate structurală a
problemei de transport: toate bazele sunt triunghiulare. Această proprietate
simplifică rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare a cărui matrice a coeficienţilor
are o astfel de bază şi aceasta conduce la implementarea eficientă a metodei
simplex pentru problema de transport.
Definiţia 5.1. O matrice pătratică se numeşte triunghiulară dacă prin permutări ale
liniilor şi coloanelor sale poate fi pusă sub forma unei matrice inferior triunghiulară.
O matrice inferior triunghiulară este triunghiulară în sensul definiţiei de mai
sus.
O matrice nesingulară superior triunghiulară este de asemenea triunghiulară
deoarece prin schimbarea ordinii liniilor şi coloanelor sale devine inferior
triunghiulară.
Algoritm pentru a determina dacă o matrice este triunghiulară.
Pas 1. Se găseşte linia care are un singur element nenul.
Pas 2. Se formează o submatrice din matricea dată prin tăierea liniei şi coloanei
elementului nenul din pasul 1. Se reia pasul 1 cu submatricea obţinută.
Dacă această procedură poate fi continuată până când toate liniile au fost
eliminate, atunci matricea este triunghiulară. Ea poate fi pusă sub forma inferior
triunghiulară prin aranjarea liniilor şi coloanelor în ordinea în care au fost
determinate prin procedura de mai sus.
Exemplu. Folosind algoritmul de mai sus, să stabilim dacă matricea
⎛1 1 0 0 0⎞
⎜
⎟
⎜0
0 1 0 0⎟
B = ⎜0
0 0 1 1⎟
⎜
⎟
⎜1
0 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎝0
0 1 0 1⎠
este triunghiulară.

104
Modele şi algoritmi de optimizare
Notăm în partea stângă a matricei B ordinea în care au fost găsite liniile cu un
singur element nenul, iar sub matricea B, ordinea coloanelor corespunzătoare
elementului nenul.
⎛1
1 0 0 0⎞
5
⎜
⎟
⎜0
0 1 0 0⎟
1
B = ⎜0
0 0 1 1⎟
3
⎜
⎟
⎜1
0 0 1 0⎟
4
⎜
⎟
⎝0
0 1 0 1⎠
2
4 5 1 3 2
Permutăm liniile în ordinea dată de coloana din dreapta matricei B şi obţinem
matricea
⎛0
0 1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜0
0 1 0 1⎟
B = ⎜0
0 0 1 1⎟
1
.
⎜
⎟
⎜1
0 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎝1
1 0 0 0⎠
Permutăm col oanele în matricea B1
în ordinea dată de linia de sub matricea B
şi obţinem
matricea
⎛1
0 0 0 0⎞
⎜
⎟
⎜1
1 0 0 0⎟
B = ⎜
2 0 1 1 0 0⎟
⎜
⎟
⎜0
0 1 1 0⎟
⎜
⎟
⎝0
0 0 1 1⎠
care este inferior triunghiulară şi astfel
matricea iniţială este triunghiulară.
Această proprietate a matricelor este importantă şi are aplicaţii
în rezolvarea
sistemelor de ecuaţii liniare prin metoda substituţiei (eliminării) a lui Gauss.
Sistemul de ecuaţii Ax=b , cu A inferior triunghiulară permite determinarea lui x1
din prima ecuaţie, apoi x2 din cea de-a doua ecua ţia ş.a.m .d.
Teorema 5.3. Orice bază a problemei de transport este triunghiulară.
Demonstraţie. Considerăm sistemul de restricţii
din problema de transport:
n ⎧
( )
⎪
⎪∑
xij
= ai
−1
i = 1,
m
j=
1
⎨ m
⎪ =
j = 1,
n
⎪∑
xij
b j
⎩ i=
1
Schimbăm semnul la primele m ecuaţii şi atunci
matricea coeficienţilor este
formată numai din − 1,
0, +1. Din Teorema 5.1, ştergând oricare dintre ecuaţiile
de
mai sus, se elimină redundanţa. Din matricea coeficienţilor care rezultă se formează
o

5. Problema de transport 105
bază nesingulară, B, prin selectarea unei mulţimi de m+n−1 coloane. Fiecare
coloană a matricei B conţine cel mult două
elemente nenule, unul egal cu +1 şi
altul egal cu − 1.
Astfel există cel mult 2(m+n−1) elemente nenule în bază.
Totuşi, dacă orice coloană ar conţine două elemente
nenule, atunci suma lor ar fi
zero şi s-ar contrazice nesingularitatea lui B . Astfel, cel puţin o coloană a lui B
trebuie să conţină numai un element nenul. Aceasta înseamnă că numărul total de
elemente nenule din B este mai mic decât 2(m+n−1) . Rezultă că trebuie să fie
o
linie cu numai un element nenul, altfel, dacă orice linie ar avea două sau mai multe
elemente nenule, numărul
total al elementelor nenule ar fi cel puţin 2(m+n−1).
Deducem că primul
pas al procedurii de verificare a triunghiularităţii se verifică şi
raţionamentul se poate continua pentru submatricea obţinută din B prin tăierea
liniei şi coloanei corespunzătoare elementului nenul. Se continuă raţionamentul,
stabilind că B este triunghiular ă.
Deoarece orice matrice bază în problema de transport este triunghiulară şi toate
elementele nenule sunt egale cu 1, rezultă că, prin rezolvarea sistemului
de ecuaţii
liniare Bx=b cu metoda substituţiei, dacă toate datele iniţiale sunt numere întregi,
soluţia
va fi formată din numere întregi. Acest lucru poate fi dat ca un corolar la
Teorema
5.3.
Corolar
5.1. Dacă sumele liniilor şi coloanelor unei probleme de transport sunt
întregi, atunci variabilele de bază în orice soluţie de bază sunt întregi.
Metoda simplex aplicată problemei de transport, ţinând
seama de rezultatele de
mai sus, este o versiune a algoritmului simplex revizuit şi poartă numele de
algoritmul de transport (datorat lui Kantorovich).
Multiplicatorii simplex asociaţi cu ecuaţiile restricţiilor îi
notăm cu λ=(u,v) ,
m n
u∈R , v∈R . Deoarece o restricţie este redundant ă,
vom considera de exemplu că
vn=0 . D ată o bază B , multiplicatorii simplex se găsesc
ca soluţii ale sistemului
λ ′ B = c′
B .
Ca să-i determinăm în mod explicit din această ecuaţie, ne referim din nou la
sistemul iniţial de restricţii. Dacă x ij este necunoscută de bază, atunci coloana
corespunzătoare din A va fi inclusă în B. Această coloană are exact două
elemenete nenule egale cu +1: unul în pozitia i din partea superioară şi altul în
poziţia j din partea inferioară. Această coloană generează pentru multiplicatorii
simplex ecuaţia
ui+vj=cij ,
deoarece ui şi vj sunt componentele corespunzătoare ale vectorului
multiplicatorilor simplex. În general, ecuaţiile multiplicatorilor simplex sunt
ui+vj=cij (∀)i, j
pentru care xij sunt bazice. Matricea coeficienţilor acestui sistem este transpusa
matricei bazei, aşadar este triunghiulară şi sistemul poate fi rezolvat prin metoda
substituţiei.

106
Modele şi algoritmi de optimizare
Corolar 5.2. Dacă toate costurile unitare din problema de transport sunt întregi,
atunci, dând o valoare întreagă la un multiplicator oarecare, multiplicatorii
simplex
asociaţi cu orice bază sunt întregi.
Dacă multiplicatorii simplex sunt cunoscuţi, coeficienţii costurilor relative
pentru
variabilele nebazice pot fi calculaţi cu relaţiile
α ′ S = λS − c′
S .
În acest caz coeficienţii costurilor relative sunt
α = + v − c , ∀ i = 1,
m , ∀ j = 1,
.
ij
ui j ij
( ) ( ) n
Pentru variabilele bazice α = 0 . Dată o bază, calculul multiplicatorilor
ij
simplex este asemănător cu calculul variabilelor de bază.
Conform cu algoritmul simplex general, dacă o variabilă nebazică are un
coeficient de cost relativ pozitiv, atunci acea variabilă este candidată să intre în
bază. Cum valoarea acestei variabile este crescătoare, valorile variabilelor de bază
curente vor fi schimbate astfel încât să se menţină
admisibilitatea soluţiei. Valoarea
noii variabile va creşte exact până la valoarea pentru care vechea variabilă de bază
devine zero.
Dacă noul vector de bază este d , atu nci schimbarea în celelalte variabile de
bază este dat ă de B d , unde B este baza curentă. Din nou avem de-a face cu
o problemă de rez are a unu istem b ă triunghiulară n nou soluţia are
proprietăţi special
1 −
−
olv i s cu az şi di
e.
Teorema 5.4. Fie B o bază extrasă din A (după ignorarea unei linii) şi fie d o
coloană a lui A care nu este inclusă în B. Atunci, componentele vectorului
−1
y = B d sunt fie − 1 , 0 sau +1.
Demonstraţie. Fie y soluţia sistemului
By=d. Atunci, y este reprezentarea lui d
în baza B . Acest sistem de ecuaţii poate fi rezolvat cu regula lui Cramer
det Bk
y k = ,
det B
unde Bk este matricea obţinută prin înlocuirea în matricea B a coloanei k cu
coloana d . Atât B cât şi Bk sunt submatrice ale lui A. Matricea B poate fi
pusă sub forma triunghiulară cu toate elementele diagonalei egale cu +1. Atunci,
detB=+1 sau − 1,
după cum liniile sau coloanele au fost permutate. Analog
detB k=+1
, 0 sau −1
. Concluzionăm că fiecare componentă a lui y este fie 0, +1
sau − 1 .
Din Teorema 5.4 rezultă că atunci când o nouă variabilă este adăugată la
soluţie la un nivel unitar, variabilele de bază curente se vor schimba cu +1, −1
sau
0. Dacă noua variabilă are valoarea θ , atunci, corespunzător, variabilele de bază
se vor schimba cu +θ, −θ, sau 0. Este, aşadar, necesar să determinăm semnul
schimbării fiecărei variabile de bază.

5. Problema de transport 107
Determinarea acestor semne se face prin parcurgerea tabelului de trasport. Se
atribuie un semn + celulei corespunzătoare variabilei care intră în bază,
reprezentând o schimbare cu +θ, unde θ nu este încă determinat. Atunci,
plusurile, minusurile şi zerourile sunt atribuite unul câte unul celulelor anumitor
variabile de bază, indicând schimbări cu +θ, −θ, sau 0 ca să se menţină soluţia
admisibilă. La fiecare pas, există o relaţie B d , care determină în mod unic
semnul care va fi atribuit celorlalte variabile de bază. Rezultatul va fi o succesiune
de plusuri şi minusuri atribuite celulelor care formează un ciclu iniţiat de celula
variabilei care va intra în bază. De fapt, noua schimbare este o parte a unui ciclu de
distribuire a fluxului mărfii în sistemul de transport. După ce succesiunea de
ă, se obţine o nouă soluţie admisibilă
aloarea 0. Se examinează variabilele
cărora l rilor acestor
variabil loare se adaugă
celulelo zultatul va fi
o nouă s
1 −
−
re
plusuri, minusuri şi zerouri a fost determinat
prin modificarea nivelului variabilelor cu +θ, −θ, sau 0. θ trebuie determinat
asfel încât vechea variabilă de bază să ia v
i s-a atribuit semnul minus pentru a determina minimul valo
e, iar valoarea găsită va fi atribuită lui θ. Această va
r care au semnul plus şi se scade din cele cu semnul minus. Re
oluţie admisibilă.
5.2. Enunţul algoritmului de transport
Pe baza rezultatelor de mai sus, se poate enunţa algoritmul
de transport sub
următoarea form ă.
Pas 0. Se determină o soluţie de bază admisibil ă , corespunzătoare bazei B,
formată cu m+n−1 coloane liniar independente din matricea A şi fie B
mulţimea celulelor de bază;
Pas 1. Se rezolvă sistemul de ecuaţii
+ v = c , ∀ ( i,
j)
∈ .
ui j ij
xij
( ) B
Se obţine o soluţie particulară luând vn=0 şi se calculează
pentru această
soluţie coeficienţii de cost redus,
α = + − c , ∀ ( i,
j)
∈ ,
ij u i v j ij ( ) S
S fiind mulţimea celulelor corespunzătoare coloanelor matricei A care nu
se află în B (celule secundare).
Dacă α ij ≤ 0 pentru ( ∀ ) ( i , j)
∈S
, atunci soluţia de bază x ij este
optimă. Stop!
Altfel, se determină ( s,
k)
∈S
, luând drept criteriu de intrare în bază
{ α ( ∀)(
i,
) ∈ }
α = max j S .
sk
ij
Pas 2. Se determină ciclul format de ( s , k)
∈S
cu o parte din celulele lui B şi
se numerotează celulele alegând un sens de parcurgere a ciclului.

108
Modele şi algoritmi de optimizare
Se determină celula ( r , t)
∈B
care va ieşi din bază , luând drept criteriu
min ij
de ieşire din bază { x }
x = , minimul fiind luat după toate celulele
rt
de ordin par din ciclul determinat mai sus.
Pas 3. Se formează, pornind de la baza B, baza B ~ , prin înlocuirea coloanei a
cu coloana ask . Se determină soluţia de bază admisibilă x~
corespunzătoare bazei B ~ , folosind pentru schimbarea bazei formulele:
⎧xij − xrt
dacã
( i,j)
este de rang par în ciclu
~ ⎪
xij
= ⎨ xij
+ xrt
dacã
( i,j)
este de rang impar în ciclu
⎪
⎩
xij
dacã
( i,j)
nu face parte din ciclu
Se înlocuieşte B cu B ~ , ij x ij x~ cu şi se trece la Pas 1.
5.3. Determinarea soluţiei iniţiale de bază
Algoritmul prezentat mai înainte necesită la pornire un program de bază iniţial.
Metoda generală de obţinere a acestui program este următoarea (Maliţa şi
Zidăroiu, 1971):
a) Se dă unei variabile de bază oarecare xij valoarea
x = min a , b .
b) Se înlocuiesc ai şi bj cu i xij
ij
1≤l
≤m
1≤k
≤n
{ }
l
a − şi respectiv cu j xij
k
b − şi se suprimă linia
i , dacă ij x = ai , sau coloana j , dacă ij x =bj . Dacă ai=bj se suprimă fie
linia i , fie coloana j .
c) Se repetă operaţiile de la a) şi b) până când toate cererile sunt satisfăcute.
Să demonstrăm că algoritmul de mai sus produce o soluţie de bază. De fiecare
dată când apare un xij>0 se suprimă o linie şi/sau o coloană. La sfârşit, vor rămâne
o coloană şi o linie nesuprimate. Până în acest moment au fost suprimate m+n−2
linii şi coloane. Cantitatea rămasă în linia nesuprimată este egală cu cantitatea
rămasă în coloana nesuprimată, aşa cum rezultă din condiţia de echilibru.
Satisfăcând şi ultima linie, se obţine o nouă variabilă xij>0 , adică sunt cel mult
m+n−1 variabile xij>0.
Există diferite metode de determinare a programului de bază iniţial obţinute din
metoda generală prezentată mai sus, după cum se particularizează xij cu care se
începe metoda, cum ar fi de exemplu: metoda colţului nord-vest a lui G. B. Dantzig
(se selectează celula (
i,j) situată în prima linie şi prima coloană) şi metoda
rt
ij

5. Problema de transport 109
costului minim a lui H. S. Houthakker (se selectează la fiecare pas celula (i,j)
corespunzătoare costului m inim cij ).
enea
amplasate în diferite locuri. Prin contract, prima staţie de betoane asigură 10 m 3 , a
doua 15 m 3 , iar a treia 25 m 3 . Necesarul
de 5 m 3 pentru primul, 10 m 3 pentru al 20 şi 15 m 3
pentru al patrulea. Preţul de transport pentru 1 m 3 O întreprindere de construcţii are în lucru 4 blocuri de locuinţe în diferite locuri
în oraş şi se aprovizionează cu mortar de la 3 staţii de betoane de asem
zilnic de mortar pentru fiecare bloc este
doilea, m
de la o staţie de betoane la un
bloc este dat de Tabelul 5.1.
3 pentru al treilea
Staţie
betoane
Bloc
5.4. Exemplu
Tabelul 5.1
B1 B2 B3 B4 Disponibil ( ai )
S1 8 3 5 2 10
S2 4 1 6 7 15
S3 1 9 4 3 25
Necesar (bj) 5 10 20 15
Să se găsească un plan de transport care să determine cantităţile zilnice xij de
mortar ce trebuie aduse de la staţia de betoane i la blocul j, astfel încât
cheltuielile de transport să fie minime.
Rezolvare
a) Modelarea problemei
3 4
multiplicatorii⎧
⎪min∑∑cij
xij
simplex
i= 1 j=
1 ⎪
u → ⎪x11
+ x12
+ x13
+ x = 10
1
14
u → ⎪x21
+ x22
+ x23
+ x = 15
2
24
⎪
u → ⎪x31
+ x32
+ x33
+ x = 25
3
34
v →
⎨x11
+ x21
+ x31
= 5
1 ⎪
v → ⎪x12
+ x22
+ x32
= 10
2
⎪
v → ⎪
x + x + x33
= 20
3
13 23
v → ⎪x14
+ x24
+ x34
= 15
4
⎪
⎩xij
≥
0 , 1≤
i ≤ 3 , 1≤
j ≤ 4

110
Matricea restricţiilor
⎛1
⎜
⎜0
⎜0 ⎜
A = ⎜1
⎜
⎜
0
⎜0
⎜
⎝0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎟
0⎟
⎟
0
⎟
0⎟
⎟
1⎠
Modele şi algoritmi de optimizare
b) Determinarea unei soluţii iniţiale de bază
Determinarea soluţiei iniţiale de bază se face cu metoda colţului nord-vest, pornind
de la Tabelul 5.1, obţinându-se Tabelul 5.2.
min {a1,b1}= min {10,5}=5=b1 , x11=5 se suprimă coloana 1
min {a1,b2}= min {5,10}=5=a1 , x12=5 se suprimă linia 1
min {a2,b2}= min {10,5}=5=b2 , x22=5 se suprimă coloana 2
min {a2,b3}= min {10,20}=10=a2 , x23=100 se suprimă linia 2
min {a3,b3}= min {25,10}=10=b3 , x33=10 se suprimă coloana 3
min {a3,b4}= min {15,15}=15=b4 , x34=15 se suprimă linia 3 şi coloana 4
Staţie
betoane
Bloc
Tabelul 5.2
B1 B2 B3 B4 Disponibil( ai )
S1 5 5 10 5
S2 5 10 15 10
S3 10 15 25 15
Necesar (bj) 5 10 5 20 10 15
Mulţimea celulelor de bază este următoarea
B= { ( 1 , 1)
, ( 1,
2)
, ( 2,
2)
, ( 2,
3)
, ( 3,
3)
, ( 3,
4)
} .
Valoarea funcţiei obiectiv pentru baza dată de metoda colţului nord-vest este
f=5⋅8+5⋅3+5⋅1+10⋅6+10⋅4+15⋅3=205
după cum rezultă din Tabelul 5.3.
Tabelul 5.3
8 3 5 2
5 5
4 1
6
7
5
10
1 9 4
3
10 15
În Tabelul 5.3 celulele cu diagonală sunt celulele de bază. Matricea bazei
corespunzătoare este
x11 x12 x22 x23 x33 x34

5. Problema de transport 111
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
B = ⎜
⎜1
⎜
⎜
0
⎜
⎝0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎟
0⎟
⎟
0
⎟
0⎟
⎠
c) Algoritmul de transport
Iteraţia I
Pas 1. Începem algoritmul cu soluţia de bază
obţinută în etapa precedentă. Se
consideră v 4=0
şi se rezolvă sistemul
λ′ B = c′
B
T −1
⇒ λ = ( B ) c B , unde c′ B =(8 3 1 6 4 3)’ ,
rezultând ( ) ( ) ′
λ ′ = u u u v v
′
v = 7 5 3 1 − 4 1 .
1
2
3
1
2
3
Obţinem pentru celulele nebazice coeficienţii de cost redus, α ij = ui + v j − cij
,
( ∀ ) ( i,
j)
∈S
valorile:
α13=u1+v3−c13=7+1−5=3; α14=u1+v4−c14=0+7−2=5; α21=u2+v1−c21=−5+1−4=2;
α24=u2+v4−c24=5−7=−2; α 31=u 3+v1−c31=3+1−1=3; α32=u3+v2−c32=3−4−9=−10.
Cum nu toţi α ≤ 0 , ( ∀ ) ( i , j)
∈S
, continuăm cu determinarea celulei care intră în
bază α = α ( i,j)
sk
ij
{ ∈S
}
α
max ij = 14
α ij ≥0
= 5
Intră în bază celula (1,4) . Vectorul d corespunzător este d’=(1 0 0 0 0 0)’ .
Pas 2. Se determină ciclul iniţiat de celula (1,4)
y
= −
B
−1
d
= −
B
1 =
.
x11 x12 x22 x23 x33 x34
1(
1 0 0 0 0
′
0)
= ( 0 −1
1 −1
1
′
−1)
( 1,
4)
, ( 1,
2)
, ( 2,
2)
, ( 2,
3)
, ( 3,3)
, ( 3,4)
, ( 1,
4)
−
{ }
C .
Se determină celula care iese din baza B 1 cu criteriul
=
x
( i,
j ) ∈{
( 1,
2)
, ( 2,
3)
, ( 3,
4)
}
{ }
min xi = x
0 jo
ij 12
(minimul s-a luat după toate celulele de ordin par (poziţiile cu semn minus) din
ciclul C1) .
~
Pas 3. Aşadar, iese din bază celula (1,2) şi se obţine baza B 1 cu celulele:
~ 1
5 =
{ ( 1,
1)
, ( 1,
4)
, ( 2,
2)
, ( 2,
3)
, ( 3,
3)
, ( 3,
4)
}
B =
.
Se calculează
⎧xij
− xrt
~ ⎪
xij
= ⎨xij
+ xrt
⎪
⎩
xij
şi se trec în Tabelul 5.4
dacã
celula ( i,j)
este de rang par în ciclul C1
, semnul −
dacã
celula ( i,j)
este de rang impar în ciclul C1
, semnul
dacã
celula ( i,j)
∉ C1
+

112
5+0
8
Tabelul 5.4
3
5 2
5−5
5
4 1
6
7
5+5 10−5
1 9 4
3
10+5 15−5
Modele şi algoritmi de optimizare
Valoarea funcţiei obiectiv f=5⋅8+5⋅2+10⋅1+ 5⋅6+15⋅4+10⋅3=180 .
Iteraţia a II−a
Pas 1. Considerând din nou v4=0 se rezolvă sistemul
~
~ T −1
λ ′ B = c′
~ ⇒ λ = ( B c ~ , unde c′ ~ =(8 2 1 6 4 3)’
1
B1
1 )
B1
′
′
( u u u v v v ) = ( 2 5 3 6 − 4 )
λ ′ =
1 ,
1
2
3
1
2
şi obţinem pentru celulele nebazice coeficienţii de cost redus,
α12=u1+v2−c12=2−4−3=−5; α13=u1+ v3−c13 =2+1−5=−2; α21=u2+ v1−c21=5+6−4=7
α24=u2+ v4−c24=5−7=−2; α 31=u 3+v1−c 31=3+6−1=8;
α32= u3+v2−c32=3−4−9=−10. Deoarece nu toţi αij ≤ 0 , ( ∀) ( i, j)
∈S
1 , continuăm
cu determinarea celulei care
{ ( ) } ∈ α S
intră în bază α = i,j
sk
max
αij ≥0
ij
1
= α
Intră în bază celula (3,1) . Vectorul d corespunzător este d
Pas 2. Se determină ciclul
iniţiat de celula (3,1)
=(0 0 1 1 0 0)’ .
x11 x14 x22 x23
x33 x34
−1
y = −B
d
−1
= −B
0 0 1 1 0
′
0 = −1
1 0 0 0 −1
1
1
1
3
31 =
8
.
B1
( ) ( ′ )
= ( 3,
1)
, ( 1,
1)
, ( 1,
4)
, ( 3,
4)
, ( 3,
1)
{ }
C 2
~
Se determină celula care iese din baza B 1 cu criteriul
.
5
=
x = x =
( i,
j ) ∈{
( 1,
1)
, ( 3,
4)
}
{ }
min xi 0 j0
ij 11
(minimul s-a luat după
toate celulele de ordin par din ciclul C2) .
~
Pas 3. Acum iese din bază celula (1,1) şi se obţine baza B 2 cu celulele:
~ 2
{ ( 3, 1)
, ( 1,
4)
, ( 2,
2)
, ( 2,
3)
, ( 3,
3)
, ( 3,
4)
}
B = .
Se calculează
⎧xij − xrt ~ ⎪
xij = ⎨ xij
+ xrt
⎪
⎩
xij şi se tre c în Tabelul 5.5.
dacã
celula ( i, j)
este
de rang
par în
ciclul
C2
dacã
celula ( i,j)
este
de rang impar
în ciclul
C
dacã
celula ( i,j)∉C2
Tabelul 5.5
8
3 5 2
5−5
5+5
4 1 6 7
1 ′
2

5. Problema de transport 113
5
1
10
5
9 4
15 10−5
Valoarea funcţiei obiectiv f=10⋅2+ 10⋅1+5⋅6+5⋅1+15⋅4+5⋅3=140
.
Iteraţia a III−a
Pas 1. Din nou luăm v4=0 şi rezolvăm sistemul
~
~ T −1
λ ′ B = c′ ~ ⇒ λ = ( B ) c ~ , un c′ =(1 2 1 6 4 3)’
2
B1
2
B21
de ~
B1
′
′
λ ′ = ( u1
u2
u3
v1
v2
v3
) = ( 2 5 3 − 2 − 4 1)
,
şi obţinem
pentru celulele nebazice coeficienţii de cost redus,
α11=u1+v1−c11=2−2−8= −8; α12=u1+v2−c12=2−4− 3=−5; α31=u3+v1−c31=2+ 1−5= −2;
α21=u2+ v1−c21=5−2−4= −1; α 24=u 2+v4−c24=5−7=
−2; α32=u3+v2 −c32=3−4−9=−10.
Deoarece αij ≤ 0 , ( ∀) ( i, j)
∈S
2 , soluţia
x14=10 , x22 =10 , x23=5 , x31=5 ,
x33 =15 , x34=5 este optimă, dă pentru funcţia obiectiv valoarea f=140 şi algoritmul
se opreşte.
Rezolvăm această problemă şi cu ajutorul pachetului de programe
Management
Scientist. După lansarea pachetului de programe alegem modulul
Transportation
din fereastra prezentată în Figura 2.4. Din fereastra care apare se selecteză din
submeniul File, New – pentru crearea unei noi probleme
de transport, se introduc
numărul de depozite şi număr ul de centre de consum, apo i costurile unitare de
transport ca în Figura 5.1.
Figura 5.1
Pentru rezolvarea problemei, din submeniul Solution se selectează
Solve, se
alege din fereastra Select Optimization Criteria, Maximization Objective . Se
afişează fereastra cu rezultatele problemei. Rezultatele
obţinute, aşa cum se văd în
Figura 5.2, coincid cu cele obţinute aplicând algoritmul
de transport.
3

114
Figura 5.2
Modele şi algoritmi de optimizare
Să rezolvăm aceeaşi problemă
utilizând Solver-ul din Excel. Pentru aceasta
creăm foaia de calcul cu datele de intrare ca în Figur ă 5.3, efectuând paşii descrişi
în continuare.
Figura 5.3
În celula D3 introducem funcţia de optimiz at D3 = C7*B13+ C8*B 14+

5. Problema de transport 115
C9*B15+D7*D13+D8*D14+D9*D15+ E7* F13+E8* F14+ E 9*F15+F7*H13+F8 *H14+F9*H15. Celulele cu necunoscutele problemei sunt B13− B15, D13−D15, F13−F15 şi H13−H15. Celulele B18−B24 con ţin restr icţiile proble mei conform cu
comentariile din celulele A18−A24,
apoi se adaugă condiţiile
de nenegativitate. De
exemplu,
celula
B18 conţine =B13+ D13+ F13+ H13, având
în vedere cum sunt
introduse
datele problemei. Analog celelalte celule (B19−B24). După apăsarea
butonului Solve se obţin rezultatele problemei şi rapoartele ca în Tabelele 5.6−5.8.
Remarcăm că rezultatele sunt aceleaşi cu cele obţinute cu Management Scientist. .........
Cell Name
Tabelul 5.6
Microsoft Excel 10.0 Answer Report
Worksheet: [Problema de transport.xls]Sheet1
Report Created: 6/24/2002 11:39:27 PM
Target Cell (Min)
Original
Value
Final
Value
$C$3 Functia de optimizat 140 140
Cell Name
Adjustable Cells
Original
Value
Final
Value
$B$15 Solutia problemei 0 0
$C$15 B2 0 0
$D$15 B3 0 0
$E$15 B4 10 10
$B$16 Solutia problemei 0 0
$C$16 B2 10 10
$D$16 B3 5 5
$E$16 B4 0 0
$B$17 Solutia problemei 5 5
$C$17 B2 0 0
$D$17 B3 15 15
$E$17 B4 5 5
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$B$23 Restrictiile problemei 10 $B$23=$F$7 Not Binding 0
$B$24 Restrictiile problemei 15 $B$24=$F$8 Not Binding 0
$B$25 Restrictiile problemei 25 $B$25=$F$9 Not Binding 0
$B$26 Restrictiile problemei 5 $B$26=$B$10 Not Binding 0
$B$27 Restrictiile problemei 10 $B$27=$C$10 Not Binding 0
$B$28 Restrictiile problemei 20 $B$28=$D$10 Not Binding 0

116
Modele şi algoritmi de optimizare
$B$29 Restrictiile problemei 15 $B$29=$E$10 Not Binding 0
$B$15 Solutia problemei 0 $B$15>=0 Binding 0
$C$15 B2 0 $C$15>=0 Binding 0
$D$15 B3 0 $D$15>=0 Binding 0
$E$15 B4 10 $E$15>=0 Not Binding 10
$B$16 Solutia problemei 0 $B$16>=0 Binding 0
$C$16 B2 10 $C$16>=0 Not Binding 10
$D$16 B3 5 $D$16>=0 Not Binding 5
$E$16 B4 0 $E$16>=0 Binding 0
$B$17 Solutia problemei 5 $B$17>=0 Not Binding 5
$C$17 B2 0 $C$17>=0 Binding 0
$D$17 B3 15 $D$17>=0 Not Binding 15
$E$17 B4 5 $E$17>=0 Not Binding 5
Tabelul 5.7
Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report
Worksheet: [Problema de transport.xls]Sheet1
Report Created: 7/10/2002 11:30:45 PM
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name
x11= Solutia
Value Cost Coefficient Increase Decrease
$B$13 problemei
x21= Solutia
0 8 8 1E+30 8
$B$14 problemei
x31= Solutia
0 1.00 4.00 1E+30 1.00
$B$15 problemei 5 0 1 1.00 1E+30
$D$13 x12= B2 0 5 3 1E+30 5
$D$14 x22= B2 10 0 1 5 1E+30
$D$15 x32= B2 0 10 9 1E+30 10
$F$13 x13= B4 0 2 5 1E+30 2
$F$14 x23= B4 5 0 6 1.00 5
$F$15 x33= B4 15 0 4 2 1.00
$H$13 X14= 10 0 2 2 1E+30
$H$14 X24= 0 2 7 1E+30 2
$H$15 X34= 5 0 3 2 2
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name
x11+x12+x13+x14=
Restrictiile
Value Price R.H. Side Increase Decrease
$B$18 problemei 10 −3
10 5 0

5. Problema de transport 117
$B$19
$B$20
$B$21
$B$22
$B$23
$B$24
x21+x22+x23+x24=
Restrictiile
problemei
x31+x32+x33+x34=
Restrictiile
15 0 15 0 1E+30
problemei
x11+x21+x31=
Restrictiile
25 −2 25 5 0
problemei
x12+x22+x32=
Restrictiile
5 3 5 0 5
problemei
x13+x23+x33=
Restrictiile
10 1 10 0 10
problemei
x14+x24+x34=
Restrictiile
20 6 20 0 5
problemei 15 5 15 0 5
Tabelul 5.8
Microsoft Excel 10.0 Limits
Report
Worksheet: [Problema de transport.xls]Limits
Report 1
Target
Cell Name Value
$D$3 Functia de optimizat 140
Re port C reated: 7/11/2002 8:23:41 AM
Adjustable Lower Target Upper Target
Cell Name Value Limit Result Limit Result
$B$13
x11= Solutia
problemei
x21= Solutia
0 0 140 0 140
$B$14 problemei
x31= Solutia
0 0 140 0 140
$B$15 problemei 5 5 140 5 140
$D$13 x12= B2 0 0 140 0 140
$D$14 x22= B2 10 10 140 10 140
$D$15 x32= B2 0 0 140 0 140
$F$13 x13= B4 0 0 140 0 140
$F$14 x23= B4 5 5 140 5 140

118
Modele şi algoritmi de optimizare
$F$15 x33= B4 15 15 140 15 140
$H$13 x14= 10 10 140 10 140
$H$14 x24= 0 0 140 0 140
$H$15 x34= 5 5
140 5 140

5. Problema de transport 119
5.5. Problema atribuirii sarcinilor
Să se determine atribuirea optimă a n sarcini la n specialişti ştiind că:
• unui specialist i se atribuie o singură sarcină,
• sarcina este executată de un singur specialist, iar
• profitul executării sarcinii j de către specialistul i este cij .
Atribuirea este optimă dacă profitul obţinut este maxim (Luenberger, 1989).
Trebuie să determinăm xij , i = 1 , n , j = 1,
n astfel încât
n n ⎧
⎪max∑∑cij xij
j=
1 1=
1 ⎪
n
⎪
∑ xij
= 1,
i = 1,
n
⎨ j=
⎪ n
⎪∑
xij
= 1,
j = 1,
n
⎪ j=
1
⎪
⎩xij
≥ 0 , i = 1,
n , i = 1,
n
În această formulare fiecare variabilă xij trebuie să ia numai valorile 0 sau 1 .
1 (5.1)
Teorema 5.5. Orice soluţie de bază admisibilă pentru problema de atribuire (5.1)
are toate componentele, xij , egale fie cu 0, fie cu 1.
Demonstraţie. Din corolarul 5.1 toate variabilele de bază în orice soluţie de bază
sunt întregi. Variabilele xij nu pot fi mai mari decât 1 şi cum sunt nenegative, nu
pot lua decât valorile 0 sau 1 .
Astfel, sunt cel mult n variabile de bază care au valoarea 1, deoarece există
cel mult un singur 1 pe fiecare linie şi fiecare coloană. Într-o problemă de transport
de această dimensiune o soluţie de bază nedegenerată ar avea 2n−1 componente
pozitive. Problema atribuirii sarcinilor are soluţia admisibilă de bază puternic
degenerată având n−1 componente de bază nule.
Pentru rezolvarea problemei de atribuire se poate folosi algoritmul de transport
sau algoritmul primal−dual pentru problema de programare liniară.
5.6. Probleme propuse
1. Trei staţii de betoane, Si, se aprovizionează cu ciment de la trei rampe de
descărcare, Ri . Cantităţile necesare fiecărei staţii şi cele oferite de fiecare rampă de
descărcare, precum şi costurile de transport de la fiecare rampă la fiecare staţie de
betoane sunt trecute în Tabelul 5.9 .
Tabelul 5.9

120
Rampă
Staţie
Costuri (u.m.) Ofertă
S1 S2 S3 (tone)
R1 7 2 5 17
R2 3 6 3 21
R3 4 5 6 23
Necesar
(tone)
19 28 14
Modele şi algoritmi de optimizare
Să se precizeze planul de transport care să conducă la costul minim de transport şi
cât este acest cost.
R. Transportând de la R1 pentru S2 17 tone, de la R2 pentru S1 7 tone şi pentru
S3 14 tone, de la R3 pentru S1 12 tone şi pentru S2 11 tone, se obţine costul
minim Cmin=200 u.m.
2. O firmă textilă are două fabrici, doi furnizori de materii prime şi trei centre de
desfacere. Costurile de transport pentru o tonă de încărcătură între furnizor şi
fabrici şi între fabrici şi centrele de desfacere sunt date în Tabelul 5.10 .
Tabelul 5.10
Fabrică
Centru de
A B
desfacere 1 2 3
Furnizor
Fabrică
1 1 1.5 A 4 2 1
2 2 1.5 B 3 4 2
Sunt disponibile 10 tone de la furnizorul 1 şi 15 tone de la furnizorul 2. Cele trei
centre de desfacere necesită 8, 14 respectiv 3 tone de produse finite. Cele două
fabrici au capacitate de producţie nelimitată.
a) Să se reducă problema la o problemă de transport cu două surse şi trei destinaţii
şi să se determine un plan de transport care să minimizeze cheltuielile totale.
b) Dacă fabrica A are o capacitate de producţie de 8 tone şi fabrica B de 7 tone, să
se descompună problema în două probleme de transport şi să se rezolve.
3. O firmă are nevoie să angajeze în trei posturi vacante trei persoane cu calificări
diferite. Pentru aceste posturi sunt trei pretendenţi, fiecare putând ocupa oricare loc
vacant cu acelaşi salariu, dar datorită deosebirii de aptitudini, studii şi experienţă,
utilitatea fiecărui candidat pentru firmă depinde de postul pe care este angajat.
Veniturile anuale ale firmei de pe urma
fiecărui candidat, angajat pe unul din cele
trei posturi vacante, sunt trecute în Tabelul 5.11.

5. Problema de transport 121
Candidat
Tabelul 5.11
Funcţie
1 2 3
1 5 4 7
2 6 7 3
3 8 11 2
Să se decidă cea mai bună repartizare pe funcţii a candidaţilor, astfel încât
câştigurile
firmei să fie maxime.
R. Repartizând candidatul 1 pentru funcţia 3, candidatul
2 pentru funcţia 1 şi
candidatul
3 pentru funcţia 2, firma obţine un câştig maxim de 24 .
4. Un centru de proiectare are de realizat trei contracte pentru trei beneficiari (câte
unul pentru fiecare beneficiar în parte) şi timpii necesari realizării acestor proiecte
(în săptămâni) pentru cele trei echipe de proiectare sunt trecuţi în Tabelul 5.12.
Tabelul 5.12
Echipa de proiectare
Client
A B C
1 10 15 9
2 9 18 5
3 6 14 3
Dacă fiecărei echipe i se atribuie un singur proiect, care va fi cea mai eficientă
atribuire în sensul celui mai mic număr de săptămâni necesare pentru realizarea
celor trei proiecte?
R. Echipei 1 i se va repartiza proiectul 2, echipei 2 i se va repartiza proiectul 3,
echipei 3 i se va repartiza proiectul 1, iar timpul minim necesar realizării celor trei
proiecte este de 26 săptămâni.
5. O firmă care organizează mese festive trebuie să servească în fiecare seară câte
un banchet, timp de 4 zile. Pentru fiecare zi i sunt necesare ri feţe de mese curate,
r1=100 , r2=130 , r3=150 , r4=140 . Feţele de mese murdare se trimit la curăţătorie,
care le poate spăla rapid (de pe o zi pe alta) cu un preţ c1=6 u.m., sau normal (la
două zile), cu un preţ c2=4 u.m. Firma poate şi să cumpere feţe de mese la un preţ
c0=12 . Stocul iniţial de feţe de mese este s=200. Să se determine costul minim
pentru a asigura feţe de mese curate în fiecare seară.

6. PROGRAMARE PĂTRATICĂ
6.1. Exemple de probleme car e conduc la programare pătratică
6.1.1. Utilizarea optimă a resurselor
Considerăm, ca şi în cazul programării liniare, că avem la dispoziţie m resurse
în cantităţile bi , i = 1,
m . Cu ajutorul acestor resurse se pot desfăşura n activităţi
de producţie şi să notăm cu xj , j = 1 , n , nivelul fiecărei activităţi
j. Fie aij
cantitatea din resursa i necesară pentru producerea
unei unităţi din produsul j, ci
preţul de desfacere şi di costul de producţie.
Se pune problema determinării unui program de lucru astfel încât profitul
obţinut să fie maxim. Pentru a obţine profitul maxim trebuie ca toată producţia
realizată să se vândă la preţurile c j , ceea ce este greu de acceptat. Este natural să
presupunem că volumul de producţie xj care se vinde descreşte o dată cu creşterea
preţului de vânzare yj , astfel:
yj=βj−αj⋅ xj ( αj≥0 , βj≥0
). (6.1)
Dependenţa liniară a preţului yj de nivelul de producţie xj vândut este de
asemenea o simplificare a realităţii, dar mai realistă
decât faptul că preţurile j
se obţine următorul model (Maliţa şi Zidăroiu, 1971):
y
nu depind de xj . Astfel
⎧ ⎡ n
n
⎤
2
⎪max⎢−
∑α
j ⋅ x j + ∑ ( − d j + β j ) ⋅ x j ⎥ = f ( x)
⎪ ⎣ j=
1
j=
1
⎦
⎪ m
⎨∑
aij
⋅ x j ≤ bi
1≤
i ≤ m
(6.2)
⎪ j=
1
⎪x
j ≥ 0 j = 1,n
⎪
⎩
Funcţia
obiectiv a acestui model este o formă pătratică. Modelul (6.2) poate fi
extins în sensul că şi costul unitar de producţie di
poate depinde de nivelul de
′
producţie xj , astfel d = d − γ ⋅ x cu ≥ 0
j
j
j
j
γ j , iar preţul unitar de vânzare yj
depinde de volumul de producţie constituit din mai
multe produse
y
j
= β
−
j
n
∑
k = 1
α
jk
⋅ x
k
.

6. Programare pătratică 123
6.1.2. Problema investiţiei
Să presupunem că există mai multe domenii în care se pot face investiţii,
anume D1, ..., Dn . Presupunem că investind suma xj în domeniul Dj se obţine un
venit cj(xj) care depinde liniar de suma investită xj
c = α + β ⋅ x .
Să notăm cu f venitul total adus de planul de investiţii adoptat
j
n
∑
j=
1
j
şi astfel se obţine modelul
⎧ ⎡ n
⎤
⎪max⎢∑
( α j + β j ⋅ x j ) ⋅ x j ⎥ = f ( x)
⎪ ⎣ j=
1
⎦
⎪ m
⎨∑
aij
⋅ x j ≤ bi
1≤
i ≤ m
(6.3)
⎪ j=
1
⎪x
j ≥ 0 j = 1,n
⎪
⎩
Am obţinut din nou o problemă de optimizare în care funcţia obiectiv este o
formă pătratică, iar restricţiile sunt liniare.
j
( α + ⋅ x )
f ( x)
= β
j
j
j
j
⋅ x
6.1.3. Regresii liniare
Presupunem că avem o mărime y care depinde liniar de variabilele x1, ..., xn ,
astfel
y=a1⋅ x1+ ...+ an⋅ xn.
Se pune problema estimării parametrilor a1, ..., an , presupunând cunoscute k
observaţii asupra lui y şi xi , i = 1,
m
j j
x1
,..., xm
, j = 1,k
⎛
⎞ j
în sensul minimizării sumei pătratelor abaterilor ⎜
⎟
⎜
y j − ∑ ai
⋅ xi
⎟
eventual
⎝
⎠
ponderat cu nişte factori b >0
j
m
n ⎛
j ⎞
min∑bj⋅⎜yj−∑ai⋅xi⎟. j=
1 ⎝ i=
1 ⎠
Asupra parametrilor a , ..., an se impun condiţii suplimentare, de tipul
1
n
−
+
ai ≤ ai
≤ ai
sau ∑ α
ri ⋅ ai
≤ cr
1≤
r ≤ p .
i=
1
j
2

124
Modele şi algoritmi de optimizare
Se obţine din nou o problemă de programare cu funcţia obiectiv o formă
pătratică şi cu restricţii liniare
2
⎧ m
n ⎛
j ⎞
⎪min
⎪ ∑bj⋅⎜yj−∑ai⋅xi⎟ j=
1
⎨
⎝ i=
1 ⎠
.
n
⎪
-
+
⋅ ≤ ≤ ≤
≤ ≤
⎪∑α
ri ai
cr
, 1 r p sau ai
ai
ai
⎩ i=
1
Mai înainte de a trece la rezolvarea problemei de programare pătratică să
amintim câteva noţiuni referitoare la formele pătratice.
6.2. Definiţii. Proprietăţi
Fie f o funcţie de gradul al doilea în x , ..., x
f
(x )
=
n
n
1 n
n
∑∑Cij ⋅ xi
⋅ x j + ∑
i=
1 j=
1 j=
1
n,
n R
unde:
x=(x1, ..., xn)’ , C ∈M
( ) şi Cij=Cji (în caz contrar, adică dacă Cij≠Cji,
1
definim d ( C + C )
d
ij
= 2
ij=dji ) , iar ′ = ( c ,..., c )
ij
1
n
ji
c .
n
n
c
j
⋅ x
j
+ c
n n n
şi atunci ∑∑Cij
⋅ xi
⋅ x j = ∑∑d
i= 1 j=
1
0
n
i= 1 j=
1
ij
⋅ x ⋅ x
Fie Q(
x ) = ∑∑C
⋅ ⋅ = xCx′
ij xi
x j grupul termenilor de gradul al doilea. Se
i=
1 j=
1
ă funcţia Q(x) se poate pune sub formă de sumă algebrică de pătrate de
Gauss). Dacă notăm cu n şi cu n numărul pătratelor care
au coeficienţii pozitivi şi respectiv negativi, atunci avem n + + n − ştie c
expresii liniare, omogene şi independente (reducerea la forma canonică a formelor
+ −
pătratice cu metoda lui
≤ n .
Definiţia 6.1. Q(x) se numeşte formă pătratică pozitiv definită dac ă n + = n şi
n – = 0 .
Definiţia 6.2. Q(x) se numeşte formă pătratică pozitiv semidefinită dacă n + 0, atunci forma pătratică este nedefinită.
+ > 0 şi
i
j
şi

6. Programare pătratică 125
Propoziţia 6.1. Dacă Q ( x ) = x′
Cx este pozitiv semidefinită, atunci Q(x)=0 dacă
şi numai dacă Cx=0 .
n
Demonstraţie. Arătăm că Q(x)=0 implică Cx=0 . Fie ( ∀ ) y ∈R
şi ( ∀) λ ∈R
,
atunci
2
Q(
y + λx)
= ( y + λx)
′ C(
y + λx)
= y′
Cy + 2λy′
Cx + λ x′
Cx = y′
Cy + 2λy′
Cx ≥ 0 .
Cum inegalitatea are loc pentru ( ∀) λ ∈R
, rezultă că y ′Cx = 0 . Dar cum
această egalitate are loc pentru orice y , rezultă că Cx=0.
Implicaţia inversă este evidentă !
Proprietăţi
1. Dacă Q este pozitiv definită, atunci
n
det(C)>0 şi Q(x)>0, ( ∀) x ∈ R \ { 0}
, iar Q(0)=0 .
2.
Dacă Q este pozitiv semidefinită, atunci
det(C)= 0 şi Q(x)=0,
pentru o mulţime de vectori x≠0 .
3. Dacă Q este negativ definită, atunci
n
det(C) 0 . Afirmaţia a doua rezultă din
i
n
= ∏
i=
1
Propoziţia 6.1 , astfel Q ( x) = x′
Cx = 0 ⇒ Cx = 0 . Dar, C este nesingulară şi
unica soluţie este x=0.
2
2. Dacă Q este pozitiv semidefinită Q(
ξ ) = λ ξ cu
i
+
n
∑
i=
1
i
i
+
λ i > 0 , i = 1,
n ,
, i n 1,
n
∏ n
+
λ = 0 = + . Atunci det( C ) = λ = 0 . Din Propoziţia
6.1 rezultă
i
Q(
x) = x′
Cx = 0 ⇒ Cx = 0 . Dar, C este singulară şi soluţia x=0 nu este unică.
Analog se demonstre ază afirmaţiile 3 şi 4.
i=
1
( ) R y ( ) ∈(
0,
1)
2
( 1 − λ)
⋅ y = λ ⋅ Q(
x)
+ 1 − λ ⋅ Q(
y)
+ λ −
n
Observaţia 6.1. Pentru ∀ x, y ∈ , x ≠ şi
i
∀ λ avem
[ ⋅ x + ] ( ) ( ) ⋅ Q(
x − y)
Q λ λ .
Deci, dacă Q este pozitiv definită avem
Q λ ⋅ x + ( 1 − λ)
⋅ y < λ ⋅ Q(
x)
+ 1 − λ ⋅ Q(
y
şi dacă Q este pozitiv semidefinită avem
[ ] ( ) )

126
[ ⋅ x + ( 1 − λ)
⋅ y]
≤ λ ⋅ Q(
x)
+ ( 1 − λ)
Q(
y)
Modele şi algoritmi de optimizare
Q λ ⋅ .
Prin urmare, orice formă pătratică pozitiv definită este o funcţie strict convexă
şi
orice formă pătratică pozitiv semidefinită este o funcţie convexă.
O problemă de programare pătratică este acea problemă în care trebuie
determinat un vector x * care minimizează o formă pătratică convexă sau
maximizează o formă pătratică concavă şi în care variabilele mai trebuie să
verifice un sistem de inegalităţi liniare şi eventual unele restricţii de semn.
Forma generală a problemei de programare pătratică este
n n
n
⎧
1
⎪min
f ( x)
= min ∑∑Cij ⋅ xi
⋅ x j + ∑ci
⋅ xi
= = =
⎪
2 i 1 j 1 i 1
n
⎪
⎨∑aij
⋅ x j ≤ bi
1≤
i ≤ m
⎪ j=
1
⎪x j ≥ 0 1≤
j ≤ n ( restricþii
de semn)
⎪
⎩
sau matriceal
⎧
⎧1
⎫
⎪min
f ( x)
= min ⎨ x′
Cx + c′
x⎬
⎪
⎩2
⎭
⎨Ax
≤ b
⎪x
≥ 0
⎪ n
m
⎪⎩ x ∈ R , b ∈ R , A∈
M mn ( R ) , C ∈ M n ( R )
(6.4)
unde
1
f (x)
= x ′ Cx + c′
x
2
este convexă. Numim această formă a problemei de programare pătratică forma
canonică. În inegalităţile (6.4), valorile bi sunt strict pozitive (dacă ar fi negative,
inegalităţile
respective se înmulţesc cu –1).
Exemplu. În două variabile o formă pătratică pozitiv definită este paraboloidul
eliptic,
2 2
x1
x2
f ( x1,
x2
) = + , a,
b ≠ 0 ,
2 2
a b
şi admite un minim unic (Figura 6.1), iar o formă pătratică semidefinită este
cilindrul parabolic,
2 2
f ( x1,
x2
) = a x1
, a ≠ 0 ,
cu concavitatea îndreptată în sus (în acest caz nu avem un punct de extrem unic, ci
o dreaptă paralelă cu planul x1Ox2) (Figura 6.2).

6. Programare pătratică 127
Figura 6.1 Figura 6.2
6.3. Fundamentarea algoritmului lui Wolfe
În cele ce urmează sunt prezentate teoreme ce permit trecerea de la
problema
de programare pătratică la o problemă de programare l iniară echivalentă, fiind
astfel posibilă utilizarea algoritmului simplex pentru obţinerea soluţiei
problemei de programare pătratică. Algoritmul care se obţine este cunoscut sub
numele de algoritmul lui Wolfe, cu cele două forme ale sale : scurtă şi lungă.
Teorema 3.5 (care dă condiţiile Kuhn-Tucker) pentru această problemă
are
formularea următoare.
* * *
Teorema 6.1. (Condiţiile Kuhn−Tucke r). Vectorul ( ..., ) x x = x este soluţia
1 , n
problemei de programare
pătratică (6.4) dacă şi numai dacă
există
* * * ( ..., ) u u =
* * *
u , ( ..., ) v v =
* * *
v şi y = ( y ..., y ) astfel încât
1 , m
1 , n
n ⎧ * *
⎪∑aij
x j + yi
= b
j=
1 ⎪
n
m
⎪
* * *
⎪∑
C
jk xk
− ∑ui
aij
− v j = −c
j
⎨ k=
1
i=
1
⎪ *
*
*
x ≥ 0 , u ≥ 0 , v ≥ 0 , y
⎪ n
n
⎪ * *
* *
∑ x jv
j = 0 , ∑ui
yi
= 0
⎪⎩
j=
1
i=
1
sau matriceal
1 , m
*
≥ 0
1≤
i ≤ m
1≤
j ≤ n
(6.5)

128
⎧Ax
+ y = b
⎪ t
⎪Cx
- A u - v = -c
⎨
⎪x′
v = 0, u′
y = 0
⎪ *
*
⎩x
≥ 0 , u ≥ 0 ,
*
v ≥ 0 ,
y
*
Modele şi algoritmi de optimizare
Observaţia 6.2. yi sunt variabilele ecart care apar în Ax+y=b, vi sunt variabilele
ecart în C⋅x−A T u−v=−c .
Din condiţiile de nenegativitate rezultă că xjvj=0 şi uiyi= 0 ,
1≤
j ≤ n , 1≤
i ≤ m , adică din cele 2⋅m+2⋅n necunoscute care apar în sistemul
(6.5) de m+n ecuaţii, interesează numai soluţiile nenegative, care au cel mult
m+n componente nenule, adică soluţiile admisibile
de bază ale sistemului (6.5) .
Fie problema de programare pătratică
n n
n
⎧
1
⎪min
f ( x)
= min ∑∑Cij xi
xi
+ ∑ci
xi
⎪
2 i=
1 j=
1 i=
1
n
⎪
⎨∑aij
x j = bi
1≤
i ≤ m
⎪ j=
1
⎪x
j ≥ 0 1≤
j ≤ n
⎪
⎩
≥ 0
⎧
⎧1
⎫
⎪min
f ( x)
= min ⎨ x′
Cx + c′
x⎬
⎪
⎩2
⎭
⎨ Ax = b
⎪x ≥ 0
(6.4’)
⎪
⎩
(matriceal)
Numim această formă a problemei de programare pătratică forma standard.
Teorema 6.2. Problema (6.4’) admite soluţie optimă x * dacă şi numai dacă
m ( ∃) u∈
R astfel încât
*
*
* t *
* ′ * t
x ≥ 0 ; Ax = b ; c + Cx − A u ≤ 0 ; x c + Cx − A u = .
( ) ( ) 0
Demonstraţie. Din Teorema 6.1 rezultă că x * este soluţie a problemei (6.4’) dacă
şi numai dacă ( ∃ )
*
m
u ∈R
, astfel încât
*
* *
* *
x ≥ 0 , ∇ L ( x , u ) = 0 , ∇ L ( x , u ) ≤ 0 , ( ) ′ * *
x* ∇ L ( x , u ) = 0 .
u
x
Corolar 6.2. x a problemei (6.4’) dacă şi numai dacă
*
u ∈ , a
* este soluţie
∃
* n
m
∈R
, R
* * *
x , v , u este soluţie pentru sistemul
( )
v stfel încât ( )
⎧Ax
= b
⎪ t
⎨Cx
− A u + v = -c
⎪
⎩x′
v = 0 , x ≥ 0 , u ≥ 0 .
x
(6.6)
Demonstraţie. În Teorema 6.2 luăm .
2. Dacă R n t
v = -c - Cx + A u
Propoziţia 6. R = { x∈ ⏐ A⋅x=b ; x≥0 }≠φ, atunci
(6.4’) are optim
infinit dacă şi numai dacă sistemul

6. Programare pătratică 129
⎧Ax
= b
*
*
x ≥ 0 , u ≥ 0 ,
*
⎪ * t * *
⎨ Cx − A u + v = -c
⎪
⎩
(6.7)
este incompatibil.
Demonstraţie. Presupunem că min f ( x)
= −∞ şi să arătăm că sistemul (6.7) este
incompatibil. Fie x∈ R . Prin absurd, presupunem că sistemul (6.7) are soluţia
(x * , u * , v * ). Deoarece f este convexă avem
*
* ′ * * ′ * t * ′ *
f ( x)
− f ( x ) ≥ ∇ x ( f ( x ) )( x − x ) = ( Cx + c)
( x − x ) = ( A u − v)
( x − x ) =
* ′ * ′ * ′ * ′ *
= ( u ) Ax - ( v ) x - ( u ) Ax + ( v ) x
Dar
de
unde rezultă că
Ax *
′ *
*
= Ax = b şi ( v ) x ≥ 0 ,
* ′ ( v ) x
f ( x)
≥ f ( x ) - ,
adică minf(x) nu poate fi - ∞ . Contradicţie!
Să arătăm că dacă sistemul (6.7) este incompatibil atunci minf(x)= – ∞.
Sistemul fiind incompatibil, rezultă că problema (6.4’) nu are soluţii. Da, cum
R≠φ, rezultă că min f ( x)
= −∞ .
I
i
Să considerăm o partiţie,
i { j = ( x j ) }
j∈Ii
*
( I i ) , a mulţimii indicilor { , 2,
... , n}
1≤i≤3 = x , i=1,2,3 şi să rescriem vectorii x şi v sub forma
Lema 6.1. Dacă următoarea problemă
de programare liniară
min g′
z
admite soluţie optimă (x * , v * , u * , z * ) cu x *1 >0 , v *3 ⎧Ax
= b
⎪ t
⎪Cx
− A u + v + Dz = -h
⎨
n
m
⎪x,
v, z, g ∈ R , u, h∈
R
⎪
3 1
⎩x,
v, z ≥ 0 , x = 0 , v = 0
>0 , atunci există
astfel încât
⎛ x
⎜
x = ⎜ x
⎜
⎝
x
1
2
3
⎞ ⎛v
⎟ ⎜
⎟ , v = ⎜v
⎟ ⎜
⎠ ⎝
v
⎞
⎟
⎟ .
⎟
⎠
*
*
* 2
* *
A µ = 0 , Cµ
= 0 , µ ≥ 0 , g′
z = h′
µ .
1 astfel
Demonstraţie. Rearanjând restricţiile, problema (6.8) se poate pune sub
forma
1
2
3
∗
µ ∈
(6.8)
n
R

130
min g′
z
⎧
⎪
⎪ 1
⎪
⎪
⎨⎛
C11
⎪
⎜
⎪
⎜C
21
⎪
⎜
⎝C
31
⎪
1
⎪⎩
x , x
[ A A A ]
2
2
C
C
C
3
12
22
32
, v
2
1 ⎡ x ⎤
⎢ 2 ⎥
⎢x
⎥ = b
⎢ ⎥
⎣
0
⎦
1
C ⎡ ⎤
13 ⎞ x ⎡ 0 ⎤
⎟⎢
2 ⎥ t
− +
⎢ 2
C
⎥
23 ⎟⎢x
⎥ A u
⎢
v
⎥
+ Dz = h
C ⎟
⎠
⎢ ⎥
3
⎣
0
⎦
⎢⎣
v ⎥
33
⎦
3
, v , z ≥ 0
Duala problemei
(6.9) este problema de programare liniară
max b′
λ + h′
µ
{ }
Modele şi algoritmi de optimizare
(6.9)
t t 1 t 2 t 3
⎧A
λ + C11µ
+ C21µ
+ C31µ
≤ 0
1
⎪ t t 1 t 2 t 3
⎪A2λ
+ C12µ
+ C22µ
+ C33µ
≤ 0
⎨ t
⎪D
µ ≤ g
⎪
2 3
⎩
Aµ
= 0 , µ ≥ 0 , µ ≥ 0 .
(6.10)
Din Teorema fundamentală a dualităţii (§4.13) există o soluţie optimă
∗ ∗
λ , µ
∗ ∗ *
pentru problema duală (6.10) astfel încât b ′ λ + h′
µ = g′
z . Deoarece
( )
x
* 1 *
, v
3
> 0
1 3
, restricţiile corespunzătoare variabilelor x , v sunt verificate cu
egalitate de către soluţia optimă a problemei duale (din Teorema ecarturilor
complementare, §4.13), adică
(6.11)
∗1
Înmulţind prima relaţie (6.11) cu µ , iar pe cea de-a doua cu µ ≥ 0 şi
adunându-le, avem
+
⎧ t ∗ t ∗1
t ∗2
A λ + C11µ
+ C 21µ
= 0
1 ⎪
t ∗ t ∗1
t ∗2
⎨A2λ
+ C12µ
+ C 22µ
≤ 0
⎪ ∗
∗2
∗3
⎪
Aµ
= 0 , µ ≥ 0 , µ = 0 ,
⎩
′ ′ ′
∗1
t ∗ ∗1
t ∗1
∗1
t ∗2
( µ ) A λ + ( µ ) C11µ
+ ( µ ) C 21µ
+
1
′
′
∗2
′ t ∗ ∗2
t ∗1
∗2
t ∗2
( µ ) 2 λ + ( µ ) C12µ
+ ( µ ) C 22µ
≤ 0
A .
∗
Ţinem seama că A µ = 0 şi atunci putem scrie relaţiile de mai sus sub forma
⎡
⎢
⎣
∗ ∗ ⎛ ⎞ ∗ ⎤
⎞
11 12
( µ ) ( µ ) ⎜ ⎟⎜
⎟
2 ≤ 0
1
1 ′
2 ′ C C ⎛ µ
⎥⎜
⎦⎝C
12
C
22
⎟⎜
∗ ⎟
⎠⎝
µ ⎠
.
* 3

6. Programare pătratică 131
Deoarece = 0
µ , relaţia de mai sus se mai poate scrie ( ∗ ) µ ≤ 0
∗ ′ ∗ ( µ ) C µ = 0 , iar din Propoziţ
∗ 3
′ ∗
µ C . Cum C
este pozitiv semidefinită, rezultă că
ia 6.2 avem
∗
t ∗
t ∗
C µ = 0 . Relaţiile (6.11) devin A λ = 0 şi A λ ≤ 0 . Ţinem seama de aceste
relaţii
în evaluarea produsului b′ λ şi avem
∗ * ∗ ′ * 1 ∗ ′ * 2
b′ λ = λ Ax = λ A x + λ A x
∗ ′ * 2
= λ A x = ,
adică b ′λ = 0 şi
1
( ) ( ) ( ) 0
1
2
2
* * ′ z = h′
. Astfel, lema este demonstrată.
g µ
Propoziţia 6.3. Dacă R ≠ φ , atunci problema (6.4’) are optim infinit dacă şi
( )
∗ n
numai dacă ∃ µ ∈R
soluţie a sistemului
Demonstraţie. Dacă
adică problema de programare liniară
⎧Aµ
= 0
⎪
⎪Cµ
≤ 0
⎨
(6.12)
⎪c′
µ < 0
⎪
⎩µ
≥ 0
min f ( x)
= −∞ , atunci sistemul (6.7) este incompatibil,
⎧min
e′
z
⎪
⎪
Ax = b
t
⎨Cx
− A u + v + Dz = -c
⎪ x ≥ 0 , u ≥ 0 ,
⎪
⎩
2
(6.13)
⎧0
⎪
unde D = ( d ij ) , d
1≤
i,
j≤n
ij = ⎨1
⎪
⎩−1
dacã
i ≠ j
dacã
i = j , ci
≤ 0 , iar e ′ = ( 1 , ..., 1)
are optim
dacã
i = j , ci
> 0
nenul. Fie (x * , v * , u * , z * ) o soluţie optimă pentru (6.13). Sistemul (6.12) este
compatibil, aşa cum rezultă din Lema 6.1, în care luăm
g e = 1, 1,...,
1 , h = -c , = I =
şi ţinând seama că e’z>0.
( )
( ) φ
= I 1 3
∗ n
Dacă ∃ µ ∈ R soluţie a sistemului (6.12) şi x ∈R
, atunci pentru
( ) ≥ 0
*
∀ α , astfel încât + αµ
≥ 0 avem
*
rezultă că + αµ
∈R
pentru
f
*
*
x A ( x + µ ) = Ax + αAµ
= b
x ( ) ≥ 0
∀ α . Calculăm
α . De aici
*
* 2 ∗ ′ *
*
*
( x + αµ ) = f ( x)
+ 2αx′
Cµ
+ α ( µ ) Cµ
+ αc′
µ = f ( x)
+ αc′
µ
*
şi pentru că ′µ < 0 , rezultă că
+ α α →∞
*
µ
c ( x ) ⎯⎯→
⎯ −∞
f .

132
6.4. Forma scurtă a algoritmului lui Wolfe
Modele şi algoritmi de optimizare
Algoritmul lui Wolfe în forma scurtă constă din două etape. În etapa întâi se
rezolvă următoarea problemă de programare liniară (Ştefănescu, 1989):
⎧ { + }
Ax = b
t * 1 2
(6.14)
Cx − A u + v + z − z = -c
1 2
x, v, z , z ≥ 0
2 1
min z z
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1 2 n
m
unde x, v, z , z ∈R
, iar u∈
R , împreună cu următoarea regulă
suplimentară:
Pentru ∀ i = 1,
, xi , vi
nu pot fi simultan nenuli (6.15)
( ) n
Teorema 6.3. Prin aplicarea algoritmului simplex problemei (6.14) împreună cu
regula suplimentară (6.15) se ajunge la una din situaţiile:
a) problema (6.14) nu are soluţii admisibile, R = φ ;
b) se obţine soluţia optimă (x * , v * , u * , z *1 , z *2 ) pentru problema (6.14);
c) se obţine o soluţie de bază a problemei (6.14) care nu mai poate fi
îmbunătăţită fără încălcarea regulii (6.15).
Demonstraţie. Se aplică algoritmul simplex, faza I, problemei (6.14), ţinându-se
seama de regula (6.15) . Întrucât nu s-au pus condiţii de semn asupra vectorului u,
vom descompune în u= u 1 - u 2 1
2
1 2
îl
, u ≥ 0 , u ≥ 0 . Semnul pentru z i , z i se alege
.
astfel încât să fie acelaşi cu cel al termenului liber c i De aceea aceste variabile
a
sunt iniţial variabile de bază. Se completează baza cu variabilele artificiale x ,
adăugate primelor m ecuaţii. Fie r = rang(A
) < m şi se consideră că primele r
⎡A
coloane ale matricei ⎢ ⎥ sunt primii r vectori unitari din R
⎣C ⎦
Faza I se aplică problemei
⎧ ⎧ a ⎫
⎪min⎨∑
xi
⎬
⎪ ⎩ i ⎭
~
⎪A
~
x = b
⎨ * t 1 t 2
1 2
⎪Cx
− A u + A u + v + z − z = -c
a 1 2 1 2
⎪x,
x , v, u , u , z , z ≥ 0
⎪ 1 2 r a m−r
1 2 m
⎩ x, v, z , z ∈ R , x ∈ R , u , u ∈ R
unde
( ) ⎟ , ⎟
~ r+
1 m ⎛ x ⎞
A = A, e ,... e ,
~
x = ⎜ a
⎝ x ⎠
⎤ m+n .
(6.16)

6. Programare pătratică 133
respectând regula (6.15). Baza iniţială este baza canonică din R m+n , iar soluţia de
bază iniţială este
⎧ ⎧bi
1 ≤ i ≤ r
1
2
⎪x
= ⎨
⎪⎧
z j = -c j , z j = 0 dacã
c j ≤ 0 ,
i
⎨ ⎩ 0 r + 1 ≤ i ≤ m , ⎨ 1
2
(6.17)
⎪ a
⎪⎩ z j = 0 , z j = −c
j dacã
c j ≥ 0 .
⎩xi
= bi
r ≤ i ≤ m
Deoarece coeficienţii variabilelor v i şi oincid, două astfel de variabile nu
pot fi simultan în bază ş în această fază fără a
se altera rezultatul. De fiecare dată ă are şansa să intre în bază o
vom înlocui cu vi , păstrând astfel v=0 în faza I.
1
z i c
i atunci regula (6.15) se poate aplica
1
când o variabil zi
Teorema 6.4
1. Dacă se realizează a) din Teorema 6.3, atunci problemma (6.4’) nu are
soluţii admisibile.
1 * 2
2. Dacă se realizează b) din Teorema 6.3, adică , atunci x * *
z = z = 0
este
soluţie optimă a problemei (6.4’).
1 2
3. Dacă se realizează b) din Teorema 6.3 şi e ′ ( z + z ) > 0 , problema (6.4’)
are optim infinit.
1 * 2
4. Dacă se realizează c) din Teorema 6.3 şi dacă , atunci x * soluţie optimă pentru problema (6.4’).
este
Demonstraţie. Dacă se realizează a) din Teorema 6.3, atunci sistemul
este incompatibil deoarece nu s-au eliminat în faza I toate
x a *
z = z = 0
Ax = b , x ≥ 0
variabilele artificiale din bază. Dacă se realizează b) şi c) din Teorema 6.3,
rezultă că sistemul Ax = b , x ≥ 0 este compatibil şi astfel rezultă concluziile 2, 3
şi 4 şi demonstraţia se încheie.
1. Variabilele se introduc doar dacă ci>0.
2. La încheierea fazei întâi s-au eliminat toate variabilele artificiale x a Comentarii
2
zi
. În
* *
faza a doua nu se mai introduc variabilele zi
, z i nebazice.
3. Nu se poate trage o concluzie în situaţia c) din Teorema 6.3, deoarece
regula (6.15) nu face parte din algoritmul simplex.
4. Dacă A are o bază unitară, faza I nu mai este necesară.
Următoarea teoremă stabileşte condiţii suficiente pentru cazul în care se poate
aplica algoritmul simplex, completat cu regula suplimentară (6.15), pentru
rezolvarea problemei de programare pătratică (6.4’).
Teorema 6.5. Pentru ca prin aplicarea algoritmului simplex, modificat cu regula
(6.15), problemei (6.14) să se ajungă în una din situaţiile:
a) problema (6.14) nu are soluţii admisibile, R = φ ;
b) se obţine soluţia optimă (x * , v * , u * , z *1 , z *2 ) pentru problema (6.14);
1
2

134
Modele şi algoritmi de optimizare
c) se obţine o soluţie de bază a problemei (6.14) care nu mai poate fi
îmbunătăţită fără încălcarea regulii (6.15),
sunt suficiente următoarele condiţii:
i) c=0 ,
ii) C este pozitiv definită,
iii) C din problema (6.4) este pozitiv definită.
Demonstraţie. Dacă în urma aplicării fazei I se ajunge fie în cazul b), fie în cazul
c), s-a obţinut o soluţie de bază (x b , v b , u b , z b1 , z b2 ) pentru problema (6.14).
Faza a II-a a metodei simplex va rezolva următoarea problemă de programare
liniară
⎧min∑ zi ⎪ i
⎪Ax
= b
⎨
(6.14’)
t
⎪Cx
− A u + v + Dz = -c
⎪
⎩x,
v, z ≥ 0
unde D = d ii`
este o matrice diagonală ale cărei elemente sunt date de relaţiile
1≤
≤
( ) i n
⎧1
0
dacã
altfel
b1
zi
este variabilã
bazicã
ariabilã
bazicã
,
pornind de la soluţia de bază (x b , v b , u b , z b ⎪
dii
= ⎨−1
⎪
⎩
dacã
b2
zi
este v
) , unde
b1
⎧z
b ⎪ b2
zi
= ⎨z
⎪
⎩
0
b1
dacã
zi
este variabilã
de bazã
b2
dacã
zi
este variabilã
de bazã
altfel.
Fie i
*
> 0 I
*
i v > 0 , unde (x * , v * , u * , z * ) este soluţia finală a
I { x } şi { }
1 = i
3 = i
problemei (6.14’), obţinută cu algoritmul simplex modificat cu regula suplimentară
(6.15). Atunci (x * , v * , u * , z * ) este soluţie optimă şi a problemei
⎧min∑
zi ⎪ i
⎪ =
⎨Cx
− A u + v + Dz = -c
⎪ 3
1
⎪x
= 0 , v = 0
⎪⎩
x, v, z ≥ 0
Presupunem că (x * , v * , u * , z * Ax b
t (6.14”)
) nu este soluţie optimă a problemei (6.14’) şi
atunci, la următorul pas, algoritmul simplex produce o nouă soluţie de bază
* *
îmbunătăţită pentru problema (6.14”). Deoarece x j = 0 , i ∈ I 2 ∪ I 3 , v j = 0 ,
3
1
i ∈ I ∪ I şi cum problema (6.14”) impune condiţiile x = 0 , v = 0 , este
1
2
posibil ca în noua soluţie de bază cu valori nenule, cel m
. În acest fel noua soluţie satisface condiţia (6.15) şi este o soluţie
mai bună decât (x * , v * , u * , z * ult una din variabilele
xi , vi
, i ∈
I 2
). Contradicţie !

6. Programare pătratică 135
m 1 luând ( ) ′
′ 1, 1
În Le a 6. , g = ..., şi h = – c , obţinem existenţ a vectorului
n
*
*
* *
µ ∈ R cu proprietăţile Aµ = 0 , Cµ = 0 , g′
z = c′
µ .
Din i) rezultă c ă g’z = 0 şi atun ci z= 0 .
* *
Din ii) şi Cµ = 0 rezult ă că µ = 0 şi g’z= 0 şi atunci d in nou z = 0 .
Pro blema (6.4) poate fi adusă la forma (6 .4” ), similară formei (6.4’ ), prin
introducerea variabilelor ecart w, astfel
⎧ ⎧
⎫
⎪m
⎨ x′
+ ′ ~
x⎬
⎪ ⎩
⎭
⎨A
~
= b
⎪~
x ≥ 0
⎪
⎩
⎛ 0
unde: , , C ~
1 ~
in
~
C
~
x c
~
2
x (6.4”)
~ ⎛ x ⎞ n+ m ⎛c
⎞
x = ⎜
⎟
⎟∈
R c = .
⎝ w
⎜
⎟
⎠
⎝0
⎠
Ad u ea v riab lor art a tea că atricea d fu ia
obiectiv este pozitiv definită
n i este ozi sem ă ş pli d ma 1 p tru
~
C ⎞
= ⎜
⎟
⎝ 0 0⎠
ă gar a ile ec nu fec ză faptul m C in ncţ
.
Di ii) C ~
C ~
A ~
p t iv idefinit i a cân Le 6. en ,
rezu că există
∗
~ ∗ µ
µ
⎜ ∗
µ
cu ~ *
µ
ă că Cµ 0 ca ai
sus, µ * ltă
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
w ⎟
⎝ ⎠
C = 0
*
. De aici rezult = şi, m
=0 şi g ’z=0 şi atunci din nou z= 0.
*
În toate cele trei situa sol a , v , z) are z teo ma este
dem stra
* * *
ţii uţi (x , u
=0 şi re
on tă.
Observaţ ia 6 .3
a) Forma scurtă a algoritmului lui Wolfe se aplică atunci când se verifică
incluziunea
n
n
µ ∈ R Aµ = 0 , C µ = 0 ⊆ µ ∈ R c′ µ = 0
(6.18)
{ } { }
b) Incluziunea (6.18) are loc dacă se ve rifică unul din următoarele cazuri:
i) c=0 ,
ii) C este pozitiv definită, t
iii) M icea C, A are rangul n ,
atr [ ]
iv) Sistemul + t
Cx A u = c are so luţii,
v) Proble ma standard (6.4’) poate fi scrisă sub forma canonică
1 * * ⎫
min x x c ) ⎬
2
⎭
*
A x b
⎪x ≥
⎪
⎩
cu C * ⎧ ⎧
⎪ ⎨ ′C + ( ′x
⎪ ⎩
*
⎨ =
0
pozitiv definită.

136
Modele şi algoritmi de optimizare
Demostraţie
i) Incluziunea (6.18) este evidentă deoarece membrul drept coincide cu R n .
ii) şi iii) au membrul stâng format numai din vectorul nul şi atunci incluziunea
(6.18) este evidentă.
t
iv) c este o combinaţie liniară a liniilor matricei [ C, A ] şi incluziunea (6.18)
este evidentă.
v) Demonstraţia este dată în Teorema 6.5 .
Comentarii. Faza I rezolvă problema (6.16) pentru eliminarea variabilelor auxiliare
x a din bază, luând u=0 , v=0 . Dacă problema (6.4’) are optim, atunci minimul din
a
problema (6.16) este zero şi variabilele au fost înlociute cu . Dacă nu s-au
x
xi i
a
a
eliminat din bază toate variabilele x (caz de degenerare), se înlocuiesc x cu
i
a
xi , lucru posibil când rang (A ) = m . Dacă rang (A ) < m , variabilele xi
rămase în bază se elimină o dată cu liniile şi coloanele corespunzătoare din A,
deoarece restricţiile corespunzătoare sunt consecinţe ale celorlalte. Baza cu care se
1 2
iese din faza I conţine numai una din variabilele zi
zi
, deoarece coloanele
corespunzătoare acestor variabile sunt egale şi de semn contrar. Aşadar,
din faza I
se iese cu o bază formată din m variabile xi (dacă rang (A ) = m ) şi n variabile
1
zi
2
sau z .
i
Faza a II-a foloseşte programul obţinut în faza I pentru rezolvarea problemei
(6.14’), ţinând seama de regula (6.15) care poate fi formulată şi astfel :
dacă una din variabilele xi şi vi este în bază, atunci cealaltă nu poate fi
introdusă în bază la iteraţia respectivă.
Se asigură astfel respectarea condiţiei xivi=0.
Exemplu. Să se rezolve următoarea problemă de programare pătratică :
⎧1
2 1 2
⎫ 1
min⎨ x 1 + x2
− 2x1
+ 3x2
+ x3
⎬ = min x' Cx + c' x
⎩2
2
⎭ 2
⎧x1
− 2x
2 + x3
= 4
⎨
.
⎩x1
, x2
, x3
≥ 0
Rezolvare. Vom aplica algoritmul lui Wolfe în forma scurtă.
⎛1
0 0⎞
⎛− 2⎞
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
f(x)= x' Cx + c' x ; C = ⎜0
1 0⎟
, c = ⎜ 3 ⎟ , A = ( 1 − 2 1)
.
2
⎜0
0 0⎟
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Verificăm dacă se poate aplica algoritmul Wolfe, forma scurtă.
⎛1
0 0 1 ⎞
1 0 1
⎜ ⎟
t
rang [ C A ] = rang⎜
0 1 0 − 2⎟
= 3 deoarece 0 1 − 2 = 1 .
⎜
0 0 0 1
⎟
⎝ ⎠
0 0 1
i

6. Programare pătratică 137
Aşadar, se poate aplica algoritmul deoarece incluziunea (6.18) este verificată,
fiind îndeplinită condiţia iii) din Com
Introducem variabilele artificiale nenegative x a , z 1 , z 2 entarii.
şi condiţiile
Kuhn−Tucker devin:
a ⎧ Ax + x = b
⎪
t 1 2
⎪Cx
− v + A u + z − z = −c1
⎨
1 2
⎪x
≥ 0, v ≥ 0,
z ≥ 0,
z ≥ 0,
w ≥ 0
⎪
⎩u
oarecare
Pentru
a a vea o bază,
acestor variabile li se atribuie valori astfel:
z = −c
dacã
c ≤ 0 ; z
z
1
j
2
j = c j
dacã
c
j
2
j =
1
j ≥ 0 ; j = z
ţia de luăm: x v = 0 , u = x a = b
Pentru ca şi asupra lui u s xiste condiţii de nenegativitate, îl desfacem în doi
vec negati fel: u = −u 2 În solu bază =0 , 0, .
ă e
tori ne vi ast u (u corespunzând restricţiei cu egalitate, nu
are resţricii de semn).
ceal, r ile K r dev
1
Matri estricţi uhn−Tucke in:
⎧x1
− 2x
2 + x3
+ x = 4
x1
− v1
+ u
= 2
Faza I. Se aplică algoritmul simp obleme de programare liniară:
a
⎪
1 2 1
⎪ − u + z1
⎪
1 2 2
⎨x 2 − v2
− 2u
− 2u
− z = −3
.
1
⎪
1 2 2
⎪
− v3
+ u − u − z 2 = −1
1 2 1 2
⎪⎩ x,
v, u , u , z , z , w ≥ 0
lex următoarei pr
n
∑
i=
1
x
− 2x
A
i
2
j
a
= min x (trebuie ca
+ x
3
1
1
− v1
+ u1
− z1
2 2
2 + v2
+ 2u
u 1 = 3
1 2
v3
− u3
+ u + 2
= 1
1 1 2
, v,
u , , z , x .
În această faz 0, . Calculele sunt date în
Tabelul 6.1 . Algo im ş c min x a 2
⎪x1
u1
+ = 2
⎪
1
⎨− x
2 + 2 2 + z
⎪
2
⎪
3 z
2
a
⎪⎩x
u , z ≥ 0
ă u = v = 0, deci nu pot intra în bază
ritmul s plex se opre te u
=0.
Tabelul 6.1
0
0.
= 4
sau
a ⎧Ax
+ x = b
⎛1
⎪
⎜
t 1 2
⎨Cx
− v + A ( u − u ) + Dz = − c , unde D = ⎜0
⎪ 1 2 1 2
x,
v u , z , z 0
⎜
⎩
, u , , w ≥
⎝0
Pe componente
avem:
min
⎧x
⎪ 1
+ a
x
a
x
= 0)
0 0 ⎞
⎟
−1 0 ⎟
0 −1⎟
⎠

138
Modele şi algoritmi de optimizare
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
CVB VB VVB x x a
1 x2 x3 v1 v2 v3 u 1
u 2 1
z
2
z
3
z
1 x a
4 1 −2 1° 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1
z 2 1 0 0 −1 0 0 1 −1 1 0 0 0
1
0 2
z 3 0 −1 0 0 1 0 2 −2 0 1 0 0
2
0 3
z 1 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 0
2
4 1 −2 1* 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 x3 4 1 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 z 2 1 0 0 −1 0 0 1 −1 1 0 0
1
1
0 2
z 3 0 −1 0 0 1 0 2 −2 0 1 0
0
2
3
z 2
1 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabelul 6.2
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
CVB VB VVB x1 x2 x3 v1 v2 v3 u 1
u 2
z z z
0 x3 4 1 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 z 2 1 0 0 −1 0 0 1 −1 1 0 0
1
1
1 2
z 3 0 −1 0 0 1 0 2° −2 0 1 0
2
1 3
z 2
1 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1
6 1 −1 0 −1 1 1 2* −2 0 0 0
0 x3 4 1 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1
z 1/2 1° 1/2 0 −1 −1/2 0 0 0 1 0
1
0 u1 3/2 0 −1/2 0 0 1/2 0 1 −1 0 0
1 3
z 5/2 0 −1/2 0 0 1/2 1 0 0 0 1
2
3 1* −1 0 −1 0 1 0 0 0 0
0 x3 7/2 0 −5/2 1 1 1/2 0 0 0 0
0 x1 1/2 1 1/2 0 −1 −1/2 0 0 0 0
0 u1 3/2 0 −1/2 0 0 1/2° 0 1 −1 0
1 3
z 5/2 0 −1/2 0 0 1/2 1 0 0 1
2
5/2 0 −1/2 0 0 1/2* 1 0 0 0
0 x3 2 0 −2 1 1 0 0 1 0
0 x1 2 1 0 0 −1 0 0 −1 0
0 v2 3 0 −1 0 0 1 0 −2 0
1 3
z 1 0 0 0 0 0 1 1° 1
2
1 0 0 0 0 0 1 1* 0
0 x3 1 0 −2 1 1 0 0 0
0 x1 3 1 0 0 −1 0 0 0
0 v2 5 0 −1 0 0 1 0 0
0 u3 1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
1
2
1
1
2
2
2
3
2

6. Programare pătratică 139
Faza a II-a . Folosind tabelul simplex rezultat din faza I şi renunţând la
coloana corespunzătoare vari abilei x , se aplică din nou algoritmul simplex
pentru minimizarea funcţiei
a
2
1 2
min z + z + z . Calculele sunt prezentate în
{ }
elul 6.2 .
Faza a II−a se încheie cu eliminarea din bază a vectorilor z şi z 2 Tab
1
şi
2
1 2
min z + z + z =0.
1
2
3
{ }
1
1
Deci, soluţia este x1=3, x2=0, x3=1, şi f(x1, x2, x3) = − .
2
Multiplicatorii lui Lagrange sunt: v1=0, v2=5, v3=0; u=u1−u2=0−1= −1 .
Vom considera, ca exemplificare a folosirii Solver-ului din Excel pentru
rezolvarea problemelor de programare pătratică, problema de mai sus. Se creează
foaia electronică de calcul cu datele problemei ca în Figura 6.1. Celula D4 conţine
funcţia de minimizat =((1/2)*D7^2+(1/2)*D8^2−2*D7+3*D8+D9, celulele D7−D9
conţin necunoscutele problemei, iar restricţia D7−2*D8+D9 este depusă în celula
B11. Condiţiile de nenegativitate ale necunoscutelor sunt D7:D9 ≥B7:B9.
Selectând Solve se rezolvă problema, obţinându-se aceleaşi valori pentru funcţia de
optimizat şi pentru necunoscute ca şi cele obţinute în urma aplicării algoritmului lui
Wolfe forma scurtă, aşa cum se vede din rapoartele din Tabelele 6.3-6.5 .
2
Figura 6.1
3

140
Tabelul 6.3
Microsoft Excel 10.0 Answer Report
Worksheet: [Programare patratica.xls]Sheet1
Report Created: 7/10/2002 8:09:27 PM
Target Cell (Min)
Original
Cell Name
Functia de
Value Final Value
$D$4 optimizat 0 −0.5
Modele şi algoritmi de optimizare
Cell Name
Adjustable Cells
Original
Value Final Value
$B$15 x1= 0 3
$B$16 x2= 0 0
$B$17 x3= 0 1
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$A$12 x1−2x2+x3= 4 $A$12=$B$11 Not Binding 0
$B$15 x1= 3 $B$15>=$B$7 Not Binding 3
$B$16 x2= 0 $B$16>=$B$8 Binding 0
$B$17 x3= 1 $B$17>=$B$9 Not Binding 1
Tabelul 6.4
Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report
Worksheet: [Programare patratica.xls]Sheet1
Report Created: 7/10/2002 8:09:27 PM
Adjustable Cells
Final Reduced
Cell Name Value Gradient
$B$15 x1= 3 0
$B$16 x2= 0 5.000000477
$B$17 x3= 1 0
Constraints
Final Lagrange
Cell Name Value Multiplier
$A$12 x1−2x2+x3= 4 1

6. Programare pătratică 141
Tabelul 6.5
Microsoft Excel 10.0 Limits Report
Worksheet: [Programare patratica.xls]Limits Report 1
Target
Cell Name
Functia de
Value
$D$4 optimizat −0.5
Report Created: 7/10/2002 8:09:27 PM
Adjustable Lower Target Upper
Targe
t
Cell Name Value Limit Result Limit Result
$B$15 x1= 3 3 −0.5 3 −0.5
$B$16 x2= 0 0 −0.5 0 −0.5
$B$17 x3= 1 1 −0.5 1 −0.5
6.5. Probleme propuse
1. Scrieţi condiţiile Kuhn-Tucker pentru următoarele probleme de programare
pătratică:
⎧ ⎧1
2 2 2
⎫
⎪min⎨
( x1
+ 5x2
+ 2x3
+ 4x1
x2
− 2x1
x3
− 4x
2 x3
) − x1
+ 3x2
+ 4x3
⎬
⎪ ⎩2
⎭
⎪ 1 + 3x2
− x3
≤ 2
⎪
a) ⎨x1
+ x2
+ 2x3
≤ 4
⎪ x1
− 2x 2 + x3
≤ 6
⎪
⎪x2
≥1
⎪
⎩x
≥ 0
2x
b)
⎧min
1
⎪
x1
+ 2x
⎨
⎪x1
− 2x
⎪
⎩x
≥ 0
2 2 2
{ x + 2x
+ 3x
− 2x
x + 2x
x − 2x
x − x + 2x
− x }
2
2
2
− 3x
3
+ 4x
3
= 6
= 8
3
1
2
1
2. Să se rezolve următoarele probleme de programare pătratică
a)
2
2
⎧min{
x1
− x1x
2 + x1
− 3x1}
⎪
⎨ x1
+ x2
≤ 4 b)
⎪
⎩
x ≥ 0
2
2
⎧min 2x1
− 2x1
x2
+ x2
− 4x1
− 2x
⎪
x1
+ 2x
2 + x3
= 6
⎨
⎪3x1
+ x2
+ x4
= 9
⎪
⎩x
≥ 0
3
2
3
1
2
3
{ }
1

142
arătând că se poate aplica algoritmul lui Wolfe în forma scurtă.
( ) ′
x ( ) ′
′ = 0,
0
Modele şi algoritmi de optimizare
R. a) ′ = 2,
1 , v , u=0 .
′
′
′
⎛ 24 27 18 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛10
⎞
b) x ′ = ⎜ , , 0,
⎟ , v ′ = ⎜0,
0,
, 0⎟
, u ′ = ⎜ , 0⎟
.
⎝ 13 13 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝13
⎠
3. Să se determine valoarea optimă şi punctul în care se atinge această valoare
pentru problemele 1 şi 2, folosind MathCAD.

7. PROGRAMARE DINAMICĂ
7.1. Generalităţi
Să considerăm un sistem a cărui evoluţie în timp poate fi controlată, chiar şi
parţial, de acţiunile unui factor de cident. În orice moment i al evoluţiei,
starea
i s
sistemului se poate descrie printr-un vector x ∈R
numit vectorul stărilor, sau
vector de stare. Pe fiecare perioadă decidentul ia o decizie δ i , care provoacă o
modificare a stării sistemului, reflectată de un vector de decizie, .
Vectorii de decizie d i i m
d ∈R
pot lua valori admisibile în domeniile
de
m
admisibilitate ∆i ⊂ R , 1 ≤ i ≤ N . Cei doi vectori, de stare şi de decizie de la
momentul i, determină starea sistemului de la momentul i+1, conform unei
legi de evoluţie
i i
xi + 1 = τ i ( x , d ) .
Programarea dinamică este o metodă de optimizare a sistemelor în care se
operează
pe faze sau secvenţe. Baza acestei metode o constituie Principiul de
optimalitate al lui Bellman, care se enunţă astfel (Kaufmann, 1967):
Orice politică optimă nu poate fi formată decât din subpolitici optime.
O politică este alcătuită dintr-o succesiune de decizii. Multe fenomene sau
probleme sunt de natură secvenţială, adică permit descompunerea lor în etape (faze),
fiecare etapă depinzând de cele apropiate, de etapa anterioară şi cea următoare.
Vom introduce în continuare câteva concepte cu care se operează în teoria
deciziilor
(Zidăroiu, 1975). Considerăm s=1 şi m=1 şi atunci vectorul de stare
devine variabila de stare, iar cel de decizie devine variabila de decizie.
Etapele procesului sunt momentele
în care trebuie luate deciziile. În problemele
secvenţiale ele formează un şir crescător, pe care îl vom nota cu 1, 2, ..., N .
Spunem că avem o problemă de decizie cu orizont finit sau infinit, după cum N
este finit sau nu.
În cazul unui orizont finit de N etape, o politică este reprezentată de un
şir
format din deciziile luate în cele N etape.
Dacă orizontul este infinit, orice politică va fi reprezentată printr-un şir infinit,
având aceeaşi interpretare ca şi în
cazul finit.
Schematic, cele prezentate mai sus se pot reprezenta astfel:

144
Modele şi algoritmi de optimizare
Etapa 0 1 2 ... N−1 N
Starea sistemului x0→ x1→ x2→ ... xN−1→ xN
Decizia luată
δ ...
δ
δ 1
2
δ N −1
N
unde x0 este starea iniţială, xN este starea finală.
O problemă de decizii secvenţiale constă în determinarea unui şir finit sau nu
de
decizii, după cum problema este cu orizont finit sau infinit. În urma luării unei
decizii
se modifică starea sistemului conform cu o lege de evoluţie în funcţie de
starea actuală a sistemului
:
x i = τ i(x i-1, d i)
unde
di este o variabilă de decizie având domeniul de admisibilitate ∆i, iar τi
este o transformare
dată, 1 ≤ i ≤ N.
Dacă ne interesează evoluţia sistemului din starea iniţială x0 până în starea
finală x N,
atunci se observă că se poate scrie succesiv
x N = τ N ( x N −1;
d N ) = τ N [ τ N −1(
x N −2
; d N −1);
d N ] = ... = TN
( x0
; d1,...,
d N )
TN reprezentând rezultatul final al înlocuirilor de mai sus.
Se poate spune că politica (δ1, δ2,..., δN) are ca efect transformarea sistemului
din starea iniţială x0 în starea finală xN :
xN = TN(x0; d1, ..., dN) .
Această relaţie permite analiza prospectivă a procesului, deoarece se pleacă din
starea x0 şi se ajunge în starea xN .
Dacă funcţiile τi , 1 ≤ i ≤ N, sunt inversabile, se poate face şi o analiză
retrospectivă a procesului, inversând schema precedentă, astfel
Etapa N N−1 N−2 ... 1 0
Starea sistemului xN→ xN−1→ xN−2→ ... x1→ x0
Decizia luată
δ ... δ
δ N δ N −1
N −2
Dacă notăm cu τ i inversele transformărilor τ i , putem scrie
x = τ i ( x1;
d1)
= τ 1[
τ 2 ( x2
; d 2 ); d1]
= ... = T N ( xN
; d1,
d 2 ,..., d
0 N
unde: , 1 ≤ i ≤ N−1 .
T N se obţine înlocuind xi prin τ i+
1 ( xi+
1;
di
+ 1)
Această relaţie arată că starea finală xN şi politica aleasă δ1, δ2,..., δN determină
starea iniţială x0 .
Diferenţa dintre analiza prospectivă şi cea retrospectivă constă în modul în care
se priveşte evoluţia sistemului (de la x0 către xN sau invers) . Există situaţii în
care este mai eficientă folosirea analizei retrospective în rezolvarea unor probleme.
Decidentul are preferinţe în ceea ce priveşte evoluţia sistemului, preferinţe ce
pot fi descrise printr-o funcţie obiectiv. Problema cu care se confruntă decidentul
este de a alege o evoluţie a variabilelor de decizie astfel încât
să optimizeze funcţia
obiectiv cu restricţiile de admisibilitate şi starea iniţială (finală) date.
)
1

7. Programare dinamică 145
Să notăm ri(xi; di) câştigul parţial dobândit în urma luării deciziei δi în etapa
a i-a, când sistemul trece din starea xi−1 în starea xi.
Câştigul total pentru un orizont de N etape poate fi reprezentat ca o funcţie
de câştigurile parţiale r1, r2, ..., rN asociate diferitelor etape ale sistemului.
Această funcţie se poate scrie sub forma
f [ r1
( x1;
d1
) , r2
( x2
; d 2 ) ,..., rN
( x N ; d N ) ]
şi constituie funcţia obiectiv ataşată procesului de decizii considerat.
i
D efiniţia 7.1. O funcţie fi : R → [ 0,
∞)
se numeşte decompozabilă prospectiv
~ 2
dacă există o funcţie f i : R → [ 0,
∞)
monotonă (crescătoare pentru probleme de
maxim şi descrescătoare pentru probleme de minim) în a doua variabilă astfel
încât
~
f r ,..., r ) f ( r , f ( r ,..., r )) .
i ( 1 i = i i i−1
1 i−1
i
Definiţia 7.2. O funcţie fi : R → [ 0,
∞)
se numeşte decompozabilă retrospectiv
~ 2
dacă există o funcţie f i : R → [ 0,
∞)
monotonă (crescătoare
pentru probleme de
maxim şi descrescătoare pentru probleme de minim) în a doua variabilă astfel
încât
~
f − + r ,..., r ) = f − + ( r , f − ( r + ,..., r )) .
N i 1( i N N i 1 i N i i 1 N
Cu schimbarea de variabilă x′ i = xN
−i
se poate trece de la decompozabilitate
prospectivă la c ea retrospectivă şi invers.
Cazul cel mai frecvent de decompozabilitate este cazul aditiv, când funcţia obiectiv
este de forma
pentru
f
[ r ( x d ) , r ( x ; d ) ,..., r ( x ; d ) ] r ( x ; d )
1
1
1
2
2
2
N
N
N
= ∑
i=
1
; . (7.1)
Se întâlnesc şi probleme în care funcţia obiectiv se exprimă multiplicativ
[ r1
( x1
d1
) , r2
( x2
; d ) ,..., rN
( x N ; d N ) ] = ∏ ri
( xi
; d i )
f ; 2
.
În cazul analizei
retrospective se pot scrie succesiv egalităţile
r x d r [ τ x , d ; d ] = ... = r′
x ; d ,..., d
i ( i,
i ) = i i+
1 ( i+
1 i+
1)
i
i ( i N i )
( ∀ ) i = 1,
N , obţinându-se pentru funcţia obiectiv forma
f [ r ( x d ) , r ( x ; d ) ,..., r ( x ; d ) ] = R′
( x ; d ,..., d )
N
N ; N N − 1 N −1
N −1
1 1 1 N N 1 N
(7.2)
adică funcţia obiectiv depinde de starea finală xN şi de variabilele de decizie dN ,
dN—1 , ... , d1 . Astfel, cunoscând starea finală şi politica aleasă se poate calcula
câştigul asociat politicii considerate.
În cazul analizei prospective, câştigul total se exprimă în funcţie de starea
iniţială x0 şi de variabilele de decizie d1 , d2 , ... , dN , astfel
N
i
N
i= 1
i
i

146
[ r ( x d ) ,..., r ( x ; d ) , r ( x ; d ) ] = R ( x ; d d )
Modele şi algoritmi de optimizare
f 1 1;
1 N − 1 N −1
N −1
N N N N 0 1,...,
N . (7.3)
Printre politicile posibile care fac ca sistemul să evolueze
din starea x0 în
starea xN , există una (sau mai multe)
care optimizează funcţia obiectiv; aceste
politici se numesc politici optime.
Vom nota politica optimă cu ( ˆ δ ,. .., ˆ
1 δ N ) , iar variabilele de decizie
corespunzătoare cu ( d N ) ˆ d ˆ
1 ,.. ., . Mulţimea s tărilor x ˆ ,.. . , ˆN
,
corespunzătoare deciziilor
x 0 , xˆ ( ˆ , ˆ
i = τ i xi−1
di−1
)
1 ≤ i ≤ N
( d ˆ ˆ
1,...,
d N ) constituie
traiectoria
optimă.
Deoarece câştigul total d epinde de stare a iniţială (finală) şi de politica aleasă
este
necesar să se considere mai multe valori posibile pentru starea iniţială x0 sau
starea finală
x N (spunem că simulăm evoluţia sistemului în mai multe situaţii ). În
aceste cazuri politicile optime sunt funcţii de x 0 sau xN , adică
ˆ dˆ
x dˆ
= dˆ
x , 1 ≤ i ≤ N .
i = ( 0 ) sau i i ( N )
d i
Teorema de optimalitate a lui Bellman. Date stările iniţială x0 şi finală xN ,
traiectoria x0,…, xN este optimă dacă traiectoria x0,…, xN-1 este optimă şi xN-1
este astfel încât
~
f N ( rN
( xN
; d N ), f N −1( r 1(
x1;
d1),...,
rN
−1(
xN
−1;
d N −1))
)
este optimă.
Demonstraţie. Notăm V(x 0,x N)
valoarea câştigului optim global. Din
~
decompozabilitate avem că f ( r ( x ; d ), V ( x , x )) este optimă dacă xN =
N N N N N −1 0 N −1
τ N(xN-1,
dN) . Optimalitatea subpoliticii x0,…, xN-1 rezultă din monotonia funcţiei
~
f şi demonstraţia se încheie.
N
În continuare vom prezenta rela ţiile de recurenţă şi rezolvarea problemei de
programare dinamică în cazul analizei retrospective, trecerea la analiza prospectivă
fiind imediată atunci când legile de evoluţie a sistemului analizat sunt inversabile.
7.2. Analiza retrospectivă
Presupunem că avem de rezolvat următoarea problemă: Să se afle decizia
optimă
dˆ
, dˆ
, . . ., dˆ
1 2 N astfel încât
( )
⎧
⎪ f [ r ( x , dˆ
) , r ( x , dˆ
) , . . . , r ( x , dˆ
)
N
N −1
N −1
⎪
⎨=
max f N N N N −1
di
∈∆
⎪ 1≤i≤
N
⎪
⎩xi
−1
= τ i ( xi
; d i ) , 1≤
i ≤ N
sau dacă ţinem seama de (7.2),
N
N
N −1
] =
[ r ( x , d ) , r ( x , d ) , . . . , r ( x , d ) ]
N −1
1
N −1
1
1
1
1
1
(7.4)

7. Programare dinamică 147
f
r
( x , dˆ
) , r ( x , dˆ
) , . . . , r ( x , dˆ
) ] max R'
( x ; d ,..., d )
[ N N N N 1 N −1
N −1
1 1 1
N N 1
di
∈∆
i
1≤i
≤ N
− = .
N
(7.5)
În formularea (7.5) intervin efectiv numai xN şi variabilele de decizie d1, d2 ,
... , dN, deoarece variabilele x0, x 1,
..., xN−1 se determină cu ajutorul precedentelor,
ţinând seama de relaţiile
x − = τ ( x ; d ) , 1≤ i ≤ N −1
.
i 1 i i i
7.2.1. Rezolvarea în cazul aditiv
Considerăm funcţia obiectiv în cazul aditiv (7.1) şi, înlocuind în (7.4), obţinem :
N ⎧
⎪max
∑ ri
( xi , di
)
i∈∆
i ⎨1≤i≤
N
i=
1
⎪
⎩xi
−1
= τ i ( xi
, di
) , 1 ≤ i ≤ N .
Notând cu fN(xN) valoarea maximului (7.6) obţinem
d (7.6)
( x ) = max[
r ( x , d ) + r ( x , d ) + . . . + r ( x , d ) ]
⎧ f N N
N N N N −1
N −1
N −1
1 1
⎪
di
∈∆i
1≤i≤
N
⎪
⎨=
max{
rN
N N
N −1
N −1
N −1
N −2
N −2
d N ∈∆
N
di
∈∆
i
⎪
1≤i≤
N −1
⎪
⎩xi
−1
= τ i ( xi
, d i ) , 1≤
i ≤ N
sau, prin aplicarea Teoremei de optimalitate a lui Bellman
⎧ f N ( xN
) = max[
rN
( xN
, d N ) + f N −1(
xN
−1
) ]
⎪
di∈∆
i
⎨
1≤i≤
N
⎪⎩ xN
−1
= τ N ( xN
, d N ) .
( x , d ) + max [ r ( x , d ) + r ( x , d ) + . . . + r ( x , d )
[ ]
Dacă notăm QN ( xN
, d N ) rN
( xN
, d N ) + f N 1 τ(
xN
, d N )
f ( x ) max Q ( x , d )
N
1
N −2
= − , putem scrie
N
=
1
1
1
]}
(7.7)
= N n N
dN
∈∆
(7.8)
N
şi maximul nu se mai ia după restricţii (restricţiile fiind incluse în expresia funcţiei
QN) .
δ ,..., ˆ δ este o politică optimă
Relaţia (7.7) poate fi justificată astfel: dacă ( )
pentru un orizont de N etape şi cu xN ca stare finală,
atunci subpolitica
( ˆ δ ˆ
1,...,
δ N −1
) este optimă pentru un orizont de N−1 etape cu xN − 1 = τ N ( xN
, d N ) ca
stare finală.
Relaţia (7.8) permite determinarea funcţiei fN(xN) în ipoteza că se cunoaşte
funcţia fN−1(xN−1) .
Pornind de la relaţia (7.8), procedând analog, obţinem:
ˆ 1
N

148
⎧ f1
⎪
⎪.
.
⎪
⎨
fi
⎪.
.
⎪
⎪ f N
⎩
N
( x ) = maxQ
( x , d ) = max r ( , ) x
1
.
d1∈∆1
{ [ ] }
( x ) = maxQ
( x , d ) = max r ( x , d ) + f τ ( x , d )
i
.
.
di∈∆
i
.
.
.
.
.
( x ) = max Q ( x , d ) = max
r ( x , d ) + f τ ( x , d )
N
dN
∈∆
N
1
i
.
.
N
1
i
.
.
1
i
N
.
.
.
.
d1∈∆1
.
di∈∆
i
N
.
.
.
1
.
.
i
dN
∈∆
N
.
.
i
1
.
.
N
i
.
.
N
.
.
.
i−1
.
N
i
.
.
.
i
.
Modele şi algoritmi de optimizare
.
i
.
N −1
.
.
.
, 2 ≤ i ≤ N −1
.
[ ]}
Aceste relaţii se numesc ecuaţiile de recurenţă ale programării dinamice.
Rezolvarea problemei iniţiale înseamnă calcularea funcţiilor
f1(x1), f2(x2), ..., f N(xN) şi dˆ = d xˆ
.
N
( x )
N
1 d
{
N
N
N
N
( )
Algoritmul pentru rezolvarea problemei de programare dinamică în cazul aditiv
Pas 0. Se determină xˆ cu f xˆ = max f x ;
N
.
.
N
.
.
.
.
.
.
.
(7.9)
Funcţiile fi(xi) , 1≤ i ≤ N , se determină din relaţiile de recurenţă (7.8), iar
dˆ = d ˆ din ultima din aceste relaţii.
Se determină d d ( xˆ
)
Pas 1. Pentru i:=N ,2
N
N
N
( ) ( )
N
ˆ = ;
determină xˆ ( ˆ , ˆ
i 1 = τ i xi
di
)
N
xN
− ; ˆ ( ˆ
i−
1 = di−1
xi−1
)
N
d ;
Pas 2. Reţine: d ˆ , dˆ
, ... , dˆ
; x , xˆ
, ... , xˆ
; f ˆ ) . Stop !
1 2 N
ˆ1 2 N
N ( xN
Procedeul de mai sus presupune cunoaşterea expresiilor analitice ale funcţiilor
fi , di .
Vom prezenta câteva situaţii în care metodele programării dinamice conduc la
obţinerea optimului fără a se apela la evidenţierea
tuturor soluţiilor posibile.
7.2.2. Problema repartiţiei investiţiilor Având o sumă de 5.10 9 lei cu care trebuie cumpărate acţiuni la 4 soc ietăţi, care
în funcţie de suma investită
asigură profituri
conform cu Tabelul 7.1, să se
stabilească o reparti ţie optimă
a sumelor investite la fiecare societate, astfel încât
profitul obţinut în ur ma aplicării acestei politici de inve stiţii să fie maxim
(Kaufmann, 1967).
Se cere să se determine repartiţia optimă a investiţiilor în acţiuni la cele 4
societăţi, adică acea repartiţie care dă profitul
total maxim.

7. Programare dinamică 149
Societatea
Suma investită
Tabelul 7.1
Profitul în procente
(în miliarde de lei) S1 S2 S3 S4
0 0 0 0 0
1 0.28 0.25 0.15 0.20
2 0.45 0.41 0.25 0.33
3 0.65 0.55 0.40 0.42
4 0.78 0.65 0.50 0.48
5 0.90 0.75 0.62 0.53
xi –numărul total de miliarde investite în acţiuni la primele i
societăţi, .
x4 – mărime S=5·10 9 Rezolvare
Modelarea problemei
Notaţii : di –numărul de miliarde investite în acţiuni la societatea i.
1≤ i ≤ 4
a totală a investiţiilor, care este de cel mult .
ri(di)− profitul adus de suma di
investită în acţiunile la
societatea i.
Problema
are următoarea formulare:
4 ⎧
∑=
⎪max
ri
( di
)
i 1 ⎪ 4
⎪
⎨∑d
i ≤ x4
≤ S
⎪ i=
1
⎪di
≥ 0 1≤
i ≤ 4
⎪
⎩
Precizarea funcţiilor f i (suntem în cazul analizei retrospective).
Pentru orice 1≤ i ≤ 4,
0 ≤ xi
≤ x4
şi x −1
= xi
− di
= i ( xi
, di
), 2 ≤ i ≤ 4
0 ≤ ≤ x , 1≤
i ≤ 4 . Am precizat astfel domeniul de admisibilitate:
di n
∆ = [ 0,
x ] , d ∈∆
.
i τ şi
i i i i
xi+ 1 = xi
+ di
= τ i ( xi
, di
), 1≤
i ≤ .
Pentru analiza prospectivă 3
4 4
Deoarece −1
4 ) ( ∑d i = ∑ xi
− xi
= xi
≤ x luând x0=0, cu notaţiile din modelul
i= 1 i=
1
teoretic obţinem ecuaţiile de recurenţă:
f x ) = max r ( d ) ; coloana S1 din tabel este crescătoare şi reprezintă r1
1(
1
1 1
0≤d1≤
x1
f 2 ( x2
) = [ r
2 ( d 2 ) + f1(
x1
) ] = max r2
( d 2 ) + f ( x2
− d 2 ) ; 0 ≤ d 2 ≤
f3 ( x3
) = max[ r
3(
x3
) + f 2 ( x3
− d3
) ] ; 0 ≤ d3
≤ x3
f 4 ( x4
) = max [ r4
( x4
) + f 3 (x4−d4)
] ; 0 ≤ d 4 ≤ x4
; x4
≤ S .
[ ] 2
max x
Determinarea valorilor funcţiilor fi :
f x ) max r ( x ) = r ( d ) , r1 fiind crescătoare
1(
1 = 1 1 1 1
0 d1 ≤ x1
≤ deci: d ˆ ( x ) =
x .
1
1
1

150
Modele şi algoritmi de optimizare
x 2=0
f 2 ( 0)
= max[
r2
( d 2 ) + f1(
0 − d 2 ) ] = 0 cu 0 ≤ d 2 ≤ 0 . Deoarece r2(0)=0 şi f1(0)=0
rezultă d2=0.
x2=1
f
f
1)
max r ( d ) + f ( 1 − d ) cu ≤ d ≤1
, d ∈ 0,
1 .
= [ 2 2 1 ] 0 2 2 { }
= max[
r ( 0)
+ f ( 1)
; r ( 1)
+ f ( 0)
] = max[
0 + 0.
28;
0.
25
+ 0]
= 0.
28
2(
2
2 ( 1)
2 1 2 1
d ˆ
2 ( 1)
= 0 .
valoare obţinută pentru
x 2=2
f 2(
2)
max[
r2
( d 2 ) + f1(
2 − d 2)
] cu 0 ≤ d 2 ≤ 2 , d 2 ∈ 0,
1,
2
f 2)
= max g ( 0)
+ f ( 2)
; r ( 1)
+ f ( 1);
r ( 2)
+ f ( 0)
=
= { }
[ 2 1 2 1 2
= max[
0 + 0.
45;
0.
25 + 0.
28;
0.
41 + 0]
= 0.
53
]
2 ( 1
valoare obţinută pentru d=1; rezultă d ( 2)
= 1.
x 2=3
f 2(
3)
= max[
r2
( d 2)
+ f1(
3 − d 2)
] cu 0 ≤ d 2 ≤ 3 , d 2 ∈{
0,
1,
2,
3}
f 2(
3)
= max[
r2
( 0)
+ f1(
3)
; g2
( 1)
+ f1
( 2);
r2
( 2)
+ f1(
1)
; r2
( 3)
+ f1(
0)
] =
= max 0 + 0.
65;
0.
25 + 0. 45;
0.
41 + 0.
28;
0.
55 + 0 = 0.
= max
[ ] 70
ˆ 2
ˆ 2
rezultat obţinut pentru d=1 şi astfel d ( 3)
= 1.
x 2=4
f 2(
4)
= max[
r2
( d 2 ) + f1(
4 − d 2)
] cu 0 ≤ d 2 ≤ 4 , d 2 ∈{
0,
1,
2,
3,
4}
f 4)
= max r ( 0)
+ f ( 4)
; r ( 1)
+ f ( 3);
r ( 2)
+ f ( 2)
; r ( 3)
+ f ( 1);
r ( 4)
+ f ( 0)
=
[ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ]
[ 0.
78;
0.
90;
0.
86;
0.
83;
0.
65]
= 0.
90
2 ( 1
valoare obţinută pentru d =1 , rezultă dˆ
( 4)
= 1.
f
x 2 = 5
= max r d + f x − d ; d
2
() 5 [ 2(
2 ) 1(
2 2 ) ] 2 ∈{
0,
1,...
5}
r2
( 0)
+ f1(
5)
; r2
( 1)
+ f1(
4)
; r2
( 2)
+ f1(
3)
; g 2 ( 3)
+ f1(
2) ; r2
( 4)
+ f1(
1)
;
r () 5 + f ()= 0 ]
= max[
2
1
2
= max [ 0 + 0.
9;
0.
25 + 0.
78;
0.
41
+ 0.
65;
0.
55 + 0.
45;
0.
65 + 0.
28;
0.
75 + 0]=
= max 0.
9;
1.
03;
1.
06;
1.
00;
0.
93;
0.
75
= 1.
6 obţinut pentru d2=2 . Astfel
ˆ 2
d ( 5)
= 2 .
[ ] 0
x 3 = 0
f 0)
= max r ( d ) + f ( 0 − d ) cu
[ ] 0 ≤ 0
3(
3 3 2 3
rezultă d3=0.
d ˆ
3 ( 0)
= 0 .
≤ d . Deoarece r3(0)=0 şi f3(0)=0
3 1
cu
= x
f3 ( 1)
= max[
r3
( d3
) + f 2 ( 1−
d3
) ] 0 ≤ d 3 ≤1
, d3
∈{
0,
1}
.
f 1)
= max r ( 0)
+ f ( 1)
; r ( 1)
+ f ( 0)
= max 0 + 0.
28;
0.
15 + 0
[ ] [ ] = 0.
28
3 ( 3 2 3 2
d ˆ
3 ( 1)
= 0 .
obţinută pentru
3

7. Programare dinamică 151
x3=2
f 2)
= max[
r ( d ) + f ( d ) ]
3(
3 3 2 3
f3
( 2)
= max r3
( 0)
+ f 2 ( 2)
r3
( 1
obţinută pentru dˆ
3 ( 2)
= 0 .
2 − cu 0 ≤ d 3 ≤ 2 , d 3 ∈{
0,
1,
2}
[ ; ) + f ( 1);
r3
( 2)
+ f ( 0)
] = max[
0.
53;
0.
43;
0.
25]
= 0.
53
f
x3=3
3)
= max r ( d ) + f ( 3 − d cu
f
3(
3 3 2 3 0 ≤ d 3 ≤ 3 , d3
∈ 0,
1,
2,
3(
3)
= max r3
( 0)
+ f 2(
3)
; r3
( 1)
+ f 2(
2);
r3
( 2)
+ f 2(
1);
r3
( 3)
+ f 2
= max
2
[ ) ]
{ 3}
[ ( 0)
]
[ 0.
70;
0.
68;
0.
53;
0.
40]
= 0.
70
Aşadar, pentru d=0 s-a obţinut valoarea maximă şi rezultă
f
x3=4
4)
= max r ( d ) + f ( d ) cu
f
3(
3 3 2
0 ≤ d 3 ≤ 4 , d3
∈ 0,
1,
2,
3,
4
3(
4)
= max r3
( 0)
+ f2
( 4)
; r3
( 1)
+ f 2(
3)
; r3
( 2)
+ f2
( 2);
r3
( 3)
+ f2
( 1);
r3
( 3)
+ f 2
= max
2
ˆ 3
=
d ( 3)
= 0 .
[
[
4 − 3 ]
{ }
( 1)
]
[ 0.
90;
0.
85;
0.
78;
0.
68;
0.
5]
= 0.
90
valoare obţinută pentru d=0; rezu ltă d ( 4)
= 0 .
x3=5
f 4)
= max r ( d ) + f ( 4 − d ) cu ≤ d ≤ 4 , d ∈{
0,
1,
2,
3,
4}
[ ]
3(
3 3 2 3
f ( 5)
= max[ r ( 0)
+ f
3
r
3
3
( 5)
+
f
2
2
( 5)
;
r
3
( 1)
+
( 0)]
= max
obţinut pentru d=0; rezultă
f
2
ˆ 3
0 3 3
( 4);
r ( 2)
+
3
f
2
( 3);
( 3)
( 2);
( 4)
[ 1.
06;
1.
05;
0.
95;
0.
93;
0.
78;
0.
60]
= 1.
06
Analog, găsim pentru f4 valorile: f4(0)=0 ş i d ( 0)
= 0 , f4(1)=0.28 şi d ( 1)
= 0 ,
ˆ 4
f4(2)=0.53 şi d ( 2)
= 0 , f4( 3) =0 .73 şi d ( 3)
= 1,
f4(4)=0.9 şi
dˆ ( 4)
= 0 sau dˆ
( 4)
= 1 , f4(5)=1.1 şi d ( 5)
= 1.
Centralizăm în Tabelul 7.2
4
valorile
găsite pentru f şi d .
4
ˆ 3
d ( 5)
= 0 .
Tabelul 7.2
x d 1( x)
f1(x) d 2 ( x)
f2(x) d 3( x)
f3(x) d 4 ( x)
f4(x)
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0.28 0 0.28 0 0.28 0 0.28
2 2 0.45 1 0.53 0 0.53 0 0.53
3 3 0.65 1 0.70 0 0.70 1 0.73
4 4 0.78 1 0.90 0 0.90 0 sau 1 0.90
5 5 0.90 2 1.06 0 1.06 1 1.1
ˆ 4
ˆ 4
r
3
ˆ 4
+
f
2
r
3
+
f
2
ˆ 4
( 1);
=

152
Culegerea rezultatelor. Se observă că
Atunci
Dar
max f 4 ( x4
) = f 4 ( 5)
= 1.
1
0≤ x4
≤5
şi ˆ4 = 5
xˆ
ˆ ˆ
3 = x4
− d 4 ( x4
) = 4 .
Modele şi algoritmi de optimizare
x , iar dˆ
( x ) = 1.
dˆ ( xˆ
) = dˆ
( 4)
= 0 şi atunci x = xˆ
− dˆ
( x ) = 4 .
3
3
3
ˆ2 3 3 3
În continuare avem:
d ˆ ( ˆ 2 x2
) = dˆ
2 ( 4)
= 1 , iar x ˆ ˆ 1 = x2
− dˆ
2 ( x2
) = 3 ; d ˆ ˆ ˆ
1 ( x1)
= d1
( 3)
= 3 .
Astfel, politica optimă este d ˆ , dˆ
, dˆ
, dˆ
= 3,
1,
0,
1 ceea ce înseamnă că din
( 1 2 3 4 ) ( )
cele 5 miliarde se vor investi 3 miliarde în acţiun i la prima societate, 1 la cea
de-a
doua şi 1 la cea de-a patra. Nu se vor achiziţiona acţiuni de la societatea a treia.
7.2.3. Problema gestiunii stocului
Principiul de optimalitate al lui Bellman poate fi enunţat şi sub următoarea
formă, aşa cum va fi folosit în rezolvarea problemei ce urmează.
Într-un şir optimal de decizii, oricare ar fi prima decizie luată, deciziile următoare
formează un subşir care este optimal, ţinând seama de rezultatele primei decizii.
În continuare vom rezolva următoarea problemă cunoscută sub
numele de
problema
gestiunii stocului.
Tabelul 7.3 dă pentru cinci perioade cantităţile unitare de produs di pe care
un vânzător le va furniza, precum şi preţurile ci cu care el poate achiziţiona aceste
produse pe care le va revinde la preţ constant. El cumpără la începutul perioadei
un număr întreg de produse, dispune de o capacitate de stocare gratuită de 5
unităţi.
Trebuie ca la începutul fiecărei perioade să dispună de suficiente produse
pentru a face faţă cererii, începe şi termină cu stoc
nul. Cum trebuie să organizeze
aceste cumpărături
astfel încât profitul său să fie maxim ?
Rezolvare. Notăm :
Tabelul 7. 3
Perioada i 1 2 3 4 5
Cererea bi 2 3 4 3 2
Preţul c 13 15 20 11 12
i
4
4

7. Programare dinamică 153
di = cantitatea de produs cumpărată la începutul perioadei i , are rol de variabilă de
decizie ;
xi = cantitatea de produs rămasă în stoc la sfârşitul perioadei i , xi este în acest caz
variabila de stare, pentru că permite cunoaşterea perfectă a stării situaţiei la
sfârşitul fiecărei perioade.
Restricţiile sistemului sunt
⎧ bj ≤ x j −1
+ d j ≤ 5
⎪
⎨x j = x j −1 + d j − bj
j = 1,
5
⎪
⎩ x0
= 0 ; x5
= 0.
Funcţia de optimizat este f (d)
= ∑ j j d c .
S-a obţinut astfel o problemă de programare în numere întregi.
5
j=
1
Ţinând seama de cererea de la perioada întâi, se vede (Tabelul 7.4) că perioada
întâi se poate termina cu 0 ; 1 ; 2 sau 3 unităţi în stoc.
b
2
Tabelul 7.4
1 x1 d1 f(d) min
3 5 65
2 4 52
1 3 39
0 2 26
Perioada a doua (Tabelul 7.5) se poate termina cu 0 , 1 sau 2 unităţi în stoc
(x1+d2=b2=3).
Tabelul 7.5
b2 x2 x1 d2 f(d) min
0 3 26+45=71
0 1 2 39+30=69
2 1 52+15=67
3 0 65+0=65 *
0 4 26+60=86
3
1 1
2
3
2
39+45=84
52+30=82
3 1 65+15=80 *
0 5 26+75=101
2 1 4 39+60=99
2 3 52+45=97
3 2 65+30=95 *
Perioada a treia (Tabelul 7.6) se poate termina cu 0 sau 1 unităţi în stoc
(x2+d3=b3=4).

154
Tabelul 7.6
b3 x3 x2 d3 f(d) min
0 4 65 +80=145 0 1 3 80+60=140
4 2 2 95+4 0 =135 *
0 5 65+100=165
1 1 4 80+80=160
2 3 95+60=155 *
Perioada a patra (Tabelul 7.7) se poate termina cu 0, 1 sau 2
(x3+d4=b4= 3).
Tabelul 7.7
b4 x4 x3 d4
f(d) min
3
0
1
2
0 3 135+33=168 *
1 2 155+22=177
0 4 135+44=179 *
1 3 155+33=188
0 5 135+55=190 *
1 4 155+44=199
Modele şi algoritmi de optimizare
unităţi în stoc
La sfârşitul perioadei a cincea (Tabelul 7.8) avem x5=0 şi, deoarece x4+d5=b5=2,
rezultă
Politica optimală de cumpărături este
Tabelul 7.8
d5 f(d)
0 2 168+24=192
1 1 179+12=191
2 0 19 0 *
b5 x4 min
2
⎧ ⎧ ⎧ ⎧x1
= 3
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪x
2 = 2 ⇒ ⎨d1
= 5
⎪ ⎪x
= ⇒ ⎨ ⎪
3 0
⎪
⎩ f ( d)
= 65
⎪
= 2 ⇒ ⎨ ⎪
⎪x
4
d 2 = 2
⎨ ⎪ ⎪
d 5 = 0 ⇒
⎪
⎪⎩
f ( d)
= 95
⎪
⎪d
3 = 2
⎪
⎪ ⎪
⎩ f ( d)
= 135
⎪d
4 = 5
⎪
⎪⎩
f (d ) = 190
sau: d5=0 ; d 4 =5 ; d3 =2 ; d2=2 ; d1=5 cu costul minim,
f(d)= 0× 12+ 5×11+ 2× 20 +2 ×15 +5 ×13=1 90 .

7. Programare dinamică 155
Generalizare Clasa de probleme Pk(x). Să se determine o politică optimală de
cumpărături pe primele k perioade, putând termina cele k perioade cu x produse
în stoc. Problema iniţială poate să
fie considerată ca P5(0). Vrem să punem în
evidenţă o relaţie de recurenţă
între aceste diferite probleme şi să le rezolvăm de o
manieră mai economică în timp.
Notă m zk(x), valoarea optimului funcţiei obiectiv a problemei Pk(x). Avem
z ( x)
= min c d + z ( x + b − d ) ,
relaţia { }
k
dk
( x)
k
k
k −1
unde d x)
= { d b + b − + x − 5 ≤ d ≤ x + b }
k
( 1 .
k
k
k
Rezumăm calculele precedente în Tabelul 7.9.
k
k
Tabelul 7.9
x z1(x) d1(x) d2(x) d2(x) d3(x) d3(x) d4(x) d4(x) d5(x) d5(x)
0 26 2 65 0 135 2 168 3 190 0
1 36 3 80 1 155 3 179 4 * *
2 52 4 95 2 * * 190 5 * *
3 65 5 * * * * * * * *
În acest tablou coloanele au fo st completate de la stânga la dreapta, calculând
d1(x) apoi z1(x) ş. a. m.
d. Culegerea solu ţiei
optimal e se face de la dreapta la
stânga. Ştiind că d5=0
şi b5=2, adică x4= 2, cău tăm solu ţia pen tru P4(2)
. Găsim
d4=5, adică x3=0 şi atunci căutăm P3(0)
. Din Tabelul 7.9 avem d3=2 şi, cum
b 3=4, rezultă x2=2. Căutăm acum soluţia pentru P2(2) . Cum b2=3
şi din tabel
d2=2, rezultă că x1=3, şi acum ne interesează P1(3) . Din Tabelul 7.9 rezultă că
d1=5 şi astfel am ajuns la soluţia finală.
7.2.4. Problema alocării optime a resurselor
Trei echipe de cercetători A, B, C lucrează la un acelaşi proiect folosind
abordări diferite. Echipele au probabilităţile de eşec : P(A)=0.4 ; P(B)=0.6 ;
P(C)=0.8. Se decide alocarea a 2 noi cercetători la proiect în scopul minimizării
probabilităţii de eşec a proiectului. Pentru a decide alocarea cercetătorilor
suplimentari s-a stabilit Tabelul 7.10 (Henry-Labordere, 1995).
Nr. cercetători noi alocaţi
Tabelul
7.10
Noile probabilităţi de eşec pentru
echipe
A B C
0 0.4 0.6 0.8
1 0.2 0.4 0.5
2 0.15 0.2 0.3
Care este alocarea optimală a cercetătorilor suplimentari astfel încât împreună
să aibă probabilitatea de eşec minimă ?
k
k

156
Modele şi algoritmi de optimizare
Rezolvare
Fie dA, dB, dC numărul de cercetători afectaţi echipelor A, B, C ,
rA(dA), rB(dB), rC(dC) funcţiile care dau probabilităţile de eşec pentru fiecare echipă,
xA numărul cercetătorilor alocaţi proiectului A ;
xB numărul cercetătorilor alocaţi proiectelor A şi B , şi
xC numărul cercetătorilor alocaţi proiectelor A, B şi C.
Probabilitatea de eşec – toate echipele eşuează – este
f ( x)
r ( d ) ⋅ r ( d ) ⋅ r ( d ) , d + d + d ≤ 2 .
( )
= A A B B C C A B C
Fie x , probabilitatea minimă atunci când se utilizează x cercetători
f i
suplimentari pentru proiectele A, B, C.
i
{ }
( x)
min f ( x − d ) r ( d ) , i { A,
B,
C}
f ⋅
= pred ( i)
i
i
i
∈ , unde d = x , iar
{ A,
B,
C}
Soluţia este analoagă soluţiei problemei repartiţiei
investiţiilor.
Să determinăm valorile funcţiilor , i ∈ A,
B,
C .
f { }
i
i∈
∑
i
1 = f .
pred ( A)
( x)
= min r ( x)
, deoarece r este descrescătoare, aşa cum se vede din coloana
f A A
A a Tabelulu i 7 .10 şi atu nci ˆ ( x)
= x .
x=0 , atunci 0 ≤ d B ≤ 0 şi
d A
{ ( 0)
⋅ f ( 0)
} = min{
0.
6 ⋅ 0.
4}
0.
4
A
f ( 0) min r = 2 , iar dˆ
( 0)
= 0 .
B
= B
x=1 , atunci 0 ≤ d B ≤1 şi
A
{ ( ) f ( 1−
d ) } = min{ r ( 0 ⋅ f ( 1 r ( 1 f ( 0 }
f ( 1 ) min r d ) ); ) ⋅ ) = 0.
12 ,
B
ˆd ( 1)
= 0 .
f
=
B
B
= B B ⋅ A B
B A B A
x=2 , atunci 0 d ≤ 2 şi
( 2)
0.
08 ,
= min
iar dˆ
≤ B
{ r ( d ) ⋅ f ( 2 − d ) } = min{
r ( 0)
⋅ f ( 2);
r ( 1)
⋅ f ( 1);
r ( 2)
⋅ f ( 0)
}
B
B
( 2)
B
= 2
A
sau
1.
x= 0 , atunci 0 d ≤ 0 şi
≤ C
B
{ r ( 0)
⋅ f ( 0)
} = min{
0.
8 ⋅ 0.
24}
0.
192
f ( 0)
min
= , iar dˆ
( 0)
= 0 .
C
= C B
x=1 , atunci 0 ≤ d B ≤1
şi
f ( 1)
min r ( d ) ⋅ f ( 1−
d ) = min r ( 0)
⋅ f ( 1)
; r ( 1)
⋅ f ( 0)
= 0.
,
B
dˆ
( 1)
= 0 .
f
C
C
=
min
B
{ } { } 096
= C C B C
C B C B
x=2 , atunci 0 d ≤ 2 şi
( 2)
≤ C
= min{
rC
( dC
) ⋅ f B ( 2 − dC
) } = min{
rC
( 0)
⋅ f B ( 2);
rC
( 1)
⋅ f B ( 1);
rC
( 2)
⋅ f B ( 0)
}
{ 0.
8 ⋅ 0.
8;
0.
5 ⋅ 0.
12;
0.
3 ⋅ 0.
24}
= 0.
06 , iar dˆ
( 2)
= 1.
Datele obţinute sunt trecute în Tabelul 7.11
A
C
B
B
C
A
B
A
=
=

7. Programare dinamică 157
x fA(x) *
Tabelul 7.11
dˆ A ( x)
fB(x) *
d B (x)
fC(x) *
d C (x)
0 0.4 0 0.24 0 0.192 0
1 0.2 1 0.12 0 0.096 0
2 0.15 2 0.08 2 sau 1 0. 06 1
Valoarea soluţiei optimale este fC ( x ) =0.06 pentru alocarea ambilor
cercetători,
astfel:
x ˆ C = 2 şi d ˆ
C = 1 , adică se alocă un cercetător la proiectul C ;
x ˆ xˆ
− dˆ
= 1 , dar dˆ
d ( 1)
= 0 , adică la proiectul B nu se mai alocă alt
B = c C
B = B
cercetător;
x ˆ xˆ
− dˆ
= 1 , însă dˆ
d ( 1)
= 1,
adică se alocă un cercetător la proiectul A.
A = B B
A = A
7.3. Probleme propuse
1. O firmă de construcţii are 4 000 000 euro pe care vrea să-i investească în
construirea a 3 tipuri de locuinte B1, B2, B3. Profitul adus de fiecare tip de locuinţă
este
dat de Tabelul 7.12.
Tabelul 7.12
Suma investită (mil) B1 B2 B3
0 0 0 0
1 35% 28% 26%
2 43% 32% 34%
3 47% 45% 40%
4 49% 47% 51%
Să se precizeze care este profitul maxim şi cum se obţine.
R. Trecem rezultatele calculelor în Tabelul 7.13
Tabelul 7.13
x r1 r2 r3 f1 ˆd 1 f2 dˆ 2
f3
dˆ
3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 35 28 26 35 1 35 0 35 1
2 43 32 34 43 2 63 1 63 2
3 47 45 40 47 3 71 1 89 2
4 49 47 51
49 4 80 3 97 2 sau 3

158
Modele şi algoritmi de optimizare
Culegerea rezultatelor:
a) dˆ
, , , 3 = 2 xˆ 3 = 4 xˆ ˆ ˆ
2 = x3
− d3
= 2 dˆ
ˆ
2 = d 2 ( x2
) = 1 , x ˆ ˆ ˆ
1 = x2
− d 2 = 1 ,
dˆ
1 = d1(
x ˆ1
) = 1 ;
b) ˆd = 3 , xˆ 4 , ˆ ˆ ˆ 1 , d ˆ
3
3 = x2 = x3
− d3
=
2 = d 2 ( xˆ
2 ) = 0 , x ˆ ˆ ˆ
1 = x2
− d 2 = 1 ,
d ˆ ( ˆ
1 = d 1 x1)
= 1 .
Profitul maxim este de 97% , dacă se investeşte suma astfel:
a) (1, 1, 2) , adică 1 milion în primul tip de locuinţe, 1 milion în al doilea tip de
locuinţe şi 2 milioane în al treilea tip de locuinţe;
b) (1, 0, 3) , adică 1 milion în primul tip de locuinţe şi 3 milioane în al treilea
tip de locuinţe.
2. Problema achiziţionărilor de carburant
Serviciul de aprovizionare al municipalităţii trebuie să asigure motorina pentru
încălzirea oraşului, timp de 6 luni – noiembrie-aprilie. Preţurile de cumpărare
prevăzute pe tonă şi nevoile lunare sunt date de Tabelul 7.14 (Henry-Labordere,
1995):
Tabelul 7.14
Perioada (i) 1 2 3 4 5 6
Necesarul (bi) 800 500 300 200 700 400
Preţul tonei (ci) 3300 5400 3900 5100 6000 3000
Stocul iniţial la 1 noiembrie este de 200 t. Nu se poate depăşi capacitatea
rezervorului care este de 900 t. Se doreşte minimizarea cumpărăturilor, dar cu
satisfacerea cererii pe întreaga perioadă.
Fie: ci costul unei tone pe perioada i ,
xi stocul
la sfârşitul perioadei i−1, începutul perioadei i, înainte de
cumpărarea cantităţii di ,
di cantitatea cumpărată la data de întâi a lunii i ,
bi necesarul pe perioda i.
Notând fi
( xi+
1)
costul politicii optimale care lasă la sfârşitul perioadei i un stoc
xi+1, atunci :
• să se stabilească o relaţie între f i ( xi+
1)
şi fi− 1(
xi
) ,
• să se găsească soluţia optimală folosind programarea dinamică. Să se precizeze
cumpărăturile lunare şi stocul final.
Rezolvare
1) Formularea problemei în programare
liniară (vom renunţa la două zerouri la
⎧x1
= 2
⎪
preţuri şi cantităţi) are restricţiile :
xi
+ di
≤ 9
xi
, di
≥ 0
⎪xi+ 1 = xi
+ di
− bi
( ∀)
i
⎨
⎪
⎪
⎩

7. Programare dinamică 159
Ţinând seama de relaţiile de mai sus, funcţia obiectiv se poate scrie ca funcţie de d
astfel: f=33d1+54d2+39d3+51d4+60d5+30d6 , iar problema
obţinută este
p
⎩ i i
( d )
f =min
p
∑
i=
1
⎧x1
= 2
⎪
xi+
1 = xi
+ di
− bi
⎨
⎪xi
+ di
≤ 9
⎪x , d ≥ 0 .
cid
i
i = 1,
6
Funcţia
de minimizat se scrie :
f i ( di
+ 1)
=min(fi−1(xi+1+bi−di)+cidi).
Transformările τi fiind inversabile se poate aplica atât analiza prospectivă cât şi
retrospectivă.
2)
Calculele sunt rezumate în Tabelul 7.15.
Tabelul 7.15
xi f1(d) ˆ
1( x)
f2(d) d ˆ
2 ( x)
f3(d) d ˆ
3 ( x)
f4(d) d ˆ
4 ( x)
f5(d) dˆ
5 ( x)
f6(d) d
0 198 6 447 4 564 3 642 0 951 0 1071 4
1 231 7 501 5 603 4 681 0 1011 1 1101 5
2 555 6 642 5 720 0 1071 2 1161 6
3 609 7 681 6 759 0 1191 7
4 663 8 720 7 798 0 1221 8
5 759 8 849 1 9
6 798 9 900 2
7 951 3
d ˆ
6 ( x)
Culegerea rezultatelor din tabel:
f ( dˆ
) = 1071 = f ( 4)
, d ˆ = d ( xˆ
) = d ( 0)
= 4 , x ˆ7 = 0 ,
min 6 7
6
6
x = xˆ
+ dˆ
− b ⇒ xˆ
= b − dˆ
= 4 − 4 = 0 .
ˆ7 6 6 6 6 6 6
Cum d ˆ = d ( xˆ
) = d ( 0)
= 0 , rezultă
5
5
6
5
x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
6 = x5
+ d5
− b5
⇒ x5
= x6
+ b5
− d5
= 0 + 7 − 0 = 7 şi d ˆ ˆ
4 = d 4 ( x5
) = d 4 ( 7)
= 3 .
Analog obţinem:
x = xˆ
+ dˆ
− b ⇒ xˆ
= xˆ
+ b − dˆ
= 7 + 2 − 3 = 6 şi d ˆ = d ( xˆ
) = d ( 6)
= 9 ,
ˆ5 4 4 4 4 5 4 4
x = xˆ
+ dˆ
− b ⇒ xˆ
= xˆ
+ b − dˆ
= 6 + 3 − 9 = 0 şi d ˆ = d ( xˆ
) = d ( 0)
= 4 ,
ˆ4 3 3 3 3 4 3 3
x = xˆ
+ dˆ
− b ⇒ xˆ
= xˆ
+ b − dˆ
= 0 + 5 − 4 = 1 şi dˆ
= d ( xˆ
) = d ( 1)
= 7 ,
ˆ3 2 2 2 2 3 2 2
= xˆ
+ dˆ
− b ⇒ xˆ
= xˆ
+ b − dˆ
= 1+
8 − 7 = 2 .
xˆ
2 1 1 1 1 2 1 1
Politica optimală de cumpărături este :
f6(4)=1071 cu cantităţile d ˆ
1 = 7 , d ˆ
2 = 4 , d ˆ
3 = 9 , d ˆ
4 = 3 , d ˆ
5 = 0 , dˆ
6 = 4 .
6
7
6
3
2
1
3
2
1
4
3
2
3
2
1

160
Modele şi algoritmi de optimizare
3. La o balastieră s-au estimat cantităţile necesare de balast pentru trimestrul patru
în vederea încheierii contractului cu o carieră. Cantităţile şi preţurile sunt trecute în
Tabelul 7.16 .
Tabelul 7.16
Luna Octombrie Noiembrie Decembrie
3
Necesar (m ) 80 30 40
Cost ( u.m.) 4 3 5
La începutul fiecărei luni se comandă o anumită cantitate de balast astfel încât
să fie satisfăcut necesarul de balast, dar să nu fie depăşită capacitatea de depozitare
a balastierei, limitată la 100 m 3 . Să se precizeze costul minim de aprovizionare şi
cum se obţine. Se presupune că la începutul şi sfârşitul semestrului depozitul este
gol.
R. Politica optimală de aprovizionare este :
f3(0)=690 cu cantităţile d ˆ
1 = 80 , d ˆ
2 = 70 , dˆ
3 = 0 .
4. O firmă de transport de persoane trebuie să facă legătura între localităţile A şi H,
pe un drum ce poate trece prin localităţile A, B, C, D, E, F, G, H. Distanţele între
localităţi şi reţeaua de drumuri sunt trecute în graful din Figura 7.1. Ştiind că pentru
o persoană se plătesc 3.4 u.m., să se determine costul minim de transport pentru o
persoană şi traseul pentru care se obţine acest cost.
A
2
1
4
B
1
D
C
8
8
Figura 7.1
R. Traseul minim A, D, G,
H are lungimea 13 şi costul minim este
Cmin=3.4⋅13=44.2 u.m.
5. Construirea unei autostrăzi. (Kaufmann, 1967) Folosind analiza prospectivă
se rezolve problema 3 din §2.5.
R. Se consideră că autostrada, care va uni localităţile 1 şi 14 (Figura 2.18), va fi
formată din cinci tronsoane.
E
3 4 6
5
2
F
3
G
7
H
să

8. ELEMENTE DE TEORIA AŞTEPTĂRII
8.1. Introducere în teoria aşteptării
Teoria aşteptării (sau teoria firelor de aşteptare sau teoria cozilor) se ocupă
cu studiul evoluţiei sistemelor care prezintă aglomerări (sistemele de aşteptare).
Un astfel de sistem este compus dintr-una sau mai multe staţii de servire (în număr
finit) care servesc clienţii ce sosesc în sistem pentru
a solicita servicii. Modul de
dispunere sau condiţionare a staţiilor de serviciu dintr-un sistem de aşteptare
constituie topologia sistemului. Astfel, staţiile pot fi în serie sau în paralel sau acest
serviciu se realizează de către una din staţii sau de către un grup de staţii.
Studiul unui sistem de aşteptare se face cu ajutorul unui model de aşteptare.
Elementele cunoscute ale unui model de aşteptare sunt (Văduva et al, I, 1974):
• fluxul intrărilor în sistem
• mecanismul serviciului.
Intrările sunt caracterizate fie de numărul de clienţi pe unitatea de timp care
sosesc, fie de intervalele de timp dintre două veniri consecutive.
Oricare dintre aceste două mărimi este o variabilă aleatoare cu repartiţia
cunoscută.
Cunoaşterea mecanismului serviciului presupune cunoaşterea topologiei
sistemului, regula după care se face serviciul, num ită şi disciplina serviciului (de
exemplu: FIFO (First−In First−Out) – primul sosit – primul servit, sau o ordine
bazată pe priorităţi),
precum şi repartiţia numărului de clienţi serviţi pe unitatea de
timp sau repartiţia duratei serviciului.
Mecanismul serviciului este caracterizat de asemenea şi de capacitatea
sistemului presupusă cunoscută,
adică numărul maxim de clienţi ce pot exista la un
moment dat în sistem, sau, echivalent,
lungimea maximă a cozii.
Elementele necunoscute ale modelului de aşteptare sunt:
• timpul de aşteptare
• timpul de neocupare a staţiilor
• lungimea cozii
• numărul de clienţi din sistem N(t) existenţi
la momentul t .
Toate aceste necunoscute sunt variabile aleatoare şi, prin rezolvarea modelului
de aşteptare, se urmăreşte determinarea repartiţiei lor sau măcar a unei valori medii
în funcţie de elementele cunoscute.

162
Un model de aşteptare se notează A / S / c: (L, d) , unde:
A – repartiţia timpului dintre două veniri consecutive,
S – repartiţia duratei de serviciu,
c – numărul de staţii (canale) de serviciu,
L – lungimea maximă a cozii,
d – disciplina de serviciu.
Modele şi algoritmi de optimizare
Exemplu. Notaţia Exp(λ) / Exp(µ) / 1: (∞, FIFO) caracterizează un model cu:
− veniri cu repartiţia exponenţială negativă de parametru λ,
− servicii cu repartiţie
exponenţială negativă de parametru µ,
− o singură
staţie ( c=1 ),
− coada care poate creşte indefinit ( L=∞),
− disciplina de serviciu care este primul sosit−primul servit (First−In
First−Out).
Numărul N(t) de clienţi din sistem ia valori întregi 0,1,2,..., şi este, în general,
un proces stochastic discret. Cunoaşterea repartiţiei acestui proces permite
determinarea multor caracteristici ale sistemului.
8.2. Caracterizarea procesului N(t) ca proces de naştere şi deces
O caracteristică a procesului N(t) este aceea că variaţia valorilor sale pe
intervale mici de timp nu este mare, în sensul că probabilitatea ca N(t) să prezinte
variaţii mari pe intervalul de timp (t, t + ∆t) depinde de valoarea lui N(t) şi este,
în general, mică. Variaţia procesului N(t) este determinată de intrările şi ieşirile
din sistem, adică de veniri şi servicii. Asemănător variază şi volumul populaţiilor
biologice; variaţia numărului de indivizi dintr-o astfel de populaţie pe un interval
mic de timp nu este prea mare şi ea depinde de natalitate (intrări) şi de deces
(ieşiri). Procesul stochastic N(t) este un caz particular de proces Markov şi se
numeşte proces de naştere şi deces (Văduva, 1977).
Definiţia
8.1. Procesul stochastic cu creşteri independente N(t) se numeşte proces
de naştere şi deces dacă satisface următoarele condiţii: 1) P [ N ( t + ∆t ) = n + 1 ⏐ N(t) = n ] = λn ⋅ ∆t + O (∆ t ) ;
2)
P [ N ( t +∆t ) = n −1 ⏐ N(t) = n ] = µn ⋅∆t + O (∆t ) ;
3)
P [ N ( t + ∆t ) = n ± i ⏐ N(t) = n ] = O (∆t ), ∀ i >
( ) 1
unde P ( A⏐B ) este probabilitatea lui A condiţionată de B, {λn , n ≥ 0}, {µn , n ≥
0} sunt şiruri de numere pozitive date, iar O (∆t ) un element al unei clase de
O
( ∆t)
funcţii care satisface: lim O ( ∆t)
= 0,
lim = 0,
cO
( ∆t)
= O ( ∆t)
, ( ∀)
c ∈R
.
∆t→0
∆t→0
∆t

8. Elemente de teoria aşteptării 163
Procesul este cu creşteri independente în sensul că, oricare ar fi t1

164
Modele şi algoritmi de optimizare
iniţiale sunt date), atunci condiţia necesară şi suficientă ca soluţia sistemului de
e cuaţii diferenţiale (8.1) şi (8.2) să fie un sistem complet de probabilităţi este ca
1
∑ ∞
k =0 λk
Teorema 8.2. Dacă pentru procesul de naştere şi deces N ( t ) sunt date condiţiile
iniţiale ca în Teorema 8.1, atunci o condiţie suficientă ca sistemul de ecuaţii
diferenţiale (8.1) şi (8.2) să aibă ca soluţie un sistem complet de probabilităţi
este
ca
∞ k µ i
∑∏ = ∞ .
λ
k = 1 i= 1 i−1
Ipoteză simplificatoare. Procesul N ( t ) se presupune staţionar,
adică Pn ( t ) = pn =
constant, ipoteză justificată de faptul că, după perioade mari de timp
de
funcţionare, sistemele se stabilizează.
În caz staţionar, sistemul (8.1) – (8.2) devine:
⎧ − λ0
p 0 + µ 1 p1
= 0
⎨
(8.4)
⎩ − ( λn
+ µ n ) p n + λn−1
pn−1
+ µ n+
1 pn+
1 = 0 , n ≥1
Notăm
z k = −λ
k pk
+ µ k + 1 pk
+ 1
şi din ultima ecuaţie avem
zn = zn−1 ,
iar din prima ecuaţie
z0 = 0.
Astfel, în cazul staţionar
zn = 0, n ≥ 0,
sau
λn
pn+ 1 = pn
, n ≥ 0 .
µ n+
1
Deducem că
1 ⎛ ⎞
=
⎜
⎜∏
⎟ 0 , ≥1
⎝ 0 1 ⎠
− n λk
pn
p n .
k = µ k +
Din condiţia (8.3) rezultă că
∑∏
∞
1
p0
=
.
n−1
λk
1 +
n=
1 k = 0 µ k + 1
Cunoscând repartiţia procesului N ( t ), în cazul staţionar, adică a numărului
de clienţi din sistemul de aşteptare, se pot calcula unele elemente necunoscute ale
modelului, şi anume:
= ∞
a) numărul mediu de clienţi din sistem M
N(
t)
np ,
.
[ ] ∑ ∞
=
n=
0
n

8. Elemente de teoria aşteptării 165
b) lungimea medie a cozii
L
[ Lc
] = ∑
n=
c
M ( n − c)
p
(nu poate fi coadă pentru n ≤ c, adică mai puţini clienţi decât numărul staţiilor de
serviciu),
c) timpul mediu de aşteptare la coadă
1
M [ WT ] = M [ Lc
] ,
µ ( 1 − p )
1
unde este timpul mediu de servire şi se presupune cunoscut.
µ ( 1 − p )
0
Observaţia 8.1. µ (1 − p0) reprezintă numărul mediu de clienţi (unităţi) serviţi în
unitatea de timp. Atunci:
d) timpul mediu de aşteptare în sistem
1
M [ W ] = M [ N(
t)
] ,
µ ( 1 − p )
e) numărul mediu de staţii neocupate
M
c
[ SL]
= ∑
n=
0
0
0
( c − n)
p
f) timpul mediu de lenevire (neocupare) a unei staţii între două servicii
consecutive
M
[ ] [ ]
[ AT ]
M TL = M SL ⋅ ,
c
unde M[AT] este media intervalelor de timp dintre două veniri consecutive.
Aşadar, pentru a rezolva un model folosind procese de naştere şi deces trebuie
cunoscute intensităţile procesului λn , n ≥ 0, µn , n ≥ 1.
Pe baza acestor intensităţi se calculează probabilităţile
pn , n ≥ 0,
şi apoi elementele necunoscute ale modelului, conform cu formulele precedente.
8.3. Modelul Po(λ)/Exp(µ)/1:(∞,FIFO)
În acest model intrările se fac după repartiţia Poisson
n
( λt)
−λt
P(
N(
t)
= n)
= e , n ≥ 0 ,
n!
iar intervalul de timp dintre două sosiri consecutive are o repartiţie exponenţială de
parametru λ , cum se poate constata uşor.
n
n
,
,

166
Modele şi algoritmi de optimizare
Serviciile se fac după repartiţia exponenţială, adică durata serviciului ca
variabilă aleatoare are repartiţia exponenţială,
−µ
x ⎧1
− e , pentru x ≥ 0
F(
x)
= ⎨
.
⎩0
, pentru x < 0
λ
Raportul ρ = se numeşte intensitate de trafic sau factor de serviciu. El
µ
reprezintă, în medie, numărul de clienţi care vin în perioada unui singur timp de
serviciu.
nţii care îl solicită în unitatea
se va produce o aglomerare.
Dacă ρ < 1, numărul clienţilor din şirul de aşteptare va creşte necontenit.
Dacă ρ = 1, nu se va produce o coadă imensă – durata serviciilor coincide cu
unitatea de timp, însă evident în anumite momente va fi aglomeraţie.
În modelul precedent λn =λ şi µn = µ , (∀) n ∈ N * Dacă ρ > 1, atunci durata serviciului pentru clie
de timp este mai mică decât unitatea de timp, deci nu
. În acest caz, ecuaţiile
Kolmogorov−Feller (8.4) devin, pentru cazul staţionar
⎧λpn
−1
− ( λ + µ ) pn
+ µ pn+
1 = 0 , ( ∀)
n ≥1
⎨
(8.5)
⎩−
λ p0
+ µ p1
= 0
Ultima ecuaţie dă
λ
p1 = p0
= ρ ⋅ p0
µ
şi înlocuind în prima, avem
2
λ p0 − ( λ + µ ) p1
+ µ p2
= 0 ⇒ p2
= ρ p0
.
Rezultă prin inducţie că
Dar
însă
când ρ < 1 şi atunci
∑
pn = ρ n p0 .
n
p n = 1⇒ p0
∑ρ
= 1 ,
n∈N
n∈N
∑
n∈N
ρ
n
1
= ⇒1
− ρ = p0
1−
ρ
pn = ρ n ( 1 − ρ) . (8.6)
Se pot determina elementele necunoscute ale modelului în funcţie de ρ. De
asemenea, se pot găsi:
− pn maxim
d n
n
[ ρ ( 1 − ρ)
] = 0 ⇒ ρ =
dρ
n + 1
şi atunci
⎛ n ⎞ 1
pn
( t)
= ⎜ ⎟ ⋅ .
⎝ n + 1⎠
n + 1
n

8. Elemente de teoria aşteptării 167
Aşadar, putem determina:
− numărul mediu de clienţi
din sistem la momentul t
n−1
ρ
M [ N(
t)
] = ∑ npn(
t)
= ∑ nρ
( 1−
ρ)
=
(8.7)
1−
ρ
n∈N
− numărul mediu al clienţilor din şirul de aşteptare – lungimea medie a cozii
∞
∞
2
n ρ
M [ L1
] = ∑ ( n −1)
pn
= ( 1 − ρ ) ∑ ( n −1)
ρ =
(8. 8)
n=
2 n=
2 1 − ρ
− timpul mediu de aşteptare la coadă
1
ρ
M [ WT ] = M [ L1
] =
(8.9)
µ ( 1 − p0
) µ ( 1 − ρ)
− timpul mediu de aşteptare în sistem
1 1
M [ W ] = M [ WT ] + = . (8.10)
µ µ ( 1 − ρ)
Dacă este interesantă probabilitatea ca în sistem să fie mai mult
de m persoane
şi dorim ca ea să nu depăşească o anumită valoare ε, atunci
m−1 m
1 − ( 1 − ρ ) − ρ(
1 − ρ)
− ... − ρ ( 1 − ρ)
< ε ⇒ ρ < ε
(8.11)
Se pot determina astfel ε şi µ încât să nu existe aglomeraţie.
Pr opoziţia 8.1. Probabilitatea ca numărul clienţilor din sistem la un moment dat să
fie mai mare ca un număr dat k este
P( N( t ) > k ) = ρ (8.12)
De e notaţiile de mai
a
k+1 .
monstraţie. Calculăm această probabilitate, ţinând seama d
în inte, şi avem
1
1
( )
1
) 1 ( ) 1 ( ) (
) (
∞
∞
k +
n
k +
> = ∑ n = ∑ − = − =
−
t p k t N
ρ
P ρ ρ ρ ρ .
ρ
n=
k + 1
n=
k + 1
Se poate determina probabilitatea ca un client să aştepte la rând un timp
superior unui timp dat t0 .
Deoarece timpul de aşteptare la coadă este o variabilă aleatoare continuă, vom
determina repartiţia complementară a acestei variabile aleatoare, adică P(WT >t0 )
(funcţia de repartiţie F(t0) = P(WT ≤ t0 )).
Determinăm această repartiţie prin intermediul unei probabilităţi elementare de
forma P( t < WT < t + dt ), care reprezintă probabilitatea evenimentului ca timpul
de aşteptare al unui client la coadă să fie cuprins în intervalul (t, t+dt).
Notăm cu Pn( t < WT < t + dt ) probabilitatea ca timpul de aşteptare la coadă
al unui client să fie cuprins în intervalul (t, t+dt) condiţionat de faptul că la sosirea
lui în sistem există deja n > 0 clienţi.
Observaţia 8.2. Dacă n = 0 la sosirea în sistem a clientului, acesta nu aşteaptă şi
intră direct în serviciu. P(
t < WT < t + dt)
= P ( t < WT < t + dt)
.
Cum se calculează Pn( t < WT < t + dt ) ?
∑ ∞
n=
1
n

168
Modele şi algoritmi de optimizare
Fiind o probabilitate condiţionată, se scrie ca un produs de probabilităţi pentru
următoarele trei evenimente:
a) evenimentul ca, la sosire, în sistem să existe n unităţi, Pn(0). Se ia momentul
sosirii clientului ca fiind t = 0 ;
b) evenimentul ca în intervalul de timp t să fie serviţi şi să plece din sistem n−1
clienţi, cu condiţia să fi existat iniţial n clienţi în sistem. Probabilitatea acestui
eveniment este
n ( )
( 1)
−1
µ −
t µ t
e ;
n − !
c) evenimentul ca în intervalul de timp dt să fie servit şi să plece un client,
condiţionat de evenimentele de la a) şi b). Probabilitatea acestui eveniment este
µ dt . Prin urmare,
n−1
( t)
( n −1)
!
µ −µ
t
P ( t < WT < t + dt)
= P ( 0)
⋅ e ⋅ µ dt .
n
Sistemul este presupus în regim staţionar şi atunci avem:
Aşadar,
P( t
< WT < t + dt)
=
∞
∑
n=
1
n
n
ρ ( 1 − ρ)
( n −1)
n−1
( µ t)
( n −1)
!
e
−µ
t
µ dt =
∞
n−1
−µ
t ( ρµ t)
−µ
t(
1−ρ
)
= ( 1 − ρ)
µ de ρ∑
= ρ(
1 − ρ)
µ e dt .
!
n=
1
−µ
τ ( 1−ρ
)
∞
−µ
τ ( 1−−
ρ )
e
P(
WT > t0
) = ∫ ρ(
1 − ρ)
µ e dτ
= ρ(
1 − ρ)
µ
t0
− µ ( 1 − ρ)
−µ t0
( 1−ρ
)
= ρ e ,
−µ t0
( 1−ρ
)
pentru ρ < 1. Am obţinut P( WT > t0 ) = ρ e şi astfel am demonstrat
următoarea propoziţie.
Propoziţia 8.2. Probabilitatea ca un client
să aştepte la rând un timp superior unui
timp dat t0 este
−µ t0
( 1−ρ
)
P( WT > t0 ) = ρ e .
Exemplu. La o bază de aprovizionare sosesc în medie 30 de autobasculante pe oră
pe care trebuie să le încarce un singur excavator. Timpul mediu necesar încărcării
unei autobasculante este de 1 min şi 30 s. Să se stabilească elementele modelului de
aşteptare care rezultă, dacă se consideră că sosirile sunt poissoniene, iar servirile,
exponenţiale. Să se determine probabilitatea ca în sistem să fie 3 sau mai mult de 3
autobasculante.
Rezolvare. Presupunem că prin observaţiile din teren ne situăm în cazul modelului
Po(λ)/Exp(µ)/1:(∞,FIFO) . Pentru acest caz intensitatea intrărilor este λ=30 , iar
∞
t0
=

8. Elemente de teoria aşteptării 169
cea a ieşirilor (serviciilor) din sistem este
este
60 min
µ = . Intensitatea de trafic
1 min 30 s
3
ρ = . Din relaţia (8.6) avem p 0 = 1 − ρ = 0.
25 , p1=0.1875 ş.a.m.d.
4
Se pot determina acum conform cu relaţiile (8.7)−(8.11) elementele necunoscute
ale modelului:
− numărul mediu de autobasculante din sistem M[N(t)]=3.
− numărul mediu de autobasculante din şirul de aşteptare M[L1(t)]=2.25.
− timpul mediu de aşteptare în sistem M[W]=6
min.
− timpul mediu de aşteptare în şirul de aşteptare M[WT]=4 min şi 30 s.
Din relaţia (8.12) avem P( N( t ) > 2) = ρ 2+1 =0.42187 .
Comentariu. Dacă s-ar pune problema ca în sistem să fie în medie 2 autobasculante în
ρ
2 λ
loc de 3, atunci din relaţia (8.7) obţinem = 2 şi ρ = = . Cum λ=30
1 − ρ
3 µ
este o dată exterioară sistemului, trebuie modificată durata medie a serviciilor, şi
anume µ = 45 s . Pentru noile valori ale parametrilor ρ , µ se pot determina
elementele necunoscute ale modelului.
Să rezolvăm modelul pentru valorile iniţiale ale parametrilor λ şi µ cu
pachetul de programe Management Scientist. După lansarea pachetului de
programe selectăm modulul Waiting Lines şi din acesta Poisson Arrivals /
Exponential Service (Figura 2.4). Introducem datele de intrare ca în Figura 8.1.
Figura 8.1
Selectând Solve obţinem soluţia modelului care, aşa cum se vede din Tabelul 8.1,
coincide cu cea obţinută mai sus.

170
Tabelul 8.1
WAITING LINES
*************
NUMBER OF CHANNELS = 1
POISSON ARRIVALS WITH MEAN RATE = 30
EXPONENTIAL SERVICE TIMES WITH MEAN RATE = 40
Modele şi algoritmi de optimizare
OPERATING CHARACTERISTICS
-------------------------
THE PROBABILITY OF NO UNITS IN THE SYSTEM 0.2500
THE AVERAGE NUMBER OF UNITS IN THE WAITING LINE 2.2500
THE AVERAGE NUMBER OF UNITS IN THE SYSTEM 3.0000
THE AVERAGE TIME A UNIT SPENDS IN THE WAITING LINE 0.0750
THE AVERAGE TIME A UNIT SPENDS IN THE SYSTEM 0.1000
THE PROBABILITY THAT AN ARRIVING UNIT HAS TO WAIT 0.7500
Number of Units in the System Probability
----------------------------- -----------
0 0.2500
1 0.1875
2 0.1406
3 0.1055
4 0.0791
5 0.0593
6 0.0445
7 0.0334
8 0.0250
9 0.0188
10 0.0141
11 0.0106
12 0.0079
13 0.0059
14 0.0045
15 0.0033
16 0.0025
17 OR MORE 0.0075
8.4. Modelul Po(λ)/Exp(µ)/1:(m, FIFO)
Pentru acest model, lungimea maximă a cozii este m0 să sosească un client în
sistem este proporţională cu mărimea intervalului; coeficientul de proporţionalitate
depinde de numărul n de unităţi aflate în sistem la momentul respectiv şi rămâne
λn ; analog, coeficientul legat de servicii rămâne µn . În ecuaţiile de stare (8.4)
facem presupunerea că probabilitatea ca în intervalul de timp ∆t să sosească în
sistem un client este cu atât mai mică cu cât numărul clienţilor rămaşi din numărul
total este mai mic, − n λ ∆t
= λ ∆ şi atunci λ = ( m − n)λ
.
( ) t
m n
Coeficientul µn nu depinde de numărul de clienţi din sistem la un moment dat,
deoarece există o singură staţie, şi îl notăm cu µ .
În ecuaţiile de stare (8.4), înlo cuind λn şi µn şi considerând µn+1 = 0,
obţinem
ecuaţia
λ
− mλ
p0
+ µ p1
= 0 ⇒ p1
= m p0
.
µ
n

8. Elemente de teoria aşteptării 171
În cea de-a doua ecuaţie din (8.4) luăm n = 1 şi obţinem
m λ p − m −1)
λ + µ p + µ p = 0 ⇒
0
[ ]
λ
⇒ mλ p0
− ( m −1)
λ ⋅ m p
µ
( 1 2
0
λ
− µ ⋅ m p0
+ µ p
µ
⎛ λ ⎞
⇒ p 2 = m(
m −1)
⎜ ⎟ p0
.
⎝ µ ⎠
Luând n = 2, obţinem
( m − 1)
λ p1
− ( m − 2)
λ + µ p2
+ µ p3
= 0
2
2
= 0
[ ] ⇒
λ
⎛ λ ⎞
⇒ ( m −1)
λ ⋅ m p0
− ( m − 2)
λ m(
m −1)
⎜ ⎟ p0
+ µ p3
−
µ
⎝ µ ⎠
2
3
− µ p0
⎛ λ ⎞
m( m −1)
⎜ ⎟
⎝ µ ⎠
Prin inducţie rezultă
p0
= 0 ⇒
⎛ λ ⎞
p3
= m(
m −1)(
m − 2)
⎜ ⎟
⎝ µ ⎠
n ⎛ λ ⎞
pn = Am
⎜ ⎟
⎝ µ ⎠
⎛ 0 1 2 K m
m ⎞
N (t)
: ⎜
⎟ şi ∑ pk
( t)
= 1 ⇒
⎝ p0 ( t)
p1(
t)
p2
( t)
K pm
( t)
⎠ k = 0
⇒
m
∑
n=
0
A
n
m
n
⎛ λ ⎞
p0
⎜ ⎟ = 1 ⇒ p
⎝ µ ⎠
0
=
n
m
∑
n=
0
Calculul
elementelor necunoscute ale modelului
• numărul mediu de clienţi din sistem
p0
1
n
n ⎛ λ ⎞
Am
⎜ ⎟
⎝ µ ⎠
,
2
A
0
m
= 1
m
m
m
n ⎛ λ ⎞
n ⎛ λ ⎞
M[
N ( t)]
= ∑ npn
( t)
= ∑ nAm
⎜ ⎟ p0
= ∑[
m − ( m − n)]
Am
⎜ ⎟ p
n=
0
n=
0 ⎝ µ ⎠ n=
0
⎝ µ ⎠
n
n
m
m
m−1
n ⎛ λ ⎞
⎛ λ ⎞ µ ⎛ λ ⎞
= m∑
Am
⎜ ⎟ p0
− ∑ ( − m ⎜ ⎟ 0 = − ∑ m ⎜ ⎟ 0 =
n = 0 ⎝ µ ⎠ n=
0 ⎝ µ ⎠ λ n=
0
142
4 43 4
144⎝µ
24⎠4
4 3
1
−
+
n
n 1
m n)
A p m A p
1 p
µ
= m − ( 1 − p0
) ; deci
λ
µ
M[
N(
t)]
= m − ( 1 − p0
) ,
λ
• numărul mediu de clienţi serviţi la un moment dat
⎛ 0
ns ( t)
: ⎜
⎝ p0
( t)
1 ⎞
⇒ M[
ns
( t)]
= 0 p0
+ 1 − p0
= 1 − p
1 p0
( t)
⎟
−
⎠
n
⇒
.
0
n
n+
1
0
.
.
0
=

172
Modele şi algoritmi de optimizare
Dacă µ este numărul mediu de clienţi ce pot fi serviţi pe unitatea de timp,
dacă staţia este ocupată tot timpul, atunci numărul mediu de clienţi serviţi efectiv
într-o unitate de timp este µ ( 1 − p0 ).
• lungimea medie a cozii M[Lc] = M[L1]
M[Lc] = numărul mediu de clienţi în sistem la un moment dat minus numărul
mediu de clienţi ce sunt serviţi la un moment dat =
=M[N( t )] − ( 1 − p 0 ) =
µ
µ + λ
= m − ( 1 − p0
) − ( 1 − p0
) ⇒ M[
Lc
] = m − ( 1 − p0
) .
λ
λ
• timpul mediu de aşteptare la coadă
1
1 ⎡ m µ + λ ⎤
M[
WT ] = M[
L1
] = ⎢ − ⎥ ⇒
µ ( 1 − p0
) µ ⎣1
− p0
λ ⎦
1 ⎡ m
⇒ M[
WT ] = ⎢
µ ⎣1
− p0
µ + λ ⎤
− ⎥ ,
λ ⎦
• timpul mediu de aşteptare în sistem
1 1 ⎡ m
M [ W ] = M[
WT ] + = ⎢
µ µ ⎣1
− p0
µ ⎤
1 ⎡ m µ ⎤
− ⎥ ⇒ M[
W ] = ⎢ − ⎥ .
λ ⎦
µ ⎣1
− p0
λ ⎦
Exemplu. O firmă de taximetre are 12 autoturisme şi un singur mecanic de
întreţinere. Ştiindu-se că repartiţia de probabilitate a timpului de funcţionare a unui
autoturism
între două defecţiuni este exponenţială cu media de 6 zile, iar repartiţia
timpului necesar reparaţiei defecţiunii este exponenţială cu media 4 ore, să se
determine:
• probabilitatea ca la un moment dat toate autoturismele să funcţioneze,
• timpul mediu de aşteptare a unui autoturism defect până la momentul când
începe să fie reparat,
• timpul mediu de aşteptare a unui
autoturism până în momentul în care
părăseşte atelierul de reparaţii,
• numărul mediu de autoturisme la coadă şi
• numărul mediu de autoturisme din atelier.
Se consideră ziua de lucru de 8 ore.
Rezolvare
1 1 1
λ = = ; µ = maşini pe oră ,
8 ⋅ 6 48 4
p
0
=
12
∑
n=
0
A
1
n
12
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝12
⎠
n
1
= =
5.
03607
λ
=
µ
1
48
1
4
=
0.
19857
1
12
,
, atunci

8. Elemente de teoria aşteptării 173
reprezintă probabilitatea ca la un moment dat toate autoturismele s ă funcţioneze.
1 1
+
µ + λ
M[
L ]
( 1 ) 12
48 4
1 = m − − p0
= − ( 1 −
λ
1
48
0.
19857)
= 1.
58141 ,
µ
M[
N(
t)]
= m − ( 1 − p0
) = 12 −
λ
1
4
1
6 ⋅ 8
( 1 − 0.
19857)
= 2.
38284 ,
1 1
1
1 12
[ ]
4 48
⎥ 7.
89294
1
1
0
⎢1
0.
19857 1 ⎥
4 ⎢⎣
48 ⎥⎦
⎥⎤
⎡
⎢
+
⎡ m µ + λ ⎤
M WT = ⎢ − ⎥ = ⎢ − = ,
µ ⎣ − p λ ⎦ −
1 ⎡ m
M [ W ] = ⎢
µ ⎣1
− p
0
⎡
µ ⎤ 1 ⎢ 12
− ⎥ = ⎢ −
λ ⎦ 1 ⎢1
− 0.
19857
4 ⎢⎣
1
4
1
48
⎤
⎥
⎥ =
⎥
⎥⎦
11.
89294
Pentru rezolvarea acestei probleme cu Management Scientist, după
lansarea
programului, selectăm Waiting Lines, apoi din meniul File alegem New
şi din
fereastra care apare selectăm Poisson Arrivals/Exponential Service (Finite Pop.),
(Figura 2.4). În fereastra care apare introducem datele de intrare
1
λ = = 0.
02083 , µ = 0.
25
6 ⋅ 8
ca în Figura 8.2, apoi selectăm Solve
Figura 8.2
şi rezultatele sunt afişte pe ecran sub următoarea formă (Tabelul 8.2).
.

174
Tabelul 8.2
WAITING LINES
*************
NUMBER OF CHANNELS = 1
POISSON ARRIVALS WITH MEAN RATE = 0.02083
EXPONENTIAL SERVICE TIMES WITH MEAN RATE = 0.25
FINITE CALLING POPULATION OF SIZE = 12
Modele şi algoritmi de optimizare
OPERATING CHARACTERISTICS
-------------------------
THE PROBABILITY OF NO UNITS IN THE SYSTEM 0.1986
THE AVERAGE NUMBER OF UNITS IN THE WAITING LINE 1.5808
THE AVERAGE NUMBER OF UNITS IN THE SYSTEM 2.3822
THE AVERAGE TIME A UNIT SPENDS IN THE WAITING LINE 7.8907
THE AVERAGE TIME A UNIT SPENDS IN THE SYSTEM 11.8907
THE PROBABILITY THAT AN ARRIVING
UNIT HAS TO WAIT 0.8014
Number of Units in the System Probability
----------------------------- -----------
0 0.1986
1 0.1986
2 0.1820
3 0.1517
4 0.1137
5 0.0758
6 0.0442
7
0.0221
8
0.0092
9 0.0031
10 0.0008
11 0.0001
12 0.0000
8.5. Modelul Po(λ)/Exp(µ)/c:(∞, FIFO)
Aceste modele generalizează modelele de aşteptare cu o singură staţie de
servire, având c staţii de servire paralele (identice în ceea ce priveşte timpul de
servire).
Fie N( t ) numărul mediu de clienţi din sistem la momentul t . Atunci avem:
• probabilitatea unei veniri în intervalul ( t , t + ∆t ) este λ∆t + O (∆t), iar venirile
sunt independente între ele,
• probabilitatea unei ieşiri dintr-o staţie de servire în intervalul de timp (t , t +
+ ∆t) este µ∆t + O (∆t) ,
• probabilitatea rămânerii unui client în sistem este 1 − µ∆t + O (∆t) ,
• probabilitatea ca n ≤ c clienţi să rămână în staţiile de servire este
( 1 − µ ∆t+ O (∆t) ) − nµ∆t + O (∆t),
deoarece ieşirile din sistem sunt independente,
• probabilitatea ca în intervalul de timp ( t , t + ∆t ) un client să părăsească sistemul
atunci când n staţii de servire lucrează simultan este nµ ∆t + O(∆t) .
n = 1

8. Elemente de teoria aşteptării 175
Notăm En evenimentul care constă în prezenţa a n clienţi în sistem şi cu pn(t)
probabilitatea producerii evenimentului En la momentul t.
Vom calcula Pn( t + ∆t ).
a) 0 < n < c . Vom neglija probabilităţile de ordin de mărime mai mic ca O (∆t).
Sunt posibile următoarele situaţii:
1) sistemul se găseşte la momentul t în starea En şi nu au loc nici o venire şi
nici o plecare
în/din sistem în intervalul de timp (t, t + ∆t). Probabilitatea
corespunzătoare este
1 − λ ∆ + O ( ∆t)
1 − nµ
∆t
+ O ( ∆t)
p ( t)
( t )( ) n =
= [ 1 − ( λ + µ ) ∆t
+ O ( ∆t))
] p ( t)
,
n n
2) sistemul se găseşte la momentul t în starea En−1 şi au loc o venire şi nici
o plecare. Probabilitatea corespunzătoare este
λ + O ∆t)
1 − µ ∆t
p ( t)
= λ p ( t)
∆ ,
( )( ) t
∆t ( n−
1
n−1
3) sistemul se găseşte
la momentul t în starea En+1 şi au loc o ieşire din
sistem şi nici o venire. Probabilitatea corespunzătoare
este
1 − λ ∆ + O ( ∆t)
( n + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t)
p + 1( t)
( t )( ) n =
= [ ( + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t))
] p 1( t)
.
n n+
Aşadar,
p ( t + ∆t)
= 1 − ( λ + nµ
) ∆t
+ O ( ∆t)
p
n
+
[ ] n ( t
[ ( n + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
n+
1
) + λ p
n−1
( t)
∆t
+
(8.13)
b) n ≥ c . Apar următoarele eventualităţi:
1) sistemul se găseşte la momentul t în starea En şi nu au loc nici o venire şi
nici o plecare în/din sistem în intervalul de timp (t, t + ∆t). Ieşirile nu pot
avea loc decât din cele c staţii ocupate.
Probabilitatea corespunzătoare este
1 − λ ∆ + O ( ∆t)
1 − cµ
∆t
+ O ( ∆t)
p ( t)
( t )( ) n =
= [ 1 − ( λ + µ ) ∆t
+ O ( ∆t))
] p ( t)
,
c n
întrucât toţi cei c clienţi din staţiile de servire rămân în sistem (n-au terminat
serviciul).
2) sistemul se găseşte la momentul t în starea En−1 , are loc o intrare în
sistem şi nu se produce nici o ieşire. Probabilitatea corespunzătoare este
λ + O ∆t)
1 − cµ
∆t
+ O ( ∆t)
p ( t)
= λ p ( t)
∆ .
( )( ) t
∆t ( n−
1
n−1
3) sistemul se găseşte la momentul t în starea En+1 , nu are loc nici o intrare
în sistem, dar are loc o ieşire. Probabilitatea corespunzătoare este
1 − λ ∆t
+ O ( ∆t)
cµ
∆t
+ O ( ∆t)
pn+
1 ( t)
= cµ
+ ( t)
∆t
,
( )( ) p
unde cµ ∆t + O ( ∆t)
este probabilitatea ca un client să părăsească
sistemul atunci
când c staţii lucrează simultan.
Aşadar,
n 1

176
p ( t + ∆t)
=
n
[ 1 − ( λ + cµ
) ∆t
+ O ( ∆t)
]
+ cµ
p
n+
1
( t)
∆t
.
p ( t)
+ λ p
n
Modele şi algoritmi de optimizare
n−1
( t)
∆t
+
(8.14)
c) n = 0 . Evidenţiem următoarele eventualităţi:
1) sistemul se găseşte la momentul t în starea E0 şi nu au loc nici o venire şi
nici o plecare în/din sistem în intervalul de timp (t, t + ∆t). Probabilitatea
corespunzătoare este ( 1 − λ ∆t + O (∆t ) ) p0 ( t ).
2) sistemul se găseşte la momentul t în starea E1 , are loc o ieşire din sistem
şi nu se produce nici o intrare. Probabilitatea corespunzătoare este
( 1 − λ ∆t
+ O ( ∆t)
)( µ ∆t
+ O ( ∆t)
) p1(
t)
= [ µ ∆t
+ O ( ∆t)
] p1(
t)
.
Am obţinut
p t + ∆t)
= [ 1 − λ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
+ [ µ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
(8.15)
0 ( 0
1
Din relaţiile (8.13), (8.14), (8.15), prin împărţire la ∆t şi ţinând seama de
p roprietăţile funcţiilor O (∆t) , trecând la limită (∆t → 0), obţinem ecuaţiile de
stare pentru acest model:
⎧ p′
0 (t)
= −λ
p0
( t)
+ µ p1(
t)
⎪
⎨ p′
n ( t)
= −(
λ + nµ
) pn
( t)
+ λ pn
−1(
t)
+ ( n + 1)
µ pn+
1(
t)
, 1≤
n < c (8.16)
⎪
⎩ p′
n ( t)
= −(
λ + cµ
) pn
( t)
+ λ pn−
1(
t)
+ cµ
pn+
1(
t)
, n ≥ c .
În cazul staţionar ′ ( t)
= 0 , n ≥ 0 , ecuaţiile de stare (8.16) devin
p n
⎧λ
p0
= µ p1
⎪
⎨(
λ + nµ
) pn
= λ p
⎪
⎩(
λ + cµ
) pn
= λ p
+ ( n + 1)
µ p
+ cµ
p
n+
1
1≤
n < c
n ≥ c.
Pentru rezolvarea sistemului (8.17) vom nota
zn = −λ⋅pn−1 + n⋅µ⋅pn .
Prima ecuaţie din (8.17) devine
z1 = −λ⋅p0 + µ⋅p1 = 0 .
Prelucrăm a doua ecuaţie din (8.17)
−λ⋅pn + ( n + 1)⋅µ⋅pn+1 = −λ⋅pn−1 + n⋅µ⋅pn ,
de unde rezultă că
z = z = ... = z = 0 .
n−1
n−1
n+1 j 1
n
1 = 0 ; pn
n−
1 ⇒ pn
p0
0 ; .
n+
1
λ λ 1
1 ⎛ λ ⎞ 1 n
p p = ⋅ p = ⎜ ⎟ = ρ p
µ µ n
n!
⎝ µ ⎠ n!
Astfel,
1 n
pn
= ρ p0
, 1≤
n < c .
n!
Din ultima ecuaţie a sistemului (8.17) rezultă că
−λ⋅pn + c⋅µ⋅pn+1 = −λ⋅pn−1 + c⋅µ⋅pn .
De unde
λ
ρ =
µ
(8.17)

8. Elemente de teoria aşteptării 177
Astfel
Aşadar,
p
zn = zn+1 , iar zc = −λ⋅pc−1 + c⋅µ⋅pc = 0.
c
1 λ
= ⋅ pc−1
=
c µ
c
c
1 ρ ρ
⋅ p0
= p0
.
c ( c −1)!
c!
k
⎛ ρ ⎞
pc+
k = ⎜ ⎟
⎝ c ⎠
c
ρ
c!
p0
, k ≥ 0 .
* ρ
Pentru acest model notăm ρ = intensitatea de trafic a sistemului de
c
aşteptare.
Am obţinut soluţia sistemului (8.17)
n ⎧ ρ
⎪ pn
= p0
n!
⎨
n
⎪ ρ
pn
= p
⎪⎩
n−c
0
c!
c
,
,
1≤
n < c
n ≥ c .
(8.18)
∞
∑
Deoarece p = 1,
rezultă că
n=
0
n
* n ( ρ ) c ⎞
⎟ = 1
⎛ c−1
n ∞
⎜ ρ
p0
+
⎜∑
∑ ,
0 ! ! ⎟
⎝ n=
n n=
c c
⎠
de unde obţinem
( ) ∑−
1
p0
= .
c c 1 n
ρ ρ
+ *
c!
1 − ρ n=
0 n!
Cunoscând repartiţia variabilei aleatoare N( t ), se poate determina repartiţia
variabilei aleatoare Lc( t )
⎛ 0
1 2 L⎞
L : ⎜
⎟
c
.
⎝ p0 ( t)
+ ... + pc
( t)
pc+
1(
t)
pc+
2 ( t)
L⎠
Calculul elementelor necunoscute ale modelului
• lungimea medie a cozii
[ c ] ∑
k
∞
0
= 1
M [ L ] = 0 ⋅ p ( t)
+ ... + p ( t)
+ kp ( t)
.
c
c+
k
Notăm c + k = n ⇒ k = n − c . Atunci
∞
∞
n
ρ
M[
Lc
] = ∑ ( n − c)
pn
= ∑ ( n − c)
n−
c!
c
n=
c+
1
n=
c+
1
c
p
0
=

178
= p0 ⎢1
c!
⎢⎣
⎡ c
c ⎛ λ ⎞
⎜ ⎟
⎝ µ c ⎠
c+
1 c+2
c+
3
⎛ λ ⎞
+ 2⎜
⎟
⎝ µ c ⎠
⎛ λ ⎞
+ 3⎜
⎟
⎝ µ c ⎠
Modele şi algoritmi de optimizare
⎤
+ ... ⎥ =
⎥⎦
1 2 3 ... ⎥ .
⎤
⎢ ⎟ ⎞
c
c+
1 2
c ⎛ λ ⎞ ⎡ ⎛ λ ⎞ ⎛ λ
= p0
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜
c !
⎜
⎝ cµ
⎟
⎠ ⎢⎣ ⎝ c µ ⎠ ⎝ µ c ⎠ ⎥⎦
Se ştie că
1
∑ = , < 1
−
kx x
k
∞ 1
2
k = 1 ( 1 − x)
Aplicând în relaţia de mai sus, obţinem
.
de unde rezultă că
c+
1
c ⎛ λ ⎞ 1
M[ Lc
] = p0
⎜ ⎟
, 2
c!
⎝ cµ
⎠ ⎛ λ ⎞
⎜1 − ⎟
c
⎝ cµ
⎠
λµ ⎛ λ ⎞
M[ Lc
] = ⎜ ⎟ p
2
0 .
( c − 1)!
( cµ
− λ)
⎝ µ ⎠
• Pentru determinarea numărului mediu de clienţi din sistem,
vom considera
numărul de clienţi aflaţi în serviciu la un moment dat, care este acelaşi lucru
cu numărul de staţii ocupate n s , ca fiind o variabilă aleatoare
discretă cu
repartiţia
⎛ 0 1 2 K c −1 c ⎞
ns
: ⎜
.
p0
( t)
p1(
t)
p2
( t)
K pc−
1(
t)
pc
( t)
+ pc+
1(
t)
+ ... ⎟
⎝
⎠
M[
n ] =
s
∑
n=
0
c 1 ⎛ λ ⎞
= ∑ n ⎜ ⎟
n=
0 n!
⎝ µ ⎠
De aici rezultă că
iar cum
obţinem că
c
np ( t)
+ c
n
n
( p ( t)
+ p ( t)
+ ... )
0
c
p ( t)
+ c
c+
1
∞
∑
n=
0
1
n
c!
c
−c
λ
M [ ns
] = ,
µ
=
⎛ λ ⎞
⎜ ⎟
⎝ µ ⎠
c
∑
n=
0
M[N( t )] = M[Lc] + M[ns],
n
c
np ( t)
+ c
0
n
p ( t)
.
λ µ ⎛ λ ⎞ λ
M[
N(
t)]
= ⎜ ⎟ p0
+ .
2
( c −1)!
( cµ
− λ)
⎝ µ ⎠ µ
• numărul mediu de servicii făcute efectiv în unitatea de timp
λ
µ M [ ns
] = ⋅ µ = λ .
µ
• timpul mediu de aşteptare la coadă
c
∞
∑
n
n=
c+
1
p ( t)
=

8. Elemente de teoria aşteptării 179
c
⎛ λ ⎞
[ ⋅ ⎜ ⎟ p
2
0
M[
Lc
] µ
M WT ] = =
λ ( c −1)!
( cµ
− λ)
⎝ µ ⎠
• timpul mediu de aşteptare în sistem
1
M [ W ] = M[
WT ] + .
µ
• numărul mediu de staţii de servire care lenevesc (neocupate)
c−1
M [ SL]
= ∑ ( c − j)
p j ( t)
= c − ρ .
j=
0
( t)
.
Exemplu. La o spălătorie auto se prezintă
în medie 6 autoturisme pe oră. Un
lucător foloseşte pentru spălatul unui autoturism în medie 15 minute. Să se
determine elementele sistemului pentru cazurile în care se folosesc 2 şi respectiv
3 lucrători.
Rezolvare
Pentru acest exemplu avem
60 6
λ = 6 , µ = = 4 , ρ = > 1 . Cum ρ > 1 , nu este
15 4
suficient un singur lucrător. Vom considera următoarele situaţii:
a) c = 2 (2 lucrători)
1
p 0 = = 0.
14286 ,
2
⎛ 3 ⎞ 1 3
⎜ ⎟ + 1 +
⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ 2
2!
⎜1
− ⎟
⎝ 4 ⎠
3
p1
= p0
2
= 0.
21429 ,
2
⎛ 3 ⎞ 1
p2 = ⎜ ⎟ p0
= 0.
16072 etc
⎝ 2 ⎠ 2!
3
⎛ 3 ⎞ 1 1
M [ L2
] = 0.
14286 ⋅ ⎜ ⎟
= 1.
92861 ,
2
⎝ 2 ⎠ 2!
2 ⎛ 3 ⎞
⎜1
− ⎟
⎝ 4 ⎠
3 1
M [ SL]
= c − ρ = 2 − = ,
2 2
⎛ 3 ⎞ 1 1 3
M [ N(
t)]
= 0.
14286 ⋅ ⎜ ⎟
+ = 3.
4261,
2
⎝ 2 ⎠ 2!
2 ⎛ 3 ⎞ 2
⎜1
− ⎟
⎝ 2 ⎠
M[
Lc
] 1.
92861
M [ WT ] = = = 0.
32143 = 19 min 17 s .
λ 6
b) c = 3 (3 lucrători)
3

180
Modele şi algoritmi de optimizare
1
p 0 =
= 0.
21053 ,
3
2
⎛ 3 ⎞ 1 3 ⎛ 3 ⎞ 1
⎜ ⎟ + 1 + + ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ 2 2 2!
3!
1
⎝ ⎠
⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
3 0
p 1 = p
2
= 0.
3158 etc .
M [ L3
] = 0.
23685 ; M[
N(
t)]
= 1.
73685 ;
M [ SL]
= 1.
5 ; M[
WT ] = 0.
03946 ore = 2 min 22 s .
Concluzie. Din punctul de vedere al clienţilor, serviciul la spălătorie este mult
mai atractiv cu 3 lucrători, deoarece numărul mediu al autoturismelor care stau la
rând în acest caz este 0.23 şi aşteaptă în medie doar 2 min şi 22 s, faţă de cazul în
care ar fi doar 2 lucrători şi ar aştepta în medie 19 min şi 17 s. În cazul b) 21%
dintre solicitanţi au şansa să nu stea la rând.
Apelăm Management Scientist pentru rezolvarea acestui model. După lansarea
pachetului de programe, selectăm
modulul Waiting Lines, apoi modelul Poisson
Arrivals / Exponential Service. Introducem datele de intrare pentru cazul cu 2
lucrători în fereastra corespunzătoare modelului selectat (Figura 8.3).
Figura 8.3
Selectând Solve se obţin rezultatele prezentate în Tabelul
8.3.
Analog se rezolvă şi cazul cu c=3.
8.6. Modelul P0(λ)/Exp(µ)/c:(m,FIFO)
Acest model reprezintă cazul sistemului de aşteptare cu sosiri poissoniene,
servicii exponenţiale, mai multe staţii de servire în paralel (identice în ceea ce
priveşte timpul de servire), număr limitat de clienţi, m, şi disciplina de servire FIFO.

8. Elemente de teoria aşteptării 181
Tabelul
8.3
WAITING LINES
*************
NUMBER OF CHANNELS = 2
POISSON ARRIVALS WITH MEAN
RATE = 6
EXPONENTIAL SERVICE TIMES
WITH MEAN RATE = 4 PER CHANNEL
OPERATING CHARACTERISTICS
-------------------------
THE PROBABILITY OF NO UNITS IN THE SYSTEM 0.1429
THE AVERAGE NUMBER OF UNITS IN THE WAITING LINE 1.9286
THE AVERAGE NUMBER OF UNITS IN THE SYSTEM 3.4286
THE AVERAGE
TIME A UNIT SPENDS IN THE WAITING LINE 0.3214
THE AVERAGE TIME A UNIT SPENDS IN THE SYSTEM 0.5714
THE PROBABILITY THAT AN ARRIVING UNIT HAS TO WAIT 0.6429
Number of Units in the System Probability
----------------------------- -----------
0 0.1429
1 0.2143
2 0.1607
3 0.1205
4 0.0904
5 0.0678
6 0.0509
7 0.0381
8 0.0286
9 0.0215
10 0.0161
11 0.0121
12 0.0091
13 0.0068
14 0.0051
15 0.0038
16 0.0029
17 OR MORE 0.0086
Pentru prezentarea modelului (schematizat în Figura 8.4) vom considera următorul
exemplu.
La o balastieră vin m autobasculante pentru a fi încărcate de c excavatoare.
Autobasculantele formează o singură coadă şi sunt încărcate după metoda FIFO.
S-a observat că venirile autobasculantelor la coadă sunt repartizate P0(λ) , iar
timpii de încărcare sunt repartizaţi după legea Exp(µ).
coada
Veniri O O ... O
şir de
aşteptare
Figura 8.4
staţie de servire 1
staţie de servire 2
M
numărul zilelor lucrăt

182
Modele şi algoritmi de optimizare
Determinarea ecuaţiilor de stare
Notăm En evenimentul care constă în prezenţa a n autobasculante la
balastieră, iar pn( t ) probabilitatea producerii evenimentului En la momentul t .
Dacă n ≤ c , nu există coadă de aşteptare.
Dacă n> c , se formează coadă de aşteptare.
Fie Pn( t + ∆t ) probabilitatea ca la momentul t + ∆t să fie n autobasculante
la balastieră. La intervalul de timp t + ∆t pot avea loc următoarele situaţii:
1) sistemul este în starea En , nu vine şi nu pleacă nici o autobasculantă.
Probabilitatea corespunzătoare
este:
1 − nµ ∆t
+ O ( ∆t)
1 − ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
,
( )( )
dacă 1 ≤ n < c , sau
1 − cµ ∆t + O ( ∆t)
1 − ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
,
( )( )
dacă n ≥ c .
2) sistemul se află în starea En+1 , nu are loc nici o venire,
dar are loc o plecare
în
intervalul de timp ( t , t + ∆t ). Probabilitatea
corespunzătoare
este
( n + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t)
⋅ 1 − ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
= ( n + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t
,
[ ] [ ] )
dacă 1 ≤ n < c , sau
1 − ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
⋅ cµ
∆t
+ O ( ∆t)
= cµ
∆t
+ O ( ∆t
,
[ ] [ ] )
dacă
n ≥ c .
3) sistemul se află în starea En− 1 şi au loc o venire şi nici o plecare în intervalul de
timp ( t , t + ∆t ). Probabilitatea corespunzătoare este:
[ ( m − n + 1)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
] ⋅ [ 1 − ( m − n)
µ ∆t
+ O ( ∆t)
]=
= ( m − n + 1)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
,
dacă 1 ≤ n < c , sau
( m − n + 1)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
⋅ 1 − cµ
∆t
+ O ( ∆t)
= ( m − n + 1 λ ∆t
+ O ( ∆t)
,
[ ] [ ] )
dacă
n ≥ c .
Aşadar,
a) pentru n < c , avem:
( t + ∆t)
= 1 − nµ
+ ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
p
{ [ ] } (
[ ( n + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t)
] pn+
1(
t)
+
[ ( m − n + 1) λ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
pn n
+
+
n−1
b) pentru n ≥ c , avem
( t + ∆t)
= 1 − cµ
+ ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
p ( t)
+
t)
+
{ [ ] }
[ µ ∆t
+ O ∆t)
] p ( t)
+ [ ( m − n + 1)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
pn n
+ c ( n+ 1
n−1
c) pentru n = 0 , avem
p ( t + ∆t)
= 1 − λ
∆t
+ O ( ∆t)
p
0
+
=
[ ] 0 ( t)
+
[ 1 − λ ∆t
+ O ( ∆t)
]( µ ∆t
+ O ( ∆t)
) p1(
t)
[ 1 − mλ
∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
+ [ µ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
0
1

8. Elemente de teoria aşteptării 183
Relaţiile a), b), c) le împărţim la ∆t , ţinem seama de proprietăţile funcţiilor
O ( ∆t)
când se trece
la limită pentru ∆t → 0 , şi se obţin ecuaţiile de stare ale
modelului
⎧p′
0 ( t)
= µ p1(
t)
− mλ
p0
( t)
⎪ [ ] n
n+
1
n−1
⎪
p′
n ( t)
= − nµ
+ ( m − n)
λ p ( t)
+ ( n + 1)
µ p ( t)
+ λ ( m − n + 1)
p ( t)
⎨
1≤
n < c
⎪p′
n ( t)
= −[
cµ
+ ( m − n)
λ ] pn
( t)
+ cµ
pn+
1(
t)
+ λ ( m − n + 1)
pn−1
( t)
⎪
⎪⎩
c ≤ n ≤ m.
În cazul staţionar, ecuaţiile de stare sunt
⎧λ
mp0
= µ ⋅ p1
⎪
⎨(
n + 1)
µ ⋅ pn+
1 = [ nµ
+ ( m − n)
λ]
pn
− λ ( m − n + 1)
pn−1
1≤
n < c
⎪
⎩cµ
⋅ pn+
1 = [ cµ
+ ( m − n)
λ]
pn
− λ ( m − n + 1)
pn−1
c ≤ n < m
deoarece pm+1( t ) = 0 , sistemul n eputând
avea mai mult de m autobasculante la
un moment dat.
Pentru rezolvarea sistemului, aplicăm aceeaşi metodă
ca la modelul din § 8.5
şi, prin inducţie, avem
⎪
⎩ ! A
n n ⎧C m ρ p0
, n < c
⎪ c
n
pn
= ⎨c n ⎛ ρ ⎞
m ⎜ ⎟ p0
, c ≤ n ≤ m.
c ⎝ c ⎠
Înlocuind pn de mai sus în (8.3) rezultă
1
p0
=
.
c−1
c m
n
n n c n ⎛ ρ ⎞
∑C
m ρ + ∑ Am
⎜ ⎟
n=
0 c!
n=
c ⎝ c ⎠
Aici pn este probabilitatea ca, la un moment dat, să existe în sistem n
autobasculante, p0 este probabilitatea ca în sistem să nu existe nici o
ρ
autobasculantă la un moment dat, iar < 1 pentru evitarea supraaglomerării.
c
Calculul elementelor necunoscute ale modelului
După calcule laborioase se obţin pentru elementele necunoscute ale modelului
următoarele relaţii:
• numărul mediu de clienţi din sistem
c c
⎡
c−1
−1
cρ
+ c − mρ
cρ
C ⎤
n n
m mρ
− c
M[
N(
t)]
= p0
⎢ ∑C
mρ
+ ⎥ +
⎣ ρ(
1 + ρ)
n=0 1 + ρ ⎦ ρ
• numărul mediu de clienţi de la coadă
c−1
⎡ c ⎤ ⎡ n n ⎤ c−1
c
M[
Lc
] = m c
Cm
+ cρ
Cm
⎢ − − ⎥ ⋅ ∑ ρ ⎥ p0
⎣ ρ
⎢1
− p0
⎦ ⎣ n=
0 ⎦
• numărul mediu de staţii în lucru

184
M[ns] = M[N(t)] − M[Lc]
• timpul mediu de aşteptare la coadă
M[
Lc
]
M[
WT ] =
µ M[
n ]
• timpul mediu de aşteptare în sistem
1
M [ W ] = M[
WT]
+ .
µ
s
Modele şi algoritmi de optimizare
Aplicaţie numerică
Balastiera are 2 excavatoare care trebuie să încarce 20 autobasculante. S-a constatat
că sosirile autobasculantelor sunt poissoniene cu parametrul λ = 0.3
autobasculante pe oră, iar tim pul de încărcare este exponenţial de parametru µ = 4
autobasculante pe oră pentru fiecare excavator. Să se determine elementele
necunoscute ale fenomenului de aşteptare.
Rezolvare
p0
=
λ 0.
3
ρ = = = 0.
075;
c = 2 ; m = 20
µ 4
1
2
2
+
2!
1
n
n
∑C
20 ( 0.
075)
20
∑
n=
0
n=
2
A
n
20
⎛ 0.
075 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎢ 2 ⎡ 1
⋅ 0.
075 + 2 − 20
⋅ 0.
075 n
M[N
( t)]
= p0
∑C
20 ( 0.
075
⎣ 0.
075 ⋅1.
075
n=
0
0.
075 2
2.
08595
0.
075
20 ⋅ −
+
=
) n
n
=
0.
18756
1
2(
0.
075)
C
+
1.
075
1
⎡ 2 ⎤ ⎡ n
n ⎤
1 2
M[ L2
] = ⎢20
− − 2⎥
⋅ ⎢1
− p0
∑ C20
( 0.
075)
⎥ + + 2(
0.
075)
C 20 p0
0.
74239
⎣ 0.
075 ⎦ ⎣ n=
0
⎦
] ( )]
=
n = M[
N t − M[
L ] = 1.
34355
M[ s
2
M[L2
]
M[
WT ] = = 0.
13814 = 8
4⋅
M[
n ]
s
min
17
1
M[W
] = M [ WT]
+ = 0.
38814 = 23 min 17 s .
4
Rezolvăm modelul de mai sus şi cu Management Scientist. D upă lansarea
pachetului de programe selectăm modulul Waiting Lines, apoi modelul Poisson
Arrivals/Exponential Service (Finite Pop.) şi introducem d atele ca în Figura
8.5.
După apăsarea
butonului Solve obţinem rezultatele din Tabelul 8.4 care coincid
cu cele determinate anterior.
s
2
20
⎤
⎥
⎦
+

8. Elemente de teoria aşteptării 185
Figura 8.5
Tabelul 8.4
WAITING LINES
*************
NUMBER OF CHANNELS = 2
POISSON ARRIVALS WITH MEAN RATE = 0.3
EXPONENTIAL SERVICE TIMES WITH MEAN RATE = 4 PER CHANNEL
FINITE CALLING POPULATION OF SIZE = 20
OPERATING CHARACTERISTICS
-------------------------
THE PROBABILITY OF NO UNITS IN THE SYSTEM 0.1876
THE AVERAGE NUMBER OF UNITS IN THE WAITING LINE 0.7424
THE AVERAGE NUMBER OF UNITS IN THE SYSTEM 2.0859
THE AVERAGE TIME A UNIT SPENDS IN THE WAITING LINE 0.1381
THE AVERAGE TIME A UNIT SPENDS IN THE SYSTEM 0.3881
THE PROBABILITY THAT AN ARRIVING UNIT HAS TO WAIT 0.5311
Number of Units in the System Probability
----------------------------- -----------
0 0.1876
1 0.2813
2 0.2005
3 0.1353
4 0.0863
5
6
7
0.0518
0.0291
0.0153
8 0.0075
9 0.0034
10 0.0014
11 0.0005
12 0.0002
13 0.0001
14 0.0000
8.7. Simulare
Modelele matematice corespunzătoare sistemelor reale sunt folosite pentru a
analiza rezultatele deciziilor înainte de implementare. Simularea nu determină soluţia optimă a modelului matematic, ci compară rezultatele mai multor alternative
predefinite cu scopul de a o reţine pe cea mai avantajoasă. Modelul de simulare
urmăreşte evoluţia în timp a sistemului real şi ţine seamă şi de factorul aleatoriu. În
situaţia în care modelul matematic poate fi rezolvat analitic, această metodă este
preferabilă simulării, deoarece se obţine soluţia optimă. Simularea se foloseşte în

186
Modele şi algoritmi de optimizare
cazurile în care rezolvarea analitică
a modelului matematic este imposibilă sau
destul de
dificilă.
Simulare probabilistă
Vom ilustra această metodă printr-un exemplu de model de aşteptare adaptat
după Bonini et al. (1997).
Considerăm un depozit care are o rampă de descărcare a vagoanelor.
Vagoanele sosesc noaptea şi descărcarea unui vagon durează o jumătate de zi. Dacă
sunt mai mult de două vagoane la rând pentru descărcare, atunci unele
dintre ele
rămân
să fie descărcate în ziua următoare. S-a constatat că numărul de vagoane
care sosesc noaptea urmează repartiţia din Tabelul 8.5 şi este independent de
numărul de vagoane sosite în oricare altă noapte.
Tabel 8.5
Nr. vagoane Probabilitatea
0 0.23
1 0.30
2 0.30
3 0.10
4 0.05
5 0.02
cel puţin 6 0.00
Numărul mediu de sosiri pe noapte este de 1.5 vagoane. Suntem în cazul unui
model de aşteptare cu o singură staţie de servire, FIFO, coadă infinită, cu rata
serviciilor µ=2 şi rata sosirilor λ=1.5 . Se poate arăta că sosirile nu sunt
poissoniene şi din acest motiv nu se poate aplica nici unul din modelele clasice. În
vederea
simulării avem nevoie de un eşantion de sosiri aleatoare pentru un număr
de nopţi. Pentru aceasta se poate folosi o tabelă de numere aleatoare sau un
generator de astfel de numere. Vom folosi generatorul de numere aleatoare din
Microsoft Excel pentru a genera numere uniform repartizate între 0 şi 99, pe care le
vom asocia cu un număr de sosiri ca în Tabelul 8.6.
Număr de
Tabelul 8.6
Număr
aleatoriu Frecvenţa sosiri
generat
relativă
0 0-22 0.23
1 23-52 0.30
2 53-82 0.30
3 83-92 0.10
4 93-97 0.05
5 98-199 0.02
Vom considera comportarea sistemului de aşteptare pe o perioa dă de 30 zile.
Pentru că simularea începe fără vagoane la descărcare, este necesară o perioad ă de

8. Elemente de teoria aşteptării 187
iniţializare (o consideră m de 5 zile) pentru ca sistemul să se apro pie d e o situaţie normală. Au fost genera te 35 de nume re, ca re sunt trec ute în Tabelul 8.7, împreună
cu rezultatele simulării.
Tabelul 8.7.
Ziua
Număr
aleatoriu
Număr
sosiri
Total de
descărcat
Amânate Descărcate
x 99 5 0 0 0
x 6 0 0 0 0
x 15 0 0 0 0
x 62 2 2 0 2
x 86 3
3 1 2
1 12 0 1 0 1
2 39 1 1 0 1
3 39 1 1 0 1
4 16 0 0 0 0
5 24 1 1 0 1
6 45 1 1 0 1
7 88 3 3 1 2
8 81 2 3 1 2
9 53 2 3 1 2
10 26 1 2 0 2
11 56 2 2 0 2
12 77 2 2 0 2
13 31 1 1 0 1
14 34 1 1 0 1
15 94 4 4 2 2
16 11 0 2 0 2
17 15 0 0 0 0
18 92 4 4 2 2
19 38 1 3 1 2
20 14 0 1 0 1
21 36 1 1 0 1
22 9 0 0 0 0
23 56 2 2 0 2
24 84 3 3 1 2
25 12 0 1 0 1
26 79 2 2 0 2
27 25 1 1 0 1
28 81 2 2 0 2
29 1 0 0 0 0
30 65 2 2 0 2
Total 40 9 41
Media 1,33 0,3 1,36

188
Modele şi algoritmi de optimizare
Observăm că a fost descărcat şi un vagon în plus faţă de cele sosite în cele 30
de zile care constituie perioada de simulare, deoarece atunci când începem
simularea pentru 30 de zile mai era un vagon de descărcat. Cunoscând care este
penalizarea pentru amânarea descărcării unui vagon, se poate calcula pierderea
cauzată pe perioada simulată. Se pot reface calculele pentru o capacitate de
descărcare sporită, de exemplu 3 vagoane pe zi, şi se compară pierderea cauzată de
vagoanele amânate, putând decide care este cea mai avantajoasă configuraţie
pentru acest sistem de aşteptare.
Rolul simulării manuale este de a înţelege în ce constă simularea unui model
de
aşteptare,
urmând ca pentru un eşantion mare să se folosească simularea cu
calculatorul. Există multe pachete de programe specializate în simulare, de
exemplu SIMUL8 care are o interfaţă grafică atrăgătoare şi se pot realiza destul de
comod simulări pentru modele de aşteptare. Se poate folosi şi EXCEL pentru
realizarea simulării modelelor de aşteptare sau de stocuri.
8.8. Probleme propuse
1. La un magazin de decoraţiuni interioare sosesc în medie 80 de clienţi pe oră, iar
solicitările unui client sunt satisfăcute în medie într-un minut şi jumătate.
Analizând statistic
datele culese la acest sistem de aşteptare, s-a constatat că
sosirile
clienţilor sunt poissoniene, iar serviciile, exponenţiale. Să se determine:
a) intervalul mediu dintre două sosiri consecutive
b) numărul mediu de persoane servite pe oră
c) probabilitatea ca într-un interval de 3 minute să nu soseacă nici un client
d) numărul vânzătorilor necesari pentru a se evita algomerarea.
R. Se consideră unitatea de timp minutul şi atunci, numărul mediu de sosiri într-un
80
minut este λ = = 1.
333 .
60
1 60
a) Intervalul mediu dintre două sosiri consecutive este de = = 0.
75 minute.
λ 80
60
b) Numărul mediu de persoane ce pot fi servite pe oră este de µ = = 40 .
1.
5
n
0
−λt
( λt)
−3⋅0.
75 ( 3 ⋅ 0.
75)
c) Deoarece Pn
( t)
= e , rezultă că P 0 ( 3)
= e
= 0.
1054 .
n!
0!
d) Dacă sistemul de aşteptare are o singură staţie de servire
(un singur vânzător),
80
= = = 2 > 1
λ
ρ şi se creează aglomeraţie. Considerând sistemul cu mai multe
µ 40
staţii
~
= < 1
ρ
ρ şi alegem c ca fiind cel mai mic întreg pentru care este
c

8. Elemente de teoria aşteptării 189
satisfăcută
această inegalitate. Obţinem c=2. Ca să nu se creeze aglomeraţie, este
nevoie de 2 vânzători.
2. La ieşirea dintr-o staţie de betoane, sosesc pentru a li se spăla roţile în medie 15
autobasculante pe oră. Dacă repartiţia sosirii autobasculantelor pentru a li se spăla
roţile este poissoniană, să se determine timpul maxim în care, cu probabilitatea de
cel puţin 0.95, cel mult 3 autobasculante aşteaptă să li se spele roţile.
R. În următoarea secvenţă MathCAD, care rezolvă această problemă, se consideră
unitatea de timp minutul.
15
Media sosirilor λ :=
60
Probabilitatea ca in numărul intervalul zilelor de timp lucrătoare t sa soseasca din an
n autobasculante
Pn ( , t)
e λ − ⋅t λ t ⋅ ( )n
:= ft ()
n!
3
:= ∑
n = 0
Pn ( , t)
f(0)=1 f(1)=0.99987 f(2)=0.99825 f(3)=0.99271
f(4)=0.98101 f(5)=0.96173 f(6)=0.934
În maximum 5 minute, cu probabilitatea 0.95, cel mult 3 autobasculante vor
aştepta să li se spele roţile.
3.
La o staţie de betoane sosesc bene care sunt încărcate şi părăsesc imediat staţia.
S-a constatat că la intervale de o oră pe o perio adă de o săptămână benele au sosit
conform cu Tabelul 8.8 . În aceeaşi perioadă s-au notat şi timpii
de încărcare a
benelor, iar rezultatele sunt trecute în Tabelul
8.9 .
Tabelul 8.8
Nr bene sosite/ora (xi) 0 1 2 3 4 5 6 7
Frecvenţa (Ni) 8 23 24 21 14 6 3 1
Minute/benă (tj) 5
Frecvenţa(Nj)
5
0
1
0
3
4
Tabelul 8.9
1 2 2 3
5 0 5 0
2 1 1 1
9 9 4 3
3
5
4
0
4
5
5
0
5
5
6
0
8 6 4 6 3 3
Minute/benă (tj)
6
5
7
0
7
5
8
0
8
5
9
0
9
5
10
0
10
5
11
0
11
5
12
0
Frecvenţa(N j)
4 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 1
a) Să se testeze că sosirile la staţia de betoane sunt repartizate Poisson.

190
Modele şi algoritmi de optimizare
b) Să se testeze că timpii de servire sunt repartizaţi exponenţial.
c) Să se determine numărul mediu de bene din sistemul de aşteptare care este dat de
staţia de betoane.
d) Să se determine numărul mediu de bene care
aşteaptă să fie încărcate.
e) Să se determine timpul mediu de aşteptare la rând pentru a fi încărcate benele.
f) Să se determine timpul mediu petrecut de o benă în sistemul de aşteptare dat de
staţia de betoane.
g) Să se determine numărul punctelor de încărcare necesare pentru a evita
aglomerarea în perioada de vârf.
Rezolvare
a) Vom folosi testul
8
∑
=
2
χ pentru a verifica ipoteza H0 : „Sosirile sunt repartizate
i i
i 1
Po(λ)” , cu = = 2.
45
N x
8
2
2 ( N i − N ′ i )
λ . Determinăm statistica χ = ∑ ,
8
c
i= 1 N i
∑ N i
′ =
i=
1
, ∀ =
− i
unde N N e ( ) i 1,
8
x λ
i i
2
χ găsim, pentru pragul = 0.
05
2
c =
. Obţinem χ 0.
52657 . Din tabela repartiţiei
α şi numărul gradelor de libertate,
l = ( 8 −1)
−1
= 6 (deoarece avem un parametru λ , media sosirilor),
2
2 2
χ 0. 05;
6 = 12.
592 . Cum χ c < χ 0.
05;
6 admitem ipoteza H 0 cu
pragul de
semnificaţie 0.05 ;
b) Vom folosi testul Kolmogorov pentru a verifica ipoteza H0: „Timpii de servire
sunt repartizaţi Exp(µ)”. Pentru aceasta calculăm un estimator pentru media
timpilor de servire
24
∑
( ti
− 2.
5)
N i
i=
1
t = 24 = 19.
5 minute (am considerat mijlocul
N
∑
i=
1
i
intervalului de referinţă). Atun ci µ = 0.
05128 . Calculăm funcţia de repartiţie
teoretică
( )
F
i t −0.
05128
i = 1 − e , funcţia de repartiţie empirică
∑
j=
1
i = 24
∑
j=
1
i
N
Fe ,
N
∀ i = 1,
24 şi determinăm d max F − Fe = 0.
0283.
Pentru pragul de
=
1≤i≤
24
semnificaţie α = 0.
01,
în tabela funcţiei K (u)
(testul asimptotic al lui
Kolmogorov) găsim u=1.63 . Deoarece < = 0.
332
u
d 72 se admite ipoteza H0
23
cu pragul de semnificaţie α = 0.
01 ;
c) Numărul benelor servite într-o oră 60 ⋅ 0.
5128 = 3.
0768 . Suntem în cazul
modelului Po(2.45)/Exp(3.07)/1:(∞,FIFO) şi atunci M[N(t)]=3.9;
i
i
j
j

8. Elemente de teoria aşteptării 191
d) M[L 1]=3.11
; e) M[WT]=3.7 min ; f) M[W]=23.24 min ;
λ 2.
45
g) ρ = = < 1 şi astfel este suficient un singur punct de încărcare.
µ 3.
07
4. La o carieră, care are un singur utilaj de încărcare a autobasculantelor, sosesc în
medie 15 autobasculante pe oră. În medie, utilajul poate să încarce 20
autobasculante pe oră. Din analiza statistică a datelor culese la faţă locului s-a
constatat că sosirile sunt poissoniene, iar servirile, exponenţiale. Să se determine:
a) probabilitatea ca o autobasculantă să nu aştepte pentru a fi încărcată
b) numărul mediu de autobasculante din sistemul de aşteptare creat la carieră
c) numărul mediu de autobasculante din şirul de aşteptare
d) timpul mediu de aşteptare al unei autobasculante în sistemul de aşteptare
e) timpul mediu de aşteptare al unei autobasculante în şirul de aşteptare pentru a fi
încărcată
f) probabilitatea ca în sistemul de aşteptare să existe mai mult de 2 autobasculante
g) probabilitatea ca autobasculanta să aştepte la rând să fie încărcată mai mult de
două minute.
R. Se consideră unitatea de timp minutul. Modelul corespunzător acestei probleme
3
este Po(λ)/Exp(µ)/1:(∞,FIFO) cu λ=10, µ=20 şi ρ = .
4
a) p0=0.25, b) M[N(t)]=3, c) M[L1]=2.25, d) M[WT]=0.15 min, e) M[W]=0.2 min,
f) P(N(t)>2)=1-p0-p1-p2=1-0.25-0.1875-0.1406=0.4219,
g) P(M[WT]>2)=0.0067 (extrem de rar se întâmplă ca autobasculanta să aştepte
mai mult de 2 minute la rând pentru a fi încărcată!).
5. La o cantină a unei firme de construcţii, cu autoservire, cu un singur ghişeu,
sosesc salariaţii la masă după legea Poisson cu rata 0.75 salariat/minut. Un
funcţionar ia comanda, stabileşte preţul şi încasează contravaloarea comenzii. Până
i se pregăteşte meniul, funcţionarul ia comanda următorului client aşezat la rând.
S-a constatat că timpul mediu de servire este de 1 min/salariat. Se apreciază că în
medie cei ce aşteaptă să ia masa sunt plătiţi cu 10 u.m./oră, iar funcţionarul de la
ghiseu cu 7 u.m./oră. Conducerea firmei este interesată să cunoască:
a) probabilitatea ca nici un salariat să nu fie în cantină,
b) numărul mediu de salariaţi aşteptând să dea comanda,
c) timpul mediu petrecut la rând de un salariat, aşteptând să dea comanda,
d) probabilitatea ca un salariat care vine în cantină să aştepte să dea comanda şi
e) costul orar al serviciului în cantină.
R. a) p0=0.25 , b) 2.25 , c) 3min , d) 0.75 , e) 37 u.m.
6. Proprietarul unui service auto doreşte să înfiinţeze propria spălătorie auto, astfel
ca în atelierul de reparaţii să intre autoturismele care au fost spălate. Ştiind că
sosirile autoturismelor pentru service care trebuie şi spălate sunt poissoniene, cu
rata medie de 3 autoturisme pe oră, iar un muncitor are nevoie în medie de 20 de

192
Modele şi algoritmi de optimizare
minute pentru spălarea unui autoturism şi probabilitatea de aşteptare pentru spălare să
nu
depăşească 0.2, câţi muncitori pentru spălarea autoturismelor ar trebui angajaţi?
R. Trebuie
ca P(N[t]>c)c)=1–(p0+p1)=1–(0.3333+0.3333+1.6667)=0.1666 1 şi dacă ar fi un
µ 6
singur poliţist ar fi supraaglomerare.
ρ
a) Alegem numărul c de poliţişti astfel încât < 1 , adică c=3 . Modelul de
c
aşteptare devine Po(λ)/Exp(µ)/3:( ∞, FIFO) ;
b) p0=0.0449;
c) P(
n > 5)
= 1 − P(
n ≤ 5)
= 1 − ∑
= 1 − ( 0.
0449 + 0.
1124 + 0.
1404 + 0.
1170 + 0.
0975 +
) M[L ]=3.5112 automobile ; e) M[WT]=14 minute .
d 3
5
i = 0
=
0.
0813)
=
0.
4065
8. Un depozit închiriază de la o firmă
de transporturi 4 camioane pentru a se
aproviziona sau pentru a transporta marfa la clienţi. Depozitul are 2 rampe de
încărcare/descărcare care încarcă/descarcă un camion în medie în 20 minute. La
depozit sosesc în medie 4 camioane pe oră. S-a constatat că intervalele dintre sosiri
şi timpii de încărcare au repartiţia exponenţială. Să se determine:
a) probabilitatea ca ambele rampe să fie libere
b) numărul mediu de camioane de la depozit
c) probabilitatea ca un camion care vine la depozit să aştepte intrarea la rampă
pi

8. Elemente de teoria aşteptării 193
d) ştiind
că pentru o oră chiria pentru un camion este de 20 u.m., care este suma
medie orară plătită pentru nefolosirea unui camion?
R. a) p 0=0.0246
, b) M[N(t)]=2.6351 , c) P(M[N(t)]>2)=1-(p0+p1+p2)=0.5823 ,
d) S = M[
WT]
⋅ 20 = 2.
986 u.m.
9.
La o dană din port, proprietatea unei companii petroliere, sosesc pentru
descărcare
tancuri petroliere la intervale de timp repartizate exponenţial, cu media
1.4 zile. Timpul mediu necesar descărcării este de asemenea presupus repartizat
exponenţial,
cu media 0.8 zile. Să se determine:
a)
numărul mediu de tancuri petroliere care aşteaptă la rând pentru descărcare
b) timpul mediu de aşteptare în port înainte de a începe descărcarea
c) timpul mediu de aşteptare în port din momentul sosirii şi până la plecarea
tancului petrolier
d) dacă se închiriază o dană cu 1500 u.m./zi, la care se lucrează la fel ca la prima şi
dacă tancurile
petroliere se duc la dana liberă pentru descărcare, în ordinea sosirii
lor, care este timpul mediu de aşteptare până la începerea descărcării
e) în condiţiile de la d) care este numărul mediu de tancuri petroliere care aşteaptă
la rând pentru descărcare
f) este avantajoasă închirierea celei de-a doua dane dacă pentru fiecare zi pe care
tancul petrolier o petrece la rând aşteptând pentru
descărcare compania pierde 4000
u.m. ?
R. a) M[L1]=7.4098 ; b) M[WT]=10.3779 ; c) M[W]=11.6279 ;
d) M[WT]=0.3108 ; e) M[L2]=0.2219 ;
f) Pierderea pentru primul caz 4000 ⋅ M [ L1
] = 41511.
6 , iar pentru cel de-al doilea
caz 4000 ⋅ M [ L2
] + 1500 = 2387.
6 . Da.
10. O firmă are 30 de instalaţii de aer condiţionat şi frigidere şi pentru întreţinerea
lor a angajat 2 specialişti. Ştiind că solicitările pentru intervenţii sosesc în medie
una pe zi şi sunt repartizate Poisson, iar un specialist reuşeşte să depaneze un aparat
(aer condiţionat sau frigider) în medie în 20 minute, timpul necesar depanării fiind
repartizat exponenţial, să se determine:
a) numărul mediu de aparate care aşteaptă să fie depanate
b) numărul
mediu de aparate care nu funcţionează la un moment dat
c) probabilitatea ca să nu aibă de lucru cei doi specialişti
d) timpul mediu de aşteptare până când un specialist începe depanarea unui aparat
e) timpul
mediu de nefuncţionare a unui aparat
R. a) M[L2]=0.5037 , b) M[N(t)]=1.6836 , c) p0=0.2524 , d) 8 min 32 s ,
e) 28
min 32 s .

9. ELEMENTE DE TEORIA STOCURILOR
9.1. Introducere în teoria stocurilor
9.1.1. Punerea problemei
În desfăşurarea unei activităţi de producţie intervin valori materiale care intră
în procesul de prelucrare (materii prime, fonduri băneşti etc.) şi valori care rezultă
în urma acestui proces (produse finite).
Pentru ca procesul de producţie într-o întreprindere să se desfăşoare
neîntrerupt,
este necesar ca întreprinderea să dispună de un stoc de materiale care
să poată alimenta în mod sistematic producţia.
Există astfel o cerere din stocul de materiale care vine din partea producţiei.
Întreprinderea
trebuie să investească o sumă de bani în aceste materiale pentru a fi
capabilă
să satisfacă necesităţile procesului de producţie.
Imobilizarea unor sume mari de bani în stocurile de materiale poate să conducă
la pierderi pentru întreprindere.
Pe de altă parte, dacă investiţia în stocul de materiale va fi mică, adică, stocul
este
subdimensionat, vor exista perioade când procesul de producţie încetează şi
întreprinderea
înregistrează din nou pierderi datorate nefolosirii maşinilor şi
utilajelor în procesul de producţie.
Apare astfel necesitatea dimensionării optime a stocurilor de materii prime şi
materiale astfel încât costurile care rezultă din imobilizarea fondurilor sau
neutilizarea resurselor să fie minime.
Problemele care constau în dimensionarea optimă a stocurilor de materii prime
şi materiale se numesc probleme de stoc aprovizionare.
Produsele rezultate din procesul de producţie sunt cerute în afara întreprinderii
în diferite cantităţi care variază în timp.
Pentru ca întreprinderea să poată asigura întotdeauna satisfacerea cererii pe un
interval de timp dat, este necesar să se realizeze un stoc de produse rezultate în
urma procesului de producţie. Dacă întreprinderea menţine un stoc prea mare de
produse, poate apărea o pierdere, constând din imobilizarea fondurilor băneşti
investite în aceste produse, precum şi în eventuala depreciere a produselor sau
recondiţionarea lor periodică. Dacă stocul nu ar putea să satisfacă cererea
înregistrată de întreprindere pe o perioadă de timp, ar apărea din nou pierderi
datorate penalizărilor plătite, pentru nesatisfacerea
comenzilor.

9. Elemente de teoria stocurilor 195
Se pune din nou problema dimensionării optime a stocului astfel încât
pierderile datorate imobilizării valorilor în stoc, precum şi pierderile rezultate din
nesatisfacerea cererilor (penalizările) să fie minime.
Problemele care constau în dimensionarea optimă a stocului de produse rezultate
din procesul de producţie se numesc probleme de stoc producţie (Văduva et al, II,
1974).
9.1.2. Concepte utilizate în teoria stocurilor
Rezolvarea problemelor legate de determinarea stocurilor optime se face cu
ajutorul unor modele matematice ale teoriei stocurilor.
Stocul sau inventarul este o resursă de orice fel care are o valoare economică şi
care se caracterizează prin intrări în resursă (reaprovizionarea stocului) şi ieşiri din
resursă.
Valoarea resursei I = I (t) este o funcţie de timp. Scopul menţinerii unui stoc
este acela de a satisface o cerere. În urma satisfacerii cererii stocul se micşorează şi,
de aici, nevoia
reaprovizionării lui.
Fie a(t), rata intrărilor în resursă la momentul t şi b(t), rata ieşirilor din
resursă, iar r(t), rata cererii la momentul t.
Cererea nu se confundă întotdeauna
cu ieşirea, deoarece există situaţii în care
mat erialele din stoc se depreciază în timp şi atunci la ieşirea din stoc la cerere se
adaugă şi materialele depreciate în acel interval de timp. De cele mai multe ori însă
b(t ) = r(t) .
Fie I(0) = I0, nivelul stocului la momentul t = 0, considerat momentul iniţial
de la care se urmăreşte evoluţia stocului.
Variaţia stocului este dată de relaţia
I(
t)
= I
0
+
t
∫ ( a t)
− b(
t)
)
0
( dt .
Ieşirile din stoc, b(t), şi/sau cererea, r(t), pot fi deterministe sau aleatoare, iar
func ţia a(t) trebuie aleasă
astfel încât să se realizeze un obiectiv sau o eficienţă
dorită.
Eficienţa se defineşte în funcţie de costuri şi acestea
pot fi:
• costul de depozitare, ce rezultă din imobilizarea fondurilor băneşti în materii
prime sau produse (cheltuieli
de producţie) şi din cheltuielile pentru asigurarea
depozitării şi conservării stocului,
• costul de lansare, care rezultă din cheltuielile pentru lansarea comenzilor de
reaprovizionare şi introducerea lor în stoc sau lansarea fabricaţiei,
• costul lipsei de stoc, care se determină în funcţie de toate cheltuielile şi
pierderile cauzate de lipsa din stoc a materiilor prime sau produselor (inclusiv
penalizările rezultate din nelivrarea la timp a produselor fabricate).
Eficienţa unui stoc de-a lungul unui interval de timp este dată de o funcţională
de forma

196
Modele şi algoritmi de optimizare
C(t) = C[a(t), b(t), r(t)].
În general, r(t) este o funcţie cunoscută şi uneori se cunoaşte şi funcţia b(t).
În acest caz, trebuie determinată funcţia a(t) astfel încât eficienţa să fie optimă.
Dacă C este o variabilă aleatoare, atunci se determină funcţiile necunoscute
din condiţia ca valoarea medie a lui C să fie optimă. Pentru determinarea
optimului lui C pot să intervină uneori şi anumite restricţii legate de elementele
necunoscute.
În modelele de teoria stocurilor intervin şi variabile sau parametri legate în
special de mecanismul reaprovizionării, adică de mecanismul
intrărilor în stoc. Din
motive practice, se presupune că intrarea în stoc, reaprovizionarea, se face la
momente discrete de timp. Astfel, a(t) ia valori nenule numai la anumite momente
de timp t0 < t1 < t2 < ... .
Intervalele de timp Ti = ti+1 − ti, i = 0, 1, 2, ..., se numesc cicluri de
reaprovi e timp [0,T * zionare. Într-un interval d
] pot avea loc mai multe
reaprovizionări.
I(t)
S
P
t0
a(t1) a(t2) a(t3)
T0 T1 T2 3
L
t1 t2 t3
Figura 9.1
În F igura 9.1, variaţia stocului este reprezentată prin segmentele oblice, rata
cererii
fiind presupusă constantă. Se observă că pe intervalul de timp (t’, T
exist li i
oc la mo i omente de timp au loc numai ieşiri din stoc,
ot fi egale sau nu, pot fi constante sau aleatoare.
În ceea ce priveşte mărimea loturilor de reaprovizionare a(ti), acestea pot fi
egale sau nu, pot depinde sau nu de Ti.
În unele modele ale teoriei stocurilor din optimizarea funcţiei de eficienţă se
poate deduce ciclul optim de reaprovizionare, Topt.
oria stocurilor determină mărimea lotului de
, Topt.
rea şi a altor
* )
ă psă de stoc. Cantităţile a(t ) reprezintă valorile comenzilor care intră în
st mentele t , iar între aceste m
care micşorează nivelul stocului.
În diferite modele ale teoriei stocurilor, ciclurile de reaprovizionare Ti, i = 0, 1,
2, ..., p
Aşadar, modelele de te
reaprovizionare optim, aopt, şi/sau ciclul de reaprovizionare optim
Reaprovizionarea la anumite momente de timp impune utiliza
variabile care au importanţă practică.
T
t’
T *
t

9. Elemente de teoria stocurilor 197
Astfel, lotul de reaprovizionare optim nu intră în stoc în momentul când a fost
lansat,
ci după un interval de timp L, numit timp de avans.
Comanda a(t1) a fost lansată la momentul t1 − L, când stocul avea valoarea
P0 = I(t1 − L).
Mărimea P0 se numeşte nivel de reaprovizionare şi
se observă că ea este
strâns legată de timpul de avans L, în sensul că stocul P0 poate
satisface cererea
pe perioada timpului de avans L.
În unele modele, L este presupus variabilă aleatoare,
iar P0 este constant sau
variabil. Mărimile
L şi P 0 pot fi presupuse cunoscute sau pot fi variabile de
decizie,
care trebuie alese de decident în vederea realizării eficienţei optime. De
obicei se cunoaşte una dintre
aceste mărimi, cealaltă urmând a fi determinată cu
ajutorul modelului de stocare.
Intervalul de control este intervalul de timp dintre două lansări de comenzi
succesive.
Momentul
lansării comenzii este momentul când nivelul stocului scade la
nivelul de reaprovizionare P0. Uneori, drept variabilă de decizie se consideră şi
nivelul S până la care trebuie încărcat stocul prin introducerea comenzii (nivelul
maxim al stocului).
Totalitatea elementelor care definesc mecanismul de reaprovizionare formează
o politică de reaprovizionare. Aceasta constă din:
• loturile de reaprovizionare,
• ciclurile de reaprovizionare,
• nivelul de reaprovizionare,
• timpul de avans.
Politica este optimă dacă elementele ce o caracterizează au fost determinate ca
elemente ce realizează eficienţa optimă pe un interval de timp dat.
Modelele de teoria stocurilor se pot clasifica după mai
multe criterii.
1. După modul cum evoluează în timp
− modele dinamice,
− modele statice.
2. După natura aleatoare sau nu a elementelor sale
− modele stochastice,
− modele deterministe.
3.
După valorile posibile ale unor variabile (de exemplu, cererea)
− modele cu cerere continuă,
− modele cu cerere discretă.
4.
După numărul de stocuri de materiale distincte (se mai numesc şi staţii) –
criteriu topologic
− modele de stocare cu o singură staţie – stocarea unui singur tip de material,
produs etc.,
− modele de stocare cu mai multe staţii – stocarea mai multor tipuri de
materiale, produse etc.

198
Modele şi algoritmi de optimizare
Modelele de teoria stocurilor se aseamănă cu cele de teoria cozilor. Sosirile din
cadrul teoriei aşteptării corespund intrărilor în stoc, iar ieşirile corespund ieşirilor
din stoc.
Deosebirea dintre cele două tipuri de modele constă în aceea că, în timp ce în
teoria aşteptării se presupune că venirile şi serviciile sunt variabile aleatoare
cunoscute, în teoria stocurilor se cunoaşte numai cererea sau ieşirea şi se caută să
se determine intrarea optimă.
Aplicarea modelelor de teoria aşteptării în teoria stocurilor este posibilă numai
atunci când variabila I(t) este o variabilă discretă.
Pentru modelele ce vor fi prezentate în continuare se fac următoarele ipoteze.
1. Ipoteze referitoare la mecanismul de intrare/ieşire
a) Cererea este continuă, are rata r=const. şi poate fi satisfăc ută dacă nivelul
curent al stocului I(t) > 0.
b) Intrările se realizează la intervale de timp T, constante sau nu. Între
lansarea comenzii şi sosirea ei (nu) există un interval L de timp, timpul
de avans.
c) Momentul lansării unei noi comenzi este semnalat
de nivelul critic P0,
nivel de reaprovizionare.
d) În perioada T intră o cantitate a cu rata constantă p – ritmul de
reaprovizionare.
e) Parametrii P0, a, T sunt constanţi (modele statice).
f) Procesul de reaprovizionare continuă nedefinit.
2. Ipoteze privind costurile, pe baza cărora se poate defini eficienţa
a) Costul s de lansare a comenzii este constant.
b) Preţul ca de cumpărare a unei unităţi de materie primă sau produs poate
depinde de a.
c) Pentru I(t) > 0, există un cost de stocare, h, pentru unitatea de produs /
unitatea de timp.
d) Pentru I(t) < 0, există un cost al lipsei de stoc, d, pentru unitatea de
produs / unitatea de timp.
Problemele generale care se pun şi trebuie rezolvate de modelele de stocuri
sunt:
• determinarea valorilor optime pentru a şi T astfel încât costul total unitar pe
unitatea de timp să fie optim,
• determinarea nivelului de reaprovizionare P0 astfel încât costul total unitar pe
unitatea de timp să fie optim,
• nivelul maxim al stocului,
• nivelul mediu al stocului,
•
numărul optim de cereri de reaprovizionare a stocului într-un an.

9. Elemente de teoria stocurilor 199
9.2. Modelul clasic al lotului economic
Parametrii cunoscuţi:
− intrările au loc în mod continuu cu rata p – constantă,
− ieşirile au loc în mod continuu cu rata
r – constantă; p > r,
− costul de stocare h este constant pe
unitatea de stoc / unitatea de timp,
− costul de lansare a comenzii a este s = constant,
− L = 0.
Parametrii necunoscuţi:
− cantitatea
comandată a (mărimea lotului de reaprovizionare),
− mărimea ciclului de reaprovizionare T.
Ipoteze:
− nu se admite lipsa de stoc,
− nu există stoc de rezervă sau stoc intangibil, I = 0.
Construcţia modelului (determinarea
funcţiei obiectiv)
Figura 9.2 ilustrează
comportarea stocului pe durata unui ciclu de reaprovizionare.
a
Din ipotezele modelului rezultă că funcţia I(t) este periodică cu perioada T = .
r
⎛ a ⎞
Este suficient să rezolvăm problema de optim pe intervalul ⎜0
, ⎟ .
⎝ r ⎠
a
Întreaga cantit ate a va intra în stoc până la momentul , şi în intervalul
p
⎟ ⎛ a ⎞
⎜
⎜0
, ,
⎝ p ⎠
I(t) va creşte, iar în intervalul ⎟ ⎛ a a ⎞
⎜ , , I(t) descreşte.
⎝ p r ⎠
Astfel,
I(t)
0
a
I(t) = (p − r) t
Figura 9.2
a
p
0
I(t) = a − rt
a
T =
r
t

200
⎧
⎪(
p − r)
t ,
⎪
I(
t)
= ⎨
⎪ a − rt ,
⎪
⎩
⎛ a ⎞
t ∈ ⎜
⎜0,
⎟
⎝ p ⎠
⎛ a a ⎞
t ∈ ⎜ , ⎟
⎝ p r ⎠
Modele şi algoritmi de optimizare
Costul total pe perioada T este C T = C h,T + s, unde C h,T este costul de stocare,
dat de
a
r
2
2
2
⎡(
p − r)
a 2⎛
1 1 ⎞ ra ⎛ 1 1 ⎞⎤
ha ( p − r)
Ch,
T = h∫
I ( t)
dt = h⎢
⋅ + a ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ =
2
2 p r p
⎟
2
⎜ 2 2
r p
⎟⎥
.
2 pr
0 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Costul total de stocare şi de lansare pe unitatea de timp este
Ch,
C(
a)
=
T
T
2 ⎡ha ( p − r)
⎤
= ⎢ + s⎥
⋅
⎣ 2 pr ⎦
r
a
ha(
p − r)
= +
2 p
Figura 9.3 reprezintă costul total, costul de păstrare şi costul de lansare, abscisa
punctului de intersecţie a ultimelor două constituind mărimea optimă a comenzii (Q
reprezintă cantitatea necesară pe un întreg an).
CT( Q, a,
s,
h)
CL( Q, a,
s)
Ch( Q, a,
h)
Rezolvarea modelului
Figura 9.3
rs
a
Costurile total, totale, de de lansare, de de pastrare păstrare
a
mărimea marimea comenzii
.

9. Elemente de teoria stocurilor 201
Costul
minim îl obţinem din relaţia C’(a) = 0 (deoarece C”(aopt)>0, rezultă că
aopt determinat realizează minimul pentru C(a) ), de unde rezultă cantitatea optimă
de reaprovizionare:
h(
p − r)
rs
2 prs
− = 0 ⇒ a
2
opt = .
2 p a
h(
p − r)
Costul minim pe unitatea de timp este
C opt
2
2
2 2
h ( p − r)
2 prs r s h(
p − r)
2hrs(
p − r)
= ⋅ +
=
.
2
4 p h(
p − r)
2 prs
p
Astfel, avem costul unitar optim şi intervalul de reaprovizionare optim date de
relaţiile
2hrs(
p − r)
2 ps
Copt =
, Topt
=
.
p
rh(
p − r)
aopt
Se pot determina: nivelul mediu al stocului ca fiind şi numărul optim de
2
numărul numarul zilelor lucratoare lucrătoare din an
reaprovizionări pe an dat de
.
T
r
În practică se presupune că ≈ 0 ,
p
adică p >> r ( se consideră p = ∞),
r
ceea ce revine la a accepta că = 0
p
(Figura 9.4).
Costul de stocare pe unitatea de timp
este
Ch , T ha
=
T 2
şi reprezintă costul de stocare al unui
a
stoc mediu pe unitatea de timp.
2
Astfel, costul de stocare pe o perioadă de timp t0 este
ha
Ch , t = t
0 0 .
2
În acest caz
− mărimea optimă a comenzii de reaprovizionare a stocului este
I
aopt
=
2rs
h
− costul minim pe unitatea de timp
este
opt
I(t)
a
0
Figura 9.4
T 2T t
(9.1)

202
− ciclul optim de reaprovizionare este
Modele şi algoritmi de optimizare
I
C = 2rsh
(9.2)
opt
I
Topt =
2s
hr
(9.3)
În anumite situaţii cererea este exprimată prin valoarea în bani. Se disting două
cazuri
(Turban şi Meredith, 1988):
1. Se dă preţul unitar al produsului. În acest caz se află numărul de produse şi astfel
se ajunge la situaţia
studiată mai înainte.
2. Preţul unitar nu se cunoaşte şi atunci trebuie să se dea costul de stocare ca un
procent din valoarea cererii de produse. În acest caz modelul dă valoare optimă a
unei
cereri de reaprovizionare. Costul total anual
a Q
C T = h + s
(9.4)
2 a
Q
unde Q este cantitatea (sau valoarea acesteia) necesară pe un an, iar
a
reprezintă numărul de comenzi de reaprovizionare lansate într-un an. Atunci
a opt
2sQ
= . (9.5)
h
Exemplu. O întreprindere de prefabricate primeşte o comandă de 120 000 de dale
pe care trebuie să le livreze municipalităţii, pentru pavarea trotuarelor. Cererea
firmei de construcţii care realizează pavarea este constantă. Costurile sunt:
• h = 500 lei o dală /zi – stocarea,
• s = 30 000 000 lei – lansarea unei comenzi pentru un lot de dale.
În ce ritm trebuie întreprinderea de prefabricate să-şi aprovizioneze stocul dacă nu i
se admite nici o întârziere în livrare ? Se consideră anul cu 300 zile lucrătoare.
Rezolvare
Se
consideră modelul de stocare al lotului economic şi, utilizând formulele
(9.1)−(9.3), se obţin rezultatele de mai jos:
120000
r = = 400 – rata ieşirilor zilnice,
300
I
aopt 2rs
400 ⋅ 30000000
= = 2 ⋅ = 6928.
20 ,
h
500
I
Topt =
2s
=
hr
2 ⋅ 30000000
=
500 ⋅ 400
17.
32 zile
I
C = 2rsh
= 2 ⋅ 400 ⋅ 30000000 ⋅ 500 = 3464101.61 lei/zi.
opt
Costul total anual este 1 039 230 484.51 lei, iar costul de lansare a comenzilor
de reaprovizionare pe un an este 5196×10 8 .
,

9. Elemente de teoria stocurilor 203
Se poate rezolva problema din exemplul precedent cu Management Scientist.
După lansarea pachetului de programe, se selectează modulul Inventory, apoi, din
meniul
File se alege New şi din fereastra care apare se selectează modelul
Economic Order Quantity, ca în Figura 9.5.
Figura 9.5
Se introduc datele de intrare ca în Figura 9.6, având în vedere că trebuie
introdus costul anual de stocare
(500 lei/zi × 300 zile). Se presupune că sunt
necesare 3 zile pentru a se satisface o cerere de reaprovizionare (L=3). Atunci
trebuie să se determine şi nivelul
optim de reaprovizionare.
Figura 9.6
Rezultatele obţinute sunt prezentate în Tabelul 9.1.
Tabelul 9.1
INVENTORY MODEL

204
***************
ECONOMIC ORDER QUANTITY
***********************
YOU HAVE INPUT THE FOLLOWING DATA:
**********************************
Modele şi algoritmi de optimizare
ANNUAL DEMAND = 120000 UNITS PER YEAR
ORDERING COST = $30000000 PER ORDER
INVENTORY HOLDING COST = $150000 PER UNIT PER YEAR
WORKING DAYS PER YEAR = 300 DAYS
LEAD TIME FOR A NEW ORDER = 3 DAYS
INVENTORY POLICY
****************
OPTIMAL ORDER QUANTITY 6,928.20
ANNUAL INVENTORY HOLDING COST $519,615,242.27
ANNUAL ORDERING COST $519,615,242.27
TOTAL ANNUAL COST $1,039,230,484.54
MAXIMUM INVENTORY LEVEL 6,928.20
AVERAGE
INVENTORY LEVEL 3,464.10
REORDER POINT 1,200.00
NUMBER OF ORDERS PER YEAR 17.32
CYCLE TIME (DAYS) 17.32
Rotunjirea rezultatelor
Rezultatul obţinut în urma rezolvării unui model de stocare
poate să nu fie un
număr întreg, ca în exemplul de mai sus (mărimea optimă
a comenzii de
reaprovizionare, numărul de zile ale ciclului optim de reaprovizionare). Atunci, se
evaluează funcţia obiectiv pentru [aopt] şi pentru [aopt]+1 şi se reţine valoarea
care dă „cea mai bună” valoare pentru costul total ( [x]=partea întreagă a lui x).
9.3. Modelul clasic al lipsei de stoc
Aşa cum arată şi numele, în acest model se acceptă lipsa de stoc, adică se
păstrează cererile care nu au putut fi satisfăcute după epuizarea stocului, iar după
reaprovizionare, acestea
vor fi satisfăcute (Văduva et al, II, 1974). Există şi cazuri
în care cererea nesatisfăcută,
pe perioada epuizării stocului, se pierde. În continuare
se consideră numai primul caz.
Parametrii cunoscuţi:
− intrările au loc în mod continuu cu rata p – constantă,
− ieşirile au loc în mod continuu cu rata r – constantă, p > r,
− costul de stocare h, pe unitatea de stoc / unitatea de timp, este constant,
− d – costul (deficitul) datorat lipsei unei unităţi de stoc pe unitatea de timp este
constant,

9. Elemente de teoria stocurilor 205
− costul de lansare a comenzii a este s.
Parametrii necunoscuţi:
− cantitatea comandată a,
− S – nivelul maxim la care trebuie adus stocul la intrarea în stoc a comenzii,
− mărimea lotului de aprovizionare T.
Ipoteze:
− se admite lipsa de stoc şi cererea pe perioada lipsei de stoc se păstrează şi se
reportează pe perioada ciclului de reaprovizionare următor,
r
− = 0 .
p
Formularea problemei
Să se determine cantitatea
a care trebuie introdusă în
stoc după
timpul T (care
I(t)
trebuie de asemenea
determinat), presupunând
că
după ce se epuizează
stocul S în intervalul de
timp (0, t’ ), poate să mai
treacă un interval de timp
( t’, T ) până când intră
cantitatea a în stoc.
S
a
t’
t”
T
Figura 9.7
comportarea
arată
acestui
0 t
model de stocare. După ce
se recuperează lipsa de
Figura 9.7
stoc, stocul a ajuns la nivelul S. Parametrii necunoscuţi ai modelului trebuie
determinaţi
astfel încât costul total, provenit din costul de depozitare, costul de
lansare şi costul lipsei de stoc, să fie minim.
Construcţia modelului
Considerând modelul anterior, se stabileşte funcţia de minimizat astfel :
- costul de depozitare a cantităţii S pe intervalul de timp (0, t’ ) este
S
Ch, t ' = h ⋅ ⋅ t'
2
- costul lipsei de stoc este
a − S
Cd , t"
= d ⋅ ⋅ t"
.
2
Astfel, costul unitar total este

206
Modele şi algoritmi de optimizare
1 ⎛ S a − S ⎞
C = ⎜ s + h ⋅ ⋅ t'+
d ⋅ ⋅ t"
⎟ .
T ⎝ 2 2 ⎠
Se exprimă membrul drept al relaţiei precedente în funcţie de S, T ţinând seama că
a S S Tr − S
T = , t'
= , t"
= T − = ,
r r r r
astfel că
2
2
s hS d(
rT − S)
C(
S,
T ) = + +
.
T 2rT
2rT
Se determină min C(S,T):
⎧∂
⎧hS
d(
rT − S)
⎪ − =
⎪ = 0
0
∂ rT rT
⎨ ⇒ ⎨
2
2
∂C
1 ⎛ hS ⎞ d 2r(
rT − S)
T − ( rT − S
⎪ = 0 ⎪−
+ ⋅
=
⎪
⎜ s + ⎟
0
2
2
⎩∂T
⎩ T ⎝ 2r
⎠ 2r
T
S
C
)
⇒
Deoarece
2s
h + d II 2rs
d
II
d
, S opt =
, C = 2rsh
rh d
h h + d
h + d
II
Topt =
opt
2
⎛ 2 2
2 ⎞
⎜ ∂ C ∂ C ⎛ ∂ C ⎞
⋅ − ⎟ ⎟ > 0
⎜ 2 2
∂ ∂
⎜
S T
⎟ ⎟
⎝
⎝ ∂S∂T
⎠ ⎠ II II ( S )
opt , Topt
şi
2 ⎛ ∂ C ⎞
⎜
⎟ > 0
2 ⎟
⎝ ∂ S ⎠ II II ( S , T )
valorile
obţinute realizează minimul costului.
d
Se notează cu ρ = < 1 şi relaţiile de mai sus devin
h + d
II
Topt =
2s ,
rhρ
II
S opt =
2rsρ
,
h
II
Copt
= 2rshρ
de unde rezultă că
II
C
I
= C ρ .
opt
Această relaţie arată că este mai convenabilă politica
de aprovizionare care
admite
lipsa de stoc !
Mărimea optimă a lotului de reaprovizionare este
2rs
h + d
a Tr
h d
II
= =
opt
iar lipsa de stoc este
II II II h
aopt
− S opt = aopt
.
h + d
Ultima relaţie arată că numărul articolelor din perioada lipsei de stoc creşte pentru
articolele cu cost unitar de stocare mare. Aceasta explică de ce articolele care au un
preţ de stocare unitar mai mare sunt tratate mai economic într-un model cu lipsă de
stoc. Pe de altă parte, când costul unitar al lipsei de stoc creşte, numărul articolelor
din perioada
lipsei de stoc scade. Astfel, modelul arată intuitiv că articolele cu cost
mare pentru lipsă de stoc vor fi foarte puţine pe perioada lipsei de stoc.
opt
opt
opt
.

9. Elemente de teoria stocurilor 207
Deoarece
II
S
= ρ ⋅ r ⇒ ρ =
r ⋅T
II
S
=
a
II
S opt
opt opt
T
II
opt
ρ se numeşte şi indice de lipsă de stoc. În (1–ρ)% din cazuri, pe perioada T,
stocul se epuizează.
Probabilitatea epuizării stocului este
h 1 − α
α = 1 − ρ = ⇒ d = h .
d + h α
Această relaţie arată că, dacă se acceptă drept cunoscută probabilitatea epuizării
stocului, atunci costul lipsei de stoc este proporţional cu cel al stocării. Acest
fapt nu concordă totdeauna cu realitatea, şi de aici rezultă un inconvenient al
modelului, deoarece costurile h şi d sunt practic independente.
Comparând cele două modele se obţine
I
II I
II I 1 T II opt
S opt = S opt ρ , aopt
= aopt
, Topt
= ,
ρ ρ
adică
II
opt
I
opt
II
opt
Exemplu. În exemplul din §9.2. se consideră
că lipsa dalelor din stoc va fi
penalizată cu 3500 lei/dală/zi (d = 3500) . Să se determine elementele optime ale
modelului de stocare în acest caz.
I
opt
II
opt
S < S , a > a , T > T
Rezolvare
3500
ρ = = 0.
875;
500 + 3500
II 10141.
85
ρ = 0.
93541;
a opt = ≈ 7407 ;
0.
93541
II
S opt
II
II
= aopt
ρ ≈ 6481;
T opt
I
Topt
II
= ≈18.
51 ; opt
ρ
I
= opt ρ ≈ 3 240 370.34 .
C C
Modelul se poate rezolva şi utilizând Management Scientist. După lansarea
pachetului de programe se alege modulul Inventory. Din meniul File se selectează
New
şi din fereastra arătată în Figura 9.5 se alege modelul Economic Order
Quantity with Planned Shortages.
În fereastra
care apare după apăsarea butonului OK, se introduc datele de
intrare ca în Figura 9.8, unde costul de stocare şi cel de lipsă de stoc sunt
considerate pe întregul an (d× numărul de zile lucrătoare
din an , respectiv, h×
numărul de zile lucrătoare din an). Se consideră că sunt necesare 3 zile pentru
satisfacerea comenzii de reaprovizionare din momentul lansării acesteia.
II
opt
I
opt
.

208
Figura 9.8
Modele şi algoritmi de optimizare
Apăsând butonul Solve se obţine soluţia modelului sub forma dată în Tabelul 9.2.
Tabelul 9.2
INVENTORY MODEL
***************
ECONOMIC ORDER QUANTITY WITH PLANNED SHORTAGES
**********************************************
YOU HAVE INPUT THE FOLLOWING DATA:
**********************************
ANNUAL DEMAND = 120000 UNITS PER YEAR
ORDERING COST = $30000000 PER ORDER
INVENTORY HOLDING COST = $150000 PER UNIT PER YEAR
BACKORDER COST = $1050000 PER UNIT PER YEAR
WORKING DAYS PER YEAR = 300 DAYS
LEAD TIME FOR A NEW ORDER = 3 DAYS
INVENTORY POLICY
****************
OPTIMAL ORDER QUANTITY 7,406.56
ANNUAL INVENTORY HOLDING COST $425,298,608.33
ANNUAL ORDERING COST $486,055,552.38
ANNUAL BACKORDER COST
$60,756,944.05
TOTAL ANNUAL COST $972,111,104.76
MAXIMUM INVENTORY LEVEL 6,480.74
AVERAGE INVENTORY LEVEL 2,835.32
MAXIMUM BACKORDERS 925.82
REORDER POINT 274.18
NUMBER OF ORDERS PER YEAR 16.20
CYCLE TIME (DAYS) 18.52
În continuare sunt prezentate
alte două variante ale modelului clasic.

9. Elemente de teoria stocurilor 209
9.3.1. Modelul de stocare considerând
influenţa preţului
de cumpărare
Acest
model se referă la problemele de stoc-aprovizionare şi presupune că
preţurile de achiziţie a materiilor prime şi materialelor depind de mărimea
comenzii, adică ca = ca(a) (Văduva et al, II, 1974). În modelul lotului economic se
consideră
a r
C( a)
= h + s + r ⋅ ca
( a)
,
2 a
unde primul termen este costul stocării unei cantităţi medii pe unitatea de timp, al
doilea este costul lansării, iar cel de-al treilea termen este costul de cumpărare a
materiilor prime consumate din stoc. Se poate considera costul de stocare ca fiind o
fracţiune din costul de cumpărare, h = k⋅c a(a),
şi atunci:
1 r
C( a)
= kca
( a)
+ s + r ⋅ ca
( a)
.
2 a
De obicei, în practică, ca(a) este o funcţie în scară descrescătoare.
k r
Ci ( a)
= ca,
a + s + rca
, pentru li
a ui
, ( li
ui
) , i 1,
2,...,
m
i
,
≤ ≤ =
i
− 1 = .
2 a
Se determină minimul local al acestei funcţii, obţinut pentru:
⎧l i , dacã
ai
≤ li
* ⎪
2rs
ai
= ⎨ai
, dacã
li
< ai
< ui
, iar ai
=
⎪
kca,
i
⎩ui
, dacã
ui
≤ ai
.
Atunci, costul minim local este
*
⎧C(
ca,
) , dacã
ai
= l
i
i
⎪
*
Ci
opt = ⎨ 2rsk
+ ca,
r , dacã
ai
= a
i
i
⎪
*
⎩
C(
ui
) , dacã
ai
= ui
.
Costul
minim total va fi
C
opt
= min C , iar
1≤i≤
m
i opt
T
opt
*
ai
= .
r
9.3.2. Modelul de stocare considerând influenţa costului
de producţie
Acest model se referă la problemele de stoc−producţie şi consideră costul de
stocare h ca funcţie
de costul de producţie unitar cp (Văduva et al, II, 1974)
h = k ⋅ cp,

210
Modele şi algoritmi de optimizare
iar cp depinde de cantitatea produsă a. Notând cu cf costul unitar de fabricaţie,
atunci costul de fabricaţie pentru întreaga cantitate este
s
⎛ s ⎞
s + cf⋅a şi astfel c p = + c f , deci ⎜ ⎟ , 0 < < 1
a
⎝ ⎠
+ = k c h k f .
a
Se presupune că nu se admite lipsa de stoc. Atunci costul total de lansare şi
stocare pe unitatea de timp este
sr ⎛ s ⎞ a
C( a)
= + k⎜
+ c f ⎟ ⋅ .
a ⎝ a ⎠ 2
Din condiţia de minim, C’(a) = 0, rezultă
2rs
ks 2s
a = , C = 2kc
f rs + , T = .
kc
2 kc r
f
Comentariu. Mărimea lotului de reaprovizionare a depinde de costul unitar total
de producţie cf; dacă cf este mare, mărimea lotului se micşorează, adică nu este
indicat să se menţină stocuri mari din produse scumpe.
Se mai pot considera: modele cu costul stocării variabil, descris de o funcţie în
salturi, modele cu cererea depinzând de preţurile de vânzare etc. (Văduva et al, II,
1974) .
9.4. Extensii ale modelului clasic al lotului economic
Vânzătorii oferă deseori reduceri de preţ pentru cumpărarea unui lot mai mare
de produse. Există preţuri pentru intervale ale numărului de produse cumpărate.
Această practică este larg răspândită pentru că oferă avantaje atât cumpărătorului
cât şi vânzătorului, avantaje prezentate în Tabelul 9.3 .
Tabelul 9.3
Avantaje Dezavantaje
-preţuri reduse
-stocuri m ari
-mai puţine hârtii de completat
-cheltuieli
sporite de stocare
-transport
mai ieftin
-riscul
deteriorării
Cumpărător -mai puţine momente cu lipsă de stoc
-produse uniforme
-securitate sporită (ar putea să crească
preţurile)
-învechirea produselor
-transport mai ieftin
-preţ unitar scăzut
Vânzător -mai puţine hârtii de completat
-putere scăzută de
-producţie mai mare
tranzacţio nare cu clienţii
Se disting două cazuri :
f

9. Elemente de teoria stocurilor 211
i) Reduceri oferite pentru un singur nivel de preţ
ii) Reduceri
oferite pentru mai multe niveluri de preţuri.
Reduceri oferite pentru un singur nivel de preţ
Vom prezenta metoda pe un exemplu.
Pentru iluminatul stradal al unui oraş sunt necesare 100 de becuri pe lună
pentru înlocuirirea celor care se defectează.
Fiecare bec costă 8 u.m. Costul de
lansare a unei comenzi de reaprovizionare este de 27 u.m. indiferent de mărimea
comenzii, iar cel de păstrare al unui bec pe un an de zile este de 25% din valoare.
Onorarea comenzii se face în momentul lansării acesteia şi nu se acceptă lipsa de
stoc. Furnizorul oferă municipalităţii
o reducere de 2%, dacă se cumpără 600 de
becuri deodată. Să se satabilească dacă municipalitatea acceptă sau nu oferta
furnizorului.
Rezolvare
i) Vom folosi modelul
lotului economic fără lipsă de stoc şi nu vom lua în seamă
reducerea furnizorului. Pentru acest caz avem : Q=100×12=1200 becuri pe an,
h=0.25×8=2 u.m. , s=27 u.m. , p=8 u.m. (p= preţul de achiziţie al unui bec).
Folosind formulele (9.4)-(9.5) obţinem valoarea optimă pentru comanda de
reaprovizionare
aopt =
2Qs
=
h
2 ⋅ 27 ⋅1200
= 180 ,
2
costul total anual de stocare
CT
=
Q aopt
27 ⋅1200
180 ⋅ 2
s + h = + = 180 ,
2 180 2
a opt
iar costul becurilor este Q×p=1200×8=9600.
Aşadar, fără reducere, municipalitatea ar cheltui 9600+360=9960 u.m.
ii) Vom reface calculele ţinând seama de reducerea oferită de furnizor pentru un lot
de 600 becuri. În acest caz vor fi doar două lansări de comenzi de reaprovizionare
şi atunci costul de lansare total ar fi de 54 u.m. Costul unitar anual de păstrare
devine h’=0.98×0.25×8= 1.96 u.m., iar costul total anual de păstrare este
600 ⋅1.
96
= 588.
Costul de achiziţie devine 9600 − 9600 ⋅ 0.
02 = = 9408 . În acest
2
caz municipalitatea ar plăti 9408+588+54=1050 u.m. În concluzie, oferta de
reducere trebuie respinsă pentru că, dacă ar fi acceptată, municipalitatea ar fi în
dezavantaj !

212
Modele şi algoritmi de optimizare
Reduceri oferite pentru mai multe niveluri de preţuri
Înainte de a da metoda generală vom considera un exemplu.
Un spital trebuie să achiziţioneze antibiotice de la un furnizor care face oferta
din Tabelul 9.4 .
Tabelul 9.4
Cantitate Preţ
1 – 4999 2.75
5000 – 9999 2.60
>10000 2.50
Cererea spitalului este de 50 000 unităţi pe an. Costul lansării unei comenzi de
reaprovizionare este de 50 u.m. şi costul de păstrare este 20% din costul
medicamentului pe an. Nu se admite lipsă de stoc şi se presupune că onorarea
comenzii se face imediat ce a fost lansată. Să se stabilească politica optimă a
spitalului de achiziţionare a medicamentelor.
Vom utiliza modelul lotului economic fără lipsă de stoc şi vom rezolva
problema în următorii paşi.
Pas 1. Cu modelul lotului economic fără lipsă de stoc, stabilim pentru cel mai mic
preţ mărimea optimă a comenzii de reaprovizionare. Costul unitar anual de păstrare
este h1=2.5×0.02=0.5 u.m.
( 1)
aopt =
2Qs
=
h
2 ⋅ 50 ⋅ 50000
=
0.
5
10000000 = 3163
( 1)
( 1)
Pas 2. Se compară a cu intervalul corespunzător preţului 2.50. Dacă a ar fi
opt
în interval, soluţia este fezabilă şi optimă în acelaşi timp şi problema este
rezolvată. Altfel, soluţia nu este fezabilă şi se caută mărimea optimă a comenzii de
reaprovizionare pentru preţul 2.60 u.m.
Pas 3. În acest caz costul de păstrare este h2=2.6×0.02=0.52 u.m. Atunci,
( 2)
aopt =
2Qs
=
h
2 ⋅ 50 ⋅ 50000
=
0.
52
9615385 = 3101.
( 2`)
Se compară a cu intervalul corespunzător preţului 2.60.
opt
( 2)
Pas 4. Dacă a ar fi în interval, soluţia este fezabilă şi optimă în acelaşi timp şi
opt
problema este rezolvată. Altfel, soluţia nu este fezabilă şi se caută mărimea optimă
a comenzii de reaprovizionare pentru preţul 2.75 u.m.
Pas
5. Costul de păstrare este h3=2.75×0.02=0.55 u.m. Atunci,
( 3)
aopt =
2Qs
=
h
2 ⋅ 50 ⋅ 50000
=
0.
55
9090910 = 3015 .
opt

9. Elemente de teoria stocurilor 213
( 3)
Pas 6. a este în intervalul corespunzător preţului 2.75 şi soluţia găsită este
opt
fezabilă.
Pas 7. {Compararea costurilor} Costul total anual este
Q a
CT ( a)
= s + h + Q ⋅ p .
a 2
Aplicăm formula pentru cele trei valori ale marginii din stânga intervalului
pentru categoriile de preţ şi avem :
( 1)
T
( 2)
T
C ( 10 000)
= 127 750 , C ( 5000)
= 131800
, C ( 5000)
= 139158
.
Deoarece o cerere de 10 000 de unităţi o dată conduce la cel mai mic preţ, se va
adopta această politică.
Bazat pe acest exemplu putem scrie următorul algoritm general.
Algoritm general
Pas 1. {Iniţializări}
Intrare: necesarul anual Q, costul de lansare s, costul unitar de stocare h,
intervalele pentru care se acordă reduceri q = ( qk
, 1 , qk
, 2 ) , n numărul
1≤k
≤n
acestor intervale, preţurile unitare reduse ( pu) 1 ≤k
≤n
.
Pas 2. k:=n;
Determină cantitatea optimă aopt comandată cu modelul lotului economic pentru
pun .
Dacă aopt ≥qk,1 , determină Cn+1, costul total optim cu modelul lotului
economic pentru aopt; sw:=0; an+1:=aopt ;
Pas 3. Dacă sw≠0, atunci
Cât timp (k≥0 şi sw≠4) execută
Calculează ak:=aopt ;
Dacă [ , 1 , 2 ] , k qk
qk
Dacă [ q , q ]
( 3)
T
a ∉ atunci sw:=1; an+1:=qk,1 ; k:=k-1;
ak k , 1 k , 2
∈ atunci sw:=4; an+1:=aopt ; Cn+1, costul total
optim cu modelul lotului economic pentru aopt ;
Dacă sw=4, atunci
Pentru k:=1,n
Calculează Ck costul total optim cu modelul lotului economic
Determină Cn
1 Ck
1 k n 1
min : +
≤ ≤ +
= ; n a 1
1
m : + in ak
≤k
≤n+
1
Pas 4. Reţine an+1 şi Cn+1. Stop!
= ;

214
Modele şi algoritmi de optimizare
În continuare este redat algoritmul de mai sus, programat în MathCAD şi
aplicat exemplului precedent.
Determinarea lotului optim de reaprovizionare si a costului
optim pentru preturi unitare cu discount-uri
Intervalele pentru care se acorda discount Preturile unitare de achizitionare
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
q := 5000 9999
pu :=
10000
4999
10 6
Necesarul anual Q := 50000
⎞
⎟
⎠
Costul de lansare a comenzii de reaprovizionare s := 50
Costul unitar anual de stocare este o fractiune ρ
din costul de achizitionare ρ := 0.2
s
Lotul optim de reaprovizionare aopt( h)
:= 2⋅Q⋅ h
i ← 1
m←x k
i ← k
⎛
⎜
⎜
⎝
2.75
2.60
2.50
Determinarea minimului elementelor unui sir si a pozitiei sale
Mn() x :=
m← x
1
for k ∈ 1.. last() x
⎛
⎜
⎝
if
m
i
⎞
⎠
m> x
k
⎞
⎠

9. Elemente de teoria stocurilor 215
Discount( Q, s,
pu , ρ)
:= k ← last( pu)
n ← k
sw ← 1
CT n+ 1
an+ 1
←
←
Q
qk1 ,
aopt pu k⋅ρ qk1 ,
⋅s + pu k⋅ρ ⋅ + Qpu ⋅ k
2
( )
sw ← 0 if an+ 1 ≥
if
sw ≠ 0
while
if
⎛ an+
1
⎜
⎝
CT
n+ 1
( k ≥ 1)
∧
hk ←
pu k⋅ρ qk1 ,
ak ← aopt( hk) ( )
if ¬ qk1 , ≤ ak ≤ qk2 ,
if
for
ak ←
qk1 ,
k ← k − 1
qk1 ,
sw = 4
CT n+ 1
an+ 1
≤ ak ≤ qk2 ,
sw ← 4
CT k ←
Q ak ← ⋅s + hk⋅ + Qpu ⋅ k
ak 2
← ak k∈1.. n
Q
( sw ≠ 4)
qk1 ,
Ao ← Mn( CT)
CT n+ 1
i←Ao2 an+ 1
⎞
⎠
← Ao1 ← ai Apelul subprogramului MathCAD se face cu secvenţa
Discount( Q, s,
pu , ρ)
=
qk1 ,
⋅s + hk⋅ + Qpu ⋅ k
2
.

216
Modele şi algoritmi de optimizare
9.5. Model pentru stocarea mai multor tipuri de produse
Se presupune că stocul este format din p tipuri de produse. Atât parametrii
cunoscuţi
cât şi cei necunoscuţi se referă la fiecare tip de produse aflate în stoc.
Parametrii
cunoscuţi:
− rata cererii – ri,
− costurile de stocare unitare – h i,
− costurile de lansare – si, i = 1,
p .
Parametrii
necunoscuţi:
− mărimea optimă, ai, a lotului de reaprovizionare din produsul i ,
− ciclul optim de reaprovizionare, Ti, a stocului cu produsul i , i = 1,
p .
Formularea problemei:
Să se determine elementele necunoscute astfel încât costul de stocare şi lansare
pe unitatea de timp pentru produsul i
hia
i si
ri
C i ( ai
) = +
2 ai
să fie minim, şi deci şi costul total pe unitatea de timp
să fie minim. Se obţin:
a
C(
a ,..., a ) =
1
2r
s
,
p
p
∑
i=
1
C ( a )
i i
i
i opt = i opt = .
hi
ri
hi
Comentariu. Determinarea loturilor economice pentru mai multe produse revine la
determinarea lotului economic pentru fiecare produs în parte.
T
i
i
2s
9.6. Modele stochastice de stocare
Într-un model aleatoriu, pe lângă variabilele de decizie d1, ... , dn (de exemplu,
mărimi de comenzi, cicluri de reaprovizionare) intervin şi variabile aleatoare A1,
..., An, a căror repartiţie se presupun e cunoscută. Funcţia de eficienţă C(d1, ... , dn, A1, ... , An) va fi o variabilă aleatoare, iar
valorile optime ale variabilelor de decizie vor fi determinate din condiţia ca
eficienţa medie să fie optimă.
Printre elementele aleatoare ale unui model de teoria stocurilor, cel mai
important
este cererea pe unitatea de timp. Repartiţia cererii în cazul cererii
continue poate fi: normală, log-normală, Weibull etc., iar în cazul cererii discrete,

9. Elemente de teoria stocurilor 217
poate fi: Poisson, Pascal, binomială etc. Dacă cererea
este un proces aleatoriu,
atunci modelul de stocare este un model stochastic dinamic.
Timpul de avans, L, şi stocul intangibil (de siguranţă),
= P0
− R ,
I S
R fiind cererea medie pe perioada timpului de avans, pot fi variabile aleatoare
continue sau discrete.
Mărimea stocului de siguranţă
şi, corespunzător, nivelul de reaprovizionare
reduc şansa apariţiei lipsei de stoc, şi invers. Tabelul 9.5 dă efectul creşterii sau
reducerii nivelului de reaprovizionare asupra costurilor.
Tabelul 9.5
Acţiune Rezultat
Reducerea nivelului de Scade costul de stocare al stocului de siguranţă şi creşte
reaprovizionare
costul lipsei de stoc
Reducerea lotului
de
reaprovizionare a
Scade costul de stocare al stocului mediu ( ) şi cresc costul
2
lipsei de stoc şi costul total de lansare comenzi
Creşterea nivelului de Creşte costul de stocare al stocului de siguranţă şi scade
reaprovizionare
costul lipsei de stoc
Creşterea lotului de Creşte costul de stocare al stocului mediu şi descreşte costul
reaprovizionare
total de lansare comenzi
9.6.1. Determinarea nivelului optim de reaprovizionare
Pentru determinarea nivelului optim de reaprovizionare P0, aplicăm analiza
marginală (Bonini et al, 1997), adică se începe analiza costului total cu o valoare
iniţială pentru P0 , fie P 0 = R .
Să vedem ce se întâmplă cu costul total dacă se adaugă o unitate de produs
de
stoc la P0. Costul total pe perioada analizată (de exemplu, un an) va creşte cu
aproximativ h , deoarece I S creşte cu o unitate.
Dacă nu se adaugă o unitate la P0 , creşterea
costului va rezulta din faptul că o
cerere cu o unitate mai mare pe perioada timpului de avans va mări probabilitatea
lipsei de stoc, astfel (Figura 9.9):
Creşterea
costului prin neadăugarea unei unităţi la P0 este egală cu
⎡Q
⎤
(Probabilitatea unei unităţi de stoc cerute în plus) d·
⎢ ⎥
⎣ a ⎦
⎡Q
⎤
⎢ ⎥ fiind numărul de cicluri de reaprovizionare pe perioada analizată.
⎣ a ⎦
Se consideră următoarea ipoteză:
Cererea r, pe unitatea de timp, este o variabilă aleatoare cu repartiţia
cunoscută, F(x).

218
Modele şi algoritmi de optimizare
Atunci, cererea R, pe perioada timpului de avans L, este de asemenea
o
variabilă
aleatoare cu funcţia de repartiţie cunoscută, F(x)=P(R

9. Elemente de teoria stocurilor 219
1. Stocul de siguranţă este I S P R Zα
σ R ⋅ = − = 0 .
2. Pentru un α ∈(
0,
1)
, un risc asumat de a avea lipsă de stoc pe perioada
timpului de avans, se poate determina nivelul critic al stocului astfel :
α = P(R≥ P0)=1−F(P0) ⇒ F(P0)=1−α ,
relaţie ce permite determinarea nivelului critic al stocului P0.
Determinarea costului total
Costul total=Costul de lansare+Costul de stocare+Costul lipsei de stoc
Q a
⎡ ∞
⎛ ⎞
⎤ Q
CT
( a,
P0
) = s + ⎜ + P0
− R⎟h + ⎢d
( R − P ) f R dR⎥
⋅
a
∫ 0 ( ) . (9.6)
⎝ 2 ⎠ ⎢⎣
⎥ a
P0
⎦
Q
unde: s reprezintă costul de lansare al tuturor comenzilor de reaprovizionare pe
a
perioada de timp analizată,
Q
numărul comenzilor de reaprovizionare pe perioada de timp analizată,
a
⎡
⎤ Q
⎢d
( R − P ) f R dR⎥
⋅
⎢⎣
a
P
⎥⎦
∫
∞
0 ( ) costul lipsei de stoc pe perioada de timp
analizată,
0
∞
∫ R − P0
f ( R)
dR numărul mediu de unităţi de stoc lipsă din
stoc pe un ciclu
P0
( )
de reaprovizionare,
f(x) densitatea de repartiţie a cererii.
Se determină P0 opt şi aopt din condiţia impusă costului total dat de (9.6), să
fie minim:
⎪
⎨
⎪
∂CT
⎪⎩
∂a
[ 0 ⋅ f ( P0
) −1]
=
⎪
⇒ ⎨ ⎛ ∞
⎞
.
= 0 ⎪ − ⎜ + ( − ) ⋅⎟
h
s d
+ =
⎪ ⎜ ∫ R P0
f ( R)
dR 0
2
a
⎟ 2
⎩ ⎝ P0
⎠
(9.7)
Prima relaţie (9.7) se poate rescrie astfel:
∂ ⎧∂CT
⎪
P0
⎧ Q
Q
= 0 ⎪ h − d ⋅ P0
⋅ f ( P0
) + d ⋅ F(
P0
) + P
0
a
a
Q
Q Q
h − d + d F(
P0
) = 0 .
a a
Atunci
a ⋅ h
F( P0
) = 1 − ⇒ P0
opt .
d ⋅ Q
(9.8)
a
opt
=
⎛
Q⎜
s + d
⎜
⎝
( R − P )
2
∞
∫
P0
0 opt
h
⎞
f ( R)
dR⎟
⎟
⎠
.
(9.9)

220
Modele şi algoritmi de optimizare
Se observă că P0 apare în exprimarea lui aopt (9.9) şi a apare în exprimarea
lui P0 opt (9.8). Pentru rezolvarea acestei probleme se poate folosi un procedeu
iterativ astfel :
- cu un a estimat, de exemplu dat de modelul lotului economic, se calculează P0,
din
tabela funcţiei de repartiţie F din relaţia (9.8),
- apoi, cu acest P0 se calculează a cu relaţia
(9.9) şi aşa mai departe, până când
cele două valori găsite satisfac relaţiile (9.7).
Dacă R a N R,
σ ) , atunci ( − P ) f ( R)
dR = σ N(
Z)
, unde N(Z) este
( R
∞
∫ R
P0
0
R
numărul mediu de comenzi de reaprovizionare a stocului pe perioada timpului de
avans. Astfel, relaţia (9.7) devine
( s + d N(
Z)
)
aopt
şi costul total optim este
=
2Q σ R
h
(9.9’)
Q ⎛ aopt ⎞
C [ Z ] P − R⎟ opt = C 0 opt ) = ( ) ⎜
T ( aopt
, P s + dσ
R N + + 0 opt ⎟
h .
a ⎜
opt ⎝ 2
⎠
(9.6’ )
Particularizări
1) Dacă timpul de avans, L, e ste constant şi cunoscut
şi cererea, r, este o
variabilă aleatoare repartizată N (m,σR), atunci R=L⋅r
este o variabilă aleatoare
repartizată L m,
L ⋅σ
R . Notând cu –
variabilei aleatoare
N (0,1) , adică
⋅ zα , α – cuantila inferioară a
N ( )
α =
1
2π
2 − zα u
−
∫
−∞
e du 2 ,
rezultă că în acest caz nivelul de reaprovizionare este
P = L ⋅ m + z Lσ
.
0
2) Presupunând timpul de avans, L, constant şi cererea, r, variabilă aleatoare
repartizată Exp(λ), atunci cererea pe perioada timpului de avans este
şi P0 se determină din relaţia
R = r + ... + rL
a Erlang(
λ,
L)
P0
1
∫ f ( x)
dx = 1 − α
= P(
R < P0
)
0
(α riscul asumat fiind mic) folosind tabela repartiţiei Erlang(λ,L).
α
R

9. Elemente de teoria stocurilor 221
3) Dacă L este o variabilă aleatoare cu media M[L]=l, iar r este o variabilă
aleatoare repartizată N (m,σR), independentă de L, atunci R=L⋅r este o variabilă
aleatoare normală cu M[R] = l⋅m şi D 2 [R] = l⋅σR 2 , adică N ( l ⋅ m,
l ⋅σ
R )
acest caz nivelul de reaprovizionare este
P = l ⋅ m + z lσ
0
α
R
. În
Exemplu. La un service auto sunt necesare 1800 bidoane de ulei de motor pe an.
Costul de lansare a unei comenzi de reaprovizionare cu ulei este de s=10 u.m.,
costul de păstrare h=0.6 u.m./an, iar timpul de avans este de 20 zile. Cererea
medie pe timpul de avans este R = 30 bidoane, R a N ( R,
σ R ) . Costul lipsei
din stoc a unui bidon de ulei este d=5 u.m. Să se determine cantitatea optimă de
reaprovizionare şi punctul optim de reaprovizionare.
Rezolvare. Consideră mărimea optimă a lotului de reaprovizionare
2sQ
2 ⋅10
⋅1800
aopt = =
= 245 bidoane de ulei.
h 0.
6
Indicele de lipsă de stoc asumat este
h ⋅ a 0.
6 ⋅ 245
Φ( P 0 ) = 1 − = 1 − = 0.
9837 = α
d ⋅ Q 5 ⋅1800
Φ fiind funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare normale.
Din tabelele repartiţiei normale luăm α – cuantila corespunzătoare, Z α = 2.
14 .
Se obţine punctul optim de reaprovizionare P 0=100+2.14·30=164
. Astfel, stocul
de siguranţă este I S = Popt
− R = 164 −100
= 64 bidoane de ulei.
În anumite ipoteze asupra repartiţiei ciclului de reaprovizionare, T a G(τ
) ,
numărului de cereri din intervalul de timp (0, t), n( t)
a Po(
λ ⋅ t)
,
mărimii unei cereri X, X a F(
x ) ,
se poate determina repartiţia cererii totale pe intervalul de timp ( 0, t ).
9.6.2.
Modele de stocare pe o singură perioadă
cu cerere aleatoare
Dacă rata cererii nu este deterministă, modelul de stocare cu cerere aleatoare
presupune cunoscută repartiţia acesteia. Modelele de stocare pe o singură perioadă
se referă la situaţia în care o singură comandă este lansată pentru un produs. La
sfârşitul perioadei produsul a fost fie epuizat, fie există un surplus de articole
nevândute care vor fi vândute la o valoare de lichidare de stoc. Modelul
pentru o
singură perioadă este aplicabil în situaţii ce implică articole sezoniere sau perisabile
care nu pot fi păstrate în stoc şi vândute în perioada următoare. De exemplu: hainele

222
Modele şi algoritmi de optimizare
de sezon (costume de baie, hainele de iarnă), ziare etc. Cum comanda se face o
singură dată pe perioada considerată, singura decizie de stoc care trebuie luată este: ce
cantitate din produsul respectiv să se comande la începutul perioadei ? O astfel de
problemă este cunoscută sub numele de problema vânzătorului de ziare.
Exemplu de cerere cu repartiţie discretă
Un magazin cumpără roşii o dată pe săptămână de la producător cu 6 u. m. / kg şi
le vinde cu 11 u. m. / kg. La sfârşitul săptămânii preţul de lichidare de stoc este de
2 u. m./kg. Din experienţa avută (reflectată în Tabelul 9.6) magazinul vinde între
160 şi 200 kg de roşii pe săptămână. Deoarece cererea este relativ stabilă, se
presupune că este continuă cu acea rată. Să se determine mărimea comenzii de
reaprovizionare pentru magazin,
astfel ca profitul magazinului să fie maxim
(Turban
şi Meredith, 1988) .
Număr kilograme
vândute (x)
Tabelul 9.6
Număr
de Probabilitatea
săptămâni cererii
Funcţia empirică
de
repartiţie (P(x≤a))
160 4 0.08 0.08
170 10 0.2 0.28
180 12 0.24 0.52
190 15 0.3 0.82
200 9 0.18 1
Total 50
Rezolvare
În rezolvarea acestui tip de probleme este indicată folosirea metodei analizei
incrementale. Analiza incrementală compară câştigul sau pierderea realizată prin
comandarea unui articol suplimentar pentru care nu ar fi existat cerere, cu câştigul
sau pierderea realizată prin necomandarea unui articol pentru care ar fi existat cerere.
Fie: a cererea de aprovizionare cu roşii pentru o săptămână,
c+ costul unitar al supraestimării cererii, adică pierderea datorată
comandării
unui kilogram suplimentar care apoi se constată că nu se poate vinde,
c - costul unitar al subestimării cererii, adică pierderea datorată necomandării
unui kilogram suplimentar
care apoi se constată că s-ar fi putut vinde,
D+ pierderea totală datorată supraestimării comenzii
de aprovizionare,
D+ (a)=c+⋅P(a≤aopt)
D- pierderea totală datorată subestimării comenzii de aprovizionare,
D-(a)=c-⋅ P(a>aopt )= c-
(1-P(a≤aopt)) .
Din egalitatea D+(a)= D-(a) se determină cantitatea
optimă comandată astfel:
+ − + c c
c_
P(
a ≤ aopt
) = . (9.10)

9. Elemente de teoria stocurilor 223
c_
11 − 6
Pentru această problemă =
= 0.
5555 . Din Tabelul 9.6
c c ( 6 − 2)
+ ( 11 − 6)
+ + −
se constată că P ( a a ) = 0.
5555 şi se obţine aopt=190 kg .
Exemplu de cerere cu repartiţie continuă
O reţea de magazine comandă la o fabrică de încăţăminte un nou model de pantofi
bărbăteşti de primăvară-vară. La sfârşitul sezonului (30 septembrie) patronul
magazinelor va avea lichidare de stoc pentru ce nu s-a vândut până la acea dată.
Preţul de achiziţie de la fabrică este de 40 u.m. perechea, iar magazinul îi vinde cu
60 u.m. Preţul de lichidare de stoc este de 30 u.m. perechea şi se aşteaptă ca la
acest preţ stocul să fie lichidat. Câte perechi de pantofi ar trebui să comande
patronul magazinelor pentru a obţine profit maxim (pierderi minime) ? (Anderson
et al, 1994)
Rezolvare
Din experienţa anilor trecuţi, cererea pentru pantofi bărbateşti, măsura 42,
este
uniformă şi cuprinsă între 350 şi 650 perechi, având media 500. Se apelează
la
analiza incrementală pentru rezolvarea acestei probleme.
Fie: a cererea de aprovizionare cu pantofi bărbăteşti mărimea 42,
c+ costul unitar al supraestimării cererii, adică pierderea datorată comandării
unei perechi de pantofi suplimentare, care apoi se constată că nu se poate vinde,
c- costul unitar al subestimării cererii, adică pierderea datorată necomandării
unei perechi de pantofi suplimentare, care apoi se constată că s-ar fi putut vinde,
D+ pierderea totală datorată supraestimării comenzii de aprovizionare
D- pierderea totală datorată subestimării comenzii de aprovizionare.
Pentru această
problemă c+=40–30=10, iar c-=60–40=20. Considerând
cererea egală cu media, analiza incrementală pentru două cazuri este arătată de
Tabelul 9.7.
Cazul
rimea
comenzii
Mă
I 501
II 500
≤ opt
Tabelul 9.7
Pierderea produsă dacă
Cererea este supraestimată şi o
unitate nu poate fi vândută
Cererea este subestimată şi o
unitate ar fi putut să fie vândută
Pierderea
posibilă
Probabilitatea
c+=10 P(a≤500)
c-=20 P(a>500)
P(a≤500)= P(a>500)=0.5, D+(a)=c+⋅0.5=5
u.m. , D-(a)=c-⋅0.5=10 u.m.
Este de preferat să se comande 501 perechi de pantofi. Se continuă investigarea
până când
D+(a)= D-(a) .
Ţinând seama de relaţia (9.4), se obţine pentru acest exemplu
aopt
− 350 2
P ( a ≤ aopt
) = = ,
650 − 350 3

224
iar aopt=550.
Modele şi algoritmi de optimizare
În situaţiile practice apare problema cunoaşterii repartiţiei cererii pentru
produsul respectiv
şi cea a costurilor c+ şi c- .
În modelele cu o singură perioadă, cantitatea
+ − + c c
c_ are rol esenţial în
determinarea cantităţii optime de reaprovizionare. Când c+

9. Elemente de teoria stocurilor 225
ρ λ
[ ( ) ] = , ρ = , 0 = 1 − ρ
1 − ρ µ
p
t N M .
Construcţia funcţiei de cost. Notăm cu:
cu – costul unei unităţi din stoc,
α − fracţiunea pe care o reprezintă costul de stocare din costul unităţii de stoc,
(h=αcu) ,
d – costul unitar al lipsei de stoc,
p0 – probabilitatea de a avea lipsă de stoc.
Atunci obţinem
• costul mediu de stocare = cu⋅α⋅M[N(t)],
• costul mediu al lipsei de stoc = d⋅p0,
• funcţia de eficienţă (costul mediu ce trebuie optimizat) =C(ρ), unde
ρ
C( ρ ) = cu
⋅α
⋅ M[
N(
t)]
+ d ⋅ p0
= cu
⋅α
⋅ + d ⋅ ( 1 − ρ ) .
1 − ρ
Din condiţia ca C(ρ) să fie minim ( C ′ ( ρ) = 0 , C ′′ ( ρ)
> 0)
, se obţine
cu ⋅α
ρ opt =1 −
d
şi astfel se pot determina elementele necunoscute ale modelului.
Practic se cunoaşte cererea τ a Exp ( µ ) şi astfel numărul de unităţi cerute pe
unitatea de timp este o variabilă aleatoare Poisson de parametru µ, µ fiind
intensitatea cererii, presupusă cunoscută.
Se cere determinarea parametrului λ opt = intensitatea optimă de încărcare a
stocului.
Dar
⎛ ⎞
⎜
cu ⋅α
λ = µ ⋅ ρ = µ ⋅ 1 − ⎟ .
⎜ ⎟
⎝
d
⎠
Se poate determina probabilitatea ca nivelul stocului să depăşească o anume
valoare ν ,
deoarece
P
( N(
t)
)
∞
ν
j
≥ν = ∑ pn
= ( 1 − ρ)
⋅ ρ ⋅∑
ρ = ρ
n=
ν
j=
0
p n
= n
ρ ⋅ −
( 1 ρ ) .
Problema se poate formula şi astfel:
Să se determine nivelul stocului care să fie atins şi/sau depăşit cu
bilitatea π∈(0, 1) suficient de mică.
Atunci, din relaţia ρ ν proba
lnπ
= π obţinem ν π = .
ln ρ
Ipoteza că intrările în stoc pot avea loc în mod indefinit se poate înlocui cu alta,
rezultată
din faptul că stocul are o limită a capacităţii, m. Atunci
∞
ν

226
∑ m
n= 1
şi deoarece
p = 1 se obţine
Astfel
Însă
M
n
[ N t)
]
de
unde rezultă că
Obţinem
N = M
∑
n=
1
p
n
n ⎧ρ
⋅ p
= ⎨
⎩0
0
pentru 1≤
n ≤ m
pentru n > m
0 = p 1 − ρ
. m+
1
1 − ρ
∑
n=
1
Modele şi algoritmi de optimizare
m ( 1 − ρ )
⋅ m+ 1 ∑
m
m
ρ ⋅
( = n ⋅ p = n ⋅
ρ
∑
n=
1
⋅ ρ
=
n
m
∑
n=
1
n
n−1
ρ ⋅ p0
=
n ⋅ .
1 − ρ n=
1
m
n 1 − ρ
ρ = ρ
1 − ρ
[ ( ) ] ( )
( ) 2
m
1 − m + 1 ⋅ ρ ⋅ 1 − ρ
1 − ρ
+ ρ − ρ
m
m+
1
n
n−1
.
[ N(
t)
]
m m+
1
[ 1 − ( m + 1)
⋅ ρ + m ⋅ ρ ]
= m
+ 1
( 1 − ρ)
⋅ ( 1 − ρ )
m
[ ⋅ ρ ] ⋅ ( 1 − ρ)
( − ρ)
1 − ( m + 1)
ρ 1 + ρ − ρ
= ⋅ m+
1
2
1 − ρ
⋅ ρ
.
( 1 − ρ )
Înlocuind M[N(t)] în funcţia de cost şi punând condiţia de minim se obţine
ρopt cu ajutorul căruia se pot determina elementele modelului.
De exemplu, numărul mediu de cereri ce urmează a fi satisfăcute (adică
lungimea medie a cozii)
2 m+
1
m
ρ ⋅
[ ] [ 1 − m ⋅ ρ + ( m −1)
⋅ ρ ]
R = M N(
t)
−1
=
.
m+
1
1 − ρ ⋅ 1 − ρ
( ) ( )
Se obţine o nouă funcţie de cost dacă se consideră valorile medii
ρ
C1(
ρ ) = cu
⋅α
⋅ N + d ⋅ R =
m+1
1 − ρ ⋅ 1 − ρ
( ) ( ) ⋅
m+
1
N
,
=
R
astfel
m
m+
1 m−1
m
( m + 1)
⋅ ρ + m ⋅ ρ ] + d ⋅ ρ ⋅[
1 − m ⋅ ρ + ( m −1)
]} .
⋅{
cu ⋅α
⋅[
1 −
⋅ ρ
Din condiţia de optim (min C1(
ρ) ) rezultă ρopt şi acum se pot calcula
elementele modelului.
9.6.5. Modelul cu
mai multe staţii paralele
şi cu timp de avans L aleatoriu

9. Elemente de teoria stocurilor 227
Ipotezele modelului
• în momentul când se scoate o unitate din stoc se comandă alta, astfel încât
numărul de unităţi din stoc plus cele comandate
să fie S=constant,
• fiecare cerere este egală cu unitatea (r=1); numărul de cereri pe unitatea de
timp este o variabilă aleatoare Poisson, de parametru λ,
• timpul de avans L este o variabilă aleatoare exponenţială negativă de
parametru µ.
A. Cererea nesatisfăcută nu se păstrează
Analogia cu modelul de aşteptare µ )/Exp( λ)/
c : ( ∞,
N
Exp( d
Se consideră
• cele c locuri din stoc drept staţiile de serviciu ale sistemului de aşteptare,
• Nd semnifică faptul că există clienţi nedisciplinaţi care, dacă nu pot fi serviţi,
părăsesc sistemul,
• N(t) − numărul de unităţi din sistem la momentul t este un proces finit,
• Pn(t)=P(N(t)=n) – probabilitatea de a avea n unităţi în stoc. Când sunt n
unităţi în stoc înseamnă că sunt lansate c−n comenzi.
Determinarea coeficienţilor λn , µn, n∈{1, 2, . . . , c}. Deoarece o comandă
soseşte după timpul aleatoriu L, care are repartiţia Exp(µ), rezultă că intensitatea
intrării în stoc a unuia din cele c articole este µ·c, adică, λ0= µ·c.
Dacă există n unităţi în stoc, atunci poate să sosească numai una din cele c−n
comenzi,
deci
λn= µ·(c−n) , 1 ≤ n ≤ c , λc = 0.
Pentru a determina intensitatea ieşirii ţinem seama de faptul că ieşirea depinde
de cerere, deci µn = λ, 1 ≤ n ≤ c.
Se pot scrie ecuaţiile de stare ale modelului astfel
⎧P′
0(
t)
= −cµ
⋅ P0
( t)
+ λ ⋅ P1
( t)
⎪
P′
n ( t)
= −[
λ + ( c − n)
⋅ µ ] Pn
( t)
+ λ ⋅ Pn
+ 1(
t)
+ µ ⋅ ( c − n + 1)
Pn
−1(
t)
, 1≤
n ≤ c −1
⎨
⎪P′
c ( t)
= −λ
⋅ Pc
( t)
+ µ ⋅ Pc
−1(
t)
⎪
⎩ Pn ( t)
= 0 , n > c.
Rezolvarea pentru cazul staţionar
conduce la soluţia
1
p0
= ,
c 1
c!
⋅
n
( c − n)!
⋅ρ
iar
unde
∑
n=
0
c! 1 c−n
pn
= ⋅ p
p
n 0 = ρ , 1 ≤ n ≤ c,
( c − n)!
⋅ρ
!
c
( c − n)
)

228
Se poate determina stocul mediu
λ
ρ = .
µ
M[N(t)] = pc
∑
n=
c
0
c − n n
ρ .
n
Modele şi algoritmi de optimizare
Numărul mediu de ce reri pe unitatea de timp este λ, deci numărul mediu de
cereri pe intervalul
mediu de timp de avans, egal cu
µ ,
1 λ
va fi , iar numărul
µ
mediu de cereri satisfăcute pe intervalul de timp de avans este
M[R] = c−M[N(t)].
Stabilirea funcţiei obiectiv
Fie cv – preţul de vânzare al unei unităţi de stoc şi
1
h − costul de stocare pe intervalul de timp de avans mediu .
µ
unde
Profitul pe perioada T este
B(c) = M[R]·cv−h·M[N(t)] = c
E
v
c ⋅ Ec
( ρ)
− ρEc−1
( ρ)
⋅ c − ( h + v)
⋅
,
E ( ρ)
x
c n
−x
c ( x)
= ∑ ⋅ e .
n=
0 n!
c fiind o variabilă întreagă, condiţia B’(c) = 0, revine la
B(c+1)−B(c) = 0,
adică
h ⎡ Ec
( ρ)
Ec−1
( ρ)
⎤
= ρ ⋅ ⎢ − ⎥ .
h + cv
⎣ Ec+
1( ρ)
Ec
( ρ)
⎦
Dându-se h, c, c v,
ultima relaţie permite determinarea
stocului optim
obţinerea unui profit maxim.
c
pentru
B. Cererea nesatisfăcută se păstrează
Pot exista cel mult m cereri nesatisfăcute şi atunci numărul de unităţi din stoc
satisface relaţia −m≤ n ≤ c.
Analogia cu modelul de aşteptare
Exp( µ
)/Exp( λ)/
c : ( m,
FIFO)

9. Elemente de teoria stocurilor 229
Formularea problemei. Să se determine nivelul optim al stocului c în funcţie de
ρ, L, costul unitar de stocare h şi costul unitar al lipsei de stoc d. În acest caz
N(t) reprezintă numărul de cereri înregistrate,
0 ≤ N(t) ≤ c+m.
În stoc vor exista j = c−N(t) unităţi.
Determinarea coeficienţilor λ n, µ n,
0 ≤ n ≤ c+m
Dacă există n cereri înregistrate, intensitatea cu care apare o nouă cerere este
λn = λ, 0 ≤ n ≤ c+m, λn = 0 pentru n > c+m.
Intensitatea satisfacerii cererilor µn se determină astfel.
Dacă există n cereri la un moment dat t, 1 ≤ n ≤ c, atunci ele se pot satisface
cu unităţile ce vor sosi în stoc cu intensitatea µ, deci
µn = n⋅µ , 1 ≤ n ≤ c.
Dacă c ≤ n ≤ c+m, nu pot sosi în stoc decât c unităţi ce au fost comandate,
care intră în stoc cu intensitatea µ, deci numai c din cele n cereri vor fi
satisfăcute, atunci
µ n = c⋅µ , c ≤ n ≤ c+m.
Deoarece numărul maxim de cereri ce se pot realiza
este c+m, rezultă că
µ n = 0, pentru n > c+m.
Astfel, ecuaţiile de stare ale modelului sunt
⎧P′
0 ( t)
= −λ
⋅ P0
( t)
+ µ ⋅ P1
( t)
⎪
P′
n ( t)
= −(
λ ⋅ + n ⋅ µ ) ⋅ Pn
( t)
+ λ ⋅ Pn
−1(
t)
+ µ ⋅ ( n + 1)
⋅ Pn
+ 1(
t)
1≤
n ≤ c
⎨
.
⎪P′
n ( t)
= −(
λ ⋅ + S ⋅ µ ) Pn
( t)
+ λ ⋅ Pn
−1
( t)
+ µ ⋅ S ⋅ Pn
+ 1(
t)
c ≤ n ≤ c + m
⎪
⎩P′
c+
m ( t)
= −c
⋅ µ ⋅ Pc
+ c ( t)
+ λ ⋅ Pc
+ m−1
( t).
λ
Soluţia pentru cazul staţionar în funcţie de ρ = este
µ
∑ + c m
n=
0
n ⎧ ρ
⎪ ⋅ p0
⎪
n!
n
⎪ ρ
⎨ ⋅ p n
⎪c!
⋅c
⎪
⎪
⎩0
pn = −c
Din p = 1 deducem
n
0
1≤
n ≤ c
c ≤ n ≤ c + m
n > c + m
∑ −
1
p0
=
m+
1
⎛ ρ ⎞
1 − ⎜ ⎟
c 1 n c
ρ ρ
+ ⋅
⎝ c ⎠
n=
0 n! c!
ρ
1 −
c
Se pot determina acum:
− numărul mediu de unităţi existente în stoc
(9.11)
(9.12)

230
M[N + c
(t)] = ∑ −
n= 0
Modele şi algoritmi de optimizare
( c n)
p ,
M[N − (t)] = ( c − n)
p .
Astfel, funcţia de cost care trebuie optimizată este
C(c)= M[N + (t)]·h− M[N − (t)]·d.
Notăm Q(
n)
= p − funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare discrete n.
Atunci
− numărul mediu de unităţi lipsă din stoc
n
∑
j=
0
j
c+
1
∑ + c m
n=
c+
1
C′
( c)
≈ C(
c + 1)
− C(
c)
= h ⋅∑
( c + 1 − n)
⋅ pn
− d ⋅ ∑ ( c + 1 − n)
⋅ p
c
S
n=
0
S + L
n
n
c+
1+
m
n=
c+
2
− h ⋅∑
( S − n)
⋅ pn
+ d ⋅ ∑ ( S − n)
⋅ p
n=
0
n=
S + 1
= h ⋅∑
( c + 1 − n − c + n)
⋅ pn
− d ⋅ ∑ ( c + 1 − n − c + n)
⋅ pn
−
n=
0
− d ⋅ ( c + 1 − c − m −1)
⋅ pc+
1+ m
n=
c+
1
= h ⋅ Q(
c)
− d ⋅ ( 1 − Q(
c)
).
d
Din condiţia de optim, C’(c)=0, se obţine Q(
c)
= .
d + h
Pentru a găsi o soluţie întreagă a acestei ecuaţii se poate folosi următorul algoritm.
Pas 0. Intrare m, d, h, ρ;
d
k : =
d + h
Pas 1. c:=c+1;
, c : = 0 ;
Calculează p0 conform cu (9.12) şi pn, 1 ≤ n ≤ c + m , conform cu (9.11);
Σ : = p 0 ; i : = 0;
c+
m
Pas 2. i:=i+1 ; Σ:= Σ+pi ;
dacă Σ

9. Elemente de teoria stocurilor 231
1. Din experienţa anilor trecuţi, universitatea are nevoie pentru consumurile curente
de 1200 de cutii de hârtie A4 pentru un an. Costul de lansare a unei comenzi de
reaprovizionare cu hârtie este de 150 000 lei, iar pentru depozitarea unei cutii
se
consideră că se cheltuiesc 35 000 lei pe un an. Să se stabilească un plan optim
de
aprovizionare cu hârtie A4, care să conducă universitatea
la cheltuieli minime. Se
consideră
că anul are 300 zile lucrătoare şi că nu se admite lipsa hârtiei în depozit.
R.
Pentru un an avem: aopt=101.42 cutii ≈ 101 cutii, costul total anual este de
3 549 647. 87, numărul de comenzi lansate într-un an este 12, Topt ≈ 25 zile.
2.
Firma care se ocupă cu semaforizarea intersecţiilor din Capitală are nevoie de
1 0 000 de becuri pe an. Costul de lansare a unei comenzi de reaprovizionare
este de
1 500 000 lei, costul a nual de păstrare a unui bec este de 3500 lei. Presupunând că
anul
are 300 zile lucrătoare şi că nu se admite lipsa becurilor din depozit, să se
determine:
a) cantitatea optimă de reaprovizionare
b) costul total anual al stocării
c) câte comenzi de reaprovizionare vor fi lansate anual.
R. a) Qopt=2927.7 ≈ 2928 , b) CT =10 246 950.77 ≈ 10 246 951 , c) N=3.42 ≈ 3 .
3. RomTelecom cumpără anual consumabile în valoare de 500 000 euro.
Costul
de lansare a unei comenzi de reaprovizionare este de 80 euro, iar costul
anual
de păstrare este de 20% din valoarea consumabilelor păstrate. Să se
determine:
a)
care este valoarea optimă a unei comenzi de reaprovizionare?
b)
de câte ori într-un an se lansează cereri de reaprovizionare?
c) care este costul total anual de lansare a comenzilor?
d) care este costul total anual de stocare?
R. a) Valoarea optimă a comenzii de reaprovizionare este 20 000 euro;
b) se
lansează într-un an 25 cereri de reaprovizionare; c) costul total anual de lansare a
comenzilor de reaprovizionare este de 2000 euro; d) costul total anual de stocare
este de 4000 euro.
4.
O firmă de reparaţii aparatură electronică are o componentă pentru care poate
aplica modelul cu lipsă de stoc. Cererea nuală este de 2000 unităţi, costul anual
unitar de păstrare este h=10 u.m. , costul de lansare a unei
comenzi de
reaprovizionare
este de s=25 u.m. , costul anual unitar al lipsei
de stoc este
d=30
u.m.. Se presupune că anul are 250 zile lucrătoare. Să se determine:
a) mărimea
optimă a comenzii de reaprovizionare
b) numărul maxim de unităţi lipsă din stoc pe perioada lipsei
de stoc.
c) nivelul maxim al stocului
d) ciclul optim de reaprovizionare

232
e) costul total anual
R. a) mărimea optimă a comenzii de reaprovizionare
Modele şi algoritmi de optimizare
a opt = 115
b) numărul maxim de unităţi lipsă din stoc pe perioada lipsei de stoc, S=29.
c) nivelul maxim al stocului Imax= aopt − S =86
d) ciclul optim de reaprovizionare, Topt=11.4 zile lucrătoare
e) Ch=322, Cs=435, Cd=110 şi atunci, costul total anual, CT=867 .
5.
O companie trebuie să asigure un produs chimic (soluţie) la fiecare 6 luni unui
client. Cum procesul de producţie durează două luni, producţia
trebuie începută
înaintea
formulării cererii de către client. Câţi litri trebuie produşi
ştiind că : preţul
de
vânzare este de 20 u. m. / litru, costul de producţie este de 15 u. m. / litru, lipsa
de
stoc este rezolvată prin cumpărarea soluţiei de la altă firmă cu 19 u. m. / litru,
surplusul se vinde cu 5 u. m. / litru. Din experienţa care există cererea se consideră
ca fiind N (1000,100). Care este planul de producţie optim ?
4
Rezolvare. c-=19-15=4, c+=15-5=10, P ( a ≤ aopt
) = = 0.
29 . Din tabela
4 + 10
repartiţiei normale standard
2
z x
1 −
2
P(
a ≤ z)
= ∫ e dx = 0.
29
2π
−∞
se ia z=0.55. Atunci aopt=µ-0.55σ=1000-0.55⋅100=0.945 litri. În acest caz, costul
de subestimare este mai mic decât cel de supraestimare şi atunci compania îşi
asumă
un risc mai mare de apariţie a lipsei de stoc. La valoarea aopt obţinută,
probabilitatea
de a avea surplus este 0.29, iar cea de a avea lipsă de stoc este 0.71 .
6. Folosind algoritmul general din §9.4. să se rezolve următoarea problemă :
Un
magazin de încălţăminte bărbătească vinde în medie la fiecare 3 luni 500
perechi
de pantofi negri. Făcând aprovizionarea în loturi de câte 500 perechi de
pantofi, magazinul obţine
de la producător cel mai mic preţ petru o pereche, 28
u.m. Costul de depozitare este 20% din preţul de achiziţie. Ştiind că o lansare de
comandă de aprovizionare este de 30 u.m. şi că producătorul
oferă şi alte reduceri
de
preţuri în funcţie de m ărimea comenzii, conform cu Tabelul 9.8, să se
stabilească mărimea
optimă a comenzii de reaprovizionare a magazinului şi să se
precizeze dacă este mai avantajoasă vechea politică de reaprovizionare.
Tabelul 9.8
Cantitate Preţ unitar
0 – 99 36
100 – 199 32
200-299 30
≥300 28

ANEXĂ
Noţiuni
generale de probabilităţi şi statistică
matematică
A.1. Câmp de
evenimente. Axioma lui Kolmogorov
A.1.1. Evenimente. Probabilităţi
Fie Ω o mulţime nevidă dată, K o familie de submulţimi ale lui Ω,
K ⊂ P (Ω). Elementele lui K le numim subevenimente.
Familia
K se numeşte câmp complet aditiv dacă sunt verificate următoarele axiome:
A1. (∀) X ∈ K , cX ∈ K (cX=Ω \ X)
U
α∈I
A2. X ∈K
α dacă Xα ∈ K , (∀) α∈ I , I familie de indici cel mult
numărabilă
( I – submulţime a lui N ).
A.1.2. Probabilitate
Funcţia de mulţime P : K → R se numeşte probabilitate dacă:
P1. (∀) X ∈ K , P(X) ≥ 0;
P2. (∀)I familie de indici cel mult numărabilă, este îndeplinită relaţia:
X ∈ K , ( ∀)
α ∈ I , X ∩ X = φ , α,
β ∈ I,
α ≠ β ⇒
P3. P(Ω) = 1.
α
⎛
⇒ P⎜
⎝
U
α∈I
X
α
⎞
⎟ =
⎠
∑
α∈I
P(
X
α
α
) ;
A.1.3. Câmp de probabilitate complet aditiv
Câmp de probabilitate complet aditiv este tripletul
numeşte evenimentul sigur şi φ – evenimentul imposibil.
P(Ω) = 1, P(φ ) = 0 .
β
{ , K , P}
Ω , iar Ω se

234
Fie { , K , P}
A.1.4. Probabilitate condiţionată
Modele şi algoritmi de optimizare
Ω un câmp de probabilitate complet aditiv, A, B∈ K cu
P (B)>0. Numim probabilitatea evenimentului A condiţionată de B şi notăm
P(
A ∩ B)
PB(A) sau P(A⏐B) raportul .
P(
B)
}
A.1.5. Evenimente independente
Fie { Ω , K , P un câmp de probabilitate complet aditiv şi A, B ∈ K .
Spunem că evenimentele A şi B sunt independente dacă se verifică relaţia:
P( A ∩ B)
= P(
A)
⋅ P(
B)
.
Dacă evenimentele A şi B sunt independente, atunci au loc relaţiile:
P(
cA ∩ B)
= P(
cA)
⋅ P(
B)
P(
A ∩ cB)
= P(
A)
⋅ P(
cB)
P( cA ∩ cB)
= P(
cA)
⋅ P(
cB).
Observaţie. Dacă A şi B sunt independente, atunci PB(A) = P(A).
Fie
{ , K , P}
A.2. Variabile aleatoare
Ω un câmp de probabilitate complet aditiv sau câmp de
probabilitate
şi X o funcţie, X : Ω → R. Aplicaţia X este variabilă aleatoare
da ω ∈Ω X ω > c ∈ , pentru (∀) c ∈ R. .
{ } K
că ( )
Proprietăţi
Teorema 1. Fie X o variabilă aleatoare şi b un număr finit. Atunci:
a) X + b
b) b⋅ X
c) X
d) X 2
1
e) , pentru X ≠ 0
X
sunt de asemenea variabile aleatoare.

Anexă 235
Teorema 2. Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare, atunci:
a) X − Y
b) X + Y
c)
X ⋅ Y
X
d) , pentru Y ≠ 0
Y
sunt variabile aleatoare.
A.2.1. Funcţia de repartiţie
Fie x ∈ R şi X o variabilă aleatoare. Not ăm F(x) = P( X ( ω)) < x ) (de fapt,
F ( x)
= P ω ∈R
X ω < x . Funcţia F se numeşte funcţ
ţie a
( { ( ) } ) ia de reparti
variabilei aleatoare X .
Exemplu. Dacă X este o variabilă aleatoare discretă (ia numai un număr finit sau o
infinitate numărabilă de valori), atunci
funcţia de repartiţie este suma
probabilităţilor
valorilor lui X (ω) situate la stânga lui x.
x 0 1 2 3 4
p 0.2 0.3 0.1 0.3 0.1
⎧0 x ≤ 0
⎪
⎪
0.
2
0 < x ≤1
⎪0.
2 + 0.
3
F(
x)
= ⎨
⎪0.
2 + 0.
3 + 0.
1
⎪0.
2 + 0.
3 + 0.
1 + 0.
3
⎪
⎩1
1<
x ≤ 2
2 < x ≤ 3
3 < x ≤ 4
4 < x
Deci, pentru variabila aleatoare discretă,
F ( x)
= P(
X < x)
= ∑ P(
X = xi
) .
x < x
Proprietăţi
Teorema 3. Fie X o variabilă aleatoare, F funcţia sa de repartiţie şi x1, x2 ∈ R.
Atunci:
a) P( x1 ≤ X < x 2 ) = F( x 2 ) − F( x1 ) ;
b) P( x1 < X < x2 ) = F( x2 ) − F( x1 ) − P( X = x1 ) ;
c) P( x1 < X < x2 ) = F( x2 ) − F( x1 ) − P(X = x1 ) + P(X = x2 ) ;
d) P( x1 ≤ X ≤ x2 ) = F( x2 ) − F( x1 ) + P(X = x2 ) .
Teorema
4. Fie X o variabilă aleatoare şi F funcţia sa de repartiţie. Atunci:
i

236
a) F( x 1 ) ≤ F( x 2 ) , x 1 < x 2 ;
b) lim F(
x)
= F(
+∞)
= 1;
lim F(
x)
= F(
−∞)
= 0 ;
x→∞
x→−∞
c) F( x − 0) = F( x ) (continuitate la stânga).
A.2.2. Densitate de repartiţie
Modele şi algoritmi de optimizare
Dacă există o funcţie nenegativă f( y ) astfel încât F ( x)
∫ f ( y)
dy ,
−∞
(∀)x∈R , atunci numim funcţia f densitate de repartiţie sau de probabilitate.
Proprietăţi
a)
f ( x ) ≥ 0 , (∀) x ∈ R ;
b) (∀) x1 , x2 ∈ R , P(x1
c) ∫ x .
∞
f ( x)
d =1
−∞
( ) I
2
≤ X < x ) = f ( x)
dx ;
2
∫
x
x1
A.2.3. Variabile aleatoare independente
în sensul Steinhaus−Kaç
Fie X α , I – familie oarecare de indici. Spunem că aceasta este o familie
α∈
independentă în sensul Steinhaus−Kaç dacă, (∀) J ⊂ I , J finită, avem:
⎛ −1
⎞
−1
P⎜I
X α ( −∞,
aα
) ⎟ = ∏ P(
X α ( −∞,
aα
) ) .
⎝ x∈J
⎠ α∈J
Fie { , K , P}
A.2.4. Valoare medie. Dispersie. Momente
= x
Ω un câmp de probabilitate şi X o variabilă aleatoare. Se
numeşte media variabilei aleatoare X valoarea M [ X ] = ∫ X ( ω)
dP . Dacă
Ω
variabila aleatoare este discretă, atu nci M [ X ] ai
P(
X = ai
) . Dacă variabila
= ∑
i∈I
aleatoare are densitatea de probabilitate f, atunci ∫ ∞
M [ X[
= xf ( x)
dx .
Proprietăţi
Fie
X , Y – variabile aleatoare, iar a, b – constante reale. Atunci:
−∞

Anexă 237
a) M[ a X + b] = aM[X] + b ;
b) M[ X + Y] = M[X] + M[Y] ;
c) M[ X ⋅ Y] = M[ X] ⋅ M[ Y] numai dacă X şi Y sunt independente.
Dispersia unei variabile aleatoare X este
[ ( [ ] ) ] [ ] ( [ ] ) 2
2
2
X − M X = M X M
2
D X ] M
−
[ = X .
Proprietăţi
Fie X , Y – variabile aleatoare independente, iar a, b – constante reale. Atunci:
) D[ a X + b] = a 2 a
D[X] ;
b)
D[ X + Y] = D[X] + D[Y] .
2
Abaterea
medie pătratică se defineşte ca fiind σ [ X ] = D [ X ] .
Momentul de ordinul r (r>1) al unei variabile aleatoare este
dacă X are densitatea de probabilitate f.
r
r
M r [ X ] = ∫ X ( ω ) dP(
ω)
= ∫ x f ( x)
dx
∞
−∞
A.3. Câteva repartiţii clasice
A.3.1. Repartiţia uniformă
O variabilă aleatoare X urmează repartiţia uniformă
pe intervalul [a,b] dacă
are densitatea de probabilitate
⎧ 1
⎪ dacã
x∈
[ a,b]
f ( x)
= ⎨b
− a
⎪⎩ 0 altfel .
Funcţia sa de repartiţie este
x
x − a
F(
x)
= ∫ ρ ( t)
dt = , ( ∀)
x∈[
a,
b ] .
b − a
a
Pentru variabila aleatoare uniformă X media şi dispersia sunt
1
2 1
2
M [ X ] = ( a + b)
, D [ X ] = ( b − a)
.
2
12
A.3.2. Repartiţii Markov

238
Modele şi algoritmi de optimizare
În modelele de aşteptare intervin repartiţia Poisson pentru modelarea sosirilor
în sistem şi repartiţia exponenţială pentru modelarea timpilor de servire. Cele două
repartiţii, prima discretă şi cea de-a doua continuă, sunt repartiţii
complementare.
Ambele sunt numite repartiţii
Markov.
Repartiţia
Poisson
O variabilă aleatoare discretă X urmăreşte repartiţia Poisson de parametru
λ
dacă n
λ −λ
P(
X = n)
= f ( n)
= e ,
n!
unde λ>0 , iar n=0, 1, 2, ... Pentru acest tip de variabilă aleatoare
M[X]= λ şi
2
D [X]= λ..
Repartiţia exponenţială
O variabilă aleatoare are repartiţia exponenţială dacă are densitatea de
probabilitate
iar funcţia de repartiţie este
Dacă Y a Exp(λ)
, atunci
f ( t)
=
e
−
λ λxt
, t ≥ 0,
λ > 0 ,
−λt
F(
t)
= 1 − e , t ≥ 0
1
M [ Y ] = , iar
λ
.
2
2 ⎛ 1 ⎞
D Y ] .
[ = ⎜ ⎟
⎝ λ ⎠
Repartiţia Erlang(λ,n)
Fie Y1, Y2,..., Yn , n variabile aleatoare repartizate Exp(λ) şi independente, iar
n
∑
X = Y . Variabila aleatoare X este repartizată
Erlang(λ,n) şi are densitatea de
i= 1
repartiţie
i
n
λ n−1
−λx
f ( x)
= x e ,
Γ(
n)
iar Γ este funcţia gama (funcţia lui Euler de speţa a II-a)
Γ
∞
a−1
−x
( a)
= ∫ x e dx
0
3
n
2 n
Dacă X a Erlang(λ)
atunci M [ X ] = , iar D [ X ] = . 2
λ
λ
A.3.3. Repartiţia normală unidimensională a lui Gauss
.

Anexă 239
O variabilă aleatoare
X urmează repartiţia normală dacă are densitatea de
probabilitate
1
f ( x)
= e
σ 2π
iar funcţia de repartiţie
2
( x−µ
)
−
2
2σ
( ∀)
x ∈(
− ∞,
∞)
2
x ( t−
µ )
−
2
2σ
∫ e
−∞
1
F(
x)
=
dt ,
σ 2π
2
unde M[X]=µ, iar D 2 [X]=σ . Când µ=0 şi σ=1 , variabila X se numeşte variabilă
aleatoare normală standard (sau redusă), iar pentru aceasta F(x) este tabelată.
A.3.4. Repartiţia Beta
O variabilă aleatoare X urmează repartiţia Beta de parametri a şi b dacă are
densitatea
de repartiţie
⎧ 1 −1
( ∀)
a−1
b
⎪ x ( 1 − x)
x ∈(
0,
1)
f ( x)
= ⎨ B(
a,
b)
,
⎪
⎩0
altfel
unde B(a,b) este funcţia beta (funcţia lui Euler de speţa I)
Γ(
a)
Γ(
b)
B ( a,
b)
= , a > 0 , b > 0 .
Γ(
a + b)
Pentru o variabilă aleatoare de acest tip,
Fie { , K , P}
a
M[
X ] = şi
a + b
2 ⎛ a ⎞ 1
D [ X ] = ⎜ ⎟ .
⎝ a + b ⎠ a + b + 1
A.4. Procese aleatoare
Ω un câmp de probabilitate şi
E = { X : Ω → R X variabilã
aleatoare}
,
T o mulţime oarecare de numere reale. Se numeşte proces aleatoriu sau proces
stochastic cu mulţimea de parametri T o aplicaţie ξ : T → E .
Considerăm că variabilele din E descriu starea unui anumit sistem, iar
mulţimea T reprezintă timpul. Astfel, un proces aleatoriu reflectă evoluţia în timp a
unui real sistem dat. Dacă mulţimea T este finită, procesul aleatoriu este echivalent
cu un vector aleatoriu. Frecvent T=R, T=[0, ∞) sau T=[0, 1] şi se spune că
procesul aleatoriu este cu timp continuu. Dacă T=Z sau T=N termenul de
proces aleator se înlocuieşte cu cel de lanţ.
2
,

240
Modele şi algoritmi de optimizare
După cum o variabilă aleatoare se consideră determinată din punct de vedere
probabilistic atunci când i se cunoaşte funcţia de repartiţie, pentru definirea unui
proces aleatoriu ar trebui
cunoscute toate funcţiile de repartiţie finit dimensionale,
adică ( ∀ ) n∈ N , ( ∀ ) t1 , t 2 , ... , tn
∈T
şi ( ∀ ) x1, x2
, ... , xn ∈ R trebuie
să fie
cunoscute probabilităţile
x , x , ..., x ) = P ω ξ ( ω)
< x , ξ ( ω)
< x ,..., ξ ( ω)
< x .
( { } )
Ft1 , t2
,..., t ( n 1 2 n
t1
1 t2
2 tn
În cele ce urmează vom presupune că intervalul de interes
este în timp.
Un proces aleatoriu ξ se numeşte proces Markov dacă pentru ∀ n∈
,
( ∀ ) t1, t 2 , ... , tn
∈T
, t < t2
< ... < t n
1 şi ( ) ∈R
∀ a are loc relaţia
n
( ) N
P ({ ξ ( t) ∈ B ξ ( t1),
ξ ( t 2 ),..., ξ ( t n )}) = P({
ξ ( t)
∈ B ξ ( tn
) }) ,
unde
B = ( − ∞,
a)
, sau ( − ∞,
a]
, sau ( a,
−∞)
, sau [ a,
−∞)
. .
Din această definiţie rezultă că procesul dinamic descris de procesul Markov
are o evoluţie în viitor care depinde numai de starea precedentă şi nu de ceea ce s-a
petrecut cu el la momentele t 1 , t2
, ..., tn
−1
.
Un proces aleatoriu ξ : [ 0,
∞)
→ E se numeşte
cu creşteri independente dacă
pentru ( ∀ ) n∈ N şi ( ∀) t 1,
t2
, ... , t n ≥ 0 cu proprietatea că t 1 < t2
< ... < t n ,
variabilele aleatoare ξ ( t1)
, ξ ( t 2 ) − ξ ( t1)
, ξ ( t3 ) − ξ ( t2
) ,..., ξ ( t n ) − ξ ( tn
−1)
sunt
independente.
Un proces aleatoriu cu creşteri independente şi satisfăcând condiţia ξ(0)=0 se
numeşte proces Poisson dacă ia numai valori întregi nenegative şi dacă pe orice
interval [s,t] , creşterile sale urmează repartiţii Poisson de parametru λ ( t − s)
, adică
( ξ t)
− ξ ( s)
= n)
[ λ(
t − s]
n
( =
−λ
( t−
s)
,
*
n∈
N
( ∀)
P
e
.
n!
Se poate considera că ξ (t)
înregistrează numărul de apariţii ale unui
eveniment în intervalul de timp [0, t] .
2
Media şi dispersia procesului Poisson sunt M[ ξ ( t)]
= λt
, D [ ξ ( t)]
= λt
.
Într-un proces Poisson probabilitatea apariţiei unui eveniment este constantă şi
apariţia unui eveniment este independentă de ceea ce s-a întâmplat
imediat înaintea
observaţiei curente. Pot fi considerate procese Poisson: numărul erorilor de tipar
dintr-o carte, ziar etc., numărul pieselor defecte dintr-un lot de fabricaţie, vânzările
unui produs etc. Repartiţia probabilităţii Poisson
aplicată procesului Poisson dă
probabilitatea numărului de evenimente pe un interval, [0, t] , date fiind:
a) numărul mediu de evenimente pe unitatea de timp, λ=rata sau intensitatea
procesului,
b) lungimea intervalului, t .
Atunci, probabilitatea apariţiei a n evenimente în intervalul [0, t] este
−λt
n
e ( tλ)
P(
X = n λ,
t)
= .
n!

Anexă 241
Notăm m = λt
şi atunci m este numărul de evenimente care s-ar produce în
intervalul [ 0 , t]
.
Într-un proces Poisson este interesant de cunoscut intervalul de timp dintre
două evenimente succesive. Vrem să ştim care este repartiţia de probabilitate
pentru aceste intervale. Aceasta este repartiţia exponenţială.
−m
Pentru m de mai sus P(
Y > t)
= e reprezintă probabilitatea ca timpul
dintre
două evenimente să fie mai mare ca t este e ba litatea ca să nu apară
ici un eveniment în intervalul [0,t] . Astfel, repartiţia Poisson pentru evenimentele
petrecute pe unitatea de timp şi repartiţia exponenţială a intervalului dintre două
astfel de evenimente sunt două modalităţi alternative de a descrie acelaşi lucru. Se
poate spune că numărul de evenimente pe unitatea de timp este repartizat Poisson
cu media λ pe unitatea de timp, sau că intervalul dintre două evenimente este
exponenţial cu media
-m , adică pro bi
n
1
µ = unităţi de timp.
λ
A.5. Teste de concordanţă
În practică apare necesitatea comparării a două procese tehnologice diferite, a
două metode de cercetare diferite etc. Este necesar să se cunoască dacă metodele
comparate dau rezultate identice, iar dacă nu, care este mai eficace.
În statistică o diferenţă
semnificativă este aceea care nu poate fi pusă pe seama
întâmplării la un anumit nivel de probabilitate sau de încredere. De exemplu, cu cât
este mai mică diferenţa dintre do uă medii, cu atât este mai mare probabilitatea ca
ele să aparţină unei selecţii extrase din aceeaşi colectivitate de bază.
Se numeşte ipoteză statistică orice presupunere cu privire la caracteristicile
unei variabile aleatoare, faţă de legea ei de repartitie sau faţă
de parametrii ce o
determină (Mihăilă şi Popescu,
1978).
Mijloacele de verificare a ipotezelor statistice se numesc teste statistice. Când
ipoteza se referă la natura repartiţiei, de exemplu afirmaţia că „o variabilă empirică
are o anumită repartiţie teoretică”, testul se numeşte test de concordanţă.
Afirmaţia H0 : „o variabilă empirică are o anumită repartiţie teoretică” este
numită ipoteza H0 , iar ipoteza alternativă: H1 : „variabila empirică poate avea
oricare altă repartiţie”.
Testul pentru verificarea ipotezei nule dă o regulă de descompunere a spaţiului
n n
R1 , R0 n-dimensional al selecţiilor R n (n este volumul selecţiei) în două regiuni
n
n
n
cu R1 R0
şi astfel încât da valorile observate
∈ se acceptă ipoteza H0 , iar dacă se
∪ = R φ =
n
∩ n
R1 R0
, că
(
X 1 , X 2 ,..., X
n
) R1
( X 1 , X 2 ,..., X
n
) ∈ R0
n
n

242
Modele şi algoritmi de optimizare
n
respinge ipoteza H0 . R0 se numeşte domeniul critic sau regiunea critică a
testului.
Probabilităţile
P R H ) P(
resping H când H este
n
α = =
adevărată)
β =
( 0 0
0
0
P n
( R1
H1)
= P(
accept H 0 când H 0 este falsã)
se numesc riscul de genul întâi şi respectiv riscul de genul al doilea. α se mai
numeşte şi prag de semnificaţie şi de obicei se ia α=0.05 .
A.5.1. Etapele verificării ipotezelor statistice
1. Enunţarea ipotezei;
2.
Se specifică α şi β . Pe baza acestora se va determina numărul de observaţii
care
trebuie făcute pentru a calcula statistica aleasă;
3.
Se determină care valori ale unei anumite statistici, valori ce formează regiunea
critică,
determină respingerea ipotezei şi care determină acceptarea ipotezei;
4. Se calculează valoarea statisticii de selecţie;
5. Se acceptă sau nu ipoteza, după cum valoarea obţinută pentru statistică este în
afara sau în interiorul regiunii critice.
Concordanţa dintre repartiţia empirică şi cea teoretică se stabileşte cu ajutorul
unui test de concordanţă.
Se pune problema racordării unei variabile empirice X la o variabilă teoretică X,
, , ⎟ e
⎛ x x L x n
1 2
n ⎞
⎛ x ⎞
X e = ⎜
⎟ ∑ N i = N X = ⎜ ,
⎝ N1
N 2 L N n ⎠ i=1
⎝ ρ(x)
⎠
adică se cercetează dacă şirul numeric al frecvenţelor absolute empirice Ni reflectă
legitatea ipotetică a variabilei aleatoare teoretice. Răspunsul respectiv este util în
aprecierea caracteristicilor variabilei empirice prin prisma legităţii variabilei
teoretice.
Rezolvarea acestei probleme se face în următoarele etape :
1. Estimarea parametrilor ţinând seama de semnificaţia pe care ar putea să o aibă în
legătură cu caracteristicile repartiţiei teoretice;
2. Se construieşte variabila pseudoteoretică:
⎛ x x L x n
~ 1 2
n ⎞
X = ⎜
⎟ ,
⎝ ′ ′ ′ ∑ N ′ i = N
N1
N 2 L N n ⎠ i=1
făcându-se astfel legătura între variabila empirică X e şi cea teoretică X.
Determinarea frecvenţelor absolute N ′ i , ( ∀)
i = 1,
n se face cu ajutorul funcţiei
N ′ i
de probabilitate f ( xi
) = ⇒ N ′ i = Nf ( xi
) , ( ∀)
i = 1,
n .
N

Anexă 243
3. Verificarea concordanţei dintre repartiţia empirică şi cea teoretică, adică se
stabileşte dacă diferenţele dintre
N i − N ′ i , ( ∀)
i = 1,
n , sunt datorate întâmplării,
adică
nu sunt semnificative, sau diferenţele sunt semnificative şi atunci există o
neconcordanţă
între repartiţia teoretică şi cea empirică.
2
A.5.2. Testul de co ncordanţă χ
Acest test este datorat lui K. Pearson care a arătat că, în cazul unui sondaj
nonexhaustiv în populaţia chestionată, când probabilităţile p i nu sunt aproape de 0
sau 1, iar produsele N ′ i = Npi
, unde = f ( x ) , ( ∀)
i = 1,
n , calculate după
pi i
estimarea parametrilor, nu sunt prea mici ( N > 5 ), atunci
′i
χ
2
c
=
( − ′ ) N N
n
2
i i
∑
i= 1 N ′ i
2
are repartiţia χ ν cu ν = n −1
− k , n fiind numărul de valori observate, iar k ,
num ărul parametrilor estimaţi (Văduva, 1977).
Observaţie.
Numărul gradelor de libertate este strâns legat de cantitatea de informaţie
de care se dispune în cercetarea care se efectuează. Ea se reflectă în volumul n, de
date experimentale, n-1 informaţii sunt independente, deoarece ∑ N i = N
n
i=1
mai pierde informaţie pentru determinarea celor k parametri estimaţi.
Pentru ν < 30 şi α da i se determină
2
din tabela repartiţiei
χ > n−1−
k , α =
P ) şi dacă
2 2
( ( χ ) α
2 2
χ c χ n−1−
k , α
ţ χ n−1− k , α
2 2
χ c χ n−1−
k , α
, şi se
2
χ ,
< , atunci există concordanţă, iar dacă
≥ nu există concordanţă între cele două repartiţii.
A.5.3. Testul Kolmogorov
Acest test de concordanţă are la bază următoarea teoremă:
Teorema lui Kolmogorov (Văduva, 1977). Fie X o variabilă aleatoare a cărei
funcţie de repartiţie F(x) este continuă şi X1, X 2, ..., X n o selecţie efectuată asupra
sa. Fie Fn(x) funcţia de repartiţie empirică (sau de selecţie) asociată selecţiei
num rul
date,
adică Fn x
valorilor
n
lui X i x ≤
ã
( ) =
. Atunci
⎛
lim P⎜
max Fn
( x)
− F(
x)
<
n←∞
⎜
⎝
∞ u ⎞
2 2
k −2u
k
⎟ = ∑ ( −1)
e = K(
u)
.
n ⎠ −∞

244
Modele şi algoritmi de optimizare
Funcţia K(u) se numeşte funcţia lui Kolmogorov şi există tabele cu cuantilele ei.
Algoritm pentru aplicarea testului Kolmogorov (Văduva, 1977)
Pa s 1. Se formulează ipoteza H0: „Variabila aleatoare X are funcţia de repartiţie
F(x)”;
Pas 2. Se fixează un prag de semnificaţie α (de exemplu, α=0.05 , α=0.01 ,
α= 0.025);
Pas 3. Se determină u , din tabelele funcţiei K(u) , astfel K (u ) =1 α ;
α α −
Pas 4. Se ordonează crescător X ( 1)
≤ X ( 2)
≤ ... X ( n)
;
Pas 5. Se calculează
Pas 6. Se determină d = max d i ;
Pas 7. Dacă
( ∀)
i = 1,
n
d i = Fn
( X ( i)
) − F(
X i ) , ;
1≥i≤
n
uα
d < , se acceptă ipoteza H0 , altfel se respinge. Stop!
n

BIBLIOGRAFIE
Anderson, D. R. , Sweeney, D. J., Williams, Th. A. An Introduction to
Management Science. Quantitative Approaches to Decision Making, ediţia a
7−a. West Publishing Company, 1997.
Anderson, D. R. , Sweeney, D. J. , Williams,
Th. A., Joseph, D. A. The
Management Scientist, ediţia a 7−a. West Publishing Company, 1998.
Bergounioux, M. Optimization et Co ntrôle des systèmes
linéaires. Ed. Dunod,
2001.
Bonini, C. P. , Hausman, W. H., Bierman, H. Jr. Quantitative Analysis for
Management, ediţia a 9−a. Irwin McGraw−Hill, 1997.
Cohen, G. Convexite et optimisation, ENPC, Paris,
2000
Cohen, V. La Recherche Opérationnelle.
Presses Universitaires de France, 1995.
Dragomirescu,
M., Maliţa, M. Programare pătratică. Editura Ştiinţifică,
Bucureşti,
1968.
Fletcher, R. Practical Methods of Optimization,
vol. 1 – Unconstrained
Optimization şi vol. 2 – Constrained Optimization.
John Wiley & Sons, 1981.
Fuente, Angel de la. Mathematical Methods
and Models for Economists,
Cambridge University Press, 2000.
Henry-Labordere, A. Recherche Operationnelle. Presses de l’École Nationale des
Ponts et Chaussées, 1995.
Hsiao, J. C., Cleaver, D.S. Management Science.
Houghton Mifflin Company,
1982.
Io nescu, H., Dinescu, C., Săvulescu, B. Probleme
ale cercetării operaţionale.
Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1972.
K aufmann, A. Metode şi modele ale cercetării
operaţionale, vol. I, II. Editura
Ştiinţifică, Bucureşti, 1967.
Lee, A. M. Teoria aşteptării cu aplicaţii. Editura
Tehnică, Bucureşti , 1976.
Lange, O. Decizii optimale − Bazele programării.
Editura Ştiinţifică, Bucureşti,
1970.
Luenberger, D. G. Linear and Nonlinear Programming.
Addison−Wesley, 1989.
Maliţa, M., Zidăroiu, C. Matematica
organizării. Editura Tehnică, Bucureşti,
1971.
Mihăilă, N., Popescu, O. Matematici speciale
aplicate în economie, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.
Popescu, O şi colectiv. Matematici aplicate în economie, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1997.
Popescu, O şi colectiv. Matematici a plicate în economie Culegere de probleme,
Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,
1996.
Preda, V şi Bad, M. Culegere de probleme
de Cercetări Operaţionale, Tipografia
Universităţii din Bucureşti, 1978.

246
Modele şi algoritmi de optimizare
Turban, E., Meredith, J. R. Fundamentals of Management Science, Ediţia a 4−a.
Irwin, 1998.
Ştefănescu, A. Curs de Cercetări Operaţionale, Tipografia Universităţii din
Bucureşti, 1989.
Văduva, I. Modele de simulare cu calculatorul.
Editura Tehnică, Bucureşti, 1977.
Vă duva, I., Dinescu, C., Săvulescu, B. Modele
matematice ale organizării şi
conducerii producţiei, vol. I, II. Editura Didactică
şi Pedagogică, Bucureşti,
1974.
Vrănceanu, Gh. Gh., Mititelu, Şt. Probleme de cercetare
operaţională. Editura
Tehnică, Bucureşti , 1983.
Zidăroiu, C. Programare dinamică discretă. Editura
Tehnică, Bucureşti , 1975.
Zi dăroiu, C. Programare liniară. Editura Tehnică,
Bucureşti
, 1983.

abaterea medie pătratică ........................... 235
algoritmul
de transport .......................................... 104
Dijkstra .................................................. 25
Kruskal .................................................. 21
lui Prim .................................................. 23
simplex .................................................. 61
simplex dual........................................... 88
simplex revizuit ..................................... 63
Wolfe................................................... 125
alternativă ................................................... 13
analiza
convergenţei
globale .............................................. 16
locale................................................. 16
marginală
............................................. 215
prospectivă...... ..................................... 142
retrospectivă..... .................................... 142
sensibilităţii............................................
68
arbore..........................................................
20
de acoperire de lungime minimă............ 20
arborescenţă...............................................
18
arc
al grafului............................................... 17
incident .................................................. 18
bază
dual admisibilă....................................... 83
primal admisibilă ................................... 83
Bellman, principiul.....................
15, 141, 150
Bland, regula lui ......................................... 72
câmp
complet aditiv................................... 231
capacitatea
sistemului de aşteptare ........... 159
câştigul
parţial................................................... 143
total...................................................... 143
celulă ........................................................ 102
cerere ........................................................ 192
ciclare
......................................................... 71
ciclu
.......................................................... 102
de reaprovizionare ............................... 194
eulerian .................................................. 20
hamiltonian ............................................ 20
ciclu
într-un graf......................................... 20
circuit.......................................................... 18
eulerian .................................................. 20
hamiltonian ............................................ 20
clienţi
........................................................ 159
INDEX ALFABETIC coeficienţi
de cost redus...................................59, 106
coeficienţii funcţiei obiectiv .................62, 93
condiţia de balansare...................................52
condiţiile
de nenegativitate ....................................50
Kuhn-Tucker..................................49, 125
conul
direcţiilor admisibile ..............................48
tangent....................................................48
costul
de
depozitare.............................................193
lansare ..........................................193, 197
stocare ..................................................197
costul
lipsei de stoc...........................193, 203
costul total.................................................198
costul unitar
al subestimării.......................................220
al supraestimării...................................220
de fabricaţie..........................................208
de transport ............................................53
costuri reduse..............................................67
criteriu
de
ieşire din bază ..........................61, 90, 107
intrare în bază...........................61, 90, 106
cuantila
inferioară .....................................218
cuplu
de probleme duale .............................82
asimetrice...............................................83
simetrice.................................................83
degenerare...................................................72
densitate de repartiţie................................234
diagrama
activităţilor ..................................30
direcţie
admisibilă.......................................48
disciplina de serviciu ................................160
dispersia variabilei aleatoare.....................235
domeniul de admisibilitate........................142
drum............................................................17
critic .......................................................30
eulerian
..................................................20
hamiltonian ............................................20
ecuaţiile
de recurenţă..........................................146
Kolmogorov−Feller..............................161 ecuaţiilor de stare......................................180
evenimentul
imposibil
..............................................231
sigur .....................................................231

248
factor
de serviciu ...................................... 164
FIFO
......................................................... 159
fluxul intrărilor în sistemul de aşteptare ... 159
formă
pătratică
negativ definită .................................... 122
negativ semidefinită............................. 122
pozitiv definită..................................... 122
pozitiv semidefinită ............................. 122
funcţia lui Kolmogorov ............................ 242
funcţie
beta ...................................................... 237
convexă.................................................. 43
de repartiţie.......................................... 233
decompozabilă
prospectiv........................................ 143
retrospectiv ..................................... 143
gama .................................................... 236
obiectiv .................................................. 14
pozitiv semidefinită ............................... 43
strict concavă ......................................... 44
strict convexă......................................... 43
grad
exterior................................................... 18
interior ................................................... 18
graf
complet .................................................. 19
neorientat ............................................... 19
orientat................................................... 17
parţial..................................................... 18
ponderat ................................................. 19
simetric .................................................. 19
simplu conex.......................................... 20
tare conex............................................... 18
indice de lipsă de stoc............................... 205
înfăşurătoarea convexă ............................... 42
intensitate de trafic ................................... 164
intensitatea de trafic.................................. 175
intensitatea optimă de încărcare a stocului223
intensitatea procesului .............................. 238
intensităţi de deces.................................... 161
intensităţi de natalitate.............................. 161
intervalul de control.................................. 195
inventar ..................................................... 193
ipoteză
alternativă ............................................ 239
statistică ............................................... 239
lagrangean .................................................. 46
lanţ.............................................................. 19
eulerian .................................................. 20
hamiltonian ............................................ 20
lege de evoluţie......................................... 142
lema
Farkas-Minkowski ................................. 48
substituţiei.............................................. 87
lot de reaprovizionare ............................... 194
Modele şi algoritmi de optimizare
lungimea cozii...........................................159
lungimea
maximă a cozii ..........................160
lungimea
medie a cozii .............163, 170, 175
mărimea
optimă a comenzii de
reaprovizionare ....................................199
marja ...... .....................................................32
matrice
triunghiulară..................................102
maxim
global .....................................................45
local.... ....................................................45
mecanismul
reaprovizionării....................................194
serviciului.............................................159
media variabilei aleatoare .........................234
metoda
celor două faze .......................................76
colţului nord-vest .................................107
costului minim .....................................108
PERT......................................................29
model ....................................................11, 12
de aşteptare ....................................15, 159
de stocare ...............................................15
modelare......................................................11
modele de
simulare................................................183
modele de stocare
cu cerere
continuă...........................................195
discretă ............................................195
cu mai multe staţii................................195
cu staţie ................................................195
deterministe..........................................195
dinamice...............................................195
statice ...................................................195
stochastice............................................195
momentul lansării comenzii......................195
muchiile grafului.........................................19
mulţime convexă.........................................42
multiplicatorii
lui Lagrange ...........................................48
simplex.................................................104
nivel de reaprovizionare............................195
nivelul mediu al stocului...........................199
nod
ascendent................................................18
descendent..............................................18
precedent................................................18
succesor..................................................18
nodurile grafului .........................................17
numărul de clienţi din sistem ....................159
numărul de staţii de serviciu .....................160
numărul mediu al clienţilor de la coadă ....165
numărul mediu de clienţi de la coadă........181
numărul mediu de clienţi din sistem 162, 165,
.....................................................169, 181

Index alfabetic 249
numărul mediu de clienţi serviţi la un
moment dat .......................................... 169
numărul mediu de servicii ........................ 176
numărul mediu de staţii de servire care
lenevesc ............................................... 177
numărul mediu de staţii în lucru ............... 181
numărul mediu de staţii neocupate ........... 163
obiectiv....................................................... 13
optimizare............................................. 13, 14
pivot............................................................ 62
poligonul soluţiilor.................................... 74
politică ...................................................... 141
de reaprovizionare ............................... 195
optimă.................................................. 144
pondere ....................................................... 20
ponderea arcelor ......................................... 19
prag de semnificaţie.................................. 240
preţ dual...................................................... 68
preţ umbră ................................................... 91
probabilitate.............................................. 231
problemă
de decizii.............................................. 142
cu orizont finit................................. 141
cu orizont infinit ............................. 141
de programare
convexă............................................. 44
liniară................................................ 15
pătratică .................................... 15, 124
forma canonică........................... 124
forma standard ........................... 126
duală ...................................................... 81
nedegenerată .......................................... 72
primală................................................... 81
probleme de stoc
aprovizionare ....................................... 192
producţie............................................... 193
proces
aleatoriu ............................................... 237
cu creşteri independente ...................... 238
Markov ................................................ 238
Poisson................................................. 238
stochastic ...................... v. proces aleatoriu
proces de naştere şi deces ......................... 160
program
de bază................................................... 57
de transport ............................................ 52
degenerat................................................ 71
optim...................................................... 57
program liniar ............................................. 51
forma canonică ....................................... 55
forma standard ....................................... 55
programare........................... 14, v. optimizare
cu restricţii ............................................. 14
dinamică ................................................ 15
fară restricţii........................................... 14
punct admisibil............................................15
punct de extrem...........................................43
punct regulat ...............................................47
rata
cererii ...................................................193
ieşirilor.................................................193
intrărilor ...............................................193
regiunea admisibilă.....................................15
regiunea critică a testului ..........................240
regula dreptunghiului..................................62
repartiţia
Beta................................................34, 237
Erlang...........................................218, 236
exponenţială .................................164, 236
normală ................................................237
Poisson.................................................236
uniformă...............................................235
repartiţii Markov.......................................236
restricţie
activă......................................................46
inactivă...................................................46
restricţii.......................................................13
riscul de genul
al doilea................................................240
întâi ......................................................240
rotunjirea rezultatelor................................202
simulare probabilistă.................................184
soluţie
admisibilă.........................................15, 56
de bază ...................................................56
degenerată ..............................................56
globală....................................................45
locală......................................................45
nedegenerată ..........................................56
optimă ..............................................15, 57
starea
finală ....................................................142
iniţială ..................................................142
staţie de servire ..........................................159
stoc....................................................192, 193
stoc intangibil....................................197, 215
subgraf ........................................................18
tabel simplex...............................................62
teoria
aşteptării ..............................................159
grafurilor................................................15
test de concordanţă ...................................239
testul
2
χP
P ........................................................241
lui Kolmogorov....................................242
timpul de
aşteptare ...............................................159

250
avans.................................................... 195
neocupare a staţiilor............................. 159
timpul mediu de
aşteptare în sistem 163, 165, 170, 177, 182
aşteptare la coadă 163, 165, 170, 177, 182
lenevire ................................................ 163
servire .................................................. 163
topologia sistemului de servire................... 159
traiectoria optimă...................................... 144
vârf
adiacent.................................................. 18
al grafului............................................... 19
Modele şi algoritmi de optimizare
variabilă
aleatoare...............................................232
normală standard .............................237
artificială ................................................76
ecart........................................................56
variabile
de decizie ...............................................12
externe....................................................12
intermediare ...........................................13
vector de
decizie ..................................................141
stare......................................................141

250
avans.................................................... 195
neocupare a staţiilor............................. 159
timpul mediu de
aşteptare în sistem 163, 165, 170, 177, 182
aşteptare la coadă 163, 165, 170, 177, 182
lenevire ................................................ 163
servire .................................................. 163
topologia sistemului de servire................... 159
traiectoria optimă...................................... 144
vârf
adiacent.................................................. 18
al grafului............................................... 19
Modele şi algoritmi de optimizare
variabilă
aleatoare...............................................232
normală standard .............................237
artificială ................................................76
ecart........................................................56
variabile
de decizie ...............................................12
externe....................................................12
intermediare ...........................................13
vector de
decizie ..................................................141
stare......................................................141