MODELE SI ALGORITMI DE OPTIMIZARE

182
Modele şi algoritmi de optimizare
Determinarea ecuaţiilor de stare
Notăm En evenimentul care constă în prezenţa a n autobasculante la
balastieră, iar pn( t ) probabilitatea producerii evenimentului En la momentul t .
Dacă n ≤ c , nu există coadă de aşteptare.
Dacă n> c , se formează coadă de aşteptare.
Fie Pn( t + ∆t ) probabilitatea ca la momentul t + ∆t să fie n autobasculante
la balastieră. La intervalul de timp t + ∆t pot avea loc următoarele situaţii:
1) sistemul este în starea En , nu vine şi nu pleacă nici o autobasculantă.
Probabilitatea corespunzătoare
este:
1 − nµ ∆t
+ O ( ∆t)
1 − ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
,
( )( )
dacă 1 ≤ n < c , sau
1 − cµ ∆t + O ( ∆t)
1 − ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
,
( )( )
dacă n ≥ c .
2) sistemul se află în starea En+1 , nu are loc nici o venire,
dar are loc o plecare
în
intervalul de timp ( t , t + ∆t ). Probabilitatea
corespunzătoare
este
( n + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t)
⋅ 1 − ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
= ( n + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t
,
[ ] [ ] )
dacă 1 ≤ n < c , sau
1 − ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
⋅ cµ
∆t
+ O ( ∆t)
= cµ
∆t
+ O ( ∆t
,
[ ] [ ] )
dacă
n ≥ c .
3) sistemul se află în starea En− 1 şi au loc o venire şi nici o plecare în intervalul de
timp ( t , t + ∆t ). Probabilitatea corespunzătoare este:
[ ( m − n + 1)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
] ⋅ [ 1 − ( m − n)
µ ∆t
+ O ( ∆t)
]=
= ( m − n + 1)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
,
dacă 1 ≤ n < c , sau
( m − n + 1)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
⋅ 1 − cµ
∆t
+ O ( ∆t)
= ( m − n + 1 λ ∆t
+ O ( ∆t)
,
[ ] [ ] )
dacă
n ≥ c .
Aşadar,
a) pentru n < c , avem:
( t + ∆t)
= 1 − nµ
+ ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
p
{ [ ] } (
[ ( n + 1)
µ ∆t
+ O ( ∆t)
] pn+
1(
t)
+
[ ( m − n + 1) λ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
pn n
+
+
n−1
b) pentru n ≥ c , avem
( t + ∆t)
= 1 − cµ
+ ( m − n)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
p ( t)
+
t)
+
{ [ ] }
[ µ ∆t
+ O ∆t)
] p ( t)
+ [ ( m − n + 1)
λ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
pn n
+ c ( n+ 1
n−1
c) pentru n = 0 , avem
p ( t + ∆t)
= 1 − λ
∆t
+ O ( ∆t)
p
0
+
=
[ ] 0 ( t)
+
[ 1 − λ ∆t
+ O ( ∆t)
]( µ ∆t
+ O ( ∆t)
) p1(
t)
[ 1 − mλ
∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
+ [ µ ∆t
+ O ( ∆t)
] p ( t)
0
1