CD AB = BA AB - Matematica pe Net

VECTORI LIBERI. SEGMENTE ORIENTATE. OPERATII. PROPRIETATI.
AB =segment orientat (vector legat), A-originea vectorului (punct de aplicatie in fizica), B- extremitatea vectorului; dreapta suport a
segmentului AB se numeste directia vectorului, sensul de parcurs al dreptei dinspre A spre B se numeste sensul vectorului, lungimea
segmentului determinat de punctele A, B se numeste lungimea (modulul, norma) vectorului.
Orice vector legat este bine determinat (in sensul existentei si unicitaii sale) prin:
precizarea originii si extremitatii;
precizarea originii si a directiei, sensului si marimii;
precizarea extremtatii, directiei, sensului si marimii.
O directie este multimea tuturor dreptelor paralele cu dreapta data. In raport cu o directie data putem distinge doua sensuri, numite opuse.
Doi vectori legati se numesc echipolenti daca au aceeasi directie,acelasi sens si acelasi modul
v = vector liber (vector); reprezinta multimea tuturor vectorilor cu aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul cu un segment orientat
dat; orice segment orientat apartinand multimii v se numeste reprezentant al vectorului v .
Vectorii u, v se numesc egali si scriem u = v daca au aceeasi directie, sens si modul. Extindem notatia si la vectori legati, prin
AB = CD intelegand ca cele doua segmente orientate sunt reprezentanti ai aceluiasi vector liber.
Doi vectori au aceeasi directie daca dreptele suport ale reprezentantilor lor sunt drepte paralele sau confundate.
Spunem ca doi vectori sunt paraleli daca au aceeasi directie.
Compararea a doi vectori din punct de vedere al sensurilor lor se face numai cand vectorii au aceeasi directie, caz in care doi vectori pot
avea acelasi sens sau sensuri opuse.
Notatia vectorului opus vectorului liber v este - v ; notatia opusului segmentului orientat AB este AB = BA
Adunarea vectorilor liberi se face prin aplicarea a doua reguli:
1) regula paralelogramului
cazul vectorilor cu directii diferite:
cazul vectorilor cu aceeasi directie si acelasi sens:
cazul vectorilor cu aceeasi directie si sensuri opuse:
2) regula triunghiului
cazul vectorilor cu directii diferite:
− .
cazul vectorilor cu aceeasi directie si acelasi sens:
cazul vectorilor cu aceeasi directie si sensuri opuse:
Adunarea vectorilor legati se face astfel:
1) In cazul in care originea unui vector coincide cu extremitatea celuilalt nu avem nevoie de desen, rezultanta fiind data astfel:
AB + BC = AC , respectiv: MN + PM = PM + MN = PN (datorita regulii triunghiului);
2) In cazul in care originile coincid se aplica regula paralelogramului (deci avem nevoie de desen), rezultanta avand originea comuna
cu a vectorilor ce se sumeazaiar extremitatea in al patrulea varf al paralelogramului (degenerat) format cu vectorii de sumat:
AB + AC = AD , ABDC formand un paralelogram (degenerat):
3) In cazul cand extremitatile coincid, aplicam regula paralelogramului opusilor vecorilor initiali:
AB + CB = −(
BA + BC)
= −BD
= DB , unde ABCD este un paralelogram (degnerat).
4) In cazul cand nici originile nu coincid, nici exttremitatile nu coincid, adunare aputem s-o efectuam numai alegand prin
reprezentanti carora li se poate aplica una din regulile anterioare.
Exemplu: fie hexagonul regulat ABCDEF si O centrul sau. Determinati AB + CD . Cum CD = BO atunci AB + BO = AO .
Proprietatile adunarii:
1) comutativitate : u v = v + u AB + CD = CD + AB
+ , ;

2) asociativitate: u + ( v + w)
= ( u + v)
+ w,
AB + ( CD + EF)
= ( AB + CD)
+ EF ;
3) element neutru: u + 0 = 0 + u = u,
AB + 0 = 0 + AB = AB ; 0 se numeste vectorul nul si este vectorul care nu are directie
(sau care are orice directie), nu are sens si are modulul egal cu 0, un segmet orientat este reprezentant al vectorului nul daca
originea coincide cu extremitatea, adica AB = 0 daca A=B; AA = 0 ;
4) orice vector v are un opus - v cu proprietatea ca v + ( −v)
= v − v = 0,
AB + ( −AB)
= AB + BA = 0 ; (elemente
simetrizabile).
Observatie: relatia u − v = u + ( −v),
AB − CD = AB + ( −CD)
= AB + DC ne arata ca scaderea reprezinta o adunare cu opusul
vectorului scazator.
Inmultirea cu scalari (numar real) a vectorilor se face astfel:
Daca a ∈ R,
v ∈V
atunci a ⋅ v = w , deci produsul dintre un scalar si un vector reprezinta tot un vector cu proprietatile:
w este paralel cu v (au aceeaasi directie);
daca a>0, w are acelasi sens cu v ; daca a1 atunci ordinea punctelor este A-B-C sau C-B-A; daca a=1 atunci C=B; daca 0

Mai mult, daca directiile d,d’ au versorii i , respectiv j , atunci descompunerea oricarui vector v este unica in raport cu directiile date,
adica exista unic a, b ∈ R astfel incat v = a ⋅i
+ b ⋅ j .
Observatii:
daca a=0 atunci v are directia lui j ; daca b=0 atunci v are directia lui i ; daca a=b=0 atunci v = 0 .
Definitie:
Se numeste reper ortonormal ( O, i,
j)
un sistem de axe perpendiculare, cu origine comuna O si de versori i si j .
Proprietate:
Oricarui punct A(a, b) dintr-un plan in care s-a fixat un reper ortonormal ( , i,
j)
O ii corespunde vectorul rA = OA numit vector de
pozitie al punctului A si care are descompunerea dupa axele reperului OA = a ⋅i
+ b ⋅ j . In acest caz, (a, b) se numeste perechea de
coordonate asociate vectorului OA ceea ce se mai scrie OA ( a,
b)
. In plus,
Proprietate:
2
OA = a +
Daca in reperul ( O, i,
j)
avem punctele A(a,b) si B(a’,b’) atunci segmetul orientat AB se descompune dupa directiile reperului ca
AB = AO − OB = ( a'−a)
⋅i
+ ( b'−b)
⋅ j , deci AB( a'
a,
b'−b)
Exprimarea vectorului mediana.
Daca M este mijlocul segmentului AB, oricare ar fi punctul O avem
− . In plus,
OM
b
AB −
OA + OB
2
A(
xA
, y A ), B(
xB
, yB
), M ( xM
, yM
)
au coordonatele in reperul ( O , i,
j)
notate atunci
2
2
2
= ( a'−a)
+ ( b'
b)
.
= . In plus, daca considerm ca punctele A, M, B
x
x
+ x
2
+ y
2
A B
A B
M = ; yM
= (deci
coordonatele mijlocului unui segment reprezinta media aritmetica a coordonatelor capetelor segmentului).
Raport de segmente. Raport vectorial. Trecerea dintr-un tip de raport in altul.
AB
=k are sens intotdeauna , cu exceptia cazului cand
Fie AB, CD segmente si AB, CD segmentele orientate asociate lor. Raportul
CD
C=D; raportul AB are sens numai daca AB || CD sau A,B,C,D coliniare si C,D disincte.
CD
In cazul in care AB ||CD sau A,B,C,D coliniare distincte atunci:
AB AB
daca CD = k , atunci k ∈ R+
* si daca AB si CD au acelasi sens atunci = k iar daca AB si CD au sensuri opuse atunci
= k ;
AB −
CD
k ∈ R *
k
AB
daca = k atunci
CD
AB
si atunci CD = .
Exprimarea vectorului cu extremitatea intr-un punct ce imparte un segment intr-un raport dat.
AM OA+
k⋅
Fie M ∈ (AB)
astfel incat MB = k . Atunci oricare ar fi punctul O, avem OM + k
( , i,
j)
A(
xA
, y A ), B(
xB
, yB
), M ( xM
, yM
)
O avem atunci
x
M
=
x
A
CD
+ k ⋅ x
1+
k
OB = 1 . In plus, daca in reperul ortonormal
B
; y
M
=
y
A
+ k ⋅ y
1+
k
mijlocul segmentului AB atunci k=2 si regasim formula vectorului mediana.
Exprimarea vectorului cu extremitatea in centrul de greutate al unui sistem de trei puncte (necoliniare).
B
y
. In cazul in care M este
OA+
OB+
OC
Fie A,B,C distincte, necoliniare si G centrul de greutate al sistemului (A,B,C). Atunci oricare ar fi punctul O, avem: OG = 3 ;
in plus, daca in reperul ( O, i,
j)
avem A(
x A,
y A ), B(
xB
, yB
), C(
xC
, yC
), G(
xG
, yG
) atunci
xA
+ xB
+ xC
y A + yB
+ yC
xG
=
; yG
=
. Propiretatea ramane adevarata si in cazul A,B,C disttincte si coliniare.
3
3
Relatia lui Chasles.
Oricare A,B,C puncte distincte avem AB + BC + CA = 0 ; mai general, oricare ar fi linia poligonala A A ... A , avem
A1 A2
+ A2
A3
+ ... + An
−1 An
+ An
A1
= 0 .
Suma vectorilor mediana intr-un triunghi.
1
2
n

Fie triunghiul ABC si M,N,P mijloacele laturilor BC, respectiv AC, respectiv AB. Atunci AM + BN + CP = 0 .
Exprimarea vectorului bisector in triunghi.
Fie triunghiul BC in care BC=a, AC=b, AB=c. Atunci, daca AD, BE, CF bisectoarele unghiurilor A, B, C in triunghi, si
D ∈ BC,
E ∈ AC,
F ∈
In plus, avem:
AB , avem
AB +
AD =
1+
• a ( b + c)
⋅ AD + b(
c + a)
⋅ BE + c(
a + b)
⋅CF
= 0 ;
ac BD = b+
c
ab
ba
bc
DC = b+
c ; CE = a+
c ; EA = a+
c ; AF = cb
ca
b+
a ; FB = b+
c
b
c
b
AC b ⋅ AB + c ⋅ AC
a ⋅ BA + c ⋅ BC b ⋅ CB + a ⋅CA
=
. Analog, BE = ; CF =
;
b + c
a + c
b + a
• cum ; a , daca I este punctul de intersecie al bisectoarelor
b⋅ AB+
c⋅AC
c⋅BC+
a⋅BA
a⋅CA+
b⋅CB
triunghiului, atunci AI = a+
b+
c ; BI = a+
b+
c ; CI = a+
b+
c ; mai mult, avem a ⋅ AI + b ⋅ BI + c ⋅CI
= 0;
in plus, daca
in reperul ( O, i,
j)
avem A(
x A,
y A ), B(
xB
, yB
), C(
xC
, yC
), I(
xI
, yI
) atunci relatia anterioara se rescrie:
a A I A I
B I B I
C I C I
⋅[( x − x ) i + ( y − y ) j]
+ b ⋅[(
x − x ) i + ( y − y ) j]
+ c ⋅[(
x − x ) i + ( y − y ) j]
= 0 , d unde se obtin
coordonatele punctului I,
pozitie ai punctelor I, A, B, C avem
x
I
a ⋅ x A + b ⋅ xB
+ c ⋅ xC
a ⋅ y A + b ⋅ yB
+ c ⋅ yC
= ; yI
=
, si exprimand relatia prin vectorii de
a + b + c
a + b + c
r
a ⋅ r
+ b ⋅ r
a + b + c
+ c ⋅ r
A B C
I = ;
• tinand cont de proprietatea centrului de greutate, alegand pe postul lui O punctul I, avem
IG =
+
IA+
IB+
IC 1 b(
AB+
CB)
+ c(
AC+
BC ) + a(
BA+
CA)
1 2b⋅NB+
2c⋅PC+
2a⋅MA
b⋅GB+
c⋅GC
+ a⋅GA
3 = 3 ⋅
a+
b+
c = 3 ⋅ a+
b+
c = a+
b c
Exprimarea vectorului bisector in triunghi. Vectorul de pozitie al intersectiei bisctoarelor. Alte proprietati.
Fie triunghiul BC in care BC=a, AC=b, AB=c. Atunci, daca AD, BE, CF bisectoarele unghiurilor A, B, C in triunghi, si
D ∈ BC,
E ∈ AC,
F ∈
In plus, avem:
AB , avem
AB +
AD =
1+
• a ( b + c)
⋅ AD + b(
c + a)
⋅ BE + c(
a + b)
⋅CF
= 0 ;
ac BD = b+
c
ab
ba
bc
DC = b+
c ; CE = a+
c ; EA = a+
c ; AF = cb
ca
b+
a ; FB = b+
c
b
c
b
;
AC b ⋅ AB + c ⋅ AC
a ⋅ BA + c ⋅ BC b ⋅CB
+ a ⋅CA
=
. Analog, BE = ; CF =
;
b + c
a + c
b + a
• cum ; a , daca I este punctul de intersecie al bisectoarelor
b⋅ AB+
c⋅AC
c⋅BC+
a⋅BA
a⋅CA+
b⋅CB
triunghiului, atunci AI = a+
b+
c ; BI = a+
b+
c ; CI = a+
b+
c ; mai mult, avem a ⋅ AI + b ⋅ BI + c ⋅CI
= 0;
in plus, daca
in reperul ( O, i,
j)
avem A(
x A,
y A ), B(
xB
, yB
), C(
xC
, yC
), I(
xI
, yI
) atunci relatia anterioara se rescrie:
a A I A I
B I B I
C I C I
⋅[( x − x ) i + ( y − y ) j]
+ b ⋅[(
x − x ) i + ( y − y ) j]
+ c ⋅[(
x − x ) i + ( y − y ) j]
= 0 , d unde se obtin
coordonatele punctului I,
pozitie ai punctelor I, A, B, C avem
x
I
a ⋅ x A + b ⋅ xB
+ c ⋅ xC
a ⋅ y A + b ⋅ yB
+ c ⋅ yC
= ; yI
=
, si exprimand relatia prin vectorii de
a + b + c
a + b + c
r
a ⋅ r
+ b ⋅ r
a + b + c
+ c ⋅ r
A B C
I = ;
• tinand cont de proprietatea centrului de greutate, alegand pe postul lui O punctul I, avem
IA+
IB+
IC 1 b(
AB+
CB)
+ c(
AC+
BC ) + a(
BA+
CA)
1 2b⋅NB+
2c⋅PC+
2a⋅MA
b⋅GB+
c⋅GC
+ a⋅GA
IG = = ⋅
a+
b+
c = 3 ⋅ a+
b+
c =
;
3 3
a+
b+
c
Coliniaritatea O,G,H. Alte proprietati.
Fie triunghiul ABC si O, G, H centrul cercului circumscris, respectiv centrul de greutate, respectiv ortocentrul triunghiului. Avem
urmatoarele relatii:
• Notand cu A’ punctul diametral opus lui A, HBA’C este un paralelogram, deci HB + HC = HA'
si tinand cont ca O este
mijlocul segmentului AA’ obtinem relatia: HA + HB + HC = HA + HA'
= 2 ⋅ HO ;
• Din proprietatea centrului de greutate, aplicata pentru H, avem: 3 ⋅ HG = HA + HB + HC ;
2
• Ultimele doua relatii obtinute conduc la egalitatea: HG = 3 ⋅ HO , de unde tinand cont de proprietatile produsului, putem afirma
ca in orice triunghi punctele H,G,O sunt coliniare, G ∈[HO] si G se afla la 1/3 fata de O si 2/3 fata de H.

• Aplicand proprietatea centrului de greutate punctului O, avem:
3 3
2
⋅ OG = OA + OB + OC = 3⋅
( OH + HG)
= 3⋅
( OH − OH ) = OH (relatia lui Sylvester);
• Daca notam O1 mijlocul segmentului OH atunci OA + OB + OC = 2OO1
(relatial lui Euler);
Metode in rezolvarea problemelor de paralelism:
1) Daca dreptele AB si CD sunt paralele atunci exista a ∈ R * astfel incat AB = a ⋅CD
; reciproc concluzia este sau AB || CD, sau
A,B,C,D coliniare;
2) Daca exista a, b ∈ R * astfel incat a ⋅ AB + b ⋅CD
= 0 , atunci AB ||CD sau A,B,C,D coliniare;
3) Daca u = a ⋅i
+ b ⋅ j;
v = a'⋅i
+ b'⋅
j , atunci u, v au aceeasi directie daca si numai daca coordonatele sunt proportionale,
b
a'
b'
a = .
4) u, v au aceasi directie daca si numai daca u + v = u + v .
Metode in rezolvarea problemelor de colinaritate:
1) A, B, C sunt coliniare daca si numai daca exista R *
AB
dreapta); conditia se poate exprima si prin raportul = a ;
AC
a ∈ astfel incat AB a ⋅ AC
2) A, B, C sunt coliniare daca si numai daca exista a, b ∈ R * astfel incat a ⋅ AB + b ⋅ AC = 0 ;
= (relatia furnizand si pozitiia punctelor pe
3) Daca in sistemul ( O, i,
j)
avem A(
x A,
y A ), B(
xB
, yB
), C(
xC
, yC
) , atunci A, B, C coliniare daca
4) Intr-un reper fixat , A, B, C coliniare daca si numai daca relatia a r + b ⋅ r + c ⋅ r = 0 implica a+b+c=0;
⋅ A B C
5) A, B, C coliniare daca si numai daca oricare ar fi puncul O, avem ca relatia a ⋅OA + b ⋅OB
+ c ⋅OC
= 0 implica a+b+c=0.
Conditia ca trei vectori sa formeze un triunghi.
u v,
w
, corespund vectorilor laturi ale unui triunghi daca u ± v ± w = 0 si suma oricaror doua module este mai mare decat al treilea.
Conditia ca patru puncte sa formeze un paralelogram (degenerat).
• Patrulaterul (degenerat) ABCD este paralelogram (degenerat) daca si numai daca AB = DC ;
• Segmentele AB, CD pot fi laturi opuse intr-un paralelogram (degenerat) daca si numai daca AB = ± CD , conditie ce se poate
evidentia si astfel: AB + CD = 0 sau AB − CD = 0 ;
Conditia ca patru punct sa formeze un trapez (degenerat).
• Patrulaterul ABCD este un trapez (degenerat) daca si numai daca exista a ∈ R * \{ 1)
astfel incat AB = a ⋅ DC sau
AD = a ⋅ BC .
• Patrulaterul ABCD este un trapez (degenerat) daca si numai daca exista a, b ∈ R+
*, a ≠ b astfel incat a ⋅ AB + b ⋅CD
= 0 sau
a ⋅ AD + b ⋅CB
= 0 .
+
x
x
B
C
− x
− x
A
A
y
=
y
B
C
− y
− y
A
A
;

Probleme de coliniaritate, paralelism si concurenta.
1. Teorema Menelaus (+reciproca): Fie ABC triunghi, M ∈ AB,
N ∈ BC,
P ∈ AC . Atunci M,N,P coliniare daca si numai daca
AM
MB
⋅
BN
NC
⋅
CP
PA
= −1
.
Demonstratie: in primul rand are sens scrierea celor trei rapoarte din relatie deoarece in fiecare raport vectorii sunt paraleli; Notam
AM BN CP
; b = c . Exprimam pe rand vectorii AM AP,
AN
MB NC PA
a = ; =
AM = a ⋅ MB = a ⋅ MA + AB)
⇒ ( a + 1)
⋅ AM = a ⋅ AB
, astfel:
( ; (1)
c ⋅ AP = PC = PA + AC ⇒ 1+
c)
⋅ AP = AC
( ; (2)
AN = AB + BN;
BN = b ⋅ NC = b ⋅ ( NB + BC)
⇒ ( 1+
b)
⋅ BN = b ⋅ BC = b ⋅ ( BA + AC)
⇒ 1+
b) ⋅ AN = ( 1+
b)
⋅ AB + b ⋅ ( BA + AC)
= AB + b ⋅ AC
( (3)
( 2),
( 1)
Inmultind relatia (3) cu a, rezulta: a( 1+
b)
⋅AN=
a⋅
AB+
ab⋅
AC=
( a+
1)
⋅ AM+
ab(
1+
c)
⋅APsi
trecandtotul in membrul stang, obtinem:
a ( 1+
b)
⋅ AN − ( a + 1)
⋅ AM − ab(
1+
c)
⋅ AP = 0 de unde , conform conditiei 5) de coliniairtate, M, N, P coliniare daca si numai
daca a(1+b)-(a+1)-ab(1+c)=0, echivalent cu a+ab-a-1-ab-abc=0, deci abc=-1, q.e.d.
2. Teorema Ceva(+ reciproca): Fie ABC triunghi si AN, BP, CM ceviene, M ∈ ( AB),
N ∈ ( BC),
P ∈ ( AC)
. Atunci AN, BP,
AM BN CP
CM concurente daca si numai daca ⋅ ⋅ = 1.
MB
NC
PA
Demonstratie: Fie {O}=BP ∩ CM. Atunci AN, BP, CM concurente in O daca si numai daca A, O, N coliniare, daca si numai daca,
conform teoremei Menelaus aplicata in triunghiurile ABN si ACN, avem:
AM
MB
AM
MB
⋅
⋅
BC
CN
BC
CN
⋅
⋅
NO
OA
NO
OA
AN CB NO
= −1;
⋅ ⋅ = −1,
de unde, efectuand raportul celor doua relatii membru cu membru obtinem:
⋅
NC
AN
⋅
NC
BN
CB
⋅
BN
OA
NO
OA
= 1
3. Consecinte ale teoremei Ceva:
AM BN CP
, si prin simplificarile cuvenite se obtine: ⋅ ⋅ = 1.
AM BN CP
• Concurenta medianelor: daca M, N, P mijloacele laturilor AB, BC, CA ale triunghiului ABC, atunci = 1 ; = 1;
= 1 ,
AM BN CP
deci ⋅ ⋅ = 1 si conform reciprocei t. Ceva, rezulta AN ∩ BP ∩ CM={G}. Mai mult, aplicand acum reciproca t.
MB
NC
PA
AM BC NG
AM BC
Menelaus pentru triunghiul ABN si punctele coliniare M,G,C rezulta: ⋅ ⋅ = −1si
cum 1; = −2
, rezulta
NG 1⋅ ( −2)
⋅ = −1,
deci AG = 2 ⋅GN
, adica G se afla la 1/3 de baza si 2/3 de varf.
GA
MB
MB
NC
CN
PA
GA
MB
MB
= CN
• Concurenta bisectoarelor: daca D, E, F reprezinta intersectia bisectoarelor unghiurilor A, B, C ale triunghiului ABC, atunci,
AF b BD
notand AB=c, BC=a, CA=b avem (t. bisectoarei): = a ;
FB DC
c CE a AF BD CE
= b ; =
EA c , deci ⋅ ⋅
FB DC EA
= 1 si conform reciprocei t. Ceva
•
rezulta AD ∩ BE ∩ CF={I} si aplicand in continuare t. Menelaus pentru triunghiul ABD si punctele coliniare F, I, C obtinem
rezultatele referitoare la vectorul bisector si vectorul de pozitie al lui I;
Concurenta inaltimilor: daca D, E, F reprezinta picioarele inaltimilor din A, B, C ale triunghiului ABC, atunci, notand AB=c,
AF BD CE
BC=a, CA=b si stiind ca sunt concurente in ortocentrul H, atunci utilizand directa t. Ceva rezulta: ⋅ ⋅ = 1 ;
4. Dreapta Newton- Gauss: Fie ABCD patrulater convex astfel incat AB si CD neparalele si concurente in M iar AD si BC neparalele
si concurente in N. Atunci mijloacele segmentelor AC, BD si MN sunt coliniare.
Notam P,Q, R mijloacele segmentelor AC, BD, MN. Atunci PQ mediana in triunghiul BPQ, deci 2 ⋅ PQ = PD + PB . Cum DP si BP
mediane in triunghiurile ADC si ABC, obtinem 4 ⋅ PQ = 2 ⋅ PD + 2 ⋅ PB = AD + CD + AB + CB ;
Analog, PR mediana n trunghiul NRM, deci 2 ⋅ PR = PN + PM si cum NP si MP mediane in triunghiurile ANC si AMC rezulta:
4
⋅ PR = 2 ⋅ PN + 2 ⋅ PM = AN + CN + AM + CM = AB + BN
FB
DC
EA
NC
PA