4. Limite de functii reale

4. Limite de functii reale
Succinte preliminarii teoretice (+ exemple)
O funcie cu valori reale, definit pe o submulime din , este de forma
41
(4.1)
(Sub)mulimea din (4.1) poate avea absolut orice natur dar – pentru a
se putea defini limita – ea trebuie s aib puncte de acumulare. De exemplu, nu are sens
considerarea unei funcii definite pe o mulime discret precum Aceast
mulime D din (4.1) este domeniul de definiie al funciei. În unele cazuri el este specificat
odat cu funcia, în alte cazuri el trebuie determinat. Mulimea valorilor sau codomeniul
funciei f este
(4.2)
Prima notaie din (4.2) provine de la termenul de imagine (sinonim cu mulimea valorilor
sau codomeniu). În unele situaii este oportun considerarea valorilor funciei nu pentru
toate punctele din domeniul de definiie ci doar pentru o parte dintre acestea. Se ajunge
astfel la ideea de restricie a unei funcii reale la un subdomeniu al ei, Evident, în
cazul egalitii (la incluziunea anterioara) nu mai poate fi vorba de o restricie, cel mult de
una improprie. Aadar restricia funciei f la subdomeniul se definete prin
Majorani / minorani, funcii mrginite, margini ale unei funcii
Funcia admite ca minornat / majorant pe dac
respectiv
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Cele dou elemente (numere reale finite) din (4.4) i (4.5) se mai numesc
bariere ale funciei. Dac f admite atât un minorant cât i un majorant ea este o funcie
mrginit ; altfel (dac cel una din aceste bariere nu exist) funcia este nemrginit. Este

evident c, în cazul considerrii unei restricii a funciei f la un subdomeniu
minoranii pot s fie mai mari decât pentru f pe întregul su domeniu, iar majoranii pot
s fie mai mici. Dar, întrucât nici minoranii i nici majornaii nu sunt unic determinai,
aceast observaie este mai puin relevant.
Marginile unei funcii f pe domeniul s de definiie D sunt exact marginile inf i
sup din Seciunea 1 (Submulimi din ) ale mulimii valorilor sale. De multe ori se indic
domeniul pe care se consider marginea respectiv sub inf , respectiv sup :
42
(4.6)
Evident, dac funcia admite (cel puin câte) un minorant / majorant ca în (4.4) , (4.5), ea
admite i marginile respective, aa cum rezult din proprietatea de complet ordonare a
câmpului numerelor reale ; mai mult, are loc inegalitatea mutipl
(4.7)
În (4.7) am folosit inegaliti între un element i o mulime, la fel ca în (4.4) & (4.5). Dac
se consider i restricia lui f la un subdomeniu atunci înegalitile din (4.7) se
completeaz la
(4.8)
întrucât În cazul (cazurile) particular(e) în care funcia admite elemente
extreme acestea coincid respectiv cu marginile :
(4.9)
Mai mult decât atât, elementele extreme ale unei funcii pe domeniul su (maxim) de
definiie, respectiv pe un subdomeniu , sunt efectiv atinse : exist puncte din
domeniu în care funcia atinge aceste valori.
(4.10)

Evident, caracterizrile din (4.10) se adapteaz corespunztor în cazul restriciei funciei la
un subdomeniu . Exerciiu !
E 4.1
Fie funcia
43
(4.11)
Se cere gsirea domeniului ei maxim de definiie i marginile / elementele extreme, dac
exist.
Trinomul de sub logaritm trebuie s fie strict pozitiv. Aadar,
Funcia de sub arccos trebuie s ia valori în intervalul admisibil, deci
Intersectând intervalele din (4.12) & (4.13) se obine domeniul
(4.12)
(4.13)
Pentru a determina marginile funciei i eventualele extreme, pentru functia arccos
trebuie selectat un sub-interval al mulimii valorilor sale pentru care ea s fie efectiv o
funcie, adic s ia o singur valoare pentru fiecare argument; de exemplu, putem alege
Funcia este strict descresctoare pe
de la ctre Funcia ln este strict cresctoare
pe deci ea va pstra variaia funciei trinom care-i este argument. Acesta scade
ctre 0 pentru deci întreaga funcie va diverge spre de unde rezult c
(i) nu exist (4.14)
(ii) În ce privete marginea superioar (i un eventual maxim), logaritmul va transforma
valoarea maxim a trinomului din 2.5 în
În limita din stânga a intervalului-domeniu gsim
(4.15)
(4.16)
Comparând aceste dou valori, se poate presupune c funia scade i pe subintervalul
ceea conduce la concluzia c
(4.17)

O confirmare a concluziei din (4.17) se va putea obine doar printr-o analiz riguroas a
variaiei (monotoniei) funciei din (4.11) , cu ajutorul derivatelor.
Limita unei funcii reale se poate considera numai într-un
punct de acumulare al domeniului ei. Dup cum s-a menionat i în prima seciune
(Submulimi din ),
44
(4.18)
Desigur, elementul x din (4.18) depinde de vecintatea îns aceast dependen va fi
mai uor de evideniat în “limbajul” vecintilor fundamentale, de raze (în cazul
unui punct la distan finit) cu pentru Un punct de acumulare
poate fi caracterizat i cu ajutorul irurilor.
Elementul va fi limita funciei f în punctul dac oricrei vecinti
îi corespunde o vecintate astfel încât Formal, vom
scrie c
(4.19)
i în caracterizarea din (4.19) exist o dependen de la vecintatea lui la cea a lui
Pentru cazul (limit finit în punct de acumulare situat la distan
finit) se pot folosi vecinti fundamentale, iar caracterizarea din (4.19) devine
(4.20)
În funcie de poziiile elementelor exist exact 9 cazuri posibile. În fiecare
dintre ele se pot folosi vecinti fundamentale pentru caracterizarea limitei, deci se poate
particulariza caracterizarea general din (4.19). Prezentm aceste cazuri în tabelul ce
urmeaz, indicând i tipurile de vecinti utilizabile. Caracterizarea din (4.20) se refer
doar la unul dintre ele, când ambele elemente (limita i punctul de acumulare) sunt finite.

Tabel 4.1 Caracterizarea limitei din (4.19) cu vecinti fundamentale,
în toate cazurile posibile
Evident, spaiile disponibile în celulele acestui tabel n-au fcut posibil punerea în eviden
a unor dependene (de la vecintatea limitei la cea a punctului de acumulare). În cazul
(2,2), adic , aceast dependen a fost pus în eviden în caracterizarea
(4.20). În cazul sau (2,1), raza (rândul 2 din tabel). S
mai observm c semnele care apar pe primul rând, respectiv sau pe prima coloan
nu sunt eseniale ; dar este vorba de vecinti ale elementului impropriu
respectiv pentru care x trebuie s fie suficient de mic, respectiv valoarea
s fie oricât de mic. Oferim câteva exemple pentru aplicarea unor astfel de
caracterizri.
E 4.2
S se verifice c
Este un caz ce corespunde caracterizrii din (4.19). Se poate pleca de la inegalitatea
aadar, caracterizarea de tip (4.20) se verific pentru
S se verifice c
S observm (mai întâi) c fiuncia din (4.22) este definit pe
45
(4.21)
(4.22)

Vom avea de verificat c
Ultima inegalitate din (4.23) se rescrie echivalent sub formele
46
(4.23)
(4.24)
Prima echivalen din (4.24) s-a obinut aplicând exponeniala de baz e, funcie cresctoare,
ambilor membri ai primei inegaliti. Aadar, se verific limita din enun conform cazului
(2,3) din Tabelul 4.1. Din (4.23) rezult ca raza vecintii punctului de acumulare este
Aceste caracterizri pot fi folosite i în sens negativ, adic se poate verifica faptul c
limita unei funcii într-un punct dat difer de un anumit element (din sau
din ). De exemplu, s se arate c
(4.25)
În acest scop, trebuie s se verifice c nu este îndeplinit caracterizarea din (4.20), aplicând
contrarul acesteia. Aceast operaie implic inversarea cuantificatorilor (cel universal cu cel
existenial). Aadar, trebuie s verificm c
(4.26)
Raza care intervine în (4.26) trebuie s fie oricât de mic. Ea se poate lua ca fiind o
funcie de un cu condiia ca s poat fi oricât de mic, astfel încât x s poat
fi oricât de apropiat de punctul limit Ea poate fi luat, de exemplu, ca inversul unui
natural oarecare sau ca un multiplu de acesta, de exemplu Evident,
Considerând acum
vom avea

Trecnd la limit în ultima expresie constatm c
47
(4.27)
(4.28)
Aadar, este suficient s alegem, în (4.26), ca s constatm c valorile funciei
din (4.27) intr într-o vecintate oricât de mic a lui i deci rmân în afara vecintii
Metoda utilizat aici pentru a demonstra afirmaia din (4.25) a implicat utilizarea
unui ir. Dar se putea lucra foarte bine cu un absolut arbitrar i cu
de exemplu. Se va folosi formula pentru cosinusul sumei sau diferenei ca în (4.27) i se va
ajunge la aceeai concluzie. Verificarea rmâne pentru cei interesai.
Continum cu un exemplu ce ilustreaz caracterizarea limitelor cu ajutorul
irurilor, dar nu înainte de a formula aceast abordare.
Pentru orice ir
(4.29)
Caracterizarea din (4.29) nu afirm altceva decât c limita în este irul
valorilor funciei pe termenii oricrui ir de elemente din domeniu care are ca limit pe
tinde la (adic are ca limit pe)
În aplicaii practice, caracterizarea din (4.29) este dificil (sau imposibil) de aplicat
întrucât nu se pot considera toate irurile care converg la punctul de acumulare. În schimb,
ea poate fi utilizat spre a demonstra c o anumit funcie nu are limit într-un punct.
Pentru aceasta este suficient s se gseasc dou iruri diferite care converg la (sau au ca
limit pe) dar pentru care irurile valorilor funciei pe termenii celor dou iruri au limite
diferite. Exemplul ce urmeaz ilustreaz un astfel de caz (de funcie fr limit într-un
anumit punct).

Funcia definit prin nu are limit în origine.
Într-adevr, se pot considera irurile de puncte din domeniu (cu termenii generali)
Evident, (4.30)
irurile valorilor funciei f pe termenii celor dou iruri din (4.30) sunt (respectiv)
48
(4.30)
(4.31)
Aadar, cele dou iruri de valori din (2.31) sunt constante având valori diferite, implicit
limite diferite i afirmaia din enun se verific : dac funcia ar fi avut limit în 0, irurile
din (4.31) rebuiau s aib aceeai limit. Aici intervine unicitatea limitei unei funcii : dac
f admite limita în aceast limit este unic.
Evident, în locul irurilor din (4.30) s-ar fi putut alege i altele, de asemenea
convergente la 0, de exemplu
Cei interesai sunt invitai s verifice comportarea funciei pe aceste dou iruri. De
asemenea, s studieze existena limitei în origine a funciei
Limitele unor funcii elementare
La fel ca i în cazul irurilor reale, nu exist metode generale pentru calculul limitelor
fiunciilor reale în anumite puncte de acumulare. Dar aceste se pot – în multe cazuri –
determina flosind operaii cu limite i compunerea funciilor. Exist îns o serie de limite
(ale unor funcii) elementare care trebuie cunoscute, tocmai spre a putea determina limitele
unor funcii mai complexe. Se va putea observa, pâna la un punct, similitudinea cu limitele
unor iruri elementare în cazul când limita se consider în
LFE-1. Funcia putere (pozitiv)
LFE-2. Funcia putere negativ

Aceast limit se obine din precedenta prin inversarea funciei i a limitei.
LFE-3. Funcii raionale
unde
În al treilea caz (al limitei infinite), semnul depinde de semnul raportului
LFE-4. Funcii iraionale (cu radicali) :
(i)
(ii) unde P, Q sunt polinoame de grade p & q, ca în LFE-3.
Limitele unor astfel de funcii depind de relaia de mrime între puterile generalizate de la
numrtor i numitor :
Evident, polinoamele de sub radicali trebuie s ia valori pozitive (pentru x suficient de mare), dac
ordinele radicalilor sunt numere pare.
LFE-5. Numrul e ( baza funciei logaritm natural, ca limit de funcii :
Exist modaliti de a defini numrul e ca limit de funcie (funcii). Una se obine
generalizând irul lui e (cu , cealalt este o limit în 0 :
(i)
(ii) (4.32)
49

LFE-6. Funcii de tip raport care implic alte funcii elementare :
(i)
(ii)
(iii)
LFE-7. Funcii exponeniale i logaritmice :
(i)
(ii)
(iv)
(v)
(vi) (vii)
Toate aceste limite se obin din limitele corespunztoare de iruri, încadrând variabila x între
partea sa întreag i aceasta majorat cu 1 :
Alte limite importante se consider în origine, sau în alte puncte de
acumulare relevante (care conduc, eventual, la nedeterminri).
LFE-8. Funcii trigonometrice i funcii circulare inverse
(i) (ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
50

Aplicaii pentru seminar, teste semestriale i HOMEWORK
S se calculeze limitele urmtoare :
Sugestii pentru rezolvri, rspunsuri.
Este o nedeterminare de forma se folosete o identitate care transform fiecare
din cele dou diferene în produs ; dup simplificare, se obine imediat limita unei funcii
raionale
Exerciiul este similar cu precedentul; prin rescrierea numrtorului vor fi posibile dou
simplificri care ridic nedeterminarea,
Se poate scrie fiecare din acetia se grupeaz cu câte unul din radicali
i se obine posibilitatea a dou simplificri ; atenie la diferena de cuburi / ptrate. Limita
51

este
Numrtorul i numitorul au puteri generalizate egale.
Este o nedeterminare de forma ea se poate ridica prin amplificarea difereniei
cu o fracie având numrtorul = numitorul = o sum care, înmulit cu diferena din
enun, produce o diferen de puteri 5. Limita este
Este o nedeterminare de forma se scrie tangenta cu definiia sa, se scoate în
factor i se ajunge la un produs de 3 limite, una din ele fiind LFE-8 (i). Se va obine
Este o nedeterminare de aceli tip ca precedenta ; se scrie cu (atât la
numrtor cât i la numitor), se ajunge la posibilitatea unei simplificri ce ridic
nedeterminarea i se obine
Primul factor se scrie în funcie de se procedeaz la o simplificare i se obine
Se scrie primul factor cu se folosete valoarea tangentei la i se aplic LFE-8
(ii), dup factorizarea numitorului ; se obine
Se ridic limita la exponeniala de baz e , cu formula
52
(4.33)
unde k este limita din interiorul [ ... ] care intervine în (4.33). Aceast limit (în
ansamblu) se obine ca o generalizare a limitei LFE-5 sau (4.32), trecând de la x la
i folosind formula
Se va obine
(4.34)
Cei interesai sunt invitai s detalieze calculele la toate cele 10 limite de mai sus i în special
la ultima.
Verificarea unor limite prin caracterizri cu vecinti
S se verifice urmtoarele limite, folosind vecinti fundamentale:

Limitele unor restricii (complementare), limite laterale.
Dac i iar atunci se poate considera limita
restriciei funciei – v. (4.3) – la acest subdomeniu, definit prin :
53
(4.35)
Evident, limita din (4.35) poate s existe sau nu. Dac limita funciei (nu a restriciei)
sale exist i este atunci limita oricrei restricii la exist i
concide cu
Un caz particular este acela al unor restricii complementare, adic restricii la
dou subdomenii disjuncte a cror reuniune acoper întreg domeniul :
(4.36)
Dac atunci se poate considera limita ]n acest punct pentru
fiecare din cele dou restricii. Din nou, dac limita funciei în acest punct exist i
este atunci limita celor dou restricii la exist i concid cu Un caz
particular de restricii este acela care conduce la limitele laterale. Putem presupune
c întreg domeniul este un interval, Fie
(4.37)
Evident, reuniunea celor dou subintervale laterale din (4.37) poate s nu acopere
întreg intervalul I dar acest aspect este nesenial : s-a vzut în definiia limitei din
(4.19) c punctele din vecintatea lui nu pot atinge acest punct. Limitele
restriciilor funciei f la subintervalele din (4.37) se numesc limite laterale : limita
la stânga, respectiv limita la dreapta în punctul . inând seama de (4.35),
aceste limite sunt :
(4.38)
(4.39)

E 4.3
Cel mai simplu exemplu de funcie cu limite laterale diferite (în origine) este
Folosind definiia sau caracterizri, s se arate c limitele urmtoare nu exist
Sugestii pentru rezolvri, rspunsuri.
Se pot folosi dou iruri convergente la 0, pentru care irurile valorilor funciei au limite
diferite : se poate proceda în aceeai manier ca în E 4.3, . De exemplu, cu irurile
se va constata c în timp ce A se verifica aceast afirmaie.
Trecând la limit, exponeniala crete la în timp ce oscileaz în
întervalul Pentru a demonstra riguros inexistena limitei, se pot folosi de
asemenea dou iruri : unul pentru care iar cellalt pentru care
Pentru aceast limit se pot determina limitele laterale :
54

i pentru aceast limit trebuie determinate limitele laterale. Cu o notaie
convenional, se vor gsi
Aceast funcie are o expresie analitic multipl sau multiform. Evident, cele dou
limite laterale din funcii polinomiale se obin imediat :
Cei interesai sunt invitai s încerce trasarea graficului acestei funcii.
Aplicaii pentru seminar, teste semestriale i HOMEWORK (continuare)
S se calculeze limitele urmtoare :
Pentru funciile de mai jos se vor determina limitele laterale în punctul indicat.
55

Sugestii pentru rezolvri, rspunsuri.
Prin factorizarea numrtorului se obine o limit cunoscut pentru una din funciile
factor, iar ceilali factori cu funcii trigonometrice se rescriu trecând în argumentul
se va folosi limita (i) din LEF.8. Mai este necesar un mic artificiu pentru a obine
la numitor. Prima factorizare conduce la
Al doilea factor are o limit imediat. Se ajunge la A se detalia calculele.
Limita este o nedeterminare de forma care, în multe cazuri, conduce la o putere
a numrului e. Se poate proceda similar cu modul în care s-a obinut limita din LF.1 - .
Funcia din parantez se scrie sub forma cu a se
detalia calculele.
Acesta este un caz tipic în care este oportun folosire “proprietii clete” pentru limite
de funcii. Al doilea factor din funcie nu are limit dar el oscileaz finit între
Înmulind inegalitatea respectiv cu funcia putere se obine
de unde – trecând la limit – avem
Observaie. La înmulirea cu a inegalitii cu sinusul între ar trebui avut în
vedere semnul acestei puteri, care poate fi negativ pentru dar aceasta este o fals
problem întrucât se poate lucra cu
Limita se va obine scriind funcia (mai exact numrtorul) ca o sum de dou funcii
diferen, care conduc la limite mai abordabile, dar tot nedeterminri de forma
expresia din (4.40) se mai rescrie sub forma
Trecând la limit în (4.41) se obine
56
(4.40)
(4.41)
(4.42)
prima limit din (4.42) conine factorul Aadar limita devine, cu substituia

cu substituia plus limita din LFE.7 - (ii).
Rmâne de evaluat prima limit din (4.44) i
În fine,
(4.45) & (4.46)
A doua limit din (4.46) se va obine cu o substituie adecvat.
Aici este implicat limita din LFE-8 - (i) îns limitele laterale vor fi diferite :
A se verifica.
i pentru aceast funcie limitele laterale în 0 sunt diferite :
57
(4.43)
(4.44)
(4.45)
(4.46)

Cei interesai sunt invitai s detalieze calculele i s reprezinte grafic funcia. Vor fi necesare
i limitele spre
Se va arta c limita la stânga nu exist în timp ce
Se vor gsi limite laterale diferite, Se va scrie i se
vor obine limite care implic numrul e. A se vedea limita LFE.5 - (ii), (4.32= si
modul în care a fost determinat limita din LF.1 -
Comentariu
Limitele unei functii în anumite puncte din domeniul de definiie sau în anumite
puncte de acumulare ale acestuia ofer informaii eseniale asupra comportrii funciei.
Noiunea de limit este esenial implicat i în definirea continuitii punctuale, care va face
obiectul seciunii urmtoare. Un studiu complet al variaiei unei funcii pe domeniul su
de definiie necesit – în general – i utilizarea derivatei sau derivatelor sale, care urmeaz
într-un alt capitol. În multe cazuri, aceast variaie poate fi mai explicit descris prin
trasarea graficului funciei. Studenii interesai pot încerca trasarea graficelor unor funcii
care au intervenit în aplicaiile cu limite din aceast seciune.
58