MATEMATIC~ M2

Marius Burtea Georgeta Burtea
REZOLVAREA PROBLEMELOR
DIN MANUALUL DE
MATEMATIC~ M2
CLASA A XI-A
Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD)
Filiera tehnologic`, toate calific`rile profesionale (TC). 3 ore/s`pt`m@n`.
1

Instruc\iuni de utilizare
Lucrarea de fa\` a fost g@ndit` pentru a veni [n sprijinul elevilor [n rezolvarea
problemelor din manual, fiind modele de rezolvare pentru orice tip de exerci\ii ]i
probleme pe care ace]tia le pot [nt@lni [n culegeri sau alte manuale de clasa a XI-a,
ajut@ndu-i [n preg`tirea pentru Olimpiadele de matematic` sau examenul de
Bacalaureat.
Materialul este format [n esen\` din dou` p`r\i distincte:
Partea [nt@i, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare, ce
cuprinde capitolele: Matrice, Determinan\i ]i Sisteme de ecua\ii liniare.
Partea a doua, intitulat` Elemente de analiz` matematic`, este format` din
urm`toarele capitole: Limite de func\ii, Func\ii continu`, Func\ii derivabile ]i Studiul
func\iilor cu ajutorul derivatelor.
Fi]ierul este organizat astfel:
Partea I, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare
Enun\uri
Rezolv`ri
Partea a II-a, intitulat` Elemente de analiz` matematic`
Enun\uri
Rezolv`ri
Am conceput Cuprinsul acestei lucr`ri astfel [nc@t s` se poat` urm`ri u]or, [n
paralel, cele dou` problematici tratate: Enun\uri ]i Rezolv`ri. {n cazul [n care ave\i dubii
asupra unui enun\ din acest material, pentru a g`si u]or [n manual problema propus` am
notat [n cadrul Cuprinsului ]i pagina din manual unde se afl` aceste exerci\ii ]i
probleme (coloana scris` cu albastru).
Modul de utilizare a fi]ierului
Pentru a u]ura g`sirea unei anumite probleme din manual sau a rezolvarii unui
anumit exerci\iu am conceput acest material [ntr-o manier` simpl` de utilizare. Astfel,
dac` utilizatorul dore]te s` vizualizeze setul de exerci\ii de la o anumit` tematic`, este
suficient ca, [n pagina de Cuprins (pag.3), [n coloana Enun\uri exerci\ii ]i probleme
propuse [n manual, s` se pozi\ioneze deasupra capitolului sau temei care [l intereseaz`
]i s` ac\ioneze butonul din st@nga a mouseului. Automat fi]ierul sare la pagina
corespunz`toare.
Similar se ac\ioneaz` ]i pentru ajungerea rapid` la pagina de rezolv`ri dorit`,
ac\ion@nd mouseul de data aceasta [n coloana Rezolv`ri exerci\ii ]i probleme.
O dat` ajuns [n pagina dorit`, [ntoarcerea la Cuprins se face prin ap`sarea casetei cu
s`geat` aflat` [n partea dreapt` sus a fiec`rei pagini ini\iale a fiec`rei sec\iuni.
2
V` dorim mult succes la matematic`
AURORII

CUPRINS
PARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare
Enun\uri exerci\ii ]i probleme pag.
propuse [n manual
Capitolul 1. Matrice
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice,
mul\imi de matrice. .............5
1.2. Opera\ii cu matrice .............7
1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar ..7
1.2.4. {nmul\irea matricelor ..........9
Teste de evaluare ................12
Capitolul 2. Determinan\i
2.1. Determinantul unei matrice p`tratice
de ordin cel mai mult trei ..........13
2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n
geometrie. .................16
Teste de evaluare ................17
Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare
3.1. Matrice inversabile din Mn ( ) ......19
3.2. Ecua\ii matriceale .............21
3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare . 22
Teste de evaluare ................26
Probleme recapitulative ............27
Enun\uri exerci\ii ]i probleme pag.
propuse [n manual manual
Capitolul 1. Limite de func\ii
1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` ...112
1.4. Calculul limitelor de func\ii .......114
1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice ..116
1.5. Opera\ii cu limite de func\ii .......118
1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor
de func\ii .................120
1.6.4. Limite fundamentale [n calculul
limitelor de func\ii ..........122
1.7 Asimptotele func\iilor reale ........124
Teste de evaluare ...............125
Capitolul 2. Func\ii continue
2.1. Func\ii continue [ntr-un punct ......127
2.2. Opera\ii cu func\ii continue .......129
2.3. Semnul unei func\ii continue pe
un interval .................130
Teste de evaluare ...............131
Capitolul 3. Func\ii derivabile
3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct ....133
3.2. Derivatele unor func\ii elementare ....135
3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile .......136
3.3.5 Derivarea func\iilor inverse .....138
3.4. Derivata de ordinul doi ..........139
3.5 Regulire lui l'Hôspital ...........141
Teste de evaluare ...............141
Capitolul 4. Studiul func\iilor cu
ajutorul derivatelor
4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor . 143
4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul
func\iilor .................145
4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor ....147
Teste de evaluare ...............148
Probleme recapitulative ............150
pag.
manual
7
14
24
24
32
34
37
52
62
64
66
70
74
90
96
97
Rezolvari exerci\ii ]i probleme pag.
Capitolul 1. Matrice
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice,
mul\imi de matrice .............30
1.2. Opera\ii cu matrice. ............33
1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar . 33
1.2.4. {nmul\irea matricelor .........38
Teste de evaluare ................51
Capitolul 2. Determinan\i
2.1. Determinantul unei matrice p`tratice
de ordin cel mai mult trei ..........54
2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n
geometrie. .................63
Teste de evaluare ................70
Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare
3.1. Matrice inversabile din Mn ( ) ......73
3.2. Ecua\ii matriceale .............80
3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare . 83
Teste de evaluare ...............102
Probleme recapitulative ............106
PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic`
pag.
manual
103
113
134
140
151
160
167
176
177
179
183
187
191
192
194
202
209
213
220
224
229
230
235
239
246
255
256
258
3
Rezolvari exerci\ii ]i probleme pag.
Capitolul 1. Limite de func\ii
1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` ...156
1.4. Calculul limitelor de func\ii .......160
1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice ..162
1.5. Opera\ii cu limite de func\ii .......165
1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor
de func\ii .................168
1.6.4. Limite fundamentale [n calculul
limitelor de func\ii ..........172
1.7 Asimptotele func\iilor reale ........176
Teste de evaluare ...............185
Capitolul 2. Func\ii continue
2.1. Func\ii continue [ntr-un punct ......188
2.2. Opera\ii cu func\ii continue .......192
2.3. Semnul unei func\ii continue pe
un interval .................196
Teste de evaluare ...............200
Capitolul 3. Func\ii derivabile
3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct ....203
3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile .......208
3.3.5 Derivarea func\iilor inverse .....214
3.4. Derivata de ordinul doi ..........219
3.5 Regulire lui l'Hôspital ...........222
Teste de evaluare ...............226
Capitolul 4. Studiul func\iilor cu
ajutorul derivatelor
4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor . 228
4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul
func\iilor .................237
4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor ....243
Teste de evaluare ...............260
Probleme recapitulative ............264

PARTEA I
ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL
SISTEME DE ECUA|II LINIARE
Capitolul 1. Matrice
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice
1.2. Opera\ii cu matrice
Exerci\ii ]i probleme
Teste de evaluare
Capitolul 2. Determinan\i13
2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei
2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie
Teste de evaluare
Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare
3.1. Matrice inversabile din Mn ( )
3.2. Ecua\ii matriceale
3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal`
Teste de evaluare
Probleme recapitulative
4

PARTEA I.
Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare
Capitolul 1. Matrice
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 14 manual
Exersare
E1. S` se scrie o matrice A M ( ), B M ( ), C M ( ), X M ( ) .
3, 2 2, 2 3, 4 2, 3
E2. S` se scrie:
a) o matrice coloan` cu 4 linii; b) o matrice linie cu 4 coloane;
c) matricea unitate de ordinul 5; d) matricea nul` de tipul (3, 4).
E3. Se consider` matricele:
A
B C
1 3 4
2 3 3
8
7 8 2 ; 4
;
1
;
D 2
i 5 7
.
2 5
0 4 1 3 5
1
i
a) S` se precizeze tipul matricelor A, B, C, D.
b) S` se scrie elementele matricei B ]i D preciz@nd linia ]i coloana pe care sunt a]ezate.
Exemplu: b 2, d 5,
... .
11 13
c) S` se completeze:
a23 ..., a32 ..., a22 ..., c31 ..., c21 ..., 1i ..., b23 ..., d14
...
]i altele.
d) S` se precizeze valoarea de adev`r a afirma\iilor:
3 ...,
4 ...,
• a11 a22 a33
reprezint` diagonala principal` a matricei A.
• diagonala secundar` a matricei A are suma elementelor egal` cu 12.
• a31 b22 c 21 d14 3 1.
• a b c d
2 2
U 12.
23 13
31
12
• a b 5d
.
23 21 11
a
E4. Matricea X 3 6 2
b
b determine a, b, c, m .
1b c 12
2
a 4
reprezint`
matricea nul` de tipul (2, 3). S` se
4 2m
x 1
2
E5. Matricea A 4
y
2
z 1 0
3u 2
v
0
1
t reprezint` matricea unitate de ordinul 3. S` se
2
1x
determine numerele complexe x, y, z, t, u, v.
5

E6. S` se determine elementele necunoscute astfel [nc@t s` aib` loc egalitatea:
2
1
a)
x
5
1
y 6
x y
5 1
;
42x y
x
y
b)
4
2x
y
3
2x
y
x
2y
y2
.
5
E7. Se consider` matricele A M4, 5n
( ) ]i B M 2 ( )
m , 2
. S` se determine m, n astfel
[nc@t s` fie posibil` rela\ia A B.
Sintez`
S1. S` se scrie matricea A aij
S2. S` se scrie matricea
B b ij
44 33 , ]tiind c`
aij max i, j , i, j 1,
4 .
, ]tiind c` b j , i, j 1,
3.
2,
dac`
i j
S3. S` se scrie matricea C c
ij
, ]tiind c` c
i j
34 ij 1,
dac`
.
i j i
( 1) A j , dac`
i j
4
S4. Se dau matricele A 3
5
2
2x
6
4
1 ]i
2
y 6
4x B
0
4
6
2
x 0
2
10
2y
.
a) S` se scrie tr (A) ]i tr (B).
b) Pentru ce valori ale lui y are loc egalitatea a33 b33 a21 b12
?
c) Pentru ce valori ale lui x are loc egalitatea a22 2b22 a32 b23?
d) S` se determine x, y astfel ca tr( A) tr( B) a b
.
ij
i1
13 31
S5. Se dau matricele p`tratice
x1 A
2
log
2 ( a1) 0
] i
2
4y 3x
x x
3 9
B
a
3bi1
2
y 2y
lg
3 .
2
3!
Cn
a) S` se determine x, y, a astfel [nc@t A I 2 .
b) Pentru ce numere x, y, a, b, n are loc egalitatea O2 B?
S6. S` se determine elementele necunoscute din urm`toarele egalit`\i de matrice:
2
a 4 a b
a
a)
2 1
2 2
Cn
x
2
C
1 7
n
;b)
3x
( 12x ) z 2x
1 x 2
2
4
.
3 2
b 3
4 log2
a
S7. S` se determine numerele reale pozitive x, y, z, m, p pentru care urm`toarele matrice sunt
egale:
2
x x
y
x y
A
2
B
C
m 2
3
3 4 5
, , 2
2 .
3 2 3
m C p
6
z1

1.2. Opera\ii cu matrice
1.2.1. Adunarea matricelor
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 24 manual
Exersare
2
E1. S` se calculeze: a)
5
1
4
3
7
2
3
8
0
5
4
;
b)
2a
3x b
a
8y
2x
6 5b
;
c) 1
6y
2
3
2
0
4
5
5
2
1
4
2 5
3 3
7
1
1
5
3
2 .
8
3
E2. S` se calculeze: a)
1
2
4 6
5 0
1
1
2 0
2
0
i
;
b) 2
1
1
4
i
1
3
2
1
3
2
0
0
3
4
4
i
2
6
.
E3. Se dau matricele:
A B C
1
1
2
3
0
1
;
2
0
3
1
2
1
;
0
2
4
2
3
5
.
t t t t
a) S` se calculeze A B, A B, A B, ( A B), ( A B).
t t t t
b) S` se calculeze A C, B C, ( A B C).
E4. Se dau matricele p`tratice:
2x A 1
v
4y u
2v 3z
1
4
,
B y
t
3
x
z
v
2y
v
x
x z
3
, C 2
2
2
3
4
3
3.
2
S` se determine x, y, z, u, v, t astfel ca A B C.
E5. S` se determine matricea X M2 ( ) dac`
1
2 1
1 1
1 2
4 5
3
1
2
X
1
4 .
1 5
5 6
a b
E6. Se d` matricea de ordinul trei, A
2
a 1 10.
S` se determine numerele reale a, b,
3 3c 2
n
c, n astfel ca t A A.
7

E7. Se d` matricea A
2 3
.
S` se scrie matricea A sub forma:
5 2
E8. S` se calculeze:
a) 1
2
A B C, A A A , A I E, A DI .
6 8
2
18 6 12
;
b)
12 0, 2
3
15 2
C 15
3 ,
2
1 2
; c) 2 1
2 2
E9. S` se determine matricea X ]tiind c` are loc egalitatea:
X
1
2
1
4
0
3
5
0
( 1)
1
2
1
5 3
1
3 2
4
3
1
5
5
1
.
3
E10. S` se determine constantele x, y, z, a, b, c din egalitatea:
2
x
3
2y
4
4z
1
5
1
a
3 4b 2
7
3c
21
13
2
22
.
8
Sintez`
x
x
S1. Se dau matricele: A B C
y
z C
2 5
2
4
4 6
, ,
5
6
3
9 log
.
S` se determine elementele necunoscute ]tiind c`
1
2 0
3
1
2i 1i
; d) i
.
3 8 3i
4
1 2
2
t t
A B C.
S2. S` se determine x, y, z, t pentru care are loc egalitatea:
x
x
I x
x
z
y
t
1
1
2
0
3 2
2
1
9
0
2 4
.
4
S3. S` se determine matricea A [n fiecare caz:
1
a) 2A
3
2 5
1 1
6
3
;
4
b) 3A5
3
1
1
2
2
0
0
1
4
1
;
9
c)
4
1
0
12
3 3
4 7A
1
1 5
0
4
0
2 6
3
6 3
1,5
0
12
.
S4. S` se determine matricele A, B ]tiind c`:
a) A B
3
2
2
2
1
]i
2A
B
3 1
1
;
1
2
b) ( 1
)
1
1
2
i
i A B
i
]i
A i B 2 ( 1 )
i
1i
1i
.
2
i
S5. S` se calculeze matricea:
n
a) A
k
k
k
k k
1
3
1
;
( 1)
b) A
n
k1
1 2 3
2
2 3
8
k k1
k k k
.
2
n

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 32 manual
Exersare
E1. S` se calculeze:
4
a)
6
5
2 1
;
– 1
– 3 – 2
1
b)
4
– 2
1
1 2
4
;
1
–
1
c) 1
2
2
0
2
i
0
1
– 2
– 1
3
;
– 4
3
d) 2
1
1
1
2
1
2
2
2
3
0
1
1
1
0
2
4
–
–
–
cos
sin
;
tg
1
e)
3
1
– 1
2 3
1
2
– 1 1
1
3
1
2 4
– 1
1 2
0
– 1 – 1
–
1
2
1
2
.
2
t t t t
E2. Pentru fiecare pereche de matrice (A, B) s` se determine AB, BA, A B, B A .
a) A B
1
3
3
,
1
1
–
2
1
1
1
;
–
2
1
b) A 2,
3
B –
3 1 – 1;
– 1 1
c) A
cos
1
2
sin
6
,
2
– 2 1
B
1 3 ;
–
2 tg0
d) A B
1
0
1
0
1
0
0
0,
1
0
–
3
1
0 – 4
0 0 .
– 1 1
E3. Pentru matricele
A
B
– 1
0
– 3
2
2
1
,
3
1 0
0
1
1
– 4
0
0
5
s` se verifice egalitatea
t t t
t t
AB B A.
]i s` se calculeze AB B A.
E4. Se dau matricele p`tratice:
A
B
C
– 1
2
1
0
– 1
1
3
5 1
2 ; 1
1
0 –
1 1
– 2
0
3 ;
–
1
– 2
–
4
2 0
3 – 1.
0 – 2
S` se verifice egalit`\ile matriceale:
a) A( BC ) ( AB ) C;
b) A( B C) AB AC; c) ( A B) C AC B C.
9

E5. S` se calculeze urm`toarele puteri de matrice:
2
1
2
1
1
;
– 3
3
3
– 1
2
;
2 –
1
5 2
– 1
; 3
1
0
2
1 1
– 1 0 .
1 – 2
– 1 2 – 2
2 3 2006 3 10
E6. Fie matricea A
4 – 3 4 .
S` se calculeze A , A , A ]i ( A I
) .
4 – 4 5
E7. Se d` matricea A
1 1
.
Folosind metoda induc\iei matematice s` se calculeze
0
1
n *
A , n .
E8. S` se determine X M2 ( ) care verific` egalitatea matriceal`:
a) X X
– 1
3
2
5
4 4
10
;
2
– 1
b)
2
3
5
1
4
7
.
0
E9. Se d` matricea E
– 1 0
3
]i
f ( X ) X – 4X 2
I 2.
S` se determine matricele:
2 – 1
a) B f ( A) – f ( AI ); b) C f ( A) 2
f ( A – A).
Sintez`
2 2
S1. S` se determine matricea X care verific` egalitatea:
1
a)
0
1
1
1
0
1
3
3
2
X
;
1
b) 0
2
4
1
2
1
3
3
X
8 ;
5
9
1
c) 2
1
1
0
1
1
8
3
X
9
2
3
2
5
1
1
4 .
5
S2. Se dau matricele p`tratice A B
1
0
matriceale:
5
2
,
1 1
1
.
S` se rezolve [n M2 ( ) ecua\iile
1
a) AX I 2; b) AX B;
c) XA B ; d) AX XB ; e) BXB A.
S3. S` se determine matricea A M2 ( ) , de forma
2
1 1
A 3A 2I 2
.
1 1
t
a
b
, care verific` egalitatea
b
a
1 2
3 1
0
3
S4. S` se rezolve ecua\ia matriceal`: 2A
A
I 2 .
1
1
1
1
4
1
10

S5. Exist` matrice A M2 ( ) care verific` egalitatea
1
1
1 1
A A
?
3
2 3
2
1
0 2
S6. S` d` matricea A
0 1 0 .
S` se determine numerele x, y astfel [nc@t s` fie
2 0 1
3 2
verificat` egalitatea A xA yA.
Facultatea de Inginerie economic` Tg. Mure], 2002
3 1
S7. S` se determine puterea n a matricei A 2 2
.
1 3
2 2
Facultatea de inginerie Sibiu, 2002
2 1 0
S8. S` se determine puterea n a matricei A 0
1 0.
0
0 2
x x
S9. Fie matricea A( x ) ( ).
x x
1 2
M2
6 13
a) S` se arate c` A( x ) A( y) A( x y xy), x, y .
b) S` se verifice egalit`\ile:
1 1 1 1
2 2 3 3
A ( x ) A ( x ) , A ( x ) A ( x ) .
c) S` se calculeze A 2006 ( 1).
S10. Fie matricele A
B
1 1 2
0 1 2
0 1 1 , 0
0 1.
0 0 1 0
0 0
n
a) S` se arate c` A I 3 B
]i s` se calculeze A , n * .
2 3 20
b) S` se calculeze suma S A A A ... A .
k
S11. Se dau matricele A B
k
1 1
1
,
2 .
0 1 1
a) S` se determine matricea C( k ) AB A.
b) S` se calculeze suma de matrice S C ( 1) C( 2) ... C(
20).
t
11
Universitatea Politehnic` Timi]oara, 2002

pag. 32 manual
Teste de evaluare
Testul 1
1
1. Fie A M A
3(
), 0
0
x
1
0
2
x
x ]i
2a13 3a
23.
Dac` 5, atunci:
1
a) x 1; b) x 2, 5;
c) x 0, 1;
d) x
5
2
1 , .
2. S` se determine numerele reale x, y cu proprietatea c`
x y
x
y
1
2
2
3
1
1 4
x 5
5
4
.
1
3. Fie A 0
1
1
1
0
1
10 9
0
M 3(
) ] i B A A .
1
a) S` se calculeze Tr( B) ] i b31 b22 b13;
n *
b) S` se calculeze A , n
Testul 2
x
1. Se consider` mul\imea de matrice M A x
1
( )
0
( 1)
a) S` se arate c` I 2 M .
b) S` se arate c` dac` A, B M , atunci AB M .
n *
c) S` se calculeze A , n ] i A M
.
x
x .
2. S` se determine numerele x, y, z, t pentru care:
x x
2
4 2
Cz y y
3 9
4
5 2
5At1
9
18
.
12
1
3. S` se determine matricea A M2 ( ) ]tiind c`:
0
1
1
1
0
1 4
1 3
7
7
A A
t
.
4. Fie A, B ( ), A
b
a x
, B .
y
0
M2
0 0
0
2
S` se arate c` matricea ( AB BA)
are cel pu\in dou` elemente nule.
12

Capitolul 2. Determinan\i
2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mult trei
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 52 manual
Exersare
E1. S` se calculeze urm`torii determinan\i de ordinul doi:
2 a)
8
5
2
; b)
10 3
6
15 ,
; c)
32 5
72 , 2 i
; d) 2
8 i
1
2
i .
E2. S` se calculeze, scriind sub forma cea mai simpl`, determinan\ii:
7
a) 5
9
8
3 ; b)
25
3
2
32 1 3
; c)
75 1 5
5 1
log 100
; d)
31 8
0, 5
;
lg 01 ,
2
4
3
3
3! e)
0! 5!
A
; f)
4!
C5 A
C
1
x1 2
; g) 3 y1 4 9
2 y
3
x
2
2
( 1i)
; h)
i
i
( 1i)
E3. S` dau matricele p`tratice A
2
7
1
B
4
,
4 6
5
.
Compara\i numerele:
2
a) det ( A) det ( B)
]i det ( A B).
b) det ( AB) ] i det ( A) det
( B);
c)
det 3( AI ) ] i det ( A2I ).
2 2
E4. S` se rezolve ecua\iile:
x
a)
x
4
3
2
20; b)
5
2
3x 1
10;
c)
x
d)
3x 4x 1
x 5;
e)
x 1
x
x i
i
2x
x
3
i
2
x x
3 x
; f)
3 x
1 2
3x x 1 4;
x 2
x
2 1
.
x
x
18
E5. S` se calculeze determinan\ii de ordinul al treilea prin cele trei reguli de calcul:
3 1
2 2 1 3
1 2 5
0! 1! 2!
a)
e)
1 4 5
2 1 1
P P P
0 1 2
2 0
2 1
2 2
3 1
3 2
3 3
C C C
A A A
; b)
3 2 1
1 3 2
; c)
10 20 40
100 200 400
2 1
0
4 1
0
; d)
11 21 47
; f) 1 5 7 ; g) 1 18 7 ; h)
0 0 0
1! 2! 0!
;
2! 0! 1!
2
.
8
2 8
3 7 3
.
1
5 1
E6. Enun\a\i c@te o proprietate a determinan\ilor ]i da\i un exemplu de aplicare a acesteia.
E7. Folosind propriet`\ile determinan\ilor s` se calculeze determinan\ii:
300 400 500
10 1
3
5 11 1
a)
1 1 4 ; b)
3 4 5
50 1 1
100 2 1
13
; c) 15 22 3
;
25 44 5

1
d) 1
1
a m
b n
c p
; e)
E8. Se consider` determinantul d
x y y
y x y
y y x
8 9
10
4 6 3
.
12 5 1
; f)
a b c
b c a
c a b
a) S` se determine complemen\ii algebrici ai elementelor determinantului d.
b) S` se calculeze d folosind dezvoltarea dup` coloana a doua ]i apoi dup` linia a treia.
c) Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se formeze dou` zerouri pe coloana [nt@i, apoi s` se
calculeze determinantul ob\inut folosind dezvoltarea deter- minantului dup` coloana [nt@i.
Sintez`
S1. S` se calculeze valoarea expresiei: 1
8
4
4
6 3
25 2
1
5
1
2
1 25 .
0
S2. S` se verifice dac` urm`toarea egalitate este adev`rat`:
20
3
2
6
3
4
5 5 2
7 4 17
10
3
4 17 5
0
5 2 3
5
4
2
1
1
7
1
7
3
1
1
.
S3. S` se rezolve ecua\iile:
x ( x 2) a)
5
x 3 2
x x 14
;
b)
4
3x x 2 i
2 3i
3i
i
;
c)
x ( x 1) 4
x 5x
2
;
5 2 x 1
x
d)
x2 x
3 9
4 1
2 3
.
x1
1 3
S4. S` se rezolve ecua\iile:
x
a) 1
1
1
x
1
1 7
1 3
2 7
1
9
1
2
4 ; b)
5
x
1
1
1
x
1
1 1
1 1
x x
1
x
1
x
2
( 1 i)
1
2
1
1
;
i
2x 1
2 1
x x x
1 x
x x
c) 3x 2 1
3 ; d) x x x
x 3
4 2
2
x x x
1 2
1
3 4 5
4 5
2 2 1 3
.
S5. Se consider` ecua\ia
se calculeze S x x x
1 3
2 3
x 1
1 2
x 1 x 3
0 x 1x
3 3 .
x 1
1
5
14
. Dac` x1, x 2, x 3 sunt solu\iile ecua\iei, s`
.

S6. Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se calculeze urm`torii determinan\i scriind rezultatul
sub form` de produs:
a)
d)
2
a a
2
b b
2
c c
1
1
1
a a1 a2
c c1 c2
2
a a 1 a1
; b) b b1 b2
; c) b b 1 b1
;
a b m n x y
b c n p y z
c a p m z x
S7. S` se verifice egalit`\ile:
a)
b)
; e)
2a 2a
a b c
b c a 2b 2b
2c c a b 2c
x y y z z x
2 2 2 2 2 2
x y y z z x
3 3 3 3 3 3
x y y z z x
yz xz xy
2
2
c c 1 c1
x y z
a1 a1 a 1
2
x
2
y
2
z ; f) b1 b1 2
b 1
.
3
( a b c)
;
2 xyz ( x y)
(y z ) ( z x
).
c1 c1 c 1
2
S8. Fie A M2 ( ) . S` se arate c` are loc egalitatea A tr ( A) A det ( A) I 2 O
2 (rela\ia
lui Hamilton-Cayley).
1 2
1
S9. Se d` matricea A 1
1
3.
0
1 4
a) S` se calculeze d det ( A) ] i t tr ( A).
b) S` se calculeze s 11 22 33
, unde ii reprezint` complementul algebric al elementului
aii din matricea A, i 1, 2, 3.
c) C@t este suma s1 a1312 a23 22 a33
32 ?
3 2
d) S` se verifice egalitatea matriceal` A tA sA dI O .
3 3
2 S10. Se dau matricele A
1
2
dac` i j .
1
1
1
4
3 ]
i B ( bij ) 3 3,
unde bij i,
dac` i j ] i bij i j,
0
a) S` se determine det ( A), det ( B) ] i det ( AB ).
b) S` se verifice dac` are loc egalitatea det ( AB ) det ( A) det
( B).
c) C@t este suma s b b b
?
11 31 12 32 13 33
C`rei propriet`\i a determinan\ilor corespunde rezultatul?
S11. Aplic@nd propriet`\ile determinan\ilor, s` se arate c` urm`torii determinan\i sunt nuli:
a b 3 c
a b 2 a b
2
a
2
( b c) b c a
a)
b c 3 a ; b)
c a 3 b
2 2
a b a b 2ab
2 2
2ab a b a b
15
; c)
2 2
b ( a c) a c b .
2 2
c ( a b) a b c
2
2

2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 62 manual
Exersare
E1. Se dau punctele A ( 2, 4) ] i B(
1,
3).
S` se scrie ecua\ia dreptei AB ]i s` se verifice dac`
punctul C( 5, 11)
este coliniar cu punctele A, B.
E2. Care din urm`toarele triplete de puncte sunt formate din puncte coliniare:
a) A ( 1, 9); B( 2, 3);
C(
4, 1). b) M ( 2, 3); N ( 1, 1);
P(
1, 5).
c) E( 4, 2);
F ( 2, 1); G(
6, 3). d) T ( 2, 1); U( 3, 1); V ( m, 2m5). E3. Se dau punctele A( 2, 3), B( m1, 2m), C(
1, 5).
a) S` se determine ecua\ia dreptei AC.
b) Pentru ce valori ale parametrului m, punctele A, B, C sunt coliniare.
c) S` se determine triunghiul ABC cu aria 22,5.
E4. Se dau punctele A ( 3, 2), B( 5, 4), C(
1, 3).
a) S` se scrie ecua\iile laturilor triunghiului ABC.
b) S` se determine lungimile [n`l\imilor triunghiului ABC.
c) S` se determine A ( ABC)
.
E5. Patrulaterul ABCD are v@rfurile A ( 1, 2), B( 8, 2), C( 6, 4), D(
3, 4).
a) S` se scrie ecua\iile laturilor patrulaterului.
b) S` se scrie ecua\iile diagonalelor patrulaterului.
c) S` se compare distan\ele punctelor A ]i C la diagonala BD .
d) S` se calculeze aria suprafe\ei (ABCD).
Sintez`
S1. Se dau punctele A ( 1, 0), B( 2, 4), C( 1, 4) ] i D(
3, 5)
.
a) S` se reprezinte punctele [n plan ]i s` se scrie ecua\iile dreptelor
AB, BC, CA, CD.
b) S` se determine distan\ele de la v@rfurile B ]i D la dreapta AC.
c) S` se compare ariile suprafe\elor (ABD), (BCD) ]i (COD).
d) Dac` punctul M ( m, m2
) este coliniar cu B ]i C, calcula\i aria
suprafe\ei (MAD).
x x
S2. S` se determine x astfel [nc@t punctele A ( 1, 1), B( 2 , 2
coliniare.
1
2),
x 1 x
C
2 2 2 2 2 2
S3. Se dau punctele A (sin a, cos a), B(sin b, cos b), C(sin c, cos c).
1
a) S` se verifice dac` A ( OAB ) sin a b) sin( a b)
.
2
b) S` se arate c` pentru oricare a, b, c , punctele A, B, C sunt pe o dreapt`.
16
( 2 2, 2 ) s` fie

S4. Se dau punctele distincte A ( 2, m), B( m1, m), C(
1, 2).
a) S` se determine m astfel [nc@t punctele s` fie coliniare.
b) S` se determine m astfel ca aria suprafe\ei (ABC) s` fie 1.
S5. Se consider` punctele A ( m, 2m1), B( m1, m 2).
Pentru ce valori ale lui m are loc
23
egalitatea A ( OAB ) .
2
S6. S` se determine m, n astfel ca punctele A, B, C s` fie coliniare [n cazurile:
a) A ( m1, 3), B( 2m, m), C( 2m 3, 1m).
b) A ( m n, 1m), B( 2m n, 1), C( m, n1).
S7. S` se determine m astfel ca punctul A ( 1, 1 ) s` fie la distan\a 3 fa\` de dreapta BC, unde
m
B
m C
2 6
7m 1
0,
, 1,
.
1
m1
S8. Se consider` punctele A ( 3, 2), B(
2, 4 ). S` se determine punctele M situate pe dreapta
x y
3 0 pentru care A A
( OAM ) ( OBM ) .
S9. Exist` puncte A ( m, 1), B( 1 , m), C( m, m)
astfel [nc@t A ( ABC) 2 ?
pag. 64 manual
Teste de evaluare
Testul 1
1 0 2
1 4 5 3 2
1. Se d` expresia E 51 1 5 ( 1) 6
.
2 2 3
3 2
1
Valoarea expresiei este: a) –2; b) 2; c) 20; d) –36.
2 1
3
2. Se d` matricea A 1
4 5.
S` se calculeze det ( A ) utiliz@nd:
4 2
6
a) regula lui Sarrus;
b) regula triunghiului;
c) dezvoltarea dup` linia a doua;
d) dezvoltarea dup` coloana a doua;
e) dezvoltarea dup` coloana [nt@i dup` ce s-au ob\inut dou` zerouri pe aceasta.
f) o proprietate a determinan\ilor nuli.
x x x
3. Se dau matricele A
B
C
x
x
2 3 2 1
1
, ,
. Suma solu\iilor ecua\iei
1 1 5 1 2
3
2
det ( A B) det ( C ) este ... .
4. Punctele A ( 2m1, 3), B( 1, m) ] i C(
4,
2)
sunt coliniare dac` m ... .
17

Testul 2
1. Fie S 1 , respectiv S 2 mul\imile solu\iilor ecua\iilor:
a)
b)
x x
4 1 3 2 8 2 3
5 3 3 2 7 2
5 1,( 6)
;
3 1
y 4 y5 y1
2y 1 1
1 y1
3 .
1 2y
y2 1
y
S` se determine S , S , S S , S S
.
1 2 1 2 1 2
1
2. Se d` matricea A
2
det( A) det A ...
2
1
2
1
2
, unde este solu\ie a ecua\iei x x 1 0.
Atunci
1
2 .
2
x y b
x b x
3. Se dau matricele A
a z B a y z C
c
z
c b
0
0 0 y
, , a y 0
0
0 c
b z
]i
n x det ( A) a det ( B) c
det ( C).
Atunci n... .
m
4. Se consider` triunghiul ABC, cu A
2
B 1
, 1 3m,
]
i C(
1, 2)
. Valoarea lui m
3 4
pentru care d( C, AB)
3 este ... .
18

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare
3.1. Matrice inversabile din Mn ( )
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 70 manual
Exersare
E1. S` se determine care din urm`toarele matrice sunt inversabile:
a)
2
4
5
;
b)
2
3 3
5
5
; c) 2
7
9
2
2
3
; d)
4
1
1
2
2
.
E2. S` se determine inversa matricei:
2
a)
8
1
8
; b)
5
2
3
6
1
;
c)
4
1
0
0
;
d) 3
1 2
2
2
;
3 3
1
e) 1
2
1
1
1
1
2
0;
f) 0
1
0
1
1
0
3
3
4 ;
g) 0
5
1
2
2
2 0
1
2 ;
h) 2
3
1
3
0
2
2
1
1
.
E3. S` se determine m pentru care matricea este inversabil`:
a) 2
3
m
; b)
6
m
20
5
; c)
m
m
3
2
7 2
;
d) m
3m
m2
m
3
m
;
1
m
e) 1
0
m1
1
m
2 2
m
3;
f) 2
2
1 m
4
1
11
3
2 m
0;
g) m
9
1
3m1 1 1
2
m1
1;
h) 4
m 1
2
1
9
1
7
m
7
2
.
7
E4. Se dau matricele A B
1
4
2
7
]i
10 3
5
.
2
a) S` se arate c` matricele A, B, AB ]i BA sunt inversabile ]i s` se calculeze inversele lor.
1 1 1
b) Este adev`rat` egalitatea ( AB) B A
?
2 1 1
2
2 1 1
2
c) S` se verifice egalit`\ile ( A ) ( A ) ]i ( B ) ( B ) .
E5. S` se determine matricea A a c`rei invers` este:
a) A
5
1
3
2
8
1
;
b) A
2
1
1
4
0
2
;
c) A
2 1
0
1
1
4
2
1
1;
d) A
0
1
5
1
0
1
5
11
5
2
4
5
7
5
1 .
3
5
19

Sintez`
S1. Care din urm`toarele matrice sunt inversabile:
x
2
a)
x
4
x
5
x ; b)
10
lg
1
2
2
0! ; c)
lg5
8
3
4!
;
C4 d)
A
2
3 2
1
?
1
S2. S` se determine inversa matricei:
i
a)
3
2
i
;
b)
4
i
2 3
1i 1i
;
c)
sin x
3 2
cos
x
1
cos x
; d) 4
sin x
1
2
2
Cm 3
3
1
C
m
5 .
2
S3. S` se determine valorile parametrului real m pentru care matricea A este inversabil`, oricare
ar fi x .
1
a) A 2
m
x
1
x
2
1
x ;
b) A 1
3
m
3
x
2
x
1
1;
c) A m
x
2
2
1
1
x
3.
2
* 1
S4. S` se determine m astfel [nc@t A A dac`:
2
a) A 3
3
0
m
3
m
4
1
1 ;
3
m 3
b) A
3
0
m
5
1
1
2 ;
m
2m1 c) A
m
3m
2
1
1
2
4
1;
3
m
4
d) A
3
m
2
1
1
1
0
3.
1
S5. Fie A B n
arate c`:
, M ( ), , , ,
1 2 3 dou` matrice inversabile astfel [nc@t AB BA.
S` se
n
1 1
1 1
a) AB B A;
b) A B BA ; c) A B B A
1 1 1
S6. Se d` matricea A 2
2 2.
3
3 3
a) S` se determine produsul ( I A) ( I A).
3 3
1 1 1 1
.
1
3
b) S` se arate c` I 3 A este matrice inversabil` ]i s` se calculeze ( I A)
.
20

3.2. Ecua\ii matriceale
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 74 manual
Exersare
E1. S` se rezolve ecua\iile matriceale:
1
a) X
3
2
2
5
3
1
1
1
; b) X
3
2
2
3
5
0
1
1
1
;
2
c)
3
3
1
4
1
1
0
X
2
;
d)
1
1
3
i
1
5
1
X
.
2i
E2. S` se rezolve ecua\ia matriceal`:
3
a)
4
2
4
3
5
1 1
1 0
0
1
X
;
b)
1
3
2
2
Y
1
0
1
1
2 3 4
4
;
5
1
0
2 1
c)
3 2 1 0
2
1
2 0 0 1 1 2
X
1 1
2
3I 2 .
3 0
E3. S` se determine matricea necunoscut` din egalit`\ile:
2 a) 3
1
3
4
1 1
1
2
X
0 ;
b) X
2
2
1
1
1
1
0
1
2
1
1
0
1
2
1
1
3
;
2 2 3
1 2 3
0 1 1
c) 1 1
0
0 1 2
1
2 1
0
0 1
X 0
1 1
0
0 1
.
E4. Se dau matricele A
B C
1 1 1
2 1
2 3
1 1 1 ,
, 1
0
3
4
0 0 1
0
1
.
S` se determine matricea X care verific` rela\ia:
a) AXB C ; b) BXA C .
t
21

3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei
necunoscute. Forma matriceal`
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 90 manual
Exersare
E1. S` se scrie matricele asociate urm`toarelor sisteme de ecua\ii:
x
2y 3
x
2y z 1
3x
5y 7
a) ; b) 2x
4 y 1
; c) 4x
y 3z 0 ;
8x
y 2
5x
6 y 8
9x
2y z 4
3x
2y z x y1
3(
x 1) 4( 2 y) 3( z 2)
a
b c 6
d)
; e) x
y 3z ix 2
; f) 2(
1x ) 3( z y) 5( x y)
.
3a2b
c 11
ix
iy z 2( x 1)
3(
x y) 4( y
z) 2( x y z)
E2. Care din sistemele de numere ( 3, 2); ( 2, 4); ( 6,
2); ( i , 1)
sunt solu\ii ale
sistemelor de ecua\ii:
2x
y 8
x
y 4
a)
; b)
3x
4 y 10
2x
5y 2
;
(
2 i) x 4 y 32i 3(
x i) i( y1)
0
c)
; d)
.
2ix
iy 2 i
(
1i) ( x 1) ( 1i) ( y1)
2
(
a 3) x 3y 8
E3. Se d` sistemul de ecua\ii
, a, b
. S` se determine a ]i b astfel [nc@t
4x
( 2b 3) y 18
solu\ia sistemului s` fie:
a) ( 1, 2);
b)
7
, 5.
4
E4. S` se scrie sub form` matriceal` ]i s` se rezolve sistemele de ecua\ii:
3x
4 y 7
2x
3y 1
3(
x y) 2( x 2y ) 5
a) ; b) ; c)
;
2x
3y 5
5x
7y 3
4(
x y) y2x 2
2x
y 3z 6
2(
3x y) 5z 3
y x
y z a
d) 4x
y z 10
; e) 4(
x y z ) 2y 3z
; f) 2x
5y 3z b .
3x
y2z 1
2x
3y 10z 2
x
3y 2z c
E5. S` se determine care din urm`toarele sisteme sunt de tip Cramer ]i s` se rezolve prin regula
lui Cramer:
x
8y 5
2(
x y) 3( x y)
1
a)
; b)
;
3x
9 y 11
8x
5( x 3y ) 4
3x
4 y2z 3
x
2y 2z 10
c) 5x
y 3z 6 ; d) 2x
y z 2
.
x
6 y z 4
x
y z 4
E6. S` se rezolve sistemele de ecua\ii prin regula lui Cramer:
x
2y 4
a) ;
2x
5y 9
2x
5y 1
b)
;
3x
7y 2
4x
3y 17
c)
;
6x
5y 3
22

x
y z 2
d) 2x
3y z 5
;
3x
y 3z 4
x
2y 4z 2
e) 3x
4 y z 13
;
2x
y 3z 9
2x
y 3z 1
f) x
y2( y z)
4 .
2(
x z ) ( 3y x ) 10
E7. Se consider` sistemul de ecua\ii A X B , unde
A
x
X y
z
B
3
4
5
2
1
2
1
2 ,
3
,
4
8
8
.
a) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin metoda matriceal`.
b) S` se scrie ecua\iile sistemului.
c) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin regula lui Cramer.
E8. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii:
x
y 4
a) ;
2x
3y 9
2x
y 3
b) ;
x
2y 0
x
y z 1
c) x
2y 2z 1;
x
y2z 2
2x
5y 3z 17
4x
6 y 3z 0
d)
;
6x
10y 10z 8
x y z 6
x
y 3z 1
2x
y2z 1
e)
;
2x
3y 2z 4
x 2y 3z 1
x
y2z 4
x
2y z 2
f)
;
2x
3y z 6
3x 4 y 3z 10
2x
3y z 1
x
2y 3z 0
g)
;
2x
10y 8z 1
4x 15y 9z 0
2x
3y z 1
h)
;
x
y2z 3
a2b
c 10
i)
;
3a2b
c 7
x
y z 1
j) 2x
y z 2.
x
3y z 1
Sintez`
S1. S` se determine m astfel [nc@t sistemul s` fie de tip Cramer ]i s` se rezolve [n acest caz:
x
my z 2m
x
my z 8
a) x
2y z 1
; b) 2x
y2z 6 .
2
mx
m y2z 2
mx
2y z 4
S2. Pentru ce valori ale parametrului m sistemul de ecua\ii nu este de tip Cramer?
x
( m1) y z 2
2x
3y ( m2) z 0
a) mx
y z 0 ;
b) 3x
y mz 4 .
x
2y mz 3
3x
y z 6
23

S3. S` se rezolve prin metoda matriceal`, metoda lui Cramer ]i metoda lui Gauss sistemul de ecua\ii:
7
1
1
x
3y ( 5x 12z
)
( 5x 2y ) 1 x ( y2)
4 5
9
a)
; b) 9y
20z 6( x 48y).
1
1
( 5x 3y ) ( 9y 11) x y
x y z
7 14 2
3 4 128
S4. S` se rezolve prin regula lui Cramer sistemele de ecua\ii:
x
y ( 2 i) z 22i C3x C y C z
a) x
iy ( 1i) z 1
; b) C x C y C z
ix
iz 1 i
A x A y A z
1
3 2
3 3
5 1
5 0
5 2
3 2
3 1
3 3
4 2
2
4 6.
2 0
S5. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii:
2(
x 2y ) 3z 11
2x
y 2 z x
y 3z 1
5x
3y 65z 2x
x
3y 5 z 2x
y 2z 1
a)
; b)
; c)
;
3(
x z ) 15 y5z x
y 75z x
y z 3 0
6( x y) 11z 4 y
2x 3y 14 3z
x 2y 3z 1 0
3x
4z 2( 2
y)
2x
7y 4z 0 x
4 y ( 2m 3) z 0
d) 5y
7z 4( x 2)
; e) 5x
2y 8z 0 ; f) x
my z 0 .
11x
31y 47z 68
12x
3y 20z 0 2x
y 8, m
2x
y ( m1) z m
S6. Se d` sistemul de ecua\ii x
( m1) y mz 2m
.
5x
4 y 3( m1) z 3
a) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul este compatibil determinat?
b) S` se rezolve sistemul de ecua\ii ob\inut pentru m 0, m 1, m 2.
x
y z 1
S7. Se d` sistemul de ecua\ii ax
by cz 2
. }tiind c` a, b, c sunt numere reale diferite,
2 2 2
a
x b y c z 4
s` se rezolve sistemul.
(
2m1) x 3y mz 1
S8. Se consider` sistemul de ecua\ii 3x
( 2m1) y ( m1)
3.
(
m2) x ( m2) y z 2
a) S` se scrie matricea A a sistemului ]i s` se rezolve ecua\ia det ( A) 0.
b) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul nu este de tip Cramer?
c) Dac` sistemul este de tip Cramer s` se determine solu\ia sistemului notat` ( x m, ym, z m ).
d) S` se determine m astfel [nc@t s` aib` loc rela\ia x m 2y m z m 1.
2x
y z 1
S9. Se consider` sistemul de ecua\ii x
y z 2 ,
.
x
y2z 4
a) S` se determine solu\ia ( x ( a), y( a), z ( a )) a sistemului de ecua\ii.
A a y( a)
1
.
b) S` se determine mul\imea
24
ASE Bucure]ti, 1998

ax
y z 4
S10. Sistemul de ecua\ii (
1) x ( 1) y2z 7,
,
este compatibil determinat
2y z 4
pentru:
1
a) 1, 0;
b) 1, 0;
c) , ; d) 1, .
2
Universitatea Gala\i, 2004
2x
y 3z 1
S11. S` se discute dup` m ]i s` se rezolve sistemul: x
y z 1
.
2y mz m
mx
y z 0
S12. Sistemul de ecua\ii x
my 2z 0 are numai solu\ia nul` (0, 0, 0) dac`:
y z 0
a) m 1, m 2;
b) m 0; c) m 2; d) m .
Politehnic` Bucure]ti, 2004
S13. Pentru golirea unui bazin cu ap` se utilizeaz` trei robinete. Timpul de func\ionare a
fiec`rui robinet ]i cantitatea de ap` evacuat` exprimat` [n hectolitri sunt date [n tabelul matriceal
al`turat.
Tabelul 3.3.
Robinetul I
(nr. de ore)
Robinetul II
(nr. de ore)
Robinetul III
(nr. de ore)
Cantitatea de ap`
evacuat` ([n hl)
2 ore 3 ore 6 ore 220 hl
3 ore 2 ore 6 ore 210 hl
2 ore 2 ore 3 ore 145 hl
S` se determine debitul fiec`rui robinet.
S14. Dac` tat`l ar avea cu 7 ani mai mult dec@t are, atunci v@rsta actual` a fiului mai mic ar fi 1
6
din v@rsta tat`lui. Peste 15 ani v@rsta fiului mai mare va fi 1
din v@rsta tat`lui. S` se determine
2
v@rsta fiec`ruia, dac` peste 18 ani cei doi copii vor avea [mpreun` c@t v@rsta tat`lui lor.
S15. Se consider` sistemul de ecua\ii:
x
my 2z 2
2x
( 2m1) y z n, m, n
.
y 3z 1
a) S` se rezolve sistemul pentru m 1 ] i n
5.
b) S` se discute dup` valorile lui m, n ]i s` se rezolve sistemul.
25
Universitatea Bra]ov, 2002

pag. 96 manual
Teste de evaluare
Testul 1
2 0 1
1. Se d` matricea A 5 3x
x
M 3 ( ).
x
6 2
8
a) S` se determine x astfel ca matricea A s` nu fie inversabil`.
b) S` se calculeze A 1 dac` x 2.
x
2y z 1
2. Fie sistemul de ecua\ii: x
y2z 2
y 3z 3m
.
a) S` se determine m pentru care sistemul are solu\ie unic`.
b) S` se rezolve sistemul ob\inut dac` m 3.
Universitatea Construc\ii Bucure]ti, 2004
3. Pentru 3 creioane, o gum` ]i 7 caiete un elev pl`te]te 45 lei. Dac` ar cump`ra 5 creioane, 3
gume ]i dou` caiete ar pl`ti 28 lei. }tiind c` 4 creioane, 5 gume ]i 5 caiete cost` [mpreun` 42 lei,
s` se afle pre\ul fiec`rui obiect.
Testul 2
1. S` se calculeze inversele matricelor:
A
B
C
2
1
2
3
; 1
2
1
3
2
2
1
3
0 ;
4
2
2
3
2
3
1
1
.
i
C2i , i j
2. Se dau matricele A ( aij ) 33 , unde aij
i,
i j
i,
i j
4
]i B
2
45
S` se rezolve ecua\ia matriceal` AX B .
(
1m) x y z 1
3. Se d` sistemul de ecua\ii: x
( 1m)
y z m
y ( 1m)
z m
2
, m
2
a) S` se calculeze determinantul sistemului.
b) Pentru ce valori ale lui m sistemul este compatibil determinat?
c) S` se rezolve sistemul pentru m 2.
d) S` se rezolve sistemul pentru m 0.
26
Universitatea Baia Mare, 2005

pag. 97 manual
Probleme recapitulative
1. Fie A
1 3
3 2
M 2 ( ). S` se determine a, b pentru care A aA bA O2
.
2
4
x y
2. S` se determine matricea A
y x
2
M2 ( ) ]tiind c` A 4I 2 4A,
]i apoi s` se afle
n
A , nU1.
3. Se consider` matricea A a
b
c
1 0 0
1 0 M 3(
).
1
a) S` se calculeze A 2 ]i A 3 .
3 2
b) S` se determine , cu proprietatea c` A A AI .
}tiin\e economice Cluj, 1996
3
Universitatea Bac`u, 1997
0
2
4. Fie E( X ) X 4 X 4
I 3 . Dac` A 1
1
a
0
0
0
1,
s` se determine a pentru care
1
3
E( A)
3
3
4
3
1
1
3.
1
0 1 1
n
5. Fie A 0
0 1 .
S` se calculeze ( I 3 A) , nU1.
0
0 0
1 0 1
2 3 10
6. Fie A 0
1 1 .
S` se calculeze S A A A ... A .
0
0 1
Universitatea Craiova, 2003
Universitatea Politehnic`, 1994
a
7. Se consider` matricea A
d
c
b
e
0
0
0
0 M 3(
), cu proprietatea c` ae bd.
0
2
a) S` se demonstreze c` exist` x, y astfel [nc@t A xA yE , unde E 0
0
0
1
0
0
0.
0
b) S` se arate c` pentru oricare nU1, exist` an, bn
, cu proprietatea c` A x n A ynE .
Facultatea de Sociologie, 1997
27
n

1
8. Fie A
1
M3, 1( ), B 1 2 1 M1,
3(
). Dac` C AB , s` se calculeze C
1
101 .
9. S` se rezolve sistemele de ecua\ii:
A
B I
2
a)
A B 1 1
;
3
1
1
A B
b)
A B
1
3
2
0
3
4
1
2
1
.
1
0
10. S` se determine matricea A
a
1
1
M 2 ( ) ]tiind c`
1
A a a
A
1 1 1
1
1
4
1 4
4
4
.
11. S` se determine A M2 ( ), ]tiind c`:
12. S` se rezolve [n ecua\iile:
x x
1
4 5
4
x
i i i
A
A
1 1
2 4
0 1 0 1 0
2
.
1 2
1 2
a) 1 x 1 0;
b) 1
x 1 5;
c)
13. S` se rezolve ecua\iile:
a)
c)
1
1
1
x ab
a bx
b ax
x
x
1 1
1 x 1
1 1
x
2
0.
2x 1 x 1 x 2
0,
dac` a b.
b) 2x 7 x 4 x 5
0;
1 1 1
a b x b x a 0,
dac` a b.
2 2 2
x a b
2x 13 x 7 x 8
14. S` se determine a pentru ca matricea A s` fie inversabil`:
1 1 1
1a 1 1
2
a) A 1 a1
1 ;
b) A
1 1a 1 .
2
3
1
1 a 1
1 1 1a
15. S` se rezolve ecua\iile:
a) X
1 1
1 2
;
b) X
1 2 1
1
1 2 3
1
5 3
0 1 2 2 1 1.
1 2 1 3
4 5
28
Universitatea Bac`u, 1998

x m m
16. Fie A A
m x m
M
2 ( ), .
S` se determine m pentru care matricea A este
1
2
inversabil` x .
17. Fie A
1 1
M 2 ( ). S` se calculeze inversa matricei A
1
2
4 .
18. Fie A
1 2
1
]i
B A
3 2
1
1 2
1
. S` se calculeze B1 .
19. S` se rezolve sistemele:
x
y z 2
x
3y z 3 x
y z 1
2x
y2z 3
a) 2x
y 4z 1;
b) 2x
y 3z 1;
c)
.
y 4z 1
y2z 0 4
y5z 1
x y 3z 1
2x
y 3z 1
20. Se consider` sistemul x y2z 1
y z n
m
. Dac`
2m 1 2
A ( m, n)
sistemul este compatibil nedeterminat
]i
( m n
), atunci:
( m, n) A
2 2
a) 18; b) 26; c) 32; d) 13; e) 25.
x
my z 0
x
2y z m2
21. Se consider` sistemul
2
y z 2m
2
2mx
m1 z 2m
.
( )
Dac` A m sistemul este incompatibil , atunci:
a) A 1 , 0, 2;
b) A 0 2
d) A 1 , 0
; e) A 1 2
, ; c) A ;
, .
29
ASE Bucure]ti, 2003

REZOLVĂRI
Partea I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecuaţii liniare
Capitolul I. Matrice
1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice
Exersare
E1. Rezolvare:
⎛ 2
⎜
A= ⎜− 1
⎜
⎝ 4
0⎞ ⎛
⎟
1
3 ; B ⎜
⎟ = 3
⎟ ⎜
-5⎠ ⎝2 ⎛
−7⎞ ⎜0 ⎟ ⎜
5 ; C= 2
⎟ ⎜
4 ⎠ ⎜
⎜4 ⎝3 −1
5
9
0
2
−
1
2
⎞
1 ⎟
⎟ ⎛2+ i
0 ⎟;
X =⎜
⎝ 4
⎟
3⎟
⎠
1
3i −5⎞
⎟.
2⎠
E2. Rezolvare:
a)
⎛2⎞ ⎜ ⎟
⎜−1⎟ A=
⎜ 5⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠ ⎛1 0 0 0 0⎞
⎜
0 1 0 0 0
⎟ ⎛0 0 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜
0 0 0 0
⎟
B i ; c) C = ⎜0 0 1 0 0⎟;
d) D = ⎜ ⎟.
3 5 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0⎟
⎜0 0 0 1 0⎟
⎜ ⎟
⎜
0 0 0 0 1
⎟ 0 0 0 0
⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
; b) =
1 2
( 4 1+
)
E3. Rezolvare:
a) A i M3(m); B i M2,3(Z); C i M3,1( ); D i M1,4( );
b) b11 = 2; b12 = –3, b 13 = 3 ; b21 = –2; b22 = –5; b23 =
4
; d
2
11 = ; d12 =− i; d13 = 5; d 14 =−7.
3 5
c) a23 = –2; a32 = –4; a22 = 8; c31 = 1 + i; c21 = –1; 1 + i = c31;
3 = b
4
13 ; − 4 = a32 ; b23 = ; d 14 =−7.
3
d) • Suma a11 + a22 + a33 reprezintă urma matricei A şi nu diagonala principală.
• Suma elementelor diagonalei secundare a matricei A este 12.
• a31 + b22 + c21 – d14 = 0 + (–5) + (–1) – (–7) = 1≠ 3+ 1.
2 2 2 2
• a23⋅b13 ⋅c31 ⋅ d12=−2 ⋅( 3) ⋅ (1 + i) ⋅− ( i) =−2⋅3⋅2 i⋅− ( i) =−12 U −12
.
• a23 = b21 = –2 şi 5d11 = 2. Aşadar –2 @ 2 şi a23 = b21 @ 5d11.
E4. Rezolvare:
Se egalează fiecare elemente cu zero şi se obţine:
• 3a – 6 = 0 şi a 2 – 4 = 0. Se obţine a = 2.
• 1 – b = 0 şi b 2 – b = 0. Se obţine b = 1.
• c − 12 = 0 , cu soluţia c = 2 3.
• 4− 2m = 0,
cu soluţia m =
4
= 2 2.
2
E5. Rezolvare:
Se pune condiţia ca să aibă loc egalitatea de matrice A = I3. Se obţin succesiv egalităţile:
x + 1 = 1; 4 – y 2 = 0; 3u = 1; 1 – t = 0; z 2 + 1 = 0; v 2 = 0; 1 – x 2 = 1. Rezolvând ecuaţiile se
obţine: x = 0, y i {–2, 2}, u =
1 ; t = 1; z i {–i, i}, v = 0.
3
30

E6. Rezolvare:
Se aplică egalitatea a două matrice. Se obţin următoarele egalităţi:
a) 2x + 1 = –y + 6 şi x – y = 4 – 2x + y.
⎧2x+
y=
5
Avem sistemul de ecuaţii: ⎨ cu soluţia x = 2, y = 1.
⎩3x−
2y = 4
b) x + y = 3; 2x – y = y + 2; 4 = x + 2y; 2x + y = 5.
Se obţine soluţia x = 2, y = 1.
E7. Rezolvare:
Se pune condiţia ca matricele să fie de acelaşi tip. Rezultă că 4 = m 2 şi 5 – n = 2.
Se obţine m i {–2, 2}, n = 3.
Sinteză
S1. Rezolvare:
Au loc egalităţile:
a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a14 = 4
a21 = 2, a22 = 2, a23 = 3, a24 = 4
a31 = 3, a32 = 3, a33 = 3, a34 = 4
a41 = 4, a42 = 4, a43 = 4, a44 = 4.
S2. Rezolvare:
Au loc egalităţile:
b11 = 1 1+1 = 1; b12 = 2 1+1 = 4; b13 = 3 1+1 = 9
b21 = 1 2+1 = 1; b22 = 2 2+1 = 8; b23 = 3 2+1 = 27
b31 = 1 3+1 = 1; b32 = 2 3+1 = 16; b33 = 3 3+1 = 81.
S3. Rezolvare:
Se obţin următoarele elemente:
1+ 2 1 1+ 3 1 1+ 4 1
c11 = c22 = c33 = 2; c21 = c31 = c32 = 1; c12 = ( −1) ⋅ A2=− 2; c13= ( − 1) A3= 3; c14= ( − 1) A 4 =−4;
2+ 3 2 2+ 4 2 3+ 4 3
c = ( −1) ⋅ A =− 6; c = ( − 1) A = 12; c = ( −1) ⋅ A =−24.
23 3 24 4 34 4
S4. Rezolvare:
a) tr(A) = 4 + (–2x) + y 2 + 6 = 10 – 2x + y 2
tr(B) = 4x + (–x 2 ) + 2y = 4x – x 2 + 2y
b) Relaţia din enunţ se scrie sub forma: (y 2 + 6) + 2y = 3 – (–6).
Se obţine ecuaţia de gradul doi: y 2 + 2y – 3 = 0 cu soluţiile y1 = –3; y2 = 1.
c) Se obţine ecuaţia de gradul doi: x 2 + x – 2 = 0 cu soluţiile x1 = –2, x2 = 1.
d) Se obţine relaţia 10 – 2x + y 2 – 4x + x 2 – 2y = 4 – 4 care se scrie sub forma:
(y – 1) 2 + (x – 3) 2 = 0, x, y i Z.
Rezultă că y – 1 = 0 şi x – 3 = 0. Aşadar, x = 3, y = 1.
S5. Rezolvare:
a) Din egalitatea matriceală A = I2 se obţin egalităţile:
2 x–1 = 1, log2(a – 1) = 0 şi 4y 2 – 3x = 1.
Din egalitatea 2 x–1 = 1, rezultă x – 1 = 0, deci x = 1.
Înlocuind x = 1 în ecuaţia 4y 2 – 3x = 1 se obţine 4y 2 = 4, deci y i {–1, 1}.
31

Ecuaţia log2(a – 1) = 0 conduce la ecuaţia a –1 = 2 0 cu soluţia a = 2.
b) Deoarece O2 = B se obţin ecuaţiile:
3 x – 9 x 2
y − 2y
2
= 0, lg = 0 , a + 3bi – 1 = 0 şi 3! − Cn
= 0 .
3
• Ecuaţia 3 x – 9 x = 0 este echivalentă cu 3 x (1 – 3 x ) = 0, adică 3 x = 0 sau 1 – 3 x = 0. Se
obţine soluţia x = 0.
2
2
y − 2y
y − 2y
• Ecuaţia lg = 0 este echivalentă cu = 1 cu soluţia y i {–1, 3}.
3
3
• Din egalitatea a + 3bi – 1 = 0, a, b i Z se obţine a – 1 = 0 şi 3b = 0, adică a = 1 şi b = 0.
2
nn− ( 1)
• Din egalitatea 3! − Cn
= 0 se obţine 6− = 0,
n i Z, n U 2, ecuaţia cu soluţia n = 4.
2
S6. Rezolvare:
2
⎧a − 4= 2−a
⎪
⎪a+
b=−1
a) Aplicând egalitatea matricelor se obţine următorul sistem de ecuaţii: ⎨
⎪3(1
x − 2) x = 2x−1 ⎪
⎩z
= x−2
Din ecuaţia a 2 – 4 = 2 – a se obţine a 2 + a – 6 = 0 cu soluţia a i {–3, 2}.
Din ecuaţia a + b = –1 se obţine b = –a – 1.
Pentru a = –3, se obţine b = 2 şi pentru a = 2, se obţine b = –3.
Ecuaţia 3x(1 – 2x) = 2x – 1 se scrie sub forma echivalentă 6x 2 – x – 1 = 0 şi se obţine
x∈
1 1 { , −
2 3}
.
Pentru x =
1 se obţine z =−
3 şi pentru x =−
1 se obţine z =−
7 .
2
2
3
3
b) Se obţin succesiv ecuaţiile:
2 2
• Cn+ 1 2Cn
= , n i q, n U 2, echivalentă cu ( 1) ( 1)
n+ ⋅n n n−
= 2 ⋅ cu soluţia n i {3}.
2 2
2 2
• x + 7 = 4⇔ x + 7= 16,
cu soluţia x∈{3,3} − .
3 2 2
• b = 4⇔ b = 64,
cu soluţia b i {–8, 8}.
−3
• log2a=−3 ⇔ log2a= log22 , a>
0 cu soluţia a =
1
.
8
S7. Rezolvare:
Din egalitatea matriceală A = B = C se obţin următoarele egalităţi care dau valorile
necunoscutelor din problemă:
• x 2 – x = 2 = 3x – 4
• y− 3= 2= y−
5
2
• C z+
1 = 3
• 2 m = m 2 = p
Se obţine: x = 2, y = 7, z = 2; m = 2 şi p = 4 sau m = 4 şi p = 16.
32

1.2. Operaţii cu matrice
1.2.3. Înmulţirea unei matrice cu un scalar
Exersare
E1. Rezolvare:
Se aplică regula de adunare a două matrice şi se obţine succesiv:
⎛2 + ( −7) ( − 1) + 8 3+ 5 ⎞ ⎛−5 7 8⎞
⎛− 2a+ a b−5b ⎞ ⎛−a −4b⎞
a) ⎜ =
5+ 3 4+ 0 ( − 2) + 4
⎟ ⎜
8 4 2
⎟;
b) ⎜ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3x+ 2x − 8y+ 6y ⎟ ⎜
5x −2y
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ;
⎛ ⎞
⎜− 6+ 2 2−7 − 5+ 3 ⎟ ⎛−4 −5 −2⎞
c) ⎜
1+ 4 0−1 − 1+ 2
⎟
=
⎜
5 1 1
⎟
⎜
−
⎟
.
⎜ ⎟
⎜ 2 5 4 1 2 8⎟
⎜−1 1 2⎟
⎜ − + + ⎟ ⎝ ⎠
⎝ 3 3 5 5 3 3 ⎠
E2. Rezolvare:
Se obţine succesiv:
⎛−1 −( −6) −1 4−1−0 ⎞ ⎛4 3 ⎞
a) ⎜ =
2−0−0 −5−2−1 ⎟ ⎜
2 −8
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 4 2 4
⎛ i + 1−0 − i + 2− i⎞ ⎛i + 1 − i + 2−i⎞ ⎛− 1+ 1 − 1+ 2−i⎞ ⎛0 1−i⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
b) 2 2 ( 3) 3 0 2 3 1
⎜
3 1
⎟ ⎜
3 1
⎟
⎜ − − − + − ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
.
⎜ 1+ 3−4 − 1+ 4−6⎟ ⎜ 0 −3 ⎟ ⎜ 0 −3 ⎟ ⎜0 −3
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
E3. Rezolvare:
⎛− 1+ 1
A+ B=
⎜
⎝ 1+ 0
2− 3
−3− 1
0+ 2⎞ ⎛0 =
2+ 2
⎟ ⎜
⎠ ⎝1 −1
−4
2⎞
4
⎟
⎠
⎛−1−1 A− B=
⎜
⎝ 1−0 2 −( −3) −3 −( −1) 0−2⎞ ⎛−2 =
2−2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 1
5
−2
−2⎞
0
⎟
⎠
⎛−1 t t ⎜
A+ B=
⎜ 2
⎜
⎝ 0
1 ⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜
− 3⎟+ ⎜−3 ⎟ ⎜
2 ⎠ ⎝ 2
0 ⎞ ⎛− 1+ 1
⎟ ⎜
− 1⎟= ⎜ 2−3 ⎟ ⎜
2 ⎠ ⎝ 0+ 2
1+ 0 ⎞ ⎛ 0
⎟ ⎜
−3− 1⎟= ⎜−1 ⎟ ⎜
2+ 2 ⎠ ⎝ 2
1 ⎞
⎟
−4
⎟
4 ⎠
t⎛0
t
( A+ B)
= ⎜
⎝1 −1 −4
⎛ 0
2⎞
⎜
⎟= 1
4
⎜− ⎠ ⎜
⎝ 2
1 ⎞
⎟
−4⎟;
⎟
4 ⎠
t
⎛−2 t
( A− B)
= ⎜
⎝ 1
5
−2
⎛−2 −2⎞ ⎜
⎟= 5
0
⎜
⎠ ⎜
⎝−2 1 ⎞
⎟
−2⎟;
⎟
0 ⎠
⎛ t −1 b) A+ C= ⎜
⎝ 1
2
−3 0⎞ ⎛−1 ⎟+ ⎜
2⎠ ⎝ 2
0
3
−4⎞ ⎛−2 ⎟= ⎜
−5⎠ ⎝ 3
2
0
−4⎞
⎟
−3⎠
⎛1 t
B− C= ⎜
⎝0 −3 −1 2 ⎞ ⎛−1 ⎟− ⎜
−2⎠ ⎝ 2
0
3
−4⎞ ⎛ 2
⎟= ⎜
−5⎠ ⎝−2 −3
−4
6⎞
⎟
7⎠
t t
⎡⎛−1 2 0⎞ ⎛1 −3 2⎞ ⎛−1 0 −4⎞⎤ ⎛−1−1− 1 2+ 3+ 0 0−2−4⎞ ( A− B+ C)
= ⎢⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎥= ⎜ ⎟=
⎣⎝ 1 −3 2⎠ ⎝0 −1 2⎠ ⎝ 2 3 −5⎠⎦ ⎝1− 0+ 2 − 3+ 1+ 3 2−2−5⎠ t t
t ⎛−3 3 ⎞
⎛−3 5 −6⎞ ⎜ ⎟
= ⎜ ⎟= 5 1
3 1 5
⎜ ⎟.
⎝ − ⎠ ⎜ ⎟
⎝−6 −5⎠
33

E4. Rezolvare:
Egalitatea A + B + C este echivalentă cu următoarea egalitate de matrice:
⎛2x+ 1 4y+ z 3z+ v ⎞ ⎛3 −2
3 ⎞
⎜
1 y u v 4 x
⎟ ⎜
2 3 3
⎟
⎜
− − − +
⎟
=
⎜
−
⎟
⎜−v−x − 2v+ 2y t+ x− z+
3⎟ ⎜2 4 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Aplicând egalitatea a două matrice se obţine că: x = 1, y = –1, z = 2, v = –3, u = 0, t = 0.
E5. Rezolvare:
Folosind operaţiile cu matrice egalitatea din enunţ conduce la:
⎛ 2+ 1 0 ⎞ ⎛−1− 2 1 ⎞
⎜ ⎟− X = ⎜ ⎟,
⎝ 7 − 5−1⎠ ⎝ 2 −1− 5⎠
egalitate din care se obţine
Rezultă că
⎛2+ 2 2 −1⎞
X = ⎜ ⎟.
⎝ 5 0 ⎠
⎛ 2+ 1 0 ⎞ ⎛−1− 2 1 ⎞
X = ⎜ ⎟−⎜ ⎟.
⎝ 7 − 5−1⎠ ⎝ 2 −1− 5⎠
E6. Rezolvare:
Egalitatea t A = A se scrie sub forma echivalentă:
2
⎛ 5 a 3 ⎞ ⎛ 5 6−a
b ⎞
⎜ ⎟ ⎜ 2
⎟
⎜6−a − 1 3c+ 2⎟= ⎜a −1 −10⎟
⎜ b − 10 n ⎟ ⎜ 3 3c+ 2 n ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Se obţin ecuaţiile: a 2 = 6 – a; 3 = b , 3c + 2 = –10; n = n cu soluţiile:
a i {–3, 2}, b = 9, c = –4, n i Z.
E7. Rezolvare:
⎛−1 Avem: A = ⎜
⎝ 2
0 ⎞ ⎛−1 2
⎟+ ⎜
⎠ ⎝ 3
3⎞
0
⎟
⎠ sau
⎛−3 A = ⎜
⎝ 6
5 ⎞ ⎛−1 2 2
⎟−⎜ ⎠ ⎝ 1
2 ⎞
2
⎟
⎠
Să se dea şi alte scrieri pentru A ca sumă, respectiv diferenţă de două matrice.
⎛−3 A= I2+ ⎜
⎝ 5
3 ⎞ ⎛−1 ⎟; A= ⎜
2− 1⎠ ⎝ 5
3 ⎞
⎟−I2.
2+ 1⎠
E8. Rezolvare:
Se înmulţeşte fiecare element al matricei cu numărul real
⎛
⎜
a) ⎜
⎜
⎝
6
2
12
2
−
8⎞
2⎟
⎛ 3
0, 2 ⎟=
⎜
⎟ ⎝ 3
2 ⎠
−4⎞
0,1
⎟;
⎠
⎛− 36
⎜ 3
b) ⎜
⎜− 30
⎝ 6
12
3
−
2
⋅3 3
−
24 ⎞
3 ⎟ ⎛−12 3 ⎟
= ⎜
− ⎟ ⎝ −5 3 ⎠
4
−2 −8⎞
−1
⎟.
⎠
c) Se va folosi că 3+ 8 = 3+ 2 2 =
2
( 2+ 1) = 2+ 1.
34

⎛−( 2− 1)( 2+ 1)
Se obţine: ⎜
⎜ 2−1 ⎝ 1−2 0 ⎞
⎟ ⎛−1 = ⎜
( 2− 1)( 2+ 1) ⎟ ⎝−1 ⎠
0⎞
1
⎟.
⎠
d) Se foloseşte faptul că i 2 = –1 din care se deduce că i 3 = –i, i 4 = 1. Se obţine:
4
⎛ 2i
⎜ 2
⎝−3i 2
i−i ⎞ ⎛2 ⎟= ⎜
4i
⎠ ⎝3 i + 1⎞
4i
⎟.
⎠
E9. Rezolvare. Se obţine succesiv:
⎛−2 X = ⎜
⎝ 2
8
0
6⎞ ⎛ 0
2
⎟+ ⎜
⎠ ⎝−2 −1 5
−3⎞ ⎛−3 +
4
⎟ ⎜
⎠ ⎝−2 3
−15
−15⎞
1
⎟
⎠
⎛− 2+ 0−3 X = ⎜
⎝ 2−2− 2
8− 1+ 3
0+ 5− 15
6−3−15⎞ ⎛−5 =
2+ 4+ 1
⎟ ⎜
⎠ ⎝−2 10
−10
−12⎞
7
⎟
⎠ .
⎛−5 Aşadar, X = ⎜
⎝−2 10
−10
−12⎞
7
⎟
⎠ .
E10. Rezolvare:
Se efectuează înmulţirea cu un număr real a unei matrice şi operaţia de adunare a două
matrice şi se obţine egalitatea matriceală:
⎛ 2x+ 5 − 4 y+ ( − 15) 8 z+
( −10)
⎞ ⎛ 7 13 22⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎝− 6+ 5a 8+ 20b − 2+ 15c ⎠ ⎝−21 −2
8 ⎠ .
Din egalitatea acestor două matrice rezultă următoarele ecuaţii de gradul întâi:
2x + 5 = 7, –4y – 15 = 13, 8z – 10 = 22, –6 + 5a = –21, 8 + 20b = –2, –2 + 15c = 8 cu soluţiile
x = 1, y = –7; z = 4, a = –3; b=− 1
; c=
2.
2 3
Sinteză
S1. Rezolvare:
Egalitatea matriceală din enunţ se scrie sub forma echivalentă astfel:
⎛2 ⎜
⎝5 x 5⎞ ⎛2 6
⎟+
⎜
⎠ ⎝−4 y
x
3 ⎞ ⎛ 4
⎟=⎜
9 ⎠ ⎝log2 z
6 ⎞
2 ⎟.
Cn⎠
x
⎛2+ 2
Efectuând adunarea matricelor se obţine egalitatea matriceală ⎜
⎝ 1
din care se obţin ecuaţiile:
y
x
5+ 3 ⎞ ⎛ 4
⎟=
⎜
15 ⎠ ⎝log2 z
6 ⎞
2 ⎟
Cn⎠
2 + 2 x = 4 x , 5 + 3 y = 6, log2z = 1,
35
2
C n = 15 .
• Ecuaţia 2 + 2 x = 4 x se scrie sub forma 4 x – 2 x – 2 = 0. Cu notaţia 2 x = m se obţine ecuaţia de
gradul doi m 2 – m – 2 = 0, m > 0 cu soluţia pozitivă m = 2.
Se obţine x = 1.
• Din 5 + 3 y = 6, rezultă 3 y = 1 şi y = 0.
• Ecuaţia log2z = 1 are soluţia z = 2, iar ecuaţia
nn− ( 1)
= 15 , n i q, n U 2. Se obţine n = 6.
2
Aşadar, x = 1, y = 0, z = 2, n = 6.
2
C n = 15 se scrie sub forma echivalentă

S2. Rezolvare:
Egalitatea matriceală din enunţ se scrie succesiv
2 2
⎛x + x 2x⎞ ⎛3 0⎞ ⎛ 0 x⎞ ⎛ 9 4+ y⎞ ⎛x + x+ 3 3x
⎞ ⎛ 9 4+
y⎞
⎜ 2 ⎟+ ⎜ 2
x x 0 3
⎟+ ⎜
2x 0
⎟= ⎜ ⇔ ⎜ ⎟=
z+ 2 t+ 4
⎟ ⎜
x x 3 z+ 2 t+
4
⎟.
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝ ⎠
Aplicând egalitatea a două matrice se obţin ecuaţiile:
x 2 + x + 3 = 9, 3x = 4 + y, x = z + 2, x 2 + 3 = t + 4.
Ecuaţia x 2 + x + 3 = 9 are soluţiile x1 = –3, x2 = 2.
• Pentru x1 = –3 se obţine: y = –13, z1 = –5, t1 = 8
• Pentru x2 = 2 se obţine: y = 2, z2 = 0, t2 = 3.
S3. Rezolvare:
⎛ 5
a) Din egalitatea dată rezultă că 2A
= ⎜
⎝−1 6⎞ ⎛1 3
⎟−⎜ ⎠ ⎝3 2⎞
⎛ 4
1
⎟,
adică 2A
= ⎜
⎠ ⎝−4 4⎞
2
⎟
⎠ .
⎛ 2
Se obţine A = ⎜
⎝−2 2⎞
1
⎟
⎠ .
⎛2 b) 3A
= ⎜
⎝0 1
−4
1⎞ ⎛20 9
⎟−⎜ ⎠ ⎝15 −5
5
10⎞
⎛−18 0
⎟,
deci 3A
= ⎜
⎠ ⎝−15 6
−9
−9⎞
9
⎟
⎠ .
⎛−6 Se obţine A = ⎜
⎝−5 2
−3
−3⎞
3
⎟
⎠ .
⎛−3 c) 7A= ⎜
⎜
1
⎜
⎝ 5
0 ⎞ ⎛ 0
− 2
⎟ ⎜
⎟
+
⎜
− 8
6 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 −2 ⎞ ⎛−4 0
⎟
+
⎜
⎟ ⎜
0
−16⎟ ⎜
⎠ ⎝48 −12⎞
16
⎟
⎟
, egalitate din care se obţine:
−4
⎟
⎠
⎛−7 7A= ⎜
⎜
−7
⎜
⎝49 −14⎞
⎛−1 14
⎟
⎟
. Rezultă că A =
⎜
⎜
−1
−14⎟
⎜
⎠
⎝ 7
−2⎞
2
⎟
⎟
.
−2⎟
⎠
S4. Rezolvare:
a) Înmulţim prima ecuaţie cu –2 şi adunăm ecuaţia obţinută cu cealaltă ecuaţie. Se obţine:
⎛−6 − 5B= ⎜
⎝−4 −4⎞ ⎛ 1
+
−6 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−1 −1⎞ ⎛−5 ⇔− 5B=
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝−5 −5⎞
−5
⎟
⎠ .
⎛1 1⎞
Rezultă că B = ⎜
1 1
⎟.
Înlocuind pe B în prima ecuaţie din enunţ şi efectuând operaţiile cu
⎝ ⎠
matrice se obţine:
⎛3 A = ⎜
⎝2 2⎞ ⎛2 3
⎟−⎜ ⎠ ⎝2 2⎞
2
⎟.
Aşadar, A = I2.
⎠
b) Înmulţim prima ecuaţie cu –(1 – i) şi adunăm ecuaţia obţinută cu a doua ecuaţie din enunţ.
Se obţine egalitatea matriceală:
⎛2+ i
− (1 + i)(1 − i) A+ A=−(1 −i) ⋅ ⎜
⎝ 1
care se scrie sub forma:
1⎞ ⎛2−i 2i ⎟+ ⎜
⎠ ⎝1−i 1−i⎞
2−i
⎟
⎠
⎛− 3+ i
− 2A+
A=
⎜
⎝− 1+ i
− 1+ i⎞ ⎛2−i +
− 3+ i
⎟ ⎜
⎠ ⎝1−i 1−i⎞
⎛−1 2−i
⎟,
sau − A = ⎜
⎠ ⎝ 0
0 ⎞
−1
⎟
⎠ .
Rezultă că A = I2.
36

Pentru determinarea matricei B se înlocuie, de exemplu, matricea A în prima ecuaţie a
⎛1 1⎞
enunţului şi efectuând calculele se obţine B = ⎜
1 1
⎟
⎝ ⎠ .
S5. Soluţie:
a) Se scrie sub forma:
⎛11⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 n ⎞ ⎛ 1+ 1+ 1 + ... + 1 1+ 2 + 3 + ... + n ⎞
A = ⎜ + + + ... + = =
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1⋅2 ⎟ ⎜
2 2 ⋅3 ⎟ ⎜
3 3⋅ 4
⎟ ⎜
n n( n+ 1)
⎟ ⎜
1 + 2 + 3 + ... + n 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n( n+
1)
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n
⎛
n k
⎞
⎜ ∑ ⎟
k = 1
= ⎜ ⎟.
n n
⎜ 3
k k( k 1) ⎟
⎜∑ ∑ + ⎟
⎝k= 1 k=
1 ⎠
n n
n
2
nn ( + 1) 2 nn ( + 1)(2 n+
1)
3 nn ( 1)
Se ştie că ∑k = , k =
k= 1 2
∑ şi k
⎡ + ⎤
k=
1 6
∑ =
⎢ k = 1 ⎣ 2 ⎥
.
⎦
Vom calcula suma următoare:
n n n n
2 2
∑kk ( + 1) = ∑( k + k) = ∑k+ ∑ k.
k= 1 k= 1 k= 1 k=
1
Folosind formulele scrise mai înainte se obţine că
n nn ( + 1)(2n+ 1) nn ( + 1) nn ( + 1)( n+
2)
∑ kk ( + 1) = + =
.
6 2 3
k = 1
⎛ nn ( + 1)
n
⎞
⎜ 2 ⎟
Aşadar, A = ⎜ 2 2
⎟,
n i q*.
⎜n ( n+ 1) n( n+ 1)( n+
2) ⎟
⎝ 4 3 ⎠
b) Scriem mai întâi că: 2 k · 3 k+1 = 2 k · 3 k · 3 = 6 k · 3 şi ( ) 2
k
k −k
2 ⋅ 3 = . Cu acestea matricea A se
3
scrie sub forma:
n n
⎛ k
1 3 6
⎞
⎜ ∑ ∑ ⎟
k= 1 k=
1
A = ⎜ ⎟.
n n k
⎜ k
2
2 ⎟
⎜∑ ∑(
)
k= 1 k=
1 3
⎟
⎝ ⎠
Reamintim că suma a n termeni aflaţi în progresie geometrică cu raţia q @ 1 şi primul termen
n
a1 ( q −1)
notat a1 este: S = .
q −1
Rezultă că:
n
n
k 2
n 6(6 −1)
• 6 6 6 ... 6
6 n
∑ = + + + = = ⋅(6−1) k = 1
6−1 5
n
n
k 2
n 2(2 −1)
n
• ∑ 2 = 2 + 2 + ... + 2 = = 2(2 −1)
2−1 k = 1
n
2
• ∑ ( ) ( ) ( )
2 ( )
37
( ) ( )
k = 1
n
2
=
2
+
3 3
2
3
+ ... +
n
2
=
2
⋅
3 3
−1
n
3 ⎡
2
2 ⎤ ⎡
=− 1 2 1
2 ⎢ −
1
3 ⎥= ⎢ −
− ⎣ ⎦ ⎣
3
n
2 ⎤
3 ⎥.
⎦
⎛ n
⎜
Rezultă că A = ⎜
n ⎜
⎜2(2 −1) ⎝
18 n
⋅(6 −1)
⎞
5 ⎟
n ⎟.
⎡
2 1
2 ⎤
−(
3)
⎟
⎢ ⎥⎟
⎣ ⎦⎠
n

1.2.4. Înmulţirea matricelor
Exersare
E1. Rezolvare:
⎛4 a) ⎜
⎝6 5⎞ ⎛ 2
⋅
−1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−3 1⎞ ⎛ 42 ⋅ + 5(3) ⋅ −
=
−2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝6⋅ 2 + ( −1) ⋅( −3) 41 ⋅ + 5(2) ⋅ − ⎞ ⎛−7 =
6⋅ 1 + ( −1) ⋅( −2)
⎟ ⎜
⎠ ⎝15 −6⎞
8
⎟
⎠
⎛1 b) ⎜
⎝4 −2⎞ ⎛1 1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝2 4⎞ ⎛1⋅ 1 + ( −2) ⋅2 1
⎟= ⎜
⎠ ⎝ 4⋅ 1+ 1⋅2 1⋅ 4 + ( −2) ⋅1⎞ ⎛−3 =
4⋅ 4+ 1⋅1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 6
2 ⎞
17
⎟
⎠
⎛−1 c)
⎜
⎜
1
⎜
⎝ 2
2 ⎞
0
0
⎟ ⎛
⎟
⋅ ⎜
2 1
i ⎟ ⎝
⎠
−2
−1 ⎛−1⋅ 0 + 2 ⋅1 3 ⎞
=
⎜
10 ⋅ + 01 ⋅
−4
⎟ ⎜
⎠ ⎜ 2
⎝ 2 ⋅ 0 + i ⋅1 −1 ⋅( − 2) + 2( −1) 1( ⋅− 2) + 0( ⋅−1) 2
2 ⋅− ( 2) + i ⋅− ( 1)
−1⋅ 3 + 2( −4) ⎞ ⎛2 13 ⋅ + 0( ⋅− 4)
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
2 2
2 ⋅ 3 + i ⋅− ( 4) ⎟ ⎜
⎠ ⎝i 0
− 2
2
( −4 −i )
−11⎞
3
⎟
⎟
=
2
6 −4i
⎟
⎠
⎛ 2
=
⎜
⎜
0
⎜
⎝−1 0
−2
−3
−11⎞
3
⎟
⎟
.
10 ⎟
⎠
d) Se înlocuie cos0 = 1, sin
π
= 1, tg
π
= 1 şi avem de efectuat următoarea înmulţire de matrice:
2 4
⎛3 ⎜
⎜
2
⎜
⎝1 1
1
2
2 ⎞⎛−1 2
⎟⎜
⎟⎜
2
3 ⎟⎜
⎠⎝ 0
−1 1⎞ ⎛3 ⋅( − 1) + 1⋅ 2 + 2 ⋅0 − 1 1
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
2 ⋅( − 1) + 1⋅ 2+ 2⋅0 1 1⎟ ⎜
⎠ ⎝1 ⋅( − 1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅0 3 ⋅( − 1) + 1 ⋅( − 1) + 2 ⋅1 2 ⋅( − 1) + 1 ⋅( − 1) + 2⋅1 1 ⋅( − 1) + 2 ⋅( − 1) + 3 ⋅1 3 ⋅ 1 + 1⋅ 1 + 2 ⋅1⎞ ⎛−1 2⋅ 1+ 1⋅ 1+ 2⋅ 1
⎟
=
⎜
⎟ ⎜
0
1⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅1⎟
⎜
⎠ ⎝ 3
−2
−1
0
6 ⎞
5
⎟
⎟
6 ⎠ ⎟
e) Se aplică proprietatea de asociativitate a înmulţirii matricelor:
⎛1 ⎜
⎝3 2
−1
⎛1 3⎞ ⎜
1
1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎜
⎝1 −1
2
3
2
1
−1 ⎛ 1
4 ⎞ ⎜
−1
2
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜ 0
−1⎟ ⎠ ⎜
⎝−2 1⎞
2
⎟
⎟=
1⎟
⎟
2
⎟
⎠
⎛ 1⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅1 = ⎜
⎝3 ⋅ 1 + ( −1) ⋅ 1 + 1⋅1 1 ⋅( − 1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅3 3 ⋅( − 1) + ( −1) ⋅ 2 + 1⋅3 1⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅( −1) 3 ⋅ 2 + ( −1) ⋅ 1 + 1 ⋅( −1) ⎛ 1
1⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅( −1) ⎜
⎞ ⎜
−1
⋅
3 ⋅ 4 + ( −1) ⋅ 2 + 1 ⋅( −1)
⎟
⎠ ⎜ 0
⎜
⎝−2 1⎞
2
⎟
⎟=
1 ⎟
⎟
2
⎟
⎠
⎛6 = ⎜
⎝3 12
−2 1
4
⎛ 1
5
⎜
⎞ ⎜
−1 9
⎟⋅ ⎠ ⎜ 0
⎜
⎝−2 1⎞
2
⎟
⎟ ⎛ 6⋅ 1+ 12 ⋅( − 1) + 1⋅ 0+ 5 ⋅( −2) =
1⎟ ⎜
⎝3⋅ 1 + ( −2)( − 1) + 4⋅ 0+ 9 ⋅( −2) ⎟
2
⎟
⎠
6⋅ 1+ 12⋅ 2+ 1⋅ 1+ 5⋅2 ⎞ ⎛−16 =
3⋅ 1 + ( −2) ⋅ 2+ 4⋅ 1+ 9⋅2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−13 41⎞
21
⎟.
⎠
E2. Rezolvare:
⎛ 1
⎛1 3⎞ −
⎜
a) AB =
2
⎜
3 1
⎟⋅ ⎜
⎝ ⎠ ⎜ 1
⎝
1
1 1
1 ⎞ ⎛ ⋅ 5 ( − ) + 3⋅1 1⋅ 1+ 3⋅
2 ( − ⎞
2)
⎛
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2
1⎟ = ⎜ ⎟=
3
1 1 ⎜
− ⎟ ⎜ ⋅
1 ( − ) + 1⋅1 3⋅ 1+ 1⋅
2 2 ( −
2)
⎟ ⎜− ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2
−
1⎞
2⎟
5 ⎟
2 ⎠
⎛− 1
⎜
BA =
2
⎜ 1
⎝
1 ⎞
⎟⎛1 1⎟⎜ − ⎟⎝3 2⎠ ⎛ 1
3
− ⋅ 1+ 1⋅3 ⎞ ⎜ 2
1
⎟= ⎜
⎠ 11
1
⎜ ⋅ + ( − ) ⋅3 ⎝ 2
−
1
⋅ 3+ 1⋅1 ⎞ ⎛ 5
2 ⎟ ⎜
=
2
13
1 ⎟ ⎜
⋅ + 1 ( − ) ⋅1⎟ ⎜− 2 ⎠
⎝ 2
−
1⎞
2⎟
5 ⎟
2 ⎠
38

t t ⎛1 A⋅ B= ⎜
⎝3 ⎛ 1
3⎞ −
⎜ 2
1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎜ 1
⎝
1 ⎞ ⎛ 5
⎟ ⎜ 2
A B
1⎟ = ⋅ =
⎜
− ⎟ ⎜− 1
2⎠ ⎝ 2
−
1⎞
2⎟
5 ⎟
2 ⎠
⎛− 1
t t ⎜ 2
B ⋅ A= ⎜ 1
⎝
1 ⎞
⎟⎛1
1⎟⎜ − ⎟⎝3
2 ⎠
3⎞
= B⋅ A= AB
1
⎟
⎠
⎛1⎞ b) A⋅ B=
⎜
2
⎟
⎜ ⎟
⋅( −3 ⎜3⎟ ⎝ ⎠
1
⎛1 ⋅− ( 3)
− 1) =
⎜
⎜
2 ⋅( −3) ⎜
⎝3(3) ⋅−
1⋅1 2⋅1 31 ⋅
1 ⋅− ( 1) ⎞ ⎛−3 2 ⋅( − 1)
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
−6 3(1) ⋅− ⎟ ⎜
⎠ ⎝−9 1
2
3
−1⎞
−2
⎟
⎟
−3⎟
⎠
B⋅ A= ( −3 1
⎛1⎞ −1) ⋅
⎜
2
⎟
⎜ ⎟
= ( −3⋅ 1+ 1⋅ 2 + ( −1) ⋅ 3) = ( −4) ∈M1(
Z )
⎜3⎟ ⎝ ⎠
t t
A⋅ B= ( 1 2
⎛−3⎞ 3) ⋅
⎜
1
⎟
⎜ ⎟
= (1 ⋅( − 3) + 2⋅ 1+ 3 ⋅( − 1)) = ( −4) ∈M1(
Z )
⎜−1⎟ ⎝ ⎠
⎛−3⎞ t t
B⋅ A=
⎜
1
⎟
⎜ ⎟
⋅ ( 1
⎜ 1⎟
⎝−⎠ 2
⎛−31 ⋅
3) =
⎜
⎜
1⋅1 ⎜
⎝−11 ⋅
−32 ⋅
1⋅2 −12 ⋅
−33 ⋅ ⎞ ⎛−3 1⋅ 3
⎟
=
⎜
⎟ ⎜
1
−13 ⋅ ⎟ ⎜
⎠ ⎝−1 −6 2
−2 −9⎞
3
⎟
⎟
−3⎟
⎠
⎛−1 1
c) A⋅ B=
⎜
⎜
⎝ 0 1
1⎞ ⎛−2 2⎟⋅ ⎜
1
2
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝ 2
1⎞
⎛ 1 ( 2) 1 1
1
2
3
⎟ − ⋅ − + ⋅ + ⋅
⎜ 2
⎟
=
0⎟
⎜
0 ⋅− ( 2) + 1⋅ 1+ 2⋅2 ⎠ ⎝
−1⋅ 1+ 1⋅ 3+ 1
⋅0⎞ ⎛4 2 ⎟=
⎜
0⋅ 1+ 1⋅ 3+ 2⋅0 ⎟ ⎝5 ⎠
2⎞
3
⎟.
⎠
⎛−2 BA =
⎜
⎜
1
⎜
⎝ 2
1⎞ ⎛ 1 1
3
⎟ −
⎜
⎟
⋅
0⎟ ⎜
0 1
⎠ ⎝
⎛−2 ⋅( − 1) + 1⋅0 ⎜
1 ⎞ ⎜
2 ⎟=
⎜ 1 ⋅( − 1) + 3⋅0 2
⎟
⎠ ⎜
⎜ 2( ⋅ − 1) + 00 ⋅
⎝
−2⋅ 1+ 1⋅1 1⋅ 1+ 3⋅ 1
21 ⋅ + 01 ⋅
−2⋅ 1
+ 1⋅2⎞ 2 ⎟ ⎛ 2
1
1 ⎟
+ 3⋅ 2 =
⎜
−1
2
⎟ ⎜
⎟ ⎜
1 ⎝−2 2⋅ + 02 ⋅ ⎟
2 ⎠
−1
4
2
1 ⎞
6,5
⎟
⎟
1 ⎟
⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜−1 0⎟ ⎜−1 ⋅( − 2) + 0⋅1 −1⋅ 1+ 0⋅3 −1⋅ 2+ 0⋅0⎟ ⎛ 2 −1 −2⎞
⎛−2 1 2⎞
A⋅ B= ⎜ 1 1⎟⋅ = ⎜ 1(2) ⋅ − + 11 ⋅ 11 ⋅ + 13 ⋅ 12 ⋅ + 10 ⋅ ⎟=
⎜
− 1 4 2
⎟
= ( BA)
⎜ ⎟ ⎜
1 3 0
⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1
2
1
( 2) 2 1
1
1 2 3
1 ⎜
2 2 0
1 6,5 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⋅− + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 2 ⎠
t t t
⎛ ⎞
⎜−1 0⎟ ⎛ 2 ( 1) 1 1 2
1
2 1 2 2 0 1 1 2 2⎞
t t ⎛−⎞ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
⎜ 2
⎟ ⎛4 5⎞
t
B ⋅ A = ⎜ 1 1 ⎟
⎜ ( AB)
1 3 0
⎟⋅ =
⎜
1(1) 31 0
1 ⎟
= ⎜ =
10 31 02
2 3
⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎜ 1 ⎜ ⋅− + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎝ 2
⎠
⎝ 2 ⎠
d) A · B = I3 · B = B
B · A = B · I3 = B
t t
A · B = I3 · t B = t B
t t t
B · A = B · I3 = t B
39

E3. Rezolvare:
Calculăm
⎛−1 ⎜
0
AB =
⎜
⎜−3 ⎜
⎝ 2
2⎞ ⎟
1⎟⎛3 1⎟ ⋅ ⎜
⎝0 ⎟
0⎠ 1
1
−4 0
⎛−13 ⋅ + 20 ⋅
⎜
0⎞ ⎜ 0⋅ 3+⋅ 1 0
⎟=
5⎠ ⎜−3⋅ 3+ 1⋅0 ⎜
⎝ 23 ⋅ + 00 ⋅
−11 ⋅ + 21 ⋅
0⋅+⋅ 1 1 1
−3⋅ 1+ 1⋅1 21 ⋅ + 01 ⋅
−1( ⋅− 4) + 20 ⋅
0 ⋅− ( 4) +⋅ 1 0
−3 ⋅− ( 4) + 1⋅0 2( ⋅− 4) + 00 ⋅
−10 ⋅ + 25 ⋅ ⎞
⎟
0⋅ 0+⋅ 1 5 ⎟
=
−3⋅ 0+ 1⋅5⎟ ⎟
20 ⋅ + 05 ⋅ ⎠
⎛−3 ⎜
0
= ⎜
⎜−9 ⎜
⎝ 6
1
1
−2
2
4
0
12
−8
10⎞
5
⎟
⎟.
5 ⎟
⎟
0
⎟
⎠
⎛−3 ⎜
t 1
Rezultă că ( AB)
= ⎜
⎜ 4
⎜
⎝10 0
1
0
5
−9
−2
12
5
6 ⎞
2
⎟
⎟.
−8⎟
⎟
0
⎟
⎠
⎛ 3
⎜
t t 1
B⋅ A=
⎜
⎜−4 ⎜
⎝ 0
0⎞ 1
⎟
⎟⎛−1 0⎟ ⎜
⎝ 2
⎟
5
⎟
⎠
0
1
−3 1
⎛ 3(1) ⋅ − + 02 ⋅
2
⎜
⎞ ⎜
1(1) ⋅ − + 12 ⋅
0
⎟=
⎠ ⎜−4(1) ⋅ − + 02 ⋅
⎜
⎝ 0 ⋅− ( 1) + 5⋅2 30 ⋅ + 01 ⋅
10 ⋅ + 11 ⋅
−40 ⋅ + 01 ⋅
0⋅ 0+ 5⋅1 3(3) ⋅ − + 01 ⋅
1(3) ⋅ − + 11 ⋅
−4(3) − + 01 ⋅
0 ⋅− ( 3) + 5⋅1 32 ⋅ + 00 ⋅ ⎞
12 ⋅ + 10 ⋅
⎟
⎟=
−42 ⋅ + 00 ⋅ ⎟
⎟
0⋅ 2+ 5⋅0 ⎟
⎠
⎛−3 ⎜
1
= ⎜
⎜ 4
⎜
⎝10 0
1
0
5
−9
−2
12
5
6 ⎞
2
⎟
⎟.
−8⎟
⎟
0
⎟
⎠
Se observă că t (AB) = t B · t A.
⎛−6 ⎜
t t 1
Avem de asemenea: AB + B A = ⎜
⎜−5 ⎜
⎝16 1
2
−2 7
−5
−2
24
−3
16⎞
7
⎟
⎟.
−3⎟
⎟
0
⎟
⎠
E4. Rezolvare:
⎛ 5⋅ 0+ 1 ⋅( − 1) + ( −2)( −4) A⋅( B⋅ C) = A⋅
⎜
⎜
10 ⋅ + 1(1) ⋅ − + 3(4) ⋅ −
⎜
⎝−1⋅ 0+ 1 ⋅( − 1) + ( −2) ⋅( −4) 5⋅ 2+ 1⋅ 3 + ( −2) ⋅0 12 ⋅ + 13 ⋅ + 30 ⋅
( −1) ⋅ 2+ 1⋅ 3 + ( −2) ⋅0 5⋅ 0+ 1 ⋅( − 1) + ( −2)( −2)
⎞
10 ⋅ + 1(1) ⋅ − + 3(2) ⋅ −
⎟
⎟
=
( −1) ⋅ 0+ 1 ⋅( − 1) + ( −2)( −2)
⎟
⎠
⎛−1 =
⎜
⎜
2
⎜
⎝ 1
0
−1 1
3⎞ ⎛ 7
2
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜
−13 0⎟ ⎜
⎠ ⎝ 7
13
5
1
3 ⎞ ⎛−1⋅ 7+ 0 ⋅( − 13) + 3⋅7 − 7
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
2 ⋅ 7 + ( −1)( − 13) + 2 ⋅7 3⎟ ⎜
⎠ ⎝ 17 ⋅ + 1(13) ⋅ − + 07 ⋅
−1⋅ 13+ 0⋅ 5+ 3⋅1 2 ⋅ 13 + ( −1) ⋅ 5 + 2 ⋅1 113 ⋅ + 15 ⋅ + 01 ⋅
−1⋅ 3+ 0 ⋅( − 7) + 3⋅3⎞ 2 ⋅ 3 + ( −1)( − 7) + 2 ⋅ 3
⎟
⎟
=
13 ⋅ + 1(7) ⋅ − + 03 ⋅ ⎟
⎠
⎛14 =
⎜
⎜
41
⎜
⎝−6 −10
23
18
6 ⎞
19
⎟
⎟
.
−4⎟
⎠
⎛−⋅ 15+ 01 ⋅+⋅− 3( 1)
⎜
( A⋅B) ⋅ C= ⎜2⋅ 5 +− ( 1)1+ 2 ⋅− ( 1)
⎜
⎝ 15 ⋅ +⋅+ 11 0( ⋅−1) −⋅+ 11 01 ⋅+⋅ 31
2⋅ 1 +− ( 1)1+ 2⋅1 11 ⋅+⋅+ 11 01 ⋅
−⋅− 1( 2) + 03 ⋅+⋅− 3( 2) ⎞ ⎛−8 ⎟ ⎜
2 ⋅− ( 2) +− ( 1)3+ 2 ⋅− ( 2) ⎟⋅ C=
⎜ 7
⎟ ⎜
1( ⋅− 2) +⋅+ 13 0( ⋅−2)
⎠ ⎝ 6
2
3
2
−4⎞
⎟
−11⎟⋅ ⎟
1 ⎠
40

⎛ 0
⋅
⎜
⎜
−1 ⎜
⎝−4 2
3
0
0 ⎞ ⎛0− 2+ 16
− 1
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0− 3+ 44
−2⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0−2− 4
− 16+ 6+ 0
14+ 9+ 0
12+ 6+ 0
0− 2+ 8 ⎞ ⎛14 0− 3+ 22
⎟
=
⎜
⎟ ⎜
41
0−2−2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−6 −10
23
18
6 ⎞
19
⎟
⎟
.
−4⎟
⎠
Aşadar, A · (B · C) = (A · B) · C.
⎛−1 b) A⋅ ( B+ C)
=
⎜
⎜
2
⎜
⎝ 1
0
−1 1
3⎞ ⎛ 5
2
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜
0
0⎟ ⎜
⎠ ⎝−5 3
4
1
−2⎞ ⎛− 5+ 0−15 2
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
10+ 0−10 − 4⎟ ⎜
⎠ ⎝ 5+ 0+ 0
− 3+ 0+ 3
6− 4+ 2
3+ 4+ 0
2+ 0−12⎞ ⎛−20 −4−2− 8
⎟
=
⎜
⎟ ⎜
0
− 2+ 2+ 0⎟ ⎜
⎠ ⎝ 5
0
4
7
−10⎞
−14
⎟
⎟
0 ⎟
⎠
⎛−1 AB + AC =
⎜
⎜
2
⎜
⎝ 1
0
−1 1
3⎞ ⎛ 5 1
2
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜
1 1
0⎟ ⎜
⎠ ⎝−1 1
−2⎞ ⎛−1 3
⎟ ⎜
⎟
+
⎜
2
−2⎟ ⎜
⎠ ⎝ 1
0
−1 1
3⎞ ⎛ 0
2
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜
−1 0⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 2
3
0
0 ⎞ ⎛− 5+ 0−3 − 1
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
10−1−2 − 2⎟ ⎜
⎠ ⎝ 5+ 1+ 0
− 1+ 0+ 3
2− 1+ 2
1+ 1+ 0
2+ 0−6 ⎞
−4−3− 4
⎟
⎟
+
− 2+ 3+ 0⎟
⎠
⎛0+ 0−12 +
⎜
⎜
0+ 1−8 ⎜
⎝ 0− 1+ 0
− 2+ 0+ 0
4− 3+ 0
2+ 3+ 0
0+ 0−6⎞ ⎛−8 0+ 1− 4
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
7
0−1−0⎟ ⎜
⎠ ⎝ 6
2
3
2
−4 ⎞ ⎛−12 − 11
⎟ ⎜
⎟
+
⎜
−7 1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ −1 −2 1
5
−6⎞ ⎛−20 − 3
⎟
=
⎜
⎟ ⎜
0
−1⎟
⎜
⎠ ⎝ 5
0
4
7
−10⎞
−14
⎟
⎟
.
0 ⎟
⎠
Aşadar A · (B + C) = AB + AC.
c)
⎛4 ( A+ B) ⋅ C =
⎜
⎜
3
⎜
⎝0 1
0
2
1 ⎞ ⎛ 0
5
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜
−1 −2⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 2
3
0
0 ⎞ ⎛ 0−1− 4
− 1
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0+ 0− 20
−2⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0− 2+ 8
8+ 3+ 0
6+ 0+ 0
0+ 6+ 0
0−1−2 ⎞ ⎛ −5 0+ 0− 10
⎟
=
⎜
⎟ ⎜
−20 0− 2+ 4 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 6
11
6
6
−3
⎞
−10
⎟
⎟
.
2 ⎟
⎠
Pentru calculul expresiei A · C + B · C vom folosi calculul lui A · C făcut la punctul b) şi al lui
B · C făcut la a).
⎛−12 Avem: AC ⋅ + BC ⋅ =
⎜
⎜
−7 ⎜
⎝ −1 −2 1
5
−6⎞ ⎛ 7
− 3
⎟ ⎜
⎟
+
⎜
−13 −1⎟
⎜
⎠ ⎝ 7
13
5
1
3 ⎞ ⎛ −5 − 7
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
−20 3 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 6
11
6
6
−3⎞
−10
⎟
⎟
.
2 ⎟
⎠
Aşadar, (A + B) · C = A · C + B · C.
E5. Rezolvare:
2
⎛2 ⎜
⎝1 1 ⎞
−3 ⎟
⎠
⎛2 = ⎜
⎝1 1 ⎞ ⎛2 ⋅
−3 ⎟ ⎜
⎠ ⎝1 1 ⎞ ⎛4+ 1
=
−3 ⎟ ⎜
⎠ ⎝2− 3
2−3⎞ ⎛ 5
=
1+ 9
⎟ ⎜
⎠ ⎝−1 −1⎞
10
⎟
⎠ ;
⎛1 ⎜
⎝3 3
−1⎞ ⎛1 2
⎟ = ⎜
⎠ ⎝3 −1⎞ ⎛1 2
⎟⋅⎜ ⎠ ⎝3 −1⎞ ⎛1 2
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝3 −1⎞ ⎛1−3 2
⎟= ⎜
⎠ ⎝3+ 6
−1−2⎞ ⎛1 ⋅
− 3+ 4
⎟ ⎜
⎠ ⎝3 −1⎞ ⎛−2 =
2
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 9
−3⎞⎛1 1
⎟⎜
⎠⎝3 −1⎞
=
2
⎟
⎠
⎛−2−9 = ⎜
⎝ 9+ 3
2−6 ⎞ ⎛−11 =
− 9+ 2
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 12
−4⎞
−7
⎟
⎠ .
⎛ 2
Avem: ⎜
⎝−1 2
−1⎞ ⎛ 2
1
⎟ = ⎜
⎠ ⎝−1 −1⎞⎛ 2
1
⎟⎜
⎠⎝−1 − 1⎞ ⎛ 4+ 1
1
⎟= ⎜
⎠ ⎝−2− 1
−2−1⎞ ⎛ 5
=
1+ 1
⎟ ⎜
⎠ ⎝−3 −3⎞
2
⎟
⎠
⎛ 2
⎜
⎝−1 4
−1⎞ ⎛ 2
1
⎟ = ⎜
⎠ ⎝−1 2
−1⎞ ⎛ 2
1
⎟ ⋅ ⎜
⎠ ⎝−1 2
−1⎞ ⎛ 5
1
⎟ = ⎜
⎠ ⎝−3 −3⎞ ⎛ 5
2
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝−3 − 3⎞ ⎛ 25+ 9
=
2
⎟ ⎜
⎠ ⎝−15− 6
−15−6⎞ ⎛ 34
=
9+ 4
⎟ ⎜
⎠ ⎝−21 −21⎞
13
⎟
⎠ .
⎛ 2
⎜
⎝−1 5
−1⎞ ⎛ 2
1
⎟ = ⎜
⎠ ⎝−1 4
−1⎞ ⎛ 2
1
⎟ ⋅ ⎜
⎠ ⎝−1 −1⎞ ⎛ 34
1
⎟= ⎜
⎠ ⎝−21 −21⎞ ⎛ 2
13
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝−1 − 1⎞ ⎛ 68 + 21
=
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝−42 − 13
−34 −21⎞ ⎛ 89
=
21+ 13
⎟ ⎜
⎠ ⎝−55 −55⎞
34
⎟
⎠ .
E6. Rezolvare:
⎛−1 2 ⎜
A = ⎜ 4
⎜
⎝ 4
2
−3 −4 −2⎞⎛−1 ⎟⎜
4 ⎟⎜ 4
⎟⎜
5 ⎠⎝ 4
2
− 3
−4 − 2⎞ ⎛ 1+ 8−8 ⎟ ⎜
4 ⎟= ⎜−4− 12+ 16
⎟ ⎜
5 ⎠ ⎝−4− 16+ 20
−2− 6+ 8
8+ 9−16 8+ 12−20 2+ 8−10 ⎞
⎟
−8− 12+ 20⎟=
I
⎟
−8− 16+ 25⎠
41
3

Aşadar A 2 = I3.
A 3 = A 2 · A = I3 · A = A
2006 2 1003 2003
A = ( A ) = I3 = I3
3 10 10
( A + I) = ( A+ I3)
⎛0 1 −1⎞
not
Dar A+ I3= 2⋅ ⎜
2 1 2
⎟
⎜
−
⎟
= 2⋅B
şi B
⎜2 −2
3 ⎟
⎝ ⎠
2 = B.
10 10 10 10 10
Rezultă că ( A+ I ) = (2 B) = 2 ⋅ B = 2 ⋅ B.
3
E7. Rezolvare:
Calculăm câteva puteri consecutive ale lui A
2 ⎛1 A = A⋅ A= ⎜
⎝1 0⎞ ⎛1 1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝1 0⎞ ⎛1 =
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝2 0⎞
1
⎟
⎠
3 2 ⎛1 A = A ⋅ A= ⎜
⎝2 0⎞ ⎛1 1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝1 0⎞ ⎛1 =
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝3 0⎞
1
⎟
⎠
4 3 ⎛1 A = A ⋅ A= ⎜
⎝3 0⎞ ⎛1 1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝1 0⎞ ⎛1 =
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝4 0⎞
1
⎟
⎠ .
Din forma de scriere a matricelor A, A 2 , A 3 , A 4 n ⎛1 se deduce că A = ⎜
⎝n demonstrăm prin inducţie matematică după n i q, n U 1.
0⎞
1
⎟,
formulă care o
⎠
1 ⎛1 Pentru n = 1, rezultă că A = ⎜
⎝1 0⎞
= A
1
⎟ , ceea ce este evident adevărat.
⎠
k ⎛1 Presupunem că A = ⎜
⎝k 0⎞
k + 1 ⎛ 1
0
⎟ şi demonstrăm că A = ⎜
⎠ ⎝k+ 1
0⎞
1
⎟
⎠ .
k+ 1 k ⎛1 Avem că A = A ⋅ A=
⎜
⎝k 0⎞ ⎛1 1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝1 0⎞ ⎛ 1
=
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝k + 1
0⎞
1
⎟,
ceea ce trebuia demonstrat.
⎠
n ⎛1 Aşadar, A = ⎜
⎝n 0⎞
1
⎟,
¼n i q*.
⎠
E8. Rezolvare:
⎛a Luăm matricea X de forma: X = ⎜
⎝x b⎞
y
⎟,
a, b, x, y i Z.
⎠
⎛a • Înlocuind în relaţia de la a) avem: ⎜
⎝x b⎞⎛−1
y
⎟⎜
⎠⎝ 3
2⎞ ⎛5 =
4
⎟ ⎜
⎠ ⎝4 10⎞
2
⎟
⎠ ,
⎛− a+ 3b relaţie echivalentă cu ⎜
⎝− x+ 3y 2a+ 4b⎞ ⎛5 =
2x+ 4y ⎟ ⎜
⎠ ⎝4 10⎞
2
⎟
⎠ .
⎧−
a+ 3b= 5 ⎧−
x+ 3y = 4
Se obţin sistemele de ecuaţii: ⎨ şi ⎨
⎩2a+
4b= 10 ⎩2x+
4y = 2
cu soluţiile a = 1, b = 2, respectiv x = –1, y = 1.
Aşadar,
⎛ 1 2⎞
X = ⎜
−1
1
⎟
⎝ ⎠ .
42

⎛−1 • Înlocuind în relaţia de la punctul b) se obţine: ⎜
⎝ 2
3⎞⎛a 1
⎟⎜
⎠⎝x b⎞
⎛5 =
y
⎟ ⎜
⎠ ⎝4 7⎞
0
⎟
⎠ ,
⎛− a+ 3x relaţie echivalentă cu: ⎜
⎝ 2a+ x
− b+ 3y⎞ ⎛5 ⎟= ⎜
2b+ y ⎠ ⎝4 7⎞
⎟
0⎠
.
Din această egalitate de matrice se obţin sistemele de ecuaţii:
⎧−
a+ 3x= 5 ⎧−
b+ 3y = 7
⎨ şi ⎨
⎩2a+
x=
4 ⎩2b+
y = 0
⎛1 care au soluţiile a = 1, x = 2, respectiv b = –1, y = 2. Aşadar, X = ⎜
⎝2 −1⎞
2
⎟
⎠ .
E9. Rezolvare:
a) B = 2f(A) – f(A + I2). Avem:
f(A) = A 3 – 4A + 2I2
3 2 ⎛−1 Dar A = A ⋅ A=
⎜
⎝ 2
0 ⎞⎛−1 −1 ⎟⎜
⎠⎝ 2
0 ⎞⎛−1 −1 ⎟⎜
⎠⎝ 2
0 ⎞ ⎛ 1
=
−1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 0⎞⎛−1 1
⎟⎜
⎠⎝ 2
0 ⎞ ⎛−1 =
−1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 6
0 ⎞
−1
⎟
⎠
⎛−1 Rezultă că f( A)
= ⎜
⎝ 6
0 ⎞ ⎛−1 − 4
−1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 2
0 ⎞ ⎛1 + 2
−1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛−1 1
⎟= ⎜
⎠ ⎝ 6
0 ⎞ ⎛ 4
+
−1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−8 0⎞ ⎛2 +
4
⎟ ⎜
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛ 5
=
2
⎟ ⎜
⎠ ⎝−2 0⎞
5
⎟
⎠ .
f(A + I2) = (A + I2) 3 – 4(A + I2) + 2I2.
⎛0 Dar A+ I2 = ⎜
⎝2 0⎞ 2 ⎛0 ,( 2) 0
⎟ A+ I = ⎜
⎠ ⎝2 0⎞⎛0 0
⎟⎜
⎠⎝2 0⎞ ⎛0 =
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝0 0⎞
= O2
0
⎟
⎠
3 2
şi ( A+ I ) = ( A+ I ) ⋅ ( A+ I ) = O .
2 2 2 2
⎛0 Rezultă că f( A+ I2) = O2
−4⋅ ⎜
⎝2 0⎞ ⎛1 2
0
⎟+ ⎜
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛0 1
⎟= ⎜
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛ 0
0
⎟+ ⎜
⎠ ⎝−8 0⎞ ⎛2 +
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛ 2
=
2
⎟ ⎜
⎠ ⎝−8 0⎞
2
⎟
⎠ .
Înlocuind în expresia matricei B se obţine:
b) Calculăm
Din punctul a) avem că
⎛ 5 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛8 0⎞
B = 2 ⋅⎜ − =
−2 5
⎟ ⎜
−8
2
⎟ ⎜
4 8
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
t ⎛−1 0 ⎞ ⎛−1 2 ⎞ ⎛0 −2⎞
A− A=
⎜ − =
2 −1 ⎟ ⎜
0 −1
⎟ ⎜
2 0
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 5 0⎞
f( A)
= ⎜
−2
5
⎟
⎝ ⎠
f(A – t A) = (A – t A) 3 – 4(A – t A) + 2I2.
Dar
3
t 3 ⎛0 −2⎞ ⎛0 −2⎞⎛0 −2⎞⎛0 −2⎞ ⎛−4 0 ⎞⎛0 −2⎞
⎛ 0 8⎞
( A− A)
= ⎜
2 0
⎟ = ⎜
2 0
⎟⎜
2 0
⎟⎜
2 0
⎟= ⎜ =
0 −4 ⎟⎜
2 0
⎟ ⎜
−8
0
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Rezultă că
t ⎛ 0 8⎞ ⎛ 0 8⎞ ⎛2 0⎞ ⎛ 2 16⎞
f( A− A)
= ⎜ + + =
−8 0
⎟ ⎜
−8 0
⎟ ⎜
0 2
⎟ ⎜
−16
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Înlocuind în expresia matricei C se obţine:
⎛ 5 0⎞ ⎛ 2 16⎞ ⎛ 5 0⎞ ⎛ 4 32⎞ ⎛ 9 32⎞
C = ⎜ + 2 ⋅ = + =
−2 5
⎟ ⎜
−16 2
⎟ ⎜
−2 5
⎟ ⎜
−32 4
⎟ ⎜
−34
9
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
43

Sinteză
S1. Rezolvare:
a) Matricea X trebuie să fie de tipul (3, 2) pentru a avea loc egalitatea de matrice din enunţ.
⎛a x⎞
⎛1 −1
1 ⎞ 0 3
Înlocuind pe X avem:
⎜
b y
⎟ ⎛ ⎞
⎜
0 1 1
⎟⋅ ⎜ ⎟
= ⎜
3 2
⎟.
⎝ − ⎠ ⎜ ⎝ ⎠
c z⎟
⎝ ⎠
Efectuând înmulţirea de matrice se obţine următoarea egalitate de matrice:
⎛a− b+ c x− y+ z⎞
⎛0 3⎞
⎜ =
b−c y−z ⎟ ⎜
3 2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ,
⎧a−
b+ c=
0
⎪
⎪b−
c=
3
din care se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨
⎪x−
y+ z = 3
⎪⎩ y− z = 2
Din primele două ecuaţii se obţine a = b – c = 3, b = 3 + c şi c i Z.
Din următoarele două ecuaţii se obţine x = 5, y = 2 + z şi z i Z.
⎛ 3 5 ⎞
Aşadar X =
⎜
3 c 2 z
⎟
⎜
+ +
⎟
, c, z i Z.
⎜ c z ⎟
⎝ ⎠
b) În egalitatea aceasta se impune condiţia ca X i M3,1(Z). Avem:
⎛−1 4 1⎞
⎛a⎞ ⎛−3⎞ ⎛− a+ 4b+ c ⎞ ⎛−3⎞ ⎜
0 1 3
⎟⋅ ⎜
b
⎟
=
⎜
8
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
, egalitate care se scrie sub forma:
⎜
b 3c ⎟ ⎜
8
⎟
⎜
+
⎟
=
⎜ ⎟
⎜−2 2 5⎟ ⎜c⎟ ⎜ 9⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− 2a+ 2b+ 5c⎟ ⎜ 9⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Identificând elementele corespunzătoare ale acestor matrice se obţine sistemul de ecuaţii:
⎧−
a+ 4b+ c=−3
⎪
⎨b+
3c= 8
⎪
⎩−
2a+ 2b+ 5c= 9
Înmulţind prima ecuaţie cu –2 şi adunând-o la ecuaţia a treia se obţine un sistem de două
ecuaţii cu necunoscutele b şi c:
⎧−
6b+ 3c= 15
⎨ cu soluţia: b = –1, c = 3.
⎩b+
3c= 8
Înlocuind b şi c în una din ecuaţiile care conţin a se obţine a = 2.
⎛2⎞ Aşadar, X =
⎜
1
⎟
⎜
−
⎟
⎜3⎟ ⎝ ⎠
c) În această relaţie matriceală matricea X este pătratică de ordinul 3:
⎛1 −1 1 ⎞ ⎛a x m⎞
⎛ 8 2 −1⎞
Avem:
⎜
2 0 3
⎟ ⎜
b y n
⎟ ⎜
9 5 4
⎟
⎜ ⎟
⋅
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
⎜1 1 −2⎟ ⎜c z p⎟
⎜−3 −1
5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală:
⎛ a− b+ c x− y+ z m− n+ p ⎞ ⎛ 8 2 −1⎞
⎜
2a 3c 2x 3z 2m 3p ⎟ ⎜
9 5 4
⎟
⎜
+ + +
⎟
=
⎜ ⎟
⎜a+ b− 2c x+ y− 2z m+ n−2p⎟ ⎜−3 −1
5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
44

Punând condiţia egalităţii celor două matrice se structurează trei sisteme de ecuaţii cu câte trei
necunoscute de forma:
⎧a− b+ c= 8 ⎧x− y+ z = 2 ⎧m−
n+ p=−1
⎪ ⎪ ⎪
⎨2a+ 3c= 9 , ⎨2x+ 3z = 5 , ⎨2m+
3p= 4
⎪a b 2c 3 ⎪x y 2z 1 ⎪
⎩ + − =− ⎩ + − =− ⎩m+
n− 2p= 5
Se obţin soluţiile: a = 3, b = –4; c = 1
x = 1; y = 0; z = 1
m = 2; n = 3; p = 0
⎛ 3 1 2⎞
Aşadar, X =
⎜
4 0 3
⎟
⎜
−
⎟
.
⎜ 1 1 0⎟
⎝ ⎠
S2. Rezolvare:
⎛1 a) Avem egalitatea: ⎜
⎝0 5⎞ ⎛a 1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝x b⎞
⎛1 =
y
⎟ ⎜
⎠ ⎝0 0⎞
1
⎟
⎠ ,
⎛a+ 5x care este echivalentă cu: ⎜
⎝ x
Se obţin egalităţile de elemente:
• a + 5x = 1
• b + 5y = 0
• x = 0
b+ 5y⎞ ⎛1 =
y
⎟ ⎜
⎠ ⎝0 0⎞
1
⎟
⎠
⎛1 Rezultă că: a = 1, b = –5 şi X = ⎜
⎝0 −5⎞
1
⎟
⎠ ,
b) Înlocuind A, X şi B se obţine egalitatea:
⎛1 ⎜
⎝0 5⎞ ⎛a 1
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝x b⎞
⎛2 =
y
⎟ ⎜
⎠ ⎝1 ⎧a+
5x= 2
1
⎪
⎞
⎪b+
5y = 1
1
⎟.
Procedând ca la a) se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨
⎠ ⎪ x = 1
⎪ ⎩ y = 1
⎛−3 cu soluţiile a = –3; b = –4, x = 1, y = 1. Aşadar, X = ⎜
⎝ 1
−4⎞
1
⎟
⎠ .
⎛a c) După înlocuirea matricelor X, A şi B se obţine egalitatea ⎜
⎝x b⎞
⎛1 y
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝0 5⎞ ⎛2 =
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝1 1⎞
1
⎟,
care este
⎠
⎛a echivalentă cu: ⎜
⎝x 5a+ b⎞
⎛2 =
5x+ y
⎟ ⎜
⎠ ⎝1 1⎞
1
⎟
⎠ .
Rezultă că: a = 2, x = 1, 5a + b = 1, 5x + y = 1.
⎛2 Se obţine că X = ⎜
⎝1 −9⎞
−4
⎟
⎠ .
⎛1 d) AX = XB ⇔ ⎜
⎝0 5⎞⎛a 1
⎟⎜
⎠⎝x b⎞ ⎛a y
⎟= ⎜
⎠ ⎝x b⎞⎛2 y
⎟⎜
⎠⎝1 1⎞ ⎛a+ 5x 1
⎟⇔ ⎜
⎠ ⎝ x
b+ 5y⎞ ⎛2a+ b
=
y
⎟ ⎜
⎠ ⎝2x+ y
a+ b⎞
x+ y
⎟
⎠ .
Se obţine sistemul de ecuaţii:
⎧a+ 5x= 2a+ b ⎧a+
b− 5x= 0
⎪
b 5y a b
⎪
⎪ + = + ⎪a−
5y= 0
⎨ ⇔ ⎨
, cu soluţia x = y = a = b = 0. Rezultă că X = O2.
⎪x= 2x+ y ⎪x+
y = 0
⎪⎩y = x+ y ⎪⎩x=
0
45

⎛2 1⎞ ⎛a b⎞
⎛2 1⎞ ⎛1 5⎞
e) Egalitatea BXB = A este echivalentă cu: ⎜
1 1
⎟⋅⎜ x y
⎟⋅ ⎜ =
1 1
⎟ ⎜
0 1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Efectuând înmulţirea de matrice se obţine succesiv:
⎛2a+ x 2b+ y⎞ ⎛2 1⎞ ⎛1 5⎞ ⎛4a+ 2x+ 2b+ y 2a+ x+ 2b+ y⎞
⎛1 5⎞
⎜ ⋅ = ⇔ =
a+ x b+ y
⎟ ⎜
1 1
⎟ ⎜
0 1
⎟ ⎜
2a+ 2x+ b+ y a+ x+ b+ y
⎟ ⎜
0 1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Identificând elementele celor două matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii:
⎧4a+
2x+ 2b+ y = 1
⎪
⎪2a+
x+ 2b+ y=
5
⎨
⎪2a+
2x+ b+ y=
0
⎪ ⎩a+
x+ b+ y=
1
Scădem primele două ecuaţii între ele şi ultimele două ecuaţii între ele. Se obţine un nou
⎧2a+
x=−4
sistem de ecuaţii: ⎨ , cu soluţia: a = –3; x = 2
⎩a+
x=−1
Înlocuim pe a şi x în prima şi a treia ecuaţie a sistemului iniţial şi se obţine un sistem cu două
⎧2b+
y = 9
ecuaţii cu necunoscutele b şi y: ⎨ , cu soluţia b = 7, y = –5.
⎩b+
y = 2
⎛−3 7 ⎞
Aşadar X = ⎜
2 −5
⎟
⎝ ⎠ .
S3. Rezolvare:
2 2
2 ⎛a −b⎞ ⎛a −b⎞ ⎛a −b −2ab
⎞
A = A⋅ A=
⎜ 2 2
b a
⎟⋅ ⎜
b a
⎟=⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2ab
a − b ⎠
Înlocuind în egalitatea din enunţ se obţine egalitatea matriceală:
2 2
⎛a −b −2ab ⎞ ⎛−3a 3b ⎞ ⎛2 0⎞ ⎛−1 −1⎞
⎜ 2 2⎟+
⎜ + =
2ab
a b −3b −3a ⎟ ⎜
0 2
⎟ ⎜
1 −1
⎟
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
echivalentă cu:
2 2
⎛a −b − 3a+ 2 − 2ab+ 3b
⎞ ⎛−1 −1⎞
⎜ 2 2 ⎟= ⎜
2ab 3b a b 3a2 1 −1
⎟.
⎝ − − − + ⎠ ⎝ ⎠
Din această egalitate matriceală se obţine sistemul de ecuaţii:
2 2 2 2
⎧a −b − 3a+ 2=−1 ⎧a
−b − 3a=−3 ⎨ ⇔ ⎨
⎩2ab − 3b= 1 ⎩2ab−
3b= 1
2 2
⎧ b = a − 3a+ 3
Sistemul de ecuaţii se aduce la forma: ⎨
b(2a− 3) = 1
⎩
Se ridică la pătrat a doua ecuaţie şi se substituie b 2 obţinându-se ecuaţia:
(a 2 – 3a + 3)(2a – 3) 2 = 1, sau (a 2 – 3a + 3)[4(a 2 – 3a) + 9] = 1.
Se notează a 2 – 3a = y şi se obţine ecuaţia
Revenind la notaţia făcută se obţine:
(y + 3)(4y + 9) = 1 cu soluţiile y1 = –2, y2
2 13
46
=
−13
.
4
a 2 – 3a = –2, cu soluţia a i {1, 2}, respectiv a − 3a=−
care nu are soluţii reale.
4
Pentru a = 1 se obţine b = –1, iar pentru a = 2 se obţine b = 1.
⎛ 1 1⎞
Aşadar, A = ⎜
−1
1
⎟
⎝ ⎠ sau
⎛2 A = ⎜
⎝1 −1⎞
2
⎟
⎠ .

S4. Rezolvare:
⎛a b⎞
Fie A=
⎜ ⎟∈M
2 ( Z)
. Ecuaţia matriceală devine:
⎝x y⎠
⎛2a 2b⎞ ⎛ 1 2⎞⎛a b⎞⎛
3 1⎞ ⎛1 −3⎞
⎜
2x 2y ⎟− ⎜ =
−1 1
⎟⎜
x y
⎟⎜
−1
1
⎟ ⎜
4 2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
echivalentă cu:
⎛2a 2b⎞ ⎛a+ 2x b+ 2y⎞⎛ 3 1⎞ ⎛1 −3⎞
⎜
2x 2y ⎟− ⎜ =
− a+ x − b+ y
⎟⎜
−1
1
⎟ ⎜
4 2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
sau încă:
⎛2a 2b⎞ ⎛3a+ 6x−b− 2y a+ 2x+ b+ 2y⎞ ⎛1 −3⎞
⎜
2x 2y ⎟− ⎜ =
− 3a+ 3x+ b− y − a+ x− b+ y
⎟ ⎜
4 2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Efectuând scăderea de matrice şi respectând egalitatea de matrice se obţine sistemul de ecuaţii
cu necunoscutele a, b, x, y.
⎧−a−
6x+ b+ 2y= 1
⎪
⎪−a−
2x+ b− 2y=−3 ⎨
(1)
⎪3a−x−
b+ y=
4
⎪⎩ a− x+ b+ y = 2
Adunăm ecuaţia a treia la toate celelalte ecuaţii ale sistemului (1) şi se obţine:
⎧2a− 7x+ 3y= 5 ⎧2a−
7x+ 3y= 5
⎪ ⎪
⎨2a−3x− y= 1 ⇔⎨2a−3x− y=
1 (2)
⎪ ⎪
⎩4a− 2x+ 2y= 6 ⎩2a−
x+ y=
3
⎧− 4x+ 4y = 4 ⎧−
x+ y=
1
Scădem prima ecuaţie din celelalte două ecuaţii şi se obţine: ⎨ ⇔ ⎨ .
⎩− 6x+ 2y = 2 ⎩−
3x+ y = 1
Se obţine x = 0 şi y = 1.
Înlocuind x şi y în una din ecuaţiile sistemului (2) se obţine a = 1.
Înlocuind a, x şi y într-o ecuaţie a sistemului (1) se obţine b = 0.
⎛1 0⎞
Aşadar, A = ⎜
0 1
⎟
⎝ ⎠ .
S5. Rezolvare:
⎛a A= ⎜
⎝x b⎞
∈M2
( )
y
⎟ Z . Egalitatea din enunţ se scrie sub forma următoare:
⎠
⎛1 ⎜
⎝3 −1⎞ ⎛a 2
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝x b⎞ ⎛a y
⎟= ⎜
⎠ ⎝x b⎞
⎛1 ⋅
y
⎟ ⎜
⎠ ⎝3 −1⎞
2
⎟
⎠ .
Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală:
din care se obţine sistemul de ecuaţii:
Aşadar
⎛ a b ⎞
A = ⎜
−3b a−b ⎟,
a, b i Z.
⎝ ⎠
⎛ a−x b− y ⎞ ⎛a+ 3b − a+ 2b⎞
⎜ =
3a+ 2x 3b+ 2y ⎟ ⎜
x+ 3y − x+ 2y
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧a−
x= a+ 3b
⎪ ⎧x
=−3b
⎪b− y =− a+ 2b
⎪
⎨ ⇔ ⎨y
= a−b. ⎪3a+ 2x= x+ 3y
⎪
⎩a,
b∈Z
⎪ ⎩3b+
2y=− x+ 2y
47

S6. Rezolvare:
Să calculăm mai întâi A 2 şi A 3 . Avem:
⎛−1 2
A = A⋅ A=
⎜
⎜
0
⎜
⎝ 2
0
1
0
2 ⎞ ⎛−1 0
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜
0
−1⎟ ⎜
⎠ ⎝ 2
0
1
0
2 ⎞ ⎛ 5
0
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
−1⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 0
1
0
−4⎞
0
⎟
⎟
5 ⎟
⎠
⎛ 5
3 2
A = A ⋅ A=
⎜
⎜
0
⎜
⎝−4 0
1
0
−4⎞ ⎛−1 0
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜
0
5 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 2
0
1
0
2 ⎞ ⎛−13 0
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
−1⎟ ⎜
⎠ ⎝ 14
0
1
0
14 ⎞
0
⎟
⎟
−13⎟
⎠
Înlocuind A 2 şi A 3 în relaţia din enunţ se obţine:
⎛−13 ⎜
⎜
0
⎜
⎝ 14
0
1
0
14 ⎞ ⎛ 5
0
⎟
x
⎜
⎟
= ⋅
⎜
0
−13⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 0
1
0
−4⎞ ⎛−1 0
⎟
− y
⎜
⎟ ⎜
0
5 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 2
0
1
0
2 ⎞
0
⎟
⎟
−1⎟
⎠
sau încă:
⎛− 13
⎜
⎜
0
⎜
⎝ 14
0
1
0
14 ⎞ ⎛ 5x + y
0
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
−13⎟ ⎜
⎠ ⎝−4x− 2y 0
x− y
0
−4x−2y⎞ 0
⎟
⎟
.
5x+
y ⎟
⎠
Identificând elementele omoloage ale acestor matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii:
⎧5x+
y =−13
⎪
⎨−4x−
2y = 14 cu soluţia: x = –2, y = –3.
⎪
⎩x−
y = 1
S7. Rezolvare:
⎛ cos
π
⎜ 6
Matricea A se poate scrie sub forma: A =
⎜
⎜−sin π
⎝ 6
sin
π⎞
6⎟
⎟.
cos
π
⎟
6⎠
Pentru uşurinţa scrierii vom nota x
6
48
π
= . Calculăm câteva puteri ale matricei A şi obţinem:
2 ⎛ cosx A = A⋅ A=
⎜
⎝−sinx sinx⎞⎛ cosx cos x
⎟⎜
⎠⎝−sin x
2 2
sinx⎞ ⎛cosx−sin x
cos x
⎟= ⎜
⎠ ⎝ −2sinxcosx 2sin xcos x ⎞ ⎛ cos2x 2 2 ⎟=
⎜
cos x−sinx⎠ ⎝−sin 2x sin2x⎞
cos2x
⎟
⎠
3 2 ⎛ cos2x A = A ⋅ A=
⎜
⎝−sin 2x sin 2x⎞ ⎛ cos x
cos2 x
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝−sin x
sin x⎞ ⎛cos2x⋅cos x− sin 2xsinx cos x
⎟= ⎜
⎠ ⎝−sin 2xcosx−cos2xsinx cos2xsinx+ sin 2xcos x ⎞
=
− sin xsin2x+ cos2xcosx ⎟
⎠
⎛ cos(2 x + x) = ⎜
⎝− sin( x + 2 x) sin( x+ 2 x) ⎞ ⎛ cos3x =
cos(2 x+ x) ⎟ ⎜
⎠ ⎝−sin 3x sin 3x⎞
cos3x
⎟
⎠ .
Din forma de scriere a matricelor A, A 2 , A 3 se poate generaliza că
⎛ cos nx n
A =⎜
⎝−sin nx
sin nx⎞
⎟,
n i q*.
cosnx⎠
Demonstrăm această relaţie prin inducţie matematică după n i q*.
⎛ cos x 1
Pentru n = 1 se obţine A =⎜
⎝−sin x
sin x⎞
⎟,
ceea ce este evident adevărat.
cos x⎠
⎛ cos kx k
Presupunem că A =⎜
⎝−sin kx
sin kx⎞
k + 1 ⎛ cos( k + 1) x
⎟şi
demonstrăm că A =
coskx⎠
⎜
⎝− sin( k + 1) x
sin( k + 1) x⎞
cos( k + 1) x
⎟
⎠ .
Avem că
k+ 1 k ⎛ cos kx
A = A ⋅ A=
⎜
⎝−sin kx
sin kx ⎞ ⎛ cos x
coskx ⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝−sin x
sin x ⎞ ⎛cos kx ⋅cos x −sinkx ⋅ sin x
cos x
⎟= ⎜
⎠ ⎝−sin kxcos x −coskxsin x
cos kxsin x + sin kxcos x ⎞
=
− sin kxsin x + cos kxcos x
⎟
⎠

⎛ cos( kx+ x) = ⎜
⎝− sin( kx+ x) sin( kx+ x) ⎞ ⎛ cos( k + 1) x
=
cos( kx+ x) ⎟ ⎜
⎠ ⎝− sin( k + 1) x
sin( k + 1) x⎞
cos( k + 1) x
⎟,
ceea ce trebuia arătat.
⎠
n ⎛ cos nx
Aşadar, A = ⎜
⎝−sin nx
sin nx ⎞
cosnx
⎟,
¼n i q*, unde x
⎠ 6
π
= .
S8. Rezolvare:
Avem:
⎛2 2
A =
⎜
⎜
0
⎜
⎝0 1
1
0
0⎞⎛2 0
⎟⎜
⎟⎜
0
2⎟⎜ ⎠⎝0 1
1
0
0⎞ ⎛4 0
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
2⎟ ⎜
⎠ ⎝0 3
1
0
0⎞
0
⎟
⎟
4⎟
⎠
⎛4 3 2
A = A ⋅ A=
⎜
⎜
0
⎜
⎝0 3
1
0
0⎞⎛2 0
⎟⎜
⎟⎜
0
4⎟⎜ ⎠⎝0 1
1
0
0⎞ ⎛8 0
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
2⎟ ⎜
⎠ ⎝0 7
1
0
0⎞
0
⎟
⎟
8⎟
⎠
⎛8 4 3
A = A ⋅ A=
⎜
⎜
0
⎜
⎝0 7
1
0
0⎞⎛2 0
⎟⎜
⎟⎜
0
8⎟⎜ ⎠⎝0 1
1
0
0⎞ ⎛16 0
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
2⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0
15
1
0
0 ⎞
0
⎟
⎟
16⎟
⎠
Analizând forma de scriere a matricelor A, A 2 , A 3 , A 4 se observă că A n se poate scrie sub
n
⎛2 n ⎜
forma: A = ⎜ 0
⎜
⎝ 0
n
2 −1
1
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟,
n i q*.
n
2 ⎟
⎠
Demonstrăm această formulă prin inducţie matematică după n i q*.
Pentru n = 1 se obţine A 1 = A.
k
⎛2 k ⎜
Presupunem că A = ⎜ 0
⎜
⎝ 0
Avem că
k
2 −1
1
0
k+ 1
0 ⎞
⎛2 ⎟
k + 1 ⎜
0 ⎟ şi demonstrăm că A = ⎜ 0
k
2 ⎟
⎜
⎠
⎝ 0
k+
1
2 −1
1
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟.
k + 1
2 ⎟
⎠
k
⎛2 k+ 1 k ⎜
A = A ⋅ A=
⎜ 0
⎜
⎝ 0
k
2 − 1
1
0
0 ⎞ ⎛2 ⎟
0
⎜
⎟⋅ ⎜
0
k
2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝0 1
1
0
k+ 1
0⎞ ⎛2 0
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ 0
2⎟ ⎠
⎜
⎝ 0
k k
2 + 2 −1 1
0
k+ 1
0 ⎞ ⎛2 ⎟ ⎜
0 ⎟= ⎜ 0
k+ 1
2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0
k+
1
2 −1
1
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟,
k+
1
2 ⎟
⎠
ceea ce trebuia demonstrat.
n
⎛2 n ⎜
Aşadar A = ⎜ 0
⎜
⎝ 0
n
2 −1
1
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟,
¼n i q*.
n
2 ⎟
⎠
S9. Rezolvare:
⎛1−2x a) Ax () ⋅ Ay () = ⎜
⎝ − 6x x ⎞ ⎛1−2 y
⋅
1+ 3x ⎟ ⎜
⎠ ⎝ − 6y y ⎞ ⎛(1−2 x)(1− 2 y) + x( −6 y) =
1+ 3y ⎟ ⎜
⎠ ⎝−6 x(1−2 y) − 6 y(1+ 3 x) (1− 2 x) y+ x(1+ 3 y)
⎞
=
− 6 xy+ (1+ 3 x)(1+ 3 y)
⎟
⎠
⎛1−2x− 2y+ 4xy −6xy = ⎜
⎝− 6x+ 12xy−6y−18xy y − 2xy + x + 3xy ⎞ ⎛1− 2( x + y + xy) =
− 6xy+ 1+ 3x+ 3y+ 9xy ⎟ ⎜
⎠ ⎝ − 6( x+ y+ xy) x + y + xy ⎞
=
1+ 3( x+ y+ xy)
⎟
⎠
= Ax ( + y+ xy)
, ¼x, y i Z.
Aşadar, A(x), A(y) = A(x + y + xy), ¼x, y i Z.
49

) Vom respecta regula de înmulţire a două matrice A(x), A(y) dată de punctul a).
a)
2 2
Avem: A() x = Ax () ⋅ Ax () = Ax ( + x+ x⋅ x) = A(2 x+ x)
A((x + 1) 2 – 1) = A(x 2 + 2x + 1 – 1) = A(x 2 + 2x)
2 2
Aşadar A ( x) = A(( x+
1) − 1) , ¼x i Z.
a)
3 2 2 2 2 3 2 3
A() x = A() x ⋅ Ax () = Ax ( + 2) x ⋅ Ax () = Ax ( + 2 x+ x+ xx ( + 2)) x = Ax ( + 3x+ 3) x = A(( x+
1) − 1) .
Aşadar A 3 (x) = A((x + 1) 3 – 1), ¼x i Z.
n n
c) Folosind punctul b) se poate generaliza că: A( x)
= A(( x+
1) − 1) , ¼n i q*, ¼x i Z.
Vom demonstra această formulă prin inducţie matematică după n i q*.
1
Pentru n = 1, formula devine: A () x = A( x+ 1−1) ⇔ A() x = A() x
k k
Presupunem că A ( x) = A(( x+
1) − 1) şi demonstrăm că A k+1 (x) = A((x + 1) k+1 – 1)
a)
k+ 1 k k k k
Dar A () x A() x Ax () A(( x 1) 1) Ax () A( ( x 1) 1 x xx ( 1) x)
= ⋅ = + − ⋅ = + − + + + − =
k k+
1
= A(( x+ 1) (1 + x) − 1) = A(( x+
1) − 1) , ceea ce trebuia demonstrat.
Aşadar A n (x) = A((x + 1) n – 1), ¼n i q*, x i Z.
Rezultă că pentru n = 2006 şi x = 1 se obţine
2006 2006
2006 206 2006 ⎛1−2(2 −1) 2 −1
⎞
A (1) = A((1+ 1) − 1) = A(2−
1) =⎜ 2006 2006 ⎟.
⎝ −6(2 − 1) 1+ 3(2 −1)
⎠
S10. Rezolvare:
⎛1 0 0⎞ ⎛0 1 2⎞ ⎛1 1 2⎞
a) I3+ B= ⎜
0 1 0
⎟ ⎜
0 0 1
⎟ ⎜
0 1 1
⎟
⎜ ⎟
+
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
= A.
⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Aşadar I3 + B = A.
Pentru calculul lui A n folosim că A = I3 + B şi aplicăm formula binomului lui Newton:
n n 0 1 2 2 3 3
n n
A = ( I3+ B) = CnI3+ CnB+ CnB + CnB + ... + CnB .
⎛0 0 1⎞
2
Dar B = B⋅ B=
⎜
0 0 0
⎟
⎜ ⎟
şi B
⎜0 0 0⎟
⎝ ⎠
3 = O3, deci B n = O3, n U 3.
n
nn ( −1)
2
Rezultă că A = I3+ n⋅ B+ ⋅ B . (1)
2
Pentru calculul sumei S se foloseşte formula 1 dând lui n valori de la 1 la 20 şi însumând.
Se obţine: S = I3 + B +
2
I
21
3 + 2B+
⋅
⋅ B +
2
2
I
32
3 + 3B+
⋅
⋅ B +
2
...........................
2
I
20 19
3 + 20B+
⋅
⋅ B =
2
20
2 2
= 20 I
1 20 21 1
3 + (1+ 2+ 3 + ... + 20) B+ (2⋅ 1+ 3⋅ 2 + ... + 19⋅ 20) B = 20 I
⋅
3 + ⋅ B+ ⋅∑ k( k−1) ⋅ B =
2 2 2 k=
1
2 2
= 20I 1 20 21 41 20 21
3+ 210B+ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ ⎤
B 20I3 210B 2660B
2⎣ − ⋅ = + +
6 2 ⎦ .
50

S11. Rezolvare:
2 2
⎛1 1⎞ ⎛ 1 k ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛1+ k k + 1⎞ ⎛1 0⎞
⎛k + k + 2 k + 1⎞
a) Ck () = ⎜ 2 2 2
0 1
⎟⋅⎜ k 1
⎟⋅ ⎜
1 1
⎟= ⎜ ⎟⋅ ⎜ = ⎜ ⎟
k 1 1 1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k + 1 1 ⎠
20 20
⎛ 2
( k k 2) ( k 1)
⎞
20 ⎜∑ + + ∑ +
⎟
k= 1 k=
1
b) S = ∑ C() k =⎜ ⎟.
20 20
k = 1 ⎜ 2
( k 1) 1 ⎟
⎜ ∑ + ∑ ⎟
⎝ k= 1 k=
1 ⎠
Calculăm separat fiecare termen al matricei S.
20 20 20 20
2 2
nn ( + 1)(2n+ 1) nn ( + 1)
∑( k + k+ 2) = ∑k + ∑k + ∑ 2= n= 20+ n=
20 + 20⋅ 2=
6 2
k= 1 k= 1 k= 1 k=
1
=
20⋅21⋅41 +
20⋅21 + 40= 2870+ 210+ 40= 3120 .
6 2
20 20 20
( k 1) k 1
20 ⋅ 21
∑ + = ∑ + ∑ = + 20 = 210 + 20 = 230 .
k= 1 k= 1 k=
1 2
20 20 20
2 2
( k 1) k 1
20 ⋅21⋅41 ∑ + = ∑ + ∑ = + 20 = 2870 + 20 = 2890 .
k= 1 k= 1 k=
1 6
⎛3120 230⎞
Aşadar, S = ⎜
2890 20
⎟
⎝ ⎠ .
TESTE DE EVALUARE
TESTUL 1
1. Rezolvare:
Relaţia = 5 este echivalentă cu 2x 2 + 3x – 5 = 0.
Se obţine x1 = 1, x
5
2 =− . Aşadar, răspunsul este d).
2
2. Rezolvare:
2
⎧ x+ 3y = 4
2 2
⎛ x 2x⎞ ⎛3y 3y ⎞ ⎛4 5⎞ ⎛x+ 3y 2x+ 3y
⎞ ⎛4 5⎞
⎪
Avem: ⎜ 2x 3y 5
2 2
2x x
⎟+ ⎜ ⎟= ⎜
3y 3xy 5 4
⎟⇔ ⎜ ⎟=
⎜ ⇔ ⎨ + =
2x 3y x 3xy
5 4
⎟
(1)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ + + ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2
⎩x
+ 3xy= 4
Din prima ecuaţie se obţine x = 4 – 3y 2 .
Substituind în a doua ecuaţie se obţine ecuaţia 2y 2 – y – 1 = 0 cu soluţiile y1 = 1, y
1
2 =− .
2
• Pentru y = 1 se obţine x = 1, valori care satisfac şi ecuaţia a treia a sistemului (1)
• Pentru y =−
1 se obţine x =
13 , valori care nu satisfac ecuaţia a treia a sistemului (1).
2
4
Aşadar, x = y = 1.
3. Rezolvare:
a) Să determinăm A 9 , respectiv A 10 .
⎛1 1 1⎞⎛1 1 1⎞ ⎛2 2 2⎞
2
A =
⎜
0 1 0
⎟⎜
0 1 0
⎟ ⎜
0 1 0
⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
.
⎜1 0 1⎟⎜1 0 1⎟ ⎜2 1 2⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛4 4 4⎞ ⎛8 8 8⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⋅ = ⎜0 1 0 ⎟, = ⋅ = ⎜0 1 0⎟.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝4 3 4⎠ ⎝8 7 8⎠
3 2 4 3
A A A A A A
51

n−1 n−1 n−1
⎛ ⎞
2
n ⎜
Se demonstrează prin inducţie că A = ⎜ 0
⎜ n−1 ⎝2 2
1
n−1 2 −1
2
⎟
0 ⎟,
n i q*.
n−1
2 ⎟
⎠
Pentru n = 9, respectiv n = 10 se determină A 9 , A 10 şi
8
⎛2 9 10 ⎜
B= A + A = ⎜ 0
⎜ 8
⎝2 8
2
1
8
2 −1 8 9
2 ⎞ ⎛2 ⎟ ⎜
0 ⎟+ ⎜ 0
8 9
2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝2 9
2
1
9
2 −1 9
2 ⎞ ⎛640 ⎟
0
⎜
⎟= ⎜
0
9
2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝640 640
2
638
640⎞
0
⎟
⎟
.
640⎟
⎠
Rezultă că tr(B) = 640 + 2 + 640 = 1282 şi b31 + b22 + b13 = 1282.
n−1 ⎛2 n ⎜
b) Demonstrăm prin inducţie matematică faptul că A = ⎜ 0
⎜ n−1 ⎝2 Pentru n = 1, egalitatea este evidentă.
n−1 2
1
n−1 2 −1
n−1
2 ⎞
⎟
0 ⎟,
¼n i q*.
n−1
2 ⎟
⎠
k−1 ⎛2 k ⎜
Presupunem că A = ⎜ 0
⎜ k−1 ⎝2 k−1 2
1
k−1 2 −1
k−1
k
2 ⎞
2
⎟
k 1
0 ⎟ şi demonstrăm că A 0
k−1
2 ⎟
k
⎠
2
k
2
1
k
2 1
k
2
0
k
2
+
Dar
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝ −
⎞
⎟
⎟.
⎟
⎠
k−1 ⎛2 k+ 1 k ⎜
A = A ⋅ A=
⎜ 0
⎜ k−1 ⎝2 k−1 2
1
k−1 2 −1 k−1 2 ⎞ ⎛1 ⎟
0
⎜
⎟⋅ ⎜
0
k−1 2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝1 1
1
0
k−1 1⎞ ⎛2⋅2 0
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ 0
k 1
1⎟ −
⎠
⎜
⎝2⋅2 k−1 2⋅2 1
k−1 2⋅2 −1 k−1 k
2⋅2 ⎞ ⎛2 ⎟ ⎜
0 ⎟= ⎜ 0
k−1 k
2⋅2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝2 k
2
1
k
2 −1
k
2 ⎞
⎟
0 ⎟,
k
2 ⎟
⎠
ceea ce trebuia demonstrat.
n−1 ⎛2 n ⎜
Aşadar, A = ⎜ 0
⎜ n−1 ⎝2 n−1 2
1
n−1 2 −1
n−1
2 ⎞
⎟
0 ⎟,
¼n i q*.
n−1
2 ⎟
⎠
Testul 2
1. Rezolvare:
⎛1 a) Luând x = 0 se obţine A(0) = ⎜
⎝0 0 ⎞ ⎛1 0⎟=
⎜
( −1)
⎠ ⎝0 0⎞
⎟=
I2⇒I2∈M .
1⎠
b) Fie A, B i M. Rezultă că există x, y i m astfel încât A = A(x) şi B = A(y). În acest caz,
⎛1 A⋅ B= A() x ⋅ A() y = ⎜
⎝0 x ⎞ ⎛1 ⋅ x
( −1) ⎟ ⎜
⎠ ⎝0 y ⎞ ⎛1 =⎜ y
( −1) ⎟
⎠ ⎝0 y
y+ ( −1) ⋅x⎞
x+ y ⎟.
( −1)
⎠
y y y
y+− ( 1) ⋅x y ( −1) ⋅x y ( − 1)
( − 1) = ( −1) ⋅( − 1) = ( −1) ⋅ ( − 1)
x
y x x+ y
= ( −1) ⋅( − 1) = ( − 1) , rezultă că A · B i M.
Deoarece ( )
c) Fie A = A(x), x i m.
⎛1 • Pentru x = 2k, Ax () = ⎜
⎝0 x⎞ 2 ⎛1 , A() x
1
⎟ = ⎜
⎠ ⎝0 2x⎞
3 ⎛1 1
⎟ A () x = ⎜
⎠ ⎝0 3x⎞
1
⎟
⎠ .
n ⎛1 Prin inducţie se arată că A () x = ⎜
⎝0 nx⎞
1
⎟,
n i q*.
⎠
52

• Pentru x = 2k + 1,
⎛1x⎞ ⎜
0 −1
⎟
⎝ ⎠
2
Ax () = , A() x = I2
A 3 (x) = A(x). În general, se obţine că
2. Rezolvare:
Se obţin ecuaţiile:
.
, = par
A () x = ⎨ .
⎩A,
n=
impar
n ⎧I2
n
2 x + 4 x = 20, 3 y + 9 y = 90,
53
2 2
Cz = 45, 5A t+
1 = 60 .
• Ecuaţia 2 x + 4 x = 20 se scrie sub forma 4 x + 2 x – 20 = 0. Notând 2 x = m > 0 se obţine ecuaţia
m 2 + m – 20 = 0 cu soluţiile m1 = 4 şi m2 = –5, de unde se obţine x = 2.
• Notând 3 y = a se obţine ecuaţia de gradul doi a 2 + a – 90 = 0 cu soluţiile a1 = 9, a2 = –10 din
care se obţine y = 2.
2
zz− ( 1)
2
• Ecuaţia C z = 45 este echivalentă cu = 45 sau încă z – z – 90 = 0 cu soluţia naturală
2
z = 10.
• Din 5
2
t 1 60
Aşadar, x = 2, y = 2, z = 10, t = 3.
A + = se obţine (t + 1)t = 12, adică t 2 + t – 12 = 0, cu soluţia naturală t = 3.
3. Rezolvare:
⎛1 Înlocuind A i M2(m) se obţine ecuaţia ⎜
⎝0 care se scrie sub forme echivalente astfel:
1⎞⎛a 1
⎟⎜
⎠⎝x b⎞ ⎛a y
⎟+ ⎜
⎠ ⎝b x⎞⎛1
y
⎟⎜
⎠⎝0 1⎞ ⎛4 =
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝3 7⎞
7
⎟,
a, b, x, y i m,
⎠
⎛a+ x
⎜
⎝ x
b+ y⎞ ⎛a y
⎟+ ⎜
⎠ ⎝b a+ x⎞ ⎛4 =
b+ y
⎟ ⎜
⎠ ⎝3 7⎞ ⎛2a+ x
7
⎟⇔ ⎜
⎠ ⎝ x+ b
b+ a+ y+ x⎞
⎛4 =
b+ 2y ⎟ ⎜
⎠ ⎝3 7⎞
7
⎟
⎠
⎧2a+
x=
4
⎪
⎪x+
b=
3
Rezultă că: ⎨
⎪b+
a+ y+ x=
7
⎪ ⎩b+
2y = 7
Se obţine: a = 4 – y; b = 7 – 2y, x = 2y – 4, y i m.
⎛ 4− y 7−2y⎞ Aşadar A = ⎜
2y−4 y
⎟,
y i m.
⎝ ⎠
4. Rezolvare:
⎛0 AB− BA=
⎜
⎝b a⎞⎛x ⎟⎜ ⋅
0⎠⎝0 0⎞ ⎛x ⎟− ⎜
y⎠ ⎝0 0⎞⎛0 ⎟⎜
y⎠⎝b a⎞ ⎛ 0
⎟= ⎜
0⎠ ⎝bx ay⎞ ⎛ 0
⎟− ⎜
0 ⎠ ⎝by xa⎞ ⎛ 0
⎟= ⎜
0 ⎠ ⎝bx−by ay− ax⎞
⎟
0 ⎠
⎛ 0 ay−ax⎞⎛ 0 ay−ax⎞ ⎛( ay−ax)( bx−by) 0 ⎞
2
( AB− BA)
= ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎝bx−by 0 ⎠⎝bx−by0 ⎠ ⎝ 0 ( bx−by)( ay−ax) ⎠ .
Aşadar (AB – BA) 2 are cel puţin două elemente nule.

Capitolul II. Determinanţi
2.1. Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult trei
Exersare
E1. Rezolvare
−2 − 5
a) = ( −2) ⋅10−8( − 5) = 20;
8 10
b)
2 −6
= 2⋅ 32 −( −3)( − 6) = 64− 18= 46
−3
32
1, 5
c)
5
−7,
2
= 1,5 ⋅8−5 ⋅( − 7,2) = 12 + 36 = 48 ;
8
2+ i
d) 2
i
−1
2 2 2 2
= (2 + i)(2 −i) −i ( − 1) = 4 ⋅i ( − 1) = 4 − i + i = 4 .
2 − i
E2. Rezolvare.
7
a) 5
9
8
3 =
7
⋅25 −9⋅ 8
= 35 − 24 = 11;
5 3
25
b)
3
2
−
−
32
=
75
3 ⋅( − 75) − 2 ⋅( − 32) =− 225 + 64 =− 15 + 8 =−7;
−− 1 3
c)
1+ 5
5− 1
=− (1+ 3−1 3)( 3−1) − (1+ 5)( 5 − 1) =−−2 − 4 =−6
;
lg100
d)
−8
0,5
= lg100 ⋅ lg 0,1 + 8⋅ 0,5 = 2 ⋅( − 1) + 4 = 2 ;
lg0,1
3!
e)
0!
5!
= 3!4! − 0!5! = 6⋅24 −1⋅ 120 = 24 ;
4!
f)
A A
2 3
4
1
3
3
2 3 1 3
= A4 ⋅C4 −C5⋅ A3
= 12⋅4−5⋅ 6 = 18;
5 4
x+ 1
2
− y+ 1
2y
3
− x
x+ 1 −x − y+ 1 2y
= 2 ⋅2 −9 ⋅ 3 = 2− 9=− 7;
C C
g)
9 2
2
(1 −i) h)
i
−i
(1 + i)
2
= − i + i −i − i = − i + i = − =
2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) ( ) (1 ) 4 1 3
E3. Rezolvare
2
a) det( A) + det( B)
=
7
−1 4
+
4 6
−5
= (8 + 7) + (8 + 30) = 53
2
6
det( A+ B)
=
13
−6
= 48 + 78 = 126 .
8
Rezultă că det(A) + det(B) < det(A + B), pentru matricele date.
54
.

)
2 −12
det( AB)
= =− 54 + 624 = 570
52 −27
det(A) · det(B) = 15 · 38 = 570
Aşadar, det(AB) = det(A) · det(B);
det[ 3( −
⎡
)] = det ⎢
⎣
⎛1 3⋅ ⎜
⎝7 −1⎞⎤ 3
3
⎟⎥
=
⎠⎦
7 3
− 3
= 9 + 21 = 30 .
3 3
⎛4 det( A+ 2 I2)
= det ⎜
⎝7 −1⎞ 4
6
⎟=
⎠ 7
−1
= 24 + 7 = 31.
6
c) A I2
Rezultă că det[ 3( A− I2)] < det( A+ 2 I2)
.
E4. Rezolvare
a) Ecuaţia se scrie sub forma: –2x + 12x = 20 ® 10x = 20 ® x = 2.
b) Se obţine: 5x – 6x + 2 = 10 ® x = –8.
2 2 2
c) Se obţine: 6x −x − x= 4⇔5x −x− 4= 0 cu soluţiile:
x1 = 1, x
4
2 =− ;
5
d) Ecuaţia este: 3x – x 2 – 4x 2 + x – 4x + 1 = x – 5 ® 5x 2 + x – 6 = 0 cu soluţiile:
x =−
6
;
x1 = 1, 2 5
e) Avem: x 2 – xi – 2xi = 9 – xi ® x 2 – 2xi – 9 = 0 cu soluţiile:
f) Se obţine succesiv:
x = 1± 2 2;
1, 2
6 x – x = 36 x – x – 30 ® 36 x – 6 x – 30 = 0.
Notând 6 x = y se obţine ecuaţia y 2 – y – 30 = 0 cu soluţiile:
Se obţine soluţia x = 1.
E5. Rezolvare:
Regula lui Sarrus
3 −1
2
1 4 5
−2 −1 −1
3 −1
2
1 4 5
Regula triunghiului
y1 = 6, y2 = –5.
= 3⋅4( − 1) + 1 ⋅− ( 1) ⋅ 2 + ( −2)( −1) ⋅5−2⋅4( −2) −5( −1) ⋅3 −( −1)( −1) ⋅ 1= 26.
3 −1
2
1 4 5 = 3⋅4 ⋅− ( 1) + 1 ⋅− ( 1) ⋅ 2 +− ( 2) ⋅− ( 1) ⋅5 ⋅− ( 2) −2⋅4 ⋅− ( 2) −− ( 1) ⋅⋅− 1 ( 1) −− ( 1) ⋅5⋅ 3=
−2 −1 −1
=
26
55

Regula minorilor
3
1
−2 −1
4
−1 2
4
5 = 3 ⋅δ 11+ ( −1) ⋅δ 12 + 2⋅δ 13 = 3 ⋅
−1 −1
5 1 1+ 2
+ ( −1) ⋅− ( 1) ⋅
−1 −2 5
+
−1
1+ 3 1 4
+ 2 ⋅( − 1) = 3( − 4 + 5) + ( − 1+ 10) + 2( − 1+ 8) = 26 .
−2 −1
Se procedează analog pentru ceilalţi determinanţi şi se obţin rezultatele:
b) 18; c) –10; d) –4; e) 3; f) 0; g) 0; h) 0.
E7. Rezolvare:
a) Se observă că elementele liniilor „unu” şi „trei” sunt proporţionale.
Rezultă că determinantul este nul.
b) Se dă factor comun 10 de pe coloana I şi se obţine:
1 −1
3
10 5 1 1 = 10(1+ 30−10− 30+ 5− 2) =− 60 ;
10 2 1
c) Se observă că determinantul are prima şi a treia coloană proporţionale, factorul de proporţionalitate
fiind k = –5.
Rezultă că determinantul este nul.
d) Se formează două zerouri scăzând prima linie din celelalte. Avem:
1
0
0
a
b−a c−a m
b−a n− m =
c−a p−m n−m = ( b−a)( p−m) −( n−m)( c−a) ;
p−m e) Se adună coloana a doua şi a treia la prima coloană, se dă factor comun de pe această
coloană şi se obţine:
x + 2y y y 1 y y
x + 2 y x y = ( x+ 2 y)1 x y .
x + 2y y x 1 y x
Se formează zerouri pe prima coloană scăzând prima linie din celelalte linii.
1
Se obţine: ( x+ 2 y) 0
0
y
x− y
0
y
x−y 0 = ( x+ 2 y) 0
x−y 0
2
= ( x+ 2 y)( x−y) ;
x−y f) Se adună toate coloanele la prima coloană şi se dă factor comun pe coloana întâi. Se obţine:
a+ b+ c b c 1 b c
a+ b+ c c a = ( a+ b+ c)1 c a .
a+ b+ c a b 1 a b
Se formează zerouri pe coloana întâi scăzând prima linie din celelalte linii. Se obţine:
1
( a+ b+ c) ⋅0 0
b
c−b a−b c
c−b a− c = ( a+ b+ c)
⋅
a−b b−c a−c =
b−c 2 2 2 2
= ( a+ b+ c)[ −( c−b) −( a−b)( a− c)] = ( a+ b+ c)( ab+ bc+ ca−a −b − c ) .
56

E8. Rezolvare:
6 1+ 1
a) δ 11 = ( − 1) d11
=
5
−3
= 21
1
4 1+ 2
δ 12 =− ( 1) d12
=−
12
−3
=−40
1
4 1+ 3
δ 13 = ( − 1) d13
=
12
6
=− 52
5
−9
2+ 1
δ 21 = ( − 1) d21
=−
5
10
= 59
1
8 2+ 2
δ 22 = ( − 1) d22
=
12
10
= 8− 120=− 112
1
8 2+ 3
δ 23 = ( − 1) d23
=−
12
−9
=− 148
5
−9
3+ 1
δ 31 = ( − 1) d31
=
6
10
=−33
−3
8 3+ 2
δ 32 = ( − 1) d32
=−
4
10
= 64
−3
8 3+ 3
δ 33 = ( − 1) d33
=
4
−9
= 84
6
b) d =−9⋅δ 12 + 6δ 22 + 5δ 32 =−9( − 40) + 6( − 112) + 5⋅ 64 = 8
d = 12⋅δ 31 + 5⋅δ 32 + 1⋅δ 33 = 12( − 33) + 5⋅ 64 + 84 = 8.
c) Înmulţim linia a doua cu –2 şi o adunăm la prima linie, apoi o înmulţim cu –3 şi o adunăm
la a treia linie. Se obţine:
0
4
0
−21
6
−13
16
−21
2+ 1
− 3= 0⋅δ ′ 11+ 4⋅δ ′ 21+ 0⋅δ ′ 31 = 4⋅δ ′ 21 = 4 ⋅( − 1) d′
21 =−4⋅ −13
10
=−4( − 210 + 208) =−4 ⋅( − 2) = 8 .
16
=
10
Sinteză
S1. Rezolvare:
Calculăm cei trei determinanţi şi obţinem:
(25 – 32) – 6(6 + 2 – 20 + 4) – 10 = 31.
S2. Rezolvare:
Calculăm determinanţii şi obţinem:
20
21 24 5
( − ) −( − 3+ 1) + ( − 18+ 20+ 10+ 3) = 14⇔ 16= 14;
fals.
20 15 3
57

S3. Rezolvare:
a) Ecuaţia se scrie sub forma echivalentă:
4x 2 + 8x – 5x – 15 = –14 ® 4x 2 + 3x – 1 = 0, cu soluţiile x1 = –1, 2
58
1
4
x = ;
b) Ecuaţia este echivalentă cu:
2x 2 + 2x – 3x 2 + 6x = –i 2 – (9 – i 2 ) ® x 2 – 8x – 9 = 0 cu soluţiile x1 = –1, x2 = 9.
c) Se obţine ecuaţia:
=
9
; =− 2;
7
2x 2 – 2x – 20 + 5x = –5x 2 – 2x – 2 ® 7x 2 + 5x – 18 = 0 cu soluţiile x1 x2
d) Se obţine succesiv:
3 x+2 – 36 = 2 · 3 x+1 – 3 x ® 3 x (9 – 6 + 1) = 36 ® 3 x = 9 ® x = 2.
S4. Rezolvare:
a) Calculând determinanţii se obţine:
2x 2 + 1 + 1 – x – 2 – x = 315 + 6 – 28 – 126 – 15 + 28 ® x 2 – x – 90 = 0
cu soluţiile x1 = 10, x2 = –9;
b) Calculând determinanţii se obţine:
–x 3 + 2 – x – (3x – x 3 + 2) = 0 ® 4x = 0 ® x = 0;
c) Ecuaţia este echivalentă cu:
–2(2x – 1) – 2(3x + 2) + 24 + 4 + 6(2x – 1) – 4(3x + 2) = 3 – x 2 ® x 2 – 10x + 9 = 0,
cu soluţiile x1 = 1, x2 = 9;
d) Pentru calcule mai restrânse aplicăm de câteva ori proprietăţi ale determinanţilor pentru
determinantul de ordin 3. De exemplu:
Scădem coloana întâi din celelalte şi se obţine ecuaţia:
x 1 2
x+ 3 1 2 = 5( x+ 1) −4x
2x −1 −x−3 Scădem linia întâi din a doua şi o adunăm la a treia şi se obţine:
x 1 2
3 0 0 = x + 5⇔ 3x+ 3= x+
5,
3x 0 −x−1 cu soluţia x = 1.
S5. Rezolvare:
Calculând determinanţii se obţine ecuaţia:
x 3 – 6x 2 + 5x = 0 ® x(x 2 – 6x + 5) = 0,
cu soluţiile x1 = 0, x2 = 1, x3 = 5.
Rezultă că S = 126.
S6. Rezolvare:
a) Se scade succesiv linia întâi din a doua şi a treia, obţinându-se:
2
a a
2 2
d = b −a b−a 2 2
c −a c−a 1
0 .
0

Se dă factor comun (b – a) şi (c – a) de pe linia a doua, respectiv linia a treia şi se obţine:
2
a
d = ( b−a)( c− a) b+ a
c+ a
a
1
1
1
b+ a
0 = ( b−a)( c− a) c+ a
0
1
= ( b−a)( c−a)( b−c) ;
1
b) Se scade coloana întâi din celelalte şi se obţine:
a 1 2 a 1 1
d = b 1 2 = 2 b 1 1 = 0 (două coloane sunt identice, deci d = 0);
c 1 2 c 1 1
c) Se scade linia întâi din celelalte apoi se dă factor comun pe linia a doua şi a treia. Se obţine
succesiv:
a
2
a + 1 a+ 1 a
2
a + 1 a+
1
d = b−a 2 2
b −a b− a = ( b−a)( c− a) 1 b+ a 1 .
c−a 2 2
c −a c− a 1 c+ a 1
Se scade coloana întâi din a treia şi se obţin două zerouri pe coloana a treia:
a
d = ( b−a)( c− a) 1
1
2
a + 1
b+ a
c+ a
1
1
0 = ( b−a)( c− a) 1
0
b+ a
= ( b−a)( c−a)( c−b) ;
c+ a
d) Se adună la prima linie celelalte linii obţinându-se:
0 0 0
d = b−c n− p y− z = 0 (o linie are toate elementele nule);
c−a p−m z−x e) Se scade coloana întâi din celelalte coloane, apoi se dă factor comun pe coloana a doua şi a
treia şi se obţine:
x y−x z−x x 1 1
2
d = x
2 2
y −x 2 2
z − x
2
= ( y−x)( z− x) x y+ x z+ x .
yz xz − yz xy − yz yz −z−y Se scade coloana a doua din a treia şi se dă factor comun pe coloana a treia obţinându-se:
x 1 0 x 1 0
2
d = ( y−x)( z−x) ⋅ x y+ x
2
z− y = ( y−x)( z−x)( z− y) x y+ x 1 =
yz −zz− y yz −z1
x 1 0
= ( y−x)( z−x)( z− y) 2
x y+ x 1 =
2
yz−x−x−y−z0 x
= ( y−x)( z−x)( z−y) ⋅− ( 1) ⋅ 2
yz−x 1
= ( x−y)( z−x)( z−y)( −xy−xz− yz)
=
−x−y−z = ( x−y)( x−z)( z− y)( xy+ xz+ yz)
;
f) Se scade coloana întâi din coloana a doua şi se adună la a treia şi apoi se formează două
zerouri pe coloana a doua.
59

Avem:
a+ 1 − 2
2
a + a a+ 1 − 2
2
a + a a+ 1 − 2
2
a + a
d = b+ 1 − 2
2
b + b = b−a 0
2 2
b − a + b− a = ( b−a)( c− a) 1 0 b+ a+
1 =
c+ 1 − 2
2
c + c c−a 0
2 2
c − a + c− a 1 0 c+ a+
1
1 b+ a+
1
= ( b−a)( c−a) ⋅ 2 = 2( b−a)( c−a)( c−b) .
1 c+ a+
1
S7. Rezolvare:
a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c
Se adună linia a doua şi a treia la prima obţinându-se d = b−c−a 2b 2b
.
2c c−a−b 2c
Se dă factor pe linia întâi apoi se fac zerouri pe aceasta. Avem succesiv:
1 1 1 1 0 0
d = ( a+ b+ c) ⋅ b−c− a 2b 2 b = ( a+ b+ c) b−c− a a+ b+ c a+ b+ c .
2c c−a−b 2c 2c −a−b−c 0
Se dă factor pe coloana a doua şi a treia şi se obţine:
1 0 0
3
d = ( a+ b+ c) ⋅ b−c− a 1
3
1 = ( a+ b+ c)
.
2c Aşadar egalitatea este verificată.
−1
0
b) Se scade coloana întâi din celelalte şi se dă factor comun pe aceste coloane obţinându-se
succesiv:
x+ y z−x z− y x+ y 1 1
2 2
d = x + y
2 2
z −x 2 2
z − y
2 2
= ( z−x)( z− y) x + y z+ x z+ y .
3 3
x + y
3 3
z −x 3 3
z − y
3 3
x + y
2 2
z + xz+ x
2 2
z + zy+ y
Se formează un zerou pe linia întâi, scăzând coloana a doua din a treia.
Avem:
x+ y 1 0
2 2
d= ( z−x)( z− y) x + y z+ x y− x =
3 3
x + y
2 2
z + xz+ x
2 2
z( y− x) + ( y + x )
x+ y 1 0
2 2
= ( z−x)( z−y)( y−x) ⋅ x + y
3 3
x + y
= 2 xyz( x−y)( y−z)( z−x) z+ x
2 2
z + xz+ x
1 = 2 xyz( z−x)( z−y)( y− x)
=
.
x+ y+ z
S8. Rezolvare:
⎛a Fie A=
⎜
⎝x b⎞
⎟∈M
2 ( Z)
. Avem:
y⎠
2 ⎛a A = ⎜
⎝x b⎞⎛a y
⎟⎜
⎠⎝x 2 b⎞ ⎛a + bx
y
⎟=⎜
⎠ ⎝ax + yx
ab+ by⎞
2 ⎟
bx + y ⎠
60

a b 2
a + ay ab+ by
2
⎛
tr( A) ⋅ A = ( a + y)
⋅ ⎜
⎝x ⎞ ⎛
y
⎟=⎜
⎠ ⎝ax + yx ay + y
⎞
⎟.
⎠
det(A) = ay – bx.
Înlocuind în expresia A 2 – tr(A) · A + det(A) · I2 se obţine matricea O2, ceea ce trebuie arătat.
S9. Rezolvare:
1 −2
1
a) d = 1 − 1 3 =− 4+ 1+ 0− 0+ 8− 3= 2
0 1 4
t = tr(A) = 1 + (–1) + 4 = 4
11 + −1
b) δ 11 = ( − 1) d11
=
1
3
=−4− 3=− 7
4
2+ 2 1
δ 22 = ( − 1) d22
=
0
1
= 4
4
1 3+ 3
δ 33 = ( − 1) d33
=
1
Rezultă că s = –2;
−2
=− 1+ 2= 1
−1
c) Avem:
1+ 2 2+ 2 3+ 2
s1= a13δ12+ a23δ22+ a33δ32= 1 ⋅− ( 1) d12+ 3( − 1) d22+ 4( − 1) d32=
1 3 1 1
=− 1 + 3⋅ 4+ 4( − 1) = 0
0 4 1 3
d) Calculăm mai întâi A 2 şi A 3 obţinând:
⎛1 2
A = A⋅ A=
⎜
⎜
1
⎜
⎝0 −2 −1 1
1⎞⎛1 3
⎟⎜
⎟⎜
1
4⎟⎜ ⎠⎝0 −2 − 1
1
1⎞ ⎛−1 3
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
4⎟ ⎜
⎠ ⎝ 1
1
2
3
−1⎞
10
⎟
⎟
19⎟
⎠
⎛0 3 2
A = A ⋅ A=
⎜
⎜
2
⎜
⎝4 0
8
14
−2⎞
46
⎟
⎟
86⎟
⎠
Rezultă că:
⎛0 3 2
A −t⋅ A + s⋅A−d⋅ I3=
⎜
⎜
2
⎜
⎝4 0
8
14
−2⎞ ⎛ 4
46
⎟ ⎜
⎟
+
⎜
0
86 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 −4 −8 −12 4 ⎞ ⎛−2 − 40
⎟ ⎜
⎟
+
⎜
−2 −76⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0
4
2
−2 −2⎞
− 6
⎟
⎟
+
−8⎟
⎠
⎛−2 +
⎜
⎜
0
⎜
⎝ 0
0
− 2
0
0 ⎞ ⎛0 0
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
−2⎟
⎜
⎠ ⎝0 0
0
0
0⎞
0
⎟
⎟
, ceea ce trebuia găsit.
0⎟
⎠
61

S10. Rezolvare:
−2 1 −4
a) det( A)
= 1 − 1 3 = 0− 4+ 6− 8+ 6= 0.
2 1 0
⎛1 B =
⎜
⎜
1
⎜
⎝2 −1 2
1
−2⎞
−1
⎟
⎟
şi det(B) = 6 – 2 + 2 + 8 + 3 + 1 = 18.
3 ⎟
⎠
⎛−2 AB ⋅ =
⎜
⎜
1
⎜
⎝ 2
1
−1 1
−4⎞⎛1 3
⎟⎜
⎟⎜
1
0 ⎟⎜
⎠⎝2 −1 2
1
−2⎞ ⎛−9 − 1
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
6
3 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 3
0
0
0
−9⎞
8
⎟
⎟
şi det(AB) = 0, având o coloană cu
−5⎟
⎠
elementele nule;
b) Evident, 0 = 0 · 18;
3+ 1 3+ 2 3+ 3
c) s= b11δ 31 + b12δ 32 + b13δ 33 = 1( ⋅ −1) ⋅ d31 + ( −1)( − 1) d32+ ( −2)( ⋅ − 1) d33=
−1 −2 1 −2 1 −1
= + −2⋅ = 0.
2 −1 1 −1
1 2
Rezultatul corespunde proprietăţii P10.
S11. Rezolvare:
a) Se adună coloana a treia la prima, se dă factor comun pe coloana întâi şi pe coloana a doua
şi se obţin două coloane identice. Avem:
a+ b+ c 3 c 1 1 c
d = a+ b+ c 3 a = ( a+ b+ c) ⋅ 3⋅ 1 1 a = 0.
a+ b+ c 3 b 1 1 b
b) Se adună coloana a treia la prima şi se obţin două coloane proporţionale, factorul de
proporţionalitate fiind (a – b);
c) Se scade coloana întâi din a doua şi se vor obţine coloane proporţionale. Avem:
2
a
2 2
( b+ c) − a b+ c− a
2
a ( a+ b+ c)( b+ c− a) ( b+ c−a) 2
d = b
2 2
( a+ c) − b
2
a+ c− b = b ( a+ b+ c)( a+ c− b) a+ c− b = 0.
2
c
2 2
( a+ b) − c a+ b− c
2
c ( a+ b+ c)( a+ b− c) a+ b−c 62

2.2. Aplicaţii ale determinanţilor în geometrie
Exersare
E1. Rezolvare:
Ecuaţia dreptei AB are forma:
x y 1
2 − 4 1 = 0,
echivalentă cu 7x + 3y – 2 = 0.
−1
3 1
2 −4
1
Punctele A(2, –4), B(–1, 3), C(5, –11) sunt coliniare dacă − 1 3 1 = 0.
5 −11
1
Calculând determinantul se obţine că este nul, deci punctele sunt coliniare.
E2. Rezolvare:
−1 −9
1
a) Avem: 2 − 3 1 = 3+ 2− 36+ 12+ 18+ 1= 0.
4 1 1
Rezultă că A, B, C sunt coliniare.
b)
2 −3
1
1 − 1 1 =− 2+ 5− 3+ 1+ 3− 10=−6≠ 0.
1 5 1
Rezultă că punctele M, N, P sunt necoliniare;
−4 −2
1
c) 2 1 1 =− 4+ 6−12− 6+ 4+ 12= 0.
6 3 1
Aşadar E, F, G sunt puncte coliniare;
d)
2 −1
1
3 1 1 = 2+ 6m−15−m− m+ 3− 4m+ 10= 0.
m 2m−5 1
Rezultă că punctele T, U, V sunt coliniare, oricare ar fi m i Z.
E3. Rezolvare:
a) Ecuaţia dreptei AC are forma:
x y 1
2 − 3 1 = 0⇔ 8x+ y−
13= 0;
1 5 1
b) Punem condiţia de coliniaritate a trei puncte:
2 −3
1
m+ 1
1
2m 5
1 = 0⇔10m− 5= 0⇔
m=
1
;
2
1
63

c) Folosind formula ariei unei suprafeţe triunghiulare cu ajutorul determinantului se obţine
egalitatea:
2 −3
1
1
⋅∆= 22,5 , unde ∆= m+ 1
2
1
2m 5
1.
1
Aşadar, 1 ⋅10m − 5 = 22,5 sau încă, 10m − 5 = 45 .
2
Rezultă că 10m – 5 = 45 şi m = 5 sau 10m – 5 = –45 şi m = –4.
În concluzie, există două triunghiuri ABC în condiţiile problemei.
E4. Rezolvare:
x y 1
a) AB : −3 − 2 1 = 0⇔ x + 4y+ 11= 0
5 −4
1
x y 1
AC : −3 − 2 1 = 0⇔ x + 2y+ 7= 0
−1 −3
1
x y 1
BC : 5 − 4 1 = 0⇔ x + 6y+ 19= 0;
−1 −3
1
ax0+ by0+ c
• dA ( , BC) = ; A( −3, − 2); BC: x+ 6y+ 19= 0;
2 2
a + b
− 3+ 6 ⋅( − 2) + 19
• dA ( , BC)
= =
2 2
1 + 6
4
;
37
5+ 2( − 4) + 7
• dB ( , AC)
= =
2 2
1 + 2
4
;
5
−+ 1 4( − 3) + 11
• dC ( , BA) = =
2 2
1 + 4
2
.
17
−3 −2
1
c) A
1
( ABC ) = ⋅∆ ,unde ∆= 5
2
−1 Rezultă că A(ABC) = 2.
− 4
−3
1=−4. 1
E5. Rezolvare:
x y 1
a) AB :1 2 1= 0⇔ y = 2
8 2 1
x y 1
BC :8 2 1= 0⇔ x + y − 10= 0
6 4 1
64

)
x y 1
CD :6 4 1= 0⇔ y = 4
3 4 1
x y 1
AD :1 2 1= 0⇔ x − y + 1= 0;
3 4 1
x y 1
AC :1 2 1= 0⇔2x− 5y+ 8= 0
6 4 1
x y 1
BD :8 2 1= 0⇔ 2x+ 5y− 26= 0;
3 4 1
21 ⋅ + 52 ⋅ −26
c) dA ( , BD)
= =
2 2
2 + 5
14
29
26 ⋅ + 54 ⋅ −26
dC ( , BD)
= =
2 2
2 + 5
6
.
29
Rezultă că
14
>
29
6
, adică d( A, BD) > d( C , BD)
;
29
d) A( ABCD) = A( ABC) + A(
ACD)
1
2
A ( ABC)
= ⋅ ∆ 1 , unde 1
1
2
A ( ACD)
= ∆ 2 , unde 2
Se obţine A(ABCD) = 10.
Sinteză
1 2 1
∆ = 8 2 1 = 14.
6 4 1
1 2 1
∆ = 6 4 1 = 6.
3 4 1
S1. Rezolvare:
a) Reprezentăm punctele într-un reper cartezian
B
65
C
y
5
3
2
4
1
A
D(3, 5)
x

x y 1
AB : 1 0 1 = 0⇔ 4x+ 3y− 4= 0
−2
4 1
x y 1
BC : − 2 4 1 = 0⇔ y = 4
−1
4 1
x y 1
CD : − 1 4 1 = 0⇔ x − 4y+ 17= 0
3 5 1
x y 1
CA: − 1 4 1 = 0⇔ 2x+ y − 2= 0;
1 0 1
2(2) ⋅− + 4−2 b) dB ( , AC)
= =
2 2
2 + 1
2
5
23 ⋅ + 5−2 dD ( , AC)
= =
2 2
2 + 1
9
;
5
1 0 1
A =
1
∆ , unde ∆ 1 = − 2
2
3
4
5
1 =− 23.
Rezultă că A
23
( ABD)
= .
2
1
c) ( ABD)
1
1
2
A ( BCD)
= ⋅ ∆ 2 , unde 2
1
2
A ( COD)
= ⋅ ∆ 3 , unde 3
În concluzie, A(BCD) < A(COD) < A(ABD).
−2
4 1
∆ = − 1
3
4
5
1 = 1.
Rezultă că A
1
( BCD)
= .
2
1
−1
4 1
∆ = 0
3
0
5
1 =+ 17.
Rezultă că A
17
( COD)
= .
2
1
d) Din condiţia M, B, C sunt coliniare rezultă:
m m+ 2 1
− 2 4 1 = 0,
rezultă m = 2 şi M(2, 4).
−1
4 1
Rezultă că A
3
( MAD)
= .
2
A
1
( MAD)
= ∆ , unde
2
66
2 4 1
∆= 1 0 1 = 3.
3 5 1

S2. Rezolvare:
Din condiţia de coliniaritate a trei puncte se obţine:
1 1 1
x
2
x+
1
2 − 2 1 = 0,
x+ 1
2 − 2
x
2 1
relaţie echivalentă cu 3 · (2x) 2 – 10 · 2 x + 8 = 0
cu soluţiile: 2 x x
= 2 şi 2 =
4
.
3
Rezultă că x ∈
4 { 1, log2 3}
.
S3. Rezolvare:
A
1
( AOB)
= ⋅ ∆ , unde
2
0 0 1
2
∆= sin a
2
cos a
2 2 2 2
1 = sin a⋅cos b−sinb⋅ cos a=
2
sin b
2
cos b 1
= (sin acosb−sin bcos a) ⋅ (sin acosb+ sin bcos a) = sin( a−b) ⋅ sin( a+ b)
.
Rezultă că A
1
( AOB)
= ⋅ sin( a−b) ⋅ sin( a+ b)
.
2
b) Revinde la a studia că punctele sunt coliniare, oricare ar fi a, b, c i Z. Avem:
2
sin a
2
cos a 1
2
sin a−1 2
cos a 1
2
−cos
a
2
cos a 1
2
sin b
2
cos b
2
1 = sin b− 1
2
cos b
2
1 = − cos b
2
cos b 1 = 0 .
2
sin c
2
cos c 1
2
sin c−1 2
cos c 1
2
−cos
c
2
cos c 1
(două coloane sunt proporţionale).
Aşadar, punctele A, B, C sunt coliniare, ¼a, b, c i Z.
S4. Rezolvare:
a) Punem condiţia ca punctele A, B, C să fie coliniare:
2 m 1
m+ 1 m
2
1 = 0⇔ m − 3m+ 2= 0
1 2 1
cu soluţiile m1 = 1, m2 = 2;
2 m 1
A = 1⇔ 1
⋅ ∆ = 1,
unde ∆= m+ 1
2
1
m
2
2
1 =− m + 3m− 2.
1
b) ( ABC)
2 2
Rezultă că
1
⋅− m + 3m− 2 = 1⇔m − 3m+ 2 = 2.
2
Semnul expresiei m 2 – 3m + 2 este dat în următorul tabel de semn:
m 1 2
m 2 – 3m + 2 + + + 0 – – 0 + + + +
Pentru m i (–∞, 1] N [2, +∞) ecuaţia 1 devine: m 2 – 3m = 0, cu soluţiile m1 = 0, m2 = 3.
67

Pentru m i (1, 2) ecuaţia 1 devine: –m 2 + 3m – 2 = 2 ® m 2 – 3m + 4 = 0 care nu are soluţii reale.
Aşadar, m i {0, 3}.
S5. Rezolvare:
m 2m−1 1
Calculăm A
1
2
( AOB)
= ⋅ ∆ ∆= m+ 1 − m+ 2 1 =− 3m + m+
1.
2
0 0 1
Condiţia din enunţ se scrie sub forma:
1 2 23 2
⋅− 3m + m+ 1 = ⇔3m −m− 1 = 23.
2 2
Tabelul de semn al expresiei 3m 2 – m – 1 este
m –∞
1−13 1+ 13
+∞
2 2
3m 2 – m – 1 + + + + 0 – – – – – 0 + + + +
Pentru m ∈
1 13 1 13
( −∞ ,
− ⎤ ⎡ +
, +∞
2 ⎥ ⎢ 2 )
⎦ ⎣
∪ ecuaţia 2 devine: 3m2 – m – 24 = 0 cu soluţiile
m
8
1=− ; m2
= 3.
3
m∈
1− 13
,
1+ 13
ecuaţia (2) devine:
2 2
Pentru ( )
care nu are soluţii reale.
Aşadar, m∈
8 { − ,3
3 } .
S6. Rezolvare:
a) Avem relaţia
b) Avem condiţia:
m = 2n, n i Z.
S7. Rezolvare:
–3m 2 + m + 1 = 23 ® 3m 2 – m + 22 = 0,
m −1
3 1
m − m = ⇔m − = ⇔ m∈
−
2m− 3 1+ m 1
2
2 1 0 4 0 { 2, 2}
m− m 1+ m 1
m− n = ⇔ mn− m = ⇔ m n− m = ⇔ m=
m n+
1 1
2
2 1 1 0 2 0 (2 ) 0 0
x y 1
BC :0
2−6m 1−
m
1= 0, m ≠1 ⇔ ( m + 1) x + (1 − m) y + 6m− 2= 0, m ≠1.
1
7m−1 m −1
1
dA ( , BC) = 3⇔ m++− 1 1 m+ 6m−2 2
= 3⇔ 6m= 3 2m+ 2.
2 2
( m+ 1) + (1 − m)
= 3
Ridicând la pătrat se obţine ecuaţia m 2 = 1, m @ 1 cu soluţia m = –1.
68
;
sau

S8. Rezolvare:
Fie M(α, β) situat pe dreapta de ecuaţie x – y – 3 = 0. Rezultă că α – β – 3 = 0.
Egalitatea A(OAM) = A(OBM) se scrie sub forma:
1
⋅∆
1
1 = ∆ 2 unde:
2 2
0 0 1
0 0 1
∆ 1 = 3 2 1 = 3β−2α şi ∆ 2 = 2 4 1 = 2β−4α. α β 1
α β 1
Rezultă că 3β−2α = 2β−4α şi α−β− 3= 0.
Înlocuind α = β + 3, ecuaţia cu moduli devine: β− 6 = 2β+ 12 (*)
Tabelul de semn al expresiile din moduli este:
β –∞ –6 6 +∞
β – 6 – – – – – – – 0 + + + + + + +
2β + 12 – – – – 0 + + + + + + + + + +
• Pentru β i (–∞, –6] ecuaţia (*) devine:
– β + 6 = –2β – 12, cu soluţia β = –18 i (–∞, –6]
• Pentru β i (–6, 6) ecuaţia (*) devine:
– β + 6 = 2β + 12, cu soluţia β = – 2 i (–6, 6)
• Pentru β i [6, + β) se obţine ecuaţia:
β – 6 = 2β + 12, cu soluţia β = –18 h [6, + ∞).
Aşadar există două puncte cu proprietatea din enunţ: M1(–15, –18), M2(+1, –2).
S9. Rezolvare:
m 1 1
A
1
( ABC ) = ⋅∆ , unde ∆= 1
2
m
Condiţia din problemă se scrie sub forma:
m
m
2
1 =− m + 2m− 1.
1
1 2 2 2
⋅ − m + 2m− 1 = 2⇔ m − 2m+ 1 = 4 ⇔( m−
1) = 4,
2
ecuaţie care are soluţiile m1 = –1, m2 = 3.
69

TESTE DE EVALUARE
TESTUL 1
1. Rezolvare:
Calculăm determinanţii şi obţinem:
E =
1
(12 + 10) − 5(1 + 4 − 6 + 10) + 36 = 2 . Rezultă că răspunsul corect este b).
2
2. Rezolvare:
2 −1
3
−1 4 −5
a) det( A ) = 4 −1
3 = 48+ 6+ 20−48−20− 6= 0 .
2 −1
3
−1 4 −5
c)
d)
2+ 1 2+ 2 2+ 3
det( A) =−1⋅δ 21 + 4 ⋅δ22 −5 ⋅δ 23 = ( −1) ⋅( − 1) d21 + 4 ⋅( −1) d22 −5 ⋅( − 1) d23
=
−1 =
−2 3 2
+ 4
6 4
3 2
+ 5 ⋅
6 4
−1
= ( − 6 + 6) + 4(12 − 12) + 5( − 4 + 4) = 0 .
−2
det( A)
( 1) 4 2 ( 1)( 1)
−1 4
−5
6
4
2
4
3
6
2 ( 1)
2
−1 3
−5
=− 6 + 20 + 4(12 − 12) + 2( − 10 + 3) = 14 − 14 = 0 ;
1+ 2 3+ 2
= − δ 12 + ⋅δ22 − ⋅δ 32 = − − ⋅ + ⋅ − ⋅ − =
e) Înmulţim succesiv linia a doua cu 2 şi 4 şi o adunăm la prima, respectiv a treia linie.
0
det( A)
=−1 0
7
4
14
−7
2+ 1 7
− 5 = ( −1) ⋅− ( 1) ⋅
14
−14
−7
= 0 ;
−14
f) Coloana a treia este o combinaţie liniară a celorlalte două coloane:
Rezultă că det (A) = 0.
3 = 2 + (–1) · (–1); –5 = –1 + 4(–1); 6 = 4 + (–2)(–1).
3. Rezolvare:
x+ 3
det( A+ B) =
x+ 4
2x−1 2
=−x − 4x+ 4
x
2 ⎛x C = ⎜
⎝2 1⎞⎛x 3
⎟⎜
⎠⎝2 2 1⎞ ⎛x + 2
3
⎟=⎜
⎠ ⎝2x+ 6
x+
3⎞
⎟
2+ 9⎠
2
2 x + 2
det( C ) =
2x+ 6
x+
3 2
= 9x − 12x+ 4 .
11
Ecuaţia det(A + B) = det(C 2 ) este echivalentă cu:
–x 2 – 4x + 4 = 9x 2 – 12x + 4 ® 10x 2 – 8x = 0 cu soluţiile x1 = 0, 2
Rezultă că suma soluţiilor ecuaţiei este 4
5 .
70
x =
4
.
5

4. Rezolvare:
cu soluţiile m1 = –3, 2
m =
5
.
2
2m+ 1 3 1
m = ⇔ m + m−
=
−4
2 1
2
1 1 0 2 15 0
TESTUL 2
1. Rezolvare:
Rezolvăm ecuaţia a). Avem succesiv:
−3( x−4) −5(1−3 x) −
2
(56 + 4) =
3
( −5−5) ⇔ 12x= 18 ⇔ x=
3
.
3 2 2
Aşadar S 1 =
3 { 2}
.
Ecuaţia b) se scrie sub forme echivalente astfel:
y(y – 1)(y + 4) – y – 1 – 3(y + 2)(y + 5) – (y 2 – 1)(y + 2) + y(y + 5) + 3(y + 4) = 4y 2 + 2y + 1 ®
® 5y 2 + 19y + 18 = 0 cu mulţimea soluţiile S 2 =
9 { −2, − } .
5
S1 =
3
, S2 = −2, −
9
, S
3 9 3 3 9
1∪ S2 = , −2, − , S1× S2
= { , −2 , , −
2 2 2 5 2 2 5 } .
Aşadar, { } { } { } ( ) ( )
2. Rezolvare:
Soluţia ε a ecuaţiei x 2 + x + 1 = 0 are proprietatea că ε 2 + ε + 1 = 0 şi ε 3 + ε 2 + ε = 0, de unde
se obţine ε 3 = – ε 2 – ε = 1.
det(A) = –ε 3 – ε 3 – ε 3 – ε 6 + ε 3 – 1 = –4
2 2 2 2
2 2
⎛ 0 2ε 2ε ⎞ ⎛ 0 ε ε ⎞
0 ε ε
2 ⎜ 2 2⎟ ⎜ 2 2⎟
2 2 2 6 6
A = ⎜2ε 0 2ε ⎟= 2⎜ε 0 ε ⎟ şi det
1 ( ⋅ A ) = ε 0 ε =ε +ε = 2.
2
⎜ 2 2 2 2
2ε 2ε 0 ⎟ ⎜ε ε 0⎟
2 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ε ε 0
2
Rezultă că det( A) + det
1 ( A ) =− 4 + 2 =− 2 .
2
3. Rezolvare:
Avem: det(A) = –abz – cyz + z 2 x = z(xz – ab – cy)
det(B) = ab 2 + bcy – bxy = b(ab + cy – xz)
det(C) = –xyz + aby + cy 2 = y(–xz + ab + cy).
Rezultă că
n = xz(–ab – cy + xz) + ab(ab + cy – xz) + yc(–xz + ab + cy) = (ab + cy – xz)(–xy + ab + yc) =
= (ab + cy – xz) 2 .
71
,

4. Ecuaţia dreptei AB este:
x y 1
−
2m 3
1 1= 0 ⇔ x+ m
+ y(3 −m) − 3+ m+ 2m
⋅ y+
x
= 0⇔
6 3 4
3−m− 1
4
1
⇔ 15 x+ (36− 4 m) y+ (14m− 36) = 0
15 + 2(36 − 4 m) + 14m−36 dC ( , AB) = 3⇔ = 3, m∈m ⇔ 6m+ 51 = 3⋅
2
225 + (36 −4
m)
2 2
⋅ 225 + (36 −4 m) , m∈m⇔ 2m+ 17 = 225 + (36 −4 m) , m∈m.
După ridicare la pătrat se obţine ecuaţia de gradul doi: 6m 2 – 178m + 616 = 0 cu soluţia
întreagă m = 4.
72

Capitolul III. Sisteme de ecuaţii liniare
3.1. Matrice inversabile din n( ) M
Exersare
E1. Rezolvare:
O matrice pătratică este inversabilă dacă şi numai dacă determinantul ei este nenul.
−2
a)
4
5
⎛−2 =−6− 20=−26≠ 0;
matricea
3
⎜
⎝ 4
5⎞
3
⎟ este inversabilă;
⎠
2
b)
3
− 5
⎛2 =− 14+ 15= 1≠0; matricea
−7
⎜
⎝3 −5⎞
−7
⎟ este inversabilă;
⎠
5
c) 2
9
−
2
⎛5 3 = 10 + 6 = 16 ≠ 0 ; matricea ⎜2 4
⎜
⎝9 −
2⎞
3⎟
este inversabilă;
4
⎟
⎠
d)
2
1
−1
⎛ 2
2
= 1+ 1= 2≠ 0;
matricea ⎜
⎜ 1
2
⎝
−1⎞
⎟
2
este inversabilă.
⎟
2 ⎠
E2. Rezolvare:
− 1 *
Vom folosi formula: A =
1
⋅ A .
det( A)
2
a) det( A)
=
8
−1
=− 10 + 8 =−2≠0 −5
⎛ 2 t
A= ⎜
⎝−1 8 ⎞ ⎛δ * 11
⎟;
A =⎜
−5⎠
⎝δ21 δ ⎞ 12
⎟
δ22⎠
, unde ij δ sunt complemenţii algebrici ai elementelor aij ale
matricei transpuse t A .
* ⎛−5 Aşadar, A = ⎜
⎝−8 1⎞
2
⎟
⎠ şi
1 5
A
1
2 8
1
2
− ⎛− =− ⋅⎜ ⎝− ⎞
⎟
⎠ .
−8
6
b) det( A)
= 2
3
1 = 2 − 4 =−2≠0. −
4
⎛
8
t ⎜− A=⎜
⎜
⎝ 6
2 ⎞ ⎛
3 ⎟ −
1
* ⎜ 4
1
⎟şi
A =
⎜
− ⎟ 2
4⎠
⎜− ⎝ 3
−6⎞
⎟
⎟
.
−8⎟
⎠
1
1 4
Rezultă că A
1
2 2
3
6
1
8
8
1
3
3
4
−
⎛− ⎜
=−
⎜
⎜− ⎝
− ⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
− ⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
−1 c) det( A) =
0
0
=−1≠ 0;
1
⎛−1 t
A=⎜ ⎝ 0
0⎞
⎟
1⎠
şi
* ⎛1 A = ⎜
⎝0 0 ⎞
−1
⎟
⎠ .
−1
* ⎛−1 Rezultă că A =− A = ⎜
⎝ 0
0⎞
1
⎟
⎠ .
73

3
d) det A= 2 2
2
= 9− 4= 5≠ 0;
3 3
⎛
t
A=⎜ ⎝
3
2
2 2⎞
⎟
3 3⎠
* ⎛ 3 3
A = ⎜
⎝−2 2
− 2⎞
1 3 3
⎟ şi A
1
3 ⎠
5 2 2
2
3
−
⎛
= ⋅⎜
⎝− − ⎞
⎟
⎠
e)
f)
g)
1 1 1 ⎛1 1 2⎞ ⎛ 1 0 −1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A= =− ≠ A= ⎜ ⎟ A = ⎜− − ⎟şi
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 1 1 ⎝1 0 1⎠ ⎝−1 1 0 ⎠
t
*
det 1 1 0 1 0, 1 1 1 , 1 1 1
⎛−1 0 1 ⎞
−1
*
A =− A =
⎜
1 1 1
⎟
⎜
−
⎟
;
⎜ 1 −1
0 ⎟
⎝ ⎠
2 1 3 ⎛2 0 0 ⎞ ⎛5 5 7 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A= − = A= ⎜ − ⎟ A = ⎜ − − ⎟şi
A
1
A
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 10
0 0 −5 ⎝3 4 −5⎠ ⎝0 0 −2⎠
t
*
det 0 1 4 10; 1 1 0 , 0 10 8
3 −2
0
det( A)
= 0 2 2 =−18 − 4 + 12 =−10
1 −2 −3
74
− 1 *
= ⋅ .
⎛ 3
t ⎜
A=− ⎜ 2
⎜
⎝ 0
0
2
2
1 ⎞ ⎛−2 ⎟ * ⎜
− 2 ⎟, A = ⎜ 2
⎟ ⎜
−3⎠ ⎝−2 −6 −9 4
−4⎞
⎟ − 1 *
−6⎟şi
A =−
1
⋅ A
⎟ 10
6 ⎠
1
h) det( A) = 2
1
3
0
2
2 ⎛1 t ⎜
1 = 8+ 3−6− 2= 3, A=
⎜3 ⎜
1 ⎝2 2
0
1
1⎞
⎛−2 ⎟ *
2⎟;
A =
⎜
⎟
⎜
−1 1⎠
⎜
⎝ 4
1
− 1
1
3 ⎞
−1
1 *
3
⎟
⎟
; A = ⋅A
.
3
−6⎟
⎠
E3. Rezolvare:
Pentru fiecare matrice se pune condiţia ca determinantul să fie nenul.
a) 2 m
=−12−3m≠0⇒m≠−4 ⇒ m∈
\{ −4}
;
3 −6
m 5 2
b) = m + 100≠0⇒m≠± 10 i⇒m∈ \{ −10
i, 10 i}
;
−20
m
m − 3 7 2
c)
= m −m−20 ≠0.
2 m + 2
Dacă m 2 – m – 20 = 0 ⇒ ∆ = 81 şi m1,2 i {–4, 5}.
Rezultă că matricea este inversabilă dacă m i \ {–4, 5}.
2
m −3m
m m m
d) = ( m− 3) = 0, ∀m∈ . Rezultă că m∈Φ.
m−3
1 1 1

e)
f)
g)
h)
m m+
1 2
1 1
2
− 3 = 3m + 2m−1≠ 0.
0 m 1
2
Dacă 3m + 2m− 1= 0⇒m∈ 1 { − 1,
3}
.
Rezultă că matricea este inversabilă dacă { } 1
m ∈ −
m
2
4 3
− =− − ≠ .
11 9
2
2
1 0
2
6m6 0
m
75
\ 1, .
3
Dacă –6m 2 – 6 = 0 ⇒ m i {–i, i}.
Rezultă că matricea este inversabilă pentru m i \ {–i, i}
2+ m 1 1
m
2
m− 1 1 = m − 3 m= m( m−3)
≠ 0.
1 m 1
Rezultă că m i \ {0, 3}.
3m+ 1
2
−1
7
m − 7
=
1
2 4
m + m−
≠
2 −1
7
2
4 9 (3 354 357) 0
Dacă 3m 2 + 354m – 357 = 0, împărţind cu 3 rezultă ecuaţia m 2 + 118m – 119 = 0 pentru care
∆ = 118 2 – 476 = 14400.
Se obţine m1 = 1, m2 = –19.
Aşadar, matricea este inversabilă pentru m i \ {1, –19}.
E4. Rezolvare:
a) det(A) = –2 @ 0; det(B) = –1 @ 0.
det(AB) = det(BA) = det(A) · det(B) = 2 @ 0.
Rezultă că matricele A, B, AB, BA sunt inversabile.
t ⎛−1 • A= ⎜
⎝ 2
−4⎞ * ⎛10 , A
10
⎟ = ⎜
⎠ ⎝ 4
−2⎞
−1
⎟
⎠ şi
⎛−5 −1
1 *
A =− ⋅ A = ⎜
2 ⎜−2 ⎝
1⎞
1
⎟.
⎟
2 ⎠
⎛7 t
• B= ⎜
⎝5 3⎞ ⎛ 2 *
⎟, B = ⎜
2⎠ ⎝−3 −5⎞ ⎛−2 −1
*
⎟, B =− B = ⎜
7 ⎠ ⎝ 3
5 ⎞
⎟
−7⎠
⎛−1 • AB = ⎜
⎝−4 2 ⎞ ⎛7 10
⎟⋅ ⎜
⎠ ⎝3 5⎞ ⎛−1 =
2
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 2
−1⎞
0
⎟,
det(AB) = 2
⎠
⎛− 1 t
( AB) = ⎜
⎝−1 2⎞ ⎛ 0 *
⎟, ( AB)
= ⎜
0⎠ ⎝−2 + 1⎞
⎟
−1⎠
şi
1 0
( AB) 1
2 2
1 0
1
1
1
2
1
2
− ⎛
= ⋅ ⎜
⎝− ⎛
⎞ ⎜
⎟= − ⎜
⎠ ⎜− ⎝
⎞
⎟
⎟
− ⎟
⎠
.

⎛7 • BA = ⎜
⎝3 5⎞⎛−1 2
⎟⎜
⎠⎝−4 2 ⎞ ⎛−27 =
10
⎟ ⎜
⎠ ⎝−11 64⎞
26
⎟,
det(BA) = 2
⎠
⎛−27 t
( BA) = ⎜
⎝ 64
−11⎞ ⎛26 *
⎟, ( BA)
= ⎜
26 ⎠ ⎝11 −64⎞
⎟
−27⎠
Rezultă că
⎛13 −32
⎞
=
1
⋅ = ⎜ ⎟
2 ⎜ − ⎟
⎝ 2 2 ⎠
−1
*
( BA) ( BA)
11 27
b) Se verifică prin calcul, folosind rezultatele de la punctul a)
2 ⎛−1 c) • A = ⎜
⎝−4 2 ⎞⎛−1 10
⎟⎜
⎠⎝−4 2 ⎞ ⎛ −7
=
10
⎟ ⎜
⎠ ⎝−36 18⎞
92
⎟
⎠
⎛−7 2 2 t 2
det A = (det A) = 4; ( A ) =⎜
⎝18 −36⎞
⎟
92 ⎠
2 * ⎛−2 ( A ) = ⎜
⎝36 −18⎞
−7
⎟
⎠ .
92 2 1
Rezultă că ( A )
1
4 36
18 23
7
9
9
2
7
4
− ⎛
= ⋅ ⎜
⎝
⎛
− ⎞ ⎜
⎟= ⎜
− ⎠ ⎜
⎝
⎞
− ⎟
⎟
− ⎟
⎠
5
1 2
( A )
2
1 5
1
2
2
1 23
1
2 9
9
2
7
4
−
⎛− = ⎜
⎜− ⎝
2 −1 −1
2
Aşadar, ( A ) = ( A ) .
⎞⎛− ⎟⎜
⎟⎜− ⎠⎝
⎞
⎛
⎟
⎜
=
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝
− ⎞
⎟
⎟.
− ⎟
⎠
2 ⎛7 • B = ⎜
⎝3 5⎞⎛7 2
⎟⎜
⎠⎝3 5⎞ ⎛64 2
⎟= ⎜
⎠ ⎝27 45 ⎞ 2 2
;det( B ) = (det( B))
= 1
19
⎟
.
⎠
⎛64 t 2
( B ) = ⎜
⎝45 27⎞ ⎛ 19 2 *
⎟, ( B ) = ⎜
19⎠ ⎝−27 −45⎞
⎟
64 ⎠ .
2 − 1 2 *
Rezultă că ( B ) = ( B ) .
1 2 2
( B )
3
5 2
7 3
5 19
7 27
45
64
− ⎛− = ⎜
⎝
2 −1 −1
2
Aşadar, ( B ) = ( B ) .
⎞⎛− −
⎟⎜
⎠⎝
⎞ ⎛
⎟= −
⎜
⎠ ⎝− − ⎞
⎟
⎠
E5. Rezolvare:
Se foloseşte formula (A –1 ) –1 = A.
5
1
a) Determinăm inversa matricei A 3
2
8
1
2
−
⎛ −
= ⎜
⎜− ⎝
1
det( A )
5
12
19
2 2
⎞
⎟.
⎟
⎠
− =− + = .
⎛
5
t −1 ⎜− ( A ) = ⎜
⎝ 8
3⎞ ⎛
−
1
2⎟ −1
* ⎜2 ⎟, ( A ) = ⎜
1 ⎟ ⎜3 2 ⎠ ⎝2 ⎞
−8⎟
⎟.
−5⎟
⎠
76

Rezultă că
( )
b) det(A –1 ) = –2;
−1 −1
A A
⎛1 −8⎞
2 ⎜2⎟ = = ⋅
19 ⎜3⎟. ⎜ −5⎟
⎝2⎠ 1 ⎛ 1 4⎞
( ) = ⎜
0 2
⎟
⎝ ⎠
t A − −
1 * 2 0
( A )
4 1
− ⎛ ⎞
= ⎜
− −
⎟
⎝ ⎠ şi
c) det(A –1 ) = 1;
2 0
−1
0
1 ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟.
2 ⎝−4 −1⎠
⎜ 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
−1 −1
( A ) = A=−
⋅ ⎜ ⎟=
1
−2
0 1
t −1
( A ) =−1 4 −2
1 −1
0
2
1 *
( A ) 1
4
2
1
5
3
2
8
−
⎛− =
⎜
⎜
−
⎜
⎝− −
−
−
− ⎞
⎛−2 −
⎟ −1 −1
⎟
şi ( A ) = A=
⎜
⎜
−1 − ⎟
⎜
⎠
⎝−4 −2 −1 −5 −3⎞
−2
⎟
⎟
−8⎟
⎠
1
5
1
d) det A 0
1
5
11
5
2
4
5
7
5 1
1
1
0
25
3 1
5
11
2
4
7
1
1
( 5)
1
25 5
3
−
= −
−
−
= ⋅ −
−
−
= ⋅ − =− .
1
5
t −1 ( A ) =
11
5
−
7
5
0
−2 1
1 ⎛− 2
5 ⎜ 5
4 ⎜ −1
*
− ; ( A ) =
1
5
⎜
⎜
5
3 ⎜
2
5 ⎝ 5
−
1
5
2
5
3
5
−
3⎞
5⎟
1 ⎟
−
5
⎟.
⎟
−
2 ⎟
5⎠
⎛+ 2
−1 −1 −1
*
Rezultă că ( A ) = A=− 5( A ) =
⎜
⎜
−1 ⎜
⎝−2 + 1
−2
−3
+ 3⎞
1
⎟
⎟
.
2 ⎟
⎠
Sinteză
;
S1. Rezolvare:
x
2
a) x
4
x
5
x
10
x
x x
⎛2 = 20 − 20 = 0 Rezultă că matricea ⎜ x
⎝4 x
5 ⎞
x ⎟ nu este inversabilă.
10 ⎠
lg1
b)
−2 2 0
=
lg5 −2
2
⎛lg1 = 4≠0. Rezultă că matricea
lg5
⎜
⎝−2 2 ⎞
lg5
⎟ este inversabilă.
⎠
0!
c)
8
3
⎛0! = 4! − 24 = 0 . Matricea
4!
⎜
⎝8 3 ⎞
4!
⎟ nu este inversabilă.
⎠
2
C4 d)
−1
2
A 6 3
=
1 −1
6
= 6+ 6= 12≠0; 1
2
⎛C4 Rezultă că matricea ⎜
⎝−1 2
A3
⎞
⎟ este inversabilă.
1 ⎠
77

S2. Rezolvare:
⎛i a) A = ⎜
⎝3 2
−i ⎞ ⎛i ⎟= ⎜
−4i⎠ ⎝3 1 ⎞
−4i
⎟
⎠
det(A) = –4i 2 – 3 = 4 – 3 = 1.
⎛i t
A= ⎜
⎝1 3 ⎞ ⎛−4i *
⎟; A = ⎜
−4i⎠ ⎝−3 −1⎞
⎟
i ⎠ .
Rezultă că A –1 = A * .
⎛
b) A = ⎜
⎝
2+ 3
1+ i
1−i⎞
⎟;
detA = (3 – 2) – (1 – i
3− 2⎠
2 ) = –1.
⎛
t
A= ⎜
⎝
2+ 3
1−i 1+ i ⎞ ⎛
* 3− 2
⎟, A = ⎜
3− 2⎠ ⎝ −1− i
− 1+
i ⎞
⎟
2+ 3⎠
.
Rezultă că A –1 = –A * .
⎛ sin x
c) A = ⎜
⎝−cos x
cos x⎞
sin x
⎟
⎠ , detA = sin2x + cos 2 x = 1
⎛sinx t
A= ⎜
⎝cos x
−cosx⎞ ⎛sinx *
⎟iar A = ⎜
sin x ⎠ ⎝cos x
−cosx⎞
⎟
sin x ⎠
Rezultă că A –1 = A * .
⎛
⎜ −1
d) A = ⎜ 4
⎜
⎜ ⎜− 1
⎝ 2
2
Cm −3
3
1 ⎞
Cm⎟
5 ⎟;
⎟
2 ⎟
⎠
21 2
det( A) = ( − m + 3m+ 4) , m i q, m U 2.
4
Din det(A) = 0, rezultă că m = 4.
Aşadar, A este inversabilă dacă şi numai dacă m i q* \ {1, 4} şi A
1
det( A)
A
78
− 1 *
= ⋅ .
S3. Rezolvare:
Pentru fiecare matrice A punem condiţia ca det(A) @ 0, ¼x i Z.
a) detA = (m – 1)x 2 – 2x + 2m – 3.
Punem condiţia ca (m – 1)x 2 – 2x + 2m – 3 @ 0, ¼x i Z.
Rezultă că discriminantul ∆ al ecuaţiei (m – 1)x 2 – 2x + 2m – 3 = 0 este număr negativ.
Aşadar 4 – 4(m – 1)(2m – 3) < 0 ⇔ 2m 2 – 5m + 2 > 0 ( ) 1
m
⇔ ∈ −∞ , ∪ (2, +∞)
.
2
b) detA @ 0, ¼x i Z ⇔ (1 – m)x 2 – x – 3m + 2 @ 0, ¼x i Z ®
⇔ ∆ < 0 ® 1 – 4(1 – m)(2 – 3m) < 0.
Se obţine inecuaţia de gradul doi 12m 2 – 20m + 7 > 0 cu mulţimea soluţiilor
( −∞ ,
1 7 ) ∪ ( ; + ∞
2 6 ) .
c) detA @ 0, ¼x i Z ® (m + 2)x + 7 – 4m @ 0, ¼x i Z ⇔ m + 2 = 0 şi 7 – 4m @ 0.
Rezultă că m = –2.
S4. Rezolvare:
Condiţia A * = A –1 este echivalentă cu faptul că det(A) = 1.

a) det(A) = 1 ® –2m – 13 = 1 ® m = –7;
2
b) det( A) 1 2m 17m 9 1 m
1 { ; 8}
= ⇔ − + = ⇔ ∈ ;
2
c) det( A) = 1⇔10m− 1= 1⇔
m=
1
;
5
d) det(A) = 1 ® –2 · 4 m + 3 · 2 m + 3 = 1 ® –2 · 4 m + 3 · 2 m + 2 = 0.
Notăm 2 m = y şi se obţine ecuaţia de gradul al doilea: –2y 2 + 3y + 2 = 0 cu soluţiile:
y1 = 2, y
1
2 =− .
2
Revenind la notaţie se obţine m = 1.
S5. Rezolvare:
a) Pornim de la ipoteza AB = BA. Înmulţim egalitatea matriceală cu B –1 , pe partea dreaptă şi
obţinem:
ABB –1 = BAB –1 ® A = BAB –1 . Înmulţim această egalitate în partea stângă cu B –1 şi obţinem:
B –1 A = B –1 BAB –1 ® B –1 A = AB –1 , ceea ce trebuia demonstrat.
b) Înmulţim egalitatea AB = BA, în partea stângă, cu A –1 şi obţinem:
A –1 AB = A –1 BA ® B = A –1 BA.
Înmulţim această ultimă egalitate în partea dreaptă cu A –1 şi se obţine BA –1 = A –1 B, ceea ce
trebuia arătat.
c) În egalitatea de la a) înmulţim în stânga cu A –1 şi se obţine B –1 = A –1 B –1 A.
Înmulţim acum cu A –1 în dreapta şi obţinem B –1 A –1 = A –1 B –1 .
S6. Rezolvare:
⎛1 2 2 2
a) ( I3− A)( I3+ A) = I3 + I3A− AI3− A = I3− A = I3− ⎜
⎜
2
⎜
⎝3 1
2
3
−1⎞⎛1 −2 ⎟⎜
⎟⎜
2
−3⎟⎜ ⎠⎝3 1
2
3
−1⎞
⎛0 − 2
⎟
I
⎜
⎟
= 3− ⎜
0
−3⎟
⎜
⎠ ⎝0 0
0
0
0⎞
0
⎟
⎟
= I3.
0⎟
⎠
b) Deoarece ( I3− A)( I3+ A) = ( I3+ A)( I3− A) = I3,
rezultă că I3 – A este inversabilă şi
(I3 – A)–1 = (I3 + A).
Observaţie.
Se poate deduce prin calcul că I3 – A este inversabilă şi apoi i se determină inversa după
− 1
regula cunoscută 1 *
( B = ⋅ B
det B ) .
79

3.2. Ecuaţii matriceale
Exersare
E1. Rezolvare:
⎛1 a) Ecuaţia este de forma XA = B unde A= ⎜
⎝3 2⎞ ⎛2 , B
5
⎟ = ⎜
⎠ ⎝3 1⎞
1
⎟
⎠ .
Deoarece det(A) = –1, rezultă că A este inversabilă şi ecuaţia matriceală dată este echivalentă
cu X = B · A –1 .
−1 * 5
Dar 1 ⎛
A = ⋅ A =−
det( A)
⎜
⎝−3 −2⎞ ⎛−5 1
⎟= ⎜
⎠ ⎝ 3
2 ⎞
−1
⎟
⎠ .
⎛2 Rezultă că X = ⎜
⎝3 1⎞⎛−5 1
⎟⎜
⎠⎝ 3
2 ⎞ ⎛ −7
=
−1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−12 3⎞
5
⎟
⎠ .
⎛1 b) Ecuaţia este de forma XA = B, unde A= ⎜
⎝3 ⎛2 2 ⎞
, B
⎜
3
5
⎟ =
⎜
⎠ ⎜
⎝0 1⎞
1
⎟
⎟
.
1⎟
⎠
Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A –1 şi ecuaţia matriceală este echivalentă cu
X = BA –1 .
−1 * 5
Dar 1 ⎛
A = ⋅ A =−
det A ⎜
⎝−3 −2⎞ ⎛−5 1
⎟= ⎜
⎠ ⎝ 3
2 ⎞
−1
⎟
⎠ .
⎛2 Rezultă că X =
⎜
⎜
3
⎜
⎝0 1⎞ 5
1
⎟ ⎛− ⎟
⋅ ⎜
3
1⎟ ⎝
⎠
⎛ −7
2 ⎞
=
⎜
−12
−1
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝ 3
3 ⎞
5
⎟
⎟
.
−1⎟
⎠
⎛2 c) Ecuaţia este de forma AX = B, unde A= ⎜
⎝3 3⎞ ⎛−1 , B
4
⎟ = ⎜
⎠ ⎝ 1
1⎞
0
⎟
⎠ .
Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A –1 şi se obţine soluţia X = A –1 B.
−1 * * 4
Dar 1
⎛
A = ⋅ A =− A =−
det( A)
⎜
⎝−3 −3⎞ ⎛−4 2
⎟= ⎜
⎠ ⎝ 3
3 ⎞
−2
⎟
⎠ .
⎛−4 Rezultă că X = ⎜
⎝ 3
3 ⎞ ⎛−1 ⋅
−2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 1
1⎞ ⎛ 7
=
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝− 5
−4⎞
+ 3
⎟
⎠ .
⎛ 2
d) Ecuaţia este de forma A = BX unde A = ⎜
⎝−1 1 ⎞
−1
⎟
⎠ şi
⎛ 3i B = ⎜
⎝−5 1⎞
2i
⎟
⎠ .
Deoarece det(B) = –1, rezultă că matricea B este inversabilă şi
−1 1 * * ⎛2i B = ⋅ B =− B =−
det( B) ⎜
⎝ 5
−1⎞ ⎛−2i 3i ⎟= ⎜
⎠ ⎝ −5 1 ⎞
−3i
⎟
⎠ .
−1 ⎛−2i Rezultă că soluţia ecuaţiei este X = B A=
⎜
⎝ −5 1 ⎞⎛ 2
−3i ⎟⎜
⎠⎝−1 1 ⎞ ⎛ −4i−1 =
−1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝− 10+ 3i −2i−1⎞ − 5+ 3i
⎟
⎠ .
E2. Rezolvare:
⎛3 a) Ecuaţia este de tipul AXB = C, unde A= ⎜
⎝4 2⎞ ⎛4 , B
3
⎟ = ⎜
⎠ ⎝5 1⎞
1
⎟
⎠ şi C = I2. Deoarece det(A) = 1,
det(B) = –1, rezultă că există A –1 şi B –1 , iar soluţia ecuaţiei matriceale este X = A –1 CB –1 .
80

−1
* * 3
Dar 1
⎛
A = ⋅ A = A =
det( A)
⎜
⎝−4 −2⎞
3
⎟
⎠ şi
−1 1 * * ⎛ 1
B = ⋅ B =− B =−
det( B)
⎜
⎝−5 −1⎞ ⎛−1 4
⎟= ⎜
⎠ ⎝ 5
1 ⎞
−4
⎟
⎠ .
⎛ 3
Rezultă că X = ⎜
⎝−4 −2⎞⎛1 3
⎟⎜
⎠⎝0 0⎞⎛−1 1
⎟⎜
⎠⎝ 5
1 ⎞ ⎛ 3
=
−4 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 −2⎞⎛−1 3
⎟⎜
⎠⎝ 5
1 ⎞ ⎛−13 =
−4 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 19
11 ⎞
−16
⎟
⎠ .
⎛−1 b) Ecuaţia este de forma A · Y · B = C, unde A= ⎜
⎝ 3
2⎞ ⎛2 ,
1
⎟ B= ⎜
⎠ ⎝0 −1⎞
⎛2 , C =
3
⎟ ⎜
⎠ ⎝8 8 ⎞
−10
⎟
⎠ .
Deoarece det(A) = –7 şi det(B) = 6 rezultă că există A –1 şi B –1 , iar soluţia ecuaţiei matriceale
este de forma: Y = A –1 CB –1 .
−1 * 1
Dar 1 1 ⎛
A = ⋅ A =− ⋅
det( A)
7 ⎜
⎝−3 −2⎞ 1⎛−1
=
−1
⎟ 7 ⎜
⎠ ⎝ 3
2⎞
1
⎟
⎠
−1 1 * 1 * 1⎛3
B = ⋅ B = B =
det( B)
6 6⎜ ⎝0 1⎞
2
⎟
⎠ .
Se obţine
1 1⎛−1 Y = ⋅
7 6⎜ ⎝ 3
2⎞ ⎛2 1
⎟⋅⎜ ⎠ ⎝8 8 ⎞ ⎛3 ⋅
−10
⎟ ⎜
⎠ ⎝0 1⎞ 1 ⎛14 2
⎟= 42⎜ ⎠ ⎝14 −28⎞⎛3 14
⎟⎜
⎠⎝0 1⎞ 1 ⎛42 =
2
⎟ 42⎜
⎠ ⎝42 −42⎞ ⎛1 =
42
⎟ ⎜
⎠ ⎝1 −1⎞
1
⎟
⎠ .
c) Ecuaţia se scrie succesiv sub forme echivalente astfel:
⎛1 ⎜
⎝2 0⎞ ⎛−2 1
⎟⋅X ⋅⎜ ⎠ ⎝ 2
1⎞ ⎛5 0
⎟− ⎜
⎠ ⎝1 4⎞ ⎛−2 2
⎟= ⎜
⎠ ⎝ 6
2⎞ ⎛3 0
⎟−⎜ ⎠ ⎝0 0⎞ ⎛1 ⇔
3
⎟ ⎜
⎠ ⎝2 0⎞ ⎛−2 X
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 2
1⎞ ⎛0 =
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝7 6 ⎞
−1
⎟
⎠ .
⎛1 Ecuaţia s-a adus la forma AXB = C unde A= ⎜
⎝2 0⎞ ⎛−2 ,
1
⎟ B= ⎜
⎠ ⎝ 2
1⎞ ⎛0 , C =
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝7 6 ⎞
−1
⎟
⎠ .
Deoarece det(A) = 1, det(B) = –2, rezultă că A şi B sunt inversabile şi soluţia ecuaţiei
matriceale este de forma X = A –1 CB –1 .
−1 * * 1
Dar 1
⎛
A = ⋅ A = A =
det( A)
⎜
⎝−2 0⎞
1
⎟
⎠
−1
1 * 1 ⎛ 0
B = ⋅ B =− ⋅
det( B)
2 ⎜
⎝−2 −1⎞
⎛0 = ⎜
−2
⎟
⎠ ⎜
⎝1 1 ⎞
2 ⎟.
1
⎟
⎠
⎛ 1
Se obţine soluţia X = ⎜
⎝−2 0⎞⎛0 1
⎟⎜
⎠⎝7 6 ⎞
⎛0 ⎜
−1 ⎟
⎠⎜ ⎝1 1⎞ ⎛0 2⎟= 1
⎟
⎜
7
⎠
⎝
6 ⎞
⎛0 ⎜
−13 ⎟
⎠⎜
⎝1 1⎞ ⎛ 6
2⎟=
⎜
1
⎟ ⎜−13 ⎠ ⎝
6 ⎞
19
⎟.
− ⎟
2 ⎠
E3. Rezolvare:
a) Ecuaţia este de tipul AX = B.
Deoarece det(A) = 3, rezultă că există A –1 şi ecuaţia matriceală are soluţia X = A –1 B.
⎛−2 3 1 ⎞ ⎛10 7 2 ⎞
10 7 2
t ⎜ ⎟ * ⎜ ⎟ 1
Dar A= ⎜ 3 −4 − 1 ⎟, A = ⎜8 5 1 ⎟şi
A
1
8 5 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3
⎝−1 2 −2⎠ ⎝1 1 −1⎠
1 1 1
−
⎛ ⎞
= ⋅
⎜ ⎟
⎜ ⎟
.
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Rezultă că
⎛10 7 2 ⎞⎛1 ⎞ ⎛6⎞ ⎛2⎞ X =
1
⋅
⎜
8 5 1
⎟⎜
0
⎟ 1⎜
6
⎟ ⎜
2
⎟
3 ⎜ ⎟⎜
⎟
=
3⎜
⎟
=
⎜ ⎟
.
⎜ 1 1 −1⎟⎜−2⎟ ⎜3⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) Ecuaţia este de forma X · A = B.
Deoarece det(A) = –1, rezultă că există A –1 şi ecuaţia matriceală are soluţia X = BA –1 .
81

⎛ 1
t
Dar A= ⎜
⎜
−1 ⎜
⎝ 2
1
0
−1 1 ⎞ ⎛−1 *
− 1
⎟
, A
⎜
⎟
=
⎜
−2 1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−1 −1
−1
0
1⎞
1
3
⎟ 1
⎟
şi A 2
1⎟
⎠ 1
1
1
0
1
3
1
−
⎛
=
⎜
⎜
⎝
− ⎞
−
⎟
⎟
.
− ⎟
⎠
⎛1 Rezultă că X = ⎜
⎝0 −2 −1 ⎛1 1⎞ ⎜
2
3
⎟⋅ ⎠
⎜
⎝1 1
1
0
−1⎞
⎛−2 − 3
⎟
⎟
= ⎜
⎝ 1
−1⎟
⎠
−1
−1
4⎞
0
⎟.
⎠
c) Ecuaţia matriceală este de tipul AXB = C.
Avem: det(A) = –1 şi det(B) = 1. Rezultă că matricele A şi B sunt inversabile, deci soluţia
ecuaţiei matriceale se poate scrie sub forma X = A –1 CB –1 . Să calculăm A –1 şi B –1 .
⎛2 t
• Avem A= ⎜
⎜
2
⎜
⎝3 1
− 1
0
−1⎞ ⎛−1 *
2
⎟
, A
⎜
⎟
=
⎜
−1
1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 1
4
5
−6 3 ⎞ 1
3
⎟ 1
⎟
şi A 1
−4⎟
⎠ 1
4
5
6
3
3
4
−
⎛
=
⎜
⎜
⎝− −
−
− ⎞
−
⎟
⎟
.
⎟
⎠
⎛ 1
t
• B= ⎜
⎜
2
⎜
⎝−3 0
1
2
0⎞ ⎛1 *
0
⎟
, B
⎜
⎟
=
⎜
0
1⎟ ⎜
⎠ ⎝0 −2
1
0
7 ⎞
−2
⎟
⎟
şi B
1 ⎟
⎠
–1 = B * .
⎛ 1
−1 −1
Rezultă că X = A CB =
⎜
⎜
1
⎜
⎝−1 −4 −5 6
−3⎞⎛0 −3 ⎟⎜
⎟⎜
0
4 ⎟⎜
⎠⎝0 −1 1
0
−1⎞⎛1 1
⎟⎜
⎟⎜
0
1 ⎟⎜
⎠⎝0 −2 1
0
7 ⎞ ⎛0 − 2
⎟ ⎜
⎟
=
⎜
0
1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝0 −5 −6 7
−8⎞⎛1 −9 ⎟⎜
⎟⎜
0
11⎟⎜ ⎠⎝0 −2
1
0
7 ⎞
− 2
⎟
⎟
=
1 ⎟
⎠
⎛0 =
⎜
⎜
0
⎜
⎝0 −5
−6
7
2 ⎞
3
⎟
⎟
.
−3⎟
⎠
E4. Rezolvare:
a) Să calculăm det(A) şi det(B). Avem:
det(A) = 2 şi det(B) = –1. Rezultă că matricele A şi B sunt inversabile, caz în care soluţia
ecuaţiei matriceale se scrie sub forma X = A –1 CB –1 . Să determinăm A –1 şi B –1 .
⎛ 1
t
Avem: A= ⎜
⎜
− 1
⎜
⎝ 1
1
1
1
0⎞ ⎛ 1
*
0
⎟
, A
⎜
⎟
=
⎜
−1
1⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0
1
1
0
−2⎞
0
⎟ − 1 *
⎟
şi A =
1
⋅ A .
2 ⎟
2
⎠
t ⎛2 B= ⎜
⎝3 3⎞ * ⎛ 4
, B
4
⎟ = ⎜
⎠ ⎝−3 −3⎞
2
⎟
⎠ şi
−1
* ⎛−4 B =− B = ⎜
⎝ 3
3 ⎞
−2
⎟
⎠ .
⎛ 1
Rezultă că X =
1⎜ 1
2⎜ −
⎜
⎝ 0
1
1
0
−2⎞ ⎛2 0
⎟ ⎜
⎟
⋅
⎜
1
2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝0 1⎞ 4
0
⎟ ⎛− ⎟
⋅ ⎜
3
1⎟ ⎝
⎠
⎛ 3
3 ⎞
=
1⎜ −1 −2 ⎟
⎠ 2 ⎜
⎝ 0
−1⎞ ⎛−4 −1 ⎟
⎟
⋅ ⎜
3
2 ⎟ ⎝
⎠
⎛−15 3 ⎞
=
1⎜
1
−2
⎟
⎠ 2 ⎜
⎝ 6
11⎞
−1
⎟
⎟
.
−4⎟
⎠
b) Deoarece A şi B sunt matrice inversabile, soluţia ecuaţiei matriceale BXA = t C este
X = B –1 · t C · A –1 , adică
⎛ 1 1 −2⎞ ⎛ 1 1 −2⎞
⎛−4 3 ⎞ ⎛2 1 0⎞ 1 ⎛−5 −4 3 ⎞ 1 1 ⎛−1 −9
16 ⎞
X =
⎜
1 1 0
⎟ ⎜
1 1 0
⎟
⎜
3 2
⎟⋅⎜ 1 0 1
⎟⋅ 2⎜ −
⎟
= ⎜
4 3 2
⎟⋅ 2⎜ −
⎟
= ⋅
2 ⎜
1 7 12
⎟.
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ − −
0 0 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠
0 0 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
82

3.4. Metode de rezolvare a sistemelor liniare
Exersare
E1. Rezolvare:
Matricele asociate sistemului de ecuaţii sunt:
a)
b)
c)
d)
⎛3 5 ⎞ ⎛7⎞ ⎛x⎞ A= ⎜ ; B= ; X =
8 −1
⎟ ⎜
2
⎟ ⎜
y
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 −2⎞ ⎛ 3⎞
⎛x⎞ A= ⎜
2 4
⎟
; B
⎜
1
⎟
⎜
−
⎟
=
⎜ ⎟
; X = ⎜
y
⎟.
⎜ ⎝ ⎠
5 −6⎟ ⎜−8⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 −2 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛x⎞ A= ⎜
4 1 3
⎟
; B
⎜
0
⎟
; X
⎜
y
⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
.
⎜9 −2 −1⎟
⎜4⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛a⎞ ⎛1 1 −1⎞ ⎛6 ⎞
A= ; B ; X
⎜
b
⎟
⎜
3 2 1
⎟ = ⎜ =
11
⎟ ⎜ ⎟
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎜c⎟ ⎝ ⎠
⎧4x+
y− z = 1
⎪
e) Sistemul se aduce la forma cea mai simplă: ⎨(1
−ix ) − y+ 3z=−2 ⎪
⎩(
i−2) x− iy+ z =−2
⎛ 4
Matricele asociate sunt: A= ⎜
⎜
1−i ⎜
⎝i−2 1
− 1
−i −1⎞ ⎛1⎞ ⎛x⎞ 3
⎟
; B= ⎜
− 2
⎟
; X =
⎜
y
⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
1 ⎟ ⎜−2⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧3x−4y−
3z =−11
⎪
f) Forma simplă a sistemului este: ⎨−
3x+ 2y+ 3z =−2
⎪
⎩x−
y− 2z = 0
⎛ 3
Matricele asociate sistemului sunt: A= ⎜
⎜
− 3
⎜
⎝ 1
−4 2
−1 −3⎞ ⎛−11⎞ ⎛x⎞ 3
⎟
; B= ⎜
− 2
⎟
; X =
⎜
y
⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
−2⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
E2. Rezolvare:
a) • Verificăm dacă perechea (–3, –2) este soluţie a sistemului înlocuind x = –3, y = –2.
⎧−6−
2 =−8
(adevărat)
Obţinem: ⎨
⎩9
+ 8 = 10 (fals)
Rezultă că (–3, –2) nu e soluţie a sistemului de ecuaţii.
• Verificăm dacă perechea (–2, –4) este soluţie, înlocuind x = –2, y = –4.
⎧−4−
4 =−8
(adevărat)
Obţinem: ⎨
⎩−
6 + 16 = 10 (adevărat)
Rezultă că perechea (–2, –4) este soluţie a sistemului de ecuaţii.
83

• Verificăm dacă perechea (–6, 2) este soluţie.
⎧− 12+ 2=−8 (fals)
Obţinem: ⎨ .
⎩−18−
8= 10 (fals)
Rezultă că (–6, 2) nu este soluţie.
• Verificăm dacă perechea (i, 1) este soluţie.
Obţinem: 2i + 1 = –8 (fals).
Rezultă că (i, 1) nu este soluţie.
b) Se verifică pe rând fiecare pereche dacă este soluţie înlocuind pe x cu primul număr şi pe y
cu al doilea număr al perechii.
Pentru acest sistem verifică perechea (–6, 2).
c) Soluţia este perechea (i, 1).
d) Soluţia este perechea (i, 1).
E3. Rezolvare:
a) Se înlocuie x = 1 şi y = –2 şi se obţine succesiv
⎧a+ 3+ 6= 8 ⎧a=− 1 ⎧a=−1
⎨ ⇔⎨ ⇔⎨
⎩4 − (2b+ 3) ⋅( − 2) = 18 ⎩4b+ 10= 18 ⎩b=
2
b) Se înlocuie x=− 7
, y =− 5 şi obţinem succesiv:
4
⎧ 7 7
⎪( a + 3) ( − ) + 15= 8 ( 3) 7 3 4 1
4
⎪
⎧−
a + =− ⎧a+ = ⎧a=
⎨ ⇔ ⎨ 4 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨
⎪− 7+ 5(2b+ 3) = 18 ⎪ 5(2b + 3) = 25 ⎩2b+ 3= 5 ⎩b=
1
⎩
⎩
E4. Rezolvare:
a) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este:
⎛3 −4⎞
⎛7⎞ ⎛x⎞ AX = B, unde A= ⎜ ; B= , X =
2 −3
⎟ ⎜
5
⎟ ⎜
y
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Deoarece det(A) = –1 @ 0, matricea A este inversabilă şi soluţia ecuaţiei matriceale este:
X = A –1 B.
−1 * * 3 4 3 4
Dar
1
⎛− ⎞ ⎛ − ⎞
A = ⋅ A =− A =−
det( A)
⎜ =
−2 3
⎟ ⎜
2 −3
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
⎛3 −4⎞⎛7⎞
⎛1 ⎞
Se obţine soluţia X = ⎜ =
2 −3 ⎟⎜
5
⎟ ⎜
−1
⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Aşadar, soluţia sistemului este perechea de numere reale (1, –1).
b) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este: AX = B, unde
⎛2 −3⎞
⎛1⎞ ⎛x⎞ A= ⎜ , B= , X =
5 −7
⎟ ⎜
3
⎟ ⎜
y
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Deoarece det(A) = 1, matricea A este inversabilă şi soluţia ecuaţiei matriceale este X = A –1 B.
−1
* * 7 3
Dar
1
⎛−⎞ A = ⋅ A = A =
det( A)
⎜
−5
2
⎟
⎝ ⎠ .
84

⎛−7 3⎞⎛1⎞ ⎛2⎞ Rezultă că X = ⎜ =
−5
2
⎟⎜
3
⎟ ⎜
1
⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este perechea de numere reale (2, 1).
⎧x−
y = 5
c) Forma generală a sistemului de ecuaţii este: ⎨ ,
⎩6x−
5y = 2
iar forma matriceală este:
⎛1 −1⎞
⎛5⎞ ⎛x⎞ AX = B, unde A= ⎜ , B= , X =
6 −5
⎟ ⎜
2
⎟ ⎜
y
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Deoarece det(A) = 1, rezultă că A este matrice inversaiblă, iar soluţia ecuaţiei matriceale este:
X = A –1 −1
* ⎛−5 1⎞
B, unde A = A = ⎜
−6
1
⎟
⎝ ⎠ .
⎛−5 1⎞⎛5⎞ ⎛−23⎞ Se obţine X = ⎜ =
−6 1
⎟⎜
2
⎟ ⎜
−28
⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este perechea de numere reale (–23, –28).
d) Forma matriceală a sistemului este ecuaţia matriceală AX = B unde:
⎛ 2
A= ⎜
⎜
4
⎜
⎝−3 1
1
1
−3⎞ ⎛−6⎞ ⎛x⎞ 1
⎟
, B= ⎜
10
⎟
, X =
⎜
y
⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
2 ⎟ ⎜−1⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1
−1
*
Avem că det(A) = –30, deci există A =
1
A =−
1 ⎜
11
det( A)
30 ⎜
−
⎜
⎝ 7
Soluţia ecuaţiei matriceale este:
−5
−5 −5 4 ⎞
−14
⎟
⎟
.
−2
⎟
⎠
⎛ 1
−1
X = A ⋅ B=−
1 ⎜
11
30 ⎜
−
⎜
⎝ 7
−5 −5 −5 4 ⎞⎛−6 ⎞ ⎛−60⎞ ⎛ 2⎞
− 14
⎟⎜
10
⎟ 1 ⎜
30
⎟ ⎜
1
⎟
⎟⎜ ⎟
=− = −
30 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
−2 ⎟⎜−1 ⎟ ⎜−90⎟ ⎜ 3⎟
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul de numere reale (2, –1, 3).
e) Forma generală a sistemului de ecuaţii este:
iar forma matriceală este AX = B, unde
⎧6x−
3y+ 5z = 3
⎪
⎨4x+
6y− 5z = 3 ,
⎪
⎩2x−
3y+ 10z = 2
⎛6 A= ⎜
⎜
4
⎜
⎝2 −3
6
−3
5 ⎞ ⎛3⎞ ⎛x⎞ − 5
⎟
, B= ⎜
3
⎟
, X =
⎜
y
⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
10⎟ ⎜2⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 45
−1
*
Avem că det(A) = 300 @ 0, deci există A =
1
⋅ A =
1
⋅
⎜
50
det A 300 ⎜
−
⎜
⎝−24 85
15
50
12
−15⎞
50
⎟
⎟
,
48 ⎟
⎠

iar soluţia ecuaţiei matriceale este:
⎛1⎞ ⎛ 45 15 −15⎞
⎛3⎞ ⎛150⎞ ⎜2⎟ 1 1
50 50 50 3
1 ⎜ −
X A B
100
1⎟
= ⋅ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
300 ⎜
−
⎟
⋅
⎜ ⎟
=
300 ⎜ ⎟
=⎜
3
⎟.
⎜ 24 12 48 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 60⎟ ⎜ ⎟
⎝−⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜
1 ⎟
⎝5⎠ Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul
1 ( ,
1
,
1
2 3 5 ) .
f) Forma matriceală a sistemului de ecuaţii este:
⎛1 AX = B unde A= ⎜
⎜
2
⎜
⎝1 1
5
3
1 ⎞ ⎛a⎞ ⎛x⎞ − 3
⎟
, B= ⎜
b
⎟
, X =
⎜
y
⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
−2⎟
⎜c⎟ ⎜z⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛−1 −1
* *
Avem că det(A) = 1, deci există A =
1
⋅ A = A =
⎜
1
det( A)
⎜
⎝ 1
5
−3
−2
−8⎞
5
⎟
⎟
, iar soluţia ecuaţiei
3 ⎟
⎠
⎛−1 −1
⎜
matriceale este X = A B= ⎜ 1
⎜
⎝ 1
5
−3 −2 − 8⎞⎛a⎞ ⎛a+ 5b−8c⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
5 ⎟⎜ ⋅ b⎟= ⎜a− 3b+ 5c⎟.
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 ⎠⎝c⎠ ⎝a− 2b+ 3c⎠
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul de numere
(– a + 5b – 8c, a – 3b + 5c, a – 2b + 3c).
E5. Rezolvare:
Un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute este de tip Cramer dacă determinantul matricei
sistemului este nenul.
⎛1 a) Matricea sistemului este A = ⎜
⎝3 −8⎞
⎟ cu det(A) = 33 @ 0.
9 ⎠
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi are soluţia unică:
dx dy
5
x= , y = , unde dx =
det( A) det( A )
11
133 4
Rezultă că: x= , y =− .
33 33
−8
1
= 133 şi dy =
9
3
5
=−4.
11
b) Matricele asociate sistemului sunt:
⎛−1 −5⎞
⎛1⎞ ⎛x⎞ A= ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟,
X = ⎜ ⎟
⎝ 3 15⎠ ⎝4⎠ ⎝y ⎠
.
Avem că det(A) = 0.
Rezultă că sistemul nu este de tip Cramer.
86

⎛3 ⎜
c) Avem că A =
⎜
5
⎜
⎝1 −4
1
−6
2⎞
⎛ 3⎞
⎟
⎜ ⎟
3
⎟
, cu det(A) = 3 @ 0 şi B =
⎜
6
⎟
.
1⎟
⎜
⎠
−4⎟
⎝ ⎠
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi are soluţia:
dx d y dz
x= , y = , z = , unde:
det( A) det( A) det( A )
3 −4 2 3 3 2 3 −4
3
dx= 6 1 3 = 65; dy= 5 6 3 =− 4, dz=
5 1 6 =−101.
−4 −6 1 1 −4 1 1 −6 −4
Rezultă că
65 4 101
x= , y =− , z =− .
3 3 3
⎛1 ⎜
d) Matricea sistemului de ecuaţii este A =
⎜
2
⎜
⎝1 de tip Cramer.
−2
−1 1
2 ⎞
⎟
−1
⎟
cu det(A) = 6 @ 0, deci sistemul este
−1⎟
⎠
10 −2 2 1 10 2 1 −2
10
dx = 2 −1 − 1 = 36, dy = 2 2 − 1 = 24, d z = 2 − 1 2 = 36.
4 1 −1 1 4 −1
1 1 4
Rezultă că soluţia sistemului este:
d d
x y
dz
x= = 6; y = = 4, z = = 6.
det( A) det( A) det( A)
E6. Rezolvare:
⎧x+
2y = 4
a) ⎨
⎩2x+
5y = 9
⎛1 Matricele asociate sistemului sunt: A= ⎜
⎝2 2⎞ ⎛4⎞ ⎛x⎞ ⎟, B= ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟
5⎠ ⎝9⎠ ⎝y ⎠
.
4
Avem că det(A) = 1, dx =
9
2 1
= 2; d y =
5 2
4
= 1.
9
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este dată de formulele lui Cramer:
dx dy
x= = 2, y = = 1.
det( A) det( A)
⎧−
2x+ 5y =−1
b) ⎨
⎩3x−
7y = 2
⎛−2 Matricea sistemului de ecuaţii este A = ⎜
⎝ 3
5 ⎞
⎟ cu det(A) = –1.
−7⎠
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer:
d d
x
y
x= , y = , unde d x
det( A) det( A )
−1
=
2
5
=−3,
d y
−7
−2 =
3
−1
=−1.
2
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este x = 3, y = 1.
87

⎧ 4x+ 3y= 17
c) ⎨ .
⎩6x+
5y=−3 ⎛4 3⎞
Matricea sistemului de ecuaţii este A = ⎜ ⎟ cu det(A) = 2. Rezultă că sistemul este de tip
⎝6 5⎠
Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer:
d d
x
y
x= , y =
det( A) det( A )
,
unde:
17 3 4 17
dx = = 94, d y = =−114
.
−3 5 6 −3
Se obţine soluţia sistemului de ecuaţii: x = 47, y = –57.
⎧x+
y+ z = 2
⎪
d) ⎨2x+
3y− z = 5
⎪
⎩3x+
y+ 3z = 4
⎛1 ⎜
Matricea sistemului este A =
⎜
2
⎜
⎝3 1
3
1
1 ⎞
⎟
−1
⎟
cu det(A) = –6.
3 ⎟
⎠
Rezultă că sistemul de ecuaţii este de tip Cramer şi soluţia se află folosind formulele lui
Cramer:
d d
x y dz
x= , y = , z =
det( A) det( A) det( A )
,
unde
2 1 1 1 2 1 1 1 2
dx = 5 3 − 1 =− 6; dy = 2 5 − 1 =− 6; d y = 2 3 5 = 0.
4 1 3 3 4 3 3 1 4
Rezultă că soluţia sistemului este: x = y = 1, z = 0.
⎧x+
2y− 4z =−2
⎪
e) ⎨−
3x+ 4y+ z = 13
⎪
⎩2x−
y+ 3z = 9
⎛ 1
⎜
Matricea sistemului este: A =
⎜
−3
⎜
⎝ 2
2
4
−1
−4⎞
⎟
1
⎟
cu det(A) = 55.
3 ⎟
⎠
Rezultă că sistemul de ecuaţii este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele lui Cramer:
d d
x y dz
x= , y = , z = , unde
det( A) det( A) det( A )
−2 2 −4 1 −2 −4
1 2 −2
dx = 13 4 1 = 110; d y = − 3 13 1 = 220,
d z =− 3 4 13 = 167.
9 −1
3 2 9 3
2 −1
9
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este: x = 2, y = 4, z = 3.
88

⎧−
2x+ y+ 3z =−1
⎪
f) Sistemul de ecuaţii are următoarea formă generală: ⎨x+
3y+ 2z = 4 .
⎪
⎩x−
3y+ 2z = 10
⎛−2 1 3⎞
⎜ ⎟
Matricea sistemului de ecuaţii este A =
⎜
1 3 2
⎟
cu det(A) = –42.
⎜ 1 −3
2⎟
⎝ ⎠
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se calculează cu formulele lui Cramer:
d d
x y dz
x= , y = , z = , unde:
det( A) det( A) det( A )
−1 1 3 −2 −1 3 −2 1 −1
dx = 4 3 2 =− 126; dy = 1 4 2 = 42, d z = 1 3 4 =−84
.
10 −32110 2 1 −310
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este: x = 3, y = –1, z = 2.
E7. Rezolvare:
−3
2 1
a) Calculăm det( A ) = 4 − 1 2 = 9 + 8 −20 −5− 24 + 12 =−20.
−5
2 3
⎛ −7 −1
1 * 1 ⎜
Rezultă că A este matrice inversabilă şi A = ⋅ A =− ⋅ −22 det( A)
20 ⎜
⎝ 3
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este X = A
−4
−4
−4 5 ⎞
⎟
10
⎟
.
−5⎟
⎠
–1 B, adică:
⎛ −7 1 ⎜
X =− 22
20 ⎜
−
⎜
⎝ 3
−5 −4 −4 5 ⎞ ⎛4⎞ ⎛−20⎞ ⎛1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
10
⎟
⋅
⎜
8
⎟
=− − 40 = 2
20 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
−5⎟ ⎜8⎟ ⎜−60⎟ ⎜3⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) Sistemul de ecuaţii este:
c) Matricea sistemului este
Avem că det(A) = –20.
⎧− 3x+ 2y+ z=
4
⎪
⎨4x− y+ 2z= 8 .
⎪
⎩−
5x+ 2y+ 3z= 8
⎛−1 2 1⎞
⎜ ⎟
A=
⎜ 4 −1
2⎟.
⎜ ⎟
⎝−5 2 3⎠
d d
x y dz
Formulele Cramer sunt: x= , y = , z =
det( A) det( A) det( A )
,
unde
4 2 1 −3 4 1 −3
2 4
dx = 8 − 1 2 =− 20, dy = 4 8 2 =− 40, d z = 4 − 1 8 =−60.
8 2 3 −5 8 3 −5
2 8
Se obţinem soluţia: x = 1; y = 2, z = 3.
89

E8. Rezolvare:
⎧⎪ x+ y=
4 ⋅− ( 2)
a) ⎨
.
⎪ ⎩2x+
3y= 9
Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie înmulţind prima ecuaţie cu (–2) şi adunând-o la a
doua.
Se obţine sistemul echivalent:
⎧x+ y = 4 ⎧x= 4− y ⎧x=
3
⎨ ~ ⎨ ~ ⎨ .
⎩ y = 1 ⎩y = 1 ⎩y
= 1
Rezultă că soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (3, 1).
⎧2x+
y = 3
b) ⎨
⎩x+
2y = 0
⎧⎪ x+ 2y= 0 ⋅− ( 2)
Permutăm cele două ecuaţii şi observăm sistemul: ⎨
⎪ ⎩2x+
y=
3
Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie înmulţind prima ecuaţie cu (–2) şi aduând-o la
cealaltă.
⎧ x+ 2y= 0
Se obţine: ⎨ .
⎩ − 3y= 3
Rezultă că y = –1 şi x = 2. Aşadar soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (2, – 1).
⎧ x+ y+ z=
1 ⋅− ( 1)
⎪
c) ⎨ x+ 2y+ 2z=−1 .
⎪
⎩x−
y+ 2z= 2
Eliminăm x din ecuaţia a doua şi a treia păstrând prima ecuaţie neschimbată.
⎧ x+ y+ z=
1
⎪
Rezultă sistemul de ecuaţii: ⎨ y+ 2z=−2 ⋅2
⎪
⎩−
2y+ z=
1
Eliminăm y din ecuaţia a treia înmulţind ecuaţia a doua cu 2 şi adunând-o la ultima ecuaţie.
⎧ x+ y+ z=
1
⎪
Se obţine: ⎨ y+ z=−2
⎪
⎩ 3z=−3 Pornind de la ultima ecuaţie a sistemului spre prima ecuaţie se obţine: z = –1, y = –1, x = 3.
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul (3, –1, –1).
d) Permutăm ecuaţia întâi cu a patra şi se obţine sistemul echivalent:
⎧ x+ y+ z=
6 ⋅− ( 4); ⋅− ( 6); ⋅− ( 2)
⎪
⎪4x− 6y− 3z= 0
⎨ (1)
⎪6x+
10y− 10z= 8
⎪
⎩2x+
5y+ 3z= 17
Eliminăm necunoscuta x din a doua, a treia şi a patra ecuaţie, păstrând prima ecuaţie neschimbată.
Pentru aceasta înmulţim succesiv prima ecuaţie cu –4, –6, –2 şi o adunăm la a doua, a treia,
respectiv a patra ecuaţie a sistemului (1).
90

⎧ x+ y+ z=
6
⎪ −10y− 7z=−24 Se obţine sistemul echivalent: ⎨
.
⎪ 4y− 16z=−28 :4
⎪
⎩ 3y+ z=
5
Împărţim ecuaţia a treia cu 4 şi o permutăm cu a doua ecuaţie după care procedăm la
eliminarea necunoscutei y din ultimele două ecuaţii raportându-se la a doua ecuaţie a
sistemului. Se obţin sistemele echivalente:
⎧ x+ y+ z=
6
⎪ y− 4z=−7 ⋅10; ⋅− ( 3)
⎨
⎪ −10y− 7z=−24 ⎪
⎩ 3y+ z=
5
⎧ x+ y+ z=
6
⎪ y− 4z=−7 ⎨
.
⎪ − 47z =−94
⎪
⎩ 13z = 26
Din ultimele două ecuaţii se obţine z = 2, apoi se obţine y = 1 şi x = 3.
Aşadar soluţia sistemului este tripletul (3, 1, 2).
e) Eliminăm necunoscuta x din ecuaţiile a doua, a treia şi a patra înmulţind prima ecuaţie cu
(–2), (–2) şi (–1) şi adunând-o respectiv la a doua, a treia şi a patra ecuaţie.
Se obţine sistemul echivalent:
⎧ x+ y− 3z=−1 ⎪ − y+ 4z= 3
⎨
.
⎪ y+ 4z= 6
⎪
⎩ y = 0
Înlocuind y = 0 în ecuaţia a doua şi a treia se obţin două ecuaţii contradictorii: 4z = 3 şi 4z = 6.
Rezultă că sistemul este incompatibil.
f) • Eliminăm x din ecuaţia a doua, a treia şi a patra. Se obţine sistemul echivalent.
⎧ x+ y+ 2z= 4
⎪ −y− 3z=−2 ⎨
⎪ y− 3z=−2 ⎪
⎩ y− 3z=−2 • Eliminăm y din ecuaţia a treia şi a patra, raportându-ne la ecuaţia a doua. Se obţine:
⎧ x+ y+ 2z= 4
⎪ −y− 3z=−2 ⎨
⎪ 0⋅ z = 0
⎪
⎩ 0⋅ z = 0
Rezultă că z poate fi orice număr real sau complex. Notăm z =α, α∈ şi se obţine:
y = 3α− 2 şi x =−5α+ 6
Aşadar sistemul este simplu nedeterminat şi mulţimea soluţiilor este:
S = ( −5α+ 6, 3α−2, α) α∈
{ }
91

g) Permutăm prima şi a doua ecuaţie între ele. Se obţine sistemul echivalent:
⎧ x+ 2y− 3z= 0 ⋅− ( 2); ( −2); ⋅− ( 4)
⎪
⎪2x− 3y+ z=−1
⎨
⎪2x−
10y+ 8z=−1 ⎪
⎩4x−
15y+ 9z= 0
Eliminăm x din a doua, a treia şi a patra ecuaţie. Se obţine sistemul echivalent:
⎧ x+ 2y− 2z= 0
⎧ x+ 2y− 3z= 0 ⎪
1
⎪ ⎪ − y+ z=−
⎪− 7y+ 7z=−1 ⎪
7
⎨ ~ ⎨
.
⎪ − 14y+ 14z=−1⎪ 1
⎪
− y+ z=−
⎩ − 23y+ 21z= 0 ⎪
14
⎪
⎩ 23y− 21z= 0
Se observă că a doua şi a treia ecuaţie sunt contradictorii.
Rezultă că sistemul este incompatibil.
h) Sistemul se scrie sub forme echivalente astfel:
⎪⎧x− y− 2z=−3 ⋅− ( 2) ⎧x−y−
2z=−3 ⎨ ~ ⎨
⎪⎩ 2x−3y− z=
1 ⎩ − y+ 3z= 7
Se consideră z necunoscută secundară, notată parametric z=α, a∈
şi se obţine
y= 3α− 7, x=α−
10.
Soluţia sistemului este mulţimea S = { (5α−10, 3α−7, α) α∈ }
i) Sistemul se scrie sub forma echivalentă succesiv:
⎧ a− 2b+ c= 10 ⎧a−
2b+ c=
10
⎨ ~ ⎨
.
⎩3a−2b− c= 7 ⎩ 4b− 4c=−23 4x−23 2α−3 Se ia c =α, α∈ şi se obţine b= , a=
.
4 2
⎧⎛2α−3 4α−23 ⎞ ⎫
Aşadar, mulţimea soluţiilor sistemului de ecuaţii este S = ⎨⎜ , , α⎟ α∈
⎬.
⎩⎝ 2 4 ⎠ ⎭
j) Sistemul este echivalent cu:
Rezultă că y = 0, z = 0 şi x = 1.
⎧x+ y+ z= 1 ⎧x+
y+ z=
1
⎪ ⎪
⎨−3y− z= 0~ ⎨ z+ 3y= 0.
⎪ ⎪
⎩ 2y− 2z= 0 ⎩ 8y= 0
Aşadar, sistemul este compatibil determinat cu soluţia tripletul (1, 0, 0).
92

Sinteză
S1. Rezolvare:
a) Sistemul este de tip Cramer dacă determinantul matricei sistemului este nenul.
Aşadar, avem condiţia:
1 −m
1
det( A) = 1 − 2 1
2
= 4 −m
.
m
2
m −2
Din condiţia 4 – m 2 @ 0 rezultă că m i Z \ {–2, 2}.
d d
x y dz
Soluţia sistemului se calculează cu formulele lui Cramer: x= , y = , z =
det( A) det( A) det( A )
2m −m
1
unde dx= −1 − 2 1
3 2 2 2
=−2m − m + 8m+ 4 =− m (2m+ 1) + 4(2m+ 1) = (2m+ 1)(4 −m
) .
2
2
m −2
1 2m 1
dy= 1 − 1 1
2
= 2m + 5m+ 2 = (2m+ 1)( m+
2) ,
m 2 −2
1 −m
2m
dz= 1 −2 3 2 2
− 1 = 2m + 6m + 2m− 4 = ( m+ 2)(2m + 2m−2) .
m
2
m 2
Se obţine soluţia sistemului:
2
2m+ 1 2m + 2m−2 x= 2m+ 1, y = , z =
2−m 2−m
b) Punem condiţia: det(A) @ 0, adică:
1 m −1
2 −1 2
− 2 =−2m −3m− 1 =− (2m+ 1)( m+
1) .
m 2 1
⎧ 1 ⎫
Sistemul este de tip Cramer dacă m∈Z \ ⎨− , −1⎬
şi soluţia se calculează cu formulele:
⎩ 2 ⎭
d d
x y dz
x= , y = , z = , unde
det( A) det( A) det( A )
8 m −1 1 8 −1
1 m 8
dx = 6 −1− 2 =− 14m+ 8, dy = 2 6 − 2 =− 10( m+ 1), dz = 2 − 1
2
6 = 6m + 16 .
4 2 1 m 4 1 m 2 4
Se obţine soluţia:
2
14m−810 −6m −16
x= , y= , z=
( m+ 1)(2 m+ 1) 2m+ 1 ( m− 1)(2 m+
1)
.
93
.

S2. Rezolvare:
Sistemul de n ecuaţii cu n necunoscute nu este de tip Cramer dacă determinantul matricei
sistemului este nul: det(A) = 0.
a) Avem:
1 m + 1 1
det( A) = m 1
3 2 2 2
− 1 = m + m −4m− 4 = m ( m+ 1) − 4( m+ 1) = ( m+ 1)( m − 4) =
1 −2 −m
= ( m+ 1)( m− 2)( m + 2) .
Condiţia det(A) = 0 conduce la m i {–2, –1, 2}.
2 3 m + 2
19
b) det A= 0 ⇔ 3 1 m = 0 ⇔5m− 19 = 0 ⇔ m = .
5
3 −1
1
S3. Rezolvare:
a) Forma simplă a sistemului de ecuaţii este:
⎧5x−
6y =−28
⎨
.
⎩ 4x− y =−11
Matricele asociate sistemului sunt:
⎛5 −6⎞ ⎛−28⎞ ⎛x⎞ A= ⎜ ⎟, B= ⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟
⎝4 −1⎠ ⎝−11⎠ ⎝y ⎠
.
• Rezolvarea sistemului prin metoda matriceală:
Forma matriceală a sistemului este AX = B. det(A) = 19 @ 0.
− 1 1 *
−1
1 ⎛−1 6⎞
Rezultă că există A = ⋅A
, adică A = ⋅⎜ ⎟ şi soluţia ecuaţiei matriceale este
det A
19 ⎝−4 5⎠
1 ⎛−1 6⎞ ⎛−28⎞ matricea X = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟.
19 ⎝−4 5⎠ ⎝−11⎠ 1 ⎛−38⎞ ⎛−2⎞ Se obţine X = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟.
19 ⎝ 57⎠ ⎝ 3⎠
Aşadar soluţia sistemului de ecuaţii este perechea (–2, 3).
• Rezolvarea sistemului prin metoda lui Cramer.
Avem că det(A) = 19, deci sistemul este de tip Cramer şi soluţia lui se calculează cu
formulele lui Cramer:
d d
x
y
x= , y =
det( A) det( A )
unde
−28 −6 5 −28
dx= =− 38, dy=
= 57.
−11 −1 4 −11
Rezultă că soluţia sistemului este:
x = –2; y = 3.
• Rezolvarea sistemului prin metoda lui Gauss.
Forma simplă a sistemului este:
⎧ ⎛ 4⎞
⎪5x− 6y=−28 ⋅⎜− ⎟
⎨
⎝ 5⎠
.
⎪
⎩4x−
y=−11
94

Eliminăm necunoscuta x din a doua ecuaţie, înmulţind prima ecuaţie cu 4
− şi adunând-o la a
5
doua. Se obţine sistemul echivalent:
⎧5x−
6y =−28
⎪
⎨ 19 57 .
⎪ ⋅ y =
⎩ 5 5
Din a doua ecuaţie rezultă y = 3 iar din prima ecuaţie se obţine x = –2.
S4. Rezolvare:
⎛1 ⎜
a) Matricele asociate sistemului sunt: A= ⎜1 ⎜
⎝i Determinantul matricei A este det(A) = i @ 0.
1
i
0
− 2+ i⎞ ⎛− 2+ 2i⎞
⎛x⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−1 − i⎟; B= ⎜ − 1 ⎟; X = ⎜y⎟. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−i ⎠ ⎝−1−i ⎠ ⎝z⎠ Sistemul este de tip Cramer şi soluţia se află cu formulele:
d d
x y dz
x= , y = , z = , unde
det( A) det( A) det( A )
− 2+ 2i 1 − 2+
i
1 − 2+ 2i − 2+
i
1 1 − 2+ 2i
dx= −1 i −1− i =−1;
dy= 1 −1 −1− i = 0;
dz= 1 i − 1 = i.
−− 1 i 0 −i
i −1−i −i
i 0 −1−i Se obţine soluţia x = i, y = 0, z = 1.
b) Forma simplă a sistemului este:
⎧ 3x− 3y+ 4z= 2 ⎧3x−
3y+ 4z= 2
⎪ ⎪
⎨10x− 4y+ 10z= 6 ~ ⎨5x−
2y+ 5z= 3
⎪ ⎪
⎩ 6x− 6y+ 6z= 0 ⎩ x− y+ z=
0
Matricele asociate sunt:
⎛3 −3
4⎞ ⎛2⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A= ⎜
5 − 2 5
⎟
, B= ⎜
3
⎟
, X =
⎜
y
⎟
.
⎜1 −1
1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝z⎠ Avem că det(A) = –3 @ 0. Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia se calculează cu
formulele:
d d
x y dz
x= , y = , z =
det( A) det( A) det( A )
unde dx = 3, dy = –3, dz = –6.
Se obţine soluţia: x = –1, y = 1, z = 2.
S5. Rezolvare:
a) Formula simplă a sistemului este:
⎧2x+
4y− 3z = 11
⎪
⎪7x−
3y+ 5z = 6
⎨
⎪3x+
y− 8z = 15
⎩
⎪6x− 5y+ 11z =−4
Pentru uşurinţa calculelor vom permuta în cadrul fiecărei ecuaţii termenii cu necunoscutele x
şi y şi totodată vom schimba între ele prima şi a treia ecuaţie. Se obţine sistemul echivalent:
95

⎧ y+ 3x− 8z= 15 ⋅−4; ⋅3; ⋅5
⎪ 4y+ 2x− 3z= 11
⎨ .
⎪−
3y+ 7x+ 5z= 6
⎪
⎩−
5y+ 6z+ 11z=−4 ⎧ y+ 3x− 8z= 15
⎪
⎪− 10x+ 29z=−49 Eliminăm necunoscuta y din ecuaţiile a II-a, a III-a, a IV-a, obţinând ⎨
.
⎪ 16x− 19z= 51
⎪
⎩ 21x− 29z= 71
Din ecuaţia a doua şi a patra se obţine, după adunarea lor, 11x = 22, deci x = 2.
Pentru x = 2 din ecuaţia a doua se obţine z = –1.
Perechea x = 2, z = –1 verifică şi ecuaţia a treia şi a patra.
Din prima ecuaţie se obţine y = 17.
Aşadar, soluţia sistemului de ecuaţii este tripletul (2, 1, –1).
⎧ 2x+ y+ z=
2
⎪ x+ 3y+ z=
5
b) Sistemul se scrie sub următoarea formă echivalentă: ⎨ .
⎪ x+ y+ 5z=−7 ⎪
⎩2x+
3y− 3z= 14
Schimbăm prima ecuaţie cu a doua şi apoi eliminăm din celelalte ecuaţii necunoscuta x:
⎧ x+ 3y+ z=
5 ( −2); ( −1); ( −2)
⎧ x+ 3y+ z=
5
⎪ ⎪
⎪2x+ y+ z=
2
⎪ −5y− z=−8
⎨ ~ ⎨ ~
⎪ x+ y+ 5z=−7 ⎪ − 2y+ 4z=−12 ⎪
2x 3y 3z 14
⎪
⎩ + − =
⎩ −3y− 5z= 4
⎧ x+ z+ 3y= 5 ⎧ x+ z+ 3y= 5
⎪ ⎪
⎪ z+ 5y= 8 ⋅− ( 2); ⋅− ( 5) ⎪ z+ 5y= 8
~ ⎨ ~ ⎨ .
⎪ 2z− y=−6
⎪ − 11y =−22
⎪ ⎪
⎩ 5z+ 3y=−4 ⎩ − 22y =−44
Din ultimele două ecuaţii se obţine y = 2, apoi z = –2, x = 1.
Aşadar soluţia sistemului iniţial este tripletul (1, 2, –2).
c) Sistemul se scrie în următoarea formă echivalentă:
⎧ x+ y− 3z=−1 ⋅− ( 2); ( −1); ⋅− ( 1)
⎪ 2x+ y− 2z= 1
⎨
⎪ x+ y+ z=
3
⎪
⎩ x+ 2y− 3z= 1
Se elimină necunoscuta x din ecuaţiile a doua, a treia şi a patra şi se obţine sistemul echivalent:
⎧x+
y− 3z =−1
⎪ − y+ 4z = 3
⎨
⎪ 4z= 4
⎪
⎩ y+ 0⋅ z = 2
Din ultimele două ecuaţii se obţine că: y = 2, z = 1 soluţii care nu verifică ecuaţia a doua.
Rezultă că sistemul este incompatibil.
96

d) Sistemul se scrie sub următoarea formă echivalentă:
⎧ 4 ⎛ 11⎞
⎪ 3x+ 2y+ 4z=−4 ⋅ ; ⋅⎜− ⎟
⎪
3 ⎝ 3 ⎠
⎪
⎨− 4x+ 5y+ 7z= 8
⎪
⎪
⎪⎩ 11x−31y− 47z=−68 Eliminăm x din a doua şi a treia ecuaţie obţinând sistemul echivalent:
⎧ 3x+ 2y+ 4z=−4 ⎪
⎪ ⎧ 3x+ 2y+ 4z=−4 ⎪ 23 37 8
⎪
⎨ y+ z= ~ ⎨ 23y+ 37z= 8
⎪ 3 3 3
⎪
⎪ ⎩ 23y+ 37z= 32
115 185 160 ⎛ 3⎞
⎪− y− z=−
⋅⎜− ⎟
⎩ 3 3 3 ⎝ 5⎠
Se observă că ultimele două ecuaţii sunt contradictorii.
Rezultă că sistemul de ecuaţii este incompatibil.
e) Sistemul se scrie sub următoarele forme echivalente:
⎧ ⎛ 5⎞
⎪ 2x+ 7y− 4z= 0 ⋅⎜− ⎟ ; ⋅− ( 6) ⎧2x+
7y− 4z= 0
⎪
⎝ 2⎠
⎪
⎪ ⎪ 39
⎨ 5x−2y− 8z= 0 ~ ⎨−
y+ 2z= 0 ~
⎪ ⎪ 2
⎪12x+ 3y− 20z= 0
⎪− ⎩ 39y+ 4z= 0
⎪⎩
⎧2x+ 7y− 2z= 0 ⎧2x+
7y− 4z= 0
⎪ ⎪
~ ⎨ − 39y+ 2z= 0~ ⎨ − 39y+ 2z= 0
⎪ ⎪
⎩ − 39y+ 2z= 0 ⎩ 0⋅ z=
0
Rezultă că z poate fi orice număr real sau complex.
2α 71α
Notăm z ∈α, α∈ şi apoi se obţine că y= ; x=
.
39 39
⎧x− 4 y+ (2m+ 3) z=
0
⎪
f) • Eliminăm necunoscutele x şi obţinem: ⎨ (4 −my ) − (2m+ 4) z=
0
⎪
⎩ 9y− 2(2m+ 3) z=
8
⎧ x− 4 y+ (2m+ 3) z = 0
⎪
m − 4
Rescriem sistemul sub forma: ⎨ 9y− 2(2m+ 3) z = 8 / ⋅
⎪ 9
⎩(4
−my ) − (2m+ 4) z=
0
⎧
⎪x− 4 y+ (2m+ 3) z = 0
⎪
• Eliminăm y din ecuaţia a treia: ⎨ 9y− 2(2m+ 3) z = 8
⎪ 2
⎪
−4m −8m−12 8( m−4)
⋅ z =
⎪⎩ 9 9
2
2(4 − m)
4( m + 2) 2(2m + 3m+ 4)
Se obţine: z =
; y =
; x= , m∈Z
.
2
2
2
m + 2m+ 3 m + 2m+ 3 m + 2m+ 3
97

S6. Rezolvare:
a) Sistemul este compatibil determinat dacă şi numai dacă determinantul matricei sistemului
este nenul.
2 1 m + 1
Avem: 1 m−1 m ≠0.
5 4 3( m + 1)
Se obţine m 2 – 2m @ 0 ® m i Z \ {0, 2}.
b) Pentru m = 0 se obţine sistemul de ecuaţii:
⎧ 2x+ y+ z = 0 ⎛2 1 1⎞
⎪
⎜ ⎟
⎨ x− y = 0 şi A =
⎜
1 −1
0
⎟
.
⎪
⎩5x+
4y+ 3z = 3 ⎜5 4 3⎟
⎝ ⎠
Se găseşte că det(A) = 0, deci sistemul nu este de tip Cramer.
Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss.
Rescriem sistemul sub următoarea formă:
⎧ x− y = 0 ⋅− ( 2); ⋅− ( 5)
⎪
⎨ 2x+ y+ z=
0
⎪
⎩5x+
4y+ 3z= 3
Eliminăm necunoscuta x din a doua şi a treia ecuaţie păstrând prima ecuaţie neschimbată.
Se obţine sistemul echivalent:
⎧x− y = 0
⎪
⎨ 3y+ z=
0 ( −3)
⎪
⎩ 9y+ 3z= 3
Eliminăm necunoscuta y din a treia ecuaţie înmulţind pe a doua cu (–3) şi adunând-o la a
treia:
⎧ x− y = 0
⎪
Avem sistemul: ⎨ 3y+ z=
0
⎪
⎩ 0⋅ z = 3
Se observă că ultima ecuaţie este contradictorie (0 = 3) şi ca urmare sistemul este incompatibil.
• Pentru m = –1 sistemul de ecuaţii devine:
⎧ 2x+ y =−1
⎪
⎨x−2y−
z =−2
⎪
⎩ 5x+ 4y = 3
⎧ z+ 2y− x=
2
⎪
Rescriem sistemul sub următoarea formă: ⎨ y+ 2x=−1 ⋅− ( 4)
⎪
⎩ 4y+ 5x= 3
⎧z+
2y− x=
2
⎪
Eliminăm pe y din ultima ecuaţie raportându-ne la ecuaţia a doua şi obţinem: ⎨ y+ 2x=−1 ⎪
⎩ − 3x= 7
7 11 23
Se obţin soluţiile: x=− , y = , z =− .
3 3 3
98

⎧ 2x+ y+ 3z= 2
⎪
• Pentru m = 2 sistemul de ecuaţii devine: ⎨ x+ y+ 2z= 4
⎪
⎩5x+
4y+ 9z= 3
Determinantul matricei sistemului este zero, deci sistemul nu este de tip Cramer.
Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss.
Sistemul de ecuaţii se scrie sub următoarea formă echivalentă:
⎧ x+ y+ 2z= 4 ⋅− ( 2); ⋅− ( 5)
⎪
⎨ 2x+ y+ 3z= 2
⎪
⎩5x+
4y+ 9z= 3
Eliminăm x din ecuaţiile a doua şi a treia păstrând prima ecuaţie neschimbată. Se obţine:
⎧x+
y+ 2z = 4
⎪
⎨ − y− z =−6
⎪
⎩ − y− z =−17
Se observă deja că din ultimele două ecuaţii rezultă că 6 = 17, ceea ce este fals.
Aşadar, pentru m = 2 sistemul de ecuaţii este incompatibil.
S7. Rezolvare:
1 1 1
Determinantul matricei sistemului este d = a b c = ( b−a)( c−a)( c−b) (vezi exerciţiul
2
a
2
b
2
c
rezolvat de la pagina 51 din manual).
Deoarece a @ b @ c rezultă că d @ 0 şi sistemul este de tip Cramer.
Aplicăm formulele lui Cramer şi obţinem:
• = x d
x
d
Rezultă că
• = y d
y
d unde
Se obţine
• = z d
z
d
Se obţine
1 1 1
, unde dx= 2
4
b
2
b
c
2
c
= ( b−2)( c−2)( c−b) (determinant Vandermonde de ordinul 3)
, unde
( b−2)( c−2)
x =
( b−a)( c−a )
.
1 1 1
dy= a 2 c = (2 −a)( c−a)( c−2)
.
2
a 4
2
c
(2 −a)( c−2)
y =
( b−a)( c−b )
.
1 1 1
dz= a b 2 = ( b−a)(2 −a)(2 −b)
.
2
a
2
b 4
(2 −a)(2 −b)
z =
( c−a)( c−b )
.
99

S8. Rezolvare:
⎛2m−1 ⎜
a) A= ⎜
3
⎜
⎝ m−2 3
2m−1 m−2
−m
⎞
⎟
m−1
⎟
1 ⎟
⎠
; det( A) = 0 ⇔6 m( m− 2) = 0 ⇔ m ∈{0,
2} .
b) Sistemul nu este de tip Cramer dacă det(A) = 0, deci pentru m i {0, 2}.
c) Pentru m i Z \ {0, 2} soluţia sistemului este dată de formulele lui Cramer:
d d
x y dz
xm = , ym = , z =
det( A) det( A) det( A )
unde
1
dx= 3
2
3
2m−1 m − 2
−m
m− 1 = 3(5m−6) 1
2m−1 1 −m
2m−1 3 1
dy= 3 3 m− 1 =− 3( m+
2) , dz= 3 2m− 1 3 = 24( m−2)
.
m − 2 2 1
m−2 m−2
2
Se obţine soluţia:
5m−6 −m−2 4
xm = ; ym = , zm
=
2 mm ( −2) 2 mm ( −2)
m .
2m−4) 5m− 6 m+ 2 4 5m−6−2m− 8m+ 16
d) xm + 2ym − zm
> 1⇔ − −
2 mm ( −2) mm ( −2) m
> 1⇔ 2 mm ( −2)
> 1⇔
2
− 5m+ 6 −2m − m+
6
⇔ − 1> 0⇔
> .
2 mm ( −2) 2 mm ( −2)
Tabelul de semn pentru expresia fracţionară este:
m – –2 0 3
2 +
2
–2m 2 – m + 6 – – – – 0 + + + + + + 0 – – – – – – –
2m(m – 2) + + + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + +
2
−2m − m+
6
2 mm ( − 2)
– – – 0 + + + | – – – –0 + + | – – – –
Soluţia inecuaţiei este mulţimea: S ( )
S9. Rezolvare:
a) Determinantul matricei sistemului este:
⎛3⎞ = −2, 0 ∪ ⎜ , 2⎟.
⎝2⎠ 2 1 1
d = 1 1 1 = 1.
1 1 2
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia este dată de formulele:
1
d d
x y dz
a
xa ( ) = , ya ( ) = , za ( ) = , unde d x = 2
d d d
4
4
1
1
1
1
a
1 = 1− 2 ,
2
2 1 1
2 1 1
d y = 1
a
2
a a
1 =− 4 + 3⋅2 − 1,
d z = 1 1
a
2
a a
= 4 − 2 .
1
a
4 2
1 1
a
4
Se obţine soluţia: x(a) = 1 – 2 a , y(a) = –4 a + 3 · 2 a – 1, z(a) = 4 a – 2 a , a i Z.
100

) y(a) > 1 ® –a 4 + 3 · 2 a – 1 > 1 ® –4 a + 3 · 2 a – 2 > 0.
Notăm 2 a = m şi se obţine inecuaţia –m 2 + 3m – 2 > 0.
Dar –m 2 + 3m – 2 = 0 pentru m i {1, 2}.
Tabelul de semn pentru expresia –m 2 + 3m – 2 este:
m – 1 2 +
–2m 2 + 3m – 2 – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – –
Soluţia inecuaţiei cu necunoscuta m este: m i (1, 2).
Revenind la notaţia făcută se obţine că 2a i (1, 2) adică a i (0, 1).
S10. Rezolvare:
Sistemul este compatibil determinat dacă determinantul matricei sistemului este nenul.
Aşadar, avem condiţia:
α 1 1
α + 1 β + 1 2 ≠0⇔ − αβ + β ≠0 ⇔ β(1 −α) ≠0⇔ β ≠ 0 şi α ≠ 1.
1 2β1 Rezultă că răspunsul corect este b)
S11. Rezolvare:
Matricele asociate sistemului sunt:
⎛2 1 3⎞ ⎛1 ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A= ⎜
1 − 1 1
⎟
; B= ⎜
− 1
⎟
; X =
⎜
y
⎟
; det(A) = –3m + 6 = –3(m – 2).
⎜1 2 m⎟ ⎜m ⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• Dacă m @ 2, atunci det(A) @ 0, atunci det(A) @ 0 şisistemul este compatibil determinat cu
soluţia dată de formulele:
d d
x y dz
x= , y= , z=
, unde dx = 4(m – 2), dy = –2(m – 2), dz = –3(m – 2).
det( A) det( A) det( A)
4 2
Se obţine soluţia x=− , y = , z = 1, m≠
2.
3 3
⎧2x+
y+ 3z = 1
⎪
• Dacă m = 2 sistemul devine: ⎨x−
y+ z =−1
⎪
⎩x+
2y+ 2z = 2
Deoarece det(A) = 0, sistemul nu este de tip Cramer.
Pentru rezolvare aplicăm metoda lui Gauss.
Sistemul este echivalent cu următoarele sisteme:
⎧ x− y+ z=−1 ⋅− ( 2) ⎧x− y+ z=−1
⎧x−
y+ z=−1
⎪ ⎪ ⎪
⎨2x+ y+ 3z= 1 ∼ ⎨ 3y+ z= 3 ⋅− ( 1)~ ⎨ 3y+ z=
3 .
⎪ ⎪ ⎪
⎩x+
2y+ 2z= 2 ⎩ 3y+ z=
3 ⎩ 0⋅ z=
0
3−α 4α
Rezultă că z =α, α∈ , y = , x=−
.
3 3
Aşadar, pentru m = 2 sistemul este compatibil nedeterminat cu mulţimea soluţiilor:
⎧⎛ 4α 3−α
⎞ ⎫
S = ⎨⎜− , , α⎟ α∈
⎬.
⎩⎝ 3 3 ⎠ ⎭
101

S12. Rezolvare:
Dacă sistemul de ecuaţii are numai soluţia nulă rezultă că este de tip Cramer şi se pune
condiţia ca det(A) @ 0, unde A este matricea sistemului.
m 1 1
Avem det( A) = 1 m 2
2
=− m + m+
2 .
1 −1 −1
Dacă –m 2 + m + 2 = 0, rezultă că m i {–1, 2}, iar det(A) @ 0 pentru m i Z \ {–1, 2}.
Răspunsul corect este a).
S13. Rezolvare:
Notăm cu x, y, z debitul robinetului I, debitul robinetului II, respectiv debitul robinetului III.
Se obţine sistemului de 3 ecuaţii liniare cu 3 necunoscute:
⎧2x+
3y+ 6z = 220
⎪
⎨3x+
2y+ 6z = 210
⎪
⎩2x+
2y+ 3z = 145
Matricea sistemului are determinantul d = 9. Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia
d d
x y dz
este dată de formulele x= , y= , z=
.
d d d
Se obţine x = 20 hl, y = 30 hl, z = 15 hl.
S14. Rezolvare:
Notăm cu t, f, F vârstele tatălui, fiului mic şi fiului mare.
1 1
Din datele problemei se obţin următoarele relaţii între t, f, F. f = ( t+ 7); F + 15 = ( t+
15) ,
6 2
t −15
adică F = şi f + 18 + F + 18 = t + 18.
2
Aceste relaţii se constituie în sistemul de 3 ecuaţii liniare cu 3 necunoscute f, F, t.
⎧6f
− t = 7
⎪
⎨2F
− t =−15
.
⎪
⎩ f + F − t =−18
Matricea A a sistemului are det(A) = –4 @ 0, deci sistemul este de tip Cramer.
Se obţin soluţiile f = 7, F = 10, t = 35.
S15. Rezolvare:
a) Pentru m = 1 şi n = 5 se obţine sistemul de ecuaţii:
⎧ x+ y− 2z = 2
⎪
⎨ 2x+ y+ z = 5.
⎪
⎩x+
2y+ 3z = 1
1 1 −2
Matricea A a sistemului are det( A)
= 2 1 1 =− 10 .
1 2 3
Rezultă că sistemul este de tip Cramer şi soluţia este dată de formulele lui Cramer.
102

dx −30
d y 10 dz
0
x= = = 3; y = = =− 1; z = = = 0.
det( A) −10 det( A) −10 det( A)
−10
b) Fie A matricea sistemului de ecuaţii:
⎛1 m −2⎞
⎜ ⎟
A= ⎜
2 2m−1 1
⎟
cu det(A) = 5(m – 3).
⎜1 2 3 ⎟
⎝ ⎠
Se observă că det(A) = 0 dacă m = 3.
• Dacă m i Z \ {3}, det(A) @ 0 şi sistemul este compatibil determinat cu soluţia dată de
formulele lui Cramer:
dx 17m−4n−3mn−12 x = =
det( A) 5( m−3)
d y 5( n−3) dz
mn−4m− 2n+ 9
y= = , z= = , n∈Z
.
det( A) 5( m−3) det A 5( m−3)
• Dacă m = 3, det(A) = 0, caz în care vom rezolva sistemul cu metoda lui Gauss.
Avem următorul sistem:
⎧ x+ 3y− 2z= 2 ⋅− ( 2), ⋅− ( 1)
⎪
⎨ 2x+ 5y+
z= n
.
⎪
⎩ x+ 2y+ 3z= 1
Eliminăm necunoscuta x din a doua şi a treia ecuaţie păstrând pe prima neschimbată.
Se obţine sistemul echivalent:
⎧x+
3y− 2z = 2
⎪
⎨ − y+ 5z = n−4.
⎪
⎩ − y+ 5z =−1
Din acest moment se poate începe discuţia compatibilităţii sistemului referindu-ne la ultimele
două ecuaţii (n – 4 = –1 etc.) sau, încă, eliminăm y din ultima ecuaţie raportându-ne la a doua.
Se obţine sistemul echivalent.
⎧x+
3y− 2z = 2
⎪
⎨ − y+ 5z = n−4.
⎪
⎩ 0⋅ z = n−3
Dacă n – 3 @ 0, adică n = 3, sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Se ia z =α, α∈Z
şi se obţine y= 5α+ 1, x=−13α−
1.
Aşadar, pentru m = 3, n = 3, mulţimea soluţiilor este S = { ( −13α−1, 5α+ 1, α) α∈R } .
103

TESTE DE EVALUARE
Testul 1.
1. Rezolvare:
a) A nu este inversabilă dacă det( A ) = 0.
Se obţine ecuaţia
x = 5, x = 4
1 2
− 9 + 20= 0 cu sluţiile:
2
x x
⎛2 ⎜
b) Pentru x = 2, se obţine matricea A =
⎜
5
⎜
⎝8 0
1
−2
1⎞
⎟
2
⎟
, cu det(A) = 6 şi
8⎟
⎠
⎛ 12
−1
1 * 1 ⎜
A = ⋅ A = ⋅ 24
6 6 ⎜
−
⎜
⎝−18 −2 8
4
−1⎞
⎟
1
⎟
.
2 ⎟
⎠
2. Rezolvare:
a) Sistemul are soluţie unică dacă determinantul matricei A a sistemului este nenul.
Avem: det(A) @ 0 ® –m 2 + 10m – 9 @ 0.
Se obţine m i Z \ {1, 9}.
b) Pentru m = 3 se obţine sistemul de ecuaţii:
⎧ x+ 2y+ z=
1 ⋅− ( 1); ⋅− ( 6)
⎪
⎨ x− y+ 2z= 2
⎪
⎩6x+
9y+ 3z= 9
Rezolvăm sistemul prin metoda lui Gauss.
Obţinem succesiv următoarele sisteme echivalente:
⎧x+ 2y+ z = 1 ⎧x+
2y+ z = 1
⎪ ⎪
⎨ − 3y+ z = 1~ ⎨ − 3y+ z = 1 .
⎪ 3y 3z 3 ⎪
⎩− − = ⎩ 4z =−2
1 1 5
Se obţine soluţia: z =− , y =− ; x=
.
2 2 2
3. Rezolvare:
Modelul matematic al problemei este următorul sistem liniar de ecuaţii:
⎧3x+
y+ 7z = 45
⎪
⎨5x+
3y+ 2z = 28
⎪
⎩4x+
5y+ 5z = 42
Rezolvăm sistemul cu metoda lui Gauss reordonând mai întâi necunoscutele în cadrul fiecărei
ecuaţii.
Se obţin succesiv următoarele sisteme echivalente:
⎧ y+ 3x+ 7z= 45 ⋅− ( 3); ⋅− ( 5) ⎧y+ 3x+ 7z= 45 ⎧y+
3x+ 7z= 45
⎪ ⎪ ⎪
⎨3y+ 5x+ 2z= 28 ~ ⎨ −4x− 19z=− 107 ∼ ⎨ 4x+ 19z= 107
⎪ ⎪ ⎪
⎩5y+
4x+ 5z= 42 ⎩ −11x− 30z=− 183 ⎩ 89z= 445
Începând cu ultima ecuaţie a sistemului se obţine: z = 5, x = 3, y = 5.
104

Testul 2.
1. Rezolvare:
1 1
⎛
−
* * 2
A = ⋅ A =− A =− ⎜
det( A)
⎜
⎝ −1 −3⎞ ⎛− 2
⎟= ⎜
2⎟ ⎜
⎠ ⎝ 1
3 ⎞
⎟
− 2⎟
⎠
⎛ 4
−1
1 * 1 ⎜
B = ⋅ B = ⋅ 2
det( B)
10 ⎜
⎝−4 −4 3
−1
−2⎞
⎟
−1
⎟
.
7 ⎟
⎠
⎛0 C = ⎜
⎝1 1⎞
⎟
1⎠
şi
−1 * ⎛ 1
C =− C =− ⎜
⎝−1 −1⎞ ⎛−1 ⎟= ⎜
0 ⎠ ⎝ 1
1⎞
⎟
0⎠
.
2. Rezolvare:
⎛1 ⎜
A =
⎜
4
⎜
⎝6 −1 2
15
−1⎞
⎟
−2
⎟
cu det(A) = 12 @ 0.
3 ⎟
⎠
Rezultă că soluţia ecuaţiei matriceale este matricea
⎛ 36
−1
1 * 1 ⎜
X = A ⋅ B= ⋅A ⋅ B=
⋅ 24
12 12 ⎜
−
⎜
⎝ 48
−12 9
−21
4 ⎞⎛−4⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− 2
⎟⎜
2
⎟
= − 168 = −14
12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
6 ⎟⎜45 ⎟ ⎜ 36⎟ ⎜ 3⎟
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3. Rezolvare:
m + 1 1 1
a) Dacă A este matricea sistemului, atunci det( A) = 1 m+ 1 1
3 2
= m + 3m
.
1 1 m + 1
b) Sistemul de ecuaţii este compatibil determinat dacă det(A) @ 0.
Dar det(A) = 0, dacă m 2 (m + 3) = 0, adică m = 0, m = –3.
c) Pentru m = 2 sistemul de ecuaţii devine:
⎧3x+
y+ z = 1 ⎛3 ⎪ ⎜
⎨x+
3y+ z = 2 cu A =
⎜
1
⎪
⎩x+
y+ 3z = 4 ⎜
⎝1 Prin regula lui Cramer se obţine:
1
3
1
1⎞
⎟
1
⎟
şi detA = 20.
3⎟
⎠
d 4 1 d x
y 6 3 dz
26 13
x = =− =− ; y = = = ; z = = = .
det( A)
20 5 det( A) 20 10 det( A)
20 10
⎧x+
y+ z = 1
⎪
d) Pentru m = 0 sistemul devine: ⎨x+
y+ z = 0
⎪
⎩x+
y+ z = 0
Se observă că prima şi a doua ecuaţie sunt contradictorii (ar rezulta că 1 = 0). Rezultă că
pentru m = 0 sistemul obţinut este incompatibil.
105

Probleme recapitulative
Soluţii
⎛7 2
1. Avem A = ⎜
⎝10 15⎞ ⎛37 3
⎟, A = ⎜
22⎠ ⎝54 81⎞
⎧b+
7a=−37 ⎟.
Se obţine sistemul de ecuaţie ⎨
cu
118⎠
⎩3b+
15a=−81 soluţia a = –5, b = –2.
2 2
⎛ 2 x + y
2. A = ⎜
⎝ 2 xy
2 xy ⎞
⎟ 2 2
x + y
⎟
şi se obţine egalitatea:
⎠
2 2
⎛x+ y
⎜
⎝ 2 xy
2xy ⎞ ⎛4 ⎟+ 2 2 ⎜
x + y
⎟
⎠ ⎝0 0⎞ ⎛4x =
4
⎟ ⎜
⎠ ⎝4y 4y⎞
4x
⎟
⎠
2 2
⎧ x + y + 4= 4x
de unde rezultă sistemul de ecuaţii ⎨
.
⎩2xy
= 4y
Se deosebesc cazurile:
⎧y
= 0
⎛2 • ⎨ deci x = 2, y = 0, A= ⎜ 2
⎩x
+ 4= 4x
⎝0 0⎞ ⎟,
2⎠ ⎛ n
n 2
A = ⎜
⎝ 0
0⎞
⎟ n
2 ⎠ .
• y ≠ 0 şi astfel x = 2 .
Din prima ecuaţie se află y = 0 fals.
⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞
2 3
3. A =
⎜
2a 1 0
⎟
, A
⎜
3a 1 0
⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
. Din relaţia dată, pentru a, b, c∈Z* se
⎜2b+ ac 2c 1⎟ ⎜3ac+ 3b 3c 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
obţine că ⎧α+β= 0
⎨ şi α= 3, β=−3.
⎩2α+β=
3
Pentru a = c = b = 0, A = I3 şi vom avea că ( α+β )I3 = O 3,
deci α+β=0 . Soluţia α=m ,
β=−m, m∈Z .
4.
⎛a 0 a⎞ ⎛a+ 4 −4a
a ⎞
=
⎜
1 1
⎟
, ( )
⎜
3 4 3
⎟
⎜ ⎟
=
⎜
− + −
⎟
. Se obţine a = –1.
⎜1 a 1⎟ ⎜ − 3 a+
4 −3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
A a E A a
⎛0 2
5. Fie B = I3+ A.
Avem A =
⎜
⎜
0
⎜
⎝0 0
0
0
1⎞
3
0
⎟
n
⎟
, A = O3şi
astfel A = O3 , ∀nU 3.
0⎟
⎠
Cu formula binomului lui Newton se obţine:
⎛
⎜1 ⎜ n 0 3 1 2 2 nn ( −1)
2
B = CnIn + CnA+ CnA = I3+ nA+ A = ⎜0 2
⎜
⎜
0
⎝
n
1
0
nn ( −1)
⎞
2
⎟
⎟
n ⎟,
n∈q*. 1 ⎟
⎟
⎠
106

⎛1 2
6. A =
⎜
⎜
0
⎜
⎝0 0
1
0
−2⎞ ⎛1 3
0
⎟
, A
⎜
⎟
=
⎜
0
1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝0 0
1
0
−3⎞
0
⎟
⎟
.
1 ⎟
⎠
⎛1 n
Prin inducţie se obţine că A =
⎜
⎜
0
⎜
⎝0 0
1
0
−n
⎞
0
⎟
⎟
etc.
1 ⎟
⎠
7. a)
Se obţine
⎛ 2
+ + ⎞ ⎛ 2
a bd 0 b( a e) a + ae 0 b( a+ e)
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2 2
A = ⎜ 0 c 0 ⎟= ⎜ 0 c 0 ⎟.
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝d( a+ e ) 0 e + bd ⎠ ⎝d( a+ e ) 0 e + ae ⎠
2
x a e, y c ac ce
= + = − − .
b) Folosim metoda inducţiei matematice.
Pentru n = 1, a1 = x, b1 = y.
k
Presupunem că A = x ⋅ A+ y I 3 . Atunci:
k k
k+
1 2
A = ( xA+ yI) A= xA+ yA= x( xA+ yI) + yA= ( xx ⋅ + y) A+ yxI
k k 3 k k k 3 k k k k 3
Aşadar există xk+ 1 = x⋅ xk k + 1
+ yk , yk+ 1 = y⋅ xk
cu proprietatea că A = xk+ 1A+ yk+ 1I3 deci
egalitatea are loc şi pentru k + 1. Aşadar are loc pentru oricare n∈q*.
⎛ 1
8. C =
⎜
⎜
1
⎜
⎝−1 0
2
−2 −1⎞ ⎛ 4
2
− 1
⎟
, C
⎜
⎟
=
⎜
4
1 ⎟ ⎜
⎠ ⎝−4 8
8
−8
−4⎞
− 4
⎟
⎟
= 4C.
4 ⎟
⎠
3 2 2
n
C = 4C = 4 C şi prin inducţie C
n−1
= 4 C.
9. Folosim metoda reducerii sau substituţiei.
a) B = I2− A şi din a doua ecuaţie se obţine că:
⎛ 1 1⎞
2A+ 3I2− 3A=
⎜
−1
1
⎟
⎝ ⎠ sau ⎛ 1 1⎞ ⎛2 A= 3I2−
⎜
1 1
⎟= ⎜
⎝−⎠ ⎝1 −1⎞
2
⎟
⎠ .
⎛−1 Rezultă B = ⎜
⎝−1 1 ⎞
−1
⎟
⎠ .
10. Egalitatea se scrie:
⎛1 ⎜
⎝1 a⎞⎛1 1
⎟⎜
⎠⎝a 1⎞ ⎛1 1
⎟+ ⎜
⎠ ⎝a 1⎞⎛1 1
⎟⎜
⎠⎝1 a⎞
⎛4 =
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝4 4⎞
4
⎟
⎠ sau
2
⎛1+ a
⎜
⎝ 1+ a
1+
a⎞
⎛ 2
⎟+ ⎜
2 ⎠ ⎝a+ 1
a + 1⎞ ⎛4 = 2 ⎟ ⎜
a + 1⎠
⎝4 4⎞
4
⎟ sau
⎠
⎛ 2
a + 3
⎜ ⎝2a+ 2
2a+ 2⎞ ⎛4 ⎟⎟=⎜ 2
a + 3⎠
⎝4 4⎞
⎟.
4⎠
Rezultă că a = 1.
107

⎛x 11. Fie A = ⎜
⎝z y ⎞
t
⎟
⎠ .
Avem succesiv
⎛x ⎜
⎝z y⎞⎛1 ⎟⎜
t⎠⎝0 i⎞ ⎛1 ⎟+ ⎜
1⎠ ⎝0 i⎞⎛x ⎟⎜
1⎠⎝z y⎞ ⎛2 ⎟= ⎜
t⎠
⎝0 4i⎞
⎟⇒
2⎠
⎛x ⎜
⎝z y+ ix⎞ ⎛x ⎟+ ⎜
t+ iz⎠ ⎝z y+ it⎞ ⎛2 ⎟= ⎜
t ⎠ ⎝0 4i⎞
⎟⇒
2⎠
⎛2x ⎜
⎝2z 2 y+ i( x+ t) ⎞ ⎛2 ⎟= ⎜
2t+ iz ⎠ ⎝0 4i⎞
⎟.
2⎠
Se obţine x = 1, z = 0, t = 1 şi 2y+ 2i = 4i
deci y = i.
2
∆= 4x + x−
5 şi soluţiile { } 5
12. a) Se obţine
x ∈ 1, −
4
.
3 2
b) ∆= x + 2x+ 3 = ( x+ 1)( x − x+ 3), x =−1.
x 1 1 x 1−x 1−x
x −1 −1
c) ∆= 1 x 1 = 1 x− 1 0
2
= ( x−1)
⋅ 1 1 0
2 2
= ( x− 1) ( x + 2x+ 2), x∈{1}
1 0 x+
1
2 2
1 1 x 1 0 x −1
1 x ab 1 x ab
13. a) ∆= 0 a−x b( x− a) = ( a−x)( b−x) 0 1 − b = ( a−x)( b−x)( b−a) .
0 b−x a( x−b) 0 1 −a
Se obţine x ∈ { a, b}
.
2x+ 1 x+ 1 x+
2
b) ∆= 6 3 3 = 0, ∀x∈Z .
12 6 6
0
c) ∆= b−x 2 2
x −b 0
b− a
2 2
a −b
1
b−x x+ a = 2 2
x −b 2
b
b−a 2 2
a −b
1
= ( b−x)( b− a)
−x−b 1
=
−a−b = ( b−x)( b−a)( x− a)
.
Soluţie x ∈ { a, b}
.
14. Se pune condiţia ca determinantul să fie nenul:
3
a) det( A) = a , deci a ∈ Z \{0} .
3 2
b) det( A) = a (1 + a)(1 + a ) , deci a∈Z \{0, −1}
.
2 2
16. det( A) = ( x+ m)( x+ 2 m) −m(1 − m) = x + 3mx+ 3m
− m.
2 2
Se pune condiţia ca det( A) ≠0, ∀x∈Z deci ∆= 9m −4(3 m − m ) < 0.
Se obţine m∈( −∞ ,0)
4 ( , +∞)
∪ .
3
108

1 2 1
17. Avem A
1 1
− ⎛ − ⎞
4 −1 −1
4
= ⎜
−
⎟,
iar ( A ) = ( A ) .
⎝ ⎠
18.
19. a)
b)
−1 −1 −1
−1 −1 −1 −1
⎡ ⎛3 2⎞⎤ ⎛3 2⎞ ⎛3 2⎞ ⎛−1 2 ⎞
B = ⎢A ⎜ ⎟⎥ = ⎜ ⎟ ( A ) = ⎜ ⎟ A= ⎜ ⎟⋅
A =
⎣ ⎝2 1⎠⎦ ⎝2 1⎠ ⎝2 1⎠ ⎝ 2 −3⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1
2 1 2 1 0
= ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎝ 2 −3⎠⎝1 1⎠ ⎝−1 1 ⎠
.
⎛1 3 −1⎞
A= ⎜
2 1 4
⎟
⎜
−
⎟
,det( A)
= 1 deci sistemul este un sistem Cramer.
⎜1 1 −2⎟
⎝ ⎠
Se obţine x = 1, y = 1, z = 1.
⎛1 A= ⎜
⎜
2
⎜
⎝4 1
1
1
1 ⎞
− 3
⎟
⎟
,det( A)
=−6.
deci sistemul este un sistem de tip Cramer.
−5⎟
⎠
Se obţine x = 0, y = 1, z = 0.
⎛1 1 1⎞
⎜
2 1 2
⎟
1 1 1
c) A = ⎜ ⎟.
Deoarece ∆= 2 1 2 =− 1 rezultă că rang(A) = 3.
⎜3 1 4⎟
⎜ ⎟
3 1 4
⎝1 −1
3⎠
Primele 3 ecuaţii sunt ecuaţii principale, iar x, y, z necunoscute principale.
Sistemul principal are soluţia x = 4, y = 1, z = –3 care nu verifică ecuaţia a patra. Aşadar
sistemul este incompatibil.
Altfel, se arată că rang ( A) = 4 ≠ rang ( A)
.
⎛ 2
20. A= ⎜
⎜
m
⎜
⎝2m−1 1
1
2
3 ⎞
−2
⎟
⎟
. Sistemul este nedeterminat dacă det(A) = 0. Se obţine m = 3.
1 ⎟
⎠
Pentru m = 3 se pune condiţie ca rang ( A) = rang ( A)
= 2.
⎛2 Se obţine că A =
⎜
⎜
3
⎜
⎝5 1
1
2
3
−2
1
1⎞
1
⎟
⎟
.
n⎟
⎠
2 1 1
Punem condiţia ca 3 1 1 = 0.
Se obţine n = 2 şi α= 9+ 4= 13.
5 2 n
109

⎛ 1
⎜
1
21. A = ⎜
⎜ m
⎜
⎝2m −m
−2
2
m
0
1 ⎞
1
⎟
⎟.
Calculând determinanţii de ordinul 3 se obţin rezultatele:
−1
⎟
⎟
m+
1
⎟
⎠
2
∆ 1 = ( m+ 1)( m−
2) , ∆ 2 =−( m−1)( m−
2) , ∆ 3 = 4m .
Se observă că nu pot fi nuli toţi cei 3 determinanţi deci rang(A) = 3.
⎛ 1
⎜
1
A = ⎜
⎜ m
⎜
⎝2m −m
−2 2
m
0
1
1
−1
m+ 1
0 ⎞
m −2
⎟
⎟.
2
2m
⎟
⎟
2
2m
⎟
⎠
1 −m
1 0
det( A)
=
1
m
−2 2
m
1
−1
m −2
. 2
2m
2m 0 m+ 1
2
2m
Înmulţim cu m prima coloană şi adunăm rezultatul la a doua coloană. Rezultă:
1 0 1 0
det( A)
=
1
m
m−2 2
2m 1
−1
m−2
= 0 2
2m
2m 2
2m m+ 1
2
2m
deoarece există două coloane egale.
Aşadar rang ( A) = 3 = rang ( A)
deci sistemul este compatibil pentru oricare m∈Z .
Răspuns corect c) A =∅.
110

PARTEA a II-a
ELEMENTE DE
ANALIZ~ MATEMATIC~
Capitolul 1. Limite de func\ii
1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real`
1.4. Calculul limitelor de func\ii
1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice
1.5. Opera\ii cu limite de func\ii
1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii
1.6.4. Limite fundamentale [n calculullimitelor de func\ii
1.7 Asimptotele func\iilor reale
Teste de evaluare
Capitolul 2. Func\ii continue
2.1. Func\ii continue [ntr-un punct
2.2. Opera\ii cu func\ii continue
2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval
Teste de evaluare
Capitolul 3. Func\ii derivabile
3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct
3.2. Derivatele unor func\ii elementare
3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile
3.3.5 Derivarea func\iilor inverse
3.4. Derivata de ordinul doi
3.5 Regulire lui l'Hôspital
Teste de evaluare
Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor
4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor
4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor
4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor
Teste de evaluare
Probleme recapitulative
111

PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic`
Capitolul 1. Limite de func\ii
1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real`
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 113 manual
Exersare
E1. S` se determine mul\imile de minoran\i ]i majoran\i pentru mul\imile:
a) A 3, 5;
b) A ( 2,
3); c) A 5, 4;
d) A ( 2,
1) ( 3, 5);
e) A 1, 5 6, 11;
f) A 1, 1 3.
E2. S` se determine mul\imea minoran\ilor ]i mul\imea majoran\ilor pentru mul\imile:
a) A x x x
2
3 0 ; b) A x x x
2
3 0
c) A x x 3T
2;
d) A x x 3
T 1;
x
e) A x
(0 2 0 25 A x T
x
T
T ;
3
T , ; f) 0 125 4 0 25
, , ;
A x log 2 ( x 1)
T 2 ; h) A x log 2 ( x 1) Tlog
4 ( 3x
) .
g)
E3. S` se arate c` urm`toarele mul\imi sunt mul\imi m`rginite:
a) A sin x
2n
x
;
b) A n
;
n1
c) A n1 n n
;
d) A n
n
48
;
1
2
x 1
e) A
x
;
f) A
x
.
2
2
x
1
x
x 1
E4. S` se scrie cu ajutorul intervalelor mul\imile:
a) A x x T3 ;
b) A x x 1
T 2;
c) A x
x 2
U 1;
d) A x
x
1 T 1 ;
e) A x
x 1
x 4
0
U ; f) A x
2
2
x 4
x 9
1 T ;
x1 x x1
g) A x 2 T16 (
0, 25)
;
h) A x x 3T x 3
.
E5. S` se precizeze care dintre mul\imile urm`toare sunt vecin`t`\i ale num`rului x 0 0,
respectiv x1 1;
a) V 1
d) V 4
( 5,
7);
b) V2 ( 1,
0);
c) V3 ( 0,
);
( 1, );
e) V5 ; f) V6 ;
g) V7 ; h) V8 ; i) 0 112
V 9
.

E6. S` se precizeze care dintre mul\imile urm`toare sunt vecin`t`\i pentru :
a) V 1
( 6, );
b) V2 ( 100,
);
c) V3 ( 2,
);
d) V4 ( ,
10);
e) V5 ; f) V6 ;
g) V 7 ; h) V 8 ; i) V 9 ;
E7. S` se determine punctele de acumulare [n pentru mul\imile:
a) A 0, 3;
b) A 0, 3
; c) A ( ,
3);
d) A ( 2,
2) ( 3, 5);
e) A 0, 1
; f) A ( 1, 2) 5
.
E8. S` se demonstreze c` urm`toarele mul\imi sunt nem`rginite (inferior sau superior):
a) A , 3 ;
b) A ( 1, );
n
c) A ( 1) n n
;
d) A
x x
1
( 0, 1)
;
e) A x x
x 1U
2;
f) A
x
x
1
2
( 2,
)
;
g) A x 7 divide x.
113

1.4. Calculul limitelor de func\ii
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 134 manual
Exersare
E1. S` se calculeze limitele:
3
3
a) lim 3 ;
b) lim 5 ;
c) lim 3 ;
d) lim( 2x 1);
x3 x0
x 2
x2
x
e) lim
2
1 ; f) lim( 3x x 2
); g) lim ( );
x
x1
x
3
5 1 h) lim ln 3.
x1
E2. S` se calculeze:
2
2
lim ( x ) ; lim 2x ( x 1)
; c) lim ( x );
2
2
3 d) lim ( 3x 2 x );
a) 1 1 b)
x1
2
e) lim ( 5x 7x
);
x
x
f) lim( x );
x9
x
x
g) lim log 3 x ; h) lim log 0, 3 x .
E3. S` se calculeze:
log x
a) lim( );
x1
2 2 log ( x 1)
b) lim 3 ;
x0
3
2
x
x
c) lim log 5 2 ; d) lim log .
x5
x
1
3
3
E4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f [n punctele specificate:
2
2x 3,
xT1
a) f : ,
f ( x )
, x 0 1
, 2;
5x
1, x 0
b) f : D ,
x
3, f ( x ) x
4
,
x (0, 1)
, x 0 1 , 0,
.
x ( 1,
)
Sintez`
x
x
0 0
S1. S` se determine parametrii reali pentru care:
a) lim ( a1) x 3 6 ;
b) lim( 5 6ax ) 23;
x1
x3
c) lim( ax 3x 3) 5
;
d) lim 3;
xa x a x
3
e) lim( a x 2ax 11) a14
; f) lim x 3;
x1
2 2
xa1 ax
g) lim x a1
;
h) lim 2 16.
xa1 xa S2. S` se studieze existen\a limitei func\iei f : D pe domeniul de defini\ie:
a) f :( 0, 1)
,
2
f ( x )
1
2x 2,
x ,
2 1
log , 0,
1
2x x
;
b) f :( 0, 2) 3 ,
x
2 , x (0, 1)
f ( x ) log
2 x , x 1,
2
.
0,
x 3
114
x
x
0 0

S3. S` se determine constantele reale pentru care func\ia f are limit` [n punctele specificate:
a) f : ,
2 ax
( a2 ) x,
xT1
f ( x )
, x ;
3
0 1
x , x 1
b) f : ,
2
2
( x + a) ( x 1)
,
f ( x )
(
x 1a) ( x 4 a), xT1
, x 0 1;
x 1
ax
+ b, xT2
c) f : ,
f ( x ) log 2 x , x ( 2, 4)
, x 0 2, 4;
2
ax
bx 6,
xU4
a
bx
d) f : ,
f ( x ) , x ( , ) , x
( a ) x
,
x
2 , xT1
4 1 3 0 1 , 3
.
2
8 xU3
S4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f : D [n punctele specificate:
f : ,
f ( x ) x , x 1,
0, 1 ;
a) 0
b) f : ,
f ( x ) x 3 , x 0 0,
3, 4
;
c) f f x x 3 x x 5 3 5
: , ( ) , 0 , , ;
f : ,
x , xT1
f ( x )
, x 0
x , x 1
0, 1 ;
f : ,
2
x
1,
xT2
f ( x )
, x 0 1,
1, 2
2
x 1, x 2
.
d)
e)
115

1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 140 manual
Exersare
E1. S` se calculeze:
a) lim sin x ; b) lim cos x ; c) lim sin x ; d) lim cos x ;
x
6
x
6
x
4
x
6
e) lim sin x ; f) lim cos x ; g) lim sin x ; h) lim cos x .
x
x
E2. S` se calculeze:
x
x
x
x
2 2
x
x
a) lim tg x ; b) lim tg x ; c) lim tg x ; d) lim tg x ;
x
3
x
3
x
4
x
x
2
2
x
3
2
d) lim tg x ; f) lim ctg x ; g) lim ctg x ; h) lim x ;
ctg
x
x
x
2
i) lim ctg x ; j) lim ctg x .
x
x
x
x
2 2
x
4
E3. S` se calculeze:
a) lim arcsin x ;
b) lim arccos x ; c) lim arccos x ;
x
1
2
x
1
2
x
3
2
d) lim arcsin x ; e) lim arccos x ; f) lim arcsin x .
x
3
2
x
2
2
x
2
2
E4. S` se calculeze:
a) lim arctg x ;
b) lim arcctg x ; c) lim arctg x ;
x
3
3
x
3
3
x
3
3
d) lim arcctg x ; e) lim arctg x ; f) lim arctg x .
Sintez`
x
3
3
x
3
S1. S` se determine valorile parametrului a pentru care au loc egalit`\ile:
a) lim arcsin x ;
xa 2
b) lim arccos x 0; xa
c) lim arctg x ;
xa 4
d) lim arcsin x ;
xa 4
e) lim arccos x ;
xa
f) lim arctg x .
xa 4
S2. S` se studieze existen\a limitei func\iei f : D [n punctele specificate:
sin
x, xT0
,
2
x
, x 0
0 , , ;
f : ,
sin
x, xT
f ( x )
, x
2
0
3(
x ) , x
0, , 2
;
a) f : ,
f ( x )
x 0
b)
116
x
x
3
3

arccos
x,
c) f : 1, 1
, f ( x )
2
x
2x ,
2
x 1, 0
, x 0 1 , 0, 1
;
x 0,
1
arctg
x, xT0
d) f : ,
f ( x ) arcsin x , x ( 0, 1)
,
arcctg
x, x 1,
x 0 , 0, 1,
.
S3. S` se determine valorile parametrilor reali, pentru care func\ia f : D are limit` pe
domeniul de defini\ie.
sin
x, xT0
a) f : ,
f ( x ) ax b, x ( 0, 1)
arctg
x, xU1
a,
x 2, 1
b) f : 2, 2
,
f ( x ) arcsin
x , x 1, 1
;
b,
x 1,
2
S4. S` se studieze existen\a limitei func\iei f : D [n punctele specificate:
a) f f x x x 1 0 1
: , ( ) sin , 0 , , ;
b) f : , ,
f ( x ) sin x , x , , ;
2
2
0
0
2
c) f : ,
f ( x ) cos x , x , , ;
0
2
0
2
d) f f x arctg x x 0 1 0 1
: , ( ) , , , .
117

1.5. Opera\ii cu limite de func\ii
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 151 manual
Exersare
E1. S` se calculeze:
2
x
a) lim x 3 x x;
b) lim2 x 1ln ;
x4
x3
3
c) lim(sin x cos x );
x
x x x
3 d) lim 2 3 4
;
x1
2
x x 3
3x 27 x x
f) 2 3 x
e) lim ( log );
x9
E2. S` se calculeze:
lim
2
x
2
x ;
3
lim .
x1
2
x
a) 2 3 b) limx log 3 x;
c) 2
x1
x x
d) lim
2
3
;
x3
8 27
E3. S` se calculeze:
x 1
a) lim ;
x1
2
x x 1
3
x x
d) lim ;
x1
2
x
E4. S` se calculeze:
x1
x 3
e) x x
lim x x ;
x0
2 3
lim 2 1 ; f) lim ( 1cos x ) ( 1sin
x ).
x0
2
x 4x 10
b) lim ;
x2
2x 3
e) lim sin x tg
x
;
x
sin x 2
a) lim( x ) ; 1
b) lim(sin x ) ;
x1
x
cosx
x0
x0
1x
x2
sin x cos
x
c) lim ;
x0
sin x x
x0
1
arcsin x arccos
x
f) lim .
x1
arctg
x
2
c) x x 1
lim ;
x2
d) lim( sin x ) ;
1 e) lim(sin x tg
x ) ; f) lim( x ) .
x1
arctg
x
Sintez`
S1. S` se calculeze:
3
a) x x
lim ;
x1
2
x
x
3
b) x x
x
x
x1
lim 2 3 ; c) lim (sin x cos
x ) ;
x0
4
x2
x1
d) lim (sin x tg x ) ; e) lim
2x 1
x x
x x
x
; f) lim 2 3 1
;
x0
x1
2
x x 1
x1
x arctg x
g) lim( 2 arcsin x arccos
x ) ; h) lim ; i) lim
1
x
3 arcctg x
arccos
arcsin .
x
x0
1
x
x
2
118
2

S2. S` se determine constantele reale pentru care au loc egalit`\ile:
2 2
a arcsin
x
( x 1) ( x 2)
a) lim
2;
b) lim 1;
x1
arccos
x
x1
3
a x
x x
x 2x
c) lim 1
;
d) lim .
xa 2
x
xa x x
2 4 3
2 2 3 4 8
S3. S` se studieze existen\a limitelor func\iei f : D [n punctele specificate:
x x, x ,
a) f ( x )
, x
sin x , x ,
tg 0
2
0
2
0, ;
2
(
x1) x , x ( 0, 1)
b) f ( x ) , x 0,
1
;
3
0
1 x, x , 01,
3
x
1
, x , 0
c) f ( x )
2
x x 1
, x 0 0.
3
(
1sin x ) , x ( 0,
)
S4. S` se calculeze:
a) limsin 3
x x ;
c) lim( ) lg( x );
2
1 b) x x x 1
lim ln( ) ;
x1
x0
x
2
x2
1
3
8 d) 7x
x1
5
x
x1
3
e
e) lim ;
x1
x1
12 g) lim
x0
1
arcsin ( sin )
sin (arccos ) ;
x x
x
S5. S` se calculeze:
2
1
a) lim x ;
x
x
0
2
d) lim cos x x
;
x
2
x
lim ;
x 2 x 6
f) lim ;
x2
2 3
x 12 10
x
h) 2 x 9
lim log log ( ) .
x0
2 3
x b) lim ;
c) lim
x
x
sin x
;
x
2
x
e) lim cos x x
;
x
x
2
1 f)
x 3x lim .
x
x
119
2

1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 160 manual
Exersare
E1. S` se calculeze:
2
x
x x 1
a) lim ; b) lim ;
x2
x 1
x0
3x 1
2x
c) lim ;
x2
2
3x x 1
E2. S` se calculeze:
2 x
3x 1
a) lim ;
b) lim ; c) lim ;
x
x
x12x
2
x1
2
x 1
x
0 0
2x
d) lim ;
x4
2
x 16
x4
x1
2x 3x 4
e) lim ;
x1
2
x 3x 2
x1
E3. S` se calculeze:
1
2
a) lim ; b) lim ;
x1 2
( x 1)
x1 2
( x 1)
6x
d) lim ;
x3
2
x 6x 9
e) lim ( ) ;
3x 11
x0
2
x x 1
2
2
x1
3x 2
d) lim .
x1
2
4x 3
5x 19
f) lim .
x2
2
x 3x 2
x2
3x 4
c) lim ;
x2
2
x 4x 4
4x 3
f) lim .
x1
2
12x x
E4. S` se calculeze:
2
2
4x 4
x 1
x 4
a) lim ; b) lim
; c) lim
x1
2
9x 9
x1
2
x 3x 2
x2
2
x 3x 2
;
2
2
2
x 3x
( x 2)
x 4x 4
d) lim
; e) lim ; f) lim
.
x3
2
x 7x 12
x2
2
x 2
x
x2
2
2x 4x
E5. S` se calculeze:
2x 3
a) lim ;
xx
4
2
x
d) lim ;
x
2
3x 4x 11
3x 2
g) lim ;
x
2
4x 6x 1
E6. S` se calculeze:
2 x 1
a) lim ;
x
3x
3
x x
d) lim ;
x
2x 3
3x 1
g) lim ;
x
2
9x x 7
2
4
x
b) lim ;
x
2
2x x 1
2
3x 6x 3
e) lim ;
x
2x 1
2x
h) lim
x
( x 1) ( x 1)
2
2 2
x x
b) lim ;
x
2
4x 3
2
x 12x e) lim ;
x
2
2 x 1 x
2
2x 3x 5
h) lim .
x
3x 4
2
120
.
2x 11
c) lim ;
x
6x 11
2
6x 3x 11
f) lim ;
x
2x 6
x x
c) lim ;
x
3x 2 x 1
x 2 x 1
f) lim ;
x
3 x 1 4x 1
2

Sintez`
S1. S` se calculeze:
2 2
( x 1) a) lim
x1
( x 1) 2
x 1
4
( x 1) x 1 8
; b) lim ;
x1
2
x 3x 2
2 2
( 2x 1) ( x 1) 10
c) lim ;
x2
2 2
( x 2) ( x 1) 1
d) lim 2
x 9
;
x3
2 2
( x 3) x 9
2 2 2
( x 2) ( x 1) x 2
e) lim ;
x1
2
2x 3x 1
f) lim
x1
3
( x 1) ( x 1) 4
.
2 2
4x ( x 3)
3
2 2
S2. S` se determine limitele func\iei f : D [n punctele specificate:
x
1
x 1
, x ( ,
2)
, x ( ,
1)
2
x
2
2x
x 2
a) f ( x )
2
, x 0 2
; b) f ( x )
, x
x
2
0 1.
, x ( 2,
)
x
4x 3
2
, x ( 1,
)
x 4
9( x 1)
S3. S` se studieze constantele reale pentru func\ia f : D are limit` finit` [n punctele
specificate:
x a
a) f ( x ) , x ;
x
2
x ax
0 1
b) f ( x ) , x ;
1
x
2
3
0 3
3
2
( x a) 4
x a x a
c) f ( x ) , x ;
2
0 1 d) f ( x ) , x .
x 1
x x
2 2
2
2 0 1
1 1
S4. S` se calculeze limitele de func\ii:
x x x
a) lim ;
x
x x x x
2
2
1 6 5
2
b) lim
x 2
x 6x 8
;
1
2
2
2
5 3 4 3 1
x2
2
2
5x
4x 12 x 16
2 2
2
( x ) x ( x ) x
c) lim
1 1
1 3 1
x1
2
2
x 3x 2
2x 3x 1
.
S5. S` se calculeze:
x
a) lim
x
x x
x
;
x
2 1
2
3
4 1
2
1
2
3x 4x
c) lim
;
x
2
(
x 1) x 1
2
x
b) lim
4 3
x x
;
x
2
2x
6x 1 2
x 4
d) lim
x
121
2
3x 4x
.
2
( x 1) x 1

1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 167 manual
Exersare
E1. S` se calculeze:
a) lim sin ( ) 5x
sin( )
; b) lim
x0
6x
( ) ;
6x
x0
x 1
c) lim sin ( ) 2
2x
sin ( )
; d) lim
x0
2
3x
sin ( ) ;
2x
x0
4x
e) lim sin ( ) 2
x 1
; f) lim
x1
x 1
sin ( ) x 2
; g) lim
x2
2
x 4
sin ( ) 2
1x
sin ( )
; h) lim
x1
2x 2
sin ( ) .
3x 3
x1
2
x 1
E2. S` se calculeze:
tg2x
a) lim ;
x0
3x
sin ( )
d) lim
( ) ;
x
x
tg x
E3. S` se calculeze:
a) lim arcsin ( ) 3x
;
x0
5x
arcsin ( )
d) lim
sin ( ) ;
5x
x0
10x
E4. S` se calculeze:
a) lim ln ( ) 2
1x
;
x0
2
5x
6x
d) lim ;
x0
ln ( 18x )
E5. S` se calculeze:
x
3 1
a) lim ;
x0
6x
x1
2 8
d) lim ;
x2
x 2
Sintez`
S1. S` se calculeze:
sin x sin
9x
a) lim ;
x0
3x
d) lim (sin ) tg x
;
x0
2x
tg ( x 1)
tg ( 3x 9)
b) lim ; c) lim ;
x1
2
( x 1)
x3
2
x 9
( )
e) lim
sin ( ) ;
tg x 1
x1
2
x x
b) lim arcsin ( ) x
;
x0
2 3
x x
arctg x
4
e) lim ;
2
16
2
x
x
4
b) lim ln ( ) 16x ;
x0
8x
e) lim ln ( ) 1
x
;
x0
3
5x
x
2
2
3
2
( )
f) lim
( )sin ( ) ;
tg x 1
x1
2
x 1 x 1
arcsin( )
c) lim
arcsin ( ) ;
10x
x0
5x
f) lim
1
x
3
2
2
( )
arcsin( ) .
arctg 9x 1
3x 1
c) lim ln ( ) 15x ;
x0
2 3
x x
ln ( )
f) lim
ln ( ) .
2
1x
x0
2
13x 3 1
8 8
b) lim ; c) lim ;
x0
2 3
x x
x1
x 1
x x
x x
2 3
3 2
e) lim ; f) lim .
x0
x
x0
x
2 1
sin 2x 3sin 5x
x
b) lim ;
x0
2
x x
sin ( )
e) lim
sin ( ) ;
2
x 4x 3
x1
3x 4x 1
122
x
2
c) lim sin( ) tg x
;
x0
x
f) lim
x2
2
( )
( ) ;
tg x x 2
2
tg x 5x 6

g) lim arcsin
x1
arcsin
2 x
2 x x
1 arctg
; h) lim
x1
arcsin
2 x 6x 5
2 x 4x 5
S2. S` se calculeze:
a) lim
cos 1 2 x
cos 4x cos
2x
;
b) lim ;
x0
2
x
x0
sin 5x sin 3x
sin 3x 5sin
x
(arcsin )
c) lim ; d) lim
x0
sin 4x 2sin
3 x
sin ( ) .
tg x
x0
arctg x
S3. S` se calculeze:
ln ( 1sin 3x
)
a) lim ;
x0
sin 5x
ln ( sin )
c) lim
ln ( sin ) ;
1x
x
x0
1x 5x
ln ( 2 3 )
b) lim ;
x0
sin x
ln ( ln ( ))
d) lim
ln ( ln ( )) .
x 1 x 1
x0
2
1 x 1
2 2
a b
S4. S` se calculeze valoarea expresiei E
a b
2 2
x
.
tg ax sin
ax 1
, dac` lim
.
x0
tg bx sin
bx 8
S5. Pentru care valori ale lui n * sin x 2sin 2x...
nsin
nx
, lim 14
?
x0
2
x x
S6. S` se determine constantele reale pentru care au loc egalit`\ile:
2
x x
a) lim
1
ax
x x a
b;
x
x
3 b) lim
bx
a;
2
x
x
2
2 3
1
2
3
sin xa
c) lim x x ax b ; d) lim
2;
x
2 x0
( x 2)sin
3x
aln ( 4
x ) 2 8
e) lim lim ;
x3 x 3
x3
2
x 9
x
x2
2 16
2
f) lim lim x a
.
x2
x 4
4 2 x1
123

1.7 Asimptotele func\iilor reale
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 176 manual
Exersare
E1. S` se determine asimptotele orizontale ale func\iei f : D Z, [n cazurile:
a) f ( x )
x
1 1
x
; b) f ( x ) ; c) f ( x ) ;
x 3
4
x
3x
x
2x
d) f ( x ) ; e) f ( x ) ; f) f ( x )
2x 1
2
x 1
3x 5
;
2
x
3x 1
x x
g) f ( x ) ; h) f ( x ) ; i) f ( x )
2x 1
2
2
2x x 1
x x 1
.
E2. S` se determine asimptotele verticale ale func\iei f : D Z, [n cazurile:
1
1
x
a) f ( x ) ; b) f ( x ) ; c) f ( x )
x 1
2 2
( x 1)
x 1
;
2
x
d) f ( x )
x
1
x x 1
; e) f ( x ) ; f) f ( x ) ln ( x 1 ) ;
2
2
4
x 3x 2
1
2
g) f ( x ) ; h) f ( x )
x
x 1
2 1
.
E3. S` se determine asimptotele oblice ale func\iei f : D Z, [n cazurile:
2
2
x
2x
x
x
a) f ( x ) ; b) f ( x ) ; c) f ( x )
x 2
x 1
x
2
1
;
2
x x
d) f ( x )
x
2
2
x x
x x
; e) f ( x ) ; f) f ( x )
1
1
x
x
2
2
2 1
.
Sintez`
S1. S` se determine asimptotele func\iiilor f : D Z, [n cazurile:
2
x
x x
x
a) f ( x ) ; b) f ( x ) ; c) f ( x )
( x 1)( x 3
)
2
x 1
( x 1)( x 5
)
;
x
d) f ( x )
x
2
2
1
x
x
; e) f ( x ) ; f) f ( x )
1
2
x 1
x 1
;
2
x
x
g) f ( x ) ; h) f ( x )
2
2
x x
x 1
.
S2. S` se determine asimptotele func\iilor f : D Z, [n cazurile:
1
a) f ( x ) x2 x ; b) f ( x ) x ln
1
e
;
x
c) f ( x ) ( x ) ln
1
1 1
;
d) f ( x )
x
2
3
124
3 1
x
x 1
.

x 1
S3. S` se determine parametrii reali pentru func\ia f : D Z, f ( x )
are o
2
x ax a1 singur` asimptot` vertical`.
S4. S` se determine parametrii reali pentru care func\ia f : D Z, admite asimptota indicat`:
2
ax 2a bx 2
( x a)( x a1) a) f ( x )
, y a x 2;
b) f ( x ) , y x a 3.
x 1
x a 2
pag. 177 manual
Teste de evaluare
Testul 1
2
2
x 6x 9
x 3
1. Dac` 1 lim ,
x3
2
2 lim , atunci
2
1 2 este egal cu:
x 9
x
x 3
a) 1; b) 3; c) ; d)
2. S` se calculeze:
2
sin( x 5x 4)
a) lim ; b) lim
x1
sin( x 1)
x
*
x
3. Fie f : Z Z, f ( x )
atunci
ax
x
a) a b
3; b) a b
2
1. S` se calculeze limitele de func\ii:
2
x 3x
2x 1
.
3
. Dac` dreapta y bx 2 este asimptot` a func\iei f,
2 2
3; c) 2a b
3;
d) a b 3.
Testul 2
a) lim arcsin x x
; b) lim
x0
sin x arctg x
x
x x
2
x x 1
.
3x 1
3
2. Dac` l1
lim
x0
a x
1,
atunci:
a) a = 2; b) a = 4; c) a e 1
3 ; d) a = 1.
2
ax 1
3. Func\ia f : D Z, f ( x )
are o singur` asimptot` dac`:
2
x 2bx 1
a) a b
0; b) a b1;
c) a Z, b ( 1,
1 ) ; d) b Z, a
7.
125
2

2
Testul 3
x x
3x 4x 4
( 2 3
)
1. S` se calculeze: a) lim
; b) lim
x2
2
x 4
x0
x sin x
2 2
x a
2. S` se determine a Z pentru care lim
xa x a
4.
3. S` se determine valorile parametrului real a ]tiind c` dreapta y ax a1 este asimptot` a
func\iei f : Z Z, f ( x )
2 2
x a
2
4. S` se studieze dac` func\ia f : Z Z,
cu proprietatea c` 2 f ( x ) 3 f ( x ) x 1,
x Z,
are limit`
[n oricare punct x 0 Z.
Testul 4
3 3
x a , x a
1. Se consider` func\ia f : Z Z, f ( x )
. S` se determine a Z pentru care
x
1, x a
func\ia f are limit` [n oricare x 0 Z.
2
x ax 3, x 1
2. Se consider` func\ia f : Z Z, f ( x )
3x
b
, x 1
2
x 2
.
f ( x ) f ( 1)
S` se determine a, bZ
astfel [nc@t f s` aib` limit` [n x 1 ]i s` existe lim .
x1
x 1
2
3. Fie f : D Z, f ( x ) ax bx cx 1, a, b ( 0 , ), c Z.
S` se deter- mine parametrii
a, b, c astfel [nc@t dreapta y 2x 1
s` fie asimptot` oblic` spre , iar y 1 s` fie asimptot`
spre .
126
2
.

Capitolul 2. Limite de func\ii
2.1. Func\ii continue [ntr-un punct
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 183 manual
Exersare
E1. S` se studieze continuitatea func\iei f : D Z [n punctele specificate:
2
f ( x ) x x, x , , ; f ( x ) x 2 x , x 1,
0, 2 ;
a) 7 1 0 1 b)
2
x
x 1
0
c) f ( x ) , x 2, 1 ;
c) f x x x x 0
4
0
( ) , , .
E2. S` se studieze continuitatea func\iilor [n punctele specificate:
2
sin x
x , x 1
, x 0
a) f : Z Z, f ( x )
, x 0 1;
b) f : Z Z, f ( x )
x , x
2x
1, x 1
x 1, x 0
3x 1, x 0
arcsin
x
c) f : Z Z, f ( x )
, x ( 0, 1), x 0 0,
1,
x
ln x, x 1
3,
x 1
d) f : 1 ( 0,
) Z, f ( x ) 3x,
x ( 0, 1), x 0 1, 1.
x 3
,x 1
2x
1
E3. S` se studieze natura punctelor de discontinuitate pentru func\ia f : D Z:
2
x x 2, x 1
x 2
2, x 0
a) f ( x )
; b) f ( x )
;
x x
2x
1, x 1
3 2 , x 0
2
x
ln x, x 0
, x
c) f ( x ) 1
x 1
;
d) f ( x ) 2,
x 0 .
3x
1, x 1
1
, x 0
x
E4. S` se studieze continuitatea func\iei f : D Z, [n func\ie de parametrii reali:
x
a, x 1
x a
2 2 , x 0
a) f ( x ) ; b) f ( x )
;
2
x
x 1, x 1
ax
3, x 0
sin(
ax )
, x 0
2x
2ax
1, x 0
2
c) f ( x ) 2a
, x 0;
d) f ( x ) x
a, x ( 0, 1)
.
3x
b, x 1
5x 2a, x 0
127
0
0
0
0

Sintez`
S1. S` se studieze continuitatea func\iei f : D Z:
2
sin( ax x
)
, x 0
2 2
6x 4a 4ax , x 1
a) f ( x )
x
; b) f ( x )
;
2
3
x a, x
ln(
x e ), x 0
4 1
arcsin x
2a
, x 1, 0
x
ln(
1ax
)
x 2
a, x a
c) f ( x )
, x 0 ; d) f ( x )
.
x
x
3 a, x a
1sin
a, x 0
S2. S` se determine constantele reale pentru care func\ia f : D Z este continu`, [n cazurile:
ax ax1
9
43 12, x 1
bx 3
2x, x 2a1 a) f ( x )
; b) f ( x )
;
2
bx 2
a ax 15x , x 1
9x 4 , x a
ax bx
ax bx
2 3 , x 1
2 3 , x 1
2
c) f ( x ) 12,
x 1
; d) f ( x ) x
3x 7, x 1,
2
.
ax1 1bx
ax bx
3
2 , x 1
2 3 8, x 2
S3. S` se determine a, b Z pentru care func\ia f : D Z este continu` ]i are loc condi\ia data:
2 3x
x, x 1
f ( x ) f ( 1)
a) f ( x )
]i lim exist`;
2
ax bx 3, x 1
x1
x 1
2
ln( 1sin
x )
, x
b) f ( x )
0
f ( x ) f ( 0 )
x
]i exist` lim .
x0
x
ax
b, x 0
128

2.2. Opera\ii cu func\ii continue
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 187 manual
Exersare
E1. S` se studieze continuitatea func\iilor f , g : D Z ]i a func\iilor f g,
f g f g f
, , , [n
g
cazurile:
2 2
a) f ( x ) x 1, g ( x ) x 1;
b) f ( x ) x 1, g ( x ) 3 x x
;
x
c) f ( x ) 2 , g ( x ) x;
d) f ( x ) ln x; g ( x ) ln
x
1 ;
2
x 1, e) f ( x )
x
1, x 0
,
x 0
g ( x ) x 1
;
2x
1, f) f ( x )
x
1, x 0
,
x 0
1
x, g ( x ) x
1, x 0
x 0 .
E2. S` se studieze continuitatea func\iilor compuse f g ]i g f [n cazul func\iilor f , g :Z Z.
2
a) f ( x ) x 1, g ( x ) 2x 3
; b) f ( x ) x 1, g ( x ) x 1
;
2
c) f ( x ) x 1, g ( x ) x 1
; d) f ( x ) ln( x 1), g ( x ) 2x 1.
Sintez`
S1. Se dau func\iile f , g :Z Z,
f ( x )
2
x
a, x 0 2ax,
x 0
, g ( x )
.
2 2
x
1, x 0 x
x , x 0
S` se determine a Z pentru care func\ia f g este continu` pe Z.
S2. S` se studieze continuitatea func\iilor f :Z Z ]i f 2 [n cazurile:
1,
x 1
x,
x 1
a) f ( x ) ; b) f ( x )
1,
x 1
1,
x 1
;
x
a, x 1
2x
a, x 2
c) f ( x ) ; d) f ( x )
2x
1, x 1
x
a, x 2
.
S3. S` se studieze continuitatea func\iei f g [n cazurile:
a) f ( x ) 2x 4, g ( x ) sgn( x ), x Z;
b) f ( x ) 3x 6, g ( x ) x 1, x Z
;
1,
x 1
1x,
x 1
2
a , x 1
c) f ( x )
, g ( x ) 2x 1, Z
; d) f ( x ) , g ( x )
.
2,
x 1
0,
x 1
x,
x 1
S4. S` se studieze continuitatea func\iilor f g, g f :
x
e , x 0 ln
x, x 1
a) f ( x )
, g ( x )
x
1, x 0 x,
x 1
;
x , x 2
0 x
, x 0
b) f ( x )
, g ( x )
.
3
3
x , x 0 1x , x 0
129

2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 191 manual
Exersare
E1. Fie f : Z Z, f ( x ) 31. S` se arate c` f are proprietatea lui Darboux pe intervalele
( 2,
2)
]i 0, 3.
Exist` intervale pe care f nu are proprietatea lui Darboux?
I 1
I 2
E2. S` se stabileasc` dac` func\ia f : D Z are proprietatea lui Darboux pe intervalul dat:
x,
x 0
a) f ( x )
, I 1, 1 ;
sin
x, x 0
ln(
1x
)
, x ( 1,
0)
b) f ( x )
x
, I 1, 2 ;
x
cos x, x 0,
arcsin x, x ,
c) f ( x )
, I ,
x
x , x ( , )
1 0 1
3 0
2
2 .
E3. S` se stabileasc` semnul func\iei f : D Z:
a) f ( x ) x x
;
3
x
b) f ( x ) 2 1
;
x1
c) f ( x ) 3 9;
d) f ( x ) sin x, x 0, 2 .
Sintez`
S1. S` se arate c` func\iile f : D Z, au proprietatea lui Darboux pe oricare interval din
domeniul de defini\ie:
1
x
, x 1
2
2
1x
x 5x 6, x 1
a) f ( x ) 0,
25, x 1
; b) f ( x )
x 1sin( x 1)
, x 1
sin(
4x 4)
2
, x ( 0, 1
3( x 1)
2
8x 8
;
0,
x 2
c) f ( x ) 1
1
0, x m
x ; d) f ( x )
.
1
3 2
, x 2
sin(
x
), x Z
S m
S2. Folosind consecin\a 1 a propriet`\ii lui Darboux, s` se arate c` urm`toarele ecua\iile au cel
pu\in o solu\ie pe intervalul dat:
3 2
3
a) x 4x 5 0, I 0,
2;
b) x 5x 27 0, I 0,
3
;
x
c) x 2 2 0, I 0,
1
; d) x x I
1 0
2
0
sin , ,
;
e) x ln x 0, I ( 0, 1 ) .
130

S3. S` se stabileasc` semnul func\iei f : D Z:
x
x x
a) f ( x ) x ( 2 1
);
b) f ( x ) ( x 1)( 3 2
);
x
c) f ( x ) ( 3 1) log 2 ( x 2);
d) f ( x ) ;
x
2 1
2
x 11 3 4
e) f ( x ) ;
f) f ( x ) ( x x )( x 16
) .
x 3
S4. S` se rezolve inecua\iile:
x 2
3
a) ( 2 1)( x 1) 0;
b) ( x x )( 1 x 1) 0;
2
x x
c) x 1 x 1 x 1 0;
d) ( 2 3 ) 2 log ( x 1) 0.
S5. Se consider` func\ia f , f x x e x
: Z Z ( ) .
a) S` se arate c` func\ia f este strict monoton` pe .
b) Folosind proprietatea lui Darboux, s` se arate c` func\ia f este surjectiv`.
pag. 192 manual
Teste de evaluare
x
Testul 1
1. S` se studieze continuittea func\iei f :Z Z,
x x
f x x x
x
2
, Z S 1,
0, 1
2
( )
.
1
, x 1,
0, 1
2. S` se determine parametrul real pentru care func\ia f :Z Z,
este continu` pe Z.
ax x
2 , x 1
f ( x ) ax
4 1, x 1
3. S` se stabileasc` semnul func\iei f :( 0, ) Z,
x1 x1
f ( x ) 2 1 ( 3 9).
131
2

Testul 2
2
sin 2x
, x ( ,
0)
2
x
1. S` se studieze continuitatea func\iei f :Z Z,
f ( x ) ax
b, x 0,
1
sin(
x 1)
, x ( 1, )
2
x 1
parametrii reali a ]i b.
x
, x {
2
x
, x Z
S {
a) Fie I 2, 3.
Exist` valori ale lui x I pentru care f ( x ) 35 , ?
2. Fie f :Z Z, f ( x )
b) Func\ia f are proprietatea lui Darboux pe I?
x
3
3. S` se rezolve inecua\ia ( 2 16)( x x ) 0.
Testul 3
[n func\ie de
1. Se consider` func\ia f :Z Z,
f ( x ) x x..
S` se studieze continuitatea func\iei f [n x 0 m.
2. S` se studieze continuitatea func\iei f :Z Z,
f ( x )
2 x
a x , x a
pentru a Z.
2
2x
ax , x a
x a
3. S` se stabileasc` semnul func\iei f :Z Z, f ( x ) ( 2 2 )( x a)
[n func\ie de valorile
parametrului real a.
Testul 4
*
1. Se consider` func\ia f :q Z, dat` de rela\ia f ( n)
lim
S` se calculeze suma f ( 1) f ( 2)
... f ( n).
x
2
n 2 3
x x
x x
2 n2
2. S` se arate dac` f : a, b
Z este func\ie continu` ]i f ( x ) a, f ( b) b,
atunci exist`
x 0 a, b
cu proprietatea c` f ( x 0 ) x 0.
3. S` se studieze semnul func\iei f :Z Z, f ( x )
132
x
(
2 2)(log 2 x 1), x 0
.
3
x x , x 0
.

Capitolul 3. Func\ii derivabile
3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 202 manual
Exersare
E1. S` se stabileasc` dac` graficul func\iei f : D Z admite tangent` [n punctul specificat,
dac`:
2
2
2x 3x , x 0
a) f ( x ) 3x 4x , x 0 2;
b) f ( x )
, x 0
2 0 ;
5x 3x , x 0
c) f ( x ) x x 1, x 0 1
; d) f ( x ) x x , x 0.
E2. S` se arate c` func\ia f : D Z are derivat` [n punctul specificat ]i s` se calculeze aceasta:
2
a) f ( x ) 3x 11, x 0 1;
b) f ( x ) x 3x 11, x 0 2
;
1
c) f ( x ) , x 0 0;
d) f ( x ) x 1, x 0 0;
x 5
x
e) f ( x ) 2 3, x 0 1;
f) f ( x ) sin x sin 2x, x 0 0.
E3. S` se studieze derivabilitatea func\iei f : D Z [n punctul specificat ]i s` se scrie ecua\ia
tangentei [n acest punct:
2
3
a) f ( x ) 2x x , x 0 0,
1, 2;
b) f ( x ) x , x 0 0, 1, 1
;
x
c) f ( x ) sin x x, x 0 0,
;
d) f ( x ) , x , ,
2 0 1 0 1 .
x 1
E4. S` se determine derivatele laterale ale func\iei f : D Z [n punctele date:
a) f ( x ) x 1, x 0 1
; b) f ( x ) x x , x 0 0 ;
x
1, x 1
sin(
x ), x 1
c) f ( x ) , x 1
2 0 d) f ( x )
, x 0 1.
x
1, x 1
ln
x, x 1
Sintez`
S1. S` se studieze dac` urm`toarele func\ii f : D Z admit tangent` la grafic [n punctele
specificate:
x
x 1, x 0
a) f ( x ) , x 0 1, 0, 1;
cos
x, x 0
x1
e , x 1
b) f ( x )
x1
1e
, x 0 1, 0 ;
, x 1
2
x1
e 1, x 0
c) f ( x )
, x 0 1, 0, 2 .
ln(
12x ), x 0
133
2
0

S2. S` se studieze continuitatea ]i derivabilitatea func\iei f : D Z [n punctele specificate:
2
x ax, x 0
a) f ( x )
, x 0 0;
2x
1, x 0
4x
a, x 2
b) f ( x )
, x 2
2 0 ;
x
ax b, x 2
c) f ( x ) min( x, 2x 1), x 1
0 ;
2
x 1 a, x 1
d) f ( x )
, x 0 1.
arccos x b, x 0,
1
S3. Fie f : D Z ]i x 0 D,
punct de continuitate al func\iei f. Punctul M ( x 0, f ( x 0 )) se nume]te
punct unghiular al graficului func\iei f dac` func\ia f are derivate laterale diferite [n x 0 ]i cel
pu\in una dintre ele este finit`.
S` se studieze dac` punctul de abscis` x 0 este punct unghiular [n cazurile:
2x
1, x 1
2 x
1, x 0
a) f ( x )
, x 1
2 0 ; b) f ( x )
, x
x
0 0;
x
x 1, x 1
e , x 0
2
x , x 0
c) f ( x )
, x 0 0.
sin
x, x 0
S4. Fie f : D Z ]i x 0 punct de continuitate al func\iei f. Punctul M ( x 0, f ( x 0 )) se nume]te
punct de [ntoarcere al graficului func\iei f dac` func\ia f are derivate laterale [n x 0 infinite ]i de
semne contrare.
S` se determine dac` punctul de abscis` x 0 este punct de [ntoarcere [n cazurile:
1x , x 1
x 3, x 3
a) f ( x )
, x 0 1;
b) f ( x )
, x 0 3.
x 1, x 1
2 3x , x 3
S5. S` se determine parametrii reali pentru care graficele func\iilor f , g :Z Z admit tangent`
comun` [n punctul de abscis` x 0 Z.
2
a) f ( x ) 2x a, g ( x ) x bx b, x 1;
2 2
b) f ( x ) x ax b, g ( x ) 2x x 1, x 1.
0
3 2 2
S6. Se dau func\iile f , g : D Z, f ( x ) x ax b, g ( x ) 3x cx 1.
S` se determine:
a) c Z pentru care tangenta la graficul func\iei g [n punctul de abscis` x 0 1este
paralel`
cu dreapta de ecua\ie y 7x 6.
b) a, b Z, ]tiind c` tangenta [n punctul x 0 1,
la graficul func\iei f este paralel` cu dreapta
y 5x 1,
iar [n punctul de abscis` x 0 1,
tangenta are ecua\ia y x 5.
2 2
S7. Se dau func\iile f , g : Z Z, f ( x ) 2x ax b, g ( x ) x bx a.
S` se determine
a, b Z pentru care graficele celor dou` func\ii admit tangent` comun`.
0
134

3.2. Derivatele unor func\ii elementare
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 209 manual
TEM~
1. Aplic@nd formulele ob\inute, s` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:
a) f ( x ) 2007, x Z;
b) f ( x ) 5 2, x Z;
c) f ( x ) sin 5, x Z;
d) f ( x ) x , x Z;
2007
e) f ( x ) x , x Z;
f) f ( x ) log 3 x, x ( 0 , )
;
x
g) f ( x ) log 0, 3 x, x ( 0 , )
; h) f ( x ) 2 , x ( 0 , )
;
2 x 2 x 2
i) f ( x ) cos sin , x Z;
j) f ( x ) log 3(
5x ) log 3(
5x ), x 0;
2 2
7
k) f ( x ) x 3, x 0; l) f ( x ) e , x Z.
x
2. Pentru func\ia f : Z Z, f ( x ) 4 , s` se calculeze f '( 0), f ( 1) ',
f '( 1)
.
3. Pentru func\ia f : Z Z, f ( x ) x
3
, s` se calculeze
f ( 1), f ( 1) , f ( 27), f ( 27)
,
1 1
f ,
f
.
8 8
135
3
2x

3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 213 manual
Exersare
E1. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:
3
4
a) f ( x ) x 3x 1
;
b) f ( x ) 2x x
;
c) f ( x ) x 2 x ;
d) f ( x ) x sin x cos
x ;
e) f ( x ) x ln
x ;
2 3
f) f ( x ) 2 3 x
;
3
x x
g) f ( x ) log2 x log
3 x ; h) f ( x ) 4sin x 5 cos x 3 ;
2
i) f ( x ) x log 3 x sin
x ; j) f ( x ) x 2 tg
x ;
2 2 3 3
k) f ( x ) ( x 1) ( x 1)
; l) f ( x ) 2 x 2 log
x ;
3
4
m) f ( x ) log x log
x ; n) f ( x ) 2tg x ctg
x ;
3
3
2
x1 x1
p) f ( x ) x 2 2x
;
q) f ( x ) 2 3
.
E2. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:
a) f ( x ) x log 2 x ;
b) f ( x ) x x ;
2
c) f ( x ) x sin x ;
d) f ( x ) x cos x ;
x x
2
e) f ( x ) ( 2 1)( 3 1
);
f) f ( x ) ( 2ln x 1)
log 2 x ;
g) f ( x ) ( x x )( x x );
3
2 3
h) f ( x ) ( 3x
) ;
3 2
i) f ( x ) ( x x ) ;
j) f ( x ) x ln x ln x ;
2
k) f ( x ) x sin x ;
l) f x x e x
( ) 1 .
2
E3. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:
a) f ( x ) ;
x
1 b) f ( x ) ;
x
1
x
c) f ( x ) ;
2 x
1
x
d) f ( x ) ;
x
2
1
x x 1
x
e) f ( x ) ; f) f ( x ) ;
1
2
2
x x 1
x x 1
sin x
cos x
g) f ( x ) ; h) f ( x )
1cos
x
sin x
; tgx
i) f ( x ) ;
1
sin x
1
x ln x
j) f ( x )
x ln x
;
x
1 x x
e
k) f ( x ) ; l) f ( x ) ;
1 x
1
x
e
1
2
tgx
x
m) f ( x ) ; n) f ( x ) .
1tg
x
x
1 tg
1ctg
E4. Pentru func\ia f : D Z s` se rezolve ecua\ia f '( x ) 0 preciz@nd mul\imile D ]i D f [n
fiecare caz:
a) f ( x ) x x ;
3 3 2
12 b) f ( x ) 2x 15x 24x 5;
2
c)
f x x x e x
( ) 6 15 ; d) f ( x ) x ln x ;
2
1
x 3x 3
e) f ( x ) ;
f) f ( x ) ;
2
2
x 6x 8
x 5x 7
sin x 2 x
g) f ( x ) ;
h) f ( x ) .
cos x
x
2
3
136
2
0, 5

Sintez`
S1. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D Z:
x sin x cos x
a) f ( x )
x cos x sin x
;
n
x x x x
b) f ( x ) e
... n
! ! n!
,
*
2
1 q .
1 2
2
3x 2
S2. Fie f : Z S1 Z, f ( x )
x 1
.
a) S` se calculeze derivata func\iei f.
b) S` se determine punctele M ( x 0, f ( x 0 )) de pe graficul func\iei f [n care tangenta ese
paralel` cu dreapta y 2x 1.
c) S` se determine punctele M ( x 0, f ( x 0 )) de pe graficul func\iei f [n care tangenta este
perpendicular` pe dreatpa y x.
x
x a e
S3. Se consider` func\iile f , g : Z Z, f ( x ) , g ( x )
x
x
. S` se deter- mine a Z
2 2
1
1
x
2g
( x )
pentru care are loc egalitatea e f '( x ) g '( x ) , x Z.
2
x 1
x m
S4. Fie f : Z Z, f ( x ) . S` se determine m Z pentru care f '( x ) 0, Z
.
2
x x 1
x 2
S5. Se consider` f : Z Z, f ( x ) e ( x mx m)
:
a) S` se determine m Z cu proprietatea c` f ( x ) 0 dac` ]i numai dac` x 2, 2.
e
b) Pentru m 1 se noteaz` g ( x ) . S` se calculeze:
f '( x )
Sn g ( 0) g ( 1) ... g ( n), n q.
x
137

3.3.5 Derivarea func\iilor inverse
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 220 manual
Exersare
E1. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D :
2 3
2
a) f ( x ) ( x 1) , x ;
b) f ( x ) ln( x 1), x ;
x
c) f x
x x
( ) ln , ( , )
1
x
1
1 ; d) f x
1
x x
( ) , ( , )
0 ;
1
x
2
e) f ( x ) x e , x ;
f) f ( x ) sin ( x 1), x ;
2
g) f ( x ) cos( x x 1), x ;
h) f ( x ) sin x , x ( 0, ) ;
2
i) f ( x ) x x 1, x ;
j) f ( x ) x e , x ( 0 , )
.
E2. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D :
2
x
a) f ( x ) ln( 1sin
x ), x ;
b) f ( x ) ln( 1e ), x ;
2
c) f ( x ) 1sin
x , x ;
d) f ( x ) sin( x x ), x ( 0 , )
;
x
e) f ( x ) arcsin , x ( , )
0 2 ; f) f ( x ) arccos
1
, x ( 3 , )
.
2
x
1
E3. S` se determine domeniul de derivabilitate pentru func\iile f : D :
a) f ( x ) x 1, x 1 , ;
b) f ( x ) e
x
, x 0 , ;
2
3
c) f ( x ) x 1 , x ;
d) f ( x ) ln( 1e ), x ;
e) f ( x ) arcsin x , x 1, 1 ;
f) f ( x ) arccos x , x 1, 1 .
2
E4. Fie func\iile f : 0, 3, , f ( x ) x 3]i
g: ,
g ( x ) x
3 .
a) S` se arate c` f ]i g sunt bijective. b) S` se calculeze ( f ) ( )
1 4 ]i ( g ) ( )
1 8 .
Sintez`
S1. S` se calculeze derivatele func\iei f : D , specific@nd domeniul de derivabilitate:
a) f ( x )
2
x 1 , x ;
b) f ( x ) 1ln x , x 0
, e;
2x
1x
c) f ( x ) arcsin , x ;
d) f ( x ) arcsin , x ;
2
2
1x
1x
x
e) f ( x ) x , x 0; f) f ( x ) x , x 0.
S2. S` se rezolve ecua\ia f ( x ) 0 pentru fiecare func\ie f : D , preciz@nd D ]i D f :
2 3 2
a) f ( x ) ( 2x 6x
) ; b) f ( x ) cos x cos 2x, x 0,
;
x
2
x
ln( x1)
2
2
c) f ( x ) x 6x 5;
d) f ( x ) ln( 3x 2x
) ; e) f ( x )
3
3 2
x
f) f ( x ) arctg ( 4x 3x 1)
; g) f ( x ) 2 1
; h) 2 f ( x )
x
S3. Se consider` f : ,
f ( x ) x 2 .
e x
2
3 2
x 3x
2
;
x 4
3x 8
.
a) S` se arate c` func\ia f este inversabil`. b) S` se calculeze ( f ) ( )
3 .
S4. Se consider` func\ia f :( 1, ) , f ( x ) x ln( x 1)
.
a) S` se arate c` func\ia f este inversabil`. b) S` se calculeze ( f ) ( )
1 1 2 ]i ( f ) ( e2
) .
138
1

3.4. Derivata de ordinul doi
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 224 manual
Exersare
E1. S` se stuieze dac` func\ia f : D este de dou` ori derivabil` [n punctele specificate:
3
f ( x ) x x, x ,
x
f ( x ) x e , x 0, 1
a) 0 1 0 ;
b) 0
c) f ( x ) sin x cos x, x 0 0,
;
d) f ( x ) x x, x 0
,
1 4 ;
x
x
e) f ( x ) , x
,
2 0 0 1 ; f) f x
x 1
x x
sin
( ) , ,
sin 0 0 ;
1
x
e
2
g) f ( x ) , x ,
x 0 0 1 ; h) f ( x ) x ln x, x 0 1
, e.
1e
E2. S` se arate c` func\ia f : este derivabil` de dou` ori [n punctul specificat:
3 x
, x T0
sin
x, x T0
a) f ( x )
, x
4
0 0;
b) f ( x )
, x 0
3
0
5x , x 0
x
x, x 0
3
3
x ln x, x 0
c) f ( x ) x x , x 0 0; d) f ( x )
, x
3
0 0
x , x T0
E3. Folosind regulile de calcul cu derivate, s` se calculeze derivata de ordinul doi pentru
f : D :
2
a) f ( x ) 2x 5x;
b) f ( x ) x x
3
x
4 ; c) f ( x ) e x;
d) f ( x ) x ln x;
e) f ( x ) x ln x;
f) f x x e x
( ) 2
;
g) f ( x ) x ln x
2
; h) f ( x ) sin x
2
j) f ( x ) x sin x cos x;
k) f ( x ) x x , x
x
m) f ( x )
x
1
x
; n) f ( x )
2
2
x 1
.
Sintez`
2
; i) f ( x ) cos x;
0; l) f ( x ) x tg x;
S1. S` se arate c`:
a) dac` f : f x
sin x,
atunci:
f ( x ) sin x , 2
f ( x ) sin( x
) .
b) dac` f : f x
cos x,
atunci:
f ( x ) cos x , 2
f ( x ) cos ( x
) .
2x S2. S` se verifice dac` func\ia f : ,
f ( x ) e ( 34 x ) verific` egalitatea:
2x
f ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) e ( 4x 11), x
x
S3. Fie f : ,
f ( x ) e sin x.
S` se determine a cu proprietatea c`:
f ( x ) af ( x ) af ( x ) 0, x
139
3

2x
S4. S` se determine a, b ]tiind c` func\ia f : ,
f ( x ) e (sin x cos
x ) verific`
egalitatea:
f ( x ) ( a b) f ( x ) ( ab2) f ( x ) 0, x .
2
S5. S` se determine func\ia polinomial` de gradul doi f : ,
f ( x ) ax bx c
care verific`
rela\iile: f ( 2) 9, f ( 1) 2 ]i f ( 0) 8.
3 2
S6. Exist` o func\ie polinomial` de gradul trei f : ,
f ( x ) ax bx cx 1,
care s` verifice
condi\iile f ( 1) 6, f ( 1) 3
]i f ( 2) 4?
S7. S` se determine a, b, c dac` f : D este de dou` ori derivabil` pe D.
3 x
ax,
a) f ( x )
3 2
x bx c, x T 0
3 x
3x a1, ; b) f ( x )
2
x 0
ax bx c, x T 2
;
x 2
asin
x b
cos x, c) f ( x )
2 2
c
sin x x ,
3 2
2x cx 8x b,
x < 0
x T
; d) f ( x )
3, x 0.
x 2
x
ax b, x 0
140

3.5 Regulile lui l'Hôspital
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 229 manual
Exersare
E1. S` se calculeze
3
2
3
2006
x 3x 2
x 4
x 1
x 1
a) lim ; b) lim ; c) lim
; d) lim
x1
2
x 1
x2
3
x 8
x1
2
x 4x 3
x1
2007
x 1
;
3
x 27
x sin
x x ln( x 1
) sin x 3sin
8x
e) lim ; f) lim ; g) lim
; h) lim
x3
2
x 4x 3
x0
2
x sin
x x0
x sin x
x0
sin 7x sin
2 x
.
E2. S` se calculeze:
a) lim sin
2
x
; b) lim
x0
2 2
x sin
x
cos 1 3x
x sin
x
; c) lim ;
x0
1cos
x
x0
3
x
x
2
e cos
x
x sin
x
d) lim ; e) lim
x0
2
x x
x0
x
2e 22x x
2
nx ( n1) x x
; f) lim
.
x1
2
( x 1)
x1
n2 n1
E3. S` se calculeze:
3
2
2x 4x 9
3x
x ln
x ln(sin 2 x )
a) lim
; b) lim
; c) lim ;
x
3
x 3x 16
x
2
2x
x ln
x x
ln(sin x )
x
0 0
ln( 2x
)
ln( 1sin 2x
) ln( x x 1
)
d) lim ; e) lim ; f) lim .
x0
ctg(
3x
)
x0
ln( 1sin
x ) x
x
x0
E4. S` se calculeze:
x
a) lim x ln ; b) lim( x ) x
x
x 1 x
x
ctg ; c) lim x ln
x0
2
x 1
;
x0
d) lim arcsin x ln x;
e) lim e x ln x;
f) lim ( x 2
) e x2
.
x
x
0 0
pag. 230 manual
x0
x0
1
x2
x2
Teste de evaluare
Testul 1
3
1. Fie f : ,
f ( x ) x ax 1.
S` se determine a pentru care tangenta la graficul
func\iei f [n punctul x 0 1trece
prin punctul M ( 2, 1 ) .
x
,
2. S` se determine derivatele laterale ale func\iei f : ,
f ( x ) x 1
sin x, x 0 0.
3. S` se calculeze derivatele de ordinul doi pentru func\ia f, [n cazurile:
x U 0
[n punctul
x 0
a) f :( 0, ) , f ( x ) x ln( x 1)
; b) f : ,
2
f ( x ) arctg x ln( x 1
) .
141
2
1

Testul 2
x
sin x, x 0
1. S` se determine derivabilitatea func\iei f : ,
f ( x )
pe mul\imea .
2 2
ax
a 1,
x T 0
2. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D :
2
x x 2
2
a) f ( x ) ; b) f ( x ) x x x 2.
2
x x 2
3. S` se calculeze:
a) lim
x0
2
x x 11 2x ln( x 1)
; b) lim
x 11 x
3x ln( 2x 1
)
.
Testul 3
1cos xcos 2xcos 3 x
e cos
x
1. S` se calculeze: a) lim ; b) lim .
x0
2
x
x0
2
sin x
2. S` se calculeze derivatele func\iilor f : D :
2x
a) f ( x ) arcsin
1x
2
; b) f ( x ) ln
1x
1x
3. S` se determine valorile parametrilor a, b, c pentru c are func\ia f : D este de dou` ori
derivabil` pe D.
x
a x 1,
xT
0
3
x ln x a, x 0
a) f ( x )
; b) f ( x )
bsin
x c, x 0
b
cos x 1,
xT
0
.
142
2
2 .
x
2

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor
4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 239 manual
Exersare
E1. S` se studieze dac` se poate aplica teorema lui Lagrange func\iilor:
2
a) f : 3, 2 , f ( x ) 2x 3x
; b) f : 1, e , f ( x ) ln x;
x 1
c) f : 1, 2
, f ( x )
x 1
; c) f : 0, 1 , f ( x ) x 2x 1
.
E2. S` se stabileasc` intervalele de monotonie ale func\iei f : D :
a) f ( x ) x x
2
3 4 2
4 ; b) f ( x ) 3x
x
; c) f ( x ) x 8
x ;
d) f x x e x
( ) ; e) f ( x ) x ln x;
f) f ( x ) x ln x;
2
x
g) f ( x )
x
1
x
; h) f ( x )
1
x
1
2
1
.
E3. S` se determine punctele de extrem pentru func\ia f : D :
a) f ( x ) x x
3
6 ; b) f x x e x
2
x 4x 1
( ) ( 1 ) ; c) f ( x ) ;
x 1
x1
x
d) f ( x ) ; e) f ( x ) x 2arctg x;
f) f ( x ) ;
2
x x 1
ln x
g) f x x x e x
( ) ( )
2
1 ; h) f ( x ) x 1.
Sintez`
S1. S` se determine constantele reale pentru care se poate aplica teorema lui Lagrange func\iei f:
a) f : 1, 2
,
2 x
ax,
xT
1
f ( x )
;
2
5x bx , x 1
b) f : 0, 2
,
a sin x, x
f ( x )
acos x bx, x
T
.
S2. S` se studieze monotonia func\iei f : D ]i s` se determine punctele de extrem, [n
cazurile:
2 2
x 4x 1
x
2
a) f ( x ) ; b) f ( x ) ; c) f ( x ) x ln x;
x 1
4
x 4
d) f ( x ) x x 1; e) f ( x ) x 2 2
x 1;
f) f ( x ) ln x x
5
arctg ;
2
g) f ( x ) x x
3 3
3 ; h) f ( x ) ln1
2
x 1;
i) f ( x ) arctgx
2
1x
;
j) f ( x ) arcsin
2x
143
1x
2 .

S3. S` se determine valoarea parametrului m pentru care func\ia f : D este monoton`
pe D.
a) f ( x ) x mx
3
; b) f x x m e x
( ) ( )
2 2 ;
3 2
c) f ( x ) 2x 5mx 6x 1;
d) f ( x ) x x m
ln x.
S4. S` se determine m pentru care func\ia f : ,
f x x mx e x
2 2
( ) ( 1)
are dou` puncte de extrem.
m x
S5. Fie f : 1 2 ,
f ( x ) . S` se determine m pentru care func\ia f nu
2
x 3x 2
admite puncte de extrem.
2
x 2bx 5
S6. Fie f : a ,
f ( x ) . S` se determine a, b pentru care func\ia f
x a
admite puncte de extrem punctele x 1 ]i x 3
3 2
S7. Se d` func\ia f : ,
f ( x ) mx nx p( x 1
) . S` se determine m, n, p pentru
care punctul A( 1, 1 ) este punct de extrem al func\iei, iar tangenta la graficul func\iei f [n punctul
B( 0 , p)
formeaz` cu axa Ox un unghi cu m`sura de 45 .
x ax b
S8. Se consider` func\ia f : b ,
f ( x ) . S` se studieze monotonia func\iei
x b
f ]i s` se determine punctele de extrem, ]tiind c` dreptele x 1 ]i y x 4 sunt asimptote ale
func\iei f.
S9. S` se determine dreptunghiul de perimetru maxim [nscris [ntr-un cerc dat.
S10. Dintre toate dreptunghiurile care au aceea]i arie, s` se determine cel de perimetru minim.
S11. Un triunghi isoscel cu perimetrul 3P se rote]te [n jurul bazei. S` se determine triunghiul
care genereaz` un corp de volum maxim.
S12. Se consider` func\ia f :( 0, ) , f ( x ) ln x ]i intervalele:
*
I n, n1, n
n
a) S` se arate c` func\iei f i se poate aplica teorema lui Lagrange pe intervalul I n .
b) S` se aplice teorema lui Lagrange func\iei f pe intervalul I n . Dac` cn I n are
proprietatea c` f ( cn ) f ( n1 ) f ( n)
, s` se determine cn .
c) S` se arate c` pentru orice n * are loc inegalitatea
1
1
ln( n1) ln n
.
n1
n
d) S` se demonstreze c` pentru oricare n * are loc:
1 1 1 1
... ln n.
1 2 3 n
144
2
2

4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 246 manual
Exersare
E1. S` se determine intervalele de convexitate ]i de concavitate pentru func\iile f : D :
a) f ( x ) x x ;
2
2
3 b) f ( x ) 3x 6x 11;
c) f ( x ) x x ;
3 2 3
12 d) f ( x ) 3x 2x
;
x
x
e) f ( x ) ;
f) f ( x ) ;
x 3 2
x 4
x
g) f ( x ) ;
h) f x x e
3
x 1
x 2
( ) ;
3
x
i) f ( x ) x ln x ;
j) f ( x ) arctg x .
3
E2. S` se determine punctele de inflexiune pentru func\iile f : D :
a) f ( x ) x ;
3 4 3
1 b) f ( x ) x 4x
;
c) f x x e x
( ) ( ) ;
2
1
1 d) f ( x ) ;
2
x 1
2
e) f ( x ) ln ( x );
2
1 f) f x xe x
( ) ;
g) f ( x ) arctg ;
x
1 h) f ( x ) sin
x.
E3. S` se determine intervalele de convexitate, de concavitate ]i punctele de inflexiune pentru
f : D :
2 x
3x 2,
xT
1
3 x
x 1,
xT0
a) f ( x )
; b) f ( x )
;
2
2
2x 5x 3, x 1
x ln ( x 1), x 0
x xe
, xT0
c) f ( x )
.
2
x x , x 0
Sintez`
S1. S` se determine intervalele de monotonie, convexitate ]i concavitate pentru func\iile
f : D :
4 2
x x
a) f ( x ) x 4x 1
; b) f ( x ) ;
x
2
4
c) f ( x ) x arcsin
x ;
2
d) f ( x ) x x ;
2 1 e) f x x x e x
2
( ) ( 2
) ; f) f ( x ) x ln x .
3
S2. Se consider` func\ia f : ,
f x x ax b e x
2
( ) ( ) .
a) S` se determine a, b ]tiind c` x 1 este punct de extrem, iar x 2, este punct de
inflexiune pentru func\ia f.
b) Pentru valorile lui a, b g`site, s` se determine intervalele de monotonie, convexitate,
concavitate ]i punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei f.
145
2

S3. S` se determine punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei f : ,
5 3
f ( x ) x ax 85x 2
, ]tiind c` f ( 3) 0.
S4. Se consider` func\ia f : ,
f ( x ) ax b arctg x .
a) S` se determine a, b ]tiind c` f ( 1) 2
]i f ( 1) 1.
b) Pentru valorile lui a ]i b g`site, determina\i intervalele de monotonie, convexitate ]i
concavitate ]i punctele de inflexiune ale func\iei f.
x
S5. Fie f : ,
f ( x ) , a ( 0,
).
2 2
x a
a) S` se determine a ]tiind c` ecua\ia tangentei la graficul func\iei f [n punctul de inflexiune
cu abscisa pozitiv` este x 24y 9 0.
b) Pentru a 3, s` se studieze monotonia func\iei, intervalele de convexitate-concavitate ]i s`
se afle punctele de extrem ]i de inflexiune ale func\iei.
146

4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor
Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 255 manual
Exersare
E1. S` se reprezinte grafic func\iile f : D :
3 2
3 3 2
a) f ( x ) x 3
x ; b) f ( x ) 8 x ; c) f ( x ) 2x 3x
;
5 4
4 2
3 2
d) f ( x ) x 5
x ; e) f ( x ) x 5x 4
; f) f ( x ) 2x 3x 5;
4 4 2
2
g) f ( x ) 16 x ; h) f ( x ) x 2x 1
; i) f ( x ) ( x 1) ( x 1);
3 3
j) f ( x ) x ( 1 x
); k) f ( x ) ( 1x
) x;
2 2
l) f ( x ) ( x 1) ( x 2)
.
E2. S` se reprezinte grafic func\iile f : D :
x
a) f ( x ) ;
x
1
x
b) f ( x ) ;
1
x
1
x
c) f ( x ) ;
2
2
x 1
2
3
x
x
x
d) f ( x ) ; e) f ( x ) ; f) f ( x ) ;
2
2
2
x 1
x 1
x 1
x
g) f ( x ) ;
x
2
1
x
h) f ( x )
2
9
( x ) ( x ) .
3
1 2
E3. S` se reprezinte graficul func\iei f : D :
a) f ( x ) x x ; b) f ( x ) x 1
; c) f ( x ) x 1;
d) f x xe x
( ) ; e) f x x e x
( ) ;
2
2
2
f) f ( x ) x ln x ;
g) f ( x ) ln( x );
2
1 h) f ( x ) ln( x );
2 1 i) f ( x ) x ln x ;
2
ln x
j) f ( x ) 2arctg x ; k) f ( x ) x ln x ; l) f ( x ) .
x
Sintez`
S1. S` se reprezinte grafic func\ia f : D :
a) f ( x ) x x ;
b) f ( x ) x x 1 ;
2 x
, xT
1
x
xe , xT0
c) f ( x )
; d) f ( x )
;
3
2x 1, x 1
x
ln x 1, x 0
3
x , xT
0
2
e) f ( x ) ; f) f ( x ) x ln ( x ).
1 x 1, x 0
x ax
S2. Se consider` f : 1 ,
f ( x ) , a .
x
1
S` se reprezinte graficul func\iei f ]tiind c` are asimptota y x 1.
S3. S` se reprezint` graficul func\iei
[n x 3.
2
2
x ax
f : 1 ,
f ( x ) ,
x
]tiind c` are un extrem
1
147

2
x 4x 3
S4. Se consider` func\ia f : D , f ( x ) .
ax 3
a) S` se determine a pentru care func\ia are o asimptot` paralel` cu a doua bisectoare.
b) S` se determine a pentru care func\ia are un punct de extrem situat pe axa Oy.
c) Pentru a4, s` se reprezinte grafic func\ia f.
3
x
S5. Fie f : ,
f ( x ) x sin
x . S` se reprezinte grafic func\ia f .
3
x a
S6. Fie f : ,
f ( x ) .
x b
S` se reprezinte grafic func\ia f ]tiind c` tangenta [n origine
2 2
este prima bisectoare.
2
ax 2
S7. Se consider` f : D , f ( x ) .
x 1
a) Pentru care a , graficul func\iei este tangent dreptei y2x 10?
b) S` se traseze graficul func\iei f pentru a1.
pag. 256 manual
Teste de evaluare
Testul 1
x a
1. S` se studieze monotonia func\iei f : ,
f ( x ) ,
2
x x 1
]tiind c` f ( 1) 0.
2
2. S` consider` func\ia f : ,
f ( x ) ln ( x 4x m).
a) S` se determine m pentru care func\ia este definit` pe .
b) Pentru ce valori ale lui m , punctul A ( 2, 0 ) este punct de extrem al graficului
func\iei f.
c) Pentru m 9, s` se studieze monotonia func\iei f ]i s` se afle punctele de extrem ale
acesteia.
3. Studia\i convexitatea ]i concavitatea func\iei
2
f : ,
f ( x ) arctg x ln ( x 1).
Testul 2
1. Fie f : ,
f ( x ) x .
5
a) S` se arate c` f este derivabil` pe .
b) S` se arate c` f ( 0) 0 . Este x 0 un punct de extrem al func\iei f ?
2x
2. Fie f : ,
f ( x ) arcsin .
2
1x
a) S` se studieze derivabilitatea func\iei f.
b) S` se precizeze extremele func\iei f.
c) S` se arate c` semitangentele laterale [n punctul x 1 sunt perpendiculare.
2
x
3. Fie f ; 1 ,
f ( x ) . S` se determine punctele [n care tangenta la graficul
x 1
func\iei este paralel` cu prima bisectoare.
148

1. Se consider` func\ia f : ,
f ( x )
Testul 3
2
x a,
xT2
.
ax
b, x 2
a) S` se determine a, b pentru care f este continu` pe .
b) Exist` valori ale lui a pentru care f este derivabil` pe ?
c) Dac` f ( 1) 5]i
f ( 3) 4 b,
s` se traseze graficul func\iei g: ,
g ( x ) f ( x ).
2
1
2x
2. Fie f : 0, , f ( x ) ln ( 1x
) .
x 2
a) S` se calculeze f ( x ), x 0 , .
b) S` se studieze monotonia func\iei f.
2
c) S` se arate c` ln ( 1
) , 0, .
2 x
x
U x
x
x 2
3. Se dau func\iile f : D1
, g: D2
, f ( x ) x 2 , g ( x ) e ( x x 6).
a) S` se afle D1 ]i D2 .
b) S` se studieze derivabilitatea func\iilor f ]i g ]i s` se calculeze f ]i g .
( )
c) S` se calculeze lim
( ) .
g x
x
f x
x
2 2
Testul 4
3
x
1. Se consider` func\ia f : 0, , f ( x ) arctg x x .
3
a) S` se calculeze f ]i f .
b) S` se studieze monotonia func\iei f.
3
x
c) S` se arate c` arctgxUx , x 0, .
3
2 x
2. S` se reprezinte grafic func\ia f : ,
f ( x ) x 1 .
2
x
3. Fie f : ,
f ( x )
x
1
2 ]i M a f a ( , ( )) G f , a 0, 2, 3.
Not`m cu N punctul
[n care tangenta la grafic [n punctul M intersecteaz` din nou graficul func\iei. S` se determine
valorile parametrului a pentru care coeficientul unghiular al tangentei la grafic [n punctul N este
egal cu 3.
149

pag. 258 manual
Probleme recapitulative
1. S` se determine limitele de func\ii:
20 10
x 2x 1
a) lim ;
x1
2
( x 1)
sin x sin 2x...
sin
nx
c) lim ;
x0
tg x tg2x ... tg
nx
b) lim
x1
x 1 x 2
2
;
3
arcsin( 8x
)
d) lim ;
x0
sin ( 2x
)
x x x
1cos x cos2
x
2 3 4 3
e) lim ;
f) lim .
x0
2
x
x0
x x
5 6 2
2. Fie L lim
x
2 x x ln
x
3x 1
. Atunci:
a) L 3; b) L 0; c) L ln 2 ; d) L 1
; e) L 1.
3
3. S` se determine a b
2
, pentru care x x ax b
lim 1 0.
x
Facultatea de Chimie Constan\a, 1997
acos x b cos2x
c 4. S` se determine a, b, c pentru care lim 1.
x0
4
x
5. S` se studieze continuitatea func\iilor f : D :
2
1
5x 3,
xT
1
x
sin , x < 0
a) f ( x )
; b) f ( x )
x
;
a
x , x 1
a ln ( x1), xU
0
2
x ax b,
xT1
c) f ( x ) 2x
a, x ( 1, 2)
.
3
x
ax 2,
xU2
6. S` se studieze continuitatea func\iei f : ,
x
a e , xT0
f ( x )
x 4 b .
, x 0
x
Universitatea Pite]ti, 1995
7. S` se determine parametrii reali a, b, c pentru care func\ia f : ,
x e
, xT0
f ( x ) f ( o)
f ( x )
este continu` ]i lim
.
2
ax bx c , x 0
x0
x
Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 2004
8. S` se determine a, b, c , pentru care func\ia f : ,
2x
ae ,
xT
0
f ( x ) este derivabil` pe .
2
sin x b cos 4x , x 0
150

9. Se consider` func\ia 1 1
x x
f ; , ,
f ( x ) max , .
x
1 x 1
a) S` se expliciteze f ( x ).
b) S` se studieze continuitatea ]i derivabilitatea func\iei f.
3x 1, x 1, 0
10. Fie f : 1, 1
,
f ( x )
.
2
x bx c , x 01
,
a) S` se determine a, b, c , pentru care func\ia este derivabil` pe ( 1, 1 ) ]i
f ( 1) f ( 1).
b) Perntru valorile g`site, s` se studieze derivabilitatea func\iei
x
g: , , g ( x ) f
2
1 1
.
2
1x
x
11. Se consider` f :( 1, ) , f ( x ) ln ( x 1)
]i
x 1 F:( 1, 0) ( 0, ) ,
c bx a ln ( x 1)
F ( x ) .
x
2
Dac` lim F ( x ) 1
]i x F( x ) f ( x ), x ( 1, 0) ( 0,
),
iar F ( 2 ), atunci:
x0
a) ln 3 ; b) 2; c) ln 6 ; d) 1; e) 2 ln 2.
2 2
2x x m mx 1,
12. Fie f : ,
f ( x )
x 1 m x ,
xT1
.
x 1
Dac` A m
2
f este continu` pe ]i m , atunci:
a) 1; b) 34
25
; c) 25
4
13. Se consider` func\ia f : ,
mA 58 81
; d) ; e)
9 64 .
( ) ( ) b ,
3 unde a, b .
2
f x x a x
x
1
ASE Bucure]ti, 2001
Dac`
A ( a, b)
f este periodic` de perioad` 2 ]i este continu` [n x 1 ,
iar
S ( a b),
atunci:
( a, b) A
a) S 2; b) S 1; c) S 0; d) S 3; e) S 4.
14. Se consider` func\ia f : 0, 2 ,
px,
x 0,
1
f ( x ) m,
x 1
3
x
q, x 1,
2
]i mul\imea A ( p, m, q) f este derivabil` pe ( 0, 2)
.
151
ASE Bucure]ti, 2002

Dac` S ( p m q),
atunci:
( p, m, q) A
a) S 7; b) S 1; c) S 0; d) S 10; e) S 8.
15. S` se determine asimptotele func\iei f : D :
2
x 3x 2
a) f ( x ) ; b) f ( x ) x x ;
x 1
2
1
3
x 3x 2
c) f ( x ) .
x ( x 1)
ASE Bucure]ti, 1998
6x x 4 ln x 2
16. Se consider` func\ia f :( 0,
) ,
f ( x ) .
2x
a) S` se calculeze limitele func\iei f [n punctele x 0 0 ]i x 0 .
b) S` se determine asimptota oblic` a func\iei f la .
c) S` se afle punctele [n care tangenta la grafic este paralel` cu asimptota oblic` a func\iei.
Bacalaureat, 1997
4 ln x
17. Fie f :( 0, ) , f ( x ) 2 x . S` se determine coordonatele punctului [n care
x
tangenta la graficul func\iei este paralel` cu asimptota oblic` a func\iei.
2
2x
ax b
18. Fie f : D ,
f ( x )
.
x 1
a) S` se afle parametrii a, b pentru care dreapta y 2x 3
este asimptot` a func\iei.
b) Pentru a5, s` se determine b astfel [nc@t func\ia f s` admit` asimptot` vertical`.
Facultatea de }tiin\e Economice Timi]oara, 1995
19. Pentru ce valori ale lui m , func\ia f : ,
are domeniul de derivabilitate ?
20. Se consider` func\ia 1 1
2
3 f ( x ) x ( m2) x 2 m
f ; , ,
ax x
f ( x ) e , a .
x
1 2
2
1
2
a) S` se calculeze lim x f ( x ).
x
2
Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1990
b) Pentru care valori ale lui a exist` egalitatea 3 f ( 0) f ( 0) 11?
33 33
( x 2) ( x 2)
21. Fie f : ,
f ( x ) ]i T f ( 2) f ( 0) f (
2 ). Atunci:
33 33
( x 2) ( x 2)
a) T 1 33
3 22
; b) T ; c) T 1; d) T ; e) T
2 2 2 3 .
ASE Bucure]ti, 2000
152

ln
( 1x ), xT
0
22. Fie f : ,
f ( x )
. S` se determine valorile lui a, b, c pentru
2
ax
bx c, x 0
care func\ia f este de dou` ori derivabil` pe .
ASE Bucure]ti, 1990
23. Pentru ce valori ale parametrilor a, b, c , func\ia f : ,
este de dou` ori derivabil` pe .
3 2
x ax bx c
, xT1
f ( x )
arctg(
x 1), x 1
24. Se consider` func\ia f : ,
f ( x ) x sin x.
a) S` se arate c` func\ia f este derivabil` [n x .
b) Func\ia f este de dou` ori derivabil` [n x ?
x x
25. Fie f : ( 1, ), f ( x ) 4 2 1.
a) S` se arate c` f este func\ie inversabil`.
b) S` se determine f 1 1
]i f
26. Fie
( 3).
f ; 2, 1, 0 ,
f ( x )
x ( x ) ( x ) .
1
1 2
a) S` se arate c` exist` numerele a, b, c pentru care:
a b c
f ( x ) .
x x 1 x 2
b) S` se calculeze S f ( 1) f ( 2) ... f (
10).
27. S` se calculeze lim sin x tg
x
.
x0
2
x tg x
x sin x
e e
28. S` se calculeze lim .
x0
x sin
x
x cos x sin
x
29. Fie M n
lim .
Dac` m
x
n
n,
atunci:
0
x
nM a) m 3; b) m 6; c) m 4; d) m 15; e) m 10.
30. Se consider` func\ia f : 1, ,
f ( x ) x 5 4 x 1 x 10 6 x 1
.
153
ASE Bucure]ti, 1994
Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1987
ASE Bucure]ti, 1990
Universitatea Politehnic` Bucure]ti, 1990
ASE Bucure]ti, 2000

Dac` B x ( 1, )
f nu este derivabil` [n
a) S 1
4
0
; b) S 13
36
; c) S 1
9
31. Se consider` func\ia fa: ,
( ) ( ) ,
x 0 ]i S f b f b
bB 11
3
; d) S ; e) S
36 2 .
f ( x ) 4( e x 1) x ( a 3)
x , a .
a
3 x
3 2
Dac` A a fa este derivabil` [n x 0 ,
atunci:
a) A 1
3, ;
b) A
2
1 3
, ;
c) A
2 2
5
2
5 , ;
d) A
9 13
, ;
e) A ( 7, 15).
2
2
2
32. Se consider` func\ia f : ,
f ( x ) x x a x b, a, b
.
d s
2 2
Fie A ( a, b)
f este derivabil` pe ]i S ( a b
), atunci:
( a, b) A
a) S 13; b) S 26; c) S 17; d) S 5; e) S 4.
33. Fie func\ia f : ,
f ( x )
x
xe , xT1
.
ax
b, x 1
Dac` f este derivabil` pe ]i A f (
k ), atunci:
10
k1
a) A 20 e;
b) A 0; c) A 100 e;
d) A 11 e;
e) A e.
34. S` se determine num`rul de elemente ale mul\imii:
2n
n
x 2x a
A a
lim b .
x1
2
( x 1)
5 5
x 35. Fie a lim
x
x
x
ln ( ) ln ( ) 1
0
1
. Atunci:
6
a) a 5 5
; b) a ; c) a
2 6
e
ln ( )
36. S` se calculeze lim
ln ( ) .
x e
x
4 2x
x e
2
2 ; d) a 6
5
x
154
; e) a 3
2 .
2 atunci:
ASE Bucure]ti, 1998
ASE Bucure]ti, 2000
ASE Bucure]ti, 2001
ASE Bucure]ti, 2001

ax bx 2
f : 1 ,
f ( x )
.
x 1
37. Fie
2
a) S` se determine a, b, c pentru care func\ia admite asimptota y x 2.
b) S` se reprezinte graficul func\iei f pentru a1 ]i b1.
c) Pentru a b1,
s` se determine aria triunghiului determinat de axa Ox ]i asimptotele
func\iei f.
x
38. Se consider` func\ia f : 1, 2 ,
f ( x )
( x ) ( x ) .
2
1 2
a) S` se traseze graficul func\iei f.
x
b) S` se determine [n ce raport [mparte dreapta y aria patrulaterului determinat de axa
2
Ox ]i asimptotele func\iei f.
39. S` se demonstreze c` pentru oricare m , func\ia f : ,
f x x mx e x
2
( ) ( ) ,
admite un maxim ]i un minim local.
40. Se consider` func\ia f : D ,
2
f ( x ) ax bx cx 1, a, b, c ( 0,
).
a) S` se determine a, b, c ]tiind c` func\ia admite o asimptot` oblic` la paralel` cu
dreapta y 4x 5,
iar c`tre o asimptot` orizontal` y 1.
b) S` se construiasc` graficul func\iei pentru valorile lui a, b, c determinate.
2
x ax
41. Se d` func\ia f : D , f ( x ) .
bx
2
a) S` se determine a, b pentru care extremele func\iei se ob\in pentru x 8 ]i x 4.
b) Pentru valorile lui a, b determinate, s` se reprezinte graficul func\iei f.
m x
42. Fie f : D , f x
x x m m
( )
*
( ) ,
.
2
a) Pentru ce valori ale lui m func\ia admite dou` asimptote paralele cu axa Oy?
b) Pentru ce valori ale lui m func\ia este monoton` pe ?
c) Pentru m 1, s` se reprezinte graficul func\iei f.
d) Fie A, B punctele [n care graficul func\iei f, pentru m 1, intersecteaz` axele de
coordonate. {n ce puncte graficul func\iei admite tangente paralele cu dreapta AB?
1 3
155

REZOLVĂRI
Partea a II-a. Elemente de analiză matematică
Capitolul I. Limite de funcţii
1.1. Mulţimi de puncte pe dreapta reală
Exersare
E1. Soluţie:
Mulţimile de minoranţi şi majoranţi sunt respectiv:
a) m = (–∞, –3], M = [5, +∞), b) m = (–∞, –2], M = [3, +∞),
c) m = (–∞, –5], M = [4, +∞), d) m = (–∞, –2], M = [5, +∞),
e) m = (–∞, 1], M = [11, +∞), f) m = (–∞, –1], M = [3, +∞).
E2. Soluţie:
Mai întâi se rezolvă ecuaţiile şi inecuaţiile de gradul 2, cu radicali, cu modul, exponenţiale şi
logaritmice.
a) x 2 – 3x = 0 ± x(x – 3) = 0 ± x i {0, 3}.
Aşadar A = {0, 3} şi avem: m = (–∞, 0], M = [3, +∞).
b) Alcătuim tabelul de semn pentru f(x) = x 2 – 3x.
Se obţine x i [0, 3], deci A = [0, 3].
Rezultă m = (–∞, 0] şi M = [3, + ∞).
x –∞ 0 3 + ∞
x 2 – 3x + + + + + 0 – – – – – 0 + + + + +
c) Condiţii impuse: x – 3 U 0, deci domeniul de lucru este D = [3, +∞).
Prin ridicare la pătrat obţinem succesiv
x−3T2⇒ x−3T4⇒ xT
7⇒
x i (–∞, 7].
Aşadar A = (–∞, 7) O D = [3, 7] şi se obţine: m = (–∞, 3], M = [7, +∞).
d) Folosim proprietatea modulului: E() x TM ⇔−M
T E() x T M .
Se obţine succesiv:
x−3 T1⇔ −1T x−3T1⇔ 2T xT
4.
Rezultă că x [2, 4], A = [2, 4], iar m = (–∞, 2], M = [4, +∞).
e) Avem succesiv
x−3 x−3 25 x−3 1 x−3
−2
2 T0,25⇔2 T ⇔2 T ⇔2 T2 ⇔ x−3T−2⇔ xT
1.
100 4
Aşadar x i (–∞, 1] iar A = (0, +∞) O (–∞, 1] = (0, 1].
Rezultă că: m = (–∞, 0], M = [1, +∞).
3
f) Deoarece 125 1 1 −
0,125 = = = = 2 , iar 1 −2
0, 25 = = 2 se obţine:
3
1000 8 2
4
2 –3 T 4 x T 2 –2 ® 2 –3 T 2 2x T 2 –2 ® –3 T 2x T –2 ⇔−
3
T x T −1.
2
Aşadar A= ⎡ 3
, 1 ⎤, m
3 ( , ⎤
⎢
− − = −∞ −
⎣ 2 ⎥⎦ 2⎥
, M = [–1, +∞).
⎦
156

g) Condiţii: x – 1 > 0 ± x > 1 ± D = (1, + ∞).
Folosim proprietatea logaE(x) T b, a > 1 ± E(x) T a b .
Se obţine succesiv:
log2(x – 1) T 2 ± x – 1 T 2 2 ± x T 5.
Aşadar A = (–∞, 5) O D = (1, 5), iar m = (–∞, 1], M = [5, + ∞).
⎧x
− 1> 0
h) Condiţii de existenţă pentru logaritmi: ⎨
⎩3x>
0
Se obţine domeniul de existenţă: D = (1, +∞) O (–∞, 3) = (1, 3).
log
Folosim formula de schimbare a bazei pentru logaritmi log
log b N
a N = .
b a
Se obţine succesiv:
log 2(3
− x)
log( 2 x−1) Tlog(3 4 −x) ⇔log( 2 x−1)
T ⇔
log2 4
⇔log 1
2( x−1) T log 2(3 −x) ⇔log 2( x−1) Tlog2
3−x
2
Din monotonia logaritmilor rezultă că x −1T 3−x.
2 2 2
Cum x – 1 > 0, prin ridicare la pătrat avem ( x−1) T3−x⇒ x − 2x+ 1T3−x⇒ x −x−2T 0.
Tabelul de semn pentru f(x) = x 2 – x – 2 este:
x –∞ –1 2 + ∞
x 2 – x – 2 + + + + + 0 – – – – – 0 + + + + +
Soluţia inecuaţiei este x i [–1, 2].
Rezultă A = [–1, 2] O (1, 3) = (1, 2], iar m = (–∞, 1], M = [2, +∞).
E3. Soluţie:
a) Avem că –1 T sinx T 1, ¼x i Z, deci A = [–1, 1], care este interval mărginit.
2( 1)
b) Avem: 2n 2n 2 2 n +
=
+ −
= −
2
= 2− 2
< 2,
deci M = 2 este un majorant pentru
n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+
1
mulţimea A. Deoarece n∈q⇒
2n
U 0 , ¼n i q deci m = 0 este un minorant pentru A.
n + 1
Aşadar A este mulţime mărginită.
c) n+ 1 −
(
n =
n+ 1 − n)( n+ 1 +
n+ 1+ n
n) =
n+ 1−n =
n+ 1+ n
1
n+ 1+
.
n
Aşadar 0< 1
n+ 1 +
< 1,
deci A _ (0, 1).
n
d) Deoarece 48
n 1
∈
+ q, rezultă că n + 1 este divizor pozitiv pentru 48.
Dar D48 = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48}.
Rezultă că n + 1 i {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} şi astfel
n i {0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 47}.
Aşadar A = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 47} _ [0, 47].
e) Deoarece
2 2
x U0⇒ x + 1U1⇒ 0< 1
T1⇒ 0< 2
T 2,
deci A _ [0, 2].
2 2
x + 1 x + 1
157

f) Fie y= x+
1
2 ∈ A.
Rezultă, după aducerea la acelaşi numitor: yx
x + x+
1
2 + (y – 1)x + y – 1 = 0.
Ecuaţia are soluţie dacă ∆ U 0. Se obţine ∆ = (y – 1) 2 – 4y(y – 1) = (y – 1)(–3y – 1).
Soluţiile inecuaţiei ∆ U 0 sunt
y ∈⎡ 1
,1⎤
⎢
−
⎣ 3 ⎥⎦
. Aşadar A = ⎡ 1
,1⎤
⎢
−
⎣ 3 ⎥⎦
.
E4. Soluţie:
a) Avem: x T3⇔−3T xT
3.
Aşadar x i [–3, 3] = A.
b) Avem: x−1 T2⇔ −2T x−1T2⇔−1T xT
3.
Aşadar x i [–1, 3] = A.
⎧x−2,
dacă x−2U
0
⎧x−2,
dacă xU
2
c) Avem: x − 2 =⎨ . Rezultă că x − 2 =⎨ .
⎩−
x+ 2, dacă x−
2< 0
⎩−
x+ 2, dacă x<
2
• Pentru x U 2, inecuaţia x − 2 U 1 se scrie x – 2 U 1 cu soluţia x U 3, deci x i [3, + ∞).
• Pentru x < 2, inecuaţia x − 2 U 1 se scrie –x + 2 U 1 şi are soluţia x T 1, deci x i (–∞, 1].
Rezultă că x −2 U 1 ⇔ x∈( −∞ ,1] ∪[3,
+∞ ) = A.
d) Avem succesiv: 1
T1⇔ 1
−1T0⇔ 1−x
T 0.
x x x
Alcătuim tabelul de semn pentru f() x =
1−
x .
x
Se obţine că x i (–∞, 0) N [1, +∞) = A.
e) Tabelul de semn pentru f() x =
x −1
2
x − 4
este
x –∞ 0 1 + ∞
1 – x + + + + + 0 + + + + + 0 – – – – – –
x – – – – – 0 + + + + + + + + + + +
f(x) – – – – – | + + + + + 0 – – – – –
x –∞ –2 1 2 +∞
x – 1 – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + +
x 2 – 4 + + + + + 0 – – – – – – – – – – 0 + + + + + +
f(x) – – – – – | + + + + + 0 – – – | + + + + + +
Se obţine: x i (–2, 1] N (2, +∞) = A.
2 2
2
f) Avem că: x −4 T1⇔ x −4
−1T0⇔ 5
T 0⇔ x − 9< 0.
2 2 2
x −9 x −9 x −9
Se obţine că x i (–3, 3) = A.
g) Deoarece 0,25 = 2 –2 obţinem că:
2 x+1 T 2 4x · 2 –2(x+1) ® 2 x+1 T 24x–2x–2 ® 2 x+1 T 2 2x–2 ® x + 1 T 2x – 2 ® 3 T x.
Aşadar, x i [3, +∞) = A.
h) Condiţiile de existenţă pentru radical: x – 3 U 0.
Deoarece x − 3U 0 ± că x−3U x−3U
0 deci domeniul de existenţă este x i [3, + ∞).
Prin ridicare la pătrat se obţine:
(x – 3) T (x – 3) 2 sau x 2 – 7x + 12 U 0, cu soluţia x i (–∞, 3] N [4, + ∞).
Aşadar, A = {(–∞, 3] N [4, +∞)) ∩ [3, +∞) = [4, +∞) N {3}.
158

E5. Soluţie:
Vecinătăţi pentru x0 = 0 sunt: V1, V4, V8, iar vecinătăţi pentru x = –1 sunt: V1, V8, V9.
b) V2 nu este vecinătate pentru x0 şi x1 deoarece nu conţine aceste puncte.
c) 0 h V2, –1 h V2.
d) –1 h V4,
e) –1 h q, iar 0 nu aparţine unui interval inclus în q.
e), f) m şi { nu conţine intervale deschise care să conţină pe 0 şi –1.
i) 0 h V9.
E6. Soluţie:
O mulţime V _ Z este vecinătate pentru + ∞, dacă există a i Z, astfel încât V = (a, + ∞).
Vecinătăţi ale lui + ∞ sunt. V1, V2, V3, V9.
E7. Soluţie:
a) A′ = [0, 3], d) A′ = [–2, 2] N [3, 5],
b) A′ = l, deoarece A este mulţime finită; e) A′ = {+∞},
c) A′ = (–∞, 3] N {– ∞} = [–∞, 3], f) A′ = [1, 2].
Numărul x = 5 este punct izolat al mulţimii A.
E8. Soluţie:
a), b) Mulţimea A este interval nemărginit.
c) Mulţimea A este nemărginită şi superior şi inferior deoarece conţine toate numerele pare
pozitive şi numerele impare negative.
d) A = (1, +∞). Într-adevăr dacă y i A, atunci rezultă că există x i (0, 1) cu y =
1 .
x
Dar, atunci x =
1
< (0, 1) 0< 1
< 1.
y
y
Rezultă că y > 0 şi 1 1
y < . Cum y este pozitiv, rezultă că din 1 < 1 se obţine y > 1.
y
Aşadar y i (1, +∞) = A.
e) Inecuaţia x −1 U 2 conduce la x – 1 U 2 sau –x + 1 U 2, deci x∈[3, + ∞) au x∈(–∞, –1].
Aşadar x i (–∞, –1] N [3, + ∞) = A.
f) Fie y i A. Atunci există x i (2, + ∞) cu y
x −1
2y−1 = . Se obţine că x = iar din condiţia
x − 2
y − 1
x > 2 rezultă că 2 1 y −
> 2 , inecuaţie cu soluţia y i (1, + ∞). Aşadar A = (1, + ∞).
y −1
Observaţie.
Deoarece x−1 =
x−
2+ 1
= 1+
1
x −2 x−2 x−
2
şi x – 2 > 0 rezultă că x − 1
> 1, ∀x∈ (2, +∞)
etc.
x − 2
g) A = {0, 7, 14, ...} = {7n | n i q}. Dacă M i Z ar fi un majorant pentru A, atunci 7n T M,
¼n i q, sau nT M
, ∀n∈q, ceea ce ar însemna că mulţimea q ar fi mărginită superior de
7
M , absurd. Aşadar A este nemărginită superior.
7
159

1.4. Calculul limitelor de funcţii
Exersare
E1. Soluţie:
a) 3; b) 125; c) 3 3 ; d) = 2 · 2 + 1 = 5;
e) =−
π
+ 1= 0,
f) = 3 · 1
π
2 – 1 + 2 = 4; g) = 5 3 + 1 = 126, h) = ln3.
E2. Soluţie:
a) = (1 + 1) 2 + 1 = 5, b) = ∞ + ∞ 2 = + ∞, c) = (–∞) 2 – 3 = +∞,
d) = 3 · ∞ + 1 + ∞ 2 = +∞, e) = –7 · ∞ 2 = –∞,
g) = log3(0+) = –∞, h) = log0,3(0+) = +∞.
f) = 9= 3,
E3. Soluţie:
Aplicăm proprietăţi ale logaritmilor.
2
a) =
lim x = 1;
b) =
lim( + 1) = 1
x→1
x→0
d) =
lim x ⋅ log
1
3 ( ) =−∞⋅− ( 1) =+∞.
x→−∞
3
x ; c) =
5 = 5
x→5
lim( x log 2) 5log 2 .
E4. Soluţie:
Funcţia f are limită în x0 i D′ dacă limitele laterale f(x0 – 0) şi f(x0 + 0) există şi sunt egale.
a) f(1 – 0) = 2 · 1 2 + 3 = 5, f(1 + 0) = 5 · 1 – 1 = 4, f(2 – 0) = f(2 + 0) = 5 · 2 – 1 = 9.
Funcţia f nu are limită în x0 = 1, iar în x0 = 2 limita este l = 9.
b) Avem:
De asemenea,
x
lim f( x) = lim( x+ 3) = 3, lim f( x)
= lim (4 ) =+∞.
x→0 x→0 x>
0
x→+∞ x→+∞
x
f(1 − 0) = lim( x+ 3) = 4 , f(1
+ 0) = lim 4 = 4 .
x→1 x→1
x< 1 x>
1
Aşadar f are limită în x0 i {0, 1, + ∞}.
Sinteză
S1. Soluţie:
a) Avem: 6 = a – 1 + 3 ± a = 4;
b) 5 + 6a · 3 = 23 ± a = 1;
c) a 2 + 2a – 3 = 5 ± a 2 + 2a – 8 = 0 ± a i {2, –4};
d) a= 3⇒ a = 9;
e) a 2 + 3a + 11 = a + 14 ± a 2 + 2a – 3 = 0 ± a i {–3, 1];
f) 3 a+ 1= 3⇒ a+ 1= 27⇒ a=
26;
g) a− 1= a−
1.
Condiţia de existenţă a – 1 U 0 deci a U 1.
h)
Se obţine a – 1 = (a – 1) 2 cu soluţia a i {1, 2};
2 2
a a 4 2
2 16 2 2 a 4 a { 2, 2}
= ⇒ = ⇒ = ⇒ ∈ − .
160

S2. Soluţie:
a) Pe mulţimea ( 0,
1) ∪
1 ( ,1
2 2 ) funcţia f are limite.
Studiem existenţa limitei funcţiei f în x
1
0 = .
2
Rezultă că: f
1 ( 0) limlog2x log
1
2(
) 1
2 x→
1
2
2
Aşadar f are limită şi în x
1
0 = .
2
− = = =− , iar ( ) 1
161
f
1
+ 0 = lim(2x− 2) = 2⋅ 1
− 2=− 1.
2 2
b) Pentru x0 i (0, 1) N (1, 2) f are limită.
x
Avem: f(1− 0) = lim 2 = 2, f(1+ 0) = limlog2x= log21= 0 .
x→1 x→1
Aşadar f nu are limită în x0 = 1.
Punctul x0 = 3 este punct izolat pentru domeniul de definiţie şi în el nu se pune problema
existenţei limitei.
S3. Soluţie:
2
3
a) Avem: f(1 − 0) = lim[ ax + ( a+ 2) x] = a+ a+ 2 = 2a+ 2 şi f(1+ 0) = lim x=
1 .
x→1
Din egalitatea f(1 – 0) = f(1 + 0) se obţine că 2a + 2 = 1 deci
x→
2
x→1
a =−
1 .
2
2 2 2
b) Avem: f(1 − 0) = lim[( x+ a) + ( x− 1) ] = ( a+
1) şi f (1 + 0) = lim( x− 1 + a)( x+ 4 − a) = a⋅(5 − a)
.
x→1
x→1
Din egalitatea f(1 – 0) = f(1 + 0) se obţine ecuaţia (a + 1) 2 = a(5 – a) sau 2a 2 – 3a + 1 = 0 cu
soluţia a ∈
1 { ,1
2 } .
c) Avem:
f (2− 0) = lim( ax+ b) = 2 a+ b ,
x→2
f(2+ 0) = limlog2 x=
1,
x→2
,
f(4− 0) = limlog x=
log 4= 2,
x→4
2 2
2
f(4+ 0) = lim( ax + bx+ 6) = 16a+ 4b+ 6 .
x→4
Din egalităţile f(2 – 0) = f(2 + 0) şi f(4 – 0) = f(4 + 0) rezultă sistemul de ecuaţii
⎧2a+
b=
1
⎨
cu soluţia a = –1, b = 3;
⎩16a+
4b+ 6 = 2
d) Avem: f(1 – 0) = 2 a , f(1 + 0) = 4 b , f(3 – 0) = 4 3b , f(3 + 0) = 8 3(a+2) .
⎧⎪
a b
2 = 4 ⎧a=
2b
Rezultă sistemul de ecuaţii: ⎨ sau
3b 3( a+ 2) ⎨ cu soluţia a = –3,
⎪ ⎩4
= 8 ⎩6b=
9( a+
2)
b =−
3 .
2
S4. Soluţie:
a) f( −1− 0) = − 1 = 1, f( − 1+ 0) = −1 , f(0− 0) = 0 = f(0+
0) , f(1− 0) = 1 = 1 = f (1+ 0) .
Aşadar f are limite în x0 i {–1, 0, 1};
b) f(0 – 0) = 3 = f(0 + 0), f(3 – 0) = 0 = f(3 + 0), f(4 – 0) = 1 = f(4 + 0);
d) f(–5 – 0) = 8 – 5 = 3 = f(–5 + 0), f(3 – 0) = 3 = f(3 + 0), f(5 – 0) = 7 = f(5 + 0);
2 2
e) Avem: lim f( x) = lim x − 1 = 0, lim f( x) = lim x − 1 = 0 ,
x→−1 x→−1 x→1 x→1
2 2
x→2 x→2
f(2− 0) = lim x − 1 = 3, f(2+ 0) = lim x + 1= 3.

1.4.3. Limitele funcţiilor trigonometrice
Exersare
E1. Soluţie:
Se obţine:
a) = sin
π
=
1
, b) = cos
π
=
6 2
6
3
, c) = sin− π
=−
2
, d) = cos
2
4 2
( −
π) = cos
π
=
6 6
3
,
2
e) = sin π= 0 , f) = cos π=−1,
g) = sin 2π= 0,
h) = cos( −π ) = cos π=−1.
E2. Soluţie:
a) = tg
π
=
3
3 , b) = tg( −
π) =− tg
π
=−
3 3
3 , c) = tg( −
π) =− tg
π
=−1;
4 4
d) =−∞;
e) = tgπ= 0 , f) = ctg
π
= 0 ;
2
g) = ctg( −
π) =− ctg
π
=−1;
h) = ctg
3π
4 4
( ) = 0 ; i) =−∞;
j) =+∞.
2
E3. Soluţie:
a) = arcsin
1 1
( − ) =− arcsin
π
2 ( 2) = ; d)
6
( ) 3
= arcsin − =−
π
;
2 3
b) = arccos
1 1 2
( − ) =π− arccos
π π
2 ( 2) =π− = ; e) = arccos
2 3
3 3
( −
π
2 ) = ;
4
c) = arccos
3 3 5
( − ) =π− arccos
π π
2 ( 2 ) =π− = f)
6 6
( ) 2
= arcsin =
π
.
2 4
E4. Soluţie:
; d) = arcctg
3 3 5
( − ) =π− arcctg
π π
3 ( 3 ) =π− = ;
6 6
a) ( ) 3
= arctg =
π
3 6
b) ( ) 3
= arcctg =
π
3 3
c) arctg
3 ( ) arctg
3 ( )
; e) = arctg( − 3) =−
π
;
3
= − =− =−
π
; f) = arctg( 3) =
π
.
3 3 6
3
Sinteză
S1. Soluţi:.
a) Se obţine egalitatea arcsin a =
π
şi rezultă că a = sin
π
= 1;
2
2
b) arccosa = 0 ± a = cos0 = 1; c) arctg a= π
⇒ a = tg
π
= 1;
4 4
d) arcsin a= π
⇒ a = sin
π
=
2
;
4 4 2
f) arctg a=− π
⇒ a = tg( −
π)
=−1.
4 4
e) arccos a=π⇒ a = cos π=−1;
162

S2. Soluţie:
a) f(0 – 0) = sin 0 = 0, f(0 + 0) = 0 2 = 0, deci
b)
• lim f ( x) ]i lim sin x nu există
x→−∞ x→−∞
lim
x→+∞ ( ) lim
x→+∞
2
f x = x =+∞.
lim f( x) = limsin x = 0 ,
x→0 x→0
• f( π− 0) = limsin x = sin π= 0
•
x→π
2
( π+ 0) = lim3( −π ) = 0
x→π
2 2
lim f( x) = lim 3( x −π ) = 3π
x→2π x→2π
lim f( x)
= 0
x→0
f x , deci lim f( x ) = 0 .
x→π
c) lim f( x) = f ( − 1+ 0) = arccos( − 1) =π;
x→−1
• f(0− 0) = lim arccos x = arccos 0 =
π
,
x→∞
2
2
f(0+ 0) = lim( x + 2x
+
π π ) = , deci lim f( x ) =
π
;
x→0
2 2
x→0
2
2
• lim f( x) = lim f( x) = lim( x + 2x +
π) = 3+
π
.
x→1 x→1 x→1
2 2
x<
1
d) lim f( x) = lim arctg x =−
π
;
x→−∞ x→−∞
2
• f(0 – 0) = arctg0 = 0,
f(0 + 0) = arcsin0 = 0, deci lim f( x ) = 0 ;
x→0
• f (1− 0) = arcsin1 =
π
,
2
f (1+ 0) = arctg1=
π
;
4
• lim f( x) = lim arcctg x=
0 .
x→∞ x→+∞
S3. Soluţie:
a) Funcţia are limite pentru x0 i (–∞, 0) N (0, 1) N (1, + ∞).
Punem condiţia să existe limite în x0 i {0, 1}.
Avem: • f(0 – 0) = sin0 = 0, f(0 + 0) = b, deci b = 0;
• f(1 – 0) = a + b, f (1+ 0) = arctg1 =
π
, deci a+ b =
π
şi se obţine
4
4
b) Funcţia are limită pentru x0 i [–2, –1) N (–1, 1) N (1, 2].
Punem condiţia să existe limite şi în x0 i {–1, 1}.
Avem:
• f(–1 – 0) = a,
f ( −+ 1 0) = arcsin( − 1) =−
π
, deci a =−
π
;
2
2
• f (1− 0) = arcsin1 =
π
,
2
f (1+ 0) = b , deci b =
π
.
2
163
a =
π
.
4

S4. Soluţie:
⎧−sin
x, xT
0
a) Avem, după explicitarea modulului: f() x = ⎨
.
⎩sin
x, x>
0
Se obţine:
• lim f( x) = lim( − sin x)
=−sin( − 1) = sin1;
x→−1 x→−1
• lim f( x) = limsin x=
sin1 ;
x→1 x→1
• f(0− 0) = lim( − sin x) = 0, f(0+ 0) = limsin x=
0 , deci lim f( x)
= 0 .
x→0 x→0
164
x→0
x→0
⎧
⎪−sin x, x∈
⎡
−
π
, 0
⎤
b) f() x = ⎨ ⎣ 2 ⎦.
⎪⎩ sin x, x∈(0,
π]
Rezultă că:
• lim f( x ) =−sin ( −
π)
= 1;
x→−
π
2
2
• lim f( x) = limsin x = sin
π
= 1;
x→ π
x→
π 2
2 2
• f(0 – 0) = –sin0 = 0, f(0 + 0) = sin0 = 0, deci lim f( x ) = 0 .
c) • f x
π ( )
lim
x→−
π
2
( ) = cos −
2
= 0,
• lim f( x ) = cos
π
= 0 ,
x→
π 2
2
• lim f( x ) = cos 0= 1.
x→0
⎧−arctg
x, xT
0
d) Avem: f() x = ⎨
.
⎩ arctg x, x>
0
Se obţine:
• lim f( x ) =−arctg ( − 1) =
π
,
x→−1
4
• lim f( x ) = arctg 0= 0 ,
x→0
• lim f( x)
= arctg1=
π
.
x→1
4

1.5. Operaţii cu limite de funcţii
Exersare
E1. Soluţie:
2
a) = lim x − lim3x+ lim
x→4 x→4 x→4
b) = 23 ⋅ − 1+ ln
3
= 5;
3
c) = –3;
d) = 2 + 3 – 4 = 1;
e) = 2;
f) =
1
+
1
+ 1=
11
.
2 3 6
2
x = 4 −3⋅ 4+ 4 = 6 ;
E2. Soluţie:
2 2
a) = lim( x −2) ⋅lim( x − 3) = ( −1) ⋅− ( 2) = 2 ;
x→1 x→1
2
b) ( ) ( )
= lim x
x→1 c) = 0;
⋅ lim log3x x→1
= 1⋅ log31= 0 ;
⎛ x
d)
2 ⎞⎛ x
lim lim
3 ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⋅ ⎟=
8
⋅
27
= 1;
⎝ x→3 8 ⎠⎝ x→3
27⎠ 8 27
e) = 0;
f) = 0.
E3. Soluţie:
lim( x−1)
x→1
a) =
0
2 = = 0 ;
lim( x + x+
1) 3
x→1
2
lim( x + 4x−10) x→2
b) = =
2
= 2 ;
lim(2x−3) 1
x→2
c) = 1; d) =
2
;
3
e) = 0; f) =
2
.
5
E4. Soluţie:
lim
x
x→1
1
x 0
a) = ( lim( x + 1) ) = 2 = 2 ; b) ( )
limsin
0
lim(1 )
→ 1
0 0
+
x→
x
= x = = ;
x→1
c) = 5 3 = 125; d) = 1; e) = 0; f) =
π
.
4
Sinteză
S1. Soluţie:
lim( )
2
lim lim
2
(1
2
1) 4
x→1 x→1 x→1
3 3
a) ( ) ( )
= x+ x = x+ x = + = ; b) = 0; c) = 1;
d) = 0; e) = 4; f) = 0; g) ( )
165
1
2
= 2⋅ π
+
π
=
2π
; h) = 2; i) =
π
.
6 3 3
2
S2. Soluţie:

Folosim operaţiile cu limite de funcţii. Se obţine:
aπ+
π
a) 2 = 2⇒ a+ 1
= 2⇒
a =
3
;
π+ 0 2 2
b) 9
= 1⇒a− 1= 9⇒ a=
10;
a−1
c)
a+ 2a
= 1⇒ 2a+ a= a+ 2⇒ a=
1;
2+
a
a a
2 1 2
d)
2 + 4 3
a a a a a a+ a
a a = ⇒82 ⋅ + 84 ⋅ = 62 ⋅ + 94 ⋅ ⇒22 ⋅ = 4⇒ 2 = 2 ⇒
22 ⋅ + 34 ⋅ 8
⇒ a+ 1= 2a⇒ a = 1.
S3. Soluţie:
a) • lim f( x) = lim f( x) = lim( x⋅ tg x ) = 0 ;
b) •
x→0 x→0 x>
0
x→0
• f
π ( − 0) = lim x⋅ tgx =
π
( +∞ ) =+∞,
iar ( )
2 2
x→
π
2
x<
π
2
Aşadar f nu are limită în x 0 =
2
3
f(0− 0) = lim(1 − x)
= 1,
x→0
•
x→0
π
166
f
π
+ 0 = 1.
2
f(0+ 0) = lim( x− 1) x = 0 , deci f nu are limită în x0 = 0.
f(1− 0) = lim( x− 1) x = 0 ,
(1 0)
x→1
lim(1
x→1
3 ) 0
f + = − x = , deci = 0.
c) • ( ) 3
f
x−1
(0− 0) = lim
x→0
2
x + x+
1
=−1,
3
f(0+ 0) = lim( − 1+ sin x ) =−1,
deci = –1.
S4. Soluţie:
x→0
= limsin x lim x− 1 = (sin1) ⋅ lim( x − 1) = (sin1) ⋅ 0= 0 ;
a) ( )( 3 )
b) ( ) 2
3
x→1 x→1 x→1
= lim x + lim x⋅ lim ln( x + 1) = (0+ 0) = 0 ;
2 2
x→0 x→0 x→0
c) = 3 · log10 = 3;
= 3 7+ 1 = 8;
0
e) =
e 1
0 = ;
1+ 2 2
f) =
3 4+ 8
3 = 2 ;
16− 8
g) =
arcsin 0
= 0 ;
1+ sin
π
2
= log (2+ log 9) = log 4= 2 .
d) ( ) 3
h) 2 3 2

S5. Soluţie:
a) Din definiţia părţii întregi se obţine că:
1
< ⎡ 1 ⎤ T
1
.
2 2 2
x −1
⎢⎣x ⎥⎦
x
2 2
Rezultă că: x
1 ( − 1
1
2 ) < x ⎡ ⎤ 1 2
x ⎢⎣x ⎥⎦
T sau 1 – x2 < f(x) T 1.
2 2
Aşadar, cu criteriul cleştelui se obţine lim(1 − x ) Tlim x ⎡ 1 ⎤ T 1,
deci = 1.
2
x→0 x→0
⎢⎣x⎥⎦ b) Avem: x – 1 < [x] T x şi astfel
Rezultă că:
1 [] x
( )
x − 1 [] x
< T 1, ∀ x > 0 .
x x
lim 1− T lim T 1,
deci l = 1.
x→∞ x x→∞
x
c) Deoarece –1 T sinx T 1, ¼x i Z se va obţine inegalitatea:
−
1
T
sinx T
1
şi lim
sin x
= 0 .
2 2 2
2
x x x x→∞
x
d) Deoarece –1 T cosx T 1, ¼x i Z, rezultă că –1 + x T cosx + x T 1 + x.
Se obţine inegalitatea
x − 1
T
cosx+ x
T
1+
x
sau
1
−
1
T
cosx+ x
T
1
+
1
.
2 2 2
2 2 2
x x x x x x x x
Rezultă că = 0.
e) Se obţine că
este = 0.
f) Deoarece:
xcos x
=
x
⋅ cos x T 2 2
x + 1 x + 1
x
x
şi cum lim = 0 rezultă că limita cerută
2
2
x + 1
x→∞
x + 1
x – 1 < [x] T x şi 3x – 1 < [3x] T 3x se obţine că 4x – 2 < [x] + [3x] T 4x, ¼x i Z.
[] [3]
Aşadar, pentru x > 0 avem inegalitatea 4
2 x + x
− < T 4,
din = 4.
x x
167

1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii
Exersare
E1. Soluţie:
a) =
2
=
2
; b) =
0+ 0+ 1
= 1;
c) =
2⋅4 =
8
; d) =
− 3+ 2
=−1.
2+ 1 3
30 ⋅ + 1
6+ 4+ 1 11
4−3 E2. Soluţie:
a) =
2
=+∞;
b) =
−1
=−∞;
c) =
4
=−∞;
d) =
8
=+∞;
0 +
20 ⋅ +
0− 0 +
2
2
e) = lim
2x + 3x−4 =
1
=
1
=+∞;
f) = lim
5x−19 =
1
=+∞.
x 1 ( x−1)( x−2)
(0 ) ⋅− ( 1) 0
x 2 ( x+ 2)( x+
3) 0 ⋅1
→ − +
x<
1
168
→− +
x>−2
E3. Soluţie:
a) =
1
=+∞;
0 +
b) =
2
=+∞;
0 +
c) =
2
=+∞;
0 +
d) = lim
6x18 2 = =−∞;
e) =
11
=+∞;
x→3
−( x−3)
0−
0 +
f) =
−1
=−∞.
0 +
E4. Soluţie:
Cazuri de nedeterminare 0
. Se aduc expresiile date la forme mai simple.
0
a)
4x− 4 4( x−1) 4( x−1)
4 2
2 = 2 = = , = ;
9x −9 9( x −1)
9( x− 1)( x+ 1) 9( x+
1) 9
2
b)
x −1 ( x− 1)( x+
1) 1
2 = =
x−
, =−2;
x + 3x+ 2 ( x+ 1)( x+ 2) x+
2
2
c)
x − 4 ( x− 2)( x+
2) 2
2 = =
x+
, = 4;
x − 3x+ 2 ( x−1)( x−2) x−1
2
d)
x −3x
xx ( −3)
2 = =
x
, =−3;
x − 7x+ 12 ( x−3)( x−4) x−4
2 2
( x−2) ( x−2) e)
2
2 = =
x−
, = 0;
x −2x
xx ( −2)
x
2
2
f)
x + 4x+ 4 ( x+
2) 2
2 = =
x+
, = 0.
2x + 4x
2( xx+ 2) 2x
E5. Soluţie:
Caz de nedeterminare ∞
. Fiind limite de funcţii raţionale se compară gradele numitorului şi
∞
numărătorului.
a) =
2
=−2;
−1
b) =
−1
;
2
c) =
−2
=−
1
;
6 3
d) =
−1
;
3
e) =
3
⋅+∞ ( ) =+∞;
2
f) =
6
⋅−∞ ( ) =−∞;
2
g) = 0 ; h) = 0 .

E6. Soluţie:
Cazuri de nedeterminare ∞
. Se foloseşte metoda factorului comun forţat.
∞
2 x(
1+ 1) 1
x
2 1+
a) = lim = lim
x
=
2⋅ 1+ 0
= 2;
x→∞ 3
x→∞
x
3 0 1
( + 1)
+ 1
+
x
x
( )
( 4+
2 )
2
x 1+ 1 1 1
x
x 1+ 1+
b) = lim = lim
x
= lim
x
=
1+ 0
=
1
;
x→−∞ 2 3 x→−∞3 x→−∞
3 4 0 2
x
x ⋅ 4+ 2 4+
+
2
x
x x
x(
1+ 1 ) 1+
1
c) Avem:
x+ x
=
x
=
x
, =
1
;
3x+ 2 x+
1 2 1 2 1 3
x⋅
( 3+
+ ) 3+
+
x x x x
⎛ 1 ⎞
x⋅
⎜ + 1⎟ 1
3
3 2 + 1 3 2
d)
x+ x ⎝ x ⎠
= =
x
, =
1
;
2x+ 3
x⋅
3 3 2
( 2+
) 2+
x x
( )
2 1 ( 2 )
( )
( 1− 1
2 + 1)
2
2 x 1+ 1
2 + 2x x
e)
x ++ 1 2x =
x
= 2
2 x − 1+ x
2 x 1−
+ x x
x
1+ 1
2+
2
x
x
=
1+ 1
2 + 2
x
, =
3
;
1 2
1− 2 + 1
x
1+ 2 1+
1
f)
x+ 2 x+ 1
=
x
, =
1+ 2
=
3
;
3 x−+ 1 4x+ 1 1 1 3 4 5
3⋅ 1− + 4+
+
x x
x⋅( 3− 1) x(
3− 1) 3
1
g)
3 1
x x
−
x −
= = = x
2
9x − x+ 7 2 1 7 1 7 1 7
x ( 9 − + 2 ) x 9− + 2 − 9−
+ 2
x x
x x x x
, pentru x < 0, =−1;
h)
2 x 2− 3
+
5
2 −
2x − 3x+ 5 x
=
x
=
3x−4 x
4 ( 3 −
x)
2−
3
+
5
2 x x
, pentru x < 0, =−
2
.
3 −
4
3
x
Sinteză
S1. Soluţie:
Se aduc funcţiile raţionale la forma cea mai simplă.
2 2 2
f() x =
x + 2x+ 1+ x − 2x+ 14 2x 2
2 =
−
2 = 2.
Limita este = 2 .
x −1 x −1
3 2 2 2
( x+ 1) −8 −( x−1) | x−1| ( x− 1)( x + 2x+ 1−2x− 2+ 4) −( x−1) | x−1|
b) f() x = = =
( x−1)( x−2) ( x−1)( x−2)
2
x 3 ( x−1)| x−1|
=
+
− ; =
4
=−4;
x−2 x−2
−1
2 ( 2)(5 4)
c) ()
5x 6x 8 x− x+
f x =
− − 5 4
2 = =
x+
; = 7;
2x − 6x+ 4 2( x−1)( x−2) 2( x−1)
169

d)
e)
f)
( x− 3)( x+ 3) ( x− 3)( x+ 3)
f() x = = =
x+
3
, = 1;
( x−3)( x− 3+ x+ 3) ( x−3) ⋅2x
2x
2 2
2 1 ( 1)
()
x x x−
f x =
− +
= =
x−1
, = 0;
(2x−1)( x−1) ( x−1)(2x−1) 2x−1 2 2( 1)( 1) 2( 1)
()
2x2 x− x+ x−
f x =
−
1
2 = = , = .
3x −6x−9 3( x+ 1)( x−3) 3( x−3)
3
S2. Soluţie:
a) f (2− 0) = lim
x−1
=
1
=−∞;
x→2
x−2a b)
x<
2
f (2+ 0) = lim = lim =
4
=−∞.
( − 2)( + 2) 0 ⋅4
Aşadar
x→2
2
−x 2
−x −
2
x→2 x −4
x> 2
x→
2
x>
2
x x
+
lim f( x)
=−∞.
f (1 − 0) = lim
x −1
= lim
1
=
1
,
( x− 1)(2x+ 1) 2x+ 1 3
x→1 x→1
x<
1
4 3 ( x−1)( x−3)
f (1 + 0) = lim
− +
= lim = lim
−3
=−
2
.
9( 1) 9( 1) 9 9
2
x x x
x→1 x> 1
x− x→1 x>
1
x−
x→1
Aşadar f nu are limită în x0 = 1.
S3. Soluţie:
⎧±∞
,dacăa+ 2≠0 a) lim
2x+ a 2 a ⎪
=
+
=⎨
x→1
x 1 0 0
.
− − ,dacăa+ 2= 0
x<
1
⎪⎩ 0
Aşadar limita poate fi finită numai în cazul a = –2.
2( 1)
Pentru a = –2 obţinem: lim
2x2 x−
=
−
= lim = 2 .
x→1 x−1 x→1
x−1
2
b) lim
3x+ ax
=
9+ 9a
. Limita poate fi finită dacă 9 + 9a = 0, deci a = –1. Obţinem:
x→3
x − 3 0
x<
3
−
2 (3 )
lim
3x
x x −x
=
−
= lim = lim( − x)
=−3.
x→3 x−3 x→3 x−3
x→3
2
(1 −a) −4
c) Se obţine: = , deci este necesar ca (1 – a)
0±
2 = 4, deci a i {–1, 3}.
2
( x+ 1) − 4 ( x+ 3)( x− 1)
• Pentru a = –1 se obţine: = lim = lim = lim
x+
3
= 2 .
x→1 ( x− 1)( x+ 1) x→1 ( x− 1)( x+ 1) x→1
x+
1
2
( x−3) −4 ( x−5)( x−1) • Pentru a = 3 se obţine: = lim = lim = lim
x−5
=−2.
x→1 ( x− 1)( x+ 1) x→1 ( x− 1)( x+ 1) x→1
x+
1
2 2
d) Se aduce f la forma: f() x =
x + 3x−a
x
.
2
x −1
Se pune condiţia ca 1 2 + 3 · 1 – a 2 = 0, deci a 2 = 4 şi a i {–2, 2}.
Avem:
2
3 4 ( 1)
()
x x x xx−
f x =
+ −
= =
x
( x − 1)( x+ 1) ( x− 1)( x+ 1) x+
1
şi =
1
.
2
170

S4. Soluţie:
Cazuri de nedeterminare 0
. Este necesar să se aducă funcţiile raţionale la forme mai simple.
0
( x− 1)( x+ 1) ( x− 1)(6x+ 5)
a) f() x = + =
x+ 1
+
6x+ 5
( x −1)(2x−3) ( x− 1)(4x+ 1) 2x− 3 4x+ 1
; =
1
;
5
( 2)( 4)
b) ()
x 2 x− x−
f x =
−
− =
1
−
x−2
; =
1
;
( x− 2)(5x+ 6) ( x− 4)( x+ 4) 5x+ 6 x+
4 16
2 2
c) f() x =
2x + 2x +
x + x
=
2x
+
x
, =−1.
( x+ 1)( x+ 2) ( x+ 1)(2x+ 1) x+ 2 2x+ 1
S5. Soluţie:
a) = lim
2x+ 1
2 ⋅ lim
x
= 0⋅ 1= 0 ;
x→∞ 2
3x + 4x+ 1 x→∞
x + 1
2 x(
1+
1 )
b) = lim
4x+ 3 4 1
2 ⋅ lim
x
= ⋅ = 2 ;
x→∞ 2x + 6x+ 1 x→∞
4 21
x(
1+
2 ) x
2
c) = lim
3x + 4x ⋅ lim
x→∞ xx ( + 1) x→∞
x
=
3
⋅ 1= 3;
2
x + 1 1
2
d) l = lim
3x + 4x ⋅ lim
x→−∞ xx ( + 1) x→−∞ x
= 3⋅ lim 2
x + 1 x→−∞ x
x
=−3⋅ lim
1
1 x→−∞
+ 2
x
1
=−3.
1+
1
2
x
171

1.6.4. Limite fundamentale în calculul limitelor de funcţii
Exersare
E1. Soluţie:
a) = lim
sin 5x 5 5
( ) ⋅ = ;
x→0
5x6 6
⎛sin(6 x)
b) lim
6 ⎞
= ⎜ ⋅ ⎟=
1⋅ 6= 6 ;
x→0⎝
6x x+
1⎠
⎛ 2
sin(2 x )
c)
2⎞ = lim
2
⎜ 2 ⋅ =
x→0
2x
3
⎟ ;
⎝ ⎠ 3
d) = lim
sin 2x 4 2 1
( ⋅
x
⋅ ) = ;
x→0
2x sin4x 4 2
⎛ 2
sin( x − 1)
e) lim
x 1⎞
=
+
⎜ 2 ⋅ = 1⋅ 2= 2
x→1
x 1 1
⎟ ;
⎝ − ⎠
⎛ 2
sin(1 −x )
g) lim
1 x⎞
=
− 2
⎜ 2 ⋅ 1
1
2
⎟=
= ;
x→−
⎝ 1−
x ⎠ 2
⎛sin( x−2)
f) lim
1 ⎞
= ⎜ ⋅ ⎟=
1
;
x→2⎝
x− 2 x+
2⎠ 4
⎛ 2
sin(3x−3) h) lim
x 1 3 ⎞
=
−
3 3
⎜ ⋅ 2 ⋅ = 1⋅1⋅ =
x→1
3( x 1) sin( x 1) x 1
⎟ .
⎝ − − + ⎠ 2 2
E2. Soluţie:
tg2x a) l = lim
⎛ 2⎞ 2
⎜ ⋅ =
x→0
2x3 ⎟ ;
⎝ ⎠ 3
tg( x −1) π
b) l = lim
⎛ π ⎞ π
⎜ ⋅ =
x→1
( x 1) x 1
⎟ ;
⎝ − π + ⎠ 2
tg(3x − 9)
c) l = lim
⎛ 3 ⎞ 3 1
⎜ ⋅
x→3
3( x 3) x 3
⎟=
= ;
⎝ − + ⎠ 6 2
sin( x −π)
d) l = lim
⎛ x −π ⎞
⎜ ⋅ = 1
x→π
x−π tg( x−π)
⎟ ;
⎝ ⎠
⎛ 2 2 2 2
tg( x −1) ( 1)( 1)
e) lim
x x x 1⎞ 1
2 2 2 1 1 lim
x x− x+
=
− − −
⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
⋅ ⋅ 2 = lim
=
x→1⎝ x −1 sin( x −x) x −x⎠ x→1 x −x
x→1
xx ( −1)
= lim
x + 1
= 2 ;
x→1
x
⎛ 2 2
tg( x−1) f) lim
x 1 1 ⎞
=
−
1
⎜ 2 ⋅ 2 ⋅ =
x→1
( x 1) sin( x 1) x+
1
⎟ .
⎝ − − ⎠ 2
E3. Soluţie:
⎛arcsin(3 x)
a) lim
3⎞ = ⎜ ⋅ ⎟=
3
;
x→0⎝
3x5⎠ 5
⎛ 2
arcsin( x )
b)
1 ⎞
= lim
1
⎜ 2 ⋅ = = 1
x→0
x 1+ x
⎟ ;
⎝ ⎠ 1
⎛arcsin(10 x) c) lim
5x10⎞ = ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
2 ;
x→0⎝
10x arcsin(5 x)
5 ⎠
⎛arcsin(5 x) d) lim
10x 5 ⎞
= ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
1
;
x→0⎝
5x sin(10 x)
10⎠ 2
⎛
arctg(
x
π) 4
e)
4
x
π ⎞
x−π
⎜ − −
lim 4 ⎟
= 4
1 1
2 2 1 lim lim
x
π⎜ ⋅
16x
⎟=
⋅ ⋅ = = ;
→ x
π (4 x )(4 x ) x
π 4(4 x ) 8
4⎜ x−
π −π ⎟ → −π +π → +π π
4 4
⎝ 4
⎠
E4. Soluţie:
⎛ 2
ln(1 + x ) 1⎞ 1
a) = lim⎜
2 ⋅ ⎟=
;
x→0⎝
x 5⎠ 5
⎛ln(1+ 6 x)
6⎞ 6 3
b) = lim⎜
⋅ ⎟=
= ;
x→0⎝
6x8⎠ 8 4
⎛ 2
ln(1+ 5 x ) 5 ⎞ 5
c) = lim⎜ 2 ⋅ ⎟=
lim = 5 ;
x→0⎝ 5x 1+ x⎠ x→01+
x
⎛ 8x6⎞ 6 3
d) = lim⎜ ⋅ ⎟=
= ;
x→0⎝ln(1+
8 x)
8⎠ 8 4
⎛ 3 ln(1 + x)
1 ⎞ 1
e) = lim ⎜ ⋅ ⎟
x→0
3 3 ⎟=
;
3
⎝ x 5⎠ 5
⎛ 2 2
ln(1 + x ) 3x 1⎞ 1
f) = lim⎜
2 ⋅ 2 ⋅ ⎟=
.
x→0⎝
x ln(1+ 3 x ) 3⎠ 3
172

E5. Soluţie:
⎛ x
a)
3 1 1⎞ = lim ⎜
−
⋅ ⎟=
(ln 3) ⋅
1
=
ln3
;
x→0⎝ x 6⎠ 6 6
2
⎛ x
b)
3 1 1 ⎞
= lim
−
1
⎜ 2 ⋅ = (ln 3) ⋅ = ln 3
x→0 x 1+ x
⎟
;
⎝ ⎠ 1
x−1
8(8 −1)
c) = lim = 8⋅ln 8 ;
x→1 x−1
x+ 1 3 2
3 3
d)
2 2 ⎛ x−
lim lim 2
2 1⎞
=
−
= ⎜ ⋅
−
⎟=
2 ⋅ln
2 ;
x→2 x−2 x→2⎝
x−2
⎠
x x
e)
2 1 1 3 ⎛ x x
lim lim
2 1 3 1⎞ =
−+−
= ⎜
−
−
−
⎟=
ln 2− ln 3= ln
2
;
x→0 x x→0⎝
x x ⎠
3
⎛ x x
3 −1 2 −1
⎞
x x
f) lim
3 1 1 2 ⎜ −
lim
x x ln3 ln2⎟
=
−+−
x = x =
−
x→0 2 −1 ⎜ x→0
2 −1
ln 2 ⎟.
⎜ ⎟
⎝ x
⎠
Sinteză
S1. Soluţie:
a) = lim
1 ( ⋅
sinx +
sin9x 1 sin9 1 10
) = + lim
x ( ⋅ 3) = + 3=
;
x→0 3 x 3x 3 x→0
9x 3 3
⎛
b) lim
sin 2x 3sin 5x x ⎞
= ⎜ + + ⎟=
lim
sin 2x 2 sin 5 15
( ⋅ ) + lim
x ( ⋅ ) +
x→0⎝xx ( + 1) xx ( + 1) xx ( + 1) ⎠ x→0 2xx+ 1 x→0
5xx+ 1
+ lim
1
= 2 + 15 + 1 = 18 ;
x→0 x + 1
⎛sin(tg x) tg x⎞
c) = lim⎜ ⋅ ⎟=
1⋅ 1= 1;
x→0⎝
tg x x ⎠
⎛tg (sin x) d) lim
sin x 1⎞ = ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
1⋅1⋅ 1
=
1
;
x→0⎝
sin x x 2⎠ 2 2
⎛ 2 2 2 2
sin( x − 4x+ 3)
e) lim
3x 4x 1 x 4x 3⎞ =
− + − + 4 3
2 2 2 1 1 lim
x − x+
⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
⋅ ⋅ 2 =
x→1⎝ x − 4x+ 3 sin(3x − 4x+ 1) 3x − 4x+ 1⎠ x→1
3x − 4x+ 1
( x−1)( x−3) = lim = lim
x − 3
=−1;
x→1( x−1(3x−1) x→13x−1
⎛ 2 2 2 2
tg ( x + x− 2)
f) lim
x 5x 6 x x 2 ⎞
=
+ + + − 2
2 2 2 1 1 lim
x + x−
⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
⋅ ⋅ 2 =
x→−2⎝ x + x− 2 tg( x + 5x+ 6) x + 5x+ 6⎠ x→−2
x + 5x+ 6
( x+ 2)( x−1) = lim = lim
x−1
=−3;
x→−2( x+ 2)( x+ 3) x→−2x+
3
⎛ 2 2 2 2
arcsin( x −1) ( 1)( 1)
g) lim
x x x 1⎞ 1
2 2 2 lim
x x− x+
=
+ − −
⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
2 = lim
=
x→−1⎝ x − 1 arcsin( x + x) x + x⎠ x→−1x + x x→−1
x⋅ ( x+
1)
= lim
x−1
= 2 ;
x→−1
x
2 2 2 2
arctg( x − 6x+ 5) ⎛arctg( x − 6x+ 5)
h) lim
4 5 6 5
2 lim
x x x x ⎞
= =
+ − − +
⎜ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⎟=
x→1 arcsin( x + 4x−5) x→1⎝
x − 6x+ 5 arcsin( x + 4x− 5) x + 4x−5⎠ 2
( 1)( 5)
lim
x 6x 5 x− x−
=
− + 5 4 2
1
2 = lim = lim
x−
=
−
=− .
x→ x + 4x−5 x→1( x− 1)( x+ 5) x→1
x+
5 6 3
173

S2. Soluţie:
a) Folosim formula trigonometrică: cos2x = 1 – 2sin 2 x.
Rezultă că ( ) 2
2 2
= lim
1−+ 1 2sin x sin sin
2 = lim 2
x
2 = 2lim
x
= 2 ;
x→0 x x→0 x x→0
x
b) Folosim formula trigonometrică:
cos a− cosb=−2sin a+ b
⋅ sin
a−b .
2 2
Se obţine: = lim
−2sin 3x⋅sin x
=− 2lim
sin x
=−2⋅lim sin x 5 1 2
( ⋅
x
⋅ ) =− ;
x→0 sin 5x⋅sin 3x x→0 sin 5x x→0
x sin 5x 5 5
sin 3x ( ) ⋅3x−5⋅ sin x ( ) ⋅x 3⋅ sin 3x sin
( ) −5
x
3x x 3x ( x )
c) = lim = lim =
3−5 = 1;
x→0 sin 4x sin 3 x 0 sin 4 sin 3 4 6
( ) 4 2
x →
⋅ x− ⋅( ) ⋅3x 4
x ( ) −6⋅ x −
4x 3x 4x ( 3x
)
⎛tg(arcsin x) arctg x
d) lim
arcsin x⎞ = ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
1⋅1⋅ lim
arcsin x
=
x→0⎝ arcsin x sin(arctg x) arctg x ⎠ x→0
arctg x
⎛
lim
arcsin x x ⎞
= ⎜ ⋅ ⎟=
1⋅ 1= 1.
x→0⎝
x arctg x⎠
S3. Soluţie:
⎛ln(1+ sin 3 x) a) lim
sin3x⎞ = ⎜ ⋅ ⎟=
1⋅ lim
sin3x sin3 5 3 3 3
( ) = lim
x ( ⋅
x
⋅ ) = 1⋅1⋅ = ;
x→0⎝ sin3x sin9x⎠ x→0 sin5x x→0
3x sin5x 5 5 5
⎛ x x
ln(1+− 1 3 )
b) lim
x 1 3 ⎞
=
−
⎜ x ⋅ ⋅ = 1⋅1 ⋅− ( ln 3) =−ln
3
x→0
1 3 sin x x
⎟
;
⎝ −
⎠
⎛ln(1+ xsin x) c) lim
x sin 5x sin x ⎞
= ⎜ ⋅
⋅
⋅ ⎟=
1⋅1⋅ lim
sin x
=
x→0⎝ x⋅ sin x ln(1+ xsin5 x) sin 5x⎠ x→0
sin 5x
= lim
sin x 5 1 1 1
( ⋅
x
⋅ ) = 1⋅1⋅ = ;
x→0
x sin 5x 5 5 5
⎛ 2
ln(1+ ln( x+ 1)) ln( x + 1) xln( x+ 1) ⎞ x⋅ ln( x+
1)
d) = lim⎜ ⋅ 2 ⋅ 2 1 1 lim 2
x→0 ln( x 1)
⎟=
⋅ ⋅ =
⎝ + ln(1+ ln( x + 1)) ln( x + 1) ⎠ x→0
ln( x + 1)
⎛ 2
ln( x + 1) x ⎞
2
x→0
⎜ ⎟
= lim ⋅ = 1⋅ 1 = 1.
⎝ x ln(1 + x ) ⎠
S4. Soluţie:
sin ax 1 cos
sin (sin ax)
− ax
− ax
( )
cos
cos ax
= lim
ax
= lim = lim
sin ax cos 1 cos
( ⋅
bx
⋅
bx
⋅
− ax
⋅
a)
=
x→0 sin bx x→0 1 cos x 0
sin bx (sin bx)
bx →
−
−
ax sin bx cos ax 1−cosbx b
cosbx ( cosbx
)
2
2
2sin
ax ⎛ sin
ax bx ⎞
2
a 1−cosax a 2 a ⎜a 2 2 ⎟ a a a
x 0 0 2
0
2
b → 1 cosbx
b x→ bx b x→
b ax bx b b
= 111 ⋅ ⋅ ⋅ lim = ⋅ lim = lim ⋅ = ⋅ =
−
2sin ⎜ sin ⎟ b
2 ⎝ 2 2 ⎠
Dar =
1
şi se obţine că
a
=
1
, deci b = 2a.
8
b 2
2 2 2 2
Avem: E =
a −b =
a −4a =
−3
.
2 2 2 2
a + b a + 4a
5
174
( )
3
.

S5. Soluţie:
1 sin 2sin 2 ... sin sin 2sin 2 sin
n = lim( ⋅
x+ x+ + n nx) = 1⋅ lim
x x ( + + ... + n
nx)
=
x→0 x+ 1
x x→0
x x x
2 2 2 ( 1)(2 1)
lim
sin x sin 2 sin
( 4
x
...
nx
nn+ n+
= + ⋅ + + n ) = 1+ 2 + ... + n = = 14 .
x→0
x 2x nx
6
Se obţine 1 = 1, 2 = 1 + 22 = 5, 3 = 1 + 4 + 9 = 14, deci n = 3.
S6. Soluţie:
2 2
2x+ 3 x+ a−bx( x−1) (2 − b) x + ( b+ 3) x+ a
a) = lim = lim
.
x→∞ x−1 x→∞
x−1
Pentru ca limita să fie finită trebuie ca numărătorul să aibă gradul cel mult egal cu gradul
numitorului. Se impune condiţia 2 – b = 0, deci b = 2. Atunci:
= lim
5x+
a
= 5.
x→∞
x−1
Aşadar = a şi = 5.
2 2
x + x+ 1 − axx ( + 2) (1 − ax ) + (1− 2 ax ) + 1
a) Avem: = lim = lim
.
x→∞ x+ 2 x→∞
x+
2
Limita este finită dacă numărătorul are cel mult gradul 1.
Se impune condiţia 1 – a = 0, deci a = 1. Rezultă că:
= lim
−+ x 1
=−1,
dar l = 3 + b şi se obţine că –1 = 3 + b deci b = –4;
x→∞
x+
2
2 2 2
2 2
2
(1 )
c) lim( ) lim
x x a x
− a x + x
=− b+ x + x− ax =− b+ + −
=− b+
lim
.
x→∞ x→∞ 2
x
2
x + x+ ax →∞ x + x+ ax
Limita poate fi finită dacă 1 – a 2 = 0, deci a = 1 sau a = –1.
2
• Pentru a=−1⇒ =− b+ lim( x + x+ x)
=+∞.
x→∞
• Pentru a= 1⇒ =− b+ lim
x
=
1
−b.
Se obţine că
1
− b =
3
deci b = –1.
x→∞
2
x + x+ x 2
2 2
Aşadar a = 1, b = –1.
d) = lim
sin ax 3 1
( ⋅
x
⋅
a
⋅ ) = 1⋅1⋅ a
=
a
. Rezultă că
a
= 2 şi a = 12.
x→0
ax sin 3x 3 x+
2 6 6
6
ln(1+ 3 −x)
e) 1 = alim =−a,
iar
x→3
x−3
x−3 x−3
8(2 −1) ⎛2 1 8 ⎞
8 4
2 = lim = lim ⎜
−
⋅ ⎟=
(ln 2) ⋅ = ln 2 .
x→3 ( x− 3)( x+ 3) x→3⎝
x− 3 x+
3⎠ 6 3
Rezultă a =−
4ln2
;
3
x−2 x−2
16(2 −1) ⎛
f)
2 1 2 ln2 ln2 1
1 lim 2 lim
x ⎞
= x− = ⎜
−
⋅
−
x−2
⎟=
= = , iar
x→216(4 −1) x→2⎝
x−2
4 −1⎠
ln4 2ln2 2
2 = lim
x→1
2
x− a =
2
1−a
.
1
= −
2
se obţine
Din egalitatea
2
1
a
2
a =
3
, deci
4
175
a =±
3
.
2

1.7. Asimptotele funcţiilor reale
Exersare
E1. Soluţie:
a) D = ( −∞,0) ∪ (0, +∞ ) . Aşadar ±∞ sunt puncte de acumulare pentru D. Rezultă că:
• lim f( x)
= lim
1
= 0 şi lim f( x)
= lim
1
= 0.
x→+∞ x→+∞
x
x→−∞ x→−∞x
Aşadar dreapta y = 0 este asimptotă orizontală la –∞, şi la +∞.
b) D =−∞ ( ,3) ∪ (3, +∞. ) Se obţine:
lim f( x)
= lim
1
= 0 şi lim f( x)
= lim
1
= 0 ,
x→−∞ x→−∞
x − 3 x→+∞ x→+∞
x − 3
deci dreapta y = 0 este asimptotă orizontală la –∞ şi la +∞.
c) D = ( −∞,4) ∪ (4, +∞ ) . Se obţine: lim f( x)
= lim
x
=−1şi
lim f( x)
= lim
x
=−1.
x→−∞ x→−∞
4 − x
x→∞ x→∞4−x
Dreapta y = –1 este asimptotă orizontală la –∞ şi la +∞.
d) D =−∞ ( ,
1 1 ) ( , +∞)
2
∪
2
.
Se obţine: lim
x→−∞ f ( x) =
3
= lim
2 x→+∞
f( x)
. Dreapta y =
3
este asimptotă orizontală la –∞ şi la +∞.
2
e) D = Z, iar lim f( x) = lim f( x)
= 0 . Asimptota orizontală la –∞ şi la +∞ este dreapta y = 0;
x→∞ x→−∞
f) D = ( −∞, −
5 5 ) ( − , +∞)
∪ . Asimptota orizontală la –∞ şi la +∞ este y =
2
.
3 3
3
g) D = [0, +∞). În acest caz numai +∞ este punct de acumulare pentru D.
Se obţine lim f( x)
= 0 şi asimptota orizontală la +∞, dreapta y = 0.
x→∞
h) D = Z, y =
3
la ±∞.
2
x x 2
i) D = Z. Se obţine: lim f( x)
= lim 2 = lim
x
2 = 1,
x→−∞ x→−∞x+ x+ 1 x→−∞
x + x+
1
2
lim f( x)
= lim
−x
2 =−1.
x→−∞ x→−∞
x + x+
1
Dreapta y = 1 este asimptotă orizontală la +∞, iar y = –1 este asimptotă orizontală la –∞
E2. Soluţie:
a) D =−∞ ( ,1) ∪ (1, +∞. ) Avem: f(1 − 0) = lim
1
=
1
= −∞ , f(1
+ 0) = lim
1
=
1
= +∞ .
x−1 0 x−1
0
x→1 −
x→1
+
x< 1 x>
1
Dreapta x = 1 este asimptotă verticală bilaterală.
Dacă x0 i Z \ {1}, atunci lim
1
=
1
∈Z
, deci nu mai există alte asimptote verticale.
x→x x−1 x −1 0 0
b) D =−∞ ( ,1) ∪ (1, +∞. ) Rezultă lim f( x)
= lim
1
=
1
=+∞.
x→1 x→1
2
( x −1)
0+
Dreapta x = 1 este asimptotă verticală bilaterală;
c) D = ( −∞, −1) ∪( − 1,1) ∪ (1, +∞)
. Se obţine:
176

( −1− 0) = lim
x
= lim
x
=
−1
=−∞şi
( x− 1)( x+
1) −2⋅0 • f
x→−1 2
x −1
x→−1
x

d) D =−∞ ( ,1) ∪ (1, +∞. )
• Asimptota oblică la +∞.
2 2
f() x x + 2 x
Avem: m=
lim = lim = lim
x + 2x
= 1,
x→+∞ x x→+∞ x( x−1) x→+∞
x( x−1)
⎛ 2
lim( ( ) ) lim
x 2x ⎞
n= f x − x = ⎜
+
− x⎟=
lim
3x
= 3 .
x→∞ x→∞⎝ x−1 ⎠ x→+∞
x−1
Dreapta y = x + 3 este asimptotă oblică spre +∞.
• Asimptotă oblică spre –∞.
2
f() x
Avem: m=
lim = lim
x −2x
= 1 şi
x→−∞ x x→−∞x(
x−1)
2
n= lim ( f( x) − x) = lim
⎛x −2x x
⎞
lim
−x
⎜ − 1
x→−∞ x→−∞ x 1
⎟=
=− .
⎝ − ⎠ x→−∞
x−1
Dreapta y = x – 1 este asimptotă oblică spre –∞.
e) D = [0, +∞). Problema determinării asimptotei oblice se pune numai la +∞.
Se obţine:
f() x
m = lim = lim
x
= 1,
x→+∞ x x→+∞1+
x
n= lim ( f( x) − x) = lim
x x ( − x)
= lim
−x
=−∞.
x→+∞ x→∞ 1+ x x→∞1+
x
Rezultă că nu există asimptotă oblică.
f) D = ( −∞ ,
1 1 ) ( , +∞)
2
∪
2
.
Avem: m=
lim
x→−∞ 2
f() x ⎛
lim
x 2x ⎞
= ⎜
+
⎟=
1
,
x x→−∞⎝x(2x−1)
⎠ 2
2
1 ⎛
lim
2 5 5
( ( ) ) lim
x x x⎞ n= f x − x = ⎜
+
− ⎟=
lim
x
= .
x→−∞ 2 x→−∞⎝ 2x−1 2⎠ x→−∞2(2x−1)
4
Dreapta y =
x
+
5
este asimptotă oblică spre –∞.
2 4
Analog: m=
lim
x→+∞ 2
f() x
= lim
x −2x
=
1
,
x x→+∞
x(2x−1) 2
2
lim
2 3 3
( ( )
x ⎛ ) lim
x x x⎞
n= f x − = ⎜
−
− ⎟=
lim
−
=
−
.
x→∞ 2 x→+∞⎝ 2x−1 2⎠ x→∞
2(2x−1) 4
Dreapta y =
x
−
3
este asimptotă oblică spre +∞.
2 4
Sinteză
S1. Soluţie:
a) D = (–∞, 1) N (1, 3) N (3, +∞)
Avem: lim f( x) = lim f( x)
= 0 , deci y = 0 este asimptotă orizontală la –∞ şi la +∞.
•
x→−∞ x→+∞
f (1− 0) = lim
x
=
1
=+∞
( x−1)( x−3)
0 ⋅− ( 2)
x→1
−
x<
1
f (1+ 0) =
1
=−∞
,
0
−
178

f (3− 0) = lim
x
=
3
=−∞,
( x−1)( x−3)
2⋅0 x→3
−
x<
3
f (3 + 0) = +∞.
Rezultă că dreptele x = 1, x = 3 sunt asimptote verticale bilaterale.
b) D = (–∞, –1) N (–1, 1) N (1, +∞).
• Asimptote orizontale.
Se obţine:
2
2
lim f( x)
= lim
−x
2 =−1şi
lim f( x)
= lim
x
x→−∞ x→−∞
2 = 1,
deci y = –1 este asimptotă orizontală
x −1
x→+∞ x→∞x−1
la –∞, iar y = 1 este asimptotă orizontală la +∞.
• Asimptote verticale
x x
Se obţine: f( −+ 1 0) = lim f( x)
= lim =
−1
=+∞,
( x− 1)( x+
1) −2⋅0 x→−1 x→−
1
+
x>− 1 x>−1
f ( −− 1 0) =−∞,
xx
f (1− 0) = lim =
−1
=−∞,
( x− 1)( x+
1) 0 ⋅2
x→1
−
x<
1
f(1 + 0) = +∞.
Aşadar dreptele x = 1, x = –1 sunt asimptote verticale bilaterale.
Nu există asimptote oblice, deoarece la ambele ramuri există asimptote orizontale;
c) D =−∞ ( ,1) ∪(1,5) ∪ (5, +∞. ) Dreapta y = 1 este asimptotă orizontală la −∞ şi la +∞,
iar dreptele x= 1, x=
5 sunt asimptote verticale bilaterale.
d) Se pune condiţia 1+
x
U 0,
x−1
• Asimptote orizontale.
x−≠
1 0 . Se obţine D =−∞− ( , 1] ∪ ( 1, +∞. )
Avem lim f( x)
= lim
x→−∞ x→−∞
x+
1
=
x−1
1= 1 şi lim f( x)
= 1.
x→+∞
Rezultă că y = 1 este asimptotă orizontală la −∞ şi la +∞.
• Asimptote verticale
Avem lim f( x)
= lim
x+
1
=
x−1
2
0
=+∞,
deci x− 1 este asimptotă verticală.
x→1 x→1
x>
1
+
e) D =−∞− ( , 1) ∪− ( 1,1) ∪ (1, +∞. ) Avem, după explicitarea modulului:
⎧ 2
x
⎪ 2 , x ∈−∞− ( , 1) ∪ (1, +∞)
⎪x −1
f( x)
= ⎨
2
⎪ x
⎪⎩ 2 , x ∈− ( 1,1)
1−
x
• Asimptote orizontale.
Se obţine:
2
2
x
x
lim f( x)
= lim 2 = 1 şi lim f( x)
= lim 2 = 1
x→−∞ x→−∞x−1x→∞
x→∞
x −1
deci y = 1 este asimptotă orizontală la −∞ şi la +∞.
179

• Asimptote verticale
2
Avem: f ( −− 1 0) = lim
x
=
1
=+∞,
f(–1 + 0) = +∞, f(1 + 0) = + ∞, f(1 – 0) = + ∞.
x→−
1
2
x −1
0+
Dreptele x = 1 şi x = –1 sunt asimptote verticale bilaterale.
f) D = ( −∞, 1) ∪ (1, +∞ ) .
Deoarece lim f( x) =+∞ , lim f( x)
=+∞ nu există asimptote orizontale la –∞ şi la +∞.
x→∞ x→−∞
• Asimptote verticale
2
Avem: lim f( x)
= lim
x
=
1
=+∞.
x→1 x→1
x −1
0+
Dreapta x = 1 este asimptotă verticală bilaterală.
• Asimptote oblice
2
f() x
m=
lim = lim
x
= lim
x
= 1,
x→∞ x x→∞x⋅x−1x→∞ x−1
⎛ 2 2
lim
x ⎞
n= x lim
⎛ x
x
⎞
lim
x
1
x→∞⎜ −
x 1 ⎟= ⎜ −
x→∞ x 1
⎟=
= .
x→∞
⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ x−1
Aşadar y = x + 1 este asimptotă oblică spre +∞.
2
f() x x x
• m = lim = lim = lim =−1,
x→−∞ x x→−∞ xx−1
x→−∞1−
x
⎛ 2 2
lim
x ⎞
n= x lim
⎛ x
x
⎞
lim
x
1
x→−∞⎜ +
( x 1)
⎟= ⎜ +
x→−∞1 x
⎟=
=− .
x→−∞
⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ 1−x
Dreapta y = –x – 1 este asimptotă oblică spre –∞.
g) D = (–∞, –1) N (–1, 0) N (0, 1) N (1, + ∞).
Asimptote orizontale
2 2
Avem: lim f( x) = lim
x
= 1, lim f( x)
= lim
⎛ x ⎞
1
x x
2 ⎜
→+∞ →∞ x x
2 ⎟=
, deci y = 1 este asimptotă
x − x →−∞ →−∞⎝x
+ x⎠
orizontală la –∞ şi la + ∞.
• Asimptote verticale
Avem:
f(1+ 0) = lim f( x)
= lim = lim =
1
=+∞,
1 0
2
x x
x→1 x> 1
2
x→1 x − x
x> 1
x→1
x −
x>
1
f(1 − 0) = −∞, f(
− 1 + 0) = lim
x
= lim
x
=
−1
= −∞ , f(–1 – 0) = +∞.
x + 1 0
2
x→−1 2
x + x x→−1
x>− 1 x>−1
Aşadar x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale bilaterale.
2
Deoarece lim f( x)
= lim
x
= lim
x
= 0,
f(0 + 0) = 0, dreapta x = 0 nu este asimptotă
x→0 x→0 2
x + x x→0
x + 1
x< 0 x< 0 x<
0
verticală;
h) D =−∞− ( , 1) ∪− ( 1,1) ∪ (1, +∞. )
• Nu există asimptote orizontale.
• Asimptote verticale sunt dreptele x = –1 şi x = 1.
• Asimptote oblice.
180
+
+

3
f() x
Se obţine: m = lim = lim
x
= 1,
x→∞ x
2
x →∞ xx ( −1)
⎛ 3
lim ( ( ) ) lim
x ⎞
n= f x − x = ⎜ 2 − x⎟=
lim
x
2 = 0 .
x→+∞ x→+∞⎝x −1 ⎠ x→∞
x −1
f() x
Analog se obţine că lim = 1, lim ( f( x) − x)
= 0 , deci y = x este asimptotă oblică spre
x→−∞ x x→−∞
–∞ şi spre + ∞.
S2. Soluţie:
a) D =−∞ ( , 0) ∪ (0, +∞. )
• Asimptote orizontale
1
x 0
lim f( x) = lim x⋅
2 =∞⋅ 2 =∞,
x→∞ x→∞
lim
x→−∞ f( x) lim x
x→−∞
1
x 2
0
2
= ⋅ =−∞⋅ =−∞.
Aşadar nu există asimptote orizontale.
• Asimptote verticale
x→0
x<
0
1
x
− −∞
f(0− 0) = limx⋅ 2 = 02 ⋅ = 02 ⋅ = 0,
iar
x→0
x>
0
1
x
+ +∞
f(0+ 0) = limx ⋅ 2= 02 ⋅ = 02 ⋅ = 0
caz de excepţie.
1
1
x
x lim x 2 lim lim
x→0 x→0 1 y→∞
x> 0 x>
0
Avem: ⋅ =
2
x
=
y
2
=+∞.
y
Rezultă că x = 0 este asimptotă verticală lateral dreapta.
• Asiptote oblice
1
0
1
0
f() x
lim
1
x
lim
x ⋅2
1
x lim 2
0
2 1
x→∞ x→∞ x→∞
m = = = = = ,
x x
1 1
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
n= lim( f( x) − x) = lim x2x lim x 2 1 lim
2 −1
⎜ − ⎟= ⎜ − ⎟=
= ln 2 .
x→∞ x→∞⎝ ⎠ x→∞ ⎝ ⎠ x→∞1
x
1
1
f() x
⎛ 1 ⎞ x
x
x
Analog, m = lim = lim 2 = 1 şi n= lim⎜x⋅2− x⎟=
lim
2 −1
= ln2 .
x→−∞ x x→−∞
x→−∞⎝ ⎠ x→−∞1
x
Rezultă că dreapta y = x + ln2 este asimptotă oblică spre –∞ şi spre +∞.
b) Se pune condiţia e +
1
> 0 . Se obţine
xe 1
0
x
x
• Asimptote orizontale.
( ) 1
lim f( x) = lim xln e+ =∞⋅ ln e=∞,
x→∞ x→∞
x
( ) 1
lim f( x) = lim xln e+ =−∞⋅ ln e=−∞.
x→−∞ x→−∞
x
Nu există asimptote orizontale.
+
> cu soluţia: ( ) 1
181
1
x
x ∈ −∞, − ∪ (0, +∞ ) = D .
e

ln( e+ y)
(0+ 0) = lim ln + = lim = 0 ,
x y
• Asimptote verticale f x
1 ( e )
Dreapta
x→0y→∞ x>
0
1 1
( ) 1 ( )
ln( e+ y)
f − − 0 = lim xln e+
= lim =
−∞
=+∞.
e x y→−e y −e
x→−
e
x 0.
Rezultă că x i (–∞, –1) (0, +∞) = D.
x
• Asimptote orizontale
1 1
ln(1 + y)
lim f( x) = lim( x− 1) ln ( 1+ ) = lim
⎛
1
⎞
ln(1 y) lim
⎛
(1 y)
⎞
1 1 1
x→∞ x→∞ x
⎜ −
y→0 y
⎟ + = ⎜ − = ⋅ ⋅
y→0
y
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y>
0
1 1
( ) 0 0
ln(1 + y)
lim ( x− 1) ln 1+ = lim
⎛
1
⎞
ln(1 y) lim
⎛
(1 y)
⎞
1
x→−∞ x
⎜ −
y→y ⎟ + = ⎜ ⋅ − =
y→y
⎟ .
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y<
0
Rezultă că y = 1 este asimptotă orizontală la –∞ şi la + ∞.
• Asimptote verticale
• f x
1 ( )
x→−1
x
x
0
Dreptele x = –1, x = 0 sunt asimptote verticale.
3
d) Condiţii de existenţă:
x + 1
U 0, x −1≠0. x −1 Se obţine x ∈−∞ ( , − 1] ∪ (1, +∞)
.
Deoarece lim f( x)
=+∞ nu există asimptote orizontale.
x→±∞
+
182

• Asimptote verticale
f (1 + 0) = lim
x→1
3
x + 1
=
x −1
2
0
=+∞,
deci dreapta x = 1 este asimptotă verticală.
x>
1
+
• Asimptote oblice
f() x
• m = lim = lim
1
x→∞ x x→∞ x
3
x + 1
= lim
x−1 x→∞
3
x + 1
= 1,
2
x ( x−1)
x + 1 x + 1
n= f x − x = − x = = =
3 2
2
3 ⎛ − x
lim( ( ) ) lim
x + 1 ⎞
lim x−1 lim x−1
⎜ x x x 1 ⎟
→∞ →∞ x→∞ 3
x 1 x→∞
⎝ − ⎠ + x
1
+ x ⎛ + ⎞
2
2 ⎜ ⎟
2
= lim
x + 1
⋅
1
= 1⋅
1
=
1
.
x→∞
xx ( −1)
1 2 2
x + 2
x + 1
x −1
183
x − 1 x x
⎜
+ x
x −1
⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dreapta y = x+
1
este asimptotă oblică spre +∞.
2
• m = lim
x→−∞ f() x
= lim
1
x x→−∞ x
3
x + 1
= lim −
x−1 x→−∞
3
x + 1
=−1,
2
x ( x−1)
⎛
n= lim ( f( x) + x) = lim⎜ x→−∞ x→−∞⎝ 3
x + 1 ⎞ ⎛
+ x = lim ⎜
x−1 ⎟
⎠ y→+∞⎝ 3
1−y ⎞ ⎛
− y⎟= lim⎜
−y− 1 ⎠ y→∞⎝
3
y −1
⎞
− y⎟=
y+
1 ⎠
3
y −1 2
− y
y+ 1
= lim = lim
y→∞ 3
y −1 y→∞ + y
y+ 1
⎛
2
−y −1
⎜
⎜ 2
y+ 1 −y −1
= lim ⎜ ⋅ 3
y − 1 y→∞⎜yy
( + 1)
+ y
y+
1 ⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
1 ⎟=−
1
.
1 2
y+
⎟
2
y ⎟
+ 1⎟
y+
1 ⎠
Dreapta
y =−x− 1
este asimptotă oblică spre –∞.
2
S3. Soluţie:
2
Pentru numitor avem ∆= a −4a− 4.
Deosebim următoarele cazuri:
• ∆< 0 . Atunci domeniul de definiţie pentru funcţia f este D = Z şi nu există asimptote
verticale.
• ∆= 0 . Atunci x 2 – ax + a + 1 = (x – x0) 2 şi dreapta x = x0 este asimptotă verticală.
Se obţine: a ∈{2− 2 2, 2+ 2 2} .
• ∆> 0 . Atunci x 2 ( x− 1)( x+
1)
– ax + a + 1 = (x – x1)(x – x2) şi f() x =
.
( x −x)( x−x )
1 2
Dreptele x = x1 şi x = x2 sunt posibile asimptote.
Pentru a rămâne doar o asimptotă, fracţia f(x) trebuie să se simplifice fie cu x – 1, fie cu x + 1.
Dacă x – x1 = x – 1 atunci x1 = 1 şi 1 2 – a + a + 1 = 2 @ 0.

Dacă x – x1 = x + 1 atunci x1 = –1 şi (–1) 2 2
+ a + a + 1 = 0 ± a = –1, iar f() x =
x −1 x 1
2 =
−
,
x + x x
cu singura asimptotă verticală x = 0.
În concluzie există o singură asimptotă verticală dacă a ∈{2−2 2, − 1, 2+ 2 2} .
S4. Soluţie:
a) Avem:
2
f() x ax + 2a
+ bx
m= lim = lim
= a.
x→∞ x x→∞
x( x−1)
Din egalitatea a = a 2 se obţine a i {0, 1}.
Pentru a = 0, f() x =
bx
, y = 2.
Atunci este necesar ca 2 = lim f ( x) = b.
x −1
x→∞
2
Pentru a = 1, f() x =
x + bx+
2
, y = x+
2.
x −1
⎛ 2 ( 1) 2
Se pune condiţia 2 lim( ( ) ) lim
x bx 2 ⎞ b+ x+
= n= f x − x = ⎜
+ +
− x⎟= lim = b+
1.
x→∞ x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞
x−1
Aşadar b + 1 = 2 ± b = 1.
b) Avem m = 1. Rezultă că
2
⎛( x+ a)( x+ a+ 1) ⎞ ( a− 1) x+ a + a
− a+ 3= n= lim( f( x) − x) = lim⎜ − a⎟= lim = a−1.
x→∞ x→∞⎝ ( x+ a+ 2) ⎠ x→∞
x+ a+
2
Aşadar –a + 3 = a – 1 ± a = 2.
184

Soluţii
1.
Teste de evaluare
Testul 1
2
( x−3) x−3
1
x→3 x→3
2 1 2
= lim = lim = 0, = 1, + = 1.
Răspuns: a).
( x− 3)( x+ 3) x+
3
( ) 0
2 0 2
2
sin( x − 5x+ 4) ⎛sin( x − 5x+ 4)
2. a) lim lim
x 1 x 5x 4⎞
= ⋅
−
⋅
− +
=
x→1 1
2
sin( x−1) x→
⎜
x − 5x+ 4 sin( x−1) x−1⎟
⎝ ⎠
2
( 1)( 4)
1 1 lim
x 5x 4 x− x−
= ⋅ ⋅
− +
= lim = lim( x − 4) =−3;
x→1 x−1 x→1 x−1
x→1
2 2
b) lim
x + 3x = lim
x + 3x =
1
=
1
.
x→∞ 2
2x+ 1 x→∞
(2x + 1) 4 2
2
f() x
3. b= m=
lim = lim
x + ax+
3
= 1,
2
x→∞ x x→∞
x
2
2 = n= lim( f( x) − x) = lim
⎛x + ax+ 3
x
⎞
lim
ax+
3
⎜ − a
x→∞ x→∞ x
⎟=
= .
⎝ ⎠ x→∞
x
Aşadar a = 2, b = 1, a + b = 3. Răspuns corect a).
Soluţii
Testul 2
1. a) lim
xarcsin x ⎛
lim
x arcsin x x ⎞
= ⎜ ⋅ ⋅ ⎟=
1⋅1⋅ 1= 1;
x→0 sin x⋅arctg x x→0⎝sin
x x arctg x⎠
b)
2. 1
2 x 1+ 1
+
1 1 1
2 − 1+
+ 2
lim
x + x− 1 x x
= lim
x
= lim
x
=−
1
.
x→−∞ 3x−1 x→−∞ 1 x→−∞
x
1 3
( 3−
)
3−
x
x
x x x x
lim
3 1 1 a ⎛
lim
3 1 a 1⎞ =
−+−
= ⎜
−
−
−
⎟=
ln 3− ln a = ln
3
.
x→0 x x→1⎝
3 x ⎠
a
Aşadar ln
3
= 1⇒ 3
= e deci a =
3
. Răspuns corect c).
a a
e
ax + 1
2
3. Deoarece lim f ( x) = lim 2 = a,
rezultă că dreapta y = a este asimptotă orizontală.
x→∞ x→∞
x + 2bx+ 1
Este necesar ca f să nu mai admită alte asimptote.
Pentru a nu exista asimptote verticale se pune condiţia ca ecuaţia x 2 + 2bx + 1 = 0 să nu aibă
soluţii reale.
Se obţine ∆ = 4b 2 – 4 < 0, deci b i (–1, 1).
Răspuns corect c).
185

Soluţii
1. a)
2.
Testul 3
− − ( x− 2)(3x+ 2) +
2
lim
3x 4x x→2 2
x − 4
4
= lim
x→2 = lim
3x 2
=
8
= 2 ;
( x− 2)( x+ 2) x→2
x+
2 4
x x 2
x x 2 x x 2
(2 −3 ) ⎛2 3 ⎞ ⎛2 1 3 1⎞
2
lim = lim⎜ −
⎟⋅ = lim ⎜
−
−
−
⎟ = (ln 2−ln 3) .
x→0 xsin x x→0⎝ x ⎠ sin x x→0⎝
x x ⎠
b)
x ( )
( x − a)( x+ a) ( x− a)( x+ a)( x+ 4 = lim = lim
x→a x−a x→a ( x−a) a) ( x+ a)( x+ = lim
x→a 1
a)
=
= 2a⋅ 2 a = 4a
a . Rezultă că a a = 1 şi a = 1.
3. Avem:
a= m=
lim
x→∞
2 2
x + a
= 1,
iar
x
1 = n= lim ( f( x) − x) = lim(
x→−∞ x→∞ ceea ce nu se poate.
2 2
2
x + 1 − x)
= lim
x + 1−x = lim
x→∞2 x + 1+ x x→∞
1
= 0 ,
2
x + 1+
x
a= m=
lim
x→−∞
2 2
x + a
=− 1,
deci a = –1, iar a+ = n= x
x + + x =
x + 1−x
=
x + 1 −x
Aşadar a = –1 are proprietatea cerută.
4. Pentru x → –x se obţine egalitate 2f(–x) + 3f(x) = x 2 – 1, ¼x i Z.
2
⎧ ⎪2
f( x) + 3 f( − x) = x −1
Formăm sistemul ⎨
.
2
⎪⎩ 3 f( x) + 2 f( − x) = x −1
Prin scădere se obţine că f(–x) = f(x) deci f este funcţie pară.
2
Aşadar, din prima ecuaţie se obţine: f() x =
x −1
.
5
2
x0
−1
Avem că lim f( x)
= , ¼x0 i Z.
x→x 5
Soluţii
0
Testul 4
1. Funcţia f are limită pentru ¼x i (–∞, a) N (a, + ∞).
Avem:
3 3 3
f ( a− 0) = lim( x + a ) = 2 a ,
x→a .
f( a+ 0) = lim( x+ 1) = a+
1
x→a Funcţia are limită în a dacă f(a – 0) = f(a + 0), deci 2a 3 = a + 1.
2 2
2
1 lim( 1 ) lim 0
x→−∞ x→−∞
2
Avem succesiv:
2a
186
3 – a – 1 = 0 ± a 3 – a + a 3 – 1 = 0 ± a(a – 1)(a + 1) + (a – 1)(a 2 + a + 1) = 0 ±
(a – 1)(a 2 + a + a 2 + a + 1) = 0 de unde a = 1 şi 2a 2 + 2a + 1 = 0, fără soluţii reale.
.

2. Calculăm limitele laterale în x0 = 1.
2
Rezultă că f(1 − 0) = lim( x + ax+ 3) = a+
4 , f (1 + 0) = lim
3x+ b
=
b+
3
.
x→1
x→1
2
x + 2 3
Aşadar a + 4= b
+ 1 deci b = 3a + 9.
3
Avem că:
2
f() x − f(1) 3 4 ( 1)( 1)
lim lim
x ax a x− x+ a+
=
+ + − −
= lim = lim( x+ a+
1) =
x→1 x−1 x→1 x−1 x→1 ( x−1)
x→1
x< 1 x<
1
= a + 2 , iar
3x+ b
−
b+
3
= = =
2
2
f() x − f(1) ( 3) 9 6
lim lim x + 2 3 − b+ x + x+ b−
lim
x→1 1 1
2
x−1 x→ x−1 x→
3( x− 1)( x + 2)
x> 1 x>
1
( x−1)[ − ( b+ 3)( x+ 1) + 9] − ( b+ 3)( x+ 1) + 9 9 − 2( b+ 3)
= lim = lim
= =
3−2b .
x→1 2
1
2
3( x− 1)( x + 2) x→
3( x + 2) 9 9
⎧ a 2
3−2b ⎪ + =
Din egalităţile ⎨ 9 se obţine că a=− 11
, b=
12
.
5 5
⎪ ⎩b=
3a+ 9
3. Se obţine:
f() x ax+ 2
bx + cx− 1
2
bx + cx−1
x→+∞ x→∞ x→∞
2
2= m= lim
x
= lim
x
= a+ lim
x
= a+ b.
− 1 = lim
x→−∞ f ( x) = lim ( ax +
x→−∞ 2 2 2
2 2
2
1
( b a ) x cx 1
1) lim
bx cx a x − + −
bx + cx − =
+ − −
= lim
.
x→−∞ 2 2
bx + cx −1− ax x→−∞
bx + cx −1−ax Se impune condiţia b – a 2 = 0, pentru ca limita să fie finită. Rezultă că:
− 1= lim
x→−∞ cx−1 = lim 2
bx + cx−1− ax x→−∞ x
x⋅ 1 ( c− x)
= lim
c 1 x→−∞
b+ − 2− ax
x x
c−
1
x
=
c
b+ c
−
1 a
2−a
−−
x x
.
b
Aşadar se obţine sistemul de condiţii
⎧
⎪a+
b = 2
⎪ 2
⎨a=
b , cu soluţia c = 2, b = 1, a = 1.
⎪ c
⎪ = 1
⎩a+
b
187

Capitolul II. Funcţii continue
1.1. Mulţimi de puncte pe dreapta reală
Exersare
E1. Soluţie:
a) Folosind operaţiile cu limite de funcţii se obţine:
2 2 2
lim f ( x) = lim( x − 7 x) = lim x − lim 7x= x − 7x
, ¼x0 i Z.
Deoarece
x→x x→x x→x x→x 0
2
0 0
0 0 0 0
188
0 0
f ( x ) = x − 7x
rezultă că funcţia f este continuă pentru ¼x0 i {–1, 0, 1}.
b) Fie x0 i {–1, 0, 2}. Rezultă că:
lim f ( x) = lim( x+ 2 x) = lim x+ 2 lim x = x + 2 x = f( x ) ,
x→x x→x x→x x→x 0 0 0 0
deci f este funcţie continuă în x0 i {–1, 0, 2}.
c) Pentru x0 i {–2, 1} se obţine că
0 0
0
0 0 0
2 2
x0
lim f ( x) = lim
x
= = f( x0)
, deci f este continuă în x0;
x→x x→x x+ 1 x + 1
E2. Soluţii:
2
a) Avem: f(1 − 0) = lim x = 1, f(1 + 0) = lim(2 x− 1) = 1, f(1)
= 1 , deci funcţia este continuă în
x0 = 1;
b) Se obţine:
x0 = 0.
x→1 x→1
f(0 − 0) = lim
sin x
= 1, f(0 + 0) = lim( x+ 1) = 1, f(0)
= 1,
deci f este continuă în
x→0 x
x→0
c) Se obţine: f(0 − 0) = lim(3x+ 1) = 1, f(0 + 0) = lim
arcsin x
= 1, f(0)
= 1,
deci f este
x→0 x→0
x
continuă în x0 = 0.
• f(1 − 0) = lim
arcsin x
= arcsin1 =
π
, f(1+ 0) = limln x=
0 , f(1) = 0, deci f este discontinuă
x→1 x
2
x→1
în x0 = 1.
d) Punctul x0 = –1 este punct izolat al domeniului de definiţie, deci funcţia f este continuă în
x0 = –1.
Avem:
f(1 − 0) = lim(3 + x) = 4 , f(1 + 0) = lim
x + 3
= 4 , f(1)
= 4 ,
x→1 x→12x−1
deci funcţia f este continuă în x0 = 1.
E3. Soluţie:
a) Funcţia este continuă pe x0 ∈−∞ ( ,1) ∪ (1, +∞. )
Studiem continuitatea în x0 = 1. Se obţine:
2
f(1− 0) = lim( x − x+ 2) = 2, f(1+ 0) = lim(2x− 1) = 1, f(1)
= 2 .
x→1 x→1
Limitele laterale există, sunt finite, deci punctul de discontinuitate x0 = 1 este de prima speţă.
b) Studiem continuitatea în x0 = 0. Se obţine:
x x x
f(0− 0) = lim(2 − 2) =− 1, f(0+
0) = lim(2 − 3 ) = 0 .
x→0 x→0
Rezultă că x0 = 0 este punct de discontinuitate de prima speţă.

c) Se obţine:
2
f (1− 0) = lim
x
=
1
=−∞,
x−1
0
x→1
−
x<
1
f(1 + 0) = lim(3 x−
1) = 2 , deci x0 = 1 este punct
de discontinuitate de speţa a doua (limitele laterale există şi una este infinită).
d) Avem: f(0 + 0) = lim ln x=−∞, f(0
− 0) = lim
1
=−∞, f(0) = 2. Punctul x0 = 0 este punct
x→0 x→0
x
x> 0 x<
0
de discontinuitate de speţa a doua (deoarece limitele laterale sunt infinite).
E4. Soluţie:
În acest cazuri vom studia continuitatea funcţiilor numai în punctele de legătură, în rest fiind
sigur funcţii continue.
2
f(1 − 0) = lim( x+ a) = 1 + a, f(1+ 0) = lim x + x+
1 = 3 , f(1) = 1 + a.
189
x→1
a) Avem: ( )
x→1 x→1
Dacă a + 1 = 3, deci a = 2, funcţia f este continuă pe Z, iar pentru a @ 2, domeniul de
continuitate este Z \ {1}.
b) f (0 – 0) = 1 + 2 a , f (0 + 0) = 3, f (0) = 1 + 2 a . Dacă 1 + 2 a = 3, deci a = 1 funcţia f este
continuă pe Z \ {0}.
sin( ax) sin( ax) c) Avem: f (0 − 0) = lim = lim
⎛ a⎞ a
x→0 2x ⎜ ⋅ =
x→0
ax 2
⎟ ;
⎝ ⎠ 2
sin(5x+ 2 a)
2
f (0+ 0) = lim = 2 a, f(0) = 2a
.
x→0
2x
2
Funcţia f este continuă în x0 = 0, dacă şi numai dacă
a
= 2a= 2a
, deci dacă a = 0.
2
• Pentru a = 0, funcţia f este continuă pe Z.
• Pentru a i Z \ {0} funcţia f este continuă pe Z \ {0}.
d) Studiem continuitatea în x0 = 0 şi x0 = 1.
Avem:
• f(0− 0) = lim(2ax+ 1) = 1, f(0+ 0) = lim( x+ a) = a, f(0)
= 1
•
x→0 x→0
f (1 − 0) = lim( x+ a) = 1 + a, f(1+ 0) = lim(3 x+ b) = 3 + b, f(1) = b+
3 .
x→1 x→1
• Pentru a = 1 şi 1 + a = 3 + b, deci a = 1, b = –1, funcţia f este continuă pe Z.
• Pentru a = 1 şi b i Z \ {–1} funcţia este continuă pe Z \ {1}.
• Pentru a @ 1 şi a @ b + 2, funcţia este continuă pe Z \ {0, 1}.
Sinteză
S1. Soluţie:
Studiem continuitatea funcţiilor în punctele de legătură în celelalte puncte din domeniu de
definiţie, acestea fiind continue.
2 2
sin( ax + x ) ⎛sin( ax + x )
a) (0 0) lim lim
a x⎞
f − = =
+
a
2
x→0 x x→0⎜
⋅ =
ax + x 1 ⎟ ,
⎝ ⎠
3 3
f(0 + 0) = lim ln( x+ e ) = ln e = 3, f(0)
= 3 .
x→0
• Pentru a = 3, domeniul de continuitate este Z.
• Pentru a i Z \ {3} domeniul de continuitate este Z \ {0}.

) f (1− 0) =
2
6+ 4a + 4 a, f(1+ 0) = 1+ 4a.
Funcţia este continuă în x0 = 1 dacă
2
6+ 4a + 4a = 1+ 4a.
Se obţine a =
1
.
2
• Pentru a =
1
domeniul de continuitate este C = Z, iar pentru a ∈Z \
1
2
{ 2}
avem C = Z \ {1}.
c) Se obţine:
f(0 – 0) = 2a + 1, f(0 + 0) = a, f(0) = –1 + sinaπ.
Funcţia este continuă în x0 = 0 dacă 2a + 1 = a = –1 + sinaπ, adică a = –1.
• Pentru a = –1, avem C = [–1, ∞), iar pentru a i Z \ {–1} se obţine C = [–1, 0) N (0, + ∞)
d) f(a – 0) = 2 a + a, f(a + 0) = 3 a + a. Egalitatea 2 a + a = 3 a + a conduce la a = 0.
• Pentru a = 0 avem C = Z, iar pentru a i Z \ {0} avem C = Z \ {a}.
S2. Soluţie:
Se studiază continuitatea funcţiei f în punctele de legătură, în celelalte puncte ale domeniului
de definiţie, aceasta fiind continuă.
a) f(1 – 0) = 9 a – 4 · 3 a+1 + 12, f(1 + 0) = a – a – 15 = –15.
Condiţia de continuitate în x0 = 1 conduce la ecuaţia exponenţială 9 a – 4 · 3 a+1 + 12 = –15.
Notăm 3 a = y > 0 şi rezultă ecuaţia y 2 – 12y + 27 = 0 cu soluţiile y1 = 3, y2 = 9.
Aşadar 3 a = 3 cu soluţia a = 1 şi 3 a = 9 cu soluţia a = 2.
b) Deosebim cazurile.
• 2a – 1 = a 2 bx
⎧ ⎪3
+ 2 x, xT
1
deci a = 1 când D = Z, iar f() x = ⎨
.
bx
⎪⎩ 9x− 4 , x > 1
Funcţia f este continuă în x = 1, dacă f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1), deci dacă 3 b + 2 = 9 – 4 b .
Rezultă ecuaţia exponenţială 3 b + 4 b = 7 cu soluţia unică b = 1.
• 2a – 1 @ a 2 .
În acest caz avem 2a – 1 < a 2 şi
¼a i Z \ {1}, b i Z.
2
D= ( −∞, 2a− 1] ∪ [ a , +∞)
, iar funcţia este continuă
c) Se obţine: f(1 – 0) = 2 a – 3 b ,
f(1 + 0) = 3 a–1 · 2 1+b , f(1) = 12.
a b
⎧⎪ 2 ⋅ 3 = 12
Funcţia este continuă în x0 = 1 dacă ⎨
.
a− 1 1+
b
⎪⎩ 3 ⋅ 2 = 12
a b
⎧⎪ 2 ⋅ 3 = 12
Sistemul se scrie sub forma ⎨ .
a b
⎪⎩ 3 ⋅ 2 = 18
Înmulţind şi împărţind cele două ecuaţii ale sistemului se obţine:
a b
⎧6 ⋅ 6 = 12⋅18 ⎧ a+ b 3
⎪
⎪
6 = 6
⎨ a b
2 3 12
sau mai simplu scris: ⎨ a−b ⎪(
3) ⋅ ( 2) =
⎪
2 2
⎩ 18
⎩
=
3 3
⎧a+
b=
3
Aşadar ⎨ şi rezultă soluţia a = 2, b = 1.
⎩a−
b=
1
190
( ) ( )
1
.

d) Obţinem: f(1 – 0) = 2 a + 3 b , f(1 + 0) = 5, f(2 – 0) = 5, f(2 + 0) = 2 2a + 3 2b – 8.
Funcţia f este continuă în x = 1 şi x = 2 dacă 2 a + 3 b = 5 şi 2 2a + 3 2b – 8 = 5.
a b
⎧ ⎪2
+ 3 = 5
Se obţine sistemul de ecuaţii exponenţiale ⎨
.
2a 2b
⎪⎩ 2 + 3 = 13
Se notează 2 a = u, 3 b ⎧u+
v=
5
= v şi avem ⎨ .
2 2
⎩u
+ v = 13
Se substituie v = 5 – u în a doua ecuaţie şi rezultă ecuaţia de gradul 2 în u: u 2 + (5 – u) 2 = 13
cu soluţiile u1 = 2, u2 = 3. Pentru u = 2 se obţine v = 3 iar pentru u = 3 se obţine v = 2.
x
x
⎧ ⎪2
= 2 ⎧ ⎪2
= 3
Aşadar rezultă sistemele de ecuaţii: ⎨ şi
y ⎨ y
⎪⎩ 3 = 3 ⎪⎩ 3 = 2
cu soluţiile x = y = 1, respectiv x = log23, y = log32.
S3. Soluţie:
a) Avem: f(1 – 0) = 2, f(1 + 0) = a + b + 3, f(1) = 2.
Funcţia f este continuă şi în punctul x0 = 1 dacă 2 = a + b + 3, deci a + b = –1.
Avem:
2
f() x − f(1) ( 1)(32) • lim lim
3x x 2 x− x+
=
− −
= lim = lim(3x + 2) = 5.
x→1 x−1 x→1 x−1 x→1 x−1
x→1
•
x<
1
− − + +
lim = lim = lim = lim ax ( + 1) + b=
f() x f(1) 2
ax + bx + 3−a−b−3 ( x 1)(( a x 1) b)
x→1 x>
1
x−1 x→1 x−1 x→1 x−1
x→1
= 2a+ b.
Limita dată există dacă 2a + b = 5.
⎧a+
b=−1
Rezultă sistemul de ecuaţii ⎨ cu soluţia a = 6, b = –7.
⎩2a+
b=
5
2 2 2
ln(1 + sin x) ⎛ln(1+ sin x) b) Obţinem: (0 0) lim lim
sin x ⎞
f − = = 1 0 0, f(0 0) b
2
x→0 x x→0⎜
⋅ = ⋅ = + =
sin x x ⎟
.
⎝ ⎠
Funcţia este continuă şi în punctul x0 = 0 dacă b = 0.
2 2 2
f( x) − f(0) ln(1 + sin x) ⎛ln(1 + sin x) Avem: lim lim lim
sin x ⎞
= = 1 1 1
x→0 x 0
2
x 0
2 2
x → x → ⎜ ⋅
sin x x
⎟=
⋅ = , iar
x<
0
⎝ ⎠
f() x − f(0) lim = lim
ax − 0
= a .
x→0 x x→0
x
x>
0
Limita există dacă a = 1. Aşadar a = 1, b = 0.
191

2.2. Operaţii cu funcţii continue
Exersare
E1. Soluţie.
Toate funcţiile f şi g sunt funcţii continue deci f + g, f – g, f · g şi f
g
domeniul de definiţie.
192
sunt funcţii continue pe
E2. Soluţie:
a) Avem: ( f g)( x) = f( gx ( )) = gx ( ) − 1 = (2x−3) − 1= 2x−4, ( g f)( x) = g( f( x)) = 2 f( x) − 3 = 2( x−1) − 3 = 2x−5. Funcţiile compuse sunt continue pe Z deoarece sunt funcţii elementare (funcţii de gradul 1);
2 2 2
b) Avem: ( f g)() x = f(()) g x = g () x + 1 = ( x− 1) + 1= x − 2x+ 2,
2 2
( g f)() x = g( f()) x = f() x − 1 = ( x + 1) − 1=
x .
Funcţiile obţinute prin compunere sunt funcţii de gradul 2 şi sunt continue pe Z.
c) Avem:
2 2 2
( f g)( x) = f( g( x)) = g ( x) + 1 = ( x− 1) + 1= x − 2x+ 2,
2
( g f)( x) = g( f( x)) = f( x) − 1= x + 1−1. Funcţiile compuse sunt continue deoarece f şi g sunt continue.
d) Funcţiile f, g sunt continue deci şi f g, g f sunt continue.
2 2 2
Avem ( f g)( x) = ln[(2x− 1) + 1] = ln(4x − 4x+ 2), ( g f)( x) = 2ln(1 + x ) −1.
Sinteză
S1. Soluţie:
Fie h = f + g.
⎧x+ a, xT0 ⎧2
ax, xT0 ⎧ x+ a+ 2 ax, xT
0
hx () = ( f+ g)() x= f() x+ gx () = ⎨ + ⎨ = ⎨
.
2 2
⎩x + 1, x> 0 ⎩x−
x , x>
0 ⎩x+
1, x>
0
Avem că h(0 – 0) = a şi h(0 + 0) = 1.
Aşadar f + g este continuă şi în x0 = 0 dacă a = 1.
S2. Soluţie:
a) Deoarece f(1 – 0) = –1 şi f(1 + 0) = 1, funcţia f nu este continuă în x0 = 1.
Domeniul său de continuitate este C = Z \ {1}.
Funcţia
2
f : Z → Z este
⎧⎪−
2
( 1) , xT1, ∀x∈Z () = ⎨
şi este continuă pe Z.
2 ⎪ ⎩1,
x > 1
2
f x
b) Avem: f(1 – 0) = 1, f(1 + 0) = –1 deci f este discontinuă în x0 = 1.
2
2
2 ⎧x
, xT
1
Pentru f avem: f () x = ⎨ .
⎩1,
x > 1
2
Se observă că funcţia f este continuă pe Z.

c) Avem: f(1 – 0) = a + 1, f(1 + 0) = 3. Dacă a + 1 = 3, deci a = 2, atunci funcţia f este
2
continuă pe Z şi se obţine că f este continuă pe Z.
⎧⎪
2
( x+ a) , xT
1
2
Avem gx () = f () x=
⎨
2 ⎪ ⎩(2x+
1) , x>
1
2
Studiem continuitatea funcţiei f în x0 = 1.
Se obţine: g(1 – 0) = (1 + a) 2 , g(1 + 0) = 9.
2
Funcţia f este continuă în x0 = 1 dacă (1 + a) 2 = 9 deci dacă a i {2, –4}.
Aşadar:
2
• pentru a = 2, f şi f sunt continue pe Z;
2
• pentru a = –4, f este continuă pe Z \ {1} iar f este continuă pe Z;
2
• pentru a i Z \ {–4, 2} funcţiile f şi f sunt continue pe Z \ {1}.
2
⎧ 2 ⎪(2
x+ a) , xT
2
d) Avem f () x = ⎨ .
2
⎪⎩ ( x+ a) , x>
2
Se obţine f(2 – 0) = a + 4, f(2 + 0) = a + 2, deci f este discontinuă în x0 = 2 pentru oricare a i Z.
2
De asemenea,
f (2 – 0) = (a + 4) 2 2
, f (2 + 0) = (a + 2) 2 .
Din egalitatea (a + 4) 2 = (a + 2) 2 se obţine că a = –3.
2
• Pentru a = –3, f este continuă pe Z \ {2}, iar f este continuă pe Z.
2
• Pentru a i Z \ {–3}, funcţiile f şi f sunt continue pe Z \ {2}.
S3. Soluţie:
⎧− 1, x< 0 ⎧−
6, x<
0
⎪ ⎪
a) ( f g)( x) = f( g( x)) = 2sgn( x) − 4= 2⋅ ⎨ 0, x= 0 − 4= ⎨−
4, x=
0.
⎪ ⎪
⎩ 1, x> 0 ⎩−
2, x>
0
Rezultă că f g este discontinuă în x0 = 0 şi continuă pe Z \ {0}.
b) f g este continuă pe Z deoarece funcţiile f şi g sunt continue pe Z.
c)
d)
⎧1, gx ( ) T1⎧1, 2x−1T1⎧1, xT
1
( f g)( x) = f( g( x))
= ⎨ = ⎨ = ⎨ .
⎩2, gx ( ) > 1 ⎩2, 2x− 1> 1 ⎩2,
x>
1
Rezultă că f g este continuă pe Z \ {1}.
⎧1
− gx ( ), gx ( ) T 1
( f g)( x) = f( g( x))
=⎨
.
⎩0,
gx ( ) > 1
Să rezolvăm inecuaţia g(x) < 1.
• Dacă x T 1, se obţine că g(x) = a 2 şi inecuaţia este a 2 T 1.
Se deosebesc situaţiile:
• a 2 T 1 deci a i [–1, 1], şi soluţia inecuaţiei este x T 1.
• a 2 > 1, deci a i (–∞, –1) N (1, +∞), şi inecuaţia nu are soluţii.
• Dacă x > 1, atunci g(x) = x şi inecuaţia este x > 1, cu soluţia x i (1, + ∞).
Aşadar
• pentru a i [–1, 1], soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x i Z, şi obţinem că:
2
⎧1 − a , xT
1
( f g)( x) = 1 − g( x)
=⎨ .
⎩1
− x, x>
1
193

− = − + =
Rezultă că ( f g)(10) 1
2
a , ( f g)(1
0) 0 .
Funcţia f g este continuă dacă 1 – a 2 = 0, deci dacă a i {–1, 1}.
• Pentru a i (–∞, –1) N (1, + ∞) soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x > 1, deci x i (1, +∞).
⎧1 − gx ( ), x> 1 ⎧1
− x, x>
1
Rezultă că ( f g)( x)
= ⎨ = ⎨ funcţie continuă pe Z.
⎩ 0 , xT1 ⎩0,
xT1
S4. Soluţie:
gx ( )
⎧e
, g( x)
T 0
a) ( f g)( x) = f( g( x))
=⎨
.
⎩gx
() + 1, gx () > 0
Rezolvăm inecuaţia g(x) T 0.
• Pentru x > 1 avem g(x) = lnx şi inecuaţia este ln x T 0, deci x i (0, 1]. Nu sunt soluţii.
• Pentru x T 1, g(x) = x şi inecuaţia este x T 1 cu soluţia x i (–∞, 1].
Aşadar soluţia inecuaţiei g(x) T 1 este x i (–∞, 1].
Rezultă că:
gx ( ) x
⎧e , xT1 ⎧e
, xT1
( f g)( x)
= ⎨ = ⎨
iar f g este discontinuă în x = 1 şi
⎩gx ( ) + 1, x> 1, x> 1 ⎩1+
ln x, x>
1
continuă pe Z \ {1}.
⎧ln
f( x), f( x)
> 1
• Avem ( gf)( x) = g( f( x))
=⎨
⎩ f(), x f() x T 1
.
Rezolvăm inecuaţia f(x) > 1.
• Pentru x T 0, f(x) = e x şi inecuaţia este e x > 1 care are soluţia x > 0.
Nu există soluţii pentru f(x) > 1.
• Pentru x > 0, f(x) = x + 1 şi inecuaţia este x + 1 > 1, deci x > 0.
⎧ln
f( x), x>
0 ⎧ln(
x+ 1), x>
0
Aşadar f(x) > 1 dacă x i (0, + ∞). Se obţine că ( gf)( x)
= ⎨ = ⎨ x
⎩ f(), x xT1 ⎩ e , xT
0
şi g f continuă pe Z \ {0}.
b)
( f g)( x)
⎧⎪
⎨
⎩
gx (), gx () U 0
.
gx (), gx () 0
=
⎪ 3 <
Rezolvăm inecuaţia g(x) U 0.
• Pentru x U 0 ⇒ g(x) = x 2 U 0.
• Pentru x < 0 ⇒ g(x) = 1 + x 3 > 0, dacă 1 + x > 0, deci x > –1.
Soluţia este în acest caz x i (–1, 0).
Rezultă că g(x) U 0 dacă x i (–1, 0) N [0, + ∞) = (–1, + ∞).
Aşadar:
3
⎧ gx (), x∈−
(1,0) 1 x , x ( 1, 0)
⎧⎪ gx (), x∈−
(1, +∞)
⎪
⎪ 2
⎨ ⎨ ⎨
3 ⎪⎩ gx (), x∈−∞
( , −1]
⎪3⎪33 ( f
g)() x = = g(), x x∈[0, ∞ ) = x , x∈
[0, +∞) ⇒
⎩ gx (), x∈−∞ ( , − 1]
⎪⎩
1 + x , x∈(
−∞, −1]
194
⎧ + ∈ −

3 3 ⎧ 1 + x , xT−1
⎪ 3
( f g)( x) = ⎨ 1 + x , x∈(
−1,
0) . Rezultă că f g este continuă pe Z \ {0}.
⎪x, x∈
[0, +∞)
⎪⎩
2
⎧⎪ f (), x f() x U 0
• ( gf)( x) = g( f( x))
=⎨ .
3
⎪⎩ 1 + f ( x), f( x)
< 0
Rezolvăm inecuaţia f(x) U 0.
• Pentru x U 0 avem f () x = x şi inecuaţia este x U 0 cu soluţia x U [0, + ∞).
3
• Pentru x < 0 avem f () x = x şi inecuaţia este 3 x U 0 fără soluţii pe (–∞, 0).
Aşadar f(x) U 0 dacă x i [0, +∞).
2 2
⎧⎪f ( x), xU0 ⎧⎪( x) , xU0 ⎧x,
xU0
Rezultă că ( gf)( x)
= ⎨ =
3 ⎨ =
3 3 ⎨ .
⎪⎩1 + f ( x), x< 0 ⎪⎩1 + ( x) , x<
0 ⎩1
+ x, x<
0
Funcţia g f este continuă pe Z \ 0}.
195

2.3. Semnul unei funcţii continue pe un interval
Exersare
E1. Soluţie:
Funcţia f este funcţie de gradul 1, deci este funcţie continuă pe Z.
Aşadar f are proprietatea lui Darboux pe oricare interval I _ Z.
E2. Soluţie:
a), b) Se arată că funcţiile sunt continue deci au proprietatea lui Darboux pe I.
c) Funcţia f este discontinuă în x0 = 0, punctul x0 = 0 fiind punct de discontinuitate de prima
speţă. Cum 0 i I rezultă că funcţia f nu are proprietatea lui Darboux pe I.
E3. Soluţie:
a) D = Z. Rezolvăm ecuaţia f(x) = 0.
Se obţine succesiv: x 3 – x = 0 ⇒ x(x 2 – 1) = 0 ⇒ x i {0, –1, 1}.
Alcătuim tabelul de semn:
x –∞ –1 0 1 + ∞
x 3 – x – – – – 0 + + + 0 – – – 0 + + + + + +
Avem: f
1 1 1 ( ) f f
1 ( )
− =− + > 0, ( − 3) =− 24< 0, > 0,
f(3) = 24 > 0.
2 8 2 2
b) D = 0. Ecuaţia f(x) = 0 este 2 x – 1 = 0 cu soluţia x = 0.
Tabelul de semn, având în vedere că f(–1) < 0, f(1) > 0 este:
x –∞ 0 + ∞
f(x) – – – – – – – – 0 + + + + + + + +
c) D = Z. Ecuaţia f(x) = 0 se scrie 3 x+1 – 9 = 0 sau 3 x+1 = 3 2 şi are soluţia x = 1.
3 x+1 = 3 2 şi are soluţia x = 1.
Tabelul de semn:
x –∞ 1 + ∞
f(x) – – – – – – – – 0 + + + + + + + +
d) D = [0, 2π]. Ecuaţia f(x) = 0 este sinx = 0 şi are soluţiile x i {0, π, 2 π}. Tabelul de semn:
Sinteză
x 0 π 2π
sinx 0 + + + + + + 0 – – – – – – – 0
S1. Soluţie:
Se arată că funcţiile sunt continue pe Z, deci au proprietatea lui Darboux pe oricare
interval I _ Z.
Vom studia continuitatea funcţiilor doar în punctele de legătură, în rest funcţiile fiind
continue.
a) f (1− 0) = lim
1− x 1 1 1
2 = lim
−x
= lim
= , iar
x→1 1−
x x→1 (1 − x)(1 + x)(1 + x) x→1
(1 + x)(1 + x)
4
sin(4x−4) ⎛sin(4x−4) 4( x−1) ⎞ 4( x−1)
f (1 + 0) = lim = lim lim lim
1 1
2 2
x→1 8x 8 x→1⎜ ⋅
4( x 1) 8( x 1)
⎟=
= = .
− x→18( x 1)( x 1) x→1
⎝ − − ⎠ + − 2( x+
1) 4
196

Având f (1) = 0, 25 =
1
rezultă că funcţia f este continuă în x0 = 1.
4
x−1sin( x−1) ⎛sin( x−1) b) (1 0) 0 , (1 0) lim
1
2 lim
x ⎞
f − = f + = = ⎜ ⋅
−
⎟=
1⋅ 0 = 0 .
x→1 3( x −1)
x→1⎝
x− 1 3( x+
1) ⎠
x> 1 x>
1
Rezultă că f este continuă în x0 = 1.
1 1 1
1 −
−
⎛ ⎞
x−2
0+ +∞ −1 −1
⎛
c) f(2) = 0, f (2+ 0) = lim⎜1+ 3
x→2⎝
x>
2
⎞
⎟
⎠
= ⎜1+ 3
⎝
⎟
⎠
= (1+ 3 ) =∞ =
1
= 0 .
∞
Aşadar f este continuă în x0 = 2.
d) Dacă x0 i m avem că f(x0) = 0 şi
Aşadar f este continuă în x0 i m.
lim f( x) = lim sin π x= sin π x = 0 .
x→x x→x 0 0
.
S2. Soluţie:
a) Fie f : [0, 2] → Z, f(x) = x 3 + 4x 2 – 5. Funcţia f este funcţie continuă, deci are proprietatea
lui Darboux pe I.
Avem că f(0) = –5 < 0, f(2) = 19 > 0, deci există x0 i (0, 2) cu f(x0) = 0.
b) Funcţia f : [0, 3] → Z, f(x) = x 3 + 5x – 27 este continuă şi are proprietatea lui Darboux pe
[0, 3]. Deoarece f(0) = –27 < 0, f(3) = 15 > 0 există x0 i (0, 3) cu f(x0) = 0;
c) Funcţia f : [0, 1] → Z, f(x) = x + 2 x – 2 este continuă şi f(0) · f(1) = (–1) · 1 = –1 < 0.
Din proprietatea lui Darboux rezultă că există x0 i (0, 1) cu f(x0) = 0;
d) Funcţia f : ⎡ π
, 0⎤
⎢
− →
2 ⎥
⎣ ⎦ Z , f(x) = x + 1 + sinx. Avem f ( ) 0, f(0)
1 0
2 2
Din continuitatea funcţiei f rezultă că ∃x0 ∈
π ( − ,0)
cu f(x0) = 0.
2
e) Considerăm f : (0, 1) → Z, f(x) = x + lnx. Funcţia f este continuă.
Avem f(1) = 1 > 0 şi f(0+ 0) = lim f( x) = lim( x+ ln x)
=−∞< 0 .
x→0 x→0
x> 0 x>
0
Aşadar există x0 i (0, 1) cu proprietatea că f(x0) = 0.
S3. Soluţie:
a) D = Z.
Ecuaţia f(x) = 0 este x(2 x – 1) = 0 şi are soluţia x = 0.
Tabelul de semn al funcţiei:
x –∞ 0 + ∞
f(x) + + + + + + + 0 + + + + + + + +
b) D = Z. Ecuaţia (x – 1)(3 x – 2 x ) = 0 au soluţiile x = 1, x = 0.
Tabelul de semn:
x –∞ 0 1 + ∞
f(x) + + + + + 0 – – – – 0 + + + + + +
197
0
−
π
=−
π
< = > .
x x
c) D = (–2, +∞). Avem: f() x = 0 ⇒(3− 1)log( 2 x+
2) = 0⇒ 3= 1sau
log ( x+ 2) = 0 ⇒ x = 0 sau x + 2 = 1 deci x i {–1, 0}.
2 1

Tabelul de semn:
x –2 –1 0 +∞
f(x) + + + + + 0 – – – – 0 + + + + + + +
d) D = Z \ {2}. Ecuaţia f(x) = 0 are soluţia x = 0.
Tabelul de semn:
x –∞ 0 2 +∞
f(x) + + + + + 0 – – – – | + + + + + + +
e) D = [1, 3) N (3, +∞).
Ecuaţia f(x) = 0 conduce la
Tabelul de semn:
x −1− 1= 0 sau x − 1= 1 cu soluţia x = 2.
x 1 2 3 +∞
f(x) + + + + + 0 – – – – | + + + + + + + + +
f) D = Z. Ecuaţia f(x) = 0 se scrie (x 3 – x) (x 4 – 16) = 0 de unde x 3 – x = 0 sau x 4 – 16 = 0.
Se obţin soluţiile x i {–1, 0, 1, –2, 2}.
Tabelul de semn:
x –∞ –2 –1 0 1 2 +∞
f(x) – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – 0 + + + + 0 – – – 0 + + + +
S4. Soluţie:
a) Considerăm f : Z → Z, f(x) = (2 x – 1)(x 2 – 1), funcţie continuă pe Z.
Avem de rezolvat inecuaţia f(x) U 0.
Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt x i {–1, 0, 1}. Stabilim semnul funcţiei f.
Se obţine tabelul de semn:
x – ∞ −1 0 1 +∞
f(x) – – – – – 0 + + + + 0 – – – 0 + + + +
Rezultă că f(x) U 0 dacă x i [–1, 0] N [1, + ∞), care reprezintă soluţia inecuaţiei date.
b) Fie f : [–1, +∞) → Z,
3
f() x = ( x−x )(1− x+
1) . Avem de rezolvat inecuaţia f(x) T 0.
Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt date de ecuaţiile x – x 3 = 0 şi 1− x + 1= 0.
Se obţine x i {0, 1, –1}. Stabilim semnul funcţiei continue f. Se obţine tabelul de semn:
x –1 0
1 +∞
f(x) 0 – – – 0 – – – – 0 + + ++ + + + + +
Rezultă că f(x) T 0 pentru x i [–1, 1], iar soluţia inecuaţiei date este x i [–1, 1].
c) Considerăm funcţia continuă f : [0, + ∞) → Z, f() x = ( x− 1+ 2
x + 1)( x−
1) .
Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 sunt date de ecuaţiile x − 1= 0 şi x− 1+ 2
x + 1= 0.
Obţinem x = 1, respectiv
2
x + 1= 1−
x .
Punem condiţia 1 – x U 0 şi prin ridicare la pătrat se obţine ecuaţia x 2 + 1 = (1 – x) 2 cu soluţia
x = 0.
Aşadar f(x) = 0 dacă x i {0, 1}. Tabelul de semn al funcţiei f este:
198

x 0 1 +∞
f(x) 0 – – – – 0 + + + + + + +
Rezultă că soluţia inecuaţiei f(x) T 0 este x i [0, 1].
d) Fie f : (–1, +∞) → Z, f(x) = (2 x – 3 x )(2 – log2(x + 1)).
Funcţia f este continuă.
Din egalitatea f(x) = 0 se obţin ecuaţiile 2 x – 3 x = 0 şi 2 – log2(x + 1) = 0.
Rezultă x = 0 şi respectiv log2(x + 1) = 2, de unde x + 1 = 2 2 = 4 sau x = 3.
Semnul funcţiei f este dat de tabelul:
Soluţia inecuaţiei f(x) T 0 este x i [0, 3].
x –1 0 3 +∞
f(x) + + + + + 0 – – – – 0 + + + + + +
S5. Soluţie:
a) Funcţiile g, h : Z → Z, g(x) = x, h(x) = e x sunt funcţii strict crescătoare pe Z. Atunci şi
suma lor f = g + h este funcţie strict crescătoare pe Z.
x
b) Avem: lim f( x) lim ( x e ) e 0
−∞
= + =−∞+ =−∞+ =−∞ şi lim f( x) e ∞
=∞+ =+∞.
x→−∞ x→−∞
Funcţia f fiind continuă rezultă, folosind proprietatea lui Darboux, că ia toate valorile
intermediare dintre –∞ şi +∞, adică Imf = (–∞, +∞) = Z.
Aşadar funcţia f este surjectivă.
Observaţie.
Funcţia f fiind strict crescătoare pe Z este funcţie injectivă. Aşadar funcţia f este funcţie
bijectivă.
199
x→∞

Soluţii
Teste de evaluare
Testul 1
1. Funcţia f este continuă pe mulţimea Z \ {–1, 0, 1} având în vedere operaţiile cu funcţii
continue.
Studiem continuitatea funcţiei f în punctele –1, 0, 1.
Obţinem:
2
x + x 2
• f( −1− 0) = lim f( x)
= lim = lim
x −x = lim
x−1
=
−2
=+∞
x→−1 x→−1 2
x 1
2
x − x →− x + x x→−1x+
1 0
•
•
x

• f este continuă pe Z \ {1} dacă b = 4 şi a @ –3.
• f este continuă pe Z \ {0, 1} dacă b @ 4 şi a + b @ 1.
2. a) Dacă x i {, din f(x) = 3,5 rezultă că x = 3,5 h [2, 3].
Dacă x i Z \ {, din f(x) = 3,5 se obţine x 2 = 3,5 sau x ∈− {
există x cu proprietatea cerută.
b) Avem f(2) = 2 şi f ( 5) = 5.
3,5, 3,5} . Dar 3, 5 < 2 şi nu
Pentru λ = 3,5 i [2, 5], nu există α∈ [2, 5] astfel încât f(α) = 3,5. Aceasta deoarece
[2, 5] ⊂ [2, 3] şi se are în vedere punctul a).
Aşadar f nu are proprietatea lui Darboux.
x
3
f ( x) = (2 −16)( x− x ) . Inecuaţia dată se scrie f( x) T 0 . Vom stabili
x 3
semnul funcţiei continue f. Ecuaţia f( x ) = 0 conduce la ecuaţiile 2 − 16= 0 şi x− x = 0 ,
3. Fie f : Z → Z,
cu soluţiile x ∈{ 4,0,1, − 1}
.
Alcătuim tabelul de semn pentru f:
x –∞ –1 0 1 4 +∞
f(x) – – – – – – 0 + + + + 0 – – – – 0 + + + + 0 – – –
Soluţia iencuaţiei f(x) T 0 este x i (–∞, –1] N [0, 1] N [4, + ∞).
Soluţii
Testul 3
1. Fie x0 i m. Se obţine:
2
f( x − 0) = lim( x[ x]) = x ( x − 1) şi f ( x + 0) = limx[
x] = x ⋅ x = x .
0
x→x x< x
0 0
0
0
0
x→x x< x
0 0 0
2
Funcţia f are limită în x0 dacă şi numai dacă x0( x0− 1) = x0
deci numai dacă x0 = 0.
Aşadar f este continuă în x0 = 0 şi discontinuă în oricare x0 i m \ {0}.
2. Avem: f(a – 0) = a 2 + 2a, f(a + 0) = 2a + a 3 .
Din egalitatea f(a – 0) = f(a + 0) se obţine ecuaţia a 2 + 2a = 2a + a 3 cu soluţia a i {0, 1}.
Aşadar:
• pentru a i {0, 1}, funcţia este continuă pe Z,
• pentru a i Z \ {0, 1} funcţia este continuă pe Z \ {a}.
3. Ecuaţia f(x) = 0 are soluţia x = a.
Funcţia f este continuă pe Z şi are tabelul de semne:
x –∞ a +∞
f(x) + + + + + + + 0 + + + + + + + +
201
0
0

Soluţii
Testul 4
2 x x 2 x x 2
1. Avem: f () n = lim
⎛n 6 + 1 2 ⎞
lim
n ⋅ 12 + 2 n
⎜ ⋅ n
x
x x ⎟=
= = .
→∞
x x
⎝ 3 n⋅ 4 + 1⎠ x→∞n⋅
12 + 3 n
nn ( + 1)
Aşadar: f(1) + f(2) + ... + f( n) = 1+ 2 + ... + n=
.
2
2. Considerăm funcţia g : [a, b] → Z, g(x) = f(x) – x.
Funcţia g este continuă şi avem:
g(a) = f(a) – a U 0, g(b) = f(b) – b T 0. Folosind proprietatea lui Darboux pe [a, b] pentru
funcţia g rezultă că există x0 i [a, b] cu g(x0) = 0, adică f(x0) – x0 = 0.
3. Tabelul de semn:
x –∞ –1 0 1 2 +∞
f(x) – – – – – 0 + + + 0 + + + + 0 – – – – 0 + + + +
202

Capitolul III. Funcţii derivabile
3.1. Derivata unei funcţii într-un punct
Exersare
E1. Soluţie:
a) Studiem existeţa derivatei funcţiei f în punctul x0 = 2.
Rezultă că:
2
3x −4x−4 ( x− 2)(3x+ 2)
f′ (2) = lim = lim = lim(3x+ 2) = 8,
deci funcţia f este derivabilă în
x→2 x−2 x→2 x−2
x→2
x0 = 2, graficul său admite tangentă în x0 = 2, iar tangenta are panta m = 8.
b) Avem:
x→0 x<
0
2
2x − 3x
x x→0
f′ (0) = lim = lim(2x− 3) =− 3 şi
s
În particular se obţine că f (0) = 2, f (1) = 0, f (2) = –2.
203
x→0 x>
0
2
5x −3x
x x→0
f′ (0) = lim = lim(5x− 3) =− 3 .
Aşadar f ′ (0) =− 3 şi graficul funcţiei admite tangentă în x0 = 0, panta fiind m = –3.
⎧2x−1,
xU
1
c) Avem: f( x)
= ⎨
.
⎩ 1 , x < 1
2x−1−1 2( x−1)
Se obţine că f ′ s (1) = 0 şi f ′ d (1) = lim = lim = 2 , deci f nu are derivată în
x→1 x−1 x→1
x−1
x> 1 x>
1
x0 = 1 şi graficul său nu admite tangentă în x0 = 1.
2
x x − 0
d) Avem f′ (0) = lim = lim x x = 0 .
x→0 x − 0 x→0
Aşadar graficul funcţiei admite tangentă în x0 = 0.
E2. Soluţie:
3x+ 11− 8 3( x+
1)
a) Se obţine: f ′ ( − 1) = lim = lim = 3;
x→−1 x+ 1 x→−1
x+
1
2 2
x −3x− 11+ 13 x − 3x+ 2 ( x−2)( x−1)
b) f′ (2) = lim = lim = lim = lim( x−
1) = 1.
x→2 x−2 x→2 x−2
x→2 2
x→2
1 1
−
5 5 1 1
c) (0) lim x 5 5 −x− −
f ′ = + = lim = lim =− .
x→0 x x→05( x+ 5) x x→05(
x+
5) 25
x+ 1− 1 ( x+
1) −1
1 1
d) f ′ (0) = lim = lim = lim = .
x→0 x x→0 x( x+ 1+ 1) x→0
x+
1+ 1 2
x −1 x − 1 x+
1
2 + 3−2 −3 2 −2 2 −1
ln2
e) f ′ ( − 1) = lim = lim = lim = .
x→−1 x+ 1 x→−1 x+ 1 x→−12(
x+
1) 2
sin x+ sin 2x ⎛sinx sin 2x⎞
f) f ′ (0) = lim = lim⎜ + 2 ⎟=
1+ 2+ 3.
x→0 x x→0⎝
x 2x
⎠
E3. Soluţie:
a) Avem:
2x−x f ′ ( x ) = lim
− 2x + x 2( x−x ) −( x
= lim
−x
)
= lim[2 − ( x+ x )] = 2 −2x
.
2 2 2 2
0 0 0 0
0
x→x0 x−x0 x→x0 x−x0 x→x0 0 0
d

) Avem
x −x ( x− x )( x + xx + x )
f ′ ( x ) = lim = lim = lim( x + xx + x ) = 3x
.
3 3 2 2
0 0 0 0
2 2 2
0
x→x0 x−x0 x→x0 x−x0 x→x0 0 0 0
În particular se obţine că f′ (0) = 0, f′ (1) = 3, f′
( − 1) = 3.
sin x+ x ⎛sin mx ⎞
c) Avem: f ′ (0) = lim = lim⎜ + 1⎟= 2 şi
x→0 x x→0⎝
x ⎠
sin x+ x−π ⎛ sin x ⎞
f ′ ( π= ) lim = lim⎜1+ ⎟
x→π x−π x→π⎝
x−π
⎠
.
Deoarece sin( x −π ) = sin x⋅cosπ−sin π⋅ cos x=− sin x avem că
sin( x −π)
f ′
⎛ ⎞
( π ) = lim⎜1− ⎟=
1− 1= 0
x→π⎝
x −π ⎠
d) Avem:
f′ ( x ) = lim
x
−
1
−
x
1
= lim
( − )( + 1)(
= lim
+ 1) (
(
− )(
)(1
+ 1)(
)
=
+ 1)
2
x +
0
2
x0+ 2 2
x( x0+ 1 ) − x0( x + 1) x−x0 −xx0
0
x→x0 x x0 x→x0 x x0 2
x
2
x0 x→x0 x x0 2
x
2
x0
2
1−xx0 1−x0
= lim = .
x→x 2 2 2 2
0 ( x + 1)( x0 + 1) ( x0
+ 1)
În particular se obţine: f′ ( − 1) = 0, f′ (1) = 0, f′
(0) = 1.
E4. Soluţie:
x −1−0 1−
x
x −1 x −1
a) Avem f ′ s (1) = lim = lim =−1,
iar f ′ d (1) = lim = lim = 1 .
x→1 x−1 x→1
x−1
x→1 x−1 x→1
x−1
x< 1 x<
1
x>
1
x+ x x−x x+ x x+ x
b) fs′
(0) = lim = lim = 0,
iar f ′ d (1) = lim = lim = 2 .
x→0 x x→0
x
x→0 x x→0
x
x< 0 x<
0
x>
0
2
x + 1−0 x −1
c) f ′ s ( − 1) = lim = 1 şi f′ d ( − 1) = lim = lim( x−
1) =−2.
x→−1
x + 1
x→−1 x + 1 x→−1
x−1
d)
πx−π π x+π ⎛ π( x−1)
⎞
2sin ⋅ ⋅cos 2sin
sin( πx) −sin π
(1) lim lim 2 2 ⎜
lim 2 π π x+π⎟
f ′ s = = = ⎜ ⋅ ⋅ cos
x→1 x 1 x→1 x 1 x→1
( x 1)
⎟=
− − π − 2 2
x< 1 x<
1
⎜ ⎟
⎝ 2
⎠
π
ln x− 0 ln(1+ x−1)
= 21 ⋅ ⋅ ⋅cosπ=−π, iar fd′
(1) = lim = lim = 1 .
2
x→1 x−1 x→1
x−1
Sinteză
x>
1
S1. Soluţie:
Se studiază derivaiblitatea funcţiei în punctele date:
a) f′ ( x)(0) = lim( x+ x+ 1) = 1, f′ (0) = lim cos x=
cos 0= 0 , deci f (0) = 1.
s d
x→0 x→0
x< 0 x>
0
•
x+ x + 1−1 x−x f ′ ( − 1) = lim = lim = 0,
x→−1 x+ 1 x−−1
x+
1
204

x− 2 x+
2
sin ⋅sin
cos x − cos 2
• f ′ (2) = lim = lim− 2 2 2 =−1⋅ sin 2 =−sin
2 .
x→2 x−2 x→2
x−2
Aşadar graficul funcţiei f admite tangente în punctele date.
x+
1
1+
e
x+ 1 0 −1
x+
1
e −e 1 1
b) • ( 1) lim ln 1, ( 1) lim 2
e −
f′ s − = = e= f′
d − = = lim = .
x→−1 x+ 1 x→−1 x+ 1 x→−12(
x+
1) 2
x+
1
1+ e 1+
e
−
x+ 1
x
1
• (0) lim
2 2 e −e e e − e
f ′ = = lim = lim = .
x→0 x x→0 2x 2 x→0
x 2
Graficul admite tangentă în x = 0 şi nu admite tangentă în x = –1.
c) Se obţine: f (–1) = e –2 2
, f ′ (2) = , deci graficul admite tangentă în x0 i {–1, 2}.
5
x−1 −1 x−1 −1
x
e −1− e + 1 e −e −1
e −1
1
• f′ s (0) = lim = lim = e ⋅ lim = , iar
x→0 x x→0 x x→0
x e
ln(1+ 2 x) ⎛ ln(1+ 2 x)
⎞
• fd′
(0) = lim = lim⎜2⋅ ⎟=
2 .
x→0 x x→0⎝
2x
⎠
Aşadar graficul funcţiei nu admite tangentă în x0 = 0.
S2. Soluţie:
a) Funcţia este continuă şi derivabilă pe Z \ {0}.
Studiem continuitatea în x0 = 0.
Rezultă că f(0 – 0) = 0, f(0 + 0) = –1 deci f este discontinuă în x0 = 0 pentru oricare a i Z.
Funcţia f nu este derivabilă în x0 = 0 deoarece nu este continuă în x0 = 0.
b) Avem: f(2 – 0) = 4 + 2a + b, f(2 + 0) = 8 – a.
Funcţia este continuă în x0 = 2 dacă 8 – a = 4 + 2a + b deci 3a + b = 4.
Studiul derivabilităţii în x0 = 2.
2 2
x + ax+ b−4−2a−b x − 4 + a( x−2) ( x− 2)( x+ 2 + x)
• f ′ s (2) = lim = lim = lim = 4 + a
x→2 x−2 x→2 x−2 x→2
x−2
4x−a− 8 + a 4( x−2)
• f ′ (2) = lim = lim = 4 .
d
x−2 x−2
x→2 x→2
Funcţia este derivabilă în x0 = 2 dacă 4 + a = 4 deci dacă a = 0.
Din egalitatea 3a + b = 4 se obţine b = 4.
Aşadar:
• dacă a = 0, b = 4 funcţia este continuă şi derivabilă în x0 = 2;
• dacă 3a + b = 4, a @ 0, funcţia este continuă dar nu este derivabilă în x0 = 2;
• dacă 3a + b @ 4 funcţia nu este continuă, deci nici derivabilă în x0 = 2.
⎧x,
xU1
c) Avem: f( x)
= ⎨ .
⎩2x−
1, x < 1
Se obţine f(1 – 0) = 1, f(1 + 0) = 1, f(1) = 1, deci f este continuă pe Z.
2x−− 1 1
x −1
De asemenea fs′
(1) = lim = 2 şi f ′ d (1) = lim = 1,
deci f nu este derivabilă în x0 = 1.
x→1
x−1
x→1
x −1
x<
1
205
.

d) D = [0, + ). Avem f(1 – 0) = arccos1 + b = b, f(1 + 0) = a.
Rezultă că f este continuă în x0 = 0 dacă a = b.
Pentru a = b rezultă că f ′ d (1) = lim
x→1 x> 1
2
x − 1
= lim
x−1 x→1 x> 1
( x− 1)( x+
1)
= lim
( x−1)( x−1)
x→1
x>
1
x+
1
=
x−1
2
0+
=+∞.
Aşadar pentru oricare a, b i Z, f nu este derivabilă în x0 = 1.
S3. Soluţii:
a) Deoarece f(1 – 0) = –1 = f(1 + 0) funcţia f este continuă în x0 = 1. Se obţine:
2
2x−1−1 x + x−2 ( x− 1)( x+
2)
f ′ s (1) = lim = 2 şi f ′ d (1) = lim = lim = 3 .
x→1
x −1
x→1 x−1 x→1
x−1
Rezultă că x0 = 1 este punct unghiular pentru f.
b) Funcţia este continuă în x0 = 0.
2
x +− 1 1
Rezultă că fs′ (0) = lim = lim x=
0 şi
x→0 x x→0
Punctul x0 = 0 este punct unghiular pentru f.
c) Funcţia este continuă în x0 = 0.
2
x −0
Se obţine că fs′
(0) = lim = 0 şi
x→0
x
Aşadar x0 = 0 este punct unghiular.
206
x
e −1
f′ d ( x)
= lim = 1.
x→0
x
sin x
f ′ d (0) = lim = 1.
x→0
x
S4. Soluţie:
a) Funcţia f este continuă în x0 = 1.
1−x 1−x 1
Se obţine că f ′ s (1) = lim = lim =− lim =−∞
x→1 x −1 x→1 2 x→1
(1 − x)
1−
x
x< 1 x< 1 x<
1
f ′ 0(1)
= lim
x→1 x> 1
x−1 = lim
x −1 x→1 x> 1
x−1
2
( x −1)
= lim
x→1
x>
1
1
=+∞.
x −1
Aşadar punctul x0 = 1 este punct de întoarcere.
, iar
b) Funcţia f este continuă în x0 = 3.
Se obţine că f′ (3) =−∞ , f′
(3) =+∞ deci x0 = 3 este punct de întoarcere.
x d
S5. Soluţie:
Funcţiile f şi g admit tangentă comună în punctul x0 dacă f(x0) = g(x0) şi f (x0) = g (x0), adică
punctul de abscisă x0 este comun graficelor şi tangentele în x0 la cele două grafice au aceeaşi
pantă.
a) Se obţin condiţiile: f(1) = g(1) şi f (1) = g (1).
Rezultă că 2 + a = 1 + b + b şi 2 = 2 + b, adică b = 0, a = –1.
b) Se pun condiţiile f(1) = g (1), f (1) = g (1) şi rezultă egalităţile:
1 + a + b = 2 – 1 + 1 şi 2 + a = 3, deci a = 1, b = 0.
Observaţie:
Funcţiile f şi g fiind de gradul 1 sau 2 graficele lor sunt tangente în x0 i D, dacă ecuaţia
f(x) = g(x) are o soluţie reală dublă x0.
a) Ecuaţia f(x) = g(x) se scrie x 2 + bx + b = 2x + a sau x 2 + (b – 2)x + b – a = 0.

Se pune condiţia ca x0 = 1 să fie soluţie dublă.
Avem: 1 + (b – 2) + b – a = 0 şi 0 = ∆ = (b – 2) 2 – 4(b – a).
⎧2b−
a = 1
Rezultă sistemul de ecuaţii ⎨ cu soluţia a = –1, b = 0.
2
⎩b
− 8b+ 4a =−4
S6. Soluţie:
a) Tangenta la graficul funcţiei g în punctul x0 = 1 are panta
2 2
3x + cx+ 1−c−4 3( x − 1) + c( x− 1) [3( x+ 1) + x]( x−1)
g′
(1) = lim = lim = lim
=
x→1 x−1 x→1 ( x−1) x→1
x−1
= lim[3( x + 1) + c] = 6 + c.
x→1
Panta dreptei y = 7x – 6 este m1 = 7.
Cele două drepte sunt paralele dacă m = m1 deci 6 + c = 7, adică pentru c = 1.
b) Panta tangentei în x0 = 1 la graficul lui f este egală cu
3 2 3 2
x + ax + b−1 −a−b ( x − 1) + a( x −1)
m= f′
(1) = lim = lim
=
x→1 x−1 x→1
x−1
2
= lim ⎡⎣( x + x+ 1) + a( x+ 1) ⎤⎦=
3+ 2a
x→1
Condiţia de paralelism a tangentei cu deapta y = 5x + 1 impune egalitatea 3 + 2a = 5, deci
a = 1.
Tangenta în x0 = –1 la graficul funcţiei f are ecuaţia
y – f(x0) = f (x0)(x – x0) adică y – f(–1) = f (–1)(x + 1) sau y + 1 – a – b = (3 – 2a)(x + 1)
care adusă la o formă mai simplă se scrie pentru a = 1 : y = x + 1 + b.
Deoarece tangenta trebuie să aibă ecuaţia y = x + 5 se obţine că 1 + b = 5 deci b = 4.
S7. Soluţie:
Punctele comune ale graficelor sunt date de ecuaţia f(x) = g(x).
2
Se obţine ecuaţia x0 + ( a− b) x0 + b− a=
0(1),
unde x0 i Z reprezintă abscisa punctelor comune.
Tangentele în punctele x0 trebuie să aibă aceeaşi pantă.
Aşadar se pune condiţia f (x0) = g (x0). Se obţine 4x0 + a = 2x0 + b de unde a – b = –2x0.
2
Înlocuind a – b = –2x0 în relaţia (1) se obţine x0 + ( − 2 x0) x0 + 2x0 = 0 cu soluţia x0 i {0, 2}.
Aşadar rezultă a = b, pentru x0 = 0, respectiv a = b – 4, pentru x0 = 2.
Se obţin funcţiile f(x) = 2x 2 + ax + a, g(x) = x 2 + ax + a, cu tangenta comună în x0 = 0,
respectiv f(x) = 2x 2 + ax + a + 4, g(x) = x 2 + (a + 4)x + a cu tangentă comună în x0 = 2.
207

3.3 Operaţii cu funcţii derivabile
Exersare
E1. Soluţii:
a) D = Z, f (x) = 3x 2 + 3, x i Z;
b) D = Z, f (x) = 2 – 4x 3 , x i Z;
c) D = [0, + ),
1
f′ ( x) = 1 + , x∈
(0, +∞ ) ;
x
d) D = Z, f (x) = 3x 2 + cosx – sinx, x i Z;
e) D = (0, + ), f x x
1
x
x
f) D = Z, f (x) = 2 x ln2 + 3 x ln3 – 1, x i Z;
g) D = (0, + ),
2 ′ ( ) = 6 + , ∈ (0, +∞ ) ;
1 1
f′ ( x)
= + , x i (0, + );
xln 2 xln
3
h) D = Z, f (x) = 4cos x + 5sin x, x i Z;
i) D = (0, + )
1
f′ ( x) = 2x+ + cos x, x∈
(0, +∞ ) ;
x ln 3
⎧ π
⎫ 1 1
D= [0, +∞ ) \ ⎨± + kπ/ k∈ ⎬ ; f′ ( x) = + , x∈D\{0} ⎩ 2 ⎭ 2 x cos x
j) 2
m
k) D = Z, f(x) = 2x 2 + 2, f (x) = 4x, x i Z;
l)
21 ⋅ 1
D= [0, +∞ ), f′ ( x) = + , x∈
(0, +∞ ) ;
3 2
3 x x ln 0,5
3 4
D= (0, +∞ ), f( x) = 3log x+ 4log x, f′ ( x) = + , x∈
(0, +∞ );
x ln 3 x ln 2
m) 3 2
⎛⎧ π ⎫
⎞
n) D= Z\ ⎜⎨± + kπ⎬∪{ kπ/ k∈m
⎟,
⎝⎩ 2 ⎭
⎠
2 1
2 2
2sin x+ cos x
2
sin x+
1
2 2 2 2 2 2
f ′ ( x) = + = = ; x∈D; cos x sin x cos x⋅sinx cos x⋅sinx p) D = Z,
q) D = Z,
′ = + ∈Z ;
3
f ( x) 2 2, x
x 1 x x 1 x
f( x) = 2⋅ 2 + ⋅ 3 , f′ ( x) = 2⋅ 2 ln2+ 3 ln3, x∈Z
.
3 3
E2. Soluţii:
1 1
a) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = log2 x+ x⋅ = log 2 x+ , x∈
(0, +∞ ) ;
x ln 2 ln 2
208

) D = [0, + ), f′ ( x) = 2x 2 1
x + x ⋅ = 2 x
2 x
1
x + x
2
5
x = x
2
x, x∈ D\{0}
.
2
x x
Pentru x = 0 se obţine: f′ (0) = lim = lim x
x→0 x x→0
x = 0 .
5
Aşadar f′ ( x) = x
2
x, x∈
[0, +∞ ) ;
c) D = Z, f (x) = sinx + xcosx, x i Z;
d) D = Z, f (x) = 2 x cosx – x 2 sinx, x i Z;
x x x x
e) D = Z, f′ ( x)
= 2 ln 2(3 − 1) + (2 −1) ⋅ 3 ln 3,
x i Z;
2 1
f) D = (0, + ), f′ ( x) = log 2 x+ (2lnx+ 1) , x∈
(0, +∞ ) ;
x xln
2
⎛ 1 ⎞ 3
g) D = [0, + ), f′ ( x) = ⎜1 − ⎟(
x+ x) + ( x− ⎝ 2 x ⎠
Pentru x = 0 avem:
⎛ 1
x) ⎜1 +
3 2
⎝ 3 x
⎞
⎟,
x∈
(0, +∞)
;
⎠
( x −
f ′ (0) = lim
x→0 3 2 3 x)( x+ x) x −x = lim
x x→0
x −x x −
x
x − 3 x⋅ x
=
x> 0 x>
0
1 1 5
lim( x
x→0 x> 0
3
x x)
2 3 x ⋅ x
lim
x→0 x x> 0
6 x
lim
x→0 x x> 0
lim
x→0
x>
0
= − − − = =−
1 1
=− 1
0 6 + x
=−∞;
2 2 2 2
h) D = Z, f′ ( x) = 3 ⋅(3 −x ) ⋅(3 − x ) ′ = 3 ⋅(3 −x ) ⋅( − 2 x) =−6 x(3 −x ), x∈Z
;
i) D = [0, + ), f′ ( x) = 3 ⋅( x− Pentru x = 0 se obţine:
x) ⋅( x− x) ′ = 3( x− x) ⎛
⎜1 −
⎝ 2
⎞
⎟,
x∈
(0, +∞)
.
x ⎠
3 3 2
( x− x) x − 3x f′ (0) = lim = lim
x→0 x x→0 2
x+ 3x
−x
x
x
2
= lim( x − 3x x→0
x+ 3 x− x)
= 0;
2 2 1
x> 0 x> 0 x>
0
1 lnx
j) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = ln x+ x⋅ + 2⋅ ln x(ln x) ′ = ln x+ 1+ 2 , x∈
(0, +∞ ) ;
x x
2 2 2
k) D = Z, f′ ( x) = sin x+ x(sin x) ′ = sin x+ x⋅2sin x⋅cos x, x∈Z
;
x 2 x x 2 x
l) D = Z, f′ ( x) = 2( x− 1) e + ( x− 1) e = ( x− 1) e ( x+ 1) = ( x −1) e , x∈Z
.
E3. Soluţie:
1′ ⋅x−1⋅x′ 1
a) D = Z \ {0}, f ′ ( x) = 2 =− 2 , x∈ D;
x x
2 2
1′ ⋅x −1 ⋅(
x ) ′ 2x 2
b) D = Z \ {0}, f ′ ( x) = 4 =− 4 =− 3 , x∈ D;
x x x
( x−1) ′ x−( x−1) x′ x− x+
1 1
c) D = Z \ {0}, f ′ ( x) = 2 = 2 = 2 , x∈ D;
x x x
( x− 1)( ′ x+ 1) −( x− 1)( x+ 1) ′ x+ 1− x+
1 2
d) D = Z \ {–1}, f ′ ( x) = = = , x∈D; 2 2 2
( x+ 1) ( x+ 1) ( x+
1)
2 2 2 2
( x − x+ 1)( ′ x + x+ 1) −( x − x+ 1)( x + x+
1) ′
e) D = Z, f′ ( x)
= 2 2
=
( x + x+
1)
209

2 2 2
(2 x− 1)( x + x+ 1) − (2 x+ 1)( x − x+ 1) 2( − 1 + x )
= 2 2 = 2 2 , x ∈Z
;
( x + x+ 1) ( x + x+
1)
2
1−
x
f) D = Z, f′ ( x) = , x∈Z
;
2 2
( x − x+
1)
1+ cosx 1
g) D= Z\{ π+ 2 kπ| k∈ m }, f′ ( x) = 2 = , x∈D; (1+ cos x) 1+ cos x
⎧ π ⎫ − (1+ sin x)
−1
h) D= Z\ ⎨− + 2 kπ k∈ m ⎬ , f′ ( x) = 2 = , x∈D; ⎩ 2 ⎭ (1+ sin x) 1+ sinx
3 2
⎧ π ⎫ sin x−cos x−sin x⋅cos x
i) D= Z\ ⎨kπ , ± + 2 kπ/ k∈ m ⎬ , f′ ( x) = 2 2 , x∈D; ⎩ 2 ⎭ sin x⋅cos x
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟( x+ 1−ln x) − ( x+ 1+ ln x)
⎜1− ⎟
⎝ x⎠ ⎝ x⎠
2( x+− 1 xln x)
j) D= (0, +∞ ), f′ ( x)
= 2 =
2 ,
( x+− 1 ln x) x( x+− 1 ln x)
x ∈ (0, +∞ ) ;
3 x − 2x
k) D= [0, +∞ ), f′ ( x) = , x∈
[0, +∞)
;
2
2(1 + x)
x
e
l) D = Z, f′ ( x) = x 2 , x∈Z
;
(2 + e )
2
⎧ π ⎫ 1+ tg x
m) D= Z\ ⎨± + kπ k∈ m ⎬ , f′ ( x) = 2 , x∈D; ⎩ 2 ⎭ (1+ tg x)
3 4
⎧ π ⎫ 1−2tgx−4tg x−tg x
n) D= Z\ ⎨kπ , ± + kπ k∈ m ⎬ , f′ ( x) = , x∈D. 2
⎩ 2 ⎭
(1+ tg x)
E4. Soluţie:
2
a) D= Z, f′ ( x) = 3x −12, x∈Z.
Se obţin soluţiile x ∈{ − 1,1}
.
2 2
b) D= Z, f′ ( x) = 6x − 30x+ 23= 6( x − 5x+ 4), x∈Z.
Mulţimea de soluţii { 1; 4 } .
x 2 x x 2
c) D= Df' = Z , f′ ( x) = (2x+ 6) e + ( x + 6x− 15) e = e ( x + 8x−9) .
Soluţiile: x ∈{ 1, − 9}
.
2 1
d) D= Df'= (0, +∞ ), f( x) = 2xln x+ x = x(2ln x+
1) .
x
1
1
2
Se obţine ecuaţia 2lnx+ 1= 0 sau lnx=−
cu soluţia x e
2
−
= .
−(2x−6) e) D= D { }
f ' = Z − 2, 4 , f′ ( x)
= 2 2 . Soluţia x = 3.
( x − 6x+ 8)
2
−2( x − 4+ 3)
f) D= Df'= Z , f′ ( x)
= 2 2 . Soluţiile x ∈ { 1, 3}
.
( x − 5x+ 7)
210

2 2
⎧ π ⎫ cos x+ sin x+ 2sin x)
g) D= Df'= Z− ⎨± + 2 kπ k∈ Z ⎬ , f′ ( x)
=
.
2
⎩ 2 ⎭
cos x
1
Se obţine ecuaţia 1+ 2sin x= 0sau sin x=−
, cu soluţiile
2
7π 11π
x= + 2 kπ , x= + 2 kπ, k∈Z
.
6 6
2
3( x −1)
h) D= Df'= (0, +∞ ), f′ ( x)
= . Soluţia x = 1.
2x
x
211

Sinteză
S1. Soluţie:
a) Calculăm mai întâi:
• ( xsin x+ cos x) ′ = sin x+ xcos x− sin x= xcos x
• ( x cos x− sin x) ′ = cos x−xsinx− cos x=− xsinx Rezultă că:
( xsinx+ cos x)( ′ xcosx−sin x) − ( xsinx+ cos x)( xcosx−sin x)
′
f′ ( x)
= =
2
( xcosx−sin x)
2
xcos x( xcos x− sin x) + xsin x( xsinx+ cos x) x
= 2 =
2 ;
( x cos x−sin x) ( xcos x−sin x)
b) Avem:
⎛ 2 n−1 n 2 n 1
n
x x x x x ⎞ ⎛ −
x x x x ⎞
−
− −x
x
f′ ( x) =−e ⎜1 + + + ... + + ⎟+ e ⎜1 + + + ... + ⎟=
e
⎝ 1! 2! ( n−1)! n! ⎠ ⎝ 1! 2! ( n−1)! ⎠ n!
S2. Soluţie:
2 2
6 xx ( −1) − 3x+ 2 3x− 6x+ 2
a) f′ ( x) = {}
2 = 2 , x∈R
− 1 .
( x−1) ( x−1)
b) Tangenta în x0 are panta m = f ′ (x0) şi este paralelă cu y = 2x – 1 dacă m = 2.
2 2
Rezultă ecuaţia f ´(x0) = 2, adică 3x − 6x + 2= 2( x −1) cu soluţiile x ∈ { 0, 2}
.
0 0 0
c) Două drepte sunt perpendiculare dacă produsul pantelor lor este egal cu –1.
Tangenta în x0 are panta m = f ′ ( x0)
iar dreapta y = x are panta m1=1.
2 2
⎧1 3⎫
Se obţine relaţia f ′ ( x0)
= – 1 sau 3x0 − 6x0 + 2 = −( x0
− 1) , cu soluţiile x0
∈ ⎨ , ⎬
⎩2 2⎭
.
S3. Soluţie:
2 x 2
x +− 1 ( x+ a)2 x e ( x +− 1 2 x)
Avem: f′ ( x) = 2 2 , g′ ( x)
= 2 2 .
( x + 1) ( x + 1)
x
Se obţine egalitatea, după reducere: e ( −2ax− 2 x) = 0, ∀x∈Rşi rezultă că a = –1.
S4. Soluţie:
2
x + x+ 1 − ( x+ m)(2x+ 1)
Obţinem f′ ( x) = 2 2 , x∈R
.
( x + x+
1)
2
Condiţia f′ ( x) < 0, ∀x∈Rconduce la −x − 2mx+ 1− m< 0, ∀x∈R .
2
Se impune condiţia ∆< 0 , adică 4( m − m+
1) < 0 şi nu există m cu această proprietate.
S5. Soluţie
x 2
a) Avem f′ ( x) = e ⎡⎣x + ( m+ 2) x+ 2 m⎤⎦, x∈R
.
f ′ ( x ) < 0 are loc pentru x ∈− [ 2, 2]
, dacă x = –2 şi x = 2 sunt soluţii pentru
Inegalitatea 0
f ′ ( x ) = 0. Se obţine m = –2.
0
212
0

)
Sn
x
e
1
gx ( ) = x
=
. Rezultă că
e ( x+ 1)( x+ 2) ( x+ 1)( x+
2)
1 1 1 1
= + + + ... + =
12 ⋅ 23 ⋅ 34 ⋅ ( n+ 1)( n+
2)
⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
= ⎜1 − ⎟+ ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟+ ... + ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟=
⎝ 2⎠ ⎝2 3⎠ ⎝3 4⎠ ⎝n n+ 1⎠ ⎝n+ 1 n+
2⎠
1 n + 1
= 1−
=
n+ 2 n+
2
.
213

3.3.5. Derivarea funcţiilor inverse (pag...)
Exersare
E1. Soluţii:
2 2 2 2 2 2 2
a) f′ ( x) = 3( x + 1) ( x + 1) ′ = 3 ⋅ ( x + 1) ⋅ 2x= 6 x⋅ ( x + 1) ,
2
( x + 1) ′ 2x
b) f′ ( x) = 2 = 2 , x∈R
;
x + 1 x + 1
1′ 1−x′ 2
c) f′ ⎛ ⎞
( x) = ⋅ , x ( 1,1)
2
1 x
⎜ ⎟ = ∈ − ;
⎛ − ⎞ ⎝1+ x⎠ x −1
⎜ ⎟
⎝1+ x ⎠
x∈R
;
1
d) f′ ( x) =
x
2 2
1+
x
⎛ x ⎞
′
⋅ ⎜ 2 ⎟ =
⎝1+ x ⎠
2 2
1 + x ⋅(1 −x
)
, x∈(0,
∞)
;
2 2
2 x⋅ ( x + 1)
2 2
x x 2 x
2
e) f′ ( x) = e + x⋅e ⋅ ( x ) ′ = e (1+ 2 x ), x∈R
;
2 2 2
f) f′ ( x) = cos( x + 1) ⋅ ( x + 1) ′ = 2xcos( x + 1), x∈R
;
2 2 2
g) f′ ( x) =− sin( x + x+ 1) ⋅ ( x + x+ 1) ′ =− (2x+ 1)sin( x + x+ 1), x∈R
;
1
h) f′ ( x) = ⋅cos x; x∈(0,
π ) ;
2 sinx
2
2 x 2x + 1
i) f′ ( x) = x + 1 + x⋅ = , x∈R
;
2 2
x + 1 x + 1
x
1 x e ( x+
1)
j) f′ ( x) = ⋅ ( xe ) ′ = , x∈
(0, +∞ ) .
x x
2 xe 2 xe
E2. Soluţii:
2
(1+ sin x) ′ 2sin x⋅cosx sin 2x
a) f′ ( x) = 2 = 2 = 2 , x∈R
;
1+ sin x 1+ sin x 1+ sin x
x x
(1 + e ) ′ e
b) f′ ( x) = x = x , x∈R
;
1+ e 1+
e
2
(1+ sin x) ′ sin 2x
c) f′ ( x) = = , x∈R
;
2 2
2 1+ sin x 2 1+ sin x
3
d) f′ ( x) = cos( x x) ⋅ ( x x) ′ = x⋅cos( x x), x∈
(0, +∞ ) ;
2
1 x ′ 1 1
e) f′ ⎛ ⎞
( x) = ⋅ , (0,2)
2 ⎜ ⎟ = = x∈
;
2 2 2
⎛ x ⎞ ⎝ ⎠ 4−x 4−x
1−
⎜ ⎟
2
⎝2⎠ 4
−1 ⎛ 1 ⎞′
−1 −1
1
f′ ( x) = ⋅ = ⋅ = , x∈
(3, +∞)
⎛ 1 ⎞ ⎝x−1 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ( x−1) ( x−1) x −2x
1−⎜ ⎟ 1−⎜
⎟
⎝x−1⎠ ⎝x−1⎠ f) ⎜ ⎟
2 2 2
2
214

E3. Soluţii:
1
a) Pentru x0 ∈ (1, +∞) se obţine că f′ ( x0)
=
2 x − 1
, iar pentru x0 = 1, avem:
x − 1 1
lim = lim = +∞.
x→1 x −1 x→1
x> 1 x>
1 x −1
Rezultă că domeniul de derivabilitate este (1, +∞ ) .
1 x
b) f ′ ( x) = e , x∈ (0, +∞ ) = Df'.
2 x
⎧ 2 3
⎪(
x −1) , x∈(
−∞− , 1] ∪ [ 1, +∞)
c) f( x)
= ⎨
2 3 ⎪⎩ (1 −x ) , x∈(
−1,1)
Funcţia este derivabilă pe R −− { 1,1}
.
x ∈ − 1,1 .
Studiem derivabilitatea în { }
Analog se obţine că f ′ (1) = 0 .
Aşadar f este derivabilă pe R.
0
2 3
( x −1)
′ d ( − 1) = lim = lim(
x→−1 x + 1 x→−1
x>−1
2
+ 1) ⋅( 3
− 1) = 0
f x x
0
215
şi f ′ s ( − 1) = 0 .
x −x
e −e
d) Pentru x ∈R−{} 0 se obţine că f′ ( x) = x , x> 0 şi f′ ( x) = −x
, x<
0.
1+ e 1+
e
Pentru x = 0 avem
⎛ −x −x
1+ e ⎞ ⎛ ⎛ e −1⎞
⎞
ln ln 1
x ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ + ⎟ ⎟ −x
ln(1 + e ) −ln 2 ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎝ 2 ⎠ e −1⎟
fs′
(0) = lim = lim = lim −x
x→0 x x→0 x x→0⎜
⋅ =
e −1 2⋅x
⎟
x< 0 x< 0 x<
0⎜
⎟
⎝ 2
⎠
⎛ −x
e −1
1⎞ 1 1 1 1
= lim⎜ ⋅ ⎟=
ln =− ln e=−
.
x→0⎝
x 2⎠ 2 e 2 2
⎛ −x
x
e −1⎞ ⎛ ⎛ e −1⎞
⎞
ln 1 ln 1
x ⎜ + ⎟ ⎜ ⎜ + ⎟ ⎟
x
ln(1 + e ) −ln 2 ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎝ 2 ⎠ e −11⎟
1
f ′ (0) = lim = lim = lim x
x→0 x x→0 x x→0⎜
⋅ ⋅
e 1 x 2⎟ = .
−
2
x> 0 x> 0 x>
0⎜
⎟
⎝ 2
⎠
Aşadar f nu este derivabilă în x0 = 0.
⎧ 1
⎧−arcsin xx , ∈[ −1,0]
⎪
− , x ∈( −1,0)
2
⎪
⎪ 1−
x
e) f( x)
= ⎨ . Avem f′ ( x)
= ⎨ .
⎪⎩ + arcsin xx , ∈(0,1)
⎪ 1
, x ∈(0,1)
⎪ 2
⎩ 1−
x
−arcsin
x
arcsin x
Pentru x = 0, fs′
(0) = lim =−1şi fd′
(0) = lim = 1.
x→0
x
x→0
x
x<
0
Aşadar f nu este derivabilă în x = 0.
De asemenea f nu este derivabilă în x0 = –1.
x>
0

f)
⎧arccos( −x), x∈[
−1,0]
⎪⎧
π−arccos xx , ∈[ −1,0]
f( x)
= ⎨ = ⎨
.
⎩arccos xx , ∈ (0,1] ⎪⎩
arccos xx , ∈ (0,1]
Funcţia f nu este derivabilă în
x ∈{ − 1,1}
. Pentru x = 0 avem:
0 { 1,1}
0
π π
−arcsin x −
arccos x − arccos 0
f ′ (0) lim lim 2 2
d = = =− 1 şi
x→0 x x→0
x
π
π−arccos x −
2 arcsin x
f ′ s (0) = lim = lim = 1.
x→0 x x→0
x
x<
0
Aşadar f nu este derivabilă în x0 = 0.
x ∈ − deoarece funcţia arccos nu este derivabilă în
E4. Soluţie:
a) Funcţia f este strict crescătoare pe [ 0,+∞ ) , deci este funcţie injectivă.
Deoarece f este funcţie continuă, f(0) = 3 şi lim f( x)
=+∞, din proprietatea lui Darboux
rezultă că f ia toate valorile intermediare de la 3 la +∞.
Aşadar Im f = [3, +∞) şi f este surjectivă. Deci f este bijectivă.
Analog, g este strict crescătoare pe R, deci este injectivă.
Fiind continuă şi având lim gx ( ) =−∞, lim gx ( ) =+∞, rezultă că Imf=(–∞, +∞)= R , deci g
x→−∞
x→∞
216
x→∞
este surjectivă.
În concluzie g este bijectivă.
− 1 1
b) Rezultă: ( f
′ ) (4) = , unde f( x0)
= 4.
f '( x0)
Din relaţia f( x 0 ) = 4 se obţine că x 2 + 3 = 4, deci x0 = 1.
− 1 1 1
Aşadar ( f
′ ) (4) = = .
f '(1) 2
− 1 1 1 1
Analog: ( g ) ′
(8) = = = .
g′
(2) 3⋅4 12
Sinteză
S1. Soluţie:
⎧
⎪
a) D= R , f( x)
= ⎨
⎪⎩ 2
x −1, x∈(
−∞− , 1] ∪[
1, +∞)
.
2
1 −x , x∈(
−1,1)
⎧
⎪
f′ ( x) = ⎨
⎪
⎪⎩
x
, x ∈−∞− ( , 1) ∪ (1, +∞)
2
x −1
, D { 1,1}
f ′ = R
− −
−x
, x ∈− ( 1,1)
2
1−
x

(1−ln x)
′
b) f ′ ( x) = =
2 1−ln x 2x −1
, x∈(0, e)
.
1−ln x
′ =
1 ⎛
⋅⎜ ⎝
2x⎞
′
⎟ .
⎠
⎝1+ x ⎠
2 2 2
⎛ 2x⎞ ′ 2(1 + x ) −4x 2(1 −x
)
Dar ⎜ 2 ⎟ = = .
2 2 2 2
⎝1 + x ⎠ (1 + x ) (1 + x )
2 2 2 2
2
⎛ 2x ⎞ ⎛ 2x ⎞⎛ 2 x ⎞ ( x− 1) ( x+ 1) ⎛ x −1⎞
De asemenea: 1− ⎜ 1 1
2 ⎟ = ⎜ − 2 ⎟⎜ + 2 ⎟ = =⎜ 2 2 2 ⎟ .
⎝ x + 1⎠ ⎝ x + 1⎠⎝ x + 1 ⎠ ( x + 1) ⎝ x + 1⎠
Aşadar f′ ( x)
=
2
1 2(1 −x )
⋅ = 2 2 2
x −1 ( x + 1)
2
x + 1
⎧ 2
2 , x ∈− ( 1,1)
2
2(1 −x ) ⎪ x + 1
=⎨ .
2 2
x − 1( x + 1) ⎪ −2
, x ∈−∞− ( , 1) ∪ (1, +∞)
2 ⎪ ⎩ x + 1
Aşadar D { 1,1}
′ = R − − .
c) f ( x)
2
2
⎛ 2x
⎞
1+
x
1−
⎜ 2 ⎟
d)
f
2
1 ⎛1−x⎞ ′
f′ ( x)
= ⋅⎜ 2
2 ⎟ .
2
⎛1−x⎞ ⎝1+ x ⎠
1−
⎜ 2 ⎟
⎝1+ x ⎠
2
2 2 2 2
⎛1−x ⎞ ⎛ 1−x ⎞ ⎛ 1− x ⎞ 4x
Avem: 1− ⎜ ⎟ = ⎜1− ⎟⋅ ⎜1+ ⎟ =
⎝1+ x ⎠ ⎝ 1+ x ⎠ ⎝ 1 + x ⎠ (1 + x )
Rezultă că:
⎧ −1
2 , x > 0
2
(1 + x ) −4x ⎪ 1 x
f′ +
( x)
= ⋅ =⎨ .
2 2
4 x (1 + x ) ⎪ 1
, x < 0
2 ⎪ ⎩1+
x
Aşadar f D
∗
′ =R .
e)
2 2 2 2 2
x
x ln( x ) xln x
f( x) = x = e = e , iar
217
⎛ 2
1−x⎞′ 4x
şi ⎜ ⎟=−
⎝1 + x ⎠ (1 + x )
2 2 2
xln x
f '( x) = e (
⎛ x 1
x⋅ ln x)'= x ⎜
ln x+ ⎝2 x
x ⎞
⎟ x
x ⎟
=
⎠
lnx+ 2
x , x > 0 .
2 x
ln( x+ 1) ln x
ln( x+ 1) ln( x+ 1) ⎛ ln x ln( x+
1) ⎞
f) f( x) = e şi f '( x) = x ( ln( x+ 1)(ln x) ) ' = x ⎜ + ⎟,
x > 0 .
⎝ x+ 1 x ⎠
S2. Soluţii:
2 2
a) D= R, f′ ( x) = 3 ⋅(2x −6 x) ⋅(4x−6), x∈R.
Ecuaţia f′ ( x)
= 0are
soluţiile
b) [ ]
⎧ 3⎫
x ∈ ⎨0,3, ⎬
⎩ 2⎭
.
D= 0, π , f '( x) =− 2sin xcosx+ 2sin 2x= sin 2 x, x∈ D.
.

⎧ ⎫
Soluţiile ecuaţiei sin 2x = 0 sunt x 0, ,
2
π
∈⎨ π⎬
⎩ ⎭ .
x + 3
c) D = ( −∞, −5] ∪[ − 1, +∞ ), f '( x) = , x∈(
−∞, −5) ∪ ( − 1, +∞)
. Soluţiile x ∈∅.
2
x + 6x+ 5
⎛ 2⎤ 6x+ 2
d) D=−∞− ⎜ , (0, ), f ( x) 2 , x D
3
⎥∪ +∞ ′ = ∈ . Ecuaţia f′ ( x)
= 0 nu are soluţii.
⎝ ⎦
3x + 2x
3 2
2 x −3x
e) D= R, f′ ( x) = (3x −6 x) ⋅3 ln3, x∈R.
Soluţiile sunt x ∈ { 0, 2}
.
2
12x −6x
⎧ 1 ⎫
f) D= R, f′ ( x) = 3 2 2 , x∈R.
Soluţiile ecuaţiei sunt x ∈ ⎨0, ⎬
1 + (4x − 3x + 1)
⎩ 2⎭
.
2 2 2
−x −x −x
2
⎧ 1 ⎫
g) D= R , f′ ( x) = 2 ⋅ e + (2x+ 1) e ⋅( − 2 x) = e ( −4x − 2x+ 2) . Soluţiile x ∈⎨−1, ⎬
⎩ 2⎭
.
2
'
2
⎛ 8 ⎞ 1 ⎛x + 4⎞ 3x + 16x− 12 3x+ 8
h) D=− ⎜ , +∞ ⎟,
f '( x) = ⋅ ⎜ ⎟=
2
2 ⋅ 2 , x∈D. ⎝ 3 ⎠ x + 4 ⎝3x+ 8⎠ 2(3x+ 8) x + 4
2
3x+ 8
2
2
Soluţiile ecuaţiei f’(x)=0 sunt date de ecuaţia 3x + 16x− 12= 0.
Rezultă că x = ∈ D .
3
S3. Soluţii:
a) Funcţia f este strict crescătoare pe R ca sumă de funcţii strict crescătoare pe R, deci este
funcţie injectivă.
Funcţia f este continuă, lim f( x) =−∞ , lim f( x)
=+∞. Din proprietatea lui Darboux rezultă
x→−∞ x→+∞
că Im f = R , deci f este surjectivă. Aşadar f este bijectivă, deci inversabilă.
b) ( ) '
−1
1
x
f (3) = , unde f (x0) = 3. Ecuaţia x + 2 = 3 are soluţia unică x = 1 (din
f '( x0
)
monotonia lui f ).
Se obţine că ( ) 1 − 1 1
f
′
(3) = = .
f '(1) 1+ 2 ln 2
S4. Soluţii:
a) Funcia f este bijectivă. Într-adevăr, fiind strict crescătoare pe (1,+∞) ea este injectivă.
Fiind continuă şi având: lim f( x) =−∞ , lim f( x)
=+∞, rezultă că mulţimea de valori a
x→1x→∞ x>
1
funcţiei este Im f = R , deci f este surjectivă.
b) ( ) 1
f
− ′ 1
(2) = = 2
f '(2)
1 − 1 1
f
′
( e+
2) = = 1+
.
f '( e+ 1) e
( )
218

3.4 Derivate de ordinul doi
Exersare
E1. Soluţii:
2
a) D= R = D f ′ . Se obţine f '( x) = 3x + 1 şi
În particular f ′ ( − 1) =− 6, f ′ ( x)
= 0.
2
f ( x) (3x 1) 6x
219
′ = + ′ = .
x
b) D= R, f '( x) = e ( x+ 1), x∈ R, Se obţine f ′ (0) = 2, f ′ (1) = 3e.
x
f ′ ( x) = e ( x+ 2), x∈R.
c) D= R, f′ ( x) = cos x− sin x, f ′ ( x) =−sinx−cos x, x∈Rşi
f ′ (0) =−1, f ′ ( π ) = 1.
1 1
d) D= [ 0, +∞ ), f′ ( x) = + 1, x∈ (0, +∞ ), f ′ ( x) =− , x>
0.
2 x 4x
x
2
1−
x
e) D= R, f′ ( x) = 2 2,
x∈R.
Funcţia f ' este funcţie derivabilă pe R, fiind obţinută
(1 + x )
prin operaţii cu funcţii derivabile pe R . Aşadar f este de două ori derivabilă în x0.
⎧ π
⎫
cos x
f) D= R −⎨− + 2 kπ/ k∈ Z⎬
, f′ ( x) = 2 , x∈D. ⎩ 2 ⎭ (1+ sin x)
Funcţia f’ este derivabilă pe D, (operaţii cu funcţii derivabile).
x
e
g) D= R, f′ ( x) = x 2 , x∈R.
Funcţia este de două ori derivabilă.
(1 + e )
E2. Soluţii:
a) Avem: f(0 − 0) = 0 = f(0
+ 0) deci f este continuă în x=0. De asemenea,
x
f (0) = lim = 0şi f (0) = 0deci
f este derivabilă în x0=0.
3
' '
s
x→0
2
x x<
0
d
2
⎧⎪ 3 x , x ≤ 0
Obţinem f '( x)
= ⎨ şi rezultă că:
3
⎪⎩ 20 x , x > 0
este de două ori derivabilă în x0=0.
3x 20x
f (0) = lim = 0, f (0) = lim = 0,
deci f
2 3
'' ''
s
x→0 x< 0 x
d
x→0
x>
0 x
⎧cos
xx , ≤ 0
b) Avem că f este continuă şi derivabilă în x0=0 şi f '( x)
= ⎨
.
2
⎩3x
+ 1, x > 0
Funcţia f’ este şi ea derivabilă în x0=0, avînd f ′ (0) = 0 .
4 3
⎧⎪−x , x ≤0 ⎧⎪−4
x , x ≤0
c) f( x) = ⎨ , f '( x) = , f ''(0) 0
4 ⎨
= .
3
⎪⎩x , x > 0 ⎪⎩4
x , x > 0
2
⎧ ⎪x
(3ln x+ 1), x > 0
d) Funcţia f este continuă şi derivabilă pe (0,+∞) şi f '( x)
= ⎨
. Se obţine
2
⎪⎩ 3 x , x ≤ 0
apoi că f ′ (0) = 0 .

E3. Soluţii:
a) D= R, f′ ( x) = 4x+ 5, x∈ R, f ′ ( x) = 4, x∈R.
b)
= R ′ = − ∈ R ′ = ∈R.
2
D , f ( x) 3x 4, x , f ( x) 6 x, x
x x
c) D= R, f′ ( x) = e + 1, x∈ R, f ′ ( x) = e , x∈R.
1 1
D= (0, +∞ ), f′ ( x) = 1 + , x> 0, f ′ ( x) =− , x>
0 .
x x
d) 2
1
e) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = lnx+ 1, x∈ (0, +∞ ), f ′ ( x) = , x∈
(0, +∞ ) .
x
x 2 x 2
f) D= R, f′ ( x) = e ( x + 2 x), x∈ R, f ′ ( x) = e ( x + 4x+ 2), x∈R.
g) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = 2xln x+ x, x∈ (0, +∞ ), f ′ ( x) = 2lnx+ 3, x∈
(0, +∞ ) .
h) D= R, f′ ( x) = 2sin xcosx= sin 2 x, x∈ R, f ′ ( x) = 2cos 2 x, x∈R.
i)
= R ′ =− ∈ R ′ = − ∈R.
2 2 3
D , f( x) 3cos xsin xx , , f ( x) 6sin xcos x 3cos xx ,
j) D= R, f′ ( x) = xcos xx , ∈ R, f′ ( x) = cos x−xsin xx , ∈R.
k)
5 15
D = (0, +∞ ), f '( x) = x x, x∈ (0, +∞ ), f ''( x) = x, x∈
(0, +∞ ) .
2 4
⎧ π
⎫
x
⎨ 2 ⎬ ′ ( ) tg ,
⎩ 2 ⎭
cos x
l) D= R− ± + kπ k∈ Z f x = x+
2
2
1 cos x+ xsin2x f ′ ( x) = 2 + 4 , x∈ D.
cos x cos x
3 −6
m) D= R −{ − 2 } , f′ ( x) = 2 , f ′ ( x) = 3 , x∈D. ( x+ 2) ( x+
2)
n)
2
1−x 2
2 x( x −3)
2 2 2 3
D= R, f′ ( x) = , f ′ ( x) = , x∈R.
( x + 1) ( x + 1)
Sinteză
S1. Soluţie:
Folosim formulele trigonometrice:
• sin( x + y) = sin xcosy+ sin ycosx, • cos( x+ y) = cos x⋅cosy−sin x⋅ sin y
⎛ π⎞ π π
a) Avem • sin⎜x+ ⎟=
sin xcos+ sin cos x= cos xşi
⎝ 2⎠ 2 2
• sin( x+π ) = sin xcos π+ sin π cos x=− sin x.
⎛ π ⎞
Aşadar f '( x) = cos x = sin ⎜x+ ⎟,
f ''( x) = − sin x = sin( x+
π ) .
⎝ 2 ⎠
220

⎛ π ⎞
b) Se arată că au loc relaţiile: cos⎜x+ ⎟ = −sinxşi
cos( x + π ) = − cos x .
⎝ 2 ⎠
S2. Soluţie:
2x 2x
Avem f′ ( x) = e (8x+ 10), f ′ ( x) = e (16x+ 28), x∈Rşi
relaţia este verificată.
S3. Soluţie:
x x
Avem f′ ( x) = e (sin x+ cos x), f ′ ( x) = e 2cos x, x∈R
.
x
Înlocuind în relaţia dată se obţine că e ⋅cos x⋅(2 − a) = 0, ∀x∈R , deci a=2.
S4. Soluţie:
−2x −2x
Avem f′ ( x) = e ( −3sinx− cos x)şi f ′ ( x) = e (7sinx−cos x), x∈R
. Înlocuind în relaţia
e (9+ ab− 3( a+ b))sin x+ ( ab−a−b− 1)cos x = 0, x∈R
.
−2x
dată rezultă că [ ]
Pentru x = 0 se obţine ab – ( a + b) = 1, iar pentru x
2
π
= se obţine ab – 3(a + b) = –9.
⎧ab
− ( a + b)
= 1
⎧a+
b = 5
Sistemul ⎨
conduce la ⎨ cu soluţiile a=2, b=3, şi a=3, b=2.
⎩ab
− 3( a + b)
= −9
⎩ab
= 6
S5. Soluţie:
Obţinem f′ ( x) = 2 ax+ b, f ′ ( x) = 2 a, x∈R
şi 4a + 2b + c = 9, 2a + b = 2, 2a = 8.
2
Aşadar a = 4, b = –6 , c = 5 şi f( x) = 4x − 6x+ 5.
S6. Soluţie:
2
Avem f ′ ( x) = 3ax + 2 bx+ c, f ′ ( x) = 6ax+ 2 b, x ∈Rşi se obţine sistemul
cu soluţia a = 1, b = –4, c = 2, iar
S7. Soluţie:
⎧−
a+ b− c+
1= −6
⎪
⎨3a+
2b+ c = −3
⎪
⎩12a+
2b = 4
3 2
f ( x) = x − 4x + 2x+ 1.
Se pune condiţia ca funcţiile să fie continue, derivabile în x0 şi ca s 0 d 0
a) f (0 − 0) = 0, f(0 + 0) = c,
deci f este continuă dacă c = 0.
•
•
s (0)
3
x + ax
lim
x→0 x
x<
0
lim(
x→0
2
)
fd(0) 3 2
x + bx
lim
x→0 x
x>
0
2
lim( x
x→0
bx)
0
f ′ = = x + a = a,
′ = = + = ,
deci f este derivabilă în x0 = 0 pentru a = 0.
3 2
⎧⎪x , x ≤0 ⎧⎪3
x , x ≤0
Se obţine f( x) = ⎨ , f '( x)
=
3 2 ⎨
.
2
⎪⎩x + bx , x > 0 ⎪⎩3x
+ 2 bx, x > 0
221
f ′ ( x ) = f′ ( x ) .

2
3x
• f′ s (0) = lim = lim3x= 0 şi
x→0 x x→0
x<
0
2
3x 2bx
• f ′
+
d (0) = lim = lim(3x+ 2 b) = 2b.
x→0 x
x→0
Rezultă că 2b = 0 deci b = 0.
Aşadar f este de două ori derivabilă în x0 = 0 dacă a = 0, b = 0, c = 0 şi deci f ( x) x
c) f( 0) b, f(
0)
f′ s ( ) a, f ′
d ( ) 2
⎧⎪−
2
2πsinx−πcos x, x≤π,
Avem: f( x)
= ⎨
2 2
⎪ ⎩csin
x+ x , x>π
Se obţine:
2
π− =− π+ =π , deci f este continuă pentru
π=− π= π, deci f este derivabilă în 0
şi
222
2
b =− π .
x = π dacă a =− 2π
.
3
= .
⎧−
2
2π cosx+π sin x, x≤π,
f′ ( x)
= ⎨
.
⎩2csinxcosx+
2 x, x>π
2 2
2 cos x sin x 2 ⎛ sin( x ) 1 cos x⎞
• f ′
− π +π − π π −π +
s ( π= ) lim = lim⎜ −2π ⎟=
x→π x−π x→π⎝
x−π x−π
⎠
x 2
Se obţine că
2 2
3x 3 15 3( x 4)
• f ′
+ − −
s (2) = lim = lim = lim3( x+
2) = 12 şi
x→2 x−2 x→2 x−2
x→2
x<
2
2ax b 15 2ax b 4ab 2 a( x 2)
• f ′
+ − + − − −
d (2) = lim = lim = lim = 2a
.
x→2 x−2 x→2 x−2 x→2
x−2
Rezultă că 2a = 12 şi a = 6, apoi b = –9.
d) f(0− 0) = b, f(0+ 0) = b, f(0)
= 3 , deci f este continuă pentru b = 3.
2
2x + cx+ 8x+ 3− 3
2
x(2x + cx+
8)
x→0 x< 0
x x→0
x<
0
x
f ′ (0) = lim = lim = 8 ,
s

x→0 x>
0
2
x + ax+
3−3 x
x→0
f ′ (0) = lim = lim x+ a= a,
deci f este derivabilă pentru a = 8.
d
Se obţine:
Avem:
⎧ + + ≤
f′ ( x)
= ⎨
⎩2x+
8, x>
0
2
6x 2cx 8, x 0
x→0 x<
0
2
6x + 2c+ 8−8 x
x→0
f ′ (0) = lim = lim(6x+ 2 c) = 2cşi
s
Rezultă că 2c = 2 deci c = 1.
.
223
2x8 8
f ′
+ −
d (0) = lim = 2 .
x
x→0
x>
0

3.5 Regulile lui L’Hôspital
Exersare
E1. Soluţii:
Cazuri 0
0
3 2
( x − 3x+ 2)' 3x −3
0
a) = lim 2 = lim = = 0 ;
x→1 ( x −1)'
x→1
2x 2
2
( x −4)
′ 2x 1
b) = lim 3 = lim 2 = ;
x→2 ( x −8)
′ x→2
3x 3
2
3x3 c) = lim = ;
x→−1
2x+ 4 2
2005
2006⋅x 2006
d) = lim 2006 = ;
x→1
2007⋅x 2007
2
3x27 e) = lim = ;
x→3
2x−4 2
1+ cosx2 f) = lim = = 2 ;
x→0
2x+ cosx1 1
1
1−
2
0 ( 1) 1
g) lim
x 1 ⎛ ⎞ x+
=
+
= ⎜ ⎟=
lim
= ;
x→0 sin x+ cos x ⎝0⎠ x→0
cos x+ cos x−xsin x 2
cos x+ 24cos8x 25
h) = lim = = 5.
x→0
7cos7x−2cos2x 5
E2. Soluţii:
Cazuri de nedeterminare 0
0
2sin xcosx sin 2x ⎛0⎞ 2cos 2x 2 1
a) = lim = lim = ⎜ ⎟=
lim = = .
x→0 2x+ 2sinxcosx x→0 2x+ sin2x ⎝0⎠ x→0
2+ 2cos2x 4 2
3sin3x 9cos3x
b) = lim = lim = 9 .
x→0 sin x x→0
cos
1−cosx sinx 1
c) = lim 2 = lim = .
x→0 3xx→0 6x6 2
x
e 2x+ sinx
d) = lim = 0 .
x→0
2x+ 1
1−cos x sin x cos x 1
e) = lim = lim = lim =
x x x .
x→0 2e −2−2x x→0 2x −2
x→0
2e 2
n+ 1 2 n n 2 n−1
nn ( + 2) x − ( n+ 1) x + 1 nn ( + 2)( n+ 1) x − nn ( + 1) x
f) = lim = lim
=
x→1 2( x−1)
x→1
2
x>
1
2
nn ( + 1)( n+ 2) − nn ( + 1) nn ( + 1)
= = .
2 2
224

E3. Soluţii:
Cazuri de nedeterminare ∞
∞
2
6x + 4 12x
a) = lim 2 = lim = 2 .
x→∞ 3x+ 3 x→∞6x
1
6x−+ 1
2
6 1 12 1 12 3
b) lim
x x − x+ x−
= = lim 2 = lim = lim = .
x→∞ 1 x→∞4x + x− 1 x→∞ 8x+ 1 x→∞8
2
4x+− 1
x
cos 2x
⋅2
2sin cos2
c) lim
sin 2x
⎛ x x ⎞ sin x cos x 2
= = lim⎜
⋅ ⎟=
2lim = 2lim = = 1.
x→0 cos x x→0⎝sin
2x cos x ⎠ x→0 sin 2x x→0
2cos 2x 2
x>
0
sin x
1
2
1 sin 3x
d) = lim
x
=− lim = 0 .
x→0 3 3 x→0
x
x>
0 − 2
sin 3x
2cos2x
e) = lim
1+ sin2x
= 2 .
x→0
cos x
1+ sinx
2x+ 1
2
2 1
f) lim
x x 1 x+
=
+ +
= lim 2 = 0
x→∞ 1 x→∞
x + x+
1
E4. Soluţii:
Cazuri de nedeterminare 0· ∞.
1 1
−
2
ln x− ln( x+ 1)
a) l lim lim
x x+
1 −x
x
= = = lim =− lim =−1.
x→∞ ⎛1⎞ x→∞
1 x→∞ xx ( + 1) x→∞x+
1
⎜ ⎟
− 2
⎝ x ⎠
x
x − π 1
b) l = lim = lim = 1.
x→π tgx
x→π
⎛ 1 ⎞
⎜ 2 ⎟
⎝cos x ⎠
1 2x
2 − 2
2 2 2
ln x− ln( x + 1)
c) l lim lim
x x + 1 −(1 −x ) x x( x −1)
= = = lim 2 = lim 2 = 0
x→0 ⎛1⎞ x→0
1 x→0 xx ( + 1) x→0
x+
1
⎜ ⎟
− 2
⎝ x ⎠
x
1
⎛arcsin x ⎞
ln x
d) l= lim ⎜ ( xln x) ⎟=
lim xln x=
lim = lim
x
= lim( − x)
= 0 .
x→0⎝ x ⎠ x→0
x→0⎛1⎞ x→0 1 x→0
x> 0 x>
0
x> 0⎜ ⎟ x>
0 − 2
⎝x⎠ x
225

⎛1⎞ 1
−
x
ln x
⎜ ⎟
x e
e) l = lim = lim
⎝ ⎠
= lim =
x→0 1 x→0 1
x→0
1
x> 0 x 0 1
x > x ⎛ ⎞ x>
0
e e ⎜− −
2 ⎟
⎝ x ⎠ x
1 '
− 1 x ⎛ ⎞
e ⎜−⎟ 1
x
−
x −∞
= lim
⎝ ⎠
= lim e = e = 0 .
x→0 '
x→0
x> 0 ⎛ 1 ⎞ x>
0
⎜−⎟ ⎝ x ⎠
1
1 1
x+
2 ⎛ ⎞
e
x+
2
1
e
⎜ ⎟
x + 2
x+
2 ∞
f) l = lim = lim
⎝ ⎠
= lim e = e = +∞
x→−2 2
'
1 x→− x→−2
x>− 2 x>− 2 ⎛ 1 ⎞ x>−2
x + 2 ⎜ ⎟
⎝ x + 2 ⎠
Soluţii
'
Teste de evaluare
Testul 1
1. Tangenta la graficul funcţiei f în punctul ( , ( ) )
x f x are ecuaţia
0 0
M dacă f x0 f x0 x0
y− f( x0) = f '( x0) ⋅( x− x0)
. Aceasta trece prin (2,1) 1 − ( ) = '( )(2 − ) .
Deoarece f( x0) =
unde a =− 2 .
f(1) = a+
2şi
f′ ( x0) = f′ (1) = a+
3 se obţine că: 1 − ( a+ 2) = ( a+
3) ⋅ 1 de
2.
x
sin x 1 1
f (0) = lim = 1, f (0) = lim
x +
= lim = 1,
deci f este derivabilă în x0=0.
x x x+
1
' '
s
x→0 x< 0
d
x→0 x>
0
x→0
3.
x 1 1 x+
2
a) f′ ( x) = ln( x+ 1) + , f ′ ( x) = + = , x∈
(0, +∞)
.
2 2
x+ 1 x+ 1 ( x+ 1) ( x+
1)
2 2
1 2x 1−2x − 2( x + 1) −(1−2 x)2x x −2x−2 b) f′ ( x) = 2 − 2 = 2 , f ′ ( x) = 2 2 = 2 2 , x∈
R.
x + 1 x + 1 x + 1 ( x + 1) ( x + 1)
226

Soluţii
Testul 2
1. Funcţia este continuă şi derivabilă pe R −{}
0 . Studiem continuitatea şi derivabilitatea în
x0=0.
2
Avem: f(0+ 0) = 0, f(0− 0) = a − 1.
Funcţia este continuă în x0=0 dacă a 2 –1=0, deci dacă
a ∈− { 1,1}
.
Pentru
±
a=± 1, f (0) = lim = 0, f (0) = lim = 0 , deci f este derivabilă în x0=0.
2
′
x
′
xsin x
s d
x→0 x x→0
x
x< 0 x>
0
Aşadar
Pentru a ∈R −{ −1,1}
, f nu este continuă în x0=0, iar f este derivabilă pe R −{}
0 .
Pentru a ∈− { 1,1}
, f este derivabilă pe R .
2 2 2
(2x− 1)( x + x+ 2) −( x − x+ 2)(2x+ 1) 2x −4
2. a) f '( x) = 2 2 = 2 2 , x∈R
.
( x + x+ 2) ( x + x+
2)
2 2
2
2x+ 1 2( x + x+ 2) + 2x
+ x
b) D= R , f′ ( x) = x + x+ 2+
x
= =
2 2
2 x + x+ 2 2 x + x+
2
2
4x + 3x+ 4
= , x ∈R
.
2
2 x + x+
2
3. a) Caz de nedeterminare 0
. Aplicăm regula lui L’Hôspital.
0
2x+ 1 1
2
= lim
x→0
2
x + x+
1
=
2
= 1;
1 1
2 x+
1 2
b) Caz de nedeterminare ∞
. Se obţine:
∞
1
2+
1 2 0 2
lim
x +
=
+
= = .
x→∞
2 3+ 0 3
3+
2x+ 1
227

Capitolul IV. Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor
4.1. Rolul derivatei întâi în studiul funcţiilor
Exersare
E1. Soluţie:
Se verifică continuitatea şi derivabilitatea funcţiei f pe intervalul [a, b], respectiv (a, b).
a) Funcţia este restricţia unei funcţii de gradul 2 pe [–3,2], deci este continuă şi derivabilă.
Aşadar se poate aplica teorema lui Lagrange.
Avem că ∃c∈( −3,2) astfel încât
f(2) − f(
−3)
f '( c)
= , adică :
5
2−27 1
4c− 3 = de undec
= − .
5 2
b) Funcţia este continuă şi derivabilă pe [1, e] şi se poate aplica teorema lui Lagrange.
ln e−ln1
1 1
Rezultă că există c∈ (1, e) cu f′ ( c)
= sau = deci c= e−1 ∈(1,
e)
.
e−1
c e−1
c) Se poate aplica teorema lui Lagrange funcţiei f.
f(2) − f(1)
1
Se obţine că f′ () c = = .
2−1 3
2 2 1
Dar f '( x) = deci = de undec = 6 −1.
2 2
( x+ 1) ( c+
1) 3
1
d) Funcţia f nu este derivabilă în x 0 = , deci nu se poate aplica teorema lui Lagrange.
2
E2. Soluţie:
Funcţiile sunt derivabile pe domeniul de definiţie. Se studiază semnul primei derivate.
a) D= R, f′ ( x) = 2x−1, x∈R.
Alcătuim tabelul de semn şi de monotonie pentru f.
x – ∞
1
2
+ ∞
f ′ (x)
– – – – – – 0 + + + + + +
f (x) 1 0
b)
= R ′ = − ∈R.
Tabelul de monotonie:
x – ∞ –1 1 + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + 0 – – – –
f (x) 1 0 1
2
D , f ( x) 3 3 x , x
3
c) D= R, f′ ( x) = 4x −16 x, x∈R.
Soluţiile ecuaţiei f ′ ( x)
= 0 sunt x ∈{0, − 2,2} .
Rezultă tabelul:
x – ∞ –2 0 2 + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + 0 – – – 0 + + + +
f (x) 1 0 1 0
x
d) D= R, f′ ( x) = ( x+ 1) e , x∈R.
Avem tabelul de monotonie:
x – ∞ –1 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – 0 + + + + + +
f (x) 1 0
228

e) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = ln x+ 1, x∈
(0, +∞ ) . Ecuaţia f ′ ( x)
= 0 este ln x = –1, cu soluţia
−1
x = e . Tabelul de monotonie:
x – ∞ e –1
f ′ (x)
– – – – – – 0 +
+ ∞
+ + + + +
f (x) 1 0
1 x −1
f) D = ( 0,
+ ∞),
f ′ ( x)
= 1−
= , x∈
( 0,
+ ∞)
. Rezultă tabelul:
x x
x 0 1 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – 0 + + + + + +
f (x) 1 0
2
g) D= R \{ − 1}, f′ ( x) = 2 , x∈D. ( x+
1)
Tabelul de monotonie:
x – ∞ –1 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + + | + + + + + +
f (x) 0 | 0
Funcţia f este crescătoare pe fiecare din intervalele ( −∞ ,1) şi ( − 1, +∞ ) .
4x
h) D= R, f′ ( x) = 2 2 , x∈R.
( x + 1)
Rezultă tabelul:
x – ∞ 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – 0 + + + + + +
f (x) 1 0
E3. Soluţie
Se alcătuieşte tabelul de semn al primei derivate şi de monotonie pentru funcţia f.
2
a) D= R, f′ ( x) = 3x −6 x, x∈R.
Avem tabelul:
x – ∞ − 2
2 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – 0 + + + +
f (x) 0 M 1 m 0
Punctul x = − 2 este punct de maxim local, iar x = 2 este punct de minim local.
x
b) D= R, f′ ( x) = xe , x∈R.
Rezultă tabelul:
x – ∞ 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + +
f (x)
Punctul x = 0 este punct de minim.
1 m 0
229

2
x −2x−3 c) D= R \{1}, f′ ( x) = , x∈D. x−1
Rezultă tabelul:
x – ∞ –1 1 3 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – | – – – 0 + + + +
f (x) 0 M 1 | 1 m 0
Rezultă că x =− 1 este punct de maxim local, iar x = 3 este punct de minim local.
2
−x −2x
d) D= R, f′ ( x) = 2 2 , x∈R.
( x + x+
1)
Se obţine tabelul:
x – ∞ –2 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + 0 – – – –
f (x) 1 m 0 M 1
Rezultă că x = −2
este punct de minim local, iar x = 0 este punct de maxim local.
e) D= R, 2
2 x −1
f′ ( x) = 1 − 2 = 2 , x∈R.
x + 1 x + 1
Se obţine tabelul:
x – ∞ –1 1 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – 0 + + + +
f (x) 0 M 1 m 0
Aşadar, x =− 1 este punct de maxim local, iar x = 1 este punct de minim local.
ln x−1
f) D= (0,1) ∪ (1, +∞ ), f′ ( x) = 2 , x∈D. (ln x)
Avem tabelul:
x 0 1 e + ∞
f ′ (x)
– – – | – – – 0 + + + +
f (x) 1 | 1 m 0
Punctul x = e este punct de minim local.
2
x
g) D= R, f′ ( x) = ( − x + 3x−2) e , x∈R.
Avem tabelul:
x – ∞ +1 2 + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + 0 – – – –
f (x) 1 m 0 M 1
h) D = [ 1,
+ ∞),
f ′ ( x)
=
2
1
, x ∈(
1,
+ ∞)
.
x −1
Se obţine tabelul:
x 1 + ∞
f ′ (x)
| + + + + + + + + +
f (x) 0 0 0
Punctul x = 1 este de minim relativ.
230

Sinteză
S1. Soluţie:
a) Se pune condiţia ca funcţia f să fie continuă şi derivabilă în x = 0. Avem:
• f (1− 0) = 1 + a, f(1 + a) = 5 + b,
deci este necesar ca a= 4+
b.
• fs′ (1) = 2 + a, fd′ (1) = 5+ 2b.
Se pune condiţia ca 2+ a= 5+ 2b.
⎧ a= 4+
b
Rezultă sistemul: ⎨ , cu soluţia a = 5, b = 1.
⎩a=
3+ 2b
b) Se pune condiţia ca funcţia f să fie continuă şi derivabilă în x 0 =π.
• f ( π− 0) = a, f( π+ 0) =− a+ bπ,
deci rezultă că 2a= bπ.
π
• fs′ ( π=− ) 1, fd′ ( π= ) b.
Aşadar, b =− 1 şi a = − .
2
S2. Soluţii
2
x + 2x−3 a) D= R \{ − 1}, f′ ( x) = 2 , x∈D. ( x+
1)
Se obţine tabelul de monotonie:
x – ∞ –3 –1 1 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – | – – – 0 + + + +
f (x) 0 M 1 | 1 m 0
Funcţia este monoton crescătoare pe intervalele ( −∞, − 3) şi (1, +∞ ) , descrescătoare pe
intervalele ( −3, − 1) şi ( − 1, 1), x =−3este punct de maxim local, iar x = 1 este punct de
minim local.
5 4
− 2x + 8x −2 x( x −2)
b) D= R, f′ ( x) = 4 2 = 4 2 , x∈R.
( x + 4) ( x + 4)
Rezultă tabelul:
x – ∞ − 2
0
2 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – 0 + + + 0 – – – –
f (x) 0 M 1 m 0 M 1
c) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = 2xln x+ x= x(2ln x+ 1), x∈
(0, +∞ ) .
Se obţine tabelul:
1
x 0
2 e − + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + +
f (x) 1 m 0
d) D= [1, +∞ ), f′ ( x) =
Se obţine tabelul:
x− 1 + x⋅ 2
1 3x−2 = , x∈
(1, +∞)
.
x−1 2 x−1
x 1 + ∞
f ′ (x)
| + + + + + + + + +
f (x) 0 0 0
Punctul x = 1 este punct de minim local.
231

e)
2x
2
D= R, f′ ( x) = 1 − , x∈R.
Ecuaţia f ′ ( x)
= 0 conduce la x + 1 = 2x,
cu soluţia
2
x + 1
3
x = . Se obţine tabelul:
3
x – ∞
3
3
+ ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – –
f (x) 0 M 1
1 5
2
2x − 5x+ 2
2 2
f) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = −
x 2( x
=
+ 1) 2 x( x + 1)
+ 2, x∈
(0, +∞)
.
Se obţine tabelul:
x 0
1
2
2 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – 0 + + + +
f (x) 0 M 1 m 0
2 2
3( x −1) x −1
g) D= , f′ ( x) = = , x∈R
\{0,
3 3 2 3 3 2
3 ( x −3 x) ( x −3
x)
Se obţine tabelul de monotonie:
3, − 3} .
x – ∞ − 3 –1 0 1 3 + ∞
f ′ (x)
+ + + + | + + + + 0 – – – – | – – – – 0 + + + | + + + +
f (x) 0 0 M 1 1 m 0 0
h) D= R, f′ ( x) =
1+ 1
⋅ ( 1+ 2
x + 1
′
2
x + 1 ) =
( 1+ x
2
x + 1) , x∈R.
2
x + 1
Rezultă tabelul de monotonie:
x −∞ 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + +
f (x) 1 m 0
1 ⎛
i) D=− [ 1,1 ] , f′ ( x) = 2⋅⎜1 −
2
1+ ( x+ 1−x ) ⎝
Se obţine tabelul de monotonie:
x ⎞
⎟=
2
1−x
⎠
2
1−x
−x
[ ]
2 , x∈−1,1
.
2 2
1− x
⎡
1+ ( x+ 1−x
⎤
⎣ ) ⎦
x – 1
2
2
1
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – –
f (x) π
− 0
4
M
π
1
4
Punctele x = – 1, x = 1 sunt puncte de minim local, iar x =
2
, de maxim local.
2
232

j) D= R ,
⎧ −2
2 ,
⎪ x + 1
f′ ( x)
= ⎨
⎪ 2
⎪⎩ 2 ,
x + 1
x ∈−∞− ( , 1) ∪ (1, ∞)
.
x ∈− ( 1,1)
Se obţine tabelul de monotonie:
x – ∞ –1 1 + ∞
f ′ (x)
– – – – | + + + + | – – – –
f (x) 1 m 0 M 1
S3. Soluţie
2
a) D= R, f′ ( x) = 3 x + m, x∈R.
Funcţia este monotonă pe R dacă f ′ (x)
are semn constant
pe R . Cum f ′ este funcţie de gradul 2, punem condiţia ∆≤ 0 şi se obţine m ∈ [0, +∞ ) .
b)
D= f′ x = x e + x + m e = e x + x+ m x∈
2x 2 2x 2x 2
R, ( ) (2 ) 2( ) 2 ( ), R.
Punem condiţia ca
c)
⎡1
⎞
+ + U 0, ∀ ∈Rşi
se obţine că ∆ = 1 − 4m
≤ 0 , deci m ∈ ⎢ , + ∞⎟
.
⎣4
⎠
2
x x m x
D= f′ x = x + mx+ x∈
2
R, ( ) 6 10 6, R.
Condiţiile f′ ( x)
≥ 0 şi x ∈R conduc la
2
∆= 100m −144≤ 0 , de unde ∈ ⎢ , ⎥
⎣ 5 5⎦
2
m 2x
x m
233
⎡ 6 6⎤
m − .
d) D= (0, +∞ ), f′ ( x) = 2x+ 1 − =
x
+ −
x
, x∈
(0, +∞ ) .
2
Este necesară condiţia 2x + x−m≥0, ∀x∈ (0, +∞ ) .
Avem că 2 , ( 0,
)
2 2
m ≤ x + x ∀x
∈ + ∞ , deci m este cel mult valoarea, minimă a expresiei
2
2x + x pe (0, +∞ ) .
Se obţine m≤0, deci m∈(
−∞ , 0) .
S4. Soluţie
2x 2x 2 2 2x
Se obţine că f′ ( x) = (2 x+ m) e + 2 e ( x + mx+ 1) = (2x + 2mx+ 2x+ m+ 2) e , x∈R
. Se
2
pune condiţia ca ecuaţia f ′ ( x)
= 0 , deci 2x + 2mx+ 2x+ m+
2= 0 să aibă două soluţii reale
2
diferite. Rezultă că ∆= 4( m+ 1) − 8( m+
2) > 0,
cu soluţia m ∈−∞− ( , 3) ∪ ( 3, +∞. )
S5. Soluţie
2 2
−( x − 3x+ 2) −( m−x)(2x−3) x − 2mx+ 3m−2 Se obţine f′ ( x) = 2 2 = 2 2 , x∈R
\{1,2} .
( x − 3x+ 2) ( x − 3x+ 2)
Se impune condiţia f D x
m mx x ∈ ∀ ≠ − + − , 0 2 3 2
2
.
Rezultă că 4 4(
3 2)
0
2
∆ = m − m − < , cu soluţia m ∈(
1,
2).
Pentru x = 1 obţinem 1 2 3 2 0 1,
2
− m + m − = ⇒ m = iar pentru x = 2 se obţine m = 2.
În concluzie, mulţimea valorilor lui m este [ 1,
2]
.
S6. Soluţie
′
( x − a)
ab − 5
.
( x − a)
2
2
( 2x
+ 2b)(
x − a)
− x − 2bx
− 5 x − 2ax
− 2
Avem: f ( x)
=
=
2
2

Punem condiţiile: f ′ ( −1)
= 0 şi f ′ ( 3)
= 0.
⎧ a− ab=
2
Se obţine sistemul de ecuaţii: ⎨ , deci a = 1, b = – 1.
⎩3a+
ab=
2
Se verifică apoi că funcţia obţinută
2
x − 2x
− 5
f ( x)
=
verifică proprietăţile cerute.
x −1
S7. Soluţie
Punem condiţiile f ( 1)
= 1,
f ′ ( 1)
= 0 pentru ca A(1, 1) să poată fi punct de extrem.
Avem: f ′ ( x) = 3mx+ 2nx+
p şi se obţin egalităţile m + n +2p = 1, 3m + 2n + p = 0 (1).
Panta tangentei la grafic în B(0, p) este m = f ′ ( 0)
= tg 45°
= 1.
Se obţine că p = 1. Din relaţiile (1) va rezulta că m = 1, n = –2.
S8. Soluţie
• Dreapta x = 1 este asimptotă verticală. Rezultă că b = 1.
• Dreapta y = x + 4 este asimptotă oblică.
f ( x)
⎛ 2
x + ax+ 1 ⎞ ( a+ 1) x+
1
Se obţine 1= m = lim = 1 şi 4= n= lim⎜ − x⎟= lim = a+
1,
deci
x→∞
x
x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞
x−1
a = 3.
2
x + 3x+ 1
Funcţia este f( x) = , x∈R
\{1}
x−1
S9. Soluţie
Fie ABCD dreptunghiul înscris în cercul de centru O şi rază R.
Notăm x lungimea laturii AD, cu x∈ [ 0,
2R]
. (fig. 1)
Rezultă că AB =
2 2
4R − x , deci perimetrul dreptunghiului
ABCD este dat de relaţia f ( x)
= 2⎜⎛
x +
⎝
Se obţine că:
2 2
4R
− x ⎟⎞ .
⎠
⎛
f ′ ( x) = 2⎜1− ⎝
x ⎞
⎟=
2
2 2
4R −x ⎠
2 2
4R
−x −x
, x∈[0,2 R)
.
2 2
4R
−x
Determinăm punctele de extrem ale funcţiei f.
Avem tabelul:
x 0 R 2 2R
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – –
f (x) 4R 0 M 1 4R
Rezultă că x = R 2 este punct de maxim şi se obţine că AB = R 2 , deci ABCD este un pătrat.
S10. Soluţie
Fie ABCD un dreptunghi de arie S.
Notăm cu x lungimea laturii AD (fig. 2).
S
Obţinem că x ⋅ AB = S , deci AB = ,
x
⎛ S ⎞
iar perimetrul dreptunghiului este f( x) = 2 ⎜x+ ⎟,
x>
0.
⎝ x ⎠
234
A
x
O
R
B C
A
x
Figura 1
S
D
D
B C
Figura 2

⎛ S ⎞
Avem f ′ ( x)
= 2⎜1
− ⎟ şi rezultă tabelul de monotonie:
2
⎝ x ⎠
x 0 S + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + +
f (x) 1 m 0 ∞
Rezultă că x = S este punci de minim şi AB =
S
=
S
S .
Aşadar, patrulaterul ABCD este pătrat.
S11. Soluţie
Fie O mijlocul bazei [BC] a triunghiului ABC.
3P − 2x
Notăm x = OB. Rezultă că AB = .
2
Prin rotaţie în jurul bazei [BC] se obţine un corp format din
două conuri cu aceeaşi bază (fig. 3).
Înălţimea conului este x, iar raza sa este
2
2 2 ⎛ 3P
⎞ 2
= AB − x = − x x .
OA ⎜ ⎟ −
⎝ 2 ⎠
Volumul corpului este
πRh 2π 2π ⎛3P⎞ f ( x) = 2⋅
= OA⋅ x= x⋅ ⎜ −x⎟ −x
3 3 3 ⎝ 2 ⎠
⎛
⎜
2π Aşadar f′ ( x) =
⎜
3 ⎜
⎜
⎝
2
9p −3Px− 4
2
⎞
⎟
3Px ⎟ π
=
2
9P ⎟ 6
−3Px ⎟
4 ⎠
9 P( P−2 x)
.
2
9P
−3Px
4
Tabelul de monotonie este:
x 0
P
2
3P
2
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – –
f (x) 0 M 1
Punctul de maxim pentru f(x) este
echilateral.
A
x x
B C
O
P
x = când BC = P, AB = AC = P, deci triunghiul ABC este
2
S12. Soluţie
a) Funcţia f este derivabilă pe In, deci i se poate aplica teorema lui Lagrange.
b) Avem că există cn ∈( n,
n + 1)
, cu proprietatea că f ′ ( cn
) = f ( n + 1)
− f ( n)
şi se obţine că:
1
1
= ln ( n + 1)
− ln n , deci cn = .
ln ( n + 1)
− ln n
c n
1 ⎛ 1 1 ⎞
1 1 1
c) Deoarece cn ∈( n,
n + 1)
rezultă că ∈⎜
, ⎟ şi astfel < < deci
cn ⎝ n + 1 n ⎠ n + 1 cn
n
1 1
*
< ln ( n+ 1) − ln n< , ∀n∈N (1)
n+ 1
n
235
2
2
Figura 3
.

d) În relaţia (1) dăm lui n valori şi rezultă că avem:
1
1
< ln 2 − ln1
<
2
1
1
1
< ln 3 − ln 2 <
3
2
...................................
1
1
< ln ( n + 1)
− ln n <
n + 1
n
Prin adunarea acestor inegalităţi obţinem, după reduceri:
1
2
1 1 1 1
Aşadar +
+ + ... > ln ( n + 1)
> ln n
1 2 3 n
1 1 1
1 1 1
+ + ... + < ln ( n + 1)
< + + ... +
3 n n + 1
1 2 n
236

4.2. Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor
Exersare
E1. Soluţie
Se stabileşte semnul derivatei a doua a funcţiei f.
a) D= R, f′ ( x) = 2x− 3, f ′ ( x) = 2, x∈R.
Rezultă că funcţia f este convexă pe R .
b) D= R, f′ ( x) =− 6x+ 6, f ′ ( x) =− 6< 0, x∈R.
Rezultă că funcţia f este concavă pe R .
c)
= R ′ = − ′ = ∈R.
2
D , f ( x) 3x 12, f ( x) 6 x, x
Tabelul de convexitate:
x – ∞ 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – –
f (x)
0 + + + + +
2
d) D= R, f′ ( x) = 6x− 6 x , f ′ ( x) = 6−12 x, x∈R.
Se obţine tabelul:
x – ∞
1
2
+ ∞
f ′ (x)
+ + + + +
f (x)
0 – – – – –
3
D= R \{ − 3}, f′ ( x) =
( x+ 3)
−6
, f ′ ( x) =
( x+
3)
, x∈D. Rezultă tabelul:
x – ∞ –3 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + | – – – – –
f (x) |
e) 2 3
2
4−x 2
2 x( x −12)
2 2 2 3
f) D= R, f′ ( x) =
( x
Rezultă tabelul:
+ 4)
, f ′ ( x) =
( x + 4)
, x∈R.
x – ∞ – 12 0 12 + ∞
f ′ (x)
– – – –
f (x)
0 + + + 0 – – – – 0 + + + +
3
1−2x 2 3
6 x ( x −2)
3 2 3 3
g) D= R \{ − 1}, f′ ( x) =
( x + 1)
Se obţine tabelul:
, f ′ ( x) =
( x + 1)
, x∈D. x – ∞ –1 0 3
2 + ∞
f ′ (x)
f (x)
+ + + + | – – – 0 – – – 0 + + + +
237

2 −x 2 −x
h) D= R, f′ ( x) = (2 x− x ) e , f ′ ( x) = (2− 4 x+ x ) e , x∈R
Se obţine tabelul:
x – ∞ 2 − 2
2 + 2 + ∞
f ′ (x)
+ + + +
f (x)
0 – – – – – – 0 + + + +
1
i) D = ( 0,
+ ∞),
f ′ ( x)
= ln x + 1,
f ′
( x)
= , x∈
( 0,
+ ∞)
.
x
Funcţia este convexă pe D.
2 2 3 2
1 2
2 x ( x + 1) − 1 2 x ( x + 2)
j) D= R, f′ ( x) = 2 + x , f ′ ( x) = 2x− 2 2 = 2 x 2 2 = 2 , x∈R
x + 1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
Se obţine tabelul:
x – ∞ 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – –
f (x)
0 + + + + +
E2. Soluţii
2
a) D= R, f′ ( x) = 3 x , f ′ ( x) = 6 x, x∈R.
Avem tabelul:
x – ∞ 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – – 0 + + + + +
f (x) i
Punctul x = 0 este punct de inflexiune.
3 2 2
b) D= R, f′ ( x) = 4x − 12 x , f ′ ( x) = 12x −24 x, x∈R.
x – ∞ 0 2 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – – – 0 + + + +
f (x) i
Punctele de inflexiune sunt x = 0 şi x = 2 .
i
c)
= R ′ = − + − ′ = − + ∈R.
Se obţine tabelul:
x – ∞ 1 3 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – – – 0 + + + +
f (x) i i
2 −x −x
2
D , f ( x) ( x 2x 1) e , f ( x) e ( x 4x 3), x
2
− 2x 6x + 2)
d) D= R \{ − 1,1}, f′ ( x) = 2 2 , f ′ ( x) = 2 3 , x∈D. ( x −1) ( x −1)
Rezultă tabelul:
x – ∞ –1 1 + ∞
f ′ (x)
+ + + + | – – – – – – | + + + +
f (x) | |
Funcţia nu are puncte de inflexiune.
238

2x 2
2(1 −x
)
2 2 2
e) D= R, f′ ( x) =
x
Se obţine tabelul:
, f ′ ( x) =
+ 1 ( x + 1)
, x∈R.
x – ∞ –1 1 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – 0 + + + + 0 – – – – – –
f (x) i i
2 2
2 −x f) D= R, f′ ( x) = (1− 2 x ) e
Se obţine tabelul:
−x
, f ′ ( x) = e
3
(4x −6 x), x∈R.
x – ∞ − 3
0 3 + ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + 0 – – – 0 + + + +
f (x) i i i
−1
2 x)
g) D= R \{0}, f′ ( x) = 2 , f ′ ( x) = 2 2 , x∈D. x + 1 ( x + 1)
Se obţine tabelul:
x – ∞ 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – – 0 + + + + +
f (x) i
h) D= R, f′ ( x) = sin 2 x, f ′ ( x) = 2cos 2 x, x∈R.
⎧ π ⎫
Ecuaţia f ′ ( x)
= 0 , adică cos 2x = 0, are soluţiile x∈ ⎨± + kπ k∈Z
⎬.
Alcătuim tabelul de
⎩ 4 ⎭
semn pentru a doua derivată:
x – ∞
5π
. . . . . −
4
3π
−
4
π
−
4
π
4
3π
4
5π
4
7π
. . .
4
+ ∞
f ′ (x)
– – – 0 + + 0 – – 0 + + 0 – – 0 + + 0 – – 0 + + +
f (x) i i i i i i i
π
Punctele de inflexiune sunt xk =± + kπ, k ∈ Z .
4
E3. Soluţii
⎧2x
− 3,
x ≤1
⎧2,
x < 1
a) Se obţine f ′ ( x)
= ⎨ , f ′
( x)
= ⎨ . Rezultă că funcţia este convexă pe fiecare
⎩4x
− 5,
x > 1 ⎩4,
x > 1
din intervalele (–∞, 1) şi (1, ). Nu există puncte de inflexiune.
2 ⎧3x
+ 1,
x < 0
⎧6x,
x < 0
⎪
⎪
b) Se obţine f ′ ( x)
= ⎨ 2x
, ′
2
f ( x)
= ⎨2(
1 − x ) .
⎪1
+ , x > 0
2
⎪ , x > 0
2 2
⎩ x + 1
⎩(
x + 1)
Tabelul de semn pentru a doua derivată este:
x – ∞ 0 1 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – | + + + + 0 – – – – – –
f (x) i
Punct de inflexiune este x = 1;
punctul x = 0 nu este de inflexiune deoarece f nu este
continuă în x 0 = 0 .
239

x
x
⎧(
x + 1)
e , x ≤ 0 ⎧(
x + 1)
e , x ≤ 0
c) Se obţine f ′ ( x)
= ⎨
, f ′
( x)
= ⎨
.
⎩2x
+ 1,
x > 0 ⎩2,
x > 0
Tabelul de semn pentru f ′ (x)
este:
x – ∞ –2 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – 0 + + + + + + + + +
f (x) i
Sinteză
S1. Soluţii:
3 2
a) D= R, f′ ( x) = 4x − 8 x, f ′ ( x) = 12x −8, x∈R.
Se obţine tabelul de variaţie:
x – ∞ − 2
6
− 0
3
240
6
3
2 + ∞
f ′ (x)
– – – 0 + + + + + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + + +
f (x) 1 m 0 M 1 m 0
f ′ (x)
+ + + + + + + + + 0
i
– – – – – 0
i
+ + + + + + + + +
2
−x − 4x+ 8 −24
b) D= R \{ − 2}, f′ ( x) = 2 , f ′ ( x) = 3 , x∈D. ( x+ 2) ( x+
2)
Se obţine tabelul de variaţie:
x – ∞ −2− 12 –2 − 2+ 12
+ ∞
f ′ (x)
– – – – – – – – – – 0 + + + + + | + + 0 – – – – – – – – – –
f (x) 1 m 0 | 0 M 1
f ′ (x)
+ + + + + + + + + + + + + + | – – – – – – – – – – – –
c). D=− [ 1,1], f′ ( x) = 1 −
Tabelul de variaţie:
1
2
1 −x x
, f ′ ( x) =−
2 2
(1 −x ) 1−x
, x∈−
( 1,1)
x – 1 0 1
f ′ (x)
(– ∞) – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 – – – – – – – – – – – – – – – – – – ( – )
f (x) 1 1 1 0 1 1 1
f ′
(x)
+ + + + + + + + + + + + 0
i
– – – – – – – – – – – – – –
x
1
d) D= R, f′ ( x) = 1 + , f ′ ( x) = , x∈R.
2 2 2
x + 1 ( x + 1) x + 1
Tabelul de variaţie:
x – ∞ + ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
f (x) 0 0 0 0 0
f ′
(x)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

2 x x 3
e) D= R, f′ ( x) = ( x + x+ 1) e , f ′ ( x) = e ( x + 3x+ 2), x∈R.
Rezultă tabelul de variaţie:
x – ∞ –2 –1 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
f (x) 0 0 0 0 0 0
f ′
(x)
+ + + + + + + + + 0
i
– – – – – 0
i
+ + + + + + + + +
2
f) D = ( 0,
+ ∞),
f ′ ( x)
= x ( 3ln
x + 1),
f ′
( x)
= x(
6ln
x + 5),
x∈
( 0,
+ ∞)
.
Rezultă tabelul de variaţie:
5
x 0 −
e 6
e
+ ∞
f ′ (x)
– – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – 0 + + + + +
f (x)
f ′
(x)
1 1 1 1 m 0 0
– – – – – – – 0 + + + + + +
i
241
1
−
3
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
S2. Soluţie
a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R .
x 2 x 2
Se obţine: f′ ( x) = e [ x + ( a+ 2) x+ a+ b], f ′ ( x) = e [ x + ( a+ 4) x+ 2a+ b+ 2], x∈R
.
Condiţiile f ′ ( 1)
= 0,
f ′
( −2)
= 0 conduc la sistemul de ecuaţii:
⎧2a
+ b = −3
5
⎨ , cu soluţia a = − , b = 2 .
⎩b
= 2
2
1 2
x
Rezultă că f ( x) = (2x − 5x+ 4) e ,
2
⎛ x 2 x 1⎞ 1 2
x
f ′ ( x) = e ⎜x − − ⎟=
(2x −x−1) e ,
⎝ 2 2⎠ 2
1 2
x
f ′ ( x) = (2x + 3x−2) e ,
2
x∈R
.
b) Avem tabelul de variaţie:
x – ∞ –2
1
−
2
1
2
1 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + + + + +
f (x) 0 0 M 1 1 m 0
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – 0 + + + + + + + + +
i
i
S3. Soluţie
Funcţia este de două ori derivabilă pe R .
4 2 3
Avem: f′ ( x) = 5x + 3ax + 85, f ′ ( x) = 20x + 6 ax, x∈R
.
Condiţia f ′
( −3)
= 0 conduce la a = −30
.
4 2 3
Rezultă că f′ ( x) = 5x − 90x + 85, f ′ ( x) = 20x −180 x, x∈R
.
• Rezolvăm ecuaţia f ′ ( x)
= 0 .
Notând x 2 = y obţinem 5 90 85 0
2
y − y + = , de unde y = 1, y = 17 şi se obţine x ∈ { ± 1, ± 17 } .
• Rezolvăm ecuaţia f ′ ( x)
= 0 .
Se obţine că 20 180 0
3
2
x − x = sau 20x
( x − 9)
= 0 , cu soluţiile x ∈{ 0, − 3, 3}
.
Se obţine tabelul de variaţie:

x – ∞ − 17 –3 –1 0 1 3 17 + ∞
f ′ (x)
+ + + + 0 – – – – 0 + + + 0 – – – 0 + + +
f (x) 0 M 1 m 0 M 1 m 0
f ′ (x)
– – – – – –
0
i
+ + 0
i
242
– – – – 0
i
+ + + + +
S4. Soluţie
a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R .
Se obţine:
( ) 2
b
− 2bx
f ′ ( x)
= a + , f ′
( x)
= , x R .
2
x + 1
2
x + 1
b 2b
Din condiţiile date se obţin relaţiile: a + = 2,
= 1,
deci b = 2, a = 1.
2 4
b) Rezultă că f(x) = x + 2 arctg x,
( ) ,
2
− 4x
f ′ ( x)
= 1 + , f ′′ ( x)
= x R .
2
2
x + 1
2
x + 1
Rezultă tabelul de variaţie:
x – ∞ 0 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + + + + + + +
f (x) 0 0 0 0 0 0
f ′ (x)
+ + + + + + 0
i
– – – – – –
S5. Soluţie
a) Funcţia este de două ori derivabilă pe R .
2 2
3 2
a − x
2x
− 6a
x
Se obţine: f ′ ( x)
= , f ′
( x)
=
, x R .
2 2 2
2 2 3
( x + a ) ( x + a )
3 2
Ecuaţia f ′ ( x)
= 0 conduce la 2x
− 6a
x = 0 , cu soluţiile x∈ { 0, ± a 3}
.
Ecuaţia tangentei la grafic în x 0 = a 3 este: y − f ( a 3) = f ′ ( a 3)
⋅ ( x − a 3)
.
Deoarece f ( a
3
3)
= , f ′ ( a
4a
1
3)
= − , se obţine ecuaţia tangentei:
2
8a
x 3 3
y =− 2 + .
8a 8a
3
Identificând cu ecuaţia dată y = −x
+ se obţine că
8
3 3 3 1 1
= şi 2 8a
8 8 24
= , deci a =
a
b)
( ) ( )
3 .
3
2
2
3
x
3 − x
2x
−18x
f ( x)
= , f ′ ( x)
= , f ′
( x)
= , x R .
2
2 2
x + 3
2
x + 3
x + 3
Rezultă tabelul de variaţie:
x – ∞ –3 − 3 0 3 3 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – – 0 + + + 0 – – – – – – –
f (x) m M
f ′ (x)
– – – – – – 0 + + 0 – – 0 + + + + +
i
i
i

4.3 Reprezentarea grafică a funcţiilor
Exersare
E1. Soluţie
Funcţiile sunt de două ori derivabile pe D.
a) Domeniul de definiţie: D ∈R .
3 2
Se obţine că lim f ( x)
= lim ( x − 3x
) = −∞,
lim f ( x)
= +∞
x→−∞
x→−∞
x→∞
Asimptote. Funcţia este polinomială şi nu are asimptote.
Intersecţia cu axele de coordonate
3
Ecuaţia f(x) = 0 este x − 3x= 0 şi are soluţiile x ∈{
0,
3}
.
Graficul intersectează Ox în O(0, 0) şi A(3, 0).
Studiul folosind derivatele
2
Se obţine: f ′ ( x)
= 3x
− 6x,
f ′
( x)
= 6x
− 6 , x ∈R .
Rezultă că f′ ( x) = 0 ⇒x∈ {0,2}, iar f ′ ( x) = 0⇒ x=
1.
Tabelul de variaţie:
x – ∞ 0 1 2 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + 0 – – – – – – – – 0 + + + + +
f (x) – ∞ 0
M
(0)
1 1 1
(– 4)
m
0 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – – – – – 0
i(– 2)
+ + + + + + + +
Graficul funcţiei:
−2
y
2
1
−1
−1
−2
−3
−4
b) D ∈R . lim f( x) =+∞ , lim f( x)
=−∞
x→−∞ x→∞
Intersecţia cu axele: A(0, 8) şi B(2, 0).
Studiul folosind derivatele
2
Avem: f ′ ( x)
= −3x
, f ′
( x)
= −6x
, x ∈R .
i
243
1 2
x

Tabelul de variaţie:
x – ∞ 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – – 0 – – – – – –
f (x) 1 1 1 8 1 1 1
f ′ (x)
+ + + + + + + + +
Graficul funcţiei:
y
0
i(8)
– – – – – – – – – – –
i
0
8
244
1 2
c) D ∈R . lim f( x) =+∞ , lim f( x)
=−∞
x→−∞ x→∞
Punctele de intersecţie cu axele: O(0, 0) şi A 3 ⎛ ⎞
⎜ ,0⎟
⎝2⎠ .
Studiul folosind derivatele
2
Avem: f ′ ( x)
= −6x
Tabelul de variaţie:
+ 6x,
f ′
( x)
= −12x
+ 6 , x ∈R .
x – ∞ 0
1
2
1
+ ∞
f ′ (x)
– – – – – 0 + + + + + + 0 – – – –
f (x) + ∞ 1
(0)
m
0 0
M
(1)
1
– ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + + 0
⎛ 1 ⎞
i ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
– – – – – – –
Graficul funcţiei:
y
−2
−1
1
1
2
i
M
1
A
x
x

d) D ∈R . lim f( x) =−∞ , lim f( x)
=+∞
x→−∞ x→∞
Punctele de intersecţie cu axele: O(0, 0) şi A(5, 0).
Studiul folosind derivatele
4 3
Avem: f ′ ( x)
= 5x
− 20x
,
Tabelul de variaţie:
3 2
f ′′ ( x)
= 20x
− 60x
, x ∈R .
x – ∞ 0 3 4 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + 0 – – – – – – – – 0 + + + +
f (x) – ∞ 0
M
(0)
1 1
-4 4
m
0
– ∞
f ′ (x)
– – – – – – – – 0 – – – – – – 0
i
+ + + + + + + + + +
e) D ∈R , lim f( x)
=+∞
x→±∞
Intersecţia cu axa Ox:
4 2
2 2
Ecuaţia f(x) = 0 se scrie x − 5x
+ 4 = 0 sau ( x −1)(
x − 4)
= 0 şi are soluţiile x ∈− { 1,1, − 2,2} .
Graficul intersectează axa Oy în punctul A(0, 4).
Studiul folosind derivatele
3
2
Se obţine: f ′ ( x)
= 4x
−10x,
f ′
( x)
= 12x
−10
, x ∈ R .
⎪⎧
10 ⎪⎫
Ecuaţia f ′ ( x)
= 0 are soluţiile x ∈⎨0,
± ⎬ , iar
⎪⎩ 2 ⎪⎭
ecuaţia f ′ ( x)
= 0 are soluţiile x = ±
Tabelul de variaţie:
10
= ±
12
30
.
6
x – ∞ −
10
2
−
30
6
0
30
6
10
2
+ ∞
f ′ (x)
– – – – – 0 + + + + + + + 0 – – – – – – 0 + + + +
f (x) + ∞ 1 m 0
M
(4)
1 1 m 0 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + 0 – – – – – – – 0 + + + + + + + +
i
i
⎛
Punctele de extrem sunt: ⎜−
⎜
⎝
10 9 ⎞
, − ⎟,
( 0,
4)
şi
2 4 ⎟
⎠
⎛
⎜−
⎜
⎝
30 19 ⎞ ⎛
, ⎟,
⎜
6 36 ⎟ ⎜
⎠ ⎝
30 19 ⎞
, ⎟ .
6 36 ⎟
⎠
Graficul funcţiei este simetric faţă de Oy.
245
⎛
⎜
⎝
10 9 ⎞
, − ⎟ , iar cele de inflexiune sunt
2 4 ⎟
⎠

f) D ∈R , lim f( x) =−∞ , lim f( x)
=+∞
x→−∞ x→∞
Intersecţia cu axele de coordonate
Punctul A(0, 5) este intersecţia cu Oy.
3 2
Ecuaţia f ( x)
= 0 se scrie 2x − 3x + 5= 0 sau
3 2
2x
+ 2x
2
2
2
2
− 5x
+ 5 = 0 ⇒ 2x
( x + 1)
− 5(
x −1)
⇒ ( x + 1)(
2x
− 5x
+ 5)
= 0 , cu soluţia x = –1.
Studiul folosind derivatele
2
f ′ ( x)
= 6x
− 6x,
f ′
( x)
= 12x
− 6 , x ∈R .
1
Ecuaţia f ′ ( x)
= 0 are soluţiile x ∈{
0,
1}
, iar ecuaţia f ′ ( x)
= 0 are soluţia x = .
2
Tabelul de variaţie:
x – ∞ 0
1
2
1
+ ∞
f ′ (x)
+ + + + + 0 – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + +
f (x) – ∞ 0 M 1 1 m 0 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – –– – – – 0
i
+ + + + + + + + + + + + +
⎛ 1 9 ⎞
Punctele de extrem sunt: (0, 5) şi (1, 4), iar cel de inflexiune ⎜ , ⎟ .
⎝ 2 2 ⎠
Graficul funcţiei
y
g) D ∈R , lim f( x)
=−∞
x→±∞
5
4
3
2
M
−1
O
1
2
1
Intersecţia cu axele
Se obţin punctele A(0, 16), B(–2, 0), C(2, 0).
Funcţia este pară, deci graficul este simetric faţă de Oy.
3
Studiul folosind derivatele: f ′ ( x)
= −4x
,
Tabelul de variaţie:
2
f ′
( x)
= −12x
, x ∈R .
x – ∞ 0 1 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – –
f (x) – ∞ 0 0
M
(16)
1 1 – ∞
f ′ (x)
– – – – – – – – – – – 0 – – – – – – – – – – – –
1
246
i
m
x
s

Graficul funcţiei
y
M 16
−2 2
h) D ∈R , lim f( x)
=+∞, funcţia este pară.
x→±∞
O
Intersecţia cu axele de coordonate A(0, 1), B(–1, 0), C(1, 0).
Studiul folosind derivatele
3
2
f ′ ( x)
= 4x
− 4x,
f ′
( x)
= 12x
− 4 , x ∈ R . Soluţiile ecuaţiei f ′ ( x)
= 0 sunt x ∈− { 1,0,1} , iar
⎪⎧
ale ecuaţiei f ′ ( x)
= 0 sunt x ∈⎨±
⎪⎩
Tabelul de variaţie:
3 ⎪⎫
⎬ .
3 ⎪⎭
x – ∞ –1 −
3
3
0
3
3
1
+ ∞
f ′ (x)
– – – – 0 + + + + + + 0 – – – – – 0 + + + +
f (x) + ∞ 1 m 0 M 1 m 0 + ∞
f ′ (x)
+ + + + + +
Graficul funcţiei
+ + 0 – –
i
y
i
1 M
i
m m
−2 −1 O 1 2
247
x
– – – – – 0 +
i
⎛
Punctele de extrem sunt: (–1, 0), (0, 1), (1,0), iar cele de inflexiune: ⎜−
⎜
⎝
x
+ + + + + + +
3 4 ⎞ ⎛
, ⎟,
⎜
3 9 ⎟ ⎜
⎠ ⎝
3 4 ⎞
, ⎟ .
3 9 ⎟
⎠

i) D ∈R , lim f( x) =−∞ , lim f( x)
=+∞
x→−∞ x→∞
Intersecţia cu axele de coordonate A(0, 1), B(1, 0), C(–1, 0).
Studiul folosind derivatele
3 2
f ( x)
= x − x − x + 1,
2
f ′ ( x)
= 3x
− 2x
−1,
f ′
( x)
= 6x
− 2 , x ∈R .
1
Ecuaţia f ′ ( x)
= 0 are soluţiile x ∈{
0,
1}
, iar ecuaţia f ′ ( x)
= 0 are soluţia x = .
2
Tabelul de variaţie:
x – ∞
1
−
3
1
3
1
+ ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + 0 – – – – – 0 + + + + + + + +
f (x) – ∞ 0 0 M 1 m 0 0 + ∞
f ′ (x)
– – – – – – – – – –
0
i
248
+ + + + + + + + + – – –
⎛ 1 32 ⎞
⎛ 1 16 ⎞
Punctele de extrem sunt: ⎜−
, ⎟,
( 1,
0)
, iar cel de inflexiune ⎜ , ⎟⎠ .
⎝ 3 27 ⎠
⎝ 3 27
Graficul funcţiei
j) D ∈R , lim f( x)
=−∞.
x→±∞
−1
−1
3
M
y
Intersecţia cu axele de coordonate O(0, 0), A(1, 0).
Studiul folosind derivatele
3 4
f ( x)
= x − x ,
2 3
2
f ′ ( x)
= 3x
− 4x
, f ′
( x)
= 6x
−12x
, x ∈ R .
Tabelul de variaţie:
x – ∞ 0
1
2
3
4
+ ∞
f ′ (x)
+ + + + + + + + 0 + + + + + 0 – – – – – – – – – – –
f (x) – ∞ 0 0 0 M 1 1 1 – ∞
f ′ (x)
– – – – – –
– – 0 + +
i
0
i
1
i
1
3
m
1
x
– – – – – – – – – – – –

⎛3 27 ⎞
⎛1 1 ⎞
Punctele de extrem: ⎜ , ⎟iar
de inflexiune (0, 0) şi ⎜ , ⎟
⎝4256⎠ ⎝2 16⎠
.
Graficul funcţiei
y
k) D ∈R , lim f( x) =−∞ , lim f( x)
=−∞
x→−∞ x→∞
O
i
Intersecţia cu axele de coordonate O(0, 0), A(1, 0).
Studiul folosind derivatele
2
f ′ ( x) = ( 1−x) ( 1− 4 x) , f ′ ( x) = 2( x−1)( 3− 6x) = 6( x−1)( 1− 2x)
, x ∈R .
⎧ 1⎫
⎧1 ⎫
Soluţiile ecuaţiei f ′ ( x)
= 0 sunt x ∈⎨1, ⎬,
iar ale ecuaţiei f ′ ( x)
= 0 sunt x ∈⎨ ,1⎬.
⎩ 4⎭
⎩2⎭ Tabele de variaţie
i
x
−∞ 1
4 1
1 +∞
2
f ′ ( x ) + + + + + + + + 0 – – – – 0 – – –
f(x) −∞ M – ∞
f ′′ ( x)
– – – – – – – – – – – – 0 + + 0 – – – –
i i
Punctele de extrem:
1 27 ( , )
Graficul funcţiei:
4 256 iar cele de inflexiune: 1 ( ,
1 ) ,(1,0) .
2 16
y
249
1
2
M i
1
4
1
2
M
3
4
i
1
1
x
x

E2. Soluţie
a) D= R \{ − 1}, lim f ( x) = 1, lim f ( x)
= 1.
x→−∞ x→−∞
Dreapta y = 1 este asimptotă orizontală la +∞ şi la −∞ .
Asimptotele funcţiei
Avem
x−1
f ( −− 1 0) = lim =
−2
=+∞şi
lim f ( x)
=−∞.
x+
1 0
x→−1
x−1
Dreapta x = –1 este asimptotă verticală bilaterală.
Intersecţie cu axele: A(0, –1), B(1, 0)
Studiul folosind derivatele f ′ ( x) =
2
, f ′′ ( x) =
−4
, x∈D. 2 3
( x+ 1) ( x+
1)
Tabelul de variaţie
Graficul
x −∞ –1 +∞
f ′ ( x ) + + + + | + + + + +
f(x) 1 +∞ | −∞ 1
f ′′ ( x)
+ + + + | – – – – –
–1
c) D= R ,lim f ( x)
= 0.
Dreapta y = 0 este asimptotă la −∞ şi la +∞.
x→±∞
1
y
–1
1
Studiul folosind derivatele
2
f′ ( x) =
1−x , 2 2
( x + 1)
3
f ′ ( x) =
2x −6x
, x∈R
.
2 3
( x + 1)
Ecuaţia f ′ ( x)
= 0 are soluţiile x ∈− { 1,1} iar f ′′ ( x)
= 0 are soluţiile x ∈ {0, +
Tabelul de variaţie
3, − 3} .
x −∞ − 3 –1 0 1 3 +∞
f ′ ( x ) – – – – – 0 + + + 0 – – – –
f(x) m M
f ′′ ( x)
– – – – 0 + + + + 0 – – – – 0 + + +
i i i
250
x

Punctele de extrem sunt ( − 1,
−1
1 ) , ( 1, )
2 2
⎛
iar cele de inflexiune: ⎜− ⎝
3⎞ ⎛
3, − ⎟, (0, 0), ⎜
4 ⎠ ⎝
3,
3⎞
⎟
4 ⎠ .
Graficul funcţiei
Graficul funcţiei este simetric în raport cu punctul 0.
–
i
3
–1
m
d) D= R ,lim f ( x)
= 1,
deci y = 1 este asimptotă orizontală la −∞ şi +∞.
x→±∞
Studiul folosind derivatele:
2
f′ ( x) =
2x , f ′ ( x) = 2
1−3x , x∈R
.
2 2 2 3
( x + 1) ( x + 1)
Tabelul de variaţie
Graficul funcţiei
1
2
x
3
−∞ − 0
3
3
3 +∞
f ′ ( x ) – – – – – – – 0 + + + + + + + +
f(x) 1 1 0
4 m
1
1
4
f ′′ ( x)
– – – – 0 + + + + 0 – – – – – –
i i
Graficul este simetric faţă de Oy, deoarece funcţia f este pară.
i
3
3
y
y
C
251
1
0
1
2
i
3
3
M
1
i
3
x
x

e) D= R \{ − 1,1}, lim f ( x) = 0, lim f ( x)
= 0.
x→∞ x→−∞
Rezultă că y = 0 este asimptotă orizontală la −∞ şi la +∞.
Dreptele x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale bilaterale.
Studiul folosind derivatele
2
2
2 ( 5)
( )
1 3x
x x +
f ′ x =
− −
, f ′′ ( x) = , x∈D 2 2 2 3
( x −1) ( x −1)
Tabelul de variaţie
x −∞ –1 0 1 −∞
f ′ ( x ) – – – | – – – – – – | – – – – – –
f(x) 0 −∞ | +∞ −∞ | +∞ 0
f ′′ ( x)
– – – – | – – – 0 + + + + | + + + + + +
i
Graficul funcţiei
y
f) D= R \{–1,1}, lim f ( x) =−∞ , lim f ( x)
=+∞
x→−∞ x→∞
Intersecţiile cu axele de coordonate: O(0, 0)
Asimptote
Dreptele x = –1, x = 1 sunt asimptote verticale
f ( x) 2 3
lim lim
x ⎛
1, lim
x ⎞
m= = = n= ⎜ −x⎟= lim
x
= 0 .
x→±∞ x
2 2 2
x →±∞ x −1 x→±∞⎝x −1 ⎠ x→±∞
x −1
Rezultă că dreapta y = x este asimptotă oblică spre −∞ şi spre +∞.
Studiul folosind derivatele
4 2
Avem f ′ ( x) =
x −3x
, x∈D. 2 2
( x −1)
Tabelul de variaţie
x −∞ − 3 –1 0 1 3 +∞
f ′ ( x ) + + + 0 – – | – – 0 – – | – – 0 + + +
f(x)
3 3
3 3
−∞ − −∞ | +∞ | +∞ − +∞
2
2
M m
0
252
1
x
.

Graficul
E3. Soluţie:
a) D= [0, +∞ ),lim f ( x)
=+∞.
x→∞
M
Intersecţia cu axele O(0, 0)
Studiul folosind derivatele
f′ ( x) =
3
x, f ′ ( x) =
3
, x∈
(0, +∞ ) .
2 4 x
Funcţia nu este de două ori derivabilă în x = 0 şi f ′ (0) = fd′
(0) =+∞.
Tabelul de variaţie
Punctul x = 0 este punct de minim local.
Graficul
y
x 0 +∞
f ′ ( x ) + + + + + + + + +
f(x) 0 +∞
f ′′ ( x)
| + + + + + + + + +
1
y
0
i
1
253
1
m
x
x

) D= R , lim f( x) =+∞ , lim f( x)
=+∞.
x→+∞ x→−∞
Punctul de intersecţie cu axele A(0, 1).
Asimptotele oblice:
2
f( x) x + 1
2
m=
lim = lim = 1,
n= lim ( x + 1− x
1
) = lim = 0 .
x→∞ x x→∞
x
x→∞ x→∞
2
x + 1+
x
Dreapta y = x este asimptotă oblică spre +∞.
Analog y = –x este asimptotă la −∞ .
Studiul folosind derivatele
f ′ ( x) =
x
, f ′′ ( x) =
1
, x∈Z
2 2 2
x + 1 ( x + 1) x + 1
Tabelul de variaţie
Graficul
x −∞ 0 +∞
f ′ ( x ) – – – – – – 0 + + + + +
f(x)
+∞ (1)
+∞
m
f ′′ ( x ) + + + + + + + + +
c) D= ( −∞, − 1] ∪ [1, +∞ ), lim f ( x)
=+∞.
y = –x y = x
x→±∞
Intersecţiile cu axele. A(1, 0), B(–1, 0)
Asimptote oblice
f ( x) m = lim = lim
x→−∞ x x→−∞ 2
x −1 = lim −
x x→−∞
2
x −1
=− 1
2
x
n= lim (
x→−∞ 2
x − 1 + x)
= lim
x→−∞
−1
= 0 .
2
x −1−x Rezultă că dreapta y = –x este asimptotă oblică spre −∞ .
Analog rezultă că y = x este asimptotă oblică spre +∞ .
Studiul folosind derivatele
f ′ ( x) =
x
, f ′′ ( x) =
−1
, x∈(
−∞, − 1) ∪ (1, +∞)
.
2 2 2
x −1 ( x −1) x −1
Se obţine că f ′ ( − 1) =−∞ , f ′ (1) =+∞.
s d
0
254
y
1
x

Tabelul de variaţie
x −∞ –1 1 +∞
f ′ ( x ) – – – – – | | + + +
f(x) +∞ 0 0 +∞
f ′′ ( x )
– – – – – | | + + +
Punctele x = –1 şi x = 1 sunt puncte de minim.
În x = –1 şi x = 1 graficul este tangent dreptelor x = –1, respectiv x = 1.
Graficul
y
y = –x
–1
0
1
255
1
y = x
d) D= R , lim f ( x)
= lim
x
x→−∞ x→−∞ −x e
= lim
1
x→−∞
−x
−e
= 0 . lim f ( x)
=+∞.
x→+∞
Dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre −∞ .
Studiul folosind derivatele
x
f′ ( x) = ( x+ 1) e ,
x
f ′ ( x) = ( x+ 2) e , x∈R
.
Tabelul de variaţie
Punctele de extrem: ( ) 1
1,
Graficul
x −∞ –2 – 1 0 +∞
f ′ ( x ) – – – – – – – 0 + + + + + +
f(x) 0 m +∞
f ′′ ( x)
– – – – – 0 + + + + + + + + +
i
− − şi de inflexiune
⎛
2,
2 ⎞
⎜− − 2 ⎟
e
⎝ e ⎠ .
–2
i
–1
m
y
0
x
x

f)
D= (0, +∞ ), lim f ( x) =+∞ , lim xln x=
0 .
x→∞ x→ 0
x>
0
Intersecţia cu axele A(1, 0)
Studiul folosind derivatele
f′ ( x) = lnx+ 1, f ′ ( x) =
1
, x∈
(0, +∞ ) .
x
Tabelul de variaţie
Graficul
x 1
0
e − +∞
f ′ ( x ) – – – – – 0 + + + + +
f(x)
1
e
0
m
−
−
+∞
f ′′ ( x)
+ + + + + + + + +
y
0
e –1
e –1
– m
Graficul este tangent axei Oy deoarece f ′ d (0) =−∞.
h) D=−∞− ( , 1) ∪ (1, +∞ ), lim f ( x)
=+∞.
x→±∞
Asimptote verticale
2 2
lim ln( x − 1) =−∞, lim ln( x − 1) =−∞, deci dreptele x = 1, x = –1 sunt asimptote
x→1 x→−1
x> 1 x

Graficul
–
2
257
y
–1 1
S2. Soluţie
2
Obţinem
x + ax
1= m=
lim
x→∞
x( x−
1)
şi
⎛ 2
1 lim
x ax ⎞
− = n= ⎜
+
−x⎟= lim
ax+ x
= a+
1.
x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞
x−1
2
x −2
x
Aşadar a = –2 şi f ( x)
=
x−
1
.
Intersecţiile cu axele de coordonate O(0, 0), A(2, 0)
Dreapta x = 1 este asimptotă verticală bilaterală.
Studiul folosind derivatele
2
f ′ ( x) =
x − 2x+ 2
, x∈ D, 2
( x−1) Tabelul de variaţie
f ′ ( x) =
−2
, x∈D 3
( x−1)
Graficul
x −∞ 1 +∞
f ′ ( x ) + + + + | + + + + +
f(x) −∞ +∞ |−∞ +∞
f ′′ ( x)
+ + + + | – – – – –
y
1 2
2
x
x

S3. Soluţie
Funcţia este derivabilă pe Z \{ −1}
şi se obţine
Condiţia f ′ ( − 3) = 0 conduce la a = –3, deci
258
f ′ ( x)
=
f ( x)
=
+ +
( x + 1)
2
x 2 x a
2
+ 2 −3
, etc.
x + 1
2
x x
S4. Soluţie
a) A doua bisectoare a sistemului de coordonate are ecuaţia y = –x, deci are panta m = –1.
Rezultă că panta asimptotei oblice este m = –1. Se obţine:
2
− 1= m = lim
x − 4x+ 3
=
1
, deci a = –1.
x→∞
x( ax + a) a
b) Funcţia f este derivabilă pe D.
2
Se obţine că f ′ ( x) =
ax + bx −3a−12 , x∈D. 2
( ax + 3)
Din condiţie f ′ (0) = 0,
rezultă că a = –4, deci
f ( x)
=
− 4 + 3
.
3−4x 2
x x
S5. Soluţie
Funcţia f este de două ori derivabilă pe Z .
2
Se obţine f ′ ( x) = x + 1− cos x,
f ′′ ( x) = 2x+ sin x, x∈Z
.
Avem: lim f ′′ ( x) =−∞ , lim f ′′ ( x)
=+∞.
x→−∞ x→∞
Notăm g( x) = 2x+ sin x, x∈R
.
Se obţine: g′ ( x) = 2+ cosx > 0, ∀x∈Z deci g este strcit crescătoare pe Z .
Deoarece g(0) = 0, rezultă că x = 0 este singura soluţie a ecuaţiei g(x) = 0.
Asimptotele oblice.
f ( x) Avem m = lim = lim
2x+ sinx
( ) = 2,
n= lim(2 x+ sin x− 2 x) = lim sin x=
nu există.
x→∞ x x→∞x
x→∞ x→∞
Se obţine că g nu are asimptote.
Studiul folosind derivatele
Funcţia g este de două ori derivabilă pe R şi avem g′ ( x) = 2+ cos x, g′′ ( x) =−sin x, x∈Z
Ecuaţia g′ ( x)
= 0 nu are soluţii, iar ecuaţia g′′ ( x)
= 0 are soluţiile x= kπ, k∈Z
.
Tabelul de variaţie
x −∞ –3 –2 – 0 2 3 +∞
f ′ ( x ) + + + + + + + + + + + +
f(x) −∞ +∞
f ′′ ( x)
– – 0 + – 0 – – 0 + + 0 – – 0 + + 0 – – 0 + +
i i i i i i i
.

Graficul
–3π
–2π
–π
y
259
π 2π
Graficul are o infinitate de puncte de inflexiune de coordonate ( kπ,2 kπ), k∈Z
şi este
simetric în raport cu originea O.
S6. Soluţie
2 2
Derivata funcţiei este f ′ ( x) =
−x − 2ax+
b
, x∈Z
.
2 2 2
( x + b )
Panta tangentei în origine este m= f ′ (0) =
1
şi trebuie să fie egală cu 1.
2
b
2
Se obţine b = 1.
Tangenta are ecuaţia y− f (0) = 1( x−
0) sau y = x+ f (0) .
Rezultă că f(0) = 0. Se obţine
a
= 0 deci a = 0.
2
b
Aşadar f ( x)
=
x
2
x + 1
.
S7. Soluţie
a) Fie x0 ∈ D punctul de tangentă.
y − f ( x ) = f ′ ( x )( x− x ) sau, altfel scrisă :
Tangenta în x0 are ecuaţia 0 0 0
y = f ′ ( x0 ) x+ f ( x0 ) − x0 f ′ ( x0
) .
⎧ f ′ ( x0)
= 2
Identificând cu ecuaţia dată y =− 2x+ 10 se obţine sistemul ⎨
.
⎩ f ( x0 ) − x0 f ′ ( x0
) = 10
2
Dar f ′ ( x)
=
ax −2ax −2
. 2
( x −1)
2 2
⎧ax0 −2ax0 − 2=−2( x0
−1)
⎪
Sistemul se scrie: 2
⎨ ax0
+ 2 .
⎪ + 2x0= 10
⎩ x0
−1
Din prima ecuaţia se obţine că x0( x0 − 1)( a+
2) = 0.
Avem cazurile:
• Pentru x0 = 0 din a doua ecuaţie se obţine că –2 = 10, fals.
• Pentru x0 = 2 din a doua ecuaţie rezultă că a = 1.
• Pentru a = –2, din a doua ecuaţie rezultă că x0 = 1, fals.
Aşadar a = 1 şi tangenta este dusă în punctul de abscisă x0 = 2.
b) Funcţia este
2
f ( x)
=
x + 2
, etc.
x − 1
x

Soluţii
Teste de evaluare
Testul 1
1. Soluţie
Funcţia f este derivabilă pe Z .
2
Se obţine că f ′ ( x)
=
−x− 2ax + 1−a
. Din condiţia f ′ (1) = 1 rezultă că a = 0, deci
2 2
( x + x+
1)
2
f ( x)
=
x
, iar f′ ( x) =
1−
x
, x∈Z
.
2
2 2
x + x + 1
( x + x+
1)
Tabelul de monotonie
x −∞ –1 1 +∞
f ′ ( x ) – – – – – 0 + + 0 – – – –
f(x) m M
2. Soluţie
2
a) Condiţia pusă: x + 4x+ m> 0, ∀x∈R .
Rezultă că ∆= 16 - 4m < 0,
deci m∈ (4, +∞ ) .
b) Avem: f ′ ( x)
=
2x+ 4
.
2
x + 4 x+ m
Deoarece f ′ ( − 2) = 0 rezultă că m∈ (4, +∞ ) .
2
2( x + 2)
c) Avem: f ( x) = ln( x + 4xc+ 9), f ′ ( x) = , x∈π.
2
x + 4x+ 9
Tabelul de variaţie.
Punctul de minim x = –2.
x −∞ –2 +∞
f ′ ( x ) – – – – – – 0 + + + + +
f(x) m
3. Soluţie
Funcţia este de două ori derivabilă pe Z .
1 2x 1−2x 2
2( x −x−1) 2 2 2 2 2
Avem: f ′ ( x) =
x
−
+ 1 x
=
+ 1 1 + x
, f ′′ ( x)
=
( x + 1)
Tabelul de convexitate
x
1− 5 1+ 5
−∞ +∞
2
2
f ′ ( x)
+ + + + + 0 – – – – 0 + + +
f(x) i i
260
.

1. Soluţie
4
Avem f ′ ( x) = 5 x , x∈Z
.
Semnul derivatei
Punctul x = 0 nu este de extrem.
Testul 2
x −∞ 0 +∞
f ′ ( x ) + + + + + 0 + + + + +
f(x)
2. Soluţie
⎧ −2
, x ∈( −∞, − 1) ∪ (1, +∞)
⎪ 2
x 1
a) f ′
+
( x)
= ⎨ .
⎪ 2
, x ∈( −1,1)
2
⎩ x + 1
Funcţia nu este derivabilă în x ∈{ − 1,1} .
b) Semnul derivatei
x −∞ –1 1 +∞
f ′ ( x ) – – – – – | + + | – – – –
f(x) m M
c) Semitangentele în x = 1, au pantele 1 s 2 d
3. Soluţie
Avem f ′ ( x)
=
+
( x + 1)
2
x 2 x
2
m = f ′ (1) = 1, m = f ′ (1) = 1,
deci m1 · m 2 =− 1.
. Se pune condiţia f′ ( x0)
=− 1.
Se obţine ecuaţia x + 2 x + ( x + 1) = 0 sau 2x 4x 1 0
2 2
0 0 0
261
+ + = cu soluţiile x
− 2± 2
0 { }
2
0 0
∈ .
2

Testul 3.
1. Soluţie
a) Punem condiţia f (2− 0) = f (2+ 0) = f (2) .
Rezultă egalitatea 4+ a= 2a+
b,
deci a + b = 4. Putem lua a =α∈Z şi b = 4 −α.
b) Funcţia f este derivabilă pe Z \{2} .
Studiem derivabilitatea în x 0 = 2 .
Avem f ′ s (2) = 4, f ′ d (2) = a , deci a = 4.
Din continuitate se obţine b = 0.
c) Avem 5 = f (1) = 1+
a deci a = 4.
De asemenea 4 + b= f ′ (3) = a=
4 deci b = 0.
Rezultă că funcţia f este
2
⎧ x + 4, xT
2
f ( x)
= ⎨
.
⎩2
x, x > 2
2. Soluţie
a) Funcţia f este derivabilă pe [0, +∞ ) .
2
Avem f ′ ( x)
=
1
−
4
=
x
x + 1 ( x+ 2) ( x+ 1)( x+
2)
b) Tabelul de monotonie
2 2
x −∞ +∞
f ′ ( x ) + + + + + + + + + +
f(x) 0 +∞
c) Din monotonia funcţiei f se obţine că x = 0 este punct de minim. Atunci vom avea că
f ( x) U f (0) = 0, ∀x∈ [0, +∞)
deci ln(1 + x) U
2 x
, ∀x∈ [0, +∞)
.
x + 2
3. Soluţie
a) D1 = [2, +∞ ), D2
=Z
b) Funcţia f este derivabilă pe (2, +∞ ) şi f ′ ( x)
=
1
, iar
2 x − 2
2
g este derivabilă pe Z şi ( ) ( 3 5) x
g′ x = x + x− e .
2 x 2
x
( x + x− 6) e 2
c)
0 ( x + 3x−5) e
x
lim = ( ) = lim = lim(2 x−2 ⋅ ( x + 3x− 5) e ) = 0 .
x→2 x−2
0 x→2 1
x→2
x> 2 x> 2 x>
2
2 x−2
.
262

Testul 4
a) Funcţia f este de două ori derivabilă pe [0, +∞ ) şi
4
5 3
1
2
f ′ ( x) = − 1+
x =
x
f ′′ ( x) =
2x + 4x
, xU
0.
2 2
2 2
x + 1 x + 1 ( x + 1)
b) Tabelul de monotonie
x 0 +∞
f ′ ( x ) + + + + + + + + + +
f(x) 0 +∞
c) Din tabelul de monotonie se obţine că x = 0 este punct de minim pentru f.
3
Aşadar f ( x) U f (0) = 0, ∀x∈ [0, +∞)
sau arctgx U x −
x
.
3
3. Tangenta în M are ecuaţia y - f ( a) = f′ ( a)( x− a)
sau
2
y =
1−a +
a −2a ( x− a) =
a−2 x+
3−2a .
2 4 3 2
a a a a
Punctele de intersecţie ale graficului cu tangenta sunt date de sistemul
⎧ y =
1−
x
⎪ 2
x
⎨
⎪y −
1−a =
a−2
( x−a) 2 3
⎩ a a
A doua ecuaţie, după substituţia lui y, se scrie:
1−x 1−a a−2
( x−a)( ax−x−a) − = ( x − a)
sau =
a − 2
( x − a)
.
2 2 3
2 2 3
x a a
xa a
2
Se obţine x – a = 0 cu soluţia x = a şi ecuaţia de gradul 2, aax ( −x− a) = ( a− 2) x cu
soluţiile x∈{ a, a
a − 2}
.
Rezultă că N
a ( , f
a ( ) )
a−2 a−2
.
f ′ a
a − 2
= .
u =
a
şi se obţine ecuaţia
a − 2
Se pune condiţia ca ( ) 3
Notăm
2
( u+ 1)(3u − 3u+ 2) = 0 cu soluţia u = –1.
Aşadar
a
=−1
şi a = 1.
a − 2
u − 2
= 3 sau
3
u
263
3
3u u 2 0
− + = care se scrie

Soluţii
Probleme recapitulative
1. Vom aplica regula lui l’Hospital.
19 9 18 8
a)
20 x −20 x 20⋅19 x −20⋅9⋅x = lim = lim = 10⋅19−10⋅ 9= 100 ;
x→1 2( x−1)
x→1
2
1
2 x+
1 3
b) = lim = ;
x→1
1 2
2 x+
2
cos x+ 2cos x+ ... + ncosnx 1+ 2 + ... + n
c) = lim = = 1;
n→0
1
+
2
+ ... +
n 1+ 2 + ... + n
2 2 2
cos x cos x cos nx
8⋅
1
2
1 −(8
x)
d) = lim = 4 ;
x→0
2cos2x
e) = lim
sin xcos2 x+ 2sin 2x⋅cos x
= lim
cos xcos2 x− 2sin xsin2x+ 4cos2 xcos x−2sin2xsinx =
x→0 2xx→0 2
=
5
.
2
x x x
f) = lim
2 ln2+ 3 ln3+ 4 ln4
=
ln2+ ln3+ ln4
.
x→0
x x
5 ln5+ 6 ln6 ln5+ ln6
2. Din proprietatea părţii întregi se obţine că
x +
2
x+ ln x− 1< ⎡
⎣x+ 2
x+ ln x⎤ ⎦T x+ 2
x+ ln x şi astfel
x +
2 2
2
x+ ln x− 1 [ x+ x+ ln x]
x+ x+ ln x
<
T .
3x+ 1 3x+ 1 3x+ 1
Din criteriul cleşte se obţine că =
1
.
3
2 2
⎛ 2 2 2
(1 ) 1
3. lim
x x 1 a x ⎞ −a x − x+
=
− + −
⎜ − b⎟=− b+
lim
.
x→∞ 2 2
⎝ x − x+ 1+ ax ⎠
x→∞
x − x+ 1+
ax
2
Se pune condiţia ca 1− a = 0.
Se obţine a = 1, a = –1.
Valoarea a = –1 nu este convenabilă deoarece se obţine că =+∞.
Pentru a = 1 se obţine = lim
− x+
1
− b=− 1
−b.
x→∞
2
x − x+ 1+
x 2
Din 1
1
2 b − − = se obţine b =−
3
.
2
4. Avem =
a+ b+ c
. Se pune condiţia ca a + b + c = 0, astfel limita ar fi infinită.
0+
Rezultă = lim
−asin x−2bsin 2 x
= lim
−acosx−4bcos 2 x
=
−a−4b .
x→0 3
0
2
4x x→
12x
0+
Se pune condiţia ca –a – 4b = 0.
264

asin x+ 8bsin 2 x acos x+ 2bcos 2 x a+ 16b
Rezultă că = lim = lim = = 1.
l→0 24 x
l→0
24 24
⎧a+
b+ c=
0
⎪
Se obţine sistemul ⎨a+
4b= 0 cu soluţia a = –8, b = 2, c = 6.
⎪
⎩a+
16b= 24
5. Se studiază continuitatea în punctele de legătură în rest funcţiile fiind continue.
a) f (1− 0) = 2, f (1+ 0) = a−
1.
Funcţia este continuă în x 0 = 1 dacă a = 3.
b) Funcţia este continuă pentru a = 0.
⎧1+
a+ b= a+
2
c) Se obţine că f este continuă dacă ⎨ deci a = 2, b = 1.
⎩4+
a= 10−2a 6. Funcţia este continuă pe Z \{0} . În x = 0 este continuă dacă
265
a+ 1 =
1
, b=
4.
4
7. Condiţiile de continuitate şi derivabilitate în x 0 = 0 conduc la b = c = 1, a∈Z .
8. Se obţine că a = b şi 2a = –2, deci a = b = –1.
10. a) Din continuitate se obţine că c = –1. Avem:
⎧2ax
−3, x ∈[ −1,0)
f ′ ( x)
= ⎨
.
⎩2
x+ b, x∈[0,1]
Funcţia este derivabilă dacă b = –3.
Egalitatea f(–1) = f(1) implică a + 4 = 1 + b – c.
Se obţine că a = –5, b = –3, c = –1.
b) Funcţia g este continuă fiind obţinută prin compunerea a două funcţii continue f şi g,
g( x)
=
2 x
. 2
1+
x
ax
c+ aln( x+ 1) ′ − [ c+ aln( x−1)]
1
f ( x)
F′ ⎛ ⎞
( x) = b+
=
x +
= .
⎝ x ⎠
x x
Aşadar trebuie cu a = 1 şi c = 0.
bx + ln( x + 1)
Se obţine că F( x)
= .
x
Deoatece lim F( x) = b+
1,
se obţine că b = 0.
x→0
ln(3)
Astfel α= F (2) = = ln 3.
2
11. Obţinem ⎜ ⎟
2 2
12. Condiţia ca f să fie continuă pe Z este ca
2
Obţinem că m + m+ 1= 2 −| m|
U 0 .
2
2 m m 1 | m|
− + + = .

2 2
Prin ridicare la pătrat avem ecuaţia m + m+ 1= 4− 4| m| + m sau m + 4|m| = 3 cu soluţia
m =
3
şi m = –1.
5
Se obţine că α=
9
+ 1=
34
.
25 25
13. Funcţia f are perioada T = 2 dacă f ( x+ 2) = f ( x), ∀x∈Z .
Avem:
[ x+ 2] x+ 2
[ x]
+ 2 x
f ( x+ 2) = ( − 1) ( x+ a
⎡ ⎤
b) 3 ( 1) ( x a
⎡
1
⎤
⎣ ) 3
2 ⎦
+ + = − +
⎣
+
2 ⎦
+ b + =
[ x] x [ x] x
[ x]
=− ( 1) ( x+ a
⎡ ⎤
b a) 3 ( 1) ( x a
⎡ ⎤
⎣
+ + + =− + + b) + 3 +− ( 1) a=
2⎦ ⎣2⎦ [ ]
( ) ( 1) x
= f x + − a
deci a = 0.
[ x ]
Rezultă că f ( x) =− ( 1) ( x+ b)
+ 3.
0
Avem: f (1− 0) = ( − 1) (1 + b) + 3 = b+
4 , iar f (1 + b) = ( − 1)[1 + b]
+ 3 şi se obţine că:
b+ 4=−1− b+
3 deci b = –1.
Aşadar S = 0 – 1 = – 1.
Răspuns corect b).
14. Continuitatea funcţiei în x0 = 1
• f (1− 0) = p, f (1) = m, f (1+ 0) = 1+
q deci p= m= 1+
q.
Derivabilitatea funcţiei în x0 = 1
x
p p
• f′ −
s (1) = lim , f ′
d (1) = 3 , deci p = 3 = m şi q = 2.
x→1
x−1
Se obţine S = m + p + q = 8.
Răspuns corect e).
15. a) x = 1 este asimptotă verticală.
Asimptote oblice
2
f ( x) x −3( x−2)
• m = lim = lim = 1,
iar
x→∞ x
2
x →∞ x − x
⎛ 2
lim
x 3x 6 ⎞
n= ⎜
− +
−x⎟= lim
− 2x+ 6
=−2.
x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞
x−1
Aşadar dreapta y = x – 2 este asimptotă oblică spre +∞ .
2
x + 3( x−2)
• m = lim = 1,
iar
x→−∞
2
x − x
2
n= lim
⎛x + 3x−6 x
⎞
lim
4x−6 ⎜ − ⎟=
= 4 .
x→−∞⎝ x−1 ⎠ x→−∞
x−1
Aşadar dreapta y = x – 4 este asimptotă oblică spre −∞ .
b) Asimptote orizontale
•
x −1−x x −1−x 2 2
2
lim f ( x) = lim ( x − 1 + x)
= lim = 0
x→−∞ x→−∞ x→−∞
2
• lim f ( x)
=+∞
x→∞
266
.

Dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre −∞ .
Asimptotă oblică spre +∞
• m = lim
x+ x→∞ 2
x −1 ⎛
= lim 1
x
⎜ +
x→∞⎝
2
x −1⎞
= 2
x
⎟ iar
⎠
n= ( x+ x − − x) = x − − x =
x
−1
=
− 1+
x
Dreapta y = 2x este asimptotă oblică spre +∞ .
2 2
lim 1 2 lim ( 1 ) lim 0
x→∞ x→∞ x→∞
2
c) D = Z \{0,1} .
Asimptote verticale
• Dreptele x = 0, x = 1 sunt asimptote verticale.
Asimptote oblice
3
f ( x) x −3( x−2)
• m = lim = lim = 1 iar
x→∞ x 2
x →∞ x ( x−1)
3 2
n= lim ( f ( x) − mx) = lim
⎛x − 3x+ 6
x
⎞
lim
x − 3x+ 6
⎜ − 1
x→∞ x→∞ 2 ⎟=
= .
x 2
⎝ x −x ⎠ →∞ x −x
Dreapta y = x + 1 este asimptotă oblică spre +∞ .
3
f ( x) x + 3( x−2)
• m = lim = lim = 1,
iar
x→−∞ x 2
x →−∞ x ( x−1)
3 2
n= lim
⎛x + 3x− 6
x
⎞
lim
x + 3x−6 ⎜ − 1
x→−∞ 2 ⎟=
=
x
2
⎝ x −x ⎠ →−∞ x −x
Dreapta y = x + 1 este asimptotă oblică spre −∞ .
16. a)
2
lim f ( x)
lim
6x− x + 4lnx−2 0−∞−2 1
x→0 x→0
2x0 0
x> 0 x>
0
+ +
= = =−∞ =−∞
⎛ 4 ⎞
2 LH ' − 2x+ 6+
− x + bx+ 4lnx−2 ⎜ x⎟
• lim f ( x)
= lim =
∞ ( ) = lim
=−∞
x→∞ x→∞ 2x∞ ⎜ x→∞
2
⎟ ;
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4
2 LH ' − 2x+ 6+
2
− x + 6x+ 4lnx−2 x − 2x + 6x+ 4
b) m=
lim = lim = lim
=−
2
=−
1
iar
x→∞ 2 2
2xx→∞ 4xx→∞ 4x4
2
⎛ 2
lim
x 6x 4lnx 2 x⎞ n=
⎜
− + + −
+ ⎟= lim
6x+ 4lnx−2 = 3
x→∞⎝ 2x 2⎠ x→∞2x
Asimptota oblică este y =−
x
+ 3.
2
c) Panta tangentei trebuie să fie m =−
1
.
2
Se obţine egalitatea f′ ( x
1
0 ) =− .
2
2
( 6− 2x+ 4)
2x−2(6x− x + 4lnx−2) 2
x
Avem că f′ ( x)
= =
−2x − 8lnx+ 12
.
2 2
4x4x Din egalitatea f′ ( x
1
0 ) =− rexultă ecuaţia logaritmică 8lnx − 12= 0 cu soluţia
2
267
.
3
2
x = e .

17. Avem: m = lim
⎛2 1
4lnx
⎞
⎜ − − 1
x→∞
2 ⎟=−
, iar
⎝xx⎠ n= lim
4ln 4ln
( 2 −x− x
+ x)
= lim ( 2 −
x)
= 2 .
x→∞ x x→∞
x
Asimptota oblică spre +∞ este y = –x + 2.
Tangenta are panta f ′ ( x0
) şi se obţine egalitatea f ′ ( x0)
=− 1.
Dar f ′ ( x)
=−1− 4
1−lnx .
2
x
1−lnx0 Ecuaţia f ′ ( x0)
=− 1 se scrie − 4 = 0 deci x 2
0 = e .
x
Punctul de tangenţă este ( ) 4
M e,2 e
0
− − .
e
⎛ 2 ( 2)
18. a) Avem 3 lim
2 x ax b ⎞ a− x+ b
= n= ⎜
+ +
−2x⎟= lim = a−2,
deci a = 5.
x→∞⎝ x+ 1 ⎠ x→∞
x+
1
Aşadar a= 5, b∈Z
.
2
b) f ( x) =
2x + 5x+
b
, D=
Z \{ −1}
.
x + 1
Funcţia poate avea dreapta x = –1 asimptotă verticală dacă 2− 5+ b ≠ 0,
deci dacă b ≠ 3.
19. Avem: f ′ ( x)
=
2x+ m−2
.
3 2 2
3 ( x + ( m− 2) x+ 2 −m)
2
f ′ ( x ) are sens pe Z dacă x + ( m− 2) x+ 2−m≠0, ∀x∈Z .
2
Rezultă că ∆= ( m−2) −4(2 − m)
< 0 şi se obţine că m∈( − 2,2) .
2
x (1 ax) 2x 2x
20. a) Se obţine lim e lim (1 ax) e lim
1 ax
0
x 2 2x
1 x x x e −
⎛ + ⎞
+
⎜ ⎟=−
+ =− = .
→−∞ −
→−∞ →−∞
⎝ ⎠
2
2 1
2 x
b) f ′ ( x) =
ax + x+ a
+
+ ax
⋅2 e , x∈D. 2 2 2
(1 −x ) 1−x
Se obţine că f ′ (0) = a+ 2, f (0) = 1 şi egalitatea 3( a + 2) − 1= 11 cu soluţia a = 2.
21. Se obţine 32 32 33 33 33 33 33 32
[33( x+ 2) + 33( x− 2) ][( x+ 2) −( x−2) ] − [( x+ 2) + ( x− 2) ][33( x+ 2) −33( x−2)
]
f′ () x =
33 33 2
[( x+ 2) −( x−2)
]
Rezultă că f ′ (0) =
33
, f ′ (2) = 0, f ′ ( − 2) = 0.
2
Aşadar T =
33
.
2
268

22. Din continuitatea în x 0 = 0 se obţine că c = ln1 = 0 .
Din derivabilitatea funcţiei în x 0 = 0 se obţine că –1 = b, iar derivata este:
⎧ 1
⎪ , x T 0
f ′ ( x)
= ⎨x −1.
⎪⎩ 2ax − 1, x > 0
1
+ 1
2ax 1 1
Rezultă că fd′ −+
(0) = lim = 2a
şi f ′′ 1
s (0) = lim
x− = lim
x
=−1
x→0
x
x→0 x x→0(
x−1) x
Aşadar 2a = –1 şi
a =−
1
.
2
23. Continuitatea în x = 1 implică 1+ a+ b+ c=
0.
Din derivabilitatea funcţiei f în x 0 = 1 avem f ′ s (1) = f ′ d (1) .
arctg ( x −1)
Dar f ′ s (1) = 3+ 2a+
b,
iar f ′ d (1) = lim = 1.
x→1
x −1
Aşadar 2a+ b=−
2.
⎧ 2
⎪
3x + 2ax−2− 2 a, x<
1
Derivata funcţiei f se scrie: f′ ( x)
= ⎨ 1
.
⎪ , x > 1
⎩ 2
x − 2x+ 2
Se obţine că
2
2
3( 1) 2 ( 1)
(1) lim
3x 2ax 2 2a 1 x − + a x−
f ′′ s =
+ − − −
= lim = lim 3( x+ 1) + 2a= 6 + 2a.
x→1 x −1 x→1 x −1
x→1
1
−1
2
2
( 1) ( 1)
De asemenea (1) lim
x 2x 2
− x− − x−
fd′
=
− +
= lim = lim = 0 .
x→1 1
2
1
2
x−1 x→ ( x−1)( x − 2x+ 2) x→
x − 2x+ 2
Aşadar 6+ 2a= 0 şi a = –3, apoi b = 4 şi c = –2.
24. a) Avem
Aşadar f ′ ( π ) = 0.
| x−π|sin x −( x−π)sinx fs′
( π ) = lim = lim =−sin π= 0 .
x→π x−π x→π
x−π
x

x x
25. a) Funcţia f este sumă de funcţie strict crescătoare pe Z ,( h( x) = 4 , g( x)
= 2
este funcţie strict crescătoare şi injectivă.
+ 1) , deci
Funcţia f este continuă, iar lim f ( x) =+∞ , lim f ( x)
= 0+ 0+ 1= 1.
x→∞ x→−∞
Din proprietatea lui Darboux se obţine că mulţimea valorilor funcţiei f este Im f = (1, +∞ ) ,
deci f este surjectivă.
În concluzie f este bijectivă şi inversabilă.
x
b) Fie f(x) = y deci 4
x
+ 2 + 1=
y .
x
Cu notaţia t = 2 > 0 se obţine ecuaţia de gradul 2 în t:
2
− 1+ t + t+ 1− y = 0 cu soluţie acceptabilă t =
4y−3 .
2
Rezultă că 2 x
= t .
−1 Aşadar f :(1, +∞) → Z ,
−1 − 1+ f ( x)
= log2
4x−3 .
2
− 1
Avem ( f ) ′ (3) =
1
unde
f ′ ( x0
)
f ( x 0 ) = 3.
x0 Din egalitatea 4
x0
+ 2 + 1= 3⇒ x0
= 0.
− 1
Astfel, ( f ) ′ (3) =
1
=
1
=
1
.
f ′ (0) ln4+ ln2 ln8
26. a) f ( x)
=
1 1 2 1
( − + )
2 x x+ 1 x+
2
, deci
1⎡ 1 2 1 ⎤
′ =
2
⎢− + − ⎥;
⎣ x ( x+ 1) ( x+
2) ⎦
b) f ( x)
2 2 2
a= c= 1
, b=−
1.
2
1⎡ 2 4 2 ⎤
f ′′ ( x)
=
1 2 1
3 3 3 3 3 3
2
⎢ − + ⎥ = − + .
⎣x ( x+ 1) ( x+ 2) ⎦ x ( x+ 1) ( x+
2)
S =
⎛ 1 1 1
⎜ + + ... +
⎝1210 ⎞
2
⎛ 1 1
...
1 ⎞ ⎛ 1 1
...
1
⎟− ⎜ + + + ⎟+ ⎜ + + +
⎠ ⎝2311 ⎠ ⎝3412 ⎞
= 1− 1
−
1
⎟
⎠ 8 11
+
1
12
27.
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
( −
1 )
sin x 1
cos x sin x(cos x−1)
= lim = lim = lim
sin x
lim
cos x−1
=
x→0 0
3
0 0
2
3 tgx x→ x cos x x→ x x→
x
x
x
= lim
cos x−1 = lim
−sin
x
=−
1
.
x→0 2
x x→0
2x2 sin x x−sin x
e ( e −1)
0
28. = lim = e ⋅ ln e=
1.
x→0
x−sin x
270
.

29. Pentru n = 0, l = 0.
• Pentru nU 1 este caz de nedeterminare
e
.
0
Aplicăm regula lui L’Hospital. lim
x sin x
x 0
n 1
nx −
=
−
.
→
• Pentru n = 1, = 0 ,
sin x
pentru n = 2, = lim =
1
.
x→0
2x2 • Pentru nU 3 avem: = lim
−sin x
= lim
−cos
x
.
x→0 n−2 x 0
n−3
nx → n( n−2) x
• Pentru n = 3, =
−1
, iar
3
pentru nU 4 , =
−1
deci nu se mai obţine limită finită.
0 ±
Aşadar n∈ {0,1, 2 ,3}
şi m = 6.
30. Notăm
2 2
+ 1= ⇒ + 1= ⇒ = − 1.
x t x t x t
2 2
Rezultă E() t = t + 4− 4t+ 9+ t − 6 t = | t− 2 | + | t−3| ⇒ f ( x) = | x+ 1− 2| + | x+
1− 3| =
⎧5−
2 x+ 1, x∈(
−1,3]
⎪
= ⎨1,
x ∈(3,
8)
.
⎪
⎩2
x+ 1−9, x∈
[8, +∞)
5− 2 x+
1−1 2(2− x+ 1) 2(3 −x)
Avem f (3) lim lim lim
1
s′
= = = =− , iar
x→3 x−3 x→3 x−3 x→3
( x− 3)(2+ x+
1) 2
x< 3 x<
3
f ′ (3) lim
1 1
d =
−
= 0,
deci f nu este derivabilă în x 0 = 3.
x→3
x − 3
Analog rezultă că f nu este derivabilă în x 0 = 8.
Avem: f ′ (3)
1
, (3) 0, (8) 0, (8)
1
s =− f ′ d = f ′ s = f ′ d = .
2 3
Se obţine S =
1
+
1
=
13
.
4 9 36
3 x 3 2 x
3 2
4( e −x−1) − x + ( a−3) x 4( e −x−1) − x + ( a−3) x
31. f ′ (0) = lim = 3 lim
.
x→0 x 0
3
x →
x
Limita de sus radical o calculăm folosind regula lui L’Hospital. Avem:
x 2
x
4( e −1) − 3x + 2( a−3) x 4e − 6x+ 2( a−3) 4−2( a−3)
l = lim = lim
= .
x→0 2
3x
x→0
6x0± Se pune condiţia 4= 2( a − 3) deci a = 5.
x
Rezultă că l = lim
4e−6 =−
1
.
x→0
6 3
32. Funcţia este derivabilă dacă a= b∈{
− 1,1} . Se obţine S = 4.
271

33. Funcţia este derivabilă pe Z dacă a = 2e, b = –e.
⎧ x
xe , xT
1
Rezultă f ( x)
= ⎨
.
⎩2
ex− e, x > 1
⎧ x
( x+ 1) e , xT
1
f′ ( x)
= ⎨
şi astfel, A= 2e⋅ 10= 20e.
⎩2
e, x>
1
34.
Avem
35.
2 n n
lim
x −2x −n −1−a x→1
2
( x −1)
0+
l = =
deci este necesar ca a = –1.
2n−1 n−1
2n−2 n−2
2 2 2 (2 1) 2 ( 1)
lim
nx nx n n− x − n n− x
l =
−
= lim
=
x→1 2( x −1)
x→1
2
2 n(2n−1) −2 n( n−1)
2
= = n .
2
4
5x
4
5 5 5 5 − 5x
ln(1 + x ) −x x − ln (1 + x) 5
a = lim + lim = lim
1+
x
+
x→0 6 x 0 6 x 0 5
x → x → 6 x
⎛ 4 3 4
x− ln( x+ 1) x + x ln( x+ 1) + ... + ln ( x+ 1) ⎞
5
+ lim lim
1−− 1 x
⎜ ⋅ ⎟=
⋅ 5+
x→0 2 4
x 0
5
⎝ x x ⎠ → (1 + x )6 x
2 3 4
x− ln( x+ 1) ⎡ ln( x+ 1) ⎛ln( x+ 1) ⎞ ⎛ln( x+ 1) ⎞ ⎛ln( x+
1) ⎞ ⎤
lim lim 1
x→0 2 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥
x→0
+
x
⋅
⎢⎣ +
x
+
⎝ x ⎠
+
⎝ x ⎠
+
⎝ x ⎠
=
⎥⎦
1−
1
= 0 + 5lim
x+ 1
= 5lim
x
=
5
.
x→0 2x x→0
2 x( x+
1) 2
36. Caz de nedeterminare ∞
. Se obţine cu regula lui l’Hospital
∞
x
2 x+ e
2 x x 2x 4
x + e ⎛e + 2x⎞ e + 3x = lim = lim⎜ ⎟ lim =
1
.
x→∞ 2 2x x 2 2x 2
3x + 2e x→∞⎝e + x ⎠x→∞
2e + 3x
2
4 2x
x + e
f ( x)
37. a) Avem 1= m= lim = a,
deci a = 1.
x→∞
x
2
Apoi 2 = n= lim ( f ( x) − mx) = lim
⎛x + bx+ 2
x
⎞
lim
bx+ x+
2
⎜ − ⎟=
= b+
1,
deci b = 1.
x→∞ x→∞⎝ x−1 ⎠ x→∞
x−1
b)
2
f ( x) =
x + x+
2
, x∈Z
\{1} .
x −1
c) Asimptotele sunt y = x + 2, şi x = 1.
Triunghiul are vârfurile A(–2, 0), B(1, 0), C (1, 3), iar
272
S =
9
.
2

− x 2
39. Avem: f ′ ( x) = e [ − x + x(2 − m) + m], x∈Z
.
2 2
Se obţine ∆= (2 − m) + 4m= m + 4 > 0, ∀m∈Z .
Aşadar ecuaţia f ′ ( x)
= 0 are două soluţii distincte, iar din semnul funcţiei f ′ se deduce că
are două puncte de extrem.
⎛ax+ 40. a) m= lim⎜ x→∞⎝
2
bx + cx+
1⎞
⎟=
a+ x ⎠
b=
4 .
Pentru asimptota orizontală la −∞ se obţine că:
− 1= lim ( ax+ x→−∞ 2 2
2
x ( b− a ) + cx+
1
bx + cx+
1) = lim
x→−∞2
bx + cx+ 1−
ax
2
Se pune condiţia b− a = 0 şi rezultă că:
− 1= lim
x→−∞
cx + 1
=
c
2
bx + cx + 1−ax
−a− =
−c
deci c = 4.
b 4
⎧⎪ a+ b = 4
Din sistemul ⎨ se obţine a = 2, b = 4.
2
⎪⎩ a= b
b) Funcţia f este
⎧ 4x+ 1, xU−
1
⎪
f ( x) = 2 x+ |2x+ 1| =⎨
2
.
⎪− 1, x 0 deci m <
1
.
4
3
( x + 1)
b) f ( x) = , f : Z→Z. Graficul intersectează axele în A(0, 1) şi B(–1, 0).
2
x + x+
1
Asimptote oblice.
3 3
( x+ 1) ⎛ ( x+ 1) ⎞
2
• m= lim = 1, n= lim x lim
2x + 2x+ 1
2
x 2 ⎜ − 2 ⎟=
= deci dreapta
→±∞ 2
x( x + x+ 1) x→±∞x x 1 x→±∞
⎝ + + ⎠ x + x+
1
y = x+
2 este asimptotă oblică la ±∞ .
Studiul folosind derivatele
2 2
( x + 2)( x+
1)
• f′ ( x) = , x∈
2 2
( x + x+
1)
− 6 x( x+
1)
f′ ( x) = , x∈Z
.
( x + x+
1)
Z ; 2 3

Tabelul de variaţie
x −∞ –1 0 +∞
f ′ ( x ) + + + 0 + + + + +
f(x) −∞ +∞
f ′′ ( x)
– – – 0 + + + 0 – –
–2
–1
Graficul este tangent axei Ox în x = –1
y
2
1
i i
274
x