Funcţii trigonometrice inverse - aplicaţii - Gheorghe IUREA

Funcţii trigonometrice inverse - aplicaţii
Gheorghe IUREA 1
În general, elevii au serioase dificultăţi în folosirea funcţiilor trigonometrice inverse.
De asemeni, în unele culegeri şi chiar manuale se abuzează de formule cu astfel
de funcţii sau sunt date rezolvări greşite.
Vom prezenta, în această notă, modalităţi de abordare a unor probleme cu funcţii
trigonometrice inverse care să apeleze la cât mai puţine cunoştinţe din partea elevilor.
Începem prin definireahacestor funcţii:
a) arcsin:[−1, 1] → − π 2 , π i
, definită prinarcsin x = α ⇔ x ∈ [−1, 1], α ∈
h
2
∈ − π 2 , π i
, sin α = x;
2
b) arccos : [−1, 1] → [0,π], definităprinarccos x = α ⇔ x ∈ [−1, 1], α ∈ [0,π],
cos α = x;
c) arctg:R →
tg α = x;
d) arcctg : R → (0,π), definită prinarcctg x = α ⇔ x ∈ R, α ∈ (0,π), ctg α = x.
³
− π 2 , π ´
³
, definită prinarctg x = α ⇔ x ∈ R, α ∈ − π 2
2 , π ´
,
2
Aplicaţii.
1. Au loc relaţiile: a) arcsin(−x) =− arcsin x, x ∈ [−1, 1];
b) arccos(−x) =π − arccos x, x ∈ [−1, 1];
c) arctg(−x) =− arctg x, x ∈ R;
d) arcctg (−x) =π − arcctg x, x ∈ R.
Soluţie. Vom dovedi numai egalităţile a) hşi b).
a) Fie arcsin x = α, deci x ∈ [−1, 1], α ∈ − π 2 , π i
, sin α = x. Cum−x ∈ [−1, 1],
h
2
−α ∈ − π 2 , π i
şi sin (−α) =−x, rezultăcă arcsin (−x) =−α = − arcsin x.
2
b) Fie arccos x = α, decix ∈ [−1, 1], α ∈ [0,π] şi cos α = x. Cum −x ∈ [−1, 1],
π − α ∈ [0,π] şi cos (π − α) =−x, urmeazăcă arccos (−x) =π − α = π − arccos x.
Observaţie. Formulele stabilite sunt utile în determinarea valorilor µ funcţiilor
trigonometrice inverse pentru valori negative. De exemplu, avem arcsin − 1
=
2
= − arcsin 1 µ
2 = −π 6 ; arccos − 1
= π − arccos 1 2
2 = π − π 3 = 2π ; arctg (−1) =
3
= − arctg 1 = − π 4 .
2. Determinaţi un interval de lungime π √
10
√ 12 în care este situat arctg 3 .
10
³
Soluţie. Fie arctg = α, deci α ∈ − π 3
2 , π ´ √ √
10
10
, tg α =
2
3 . Încadrăm 3
între două numerecarereprezintă tangentele unor unghiuri cunoscute. Cum 1 <
1 Profesor, Liceul ”D.Cantemir”, Iaşi
24

√
10
< < √ 3, deducem tg π 3
4 < tg α

cos β = 3 √
10
. Atunci cos (α + β) =cosα cos β − sin α sin β =
√
2
2 . Cum α + β ∈
∈ (0,π), urmeazăcă α + β = π 4 ,adicăceeacetrebuiaarătat.
√
2
Observaţii. 1. Dacă vomcalculasin (α + β) găsim sin (α + β) =
2 , α + β ∈
∈ (0,π), deci α + β = π 4 sau α + β = 3π .Înaceastăsituaţie calculăm şi cos (α + β)
4
pentru³
a determina în ce cadran este α + β sauaproximândmaibineα, β, găsim
α, β ∈ 0, π ´
³
şi atunci α + β ∈ 0, π ´
; acum putem afirma că α + β = π 4
2
µ
4 .
2. Evident, o soluţie de tipul ”demonstrăm că sin arcsin √ 1
3
+ arccos √ =
5 10
=sin π 4 ”esteincompletă.
8. Arătaţi că arcsin 4 5 +arcsin12 13 +arcsin56 65 = π.
i
, sin α = 4 12
, sin β =
5 13 .
Soluţie. Fie α =arcsin 4 h−
5 , β =arcsin12 13 ; α, β ∈ π 2 , π ³ 2
π
Găsim uşor că α ∈
4 , π ´ ³ π
, β ∈
2 4 , π ´
şi sin (α + β) = 56
2 65 , π