O generalizare a teoremei lui Van Aubel - Silviu BOGA

O generalizare a teoremei lui Van Aubel
Silviu BOGA 1
Considerând o ceviană oarecare în locul bisectoarei unui A
triunghi se obţine următoarea generalizare a teoremei bisectoarei:
MB
MC = AB
AC · sin \BAM
(1)
sin \CAM
(se stabileşte aplicând teorema sinusurilor în 4ABM şi B M C
4ACM pentru a exprima MB şi MC).
Acest rezultat cunoscut a fost utilizat ca instrument de lucru în [1], [3] ş.a.
La rândul ei, relaţia (1) poate fi generalizată la cazul în care ceviana AM este
înlocuită cu o transversală B 1 C 1 M ce nu-i paralelă cuAB, AC (câteva poziţii ale
acesteia sunt prezente în figurile de mai jos):
C
A
A
1
B 1
B 1
A
C 1
B 1
C 1
B M C M B
C B
C M
MB
MC = BC 1
· sin C c 1
CB 1 sin B c ; (2)
1
evident, pentru A ≡ B 1 ≡ C 1 relaţia (2) devine (1).
Pentru a dovedi această relaţie, procedăm ca şi în cazul relaţiei (1): cu teorema
sinusurilor aplicată în4C 1 BM şi 4B 1 CM obţinem MB = BC 1
sin M c sin C 1 şi MC =
CB 1
sin M c sin B 1, care, prin împărţire, dau (2).
În unele aplicaţii este utilă oconsecinţă directă a rezultatului dat de (2), consecinţă
prin care sunt eliminate în fapt unghiurile.
Fie trei drepte a, b, c concurente două câte două şi
C 1
transversalele t şi t 0 . Adoptăm notaţiile prezente pe figura
alăturată şi convenim ca (a; b) să însemne masură unuia A
dintre unghiurile determinate de dreptele a şi b.
B 1
t
Propoziţie. În condiţiile specificate mai înainte, are
B
loc formula
M C
MB
B′
t′
M ′
a
C′
MC · CB 1
= M 0 B 0
BC 1 M 0 C 0 · C0 B 1
B 0 . (3)
C 1 c b
Demonstraţie. Într-adevăr, conform cu (2), aplicată triunghiurilor 4ABC şi
4AB 0 C 0 şi transversalei B 1 C 1 ,avem:
MB
MC = BC 1 sin (a; c)
·
CB 1 sin (b; c) , M 0 B 0
M 0 C 0 = B0 C 1 sin (a; c)
C 0 ·
B 1 sin (b; c) .
1 Profesor, Colegiul Naţional, Iaşi
25

De aici, rezultă că MB
MC · CB 1
= M 0 B 0
BC 1 M 0 C 0 · C0 B 1 sin (a; c)
B 0 =
C 1 sin (b; c) , q.e.d.
Observaţii 1. Egalitatea (3) şi demonstraţia ei nu suferă modificări pentru alte
poziţii ale dreptelor a, b, c (concurente două câte două) şi transversalelor t şi t 0 .
2. Dacă dreptelea, b, c sunt concurente în A, adică B 1 şi C 1 coincid cu A, atunci
(3) se scrie în forma
MB
MC · AC
AB = M 0 B 0
M 0 C 0 · AC0
AB 0 . (30 )
Menţionăm că (3 0 ) poate fi stabilită uşor cu ajutorul relaţiei (1).
Teorema 1. (generalizarea teoremei Van Aubel). Fie 4ABC şi punctele B 0 ∈
(AC), C 0 ∈ (AB) cu BB 0 ∩CC 0 = {O}. DacăprinO trece o dreaptă care taie (BC)
în A 1 , (BA în C 1 şi (CA în B 1 ,atunciarelocrelaţia
C 0 A
C 0 B · OA 1
+ B0 A
OB 1 B 0 C · OA 1
=1. (4)
OC 1
C
Demonstraţie. Aplicăm (3) mai întâi la dreptele CA,
1
CB, CC 0 şi transversalele AB şi A 1 B 1 şi apoi la dreptele A
B
BA, BC, BB 0 şi transversalele AC şi A 1
1 C 1 :
C′ B′
C 0 A
C 0 B · CB
CA = OB 1
· CA 1 B 0 A
,
OA O
1 CB 1 B 0 C · BC
BA = OC 1
· BA 1
.
OA 1 BC 1
De aici obţinem
B D A 1
C
C 0 A
C 0 B · OA 1
+ B0 A
OB 1 B 0 C · OA 1
= CA
OC 1 CB · CA 1
+ BA
CB 1 BC · BA 1
. (5)
BC 1
Construim AD k B 1 A 1 şi observăm că CA 1
= CD
CB 1 CA şi BA 1
= BD . Atunci, pentru
BC 1 BA
membrul drept al relaţiei (5) revine la
CA
CB · CD
CA + BA
BC · BD
BA =1
şi, în consecinţă, (4) este dovedită.
Observaţii. 1. Dacă A ≡ B 1 ≡ C 1 ,seobţine relaţia Van Aubel.
2. Particularizând O ≡ G (centrul de greutate al triunghiului), relaţia (4) se scrie
1
+ 1 = 1 (S. Boga, [1, p.43]).
GB 1 GC 1 GA 1
3. Particularizând O ≡ I (centrul cercului înscris triunghiului), obţinem
AC
+ AB = BC .
IB 1 IC 1 IA 1
Bibliografie
1. S. Boga - O proprietate remarcabilă defascicul. Matematica în şcoala suceveană,
6/1989, 3-8.
2. D. Brânzei, S. Aniţa,M.Chirchiu- Geometrie. Clasa a IX-a (Colecţia "Mate—
2000"), ed. a III-a, Editura Paralela 45, Piteşti, 1998.
3. C. Artenie, C. Constanda - Generalizarea problemei bisectoarei glisate. Recreaţii
Matematice, 1/2001, 32-33.
26